Статистика резонансных состояний и флуктуации в хаотическом рассеянии тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Корреляционные свойства времени задержки

§1.1. Матричная модель резонансного хаотического рассеяния

§1.2. Статистическое усреднение

§1.3. Время задержки и резонансный спектр

§1.4. Метод суперсимметрии.

§1.5. Корреляционная функция Кт{е)

ГЛАВА II. Классический и квантовый законы распада

§2.1. Закон распада и флуктуации ширин

§2.2. Вывод основных соотношений.

ГЛАВА III. Флуктуации и параметрические корреляции при слабом нарушении Т-инвариантности.

§3.1. Параметрические корреляции в рамках ТСМ

§3.2. Параметрические корреляторы плотностей фазовых сдвигов и времен задержки

§3.3. Гаспределение парциальных времен задержек.

Последнее десятилетие отмечено повышенным интересом к исследованию проявлений квантовых свойств в процессах хаотического рассеяния. Помимо фундаментальных теоретических предпосылок, такое внимание обусловлено также и экспериментальными причинами. Разнообразие физических систем, в которых наблюдается явление квантового хаотического рассеяния, простирается от атомных ядер, сложных атомов и молекул, до микроволновых резонаторов и электронных мезоскопиче-ских устройств. Сложность их внутренней динамики с неизбежностью ведет к статистическому описанию. Интерес, при этом, представляют средние значения, корреляционные функции и функции распределения разнообразных физических величин.

Одним из общепринятых подходов для изучения статистических закономерностей сложных квантовых систем является теория случайных матриц (ТСМ) [1]. Она получила свое развитие в середине 50-х - 60-х годов, в основном, в работах Вигнера, Дайсона, Мехты и Гудена. Первоначально, ТСМ была с успехом применена для объяснения статистики уровней тяжелых атомных ядер, в частности, распределения расстояний между уровнями [2], а также других статистических характеристик ядерных реакций [3]. Позднее, Горьков и Элиашберг [4] использовали ТСМ для описания поглощения микроволнового излучения металлическими гранулами. Эти работы положили начало разнообразным применениям ТСМ в квантовой физике, обзоры которых можно найти в [5, 6].

Впечатляющий прогресс в области физики мезоскопических систем [7, 8] обуславливает, на наш взгляд, новую волну необычайно высокого интереса к ТСМ. Одним из важных возникающих понятий является универсальность [9]: различные наблюдаемые не зависят от большинства микроскопических деталей системы. Эта универсальность феноменологически объясняется ТСМ и ассоциируется с проявлением квантового хаоса [10]. Развитие микроскопических теорий [11, 12] позволило указать границы этой универсальности [13, 14]. В тесной аналогии с теорией критических явлений [15], где физика больших масштабов не зависит от микроскопических деталей, в теоретико-полевом описании неупорядоченных [14] и хаотических [16, 17] квантовых систем их универсальные черты определяются длинноволновыми возбуждениями. Предельный нольмерный случай эквивалентен [14, 18] ТСМ, отвечающей, тем самым, полностью эргодичной ситуации.

Статистические ансамбли случайных гамильтонианов строятся при самых общих предположениях (эрмитовость гамильтониана и учет его симметрии относительно обращения времени), что позволяет выявить наиболее глубокие свойства квантового движения, определяемые не деталями динамики, а общим ее характером. Дополнительное предположение о независимости разных матричных элементов ведет к ставшими уже каноническими гауссовскому ортогональному (ГОА) и унитарному (ГУА) ансамблям, которые отвечают Т-инвариантным и Т-неинвариантным квантовым хаотическим системам, соответственно. (При наличии спин-орбитальной связи необходимо использовать симплектический ансамбль.) Они обладают особым (Вигнер-Дайсоновским) типом статистики уровней (с их отталкиванием) в отличие от пуассоновской статистики (с кластеризацией уровней), свойственной регулярным системам. В действительности, можно показать [19, 20], что в пределе большого числа уровней спектральные корреляционные функции не зависят от вида функции распределения матричных элементов и, следовательно, являются универсальными на масштабе среднего расстояния между уровнями.

Современный уровень нанотехнологий позволяет изготавливать электронные устройства мезоскопических (от нанометров до нескольких микрон) размеров, квантовые точки [21], с контролируемыми размерами, геометрией и взаимодействием. С их помощью можно воспроизвести много явлений, наблюдавшихся в атомах и ядрах, а также исследовать физику в режимах недоступных иным образом в лабораториях. Богатый экспериментальный материал накопленный как в физике твердого тела, так и в ядерной спектроскопии [22, 3, 23], демонстрирует убедительное со-оответствие флуктуационных свойств реальных спектров предсказаниям ТСМ. Великолепные эксперименты с квантовыми биллиардами, реализованных в виде микроволновых [24, 25, 26], акустических [27] резонаторов и полупроводниковых квантовых точек [28, 29], явились подтверждением Буигас-Гьяннони-Шмит предположения [30, 31] о применимости ТСМ к общим квантовым системам, хаотическим в классическом пределе. Аналитические аргументы в его пользу были представлены Берри [32] в квазиклассическом пределе, и в работах [16, 17] с общей микроскопической точки зрения.

Дополнительным к изучению спектральных свойств является исследование транспортных характеристик квантовых систем. В силу явного резонансного характера процесса рассеяния, различные транспортные величины (например, ¿'-матрица и сечения рассеяния, проводимость) демонстрируют сильные флуктуации при изменении внешних параметров системы таких, как энергия рассеяния, приложенное магнитное поле и т.д. Яркими примерами являются эриксоновские флуктуации сечения [33] в ядерной физике и универсальные флуктуации проводимости мезоскопических проводников [34, 35] в физике твердого тела. Эти флуктуации, по сути, имеют одну природу, непосредственно связанную с внутренней хаотической динамикой. Нестабильная система, формируемая на промежуточной стадии транспортного процесса, живет достаточно долгое время и достигает своего полного внутреннего равновесия до распада. Потому флуктуации в рассеянии обладают той же степенью универсальности, свойственной замкнутым системам. Естественным аппаратом для их изучения является должным образом модифицированная ТСМ (для обзора см. [36]).

Ансамбли случайных матриц, введенные в классических работах Виг-нера и Дайсона, пригодны, сторого говоря, для описания замкнутых систем. При рассмотрении транспортной проблемы мы имеем дело с открытой квантовой системой, произвольно сильно взаимодействующей с каналами распада, лежащими в непрерывном спектре. Поэтому возникает проблема построения адекватной ТСМ, пригодной для описания нестабильных систем. Здесь можно выделить два подхода, основанных на макроскопической и микроскопической точке зрения.

Фундаментальной величиной при изучении транспортных явлений является матрица рассеяния <5>. В подходе макроскопического типа [37, 38] стохастичность вводится на уровне матрицы рассеяния, безо всякой ссылки на микроскопические детали открытой системы. 5-матрица при фиксированной энергии (и прочих внешних параметрах) считается случайной. Ее распределение строится исходя из принципа максимальности информационной энтропии при учете таких очевидных ограничений на ¿'-матрицу, как унитарность, причинность и наличие симметрии по обращению времени. Результирующая теория имеет много общего с теорией циркулярных ансамблей Дайсона (см. в [1]), а получающееся распределение 5-матриц известно в литературе как ядро Пуассона. С его помощью можно найти функции распределения разнообразных транспортных величин (см. обзор в [36, 38]).

Однако такой подход имеет существенные недостатки. Во-первых, отсутствует информация о корреляционных свойствах матрицы рассеяния. Во-вторых, пропадает вся богатая внутренняя динамика промежуточной нестабильной системы, которая, несомненно, отражается на самом процессе рассеяния. Для доступа к этой информации необходимо использовать более общий микроскопический подход [39, 18, 40], основанный на "гамильтоновом" описании открытых систем.

В отличие от замкнутой, поведение открытой системы не может быть описано при помощи эрмитового гамильтониана. Однако путем исключения "лишних" переменных, относящихся к континууму, можно ввести оператор, играющий роль "эффективного гамильтониана" [41, 42, 43]. Ценой, которую приходится за это платить, является его неэрмитовость: в открытой системе отсутствует требование сохранения вероятности. Оно присуще лишь большой замкнутой системе, включающей также и все рас-падные состояния, и реализуется в виде унитарности 5-матрицы. Условие унитарности приводит к специфической структуре анитиэрмитовой части эффективного гамильтониана. Отметим, что она играет решающую роль в формировании кооперативных явлений в микроскопической открытой системе [40, 44, 45]. Вводя естественные статистические предположения о матричных элементах эффективного гамильтониана, мы приходим к статистической теории нестабильных систем, справедливой при произвольной силе связи с континуумом [39, 18, 40]. В пределе слабой связи она сводится к статистической спектроскопии Вигнера-Дайсона.

Появление антиэрмитовой части делает проблематичным применение метода ортогональных полиномов [1], с успехом используемого в ТСМ закрытых систем (см., однако, [46]). Поэтому, несмотря на естественность и идеологическую простоту микроскопического подхода, долгое время получение результатов, справедливых при произвольном числе открытых каналов и произвольной связи с континуумом было затруднительным. Как правило, анализ ограничивался предельными (хотя и физически интересными) случаями большого числа каналов, сильного или слабого перекрытия резонансов, а точные результаты представляли собой скорее исключение [40]. Развитие мощного метода суперсимметрии [14, 18, 47] для выполнения статистического усреднения по ансамблям случайных матриц открыло дорогу к систематическому получению непертурбатив-ных результатов в теории квантового хаотического рассеяния.

Микроскопический поход позволяет единым образом описывать как спектральные, так и транспортные свойства открытых систем, а также исследовать взаимосвязь между ними. Комплексные собственные значения эффективного гамильтониана определяют энергии и ширины резонансных уровней. Оказывается возможным вычислить плотность резонансов в комплексной плоскости энергии в пределе большого числа каналов [48, 49], найти при произвольном перекрытии резонансов их совместную функцию распределения (в Т-инвариантных системах для одного канала [40] и при их произвольном числе в Т-неинвариантных системах [50]) и распределение ширин резонансов [51]. Необходимо отметить гибкость данного подхода. Феноменологический учет коллективных степеней свободы позволяет изучать кооперативные явления в открытых мезоскопических системах [44, 45]. Яркий тому пример - гигантский резонанс в ядрах [52], где можно детально исследовать влияние интерференции между его коллективными компонентами на силы переходов, спектр продуктов его распада и сечения реакций [53].

С другой стороны, резонансные состояния являются полюсами матрицы рассеяния [42] и, тем самым, их статистические свойства определяют ее флуктуации при хаотическом рассеянии. Можно доказать [54], что получающееся распределение 5-матрицы совпадает с предполагаемым в макроскопическом подходе ядром Пуассона, что доказывает эквивалентность обоих подходов. В дополнение к функциям распределения активно исследуются корреляционные функции, показывающие насколько скор-релированы значения случайной величины при разных значениях внешних параметров. Примерами являются энергетические автокорреляционные функции элементов 5-матрицы [18, 49], сечений рассеяния [33] и сечения фотодиссоциации [55], автокоррелятор проводимости в зависимости от магнитного поля [56]. Фурье образ энергетической автокорреляционной функции является удобной величиной, характеризующей распад [57, 58, 59]. Корреляционные функции непосредственно содержат информацию о спектральных свойствах промежуточной нестабильной системы, однако этой связи не уделяется, на наш взгляд, должного внимания в литературе. Лишь недавно для автокоррелятора 5-матрицы удалось установить связь [49] между корреляционной длиной флукту-аций и щелью в распределении резонансов, обнаруженной [48] в квазиклассическом пределе большого числа открытых каналов.

Настоящая диссертация посвящена дальнейшему развитию теории квантового хаотического рассеяния и выявлению взаимосвязи между флук-туациями в рассеянии и статистическими свойствами резонансных состояний. Она состоит их трех глав.

Первая глава посвящена исследованию длительности процесса столкновения при хаотическом рассеянии. Рассеяние, в этом случае, характеризуется временем задержки частиц в области взаимодействия. Вигнер [60] был первым, кто исследовал время задержки монохроматического волнового пакета с заданным угловым моментом при упругом столкновении. Он установил связь этого времени с производной фазы рассеяния по энергии. Чем резче энергетическая зависимость фазы рассеяния, тем больше время задержки. Позднее Смит [61] обобщил понятие времени задержки на случай неупругого рассеяния, введя матрицу (в пространстве каналов) времен задержки. Ее след, отнесенный к числу каналов, является естественным многоканальным аналогом формулы Вигнера, который мы и будем называть временем задержки.

В отличие от хорошо исследованной матрицы рассеяния, практически ничего не известно о флуктуационных свойствах времени задержки. На-колько нам известно, впервые они изучались как численно, так и аналитически в работах [62, 63] в рамках достаточно специфичной модели [64] резонансного упругого квантового рассеяния на поверхности постоянной отрицательной кривизны. Замечательной чертой этой модели является то, что полюса ^-матрицы соответствуют нулям знаменитой ^-функции Римана. Предполагается [65], что вещественные части полюсов хаотически распределены подобно собственным значениям в ГУА, однако все их мнимые части (ширины резонансов) одни и те же. Последнее, очень специфичное свойство частично лишает модель интереса, поскольку реальные одноканальные ширины обладают большими флуктуациями [3].

Флуктуации ширин подавляются, когда открыто много каналов распада. В этом случае оказывается справедливым [58] квазиклассическое приближение [66, 67]. Квазиклассический анализ времени задержки в терминах замкнутых периодических орбит был дан в [68]. Там подчеркивалось, в частности, что поведение энергетического автокоррелятора времен задержки на больших масштабах определяется (короткими) периодическими орбитами. Напротив, центральный пик формируется за счет сильной интерференции большого числа длинных орбит. Существует зависящее от константы Планка конечное время такое, что на больших временах асимптотика Фурье трансформанты является чувствительной к квантовым эффектам. Тем самым асимптотическая скорость распада не определяется своим классическим значением, как этого можно было бы ожидать следуя [66].

Таким образом, необходимо детальное изучение свойств времени задержки в рамках общей теории квантового хаотического рассеяния. Дополнительным стимулом является потенциальная экспериментальная значимость такого исследования, в силу установленной Бюттикиром и др. [69, 70] связи между временем задержки и низкочастотным откликом мезоскопических проводников.

В первом параграфе первой главы кратко формулируется матричная модель резонансного рассеяния и объясняются основные статистические гипотезы, используемые при построении ансамбля случайных эффективных гамильтонианов.

Во втором параграфе вычислены среднии плотность резонансов в комплексной плоскости энергии, функция Грина и ¿'-матрица в пределе большого числа открытых каналов. Это отвечает квазиклассическому пределу в матричных моделях [58, 48, 49]. При этом, здесь рассматривается более общая, чем принятая в основном тексте, полосковая структура матричных элементов эрмитовой части эффективного гамильнониана (отвечающего замкнутой системе). Канонический ГОА подразумевает инвариантность относительно выбора базиса. Однако, базис среднего поля играет, по-видимому, исключительную роль в многочастичных хаотических системах [71]. Реалистичная гамильтонова матрица имеет полоско-вую структуру в таком представлении [72, 73]. Теория случайных (эрмитовых) полосковых матриц сейчас активно изучается в контексте как локализации [74], так и общих проблем квантового хаоса [75]. Появляющийся новый временной масштаб, связанный с локализацией, отвечает внутренней релаксации. Поэтому основанная на подобных матрицах модель рассеяния может служить для изучения предравновесного хаотического рассеяния [76]. Показано, что при должной перенормировке энергетического масштаба и силы связи с континуумом получающиеся результаты для средних сводятся к результатам "полной" ГОА модели [48, 49], отвечающей равновесному рассеянию.

В третьем параграфе демонстрируется важное соотношение между временем задержки и резонансным спектром промежуточной нестабильной системы, которое показывает, что флуктуации времени задержки полностью определяются статистическими свойствами резонансов. Совершив усреднение, мы находим среднее время задержки Вигнера-Смита почти монохроматического волнового пакета, а также устанавливаем связь между ним и временем задержки немонохроматического волнового пакета, в котором неопределенность энергии достаточно велика, чтобы считать момент соударения хорошо определенной величиной.

Для характеристики флуктуаций используется автокорреляционная функция времен задержки, которая вычисляется при помощи метода суперсимметрии в четвертом и пятом параграфах первой главы.

Метод суперсимметрии основан на использовании интегрального представления для корреляционных функций в виде многокомпонентного гауссовского интеграла с коммутирующими и антикоммутирующими (грас-мановыми) переменными. Статистическое усреднение тогда выполняется точно, а по части "лишних" переменных можно проинтегрировать при помощи преобразования Хаббарда-Стратоновича и выполнить оставшееся интегрирование перевалом, оправданным большим числом резонан-сов. Однако, это преобразование не работает в данном случае. Поэтому в четвертом параграфе сформулирована модификация стандартного подхода, обобщающая метод суперсимметрии для работы с произвольными статистическими ансамблями. Отметим, что сходные идеи были использованы независимо в [20] для доказательства универсальности спектральных флуктуаций.

С помощью развитого подхода, в пятом параграфе получено выражение для автокорреляционной функции времен задержки, справедливое при произвольных значениях числа открытых каналов и силы смешивания с континуумом, и проведен его детальный анализ. При любых значениях этих параметров эта функция не является Лоренцианом. В частности, коррелятор зануляется в некоторой точке, играющей роль характерной корреляционной длины флуктуаций. В "квазиклассическом" пределе большого числа открытых каналов эта длина, подобно корреляционной длине флуктуаций б'-матрицы, определяется щелью между верхним краем распределения комплексных энергий и вещественной осью энергии. Показано, что установленная связь между характерными длинами флуктуаций и распределением полюсов 5-матрицы является общей чертой квантового хаотического рассеяния. Содержание первой главы основано на работах [77, 78, 79].

Временное описание процесса рассеяния является дополнительным к обычно используемому энергетическому представлению и обсуждается в литературе с разных точек зрения. Общей чертой открытых хаотических квантовых систем с конечным числом открытых каналов является ярко выраженная неэкспоненциальность закона их распада [57, 58, 59]. Лишь недавно, следующий из теории степенной распад был обнаружен и подтвержден экспериментально [80]. С увеличением числа открытых каналов закон распада приближается к экспоненциальному, который вытекает из квазиклассического анализа [66].

Возникает естественный вопрос о том характерном времени, при котором временная эволюция квантовой системы начинает отличаться от своего классического поведения и о выяснении его природы. Отметим, что подобные вопросы возникают также при изучении релаксационных явлений в неупорядоченных проводниках [81]. Авторы недавней работы [82], используя численный расчет в модели возмущаемого толчками ротора при наличии релаксации нашли, что распадающиеся квантовые системы в квазиклассической области обладают новым временным масштабом. После этого времени, которое много меньше времени Гезейнберга, закон распада начинает отличаться от своего классического поведения.

В второй главе показано, что существование такого временного масштаба является, на самом деле, общей чертой открытых квантовых хаотических систем и связано с особенностями флуктуаций ширин резо-нансов. Как и ранее, мы описываем эти флуктуации в рамках ТСМ и используем формализм эффективного неэрмитовского гамильтониана.

В первом параграфе второй главы устанавливается связь временной эволюции в открытой квантовой системе со спектральными характеристиками системы и проводится ее качественный анализ. В квазиклассическом пределе большого числа открытых каналов показано существование нового квантового временного масштаба, после которого квантовые поправки замедляют классический (экспоненциальный) закон распада. Такое поведение идет от влияния резонансов с ширинами, меньшими, чем величина щели в их распределении. Их доля отлична от нуля до тех пор, пока число каналов остается конечным.

Качественный анализ подтверждается точным вычислением, изложенным во втором параграфе. В квазиклассической области существуют два квантовых временных масштаба: время Гейзенберга ¿я и, связанное с распадностью, время = ¿я/укТ (где к > 1 и Т есть, соответственно, степень перекрытия резонансов и трансмиссионный коэффициент). При ¿я квантовые отклонения от классического закона распада начинаются со времени и определяются открытостью системы. В противоположном случае, квантовые эффекты во внутренней эволюции начинают влиять на распад со времени В этом случае устанавлено также соотношение между величинами, описывающими временную эволюцию в открытой системе и их замкнутыми аналогами. Основные результаты второй главы опубликованы в [83].

Важными и часто используемыми характеристиками процесса квантового рассеяния являются парциальные фазовые сдвиги (фазы рассеяния), определемые посредством собственных значений унитарной матрицы рассеяния. В частности, их производные по энергии непосредственно связаны со временем столкновения и поэтому естественно их называть парциальными временами задержки [84]. Так, их сумма является временем задержки Вигнера-Смита подробно изученным в первой главе. Более общие параметрические производные сдвигов фазы также могут быть связаны с некоторыми наблюдаемыми. Отметим, в частности, соотношение между незатухающим током в мезоскопическом кольце и производной полного набега фазы по магнитному полю [85].

Фазовые сдвиги могут быть связаны с фазами коэффициентов прохождения и отражения, которые непосредственно измеряются в экспериментах с квантовыми точками [86]. Различные статистические характеристики фазовых сдвигов и времен задержек рассматривались в экспериментах с микроволновыми резонаторами [87], в разнообразных численных моделях хаотического рассеяния в неупорядоченных [88] и хаотических [89, 90] системах и недавно достаточно детально изучались теоретически для случая нарушенной Т-инвариантности [84].

В предыдущих главах были рассмотрены случаи "чистой" симметрии, Т-инвариантность считалась сохраняющейся (ГОА) либо полностью нарушенной (ГУА). В действительности, достаточно слабое внешнее магнитное поле не нарушает Т-инвариантность полностью: существует плавный переход от ортогонального к унитарному классу симметрии. Помимо магнитного поля, система может испытывать внешние воздействия, контролируемые некоторыми параметрами не нарушающими Т-симметрию. Примерами являются внешнее электрическое поле, положение примесей в неупорядоченной системе, изменение формы квантовых точек. Подобные параметрические зависимости физических величин активно изучаются экспериментально [28, 29, 91] и теоретически (для обзора см. [6]).

Статистические параметрические флуктуации в квантовых хаотических системах естественно описываются в рамках ТСМ. Можно обобщить [9] универсальность Вигнера-Дайсона для уровней сложной хаотической системы на случай их параметрической зависимости: при над-лежайшем скейлинге параметрическая динамика не зависит от природы возмущения и определяется лишь свойствами симметрии соответствующего ансамбля. Эта универсальность была подтверждена численно для некоторых хаотических систем [31], включая квантовые биллиарды [92], атом водорода в магнитном поле [93] и сильнокоррелированные многочастичные системы [94].

В заключительной третьей главе диссертации достаточно подробно исследуются статистические параметрические свойства фазовых сдвигов и парциальных) времен задержек в квантовом хаотическом рассеянии при произвольной степени нарушения Т-инвариантности. В простейшем случае полностью нарушенной Т-инвариантности их статистические свойства рассматривались в [84].

В первом параграфе кратко излагается обобщение нашей матричной модели, необходимое для возможности изучения параметрических зависимостей.

С использованием метода суперсимметрии во втором параграфе получены точные выражения для параметрических корреляторов плотностей фазовых сдвигов и времен задержки Вигнера-Смита, справедливые при произвольном значении параметра, нарушающего Т-инвари-антность. Показано, в частности, что в квазиклассическом пределе большого числа каналов параметрическая статистика фаз рассеяния в открытой системе совпадает со статистикой уровней ее замкнутого аналога. Этот вывод находится в согласии с доступными численными данными, полученными в реалистичной модели хаотического рассеяния [89].

Параметрический коррелятор плотностей фазовых сдвигов является, также, достаточно информативным объектом и позволяет найти функцию распределения парциальных времен задержек во всей переходной области от ортогональной к унитарной симметрии. Ее исследованию посвящен третий параграф данной главы. Слабое внешнее магнитное поле приводит к появлению нового характерного времени в задаче, которое необходимо для различения типичного сдвига уровной из-за Т-неинвариантного возмущения. На промежуточных временах частица "не чувствует" магнитного поля, и соответствующая асимптотика функции распределения отвечает ортогональному ансамблю. Однако, на больших временах частица различает эффекты нарушения Т-симметрии, что объясняет почему самая дальняя асимптотика является всегда ГУА-подобной, если только магнитное поле не равно тождественно нулю.

В предельном случае почти замкнутой системы найдено, что в параметрически большой области распределение времен задержек обладает универсальным г~3/2 поведением независимо от степени нарушения Т-инвариантности. Такое поведение находится в хорошем согласии с результатами численного моделирования времен задержек в хаотических квантовых точках [90]. И, наконец, обсуждаются возможные экспериментальные применения полученных результатов. Изложение третьей главы основано на результатах работы [95].

Основные выводы сформулированы в заключении.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [77, 78, 79, 83, 95]. Они обсуждались на семинарах теоретического отдела ИЯФ СО РАН и университета г.Ессена (Германия), а также докладывались на международной летней школе по теоретической физике им. Л.Д.Ландау в Черноголовке (июнь 1994), на международной конференции по нелинейным явлениям в Н.Новгороде (сентябрь 1995), в рамках весенней школы "Disorder and chaos in quantum systems" (май 1996) и расширенного рабочего совещания "Disorder, chaos and interaction in mesoscopic systems" (июль 1998) в Международном центре по теоретической физике (Триест, Италия), на рабочем совещании "Supersymmetry and trace formula: chaos and disorder" (сентябрь 1997) в Ньютоновском математическом институте (Кембридж, Англия).

Я искренне признателен своему научному руководителю В.В. Соколову за очень важные для меня научные дискуссии и просто человеческие контакты. Благодарю, также, всех сотрудников сектора ТО-1 за обсуждения, благожелательность и моральную поддержку.

Заключение

Приведем основные результаты, полученные в диссертации.

1. Развит подход к изучению свойств времени задержки в квантовом хаотическом рассеянии. Установлена их связь со свойствами спектра резонансных состояний промежуточной открытой системы.

2. Метод суперсимметрии обобщен для работы с произвольными статистическими ансамблями. Получено точное выражение для автокоррелятора времен задержки и проведен его детальный анализ.

3. В квазиклассическом пределе большого числа открытых каналов установлена общая связь между корреляционной длиной флуктуаций в рассеянии и щелью между распределением резонансов в плоскости комплексной энергии и вещественной осью энергии.

4. Показано существование нового временного масштаба, при котором закон распада квантовой хаотической системы начинает отличаться от своего классического поведения. Установлена его связь с особенностями флуктуаций ширин резонансов.

5. При произвольной степени нарушения Т-инвариантности найдены параметрические корреляторы фаз рассеяния и времен задержек, получена функция распределения парциальных времен задержек и детально изучены их свойства. В частности, при слабой связи с континуумом последняя обладает универсальным г-3/2 поведением независимо от величины нарушения Т-симметрии.

1. Mehta M.L., Random Matricies and the Statistical Theory of Energy Spectra (Academic Press, New York, 1967); Random Matricies (2nd edition, Academic Press, New York, 1991).

2. Wigner E. in: Proceedings of Canadian Mathematical Congress, p. 174, перепечатано в 3].

3. Porter C.E. (editor), Statistical Theories of Spectra: Fluctuations (Academic Press, New York, 1965).

4. Горьков Jl.П. и Элиашберг Г.М., Мелкие металлические частицы в электромагнитном поле. // ЖЭТФ 48 (1965) 1407.

5. Brody Т.A., Flores J., French J.B., Mello P.A., Pandey A., Wong S.S.M., Random-matrix physics: spectrum and strength fluctuations. // Rev. Mod. Phys. 53 (1981) 385.

6. Guhr Т., Miiller-Groeling A., and Weidenmtiller H.A., Random matrix theories in Quantum Physics: common concepts. // Phys. Rep. 299 (1998) 189.

7. Mesoscopic Quantum Physics, Proceedings of the Les-Houches Summer School, Session LXI, edited by E. Akkermans et al. (Elsever, 1995).

8. Imry I., Introduction to mesoscopic physics (Oxford University Press, 1997).

9. Altshuler B.L. and Simons B.D., Universality: from Anderson localization to Quantum Chaos, in 7], p.5.

10. Haake F., Quantum signatures of chaos (Springer-Verlag, 1991).

11. Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е., Методы квантовой теории поля в статистической физике. М: Наука, 1962.

12. Wegner F., // Z. Phys. В 35 (1979) 207;

13. Shafer L. and Wegner F., Disordered systems with n orbital per cite: Lagrange formulation, hyperbolic symmetry, and Goldstone modes. // Z. Phys. В 38 (1980) 113-126.

14. Альтшулер Б.Jl., Шкловский Б.И., Отталкивание энергетических уровней и проводимость малых образцов. // ЖЭТФ 91 (1986) 220.

15. Efetov К.В., Supersymmetry and theory of disordered metals. // Advan. in Phys. 32 (1983) 53-127.

16. Паташинский A.3., Покровский В.Л. Флуктуационная теория фазовых переходов. М: Наука, 1982.

17. Muzykantkii В.A. and Khmel'nitskii D.E. Effective action in the theory of quasi-ballistic disordered conductors. // JETP Lett. 62 (1995) 76.

18. Andreev A.V., Agam O., Simons B.D., and Altshuler B.L., Quantum chaos, irreversible classical dynamics and random matrix theory. // Phys. Rev. Lett. 76 (1996) 3947;

19. Semicalssical field theory approach to quantum chaos. // Nucl. Phys. В FS. 482 (1996) 536-566.

20. Verbaarschot J.J.M., Weidenmiiller H.A. and Zirnbauer M.R., Grassmann integration in stochastical quantum physics: The case of compound-nucleus scattering. // Phys. Rep. 129 (1985) 367-468.

21. Brezin E. and Zee A., Universality of the correlations between eigenvalues of large random matrices. // Nucl. Phys. В 402 (1993) 613; Phys. Rev. E 49 (1994) 2588.

22. Hackenbroich G. and Weidenmiiller H.A., Universality of random-matrix results for non-gaussian ensembles. // Phys. Rev. Lett. 74 (1995) 4118.

23. Kouwenhoven L. and Marcus C., Quantum dots. // Physics World, June 1998.

24. Гуревич И.И. О свойствах энергетического спектра тяжелых ядер. // ЖЭТФ 9 (1939) 1283.

25. Haq R., Pandey A., and Bohigas О., // Phys. Rev. Lett. 48 (1982) 1986. Lombardy M., Bohigas O., and Seligman Т.Н., New evidence of GOE statistics for compound nuclear resonances. // Phys. Lett. В 324 (1994) 263-266.

26. Stockmann H.-J. and Stein J. , "Quantum" chaos in billiard studied by microwave absorption. // Phys. Rev. Lett. 64 (1990) 1.

27. Stein J. and Stockmann H.-J., Experimental determination of spectral wave functions. // Phys. Rev. Lett. 68 (1992) 2867.

28. Sridhar S., Experimental observation of scred eigenfunctions of chaotic microwave cavities. // Phys. Rev. Lett. 67 (1991) 785.

29. Graf H.-D., Harney H.L., Lengeler H., Lewenkopf C.H., Rangacharyulu C., Richter A., Schardt P., and Weidenmiiller H.A., Disribution of eigenmodes in a superconduction stadium billiard with chaotic dynamcs. // Phys. Rev. Lett. 69 (1992) 1296.

30. Ellegaard C., Guhr Т., Lindemann K., Lorensen H.Q., Nygard J., and Oxborrow M., Spectral statistics of acoustic resonances in aluminum blocks. // Phys. Rev. Lett. 75 (1995) 1546.

31. Chang A.M., Baranger H.U., Preiffer L.N., West K.W., and Chang T.Y., Non-gaussian distribution of couomb blackade peak heights in quantum dots. // Phys. Rev. Lett. 76 (1996) 1695.

32. Folk J.A., Patel S.F., Godijn S.F., Huibers A.G., Cronenwett S.M., Marcus C.M., Campman K., and Gossard A.C., Statistics and parametric correlations of Coulomb blocade peak fluctuations in quantum dots. // Phys. Rev. Lett. 76 (1996) 1699.

33. Bohigas O., Giannoni M.-J., and Schmit C., Characterisation of chaotic quantum spectra and universality of level fluctuation laws. // Phys. Rev. Lett. 52 (1984) 1.

34. O. Bohigas, M.-J. Giannoni, Chaotic Motion and Random Matrix Theory, Lecture Notes in Phys., 209 (1984) 1;

35. O. Bohigas, Random Matrix Theories and Chaotic Dynamics, in: Chaos and Quantum Physics, Proceedings of the Les-Houches Summer School, Session LII, edited by M.J.Giannoni et al. (North-Holland, Amsterdam, 1991).

36. Berry M.V., Semiclassical theory of spectral rigidity. // Proc. Roy. Soc. London, Ser. A 400 (1985) 229-251.

37. Erikson T., Fluctuations of nuclear cross section in the "continuum" region. // Phys. Rev. Lett. 5 (1960) 430; Erikson T. and Mayer-Kuckuk T. // Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 16 (1966) 183.

38. Альтшулер Б.JI. Флуктуации остаточной проводимости неупорядоченных проводников. // Письма в ЖЭТФ 41 (1985) 530.

39. Lee P.A. and Stone A.D., Universal conductance fluctuations in metals. // Phys. Rev. Lett. 55 (1985) 1622.

40. Beenakker C.W.J. Random-matrix theory of quantum transport. // Rev. Mod. Phys. 69 (1997) 731.

41. Mello P.A., Pereyra P. and Seligman Т., Information theory and statistical nuclear reactions: I. General theory and applications to few-channel problem. // Ann. Phys. 161 (1985) 254-275;

42. Friedman W.A. and Mello P.A., II. Many-channel case and Hauser-Feshbach formula. // Ann. Phys. 161 (1985) 276-302.

43. Mello P.A., Theory of random matrices: spectral statistics and scattering problems, in: 7] pp. 435-491.

44. Weidenmiiller H.A., Statistical theory of nuclear reactions and the GOE. // Ann. Phys.(N.Y.) 158 (1984) 120-141.

45. Sokolov V.V. and Zelevinsky V.G., Dynamics and statistics of unstable quantum states. // Phys. Lett. B202 (1988) 140; Nucl. Phys. A504 (1989) 562.

46. Feshbach H., A unified theory of nuclear reactions: I, II // Ann. Phys. 5 (1958) 357-390; ibid. 19 (1962) 287-313.

47. Mahaux C. and Weidenmiiller H.A., Shell-model Approach to Nuclear Reactions (North-Holland, Amsterdam, 1969).

48. Кобзарев И.Ю., Николаев H.H., Окунь Л.Б. К теории распадов вырожденных или почти вырожденных состояний. //Ядерная физика 10 (1969) 864.

49. Sokolov V.V. and Zelevinsky V.G., Collective dynamics of unstable quantum states. // Ann. Phys. 216 (1992) 323.

50. Соколов В.В., Динамика открытых систем с конечным числом степеней свободы: Регулярные и хаотические аспекты. // Докторская диссертация. ИЯФ СО РАН, Новосибирск, 1991.

51. Fyodorov Y.V., Khorunzhenko В.A., and Sommers H.-J., Almost-Hermitian matrices: crossover from Wigner-Dyson to Ginibre eigenvalue statistics. // Phys. Rev. Lett. 79 (1997) 557.

52. Efetov K.B., Supersymmetry in disorder and chaos (Cambridge University Press, Cambridge, 1996).

53. Haake F., Izrailev F.M., Lehmann N., Saher D., and Sommers H.-J., Statistics of complex levels of random matrices for decaying systems. // Z. Phys. В 88 (1992) 359-370.

54. Lehmann N., Saher D., Sokolov V.V. and Sommers H.-J., Chaotic scattering: the supersymmetry method for large number of channels. // Nucl. Phys. A582 (1995) 223-256.

55. Fyodorov Y.V. and Khorunzhenko B.A., Systematic approach ta correlation functions of resonances in quantum chaotic scattering. // e-print cond-mat/9903043.

56. Fyodorov Y.V., Titov M., and Sommers H.J., Statistics of 5-matrix poles for chaotic scattering with broken T-invariance: A conjecture. // Phys. Rev. E 58 (1998) R1195.

57. Fyodorov Y.V. and Sommers H.-J., Statistics of resonance widths in few-channel chaotic scattering: crossover from isolated to overlapped resonances. // Письма в ЖЭТФ 63 (1996) 970-973.

58. Sokolov V.V. and Zelevinsky V.G., Giant resonances: New glimpse at collective dynamics in the continuum. // Fizika 22 (1990) 303.

59. Brower P.W. Generalized circular ensemble of scattering matrices for a chaotic cavity with nonideal leads. // Phys. Rev. В 51 (1995) 16878.

60. Fyodorov Y.V. and Alhassid Y., Photodissociation in quantum chaotic systems: Rendom-matrix theory of cross-section fluctuations. // Phys. Rev. A 58 (1998) R3375; J. Phys. Chem. A 102 (1998) 9577.

61. Gossiaux P.-B., Pluhàr Z., and Weidenmiiller H.A., Magnetoconductance autocorrelation function for few-channels chaotic microstructures. // Ann. Phys. 268 (1998) 273-307.

62. Любошиц В. Jl., О длительности ядерных реакции в условиях сильного перекрывания резонансных уровней. // Phys. Lett. В 72 (1977) 41; Ядерная физика 27 (1978) 948-957;

63. Lewenkopf С.H. and Weidenmiiller H.A., Stochastic versus semiclassical approach to quantum chaotic scattering. // Ann. Phys. (N.Y.) 212 (1991) 53-83.

64. Harney H.L., Dittes F.M., and Miiller A., Time evolution of chaotic quantum systems. // Ann. Phys. (N.Y.) 220 (1992) 159; Phys Rev. A 45 (1992) 701.

65. Wigner E., Lower limit for energy derivative of the scattering phase shift. // Phys. Rev. 98 (1955) 145.

66. Smith S.T., Lifetime matrix in collision theory. // Phys. Rev. 118 (1960) 349; ibid. 119 (1960) 2098.

67. Wardlaw D.M. and Jaworski W., Time delay, resonances, Riemann zeros and chaos in a model quantum scattering system. //J. Phys. A: Math. Gen. 22 (1989) 3561-3575.

68. Shushin A. and Wardlaw D.M., Properties of time delay and S-matrix for chaotic scattering on a leaky surface of a constant negative curvature. // J. Phys. A: Math. Gen. 22 (1992) 1503.

69. Gutzwiller M., Stochastic behavior in quantum scattering model. // Physica D 7 (1983) 341.

70. Montgomery H.L., // Proc. Symp. Pure Math. 24 (1973) 181.

71. Smilansky U., The Classical and Quantum Theory of Chaotic Scattering, in: Chaos and Quantum Physics, Proceedings of the Les-Houches Summer School, Session LII, edited by M.J.Giannoni et al. (North-Holland, Amsterdam, 1991), p. 372.

72. Gutzwiller M.R. Chaos in classical and quantum mechanics, (SpringerVerlag, 1990).

73. Eckhardt B., Correlations in quantum time delay. // Chaos 3 (1993) 613-617.

74. Biittiker M., Pretre A., and Thomas H., Dynamical conductors and the scattering matrix of small conductors. // Phys. Rev. Lett. 70 (1993) 4114.

75. Gopar V., Mello P. and Biittiker M., Mesoscopic capacitor: a statistical analysys. // Phys. Rev. Lett. 77 (1996) 3005.

76. Zelevinsky V.G., Mean field out of chaos. // Nucl. Phys. A 555 (1993) 109-127.

77. Flambaum V.V., Gribakina A.A., Gribakin G.F., and Kozlov M.G., // Phys. Rev. A 50 (1994) 267.

78. Zelevinsky V., Brown B.A., Frazier N., and Horoi M., The nuclear shellmodel as a testing ground for many-body quantum chaos. // Phys. Rep. 276 (1996) 86-176.

79. Fyodorov Y.V. and Mirlin , Statistical properties of eigenfunctions of random quasi ID one-particle Hamiltonians. // Int. J. Mod. Phys. 8 (1994) 3795.

80. Casati G. and Chirikov B.V. (editors), Quantum Chaos, (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995).

81. Nishioka H., Verbaarschot J.J.M., Weidenmuller H.A., and Yoshida S., Statistical theory of precompound reactions: the multistep compound process. //Ann. Phys. 172 (1986) 67.

82. Lehmann N., Savin D.V., Sokolov V.V., Sommers H.-J., Time delay correlations in chaotic scattering: Random matrix approach, // Physica D 86 (1995) 572-585.

83. Lehmann N., Savin D.V., Sokolov V.V., Sommers H.-J., Properties of the time delay in quantum chaotic scattering, in Nonlinear Waves.

84. Synchronization and Patterns. Part edited by M.I. Rabinovich, M.M. Sushchik, V.D. Shalfeev (Nizhny Novgorod University Press, 1995) pages 59-64.

85. Savin D.V., Random band matrix approach to chatic scattering: the average S-matrix and its pole distribution // preprint BudkerlNP 95101, 1995.

86. Альтшулер Б.Л., Кравцов В.Е., Лернер И.В., Спектр времен релаксации в неупорядоченных проводниках. // Письма ЖЭТФ 45 (1987) 160;

87. В.A. Muzykantskii and D.E. Khmelnitsky, Nearly localized states in disordered conductors. // Phys. Rev. В 51 (1995) 5480; Mirlin A.D., Long-time relaxation of current in a 2D weakly disordered conductor. // Письма ЖЭТФ 62 (1995) 583.

88. Casati G., Maspero G., and Shepelyansky D., Relaxation process in a regime of quantum chaos. // Phys. Rev. E 56 (1997) R6233-R6236.

89. Savin D.V. and Sokolov V.V., Quantum versus classical decay laws in open chaotic systems. // Phys. Rev. E 56 (1997) R4911-R4913.

90. Akkermans E., Auerbach A., Avron J., adn Shapiro В., Relation between persistent currents and the scattering matrix. // Phys. Rev. Lett. 66 (1991) 76; Akkermans E. // Europhys. Lett. 15 (1991) 709.

91. Buks E. Shuster R., Heiblum M., Mahalu D., Umansky V., and Shtrikman H., Measurement of phase and madnitude of the reflection coefficient of a quantum dot. // Phys. Rev. Lett. 77,4664 (1996).

92. Doron E., Smilansky U. and Frenkel A., Experimental demonstration of chaotic scattering of microwaves. // Phys. Rev. Lett. 65 (1990) 3072.

93. Jalabert R.A. and Pichard J.-L., //J. Phys. (France) I 5 (1995) 287; E. Mucciolo, R.A. Jalabert, and J.-L. Pichard // cond-mat/9703178.

94. Dietz В., Lombardi M., Seligman Т.Н., Universal parametric correlations of the eigenphases of the S-matrix. // Phys. Lett. A 215 (1996) 181.

95. Wang Y., Zhu N., Wang J. and Guo H., Resonance states of open quantum dots. // Phys. Rev. В 53 (1996) 16408-16413.

96. Huibers A.G., Patel S.R., Marcus C.M., Brouwer P.W., Duruoz C.I. and Harris (Jr.) J.S., Distribution of the conductance and its parametric derivatives in quantum dots. // cond-mat/9801174

97. Simons B.D., Szafer A., and Altshuler B.L., Universality in quantum chaotic spectra, // Письма в ЖЭТФ 57 (1993) 268-272;

98. Simons B.D., Hashimoto A., Courtey M., Kleppner D., and Altshuler B.L., // Phys. Rev. Lett. 71 (1993) 2899.

99. Faas M., Simons B.D., Zotos X., and Altshuler B.L., Universality in spectra of strongly correlated systems, // Phys. Rev. B 48 (1993) 54395443.

100. Fyodorov Y.V., Savin D.V., Sommers H.-J., Parametric correlations of phase shifts and statistics of time delays in quantum chaotic scattering: crossover between unitary and orthogonal symmetries, // Phys. Rev. E 55 (1997) R4857-R4860.

101. Edwards S.F. and Anderson P.W., //J. Phys. F 5 (1975) 965.

102. Verbaarschot J.J.M., Weidenmiiller H.A. and Zirnbauer M.R., Evaluation of ensemble averages for simple Hamiltonian perturbed by a GOE interaction. // Ann. Phys. 153 (1984) 367-388.

103. Verbaarschot J.J.M. and Zirnbauer M.R., Replica variables, loop expansion and spectral rigidity of random-matrix ensembles. // Ann. Phys. 153 (1984) 78-119.

104. Verbaarschot J.J.M. and Zirnbauer M.R., Critique of replica trick. //J. Phys. A (Math. Gen.) 17 (1985) 1093-1104.

105. Zirnbauer M.R., Another critique of the replica trick. // e-print cond-mat/9903338.

106. Kus M., Lewenstein M., and Haake F., Density of eigenvalues of random band matrices. // Phys. Rev. A 44 (1991) 2800.

107. Pandey A., Ergodic behavior in random-matrix ensembles. // Ann. Phys. (NY) 119 (1979) 170-191 .

108. Blatt J.M. and Weisskopf V.F., Theoretical Nuclear Physics (Springer Verlag, 1979).

109. Verbaarschot J.J.M., Investigation of the formula for the average of two 5-matrix elemtnts in compound nucleus reactions. // Ann. Phys. (N.Y.) 168 (1986) 368-386.

110. Frahm K.M., Quantum relaxation in open chaotic systems. // Phys. Rev. E 56 (1997) R6237-R6240.

111. Bell J.S. and Steinberger J., Proceedings of the Oxford International Conference on Elementary Particles, 1965.

112. Izrailev F.M., Saher D. and Sokolov V.V., Statistical properties of chaotic scatterting with one open channel. // Phys. Rev. E 49 (1994) 130-138 .

113. Pandey A., Mehta M.L., // Commun. Math. Phys. 16 (1983) 2655

114. Dupius N. and Montambaux G., // Phys. Rev. B 43(1991) 14390.

115. Bohigas O., Giannoni M.-J., Ozorio de Almeida A.M., and Schmit C., Chaotic dynamics and GOE-GUE transition. // Nonlinearity 8 (1995) 203.

116. Thouless D.J., Electron in disordered wires and the theory of localization. // Phys. Rep. 13 (1974) 93; Maximum metallic resistance in thin wires. // Phys. Rev. Lett. 39 (1977) 1167.

117. Altland A., Iida S., Miiller-Groelng A., and Weidenmiiller H.A., Persistent current in a ensemble of isolated mesoscopic rings. // Ann. Phys. (N.Y.) 219 (1992) 148-186.

118. Pluhar Z., Weidenmiiller H.A., Zuk J.A., Lewenkopf C.H., and Wegner F.J., Crossover from orthogonal to unitary symmetry for ballistic electron transport in chaotic microstructures. // Ann. Phys. (NY) 243 (1995) 1-64.

119. Macedo A.M.S., Parametric 5-matrix fluctuations in the quantum theory of chaotic scattering. // Phys. Rev. E 50 (1994) R659.

120. Brouwer P.W., Frahm K.M., and Beenakker C.W.J., Quantum mechanical time-delay matrix in chaoric scattering. // Phys. Rev. Lett. 78 (1998) 4737.

121. Altland A., Iida S., and Efetov K.B., // J. Phys. A 26 (1993) 3545.

122. Taniguchi N., Hashimoto A., Simons B.D., and Altshuler B.L., Crossover driven by time-reversal symmerty breaking in quantum chaos. // Europh. Lett. 27 (1994) 335-340.

123. Vallejos R.A., Ozorio de Almeida A.M., Lewenkopf C.H., Quantum time-delay in chaotic scattering: a semiclassical approach. // e-print chao-dyn/9709017.

124. Seba P., Zyczkowski K. and Zakrzewski J., Statistical properties of random scattering matrices. // Phys. Rev. E 54 (1996) 2438-2446.

125. Brouwer P. and Biittiker M., Charge-relaxation and dwell time in the fluctuating admittance of a chaotic cavity. // Europhys. Lett. 37 (1997) 441.

126. Zirnbauer M.R., Anderson localization and non-linear sigma model with graded symmetry. // Nucl. Phys. B 256 FS15] (1986) 375-408.

127. Fyodorov Y.V., Basic features of Efetov's supersymmetry approach, in 7], pp. 493-532