Спектральные свойства гамильтонианов явнорешаемых моделей мезоскопических структур: декорированные квантовые графы и кантовые точки тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ
|
Лобанов, Игорь Сергеевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Саранск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2005
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.03
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Лобанов Игорь Сергеевич
Спектральные свойства гамильтонианов явнорешаемых моделей мезоскопических структур: декорированные квантовые графы и квантовые точки
Специальность 01.01.03 — Математическая физика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Саранск — ¿005
Работа выполнена на кафедре математического анализа Мордовского государственного университета имени Н. П. Огарева.
Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,
доцент Гейлер Владимир Аронович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Шафаревич Андрей Игоревич кандидат физико-математических наук Назайкинский Владимир Евгеньевич Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики
■ Защита диссертации состоится «14» февраля 2006 г. в часов в аудитории на заседании диссертационного совета К 212.133.01 в Московском государственном институте электроники и математики по адресу: Москва 109028, Б. Трехсвятительский пер., 3/12.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института электроники и математики.
Автореферат разослан « $ ъ декабря 2005 г.
Ученый секретарь диссертационного
совета К 212.133.01
к.ф.-м.н, доцент с—-р,
Е. Р. Хакимуллин
-
2Ш2.4\
^¿бщая характеристика работы
Актуальность темы. В последние два десятилетия среди специалистов по математической и теоретической физике возрос интерес к таким мезоскопическим структурам, как квантовые точки и периодические массивы фуллеренов. Этот интерес отчасти обусловлен возможностью создания на их основе разнообразных электронных и оптоэлек-тронных устройств, в частности, эффективных лазеров.1 При теоретическом обосновании и предсказании спектральных свойств вышеупомянутых систем важную роль играют получаемые в тех или иных приближениях явнорешаемые модели. В настоящей диссертации изучаются две такие модели: точечные возмущения оператора Шредингера с потенциалом квантовой точки и операторы Шредингера на декорированных графах. С точки зрения математики интерес к декорированным графам обусловлен также тем, что они в подходящей топологии приближаются римановыми многообразиями, поэтому спектральный анализ на периодических декорированных графах позволяет пролить свет на нексггорые вопросы спектральной теории периодических эллиптических операторов на многообразиях, в частности, на гипотезу Бете-Зоммерфельда. В связи с этим исследование спектральных свойств явнорешаемых моделей мезоскопических систем представляется актуальным.
Целью работы является описание спектральных свойств точечного возмущения оператора Шредингера с потенциалом конфайнмента квантовой точки, а также спектральных свойств операторов Шредингера на декорированных графах, имея в виду их возможное применение к изучению транспортных и оптических свойств квантовых точек и периодических массивов фуллеренов.
Общая методика исследования. Исследования явнорешаемых моделей, проводимые в диссертации, объединены общим методом, осно-
1 Леденцов Н. Н., Устинов В. М., Щукин В. А., Кольев П. С., Алферов Ж. И., .Бимберг Д. Гетероструктуры с квантовыми точками: получение, свойства, лазеры. // Физика и техника полупроводников. - 1998. - Т. 32, N4.-0. 385-411.
РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА
ванном на спектральном анализе возмущений конечного ранга операторов с дискретным спектром и, в частности, методе потенциалов нулевого радиуса (точечных потенциалов). Метод потенциалов нулевого радиуса использовался в квантовой механике начиная с 1930-х годов (см. работы Р. Кронига, В. Пенни, Э. Ферми, И. Е. Тамма, Г. Бете, Р. Пайерлса, Я. Б. Зельдовича и др.) Строгое математическое обоснование метода потенциалов нулевого радиуса в рамках теории самосопряженных расширений было дано Ф. А. Березиным и Л. Д. Фаддеевым. Систематически метод потенциалов нулевого радиуса был изложен в монографиях Ю. Н. Демкова и В. Н. Островского, А. И. Базя, Я. В. Зельдовича и А. М. Переломова. Дальнейшее развитие метода связано с работами Б. С. Павлова, С. Альбеверио, П. Экснера, их коллег и учеников.
Кроме того, исследование периодических операторов на декорированных графах опирается на комбинацию методов теории расширений и гармонического анализа как на коммутативных группах (теория Флоке-Блоха), так и на группах общего вида. В последнем случае мы используем подходы, основанные на теории С* -алгебр, называемые также методами некоммутативной геометрии.
Научная новизна определяется следующими основными результатами теоретического исследования:
• детально описан спектр точечного возмущения оператора Шредин-гера с потенциалом квантовой точки, доказано наличие эффектов падения частицы на центр и позиционного беспорядка;
• для точечного возмущения оператора Шредингера со сферически симметричным параболическим потенциалом найден явный вид функции Грина, вычислены асимптотики собственных значений при больших значениях интенсивности возмущения, показана возможность восстановления потенциала по зависимости основного состояния от положения возмущения;
• для периодического оператора Шредингера на декорированном гра-
фе найдены достаточные условия, при которых его спектр имеет зонную структуру, а также условия, при которых он приближается в топологии равномерной резольвентной сходимости периодическими операторами с канторовским спектром, доказано отсутствие собственных значений конечной кратности (как изолированных, так и погруженных в непрерывный спектр);
• для широкого класса операторов Шредингера на декорированных графах с абелевой группой периодичности (включая локальные операторы) доказано отсутствие непрерывно сингулярного и плотного точечного спектров;
• доказано, что для каждого периодического оператора Шредингера на метрическом графе найдется дискретное множество Л С К, таг кое что для любого компакта А"сК\Л подбором декорации этого метрического графа можно добиться открытия лакун, содержащих К.
• найден широкий класс операторов Шредингера на декорированных графах с группами периодичности ЪЛ, й ^ 2, для которых не верна гипотеза Бете-Зоммерфельда о конечности числа лакун.
Научная и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть применены для моделирования короткодействующей примеси в квантовой точке и периодических массивах фуллеренов. С математической точки зрения работа дает ответы на ряд вопросов о спектральных свойствах возмущений конечного ранга операторов с дискретным спектром, в частности, точечных возмущений операторов Шредингера, и о спектральных свойствах саг мосопряженных расширений на семействах инвариантных гильбертовых пространств, в том числе, периодических операторов Шредингера на декорированных графах.
Личное участие автора. Вывод функции Грина и б-функции Крейна для точечного возмущения гармонического осциллятора, описа-
ние спектра.точечного возмущения с помощью О.-функции, вычисление асимптотик собственных значений, доказательство теорем о зонно-сти и фрактальности спектров калибровочно-периодических расширений на инвариантных семействах гильбертовых пространств, доказательство отсутствия непрерывно сингулярного и плотного точечного спектров периодических операторов Шредингера на декорированных графах с группой периодичности Zd, доказательство открытия лакун при декорации проведены автором самостоятельно. Результаты диссертации, касающиеся описания возмущений конечного ранга операторов с дискретным спектром, доказательств наличия эффектов падения на центр и позиционного беспорядка, а также теорема о бесконечности числа лакун операторов Шредингера на декорированных графах, получёны совместно с научным руководителем В. А. Гейлером и профессором Й. Брюнингом, при этом вклад автора заключался в проведении части доказательств.
Положения, выносимые на защиту.
• Детальное описание спектра точечного возмущения оператора Шре-
I
дингера с потенциалом конфайнмента квантовой точки, описание соответствующих собственных подпространств, доказательства наличия эффектов падения на центр и позиционного беспорядка для точечных возмущений оператора Шредингера с потенциалом квантовой точки.
• Явный вид функции Грина точечного возмущения произвольного положения оператора Шредингера со сферически симметричным параболическим потенциалом конфаймента квантовой точки, асимптотики зависимости собственных значений возмущения от интенсивности возмущения, утверждение о возможности восстановления потенциала по положению примеси.
• Достаточные условия отсутствия дискретного спектра и зонности непрерывного спектра для калибровочно-периодических операторов Шредингера на декорированных графах; условия плотности опе-
раторов с канторовским спектром в пространстве калибровочно-периодических операторов Шредингера на декорированных графах.
• Теорема об отсутствии непрерывно сингулярного и плотного точечного спектров периодических операторов Шредингера с абелевой группой периодичности на декорированном графе.
• Теорема о существовании декораций, открывающих в спектре периодических операторов Шредингера на метрических графах лакуны, содержащие наперед заданный компакт, не пересекающий некоторое фиксированное дискретное множество.
• Теорема о бесконечности числа лакун в спектре периодических операторов Шредингера на декорированных графах.
Апробация работы. Основные результаты диссертации доложены на конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара,1 Россия, 2002), международной конференции ШТАБ «Спектральные проблемы для операторов типа Шредингера» (Берлин, Германия, 2003), международной конференции «Успехи в моделировании полупроводниковых устройств» (Берлин, Германия, 2004), международной конференции «Математические результаты в квантовой механике» (Жи-ен, Франция, 2004), конференции «Огаревские чтения» (Саранск, Россия, 2004), регулярном семинаре проф. Й. Брюнинга «Геометрический анализ и спектральная теория» (Гумбольдтовский университет, Берлин, Германия, 2003), регулярном семинаре проф. Г. Гюйскена «Геометрический анализ и гравитация» {институт гравитационной физики имени Макса Планка при институте Альберта Эйнштейна, Голм, Германия, 2004), семинаре "проф. Т. Каппелера (Цюрихский университет, Цюрих, Швейцария, 2005).
Публикации. Основное содержание работы отражено в четырех публикациях, список которых приведен в конце автореферата.,
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав. Материал диссертации изложен на 154 страницах маг
шинописног<5 текста. Список литературы содержит 152 наименования.
Краткое содержание работы
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, ставятся цели исследования и формулируются основные результаты работы.
В первой главе диссертации приводятся необходимые известные сведения из теории расширений операторов и гармонического анализа, а также доказываются вспомогательные теоремы о спектре возмущений конечного ранга операторов с дискретным спектром, используемые в основной части диссертации. Для описания самосопряженных расширений мы пользуемся подходом М. Г. Крейна в рамках теории пространств граничных значений. При изучении периодических гибридных многообразий и точечных возмущений квантовой точки важную роль играют возмущения HL конечного ранга самосопряженного оператора Но с дискретным спектром, получаемые как самосопряженные расширения плотно определенного сужения S с конечными индексами дефекта (d, d) оператора Щ; согласно подходу Крейна, расширения HL оператора Но, дизъюнктные с Но, параметризуются самосопряженными операторами L € H(Cd) в Cd. Исчерпывающее описание спектра оператора HL, доставляемое теоремой 1, является одним из основных самостоятельных результатов первой главы. Чтобы сформулировать эту теорему, потребуются следующие обозначения. Обозначим через (ejfc)fceN ~ строго возрастающую последовательность собственных чисел оператора Но, через Tik - собственное подпространство, соответствующее £к, через Рк - ортопроектор на Нк, и пусть Пк = dim Tik ■ Зафиксируем какую-либо <2-функцию Q и Г-поле в для (Щ, S), и обозначим Гк = dim Ran(0*(i)Pfc0(i)). В первой главе доказывается, что найдется семейство функций Uk{E,L), к £ N, определенных на (ак,0к) х H(Cd) С R х H(Cd), таких что
а) {ак(Е, L) \ к е N} = spec(<?(£;) - L);
б) (Tt€C°((at, А) хН(СО),
в) при фиксированном L G H(Cd) все функции <Xfc(-, L) строго монотонно возрастают, и Ran<7t (•, L) — К за исключением конечного числа индексов к.
Каждое уравнение сгк{Е) = 0, к G N, имеет не более одного решения, которое мы обозначаем через £к{Ь). Обозначим через 8респеи,(Я£) множество значений в точке L всех функций £к, определенных в этой точке. Пусть
Hf = пкп V(S), spec M{HL) = {ек \ Hf ф 0}.
Для е е specJiew(HL) обозначим через ш(е, L) число вхождения е в последовательность (£k(L))k- Через Щ обозначим ортопроектор Cd на Qk = Ker(9*(i)Pk9(i)), а через Jk - каноническое вложение Qk в Q. Для г е specnew(HL) обозначим через Hnew(z) образ ядра Ker(Q(z)—L) при отображении в(г), если г specм{Нь), и образ ядра Кег(Щ(<2(г) — L) Jk) при отображении 9k(z), если z — £ specold(HL)r\speenew(HL).
Теорема 1 Пусть L - самосопряженный оператор в Cd, тогда спектр оператора HL дискретен и состоит из двух (возможно пересекающихся) частей spec^{Н1) и spec¿¿{Н1) • Кратности собственных чисел е е spec(HL) и соответствующие собственные подпространства описываются следующим образом.
а) Если е € specnew(HL) \ specold(HL), то кратность собственного числа £ в спектре HL совпадает с т(£, L), при этом соответствующее собственное подпространство есть 7inew(£).
б) Если £ = £k-€ specoici{HL) \ specnew{HL), то кратность собственного числа £ в спектре HL равна щ — Тк, при этом соответствующее собственное подпространство есть Hfd -
в) Если £ — £к € speCgid(HL) П specnew(HL), то кратность собственного числа £ в спектре HL равна щ — Гк + т(е, L), при этом соответствующее собственное подпространство имеет вид
при этом Hfd имеет размерность щ — Гк, a H™w имеет размерность т(е, L).
Далее доказывается следующая теорема, характеризующую зависимость спектра HL от параметра L и необходимую для доказательства пустоты непрерывно сингулярного и плотного точечного спектров операторов Шредингера на декорированных графах с абелевой группой периодичности.
Теорема 2 Множество X = {(L,E) G H(Cd) х R | E € spec{HL)} замкнуто в пространстве H(Cd) x R.
Во второй главе диссертации изучаются точечные возмущения гамильтониана заряженной частицы в квантовой точке. В качестве этого гамильтониана мы выбираем оператор Шредингера, Но = — Д + V, где V - потенциал конфайнмента квантовой точки. Оператор Hq полуограничен снизу и самосопряжен в существенном в Co°(R3), причем функция Грина G°(x, у; () оператора Н0 непрерывна при х/у и удовлетворяет условию Карлемана. Существенную роль в теории точечных потенциалов играет ренормализованная функция Грина
При сделанных ограничениях на Hq доказывается, что функция £"reg("> S С) продолжается по непрерывности на R3 x R3.
Точечное возмущение оператора Но , с носителем в точке q € M3, определяется как самосопряженное расширение сужения S оператора Но на область {/ € £>(#о) | /(q) = 0}. Оператор S имеет индексы дефекта (1,1), следовательно самосопряженные расширения оператора 5, дизъюнктные с Но, образуют однопараметрическое семейство операторов На(q), а e M. Так как Но - карлеманов оператор, то функция Грина Gа оператора На(q) находятся по формуле
Ge(x, у; С) = G°(x, у; С) ~ [Q(Ç; q) - a]"1 G°(x, q; Ç)G°(q, y; С), (2)
где <2(С; я) = С^Ся, я; С) - 2-функция Крейна для пары (Я0,5). Оператор Яа(с1) является возмущением оператора Щ ранга один, и следовательно его спектр описывается теоремой 1, при этом часть спектра вРеспек(На{ч)) имеет вид
а нормированная собственная функция Ф(г), соответствующая Е € 8респе11,(Я0(я)), может быть найдена по формуле
Обозначим строго возрастающую последовательность уровней энергии вреспе№(Яа(я)) через (£*)*еN, тогда £к - строго возрастающая аналитическая функция от а 6 R. Доказывается, что £о(а) —► —оо при а —> —оо, при этом для соответствующей £0 собственной функции Фо имеет место предел |Ф0(х)|2 —* S(x — q), т.е. имеет место эффект падения частицы на притягивающий центр при изменении интенсивности возмущения.
Далее во второй главе рассматривается оператор Шредингера с параболическим потенциалом
Для такого потенциала в общем случае функция Грина не известна в явном виде, однако некоторые спектральные свойства оператора На(ц) можно исследовать, воспользовавшись следующим приемом. Ядро теплопроводности Ко оператора Но легко находится как произведение ядер теплопроводности для одномерных осцилляторов, а функция Грина Сг° получается как преобразование Лапласа от К0. Для нахождения <2-функции воспользуемся тем, что особенность на диагонали у С°(-,-;С) и у функции Грина свободного оператора Шредингера на К3 совпадают, откуда искомая б-функция имеет вид
specnew(Ha(q)) = {Ее R | Q(E; q) = а},
Q(C;q) =
4тг + (4тг)з/2
1
Пользуясь последним представлением, мы доказываем, энергия возбуждения уменьшается, если q увеличивается таким образом, что произведение а • q остается положительным для каждого вектора а с положительными координатами. Этот эффект был численно обнаружен для сферически симметричной квантовой точки В. Д. Кревчиком и Р. В. Зайцевым 2 и получил название позиционного беспорядка. Проведенное нами доказательство наличия этого эффекта справедливо также для двумерного и одномерного случая.
Рассмотрим теперь случай сферически симметричного параболического потенциала, полагая u>i = о>2 = В этом случае известен явный вид функции Грина G0,3 что позволило нам найти явный вид Q-функции Крейна. Пользуясь найденным выражением для Q -функции, в диссертации находятся асимптотики уровней Еп при больших а:
^ + 7 + + <3>
+v/2 (,"' - ,) Я» (VV2) ЯЬ1 (q/V2) + Игм (q/V2)) о"1 + 0(а"!),
(4)
где Нк - полиномы Эрмита степени к, = А к и к > 0 при а —» +оо, и АЦ = Afc_i и к > 1 при а —> —оо. Заметим, что первый член асимптотики в (3) совпадает с основным состоянием для точечного возмущения свободного гамильтониана, а второй член совпадает со значением потенциала осциллятора в точке q, что позволяет восстановить параболический потенциал квантовой точки по зависимости нижнего примесного уровня от положения примеси.
Третья глава диссертации посвящена операторам Шредингера на декорированных и метрических графах. Предлагается подход, основан-
2Кревчик В Д., Зайцев Р. В. Примесное поглощение света в структурах с квантовыми точками. // Физика твердого тела. - 2001. - Т. 43, N 3. - С. 504-507.
3Бакрак В Л., Ветчинкин С. Л., Кристенко С В. Функция Грина многомерного гармонического осциллятора. - Теор. Мат. Физ. - 1972. - Т. 12. - С. 223-226.
ный на теории расширений, в рамках которого, кроме упомянутых операторов, могут быть изучены, например, периодические точечные возмущения на многообразиях, поэтому в первой части этой главы рассматриваются самосопряженные расширения на семействах гильбертовых пространств, имея в виду их применение к упомянутым выше моделям.
Введем понятие декорированного графа. Пусть С = (V, £,т_, т+) - локально конечный дискретный граф, где V - множество вершин, £ - множество ребер, т_,т+: £ —> V - отображения в начало и конец ребра соответственно. Сопоставим каждой вершине
V € V компактное риманово многообразие М„. Каждому ребру е 6 £ сопоставим число 1(е), 1(е) > 0, и две точки ш_(е) и ш+(е), такие что ш-(е) 6 Мт_(е), ш+(е) е Мт+(е). Набор £> = (М, , где М -семейство (М„)„еу, будем называть декорацией графа С, а пару (С, £>) - декорированным графом, ассоциированным с С. Заметим, что если все пространства М„ одноточечные, а 1(е) > 0 для всех ребер е, то получаемый декорированный граф является метрическим графом.
С декорированным графом (С, И) свяжем топологическое пространство Х (С, О), которое получается из дизъюнктного объединения
| | Мь\л\ |[ае, Ье], где [ае, Ье] - отрезок вещественной прямой длины 1(е), veV ее£
склейкой точек ае с ш_(е), а точек Ье с ш+(е), при этом мы накладываем некоторые дополнительные условия, препятствующие склеиванию в одной точке бесконечного числа отрезков и многообразий.
Определим оператор Шредингера на декорированном графе. Обозначим через Е множество ребер е € Е, таких что 1(е) > 0, а через
V - множество вершин V € V, таких что с11т М„ > 0. Пусть А € Е. На отрезке (ад, Ь\) зафиксируем оператор Шредингера Н\ вида
где д\ - измеримая ограниченная функция на отрезке [ад, Ьд]; при этом считаем, что Н\ определяется граничными условиями Неймана на концах отрезка [ад, 6д]. Обозначим через 5д сужение Н\ на множество
функций из Т>{Н\), обращающихся в нуль на концах отрезка [ад, &л] •
Пусть теперь А € V. На многообразии М\ рассмотрим оператор Шредингера Яд с областью существенной самосопряженности С°°(Мл), определяемый дифференциальным выражением
-Ы*)Г1/2 (д} + (ЛдЫ*)) Ых)У'2Ых)Ук (дк + (АуШ) + 9л(х),
где {д\)]к - метрический тензор многообразия М\, д\ = (1е1 [дх)]к, <?д -скалярный потенциал, (A\)j - компоненты векторного потенциала; для простоты мы предполагаем и (A\)j бесконечно дифференцируемыми. Пусть теперь 5д - сужение оператора Яд на функции, обращающиеся в нуль в точках склейки. Тогда симметричный оператор в Н\ = 1?{М\) с индексами дефекта (пд, щ), где п\ - число элементов в множестве .А/д.
Определение 1 Оператором Шредингера на декорированном графе Х(С,Б) будем называть каждое самосопряженное расширение оператора 5 = £®лел , дизъюнктное с Я0 = £®дед •
Обозначим через (Ох, 9д, (¿х) данные Крейна для пары (Яд, 5д), А е Л, и пусть <2(С) = £®д€Л <2д(<) , 6(С) = дел ©л (О • Имеет место следующая
Теорема 3 Существует биещия между всеми операторами Шредингера на декорированном графе Х(в, И) й самосопряженными операторами Ь в 0 = £®дел Ох ■ При этом оператор Шредингера Н1, соответствующий оператору Ь, имеет резольвёнту
(Нь - г)'1 = (Н°- г)'1 - в(г) Ш - Ь}'10'(г). (5)
Рассмотрим теперь инвариантные декорированные графы. Пусть Г - дискретная группа, действующая на (7 свободно и с конечным числом орбит, и пусть семейства Мд, Яд и 5д Г - инвариантны; в этом случае декорированный граф Х(в, £>) называется Г - инвариантным. Зафиксируем фундаментальное подмножество Р действия группы Г на V и обозначим Ор = £®дег Ох ■
Лемма 1 Оператор Н1 Г-периодичен, если и только если оператор Ь Г-периодичен.
Обозначим через С*ес1(Г, о) редуцированную скрученную групповую С*-алгебру группы Г с мультипликатором о, через К(7^) - алгебру компактных операторов в гильбертовом пространстве Н, и через К - алгебру компактных операторов в бесконечномерном сепарабель-ном гильбертовом пространстве. Имеет место следующая
Теорема 4 Резольвента оператора Н1 принадлежит С*еЛ{Т,(г)®К, если выполняется любое из условий
A) 1€СуГ,<т)®ВД;
B) найдется левоинвариантная метрика й на Г, такая что число элементов д(г) в каждом шаре радиуса г < оо конечно, и константы С,8 > 0, такие что для всех 7 € Г,
где = Ь(5£ 0 у)(7) ~ коэффициент Фурье оператора Ь, а 8У
(7 € Г) - стандартные базисные вектора в /2(Г); определяемые через символ Кронекера следующим образом ¿7(У) = <$7у.
Последняя теорема позволяет выразить ряд спектральных свойств оператора Нь в терминах группы Г с мультипликатором а. Напомним, что пара (Г, <т) обладает свойством Кадисона, если найдется константа с > О, такая что ТгР > с для всех ненулевых проекторов Р б С;еа(Г, <г) ®К. Доказана следующая
Теорема 5 Пусть выполняется условие (А) или (В). Если группа Г с мультипликатором а обладает свойством Кадисона, то спектр оператора Н1 имеет зонную структуру.
При выполнении (А) или (В), а также некоторых дополнительных условий на пару (Г, о) (эти условия удовлетворяются, в частности, если С;Ы(Г, а) - иррациональная алгебра вращений), мы доказываем, что
оператор приближается с произвольной точностью в смысле равномерной резольвентой сходимости операторами с канторовским спектром.
Рассмотрим теперь группу периодичности Г = Zd, d ^ 1, для которой спектральный анализ может быть проведен более подробно. Будем считать, что выполняется следующее условие:
С) найдутся константы С\,С2 > 0, такие что для каждого к Q Zd
\\L{k)\\ < ci ехр(-с#|).
Теорема 6 Если выполняется условие (С), то непрерывно сингулярный спектр оператора HL пуст, а точечный спектр оператора HL образует дискретное подмножество вещественной прямой.
Далее в третьей главе изучается вопрос об открытии лакун при декорации. Существует естественная связь между операторами Шредин-гера на данном метрическом графе (G,l) ^ некоторой его декорации (G, D). А именно, семейства Н\, 5д, Яд, Л € Е, определяющие оператор Шредингера на метрическом графе (G, I); содержаться в семействах Нх, S\, Яд, А € Л; при этом операторы Шредингера HL' на (G, I) и операторы Шредингера HL на (G, D) параметризуются соответственно самосопряженными операторами в пространствах Qi = Е® дев С2 и б, где Gi является подпространством в Q. Будем говорить, что Я1 продолжает HLl, если сужение L на Q\ совпадает с L\. Продолжение оператора Шредингера на декорацию существенно меняет его спектральные свойства, в частности, приводит к так называемому эффекту «открытия лакун».4 Мы доказываем, что выбором граничных условий в вершинах можно добиться открытия лакун, содержащих заданный компакт, если он не пересекает некоторого фиксированного дискретного множества.
Теорема 7 Пусть G - ■ (V, Е, I) - метрический граф, ЯL - оператор Шредингера на X(G, I), определяемый оператором Н'й в
Hi = £® Яд и Лей
4Schenker J., Aizenman М. The creation of spectral gape by graph decoration. // Lett. Math. Phys. -2000. - V. 53. - P. 253.
ограниченным самосопряженным оператором Ь в 61 = Е® ■ Пусть
Аб Е
дано компактное подмножество К вещественной оси, которое не пересекает спектр эрес(Н'0). Тогда существует декорация Б графа С? компактными римановыми многообразиями заданной размерности (I, <1= 1,2,3, и продолжение Н1 оператора Н1 на декорированный граф Х(С, И), тате что К лежит в р(Н1). При этом на Н1 можно наложить дополнительные условия:
а) операторы Шредингера Н\ на декорирующих многообразиях М\, с помощью которых определяется Н1,, можно выбрать либо не содержащими калибровочный потенциал, либо, напротив, не содержащими скалярный потенциал;
б) если О £ К, то декорирующие многообразия М\ можно выбрать таким образом, что роль операторов Шредингера Н\ на М\, определяющих Нь, играют операторы Бельтрами-Лапласа (т.е. гамильтонианы свободной частицы на многообразии);
в) если Н1 инвариантен относительно действия группы Г на ((?, I), то Н1 инвариантен относительно естественного продолжения этого действия на (б, £>).
Теперь предъявим класс периодических операторов на декорированных графах, для которых не выполняется гипотеза Бете-Зоммерфельда. Далее рассматриваются Ж? -периодические графы для некоторого фиксированного й 6 N. Обозначим через Мо,х) декорированный граф с группой инвариантности Z<i, фундаментальная область которого состоит в точности из единственного многообразия Мо, а упорядоченные некоторым образом точки склейки многообразия Мо с его копиями образуют вектор х € М". Рассмотрим операторы Шредингера Н1 на декорированном графе Мо, х), определяемые оператором Бельтрами-Лапласа на кусках и -периодическими самосопряженными операторами Ь в С", матричные элементы которых отличны от нуля лишь на конечном числе диагоналей. Имеет место
Теорема 8 Пусть спектр оператора Белътрами-Лапласа на Mq содержит бесконечное число собственных чисел Ек, к € N, кратности большей п. Тогда множество всех х 6 , таких что число лакун в спектре оператора HL(x) конечно, имеет меру нуль и является множеством первой категории по Бэру.
Отметим, что для любого графа G условия теоремы в выполняются, если в качестве многообразия Mq выбрать двумерную сферу, плоский тор с рациональным соотношением длин образующих и т.д.
Работы, опубликованные по теме диссертации
1. Гейлер В. А., Лобанов И. С. Спектр трехмерного изотропного гармонического осциллятора с точечным возмущением. // Труды двенадцатой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", часть 3, Самара. - 2002. - С. 33-36.
2. Brüning J., Geyler V., Lobanov I. Spectral properties of a short-range impurity in a quantum dot. // J. Math. Phys. - 2004. - V. 45. - P. 12671290.
3. Брюнинг Й., Гейлер В. А., Лобанов И. С. Спектральные свойства операторов Шредингера на декорированных графах. // Математические заметки. - 2005. - Т. 77, N 6. - С. 932-934.
4. Лобанов И. С. Создание лакун в спектрах периодических дифференциальных операторов на метрических графах с помощью декорации. // Труды Средневолжского математического общества. -2005. - Т. 7, N 1. - С. 231-239.
Подписано в печать 29.11.05. Объем 1,0 п. л. Тираж 100 экз. Заказ № 2359. Типография Издательства Мордовского университета 430000, г. Саранск, ул. Советская, 24
025 794
РНБ Русский фонд
2006-4 30114
i
Основные обозначения.
Введение.
Глава 1. Вспомогательные сведения.
§ 1. Сведения из теории самосопряженных расширений
1.1. Пространства граничных значений.
1.2. Спектр самосопряженных расширений операторов с конечными индексами дефекта.
§ 2. Вспомогательные сведения из гармонического анализ
2.1. Проективные представления и их линеаризации.
2.2. Скрученные групповые С* -алгебры.
2.3. Калибровочно-периодические операторы.
Глава 2. Спектральные свойства гамильтониана заряженной частицы в квантовой точке с короткодействующей примесью.
§ 1. Точечные возмущения операторов Шредингера.
1.1. Свойства функций Грина операторов Шредингера в Е
1.2. Конструкция точечного возмущения.
§ 2. Точечные возмущения в случае неограниченного потенциала конфайнмента точки.
2.1. Свойства ^-функции Крейна.
2.2. Спектр точечного возмущения как функция интенсивности возмущения
2.3. Зависимость спектра точечного возмущения от положения носителя возмущения.
§ 3. Точечные возмущения гармонического осциллятора
3.1. Собственные функции и собственные числа гармонического осциллятора
3.2. ¿2-функция Крейна и эффект позиционного беспорядка
3.3. Изотропный гармонический осциллятор.
3.4. Спектр точечного возмущения изотропного гармонического осциллятора
Глава 3. Спектральные свойства операторов Шредингера на декорированных графах.
§ 1. Операторы Шредингера в инвариантных семействах гильбертовых пространств
1.1. Самосопряженные расширения операторов на инвариантных семействах гильбертовых пространств
1.2. Признаки зонности и фрактальности спектра.
1.3. Спектральный анализ на инвариантных семействах с абелевой группой периодичности.
§ 2. Спектральные свойства периодических операторов Шредингера на декорированных графах.
2.1. Декорированные графы.
2.2. Инвариантные графы.
2.3. Оператор Шредингера на гибридном многообразии
2.4. Инвариантные операторы Шредингера на декорированных графах
2.5. Открытие лакун при декорации.
2.6. Нарушение гипотезы Бете-Зоммерфельда.
В настоящей работе изучаются спектральные свойства явно-решаемых моделей мезоскопических систем методами теории самосопряженных расширений операторов, в частности, методом потенциалов нулевого радиуса (точечных потенциалов). Наряду с квазиклассическим подходом, методы теории расширений широко использовались в квантовой механике начиная с 1930-х годов. Одной из первых работ, в которых потенциалы нулевого радиуса применялись для исследования зонного спектра периодических систем, является широко известная статья Р. де Л. Кронига и В. Г. Пенни 1931-го года [113], где рассматривалась модель нерелятивистского электрона, движущегося в жесткой кристаллической решетке. С помощью этой модели И. Е. Таммом были открыты так называемые поверхностные состояния [46]. В 1935 году Г. Бете и Р. Пайерлс [67], а также Л. Томас [151], применив метод потенциалов нулевого радиуса, решили задачу о фоторасщеплении дейтона. Изучая движение нейтронов в водородсодержащих средах по существу методами точечных потенциалов, Э. Ферми [47] неявно ввел так называемый псевдопотенциал Ферми; явно это было сделано Г. Брейтом [71] спустя десять лет. С помощью потенциалов нулевого радиуса М. Л. Гольбер-гером и Ф. Зейтцем [101] было проведено исследование электронных свойств трехмерного кристалла, включая исследование плотности состояний, а Я. Б. Зельдович исследовал рассеяние ультрахолодных нейтронов, в частности, им была обоснованна возможность хранить нейтроны в сосудах с графитовыми стенками (бутылках Зельдовича) [22]. Строгое математическое обоснование метода потенциалов нулевого радиуса в рамках теории самосопряженных расширений было дано Ф. А. Березиным и Л. Д. Фаддеевым [7]; ими же было предложено использовать формулу М. Г. Крейна для получения резольвент точечных возмущений. Систематически метод потенциалов нулевого радиуса был изложен в монографиях Ю. Н. Демкова и В. Н. Островского [20], А. И. Базя, Я. В. Зельдовича и А. М. Переломова [2]. Дальнейшее развитие метода связано с работами Б. С. Павлова [29, 36, 37], С. Альбеверио [1], П. Экснера [62, 72, 92, 93], их коллег и учеников. Обширная библиография работ, посвященных применениям метода точечных потенциалов, имеется в монографии С. Альбеверио, Ф. Гестези, Р. Хёэг-Крона и X. Хольдена [1] (второе издание с дополнением П. Экснера и расширенной библиографией вышло в 2005 году [52]) и монографии С. Альбеверио и П. Б. Курасова [54].
В настоящей диссертации методами теории самосопряженных расширений исследуются спектральные свойства двух важных классов явнорешаемых моделей мезоскопических систем: искривленных систем пониженной размерности (моделируемых так называемыми гибридными многообразиями, содержащими части различных размерностей) и квантовых точек с примесными центрами. Основные результаты, касающиеся упомянутых моделей, изложены во второй и в третьей главах диссертации соответственно. Исследования, проводимые в этих главах объединены общим методом, основанном на спектральном анализе возмущений конечного ранга операторов с дискретным спектром, основные теоремы о котором сформулированы и доказаны в первой главе. Кроме того, в третьей главе исследование операторов, периодических относительно дискретных групп, использует комбинацию методов теории расширений и гармонического анализа как на коммутативных группах (теория Флоке-Блоха), так и на группах общего вида. В случае группы общего вида используются подходы, основанные на теории С* -алгебр, называемые также методами некоммутативной геометрии (см. монографии А. Конна [85], Ю. И. Манина [124], В. М. Мануйлова и Е. В. Троицкого [33] и т.д.). В контексте рассматриваемых задач удобно применять вариант теории расширений, разработанный М. Г. Крейном, в рамках которого самосопряженные расширения параметризуются самосопряженными операторами в дефектном пространстве, и дается явное описание резольвент расширений в терминах резольвенты невозмущенного оператора и операторов граничных значений. Необходимые сведения из теории М. Г. Крейна, а также некоторые самостоятельные результаты, излагаются в первой главе диссертации. В частности, в этой главе достаточно подробно исследована зависимость спектров возмущений конечного ранга операторов с дискретным спектром от параметров расширения.
Актуальность темы. В последнее время мезоскопические структуры, такие как квантовые точки и фуллериты, привлекают все большее внимание. На основе квантовых точек были созданы эффективные лазеры, детекторы инфракрасного излучения, и другие оптоэлектронные устройства, предоставляющие, в частности, элементную базу для квантовых компьютеров (см., например, обзор Н. Н. Леденцова, Ж. И. Алферова, Д. Бимберга и др. [30], и монографии [48,68,130]). При создании такого рода наноустройств необходимо иметь квантовые точки с заданными транспортными и оптическими свойствами; один из способов контролировать эти свойства заключается во внедрение примеси. Для исследования короткодействующей примеси эффективно использовать приближение нулевого радиуса, которое приводит к явнорешаемой модели, если явно известен вид функции Грина гамильтониана точки без примеси. Отметим, что явнорешаемая модель получается при выборе потенциала конфайнмента квантовой точки в виде потенциала изотропного гармонического осциллятора (параболического потенциала), так как функция Грина соответствующего гамильтониана была найдена явно в [3, 102, 110]). Для моделирования потенциала конфайнмента используются и другие потенциалы, например, потенциал прямоугольной ямы. Выбор потенциала гармонического осциллятора обусловлен результатами работы [126], где показано, что самосогласованное решение соответствующей системы уравнений Пуассона и Шредин-гера дает потенциал, имеющий форму обрезанного параболического потенциала.
Возмущения параболического потенциала потенциалом нулевого радиуса изучались в ряде работ по теоретической и математической физике. В статье [60] на физическом уровне строгости спектральные свойства точечных возмущений гармонического осциллятора были рассмотрены в контексте одномерных моделей топониума и конденсации Бозе-Эйнштейна. Строгое математическое обоснование результатов работы [60] было проведено в [94, 96, 136], однако полученное в этих работах уравнение на собственные значения имело сложное выражение, содержащее функциональные ряды, в связи с чем зависимость спектра от положения носителя возмущения осталась неисследованной. В более общем контексте исчерпывающее исследование спектра точечного возмущения одномерного осциллятора было проведено в [18, 100], где существенно использовались свойства одномерного дифференциального оператора второго порядка, что не позволяет распространить методы этих работ на трехмерный случай.
Точечное возмущение трехмерного изотропного гармонического осциллятора исследовалось в [95], где однако было рассмотрено лишь возмущение, расположенное в точке равновесия осциллятора, а уровни энергии были найдены приближенно. В работах В. Д. Крев-чика и др. [24,25,26,112] примесь в сферически симметричной квантовой точке моделировалась потенциалом нулевого радиуса на физическом уровне строгости, а влияние примеси на спектр анализировалась численно; при этом функция Грина возмущенного оператора представлялась в виде преобразования Лапласа ядра теплопроводности, что существенно сузило возможности подхода, позволив исследовать лишь нижний примесный уровень. Во второй главе диссертации дается исчерпывающий спектральный анализ возмущения трехмерного гармонического осциллятора (включая анизотропный случай) точечным потенциалом произвольного положения и интенсивности опираясь на упомянутые выше методы теории расширений. Более того, в случае изотропного гармонического осциллятора, используя явный вид функции Грина, нами получено замкнутое выражение В -функции Крейна (в виде алгебраической комбинации функции параболического цилиндра и Г-функции Эйлера), что позволило подробно исследовать спектр точечного возмущения (а следовательно, спектр короткодействующей примеси в квантовой точке с мягкими стенками) как функцию интенсивности потенциала примеси и ее положения. В частности, доказана возможность восстановления параметра параболического потенциала квантовой точки по зависимости основного состояния возмущения от положения примеси, рассмотрены эффекты падения частицы на притягивающий центр и позиционного беспорядка.
Обратимся теперь к системам, которые можно моделировать с помощью декорированных графов, изучаемых в третьей главе диссертации. Одним из значительных научных событий прошлого века явилось открытие Г. Крото, Р. Смолли и Р. Курлом фуллеренов [114]; стабильность таких конфигураций была доказана Д. А. Бочваром, Е. Г. Гальпериным, И. В. Станкевичем (см. обзор [44]). На основе нанотрубок, фуллеренов и их массивов создаются материалы с заданными физическими и химическими свойствами, в том числе новые нелинейные элементы для электроники и оптоэлектроники (см. монографию П. Харриса [48]). Для создания таких устройств важно уметь предсказывать оптические и транспортные свойства электронов в упомянутых мезоскопических системах. Один из подходов к изучению этих свойств заключается в моделировании гамильтониа
Рис. 1: Периодическая поверхность, моделирующая фуллерит[58] на заряженной частицы в массиве фуллеренов оператором Шредин-гера на искривленной поверхности (см. рисунок 1), как это проде-лывалось в работах Т. Андо, X. Аоки и др. [58, 59, 150]; идея такого подхода восходит к первым годам квантовой механики (см., например, обзор Б. С. де Витта [152]). Однако, спектральный анализ периодических операторов Шредингера на многообразиях в общем случае весьма сложен; отметим лишь, что достаточно общие условия зонности спектра таких операторов были предложены только в о
1992 году И. Брюнингом и Т. Сунадой [77], существование многообразий размерности не менее двух, на которых оператор Бельтрами-Лапласа имеет произвольное количество лакун, было доказано только в 1997 Э. J1. Грином [87], а может ли число лакун быть бесконечным не известно до сих пор. Упомянутых выше сложностей, возникающих при исследовании спектральных свойств электрона, движение которого ограничено в одном или двух направлениях, в ряде случаев можно избежать, используя квазиклассические методы (см. работы В. П. Маслова, В. В. Белова, С. П. Доброхотова и др. [6]). В настоящей диссертации предлагается иной подход, приводящий к яв-норешаемым моделям периодических массивов фуллеренов и других мезоскопических структур, отражающим существенные черты reo
Рис. 2: а) Квазидвумерный фуллерен кумуленовый кристалл СбоСг [42]; б) Соответствующий декорированный граф. а) б) метрии реальных наноструктур. В качестве таких моделей в диссертации предложены и изучены графы, декорированные компактными римановыми многообразиями (называемые далее просто декорированными графами). Используемая нами конструкция декорации графов фактически применялась Б. С. Павловым еще в 1988 при изучении электронов в однородных кристаллах из точечных атомов с внутренней структурой [37]. Неформально говоря, граф, декорированный компактными многообразиями, получается из дискретного графа заменой вершин на многообразия, а ребер на отрезки. Оператор Шре-дингера на декорированном графе строится при помощи методов теории самосопряженных расширений операторов, при этом его резольвента выражается явно через резольвенты операторов Шредингера на многообразиях и отрезках, входящих в декорацию графа, и через операторы граничных значений. Спектральный анализ таких операторов частично сводится к анализу на дискретном графе, что для -периодического оператора Шредингера позволяет найти уравнения на собственные значения каждого слоя разложения этого оператора в прямой интеграл по тору квазиимпульсов.
Класс декорированных графов, рассматриваемых в третьей главе диссертации, включает в себя метрические (квантовые) графы. По существу метрические графы были использованы при изучении спектров ароматических молекул в 1936 году JI. Полингом [135]. Интенсивно метрические графы стали исследоваться с конца 1980 —х, в частности, при моделировании квантового транспорта в мезоскопических сетях, образованных квантовыми проволоками. Недавно JI. А. Чернозатонским и др. [57] была обоснована возможность объединения нанотрубок в сети, которые также можно моделировать метрическими графами. Первой строгой математической работой об операторах Шредингера на квантовых графах является статья П. Экснера и П. Шебы [93]. Дальнейшее развитие спектральной теории на графах связанно с именами Б. С. Павлова [ 131 ], В. Ко-стрыкина и Р. Шрадера [ 111] и др.; обзор новых результатов и открытых проблем можно найти в статьях П. Кучмента [115]. Для спектрального анализа на метрических графах используются два основных подхода, опирающихся соответственно на теорию обыкновенных дифференциальных уравнений [38], и теорию расширений операторов [8, 72]. Мы используем второй подход, в рамках которого возможно также изучение операторов на декорированных графах.
Поскольку конкретный выбор граничных условий диктуется соображениями, выходящими за рамки настоящей работы, мы рассматриваем операторы Шредингера с граничными условиями общего вида. Такой подход обосновывается результатами работ [84, 92, 118, 141, 143], в которых показано, что при получении метрических графов как пределов так называемых графоподобных поверхностей, оператор Бельтрами-Лапласса на этих поверхностях стремится в некотором смысле к оператору Шредингера на метрических графах с разными граничными условиями, зависящими от способа перехода к пределу. При этом следует выделить работу П. Экснера и О. Поста [92], в которой указан способ предельного перехода, приводящий к граничным условиям Кирхогоффа.
Так как операторы Шредингера на декорированных графах приближают в некотором смысле операторы Шредингера на поверхностях (см. цитированные выше работы), то решение спектральной задачи на декорированном графе позволяет пролить свет на вопросы спектральной теории операторов на многообразиях. Одним из таких вопросов является гипотеза Бете-Зоммерфельда, которая утверждает, что периодический оператор Шредингера в при ^ 2 имеет конечное число лакун в спектре [149]. Гипотеза была доказана М. Скригановым в 1979 для двумерного случая [43] и в 1985 для трехмерного случая [148]; для случаев более высоких размерностей гипотеза была доказана О. А. Велиевым [12], Ю. Карпешиной [107], Л. Парновским и А. В. Соболевым [134] и др. В более общей постановке, эта гипотеза предсказывает конечность числа лакун в спектре периодического оператора Шредингера на римановом многообразии в случае, когда группа периодов имеет ранг не менее двух. В такой постановке гипотеза не доказана и не опровергнута даже для свободных операторов Шредингера, т.е. для операторов Бельтрами-Лапласа на периодических многообразиях. В этом направлении имеются лишь частные результаты, среди которых упомянем работы Э. Л. Грина [87] и О. Поста [138], где предложены примеры периодических многообразий, для которых число лакун в спектре оператора Бельтрами-Лапласса является произвольно большим конечным числом. В случае периодических декорированных графов ситуация более ясна, а именно, известны примеры операторов Шредингера с о бесконечным числом лакун (см. статью И. Брюнинга, П. Экснера и В. А. Гейлера [72]). Однако насколько широк класс таких операторов, не известно.
В связи с изложенным, в третьей главе изучены калибровочно-периодические операторы Шредингера на метрических и декорированных графах, в частности, найдены их резольвенты в терминах операторов Шредингера на ребрах графа и кусках декорации и в терминах операторов пространств граничных значений. Комбинируя методы теории самосопряженных расширений операторов и методы теории С* -алгебр, мы даем условия зонности спектра периодических операторов Шредингера на декорированном графе, а также условия, при которых эти операторы приближаются с произвольной точностью в сильном резольвентном смысле операторами с канторовым спектром. При естественных ограничениях мы доказываем отсутствие дискретного спектра у операторов Шредингера с бесконечной группой периодичности общего вида, а также отсутствие непрерывно сингулярного и плотного точечного спектров для -периодических операторов Шредингера. Здесь же предъявляется широкий класс -периодических операторов Шредингера (й ^ 2), не удовлетворяющих гипотезе Бете-Зоммерфельда. Далее в третьей главе рассматривается вопрос о создании лакун с помощью декорации, который в контексте декораций пространства Е" изучался Б. С. Павловым [37], а в контексте декораций дискретных графов был подробно рассмотрен Й. Шенкером и М. Айземаном [144]. П. Кучментом были найдены достаточные условия, при которых декорация метрическим графом открывает лакуну вокруг точки спектра оператора Шредингера на исходном метрическом графе, причем размер лакун не контролируется [117]. В настоящей работе доказывается, что для каждого периодического оператора Шредингера на метрическом графе найдется дискретное множество А С М, такое что для любого компакта К С Е\А при декорировании исходного графа многообразиями или метрическими графами специального вида подбором граничных условий можно добиться того, что К будет лежать в резольвентном множестве оператора на декорации.
Целью работы является описание спектральных свойств точечного возмущения оператора Шредингера с потенциалом квантовой точки, а также спектральных свойств операторов Шредингера на декорированных графах, имея в виду их возможное применение к изучению транспортных и оптических свойств квантовых точек и мезоскопических структур, таких как периодические массивы фул-леренов.
Общая методика исследования основана на применении теории самосопряженных расширений симметрических операторов в гильбертовых пространствах, коммутативного гармонического анализа (теории Флоке-Блоха), методов теории С* -алгебр и некоммутативной геометрии.
Научная новизна определяется следующими основными результатами теоретического исследования:
• детально описан спектр точечного возмущения оператора Шредингера с потенциалом квантовой точки, предъявлено уравнение на собственные значения, найдены их кратности и соответствующие собственные подпространства, доказано наличие эффекта падения частицы на центр;
• доказано наличие эффекта позиционного беспорядка для точечного возмущения гармонического осциллятора размерности не выше трех;
• для точечного возмущения трехмерного изотропного гармонического осциллятора найдена функция Грина, вычислены асимптотики собственных значений при стремлении длины рассеивания к нулю, показана возможность восстановления потенциала по зависимости основного состояния от положения возмущения;
• описан спектр возмущения конечного ранга оператора с дискретным спектром, предъявлено уравнение на собственные значения, найдены их кратности, собственные подпространства, доказана замкнутость графика зависимости собственных значений от параметров возмущений; построен оператор Шредингера на декорированных графах, его резольвента выражена через операторы Шредингера на частях графа и через операторы граничных значений; для периодического оператора Шредингера на декорированном графе найдены достаточные условия, при которых его спектр имеет зонную структуру, а также условия, при которых он приближается в топологии сильной резольвентной сходимости периодическими операторами с канторовым спектром; для операторов Шредингера на декорированном графе с дискретной группой периодичности общего вида доказано отсутствие собственных значений конечной кратности (как изолированных, так и погруженных в непрерывный спектр); для широкого класса операторов Шредингера на декорированных графах с абелевыми группами периодичности (включая локальные операторы) доказано отсутствие непрерывно сингулярного и плотного точечного спектров; доказано, что для каждого периодического оператора Шредингера на метрическом графе найдется дискретное множество А С К, такое что для любого компакта К с подбором граничных условий на декорации этого метрического графа можно добиться открытия лакун, содержащих К. найден широкий класс операторов Шредингера на декорированных графах с группами периодичности , с1 ^ 2, для которых не верна гипотеза Бете-Зоммерфельда о конечности числа лакун.
Научная и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты работы имеют практическое применение для моделирования короткодействующей примеси в квантовой точке и периодических массивах фуллеренов. С математической точки зрения, работа дает ответы на ряд вопросов о спектральных свойствах возмущений конечного ранга операторов с дискретным спектром, в частности, точечных возмущений операторов Шредингера, и о самосопряженных расширениях на семействах инвариантных гильбертовых пространств, в частности, периодических операторах Шредингера на декорированных графах.
Личное участие автора. Результаты диссертации получены совместно с научным руководителем В. А. Гейлером и профессором О
И. Брюнингом. Вклад автора заключается в проведении части доказательств и выкладок. В частности, при изучении точечного возмущения гармонического осциллятора автором были самостоятельно получены <2 -функция Крейна и функция Грина, описан спектр точечного возмущения с помощью <2-функции, найдены собственные подпространства, вычислены асимптотики собственных значений. Автором также были самостоятельно найдены условия зонности и фракталыюсти спектров калибровочно-периодических расширений на инвариантных семействах гильбертовых пространств, в случае абелевой группы инвариантности доказана аналитичность разложения таких расширений в прямой интеграл по квазиимпульсу, предложена процедура открытия лакун при декорации.
Положения, выносимые на защиту.
• Детальное описание спектра возмущения конечного ранга оператора с дискретным спектром и его зависимости от параметров возмущения.
• Детальное описание спектра точечного возмущения оператора Шредингера с потенциалом квантовой точки, описание соответствующих собственных подпространств.
Эффекты падения на центр и позиционного беспорядка для точечных возмущений оператора Шредингера с потенциалом квантовой точки.
Явный вид функции Грина точечного возмущения произвольного положения трехмерного изотропного гармонического осциллятора, асимптотики зависимости собственных значений возмущения от силы возмущения, утверждение о возможности восстановления потенциала по положению примеси.
Достаточные условия пустоты дискретного и зонности непрерывного спектров калибровочно-периодических операторов Шредингера на декорированных графах.
Условия плотности операторов с канторовым спектром в пространстве калибровочно-периодических операторов Шредингера на декорированных графах.
Теорема об аналитичности расслоения периодических операторов Шредингера с абелевой группой периодичности на декорированном графе и ее следствия о пустоте непрерывно сингулярного и плотного точечного спектров.
Теорема о существовании декораций, открывающих в спектре периодических операторов Шредингера на метрических графах лакуны, содержащие наперед заданный компакт, при условии, что этот компакт не пересекает некоторого фиксированного дискретного множества.
Теорема о бесконечности числа лакун в спектрах периодических операторов Шредингера на декорированных графах.
Апробация работы. Основные результаты диссертации доложены на конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, Россия, 2002), международной конференции ШТАБ «Спектральные проблемы для операторов типа Шрединге-ра» (Берлин, Германия, 2003), международной конференции «Успехи в моделировании полупроводниковых устройств» (Берлин, Германия, 2004), международной конференции «(^МаШ9» (Жиен, Франция, 2004), конференции «Огаревские чтения» (Саранск, Россия, 2004), семинаре проф. Й. Брюнинга «Геометрический анализ и спектральная теория» (Гумбольдтовский университет, Берлин, Германия, 2003), семинаре проф. Г. Гюйскена «Геометрический анализ и гравитация» (институт гравитационной физики Макса Планка (институт Альберта Эйнштейна), Голм, Германия, 2004), семинаре проф. Т. Каппелера (Цюрихский университет, Цюрих, Швейцария, 2005), а также отражены в публикациях [9, 16,32, 76].
1. Альбеверио С., Гестези Ф., Хеэг-Крон Р., Хольден X. Решаемые модели в квантовой механике. — М.: Мир, 1991.
2. Базь А. И., Зельдович Я. В., Переломов А. М. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. — М.: Наука, 1971.
3. Бакрак В. JI., Ветчинкин С. J1., Кристенко С. В. Функция Грина многомерного гармонического осциллятора. — Теор. Мат. Физ. 1972. - Т. 12. - С. 223-226.
4. Бейтменн Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — М.: Наука, 1973.
5. Белов В. В., Воробьев Е. М., Шаталов В. Е. Теория графов. — М.: Высшая школа, 1976.
6. Белов В. В., Доброхотов С. Ю., Маслов В. П., Тудоровский Т. Я. Обобщенный адиабатический принцип для описания динамики электрона в искривленных наноструктурах. // Успехи физических наук. 2005. - Т. 175, N 9. - С. 1004-1010.
7. Березин Ф. А., Фаддеев JI. Д. Замечание об уравнении Шре-дингера с сингулярным потенциалом. // Докл. Акад. Наук СССР. 1961. - Т. 137. - С. 1011-1014.
8. Брюнинг Й., Гейлер В. А. Геометрическое рассеяние на компактных римановых многообразиях. // Доклады Академии Наук. 2003. - Т. 389, N 3. - С. 310-313.
9. Брюнинг Й., Гейлер В. А., Лобанов И. С. Спектральные свойства операторов Шредингера на декорированных графах. // Математические заметки. 2005. - Т. 77, N 6. - С. 932-934.
10. Бурбаки Н. Алгебра. — М.: Физматгиз, 1962. 516 с.
11. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. — М.: Наука, 1968.
12. Велиев О. А. Асимптотические формулы для собственных чисел периодического оператора Шредингера и гипотеза Бете-Зоммерфельда. // Функт. анализ и приложения. — 1987. — Т. 21, N2.-С. 1-15.
13. Вишик М. И. Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравнений. // Труды московского математического общества. — 1952. — Т. 1. — С. 187—246.
14. Воробьев Л. Е., Ивченко Е. Л., Фирсов Д. А., Шалыгин В. А. Оптические свойства наноструктур. — СПб.: Наука, 2001.
15. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966.
16. Гейлер В. А., Лобанов И. С. Спектр трехмерного изотропного гармонического осциллятора с точечным возмущением. // Труды двенадцатой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", часть 3, Самара 2002. — 2000. С. 33-36.
17. Гейлер В. А., Маргулис В. А., Чучаев И. И. Потенциалы нулевого радиуса и операторы Карлемана. // Сибирский математический журнал. 1995. - Т. 36, N 4. - С. 828-841.
18. Гейлер В. А., Чудаев И. В. Спектр квазидвумерной системы в параллельном магнитном поле. // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1997. — Т. 37, N 2. — С. 214-222.
19. Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. — Киев: Наукова Думка, 1984.
20. Демков Ю. Н., Островский В. Н. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1975.
21. Деркач В. А., Маламуд М. М. О функции Вейля и эрмитовых операторах с лакунами. // Доклады Академии Наук СССР. — 1987. Т. 293. - С. 1041-1046.
22. Зельдович Я. Б. Уровни энергии в искаженном кулоновом поле. Ц 1959. Физ. тверд, тела. - Т. 1. - С. 1638-1645.
23. Кочубей А. Н. О расширениях симметрических операторов и симметрических бинарных отношений. // Мат. Заметки. — 1975.-Т. 17, N 1.-С. 41-48.
24. Кревчик В. Д., Зайцев Р. В. Примесное поглощение света в структурах с квантовыми точками. // Физика твердого тела. —2001. Т. 43, N 3. - С. 504-507.
25. Кревчик В. Д., Грунин А. Б., Зайцев Р. В. Анизотропия магнитооптического поглощения комплексов квантовая точка-примесный центр. // Физика и техника полупроводников. —2002. Т. 36, N 2. - Р. 216-220.
26. Кревчик В. Д., Зайцев Р. В., Евстифеев В. В. К теории фотоионизации глубоких примесных центров в параболической квантовой яме. // Физика и техника полупроводников. — 2000. — Т. 34, N10.-0.1244-1249.
27. Крейн М. Г. Теория самосопряженных расширений полуограниченных эрмитовых операторов и ее приложения. I. // Мат. сборник. 1947. - Т. 20, N 62. - С. 431-495.
28. Крейн М. Г., Лангер Г. К. О дефектных подпространствах и обобщенных резольвентах Эрмитова оператора в пространстве П^.// Функ. анализ и прил. 1971. — Т. 5, N 2. - С. 5971; Т. 5, N3.-С. 54-69.
29. Курасов П. Б., Павлов Б. С. Электрон в однородном кристалле из точечных атомов с внутренней структурой. II. // Теоритиче-ская и математическая физика. — 1987. — Т. 74, N 1. — С. 82— 93.
30. Леденцов Н. Н., Устинов В. М., Щукин В. А., Копьев П. С., Алферов Ж. И., Бимберг Д. Гетероструктуры с квантовыми точками: получение, свойства, лазеры. // Физика и техника полупроводников. 1998. - Т. 32, N4.-0.385-411.
31. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. — М.: Мир, 1980.
32. Лобанов И. С. Создание лакун в спектрах периодических дифференциальных операторов на метрических графах с помощью декорации. // Труды Средневолжского математического общества. 2005. - Т. 7, N 1. - С. 231-239.
33. Мануйлов В. М., Троицкий Е. В. С* -гильбертовы модули. — М.: Факториал Пресс, 2001.
34. Маркушевич А. М. Теория аналитических функций. Том II. Дальнейшее построение теории. — М.: Наука, 1968. 624с.
35. Мерфи Дж. С* -алгебры и теория операторов. — Факториал: Москва, 1997.
36. Павлов Б. С. Теория расширений и явнорешаемые модели. // Успехи матем. наук. 1987. - Т. 42, N 6. - С. 99-131.
37. Павлов Б. С. Электрон в однородном кристалле из точечных атомов с внутренней структурой. I. // Теоритическая и математическая физика. 1987. - Т. 72, N 3. - С. 403-415.
38. Покорный Ю. В., Пенкин О. М., Прядиев В. Л., Боровских А. В., Лазарев К. П., Шабров С. А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. — М.: Физматлит, 2004.
39. Попов И. Ю., Гейлер В. А., Попов А. В. Локализация в системе связанных колец Ааронова-Бома. // Физика Твердого Тела. — 1999. Т. 41, N 5. - С. 910-913.
40. Рид М,, Саймон Б. Методы современной математической физики. II. Гармонический анализ. Самосопряженность. — М.: Мир, 1978.
41. РидМ., Саймон Б. Методы современной математической физики. IV. Анализ операторов. — М.: Мир, 1982.
42. Сабиров А. Р., Станкевич И. В., Чернозатонский Л. А. Гибриды карбина и фуллерена. // Письма в ЖЭТФ. — 2004. — Т. 79, ЫЗ.-С. 153-157.
43. Скриганов М. М. Доказательство гипотезы Бете-Зоммерфельда в размерности два. // Доклады АН СССР. — 1979. V. 248. - Р. 39-42.
44. Станкевич И. В., Никеров М. В., Бочвар Д. А. Структурная химия кристаллического углерода: геометрия, стабильность, электронный спектр. // Успехи химии. — 1984. — Т. 53. — С. 1101.
45. Соловьев Ю. П., Троицкий Е. В. С* -алгебры и эллиптические операторы в дифференциальной топологии. — М.: Факториал, 1996.
46. Тамм И. Е. О возможных типах электронных состояний на поверхности кристаллов. // ЖЭТФ. — 1933. — Т. 3. — С. 33—35.
47. Ферми Э. Научные труды. Т. I. М.: Наука, 1971.
48. Харрис П. Углеродные нанотрубы и родственные структуры. Новые материалы XXI века. — М.: Техносфера, 2003.
49. Шик А. Я., Бакуева J1. Г., Мусихин С. Ф., Рыков С. А. Физика низкоразмерных систем. — СПб.: Наука, 2001.
50. Шубин М. А. Псевдоразностные операторы и их функции Грина. // Известия академии наук: Серия математическая. — 1985. Т. 49, N 3. - С. 652-671.
51. Abramowitz М., Stegun I. A. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. — New York: John Wiley & Sons, 1984.
52. Albeverio S., Gesztesy F., H0egh-Krohn R., Holden H. Solvable models in quantum mechanics. — Providence: AMS Chelsea Publishing, 2005.
53. Albeverio S., Geyler V. A. The band structure of the general periodic Schrodinger operator with point interactions. // Commun. Math. Phys. 2000. - V. 210, N 1. - P. 29-48.
54. Albeverio S., Kurasov P. Singular perturbations of differential operators. — Cambridge: Cambridge University Press, 2000.
55. Albeverio S., Pankrashkin K. A remark on Krein's resolvent formula and boundary conditions. // Preprint arXiv:math-ph/0408021. 2004. - P. 1-6.
56. Anderson M. R. The Mathematical Theory of Cosmic Strings: Cosmic Strings in the Wire Approximation. — Bristol: IoP Publ., 2003.
57. Andriotis A. N., Menon M., Srivastava D., Chernozatonskii L. Rectification properties of carbon nanotube "Y-junctions". // Phys. Rev. Lett. 2001. - V. 87. - P. 066802-066806.
58. Aoki H., Koshino M., Kuroki K. et al. Electronic structure of periodic minimal surfaces -— 'topological band structure' // Preprint arXiv:cond-mat/0109512. 2001.
59. Aoki H., Koshino M., Takeda D., Morise H., Kuroki K. . Electronic structure of periodic curved surfaces: Topological bandstructure. // Phys. Rev. B. 2002. - V. 65. - P. 035102-035109.
60. Avakian M. P., Pogosian G. S., Sissakian A. N., Ter-Antonyan V. M. Spectroscopy of a singular linear oscillator. // Phys. Lett. A. 1987. - V. 124. - P. 233-236.
61. Avramidi I. G. Green functions of higher-order differential operators. // J. Math. Phys. 1998. - V. 39, N 5. - P. 28892909.
62. Avron J. E., Exner P., Last Y. Periodic Schrodinger operators with large gaps and Wannier-Stark ladders. // Physical Review Letters. 1994. - V. 72, N 6. - P. 896-899.
63. Bar C. On nodal sets of Dirac and Laplace operators. // Comm. Math. Phys. 1997. - V. 188. - P. 709-721.
64. Bellisard J. Gap labelling theorems for Schrodinger operators. // From Number Theory to Physics, Springer. — 1993. — P. 538— 630.
65. Berezanski Y. Expansion in eigenfunctions of self-adjoin operators. — Providence: AMS, 1986.
66. Berger M. A panoramic view of Riemannian geometry. — Berlin: Springer, 2003.
67. Bethe H., Peieris R. Quantum theory of the diplon. // Proc. Roy. Soc. A 1935. - V. 148. - P. 146-156.
68. Bimberg D., Grundmann M., Ledentsov N. N. Quantum dot heterostructures. — Chichester: J. Wiley & Sons, 1999.
69. Bogevolnov V., Mikhailova A., Pavlov B., Yafyasov Y. About scattering on the ring. // Oper. Theory: Adv. Appl. — 2001. — V. 124.-P. 155-173.
70. Bose C., Sarkar C. K. Effect of a parabolic potential on the impurity binding energy in spherical quantum dots. // Physica B. 1998. - V. 253. - P. 238-241.
71. Breit G. The scattering of slow neutrons by bound protons I. Methods of calculation. // Phys. Rev. 1947. - V. 71. - P. 215241.
72. Brüning J., Exner P., Geyler V. A. Large gaps in point-coupled periodic systems of manifolds. // J. Phys. A, Math. Gen. — 2003. V. 36, N 17. - P. 4875-4890.
73. Brüning J., Geyler V. A. The spectrum of periodic point perturbations and the Krein resolvent formula. // Sonderforschungsbereich 288. Preprint No. 348. — 1998. — P. 1-12.
74. Brüning J., Geyler V. A. Gauge periodic point perturbations on the Lobachevsky plane. // Theoretical and Mathematical Physics. — 1999. V. 119, N 3. - P. 687-697.
75. Brüning J. Geyler V. A. Scattering on compact manifolds with infinitely thin horns. // J. Math. Phys. 2003. - V. 44, N 2. -P. 371-405.
76. Brüning J., Geyler V., Lobanov I. Spectral properties of a short-range impurity in a quantum dot. // J. Math. Phys. — 2004. — V.45.-P. 1267-1290.
77. Brüning J., Sunada T. On the spectrum of gauge-periodic elliptic operators. // Astérisque. 1992. - V. 210. - P. 65-74.
78. Brüning J., Sunada T. On the spectrum of periodic elliptic operators.//Nagoya Math. J. 1992.- V. 126.-P. 159-171.
79. Carey A., Hannabuss K., Mathai V., McCann P. Quantum Hall Effect on the hyperbolic plane. // Commun. Math. Phys. — 1998.-V. 190.-P. 629-673.
80. Chen S., Trauzettel B., Egger R. Landauer-type transport theory for interacting quantum wires: Application to carbon nanotube junctions. // Physical Review Letters. 2002. - V. 89, N 22. -P. 226404-1-226404-4.
81. Chernozatonskii L. Carbon nanotube connectors and planar jungle gyms. // Phys. Lett. A. 1992. - V. 172, N 3. - P. 173176.
82. Choi M.-D., Elliot G. A., Yui N. Gauss polynomials and the rotation algebra. // Invent. Math. 1990. - V. 99, N 2. - P. 225246.
83. Choi M.-D. Elliott G. A. Density of the self-adjoint elements with finite spectrum in an irrational rotation C* -algebra. // Math. Scand. 1990. - V. 67, N 1. - P. 73-86.
84. Colin de Verdiére Y., Sur la multiplicité de la première valeur propre von nulle du laplacien. // Comment. Math. Helv. — 1986. — V. 61, N 2. -P. 254-270.
85. Connes A. Noncommutative geometry. — San Diego: Academic Press Inc., 1994.
86. Cycon H. L., Frose R. G., Kirsch W., Simon B. Schrddinger operators with applications to qauntum mechanics and global geometry.//Berlin: Springer-Verlag, 1987.
87. Green E .L. Spectral theory of Laplace-Beltrami operators with periodic metrics. // J. Diff. Eq. 1997. - V. 133. - P. 15-29.
88. Davies J. H. The physics of low-dimensional semiconductors. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1998.
89. Derkach V. A., Malamud M. M. Generalized resolvents and the boundary value problems for Hermitian operators with gaps. // J.Funct.Anal.- 1991.-V.95.-P. 1-95.
90. Dresselhaus M. S., Dresselhaus G., Avouris Ph. Carbon nanotubes. — Berlin: Springer, 2000.
91. Elliott J. P., Dawber P. G. Symmetry in physics. V. II. — London: McMillan Press, 1979.
92. Exner P., Post O. Convergence of spectra of graph-like thin manifolds. // Journal of Geometry and Physics. 2005. - V. 54, N 1.-P. 77-115.
93. Exner P., Seba P. Bound states in curved quantum waveguides. // J. Math. Phys. 1989. - V. 30, N 11.- P. 2574-2580.
94. Fassari S., Inglese G. On the spectrum of the harmonic oscillator with a 8 -type perturbation. // Helv. Phys. Acta. 1994. - V. 67, N 6. - P. 650-659.
95. Fassari S., Inglese G. Spectroscopy of a three-dimensional isotropic harmonic oscillator with a ¿-type perturbation. // Helv. Phys. Acta. 1996. - V. 69, N 2. - P. 130-140.
96. Fassari S., Inglese G. On the spectrum of the harmonic oscillator with a ¿-type perturbation. II. // Helv. Phys. Acta. — 1997. — V. 70, N 6. P. 858-865.
97. Ferreyra J. M., Bosshard P., Proetto C. R. Strong-confinement approach for impurities in parabolic quantum dots. // Phys. Rev. B. 1997. - V. 55. N 20. - P. 13682-13688.
98. Feynman R. P., Hibbs A. R. Quantum mechanics and path integrals. — New York: McGraw-Hill, 1965.
99. Gerard C., Nier F. The Mourre theory for analytically fibered operator. // J. of Func. Anal. 1998. - V. 152. - P. 209-219.
100. Geyler V. A., Chudaev I. V. Schrodinger operators with moving point perturbations and related solvable models of the quantum mechanical systems. // Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwendungen. 1998. - V. 17, N 1. - P. 37-55.
101. Goldbereger M. L., Seltz F. Therory of the refractions and the diffrection of neutrons by crystals. // Phys. Rev. — 1947. — V.71.-P.294-310.
102. Grosche C., Steiner F. Handbook of Feynman path integrals. — Berlin: Springer-Verlag, 1998.
103. Gruber M. J. Noncommutative Bloch theory. // J. Math. Phys. — 2001. V. 42, N 6. - P. 2438-2465.
104. Harmer M. Hermitian symplectic geometry and extension theory. // J. Phys. A, Math. Gen. 2000. - V. 33, N 43. -P. 9193-9203.
105. Hempel R., Post O. Spectral gaps for periodic elliptic operators with high contrast: An overview. // Progress in Analysis.Proceedings of the 3rd International ISAAC Congress Berlin 2001, Vol. 1. 2003. - P. 577-587.
106. Hurt N. E. Mathematical Physics of Quantum Wires and Devices. — Dordrecht: Kluwer, 2000.
107. Karpeshina Y. E. Perturbation theory for the Schrodinger operator with a periodic potential. — Berlin: Springer Lecture Notes, 1997.
108. Kato T. Perturbation theory for linear operators. — Berlin: Springer-Verlag, 1980.
109. Kazaryan E. M., Petrosyan L. S., Sarkisyan H. A. Impurity states in a narrow band gap semiconductor quantum dot with parabolic confinement potential. // Physica E. 2003. - V. 16, N 2. -P. 174-178.
110. Khrebtukov D. B., Macek J. H. Harmonic oscillator Green functions. // J. Phys. A, Math. Gen. 1998. - V. 31, N 12. -P. 2853-2868.
111. Kostrykin V., Schrader R. Kirchhoff's rule for quantum wires. // J. Phys. A. 1999. - V. 32, N 4. - P. 595-630.
112. Krevchik V. D., Grunin A. B., Aringazin A. K., Semenov M. B. Magneto-optical properties of the quantum dot impurity center systems synthesized in a transparent dielectric matrix. // Hadronic J. Suppl. - 2003. - V. 18. - P. 261-294.
113. Kronig R. de L., Penney W. G. Quantum mechanics of electrons in crystal lattices. // Proc. Roy. Soc. A 1931. - V. 130. - P. 499513.
114. Kroto H. W., Heath J. R„ O'Brien S. C., Curl R. F., Smalley E. E. C60 Buckminsterfullerene. //Nature. 1985. - V. 318. - P. 162163.
115. Kuchment P. Graph models for waves in thin structures. // Waves in Random Media. 2002. - V. 12. - P. R1-R24.
116. Kuchment P. Quantum graphs I. some basic structures. // Waves in Random media. 2004. - V. 14. - P. S107-S128.
117. Kuchment P. Quantum graphs II: Some spectral properties of quantum and combinatorial graphs. // Preprint arXiv:math-ph/0411003. 2004. - Pp. 22.
118. Kuchment P., Zheng H. Convergence of spectra of mesoscopic systems collapsing onto a graph. // J. Math. Anal. Appl. — 2001. V. 258, N 2. - P. 671-700.
119. Kurasov P., Steinberg F. On the inverse scattering problem on branching graphs. // J. Phys. A, Math. Gen. 2002. - V. 35, N1.-P. 101-121.
120. Kurata K. On the ratio of the first two eigenvalues of perturbed harmonic oscillators. // J. Math. Anal. Appl. 1996. - V. 204, N 1.-P. 227-235.
121. Kuwae K., Shioya T. Convergence of spectral structures: a functional analytic theory and its applications to spectral geometry. // Comm. in Anal, and Geom. — 2003. — V. 11, N 4. — P. 599-673.
122. Lahiri A., Roy P. K., Bagchi B. Supersymmetry and the three-dimensional isotropic oscillator problem. // J. Phys. A, Math. Gen. 1987. - V. 20. - P. 5403-5405.
123. Lind E., Gustafson B., Pitzonk I., Wernersson L.-E. Tunneling spectroscopy of a quantum dot through a single impurity. // Phys. Rev. B. 2003. - V. 68. - P. 033312-033315.
124. Manin Yu. I. Topics in noncommutative geometry. — Princeton: Princeton University Press, 1991.
125. Marcolli M., Mathai V. Twisted index theory on good orbifolds, I: Noncommutative Bloch theory. // Commun. Contemp. Math. — 1999. V. 1, N 4. - P. 553-587.
126. Martin T., Feng S. Suppression of scattering in electron transport in mesoscopic quantum Hall systems. // Phis. Rev. Lett. — 1990.-V.64.-P. 1971-1974.
127. Mathai V. On positivity of the Kadison constant and noncommutative Bloch theory. // Tohoku Mathematical Publications. 2001. - V. 20. - P. 107-124.
128. Miller J. C. P. Tables of Weber parabolic cylinder functions. Giving solutions of the differential equation cPy/dx1 + (x2/4 — a)y = 0. Computed by Scientific Computing Service Limited. — London: Her Majesty's Stationary office, 1955.
129. Miranda C. Equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico. — Berlin: Springer-Verlag, 1955.
130. Nano, quantum and molecular computing ed. Shukla S. K., Bahar R. I. — Moscow: Kjuwer Academic Publishers, 2004.
131. Oleinik V. L., Pavlov B. S., Sibirev M. V. Analysis of the dispersion equation for the Schrodinger operator on periodic metric graphs. // Preprint arXiv:math-ph/0312038. 2003. -Pp. 49.
132. Pankrashkin K. Resolvents of self-adjoint extensions with mixed boundary conditions. // Preprint arXiv:math.FA/0412431. — 2004.
133. Papoyan V. V., Zagrebnov V. A. On condensation of a one-dimensional nonideal Boson gas. // Phys. Lett. A. — 1985. — V. 113.-P. 8-10.
134. Parnovski L., Sobolev A. V. On the Bethe-Sommerfeld conjecture. // Journées Équations aus dérivées partielles. — 2000. V. 5. - P. XVII-1—XVII-14.
135. Pauling L. The diamagnetic anisotropy of aromatic molecules. // Journal of Chemical Physics. 1936. - V. 4. - P. 673-677.
136. Peng Q.-Z., Wang X., Zeng J.-Y. Analytic solution to the Schrôdinger equation with a harmonic oscillator potential plus ô-potential.// Sci. China, Ser. A. 1991. - V. 34, N 10. - P. 12151221.
137. Pimsner M. V. OT-groups of crossed products by groups acting on trees. // Invent. Math. 1986. - V. 86. - P. 603-634.
138. Post O. Periodic manifolds with spectral gaps. // J. Differ. Equations. 2003. - V. 187, N 1. - P. 23-45.
139. Reich S., Thomsen C., Maultzsch J. Carbon nanotubes. — Weinheim: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, 2004.
140. Rieffel M. C* -algebras associated with irrational rotations. Pacific J. Math. 93:415-429,1981.
141. Rubinstein J., Schatzman M. Variotional problems on multiply connected thin strips. I. Basic estimates and convergence of the Laplacian spectrum. // Arch. Ration. Mech. Anal. — 2001. — V. 160, N4.-P. 271-308.
142. Ruedenberg K., Scherr C. W. Free-electron netwprk model for conjugated systems. I. Theory. // The Journal of Chemical Physics. 1953. - V. 21, N 9. - P. 1565-1581.
143. Saito Y. The limiting equation for Neumann Laplacians on shrinking domains. // Electron. J. Differ. Equ. — 2000. — V. 31. — P. 1-25.
144. Schenker J., Aizenman M. The creation of spectral gaps by graph decoration. // Lett. Math. Phys. 2000. - V. 53, N 2. - P. 253262.V
145. Seba P., Englisch H. Perturbation theory for point interactions in three dimensions. // J. Phys. A, Math. Gen. 1986. - V. 19. — P. 711-716.
146. Simon B. Schrodinger semigroups. // Bull. Amer. Math. Soc. — 1982. V. 7. - P. 447-526.
147. Simon B. Spectral analysis of rank one perturbations and applications. // CRM Proceedings and Lecture Notes. — 1995. — V.8.-P. 109-149.
148. Skriganov M. M. The spectrum band structure of the three-dimensional Schrodinger operator with periodic potential. // Invent. Math. 1985. - V. 80. - P. 107-121.
149. Sommerfeld A., Bethe H. Elektronentheorie der Metalle, Handbuch der Physik. V. XXIV/2. // Berlin: Springer-Verlag, 1933.
150. H. Suzuura, T. Ando. Phonons and electron-phonon scattering in carbon nanotubes.//Phys. Rev. B. 2002. - V. 65. - P. 235412235412.
