Групповые свойства моделей теплопроводности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. Групповая классификация и инвариантные решения уравнения теплопроводности в двумерном и трехмерном случаях (точечные преобразования Ли)

§1. Трехмерный случай.

§2. Двумерный случай.

§3. Случаи наиболее широкой группы

§4. Инвариантные решения: канализация тепла,"спиральные" решения

Глава II. Групповая классификация и инвариантные решения уравнения теплопроводности в одномерном, двумерном и трехмерном случаях (преобразования

Ли-Беклунда)

§1. Одномерный случай.

§2. Двумерный и трехмерный случаи.

§3. Инвариантные решения

§4. Уравнение теплопроводности в неоднородной среде.

Глава III. Групповые свойства системы уравнений теплопроводности гиперболического типа

§1. Постановка задачи.Определяющие уравнения

§2. Точечные преобразования.

§3. Касательные преобразования первого порядка.

§4. Законы сохранения

В настоящее время в связи с проблемой управляемого термоядерного синтеза весьма актуальным является изучение различных задач физики высокотемпературной плазмы.

Наиболее эффективным методом теоретического исследования таких задач является вычислительный эксперимент- численное моделирование физических процессов и дальнейшее их изучение с помощью ЭВМ.

Вычислительный эксперимент включает в себя не только выбор адекватных моделей,разработку вычислительных алгоритмов и реализацию их на ЭВМ, но и предварительное качественное изучение особенностей рассматриваемых явлений.Знание этих особенностей позволяет в каждой конкретной ситуации проводить вычисления более рациональным образом,сделать вычислительный эксперимент более целенаправленным.В связи с этим важны традиционные методы математического исследования - изучение асимптотик,анализ размерностей,методы теории возмущений,инвариантно-групповые методы и т.д.

Широкое применение находит изучение отдельных классов частных решений: стационарных,бегущих волн,автомодельных решений.Известно, что все они являются частным случаем более общего класса инвариантных решений,которые отыскиваются средствами группового анализа дифференциальных уравнений/ij .

Значение таких решений не исчерпывается тем,что они дают описание процессов в некоторых частных случаях или являются тестами для отладки вычислительных алгоритмов. Важно подчеркнуть, что часто эти решения описывают асимптотики (промежуточные асимптотики) процессов для достаточно общих начальных условий В] . В ряде случаев такие решения оказываются устойчивыми не только к возмущениям начальных данных,но и к возмущениям коэффициентов уравнений (см./j^/ ).

Понимание отдельных черт сложных нелинейных процессов достигается также за счет рассмотрения различных упрощенных моделей.Например,в физике плазмы,наряду с исследованием системы уравнений рациональной магнитной гидродинамики,учитывающей большое число физических процессов,- рассматриваются и "чистая" газодинамика, "чистая" теплопроводность и т.д.

Важной составной частью исследования уравнений,описывающих тот или иной процесс,является изучение групповых свойств этих уравнений: отыскание группы преобразований Ли[1]или более общих преобразований Ли-Беклунда [2] относительно которых эти уравнения инвариантны.Отыскание группы преобразований выполняется с помощью алгоритмов группового анализа дифференциальных уравнений/i,Z] и сводится к решению некоторых переопределенных систем линейных уравнений (определяющих уравнений группы)интегрирование которых во многих,важных для практики случаях,удается довести до конца.

Поскольку преобразование,допускаемое уравнением,переводит всякое его решение снова в решение, то знание группы позволяет из известных частных решений получать многопараметрические (или даже зависящие от произвольных функций - в случае бесконечной группы) семейства решений.Кроме того,это облегчает построение так называемых инвариантных решений,которые под действием некоторой подгруппы допускаемой группы преобразований переходят в себя: их отыскание сводится к решению уравнения меньшей размерности,чем исходное.Как отмечалось выше^ классу инвариантных относятся многие широко используемые решения.Так,например,бегущие волны инвариантны относительно преобразований переноса,автомодельные решения - относительно растяжений и так далее.

Другое применение допускаемой уравнением группы преобразований состоит в использовании ее для построения законов сохранения.Для задач,допускающих вариационную постановку,законы сохранения строятся по теореме Нетер [Ю] ,в общем случае - с использованием теории преобразований Ли-Беклунда/^/ .

Групповые свойства уравнений используются также при изучении вопроса о существовании преобразования,связывающего различные уравнения,в частности преобразования,переводящего данное уравнение в линейное.

Настоящая работа посвящена исследованию групповых свойств двух математических моделей теплопроводности,встречающихся в физике плазмы: классической модели Фурье и сравнительно недавно используемой в этой областир2,13] модели гиперболической теплопроводности.

Первая из них формулируется в виде уравнения где U - температура среды, К(и) - коэффициент теплопроводности, Qfy) - источник (или сток) тепла.

Это уравнение может служить иллюстрацией того,что учет нелинейности часто приводит к качественно новым явлениям,не имеющим места в линейной теории. Так,исследования,проведенные в большом цикле работ (см./*///и приведенную там библиографию), показали,что при определенных условиях в среде,распространение тепла в которой описывается уравнением (I),могут возникать устойчивые самоподдерживающиеся структуры.Характерными свойствами решений,описывающих такие структуры,является компактность носителя (локализация) и несуществование решения в целом (за конечное время функция U -температура-обращается в бесконечность). При этом говорят [ff] ,что горение происходит в режиме с обострением.Эти исследования показывают также,насколько глубокими и содержательными могут быть относительно простые модели.

Известно ,что поток тепла, вычисленный по закону

Фурье,может в случае больших градиентов температуры превысить некоторый максимальный поток тепла,переносимый электронами в условной ситуации,когда все они движутся в одном направлении. Поэтому при изучении высокоинтенсивных процессов используют различные модели,учитывающие ограничения теплового потока. Одна из них-модель "обратных потоков",используемая в большинстве программ для численного решения задач лазерного термоядерного синтеза (см.,например, /"/7,1Z] ),- описывается уравнением и, -) , (2) где ос иув - некоторые постоянные.

Более предпочтительной в ряде задач (и,кроме того,более физичной) - ,а также библиографию в М/ - оказывается так называемая модель гиперболической теплопроводности: Г £> ^Т -е- ЪЬ/ п ш^&тж + к »о , (3)

И ъ(Г) Э02 ffr) где / - температура, // - тепловой поток, Су - удельная теплоемкость, J* - плотность, <Э2 - коэффициент теплопроводности, V - время релаксации теплового потока.Это - вторая модель,рассматриваемая в диссертации.

Следует отметить,что область применения уравнений (I) - (3) не ограничивается задачами физики плазмы.Так,уравнение (I) исполь

V. зуется для описания процессов теплопроводности и диффузии

S9-22, 26,27-30] ,в теории фильтрации[3iJ,в биологии и в других областях .Уравнение (2) применяется в физике моря для описания распространения колебаний температуры поверхности моря на глубину и для определения солености; как функции глубины и времени^/» ЗЗ-ЗЗ/,Система урав-. нений (3) в случае постоянных se и ^применяется для описания теплопереноса в разреженных газах (см.,например, &6J ),где наблюдается конечная скорость распространения тепла.(Как известно, линейное уравнение Фурье дает бесконечную скорость распространения тепла.) Эта система применяется также в задачах термоупругости [3?] и в ряде других задач/^/.

В диссертации изучаются групповые свойства•двух из названных выше моделей,а именно моделей (I) и (3).Вопрос о групповых свойствах уравнения (2) можно считать решенным,поскольку заменой переменных ijt , зс -jbU -hecoe. , (4) и - & . в [21] эта замена используется при рассмотрении задач физики моря) оно переводится в линейное уравнение

- > групповые свойства которого известны (см).

Диссертация состоит из введения,трех глав и заключения. Первая глава посвящена исследованию групповых свойств и инвариантных решений уравнения (1),а также более общего уравнения анизотропной теплопроводности в двумерном и трехмерном случаях.Рассматриваются локальные группы Ли точечных преобразований. Относительно таких групп для указанных уравнений в §§ I и 2 решена задача групповой классификации,то есть (см[ij)\

ЗАКЛЮЧЕНИЕ'

Перечислим основные результаты,представленные в диссертации.

1. Для уравнения теплопроводности с источником (стоком) в двумерном и трехмерном случаях решена задача групповой классификации относительно локальных групп Ли преобразований по виду зависимости коэффициентов теплопроводности и источника от температуры.

Полученные результаты использованы для построения инвариантных решений: исследованы случаи,когда допускаемая группа имеет максимальную размерность,рассмотрены решения,описывающие новые режимы распространения тепла (направленное распространение тепла в анизотропной среде и другие).

2. Для уравнения теплопроводности с источником (стоком) в одно-,дву- и трехмерном случаях решена задача групповой классификации с точки зрения групп преобразований Ли-Беклунда. Доказано,что в двумерном и трехмерном случаях нетривиальные группы Ли-Беклунда допускаются лишь линейными уравнениями; в одномерном случае выделено наиболее общее нелинейное уравнение, допускающее такие группы преобразований.Найдено преобразование, переводящее это уравнение в линейное.Получено аналитическое представление для широкого класса решений,инвариантных относительно преобразований Ли-Беклунда.

3. Решена задача групповой классификации с точки зрения групп преобразований Ли-Беклунда для одномерного уравнения теплопроводности в неоднородной среде.Показано,что наиболее общее нелинейное уравнение,допускающее нетривиальные преобразования Ли-Беклунда,переводится точечной заменой переменных в полученное ранее нелинейное уравнение для однородной среды.

4. Исследованы групповые свойства модели гипербрлической теплопроводности.Соответствующая система сведена к одному уравнению,для которого затем решена задача групповой классификации: с точки зрения точечных и (для степенных коэффициентов) касательных преобразований Ли.Найдено нелинейное уравнение,допускающее бесконечную группу касательных преобразований. Для него указана линеаризующая.замена переменных.

По теореме Нетер построены законы сохранения,соответствующие ранее найденным группам преобразований.

1. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978. - 400 с.

2. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. -М.: Наука, 1983. 280 с.

3. Овсянников Л.В. Групповые свойства уравнения нелинейной теплопроводности. Докл.АН СССР, т.125, Р 3, 1959, с.492-495.

4. Дородницын В.А. Групповые свойства и инвариантные решения уравнения нелинейной теплопроводности с источником или стоком.-М., 1979 ( Препринт / ИПМ АН СССР № 57 ).

5. Дородницын В.А. Об инвариантных решениях уравнения нелинейной теплопроводности с источником. ЖВМиМ, 1982, т.22, № б, с.1393-1400.

6. Самарский А.А. О математическом моделировании и вычислительном эксперименте в физике. Вест. АН СССР, 1979, № 5, с.38-49.

7. Баренблатт Г.И. Подобие,автомодельность,промежуточная асимптотика. Л.:Гидрометеоиздат, 1982. - 256 с.

8. Галактионов В.А.,Курдюмов С.П.,Самарский А.А. Об асимптотической устойчивости инвариантных решений нелинейных уравнений теплопроводности с источником. Дифференц.уравнения, 1984, т.20, № 4, с.614-632.

9. Галактионов В.А.,Самарский А.А. Методы построения приближенных автомодельных решений нелинейных уравнений теплопроводности. 1У. Матем.сб., 1983, т.121 (163), Р 2 (6), с.131-155.

10. Ибрагимов Н.Х. Группы Ли в некоторых вопросах математической физики. Новосибирск, 1972. - 159 с.

11. Курдюмов С.П. В кн.: Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1982, с.217-243.

12. Косарев В.И.,Леванов Е.И.,Сотский Е.Н. Об одном способе описания процесса электронной теплопроводности в высокотемпературной плазме. М., 1981. - 25 с. (Препринт / ИПМ АН СССР, № 142).13. СЫand ^(LSiaJuffb., Afyf.sew, м A

13. Лыков А.В. Методы решения нелинейных уравнений нестационарной теплопроводности. Изв. АН СССР, сер. Энергетика и транспорт, 1970, № 5, с. 109-150.

14. Леванов Е.И.,Сотский Е.Н. Ограничение теплового потока и способы его учета в численном эксперименте. Сб. Математические модели в теории тепло- и массообмена: Материалы международной школы-семинара. Минск, ИТМО им.А.В.Лыкова АН БССР, 1982, с. 84-99.

15. Сотский Е.Н. Описание процессов интенсивного тегагопере-носа гиперболическими уравнениями. Дис. . канд.физ.-мат.наук. - М., 1984.

16. Волосевич П.П.,Косарев В.И.,Леванов Е.И. Об учете ограничения теплового потока в численном эксперименте. М., 1978, - 22 с. (Препринт / ИПМ АН СССР, Р 21).19. въа+т^ цУ, JtU ^ . 20. Clrrvti (Рал^мгЛ

17. Березовский А. А. Лекции по нелинейным краевым задачам математической физики, ч. I и II. Киев, Наукова Думка, 1976.

18. Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. М.: Наука, 1975.

19. Бакирова М.И. ,Боршукова С.Н.,Дородницын В.А. ,Свирщев-ский С.Р. О направленном распространении тепла в анизотропной нелинейной среде. М., 1985. - 20 с. (Препринт / ИПМ АН СССР, в печати).

20. Миснар А. Теплопроводность твердых тел,жидкостей,газов и их композиций. М., 1968.

21. Карслоу Г.,Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М., 1964.26. tftiedrnAasb 91. <?. йгаис^пгл^. Ssa**.-tfca. с. <$0, />. .27. ft. Ataof ^Q^ha^t, 1. ЗиллпаЛf> W

22. Or 22,<fc?3 Ж. /&Г4, />. <25428. 1in, V^ryc^- 29.

23. Лыков А.В.,Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопереноса. -М., Л.: Г0СЭНЕРГ0ИЗДАТ, 1963. 536 с.

24. Лейбензон Л.С. Собр.трудов, т. 2: Подземная гидродинамика, М., 1953.

25. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М. :Мир, 1983.

26. Богуславский С.Г. Гидрофизические и гидрохимические исследования. Киев, Наукова Думка, 1965.

27. Богуславский С.Г. Об одной нелинейной краевой задаче распространения тепловых волн. В сб.: Линейные и нелинейные краевые задачи. Киев, 1971.

28. Богуславский С.Г.,Березовский А.А. Об одной нелинейной краевой задаче опреснения морских вод. В сб.: Линейныеи нелинейные краевые задачи математической физики. Киев, 1974.

29. Лыков А.В. Применение методов термодинамики необратимых прояессов к исследованию: тепло- и массообмена. ИМ, 1965, т.9, № 3, с. 287-304.

30. Подстригач Я.С.,Коляно Ю.М. Обобщенная гидромеханика. -Киев: Наукова Думка, 1976, 312 с.38. fo&u <%-. faftyoo&u* №. efiffiuM*1. Ра^-6. Уггих.

31. Теплофизические свойства веществ. Справочник. М.: ГЭИД966,

32. Дородницын В.А.,Князева И.В.,Свирщевский С.Р. Групповые свойства уравнения нелинейной теплопроводности с источником в двумерном и трехмерном случаях. М. ,1982,-24а(Препринт / ИПМ АН СССР, №79).

33. Дородницын В.А.,Князева И.В.,Свирщевский С.Р. Групповые свойства уравнения анизотропной теплопроводности с источником. М., 1982,-20 с .(Препринт / ИПМ АН СССР, № 134).

34. Дородницын В.А.,Князева И.В.,Свирщевский С.Р. Групповые свойства уравнения теплопроводности с источником в двумерном и трехмерном случаях. Диф.ур.,1983, т.19, № 7, с.1215-1223,

35. Дородницын В.А.,Свирщевский С.Р. О группах Ли-Беклунда, допускаемых уравнением теплопроводности с источником. -М., 1983. 28 с. (Препринт / ИПМ АН СССР, № 101).

36. Курдюмов С.П.,Посашков С.А.,Синило А.Б. Об инвариантных решениях уравнения теплопроводности с коэффициентом теплопроводности, допускающим наиболее широкую группу преобразований. М., 1984. - 28 с. (Препринт / ИПМ АН СССР,№ НО).

37. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М., 1976. - 527 с.

38. Галактионов В.А.,Курдюмов С.П.,Михайлов А.П.,Самарский А.А. Локализация тепла в нелинейных средах. Диф.уравнения, 1981, т.17, № 10, с. I826-1841.

39. Шга^тих^ ^-ер^ао-лЛелсс- Ж* -е^аЛи»г£iH^tU , £tUad, ds, РаЖ, /S<f/, 2.93, -flu* т, 6S*-660.1. ЛШ У- eft6,50.

40. ZfusaOc^TzJ.- (f/L^bO. A &4S, f/6'ГК.5I- &60&* tO, J. yMM^frcuy У. гъаЛ . (РА^ •> к1. А/' 6, /> && /2/S-.

41. Ибрагимов Н.Х.,Шабат А.Б. 0 бесконечных алгебрах Ли-Беклунда. Функц.анализ, 1980, т.14, вып.4, с.79-80.и *tcrуо, //-ар."£1.. -yirA^u иг. m^atei,, 1. J, OfyoS. 0T7aU ,