Группы с функциями длины и предгруппы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

госкомитет рсфср по науке и высшему образованию омский государственный университет

На правах рукописи

лопатков

Михаил Геннадьевич

ГРУППЫ С ФУНКЦИЯМИ длины И ПРЕДГРУППЫ

01.01.06 — математическая логика, алгебра

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

и теория чисел

омск 1991

Работа выполнена в Омском Государственном Университете

Научным руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор

Ремесленников Владимир Никанорович

Одадолъшю оппоненте - доктор «йзико-математическпх

наук,профессор Шмвлы;ин Аявфред Львовот

•■ - кандидат физико-математических наук

Зуйков Александр Николаевич

Водущдо учраждонив Инсмггуа' шгештики СОАН СССР

Защита состоится "__" _1991г. и _" часов

на заседания специализированного совета Ш34.36.02. при Омском Госункверситете по адресу : 644077, Омск, прЛ.1кра,55

(• диссертацией мэкно ознакомиться в библиотека Омского Госуюгаерсктзта.

Автореферат разослан "_" _, 1991г.

Учзгай секретарь специалкзтровшшого совета, клщвдат £и?.-тт. наук

/ .В.А.Роиаиысов

Актуальность теми Настоящая работа посвящена ¿пучению групп с функциями дашш, а такта их связи с про т^ругпачл. Важность дашюй теш исследований объясняется по rpaimo i' моро тремя обстоятельствами. Во-первнх, групнн с '¿ушсцг-яыи длшт получили широкое распространенно в соврсменних исследованиях по фундаментальным группа» трэхмерних многообразий. В этой связи могло отметить работы Каллора,Моргана,Йалзгш.Столлиигса, Таротена и других. Во-вторкх,группы с функциями длшш оказалась весьма полезными при исследовании дискретных подгрупп групп матриц второго порядна над локальнцш полями. Укажем здпсь работы ilxapn, Меннкнв, Сорра л других. И в-третьих, в работах и докладах последних лот В.Н.РемеслсншкоЕ подчеркивал ругающую роль групп с функциями дгшш при исследовании теоре^ко-

М0Д8ДБНШС СВОЙСТВ ГруПП,бЛИЗКИХ К СЕОбОДНШ.

Пусть & - группа, - упорядоченная еселева

группа, р: & /1 - некоторая функция. Для лябшс

% * & обозначим:

2 <Ó(¿£t у) • р(Х) +р(у) -р(Л

Рассмотрим следующий список аксиом для р :

¿O : Р(£)*0 ,* L1; р(^) =/>(*) j ¿2: m¿W { <f(*, y), ¿(y,*)} i

L$ : сГ(*,у; e A\ L A : p(*¿) >P(*), « * * i

SÍ : ó(ct, y)>0 влечет Л = ZJfr , y = ¿pi P (je) = p(3f)+p(A*)t y) = P(*) ;

fyS: <f(x,p + <f(Я'1, Р(%) ос ~

Определение. Функция р называется оущгдпеч длины, если она удоатетворяет аксиомам LO, ¿11 LZ, ¿¡3 • 3c;ai вшмяпэна аксиома ¿A, Р иазгваотся ярхишдовой <Ь/шсг,поП длкчи и

Qr - ./i архишдово:- группой, а золи виполиепа аксиома 5Я , р позиваэтса строга рэгулдрлгй фучкцг«.'1.' дошк.

Вкервио определенно йунгатзт ддыш появилось в eran о -Лиидона [i] как рооулмаг полижи " аксг.о:.ктнзлро5:ать простую, по пскдосгселгяо вачлую з;цог) Hot.c3Jíq подо'чэ'га ;л.а.ччо-ства сокраййюЩЕХСЯ бу:ш при переходе к 1>р2£едо;шой оорпэ пропз-»едедйя дат/, приводемпш- слов свобод^ труз'як" iZl • u síivwíív вз грушш значений Липдон взял 7? , группу :v?¿nrc '-¿.сод, a

'¿•улкцш! дл:ип! рассматривал либо архпмодовц, либо удовлстзорж-г.-.ю вксло'.» А 5 . Оказалось, что при этих условиях получает-оя либо свободная: группа, либо свободное произволение групп.

ДаяыпНшоз развитие идей Ликдопа ало в следующих направлениях: порвое -- взяв за основу систэду аксиом Лидцона, рассмаг-]; ;еллпсъ дяяш о группой апачоний, отличной от Ж у

второе - раоо«!агр:уплчсь функции длины с иной системой аксиом и : покшэш'оЛ гдугпоЕ значений!; третье - синтез первых дзух. В розулг.тата многочисленных исследований в этих направлениях выкристаллизовалась основная проблема теории групп с функциями длинг: дать алпзбраическутэ характергаацгаю класса групп, допус-гспгащгс йупкцто длинн. г

Для А - Ж проблема била полностью решена Чизуая- .

лом, которш; описал группы с цэлочислешшш функциями длины на язлнэ свободных конструкций [3,4] .*Ещо болоо ваяны; представляется то,что on показат совпадение классов груш с цолзчпелонны-мп функциями ллти и груш, действующих на обнчннх Дсфегьях153. Ъ случае действительной функции длину эта идея получила свое резЕдгпе s работе Альпзриаа я i.bcca [б] , а для произвольной ■¡ушщяя длшш - в работе Альперииа и Басса [ F3 .

Чзучэнив групп с действительной функцией длины бшго цгпрозаяо следующей гипотезой Ливдсна: произвольная FL ар-хл'.едова-группа есть подгруппа* свободного произведения копий PL, аддитивной группы действительных чиезл C2J .К эгой гипотезе било построено несколько контрпримеров, салшй простоП из которых цршадлккит А.Л. Зуйкову и В.Н.РешслэнншговуС51. }1 результата иного числе иных исследований различиях авторов Мор-гаи д ЗЬлон сформулировали следующую гипотезу: произвольная шчечио олрзделпнкая R» - ' архп-здова группа ость свободное произведяига ст,ободят;х гболэвих групп п ууода;гиталь:иа. групп посэрхност<зй, из входящих в некоторой епксок исключат,:!. Подробно об,зтом паплезкэ в статье Босса С33.

Более; широки" кяасо.чем группе с «ьувкцйягд длшш, раосдюФ-р:и:плся s статье Проьпслова C4Q3 , которая ооя.;рглт покятта, onp"x:an.4r"yj з результат:.:, актллю дешльзузмле в диссортаичи. К та-ч:г'.у. г-, по^гто оч:рздт> откосятся лонигяя атога, начального {••:г..:-.';та, рчгуллр.по;' и строго регулярно": три.

Кроме того, теорема о строении грушш, порождено л атомами рех\у-лярной полумеры,применяется при доказательство основного рэзуль-тата диссертации - теоремы о строении ступенчато^ гр^гти.

Все вышесказанное касалось функций длинн, чья группа значений бша подгруппой упорядоченной группы ,'и , Однако исследование дискретных подгрупп лпно:!шлс групп над голая:, а такта - свободных групп потребовало рассмотрения клаееоЕ групп с (йункциши длшш, -чья группа значений но злсяпма в /Я- . Но— следованию таких йункщс" дашш и посвящена большая часть диссертации. В июне 1991 года, когда всо результата бита опубличо-ванн и диссертация била готова, автор познакоичлся со статьей Ъасса [ 9] , вшюдшзЗ в 1991 году, в которой такяе цзучлогся функции дашш,чья группа значений нз влохшла в . Естествен- . но, что многие вспомогательные результаты совпадают. Однако принципиальными являются следующие различия : первое - в диссертации изучаются функции дакни как таковые, г то время как Басс изучазт группы, действующие но _Д - деревьях, и второе - группы со строго регулярной функцией длины ( ступенчатые группы) Еассом вообще не рассматривались.

Кромз функций длшш, в диссертация изучаются нродгрупш п их; связь с ф/шащяш длины. Прецгруппы били определены Столлпл-гсом [41] ,-Дальнейлое развита теория предгрупп получила в работах Ришшнгера [/<2] , который показал совпадение классов Фуп- , даменталышх групп графов групп п универсальных групп продгрутш. Наконец, Чизуэлл [¿3] и Хор полоз аля совпадение классов групп с целочисленной функцией длшш к универсальна групп пред-групп. .

Цель работы. Целью работы является изучение /I - архимедовых групп в случае произвольной упорядоченной абелеЕОй груши и в случае А.я 2м , гдо "7? - прямая су;.л;а п- копий , на которой рассматривается обрт'.чн?) лексш:огррг''И-ческнй порядок, а таюхе наведение мостов кзаду йгякцчюп . ни 51 продгруппаьш.

11этодшеа усслодоранпя.Основшэ метода последовала" ад.-ш из комбинаторной теории групп, доказательстве до.реь гюся'с комбдаатершй характер.

Рпучна-т ковлзп.м. Всо осносш: ртзуль'лггн раба ты я&гят-ся-иовал!. Догозшга 'ысколт-;х теорем о ссо!!о?вггс Л - гъхмдоыгх

трдПл, полностью оплсачо строение ступоичаттяс гру;п ¿а тя^: сьойол'йк гсоисягрукщй, а таккз усилен результат Чшуэлла о свк--35; дрели с продгрушаги и получено описание групп с це-

лочисленной (^'щсцнеп длины па язше цродгрупп.

Теоооттескач и практическая ценность.Работа носит теоре-тпчгзскяп характер. Зе результата и матодц могут найти применение т'.ри дальнейшее ясслод&ванпях в теории групп с функциями длины к е теэргш предгруцп, а такае е тех областях аягобры и логики, о которых говорилось выше.

Ашобяшш работы.Розуддтатн работы докладнвалисъ на Меа-дуняродноч конференции но алгебро< Барнаул, 1991г.),а таккэ на илтебрастоогла сешшарах крфедри алгббри Омского Госупивврсатата л согмпарлх "Теория групп" Омского комплексного отдо.г,;а ВЦ С0А11 ОСТР ц 1937 - 1990 годах.

Иуитл'.^цсиЗсдору.сзниэ диссертаций опубликовано в трех ра-с:от-пх,ст'сск которых приведен в конце автореферата.

Сгпгкгурп х: объем работа.Раба та состоят из введения, четырех глав л списка цитируемой латера-гурц, содэркащаго ЗЭ нояизш~ г.га'Ий. Работа изложена на 9? страницах машшшюного текста.

Г.раткое содортапие диссерташш.Глава I носит предЕарителъ-характер и содер-лт попятил,оцроделон/л и сводку результатов доугпу. авторов, тюльзувша в дальнейшем. Г главе II изучаются /\. - архимздоЕЦ группы. Ословнпм.1 результатами являются следующие теоремы. Продлолепчз 2.4. Пусть Сг - А - архимедово группе. Тогда каздцй оле-хн? из & ю.гаэ? не ослов одного корм любой степени. Теорема ИЛ. Еусл> <? ~ А - архимедова абелева группа с функцией дкшш р . Тогда

1) Д; - <£[а: '1, ¿с) - константа для всех V ^ ? (г :

2) Слезная аор.м;.о:а оцродоляох на • 6~ архшодову строго рэ-Х'у.":ярную йункпчп кгеш р' :

(

р '(*}

/О , а - У - 4

Р(х) - 2 ; я ф £

3) Если у.-) -г .то

если р(ос) - рСу) , то либо Л' = , либо Л ~ у"17

4) Существует вло:::енш У? : & -*Л такое, что

= \1(Я)\ 1% , л )

5) Дашюо вложение разбивает . О на по/.онате.д£нуи 6- и отрицательную £г полугруппы такдо, что

в)

Ш1П \ , Р(у) , ¿ьг/п Л = у, л ^ у ,

Здесь ¿¿1?¿г Со. - знак полугруппы, г.отора'1 прппа^хлт Я . 7) Существует только два влоденпя - ± % - с токдои ово?ствжи Теорема 2.2. Коммутирование на тожестве тодкшнцых: але^гсгов А - архимедово]" груплн оаредзляет отношение »явтоаязшяоети. Определение. Порядок на Л назовем обратим лекслогроОкгчеокпг.«, если А -- Л х & А г , и

С <*/, А) < (¿^А) <=>

* ~> Д*. юн //-'Л

В о том случае йунгаия длшн т коор.чппатш'з:

р = (рс , рх). Пусть * * £ , Рл^ " Обозначим:

Гуцек игзнвохь - лваоН , -право!: ассоциированной

подгруппой.

Теорема 2,2. Пусть /{ ~ A 11 порядок fi - обратный

.lOKcutorpaíiMccKiu'. относительно данного разложения. Пусть i € (у у рл (t) > О имеет нетривиальные ассоциированные подгруппа ; ßi . Тогда: i) Ai , .Вt ~ збзлевы подгруппы;

Í) пз двух разбшпиН At ! теорема 2.1 ) как абелевой группа одно ьиделяатся следует,eí с^орнуло?! :

f р(а) - ^ . а е А \ , [ ; « e/¡i .

Аналогично, { ' индуцирует рззбиашю :

f К , ** V ,

3) '1шет место фор;,-уда t ~ А* {. - )

4) Если ¿Ф Ссс-А^ , тс

' ¿Яя^ p(i"ai) - .

Глава 01 песвяцона нссде^ованш ступа ичатцх групп. Определение. Обоучгнияд ¿Г" прямую с;упггу босконечних щп'.~ л.ччоских, на которой определен обрат/-иН лзксикограТячесгай порядок. Тогда группа & называется стуиолчатсЛ висотц п., если на ко!: определена строго регулярная (Тутсцпя дл.шы со зпо^Т'ниш;." в .

'¿'7п:а\'.?я р разбирается на координатные оункции : р-(р{,рх,__,(>*)■ Слуноич-э J(a) элемшта се е 6 , па-

••лголггея веюзр шшФлььвй нздулэБоП ко^рдпнати. Тогда 0''0з;1зч1ьм

6> - {а с G . J(a) 4 е].

Для любого &е ¿ G- - íí в группа (j- ытеллотсх пеубывающиЛ ряд подгрупп:

■i = G0 ¿ ¿7 ^ ... ^ --

називаомш лзстпшдап G- . Тогда p¿ -целочисленная Ь'Нк-цпя-дашш на G-e , а ре =(P¿,_,ре) - Gí'poro_ регулярная функция д'нпш на со значошшш в ¿Zе . При- /i - / группа &¿ является свободной, так что основной метод доказательства утверждений - индукция но дяшю ластшшд (г , где начальным шагом'является проверка утверждения для свободно!! группн.

Пусть ¿(ос) - 6 . Тогда он называется С -атомом, если

из cv = и ре (л) - ре (у) f fe(¿)

еле,дует либо peí У)-О , либо ¡>е(й)~0.

Основпши результатами главп ы яв-шютея следующие tqojjoi.íu:

Теорема 3.1. Пусть А - аоелева подгруппа Q~ , Тсх'дч:

1) А - свободная абелзва группа ранга по вшз п ;

2) существует СО £■ G такой, что лпбой и е/4 г„»«оаг! вид: ti - X ~'с -¡Xе Л , где rf (т>'г, i?) ^'О ,

V e G- , сх А -л'е- /4о -

аболева подгруппа & ;

3) существует свободна базис /V/ , . . . , J vpymm А* я свободшгё базле { 111 * ... , -jf~xf P», ' .}

группн /} со свопстваг.й ;

<f(u¡, i<u() - рек- = p(p¿j > i (v¿; < ^с^-.л , /.' = ,.., ^ -f ;

4) существ:.-от разбиение " ''! (M U{¿}

и Ас ^ А о V A o iJ i 1 i 00 оро-:счтзагя1 :

а) А ' ^ /! ~ = M'J" ^ А~ i

/IсЯ', И"- ;

, е А * , -ц. € /Г ;

п)

(Ып {р(Н), рЫ) } ~ Р(*)} и= V, (

О.фед-элзаио. Пуста Т - множество элементов ступени € . Тогда Т пазивоэ^ся шюглством независимых адепэитов, под.: для любого сг, е Т ос. ф гр< &е.{ } 7 ^ {>?} > • Т?оо';ма 3.2. Пусть &■ -ступенчатая группа высота и с наглс* р . 'Гогда з водоллзтся систепг: шдшшоств

{ , , . . . , . Тг> \ таких, по •.

1) порождается и 7/ с 'Л ;

г7.

<;) либо пусто, либо явплетсл глаксиматьиш шкпосзххш {^зшяо'иск «томов ступени С ;

Л) <77 является И Л^'- расширенной ¿гу. < посредством Т} 4) кгху»;!у I 'и отвечает множество опредзлявддх слов

, где ¿¿¿-у,

ир>ж;л AtrBi удовлетворяют слодалаи требованиям; а> Ь{ л:К)о едкшлшю, либо максииальшю оболови подгрупп;.! . / ;

б) во второй случае , Д, будут своЗодюш абеловшп груаяаш радга по в;ие с ;

в) , Д, зскл^утл отпоегте.тлю чзапочошш корпя ;

г) Л, -- ^ - ;

д) } /> /1 ~' 1{ { ) дал лю-'юю * г.пдуш-.руот ргпбаошле ^ (Л^

к ; ' ^/'Ь

, таг: что

I р(Ю

д (£} и) =

Ч 1

ж) t (г -- А" , " 4 5) ас-:: "Х} { е Т/ ) $ £ ¿ту. ,,

= # /7 -^ >

з) для любого д с- С . для люб;, к гшксл^алл.'пг' пбт;-!,"' подгрупп Л, груши ¿V , ? ~ /г ) $

п Ь либо совпадают, либо чоросзкоттм та / Глава 17 воя отведена дтя ьсслт.док-пг-ит связи '"уитястй т.; с продгрупнапп.

Пуста задано шю;.;зстяо Р с г.гд-гугт'ьл г-.'ог/, i , ипгелтдн , Л £ Р лР и Ътофго'янте /я : ¿0->/>.

Г;.-дом, еслг по возникает путаниц:/, п слтг, л' ' вглсто

с (х) п ¿ту в.тгсто т (¿¡с, у). Запись Сл*, У)* опЕ'^ггтнп'Лк СX, а ^ . ^ __у ;л

д-™^/ « * да ^ - '

Определение. Структура }г называется щюдгруило-', если ВШ'1Ш! слад,'; го;1;]» сгспот: £{ ; ^ ^ • / -

: ¿х' 'сх г язе' /

то

I' одно из (Я,у2)л ч влечет дру-

гое и (ау)х) -- Ы,я, V, *)»

ВДеЧОТ либо , лкбо (

Универсальной группой продгруппп _Р называется группа со следующий продстантанпеп:

и(/>) -- <р\{яу(»(х, У)У', (Я, у)л } > .

Из определения следует, что всякая группа будет трепальной 'предгруппоП. р называется цредгруппово!! структурой для группы & , ослн _Р С (р) {р - , умножение на' Р

и (г ■ совпадает н & = XI (Р) .

Обозначил \/{ г {а £ р (а'/) у) # для любого уел?}. Будем называть последовательность ) элементов_Р

редуццровакяци словам, если (Лг, ж^) аля £-л■ Тогда всякое редуцированное слово определяет эледант универсальной группы.

Определил на Р .'Туикцшп р ■ Р ¿Г" следующим образом:

Р(се) ^О , р (:х ~ г) = р(я), р(л) — О только для <х £ V/ и Р(л) = р (У) > осли ■

Определим на ■ Ъ7 (Р) фушсцшо длшш (целочисленную) следуго-щич образом: если определяется редуцировахшыг.1 словом

(Я, — , ас и) , то />(?)* ¿1 р(ях ) . Иоли *

для всех Л £ Р \ V11 назовем та1:ую функцию стандартной и будем ее обозначать через Ь . Введем ряд дополнительна аксиом:

/Ь : (я, ук, (а,а)л>, мечет (а,?)* и (X, а)

дая любого г с Р '

РО :. {X, Л') е % ; РЬ'-- V, = ; РЗ ( .V ■

а

о

в

( >

'УШИ^еН

:>угапд1ог

либо я. , либо у , лг.бг> рП: лл <= V/ > я- <? \>1 .

'Гоперь сг,ор:зглпруем основные результата.

Предлолшг.о 4.3. Фупктъш р является ц.элочн<\тишю;1 длина на и(Р) , осл:; Р удовлетворяет £6 ■ Продло.-ение 4.4. Пусть (7 - группа с цшточчслоннсЛ длшш р . Тогдз структура Р - $31 р У ■[ атомч р $ с — {у) : се! у , ,х & Р 3 будет продгрупповоЛ структурой для О , удовлетворяющей Р6 . Таким образом, предгруппа определяет на универсально'. группа цели": масс функций длшш, называемых: ассоциированными с пред-группой.

Теорема 4.1. Пусть Р - предгруппа, р н нш функции длины. Тогда

>

< —>

<г = > г—>

е _£

ассоциирован-

1) ро

2) Р£

::>) Р 9 л) РЮ и) №

выполнена впполпена вшолнена выполнена вшолнена

на па на на на

Р Р

Р £

Р Р е г е

удовлетворяет удовлетворяет удовлетворяет удовлетворяет удовлетворяет

¿/1 ; А';/¡Я

г/, сг

СО ; СЗ .

лоследняя теорема характеризует группы с функциям:! длила пя ялике предгруип. Кроме этих тоором, в глава 1У щутедоня различные примеры предгрупп и их древоспоо предстпвлсшиз-

В заключение автор внрапает глубокую б ютдарлость В.Н.Ро-мослешглюову за постановку проблем, постояпгоо. вн.глапие к работе и поддержу, а такяо А.Г.Мясникову н В.А.Ронанькову, чьи советы и дружеское участзю способствовали заверзюпик) птоз-; работы.

Ji d Т Е Р А Т У Р А

1. Lyndon И. Length functions in groups//Math.Ssand.-1963.-V,12.-P.£09-234.

2. Лиццог P., Дупл II, Комбинаторная теория гру™»- ¡'К: Мир, ISOQ.

3. Chiswell «J.M. Length functions and free products with amalgamation of groups// Preo. London Uatn.Soc.-1981.-V.3.-P.42-58.

4. Chiawell J.M.• Embedding theorems for groups with an .integer-valued length function// Math.Proc.Cambridge Philos. Soo.-1979.-V.85. P.451-463-

Chiswell J.M, Abstract length functions in groups J J Math. Proc. Cambridge Philoa.Soc. - 1976.- V.85.- P.417-429.

6. Alperin R.C.1 Moss K.N. Complete trees .tor groups with a real-valued.length function // J.London Math.Soc,-1935.-V.31.-P.55-68.

7. Alperin R. C., Bass H. Length functions of group actions on A - trees // Ann.of Math.Stud.-1987.-V.111»-

P.256-378.

8. Ремесленников В.II., Зубков A.H. Уравнения в группе с функцией даинн // УЫН.- 1991.- » 7-8.

9. Bass Н. Group actions on non-archimedean -crees, Arboreal group theory // Springer^-Verlag.-1991»-P.70-131.

10. Promioliv D. Equivalence classes of length functiona in groups // Proc.London Math.Soc.-1985.-V.51.-P.448-477.

11. Шсси У., Столдингс Дж. Алгебраическая топология. Введение,-М.:Мир, IS77.

12.Rimlinger i'.S. Pregroups and bass-Serro Theory//Mea. Алег. Mat h,Soc.-19a7•-V. 361.

13. Chiswell I.M. Pregroups and length functions // Proc. Edinburgh Math.Soc.-19ti7.-V.30.-P.57-67.

14. Hoare А.И.М. Pregroups and length functions // Math. Proc.Cambridge Phil.Soc.-1988..104.- P.21-30.

Работы автора по теме диссертации:

15. Лопатков М.Г. Дредгрудпы и функции длины: Препринт/,/ Щ СО АН СССР.-1990.- Ш31.

16. Лопатков М.Г. Ступенчаты; и ' А - архимедовы грунта: Препринт // ВЦ СО АН OCGP.- 1991,- I* £21.