Квантовая когерентность в мезоскопических сверхпроводящих системах и квантовые вычисления тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау

МАХЛИН Юрий Генрихович

КВАНТОВАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ В МЕЗОСКОПИЧЕСКИХ СВЕРХПРОВОДЯЩИХ СИСТЕМАХ И КВАНТОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации

на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2004

Работа выполнена в Институте теорегической физики им. Л.Д. Ландау РАН

Официальные оппоненты: академик РАН Г.М. Элиашберг

доктор физико-математических наук М.Ю. Куприянов доктор физико-математических наук С.Н. Молотков

Ведущая организация:

Институт радиотехники и электроники РАН

Защита состоится 25 июня 2004 г. в 11:30 на заседании диссертационного совета Д002.207.01 (Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН, 142432, Московская обл., пос. Черноголовка, Институтский просп. 12)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН

Автореферат разослан /у мая 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук Л.А. Фальковский

Общая характеристика работы

Актуальность исследования. Интерес к исследованию электронных структур с размерами в микрометровом или нано-метровом диапазоне в последние годы связан со значительным продвижением в технологии изготовления таких систем, что расширяет возможности их использования как в прикладных целях, так и для изучения вопросов фундаментального характера. Настоящая работа посвящена исследованию явлений, связанных с квантовой когерентностью в системах на основе сверхпроводниковых контактов, и мотивирована вопросами из таких областей физики, как физика макроскопических квантовых явлений, свойства классических джозефсоновских контактов, одноэлектроника (область явлений на которые существенное влияние оказывают зарядовые эффекты), физика квантовых вычислений.

«Макроскопические» квантовые эффекты в системах на основе джозефсоновских контактов малого размера исследовались в течение долгого времени. В последнее время дополнительное внимание к этим системам привлекает возможность их использования для хранения и обработки квантовой информации. Недавно были проведены первые успешные эксперименты с джозефсоновскими кубитами. Технологии изготовления, управления и измерения параметров таких систем являются достаточно развитыми на сегодняшний день. Когерентность, присущая сверхпроводящему состоянию, способствует поддержанию квантовой когерентности в джозефсоновских системах.

Для реализации кубитов были предложены системы двух типов, основанные на использовании одной из двух сопряженных степеней свободы: зарядовой или фазовой (магнитной). В первом случае в качестве квантовой степени свободы ис-

3

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

<

пользуется заряд на маленьком сверхпроводящем островке, а логические состояния различаются «количеством куперов-ских пар» на островке. Эти системы сочетают когерентность сверхпроводящего состояния с возможностями контроля, разработанными для одноэлектронных систем (таких как одно-электронные транзисторы) и основанными на явлении куло-новской блокады. В экспериментах были продемонстрированы когерентное туннелирование куперовских пар и квантово-механические свойства суперпозиций зарядовых состояний. На-камура и др. впервые продемонстрировали разрешенные во времени квантовые когерентные колебания в зарядовом джо-зефсоновском кубите, приготовленном в суперпозиции собственных состояний, недавно аналогичные результаты были получены и для более сложной двухкубитовой системы [1,2].

Альтернативный подход основан на использовании фазы на джозефсоновском контакте или магнитного потока в сверхпроводящем кольце. В ранних экспериментах исследовались такие квантовые эффекты, как, например, макроскопическое квантовое туннелирование. В 2000 г. были созданы и наблюдались собственные состояния таких систем, являющиеся суперпозициями различных фазовых состояний, а недавно были зафиксированы когерентные колебания между фазовыми состояниями (ср. [3]).

Использование когерентной квантовой эволюции требует поддержания фазовой когерентности в течение длительного времени, а также подавления влияния внешних источников шума, что подчеркивает необходимость изучения механизмов шума в этих системах. В экспериментах по изучению квантовых свойств требуется возможность производить квантовые измерения, также необходимые, например, для считывания состо-

яния кубитов после применения квантовых алгоритмов. В отличие от квантовой динамики, в ходе которой требуется поддержание высокого уровня когерентности, во время квантового измерения фазовая когерентность с необходимостью разрушается. Следует отметить недавние достижения экспериментальных групп (например, групп в Цукубе, Сакле, Дельфте, Гетеборге, Йельском университете) по изготовлению и демонстрации квантовых детекторов заряда и фазы с высокими показателями эффективности, в том числе точности и быстроты измерения и близости к квантовому пределу.

В дополнение к физике квантовых сверхпроводящих систем интерес к их исследованию как со стороны экспериментаторов, так и со стороны теоретиков, вызван возможностью их использования в качестве приборов для хранения и обработки квантовой информации, в частности для квантовых вычислений [4, 5, 6, 7], которые позволяют решать некоторые задачи быстрее, чем классические вычислительные машины. как показывает пример квантового алгоритма Шора для разложения больших чисел на множители.

Научная новизна. Основные результаты, положенные в основу диссертации, получены впервые. Были предложены новые системы, позволяющие поддерживать квантовую когерентность и в перспективе проводить квантовые вычисления в течение длительного времени; предложены методы оптимизации управления квантовой динамикой. Разработано описание процесса квантового измерения в твердотельных системах как процесса во времени, предложен набор количественных характеристик квантовых измерителей, позволяющий описывать и сравнивать различные детекторы и использующийся при их проектировании. В связи с процессом квантового измерения ис-

следована статистика транспорта в наноструктурах с учетом квантово-когерентных эффектов.

Проведен анализ основных источников шума, подавляющих квантовую когерентность сверхпроводниковых кубитов. Исследован их относительный вклад в процессы энергетической и фазовой релаксации. Разработаны методы исследования влияния низкочастотного шума, как продольного, так и поперечного, на квантовую динамику в оптимальной точке. Исследования проводились во взаимодействии с экспериментальными группами.

Цель работы. Целью работы является развитие и приложение теоретических методов исследования квантово-когерентных явлений в твердотельных системах, в первую очередь в системах на основе джозефсоновских контактов, как в зарядовом, так и в фазовом режиме, а также в промежуточной области параметров. Особое внимание уделяется созданию таких систем и управлению их квантово-когерентной динамикой. Исследуется воздействие шума разной природы на систему, приводящее со временем к потере когерентности. Анализируются вопросы, связанные с измерением квантового состояния системы и квантово-когерентных явлений в транспортных свойствах. Практическая и теоретическая ценность работы. Предложенные теоретические методы и полученные в работе результаты широко используются для обработки и анализа экспериментальных данных, а также для анализа возможностей использования различных систем на основе сверхпроводящих контактов в приложениях, требующих квантовой когерентности, в частности для квантовых вычислений. В работе также предложены конкретные системы, удобные для создания таких приборов, и описаны их свойства. Помимо этого, раз-

работанные в работе методы описания мезоскопических квантовых измерителей используются для проектирования и количественного описания различных аспектов эффективности квантовых измерителей.

Разработанные методы управления квантовой динамикой и оптимизации последовательностей управляющих импульсов используются для исследования твердотельных и других кван-тово-когерентных систем. Полученное в работе описание процесса потери когерентности используется для обработки экпе-римента, в частности, в исследованиях влияния низкочастотного шума на когерентную квантовую динамику. Полученные результаты могут применяться для подавления процессов сбоя фазы, а также для исследования механизмов шума, подавляющего когерентность квантовых систем.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех частей, заключения и списка литературы.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, излагаются цели работы и ее краткое содержание. Здесь же обсуждается история вопросов, мотивировавших настоящую работу, и их взаимосвязь.

В первой части диссертации приведены краткие сведения о квантово-когерентных джозефсоновских системах и рассмотрены режимы, в которых различные системы могут быть эффективно представлены как когерентные двухуровневые (используя язык квантовой теории алгоритмов, такие системы часто называют квантовыми битами или кубитами).

В начале этой части приведены общие сведения об одно-электронных (однозарядных) системах, в которых существен-

ную роль играют эффекты кулоновской блокады. На примере простейшей системы — «сверхпроводниковой кулоновской ловушки» — показано, что вблизи точек вырождения в спектре такие системы могут ввести себя как двухуровневые. Предложена система с дополнительным dc-сквидом, оптимизирующая возможности управления квантовой динамикой. Показано, что импульсами постоянного и/или переменного напряжения и тока можно реализовать любой оператор эволюции ку-бита, причем при приложении только напряжения или только тока динамика нечувствительна к изменениям формы импульса.

Представлены также системы на основе джозефсоновских контактов в противоположном, фазовом режиме. Рассмотрено функционирование простейших систем, таких как контакт с поданным на него током или й-сквид, в качестве двухуровневых систем и продемонстрован полный набор индуцированных импульсами тока операторов эволюции, порождающих все унитарные операторы. Помимо этого рассмотрена система в промежуточном, зарядово-фазовом режиме, изучавшаяся в недавних экспериментах.

Здесь же исследуется возможность создания более сложных («многокубитовых») систем, объединяющих несколько (в принципе, любое число) кубитов. Предложены системы как из зарядовых, так и из фазовых кубитов, которые можно представлять себе как двухуровневые системы, взаимодействующие через гармонический осциллятор (ЬС контур, образованный эффективными емкостями и индуктивностями в цепи).

Показано, что управление возникающим парным взаимодействием кубитов можно осуществлять при помощи тех же параметров, что и для отдельных кубитов. Также демонстри-

руется, что вместе с вышеописанными однокубитовыми операциями такие двухбитовые операции образуют универсальный набор квантовых логических операций, достаточный для реализации любого оператора унитарной эволюции системы, и в частности для квантовых вычислений. Исследованы ограничения на параметры системы и обсуждается оптимальный набор параметров.

В связи с вопросом об оптимизации управления динамикой исследована задача о представлении заданного оператора эволюции пары кубитов через имеющиеся в распоряжении элементарные операции (на отдельных кубитах и их парах). Приведен полный минимальный набор полиномиальных локальных инвариантов, позволяющих эффективно определить, достаточно ли для такого представления одной элементарной двухбитовой операции. Помимо этого найден полный минимальный набор полиномиальных локальных инвариантов смешанных состояний пары кубитов (заданный матрицами плотности). Эти инварианты сохраняют свои значения при локальных (однокубитовых) операциях. Знание их значений позволяет ответить на вопрос, возможен ли перевод одного из таких состояний в другое при помощи локальных воздействий на систему (однокубитовых операций). В случае, когда это возможно, приведенная процедура позволяет эффективно найти соответствующее локальное преобразование. Найденные инварианты могут использоваться для полного описания нелокальных квантовых корреляций, в частности, перепутывания (entanglement).

Во второй части диссертации рассматриваются вопросы

квантового измерения в мезоскопических системах, в частности джозефсоновских кубитах. В начале этой части анализи-

руется общая схема квантового измерения как процесса, происходящего во времени. Рассмотрены процессы, происходящие с измерителем и измеряемой квантовой системой, и введены временные характеристики этих процессов: время сбоя фазы и время релаксации (смешивания), описывающие потерю когерентности квантовой системы (кубита) в процессе измерения, время потери квантовой когерентности из-за остаточного взаимодействия с выключенным детектором, а также время измерения. Последнее представляет собой масштаб времени, на котором на выходе измерителя накапливается достаточный сигнал (ток или напряжение в мезоскопических детекторах), позволяющий различить состояния кубита на фоне неизбежно присутствующего шума выходного сигнала детектора. Показано, что квантовая механика накладывает ограничения на эти масштабы времен, приводя к тому, что время измерения не может быть короче времени сбоя фазы. Помимо этого, параметры должны быть подобраны таким образом, чтобы время смешивания существенно превосходило время измерения, в противном случае считываемая детектором информация будет потеряна раньше, чем ее удастся измерить.

Далее в этой части приведено описание квантового измерения состояния зарядового кубита при помощи одноэлектрон-ного транзистора (ОЭТ) на основе микроскопического анализа эволюции совместной матрицы плотности системы. ОЭТ хорошо известен как высокоточный «классический» измеритель заряда, и рассмотрение его динамики позволяет построить и проиллюстрировать общую «микроскопическую» картину процесса квантового измерения. Представлена система (см. рис. 1) и ее микроскопический гамильтониан, а также исследовано измерение квантового состояния зарядового кубита.

Рис. 1: Система из зарядового квантового бита и квантового детектора — одноэлектронного транзистора.

Для описания динамики системы из кубита и измерителя выводится кинетическое уравнение для редуцированной матрицы плотности системы. В ситуации, когда характерные времена динамики кубита велики по сравнению со временем тун-нелирования, удается проинтегрировать по электронным степеням свободы и вывести замкнутое марковское кинетическое уравнение для редуцированной матрицы плотности

где след берется по состояниям левого и правого электродов и островка ОЭТ. Этот объект Pi,i';Nji>;m,m' содержит информацию о состоянии кубита (индексы г, г'), заряда на центральном островке транзистора (N,N') и прошедшем заряде Взятие следа по индексам двухуровневой си-

стемы и N дает распределение прошедшего заряда

Р(т, t) = £ р(г, г; N, N; т, m)(t).

Взятие следа по индексам дает редуцированную

матрицу плотности кубита Ру = N,N',171,171). Изу-

чение динамики позволяет исследовать процессы потери когерентности кубитом в ходе квантового измерения.

В зависимости от деталей взаимодействия в системе в двумерном гильбертовом пространстве кубита тот или иной базис становится выделенным, и измеритель дает информацию о заполнении соответствующих базисных состояний. При этом разным базисным состояниям могут соответствовать различные значения тока в детекторе (транзисторе), что проявляется в динамике распределения распределение

сконцентрировано на После на-

чала измерения (включения транспортного напряжения) пик распределения смещается в сторону от т = 0 и уширяется из-за дробового шума в системе. Если два состояния выделенного базиса соответствуют различным значениям тока (т.е. сдвига по оси т) и если их смешивание (релаксация) в процессе измерения достаточно медленное, то со временем пик разделяется на два пика, веса которых соответствуют диагональным элементам |а|2 и |6|2 начальной матрицы плотности кубита в выделенном базисе. При условии, что к

моменту достаточного разделения уширенных пиков их веса все еще близки к измерение величины т прошедшего

заряда позволяет реализовать квантовое измерение, близкое к фон-неймановскому проективному измерению.

С использованием келдышевской диаграммной техники в реальном времени выводится кинетическое уравнение для редуцированной матрицы плотности. При этом получена замкнутая система уравнений на элементы матрицы диагональные по N. В интересном с точки зрения квантового измерения режиме в динамике участвуют только два за-

рядовых состояния центрального островка; соответствующие матрицы скоростей перехода между этими уровнями систематическим образом вычисляются при помощи келдышевского диаграммного разложения. В интересующей нас ситуации, когда характерные времена динамики кубита велики по сравнению со временем туннелирования, уравнение сводится к марковской динамике.

Характерное поведение распределения; Р(т,£) в процессе измерения показано на рис. 2. Для удобства распределение изображено как функция тп/Ь (т.е. среднего тока за время £), что подчеркивает наиболее вероятные значения тока. На малых временах имеется один пик, уширенный за счет дробового шума. На временах порядка масштаба времени измерения в распределении выделяются два пика вблизи значений тока, соответствующих двум состояниям в выделенном базисе. Наконец на больших временах порядка времени смешивания из-за переходов между состояниями кубита пики смешиваются и образуют один широкий пик с центром, соответствующим значению тока в равновесии (в данном случае равному полусумме двух значений).

В данной части диссертации описывается динамика редуцированной матрицы плотности в когерентном и некогерентном режиме. Разделение на режимы происходит в зависимости от соотношения двух характерных масштабов энергии (частоты) — межуровневого расстояния кубита и скорости сбоя фазы, определяющейся силой шума заряда на островке ОЭТ, который подавляет фазовую когерентность кубита. В когерентном режиме в главном приближении поведение определяется гамильтонианом кубита, и его удобно описывать в собственнном базисе этого гамильтониана. В некогерентном режиме удобно

Рис. 2: P(m,t), изображенное как функция временй(в логарифмическом масштабе) и m/t. Начальные заполнения состояний кубита |а|2 = 3/4, |6|2 = 1/4.

описывать динамику в собственном базисе кубитового оператора (заряда), на который воздействует внешний (со стороны ОЭТ) шум.

Показано, что в когерентном режиме измерение производится в собственном базисе кубита: его состояние эффективно проектируется на одно из собственных состояний, а выходной сигнал пропорционален среднему значению заряда в соответствующем состоянии (т.е. в Р(тп, t) имеется два пика с соответствующими весами на соответствующих значениях тока). В частности, в точке зарядового вырождения, в которой средние значения заряда в двух собственных состояниях совпадают, совпадают и соответствующие значения величины тока, что делает измерение невозможным.

В некогерентном режиме измерение производится в зарядовом базисе. При этом сила тока определяется величинами за-

рядов в двух базисных зарядовых состояниях. Показано, что поведение кубита соответствует эффекту Зенона, описанному в следующей части.

Здесь же показано, что безразмерные отношения характерных времен, описывающих процесс измерения, характеризуют различные аспекты эффективности квантовых измерителей, такие как близость к квантовому пределу, минимизация воздействия на кубит между измерениями, а также эффективность и точность измерения. Показана связь статистики тока на выходе измерителя со свойствами детектора, в том числе его эффективностью.

В связи с экспериментальным исследованием системы из последовательно соединенных джозефсоновских контактов [8] изучен транспорт в системе, представляющей собой зарядовый кубит, слабо связанный с внешними электродами. Разработанный подход позволяет описывать динамику системы в том числе вблизи точек вырождения, где недостаточно стандартного «классического» кинетического уравнения на диагональные элементы матрицы плотности в зарядовом базисе. В частности, описан транспорт в системе в режиме Зенона [9], схематически представленный на рис. 3. В дополнение к расчету приведено качественное обсуждение динамики, объясняющее положение, контрастность и форму резонансных пиков и линий. Демонстрируется, что вблизи порогового значения транспортного напряжения возникает структура из двух пиков.

Исследована статистика тока через рассеиватель в нормальном состоянии в ситуации, когда существенную роль играют когерентные явления. Продемнострировано, что при медленном периодическом изменении во времени матрицы рас-

00'|е>

2еУ

1

*

18>_00 |е>

-о

т-2

т

т+2

Рис. 3: Схема уровней и транспорта через них в случае резонанса с состояниями двойного островка. Справа изображено положение резонансных пиков в плоскости затворных напряжений Резонансный пик появляется при транспортном напряжении V = Е]/2е (точка в центре) и разделяется на два пика при дальнейшем увеличении напряжения. Пунктирными линиями показано положение резонансов с туннелированием через виртуально возбужденный уровень островка.

сеяния статистика прошедшего заряда определяется (с точностью до целочисленного сдвига) соответствующей периодической траекторией N(4) = Б^азБ в фактор-пространстве и(2М)/и(М) х 1/(Л/"), где N — число каналов. В одноканаль-ном случае это фактор-пространство является сферой, и статистика определяется замкнутой петлей на сфере. При этом средний заряд, протекающий за цикл, пропорционален величине телесного угла, охваченного этой петлей. Найдена также связь дисперсии прошедшего заряда со свойствами петли на сфере. Описано решение задачи оптимизации, т.е. уменыне-ния шума тока при эволюции вдоль заданной траектории, (с возможностью репараметризации времени). Показано, что минимальное значение шума пропорционально площади минимальной поверхности в Я3, натянутой на петлю на сфере. Опи-

сана также эволюция оптимизирующая величину шума. Аналогичные результаты получены и для многоканальной ситуации. Полученные результаты применяются для различных циклов и позволяют на едином языке описывать статистику тока в различных случаях.

Третья часть диссертации посвящена изучению источников шума, действующих на джозефсоновские кубиты, и вызванных ими процессов потери когерентности. В начале этой части описываются основные источники шума, действующие на джозефсоновские системы и приводящие к потере когерентности — как сбою фазы, так и релаксации. Представлен общий подход к описанию диссипативной динамики квантовой (в частности двухуровневой) системы. Показано, как влияние внешнего шума, действующего на систему, может быть учтено на уровне кинетического уравнения для эволюции редуцированной матрицы плотности системы, и продемонстрировано упрощение уравнений в случае слабого коротко-коррелированного шума, когда динамика описывается уравнениями Блоха. Для применения в последующих обобщениях построена схема систематического учета поправок в кинетическом уравнении на основе келдышевской диаграммной техники в вещественном времени, аналогичной технике, применявшейся при анализе процесса квантового измерения в предыдущей части. Предложен подход к изучению динамики кубитов и спиновых корреляций на основе представления спинов через май-орановские фермионы, позволяющий упростить пертурбатив-ный анализ; в качетсве иллюстрации этод метод применен для исследования диссипативной динамики кубитов.

Развитый подход применяется для анализа динамики джо-зефсоновских кубитов. В частности, исследуются эксперимен-

тально изучаемые случаи шума, не являющегося коротко-коррелированным (на примере шума), а также ситуации с нелинейным или поперечным взаимодействием кубита с источником шума. Анализируются возможные механизмы шума в джозефсоновских системах и обсуждаются модели низкочастотного шума в этих системах. Продемонстрирован закон подавления когерентности для случая продольного линейного взаимодействия с источником

В джозефсоновских системах основным источником шума, подавляющего квантовую когерентность, является низкочастотный шум, часто со спектром как в зарядовом, так и в магнитном канале, а также шум критического тока. Этот шум оказывается сложно подавить в исследуемых образцах, и изучение его влияния составляет неотъемлемую часть исследования этих систем. С одной стороны, такой анализ позволяет изучать влияние диссипативных процессов на когерентную динамику, с другой стороны, понимание этого влияния позволит подавить эти эффекты и создать возможности для более детального исследования явлений, связанных с квантовой когерентностью. Помимо этого, изучение и понимание механизмов шума и его статистики представляет собой важную и интересную задачу, и джозефсоновские кубиты можно рассматривать как чувствительный датчик для исследования этих механизмов. Основной вклад низкочастотного шума (например, в динамику связан с флуктуациями во времени уровней энергии кубита, что приводит к сбою относительной фазы. Недавние эксперименты [10] показали однако, что этот эффект можно в значительной степени подавить, если при помощи внешних параметров (напряжений и токов) подавить линейное продольное взаимодействие кубита с резервуаром.

При этом существенную роль начинают играть вклады более высокого порядка. Таким образом, в окрестности такой «оптимальной» точки в пространстве параметров система сохраняет когерентность в течение длительного времени, что позволяет не только исследовать квантовую динамику, но и изучать подробно влияние шума.

В этой части показано, что исследование потери когерентности в случае поперечного взаимодействия с источником низкочастотного шума можно свести к ситуации с продольным, но нелинейным (квадратичным) взаимодействием. Для этого продемонстрировано совпадение результатов этих двух подходов в главном порядке пертурбативного разложения и в следующим за ним, а затем с использованием обнаруженных на этом этапе закономерностей доказательство распространено на высшие порядки. Это оказывается существенным при исследовании влияния шума, где важны вклады всех порядков.

Здесь же проводится исследование влияния на когерентность низкочастотного шума в случае продольного квадратичного взаимодействия с кубитом. При помощи диаграммного разложения в технике Келдыша (ср. рис. 4а) получено общее выражение для закона распада когерентности и соответствующей формы резонансной линии двухуровневой системы. Показано, что основной вклад в интеграл по частотам в диаграммах дают области частот, показанные на рис. 4Ь.

В этом разделе для случая 1// шума получены асимптотики закона распада когерентности на временах, малых, промежуточных и больших по сравнению с величиной пропор-

О),

Рис. 4: а. Разложение по связным графикам для логарифма величины когерентности двухуровневой системы. Множитель б^Аш) = 8ш(Дс<;/2)/(я-Дй») в каждой вершине нарушает сохранение частоты (он соответствует интегрированию по конечному интервалу времени). Ь. Области высоких и низких частот, дающих основной вклад в интеграл по частотам в связных графиках в случае 1// шума.

циональной константе связи и интенсивности флуктуаций:

Соответствующая форма резонансной линии изображена на рис. 5.

В этой же части обсуждается связь теоретических результатов и представлений с экспериментом.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Исследованы системы на основе джозефсоновских контактов в режиме кулоновской блокады, удобные для изучения квантовых эффектов на мезоскопическом уровне и эффективно ведущие себя как двухуровневые. Продемонстрированы воз-

-1/4

е-Г,4/2

Г{« < 1, Г£* » 1.

Основные результаты работы

О

8

4

-1

О

Рис. 5: Форма резонансной линии х®, » Аккуратный учет поправок высших порядков приводит к существенному изменению формы линии: для сравнения пунктиром показан результат гауссова приближения (младшего порядка).

можности контролировать квантовую динамику таких систем при помоши внешних сигналов и поддерживать когерентность системы в течение длительного времени. Показано, что изменение критического тока сквида позволяет настраивать эффективные поля отдельных двухуровневых систем (или «квантовых битов» = «кубитов»), а также силу взаимодействия между ними и облегчает проведение измерения квантового состояния. Предложены и изучены реализации масштабируемых квантовых систем («компьютеров») как из зарядовых, так и из фазовых сверхпроводящих кубитов, а также разработаны методы описания квантовых корреляций и эффективной оптимизации управляющих последовательностей. Показано, что возможность контролировать «локальные» эффективные поля и силу попарного взаимодействия кубитов позволяет построить универсальный набор унитарных операций.

Разработан подход к количественному описанию процесса

квантового измерения как процесса во времени, в частности в зарядовых и фазовых системах на основе сверхпроводников. Для количественного описания процесса введены масштабы времен измерения (накопления сигнала), разрушения квантового состояния (сбоя фазы и релаксации), а также сбоя фазы из-за взаимодействия измеряемой квантовой системы с выключенным детектором. Показано, что безразмерные отношения этих масштабов ограничены определенными неравенствами и характеризуют различные аспекты эффективности квантового детектора.

На основе микроскопичеких моделей исследован процесс измерения квантового состояния джозефсоновских систем в зарядовом режиме при помощи одноэлектронного транзистора и других систем, использующих явление кулоновской блокады. Описана динамика системы из детектора и измеряемой квантовой системы на языке эволюции совместной матрицы плотности. Параметры в кинетическом уравнении для редуцированной матрицы плотности вычисляются систематическим образом на основе диаграммного разложения.

В связи с процессом квантового измерения исследована статистика транспорта (сигнала на выходе детектора) в мезоско-пических измерителях, а также ее связь со свойствами и состоянием квантовой системы. Показано, как свойства двухуровневой системы проявляются в особенностях спектральной плотности шума. Получено компактное описание статистики дробового шума в открытых мезоскопических системах для случая адиабатически меняющихся внешних условий (матрицы рассеяния), использующее дополнительные симметрии задачи и позволяющее уменьшать шум при сохранении полного тока, а также дающее новые соотношения между статистиче-

скими характеристиками шума.

Исследована статистика тока через систему двух сверхпроводящих островков, слабо связанных с контактами. Выведено уравнение эволюции матрицы плотности системы, применимое и в ситуациях с вырождением уровней. Описана статистика тока через зарядовый квантовый бит в режимах без вырождения и с вырождением уровней. Показано, что вблизи вырождения в системе проявляется эффект Зенона. Построен формализм, позволяющий исследовать систему как при низких, так и при высоких транспортных и затворных напряжениях.

Исследовано влияние внешнего шума на квантовую динамику и когерентность для различных типов источников шума. Выделены наиболее существенные источники шума для систем на основе джозефсоновских контактов. Для коротко-коррелированного шума, в том числе шума электромагнитных степеней свободы во внешней цепи, построено описание квантовой динамики и проведено сравнение с экспериментальными данными.

Исследованы модели низкочастотного шума и его влияние на квантовую динамику джозефсоновских систем. Разработан метод описания диссипативной квантовой динамики в оптимальной точке. Показано, что изучение влияния поперечного низкочастотного шума в такой точке сводится к исследованию эффекта продольного шума с амплитудой, квадратично зависящей от амплитуды исходного шума.

Исследовано влияние продольного низкочастотного шума, квадратично взаимодействующего с кубитом или другой квантовой системой. Построено описание полной динамики зарядово-фазового кубита в оптимальной точке, найдено характерное время сбоя фазы, описана форма резонансной линии. Показа-

но также, что в оптимальной точке влияние найквистовско-го шума сильнее подавляется при охлаждении, чем в других условиях.

Апробация работы и публикации

Результаты диссертации докладывались на заседаниях Ученого Совета и семинарах ИТФ им. Л.Д. Ландау РАН, на семинарах в ИФП РАН, ИРЭ РАН, в университетах Штутгарта, Карлсруэ, Эрлангена, Регенсбурга, Йены, Дортмунда (Германия), Базеля, Цюриха (Швейцария), Ювяскюля, Хельсинки (Финляндия), Кембриджа (Кавендишская лаборатория), Уорика (Англия), в институтах и центрах Атомных Исследований (Сакле и Гренобль, Франция), Метрологии (Браун-швейг, Германия), ЭНС (Лион, Франция), а также на международных конференциях: по квантовой электронике в низкоразмерных системах (Штутгарт-98), Международном конгрессе по физике низких температур (Хельсинки-99), Международном симпозиуме по физике сверхнизких температур (Санкт-Петербург-99), коллоквиумах по квантовой обработке информации (Германия-00-03), совещаниях по реализации квантовых вычислений в сверхпроводящих системах (Дельфт, Катания-00), Международной конференции по макроскопической квантовой когерентности (Неаполь-00), Международной конференции по мезоскопике и сильно-коррелированным системам (Черноголовка-00), Международной конференции по обработке квантовой информации в конденсированных средах (Амстердам-03), Международных симпозиумах по теоретической электротехнике (Магдебург-99, Женева-00), Международной конференции по сверхпроводниковой электронике (Энс-хеде-00), Международном симпозиуме по вопросам оснований квантовой механики (Хатояма-01), Международной конференции по наноэлектронике (Ланкастер-03), Конгрессе немецкого физического общества (Мюнстер-99, Дрезден-03), Совещании по основам квантовой обработки информации в твердотель-

ных системах (Лейден-03), Совещании по зарядовому и спиновому транспорту (Черноголовка-03), а также на научных школах по динамике наноструктур (Бад-Херенальб-99,03), квантовой теории информации (ИСИ-99), электронным наноструктурам (Бад-Хонеф-01), физическим системам со многими степенями свободы (Гейдельберг-03), и опубликованы в работах:

1. Ю. Махлин, А. Шнирман, Dephasing ofqubits by transverse low-frequency noise, Письма в ЖЭТФ 78, 969 (2003)

2. Yu. Makhlin, G. Schon, A. Shnirman, Dissipative effects in Josephson qubits, Chem. Phys. 296, 315 (2004)

3. А. Шнирман, Ю. Махлин, Quantum Zeno effect in the Cooper-pair transport through a double-island Josephson system, Письма в ЖЭТФ 78, 915 (2003)

4. A. Shnirman, Yu. Makhlin, Spin-spin correlators in Majorana representation, Phys. Rev. Lett. 91, 207204 (2003)

5. Yu. Makhlin, G. Schon, A. Shnirman, Dissipation in Josephson qubits, в кн.: New directions in mesoscopicphysics (towards nanoscience), стр. 197, сборник под ред. R. Fazio, V.F. Gant-makher, Y. Imry, Kluwer, Dordrecht, 2003

6. J. Clarke, T.L. Robertson, B.L.T. Plourde, A. Garcia-Martinez, P.A Reichardt, B. Chesca, R. Kleiner, D.J. Van Harlingen, Yu. Makhlin, G. Schon, A. Shnirman, F.K. Wilhelm, Quiet readout of superconducting flux states, Phys. Scr. T102, 173 (2002)

7. A. Shnirman, Yu. Makhlin, G. Schon, Noise and decoherence in quantum two-level systems, Phys. Scr. T102, 147 (2002)

8. Yu. Makhlin, G. Schon, A. Shnirman, Josephson quantum bits in the flux regime, Physica С 368, 276 (2002)

9. Yu. Makhlin, A. Mirlin, Counting statistics for arbitrary cycles in quantum pumps, Phys. Rev. Lett. 87, 276803 (2001)

10. Yu. Makhlin, G. Schon, A. Shnirman, Quantum-state engineering with Josephson-junction devices, Rev. Mod. Phys. 73, 357 (2001)

11. Yu. Makhlin, G. Schon, A. Shnirman, Nanoscale superconducting quantum bits, Physica С 350, 161 (2001)

12. Yu. Makhlin, G. Schon, A. Shnirman, Josephson-junction qubits, Fortschr. Phys. 48, 1043-1054 (2000)

13. G. Schon, Yu. Makhlin, A. Shnirman, Reading-out the state of a qubit: an analysis of the quantum measurement process, Physica С 352, 113-119 (2001)

14. Yu. Makhlin, Nonlocal properties oftwo-qubitgates and mixed states and the optimization of quantum computations, Quant. Info. Proc. 1, 243-254 (2002)

15. Yu. Makhlin, G. Schon, A. Shnirman, Statistics and noise in a quantum measurement process, Phys. Rev. Lett. 85, 45784581 (2000)

16. G. Schon, Yu. Makhlin, A. Shnirman, Nano-electronic realizations of quantum bits, J. Low Temp. Phys. 118, 751-763 (2000)

17. Yu. Makhlin, G. Schon, A. Shnirman, Josephson-junction quantum bits and logic gates, Physica В 280; 410-411 (2000)

18. Yu. Makhlin, G. Schon, A. Shnirman, Josephson-junction quantum logic gates, Comput. Phys. Commun. 127, 156-164 (2000)

19. Yu. Makhlin, G. Schon, A. Shnirman, Josephson-junction based quantum computing, Appl. Algebra Engrg. Comm. Comput. 10, 375-382 (2000)

20. Yu. Makhlin, G. Schon, A. Shnirman, Josephson-junction qubits and the readout process by single-electron transistors, в кн. : Exploring the quantum-classicalfrontier: recent advances in macroscopic quantum phenomena, стр. 405-440, сборник под ред. J.R. Friedman, S. Han, Nova Science, Commack, NY, 2002.

21. Yu. Makhlin, G. Schon, A. Shnirman, Josephson-junction qubits with controlled couplings, Nature 398, 305-307 (1999)

Цитированная литература

[1] Y. Nakamura, Yu.A Pashkin, and J.S. Tsai. Coherent control of macroscopic quantum states in a single-Cooper-pair box. Nature, 398:786, 1999.

[2] Yu.A.Pashkin, T.Yamamoto, O.Astafiev, Y.Nakamura, D.V.Averin, and J.S.Tsai. Quantum oscillations in two coupled charge qubits. Nature, 421:823, 2003.

[3] I. Chiorescu, Y. Nakamura, С J. P. M. Harmans, and J. E. Mooij. Coherent quantum dynamics of a superconducting flux qubit. Science, 299:1869, 2003.

[4] A. Barenco. Quantum physics and computers. Contemp. Phys., 37:375, 1996.

[5] D. DiVincenzo. Quantum computation. Science, 270:255, 1995.

[6] А. Холево. Введение в квантовую теорию информации. МЦНМО, Москва, 2002.

[7] А. Китаев, А. Шень, М. Вялый. Классические и квантовые вычисления. МЦНМО, ЧеРо, Москва, 1999.

[8] Е. Bibow, P. Lafarge, and L. Levy. Resonant cooper pair tunneling through a double-island qubit. Phys. Rev. Lett, 88, 2002.

[9] B. Misra and E.C.G. Sudarshan. The Zeno's paradox in quantum theory. J. Math. Phys., 18:756, 1977.

[10] D. Vion, A. Aassime, A. Cottet, P. Joyez, H. Pothier, C. Urbina, D. Esteve, and M. H. Devoret. Manipulating the quantum state of an electrical circuit. Science, 296:886, 2002.

»110 12

Оглавление

Введение

I Сверхпроводниковые квантовые биты

1 Зарядовые квантовые биты

1.1 Одноэлектронная кулоновская ловушка

1.2 Сверхпроводящая гранула как двухуровневая система

1.3 Зарядовый кубит с регулируемой амплитудой туннелиро-вания.

1.4 Взаимодействие зарядовых кубитов и многобитовые операции

2 Другие джозефсоновские кубиты, эксперименты

2.1 Фазовый джозефсоновский кубит.

2.2 Взаимодействие магнитных кубитов.

2.3 Другие джозефсоновские кубиты и элементы квантовых цепей

3 Многобитовые операции и «перепутывание»

II Измерение квантового состояния джозефсоновских систем

4 Одноэлектронный транзистор как квантовый детектор

5 Когерентный режим

6 Некогерентный режим

7 Статистика тока. Эффективность детектора

8 Измерение током сквозь кубит

9 Статистика тока в открытых мезоскопических системах

III Диссипация и потеря фазовой когерентности

10 Влияние низкочастотного шума в оптимальной точке

11 Влияние поперечного шума

12 Майорановское представление для спинов 134 Заключение 144 А Модель квантового компьютера 147 Б Зарядовая энергия системы из кубита и ОЭТ 151 В Вывод основного кинетического уравнения 153 Литература

Интерес к исследованию электронных структур с размерами в микрометровом или нанометровом диапазоне в последние годы связан со значительным прогрессом в технологии изготовления таких систем, что расширяет возможности их использования как в прикладных целях, так и для изучения вопросов фундаментального характера. Особый интерес представляет исследование явлений, связанных с квантовой когерентностью. Джозефсоновские туннельные контакты очень удобны для изучения квантово-когерентных явлений [1, 2, 3, 4], поскольку при низких, милликельвиновых температурах они демонстрируют высокую степень когерентности. Кроме того, джозефсоновские контакты являются нелинейными элементами, что позволяет создавать на их основе, например, двухуровневые системы. С другой стороны, подобные структуры являются «макроскопическими» (мезоскопическими) объектами, что создает возможности для непосредственного наблюдения за физическими величинами (например, зарядами на сверхпроводящих гранулах или магнитными потоками сквозь сверхпроводящие кольца), динамика которых регулируется законами квантовой механики.

За последние десять-двадцать лет был продемонстрирован ряд кван-товомеханических явлений в структурах на основе джозефсоновских контактов. Исследовалось квантовое поведение переменных заряда и сверхпроводящей фазы (или связанного с фазой магнитного потока). Например, в системах с маленькими низкоемкостными сверхпроводящими гранулами наблюдались суперпозиции различных зарядовых состояний [5, б]. Также активно изучалась ситуация с фазовой (магнитной) степенью свободы, локализованной в потенциальной яме в метастабильном состоянии. Был продемонстрирован распад метастабильного состояния путем туннелирования через потенциальный барьер [7, 8, 9, 10] и дискретные уровни энергии (резонансы) в потенциальной яме [8, 9, 11]. Однако несмотря на то, что эти достижения убедительно показали, что квантовые явления играют важную роль в физике джозефсоновских систем, на их поведение в упомянутых экспериментах значительное влияние оказывало взаимодействие с большим количеством других степеней свободы (резервуарами), которое изменяет и подавляет квантовое поведение. В частности, электрическая цепь, при помощи которой на образец подаются-управляющие сигналы, а также производится измерение, обладает импедансом, дающим значительный вклад в подавление когерентности. Во многих случаях сильное влияние оказывает шум, связанный со свойствами окружающих образец материалов. Примерами таких источников шума являются флуктуации заряда в подложке или туннельном барьере в опытах с однозарядовыми системами и флуктуации магнитного потока в сверхпроводящих кольцах. В результате наблюдаемые явления определяются взаимным влиянием квантовых эффектов и диссипативной динамики из-за действия внешнего шума на квантовую степень свободы. Дополнительной особенностью экспериментов по изучению квантово-когерентных свойств является необходимость производить измерение квантового состояния. Измерение должно быть достаточно быстрым, точным и близким к проективному. В то время как в-процессе квантового измерения когерентность с необходимостью нарушается; между измерениями влияние детектора на квантовое состояние должно быть сведено к минимуму.

Настоящая работа посвящена исследованию явлений, связанных с квантовой когерентностью в системах на основе сверхпроводниковых контактов. В ней предложены конкретные структуры и методы построения структур на основе джозефсоновских контактов, которые обладают высокой степенью когерентности, дано теоретическое описание физики таких систем, как двухуровневых (или систем с небольшим числом уровней), так и состоящих из большого количества элементарных квантовых джозефсоновских объектов с регулируемой динамикой и взаимодействием между элементарными подсистемами. Исследуется диссипа-тивная квантовая динамика под действием источников шума, подавляющих квантовую когерентность, что дает информацию как о квантово-когерентной системе, так и о механизмах шума. Построено описание процесса квантового измерения в подобных структурах как процесса во времени, основанное на микроскопических моделях джозефсоновских систем. В связи с процессом квантового измерения и исследованием статистики сигнала на выходе детектора (тока или напряжения) рассматривается задача о статистике дробового шума в открытых мезоскопических системах. Работа мотивирована вопросами из таких областей физики, как физика макроскопических квантовых явлений, свойства классических джозефсоновских контактов, одноэлектроника, физика квантовых вычислений.

Макроскопические» квантовые эффекты в джозефсоновских контактах малого размера привлекают интерес исследователей уже давно. Этот интерес вызван, в частности, возможностью проанализировать применимость законов квантовой механики на «макроскопическом» уровне, в гильбертовом пространстве, порожденном макроскопически различными состояниями (ср. [12]). Исследовалось поведение таких степеней свободы, как разность фаз сверхпроводящего параметра порядка на джо-зефсоновском контакте или магнитный поток через сверхпроводящее кольцо сквида. В экспериментах наблюдались макроскопическое квантовое туннелирование и резонансное туннелирование (ср. [13, 8,10]). Однако, несмотря на активные попытки (cpv(14]), не удавалось обнаружить ожидаемые когерентные колебания фазы или потока между двумя макроскопически различными состояниями, которые продемонстрировали бы «макроскопическую квантовую когерентность» на временах, больших по сравнению с характерным временем когерентной эволюции.

Эта область исследований привлекла дополнительное внимание в последние годы в связи с развитием квантовой теории информации. Интерес к изучению квантовых явлений в джозефсоновских системах [15] как со стороны экспериментаторов, так и со стороны теоретиков, вызван возможностью их использования в качестве приборов для хранения и обработки квантовой информации и квантовых вычислений [16, 17, 18, 19, 20, 21]. Анализ влияния квантовой механики на обработку информации вызван, с одной стороны, развитием вычислительной техники: постоянная миниатюризация элементов электронных вычислительных машин может в скором времени привести к тому, что из-за малых размеров этих элементов на их работу существенное влияние будут оказывать законы квантовой механики, из-за чего их поведение может отличаться от поведения элементов большего размера. С этой точки зрения встает вопрос о том, как избежать или скомпенсировать квантовые эффекты. С другой стороны, квантовые системы могут в принципе обладать большей вычислительной мощностью, чем обычные «классические». Идея рассмотреть «квантовые автоматы» выдвигалась Ю.И. Ма-ниным еще в [21]. Р. Фейнман предложил [22] использовать квантовые «компьютеры» для моделирования (других) квантовых систем, заметив, что моделирование на классических компьютерах неэффективно. Благодаря специфическим особенностям квантовой обработки информации (для полноты изложения мы приводим некоторые начальные сведения, касающиеся квантовых вычислений, в приложении А), квантовые компьютеры позволяют решать некоторые вычислительные задачи быстрее, чем классические [23, 24, 25, 26]. Убедительным примером явился открытый П. Шором [27] квантовый алгоритм разложения больших чисел на множители. Для лучшего известного классического алгоритма время, необходимое для нахождения множителей большого числа, растет экспоненциально с количеством цифр в числе (размером входных данных) алгоритм Шора позволяет решить эту задачу за число шагов, растущее только степенным образом. Исследования в этой области < затрагивают основания квантовой механики. С другой стороны, изучение возможностей реализации квантовых вычислений (другими словами, построения квантового компьютера) в джозефсоновских структурах (и системах другой физической природы) является сложной задачей, требующей преодоления большого числа препятствий.

Изучение этих вопросов привело в последние годы к значительным достижениям в физике квантово-когерентных сверхпроводящих систем. В результате удалось продемонстрировать не поддававшиеся ранее экспериментальному наблюдению продолжительные квантово-когерентные колебания в джозефсоновских системах — зарядовых [28, 29], магнитных [30], фазовых [31, 32] и смешанного типа [33]. При этом время затухания удалось увеличить на несколько порядков величины по сравнению с первыми опытами, до времен ~ 1 мкс. Исследования процессов потери когерентности и квантового измерения способствовали этим достижениям и теперь представляют еще больший интерес.

В первой части диссертации приводятся общие сведения о квантовых явлениях в джозефсоновских цепях. Затем предложены системы, использующие как зарядовую, так и фазовую степень свободы и при описанных условиях ведущие себя как двухуровневые (кубиты2). Эти системы, с од

1 Трудность решения этой задачи используется в широко используемых криптографических схемах.

2Мы часто будем обращаться к языку квантовой теории алгоритмов, используя ной стороны, в достаточной мере защищены от источников шума и сохраняют квантовую когерентность на протяжении длительного времени. С другой стороны, меняя внешние параметры (напряжения и токи) можно с высокой точностью управлять их эволюцией и производить измерение их квантового состояния. В частности, рассмотрены методы «масштабирования» таких систем, т.е. построения систем («квантовых компьютеров») из большого числа джозефсоновских кубитов, в которых можно с высокой степенью эффективности регулировать интенсивность парных взаимодействий и изолировать подсистемы друг от друга, сохраняя при этом высокую степень когерентности. Эти системы послужили прототипами для последующих экспериментов и теоретических исследований. В этой части приведен анализ предложенных систем. , Здесь же в связи с вопросом об оптимизации управления квантовой динамикой исследуется задача о представлении заданного оператора эволюции пары кубитов через имеющиеся в данной физической системе элементарные операции. Дано полное описание нелокальных свойств двухкубитовых операторов, а также нелокальных свойств смешанных состояний пар кубитов, через минимальный полный набор локальных полиномиальных инвариантов.

Во второй части рассматриваются практические вопросы измерения квантового состояния джозефсоновских кубитов. На примере микроскопического анализа системы из одноэлектронного транзистора (квантового детектора) и зарядового джозефсоновского кубита построено описание квантового измерения как процесса во времени. Выделены основные процессы, происходящие в детекторе и измеряемой системе, и вычислены их характерные времена. Мы анализируем, как меняется ответ на вопрос о том, какая наблюдаемая измеряется при заданном виде взаимодействия с детектором, в зависимости от силы взаимодействия. Рассмотрены как ситуации измерения неизвестного квантового состояния (задача с заданным начальным условием), так и непрерывного квантового измерения в стационарной ситуации. Показано, что масштабы времен, описывающие квантовый детектор, можно извлекать из особенностей шума в стационарных измерениях. Исследованы сравнительные показатели качества детектора и процесса измерения, которые характеризуются упомянутыми выше масштабами времен. Рассмотрены также задачи о статистике термин «квантовый бит» или «кубит» для двухуровневой квантовой системы и «квантовая логическая операция» для унитарных операторов эволюции состояния одного или нескольких кубитов. транспортных свойств для случаев протекания тока через систему двух сверхпроводящих гранул, образующих эффективную двухуровневую систему, и адиабатической прокачки тока через открытую мезоскопиче-скую систему.

В третьей части изучается влияние шума на динамику джозефсонов-ских систем и исследуется процесс потери когерентности. После краткого введения в физику «диссипативных кубитов» и описания наиболее существенных источников шума рассмотрены задачи, мотивированные недавними экспериментами. Исследуется влияние на джозефсоновские системы зарядового и магнитного низкочастотного шума. Анализируется закон распада когерентности в «оптимальной точке»3, в которой основной вклад в расфазировку подавлении представляет значительный интерес изучение влияния остаточных эффектов шума. При этом показано, что* случай поперечных низкочастотных флуктуаций (в том числе на фоне продольных) сводится к эффективной модели с продольным шумом и нелинейным взаимодействием. Изучено поведение системы под действием продольного квадратичного шума, для гауссова 1// шума вычислено характерное время распада когерентности и получены асимптотики закона этого распада. Эти результаты согласуются с данными недавних экспериментов и используются для их анализа. Помимо этого получено соотношение для спиновых корреляторов, сводящее их к одночастичным корреляторам майорановских фермионов и за счет этого упрощающее анализ спиновой динамики в ряде задач. Рассмотрено применение этого метода у изучению диссипативной динамики кубитов.

В заключение вводной части подчеркнем еще раз специфику джо-зефсоновских квантовых структур и основные вопросы, требующие изучения. В качестве физических приборов для проведения квантовых вычислений предлагались различные системы — атомы и ионы, квантовые резонаторы, электронные и ядерные спины, электроны на поверхности гелия, мезоскопические системы (сверхпроводниковые приборы, заряды и спины в квантовых точках); критический обзор начального этапа исле-дований по реализации квантово-когерентных систем дан в выпуске [34] I В отличие от упомянутых микроскопических систем, в джозефсоновских структурах используют макроскопические квантовые степени свободы. В этих системах 4 благодаря развитой технологии не должно вызывать

3Т.е. в ситуации, в которой наблюдается наибольшая степень когерентности [33].

4И вообще в твердотельных системах, например, использующих дискретные: затруднений «масштабирование», т.е. построение сложной структурированной квантовой системы из произвольного числа элементарных блоков (кубитов). На этапе изготовления можно варьировать параметры квантовой системы в относительно широком диапазоне. Однако специфика джозефсоновских контактов связана и с определенными трудностями. В частности, квантовая «макроскопическая» степень свободы взаимодействует с большим числом окружающих микроскопических мод, что может привести к быстрой потере когерентности. Нетривиальным аспектом физики джозефсоновских систем является также проведение измерения их квантового состояния, необходимого для экспериментального изучения квантовых явлений и для квантовых вычислений («считывания квантовой информации»). Исследованию этого круга вопросов и посвящена настоящая диссертация. квантовые уровни в квантовых точках и, в частности, спиновые степени свободы [35, 36, 37].

Часть I

Квантовые биты на основе сверхпроводников

Квантово-когерентные явления в мезоскопических системах давно привлекали интерес исследователей. Дополнительным толчком к развитию этой области физики во второй половине 1990-х гг. послужили достижения теории квантовых вычислений — твердотельные мезоскопические системы могут использоваться для реализации квантовых битов и построения квантовых компьютеров на их основе. По сравнению с микроскопическими реализациями кубитов (см. критический анализ различных микро- и макроскопических кубитов в [34]) твердотельные системы обладают такими преимуществами, как масштабируемость, возможность контролировать параметры гамильтониана на этапе изготовления и интегрировать кубиты в электрические цепи (что удобно как для исследования их свойств, так и для их использования в прикладных целях). Важным преимуществом систем на основе джозефсоновских контактов является сочетание присущей сверхпроводящему состоянию когерентности с возможностями управления их состоянием, известными для од-ноэлектронных систем и сквидов [3, 4]. В отличие от одноэлектронных степеней свободы в нормальном состоянии, которые могут быстро терять фазовую когерентность из-за большого числа низкоэнергетических возбуждений, наличие щели в спектре сверхпроводящих систем приводит к тому, что при достаточно низкой температуре квазичастицы не оказывают влияния на квантовую когерентность.

В работах [38, 6] проводились эксперименты по изучению когерентных свойств зарядовых джозефсоновских систем, появились первые предложения по их использованию в качестве квантовых битов [39, 40] (ср. подробный анализ в [41]). Эксперименты показали, что хотя эти системы проявляют квантовые свойства, из-за большого числа микроскопических степеней свободы они быстро теряют когерентность, так что не удается наблюдать, например, квантово-когерентные колебания системы (между макроскопически различными состояниями). Требовалось совершенствование конструкции этих систем, а также изучение шума, действующего на квантовую степень свободы. При этом необходимо создать условия для быстрого и точного совершения «квантовых операций» (управления динамикой кубита) и изолировать кубиты от влияния шума (сохраняя возможности управления их динамикой и измерения их квантового состояния). В [42, 41] была исследована «зарядово-магнитная» система, было показано, что в этой системе при помощи импульсов напряжения или тока можно выполнять как однобитовые, так и двухбитовые операции с большей точностью и меньшей потерей когерентности, а также проводить более эффективные измерения квантового состояния. В системе такого типа впервые удалось наблюдать квантово-когерентные колебания между двумя зарядовыми состояниями [28]. За последние годы в этой области был достигнут значительный прогресс, появилось большое количество теоретических и экспериментальных исследований [15, 34].

Для реализации кубитов рассматривались джозефсоновские схемы, основанные на использовании одной из двух сопряженных степеней свободы: зарядовой или фазовой; (магнитной) . В первом случае в качестве квантовой степени свободы используется заряд на маленьком сверхпроводящем островке, и логические состояния различаются > «количеством куперовских пар» на островке. Эти системы сочетают когерентность сверхпроводящего состояния с возможностью управлять динамикой отдельных зарядов,, известной; для; одноэлектронных систем; и основанной на явлении кулоновской блокады. Используются металлические (сверхпроводящие) контакты малых размеров с характерными емкостями С в диапазоне'IfF и ниже. В последние 10-15 лет были достигнуты значительные успехи в технологии изготовления таких систем, что позволило производить образцы, малого размера с контролируемыми параметрами и исследовать их свойства. В таких системах характерная зарядовая энергия Ее = е2/2С, представляющая собой масштаб изменения электростатической энергии при туннелировании одного электрона, соответствует 1Kb температурных единицах. Следовательно, при. температурах порядка 1 К и ниже зарядовые эффекты оказывают сильное влияние на физику системы. Зарядовые эффекты важны также в квантовых точках в полупроводниках и в гранулированных материалах. В сверхпроводящих системах наличие щели в спектре возбуждений приводит к интерференции эффектов четности (понимание которых существенно для г наблюдения когерентных свойств) с зарядовыми эффектами [4, 43].

Зарядовые эффекты контролируются внешними напряжениями, что позволяет управлять эволюцией квантового состояния как отдельных кубитов, так и многокубитных систем. Я: Накамура и соавторы [28] впервые продемонстрировали разрешенные во времени квантовые когерентные колебания в зарядовом джозефсоновском кубите, приготовленном в суперпозиции собственных состояний, а недавно удалось наблюдать [33] когерентные колебания со временем затухания (потери когерентности) ~ 1 мке, на 2-3 порядка превышающим первые результаты, а также когерентные колебания в более сложных системах [29].

Другой подход основан на использовании фазы на джозефсоновском контакте или магнитного потока в сверхпроводящем кольце с одним или несколькими контактами; (ср. [44, 45[). Квантовые явления в джозефсоновских контактах и сквидах изучались в 1980-х годов, наблюдались квантовое туннелирование фазы [13, 8,10] и дискретные уровни [8, 9,11]. Собственные состояния таких систем, являющиеся суперпозициями различных фазовых состояний, наблюдались в работах [46, 47], а недавно были зафиксированы когерентные колебания между фазовыми состояниями как магнитного потока [30], так и фазы на контакте [31, 32].

Для изучения квантовых свойств и использования для квантовых вычислений представляют интерес системы из нескольких кубитов. Простейшие с точки зрения эксперимента виды межкубитного взаимодействия позволяют продемонстрировать когерентные явления [29]. Но для повышения точности управления квантовой динамикой и подавления потери когерентности, а в перспективе для построения полномасштабных систем из многих кубитов («квантовых компьютеров») необходимы схемы, в которых можно независимо регулировать силы попарных взаимодействий при минимальном дополнительном подавлении когерентности. Первые предложенные схемы с регулируемой силой взаимодействия между зарядовыми кубитами [39, 40] требуют большой точности и сложности управляющей последовательности импульсов для создания корреляций между кубитами («двухбитовых операций») и могут привести к сильному подавлению когерентности. В [42, 48] были предложены системы, ослабляющие ограничения на параметры системы. После первых экспериментов с парами кубитов [29, 49], рассматривается возможность реализации этих систем или их модификаций (ср. [50]). Предлагались также способы построения фазовых систем с регулируемым взаимодействием [44, 51] (см. также ссылки в работе [50]).

В этой, части мы приведем общие сведения о квантовых джозефсоновских системах в зарядовом и фазовом режимах (как для полноты описания, так и для использования в этой и последующих частях), опишем системы, защищенные от внешнего шума, и продемонстрируем возможности управления их квантовой динамикой через параметры гамильтониана (главы 1, 2). Будут рассмотрены методы построения сложных (мно-гокубитовых) систем на основе зарядовых и фазовых джозефсоновских кубитов, проанализировано их поведение и сформулированы условия на параметры систем, при которых их поведение описывается моделью кубитов с регулируемым взаимодействием (разделы 1.4, 2.2). Также будут проанализированы возможности описания нелокальных квантовых корреляций в подобных системах и вопросы о локальной эквивалентности унитарных операций над парами кубитов в таких системах (глава 3).

Основные результаты работы таковы:

Исследованы системы на основе джозефсоновских контактов в режиме кулоновской блокады, удобные для изучения квантовых эффектов на мезоскопическом уровне и эффективно ведущие себя как двухуровневые. Продемонстрированы возможности контролировать квантовую динамику таких систем при помощи внешних сигналов и поддерживать когерентность системы в течение длительного времени. Показано, что изменение критического тока сквида позволяет настраивать эффективные поля отдельных двухуровневых систем (или «квантовых битов» = «кубитов»), а также силу взаимодействия между ними и облегчает проведение измерения квантового состояния. Предложены и изучены реализации масштабируемых квантовых систем («компьютеров») как из зарядовых, так и из фазовых сверхпроводящих кубитов, а также разработаны методы описания квантовых корреляций и эффективной оптимизации управляющих последовательностей. Показано, что возможность контролировать «локальные» эффективные поля и силу попарного взаимодействия кубитов позволяет построить универсальный набор унитарных операций.

Разработан подход к количественному описанию процесса квантового измерения как процесса во времени, в частности в зарядовых и фазовых системах на основе сверхпроводников. Для количественного описания процесса введены масштабы времен измерения (накопления сигнала), разрушения квантового состояния (сбоя фазы и релаксации), а также сбоя фазы из-за взаимодействия измеряемой квантовой системы с выключенным детектором. Показано, что безразмерные отношения этих масштабов ограничены определенными неравенствами и характеризуют различные аспекты эффективности квантового детектора.

На основе микроскопичеких моделей исследован процесс измерения квантового состояния джозефсоновских систем в зарядовом режиме при помощи одноэлектронного транзистора и других систем, использующих явление кулоновской блокады. Описана динамика системы из детектора и измеряемой квантовой системы на языке эволюции совместной матрицы плотности. Параметры в кинетическом уравнении для редуцированной матрицы плотности вычисляются систематическим образом на основе диаграммного разложения.

В связи с процессом квантового измерения исследована статистика транспорта (сигнала на выходе детектора) в мезоскопических измерителях, а,также ее связь со свойствами и состоянием квантовой системы. Показано, как свойства двухуровневой системы проявляются в особенностях спектральной плотности, шума. Получено компактное описание статистики дробового шума в открытых мезоскопических системах для случая адиабатически меняющихся внешних условий (матрицы рассеяния), использующее дополнительные симметрии задачи и позволяющее уменьшать шум при сохранении полного тока, а также дающее новые соотношения между статистическими характеристиками шума.

Исследована статистика тока через систему двух сверхпроводящих островков, слабо связанных с контактами. Выведено уравнение эволюции матрицы плотности системы, применимое и в ситуациях с вырождением уровней. Описана статистика тока через зарядовый квантовый бит в режимах без вырождения и с вырождением уровней. Показано, что вблизи вырождения в системе проявляется эффект Зенона. Построен формализм, позволяющий исследовать систему как при низких, так и при высоких транспортных и затворных напряжениях.

Исследовано влияние внешнего шума на квантовую динамику и когерентность для различных типов источников шума. Выделены наиболее существенные источники шума для систем на основе джозефсоновских контактов. Для коротко-коррелированного шума, в том числе шума электромагнитных степеней свободы во внешней цепи, построено описание квантовой динамики и проведено сравнение с экспериментальными данными.

Исследованы модели низкочастотного шума и его влияние на квантовую динамику джозефсоновских систем. Разработан метод описания диссипативной квантовой динамики в оптимальной точке. Показано, что изучение влияния поперечного низкочастотного шума в такой точке сводится к исследованию эффекта продольного шума с амплитудой, квадратично зависящей от амплитуды исходного шума.

Исследовано влияние продольного низкочастотного шума, квадрат тично взаимодействующего с кубитом или другой квантовой системой. Построено описание полной динамики зарядово-фазового кубита в оптимальной точке, найдено характерное время сбоя фазы, описана форма резонансной линии. Показано также, что в оптимальной точке влияние найквистовского шума сильнее подавляется при охлаждении, чем в других условиях.

Заключение

1. H. Grabert and M. H. Devoret, editors. Single-Charge Tunneling. Plenum, New York, 1992.

2. К. К. Лихарев. Введение в динамику джозефсоновских переходов. Наука, Москва, 1985.

3. М. Tinkham. Introduction to Superconductivity. McGraw-Hill, 2nd edition, 1996.

4. V. Bouchiat, D. Vion, P. Joyez, D. Esteve, and M.H. Devoret. Quantum coherence with a single Cooper pair. Physica Scripta, T76:165, 1998.

5. Y. Nakamura, C.D. Chen, and J.S. Tsai. Spectroscopy of energy-level splitting between two macroscopic quantum states of charge coherently superposed by Josephson coupling. Phys. Rev. Lett., 79:2328, 1997.

6. К. К. Лихарев. УФН, 139(1):169, 1983.

7. J.M. Martinis, M.H. Devoret, and J. Clarke. Experimental tests for the quantum behavior of a macroscopic degree of freedom: The phase difference across a Josephson junction. Phys. Rev. B, 35:4682, 1987.

8. J. Clarke, A.N. Cleland, M.H. Devoret, D. Esteve, and J.M. Martinis. Quantum mechanics of a macroscopic variable: the phase difference of a Josephson junction. Science, 239:992, 1988.

9. R. Rouse, S. Han, and J.E. Lukens. Observation of resonant tunneling between macroscopically distinct quantum levels. Phys. Rev. Lett., 75:1614, 1995.

10. P. Silvestrini, V. G. Palmieri, B. Ruggiero, and M. Russo. Observation of energy levels quantization in underdamped Josephson junctions above the classical-quantum regime crossover temperature. Phys. Rev. Lett., 79:3046, 1997.

11. A.J. Leggett. Quantum mechanics at the macroscopic level. In J.Souletie, J.Vannimenus, and R.Stora, editors, Chance and Matter, page 395. Elsevier, 1987.

12. R.F. Voss and R.A. Webb. Macroscopic quantum tunneling in l/лп Nb Josephson junctions. Phys. Rev. Lett., 47:265, 1981.

13. C.D. Tesche. Can a noninvasive measurement of magnetic flux be performed with superconducting circuits? Phys. Rev. Lett., 64:2358, 1990.

14. Yu. Makhlin, G. Schon, and A. Shnirman. Quantum state engineering with Josephson-junction devices. Rev. Mod. Phys., 73:357, 2001.

15. J. Preskill. Quantum computation. Lecture notes http://www.theory.caltech.edu/people/preskill/ph229.

16. M.A. Nielsen and I.L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, Cambridge, 2000.

17. А. Ю. Китаев. Квантовые вычисления: алгоритмы и исправление ошибок. УМЯ, 52 (6):54, 1997.

18. А. Холево. Введение в квантовую теорию информации. МЦНМО, Москва, 2002.

19. А. Китаев, А. Шень, М. Вялый. Классические и квантовые вычисления. МЦНМО, ЧеРо, Москва, 1999.

20. Ю. И. Манин. Вычислимое и невычислимое. Сов. Радио, Москва, 1980.

21. R. Feynman. Simulating physics with computers. Int. J. Theor. Phys., 21:467-488, 1982.

22. C. Bennett. Quantum information and computation. Physics Today, 48:24, 1995.

23. A. Barenco. Quantum physics and computers. Contemp. Phys., 37:375, 1996.

24. D. DiVincenzo. Quantum computation. Science, 270:255, 1995.

25. D. Aharonov. Quantum computation. In D. Stauffer, editor, Annual reviews of computational physics VI, 1999.

26. P. Shor. Polynomial-time algorithms for prime factorization and discrete logarithms on a quantum computer. In Proceedings of the 35th Annual Symposium on the Foundations of Computer Science, page 124. IEEE Computer Society (Los Alamos, CA), 1994.

27. Y. Nakamura, Yu.A. Pashkin, and J.S. Tsai. Coherent control of macroscopic quantum states in a single-Cooper-pair box. Nature, 398:786, 1999.

28. Yu.A.Pashkin, T.Yamamoto, O.Astafiev, Y.Nakamura, D.V.Averin, and J.S.Tsai. Quantum oscillations in two coupled charge qubits. Nature, 421:823, 2003.

29. I. Chiorescu, Y. Nakamura, C. J. P. M. Harmans, and J. E. Mooij. Coherent quantum dynamics of a superconducting flux qubit. Science, 299:1869, 2003.

30. J. M. Martinis, S. Nam, J. Aumentado, and C. Urbina. Rabi oscillations in a large Josephson-junction qubit. Phys. Rev. Lett., 89:117901, 2002.

31. Y. Yu, S. Han, X. Chu, S. Chu, and Z. Wang. Coherent temporal oscillations of macroscopic quantum states in a Josephson junction. Science, 296:889, 2002.

32. D. Vion, A. Aassime, A. Cottet, P. Joyez, H. Pothier, C. Urbina, D. Esteve, and M. H. Devoret. Manipulating the quantum state of an electrical circuit. Science, 296:886, 2002.

33. S. Braunstein and H.-K. Lo, editors. Experimental proposals for quantum computation, volume 48 (9-11) of Fortschr. Phys. Wiley, 2000. Special Focus Issue.

34. D. Loss and D.P. DiVincenzo. Quantum computation with quantum dots. Phys. Rev. A, 57:120, 1998.

35. B.E. Kane. A silicon-based nuclear spin quantum computer. Nature, 393:133, 1998.

36. V. Bouchiat. Quantum fluctuations of the charge in single electron and single Cooper pair devices. PhD thesis, Universit6 Paris VI, 1997.

37. A. Shnirman, G. Schon, and Z. Hermon. Quantum manipulations of small Josephson junctions. Phys. Rev. Lett., 79:2371, 1997.

38. D. V. Averin. Adiabatic quantum computation with Cooper pairs. Solid State Commun., 105:659, 1998.

39. Yu. Makhlin, G. Schon, and A. Shnirman. Josephson-junction qubits with controlled couplings. Nature, 386:305, 1999.

40. F.W.J. Hekking, G. Schon, and D.V. Averin, editors. Mesoscopic Superconductivity. Elsevier, 1993. Physica В 203.

41. J.E. Mooij, T.P. Orlando, L. Levitov, Lin Tian, C.H. van der Wal, and S. Lloyd. Josephson persistent current qubit. Science, 285:1036, 1999.

42. L.B. IofFe, V.B. Geshkenbein, M.V. Feigelman, A.L. Fauch6re, and G. Blatter. Quiet SDS Josephson junctions for quantum computing. Nature, 398:679, 1999.

43. С. Н. van der Wal, А. С. J. ter Нааг, F. К. Wilhelm, R. N. Schouten, С. J. P. M. Harmans, T. P. Orlando, S. Lloyd, and J. E. Mooij. Quantum superposition of macroscopic persistent-current states. Science, 290:773, 2000.

44. J.R. Friedman, V. Patel, W. Chen, S. K. Tolpygo, and J.E. Lukens. Detection of a Schroedinger's cat state in an rf-squid. Nature, 406:43, 2000.

45. Yu. Makhlin, G. Schon, and A. Shnirman. Josephson-junction qubits. Fortsch. Phys., 48:1043, 2000.

46. T. Yamamoto, Yu. A. Pashkin, O. Astafiev, Y. Nakamura, and J. S. Tsai. Demonstration of conditional gate operation using superconducting charge qubits. Nature, 425:941, 2003.

47. J. Q. You, Y. Nakamura, and F. Nori. Fast two-bit operations in inductively coupled flux qubits. cond-mat/0309491, 2003.

48. Yu. Makhlin, G. Schon, and A. Shnirman. Nano-electronic realizations of quantum bits. J. Low Temp. Phys., 118:751, 2000.

49. P. Lafarge, P. Joyez, D. Esteve, C. Urbina, and M.H. Devoret. Measurement of the even-odd free-energy difference of an isolated superconductor. Phys. Rev. Lett., 70:994, 1993.

50. M. Biittiker. Zero-current persistent potential drop across small-capacitance Josephson junctions. Phys. Rev. B, 36:3548, 1987.

51. D. V. Averin and Yu. V. Nazarov. Single-electron charging of a superconducting island. Phys. Rev. Lett., 69:1993, 1992.

52. M.T. Tuominen, J.M. Hergenrother, T.S. Tighe, and M. Tinkham. Experimental evidence for parity-based 2e periodicity in a superconducting single-electron tunneling transistor. Phys. Rev. Lett., 69:1997, 1992.

53. G. Schon and A.D. Zaikin. Parity effects on electron tunneling through small superconducting islands. Europhys. Lett., 26:695, 1994.

54. Yu. Makhlin and A. Shnirman. Dephasing of qubits by transverse low-frequency noise. Письма в ЖЭТФ, 78:969, 2003.

55. J.I. Cirac and P. Zoller. Quantum computations with cold trapped ions. Phys. Rev. Lett., 74:4091, 1995.

56. A. Shnirman and G. Schon. Quantum measurements performed with a single-electron transistor. Phys. Rev. B, 57:15400, 1998.

57. F. Marquardt and C. Bruder. Superposition of two mesoscopically distinct quantum states: Coupling a Cooper-pair box to a large superconducting island. Phys. Rev. B, 63:054514, 2001.

58. J. Lantz, M. Wallquist, V.S. Shumeiko, and G. Wendin. Josephson junction qubit network with current-controlled interaction, cond-mat/0403285, 2004.

59. J. Q. You, J. S. Tsai, and Franco Nori. Controllable manipulation and entanglement of macroscopic quantum states in coupled charge qubits. Phys. Rev. B, 68:024510, 2003.

60. Yu. Makhlin, G. Schon, and A. Shnirman. Josephson junction based quantum computing. Appl. Algebra Engrg. Comm. Comput., 10:375, 2000.

61. A.O. Caldeira and A.J. Leggett. Quantum tunnelling in a dissipative system. Ann. Phys. (NY), 149:374, 1983.

62. M. V. Feigelman, V. B. Geshkenbein, L. B. Ioffe, and G. Blatter. Andreev spectroscopy for superconducting phase qubits. J. Low Temp. Phys., 118:805, 2000.

63. T. P. Orlando, J. E. Mooij, Lin Tian, С. H. van der Wal, L. S. Levitov, S. Lloyd, and J. J. Mazo. Superconducting persistent-current qubit. Phys. Rev. B, 60:15398, 1999.

64. Yu. Makhlin, G. Schon, and A. Shnirman. Josephson quantum bits in the flux regime. Physica C, 368:276, 2002.

65. Yu. Makhlin, G. Schon, and A. Shnirman. Nanoscale superconducting quantum bits. Physica C, 350:161, 2001.

66. T. Duty, D. Gunnarsson, K. Bladh, and P. Delsing. Coherent dynamics of a Josephson charge qubit. Phys. Rev B, 69:140503, 2004.

67. A. Guillaume, J.F. Schneiderman, P. Delsing, H.M. Bozler, and P.M. Echternach. Free evolution of superposition states in a single Cooper pair box. Phys. Rev B, 69:132504, 2004.

68. D. Vion, A. Aassime, A. Cottet, P. Joyez, H. Pothier, C. Urbina, D. Esteve, and M.H. Devoret. Rabi oscillations, Ramsey fringes, and spin echos in an electrical circuit. Fortsch. Phys., 51:462, 2003.

69. Yu. Makhlin and A. Shnirman. Dephasing of qubits by transverse low-frequency noise. JETP Lett., 78:497, 2003.

70. D.V. Averin. Adiabatic quantum computation with Cooper pairs. Solid State Commun., 105:659, 1998.

71. M. V. Berry. Quantal phase factors accompanying adiabatic changes. Proc. R. Soc. Lond., 392:45, 1984.

72. G. Falci, R. Fazio, G. H. Palma, J. Siewert, and V. Vedral. Detection of geometric phases in superconducting nanocircuits. Nature, 407:355358, 2000.

73. T. Hayashi, T. Fujisawa, H. D. Cheong, Y. H. Jeong, and Y. Hirayama. Coherent manipulation of electronic states in a double quantum dot. Phys. Rev. Lett., 91:226804, 2003.

74. J. B. Majer, F. G. Paauw, A. C. J. ter Haar, C. J. P. M. Harmans, and J.E. Mooij. Spectroscopy on two coupled flux qubits. cond-mat/0308192, 2003.

75. A. Izmalkov, M. Grajcar, E. Il'ichev, Th. Wagner, H.-G. Meyer, A.Yu. Smirnov, M.H.S. Amin, A. Maassen van den Brink, and A.M. Zagoskin. Experimental evidence for entangled states formation in a system of two coupled flux qubits. cond-mat/0312332, 2003.

76. A.J.Berkley, Н. Xu, R.C. Ramos, M.A. Gubrud, F.W. Strauch, P.R. Johnson, J.R. Anderson, A.J. Dragt, C.J. Lobb, and F.C. Wellstood. Entangled macroscopic quantum states in two superconducting qubits. Science, 300:1548, 2003.

77. G. Blatter, V.B. Geshkenbein, and L.B. Ioffe. Engineering superconducting phase qubits. cond-mat/9912163,1999.

78. A.M. Zagoskin. A scalable, tunable qubit, based on a clean dnd or grain boundary d-d junction, cond-mat/9903170, 1999.

79. A. Blais and A. Zagoskin. Operation of universal gates in a solid-state quantum computer based on clean Josephson junctions between d-wave superconductors. Phys. Rev. A, 61:042308, 2000.

80. R. Hlubina, M. Grajcar, and E. Il'ichev. What does the Josephson effect tell us about the superconducting state of the cuprates? In A. Narlikar, editor, Studies of High Temperature Superconductors. 2003.

81. Ya. V. Fominov, A. A. Golubov, and M. Yu. Kupriyanov. Decoherence due to nodal quasiparticles in d-wave qubits. Письма в ЖЭТФ, 77:691, 2003.

82. M. Н. S. Amin and A. Yu. Smirnov. Quasiparticle decoherence in d-wave superconducting qubits. Phys. Rev. Lett., 92:017001, 2004.

83. JI. H. Булаевский, В. В. Кузий, А. А. Собянин. Письма в ЖЭТФ, 25:314, 1977.

84. А. И. Буздин, Л. Н. Булаевский, С. В. Панюков. Письма в ЖЭТФ, 35:147, 1982.

85. V. V. Ryazanov, V. A. Oboznov, A. Yu. Rusanov, А. V. Veretennikov, A. A. Golubov, and J. Aarts. Coupling of two superconductors through a ferromagnet: Evidence for а 7Г junction. Phys. Rev. Lett, 86:2427, 2001.

86. A. Kitaev. Fault-tolerant quantum computation by anyons. quant-ph/9707021, 1997.

87. E. Dennis, A. Kitaev, A. Landahl, and J. Preskill. Topological quantum memory. J. Math. Phys., 43:4452, 2002.

88. В. Doucot, M.V. Feigel'man, and L.B. Ioffe. Topological order in the insulating Josephson junction array. Phys. Rev. Lett, 90:107003, 2003.

89. M. V. Feigel'man, L. B. Ioffe, V. B. Geshkenbein, P. Dayal, and G. Blatter. Superconducting tetrahedral quantum bits. Phys. Rev. Lett., 92:098301, 2004.

90. L. B. Ioffe, M. V. Feigel'man, A. Ioselevich, D. Ivanov, M. Troyer, and G. Blatter. Topologically protected quantum bits from Josephson junction arrays. Nature, 415:503, 2002.

91. A. Wallraff, J. Lisenfeld, A. Lukashenko, A. Kemp, M. Fistul, Y. Koval, and A. V. Ustinov. Quantum dynamics of a single vortex. Nature, 425:155, 2003.

92. S. M. Girvin, Ren-Shou Huang, Alexandre Blais, Andreas Wallraff, and R. J. Schoelkopf. Prospects of strong cavity quantum electrodynamics with superconducting circuits. In Quantum Entanglement and Information Processing, 2003. (cond-mat/0310670).

93. A. Mabuchi and A. Doherty. Cavity quantum electrodynamics: Coherence in context. Science, 298:1372, 2002.

94. J. Raimond, M. Brune, and S. Haroche. Colloquium: Manipulating quantum entanglement with atoms and photons in a cavity. Rev. Mod. Phys., 73:565, 2001.

95. A.B. Zorin. Cooper-pair qubit and Cooper-pair electrometer in one device. Physica C, 368:284, 2002. ; см. также: Josephson charge-phase qubit with radio frequency readout: coupling and decoherence, cond-mat/0312225.

96. D. P. DiVincenzo. Two-bit gates are universal for quantum computation. Phys. Rev. A, 51:1015, 1995.

97. S. Lloyd. Almost any quantum logic gate is universal. Phys. Rev. Lett., 75:346, 1995.

98. D. Deutsch, A. Barenco, and A. Ekert. Universality in quantum computation. Proc. R. Soc. Lond. A, 449:669, 1995.

99. A. Barenco, С. Н. Bennett, R. Cleve, D. P. DiVincenzo, N. Margolus, P. Shor, T. Sleator, J. Smolin, and H. Weinfurter. Elementary gates for quantum computation. Phys. Rev. A, 52:3457, 1995.

100. G. Burkard, D. Loss, D.P. DiVincenzo, and J.A. Smolin. Physical optimization of quantum error correction circuits. Phys. Rev. B, 60:11404, 1999.

101. Yu. Makhlin. Nonlocal properties of two-qubit gates and mixed states and optimization of quantum computations. Quant. Info. Proc., 1:243, 2002. (quant-ph/0002045).

102. E.Rains. Polynomial invariants of quantum codes, quant-ph/9704042, 1997.

103. M. Grassl, M. Roetteler, and T. Beth. Computing local invariants of quantum-bit systems. Phys. Rev. A, 58:1833, 1998.

104. N. Linden, S. Popescu, and A. Sudbery. Nonlocal parameters for multiparticle density matrices. Phys. Rev. Lett., 83:243, 1999. см. также N. Linden, S. Popescu, Fortsch. Phys. 46, 567 (1998).

105. Yu. Makhlin. Algebraic approach to entanglement quantification, 2000. unpublished.

106. D. P. DiVincenzo, D. Bacon, J. Kempe, G. Burkard, and К. B. Whaley. Universal quantum computation with the exchange interaction. Nature, 408:339, 2000.

107. J. A. Wheeler and W. H. Zurek, editors. Quantum theory and measurement. Princeton University Press, Princeton, 1983.

108. V. B. Braginskii and F. Ya. Khalili. Quantum measurement. Cambridge University Press, Cambridge, 1992.

109. M. Б. Менский. Квантовые измерения и декогеренция. Физматлит, Москва, 2001.

110. A. Steane. Quantum computing and error correction. In A. Gonis and P. E. A. Turchi, editors, Decoherence and its implications in quantum computation and information transfer, page 284. IOS Press, Amsterdam, 2001.

111. W. Н. Zurek. Decoherence, einselection, and the quantum origins of the classical. Rev. Mod. Phys., 75:715, 2003.

112. A.J. Leggett, S. Chakravarty, A.T. Dorsey, M.P.A. Fisher, A. Garg, and W. Zwerger. Dynamics of the dissipative two-state system. Rev. Mod. Phys., 59:1, 1987.

113. U. Weiss. Quantum dissipative systems. World Scientific, 2nd edition, 1999.

114. W.H. Zurek. Decoherence and the transition from quantum to classical. Physics Today, 44 (10):36, 1991.

115. J. von Neumann. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. Princeton Univ. Press, Princeton, 1955.

116. I.L. Aleiner, N.S. Wingreen, and Y. Meir. Dephasing and the orthogonality catastrophe in tunneling through a quantum dot: the "Which path?" interferometer. Phys. Rev. Lett., 79:3740, 1997.

117. Y. Levinson. Dephasing in a quantum dot due to coupling with a quantum point contact. Europhys. Lett, 39:299, 1997.

118. S.A. Gurvitz. Measurements with a noninvasive detector and dephasing mechanism. Phys. Rev. B, 56:15215, 1997.

119. E. Buks, R. Schuster, M. Heiblum, D. Mahalu, and V. Umansky. Dephasing due to 'which path' detector. Nature, 391:871, 1998.

120. D. Sprinzak, E. Buks, M. Heiblum, and H. Shtrikman. Controlled dephasing via phase detection of electrons: demonstration of Bohr's complementarity principle. Phys. Rev. Lett., 84:5820, 2000.

121. D. V. Averin and К. K. Likharev. Coulomb blockade of tunneling, and coherent oscillations in small tunnel junctions. J. Low Temp. Phys., 62:345, 1986.

122. T. A. Fulton and G. J. Dolan. Observation of single-electron charging effects in small tunnel junctions. Phys. Rev. Lett., 59:109, 1987.

123. M. H. Devoret and R. J. Schoelkopf. Amplifying quantum signals with the single-electron transistor. Nature, 406:1039, 2000.

124. A.N. Korotkov. Continuous quantum measurement of a double dot. Phys. Rev. B, 60:5737, 1999.

125. Yu. Makhlin, G. Schon, and A. Shnirman. Statistics and noise in a quantum measurement process. Phys. Rev. Lett., 85:4578, 2000.

126. A.N. Korotkov and D.V. Averin. Continuous weak measurement of quantum coherent oscillations. Phys. Rev. B, 64:165310, 2001.

127. D. V. Averin. Noise properties of the SET transistor in the co-tunneling regime. In D. V. Averin, B. Ruggiero, and P. Silvestrini, editors, Macroscopic Quantum Coherence and Quantum Computing, page 399, New York, 2001. Kluwer Academic/Plenum Publ.

128. A. Maassen van den Brink. Quantum-efficient charge detection using a single-electron transistor. Europhys. Lett., 58:562, 2002.

129. D.V. Averin. Continuous weak measurement of the macroscopic quantum coherent oscillations. In J.R. Friedman and S. Han, editors, Exploring the Quantum-Classical Frontier, page 441, Commack, 2002. Nova Science, (cond-mat/004364).

130. R.J. Schoelkopf, P. Wahlgren, A.A. Kozhevnikov, P. Delsing, and D.E. Prober. The radio-frequency single-electron transistor (RF-SET): A fast and ultrasensitive electrometer. Science, 280:1238, 1998.

131. A. Aassime, G. Johansson, G. Wendin, R. J. Schoelkopf, and P. Delsing. Radio-frequency single-electron transistor as readout device for qubits: Charge sensitivity and backaction. Phys. Rev. Lett., 86:3376, 2001.

132. K. W. Lehnert, K. Bladh, L. F. Spietz, D. Gunnarsson, D. I. Schuster, P. Delsing, and R. J. Schoelkopf. Measurement of the excited-state lifetime of a microelectronic circuit. Phys. Rev. Lett., 90:027002, 2003.

133. О. Astafiev, Yu. A. Pashkin, Т. Yamamoto, Y. Nakamura, and J. S. Tsai. Single-shot measurement of the Josephson charge qubit. Phys. Rev. B, 69:180507, 2004.

134. J. Clarke, T.L. Robertson, B.L.T. Plourde, A. Garcia-Martinez, P.A. Reichardt, D.J. Van Harlingen, B. Chesca, R. Kleiner, Yu. Makhlin, G. Schon, A. Shnirman, and F.K. Wilhelm. Quiet readout of superconducting flux states. Phys. Scr., T102:173, 2002.

135. С. M. Caves. Quantum limits on noise in linear amplifiers. Phys. Rev. D, 26:1817, 1982.

136. D. V. Averin. Linear quantum measurements. In Yu. V. Nazarov, editor, Quantum Noise, page 229, Dordrecht, 2003. Kluwer.

137. A.N. Korotkov. Output spectrum of a detector measuring quantum oscillations. Phys. Rev. B, 63:085312, 2001.

138. A. N. Korotkov. Continuous quantum measurement of a double dot. Phys. Rev. B, 60:5737, 1999. Phys. Rev. В 63:115403, 2001; Phys. Rev. В 67:235408, 2003.

139. H.-S. Goan, G. J. Milburn, H. M. Wiseman, and H. B. Sun. Continuous quantum measurement of two coupled quantum dots using a point contact: A quantum trajectory approach. Phys. Rev. B, 63:125326, 2001.

140. A. A. Clerk, S. M. Girvin, and A. D. Stone. Quantum-limited measurement and information in mesoscopic detectors. Phys. Rev. B, 67:165324, 2003.

141. A. Shnirman and Yu. Makhlin. Quantum Zeno effect in the Cooper-pair transport through a double-island Josephson system. Письма в ЖЭТФ, 78:915, 2003.

142. Т. Dittrich, P. Hanggi, G.-L. Ingold, B. Kramerand G. Schon, and W. Zwerger. Quantum Transport and Dissipation. Wiley-VCH, 1998. Ch. 3: Single-Electron Tunneling (G. Schon).

143. V. Ambegaokar, U. Eckern, and G. Schon. Quantum dynamics of tunneling between superconductors. Phys. Rev. Lett., 48:1745, 1982.

144. A. I. Larkin and Yu. N. Ovchinnikov. Decay of the supercurrent in tunnel junctions. Phys. Rev. В, 28:6281, 1983.

145. U. Eckern, G. Schon, and V. Ambegaokar. Quantum dynamics of a superconducting tunnel junction. Phys. Rev. B, 30:6419, 1984.

146. Yu. Makhlin, G. Schon, and A. Shnirman. Reading-out the state of a qubit: an analysis of the quantum measurement process. Physica C, 352:113, 2001.

147. JI. В. Келдыш. Диаграммная техника для неравновесных процессов. ЖЭТФ, 47:1515, 1964.

148. Н. Schoeller and G. Schon. Mesoscopic quantum transport: Resonant tunneling in the presence of strong coulomb interaction. Phys. Rev. B, 50:18436, 1994.

149. О. В. Константинов, В. И. Перель. ЖЭТФ, 39:197, 1960.

150. Ya. М. Blanter and М. Biittiker. Shot noise in mesoscopic conductors. Phys. Rep., 336:1, 2000.

151. Yu. Makhlin, G. Schon, and A. Shnirman. Josephson-junction quantum bits and logic gates. Physica В, 280:410, 2000.

152. В. Misra and E.C.G. Sudarshan. The Zeno's paradox in quantum theory. J. Math. Phys., 18:756, 1977.

153. R.A. Harris and L. Stodolsky. Two state systems in media and 'Turing's paradox'. Physics Letters B, 116:464, 1982.

154. A. Shnirman, D. Mozyrsky, and I. Martin. Output spectrum of a measuring device at arbitrary voltage and temperature, cond-mat/0311325, 2003.

155. E. Bibow, P. Lafarge, and L. Levy. Resonant Cooper pair tunneling through a double-island qubit. Phys. Rev. Lett., 88, 2002.

156. E. Bibow. Tunneling spectroscopy of a double island circuit. PhD thesis, Universitd J. Fourier-Grenoble I, 2001.

157. Д. В. Аверин, В. Я. Алешкин. Резонансное туннелирование куперовских пар в системе двух джозефсоновских переходов малых размеров. Письма в ЖЭТФ, 50:331, 1989.

158. A. Maassen van den Brink, G. Schon, and L. J. Geerligs. Combined single-electron and coherent-Cooper-pair tunneling in voltage-biased Josephson junctions. Phys. Rev. Lett., 67:3030, 1991.

159. A. Maassen van den Brink, A. A. Odintsov, P. A. Bobbert, and G. Schon. Coherent Cooper pair tunneling in systems of Josephson-junctions — effects of quasi-particle tunneling and of the electromagnetic environment. Z. Phys. В., 85:459, 1991.

160. J. Siewert and G. Schon. Charge transport in voltage-biased superconducting set transistors. Phys. Rev. B, 54:7421, 1996.

161. G.-L. Ingold and Yu. V. Nazarov. Charge tunneling rates in ultrasmall junctions. In H. Grabert and M. H. Devoret, editors, Single Charge Tunneling, NATO-ASI Series B: Physics, page 21, N.Y., 1992. Plenum Press.

162. L. S. Levitov, H. W. Lee, and G. B. Lesovik. Electron counting statistics and coherent states of electric current. J. Math. Phys., 37:4845, 1996.

163. Ph. Lafarge. Macroscopic charge quantization in metallic nanostructures. PhD thesis, Universite Paris VI, 1993.

164. J. Siewert, Yu. V. Nazarov, and G. Falci. A generalized model of nonthermal noise in the electromagnetic environment of small-capacitance tunnel junctions. Europhys. Lett., 38:365, 1997.

165. Yu. V. Nazarov, editor. Quantum Noise. Kluwer, Dordrecht, 2003.

166. JI.C. Левитов, Г.Б. Лесовик. Распределение заряда в квантовом дробовом шуме. Письма в ЖЭТФ, 58:225, 1993.

167. L. S. Levitov and М. Reznikov. Electron shot noise beyond the second moment, cond-mat/0111057, 2001.

168. D. B. Gutman and Y. Gefen. Shot noise at high temperatures. Phys. Rev. B, 68:035302, 2003.

169. К. Е. Nagaev. Cascade Boltzmann-Langevin approach to higher-order current correlations in diffusive metal contacts. Phys. Rev. B, 66:075334, 2002.

170. C.W.J. Beenakker, M. Kindermann, and Yu.V. Nazarov. Temperature dependent third cumulant of tunneling noise. Phys.Rev.Lett., 90:176802, 2003.

171. B. Reulet, J. Senzier, and D. E. Prober. Environmental effects in the third moment of voltage fluctuations in a tunnel junction. Phys. Rev. Lett., 91:196601, 2003.

172. B. Spivak, F. Zhou, and M. T. Beal Monod. Mesoscopic mechanisms of the photovoltaic effect and microwave absorption in granular metals. Phys. Rev. B, 51:13226, 1995.

173. M. Switkes, С. M. Marcus, K. Campman, and A. C. Gossard. An adiabatic quantum electron pump. Science, 283:1905, 1999.

174. B. L. Altshuler and L. I. Glazman. Pumping electrons. Science, 283:1864, 1999.

175. L. P. Kouwenhoven, A. T. Johnson, N. C. van der Vaart, , C. J. P. M. Harmans, and С. T. Foxon. Quantized current in a quantum-dot turnstile using oscillating tunnel barriers. Phys. Rev. Lett., 67:1626, 1991.

176. H. Pothier, P. Lafarge, C. Urbina, D. Esteve, and M.H. Devoret. Single-electron pump based on charging effects. Europhys. Lett., 17:249,1991.

177. F. Taddei and R. Fazio. Counting statistics for entangled electrons. Phys. Rev. B, 65:075317, 2002.

178. Yu. Makhlin and A. D. Mirlin. Counting statistics for arbitrary cycles in quantum pumps. Phys. Rev. Lett., 87:276803, 2001.

179. D. A. Ivanov, H. W. Lee, and L. S. Levitov. Coherent states of alternating current. Phys. Rev. В, 56:6839, 1997.

180. A. Andreev and A. Kamenev. Counting statistics of an adiabatic pump. Phys. Rev. Lett., 85:1294, 2000.

181. D. J. Thouless. Quantization of particle transport. Phys. Rev. B, 27:6083, 1983.

182. P. W. Brouwer. Scattering approach to parametric pumping. Phys. Rev. B, 58:R10135, 1998.

183. F. Zhou, B. Spivak, and B. Altshuler. Mesoscopic mechanism of adiabatic charge transport. Phys. Rev. Lett., 82:608, 1999.

184. T. A. Shutenko, I. L. Aleiner, and B. L. Altshuler. Mesoscopic fluctuations of adiabatic charge pumping in quantum dots. Phys. Rev. B, 61:10366, 2000.

185. M. G. Vavilov, V. Ambegaokar, and I. L. Aleiner. Charge pumping and photovoltaic effect in open quantum dots. Phys. Rev. В, 63:195313, 2001.

186. M. L. Polianski and P. W. Brouwer. Pumped current and voltage for an adiabatic quantum pump. Phys. Rev. B, 64:075304, 2001.

187. I. L. Aleiner, B. L. Altshuler, and A. Kamenev. Quantum pumping in the magnetic field: Role of discrete symmetries. Phys. Rev. B, 62:10373, 2000.

188. I. L. Aleiner and A. V. Andreev. Adiabatic charge pumping in almost open dots. Phys. Rev. Lett., 81:1286, 1998.

189. J. E. Avron, A. Elgart, G. M. Graf, and L. Sadun. Geometry, statistics, and asymptotics of quantum pumps. Phys. Rev. B, 62:R10618, 2000.

190. L.S. Levitov. Counting statistics of charge pumping in an open system. cond-mat/0103617, 2001.

191. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. Современная геометрия. Методы и приложения. Наука, Москва, 1986.

192. Г. Б. Лесовик. Квантовый избыточный шум в двумерных баллистических микроконтактах. Письма в ЖЭТФ, 49:513, 1989.

193. В. А. Хлус. ЖЭТФ, 93:2179, 1987.

194. P. W. Shor. Scheme for reducing decoherence in quantum computer memory. Phys. Rev. A, 52:R2493, 1995.

195. A. M. Steane. Error correcting codes in quantum theory. Phys. Rev. Lett., 77:793, 21996.

196. D. DiVincenzo. The physical implementation of quantum computation. Fortsch. Phys., 48:771, 2000.

197. R. J. Schoelkopf, A. A. Clerk, S. M. Girvin, K. W. Lehnert, and M. H. Devoret. Qubits as spectrometers of quantum noise. In Yu. V. Nazarov, editor, Quantum Noise, page 175, Dordrecht, 2003. Kluwer.

198. R. Aguado and L. P. Kouwenhoven. Double quantum dots as detectors of high-frequency quantum noise in mesoscopic conductors. Phys. Rev. Lett., 83:1986, 2000.

199. P. Эрнст, Дж. Боденхаузен, А. Вокаун. ЯМР в одном и двух измерениях. Мир, Москва, 1990.

200. С. А. Ахманов, Ю. Е. Дьяков, А. С. Чиркин. Введение в статистическую радиофизику. Наука, Москва, 1981.

201. Yu. Makhlin and A. Shnirman. Dephasing of solid-state qubits at optimal points. Phys. Rev. Lett., 92:178301, 2004.

202. M. B. Weissman. 1// noise and other slow, nonexponential kinetics in condensed matter. Rev. Mod. Phys., 60:537, 1988.

203. Y. M. Galperin, B. L. Altshuler, and D. V. Shantsev. Low-frequency noise as a source of dephasing of a qubit. In Fundamental Problems of Mesoscopic Physics: Interactions and Decoherence, 2004. to appear.

204. F. Bloch. Nuclear induction. Phys. Rev., 70:460, 1946.

205. R. K. Wangsness and F. Bloch. The dynamical theory of nuclear induction. Phys. Rev., 89:728, 1953.

206. F. Bloch. Generalized theory of relaxation. Phys. Rev., 105:1206,1957.

207. A. G. Redfield. On the theory of relaxation processes. IBM J. Res. Dev., 1:19, 1957.

208. Yu. Makhlin, G. Schon, and A. Shnirman. Dissipation in Josephson qubits. In R. Fazio, V. F. Gantmakher, and Y. Imry, editors, New Directions in Mesoscopic Physics (Towards Nanoscience), page 197, Dordrecht, 2003. Kluwer.

209. F. C. Wellstood, C. Urbina, and J. Clarke. Low-frequency noise in dc superconducting quantum interference devices below 1 K. Appl. Phys. Lett., 50:772, 1987.

210. G. Zimmerli, Т. M. Eiles, R. L. Kautz, and J. M. Martinis. Noise in the Coulomb blockade electrometer. Appl. Phys. Lett., 61:237, 1992.

211. Y. Nakamura, Yu. A. Pashkin, T. Yamamoto, and J. S. Tsai. Charge echo in a Cooper-pair box. Phys. Rev. Lett., 88:047901, 2002.

212. A. B. Zorin, F.-J. Ahlers, J. Niemeyer, T. Weimann, H. Wolf, V. A. Krupenin, and S. V. Lotkhov. Background charge noise in metallic single-electron tunneling device. Phys. Rev. B, 53:13682, 1996.

213. H. Wolf, F.J. Ahlers, J. Niemeyer, H. Scherer, Th. Weimann, A.B. Zorin, V.A. Krupenin, S.V. Lotkhov, and D.E. Presnov. Investigation of the offset charge noise in single electron tunneling devices. IEEE Trans. Instr. Meas., 46:303, 1997.

214. R.W. Simmonds, K.M. Lang, D.A. Hite, D.P. Pappas, and J.M. Martinis. Decoherence in Josephson qubits from junction resonances. preprint, 2003.

215. D.J. Van Harlingen, T.L. Robertson, B.L.T. Plourde, P.A. Reichardt, T.A. Crane, and J. Clarke. Decoherence in Josephson-junction qubits due to critical current fluctuations, preprint, 2004.

216. P. Dutta and P. M. Horn. Low-frequency fluctuations in solids: 1/f noise. Rev. Mod. Phys., 53:497, 1981.

217. A. Shnirman, Yu. Makhlin, and G. Schon. Noise and decoherence in quantum two-level systems. Phys. Scr., T102:147, 2002.

218. E. Paladino, L. Faoro, G. Falci, and R. Fazio. Decoherence and 1// noise in Josephson qubits. Phys. Rev. Lett., 88:228304, 2002.

219. D. Esteve. частное сообщение.

220. С. Т. Rogers and R. A. Buhrman. Nature of single-localized-electron states derived from tunneling measurements. Phys. Rev. Lett., 55:859, 1985.

221. R.W. Simmonds, K.M. Lang, D.A. Hite, D.P. Pappas, and J.M. Martinis. Decoherence in Josephson qubits from junction resonances. preprint, 2003.

222. J. Schriefl, M. Clusel, D. Carpentier, P. Degiovanni, and Yu. Makhlin. Dephasing due to nonstationary 1// noise. In Proceedings of the Vth Rencontres de Moriond in Mesoscopic Physics, 2004.

223. K. Rabenstein, V.A. Sverdlov, and D.V. Averin. Qubit decoherence by low-frequency noise, preprint cond-mat/0401519.

224. А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков, И. Е. Дзялошинский. Методы квантовой теории поля в статистической физике. Добросвет, Москва, 1998.

225. Л. С. Левитов, А. В. Шитов. Функции Грина. Задачи и решения. Физматлит, Москва, 2003. гл. 8.

226. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Физическая кинетика. Физматлит, Москва, 2001.

227. J. Rammer and Н. Smith. Quantum field-theoretical methods in transport theory of metals. Rev. Mod. Phys., 58:323, 1986.

228. A. Kamenev. Keldysh and Doi-Peliti techniques for out-of-equilibrium systems, cond-mat/0109316, 2001.

229. M. Gell-Mann and K. A. Brueckner. Correlation energy of an electron gas at high density. Phys. Rev., 106:364, 1957.

230. Yu. Makhlin, G. Schon, and A. Shnirman. Dissipative effects in Josephson qubits. Chem. Phys., 296:315, 2004.

231. T. Holstein and H. PrimakofF. Field dependence of the intrinsic domain magnetization of a ferromagnet. Phys. Rev., 58:1098, 1940.

232. J. S. Schwinger. On angular momentum. Technical report, White Plains: Nuclear Development Associates, 1952.

233. P. Jordan and E. Wigner. The Pauli exclusion principle. Z. Phys., 47:631, 1928.

234. Д. Маттис. Теория магнетизма. Мир, Москва, 1967.

235. А. М. Цвелик. Квантовая теория поля в физике конденсированного состояния. Физматлит, Москва, 2002.

236. A. Shnirman and Yu. Makhlin. Spin-spin correlators in Majorana representation. Phys. Rev. Lett., 91:207204, 2003.

237. W. Mao, P. Coleman, C. Hooley, and D. Langreth. Spin dynamics from Majorana fermions. Phys. Rev. Lett., 91:207203, 2003.

238. A. A. Abrikosov. Electron scattering on magnetic impurities in metals and anomalous resistivity effects. Physics, 2:5, 1965.

239. A. M. Tsvelik. New fermionic description of quantum spin liquid state. Phys. Rev. Lett., 69:2142, 1992.

240. P. Coleman, E. Miranda, and A. M. Tsvelik. Possible realization of odd-frequency pairing in heavy fermion compounds. Phys. Rev. Lett., 70:2960, 1993.

241. R. P. Kenan. Perturbation expansion for magnetization of spin 1/2 antiferromagnet. J. Appl. Phys., 37:1453, 1966.

242. H. J. Spencer and S. Doniach. Low-temperature anomaly of electron-spin resonance in dilute alloys. Phys. Rev. Lett., 18:994, 1967.

243. H. J. Spencer. Theory of s-d scattering in dilute magnetic alloys with spin-1/2 impurities. Phys. Rev., 171:515, 1968.

244. P. Coleman, L. B. Ioffe, and A. M. Tsvelik. Simple formulation of the two-channel Kondo model. Phys. Rev. B, 52:6611, 1995.

245. Yu. Makhlin, G. Schon, and A. Shnirman. Josephson-junction quantum logic gates. Comput. Phys. Commun., 127:156, 2000.

246. О. Parcollet and С. Hooley. On the perturbative expansion of the magnetization in the out-of-equilibrium Kondo model, cond-mat/0202425, 2002.

247. L. N. Bulaevskii, M. Hruska, and G. Ortiz. Tunneling measurement of quantum spin oscillations. Phys. Rev. B, 68:125415, 2003.

248. D. DiVincenzo. Topics in quantum computers. In L. Kouwenhoven, G. Schon, and L. Sohn, editors, Mesoscopic Electron Transport, volume 345 of NATO ASI Series E: Applied Sciences, page 657. Kluwer Ac. Publ., 1997.

249. E. Farhi, J. Goldstone, S. Gutmann, J. Lapan, A. Lundgren, and D. Preda. A quantum adiabatic evolution algorithm applied to random instances of an NP-complete problem. Science, 292:472, 2001.

250. E. Farhi, J. Goldstone, S. Gutmann, and M. Sipser. Quantum computation by adiabatic evolution. Technical Report MIT-CTP-2936, MIT, 2000. (quant-ph/0001106).