Идентификация гидрологических параметров открытых русел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Киевский университет си. 1врзса Шевченко

РГ6 од

Нз птэаваг рукописи

- 5 ЛПР ВОЗ

ЕВСЕЕВА Елена Геннадиевна

ИИНТШЖАЦКЯ ГИДРОЛОГИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ОТКРЫТЫХ РУСЕЛ

01.02.05

механика шдкостей, газа и шгаЕыы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата фазико-матекатэтескпх наук

Хийн

Работа выполнена в Донецком государственной университете

Каучнкй руководитель :

кандидат технических и а ух, доцект ЬКРСЩКЧЕНКО В.В.

С&щаадьше оппоненты: доктор физлко-изтематических наук, профессор С2ЯЕ30В К.Т. кандздат (¿азико-мзтеиэтаческих наук, доцпнт РСМАН В.М.

Бедувдя организация:

ВЫ Гндрспрсвкт им. Д.Я.Зукз, г.Москва

Зашита состоится ии^/СУгиг, 199£ г. в /О^

часов на заседании спецаалазировйшссго совета К 068.18.09 в Киевском университете см. Тараса ¡Иевченко по адресу: 252127, г.К.!ев-127, проспект Академика Глузасоза, б, иахакико- математический факультет.

4

С дуссерта.'даей можно ознакомиться в библиотеке Киевского университета ям. Тараса Сэнчекко.

Автср^ерзт разослан фбЛ^С^/^ 1 з^г

/чзк»а секретарь спецлалззарсваккого совета доктор ХШЯ О.Е.

фнзахо-матгматггзЕсхах наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

" Актуальность. При решениии многих задач сельского хозяйства, судоходства, энергетики, водного строительства, экологии необходимо иметь математическую модель открытого потока. Это • задача рационального управления процессами перераспределения водеых рессурсов; определения оптимальных режимов работа гидротехнических сооружений и-гидроэнергетических установок; оптимизации поверхностного орошения и автоматизации процессов управления -в ирригации; задачи.учета деформаций русел при проектировании инженерных сооружений и расчета линии дна на судоходных каналах. Больиую важность в настоящее время приобретает задачи расчета транспорта донных наносов в связи с наличием з них радиоактивных включений.

■ Характерной чертой Открытых потоков, которую надо учитывать при моделировании, является динамичность происходящих в них процессов, обусловленная непостоянством работы гидротехнических соаруэвний я водопотребления, и связанный с этим неустановившийся характер течения водя. В настоящее время общепринятой моделью, используемой при исследовании Нестационарных открытых потоков,, является система уравнений Сец-Венана,' полученная » рвикгх одномерной нелинейное теЬрии длинных волн. Как по. называет ошт моделирования стоков, возможности практического приывкенйя этой модели' определяются в основном точностью задания, параметров, отражаицаг индивидуальные свойства' каждого конкретного русла.

В- уравнениях тидроданамииг открытых потоков такими парв-. ив трэда являются форма русла, коэффициент шероховатости и рас-

т

ироделзкнаа по длине потери воды для выбранной математической иоде Л!. Эта паранетры .зависят от многих факторов, в тоц числе и ст некоторых . ¡гидравлических а ыорфоиетрнческих характеристик русла, которые изменятггсл по длине русла и во времени, и не поддаются, йзмйрелгия а,- коизрол». В связи с зткы возникают задачи ггараме^ричеекой ядекгифифахацги, т.е. нахоадешя и уточнения характеристик открытых, русел по результатам наблюдений за состоянием потока. . .

Задачи .-. вдвнтзфикзцгщ параметров уравнений гадроданэшки открытых потоков являртся обратила задачами с точка зрения ма-теыатялвсхсй фпзнха. а, задачами условной ылнзашзацяа с то'-си зрения та ору и -штакалького управления. Для реавния таких задач б настоящее время разработан унаверсалъзагй подход, язляхгэайоя рег/ляри зуицш". для классически некоррекгшх задач в не нчкдзда-зыцпй ограничений на вид оденнзазыых параметров. Он сочетает в себ9:гпрашо©иве варяаияодаого подхода теории штшшлыгого управления ,. аозвояязвдегогиахсдять п кгассе сСдах функций градиент функционала ¿задачи, и градиентного метода отыскания экстрема-лей,'-сбладасцето естественной регудвразашей.

ташекскавм .такого подхода ухг прсводзлась идгктн^ахзхзгя сднгжсжи ааса^троа; уравнений двшекяя аддкоста - коэффициента и- рекзБ-ягоста®о .хс .гргьй, даосы Оыть ■ {грзиданти&ийгроаз.чм все■в'зрамв.трг^аирхгойзвхазгга определена опытам путем,' прачек на ?.- -раЗузшгзта' ах ьовиестаоА адмот^акавда. Задача

ссвиесиаа адйгггфикахзн» параметре® вчэ юкеи-.ке реозяась; хотя тесрегачесх«-"й}3жйм&аг!£ зтого кв отрицавгсз. ■ '

- - Целью работы."ззсвиатся разработка алгоратшг©.: ядшпафакаиет Форш русла, распределенного бокового ¡зрзтакэ-оттска а сояхест-

ная идентификация параметров, подлежадаг определению я уравнениях пуроданаышеи открытых потоков. * ,

Научная новизна: е'; "•

- поставлены к решены вариационные задачи ■идентификация параметра течения в открытых руслах - распределенного бокового притока - оттока , уровня донных каносов*

- поставлена и решена вариационная задача • параметрической идентификации уравнений' неустановившегося 'движения-¡шдкостп для случая, когда идентифицпруеньш параметром является производная

. искомой функции, проведена•необходимая модификация метода, обе-спечиващая получение решения. '

- для численного решения вариационных задач гидродинамики развита схема, основанная на- ранее не применявшейся малоизвестной интерпретации 'схема С.К.Годунова,; оптимальной доя расчета разрывных течений.

- впервые поставлена и решена задача совместной идентификации параметров: шероховатости и уровня нашкГов, шероховатости и боковой прйточности и т.п. .

Практическая ценность.. На основании развитого метода были рззрдбстзны на языке ФОРТРАН-?? программы совместной в раздельной идентификации гидрологических характеристик. открытых потоков для модельных задач и дня I участка Северо-Крыиского канала. Получаемые по ним результаты обладают высокой точность!) и иогут с успехом применяться для расчетов на реальных руслах.

Апаобашя работы. Результаты диссертационной работы, докладывались' и обсуждались на XXV Всесоюзной студеннческой конфере:-цин "Студент и научно-технический прогресс" ( г. • Новосибирск, 1885 г.), на 17 Всесоюзной конференции "Современные проблиа

аэрогидродинамики" (п. Неле кино 1987 г.). на II Всесоюзой шко-=те-семинаре "Метода математического моделирования в научных исследованиях" { г. Донецк, 1990 г.)» на семинаре.отдела гидг . родинаиика волновых процессов института гидромеханики Ш УССР ( г. Киев, 1992 г.). на научных конференциях Донецкого госуии-верситета (1989 - 1992).

Публикации. Основные результаты диссертации. опубликованы в 4 научных работах, 2 из которых выполнены в соавторстве.

•Структура и дбъем работа. Диссертация состоят, из введения, четырех глав, зак-шченая и списка литературы, содержащего 60 на-умекований. Объем работы составляет 92 страницы из них на 22 страницах размещено 22 рисунка.

. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Введение. Обосновывается актуальность теш в формулируется цель дассертациэнной работы, излагается краткое содержание разделов диссертации. "

Глава I. Задача. параметрической идентификации в ггдродакамшш открытых потоков."

В первом гарагрзфе приводится общепринятая математическая

ходиль квустазговзваегося течения - система квазилинейных гупер-

* •

болаческих уравнений Сея-Вензна. Русло рассматривается ках система с распределенный пвракгграмз (СРП), что оззгачэвт пространственную рассррделаннзсть всех параметров уравиеый. Определяется круг параметр*», значения которых не 'могут быть определена ка из анализа фвзмчгсквх принципов фукзаагонарааакиа стоков; на . непосредственными языеренвямв на объекте. .

Зо-пврвых, это коэффициент-шероховатости, характеризуший диссипацию энергии в пристеночной зоне, значение которого зависят. от поверхностной шероховатости лоаа русла, его заиления н размыва, взвешенных и донных наносов, размеров в фориз русла, глубины а расхода, наличия растительности и т. п. Предлагаемые ■ для его определения эмпирические формулы не дпвт гелзеыюй точности при расчетах; поскольку не все факторы, вяияпзие на него, изучены в достаточной степени, и количественный: учет их представляет большув трудность. Во-вторых, это форма поперечного сечения русла, определение которой означает задание, как минимум трах параметров - площади живого сечения потока, сирины поверг-я сиочештто периметра. Эти величины является-распределенными по длине . нестационарными функциями, зависящими от уровня, расхода и. других характеристик русла. Третьим ваишн входным параметром для • системы Сен-Венана является боковой приток- отток, характеризующий процессы фильтрации,' инфильтрации, испарения и друтие .распределенные по длине потеря и поступления воды. Зачастую' его считают стационарный в постоянным иезду двумя гадро-ствсрами, но это приблизвнпе ив всегда оправдано.

Значения параметров, позволяйте проводить расчеты на выбранной модели с заданной .точностью, могут быть подучены только в процессе идентификации, которая означает уточнение по экспе-' рименталышм данный такого набора неизвестных параметров' модели, при .-котором выходные параметр! модели в сны еле некоторого критерия.близки к выходным параметрам самого объекта при однна-■ новых входных воздействиям.-

Отмечено, что необходима одновременная идентификация пзрй-.метров, не подлаяащих непосредственным измерениям, поскольку

лзектафкцарованхые величины всегда содержат погрешности модели, наблюдений и вычислений, и они ке только не могут, но и ке должны з точности совпадать с экспериментально наблзздаеташ пара-метрзш. При идентификации жв только одного параметра его • знв--челке б/дат учитывать погрешности задания остальных • величин, лоддеаагщх определению, я одновременное применение полученных зна^ьхшЯ для расчетов течения пркведзт к неправильным результатам..- •

Во в торса параграфа на основе анализа существущах подходов а иагодов реизния этой задача обосновывается выбор метода адзнти^ахацаа. Делается рыв од, что дяа, реггения задача ■ паракат-рлческей ицеягзфнкзздга открытых потоков-целесообразно испсирьзо-азть cpsuas метода идентификации,' позволяете отыскивать неиз-г.2сгды2 uapiыгтра в классе фуюодаЗ врозтрвнственной переданной. С..З доданы сочетать в себе. регулярзгзукщз алгоритмы и. методы тззраи оптимального управления. Ызгодвгег, обладэецгш естестве-кгссгв рьч-уляризуювгпп свсйстйаш; явхгвтса грздза^шше матеда, при асполъзозаюш которых для оцзнкя BapausipcB, распредгяензай хзяак?ар_издала, сохраняется толыср л ток.случае, если градиент кртерая качества. иданпгфакащш явдкетсл .распредаяенвой по про-сттракотзу фукгщаеа. Метода»®» созвояяягзка саред&Езть ■ градиент ь клз-сс cigar фуккцгй, является варааци~<шыя метода теоркг оп-ткмзлиют с управления, cpegz которых наиболее часто применяется обща мвгид льсг^рсдвлашйа ыксаытелей Лагрзнка.

Ъ г.ателъксм параграфе первой глава -два йскусс^гвенша русел с о^щсзгннмш- откосзаз, шасеедх, хзк оргнолй, вра^дата-ческув форму. сачшшя (рао.1), стрсагся иодаль, сбоджй.й гдантг-$нкадас трах пзрзматроз, сзрвдвяшоа^а .фарку русда, к ндэктафз-

Модаларуеиое русло •

кацаа одного параметра. Ставится задача совместной идентификации разлзчннх параметров открытых потоков. •

Уравнения Сен-Венака в этом случае имеют вид:

L. - ¡ТЕ CJx + + (Hm " r) Ш +

+. S lr.~ f^i.+ '*„>= • • , '-(1.1)"

гдо S = (xa,xfc)» (0,T) с грашцвй 7; х- пространственная координата вдоль оса потока'*, t - время; .Q(x,t), H(x,t) - соответственно расход а глубина-вода, которыми характеризуется состояние петом ; ы(х,2) - площадь хшаого сечения потока; - ©сра-днвнкая по впзоцу евчензп скорость потока; B(z,Z) - ширина потека поверху ; c-'-'g-^B - скорость распространения малых возмущений б потоке; - характеристика степени неоднаиеркорнсста потока; i,p= g - член, учитувапзий транае; С - кшффаця-

ент Егз-а; R = ^ - гадрапдгчеашй радиус; x(r,t)- смоченный пе-римзгр; <;{г> - боковой пряток-отток на единицу 'длани« Ъ{х) -сирина канала "по дну с ;учетоы наноса, b0 (х)-проектное значение sapsw ас дну«- • " •

Зев параметры, определяемые формой русла, завесят от одной негзвсгтаса функции Ъ(х>» которая В -подлаот адгнтнфикацза. В уравнения (1.1) крсын Ъ(х), входят•ее. ароазвадная по пространству db/dz,которая шЗярзется в качества . гдЕнтш*ВД2руамого параметра и -вводится услсваем :

• и = у - db/dx .«О. • . . (1.2.)

Начаяыасэ а граязчша усдавяя два расчета течения задаются

8 . "

в виде:

<}(х,0)= <1н(х); . Н(х,0)= Рух); Ъ(х^)=Ъа; (1.3) й(ха,г)=<}а^>; . (1.4)

где 0Н, г^, <3^, известные функции.

Качество идентификации оценивается интегральным на границах квадратичным критерием: ••

■ .1 = / ©(х.Л) + «(х^) (1.5)

. . о

■ где Т - время идентификации;

0(хЛ)=(Нэ(х,1)-Н(х,г)) (1.6)

- невязка глубин модели и объекта , Нэ - экспериментально наблюдаемая глубина вода в канала.

Задача идентификации п(х), ч(х,г) и у(х), ладящихся парз-- метрами уранне5шй (1.1), заключается в нахождении их значений, доставляющих штаги функционалу (1.5).

с '

Глава II. Идентификация параметров уравнений неустановившегося движения.

Во второй главе излагается, вариационный подсед к идентификации параметров- нестационарных квазилинейных гиперболических уравнений двизкнил гадкоегн для совместной идентификации параметров з случае, когда управлением является производная идентифицируемой |5у7пагги. Поставленная задача минимизации функцаонэла (1.5) при условиях (1.1), (1.2) сводится к безусловной шнзш-ззции функционала Лагранжз, который имеет вид:

т. 2 2

О ■ .

О

+ Я ЬА+ ЬА^'1 ЛГ ь8ьэс1х = . . (ни)

Я г •

.а

где. Ь^ (х,^, (х,г)- переменные множители Лаграшпз, определенные в области Б , Ьз (х) - множитель, определенный на отрезке [1а ,хь 1, поскольку он вводят условие (1.2), задажое на атом отрезке.

Необходимое условие экстремума данного функционала (равенство нулю его первой вариации) приводит к сопряженной задаче, которая представляет собой систему уравнений в частных производных ДЛЯ ¡1^1,1) 11^(1,1)!

Б + (р, - Ву* - (-6В1+ ^ + О'.

ал. . ^йи . дъг , ь : га_ п (г>2)

¡ТГ + + 1ЯГ + ЕщС

= 4+ (2У +1 > (1 - гЛ^/*))

с начальными условиями при ? . '

(х,5)=0; Ь2(х,Т)=0 (2.3)

и граничными условшпш: ...

^(еиьВу2) + 0 ;

Ь4 (ёш-В?2) - 2е(хь О , .;

и обыкновенного дифференциального уравнения для Ь3(х):

/ <2.5)

^ +(£ + ¿•у'Шу * влг

с начальным условием:

Vo- <2-6>

■ Необходимым условней зкстремуыа тзкгэ являются условия равенства нулю градиентов функционала (2.1) по идентифицируемым параметрам, которые удовлетворяются за счет выботз q, п я у:

I* j\di=0; , . . (г.7) т 2Í

. Г = di = 0; (2.8)

' Iy= b3+J^[gJ - v^sjdt = 0. (2.9)

Во второй парзгрзфе.описывается тасленккЗ метод решения прямой задача, прадставляхзцей из себя расчет течения, к сспря-яенной задачи. Обе задачи представляет собой гиперболические ■ система яззззлинейшх урашге.чий.в частных производных, оссбэн-.НОСТЫ5 жоторых является всзмоякость вознихкор,->чпя разрывов в грашгпгых условиях. При расчетах методом характер--'лж, наиболее распростзненшш дош. реиания гиперболических уравнений, это приведет к громоздким алгоритмам зз-зз слоаноа .логика расчета особенностей и построения решения. Нецелесообразным оказалось а исгояъзовзнив неявных разностных схем сквозного счета, т. к. Оря реганаи вараадгокаых зяда? сгщ деят- сильные осцилляции на разрывах, которые надо сгдашвать с псисоыо специальных вычислительных процедур.

Для чпеяшсиго рнтегрзрсвзкзя уравнений пряксй а сопряженной задач з работа преддсготс использовать раэностнуо схему.

разработанную на кафедре общей физики Донецкого госуниверситета Г .А.Атановьш специально дли численного решения вариационны! задач газовой динамики. Она основана на малоизвестной•интерпретации схемы С.К. Годунова, оптимальной для расчета разрйвных течений, построенной для стационарных уравнений из условий монотонности решения. Достоинством этого метода является простота построения фронта решения, отсутствие осциляций на разрывах, он требует малых затрат машинного времени на расчеты ( на порядок меньше, чем другая модификация метода С.К.Годунова - метод распада разрыва).

Схема строится следующим образом. Область решения задачи S разбивается на ячейки прямоугольной, сеткой. В узлах этой.сет-. ш рассчитывается течение. Расчетные формулы получены на основе условий на характеритиках, связывающих между .собой ": производные искомых функций по направлениям' характеристик. Заменяя в этих соотношениях полные.производные частный, аппроксимируя частные производные с первый порядком точности и разрешая полученные ори зтом алгебраические уравнения относительно искомых функций в точках расчетного слоя, получаем соотношения длн определения решения . I

В третьем параграфе описан градиентный метод оценки параметров. В связи с нелинейность» функционала (1.5) он. реализуется итерационно по алгоритму

Я*- а5; ' • (2.1.0)'

где А. (х) - идентифицируемый параметр, - градиент функционала I по К, а(х) - mar метода, к = 0,1,2... - номер итерации. Вблизи экстремума используется для его поиска метод сопряженных

градиентов . Это метод второго порядка, основанный на внчгсгэ-тки только первой производной функшонзда:

А." - а(х)рк, •

.где " р" =-—:--(2.11)

[Сч>г<*г *

Глава 3. Параметрическая идентификация уравнений установившегося движения.

В третьей главе вариационный подход применяется к адентс^а-каюта тех же параметров - уравнений установившегося дэазсекан. в этим случае идентификация параметров систем уравнений в чаяац ' производных сводится к иденти$нкации параметров - обаквпвеяшх дифференциальны; уравнений, и численные алгоритмы репенгя задача значительно упрощаются. ;

В первом параграфе приводится постановка заптса ццикп^уга-цаи п(х>, ч1х) и у(х) для уравнений устзнавгвз^.хягхеишя г класса русел, описанного в первой главе.

К поставленной задаче идентафгюаида уравнений вегося движения применялся тот же подход, что и к ; пйраметроз в нестационарной постановке. На основании влряа™2сз-кого метода неопределенных множителей Лагранжа определялся ргс-предглгняый по длине русла Градаент функционала задача, а затек на его основе градиентным методом отыскивались асгвахьтт значения параметров.

Во втором, параграфе подучены квейходимае условия ажптреку-

ГЗ

ма критерия качества идентификации, представляющие собой задачу Кош для множителей Даграюка и условия равенства нулю градиентов функционала по идежгафицируемым параметрам. Приводится алгоритм идентификации.

Глава 4. Результаты численных расчетов. В четвертой главе описываются особенности и приводятся результаты численных расчетов для. гипотетического■русла с различными законами измезшния идентифицируемых параметров.

В качестве гипотетического русла был принят канал со следу-бщиип характеристиками : длина ¿=40 км; откос стенок я=3; проектные значения ширины по дну Ъо=50 и. и уклона даа 1=0,С0С2( начальные в граничные условия, соответствовали течению на первом участке Северо-Крымского канала в верхнем створе русла при х=ха и состэвили >=15.12 ы, £3(1^,0) = 194 «э/с, отметка линий

дна - го= 7,87 и.

Идентификация у(х) проводилась для иоделышх значений этой функции, соответствующих случав, когда.высота накоса 2Н описывается монотонной квадратичной зависимостью и немонотонной функции, имеющей экстрему». Результата; свидетельствуют о том, что в сделанной постановке возможна идентификация • наносов различной конфигурации. . '

Во втором параграф? приводятся результаты совместной и.гзнтификации паракетров: коэффициента ' шероховатости и .уровни дскных некоссб по уравнениям неустаяогшвшегося движения воды а также коэффициента пгзрохозатости и боковой праточности по уравнениям установившегося движения. • . .

Сходимость ■теслешюго алгоритма к модельным. значениям

К

отнечается как для саиах искоиых функций, так и для случая, когда одк1ш из идентифицируемых параметров является производная искомой функций.'

В третьем параграфе гриводятся результаты идентификации параметров для I участка Северо-К^лшскогс кэкалз. По уравнениям установившегося движения и неустансЕлзпзгося движения кидкости. Коэффициент сероховзтости, идентифицированный на стагдаонарной цодэли, исгольповглся • доя расчетов по уравнениям кеустакеттавае-гссл движения гздкостп. Полученное в результате значение' коэффициента шероховатости использовалось для идентификации бокового 'притока,- проводилась совиестная идентификация а(х) и п(х).

В заключении работы сделана выводы:

1. Поставлена и решена вариационная задача идентификация -основных параметров те'йнял в открытых руслах: коэффициента ше-рохозатоста» боковой прнточности и сровнял русла. * 2. Для каналов зздьннсй формы задача идентификации трех параметров, оцределяяцах.форму русла, сведена к идентификации одного параметра - уровня донных наносов. Получена тпответствую-сив уравнения, отличие которых-от ранее рассмотренных заключается в зависимости функционала Лагранта от производной идентифицируемого параметра. Определены особенности задачи, вызванные . гккхгвдкш обстоятельством, проведена необходимая модпфикзция ■хгтсдз*- «беспвчивавдал получение рекетня.

3. Дав гасленного £едвнзя вариационных задач гидродинамика развита схема, ©сказанная на ранее нь прниенявшйся цзлоизвест-.ксЗ антерпратздаг скды С.К.Годунова, оптимальной для расчета ' разрыинкх течений.

4.. Провезены знслеюи расчеты аденти£0К2вди уровня 'донных

ааниосв два модельного русла, определены особые свойства задачи* дана практические рекомендации, позвашшцие повысить точность'

- идентификацию у(х)=йЬ/йх необходимо проводить по изме-реяяиш глубины на той границе > на которой задано значение шри-ш по дну. причем не имеет значения, какая это из границ. При ргшеш числа створов, в которых проводятся измерения, результата идентификации у(х) ухудшаются.

5. Впервые постадлвна н решена задача совместной идентифв-кыдаи гирамгтров: шероховатости и уровня наносов, шероховатости в бягоиД приточности и Т.п.

Есаучсны результаты, свидЕтвльствуювде о практической воз-ишшшяи сонестной идентификации параметров как по уравнениях усганцдмацуося, так в неустановившегося движения жидкости в открытой русле.

6. Реяева задача .стационарное идектчфакации; Провед&но ее. сргнневвс с нестационарной на примере идантифпвдзи параметров дхя I участка Северо-Еримсхого канала.

- Установлено, что на канале существуют режим», когда тече-яг мою» рассматривать как установившееся, а производить расчеты течения на основании стационарной «оделв. Для канала полу-чгшс значения коэффициента шероховатости в боковой, приточности. ■

Оснсшщгс результата диссертации опубликована в работах;

1. Всрсяия О.Т., Ввсеевь Е.Г. О задаче уточнения зкоойуе-т219оннмх характеристик открытых русел // Строительство архитектура. _ 1987— я 11. '

2. Евсеев Е.Г. Еекртдруе исследования ттадродакзшческих

16

гадач идентификации открытых русел // Ков. АН СССР, !Ш\ .-1588. -Л'4.

3. Евсеева Е.Г. Решение задача идентификации коэффициента врохсватссти вариационным ыэтодои// Материалы XXV всессаз. туд.кокф. -Нозосибирсх, изд-во НГ7, 19В7.

■4. Евсеева Е.Г., Толстых Б.К. Идентификация математических оделей в хидродинзнике открытых потокоз // Тез.докл. Второй колы-семинара "Методы математпчссого ксдежровакияв научных сследсвакндх". - Донецк, ИШМ АН УССР, 1ЭЭ0.

Подписано к печати ¿3.07.92.

формат ССч34'15. З.л-м. тип. $ I.

Сфсетнзя печать. Бесплатно.

Усл. п.л. 1,1. Заказ

Тир. 100 экз. Р-т ГСП А'-1 . —чины,

34СС43,■Дсн*цк-43.ул.Ункэерситетская,7™