Характеризация спектральных данных гармонического осциллятора, возмущенного потенциалом с конечной энергией тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

на правах рукописи

ЧЕЛКАК Дмитрий Сергеевич

ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ ДАННЫХ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА, ВОЗМУЩЕННОГО ПОТЕНЦИАЛОМ С КОНЕЧНОЙ ЭНЕРГИЕЙ

01.01.01 математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2003

Работа выполнена на кафедре математического анализа математи-ко-механического факультета Санкт-Петербургского Государственного Университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор физико-математических наук, доцент Каргаев Павел Петрович

НАУЧНЫЙ СОРУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор физико-математических наук, доцент Коротяев Евгений Леонидович

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук, доцент Васюнин Василий Иванович,

кандидат физико-математических наук, доцент Суханов Владимир Владимирович

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Российский Государственный Педагогический Университет им. А.И. Герцена

Защита состоится в часов на заседании

диссертационного совета Д 002.202.01 в Санкт-Петербургском Отделении Математического Института им. В.А. Стеклова РАН по адресу: 191023, наб. р. Фонтанки, д. 27, к.311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского Отделения Математического Института им. В.А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан

Ученый секретарь ГТ^ _

диссертационного совета Д 002.202.01

доктор физико-математических наук А.Ю.Зайцев

2-p qj-A

Общая характеристика работы

Актуальность работы. В диссертации изучается обратная спектральная задача для гармонического осциллятора, возмущенного потенциалом. История обратных спектральных задач восходит к середине XX века к работам таких авторов, как G. Borg, N. Levin-son, И.М. Гельфанд и Б.М. Левитан, В.А. Марченко, М.Г. Крейн, Л.Д. Фаддеев и др. Первой, в связи с квантовой теорией рассеяния, была исследована обратная задача рассеяния на полупрямой. В 1955г. М.Г. Крейн и В.А. Марченко получили необходимые и достаточные условия на «S-фуикцию, соответствующую потенциалу из определенного класса. Необходимо также упомянуть процедуру явного построения потенциала по спектральной функции, полученную И.М. Гельфандом и Б.М. Левитаном [1]. Обратная задача рассеяния на всей прямой была (с некоторыми неточностями) в 1964г. решена Л.Д. Фаддеевым [2]. В 1979 г. P. Deift и Е. Trubowitz [3| показали, что теорема Фаддеева справедлива лишь при некоторых дополнительных условиях и дали ее новое доказательство.

Наряду с обратными задачами рассеяния изучались и такие задачи, в которых естественный набор спектральных данных является не одной или несколькими функциями, но некоторым счетным множеством параметров. Хорошо известна обратная задача для оператора Шредингера с периодическим потенциалом (оператора Хилла). В 1984г. J. Garnet и Е. Trubowitz [4], опираясь на работу В.А. Марченко и И.В. Островского [5], доказали, что отображение, сопоставляющее каждому четному потенциалу с нулевым средним последовательность длин лакун спектра со знаками, выбранными неким специальным образом, является вещественно-аналитическим изоморфизмом соответствующего подпространства L2[0,1] и i2. Позднее (1997г.) П.П. Каргаев и Е.Л. Коротяев [6| существенно упростили доказательство этой теоремы.

Третий класс обратных задач - задачи с дискретным спектром. В 1987 году J. Poschel и Е. Trubowitz опубликовали монографию [7j, посвященную обратной спектральной теории для задачи Дирихле на конечном интервале. В частности, они показали, что множеством всех возможных возмущений спектра оператора Штурма-Лиувилля с граничными условиями Дирихле на промежутке [0,1] является некоторое естественное подмножество пространства £2.

В диссертации рассматривается семейство операторов Шредингера с чисто дискретным спектром, отвечающих гармоническому

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ , БИБЛИОТЕКА

осциллятору, возмущенному (убывающим) потенциалом. В 1981 году Н.Р. МсКеап и Е. Trubowitz (8) изучили задачу восстановления потенциала по спектральным данным в случае, когда спектр возмущенного оператора совпадает с исходным, а дополнительные спектральные данные быстро убывают. F. Gesztesy и В. Simon [9] в 1996 году доказали единственность четного потенциала на всей прямой, соответствующего фиксированному дискретному спектру. Однако, несмотря на интерес, вызванный физическими задачами, до последнего времени не было получено явного описания множества допустимых спектральных данных, соответствующих потенциалам из какого-либо достаточно широкого класса.

Цель работы. Целью диссертации является изучение следующих трех, типичных для обратных спектральных задач, вопросов:

(i) Единственность. Найти набор спектральных данных Ф(q), однозначно определяющих потенциал q.

(ii) Характеризация. Полностью описать множество спектральных данных, отвечающих какому-либо заданному классу потенциалов, и свойства гладкости отображения Ф.

(iii) Восстановление. Найти алгоритм построения q по Ф (q).

Методика исследований. В диссертации используется подход, предложенный J. Pöshel'eM и Е. Trubowitz'eM в монографии [7] в сочетании с точными асимптотиками спектральных данных для потенциалов из рассматриваемого класса. Также активно используется представление пространства спектральных данных в виде специального класса функций, аналитических в единичном круге.

Научная новизна и значимость работы. Представленные в диссертации результаты получены в период с 2001 по 2003 год и все они являются новыми. Работа носит теоретический характер, помимо решения обратной спектральной задачи для возмущенного гармонического осциллятора она содержит в себе также общую схему исследования (развивающую подход, изложенный в [7]), которая может быть применена к другим задачам. Кроме того, в диссертации введены ранее не изучавшиеся пространства аналитических функций, свойства которых представляют несомненный интерес в связи с их естественным "физическим" происхождением.

Практическая значимость работы определяется возможностью применения полученных результатов к численному восстановлению потенциала по спектральным данным и возможностью применения разработанных методов к другим обратным задачам.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по математическому анализу в Санкт-Петербургском отделении Математического Института РАН им. В.А. Стеклова, семинаре по математической физике Потсдамского Университета (Германия), а также на XII Санкт-Петербургской летней конференции по математическому анализу (2003 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы две печатные работы [1], [3], еще две работы подготовлены к печати (опубликованы препринты [2|, [4]).

Структура и объем работы. Диссертационная работа, объемом 106 страниц, состоит из девяти глав, разбитых на 43 параграфа и списка литературы, содержащего 36 наименований.

Содержание работы

Первая глава содержит исторический очерк, постановку задачи и изложение основных результатов работы. Рассмотрим кван-тово-механический гармонический осциллятор Т°у = —у" + х2у, действующий в пространстве Ь2(Ш). Хорошо известно, что спектр оператора Т° чисто дискретен и состоит из простых собственных значений = 2п+1, п ^ 0. Положим

Т"у = -у" + х2у + я(х)у.

При весьма слабых ограничениях на потенциал <? спектр оператора Тч также чисто дискретен и состоит из последовательности простых собственных значений

Мя) < М<?) < А2(д) < ...

Обозначим через фп{х, д) соответствующие собственные функции. Следуя работе [8], мы вводим нормирующие постоянные

1/„(д) = Цт 1о£

х|оо

Фп{~х, д)

11т к^

®Тоо

( ЦП Фп(х,д)

Отметим, что все нормирующие постоянные обращаются в нуль, если (и, как показано ниже, только если) д(х)~д(—х).

Определим отображение, сопоставляющее каждому потенциалу набор спектральных данных:

Ф : д - Ф(9) = (Л(9); АГ(Ч)) = ({А„(<?)}С° I К(9)}§°) • (1)

Рассмотрим вещественное пространство потенциалов

H = : ¡|9||2H-||(T°)^||2L2(Rp||xg||i2(R) + |k'|||2(R)<+cx>} . (2)

Нам понадобятся вещественные гильбертовы пространства последовательностей

а также соответствующие им пространства функций, аналитических в единичном круге ©={z : |z|<l}:

НЩ = {№ = En>ofnZn ■■ II/IIHWj =||{/n}8°lk'<+Oo} .

Отметим, что для г ^ 0 справедливо HWÇ = Я2(©) П W%(T), где Я2(Ю) - пространство Харди в единичном круге, a W£(T) - пространство Соболева на единичной окружности Т = {С : |С| = 1} (здесь и далее мы отождествляем функцию f(z) G Н2(Щ и ее граничные значения /(Ç)€L2(T)). Кроме того, HW¡cC(B), r> \ . Введем пространство спектральных данных НфНо-

n = {h = {hn}^:Y:n>0hnzn = (í-zrif(z), /еЯИ^4}, (3)

Но = {h&n : . (4)

При этом мы определяем норму в гильбертовом пространстве Ti посредством равенства

MH = \\f\\HWv*.

Пусть также

S = {h= {h„>S° G H : Ag + ho < A? + Ы < A^ + h2 < ...} . (5)

Ясно, что Но является замкнутым подпространством коразмерности 1, a S - открытым выпуклым подмножеством Tí.

Теорема 1.1 (Характеризация спектральных данных).

Отображение Ф—Ф(0) есть вещественно-аналитический изоморфизм пространства потенциалов H и множества допустимых спектральных данных S х TÏq .

Необходимо отметить, что необычное пространство Н®Но абсолютно естественным образом возникает при рассмотрении линеаризации отображения Ф — Ф(0) в окрестности потенциала <? = 0. В доказательстве теоремы 1.1 мы существенно используем идеи обратной спектральной теории для задачи Дирихле на отрезке [0,1] (см. [7]). При этом предлагаемая схема рассуждений требует лишь минимальной информации о пространстве спектральных данных. Отметим также, что преобразование коэффициентов аналитической в В функции, соответствующее оператору /(г) I—(1 — г)~а/(г), известно, как суммирование по Чезаро порядка а, однако свойства пространств И, Но, по-видимому, не исследовались ранее.

Следующие две теоремы описывают некоторые из этих свойств. Первая из них содержит вложения, связывающие Но и шкалу весовых пространств I£. Другими словами, мы описываем "скорость убывания" допустимых возмущений спектральных данных в терминах пространств 12.

Теорема 1.2. (%) Каждая последовательность {Л,п}о° еН единственным образом представляется в виде = ?; • + , где V € К и € Но ■ Отображение Л «-> (у, /г^) является линейным изоморфизмом пространств Н и Ш<ЭНо . Кроме того, если к — Л(</)—Л(0), деН, то ь — 1Т~х q{t)dt. Наконец, справедливы вложения

е*/4 с н0 с . (6)

(И) Если последовательность к = такова, что /гп | 0 и

/гп_1 — Лп | 0, п —> оо, то условия Л € Но и Iг £ равносильны, (т) Если последовательность Л — {/гп}о° такова, что для некоторого з и всех п среди /г„ , Лп+1,..., Лn+J есть числа разных знаков, то условия Л € Но и /г £ равносильны.

Замечание. Индексы | и | в (6) нельзя улучшить, что непосредственно вытекает из второго и третьего пунктов теоремы. Качественное различие допустимых "скоростей убывания" последовательностей из пространства Но, удовлетворяющих условиям пунктов (И) и (Ш), подчеркивает его интересные свойства.

Вторая теорема относится к задаче аппроксимации элементов Но конечными последовательностями. Введем операторы сдвига

5(/10, /и , Лг ,.. •) = (0. Ло»/и , • • •) 1

5»(/г0, Л] , /12 , ■ - -) = (/»1, 1г2 , Л-з ,•••)• Несложно проверить, что 5,5« € С (Но , Но). Положим

Г„(Ло, /11, /)2, • • •) = (о,... , о, Л„ , Лп+1 ,...).

Отметим, что операторы Г„ являются ортогональными проекторами во всех весовых пространствах . Кроме того, если /1 £ , то ТПЛ —» 0 в £2 при п —> оо. Другими словами, последовательность конечных "срезок" (/ — Т„)Л= (Ло ,..., /¡Т1-1,0,0,...) всегда аппроксимирует исходную последовательность Л в . Оказывается, что в Но это неверно. Поэтому мы нуждаемся в регуляризации последовательности операторов Тп . Пусть

1 " п '

т=1

I /»1 , Ь,2 ,. ..) = (0,-/11,... •-Л»-1 , /»п , /»п+1 > • • •

\ П П

Теорема 1.3. (г) Для каждого элементна И, € Но найдется такая последовательность индексов Пк(Ь) | оо, что И^п^/^ЛЦ^ —* 0 . (и) Справедлива оценка ||Тп||,с(Ио М,) ^сиу/кщп, где а>0 - некоторая константа. Кроме того, существуют элемент Л* 6 Но и последовательность индексов п*к Т оо, такие что |) * Л-* [| —> +оо. (иг) Справедлива оценка ||Уп||£Сн„ ,«<0 ^ п, где а > 0 - некоторая постоянная. Кроме того, для каждого элемента Н € Но выполняется ЦК^Ц-н,, 0, п -> оо.

Последняя теорема тесно связана с задачей восстановления потенциала по спектральным данным. Для того, чтобы проиллюстрировать эту связь, ограничимся рассмотрением простейшего

■

случая подпространства

H°„en= jgsH : q(-x) = q{x), /R«(t)A = o|

четных потенциалов с нулевым средним. Из доказательства теоремы 1.1 вытекает, что отображение Л — Л(0) есть вещественно-аналитический изоморфизм Н^гп и множества допустимых спектров

«So — {Л = (Мо° 6 «о : Ag + ho < А? + hi < А^ + h2 < ...} .

Рассмотрим элемент h* пространства Tío > построенный во втором пункте теоремы 1.3 и соответствующий ему допустимый спектр. Тогда существует единственный потенциал q*, такой что

q* € H°„en, Xm(q•) = A°m+h*m, 0.

Также, для каждого п>0 найдется (единственный) потенциал <7^, такой что

9М6Н1, Am(fl<n>) = A°, + /&, m<n, W°) =

Отметим, что при этом последовательность может быть явно

построена по возмущению спектра h* при помощи теоремы 7.5.

Естественно было бы ожидать, что потенциал q* может быть получен из с/™' при помощи процедуры предельного перехода, однако это не так. В силу теоремы 1.3 имеем ||Гп/г*||к„ -/> 0 при п —» оо, а значит последовательность "срезок" hSn^ — h* —Tnh* не сходится к исходной последовательности h* в пространстве спектральных данных Но - Следовательно, q^ -/> g' в Н, поскольку отображение Л — Л(0) является изоморфизмом. Таким образом, если мы будем рассматривать потенциалы г/^ при больших значениях N в качестве аппроксимации q*, то нет никакой гарантии, что норма — д*||н будет мала. Напротив, эти нормы неограниченно растут для последовательности индексов п*к Т оо. С другой стороны, найдется другая последовательность индексов Tik{h*) \ оо, построенная неконструктивным^) образом в первом пункте теоремы 1.3, для которой HT^/i-j/i'"!!«,, —+0, то есть д^С1*)) —>q* в Н. Мы видим, что поведение "приближений" q^ при п—+оо оказывается довольно сложным. Для того, чтобы получить корректную процедуру

восстановления потенциала, необходимо воспользоваться третьим пунктом теоремы 1.3. Пусть к £ 5о. При помощи теоремы 7.5 мы можем явно построить такие потенциалы £Не„е„ , что

Ат^НА»^—т<п, = т>п.

п

Теорема 1.3 влечет |[Л. — Упк\\цп —>0, откуда, в силу того, что отображение Л—Л(0) является изоморфизмом, получаем

: Ат(<?) = А°т+кт, 0.

При этом последняя сходимость имеет место в пространстве Н.

Вторая глава диссертации имеет технический характер и посвящена построению двух пар решений ф±(х, А, 7) и (ж, А, ц) уравнения

Г>у = -у" + х2у + д(х)у = \у, АеС, ЧеЬЦШ,(Щ +

а также получению необходимых в дальнейшем оценок этих решений. Мы используем метод итераций для соответствующих интегральных уравнений. При этом важную роль играет точная оценка невозмущенных решений (функций Вебера), полученная Г.01уег'ом в работе |10|.

Третья глава посвящена доказательству теоремы единственности, то есть инъективности отображения Ф. Мы устанавливаем справедливость этого результата в классе потенциалов

В = {ч''1*|А|~++СХ5}' РМ)^1+|А|Л+|*2-А|*.

Отмстим, что класс В достаточно широк. В частности,

ь1(к,(|«|+1)-1+в<й) СВ, /,2(Е,(|г|+1)~1+а<Й) СВ, п>0.

Основным результатом третьей главы является

Теорема 3.6 (теорема единственности). Предположим, что ф(д) = ф(р) для некоторых вещественных потенциалов 17, р € В . Тогда ц—р.

Предлагаемое доказательство теоремы 3.6 справедливо и дня комплексных потенциалов при незначительных ограничениях, связанных с отсутствием кратных корней хотя бы у одного из вронскианов1 = Х,д),ф+(х, А, д)} или го{Х,р). В частности, теорема единственности выполняется в случае, когда хотя бы один из потенциалов р,д вещественный. Эти результаты содержатся в совместной с П.П.Каргаевым и Е.Л.Корогяевым работе автора |1].

Четвертая глава посвящена свойствам аналитичности отдельных спектральных данных. Мы доказываем, что каждое собственное значение является аналитическим отображением пространства ¿2(М)вК,и

дч{1)

где ?/;„(•, ц) является тг-ой нормированной собственной функцией оператора Тч, как и следует ожидать согласно теории возмущений. Кроме того, мы устанавливаем аналогичный результат для нормирующих постоянных:

где через Хп(^.<?) обозначено некоторое специальное решение уравнения —ф" + х2ф 4-д(х)ф = Ап(ч)Ф, удовлетворяющее, в частности, условию {Хп{х,я),фп{х,д)} = 1.

В пятой главе мы изучаем производную Фреше Фо отображения Ф — Ф(0) в точке ц = 0. Исходя из результатов предыдущей главы, естественно рассмотреть формальный линейный оператор

Ф'0 : Ч нч (Л'огХч) - ({$п)5° ,

К = (чЛ*1>п)2)ьчщ, яп = (д,ФпХ°п)щщ, П> о, где 4Ш = фп(и 0) и х®(*) = Х»(*.0) • Пусть также

№)(*)=Еп?о , (Кя)(г)=£„¿0 , < 1 ■

Для того, чтобы получить простое представление оператора Фд нам потребуется несколько дополнительных определений. Введем в рассмотрение новый ортонормированный базис пространства ¿2(К):

'Мы используем обозначение {/(х),д(т)} = /(х)д'(х) — }'{х)д(х).

Сопоставим теперь каждому потенциалу q две функции

(.Fq)(z) = ^174 Е yfäh ■ ,

2 ¿j v»

_ _ n-2krk l>0

где

(2fc)! 2afc(*!)a

Нетрудно убедиться в том, что отображения F : q (Fq)(-) и G : q (Gq){-) суть линейные изоморфизмы F : Het)en —> HW^4 и G : Н0<и —> HW^4 , где через He„e„ и Н0<м обозначены подпространства четных и нечетных потенциалов соответственно.

Лемма 5.6. Для каждого q£Н справедливы тождества2

(A^W.HWf |z|<l, (7)

Кроме того, (Fq)(l) = (2ir)~з JRq(t)dt.

Ясно, что отображение Af, : Heven-*H является линейным изоморфизмом. Фактически, определение (3) мотивировано первым из тождеств (7). Ситуация с оператором А/ц не так проста. Положим

Н° = |ft={MS° •• эеяи/23/4},

INI«0 = |Ы|И<4.

Согласно второму из тождеств (7), видим, что Л/ц есть линейный изоморфизм Н0dd и W0. Таким образом, оператор Ф'0 : Н —* H(B7i° является линейным изоморфизмом. В дальнейшем (теорема 8.3) мы покажем, что пространство Н° изоморфно подпространству Но, однако этот факт не является необходимым при доказательстве теоремы 1.1, если только в ее формулировке изменить SxHq на 5хН°.

2Мы используем стандартное обозначение (Р+ /)(z)s —: f f^O'K ^

2я-г ,/|С|=] Q-z

Приводом здесь две простые леммы, содержащие в себе всю(!) необходимую информацию о пространствах Н, Но и Н°.

Лемма 5.8. (i) Каждая последовательность {/in}o° € Н единственным образом представляется в виде hn где v £ R и {/¡4°^} 5° € Но • Отображение h +-+ (и, является линейным изоморфизмом пространств Н и R ф Но ■ Наконец, если /¿ = Ло<7, то v = 7r~1fRq(t)dt. (ii) Справедливы вложения Р.у^ С Но , i^4CH°.

Лемма 5.9. Множество конечных последовательностей плотно как в Но , так и в Н°.

Шестая глава посвящена получению необходимых асимптотик спектральных данных для потенциалов из класса Н. Мы представляем вронскиан «>(A, q) в виде

ti»(A, q) = w°(X) + q) + w™(A,<?) + ...,

где слагаемые w^n\X,q) убывают, как Вспоминая, что соб-

ственные числа - это корни w(-,q), можно убедиться в том, что

An(q) = А°+ дА£>+ ДА(?> + 0(n~ 'i log3 n),

Отметим, что вычисление , q) и т.д., а также доказательство

необходимых оценок связаны с заметными техническими трудностями. Результаты этой главы содержатся в работе автора [2].

Теорема 6.9. Равномерно на ограниченных подмножествах пространства Не выполняется асимптотика3

А„(<?) = А°

где <5>0 - некоторая абсолютная постоянная.

3Т.е. отображение q 6 Не >-» {An(q)-A°-9n}5° 6 локально ограничено в комплексной окрестности каждого вещественного потенциала qбН.

Теорема 6.12. Равномерно на ограниченных подмножествах пространства Не выполняется асимптотика

где 6 > 0 - некоторая абсолютная постоянная.

В седьмой главе мы доказываем основную теорему 1.1 (с точностью до замены множества спектральных данных на 5 х 7^°). Сначала мы проверяем, что отображение Ф—Ф(0) является локальным вещественно-аналитическим изоморфизмом. Теоремы 6.9, 6.12 влекут локальную ограниченность отображения Ф —Ф(0), а значит и его аналитичность в целом. Далее, так как вложение . С Но

4

компактно, из теорем 6.9, 6.12 и определения пространства спектральных данных, как образа оператора Ф(,, вытекает фредголь-мовость производной Фреше е^Ф в каждой точке ц простратктва Н, откуда несложно получить локальную обратимость Ф —Ф(0).

Поскольку теорема единственности (инъективность Ф) установлена в намного более широком, чем Н, классе потенциалов, нам остается только проверить сюръективность Ф. Сначала, используя известную технику (см. [7], [8]), связанную с преобразованием Дарбу, мы изучаем задачу изменения одного спектрального параметра.

Теорема 7.5. Пусть заданы <1 €Неуеп, п'^0 и параметр I, такой что4 Xn-l(q)<Xn(q)+t<Xn+l(q). Тогда существует такой потенциал q1l¿ еНеуеп , что « = Ат(<?), тфп. При этом явно выражается в терминах q.

Теорема 7.6. Пусть заданы q£H., п^О ut&Ш. Тогда существует потенциал Ат(<^) = Хт(д), тп > 0, =

ит{Чп) ~ , тфп. При этом ц1п явно выражается через д.

Оказывается, что этих результатов достаточно для доказательства сюръективности отображения Ф. Используя лемму 5.9 легко проверить, что для любого заданного допустимого спектра А*, такого что {А*-А°}о° £ Но, и произвольного £>0 можно построить

4 Первое неравенство должно быть опущено в случае п = 0.

новый допустимый спектр А*, отличающийся от исходного только конечным числом элементов, и такой, что ||А* — Л(0)||^ <£. Так как отображение Л — Л(0) локально обратимо в окрестности потенциала 9 = 0, для достаточно малых е, выполняется А* € Л(Не„еп). Изменяя теперь шаг за шагом конечное число собственных значений по теореме 7.5, получаем А* € Л(Неиеп) ■ Аналогичные рассуждения справедливы и для произвольного допустимого спектра А*.

Далее, если и* £ то можно найти такую конечную последовательность и* £ Н°, что || и* — и* И'н'1 <£- как ® локально обратимо в окрестности точки (А*;0), для достаточно малых е имеем (А*; V* Ф(Н). Изменяя теперь конечное число нормирующих

постоянных по теореме 7.6, получаем (А*;^*)бФ(Н).

Восьмая глава диссертации посвящена исследованию свойств пространства спектральных данных. Сначала мы устанавливаем совпадение Н° и Но, завершая доказательство теоремы 1.1.

Теорема 8.3. Последовательность Л лежит в пространстве Н°, если и только если она лежит в подпространстве Но С И. Более того, нормы || • и || • = || • эквивалентны.

Согласно определениям (4), (8) пространств Но и Н°, теорема 8.3 является утверждением об ограниченности операторов

А : НШТ - Н]У32/4 , Яг) ~ 9(г) = Р+ (^Щ /(0) ,

В : НШ32/4 - НШТ - =

Ограниченность оператора А (то есть вложение Но С Н°) представляет собой довольно простой факт. Проверить ограниченность оператора В намного сложнее. Мы доказываем эту часть теоремы, используя представление функций из класса Соболева И/^4 в виде дробного интеграла Римана-Лиувилля.

Кроме того, в восьмой главе мы доказываем теоремы 1.2 и 1.3 Результаты этой части диссертации содержатся в работе автора [3].

Наконец, девятая глава посвящена доказательству технически трудных оценок квадратичных поправок в возмущении собственных чисел и нормирующих постоянных, на которые фактически опираются теоремы 6.9 и 6.12.

Список цитированной литературы

[1| Гельфанд И.М., Левитан Б.М.: Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции, Изв. АН СССР, сер. мат. 15 (1951), 309-360.

|2] Фаддеев Л.Д.: Свойства S-матрицы одномерного уравнения Шредингера, Тр. Мат. Инст. им. В.А. Стеклова, 73 (1964), 314-333. |3] Deift. P., Trubowitz Е.: Inverse scattering on the line. Comm. Pure. Appl. Math. 32 (1979), 121-152.

[4] Garnett J., Trubowitz E.: Gaps and bands of one dimensional periodic Schrodinger operator, Comment. Math. Helv., 159 (1984), 258-312.

[5] Марченко B.A., Островский И.В.: Характеристика спектра оператора Хилла, Мат. сборник 197 (1975), вып. 4, 540-606.

|6| Karagev P., Korotyaev Е.: The inverse problem for the Hill operator, a direct approach, Invent. Math., 129 (1997), no. 3, 567 -593, Errartum, Invent. Math. , 138 (1999), 227.

[7j Poschel J., Trubowitz E.: Inverse Spectral Theory. Academic Press, Boston, 1987.

[8| McKean H. P., Trubowitz E.: The spectral class of the quantum-mechanical harmonic oscillator, Comm. M. Ph. 82 (1981), 4, 471-495. [9] Gesztesy F., Simon В.: Uniqueness theorems in inverse spectral theory for one-dimensional Schrodinger operators, Trans. Amer. Math. Soc. 348 (1996), no. 1, 349 -373.

[10| Olver F.: Two inequalities for parabolic cylinder functions, Proc. Cambridge Philos. Soc. 57 (1961), 811-822.

Список работ по теме диссертации

[1| Chelkak D., Kargaev P., Korotyaev E.: An Inverse Problem for an Harmonic Oscillator Perturbed by Potential: Uniqueness, Lett. Math. Phys. 64 (1), 7-21, April 2003.

|2] Челкак Д.С.: Асимптотика спектральных данных гармонического осциллятора, возмущенного потенциалом с конечной энергией, Препринт ПОМИ РАН, №14, Санкт-Петербург 2003.

[3] Челкак Д.С.: Аппроксимация в пространстве спектральных данных возмущенного гармонического осциллятора, Пробл. Мат. Анализа 26 (2003), 287-300.

[4] Chelkak D., Kargaev P., Korotyaev E.: Inverse problem for harmonic oscillator perturbed by potential, characterization, Preprint SFB 288, No 573, Berlin 2002.

ЛР № 040815 от 22.05.97.

Подписано к печати 06.10.2003 г. Формат бумаги 60X84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 1 усл. п л. Тираж 100 экз. Заказ 303?. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26.

L

ч

f

V

Р 1 9 4 3 6

1 Введение

1.1 Исторический очерк и постановка задачи.

1.2 Основные результаты диссертации

1.3 Структура диссертации и ключевые результаты.

1.4 Открытые вопросы

2 Построение фундаментальных решений

2.1 Неравенство Р.01уег'а для невозмущенных решений ф± {х, А).

2.2 Свойства невозмущенного вронскиана ю°(Л).

2.3 Построение и оценка итерационного ядра «7°(х, А).

2.4 Построение фундаментальных решений ф±(х, А) и оценка вронскиана ги(А, д)

2.5 Построение фундаментальных решений 1?112(о:, А).

2.6 Асимптотическое поведение решений при х—>±оо

3 Теорема единственности

3.1 Самосопряженность оператора Тд.

3.2 Класс В.

3.3 Асимптотика корней вронскиана ги(», q).

3.4 Определение нормирующих постоянных и грубые асимптотики спектральных данных

3.5 Доказательство теоремы единственности.

4 Аналитичность и градиенты спектральных данных

4.1 Аналитичность фундаментальных решений и вронскиана.

4.2 Градиенты собственных значений.

4.3 Градиенты нормирующих постоянных.

4.4 Аналитическое продолжение спектральных данных на комплексные потенциалы.

4.5 Свойства функций ^п и ФпХп

5 Формальная производная Фреше Фд и определение пространства спектральных данных

5.1 Тождества для квадратов полиномов Эрмита.

5.2 Разложения функций ФпХп по вспомогательному базису.

5.3 Определение пространства потенциалов Н и представление оператора Фд во вспомогательном базисе.

5.4 Определение и простейшие свойства пространств Л, Но, И.0.

6 Асимптотики спектральных данных

6.1 Предварительные вычисления.

6.2 Обоснование метода вычисления асимптотики собственных значений.

6.3 Первые слагаемые в асимптотиках спектральных данных.

6.4 Второе слагаемое в асимптотике собственных значений.

6.5 Второе слагаемое в асимптотике нормирующих постоянных.

7 Доказательство теоремы 1.

7.1 Ф - локальный вещественно-аналитический изоморфизм.

7.2 Преобразование Дарбу (предварительные результаты).

7.3 Преобразование Дарбу (изменение спектральных данных).

7.4 Сюръективность отображения Ф.

8 Свойства пространства спектральных данных

8.1 Пространства Соболева и их связь с преобразованием

Меллина (необходимые сведения).

8.2 Изоморфизм пространств Н° и Tío

8.3 Доказательство теоремы 1.2.

8.4 Аппроксимация конечными последовательностями в Tío, свойства операторов Тп.

8.5 Свойства операторов Vn.

9 Доказательство теорем 6.7 и 6.

9.1 Предварительные оценки.

9.2 Доказательство неравенств (6.24), (6.34) в теоремах 6.7, 6.10.

9.3 Доказательство неравенств (6.25), (6.35) в теоремах 6.7, 6.10.

9.4 Доказательство неравенств (6.26), (6.36) в теоремах 6.7, 6.10.

9.5 Оценка интегралов 7^0,0)(1,д) и

1.1 Исторический очерк и постановка задачи

История обратных спектральных задач восходит к середине XX века к работам таких авторов, как G.Borg, N.Levinson, И.М.Гельфанд и Б.М.Левитан, В.А.Марченко, М.Г.Крейн, Л.Д.Фаддеев и др. Первой из этого класса задач, в связи с квантовой теорией рассеяния, была исследована обратная задача рассеяния на полупрямой:

Решение уравнения Ьф = —ф"(х, к)+д(х)ф(х, к) = к2ф(х, к), ф(0, к) = 0, при условии, что потенциал q(x) достаточно быстро убывает при х—>+оо, имеет асимптотику ф(х, к) ?aC(k)sm(kx—i](k)). Спрашивается, насколько знание функции т)(к) определяет функцию q(x) и как связаны их свойства.

Эта задача в 1955г. была решена М.Г. Крейном [1] и В.А.Марченко [2], которые показали, что ряд условий удобно формулировать в терминах преобразования Фурье функции e~2w,(fc) — 1. Так, В.А.Марченко установил, что потенциал q(x) обладает такими же свойствами при х —> 0 и х —► +оо, как производная от этого преобразования Фурье. Кроме того, необходимо упомянуть процедуру явного построения потенциала по спектральной функции, полученную И.М.Гельфандом и Б.М.Левитаном [3], которые свели задачу к линейному интегральному уравнению. Достаточно полный обзор теории обратной задачи рассеяния на полупрямой был дан Л.Д.Фадцеевым [4]. После работ, упомянутых выше, появилась большая литература, посвященная переносу этих результатов на различные уравнения (с особенностью типа 1(1+1)х~2 и т.п.). В частности, обратная задача рассеяния на всей прямой была (с некоторыми неточностями) в 1964г. решена Л.Д.Фадцеевым [5]. Позднее, в 1979 г., P.Deift и E.Trubowitz [6] показали, что теорема Фаддеева справедлива лишь при некоторых дополнительных условиях и дали ее новое доказательство (отметим также последующую работу T.Kappeler'a и E.Trubowitz'a [7], посвященную свойствам аналитичности спектрального отображения).

Параллельно с обратными задачами рассеяния изучались и такие задачи, в которых естественный набор спектральных данных является не одной или несколькими функциями, как в рассмотренном выше примере, но некоторым счетным множеством параметров. Рассмотрим, например, уравнение Шредингера на всей прямой с периодическим потенциалом (оператор Хилла):

Пусть q е Ь2[0,1], q(x) = q{x + 1). Тогда спектр оператора Шредингера -cß/dx2-\-q(x) состоит из бесконечной последовательности зон однократного непрерывного спектра. Спрашивается, можно ли описать все такие последовательности, отвечающие рассматриваемому классу потенциалов.

В 1984г. J.Garnet и E.Trubowitz [8] (см. также [9]), опираясь на работу В.А.Марченко и И.В.Островского [10], доказали, что отображение, сопоставляющее каждому четному потенциалу с нулевым средним1 последовательность длин лакун спектра со знаками,

1гГо есть такому потенциалу, что g(x)=q(l— х) и /Jq(t)dt=0. выбранными неким специальным образом, является вещественно-аналитическим изоморфизмом2 пространства потенциалов Lo et;en[0,1] и гильбертова пространства последовательностей £2. Позднее П.П.Каргаев и Е.Л.Коротяев [11] существенно упростили доказательство этой теоремы. Также упомянутыми авторами были получены аналогичные результаты, не ограничивающиеся рассмотрением только подпространства четных потенциалов (в общей ситуации необходимо ввести дополнительный счетный набор спектральных параметров, на природе которых мы не будем здесь останавливаться, см. также работу E.Trubowitz'a [12]). Отметим, что сюръективность спектрального отображения в рассматриваемой задаче вытекает из весьма общих соображений теории аналитических отображений банаховых пространств. Это позволяет избежать технически трудного обоснования сходимости процедуры восстановления потенциала по спектральным данным. К обратной задаче для оператора Хилла примыкает обратная задача для периодических матриц Якоби, рассмотренная в работе Л.В.Перколаб [13]. Отметим также недавнюю (2002г.) работу А.В.Баданина, M.Klein'a и Е.Л.Коротяева [14], в которой установлены аналогичные результаты для уравнения Камасса-Холма.

Третий класс обратных спектральных задач представляют задачи с чисто дискретным спектром. Простейшей из них является следующая:

Рассмотрим оператор Ty=—y"+q(x)y на отрезке [0,1] с граничными условиями Дирихле 7/(0)=2/(1)=0. Как описать множество всех возможных спектров, отвечающих таким операторам для некоторого класса потенциалов ql

Эта задача привлекала внимание исследователей начиная с работ G.Borg'a [15] и N.Le-vinson'a [16], в которых были получены теоремы единственности, то есть доказательства того, что тот или иной набор данных достаточен для однозначного определения потенциала. В 1987 году J.Pöschel и E.Trubowitz опубликовали монографию [17] (к сожалению, не переведенную на русский язык), посвященную обратной спектральной теории для задачи Дирихле на конечном интервале. В частности (мы не приводим здесь общий результат в целях экономии места), в этой книге доказано, что, если ограничиться рассмотрением четных потенциалов из класса L2[0,1] с нулевым средним, то множеством всех возможных спектров является S — |Ai < Аг < . : {Ап — пп2}^=1 е j . При этом получаемое соответствие между пространством потенциалов LliCven[0,1] и множеством допустимых спектров S есть вещественно-аналитический изоморфизм, если отождествить S с множеством S = |{А„ — 1т2}^=1 : {Ая}^ е «sj С I2. После выхода в свет монографии [17] появилось несколько работ, относящихся к другим задачам с чисто дискретным спектром. В частности, в 1988г. J.G.Guillot и J.V.Ralston [18] построили аналогичную теорию для операторов с особенностью 2х~2 на левом конце отрезка.

23десь и далее мы говорим, что отображение банаховых пространств / : Е —* F является вещественно-аналитическим, если для каждой точки у QE оно может быть продолжено в некоторую окрестность Uy С Ее до аналитического отображения fy : Uy —* Fe • Мы также говорим, что отображение есть вещественно-аналитический изоморфизм, если оно является биекцией и вещественно-аналитично вместе со своим обратным.

Представленная работа посвящена изучению другого семейства операторов с чисто дискретным спектром - гармонического осциллятора, возмущенного потенциалом. Отметим, что такие операторы часто возникают в физических задачах. Рассмотрим квантово-механический гармонический осциллятор Т°у——у"+х2у, действующий в пространстве Ь2(Ш). Хорошо известно, что спектр оператора Т° чисто дискретен и состоит из простых собственных значений Л° = 2п+1, п^О. Положим

Т1у= -у" + х2у + д(х)у.

При весьма слабых ограничениях на потенциал д спектр оператора Тя также чисто дискретен и состоит из простых собственных значений Мя) < Ыя) < ■ ■ •

Обозначим через 1рп(х,д) соответствующие собственные функции. Следуя работе [19] (и по аналогии с |17]), мы вводим так называемые нормирующие постоянные

Vn(q) = lim log

Фп(х, q) lim log foo

0.

Отметим, что все нормирующие постоянные обращаются в нуль, если (и, как показано ниже, только если) д(х) является четной функцией. Рассмотрим отображение, сопоставляющее каждому потенциалу набор спектральных данных:

Ф :?и Ф(9) = (А(д); Щд)) = ({An(9)}~ ; K(g)}g°). (1.1)

Мы традиционно разделяем обратную спектральную задачу на следующие части: i) Единственность. Доказать, что данные Ф(д) однозначно определяют потенциал q. ii) Характеризация. Полностью описать множество спектральных данных, отвечающих заданному классу потенциалов, и свойства гладкости отображения Ф. iii) Восстановление. Найти алгоритм построения потенциала q по данным Ф(д).

Не так много работ посвящено обратной задаче для возмущенного гармонического осциллятора. Н.Р.МсКеап и E.Trubowitz [19] рассматривали задачу восстановления. Они дали алгоритм построения потенциала g по спектральным данным J\f(g) для таких возмущений из класса Шварца быстроубывающих, дифференцируемых бесконечное количество раз функций, что Хп(д) = А° для всех п и {fn(<7)}o° - быстроубывающая последовательность. Б.М.Левитан в работе [20] усилил некоторые результаты [19], не уточняя строго класс потенциалов. D.Gurarie [21] рассматривал специальные классы возмущений. F.Gesztesy и B.Simon [22] доказали несколько теорем единственности в терминах так называемой спектральной функции при весьма слабых предположениях на возмущение. В работе [22] доказана также единственность четного потенциала на всей прямой, соответствующего фиксированному дискретному спектру. В данной работе мы: i) доказываем теорему единственности для широкого класса потенциалов; ii) даем полную характеризацию спектральных данных для потенциалов, обладающих конечной энергией (т.е. g : (Т°д, д) <+оо), и доказываем аналитичность отображения Ф; iii) приводим результаты, касающиеся сходимости явной процедуры восстановления потенциала по спектральным данным в рассматриваемом классе.

1. Марченко В.А., Островский И.В.: Характеристика спектра оператора Хилла, Мат. сборник 197 (1975), вып. 4, 540-606.

2. Karagev P., Korotyaev Е.: The inverse problem for the Hill operator, a direct approach, Invent. Math., 129, no. 3, 567-593 (1997), Errartum, Invent. Math. , 138, 227 (1999).

3. Trubowitz E.: The inverse problem for periodic potentials, Comm. Pure. Appl. Math., 30 (1977), 321-337.

4. Перколаб Л.В.: Обратная задача для периодических матриц Якоби, Функц. Анализ и Прилож., 42 (1984), 107-121

5. Badanin A., Klein М., Korotyaev Е.: The Marchenko-Ostrovski mapping and the trace formula for the Camassa-Holm equation, Preprint SFB 288, No 559, Berlin 2002.To be published in J. Funct. Anal.

6. Borg, G.: On the completeness of some sets of functions, Acta math. 81 (1949) 265-283.

7. Levinson, N.: On the uniqueness of the potential in a Schroedinger equation for a given asymptotic phase, Danske Videnskab. Seiskab Math.-fys. Medd. 25, №9 (1949), p.29.

8. Poschel J., Trubowitz E.: Inverse Spectral Theory. Academic Press, Boston, 1987.

9. Guillot J.G., Ralston J.V.: Inverse spectral theory for a singular Sturm-Liouville operator on 0,1], J. Diff. Eq., 76 (1988), 353-373.

10. McKean H. P., Trubowitz E.: The spectral class of the quantum-mechanical harmonic oscillator, Comm. Math. Phys. 82 (1981/82), no. 4, 471-495.

11. Левитан Б.М.: Об операторах Штурма-Лиувилля на всей прямой с одинаковым дискретным спектром, Мат. сборник 132(174) (1987), вып. 1, 73-149.

12. Gurarie D.: Asymptotic inverse spectral problem for anharmonic oscillators, Comm. Math. Phys. 112 (1987), no. 3, 491-502.

13. Gesztesy F., Simon В.: Uniqueness theorems in inverse spectral theory for one-dimensional Schrodinger operators, Trans. Amer. Math. Soc. 348 (1996), no. 1, 349-373.

14. Olver F.: Two inequalities for parabolic cylinder functions, Proc. Cambridge Philos. Soc. 57 (1961), 811-822.

15. Chelkak D., Kargaev P., Korotyaev E.: An Inverse Problem for an Harmonic Oscillator Perturbed by Potential: Uniqueness, Lett. Math. Phys. 64 (1), 7-21, April 2003.

16. Челкак Д.С.: Асимптотика спектральных данных гармонического осциллятора, возмущенного потенциалом с конечной энергией, Препринт ПОМИ РАН, №14, Санкт-Петербург, 2003.

17. Челкак Д.С.: Аппроксимация в пространстве спектральных данных возмущенного гармонического осциллятора, Пробл. Мат. Анал. 26 (2003), 287-300.

18. Бейтмен Г., Эрдейи А.: Высшие транцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортоналъные многочлены. Москва, "Наука", 1974.

19. Рид М., Саймон Б.: Методы современной математической физики, т.2: Гармонический анализ. Самосопряженность. Москва, "Мир", 1978.

20. Маркушевич А.И.: Теория аналитических функций, т.1. Москва, "Наука", 1967.

21. Рид М., Саймон Б.: Методы современной математической физики, т.4-' Анализ операторов. Москва, "Мир", 1982.

22. Хилле Э., Филлипс Р.: Функциональный анализ и полугруппы. Изд. иностр. лит-ры, Москва, 1962.

23. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И.: Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, "Наука и техника", 1987.

24. Зигмунд А.: Тригонометрические ряды, т. 1. Москва, "Мир", 1965.

25. Гарнетт Дж.: Ограниченные аналитические функции. Москва, "Мир", 1984.

26. Харди Г.Г., Литтльвуд Д.Е., Полна Г.: Неравенства. Москва, "Иностранная литература", 1948.

27. Федорюк М.В.: Асимптотические методы для обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва, "Наука", 1983.