Спектральные характеристики операторов Лапласа-Бельтрами в пространствах Лобачевского тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

/ Л г

¡1

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ь-

На правах рукописи УДК 515.12

ПАРНОВСКИЯ ЛЕОНИД БОРИСОВИЧ

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОПЕРАТОРОВ ЛАПЛАСА-БЕЛЬТРАМИ В ПРОСТРАНСТВАХ ЛОБАЧЕВСКОГО

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук .

Москва - 1991

V ь

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. Ы.В. Ломоносова.

Научный руководитель-доктор 6хз"к0-у.атзг.ат1г-:аск;1х наук, профессор Б.М.Левитан

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А.Б.Венков, доктор физико-математических наук, профессор В.Н.Чубариков.

Ведущая организация - Харьковский физико-технический институт низких температур АН Украины.

Защита диссертации состоится " _19<£г.

в 16 час. 05 мин. на заседании специализированкгго совета Д.053.05.О при МГУ по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета ЮТ /14 этаж/.

Автореферат разослан

" 10 " О&СШМА 1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д.053.05.04 при МГУ доктор физико-математических наук

Т.П.Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена спектральной теории операторов Бельтра-ми-1апласа, рассматриваемых на фундаментальных "областях действия дискретных групп движений л-мерного гиперболического пространства

Актуальность теш. Вопрос об изучении спектров операторов Лапласа-Бель трами Л на римановых многообразиях актуален узе давно.Сдлн из часто встречающихся случаев здесь - многообразии постоянной отрицательной секционной кривизны. Кавдое такое многообразие/предстзЕ-

возникает вопрос об изучении спектра оператора Л с областью определения, состоящей из функций, определенных на И" и-автоыорфных относительно действия какой-либо дискретной группы Г.

Поскольку явное вычисление собственных значений операторов А как правило, невозможно, особый интерес приобретают асимптотические методы изучения дискретного спектра. Заметим, что в случае, когда ./¿У/"компактнОт-оператор—&—строго эллиптичен, а его спектр чисто дискретен, поэтому этот случай изучался в первую очередь.

Б 1956 году вншла знаменитая работа А.Сельберга [I], в которой выводится формула следа, выражающая, в случае п= 2 , регуляризо-ваяный след оператора А через некоторые геометрические характеристики группы Г Затем, используя эту формулу, удается построить эффективные оценки ряда Дирихле специального вида, так называемой дзета-функции Сельберга.

Данные оценки имеют множество применений: с их помощью получаются, например, асимптотичвеки дискретного спектра и норм классов сопряженности гиперболических элементов. Даннаа схема часто использовалась в дальнейших исследованиях (в работах [2] и _[3] рассматри-

[1] А.ШЬегд. Harmonic analysis and dkcon-iinuons. groups ¿л ureaty Symmetric JPlemannian ¿paces m-Lh apptieaiions io ¿)Cric<A/s/ Series///, ¿nd. TTlaih. Soc. - 1956.-V.20- P.47-8?

[2] Дж.Эльстродт, Ф.Грюневальд, Дж.Ценнике. Непрерывные группы в трехмерном гиперболическом пространстве: Аналитическая теория и арифметические приложения// УМН, 1983.- Т.38, вып.1.- C.II9-I47

[3] R.bangollL. Zzta-functions of SeiSerg's iypz -for Compocci spaot ■forms of 8ymm<ilri<i Spaat% о/ rani one// Jilinois J. /Tioih

V. 2/. - P-¿-12.

(пространства Лобачевского) И"

ляет собой гиперболическое действию дискретной группы

/

заются соответственно кокомпактные грушш без кручений и кокомпактные грушш, действующие в И3). Первая глава настоящей работы посвящена получении аналогичных результатов в наиболее общем случае.

Эце одним следствием из формулы следа является возможность получения теорем типа Хубера [41,.характеризующие свойства изоспект-ралькых групп Г . Так, в работах [4] и [3] (для случаев П = 2 и -п = 3 соответственно) было доказано, что у изоспектралышх групп совпадают спектры длин (в случае групп без кручений - длины замкнутых геодезических на И"¡Г) и эллиптические числа. Аналогичный результат (вместе с определением эллиптических чиселГ'для произвольного доказывается в диссертации.

Эце один круг вопросов, рассматриваемых в работе, касается асимптотики дискретного спектра задачи Дирихле, рассматриваемой на регулярных многогранниках (т.е. фундаментальных многогранниках для групп, порожденных отражениями; отметим, что рассматриваемые многогранники не обязаны быть компактными). Ранее в работах Бенкова [5, б] и Кузнецова [7] данный вопрос рассматривался в случае п = 2 (наиболее интересном случае). В работе [6] с помощью построения соответствующей дзета-функции удалось получить три члена асимптотики М(Х) - считающей функции дискретного спектра. В диссертации с помощью метода волнового уравнения также получено три члена асимптотики

А) (отмети.!, что третий член имеет более ясный геометрический смысл, чем в [6] - это регуляризованный периметр многоугольника); В случае п » 3, а также для многоугольников, лежащих в евклидовых пространствах , в работе получено всего два члена асимптотики Д^А), а также п членов асимптотики усреднения М(Х) по Риссу.

[4] Н.На£ег. 2иг ок<х1у{С2о/кгп ТНеогс£ /гурег-БоИ^сАег £аагп/о>Л1е/у{/ ГПо^Лпп.- т9.-и/30. - /ЯГ/- У.^.-Р ¿&-398.

[5] А.Б.Венков. Формула следа Сельберга и неевюшдовые колебания бесконечной мембраны// ДАН СССР, 1978,- Т.240, К 5.- С.1021-1024

[о] А.Б.Венков. Спектральная теория авгоморфных функций// Тр. МИАН,

1981.- Т.153.- С.1-172

[7] Н.В.Кузнецов. Распределение норм примитивных классов модульной группы и асимптотические формулы для собственных значений оператора ЛаплаС2-Бельтрами на фундаментальной области модулярной группы// ДАН СССР, 1978.- Т.42, » I.- С.40-43

Цель работы. Вывести формулу следа Сельберга для произвольных кокомпактных груш двиаений п ' в наиболее явном вида, исследовать с ее помощью аналитические свойства дзета-функции Сельберга и спек-тральтральные асимптотики оператора Лапласа-Бзльтрами- с автсморфны-ш граничными условия®. Исследовать асимптотики дискретного спектра задач Дирихле и Неймана .рассматриваемых Еа регулярных многогранниках (быть ыозет, с бесконечноудаленнкми вершинами).

Натчкая новизна. Основные результаты диссертации состоят в следующей.

1. Получена формула следа Сельберга дня произвольных кокомпактных групп двияений Нп, явно вычислены вклады в эту формулу от всех классов элементов группы.

2. Доказана теорема о равенстве спектров длин и эллиптических' чисел у изопериметрических "кокомпактных групп/

3. Изучены аналитические свойства дзета-функции Сельберга.

4. Получены асимптотические фортгулы для функций распределения дискретного спектра и норм классов сопряженности локсодромических элементов.

57~Полученн 'асимптотические формулы" для функции распределения дискретного спектра задачи Дирихле, рассматриваемой на регулярном многограннике, лежащем в пространствах Евклида и Лобачевского.

На защиту втаосятся следтадие результаты.

1. Формула слада Сельберта для кокомпактных групп.

2. Аналитические свойства дзета-функции Сельберга.

3. Асимптотика функции распределения собственных значений задачи Дирихле на регулярном многоугольнике в плоскости Лобачевского.

Практическая сенность. Диссертация косит теоретический характер. Полученные результаты могут применяться в спектральном анзлизе операторов Лапласа-Еельтреми в гиперболических пространствах.

Апробация работ. Результаты диссертации докладавались автором на Всесоюзных п международных конференциях и школах, в том числе на Международной конференции, посвященной 90-летии со дня роздзния акад. И.Г.Петровского (МГУ, 1991 г.), на конференциях з г.Москве (IS37 и •1950г.т.),в Черноголовке (1989 г.), на сэшнарах в МГУ (руководители проф.Б.М.Левитан, проф. А.Г.Коствченко, проф. А.А.Шкаликов).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двух работах автора, они приведены в коецз автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, вклшчапцих семь параграфов, и списка литературы, содержащих 22 наименования, объем диссертации £¿Р страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко изложена история вопросов, рассматриваемых в дгссертации, сформулированы ее основные результаты, а такка сообщены необходимые общие сведения.

3 первой главе содержится вывод формулы следа Сельберга для произвольных кокомпактных групп,.действующих в Н , а такие различные приложения этой'формулы. п

Мы рассматриваем модель Пуанкаре для Н в виде верхнего полупространства {з.=(х,,...,хпч , у))с метрикой

± (¿ф... + с!л*,-с/у*) ' (I)

Пусть ГС 80т(/уп) - дискретная группа собственных двивений Нп такая, что И"/Г компактно. Ыы изучаем спектр оператора Лапласа-Бель-тра;.я, порозденного метрикой (I), область определения которого состоит из автоморфных относительно действия Г функций.ббо значим через 0-Хо<- А, спектр Л .Положим г^ = У Л* -

В §1 гл.1 выводится формула типа Сельберга, выражающая регуля-ризованный след (где /г(?) - преобразование Фурье гладкой

финитной функции) в терминах норм классов сопряженности локсодромических элементов Г и некоторых величин, характеризующих эллиптические элементы Г (т.наз. эллиптических чисел Г ). В формулу входит очень много еовых величин, определяемых в работе, поэтому, в связи с недостатком места мы лишены возможности привести ее здесь.

В §2 гл.1 формула следа Сельберга применяется для доказательства теоремы Хубера в нашем случае:

Теорема 1.2.1. а) пусть Г^ и Гг - две кокомпактные группы, спектры которых совпадают за исключением, быть кокет, лишь конечного числа собственных значений. Тогда спектры, спектры длин и эллиптические числа групп Л * Гг совпадают;

б) пусть 77 и - две кокомпактные группы, спектра длин которых совпадают за исключением, быть ыокет, лишь конечного числа элементов. Тогда спектры, спектры длин и эллиптические числа групп Г, " Гц созпадззт.

3 §3 гл.1 определяется дзета-функция типа Сельбрега для нашего случая и исследустся ее аналитические свойства с помоцью формулы

Пусть Г -ко компактна я группа движений Hn,S££ , fieS * ■ Положил

Q(S]-'0(S,rJ:=-¿г

(здесь суммирование ведется по всем классам сопряженности локсодромических элементов, jVf-j означает норму, - любой примитивный локсодромический элемент, соответствующий

/ . 2С(<Г) - количество таких примитивных элементов, ■ С^ (f) - некоторая явно выписываемая ограниченная константа).

С помощью формулы"сл'еда удается доказать, что Q(S) - меро-морфная функция, причем, существует такое натуральное число А=А(Г) (если п нечетно, то А =1), что вычеты во всех полюсах (которые являются простыми)AQ(S) целые. Поэтому следующее определение корректно: s

Определение 1.3.1. Z(S)= e#p[j 2ASQ(S)¿S] называется дзета-функцией типа Сельберга группы Г.

Теорема 1.3.1. !(&)- мероморфная (целая, если п нечетно) функция на всей комплексной плоскости. Б точках ±i?t расположены нули 2(S) (нетривиальные нули), кратность каждого такого нуля равна кратности соответствующего собственного значения, умноженного на А(Г)- В случае нечетного п этими нулями исчерпываются все нули 2(B) • В случае четного п «¿(S) может иметь в точках как нули (тривиальные нули), так и полюса, причем цри п^ о (mod4 ) число тривиальных нулей конечно, а при п^2(mod4)конечно число полюсов.

Если 3(S) - целая функция (например, если п нечетно, или п = 2 (mod4) , и Г не тлеет кручений), то она имеет порядок п и конечный положительный тип.

В §4 гл.1 полученные оценки используются для получения асимптотики Я(Х):

Теорема 1*.4.1. При Л, —оо справедлива следущая асимптотическая формула:

N(X):=H 1 = \Н"/г\Сп\п/<+0(^)

(здесь ¡.j обозначает гиперболический n-мерный объем, Сп = (2 2 • ■ 3ï ^п !!) ~1 при нечетных п , и Сп - п//]~1 при четных а ).

В §5 гл.1 результаты §3 используются для асимптотики функции распределения классов локсодромических элементов

Определение 1.5.1. Положим м^нГЩТ (сУЩ!ИРован2е

производится по всем классам сопрягенности локсодромических элементов с нормой, не превосходящей X ).

Теорема 1.5.1. При справедлива следующая асимптотичес-

кая формула: /

и * 0(Х

где £>0 произвольно, //••=тах1, .

Во второй главе исследуется асимптотика функций распределения собственных значений задачи Дирихле на регулярном многограннике.

Определение 2.1.1. Назовем многогранник Г, лежащий в Нп или МП • регулярным многогранником, если все его двугранные углы имэют видй/* иех , ИЛИ ).

Данное-определение в точности эквивалентно тому, что группа Г порозденная отражениями относительно сторон/', дискретна, а Г является фундаментальной областью для Г.. Это позволяет нам применить технику волнового уравнения для вычисления нунной асимптотики. Заметим, что, дане если Г содержит бесконечно удаленные вершины,спектр

-----задачи-Дирихле чисто дискретен.----- - - • • - --------

В §1 гл.2 рассматривается случай многогранников (многоугольников)/' , лежащих в Н2. Расположим Г таким образом, чтобы какая-либо бесконечноудаленная вершина Г" имела координату .а

примыкащиб к ней стороны Р имели вид и

соответственно (такого всегда можно добиться с помощью гиперболических двикений Иг).

Определение 2.1.2. Существенной длиной сторои, примыкающих к бесконечноудалэнной верпшне (и имеащсс бесконечную длину), назовем -Ьгу,, и -{п^! соответственно. Существенной дадной Бсех остальных сторон назовем их обычную длину. Существенным периметром (Рс) многоугольника Г назовем сумму существенных длин всех его сторон,

Теорема 2.1.1. Для функции распределения собственных значений задачи Дирихле

СПрЗВбДДШЕЗ следующая 8СИМПТ0ТИКЗ прл л —и> сх5 ;

1 где И означает неевклидову площадь Г , а т - это число вершин р , лежащих на бесконечности.

В §2 гл.2 рассматривается случай, когда РСН"(р2.з), или ГСМ"

Теорема 2.2.1. При А-~оо справедлива следующая асимптотика:

где |/*| и |Э.Г| - n-мерный объем Г и (/7--/ )-мерный объем его границы ЪГ соответственно, п!!)'1,

' ütl"/i~>(n-i)!!)' (['] означает целую часть).

Теорема 2.2.2. При А — со справедлива следующая (/г.-членная) асимптотика усреднения по Риссу:

■ ? \d\ciy ф"т"),.

А/СГ

где последнее суммирование проходит по всец (n-j )-мерным граням Г Ai, ) - (n~j ) -мерный объем Á( , С* • зависит лишь от угла при А'к tf¿j~ (символ Кронекера) для многогранников /* ,

л&жащих в $¿n, в противном случае <j¿j .зависят лишь от i.

Автор глубоко признателен своему научному руководителю профессору Б.М.Левитану за постоянное внимание к работе и помощь.

Основные результаты диссертации опубликованы в следуицих работах автора:

1. Пзрновский 1.Б. Об асимптотике дискретного спектра задач Дирихле и Неймана из фундаментальной области кристаллографической группы// Мат.заметки, 1989.- Т.45, вып.5.- С.63-69.

2. Левитан Б.М., Пзрновский Л.Б. Об асимптотике дискретного спектра задач Дирихле и Неймана для оператора Лапласз-Бельтрами на. регулярном многограннике в пространстве Лобачевского// Функциональный анализ и его приложения, 1990^- Т.24, вып.1.- С.21-28.

Пусть Г -кокомпзктная группа движений Н", 3£I, •

Положим

(здесь суммирование ведется по всем классам сопряженности локсодромических элементов, ]/(•) означает корму, /р - любой примитивный локсодромический элемент, соответствувдий / , 2С(/) - количество таких примитивных элементов, - (/) - некоторая явно выписываемая ограниченная константа).

С помощью Формулы "следа удается доказать, что 0(&) - меро-морфная функция, причем, существует такое натуральное число (если п нечетно, то -4 =1), что вычеты во всех полюсах (которые являются ъ&ойшт)4С/(!>) целые. Поэтому следующее определение корректно: $

Определение 1.3.1. 2(3)= еяр[ Г2АЗО(5)с1$] называется дзета-функцией типа Сельберга группы Г.

Теорема 1,3.1. 2(5)- ыероморфная (целая, если п нечетно) функция на всей комплексной плоскости. В точках расположены

нули Л(3) (нетривиальные нули), кратность каждого такого нуля равна кратности соответствующего собственного значения, умноженного на А (Г)' В случае нечетного п этими нулями исчерпываются все нули 2(3) • В случае четного п «ЗД?)может иметь в точках {- ^■}(к*о) как нули (тривиальные нули), так и полюса, причем цри п&о(тоЫ4) число тривиальных нулей конечно, а при /2= 2(тоа[4)конечно число полюсов.

Если ) - целая функция (например, если п нечетно, или Пг~ 2(тос?4) , и Г не имеет кручений), то она имеет порядок п и конечный положительный тип.

В §4 гл.1 полученные оценки используются для получения асимптотики Л(2):

Теорема Г.4.1. При А-~оо справедлива следущая асимптотическая формула:

\ / — [здесь ¡-| обозначает гиперболический п-мерный объем, Сп = (2 2 •

• п!!)'' при нечетных п , и Сп - (2$ п//)~* при четных п.).

В §5 гл.1 результаты §3 используются для асимптотики функция >аспределенЕя классов локсодромических элементов

Определение 1.5.1. Пологим •&(&)ы(/,)л3гщт (суммирование производится го всем классам сопрякенности локсодромических элементов с нормой, не превосходящей ¿с ).

Теорема 1.5.1. При .г—справедлива следущая асимптотическая формула:

¿V * о (Xт'*).

тпе$>0 произвольно, М: = та-х]к1& ^ * О], {££:=/—■ .

Во второй главе исследуется асимптотика функций распределения собственных значений задачи Дирихле на регулярном многограннике. Определение 2.1.1. Назовем многогранник Р, лежащий ъ Ип или , регулярным многогранником, если все его двугранные углы имеют вид £/к (кеХ , или ).

Данное -определение в точности эквивалентно тому, что группа Г порояденная отражениями относительно сторон Г, дискретна, а является фундаментальной областью для Г. Это позволяет нам применить технику волнового уравнения для вычисления нугной асимптотики. Заметим, что, даке если Г содержит бесконечно удаленные вершшы.спект]

---задачи Дирихле.чисто дискретен.— ......... • - ------

В §1 гл.2 рассматривается случай многогранников (многоугольников)/' , лежащих в И2. Расположим Г узким образом, чтобы какая-либо бесконечноудаленная вершина /* имела координату у»оо , а примыкащие к ней стороны Р имели вид /з/^-Зу5^/ 2 /я/я^у^ соответственно (такого всегда можно добиться с помощьв гиперболичес ких движений Уг).

Определение 2.1.2. Существенной длиной сторон, прямыкапцих к бесконечноудаленной вершине (и имепцкх бесконечнуэ длину), назовем - (пи -1пу, соответственно. Существенной длиной всех остальных сторон назовем их обычную длину. Существенным периметром (Рс) мног< угольника Г назовем сумму существенных длин всех его сторон,

Теорема 2.1.1. Для функции распределения собственных значений задачи Днрихле справедлива следующая асимптотика при Л :

р х* - § Л 1п 1 - X о(л)

1 где означает неевклидову площадь Р , а пг - это число верши р , лежащих на бесконечности.

Б §2 гл.2 рассматривается случай, когда Р, ил