Характеры группы рациональных перекладываний тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫ/

Горячко Евгений Евгеньевич

ХАРАКТЕРЫ ГРУППЫ РАЦИОНАЛЬНЫХ ПЕРЕКЛАДЫВАНИЙ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2011

7 ДПР 2011

4841939

Работа выполнена в лаборатории теории представлений и вычислительной математики Учреждения Российской академии наук Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор ВЕРШИК Анатолий Моисеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ВАВИЛОВ Николай Александрович (Санкт-Петербургский государственный университет)

доктор физико-математических наук, профессор ВИНБЕРГ Эрнест Борисович (Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова)

Ведущая организация: Российский государственный педагогический

университет им. А. И. Герцена

Защита состоится " fy " ß/fl^L&ASs 2011 г. в jjti. часов на заседании совета Д 212.232.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27, ауд. 311.

Адрес диссертационного совета: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., д. 28.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9.

Автореферат разослан " i " ЛШ'^МС 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Нежинский В. М.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В диссертации изучаются характеры и представления некоторых локально-конечных групп, то есть индуктивных пределов не более чем счетных семейств конечных групп. Уже из определения локально-конечных групп видно, что различные вопросы теории представлений этих групп естественно пытаться решить с помощью сведения к вопросам о представлениях конечных групп. Эта идея реализуется в асимптотическом методе, предложенном А. М. Вершиком и С. В. Керовым в 1980-х годах. С другой стороны, теория представлений локально-конечных групп естественно связана с теорией представлений аппроксимативно-конечномерных алгебр, то есть индуктивных пределов не более чем счетных семейств конечномерных С*-ал-гебр (групповые С*-алгебры локально-конечных групп, в частности, являются такими алгебрами), развитой в работах О. Браттели (1972 г.), Г. Эллиотта (1976 г.). Э. Эффроса, Д. Хандельмана и Ч. Шена (1980 г.) и других.

Одной из классических задач теории представлений локально-конечных групп является задача об описании Ко-функторов и неразложимых характеров конкретных групп. Пожалуй, самым интересным примером здесь является бесконечная симметрическая группа — индуктивный предел симметрических групп Б,,, где п € N и {0}, относительно естественных вложений. К0-функтор и неразложимые характеры этой группы были описаны в серии работ А. М. Вершика и С. В. Керова (1981, 1983, 1985 гг.). Описание К0-функ-тора группы Бос оказывается связанным с классической теорией симметрических функций. Неразложимые характеры группы Боо описываются при помощи эргодического метода. Его реализация в данном случае состоит в исследовании асимптотики неразложимых характеров групп Б,, при естественных вложениях (слабые пределы последовательностей таких характеров суть неразложимые характеры группы Б^). Таким образом, задача сводится к теореме о предельном поведении неразложимых характеров групп 8„. Ее доказательство получается из классических фактов о представлениях этих групп. Среди других методов решения рассматриваемой задачи мы отметим подход Э. Тома, связанный с теорией целых функций (1964 г.), полугрупповой метод Г. И. Ольшанского и А. Ю. Окунькова (1990-е годы), новый метод А. М. Вершика, связанный с несвободными действиями групп (2010 г.).

Кроме описанного выше примера группы Эоо аналогичные вопросы были решены для бесконечномерной полной линейной группы над конечным полем (Х.-Л. Скудларек, 1976 г.), бесконечномерной унитарной группы (Д. Войку-леску, 1976 г.; А. М. Вершик и С. В. Керов, 1982 г.), различных групп матриц над счетными полями ненулевой характеристики (А. М. Вершик и К. П. Ко-хась, 1990 г.; К. П. Кохась, 2001 и 2002 гг.).

В первых двух главах диссертации рассматривается еще одна группа такого типа — группа рациональных перекладываний полуинтервала [0,1) (мы будем называть его "отрезок"). Она состоит из всех таких симметрий отрезка. что действие каждой из них является перекладыванием конечного числа полуинтервалов с рациональными концами, образующих разбиение отрезка. Эта группа — плотная подгруппа в группе всех автоморфизмов отрезка как пространства с мерой. С другой стороны, она является индуктивным пределом групп Бщ где п £ N. относительно периодических вложений. Группа перекладываний (или близкие группы) ранее возникала в литературе в контексте эргодической теории (А. М. Вершик, 1974 г.), теории групп (Н. В. Кротко и В. И. Сущанский, 1998 г.) и в связи с другими вопросами. Мы описываем Ко-функтор этой группы как кольцо Рисса и все ее неразложимые характеры. Для описания характеров мы используем эргодический метод; как и в случае группы он позволяет свести задачу к асимптотическому анализу некоторых классических фактов о характерах групп

В третьей главе диссертации мы работаем с представлениями конечных групп, одггако мотивация рассматриваемой нами задачи связана с бесконечномерной теорией представлений. В 1998-м году А. М. Вершик и С. В. Керов определили локально-компактную группу СЬВ(д); она состоит из почти треугольных бесконечных матриц над полем из д элементов. Оказывается, что с теоретико-представленческой точки зрения именно эта группа является правильным "д-аналогом" группы Я^: ее неразложимые характеры в существенной части описываются по аналогии с неразложимыми характерами группы Язо (что совершенно не верно для полной линейной группы бесконечных матриц). На конечном уровне рассмотрение группы СЬВ(<?) приводит к определению параболических вложений групповых алгебр групп вЬ(п,?) (их пределом является групповая алгебра Врюа-Шварца группы СЬВ(д)).

Ключевое свойство параболических вложений, которое также объединяет группы СЬВ(с/) и Бос, состоит в том, что ветвление представлений групп СЦп, д) при ограничениях, определяемых этими вложениями (параболических ограничениях), простое. Этот факт может быть получен как следствие глубокой теории, в которой дается полное описание неприводимых представлений групп вЦп, д), развитой в работах Дж. А. Грина (1955 г.), С. И. Гель-фанда (1970 г.), Д. К. Фаддеева (1974 г.) и А. В. Зелевинского (1981 г.). Мы даем прямое доказательство простоты ветвления, не зависящее от классификации всех неприводимых представлений групп вЦп, д).

Цели работы. Основные цели работы состоят в реализации асимптотического подхода к описанию Ко-функтора и неразложимых характеров группы перекладываний и в отыскании прямого доказательства простоты ветвления представлений групп йЦп, д) при параболических ограничениях.

Общая методика работы. В работе используются как общие методы теории представлений, так и специфические комбинаторные методы, связанные с представлениями симметрических групп, и аналитические методы, разработанные в теории представлений локально-конечных групп.

Основные результаты работы. Получено описание Ко-функтора и неразложимых характеров группы перекладываний. В рамках эргодического метода доказана более общая теорема (описание характеров является ее следствием) об асимптотике неразложимых характеров групп 8п при периодических вложениях. Найден новый прямой способ доказательства простоты ветвления представлений групп вЦп, д) при параболических ограничениях.

Научная новизна. Результаты первой и второй глав диссертации являются новыми. В третьей главе диссертации предлагается новый прямой способ доказательства известного утверждения.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты первых двух глав могут быть использованы в дальнейшем исследовании теории представлений группы перекладываний и в решении других алгебраических и аналитических задач, связанных с этой группой. Результат третьей главы может быть полезен для исследования и более глубокого понимания теории представлений групп вЦп, д) и СЬВ(д).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории представлений и динамическим системам ПОМИ РАН, а также на международных конференциях "Noncommutative harmonic analysis, theory of group representations, and quantification" (Тамбов, Россия, 2009 г.) и "Groups and their actions" (Бендлево, Польша, 2010 г.) и на российской конференции "Математика — XXI век. 70 лет ПОМИ" (Санкт-Петербург, 2010 г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в статьях [1-5]. В работе [2] диссертанту принадлежит формулировка основной теоремы об асимптотике неразложимых характеров групп Sn при периодических вложениях, а также доказательство этой теоремы для случая, когда количество клеток под первой строкой диаграмм Юнга стабилизируется; доказательство для случая, когда это условие не выполнено, получено совместно с Ф. В. Петровым. Статьи [1-3] опубликованы в изданиях, входящих в перечень ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и 3 глав, разбитых на разделы и подразделы. Текст диссертации изложен на 55 страницах. Список литературы содержит 37 наименований.

Содержание работы

Введение к диссертации начинается с определения основных понятий теории представлений локально-конечных групп и изложения краткой истории изучаемого круга вопросов и примеров описания Ко-функтора и неразложимых характеров (эти понятия определены ниже) для некоторых важных локально-конечных групп. Далее G есть локально-конечная группа.

Определение. Ко-функтор Ko(G) есть упорядоченная абелева группа с порядковой единицей, состоящая из классов изоморфизма конечно-порожденных проективных виртуальных G-модулей. Конус неотрицательных элементов Ко-функтора состоит из истинных G-модулей. Порядковая единица Ко-функтора — G-модуль, отвечающий регулярному представлению группы G. Функция х : G —> С — характер, если х центральна (\'(д/г) = хС'<?) для любых g, h е G), нормирована (х(1) = 1), неотрицательно определена (матрица (xifiPjT^Kijcn неотрицательно определена для всехдг,.. .,дп € G,ne N). Характер называется неразложимым, если его нельзя представить в виде нетривиальной выпуклой комбинации других характеров.

Неразложимые характеры конечной группы суть в точности нормированные (поделенные на размерность) неприводимые характеры данной группы в смысле теории представлений конечных групп.

Далее во введении мы определяем основные объекты, о которых будет идти речь в диссертации, формулируем наши основные результаты, анализируем их в контексте результатов, полученных ранее другими авторами, и в завершение описываем структуру диссертации.

В главе 1 мы описываем Кц-функтор и находим некоторые алгебраические свойства неразложимых характеров группы рациональных перекладываний; эту группу мы обозначаем через R. Процитируем основные определения. связанные с группой R (в них мы считаем, что группа S„ действует на множестве {0,..., п — 1}, a idn — единичный элемент этой группы). Определение 5. Биекцию д: [0,1) —> [0,1) назовем рациональным перекладыванием отрезка, если найдутся такие число тг е N, перестановка и £ S„ и разбиение {[zoi^i), • ■ •, [in_i,xn)} отрезка на полуинтервалы с рациональными концами, что д(х) = х — + хищ для всех х 6 [arj, £¿+1)1 г 6 {0,...,»— 1}-Определение 6. Прямое произведение и Пг> € S/,„. где l,m £ N, перестановок и g S;, v £ Sm — перестановка, определенная для всех z £ {0,..., 1т — 1} по формуле и П = mu([z/m\) + v{z mod m).

Определение 7. Периодическое вложение группы Si в группу S;m есть сопоставление каждой перестановке и £ Si перестановки и П idm £ S;m. Определение 8. Натуральным характером Xnat группы II будем называть функцию, значение которой на данном перекладывании есть мера множества неподвижных относительно него точек отрезка.

Определение 1.3. Внешнее произведение ж йр € Ko(S/m), где 1,тп £ N, определяемое операцией прямого произведения перестановок представлений я- € Ko(S() и р £ Ko(Sm) есть представление indgj™Sm(7r ® р) (здесь мы полагаем, что Si х Sm вкладывается в S;m при помощи операции п).

Группа R является индуктивным пределом групп S„, nSN, относительно периодических вложений (мы считаем, что множество N упорядочено по делимости). Вложение S„ (—> R, согласованное с периодическими вложениями, задается так: и > ди, где ди{х) = "tt1"^4^"^ для всех х £ [0,1).

Продолжение по линейности операции й на абелеву группу Ко(8п) определяет на ней структуру ассоциативного и коммутативного кольца с единицей. Ко-функтор группы И есть фактор абелевой группы фпеК Ко (Б,,) по идеалу (относительно умножения ЕЕЭ), порожденному элементами — regn, п € N (здесь — регулярное представление группы Б,,). Таким образом, на абелевой группе Ко (И) возникает ассоциативное и коммутативное фактор-умножение И, превращающее ее в кольцо Рисса.

В разделе 1.2 мы получаем описание кольца Ко(И) в терминах симметрических функций; для этого сначала мы вводим вспомогательную структуру моноида на множестве разбиений натуральных чисел.

Обозначим через [и>1,..., сл.,] разбиение натурального числа и>х + ... 4- ш, на слагаемые и>\,... ,ша 6 N (порядок их перечисления нам не важен, поэтому мы используем квадратные, а не круглые скобки); пусть Vх — множество всех разбиений. Операция П обладает следующим свойством: класс сопряженности результата ее применения к данным перестановкам не зависит от замены этих перестановок на сопряженные. Пользуясь этим свойством и тем, что разбиения параметризуют классы сопряженных элементов в симметрических группах, мы получаем, что операция п определяет фактор-операцию на множестве Vх, которую мы называем умножением разбиений. Множество Vх — коммутативный моноид относительно этой операции.

Обозначим через Лх абелеву группу симметрических функций с нулевым свободным членом; пусть р„ е Л* — п-я степенная сумма для любого п £ N йРи = РиГ---' Рш, Для любого разбиения из = [ш!,..., и/5]. В силу того, что любая симметрическая функция однозначно представляется в виде многочлена с рациональными коэффициентами от степенных сумм, группа Л* вкладывается в пространство многочленов над (ф от переменных ръ Рг> • ■ • с нулевым свободным членом. Это пространство изоморфно моноидному кольцу (ЩР*] моноида Vх, рассматриваемому как пространство над Перенесем умножение из (ЩТ5*] в пространство многочленов: обозначим это пространство также через 0>["РХ]. Наконец, отождествим группу Л* с ее образом при описанном выше вложении в кольцо (ЭДТ3*]. В теореме 1.1 доказано, что Лх есть подкольцо этого кольца, изоморфное кольцу ф„бК Ко(8„); основной результат о кольце К0(К) содержится в следствии из этой теоремы.

Следствие. Кольцо Ko(R) изоморфно факторкольцу кольца Л* по идеалу, порожденному элшептами pi — pn[i]; n 6 N (здесь n[l] = [1,. „ , lj^).

n раз

В терминах характеров наличие структуры кольца на 1<о-функторе группы R влечет важное свойство мультипликативности ее неразложимых характеров; в разделе 1.3 сначала мы доказываем это свойство и с его помощью находим счетную серию неразложимых характеров группы R.

Теорема 1.2. Пусть х ~ характер группы R; тогда он неразложим, если и только если он мультипликативен относительно операции п (то есть xidutiv) = x{9u)x{9v) для всех и 6 S/. v € Sm, l,m £ N). Предложение 1.3. Функции x„at (гм- определение 8) суть неразложимые характеры группы R для всех к € N U {0, оо}.

Описать все неразложимые характеры группы R без применения дополнительных идей не удается, однако в следствии из теоремы 1.3 мы устанавливаем еще одно их свойство, которым мы воспользуемся в главе 2.

Следствие. Пусть х и и ~ нсединичный неразложимый характер группы R и перестановка, длины циклов которой не взаимно просты в совокупности, соответственно, тогда х(3и) = 0.

Связь между симметрическими функциями и представлениями групп Sn восходит к работам Ф. Г. Фробениуса и И. Шура (1900-е годы). Описание Ко-функтора группы R и свойство мультипликативности мы получаем по аналогии с тем, как это было сделано для группы S^ (А. М. Вершик и С. В. Керов, 1983 г.). Результаты главы 1 опубликованы в [4] и частично в [2].

В главе 2 мы даем описание всех неразложимых характеров группы R в рамках эргодического метода; мы получаем это описание как следствие теоремы 2.2 об асимптотике неразложимых характеров групп S„ при периодических вложениях. Далее под кофинальными подмножествами множества N мы понимаем подмножества, содержащие кратные любых чисел. Определение 2.1. Сеть (xn)neJV: где N — кофинальное подмножество множества N и Хп ~ характер группы Sn для всех п £ N, слабо сходится относительно периодических вложений к характеру х группы R, если для всех I € N и и £ Si числовая сеть (xim(u П сходится к x(ffu)-

Теорема 2.1. Неразложимые характеры группы II и только они суть пределы слабо сходящихся относительно периодических вложений сетей неразложимых характеров групп Э„, п € N.

Эта теорема есть следствие в частном случае группы И общей теоремы об аппроксимации неразложимых характеров локально-конечных групп. Далее мы формулируем основную теорему главы 2; используя эту теорему совместно с теоремой 2.1, мы получаем следствие об описании неразложимых характеров группы II. Мы работаем с неразложимыми характерами групп 8„, используя классическое соответствие между ними и диаграммами Юнга. Обозначим через Уп, где п € N и {0}, множество диаграмм Юнга с п клетками, а через \х — неразложимый характер группы 8П, соответствующий Л 6 пусть Гх(Л) и сх(А) — длины первых строки и столбца диаграммы А.

Теорема 2.2. Пусть (а„)пек € Плем-Уп- Тогда сходимость сети (ха„)п«=г; неразложимых характеров симметрических групп эквивалентна сходимости числовой сети (п — шах(г1(А„),С1(Ап)))п£р1, причем если эта сеть сходится к к € Ми {0,оо}, то сеть (хл„)пем сходится к характеру Хп^-Следствие. Неразложимые характеры группы И исчерпываются характерами для всех к € N и {0, оо}.

Как видно, в теореме 2.2 устанавливается более сильный результат, чем только описание неразложимых характеров группы II; оставшаяся часть главы 2 посвящена доказательству теоремы 2.2; в нем возникает несколько фактов, представляющих самостоятельный интерес. Оно начинается со сведения теоремы 2.2 к следующей теореме с более простой формулировкой.

Теорема 2.3. Пусть (А(г),1С.д: € ПпеЛ'^» ^ ~~ кофинальное подмножество в Г1(АП) ^ С1(АП) для любых п € ЛГ, Нтп6лг(п — Гх(Ап)) = к; тогда сеть (хА„)пелт слабо сходится к характеру Хш> то есть для любых I & N и и € Б; мы имеем Шпте(. д^ Ха,,„ (и П 1с1т) = ХшШ-

Доказательство теоремы 2.3 распадается на два больших случая: к < оо и к = оо. В первом из них доказательство следует из специальной формулы для характеров Х\, удобной для перехода к пределу при периодических вложениях. Во втором случае мы работаем напрямую с классическим правилом Мурнагана-Накаямы для вычисления этих характеров.

В разделе 2.2 рассматривается случай к < оо. Обозначим через ха, где АеХигаеМи {0}, ненормированный неприводимый характер группы 8,г. соответствующий диаграмме Л; тогда Хл = • Обозначим через щ{и). где и € Бп, а I € Г^, число циклов длины I в цикловой записи перестановки и (в частности, 01 (и) равно числу неподвижных точек); тогда Хпы{9и) = а\(и)/1. Теорема 2.3 в случае к < оо сводится к следующей теореме.

Теорема 2.4. Пусть (\п)п£К € Ппелг^" ^ ~~ кофинальное подмножество в NJ, п — Гх(Лп) = к для любых п € И; тогда для любых I £ N и и € 81 мы имеем Нтт6( 1 дг)ПР)(хл,т(и П \&т)/хх,т('¿/т)) = {а\{и)/1)к.

Эта теорема является следствием представляющего независимый интерес свойства полиномиальности неприводимых характеров групп 8П. Его смысл заключается в том, что величина х\(и) является многочленом специального вида относительно параметров а^и), 02(11),..., зависящим только от формы диаграммы А под первой строкой. Полиномиальность неприводимых характеров групп Бп доказана в теореме 2.5. Прежде чем сформулировать эту теорему, проиллюстрируем ее на простейших примерах (в этих примерах и далее через (Ах,..., Ас), где с £ N и {0}, Аь..., Ас е N и А1 ^ ... ^ Хс, обозначается диаграмма, длины строк которой суть числа Аь ..., Ас):

• Х(п-1.1)(и) =<ц(и) - 1;

• Х(п-2.2)(и) = |а!(и)(а1(ы) - 3) + а2(и);

• Х(п-2.1,1)(«) = |(«1(и) - 1)Ы») - 2) - а2{и).

Теорема 2.5. Пусть ^ € Ми {0} и ц £ У^; тогда существует такой многочлен Р(1 от переменных а^ ... степени что

(1) для любых п € N и {0}, где п ^ 2]. и и £ Б,,. мы имеем х^-^иД") = = Рм(а1(и),... ,а^(и)) (здесь (п — и ц есть диаграмма, получающаяся из диаграммы ¡1 добавлением первой строки длины п —

(2) старшую степень ] в Рд имеет только одночлен .

Раздел 2.3 посвящен случаю к ~ оо; используя то, что х^ ~ — дельта-функция в единице на группе II, мы сводим его к следующей теореме.

Теорема 2.6. Пусть (Хп)пеК € ГЪ,елг Уп (где N — кофинальное подмножество в N,1, гх(Ап) ^ С](АП) для любых п £ N, Нтпедг(гс — Г1(АП)) = оо; тогда для любых I £ N и и € Б/ \ {1(1;} мы имеем Итте(1Лг)ПКхА|т(и П = 0.

Пользуясь следствием из теоремы 1.3, сначала мы проверяем, что теорему 2.6 нам достаточно доказать только для перестановок и е Б; \ длины циклов которых взаимно просты в совокупности. Пусть и — такая перестановка; обозначим количество циклов этой перестановки через с, а их длины — через /ь...,/с; тогда 1\ + ... + 1С = I и §сс1(/1, ...,1С) — 1. Определение 2.2. Пусть ш £ Я; тогда т-порядок есть разбиение отрезка {1,2,..., 1т} на ст отрезков длин 1\,... . ■. ■ ■ ■ ,1с, ■ ■ ■ ,1с-

т раз ш раз пг раз

Обозначим через От множество всех т-порядков. Ясно, что любой т-по-рядок а задает упорядочивание длин циклов перестановки и П ¡<1т. Для любого г £ {1,..., ст} обозначим г-ю из этих длин через <7;. Кроме того, пусть (^п)исЛ' — сеть диаграмм, указанная в формулировке теоремы 2.6. Определение 2.5. Пусть т € (уЛг) П N и а б От; тогда а-замощение С — такая последовательность диаграмм () = Ац С ... С А£.п = Л/„,, что для всех г € {1,..., ст} мы имеем: — косой крюк (то есть связная косая диа-

грамма, не содержащая поддиаграммы (2,2)), состоящий из <7; клеток.

Для любого а € От обозначим через 2(сг) множество всех <т-замощений. Применяя правило Мурнагана-Накаямы, мы имеем

ХА„> П ¡ап1) = (-1)т! Есе2(а)(-1)1:"1(выС0та крюка

Отсюда мы получаем, что |ХА,,„(уП1йт)| ^ | для всех а € От. Основная идея дальнейшего рассуждения состоит в том, что в этой оценке мы переходим к математическому ожиданию функции а >—> |2(сг)| относительно некоторой специальной меры ат на множестве От. Тогда доказательство теоремы 2.С сводится к проверке того, что ожидание величины |2(а)| бесконечно мало по сравнению с Хл^ОФт) при т —» оо. Мы проверяем этот факт с помощью различных арифметических и комбинаторных оценок.

Классическая теория представлений групп Бп связана с именами А. Юнга, Ф. Г. Фробениуса, И. Шура, В. Шпехта (1900-1930-е годы). Эргодический метод первоначально возник в теории меры (А. М. Вершик, 1974 г.). Классические примеры применения этого метода приведены в работах А. М. Верши-ка и С. В. Керова (1980-е годы); как и в главе 1, основным примером для нас была группа Эос. Результаты главы 2 опубликованы в [2, 3].

В главе 3 мы даем прямое доказательство простоты ветвления представлений групп СЬ(п, с/) при параболических ограничениях. Определим сначала параболические вложения групповых алгебр групп СЬ(п, д) (мы обозначаем их через С[ОЬ(п, д)]; здесь д — примарное число и п £ N и {0}). Определение 9. Параболическое вложение сп алгебры С[(~1Ь(т1, д)] в алгебру С[СЦп + 1, <?)] есть линейное отображение, определенное между ними и действующее на элементах группы СЬ(п, д) по следующей формуле (на всю алгебру С[СЦп, д)] это отображение продолжается по линейности):

Ясно, что еп — мономорфизм алгебр и e„(id„) ф idra+i, если п ф 0. Непосредственным обобщением параболических вложений являются ¿/-вложения. Они определяются ниже в следующем контексте: G — конечная группа, Я и U — ее подгруппы, причем Я нормализует U и Я П U = {1}. Определение 3.1. U-вложение, eu - С[Я] —► C[G] — мономорфизм алгебр, действующий по формуле eu(h) = для всех ^ € Я.

При помощи [/-вложения мы определяем следующую операцию [/-ограничения представлений группы G на подгруппу Я.

Определение 3.2. U-ограничение р = vesu(7г) комплексного представления 7г группы G есть представление группы H в пространстве W = Ттп 7г(е^(1)), действующее по формуле p(h) = 7г(еу(/г))|ц.-_.н' для всех h € Я.

Для группы G = GL(n + 1, q) и ее подгрупп Я={(о°)|/1б GL(n, g)} и U - {('о" ") | и £ (F,)"} //-вложение с г/ совпадает с параболическим вложением е„. Параболическое ограничение представлений группы GL(n + 1, q) на подгруппу GL(n, q) определяется как [/-ограничение для указанных матричных групп G, H и U. Простота ветвления означает, что любого неприводимого представления группы GL(n + 1, q) разложение на неприводимые компоненты параболического ограничения этого представления свободно от крат-ностей. Натпе доказательство данного факта состоит из следующих двух частей. Сначала мы доказываем сформулированный ниже абстрактный критерий простоты ветвления при [/-ограничениях. Затем мы проверяем этот критерий для групп GL(n, q) при помощи матричных вычислений.

Теорема 3.1. Пусть у группы G имеется инволютивпый автоморфизмв, сохраняющий подгруппу Н и удовлетворяющий следующим условиям:

(1) любой g 6 G сопряжен с 0(g)-1, причем для каждого g € Н это сопряжение можно осуществить при помощи элемента группы Н;

(2) для любого g 6 G найдется такой he. Н, что 0(д)~1 € h~10(U)gUh.

Тогда ветвление комплексных представлений группы G при U-ограничении на подгруппу Н простое (то есть для любого неприводимого комплексного представления ж группы G разложение на неприводимые компоненты представления resy(7r) свободно от кратностей).

Раздел 3.2 посвящен доказательству теоремы 3.1. Ключевую роль в доказательстве играет сформулированная ниже простая лемма; именно при помощи этой леммы мы доказываем, что разложения на неприводимые компоненты некоторых представлений свободны от кратностей (классический критерий для проверки этого свойства, состоящий в том, что оно эквивалентно коммутативности алгебры эндоморфизмов данного представления, оказывается неприменимым в рассматриваемой задаче).

Лемма 3.1. Пусть комплексные конечномерные представления pup' конечной группы Н действуют в пространствах W и W' соответственно; тогда следующие условия равносильны:

(1) произведение кратностей вхождения каждого неприводимого представления группы Н в представления pup' не превосходит 1;

(2) Im а = Im b Кег о = Ker b для всяких операторов а и Ъ, действующих из W в W и сплетающих представления pup'.

В разделе 3.3 мы доказываем, что условия теоремы 3.1 выполнены для группы G = GL(n + \,К) и ее подгрупп Я = {(ft?) | h, € GL(n,K)} и U = = {('о" ") | и 6 Кп}, а также инволютивного автоморфизма в: g н-> (5х)"1, g 6 G (здесь К — поле и п £ N U {0}). Для поля К = F, этот факт совместно с теоремой 3.1 дает нам прямое доказательство простоты ветвления представлений групп GL(rc, q) при параболических ограничениях.

Проверка условий теоремы 3.1 для указанных матричных групп основывается на простом факте о том, что любая матрица сопряжена со своей транспонированной, а также на следующей теореме, уточняющей этот факт.

Теорема 3.3. Для любой матрицы f € Mat(n, К) существует такая матрица h S GL(п,К), что /т = h~lfh, h = hT. Кроме того, если гк / = п — 1, то для любых таких векторов и, v G Кп. цто и ^ Im /, v ^ Im /т, матрица h может быть выбрана так, что hv — и € Im /.

Идея, используемая нами в теореме 3.1. происходит из теории представлений линейных групп над локальными неархимедовыми полями (И. М. Гель-фанд и Д. А. Каждан, 1975 г.; И. Н. Бернштейн и А. В. Зелевинский, 1976 г.). Параболическое вложение алгебр <C[GL(n, g)] естественно возникает в исследовании теории представлений группы GLB(ç) (А. М. Вершик и С. В. Ксров, 1998 г.). Результаты главы 3 опубликованы в (1) и частично в [5].

Автор выражает самую искреннюю благодарность своему научному руководителю Анатолию Моисеевичу Вершику за постановку задач, терпение и неоценимую помощь в работе над диссертацией.

Публикации автора по теме диссертации Публикации в изданиях, входящих в перечень ВАК.

[1] Горячко Е. Е. Элементарное доказательство простоты ветвления представлений групп GL(n, q) при параболических ограничениях // Функц. анализ и его прил. — 2010. — Т. 44, вып. 2. — С. 82-87.

[2] Горячко Е. Е., Петров Ф. В. Неразложимые характеры группы рациональных перекладываний отрезка // Записки научн. семин. ПОМИ. — 2010. - Т. 378. - С. 17-31.

[3] Горячко Е. Е. Полиномиальность неприводимых характеров симметрических групп // Записки научн. семин. ПОМИ. - 2010. - Т. 378. - С. 32-39.

Другие публикации.

[4] Горячко Е. Е. Ко-функтор и характеры группы рациональных перекладываний отрезка // Записки научн. семин. ПОМИ. — 2008. — T. 3C0. — С. 124-138.

[5] Горячко Е. Е. Простота ветвления представлений групп GL(n, q) при параболических ограничениях // Записки научн. семин. ПОМИ. — 2009. — Т. 373. - С. 124-133.

Подписано в печать 21.02.2011. Формат 60x90 1/16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,0 Тираж 100 экз. Заказ 30

Отпечатано в копировальном центре "Василеостровский" 199004, Санкт-Петербург, В. О., 6-я линия, д. 29

Введение

Основные результаты диссертации.

Структура диссертации.

1 Группа перекладываний: алгебраический подход

1.1 Предварительные сведения.

1.2 Ко-функтор группы И.

1.2.1 Полукольцо разбиений.

1.2.2 Описание кольца Ко (Я) в терминах симметрических функций.

1.3 Некоторые алгебраические свойства неразложимых характеров группы II.

1.3.1 Мультипликативность.

1.3.2 Случай перестановок, длины циклов которых не взаимно просты в совокупности.

2 Полное описание неразложимых характеров

2.1 Основная теорема.

2.2 Случай к <оо

2.2.1 Вспомогательные леммы.

2.2.2 Полиномиальность неприводимых характеров симметрических групп.

2.2.3 Доказательство теоремы 2.4.

2.3 Случай к = оо

2.3.1 Арифметическая лемма.

2.3.2 Комбинаторная лемма.

2.3.3 Доказательство теоремы 2.6.

3 Простота ветвления

3.1 Постановка задачи.

3.2 Критерий простоты ветвления.

3.2.1 Лемма о произведении кратностей.

3.2.2 Доказательство теоремы 3.1.

3.3 Проверка критерия для групп СЬ(п, д).

3.3.1 Лемма о двойных классах смежности.

3.3.2 Доказательство теоремы 3.2.

Основной предмет данной работы — не более чем счетные локально-конечные группы (ЬЕ-группы) и их характеры. Ясно, что ЬР-группы и только они суть индуктивные пределы не более чем счетных семейств конечных групп; отсюда следует, что комплексная групповая алгебра ЬР-группы есть локально-полупростая алгебра (ЬБ-алгебра), то есть индуктивный предел не более чем счетного семейства комплексных конечномерных полупростых алгебр (в нашем случае это групповые алгебры конечных групп).

Систематическое развитие теории ЬБ-алгебр было предложено А. М. Вер-шиком и С. В. Керовым в 1980-х годах (см., например, статьи [5, 8, 33]). Начнем с определения основных понятий этой теории.

Определение 1. Ко-функтор Ко (.А) ЬБ-алгебры А есть упорядоченная абе-лева группа с порядковой единицей, состоящая из классов изоморфизма конечно-порожденных проективных виртуальных Л-модулей. Конус неотрицательных элементов Ко-функтора состоит из истинных А-модулей, а порядковой единицей является А-модуль, соответствующий регулярному представлению алгебры А (то есть алгебра А как модуль над собой).

Ко-функтор ЬР-группы определяется как Ко (С [С]).

Определение 2. Комплексная функция х на ЬР-группе С — характер группы если она центральна (х(дЬ>) = х{^д) для любых д, к 6 С), нормирована (х(1) = 1), неотрицательно определена (матрица (х(9г9^1)) ха ¿<п неотрицательно определена для любых п £ N и дх,., дп б С).

Определение 3. Характер ЬР-группы будем называть неразложимым, если его нельзя представить в виде нетривиальной выпуклой комбинации характеров данной ЬР-группы.

Легко видеть, что неразложимые характеры конечной группы суть в точности нормированные (поделенные на размерность) неприводимые характеры данной группы в смысле теории представлений конечных групп.

В следующем определении (Ап)^=0 есть последовательность полупростых конечномерных алгебр, и для любых п заданы такие мономорфизмы алгебр еп\ Ап —» Дг+х, возможно, не сохраняющие единицу, что есть индуктивное семейство в категории алгебр без единицы. Обозначим через гп+1 операцию ограничения представлений, соответствующую мономорфизму еп; эта операция определена следующим образом: для всякого представления тг алгебры Ап+1 представление р = гп+1(7г) алгебры Ап действует в пространстве У/ = 1т7г(еГг(1)) по формуле р(а) = 1г(еп(а))\уу->цг для всех а £ Ап.

Определение 4. Диаграмма Братптели семейства — граф, градуированный неотрицательными целыми числами, вершины п-го уровня которого, где п € Ми{0}, суть неприводимые представления алгебры Ап и две вершины а и 7г, принадлежащие п-му и (п + 1)-му уровням соответственно, соединены ребром с кратностью, равной кратности вхождения сг в гп+1(7г).

С*-оболочки ЬБ-алгебр являются аппроксимативно-конечномерными алгебрами {АР-алгебрами). Теория АР-алгебр начала развиваться в 1970-е годы; среди основополагающих работ этого периода отметим статьи О. Братте-ли [20] и Г. Эллиотта [22]. В первой из них показано, как классические вопросы теории С*-алгебр (описание идеалов, состояний, фактор-представлений) могут быть переформулированы для АР-алгебр на комбинаторном языке диаграмм Браттели и сопутствующих объектов. Кроме того, в этой статье доказано, что АР-алгебры и их плотные ЬБ-подалгебры однозначно (с точностью до изоморфизма) определяют друг друга. В статье [22] любой АР-алгебре сопоставляется коммутативный моноид, образованный классами унитарной эквивалентности проекторов, содержащихся в данной алгебре; затем на группе Гротендика этого моноида естественным образом вводится структура упорядоченной абелевой группы с порядковой единицей. Имеет место замечательная теорема Эллиотта: изоморфизм двух АР-алгебр (а тогда и их плотных ЬЯ-подалгебр) эквивалентен изоморфизму упорядоченных абелевых групп с порядковой единицей, отвечающих данным алгебрам.

Вскоре после обнаружения сформулированной теоремы выяснилось, что построенная выше абелева группа, соответствующая ЬБ-алгебре, изоморфна ее Ко-функтору (см. [27]). Таким образом, теорема Эллиотта утверждает, что Ко-функтор однозначно (с точностью до изоморфизма) определяет ЬЭ-алгеб-ру. Можно привести примеры, показывающие, что для произвольных алгебр это не так (в общем случае Ко-функтор несет незначительную информацию об алгебре). Отметим еще одну теорему: Ко-функторы ЬБ-алгебр суть в точности счетные группы Рисса с порядковой единицей (см. [21]); это означает, что структура упорядоченной абелевой группы наКо-функторе И некоторой алгебры выделяется следующими свойствами: если пй ^ 0 для п £ М, с1 6 I), то (I ^ 0; если ^ ^ ^ для <¿1, с?2, /ъ /2 € I) и всех г, ^ £ {1, 2}, то существует такой элемент е£ I), что ^ е ^ fj для всех г, £ {1, 2}. Итак, мы получаем, что Ко-функтор устанавливает эквивалентность между категориями ЬБ-алгебр и счетных групп Рисса с порядковой единицей. Отсюда естественным образом возникает задача явного описания групп Рисса и ЬБ-алгебр, соответствующих друг другу относительно данной эквивалентности.

В исследовании ЬР-групп мы используем асимптотический подход, развитый А. М. Вершиком и С. В. Керовым в статьях [4, 5, 6, 8] и состоящий в аппроксимации различных объектов, связанных с ЬР-группами, с помощью объектов, относящихся к конечным группам. В рамках данного подхода может быть решена сформулированная выше задача о Ко-функторе. Другая классическая задача теории ЬР-групп — это описание неразложимых характеров. Реализация асимптотического подхода для решения этой задачи заключается в использовании эргодического метода; он основывается на следующей теореме: неразложимые характеры ЬР-группы и только они суть слабые (поточечные) пределы сетей неразложимых характеров конечных групп, пределом которых является данная ЬР-группа (см. [8, гл. 1, § 9]). Таким образом, описание неразложимых характеров ЬР-групп сводится к изучению асимптотики неразложимых характеров конечных групп. Далее мы рассматриваем примеры решения сформулированных задач для некоторых ЬР-групп.

Пример 1. Бесконечная симметрическая группа Боо — индуктивный предел групп 8П, п £ N и {0}, относительно естественных вложений. Зафиксируем несколько обозначений и соглашений, относящихся к группам 8П:

• мы считаем, что группа 8П действует на множестве {0,., го — 1}; 1д.п — единичный элемент этой группы (тождественная перестановка);

• прямая сумма и □ V £ гДе 1,т € Ми {0}, перестановок и £ Э/ и V £ Бт — перестановка, определенная для любого 2; £ {0,.,/ + то — 1} по формуле и и у(г) = и(г), если х < I, и и и = — I) + I, если I ^ ¿г; естественное вложение группы в группу 8/+т есть сопоставление каждой перестановке и 6 Э/ перестановки и □ £ 8;+т;

• а^и), где и £ Бп или и £ и I £ М, — число циклов длины I в цикловой записи перестановки и; ясно, что а/(и) = 0 для почти всех I.

Неразложимые характеры группы Эоо впервые были описаны Э. Тома в статье [31]. Прежде всего в ней отмечено важное свойство мультипликативности неразложимых характеров: х{9ииу) = х{9у)х{9ь) Для всех неразложимых характеров х и и £ V £ Эт, 1,т £ N и {0} (здесь ди, ду, диих) — элементы группы Боо, соответствующие перестановкам п, V, и и г>); по сути это свойство следует из того, что естественное вложение групп 8П есть сужение бинарной операции прямой суммы. Мультипликативность означает, что любой неразложимый характер определяется значениями на одноцикловых перестановках; по этим значениям легко построить некоторую вполне положительную последовательность. Таким образом, классификация неразложимых характеров сводится к задаче из теории целых функций (описание производящих функций вполне положительных последовательностей).

В итоге оказывается, что все неразложимых характеров группы суть в точности функции Ха,р (гДе а — (&г)геШ> Р — (А)гем невозрастающие последовательности неотрицательных вещественных чисел, ХлеыС0^ А) ^ 1)> определенные для всех и £ по следующей формуле:

Другой подход к изучению теории представлений группы Эоо был реализован А. М. Вершиком и С. В. Керовым в статьях [4, 5, 7]; в них описан Ко-функтор этой группы и приведен вывод списка неразложимых характеров на основе эргодического метода. Оказывается, что в терминах Эоо-модулей свойство мультипликативности означает, что на К0-функторе определено неотрицательное умножение, единица относительно которого есть порядковая еди

1) ница; таким образом, Ко-функтор группы Эос — кольцо Рисса. Как кольцевая структура Ко-функтора, так и порядок допускают явное описание; отметим, что как кольцо Ко-функтор группы изоморфен фактору кольца симметрических функций от бесконечного числа переменных.

Реализация эргодического метода в данном случае состоит в исследовании асимптотики неразложимых характеров групп Бп при естественных вложениях. Используя классическое соответствие между данными характерами и диаграммами Юнга, а также формулу для вычисления характера, соответствующего диаграмме, в терминах параметров Фробениуса, можно доказать, что предельное поведение характеров определяется предельными частотами длин строк и столбцов в растущей диаграмме (см. [5, §5]); отсюда получается приведенное описание неразложимых характеров группы Эос, причем числа а{ и Рг в формуле (1) суть указанные частоты. Богатство неразложимых характеров группы Боо по сути обусловлено строением диаграммы Браттели рассматриваемого семейства групп; ее ключевое свойство, состоящее в отсутствии кратных ребер, а также в целом связь с группой стали основой для индуктивного подхода к теории представлений групп 8„ (см. [11]). Отметим, что, кроме приведенных двух подходов, описание неразложимых характеров группы Боо возможно при помощи полугруппового метода (см. [16]) и нового подхода, связанного с несвободными действиями групп (см. [3]).

Пример 2. Бесконечномерная полная линейная группа СЬ(оо, д) над полем из д элементов — индуктивный предел групп СЬ(п, д), п Е N и {0}, относительно естественных вложений. Так же, как и в примере 1, определим сначала операцию прямой суммы матриц: д ф к = ( ^ ^ ) Е СЬ(/ + т, д) (используется блочная запись), где д £ СЬ (¿,д), Н £ СЬ(т, д), 1,тбМи {0}; обозначим через 1с1п единичную матрицу степени п. Естественное вложение группы Сд) в группу СЬ(I + ш, д) есть сопоставление каждой матрице д матрицы д ф 1с1ш. Все неразложимые характеры группы СЬ(оо, д) суть в точности функции Хи,к (где и — характер группы к £ Ми {0, оо} и все функции

Хш,оо отождествляются), определенные для всех д £ ОЬ(оо, д) по следующей формуле (мы считаем, что £°° = 0 для всех е Е [0,1) и 1°° = 1):

Х.М=и(аеЬд){д-*к^)к. (2)

Данный результат получается с помощью свойства мультипликативности и нетривиальных аналитических рассуждений (см. [30]).

Пример 3. Бесконечномерная унитарная группа и(оо) — индуктивный предел групп и(п), п £ N и {0} (это бесконечные группы, однако они компактны, что позволяет использовать для них прямое обобщение приведенной выше теории), относительно естественных вложений, аналогичных примеру 2. Описание неразложимых характеров группы и(оо) можно получить двумя способами: отталкиваясь от свойства мультипликативности, свести вопрос к теории целых функций (см. [35]) или, используя эргодический метод, перейти к пределу в формулах Вейля для характеров групп и (п) (см. [6]).

Пример 4. Проективная специальная линейная группа Р8Ь(2,^) степени 2 над алгебраическим замыканием поля из р элементов — индуктивный предел групп Р8Ь(2,рп), относительно вложений, возникающих за счет того, что поле Fp есть индуктивный предел полей ¥рп (множество N упорядочено по отношению делимости). Группа Р8Ь(2,Ер) имеет только два неразложимых характера: единичный и регулярный; этот факт следует из анализа диаграммы Браттели рассматриваемого семейства групп (она имеет совершенно ясную структуру: если отбросить единичные представления, то мы получим, что любые два ее уровня образуют полный двудольный граф). Ко-функтор этой группы также можно описать (см. [10]); в отличие от примеров 1, 2 и 3 здесь нет свойства мультипликативности, поэтому К0-функтор не имеет явной структуры кольца Рисса. Отметим, что интересный класс ЬР-групп, имеющих только два неразложимых характера, изучен в статье [36].

Пример 5. Группа Гейзенберга Н(п, К) степени п над полем К, являющимся индуктивным пределом полей , в £ 5 (где 5 — линейно упорядоченное по отношению делимости подмножество множества М), — индуктивный предел групп Н(п,ра) относительно вложений, аналогичных примеру 4. Неразложимые характеры и Ко-функтор в этой задаче допускают явное описание (см. [14]). Как и в примере 4, классификация характеров получается из анализа диаграммы Браттели; замечательно, что описание характеров оказывается аналогичным случаю вещественной группы Гейзенберга, рассматриваемому в классической теореме Стоуна-фон Неймана.

Основные результаты диссертации

Наша первая тема связана с группой рациональных перекладываний полуинтервала [0,1) (для краткости мы будем называть его "отрезком").

Определение 5. Биекцию g : [0,1) —> [0,1) назовем рациональным перекладыванием отрезка, если найдутся такие число п G N, перестановка и G S„ и разбиение {^î), • • • > хп)} отрезка на полуинтервалы с рациональными концами, что д{х) = х — Xi+xu^ для всех х G [хXi+i), г G {0,., п — 1}.

Определение 6. Прямое произведение uH'v G Sim, где I,m6 N, перестановок и G S;, v G Sm — перестановка, определенная для всех z G {0,., lm — 1} по формуле и П v(z) = mu{[z/m\) + v(z mod m).

Определение 7. Периодическое вложение группы Si в группу S/m есть сопоставление каждой перестановке и G S; перестановки и П idTO G S/m.

Легко видеть, что операция П — мономорфизм между группами Sj х Sm и S;m (кроме того, прямое произведение ассоциативно как операция на множестве UneN^r?-)' а периодическое вложение — мономорфизм между группами S; и S/m. Упорядочивая множество N по отношению делимости, мы получаем, что группы S„, n G N, образуют счетное индуктивное семейство групп относительно периодических вложений.

Для всех n G N и и G Sn обозначим через ди рациональное перекладывание отрезка, переставляющее полуинтервалы [0, ., i11^, 1) в соответствии с действием перестановки и (ди(%) = для всех х G [0,1)); ясно, что сопоставление и i—» ди инвариантно относительно периодических вложений. В силу того, что произвольное разбиение отрезка на полуинтервалы с рациональными концами можно измельчить до разбиения на полуинтервалы равной длины, так реализуются все рациональные перекладывания отрезка. Таким образом, они образуют группу, являющуюся индуктивным пределом групп Sn, n G N, относительно периодических вложений. Эту группу мы будем называть группой перекладываний и обозначим через R. Из полученного описания видно, что группа перекладываний есть LF-rpynna.

В настоящей работе мы описываем кольцевую структуру К^-функтора группы R и находим все ее неразложимые характеры

Группа перекладываний является плотной подгруппой в группе всех автоморфизмов отрезка как пространства с мерой. В статье [2] описаны все инвариантные относительно данной группы неразложимые положительно определенные функционалы в Ь2([0,1)); метод этой статьи базируется на асимптотическом подходе с использованием другой плотной подгруппы, аналогичной группе И, а именно группы двоично-рациональных перекладываний отрезка, то есть перекладываний конечного числа полуинтервалов с двоично-рациональными концами, образующих разбиение отрезка. Эта задача тесно связана с описанием неразложимых характеров. Отметим также, что аналогичные группы, связанные с группой И, изучались в статье [29].

На Кц-функторе группы Я имеется естественная структура кольца Рисса (как и в примере 1, она возникает за счет того, что периодическое вложение есть сужение бинарной операции П). Мы доказываем, что кольцо Ко(Ы) изоморфно фактору кольца симметрических функций без свободного члена (на этой абелевой группе определено нестандартное умножение при помощи операции П). Далее мы рассмотрим описание неразложимых характеров группы II и свяжем его с приведенными выше примерами ЬР-групп.

Определение 8. Натуральным характером хпаЬ группы Я будем называть функцию, значение которой на данном перекладывании есть мера множества неподвижных относительно него точек отрезка.

Мы доказываем, что все неразложимые характеры группы II суть в точности функции Хпаи гДе ^ £ N11 {0, сю} (при к = 0 мы имеем единичный характер, а при к = ос — регулярный характер, то есть функцию ¿»¡а на группе II). Этот результат получен совместно с Ф. В. Петровым. Независимо такое же описание неразложимых характеров получено для случая группы двоично-рациональных перекладываний отрезка в статье [23] при помощи мультипликативности неразложимых характеров и полугруппового метода (см. пример 1). Наше доказательство этого факта состоит из алгебраической и аналитической частей. В первой из них мы также используем мультипликативность; из нее следует, что все неединичные неразложимые характеры группы И обращаются в 0 на перекладываниях вида ди, где и — перестановка, длины циклов которой не взаимно просты в совокупности.

В аналитической части доказательства мы применяем эргодический метод. При этом мы получаем полное описание асимптотики неразложимых характеров групп при периодических вложениях (это более сильная теорема; из нее следует описание неразложимых характеров группы Ы). Оказывается, что в терминах диаграмм Юнга предельное поведение характеров групп 8П определяется всего одной статистикой — минимумом из числа клеток под первой строкой и справа от первого столбца диаграммы, причем предел этой статистики есть в точности показатель к характера группы II; таким образом, предельное поведение при периодических вложениях (случай группы Я) значительно проще, чем при естественных (случай группы Зоо). Отметим, что доказательство данного факта совершенное разное для к < оо и к = оо: если в первом случае достаточно воспользоваться специальной упрощенной формулой для неприводимых характеров групп 8П (то есть мы действуем по аналогии со статьей [5]), то во втором приходится работать непосредственно с общим правилом Мурнагана-Накаямы (см. [11, раздел 8]).

Описание неразложимых характеров группы Я можно связать с решением аналогичной задачи для групп Эос и СЬ(оо,д) (см. примеры 1 и 2). Данная связь возникает за счет естественных вложений этих групп в группу И (для группы Эос мы рассмотрим два таких вложения); эти вложения, в свою очередь, связаны с записью вещественных чисел в д-ичной и факториальной системах счисления соответственно (в случае факториальной системы счисления также естественно возникают виртуальные перестановки).

Запись чисел в д-ичыой системе счисления. Пусть q — примарное число, Т(] — множество таких последовательностей (¿^^д ^ • • - ' — что не существует такого п £ N и {0}, что и — # — 1 для любых г ^ п; ясно, что отображение (¿гг)^=0 |—^ Х^о является биекцией между множествами Тч и [0,1); далее, фиксируя биекцию между и {0,., д — 1}, переводящую 0 в 0, мы можем отождествить множество Тч с подмножеством множества Это подмножество инвариантно относительно естественного действия группы СЬ(оо, q) на при этом симметрии множества отвечающие данному действию, переходят при описанной выше биекции между Тп и [0,1) в рациональные перекладывания отрезка; тем самым мы имеем вложение группы СЬ(оо, ц) (а тогда и ее подгруппы Эоо) в группу И.

Рассмотрим ограничения характеров группы Я на подгруппы СЬ(оо, д) и Боо; легко показать, что мультипликативность при этом сохранится, поэтому неразложимые характеры перейдут в неразложимые. Из формулы (2) можно получить, что ограничение характера Хпаи & £ М и {О, оо}, группы Л на подгруппу ОЬ(оо, д) есть характер х\,к\ эта простая связь обуславливает вопрос о сведении задач об описании неразложимых характеров групп И и СЬ(оо, д) друг к другу. Если далее ограничить данный характер на группу то, используя формулу (1), можно проверить, что мы получим характер Ха,р при а = • • • > °> • • •) (членов ф здесь дк штук) и (3 = (0,0,.).

Факториальная система и виртуальные перестановки. Обозначим через Т множество таких последовательностей £ • • • ? п}> чт0 не существует такого п £ Ми {0}, что = г для всех г ^ щ ясно, что отображение ^ (п+1)! является биекцией между множествами Т и [0,1); далее, мы можем отождествить множество Т с подмножеством множества виртуальных перестановок, используя отображение, переводящее (¿п)^0 е Т в (^п)^о е б«,, где ип = (¿о 0)(*1 1). (¿п-1 п - 1) € Бя для всех п £ Ми {0} (Эоо есть проективный предел групп относительно сюръекций, отображающих для любого пеМи {0} перестановку и Е 8п+1 в перестановку у Е 8П, цикловая запись которой получается из цикловой записи перестановки и выкидыванием числа щ топологически Эоо есть компактификация группы Эос). Подмножество множества Боо, соответствующее так, как это определено выше, множеству Т, инвариантно относительно естественного действия группы Боо на Эоо (получающегося как продолжение регулярных действий групп 8П), при этом симметрии множества Т, отвечающие данному действию, переходят при описанной выше биекции в рациональные перекладывания. Тем самым мы имеем еще одно вложение Боо с—» Я. Виртуальные перестановки естественно возникают в гармоническом анализе паБоо (см- [28]), и связь между ними и группой II интересна сама по себе. Впрочем, по отношению к характерам она тривиальна: ограничение на любого неединичного неразложимого характера группы Я есть регулярный характер; это следует уже из алгебраической части описания характеров, так как все неединичные элементы группы Боо переходят при описанном вложении в такие перекладывания^, что длины циклов перестановки и не взаимно просты в совокупности.

Вторая тема данной работы связана с группами СЬ(п, д) и их представлениями. Как было показано в примере 2, неразложимые характеры группы СЬ(оо, д) описываются просто: они образуют дискретное множество, занумерованное двумя параметрами. Это согласуется с тем, что диаграмма Братте-ли групп СЬ(п, д) относительно естественных вложений устроена, наоборот, сложно (и, в частности, имеет кратные ребра). Оказывается, что можно так определить другие вложения (действующие на уровне комплексных групповых алгебр групп ОЬ(п,д)), что диаграмма Браттели имеет только простые ребра и в целом ее строение является д-аналогом строения диаграммы Браттели групп 8П относительно естественных вложений (а, как известно, группы СЬ(п, д) суть д-аналоги групп Б^). Отметим также, что с определенными ниже вложениями связан правильный д-аналог группы — локально-компактная группа СЬВ(д). Отсутствие кратных ребер при этом интерпретируется в терминах ее групповой алгебры Брюа-Шварца (см. [9, 32, 34]).

Определение 9. Параболическое вложение еп алгебры С[СЬ(п, д)] в алгебру С[СЬ(п + 1,д)] есть линейное отображение, определенное между ними и действующее на элементах группы СЬ(п, д) по следующей формуле (на всю алгебру С[СЬ(п, д)] это отображение продолжается по линейности):

Ясно, что еп — мономорфизм алгебр и егг(1<17г) ф 1с1п+1 при п ф 0; обозначим через гп+1 операцию ограничения представлений, соответствующую мономорфизму еп (см. определение 4). Представление г^-^-л") группы СЬ(п, д) назовем параболическом ограничением представления 7Г группы СЬ(п +1, д). Явное описание диаграммы Браттели алгебр С[СЬ(п, д)] относительно параболических ограничений (и, в частности, тот факт, что все ее ребра простые) можно вывести из глубокой теории, в которой дается полное описание неприводимых представлений групп СЬ(п, д) (см. [37, §13], а также классические работы [13, 17, 26] по теории представлений групп СЬ(п, д)).

В настоящей работе мы даем прямое независимое доказательство простоты ветвления представлений групп СЬ(п, д) при параболических ограничениях (это означает, что все ребра диаграммы Браттели простые).

Итак, нам нужно проверить, что для любого неприводимого представления 7Г группы СЪ(п + 1,д) представление гп+х(7г) имеет простой спектр (то есть его разложение на неприводимые компоненты свободно от кратностей). Имеется классический критерий простоты спектра представления: это свойство эквивалентно коммутативности алгебры эндоморфизмов данного представления, а этот факт можно доказать, используя то, что все элементы алгебры эндоморфизмов являются самосопряженными относительно некоторой невырожденной билинейной формы. Этот критерий восходит к статье [12] и позволяет доказать простоту ветвления для групп (см. [11]).

Однако, используя этот классический критерий, решить задачу о простоте ветвления для групп ОЬ(п, q) не удается. А. М. Вершик сообщил нам о новых идеях в этом направлении, предложенных И. Н. Бернштейном; они происходят из теории представлений линейных групп над локальными неархимедовыми полями (см. [1, 24]) и позволяют получить прямое доказательство простоты ветвления представлений как для локальных неархимедовых, так и для конечных полей, что и было сделано А. Айзенбудом и Д. Гуревичем в статье [19]. Используя метод этой статьи (его суть состоит в том, что вместо приведенного выше критерия простоты спектра используется лемма о произведении кратностей), мы значительно упрощаем доказательство, так как не переходим к произведениям групп и парам Гельфанда; таким образом мы получаем критерий простоты ветвления при [/-ограничениях (эти ограничения обобщают параболические ограничения). Затем мы проверяем этот критерий для параболических ограничений и тем самым доказываем простоту ветвления представлений групп СЬ(п, д) при этих ограничениях.

Структура диссертации

Диссертация состоит из трех глав, в первых двух из которых мы работаем с группой Я, а в последней — с группами СЬ(п, д).

В разделе 1.1 изложены некоторые предварительные сведения оКо-функторе ЬР-групп. В разделе 1.2 мы описываем Ко-фуиктор группы II как кольцо Рисса. Основной результат здесь — следствие из теоремы 1.1, устанавливающее связь между кольцом Ко(Я) и кольцом симметрических функций без свободного члена с нестандартным умножением. В разделе 1.3 мы доказываем некоторые алгебраические свойства неразложимых характеров группы И. Они следуют из мультипликативности неразложимых характеров, доказанной в теореме 1.2: из нее мы выводим, что все функциих^, к 6 Ми {0, оо}, суть неразложимые характеры, и в следствии из теоремы 1.3 находим значения любого такого характера на перекладываниях вида ди, где и — перестановка, длины циклов которых не взаимно просты в совокупности.

В разделе 2.1, используя эргодический метод, мы получаем описание неразложимых характеров группы И как следствие теоремы 2.2 об асимптотике неразложимых характеров групп при периодических вложениях. Доказательство теоремы 2.2 начинается со сведения к теореме 2.3, в которой возникает два больших и непохожих случая: к < оо и к = сю, рассмотренных в разделах 2.2 и 2.3 соответственно. Решение задачи в первом случае получается как следствие представляющего независимый интерес свойства полиномиальное™ неприводимых характеров групп 8П (теорема 2.5). Из результата раздела 1.3 следует, что во втором случае требуемый факт достаточно доказать для таких перекладываний ди, что длины циклов перестановки и взаимно просты в совокупности; это доказательство получается из нетривиальных арифметических и комбинаторных рассуждений (леммы 2.3 и 2.4).

В разделе 3.1 мы определяем понятия ¿/-вложений и ¿/-ограничений; они обобщают понятия параболических вложений и параболических ограничений соответственно. В разделе 3.2 мы доказываем абстрактный критерий простоты ветвления представлений при ¿/-ограничениях (теорема 3.1). В этом доказательстве ключевую роль играет лемма о произведении кратностей (лемма 3.1). Наконец, в разделе 3.3 мы проверяем, что условия критерия выполнены для групп СЬ(п, д) (теорема 3.2). Этот факт сводится к теореме 3.3, в которой уточняется классическое утверждение о том, что любая матрица сопряжена со своей транспонированной. Совместное использование теорем 3.1 и 3.2 дает нам прямое независимое доказательство простоты ветвления представлений групп ОЬ(п, д) при параболических ограничениях.

Автор выражает самую искреннюю благодарность своему научному руководителю Анатолию Моисеевичу Вершику за постановку задач, терпение и неоценимую помощь в работе над диссертацией.

1. Бертитейн И. И., Зелевинский А. В. Представления группы ОЬ(п, Р), где Р — локальное неархимедово поле // Успехи мат. наук. — 1976. — Т. 31, вып. 3. - С. 5-70.

2. В ершик А. М. Описание инвариантных мер для действий некоторых бесконечномерных групп // Докл. АН СССР. — 1974. — Т. 218, № 4. — С. 749-752.

3. В ершик А. М. Несвободные действия счетных групп и их характеры // Записки научн. семин. ПОМИ. 2010. - Т. 378. - С. 5-16.

4. В ершик А. М., Керов С. В. Характеры и фактор-представления бесконечной симметрической группы // Докл. АН СССР. — 1981. — Т. 257, № 5. С. 1037-1040.

5. Вершик А. М., Керов С. В. Асимптотическая теория характеров симметрической группы // Фупкц. анализ и его прил. — 1981. — Т. 15, вып. 4. С. 15-27.

6. Вершик А. М., Керов С. В. Характеры и фактор-представления бесконечной унитарной группы // Докл. АН СССР. — 1982. Т. 267, № 2. -С. 272-276.

7. Вершик А. М., Керов С. В. К-функтор (группа Гротендика) бесконечной симметрической группы // Записки научн. семин. ЛОМИ. — 1983. — Т. 123. С. 126-151.

8. Вершик А. М., Керов С. В. Локально полупростые алгебры. Комбинаторная теория и Ко-функтор // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения, т. 26. — М.: ВИНИТИ, 1985. С. 3-56.

9. Вершик A. M., Керов С. В. Об одной бесконечномерной группе над конечным полем // Функц. анализ и его прил. — 1998. — Т. 32, вып. 3. — С. 3-10.

10. Вершик А. М., Кохась К. П. Вычисление группы Гротендика алгебры C(PSL(2,&)), где к — счетное алгебраически замкнутое поле // Алгебра и анализ. — 1990. — Т. 2, вып. 6. — С. 98-106.

11. Вершик А. М., Окуньков А. Ю. Новый подход к теории представлений симметрических групп. II // Записки научн. семин. ПОМИ. — 2004. — Т. 307. С. 57-98.

12. Гельфанд И. М. Сферические функции на симметрических римановых пространствах // Докл. АН СССР. 1950. - Т. 70, № 1. - С. 5-8.

13. Гельфанд С. И. Представления полной линейной группы над конечным полем // Мат. сборник. 1970. - Т. 83, № 1. - С. 15-41.

14. Кохась К. П. Классификация конечных факторпредставлений (2m +1)-мерной группы Гейзенберга над счетным полем конечной характеристики // Функц. анализ и его прил. — 2002. — Т. 36, вып. 3. — С. 79-83.

15. Макдональд И. Симметрические функции и многочлены Холла. — М.: Мир, 1985.

16. Окуньков А. Ю. О представлениях бесконечной симметрической группы // Записки научн. семин. ПОМИ. 1997. - Т. 240. - С. 166-228.

17. Фаддеев Д. К. Комплексные представления полной линейной группы над конечным полем // Записки научн. семин. ЛОМИ. — 1974. — Т. 46. — С. 64-88.

18. Фултон У. Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и геометрии. М.: МЦНМО, 2006.

19. Aizenbud A., Gourevitch D. Multiplicity free Jacquet modules // Принято к печати в Canadian Math. Bull, в 2010 г.

20. Bratteli О. Inductive limits of finite dimensional C*-algebras // Transact. Amer. Math. Soc. 1972. - V. 171. - P. 195-234.

21. Effros E., Handelman D., Shen C. Dimension groups and their affine representations // Amer. J. Math. — 1980. — V. 102, no. 2. P. 385-407.

22. Elliott G. On the classification of inductive limits of sequences of semisimple finite-dimensional algebras //J. Algebra. — 1976. — V. 38, no. 1. — P. 29-44.

23. Dudko A. V. Characters on the full group of the odometer // www.arxiv.org e-Print archive.— arXiv: 1005.4289vl.

24. Gelfand I. M., Kajdan D. A. Representations of the group GL(n, K) where K is a local field // Lie Groups and Their Representations. — Akad. Kiadö, Budapest, 1975. P. 95-118.

25. Gnedin A., Olshanski G. Coherent permutations with descent statistic and the boundary problem for the graph of zigzag diagrams // Internat. Math. Research Notices. — 2006. — Art. ID 51968.

26. Green J. A. The characters of the finite general linear groups // Transact. Amer. Math. Soc. 1955. - V. 80, no. 2. - P. 402-447.

27. Handelman D. Kq of von Neumann and AF-C*-algebras // Quart. J. Math. Oxford. Series 2. 1978. - V. 29, no. 4. - P. 427-441.

28. Kerov S., Olshanski G., Vershik A. Harmonic analysis on the infinite symmetric group // Invent. Math. — 2004. V. 158, no. 3. - P. 551-642.

29. Kroshko N. V., Sushchansky V. I. Direct limits of symmetric and alternating groups with strictly diagonal embeddings // Archiv Math. — 1998. — V. 71, no. 3,- P. 173-182.

30. Skudlarek H.-L. Die unzerlegbaren Charaktere einiger diskreter Gruppen // Math. Annalen. 1976. - V. 223, no. 3. - P. 213-231.

31. Thoma E. Die unzerlegbaren, positiv-definiten Klassenfunktionen der abzählbar unendlichen, symmetrischen Gruppe // Math. Zeitschrift. — 1964. — V. 85, no. 1. P. 40-61.

32. Vershik A. M. Two lectures on the asymptotic representation theory and statistics of Young diagrams // Asymptotic Combinatorics with Applications to Mathematical Physics (Lecture Notes Math., v. 1815). — SpringerVerlag, Berlin, 2003. P. 161-182.

33. Vershik A. M., Kerov S. V. Four drafts on the representation theory of the group of infinite matrices over a finite field // Записки научн. семин. ПОМИ. 2007. - T. 344. - С. 5-36.

34. Voiculescu D. Représentations factorielles de type IIi de U(oo) // J. Math. Pures Appl. Série 9. 1976. - V. 55, no. 1. - R 1-20.

35. Zelevinsky A. V. Representations of Finite Classical Groups. A Hopf Algebra Approach (Lecture Notes Math., v. 869). — Springer-Verlag, Berlin-New York, 1981.