Моделирование гидродинамических и русловых процессов равнинных рек

Потапов, Игорь Иванович

Моделирование гидродинамических и русловых процессов равнинных рек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Потапов, Игорь Иванович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Хабаровск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Моделирование гидродинамических и русловых процессов равнинных рек»

Автореферат диссертации на тему "Моделирование гидродинамических и русловых процессов равнинных рек"

На правах 'рукописи

ПОТАПОВ ИГОРЬ ИВАНОВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ И РУСЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ РАВНИННЫХ РЕК

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Владивосток - 2006

Работа выполнена в ГОУ «Дальневосточный государственный университет путей сообщения».

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Петров Александр Георгиевич; доктор физико-математических наук, профессор Воеводин Анатолий Федорович; доктор физико-математических наук, с.н.с. Кошель Константин Валентинович.

Ведущая организация: Институт механики сплошных сред УрО РАН.

Защита состоится 23 ноября 2006 г. в Ю00 часов на заседании диссертационного совета ДМ 005.007.02 в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН по адресу: 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института автоматики и процессов управления ДВО РАН.

Автореферат разослан « » октября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного

совета, к.ф.-м.н. Дудко О.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность.

Изучение гидродинамических и русловых процессов, происходящих в больших равнинных реках, имеет большое прикладное значение для решения конкретных инженерных и проектно-изыскательских задач: сезонного проектирования судоходных трасс, проектирования береговых сооружений, водозаборных станций, дамб, запруд и берегоукрепительных сооружений, для прогнозирования чрезвычайных ситуаций и их последствий.

Важной гидродинамической особенностью рассматриваемого класса задач является наличие двух типов свободных границ:

- свободная поверхность речного потока;

- поверхность дна русла, изменяющаяся во времени вследствие протекания руслового процесса.

Кроме того, для больших равнинных рек с малыми числами Фруда Ег< I характерным является турбулентный режим движения речного потока с числами Рейнольдса порядка Ые = 104 - 10б.

Математическое описание гидродинамических и русловых процессов равнинных рек относится к сложнейшим задачам механики сплошных сред. Сложность их математического моделирования обусловлена:

-наличием свободных границ для изменяющейся во времени расчетной области: свободной поверхности речного потока и поверхности дна русла;

- турбулентным характером движения речного потока;

- построением математической модели, адекватно описывающей процесс русловых деформаций с учетом влияния сложного рельефа речной долины, физических и гранулометрических свойств донного материала;

- нелинейным законом гидравлического сопротивления естественных русел;

- необходимостью решения плохо обусловленной системы нелинейных алгебраических уравнений большой размерности;

- большим объемом экспериментальных данных о рельефе поймы и физико-механических характеристиках слагающих ее грунтов.

Проблеме математического моделирования гидродинамических и русловых процессов больших равнинных рек посвящено большое количество работ. Не претендуя на полноту, отметим некоторых ученых, в работах которых были заложены основы теории гидродинамических и русловых процессов. Это Васильев О.Ф., Марчук Г.И., Воеводин А.Ф., Кавахара М., в работах которых были предложены математические модели для горных и равнинных речных потоков, разработаны устойчивые конечно-разностные и конечно-элементные схемы, позволяющие исследовать движение рек в одно-, двух- и трехмерных постановках.

Существенный вклад в теорию влечения донных наносов внесли Франкль Ф.И., Маккавеев В.М., Кондратьев Н.Е., Великанов М.А., Деболь-ский В.К., Гришанин К.В., Знаменская Н.С., Россинский К.И., Караушев A.B., в работах которых была предложена и развита гравитационная теория движения взвешенных наносов и теория грядового движения наносов. С позиций метода анализа размерностей ими было предложено и обосновано множество моделей для расчета движения влекомых наносов.

Дальнейшее развитие теория математического моделирования русловых процессов получила в работах Бэйларда Д.А., Бэгнольда Р.А, Петрова П.Г. и Петрова А.Г., в которых движение влекомых наносов было рассмотрено в рамках энергетической теории. В предложенных моделях учитывалась топология донной поверхности и ее физико-механические свойства. Данные модели получили дальнейшее развитие в работах Милитеева А.Н., Белолипецкого В.М., Паркера Г., Дугласа Дж.

Вместе с тем, следует отметить, что в настоящее время практически отсутствуют математические модели и методы расчета русловых процессов, описывающие русловые деформации с учетом сложной топологии дна, реальных физико-механических характеристик донного материала, с учетом влекомого, взвешенного и лавинного механизмов движения наносов, турбулентного характера движения речного потока, имеющего свободные границы и протекающего в геометрически сложном русле с нелинейным гидравлическим сопротивлением русла.

Поэтому построение математических моделей, позволяющих исследовать гидродинамические и русловые процессы в период создания дамб, проведения дноуглубительных мероприятий, работ по очистке судовых ходов, работ по углублению дна у оголовков водозаборных сооружений, а также работ по выполнению анализа расхода наносов и характера донных изменений в краткосрочной и среднесрочной перспективе, и связанное с ними построение устойчивых вычислительных алгоритмов расчета в областях с произвольной топологией русла является в настоящее время актуальной и практически значимой задачей.

Цель работы: разработка математических моделей и устойчивых вычислительных алгоритмов расчета гидродинамических и русловых процессов больших равнинных рек с песчаным или песчано-гравийным руслом, позволяющих моделировать русловые деформации в краткосрочной и среднесрочной перспективе.

Для достижения поставленных целей были рассмотрены следующие научные задачи:

1) разработка математических моделей и методик расчета русловых процессов для равнинных рек с песчаным или песчано-гравийным основанием;

2) построение устойчивых численных алгоритмов для расчета гидродинамических и русловых процессов больших равнинных рек с песчаным или песчано-гравийным руслом;

3) исследование влияния физико-механических свойств донных материалов на характер протекания русловых деформаций;

4) проведение численных исследований гидродинамических и русловых процессов Хабаровского водного узла.

Научная новизна работы заключается в следующем.

• Предложена математическая модель гидродинамических и русловых процессов, позволяющая моделировать деформации донной поверхности русла с учетом реальных физико-механических характеристик донного материала, влекомого, взвешенного и лавинного механизмов движения наносов. Модель описывает движение речного потока со свободными береговыми границами в геометрически сложном русле, имеющем сложную, изменяющуюся во времени топологию дна с учетом турбулентной вязкости потоков, нелинейного гидравлического сопротивления русла и изменяющейся во времени толщины ледового покрытия реки.

• Для моделирования донных деформаций предложена модифицированная модель расчета влекомых наносов (Петрова П.Г. и Петрова А.Г.), являющаяся обобщением известной модели Бэйларда Д.А., но не содержащая в отличие от модели Бэйларда Д.А. ни одного эмпирического параметра. Принципиальное отличие предлагаемой модели русловых деформаций от известных эмпирических и полуэмпирических моделей состоит в том, что вектор расхода наносов содержит поперечную к направлению течения речного потока составляющую, зависящую от поперечной составляющей вектора уклона дна.

• На основе двумерных математических моделей с использованием метода конечных элементов разработан метод расчета гидродинамических и русловых процессов. Предложен алгоритм численного решения задачи, использующий изо-параметрические конечные элементы первого-третьего порядков. Для получения устойчивых конечно-элементных схем задачи при высоких числах предложена модификация 5иРв метода. При решении системы нелинейных уравнений большой размерности использован модифицированные метод Ньютона и СМИЕЗ метод. Для улучшения сходимости использовалась техника неполного 1Ьи предобу-славливания и адаптивных процедур релаксации.

• Путем вычислительного эксперимента исследованы закономерности русло-образования. Выявлено, что в процессе эволюции формируются две характерные области донной поверхности: береговая мелководная область дна и глубоководная часть русла. Показано, что на размер береговой мелководной области дна определяющее влияние оказывают угол внутреннего трения и гранулометрический состав донного материала.

• Разработана методика расчета гидродинамического процесса реки Амур на протяжении всего сезонного цикла с учетом изменяющейся во времени толщины ледового покрытия.

• Проведено численное исследование гидродинамических и русловых процессов Хабаровского водного узла. Выявлены области с максимальными напряжениями на стенках русла (зоны активных русловых деформаций) до и после возведения переливной запруды на протоке Пемзенская. В областях с максимальной активностью проведено детальное изучение русловых процессов.

• Исследованы основные причины разработки и спрямления протоки Пемзен-ской реки Амур. Показано, что объем наносов, поступающих в протоку на протяжении года, имеет знакопеременный характер, однако общий баланс расхода наносов протоки является отрицательным, достигая 19 %, что и приводит к ее активной разработке.

• Из результатов проведенных численных исследований следует, что после возведения переливной запруды и уменьшение в период половодий гидродинамических расходов на 10-15 % расход донных наносов уменьшился в 2-2,5 раза только в верхнем бьефе запруды. Уменьшение же расходов наносов в нижнем бьефе составляет не более 25 %, а следовательно, протока Пемзенская по-прежнему будет активно разрабатывать свое русло и берега, если не выполнить дополнительных мероприятий по их защите.

Практическая значимость.

Разработанные математические модели, методики расчета и комплексы программных средств могут быть использованы для проектирования дноуглубительных работ, мониторинга и прогноза русловых деформаций судовых ходов на протяжении всего навигационного периода времени.

Модель позволяет анализировать гидродинамические и русловые процессы в период создания дамб, проведения дноуглубительных мероприятий, проведения мероприятий по очистке судовых ходов и проведения дноуглубительных мероприятий по очистке оголовков водозаборных сооружений для проведения инженерных и проектно-изыскательских работ.

Достоверность полученных результатов обеспечивается применением современной теории математического моделирования гидродинамических и русловых процессов, использованием хорошо отработанных методов расчета и подтверждается согласованием с экспериментальными данным и известными численными решениями.

Значительное место в диссертации занимает тестирование математической модели русловых деформаций путем сравнения получаемых решений с обширным экспериментальным материалом.

Апробация работы.

Разработанные методики и пакеты прикладных программ проходили апробацию в Научно-исследовательском институте компьютерных технологий (г. Хабаровск), на кафедре «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» ТОГУ и на кафедре «Информационные технологии и системы» ДВГУПС.

Основные результаты работы докладывались на V Всесоюзной школе-семинаре по механике сплошных сред (г. Кемерово, 1991 г.), на I, II, III, IV, V международных симпозиумах "Scientific and technological progress on Far East" (r. Harbin, 1991-1995 г.г.), на международном симпозиуме "Integral equation in Problems of Mathematical Physics" (г. Хабаровск, 1993 г.), на Всероссийской научно-практической конференции «Решетневские чтения» (г. Красноярск, 1997 г.), XVI международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» ММТТ - 16 (г. Санкт-Петербург, 2003 г.), XVIII международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» ММТТ - 18 (г. Казань, 2005 г.), на международной научной конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики» (г. Хабаровск, 2003 г.), на международной конференции, посвященной 105-летию со дня рождения академика Лаврентьева М.А. (г. Новосибирск, 2005 г.).

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в монографии, 22 статьях и 4 препринтах.

Личный вклад автора состоит в разработке концепции и постановке задач исследований. Автором лично развиты математические модели и методы математического моделирования русловых процессов, разработаны и оттестированы путем сравнения с экспериментальными данными комплексы программ для ЭВМ. Теоретические и численные экспериментальные результаты, представленные в диссертации, получены автором самостоятельно, а также совместно с профессорами Булгаковым В.К. и Чехониным К.А. При этом автору принадлежит постановка проблемы в целом, решение теоретических задач и проведение численных экспериментальных исследований.

Научно-исследовательские работы в рамках Государственной целевой программы «Интеграция» (№К0560 + К0928) проводились совместно с аспирантами и сотрудниками лаборатории «Прикладная математика и механика» при НИИ Компьютерных технологий, научным руководителем которой являлся сам автор.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения и пяти глав общим объемом 212 страниц (из них 52 страницы с рисунками и графиками).

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении раскрывается актуальность и практическая значимость темы диссертации. Сформулированы цель и основные задачи исследований. Дана краткая характеристика работы и ее изложение по главам.

В первой главе в §1 приводится физическая и математическая постановка задачи о турбулентном (Ие > 104) движении равнинного (//•< 1) речного потока со свободными границами по геометрически сложному рельефу поймы с учетом квадратичного закона сопротивления и кориолисовых сил (рис. 1). Обосновывается возможность использования для моделирования речного потока модели мелкой воды.

Гг< 1

Рис. 1. Схема расчетной области ¿2, Г!п| - береговая линия расчетной области О, Г/л - граница втекания речного потока в область Л, Та!а - граница вытекания речного потока из области О

В основу математического описания гидродинамического процесса турбулентного речного потока положены уравнения механики сплошных сред, включающие в себя систему нелинейных уравнений в рамках модели мелкой воды и уравнение неразрывности:

Ъа. Э^и.) Э (//+ С) д//$у т. д/ длу дл-■ длгу- Рш

^ = 0, в О, /,/=1,2, (2)

Э/ дх,-

; — ускорение свободного падения; и, - динамическая

Вязкость речного потока V, определена в рамках модели турбулентности (Роди В., Смагорински Дж.)

Ч!Т' <4>

уа ~ 0.5 (0.2 + 1.0), ^-0.1 .

Связь касательных напряжений т,- на стенках русла с параметрами речного потока ( Л и и, ) (Гришанин К.В.)

Г - Р'-КЛ' "*. г а)

где ^ = — расход речного потока по осям /=1,2.; // - глубина речного потока; и1 - осредненная по глубине средняя скорость речного потока; х1 - координаты; - плотность воды речного потока; / — время; п — шероховатость по Маннингу; £ — вертикальная координата дна русла; / - коэффициент Корио-

, 1 Г°

лиса; Л- = —

' рХ* о ___

скорость, | | =| + »2 •

Уравнения (1)-(5) замыкаются начальными и граничными условиями:

= /=0, 3-е а, (6)

ГА, (7)

&,(*,/) (*,/)е Г^, (8)

л(л;/) = 0, (*,/)е Г|п1, (9)

Г|м1 - береговая граница; $ - распределение расходов речного потока в начальный момент времени в русле П; - расход речного потока, втекающего в область Л через границу ГЛ; — глубина в створе границы вытекания речного потока Г/М из области £1.

В §2 приведен обзор методов решения задач о движении двумерного равнинного речного потока со свободной границей. Обосновывается эффективность использования метода конечных элементов в постановке Галеркина.

Во второй главе для области с фиксированными границами рассмотрена модельная задача мелкой воды:

//,. //- V, Аи,- ~/) = 0, _

/,¿=1,2, *еП, (10)

*>(*) = о (И)

где Г0 - граница области П, V, = сот(> 0.

Для модельной задачи (10)-(11) рассмотрены проблемы конечно-элементной аппроксимации, устойчивости конечно-элементных схем при высоких числах Рейнольдса, решения систем плохо обусловленных нелинейных алгебраических уравнений, генерации структурированных конечно-элементных сеток.

В §1 Приведена вариационная постановка задачи (10)-(11). Предложена модифицированная конечно-элементная аппроксимация Равьяра для поля скоростей с базисом

Л=-$рап{ 1,

Ч.

(12)

на четырехугольном конечном элементе при постоянной аппроксимации поля глубин. Показано, что предложенная аппроксимация удовлетворяет условиям Ладыженской - Бреззи - Бабушки.

В §2 предложена модификация БиРС метода для построения устойчивых конечно-элементных схем, работающих при высоких числах Рейнольдса 11е - 104 +106. С учетом ЗиРв метода получены проекционно-сеточные уравнения задачи (10>—(11) Эл^

-| А #

Эх-

+к

Эл ЪгА

д X,

дх4

+ Е У;

Л*

Г «ч ♦

а хт

дхл

V л е АТС»

(13)

где

Гу =

' Эх, .

Яе^ < 1 ,

2К

Здесь II г/? II _= шах г^

Яеу> 1

Яеу. = -

2 V,

(14)

сеточное число Рейнольдса

>.у 1 ' I/

для /'-го конечного элемента, Лу - характерный размер /'-го конечного элемента, X - множество конечных элементов, Л'Сл,Р/, - дискретные пространства аппроксимаций для искомых функций и //* соответственно, (//; у) = ^иуаП.

В §3 предложен алгоритм решения системы нелинейных уравнений (13) с использованием модифицированного метода Ньютона.

Запишем систему нелинейных уравнений (13) в операторной форме

= (15)

Модифицированный алгоритм Ньютона для решения системы (15) можно представить в виде

" (16) (17)

[МУ

/„ + *{**) АЛ"* = -[Л/]г/{х*) ,

л-л+1 = Л* + о/ ДЛ'*,

где /м=1)

(1/Д/

о о

1 /Л/

о о

В качестве предобусловливателя [Л/] в уравнениях (16) используется блочная //17 — факторизация регуляризированной матрицы Якоби. Для этого к регуляризи-рованной матрице Якоби системы (16) применяется аппроксимация вида (5аас1 У.)

[лА-

Л о" I

У5. 0 .А 7^22_ 0 /

(18)

^22 ■

42-

в которой к каждому из блоков матрицы [л/\ применяется алгоритм не-

полной //,17 факторизации (знак тильда). Для определения параметра релаксации с/ используется метод минимальных невязок. Здесь

— матрица Якоби,

X* = У - искомый вектор и АЛ* = У - его прира-

щение, 4г - номер итерации.

Решение системы линейных уравнений (16) на внутренних циклах метода Ньютона производится методом ОМИББ с плотной упаковкой по строкам матрицы системы, при реализации которого используются свойства сильной разреженности, наличие у матрицы ленточной структуры.

В §4 показаны особенности генерации регулярных конечно-элементных сеток расчетных областей применительно к моделированию речных потоков. Предложен алгоритм, основанный на макроэлементном подходе. Для генерации сетки в макроэлементах используются неполиномиальные функции, что позволяет почти на порядок ускорить процесс генерации сетки в макроэлементах, но требует выполнения условия выпуклости макроэлементов при разбиении на них расчетной области. При невыполнении данного требования или увеличении трудоемкости, связанной с необходимостью разбивки расчетной области на большое количество макроэлементов, генерация структурированных конечно-элементных сеток проводилась путем решения генерирующих дифференциальных уравнений

"а

+ У2

=о.

= 1,2,

(19)

с граничными условиями

Здесь Лу - координаты узлов на границах макроэлементов, а = #22=4+->4> Р= Х^П = +ЛСЛ)' Г=*П =-4

0<%<1 — релаксационный коэффициент жесткости сетки, влияющий на степень ее ортогональности.

В §5 приведены результаты тестовых расчетов задачи (10)-(11). Показано их согласование с известными аналитическими и численными решениями.

В §6 проведены численные исследования влияния перекрытия протоки Пем-зенская переливной запрудой на перераспределение гидродинамических потоков в Хабаровском водном узле. Исследования проводились с целью определения участков реки (до и после возведения запруды на протоке Пемзенская реки Амур), требующих укрепления береговой полосы. Результаты одного из вариантов проведенных расчетов при среднем расходе русла представлены на рис. 2, 3, где цветовой палитрой показан модуль донных напряжений | Г/|, рассчитанных для дна реки, а векторами определено поле средних скоростей речного потока ¡/¿.

о. БольшоП УссуриПскиП

г. Хябяровск

л 1 км Масштаб

Рис. 2. Векторное поле скоростей и безразмерная заливка вектора донных касательных напряжений до возведения запруды на протоке Пемзенской

Из результатов расчетов, приведенных на рис. 2, следует, что до возведения запруды максимальные донные напряжения реализуются в протоке Пемзенской (рис. 2, область I), в окрестности городского пляжа (рис. 2, область II) и окрестности железнодорожного моста (рис. 2, область III), где уровень напряжений составляет 39 % и 59 % от максимального. Из результатов расчетов, полученных для

перекрытой протоки Пемзеиской и приведенных на рис. 3, следует, что изменения гидродинамического режима приводят к 11 % увеличению общего уровня максимальных донных. Величина донных напряжений в окрестности городского пляжа увеличивается в 2,77 раза, что приводит к активному перемещению и переотложению донного материала ниже по потоку в район городского водозабора (рис. 3, область I). Увеличение донных напряжений в 1,81 раза приводит к активным русловым деформациям в районе железнодорожного моста 2 (рис. 3, область II).

Рис.3. Векторное поле скоростей и безразмерная заливка вектора донных касательных напряжений после возведения запруды на протоке Пемзенской: / - городской водозабор; 2 — ЖД мост; 3 — дноуглубительная прорезь; 4- переливная запруда

Следует отметить, что увеличение донных напряжений (до 49 % от максимальных) в окрестности северо-восточного выступа острова Большой Уссурийский приводит к активному заиливанию дноуглубительной прорези выполненной для спрямления течения реки Амур в период возведения запруд на протоках Пем-зенская и Бешеная (см. рис. 3, область III).

В третьей главе предложена конечно-элементная методика расчета задачи о равнинном движении турбулентного речного потока со свободными границами в пойме со сложной топологией. В качестве метода решения задачи со свободной границей выбран вариант wet-dry метода, со сквозным решением задачи в расширенной фиксированной расчетной области.

В §1 сформулирована математическая постановка задачи движения двумерного открытого речного потока с подвижными границами в расширенной области включающая:

Э/ дХу Ъху-

Г Г-I а V*

Э и, ои

——

Ъху

(20)

= (21) д/ д X,- дХ/ дх/

= '=0. Пдг, (22)

=0А*Л Г^, (23)

//[*,/)=/?,(*,/) {т,/)е Г^, (24)

= »еГ^. (25)

где — береговая функция, имеющая вид: , . Г1 ^>0 л- е П

. (26)

4 ' [О &<0 Т е

+ {\-е{//))Р\/7\), ¡5 ~ 100-ь1000, (27)

где — шероховатость затопленной поймы - дна русла.

Во §2 и §3 сформулирована вариационная постановка и получена конечно-элементная формулировка задачи (20)-(2б) с учетом ЭиРО стабилизации. Предложен алгоритм расчета задачи (20)-(26) в областях со свободными границами.

В §4 на основе алгоритма Рапперта предложен метод генерации неструктурированных адаптивных сеток для задачи движения двумерного открытого речного потока. В качестве критериев адаптации использованы градиенты параметров задачи ЛА\ V¿<р || <6^, где (р - параметр задачи, по которому проводится адаптационное сгущение сетки; С^ - коэффициент адаптации конечно-элементной сетки; Аг - характерный размер конечного элемента.

В § 5 рассмотрен алгоритм решения задачи (20)-(27) на примере движения гидродинамического потока в трапециевидном русле.

• В четвертой главе предложена физико-математическая постановка задачи о движении руслового потока, исследованы закономерности развития русловых процессов при формирования поперечного профиля канала.

В § 1 формулируется задача о русловых деформациях, возникающих при протекании водного потока по дну реки. Русловые деформации рассматриваются для однородного песчаного дна с постоянной пористостью е, углом внутреннего трения <р и диаметром донных частиц й*. Полный расход наносов ^', переносимых гидродинамическим потоком, включает в себя влекомые Д, взвешенные и лавинные наносы:

Я?=Я (28)

Для определения расхода влекомых наносов используется модифицированная модель (Петрова П.Г и Петрова А.Г.)

Г/+4; тк \ '

Я " = Р,Щ П

(29)

Для определения расхода взвешенных наносов предложена модель, полученная из соотношения гравитационной теории переноса взвешенных наносов и степенного закона распределения концентрации взвешенных наносов по глубине потока

я 1 дк

д = ы й -г,---

ЛГ-11 5 а.

(30)

Для участков дна русла, находящихся в критическом состоянии Г > 1, расход лавинных наносов определялся по модели (Дуглас Дж. и Давид М.)

qf =mtgV

Здесь

£> =

ЪХ \ 2 d

4; \___ i Vf,^ H* з ЛГ jpwA 0 ,

Г>1,

r<0.

d <h , d>h*

(31)

(32)

(33)

a t1-1;),

1 54* | , 1 154* | tgy , v

. г= I г/ I =----— =r- . A=Fa f, Fa =coy tg<p [ps -pjg,

coy tgp dSj

co^tgp\dsk\ tg<p

a *

К = —-- - параметр Шильдса, h — глубина активного донного слоя, / — кон-Z"*

центрация наносов у дна; х ~ постоянная Кармана; Н — глубина речного потока, wg - гидравлический радиус донных частиц, Се = const, £, = Се и, Н - турбулентная диффузия; Г* < 1 - докритическая величина критерия подвижности, определяемая из приближенного условия d«h' (a* «lOOif-т-1000£/).

Полный расход наносов, транспортируемых речным потоком, согласно (29)—(31) равен

uh'-s, 1.(34)

S п

<?, = Щ ч

г. _ !г'+4 г* )г< ' 5ig<pcosy dst

+ mtg2J r2-l) "^+ J—

S 'ds, AT — 1

Используя уравнение сохранения массы наносов

+ = 0,

с учетом (34) получаем следующее уравнение донных деформаций

(35)

О-*)

54" cos у 8

ds.

J?il*_..(r +4; г, )+ mtg2<p{\~T2) Stgtpcasy

■

д dSj

0-1 ds, v " k ,J

(36)

Уравнение (36) замыкаем начальными и граничными условиями

?е Г,,

^ *'[5&рссвг )д$ в—Л

(37)

(38)

Здесь 5,- - ортогональные криволинейные координаты, привязанные к поверхности дна ^, где линия ^ совпадает с направлением вектора скорости гидродинамического потока, а 52 перпендикулярно ему, у - острый угол между нормалью к поверхности активного слоя и вертикальной линией (см. рис. 4), г,- - компоненты вектора касательных напряжений на дне речного потока, - плотность песка, f - концентрация песка в активном слое, д° - компоненты вектора наносов на входной и выходной границах речного потока, с! - диаметр донных частиц.

В § 2 формулируется математическая постановка задачи о русловом процессе для больших равнинных рек с песчаным или песчано-гравийным руслом. Основу математического описания данного процесса составляют задача о движении гидродинамического речного потока, учитывающая ледовое покрытие потока, и модифицированная задача о донных деформациях

дд; | дд,и}__5

31 дХ] дХ)

у, К

ди, ди, —-н—1 кдХ] Эх,

дНи,+С ёЯЛЧ \

дх,

с:

д( ох, дх, дх.

(1-е)

З^созу

д(

д_ дз,

3 Х?а 'ярсоэу

5з,

"дз,

д1Тк,К

4 Л (1-20) ^ + и,. тк К _ и 11 *,

з.....Л,. ~

=0, (40)

(41)

(42)

Уравнения (40)-(42) замыкаются начальными и граничными условиями:

д,{х, 0) = а°,

= <?,■(*.').

н{х^)= н(х^)

Хе Пм,

у е

(х,()е ГМои1,

дх,

п,= 0

* е ГЛ ,

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

¿•(У,0=£-М. ГеГ., (48)

г'

4 А|**|2

з^.-Ул

( }г, _(1-0.570)^

'ту 1§(рС05у 35,-

(0-1^ (М^ е.,.

", =9°. е Г„.

В решении задачи используются дополнительные соотношения

(49)

(50>

2.ЪН„ь 8П2 и, ■

— г-' , "« — __ [/3 ,

с; ' 1 л ' я..

, . [1 //,„ >о х е а, с(я,„) = ^ " (52)

V [о Н„ <0 * '

п = /%(1 +(1-с(Я„) Р)\ р ~ ЮО-нЮОО, (53)

п0 = п4 + (п,-п4)ехр(- V/), Vк0.020.03 . (54)

Здесь <7,- = //„ к,-, Я - глубина потока от дна реки до свободной поверхности потока; Н„ — глубина потока от дна реки до нижней смоченной поверхности ледяного покрова; - погруженная в воду толщина ледяного покрова, Я„. = Н - Лг,

полная толщина ледяного покрова Нке, связана с как \ = —— Н¡се,

Pvv

где р1се — плотность льда; п1, пе — начальная и конечная объединенная шерохова-

тость русла и льда, г0 = — , Г? = Тмш иТМои1, = Гд/ пГ?, сг

А*

4 '.¡сх т, К коэффициент лобового сопротивления частиц.

В § 3 и 4 рассматривается вариационная постановка объединенной русловой задачи. Получена конечно-элементная формулировка задачи и предложен алгоритм решения задачи (40)-(54).

В §5 проведено тестирование русловой модели (40)-(54) по известным экспериментальным результатам. Так на тестах продольной эрозии и намыве донной поверхности модель показала максимальное отклонение в 18 % и 6,7 % соответственно от уровня дна полученного в экспериментах (Ньютон С.Т.), что является одним из лучших результатов при сравнении с 10 другими эмпирическим моделями. При анализе поперечной донной эрозии модель также показала хорошее совпадение (среднеквадратичная ошибка менее 14 %) с экспериментальными данными.

В §6 для случая установившегося гидродинамического потока был исследован характер протекания русловых процессов для трапециевидного профиля с затопленным уступом (рис. 5) и берегом канала (рис. 6). Полученные результаты для

затопленного уступа (рнс.5) хорошо согласуются с имеющимися экспериментальными данными (ЦНИИС А.Н. Милитеев, Н.Л. Можес).

Из результатов расчетов следует, что береговой склон, имеющий в начальный момент времени правильную трапецевидную форму, с течением времени разделяется на два характерных участка: береговую отмель, имеющую характерную протяженность и глубоководную часть берегового склона (см. рис. 6).

(м>

Рис. 5. Влияние размера частиц дна (/ на характер размыва затопленного откоса (шаг по времени Д/=0,5 ч)

Береговая отмель определяется начальным уклоном стенок трапециевидного канала, а ее протяженность Д, зависит от физико-механических и гранулометрических свойств донного материала. Переход от береговой отмели к «глубокой» — донной части русла характеризуется изломом дна, поверхность которого резко

понижается, уходя на глубину. Профиль глубинной части русла становится более наполненным, вследствие чего уменьшается общее гидравлическое сопротивление и происходит наполнение профиля скоростей гидродинамического потока, в результате средние скорости потока уменьшаются на 5-15 % в зависимости от физико-механических свойств донных материалов.

0.0 20 0 АО О 60 О ВО.О 100 0 120.0 140.0 160.0 130.0 (м)

0.0 20.0 40.0 60.0 80 0 100.0 120 0 140 0 160 0 180 0 (м)

Рис. 6. Влияние угла внутреннего трения грунта на характер размыва берегового склона (шаг по времени Д/= 20 ч)

Глубоководная часть русла имеет в окрестности излома дна уклон, близкий к углу внутреннего трения донного материала, за счет этого происходит постепенное обрушение донного материала, даже если на поверхностной части отмели реализуются неразмывающие напряжения. Решение эволюционной задачи показывает, что береговая отмель постепенно поглощается глубоководной частью, донный материал из берегового склона переносится в центральную часть канала, за счет чего происходит общий подъем уровня дна канала - его обмеление. Обме-

ление с одновременным расширением русла приводит к уменьшению напряжении на поверхности дна русла, что в свою очередь замедляет процесс русловых деформации.

-----------;—-----

I 1

^ - 3 -- ------"

Скорости м с

~ 1-

Масштаб О 100

200

300

400

500

600

700

800

900

| и1 | мс _ 188 И 1-«7

' ' 1.46 1.25 Г 3 1 04

Шом

Н 0 61

I 0.42

■ 0 21 0.00

Рис. 7. Часть I - топология канала £, часть II - поле /У,- в начальный момент времени

(м)

482

$00 (М)

494

488 482 476

100 200 300 400 500 <м' 100 200 300 400 500 <м)

Рис. 8. Изменения донной поверхности

Из результатов расчетов видно, что при одинаковых исходных характеристиках гидродинамического потока основными параметрами, определяющими характер деформирования берега, являются начальный уклон берега, плотность угол внутреннего трения <р и диаметр частиц донного материала.

Для канала с сужением (рис. 7) исследовано влияние угла внутреннего трения на эволюцию донной поверхности канала в области сужения. На рис. 8, а представлены профили дна, полученные на оси симметрии канала, хорошо видно, что зона наибольшего размыва перемещается со временем в сторону максимума скорости речного потока (рис. 7 П), что хорошо согласуется с известными данными (Бутаков А.Н.). Результаты расчетов показывают, что изменение угла внутреннего трения в диапазоне 20° < ^><50° приводит как к количественному (рис. 8, б), так и качественному (рис. 8, в) изменению характера донных деформаций. Поперечные профили дна (рис. 8, г), полученные для различных сечений канала, показывают, что процесс донных деформаций имеет существенно не одномерный характер, что указывает на существенный вклад поперечных компонент расхода донных наносов на характер протекания руслового процесса.

В пятой главе приведены результаты численного моделирования русловых процессов реки Амур и ее проток в Хабаровском водном узле. Проводится анализ развития русловых процессов, протекающих в наиболее критичных зонах, выявленных при моделировании гидродинамических процессов.

В § 1 исследуется русловые процессы для участка протоки Пемзенская до строительства на ней переливной запруды. Проводится калибровка русловой модели (40)-(54) на натурных экспериментальных данных. Определяется значение шероховатости русла в зависимости от глубины потока, его расхода и толщины ледового покрова.

В § 2 показано влияние образования льда на поверхности речного потока на изменение скоростного режима речного потока. Из результатов расчетов следует, что при сжатии льдом живого сечения потока скорости гидродинамического потока начинают превышать скорость потока в открытом русле. Превышение скорости при толщинах льда более 1 м в зависимости от донного рельефа может достигать 20-30 % от скорости открытого потока, что в свою очередь приводит к усилению русловых деформаций.

В § 3 проводится анализ причин, связанных с интенсивной разработкой протоки за два последних десятилетия входного участка протоки Пемзенская (см. рис. 9). Рассмотрена эволюция русловых процессов, происходящих в истоке протоки Пемзенской в течение года. Из результатов численных исследований следует, что объем наносов, поступающих в протоку на протяжении года, имеет знакопеременный характер, однако общий баланс расхода наносов протоки является отрицательным, достигая 19 %, что и приводит к ее активной разработке. На

рис. 9, 10 приведены изолинии модуля расхода наносов , наложенные на за-

ливку модуля поля скорости | лу |, для весенне-летней межени и для летнего бро-вочного расхода. Сдвиг максимумов расхода наносов относительно максимумов скоростных полей указывает на то, что существенную роль в протекании русловых деформаций играют поперечные к потоку Береговые деформации. Из результатов расчетов следует, что несмотря на то, что отношение расходов продольных наносов к поперечным не велико, их вклад в общую картину донных деформаций достигает в отдельные моменты времени 62 %.

Рис. 10. Модули вектора наносов {/¿ \ и поля скоростей | {/¿\

В § 4 исследуется характер изменения русловых процессов, вызванный строительством переливной запруды. Строительство запруды проводится от левого берега к правому (рис. 11), что приводит к сжатию потока у правого берега реки и возникновению зон рециркуляции, с обеих сторон от возводимой запруды. При моделировании нижней зоны рециркуляции (рис. 12.) с сильно выраженным фронтом встречного течения производилось адаптивное сгущение конечно-элементной сетки (рис. 13) с минимальным размером элемента диаметром в 1 метр.

Рис. 11. Модуль вектора скорости | | и векторное представление и/ в протоке Пемзенская (март 2005 г.)

Из результатов расчетов следует, что сжатие речного потока запрудой привело к формированию в створе запруды сильно выраженного струйного потока, максимальная скорость которого увеличилась до 3,1 м/с, что в 2,3 раза превышает скорость невозмущенного потока.

После прохождения створа запруды сформированная струя уходит от правого берега к левому, при этом скорость речного потока уменьшается на протяжении 500 метров до скоростей невозмущенного потока.

Отклонение потока от правого берега к левому образует вдоль правого берега реки мощную до 200 м длиной и 40 метров шириной рециркуляционную зону.

Изменение характеристик речного потока в процессе строительства запруды

привело к значительному изменению потоков переносимых наносов <f¡ (см. рис. 14). Шестикратное увеличение напряжений в окрестностях запруды привело к интенсивному размыву дна. Например, за март месяц 2005 г. понижение дна в створе запруды достигло 1,6 метра.

Рис. 12. Модуль скорости | | Рис. 13. Адаптация КЭ сетки

Из приведенных на рис. 15 донных сечений I-IV (рис. 14), полученных для весеннего периода (март 2005 г.), следует, что в процессе строительства донный материал активно выносится со створа запруды, переотлагаясь на протяжении 750 метров по направлению движения гидродинамического потока (рис. 15, I - III). Отражение основной струи речного потока от левого берега реки (рис. 15, IV) приводит к углублению дна русла у левого берега реки в среднем на 0,4 метра.

В § 5 исследуются русловые процессы протоки Пемзенская на участке строительства переливной запруды после ее возведения. Как показали гидродинамические расчеты, выполненные на конечно-элементной сетке (рис. 16) для расхода

^=3100 л? I с, расчетные средняя и максимальная скорости течения достигают соответственно 4,8 м/с и 5,45 м/с на гребне и нижнем откосе запруды (рис. 17), подпорное повышение уровня воды в верхнем бьефе составляет в момент перелива 0.9 м, а снижение уровня в нижнем бьефе составляет 1,5 м (рис. 18), что хорошо согласуется с натурными данными.

Полученные гидродинамические характеристики речного потока использованы для оценки характера развития русловых деформаций после возведения переливной запруды. Из расчета расхода наносов, представленных на рис. 19, и их сравнения с величиной донных наносов, полученных до возведения запруды, следует, что расход донных наносов уменьшился в 2—2,5 раза. Однако, расход наносов на участке ниже запруды все еще достаточно велик (рис. 19) и по-прежнему будет приводить к значительным донным и береговым русловым деформациям. Следует учитывать и то, что транзитный расход наносов с участка реки выше запруды блокирован или сильно уменьшен запрудой и выполненным укреплением дна в ее окрестности (до 30 метров). Следовательно, дефицит транзитных наносов в нижнем бьефе запруды будет восполнятся за счет активного размыва дна протоки и берегов. Для предотвращения данного процесса необходимо выполнить дополнительные мероприятия по укреплению берегов и дна протоки.

Рис. 15. Донные деформации в створах 1-1У

Рис. 16. Адаптация КЭ сетки Рис. 17. Модуль скорости | (м/с)

Рис. 18. Уровень свободной поверхности (м)

Рис. 19. Модуль расхода наносов \tjfj в протоке Пемзенская после перекрытия ее запрудой

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе созданы основы математического моделирования гидродинамических и русловых процессов больших равнинных рек с песчаным или песчано-гравийным основанием, заключающиеся в формулировке математических моделей, разработке методов и программ расчета речных потоков и переносимых ими наносов и возникающих при этом русловых деформаций.

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Предложена математическая модель гидродинамических и русловых процессов, позволяющая моделировать деформации донной поверхности русла с учетом реальных физико-механических характеристик донного материала, влекомого, взвешенного и лавинного механизмов движения наносов. Модель описывает движение речного потока со свободными береговыми границами в геометрически сложном русле, имеющем сложную, изменяющуюся во времени топологию дна с учетом турбулентной вязкости потоков, нелинейного гидравлического сопротивления русла и изменяющейся во времени толщины ледового покрытия реки.

2. Для моделирования донных деформаций предложена модифицированная модель расчета влекомых наносов (Петрова П.Г. и Петрова А.Г.), являющаяся обобщением известной модели Бэйларда Д.А., но не содержащая в отличие от модели Бэйларда Д.А. ни одного эмпирического параметра. Принципиальное отличие предлагаемой модели русловых деформаций от известных эмпирических и полуэмпирических моделей состоит в том, что вектор расхода наносов содержит поперечную к направлению течения речного потока составляющую, зависящую от поперечной составляющей вектора уклона дна.

3. На основе двумерных математических моделей с использованием метода конечных элементов разработан метод расчета гидродинамических и русловых

процессов. Предложен алгоритм численного решения задачи, использующий изо-параметрические конечные элементы первого-третьего порядков. Для получения устойчивых конечно-элементных схем задачи при высоких числах Яе предложена модификация БиРв метода. При решении системы нелинейных уравнений большой размерности использованы модифицированные метод Ньютона и ОМЯЕБ метод. Для улучшения сходимости использовалась техника неполного 1Ьи предобуславливания и адаптивных процедур релаксации.

4. Путем вычислительного эксперимента исследованы закономерности рус-лообразования. Выявлено, что в процессе эволюции формируются две характерные области донной поверхности: береговая мелководная область дна и глубоководная часть русла. Показано, что на размер береговой мелководной области дна определяющее влияние оказывают угол внутреннего трения и гранулометрический состав донного материала.

5. Разработана методика расчета гидродинамического процесса реки Амур на протяжении всего сезонного цикла с учетом изменяющейся во времени толщины ледового покрытия.

6. Проведено численное исследование гидродинамических и русловых процессов Хабаровского водного узла. Выявлены области с максимальными напряжениями на стенках русла (зоны активных русловых деформаций) до и после возведения переливной запруды на протоке Пемзенская. В областях с максимальной активностью проведено детальное изучение русловых процессов.

7. Исследованы основные причины разработки и спрямления протоки Пем-зенской реки Амур. Показано, что объем наносов, поступающих в протоку на протяжении года, имеет знакопеременный характер, однако общий баланс расхода наносов протоки является отрицательным, достигая 19%, что и приводит к ее активной разработке.

8. Выполнено исследование гидродинамических и русловых процессов, происходивших в протоке Пемзенская реки Амур при перекрытии ее переливной запрудой. Показано, что сжатие потока запрудой на этапе половинного перекрытия протоки приводит к росту максимальной средней скорости реки в 2,3 раза, и соответствующему увеличению русловых деформаций, когда размыв дна в створе запруды достигает 1,6 м в месяц.

9. Из результатов проведенных численных исследований следует, что после возведения переливной запруды и уменьшение в период половодий гидродинамических расходов на 10—15 % расход донных наносов уменьшился в 2-2,5 раза только в верхнем бьефе запруды. Уменьшение же расходов наносов в нижнем бьефе составляет не более 25 %, а следовательно, протока Пемзенская по-прежнему будет активно разрабатывать свое русло и берега, если не выполнить дополнительных мероприятий по их защите.

10. Разработанные математические модели, методики расчета могут быть использованы для проектирования дноуглубительных работ, мониторинга и прогноза русловых деформаций судовых ходов на протяжении всего навигационного периода времени.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ изложены в следующих публикациях:

1. Потапов И.И., Булгаков В.К. Метод конечных элементов в задачах гидродинамики // Хабаровск : Изд-во ХГТУ, 1999. - 190 с.

2. Потапов И.И., Булгаков В.К. Сравнительный анализ конечно-элементных аппроксимаций второго порядка для задачи Стокса // ЖВМ и МФ. Т. 42, № 11. 2002.-С. 1756-1760.

3. Potapov I.I., Chekhonin К.A., Sukhinin P.A. The calculation algorithm of filling up the axial symmetric channels with a nonNewtonian fluids // Intern. Symposium "Integral Equations in Problems of Mathematical Physics". Khabarovsk, 1995. - P. 10-16.

4. Потапов И.И. Математическая модель задачи о русловых деформациях для равнинных аллювиальных рек // Препринт № 86. Хабаровск: ВЦ ДВО РАН 2005.-16 с.

5. Потапов И.И., Чехонин К.А., Булгаков В.К. Особенности реализации МКЭ для задачи Стокса // В кн. Математическое моделирование. Хабаровск: Изд-во ХГТУ, 1999. Вып. 9. - С. 9-12.

6. Потапов И.И., Булгаков В.К. Математические модели русловых процессов равнинных рек // Препринт № 72. ВЦ ДВО РАН, 2003. - 54 с.

7. Потапов И.И., Булгаков В.К. Методики и алгоритмы расчета гидродинамических процессов равнинных рек методом конечных элементов // Препринт №77. Хабаровск : ВЦ ДВО РАН/Ч. I: 2004.-47 с.

8. Потапов И.И., Булгаков В.К. Методики и алгоритмы расчета гидродинамических процессов равнинных рек методом конечных элементов // Препринт № 2. Хабаровск: ВЦ ДВО РАН/ Ч.И: 2004. - 43 с.

9. Potapov I.I., Chekhonin К.А., Bulgakov V.K.Optimal coordination coefficients selection in upwind finite element schemes // The second Inter, symp. on promotion of scientific and technological progress in the Far East. Harbin, 1995. — P. 17-21.

10. Потапов И.И., Чехонин K.A., Булгаков В.К. Повышение точности определения градиентов температуры в задачах конвективной теплопроводности // В кн. Математическое моделирование. Хабаровск : Изд-во ХГТУ, 1996. Вып. 2. -С. 77-79.

11. Потапов И.И., Чехонин К.А., Сухинин П.А. Одношаговые итерационные алгоритмы решения неособых систем линейных уравнений и одно из направлений их развития // В кн. Математическое моделирование. Хабаровск : Изд-во ХГТУ, 1996. Вып. 2. С. 80-83.

12. Потапов И.И., Чехонин К.А. Метод конечных элементов // Хабаровск: Изд-во ХГТУ, 1996. 56 с.

13. Потапов И.И., Чехонин К.А., Проценко М.А., Булгаков В.К. Сравнительный анализ схем конечно-элементных аппроксимаций при численном расчете задач движения неньютоновских жидкостей в сужающемся канале // В кн. Математическое моделирование. Хабаровск : Изд-во ХГТУ, 1997. Вып. 3. С. 62—72.

14. Потапов И.И., Чехонин К.А., Сухинин П.А. Моделирование заполнения прессформы типа "Кокон" жидкостью Шульмана методом свободного литья // В кн. Математическое моделирование. Хабаровск : Изд-во ХГТУ, 1997. Вып. 3. С. 35-48.

15. Потапов И.И., Чехонин К.А., Сухинин П.А. Исследование влияния граничных условий на линии трехфазного контакта на эволюцию свободной поверхности при движении жидкости Шульмана // В кн. Математическое моделирование. Хабаровск : Изд-во ХГТУ, 1997. Вып. 3. - С. 49-61.

16. Потапов И.И., Чехонин К.А., Булгаков В.К., Бакланов А.Н. Анализ влияния собственного веса полимерной массы на характер развития технологических напряжений в конструкциях, получаемых методом химического формования //

. В кн. Математическое моделирование. Хабаровск : Изд-во ХГТУ, 1997. Вып. 3. — С.136-146.

17. Потапов И.И., Чехонин К.А., Булгаков В.К., Бакланов А.Н. Анализ трехмерного НДС РДТТ на стадии отверждения // В кн. Математическое моделирование. Хабаровск: Изд-во ХГТУ, 1997. Вып. 3. С. 181-192.

18. Потапов И.И., Булгаков В.К. Моделирование распространения сточных вод в реке Амур окрестности города Хабаровска // Фундаментальные и прикладные вопросы механики. Сб. трудов Международ. Науч. Конф. В 2-х т. Т. 1 / Хабаровск. ХГТУ, 2003. С. 50-62.

19. Потапов И.И., Булгаков В.К. Применение метода конечных элементов для моделирования гидродинамических процессов речного потока // ММТТ-18: Сб. трудов XVIII Международ. Науч. Конф. В 10-ти т, Т.1. / Казань. Казанский гос. университет, 2005. - С. 17-19.

20. Потапов И.И., Булгаков В.К. Моделирование двухмерного речного потока методом конечных элементов // Высокие технологии - 2004. Международ, научно-технический форум. В 4-х т. Т. 2. / Ижевск, 2004. С. 97-103.

21. Потапов И.И., Булгаков В.К. Противопоточные конечно-элементные схемы высокого порядка для задачи теплопереноса//ЖВМ и МФ. Т.43, № 9.2003. С. 1424-1429.

22. Потапов И.И., Булгаков В.К. Сравнительный анализ противопоточных конечно-элементных схем высокого порядка для задачи Навье-Стокса на основе мо- дифицированного ЗиРО—метода // Дальневосточный математический журнал.

Владивосток : Дальнаука, 2003. Т. 4. № 1. — С. 3-17.

ПОТАПОВ ИГОРЬ ИВАНОВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ И РУСЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ РАВНИННЫХ РЕК

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Сдано в набор 11.10.2006 г. Подписано в печать 12.10.2006 г. Формат 60x84'/i6. Бумага тип. № 2. Гарнитура «Times New Roman». Печать RISO. Усл. изд. л. 1,2. Усл. печ. л. 1,9. Зак. 283. Тираж 130 экз.

Издательство ДВГУПС 680021, г. Хабаровск, ул. Серышева, 47.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Потапов, Игорь Иванович

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ РЕЧНОГО ПОТОКА И ОБЗОР МЕТОДОВ ЕЕ РЕШЕНИЯ.

§ 1. Дифференциальная постановка задачи о движении двумерного речного потока.

§ 2 Обзор методов решения задачи о движении двумерного спокойного речного потока.

ГЛАВА II. МЕТОДИКА И АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ МЕЛКОЙ ВОДЫ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

§ 1. Модельная задача мелкой воды.

1.1. Аппроксимация задачи.

1.2. Условие Ладыженской - Бреззи - Бабушки.

§ 2. Противопоточная Бирс стабилизация конечно-элементных схем.

§ 3. Решение дискретного аналога задачи.

3.1. Ньютоновская линеаризация задачи.

3.2. Решение системы нелинейных алгебраических уравнений.

§ 4. Дискретизация расчетной области.

§ 5. Тестирование предложенных алгоритмов.

5.1. Расчет речного потока на неортогональных конечно-элементных сетках.

5.2 Расчет установившегося потока в прямоугольном канале с внезапным сужением.

§ 6. Влияние перекрытия протоки Пемзенская на распределение гидродинамических потоков в Хабаровском водном узле.

ГЛАВА III. МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ДЛЯ РЕЧНЫХ ПОТОКОВ В КАНАЛАХ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ.

§ 1. Движения речного потока в области со свободными границами.

§ 2. Вариационная постановка задачи.

§ 3. Конечно - элементная формулировка задачи.

§ 4. Генерация неструктурированных адаптивных сеток.

§ 5. Численное моделирование гидродинамических процессов. Алгоритм решения задачи.

ГЛАВА IV. ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ РУСЛОВОГО ПОТОКА

§ 1. Физическая постановка задачи.

§ 2. Двумерная задача о движении руслового потока.

§ 3. Вариационная постановка задачи.

§ 4. Алгоритм решения задачи определения русловых деформаций.

§ 5. Верификация предложенной модели русловых процессов.

§ 6. Исследование закономерностей формирования поперечного профиля русла.

ГЛАВА V. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РУСЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ ХАБАРОВСКОГО ВОДНОГО УЗЛА.

§ 1. Калибровка математической модели о русловых деформациях.

§ 2. Влияние ледового покрытия на русловые процессы.

§ 3. Моделирование русловых процессов истока протоки Пемзенской.

§ 4. Изменение характера русловых процессов в период строительства переливной запруды на пютоке Пемзенской.

§ 5. Исследование влияния переливной запруды на протоке Пемзенской на характер русловых пюцессов.

Введение диссертация по механике, на тему "Моделирование гидродинамических и русловых процессов равнинных рек"

Изучение гидродинамических и русловых процессов, происходящих в больших равнинных реках, имеет большое прикладное значение для решения конкретных инженерных и проектно-изыскательских задач [1] [2] [3] [4] [5] [6] сезонного проектирования судоходных трасс, проектирования береговых сооружений, водозаборных станций, дамб, запруд и берегоукрепительных сооружений, для прогнозирования чрезвычайных ситуаций и их последствий.

Важной гидродинамической особенностью рассматриваемого класса задач является наличие двух типов свободных границ: свободная поверхность речного потока, - поверхность дна русла, изменяющаяся во времени вследствие протекания русловых процессов. Кроме того, для больших равнинных рек [7] [8] с малыми числами Фруда ^<1 характерным является турбулентный режим движения речного потока с числами Рейнольдса порядка Яе = 104 -106 .

Математическое описание гидродинамических и русловых процессов равнинных рек относится к сложнейшим задачам механики сплошных сред [1] [3] [5] [9]. Одним из эффективных методов исследования такого класса задач является вычислительный эксперимент.

Сложность их математического моделирования обусловлена:

- наличием свободных границ для изменяющейся во времени расчетной области: свободной поверхности речного потока и поверхности дна русла; турбулентным характером движения речного потока; построением математической модели, адекватно описывающей процесс русловых деформаций с учетом влияния сложного рельефа речной долины, физических и гранулометрических свойств донного материала;

- нелинейным законом гидравлического сопротивления естественных русел; необходимостью решения плохо обусловленной системы нелинейных алгебраических уравнений большой размерности;

- необходимостью предварительного получения большого объема экспериментальных данных о рельефе поймы и физико-механических характеристиках слагающих ее грунтов.

Проблеме математического моделирования гидродинамических и русловых процессов больших равнинных рек посвящено большое количество работ. Не претендуя на полноту, отметим работы лишь некоторых ученых, заложивших основы теории гидродинамических и русловых процессов. Это работы Лаврентьева М.А. [2], Марчука Г.И. [10] [11] [12] [13] , Васильева О.Ф. [1] [14] [15] [16] [17], Воеводина А.Ф.[17] [18] [19] [20], Окомуры X. и Кавахары М. [21][22][23][24][25][26], в которых были предложены математические модели для горных и равнинных речных потоков, разработаны устойчивые конечно-разностные схемы, позволяющие исследовать движение рек в одно-, двух- и трехмерных постановках.

Существенный вклад в развитие теории влечения донных наносов внесли Франкль Ф.И.[9][27][28], Маккавеев В.М. [29][30][31], Кондратьев Н.Е. [32] [33] [34] [35], Великанов М.А. [36] [37] [38], Дебольский В.К. [39] [40] [41], Гришанин К.В. [7] [42] [43], Знаменская Н.С. [44] [45] [46] [47], Россинский К.И. [б][48][49][50], Караушев A.B. [51] [52] [53] [54], в работах которых была предложена и развита гравитационная теория движения взвешенных наносов и теория грядового движения наносов. С позиций метода анализа размерностей ими было предложено и обосновано множество моделей для расчета движения влекомых наносов.

Дальнейшее развитие теория математического моделирования русловых процессов получила в работах Багнольда P.A. [55], Бэйларда Дж.А. [56] и Бовена А.Дж. [57], в которых были предложены и развиты энергетические модели расчета движения влекомых наносов для морской береговых линий.

Моделирование русловых процессов в речных потоках, было развито в работах Петрова П.Г.[58] [59] и Петрова А.Г.[60], в которых модель движение влекомых наносов была получена для реологического соотношения включающего в себя закон Кулона для сыпучей среды и закон Прандтля для жидкости. В предложенных ими моделях учитывалась топология донной поверхности и ее физико-механические свойства. В данной работе показано, что модели Петрова П.Г. и Петрова А.Г. является обобщением энергетической модели Бэйларда Дж.А., которая в свою очередь обобщает модель

Багнольда P.A. Предложенная модель получила дальнейшее развитие в работах Милитеева А.Н. [61], Белолипецкого В.М. [62], Паркера Г. [63][64], Дугласа Дж. [65], Потапова И.И. [66].

Цель работы. Разработка математических моделей и устойчивых вычислительных алгоритмов расчета гидродинамических и русловых процессов больших равнинных рек с песчаным или песчано-гравийным руслом, позволяющих моделировать русловые деформации в краткосрочной и среднесрочной перспективе.

Для достижения поставленных целей были рассмотрены следующие научные задачи:

1. разработка математических моделей и методик расчета русловых процессов для равнинных рек с песчаным или песчано - гравийным основанием;

2. построение устойчивых алгоритмов для расчета гидродинамических и русловых процессов больших равнинных рек с песчаным или песчано-гравийным руслом;

3. исследование влияния физико-механических свойств донных материалов на характер протекания русловых деформаций;

4. проведение численных исследований гидродинамических и русловых процессов Хабаровского водного узла.

Научная новизна работы заключается в следующем:

• На основе двумерных математических моделей с использованием метода конечных элементов разработан метод расчета гидродинамических и русловых процессов. Предложен алгоритм численного решения задачи, использующий изопараметрические конечные элементы первого-третьего порядков. Для получения устойчивых конечно-элементных схем задачи при высоких числах Яе предложена модификация БиРС метода. При решении системы нелинейных уравнений большой размерности использован модифицированные метод Ньютона и СМЫЕБ метод. Для улучшения сходимости использовалась техника неполного 1Ьи предобуславливания и адаптивных процедур релаксации.

• Путем вычислительного эксперимента исследованы закономерности руслообразования. Выявлено, что в процессе эволюции формируются две характерные области донной поверхности: береговая мелководная область дна и глубоководная часть русла. Показано, что на размер береговой мелководной области дна определяющее влияние оказывают угол внутреннего трения и гранулометрический состав донного материала.

• Исследованы основные причины разработки и спрямления протоки Пемзенской реки Амур. Показано, что объем наносов, поступающих в протоку на протяжении года, имеет знакопеременный характер, однако общий баланс расхода наносов протоки является отрицательным, достигая 19%, что и приводит к ее активной разработке.

• Выполнено исследование гидродинамических и русловых процессов, происходивших в протоке Пемзенская реки Амур при перекрытии ее переливной запрудой. Показано, что сжатие потока запрудой на этапе половинного перекрытия протоки приводит к росту максимальной средней скорости реки в 2.3 раза, и соответствующему увеличению русловых деформаций, когда размыв дна в створе запруды достигает 1.6 м в месяц. • Из результатов проведенных численных исследований следует, что после возведения переливной запруды и уменьшение в период половодий гидродинамических расходов на 10 - 15% расход донных наносов уменьшился в 2-2.5 раза только в верхнем бьефе запруды. Уменьшение же расходов наносов в нижнем бьефе составляет не более 25% , а следовательно, протока Пемзенская по-прежнему будет активно разрабатывать свое русло и берега, если не выполнить дополнительных мероприятий по их защите.

Практическая значимость.

Достоверностьполученныхрезультатов обеспечивается применением современной теории математического моделирования гидродинамических и русловых процессов, использованием хорошо отработанных методов расчета и подтверждается согласованием с экспериментальными данными и известными численными решениями.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались на V Всесоюзной школе-семинаре по механике сплошных сред (г. Кемерово, 1991 г.), на I, II, III, IV, V международных симпозиумах "Scientific and technological progress on Far East" (г. Harbin, 19911995 г.г.), на международном симпозиуме "Integral equation in Problems of Mathematical Physics" (r. Хабаровск, 1993 г.), на Всероссийской научно-практической конференции «Решетневские чтения» (г. Красноярск 1997 г.), XVI международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» ММТТ - 16 (г.Санкт - Петербург 2003 г.), XVIII международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» ММТТ -18 (г.Казань 2005 г.), на международной научной конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики» (г.Хабаровск 2003 г.), на международной конференции, посвященной 105-летию со дня рождения академика Лаврентьева М.А. (г. Новосибирск 2005 г.), на IX всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (г. Нижний - Новгород 2006 г.)

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в монографии, 22 статьях и 4 препринтах.

Личный вклад автора состоит в разработке концепции и постановке задач исследований.

Автором лично развиты математические модели и методы математического моделирования русловых процессов, разработаны и оттестированы путем сравнения с экспериментальными данными комплексы программ для ЭВМ. Теоретические и численные экспериментальные результаты, представленные в диссертации, получены автором самостоятельно, а также совместно с профессорами Булгаковым В.К. и Чехониным К.А. При этом автору принадлежит постановка проблемы в целом, решение теоретических задач и проведение численных экспериментальных исследований.

Научно-исследовательские работы в рамках

Государственной целевой программы «Интеграция» (№К0560 +К0928) проводились совместно с аспирантами и сотрудниками лаборатории «Прикладная математика и механика» при НИИ Компьютерных технологий, научным руководителем которой являлся автор.

Краткое содержание работы по главам

Во введении раскрывается актуальность и практическая значимость математического моделирования гидродинамических и русловых процессов для проектирования гидротехнических сооружений, анализа экологического состояния реки Амур. Сформулированы цель и основные задачи исследований. Дано изложение работы по главам.

В первой главе приводится физическая и математическая постановка задачи о турбулентном (Яе>104) движении равнинного (/т* < 1) речного потока со свободными границами по геометрически сложному рельефу поймы с учетом квадратичного закона сопротивления и кориолисовых сил. Обосновывается возможность использования для моделирования речного потока модели мелкой воды.

Проведен анализ особенностей учета в математической постановке проблем определения турбулентной вязкости потока, гидравлического сопротивления потока, проблемы выбора граничных условий и проблемы, связанной с изменением формы русла при изменении глубины речного потока.

Сделан обзор методов решения задачи о движении гидродинамического потока.

Обосновывается эффективность использования метода конечных элементов в постановке Галеркина для решения задачи о движении гидродинамического речного потока.

Во второй главе для модельной задачи рассмотрена, конечно-элементная методика численного решения задачи о спокойном движении речного потока в области с фиксированными границами. Рассмотрены проблемы конечно-элементной аппроксимации, устойчивости конечно-элементных схем при высоких числах Рейнольдса, решения систем плохо обусловленных нелинейных алгебраических уравнений, генерации структурированных конечно-элементных сеток.

Предложена модификация БиРС метода для построения устойчивых конечно-элементных схем, работающих при высоких числах Рейнольдса 11е~104-г106.

Предложен алгоритм решения системы нелинейных уравнений с использованием модифицированного метода Ньютона.

Рассмотрены особенности генерации регулярных конечно-элементных сеток расчетных областей применительно к моделированию речных потоков. Предложен алгоритм, основанный на макроэлементном подходе.

Проведено тестирование предлагаемых алгоритмов, показано их согласование с известными численными решениями.

Проведены численные исследования влияния перекрытия протоки Пемзенская переливной запрудой на перераспределение гидродинамических потоков в Хабаровском водном узле.

В третьей главе предложенна конечно-элементная методика расчета задачи о равнинном движении турбулентного речного потока со свободными границами в пойме со сложной топологией. В качестве метода решения задачи со свободной границей выбран метод продолжения гидродинамического решения задачи в область «сухих» берегов.

Сформулирована вариационная постановка задачи и получена ее конечно-элементная формулировка с учетом БиРС стабилизации.

Рассмотрен модифицированный алгоритм Рапперта, используемый для генерации неструктурированных адаптивных сеток, применительно к задаче движения двумерного открытого речного потока. Определен критерий адаптации конечно-элементной сетки по выбранному параметру или искомой неизвестной.

Предложен алгоритм расчета задачи о движени гидродинамического потока со свободными береговыми границами.

В четвертой главе сформулирована задача о русловых деформациях, возникающих при протекании водного потока по дну реки. При определении расхода наносов, переносимых гидродинамическим потоком, учитываются влекомые, взвешенные и лавинные наносы. При расчете влекомых наносов предлагается модифицированная модель влекомых наносов Петрова П.Г и Петрова А.Г., для которой показано, что параметр концентрации наносов в активном слое является зависимым и его можно исключить. Показано, что оригинальная модель Петровых и ее модификация являются обобщением известной модели Бэйларда Д. А. Для модифицированной модели донных наносов получена последовательность условий устойчивости донных частиц, выраженных через параметр Шильдса и уклон донной поверхности. Для модели расхода наносов получено уравнение донных деформаций, несодержащее в себе ни одного эмпирического параметра.

На основе данной модели построена математическая постановка задачи о гидродинамических и русловых процессах больших равнинных рек с песчаным или песчано-гравийным руслом, позволяющая моделировать деформации донной поверхности русла с учетом сложной топологии дна и реальных физико-механических характеристик донного материала. В задаче рассматривается турбулентное, спокойное движение речного потока со свободными береговыми границами в геометрически сложном русле, имеющем сложную, изменяющуюся во времени топологию дна, нелинейное гидравлическое сопротивление дна русла и изменяющуюся во времени толщину ледового покрытия реки.

Проведено тестирование предложенной математической модели. Путем вычислительного эксперимента исследованы закономерности формирования поперечного профиля русла реки для трапециевидного канала. Выявлено, что в процессе эволюции формируются две характерные области донной поверхности: береговая мелководная область дна и глубоководная часть русла. Показано, что на размер береговой мелководной области дна определяющее влияние оказывают угол внутреннего трения и гранулометрический состав донного материала.

В пятой главе на основе предложенной модели рассмотрено численное моделирование гидродинамических и русловых процессов реки Амур и ее проток в Хабаровском водном узле. Проводится анализ развития русловых процессов, протекающих в наиболее критичных зонах, выявленных при моделировании гидродинамических процессов. Исследовано влияние монотонного увеличения толщины льда в сжатом сечении реки на среднюю скорость речного потока. Рассмотрена эволюция русловых процессов, происходящих в истоке протоки Пемзенской (р. Амур, г.Хабаровск) на протяжении годового цикла.

Выполнен анализ причин активной разработки протоки Пемзенская. Показано, что объем наносов, поступающих в протоку в течение года, имеет знакопеременный характер, однако общий баланс расхода наносов протоки является отрицательным, что и приводит к ее активной разработке.

Проведено исследование гидродинамических и русловых процессов, происходивших в протоке Пемзенская реки Амур при перекрытии ее переливной запрудой. Получено хорошее совпадение расчетных и натурных данных. Исследовано состояние гидродинамических и русловых процессов протоки Пемзенская в паводковый период.

Показано, что и после возведения переливной запруды в период бровочных расходов речной поток по-прежнему будет активно разрабатывать русло - и берега протоки Пемзенской, если не выполнить дополнительных мероприятий по их защите.

Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

Основные результаты работы состоят в следующем.

1.Предложена математическая модель гидродинамических и русловых процессов, позволяющая моделировать деформации донной поверхности русла с учетом реальных физико-механических характеристик донного материала, влекомого, взвешенного и лавинного механизмов движения наносов. Модель описывает движение речного потока со свободными береговыми границами в геометрически сложном русле, имеющем сложную, изменяющуюся во времени топологию дна с учетом турбулентной вязкости потоков, нелинейного гидравлического сопротивления русла и изменяющейся во времени толщины ледового покрытия реки.

2. Для моделирования донных деформаций предложена модифицированная модель расчета влекомых наносов (Петрова П.Г. и Петрова А.Г.), являющаяся обобщением известной модели Бэйларда Д.А., но не содержащая в отличие от модели Бэйларда Д. А. ни одного эмпирического параметра. Принципиальное отличие предлагаемой модели русловых деформаций от известных эмпирических и полуэмпирических моделей состоит в том, что вектор расхода наносов содержит поперечную к направлению течения речного потока составляющую, зависящую от поперечной составляющей вектора уклона дна.

3.На основе двумерных математических моделей с использованием метода конечных элементов разработан метод расчета гидродинамических и русловых процессов. Предложен алгоритм численного решения задачи, использующий изопараметрические конечные элементы первого-третьего порядков. Для получения устойчивых конечно-элементных схем задачи при высоких числах Яе предложена модификация БиРб метода. При решении системы нелинейных уравнений большой размерности использованы модифицированные метод Ньютона и бМИББ метод. Для улучшения сходимости использовалась техника неполного 1Ш предобуславливания и адаптивных процедур релаксации.

4. Путем вычислительного эксперимента исследованы закономерности руслообразования. Выявлено, что в процессе эволюции формируются две характерные области донной поверхности: береговая мелководная область дна и глубоководная часть русла. Показано, что на размер береговой мелководной области дна определяющее влияние оказывают угол внутреннего трения и гранулометрический состав донного материала.

5.Разработана методика расчета гидродинамического процесса реки Амур на протяжении всего сезонного цикла с учетом изменяющейся во времени толщины ледового покрытия.

6.Проведено численное исследование гидродинамических и русловых процессов Хабаровского водного узла. Выявлены области с максимальными напряжениями на стенках русла (зоны активных русловых деформаций) до и после возведения переливной запруды на протоке Пемзенская. В областях с максимальной активностью проведено детальное изучение русловых процессов.

7.Исследованы основные причины разработки и спрямления протоки Пемзенской реки Амур. Показано, что объем наносов, поступающих в протоку на протяжении года, имеет знакопеременный характер, однако общий баланс расхода наносов протоки является отрицательным, достигая 19%, что и приводит к ее активной разработке.

8.Выполнено исследование гидродинамических и русловых процессов, происходивших в протоке Пемзенская реки Амур при перекрытии ее переливной запрудой. Показано, что сжатие потока запрудой на этапе половинного перекрытия протоки приводит к росту максимальной средней скорости реки в 2.3 раза, и соответствующему увеличению русловых деформаций, когда размыв дна в створе запруды достигает 1.6 м в месяц.

9. Из результатов проведенных численных исследований следует, что после возведения переливной запруды и уменьшение в период половодий гидродинамических расходов на 10 - 15% расход донных наносов уменьшился в 2-2.5 раза только в верхнем бьефе запруды. Уменьшение же расходов наносов в нижнем бьефе составляет не более 25% , а следовательно, протока Пемзенская по-прежнему будет активно разрабатывать свое русло и берега, если не выполнить дополнительных мероприятий по их защите.

В заключении отметим, что выполненная работа является новым крупным достижением, в развитии перспективного направления связанного с математическим моделированием задач о русловой эволюции больших равнинных рек.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе созданы основы математического моделирования гидродинамических и русловых процессов больших равнинных рек с песчаным или песчанно-гравийным основанием, заключающиеся в формулировке математических моделей, разработке методов и программ расчета речных потоков и переносимых ими наносов и возникающих при этом русловых деформаций.

Список источников диссертации и автореферата по механике, доктора физико-математических наук, Потапов, Игорь Иванович, Хабаровск

1. Васильев О.Ф. Гидродинамические аспекты проблем гидрологии и гидрогеологии: задачи и перспективы// Математические модели фильтрации и их приложения: Сб. науч.тр. - Новосибирск: Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева, 1999. с. 60 - 70.

2. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М. Наука. 1973. 420 с.

3. Нестеров М. В. Гидротехнические сооружения// М. Новое знание. 2006. 616 с.

4. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Численный расчет одномерных течений воды в системах речных русел и каналов //Динамика сплошной среды, 1978, вып.35, С. 40-60.

5. Чалов P.C. Общее и географическое русловедение. М.: Изд-во МГУ, 1997, 112 с.

6. Россинский К.И., Дебольский В.К. Речные наносы. М.: Наука, 1980, 214 с.

7. Гришанин К.В. Теория руслового процесса. М. : Транспорт, 1972, 216 с.

8. Маккавеев Н.И. Русло реки и эрозия в ее бассейне. М.: Изд-во АН СССР, 1955, 348 с.

9. Франкль Ф.И. К теории движения взвешенных наносов //ДАН СССР. 1953. Т.92. № 2.

10. Шокин Ю.И., Чубаров Л.Б., Марчук А.Г., Симонов К.В. Вычислительный эксперимент в проблеме цунами. Новосибирск: Наука, 1989.

11. И.Марчук Г. И., Саркисян A.C. Математическое моделирование циркуляции океана// М.: Наука. 1988. - 304 с.

12. Марчук Г. И. Методы расщепления. М. Наука, 1*988 -264 с.

13. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. -М.: Наука. 1989. 635 с.

14. Васильев О.Ф. Неустановившиеся течения в открытых руслах, каналах и трубопроводах// Динамика сплошной среды: Сб. науч. Тр.// АН СССР. Сиб. Отд-ние. Ин-т. Гидродинамики. 1975. Вып. 23.

15. Васильев О.Ф., Воеводин А.Ф. Математическое моделирование качества воды в системах открытых русел//Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1975, вып. 22, С. 73-88.

16. Васильев О.Ф., Лятхер В.М. Гидравлика В кн.: Механика в СССР за 50 лет. Т.2. М.: Физматгиз, 1970. с. 241-296.

17. Атавин A.A., Васильев О.Ф., Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Численные методы решения одномерных задач гидродинамики//Водн.рес.,1983, N 4, С.38-47.

18. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Численные методы расчета одномерных систем /Новосибирск, Наука, 1981, 208с.

19. Воеводин А.Ф., Овчарова A.C. Численное решение задачи о качестве воды в открытом русловом потоке//Водн. рес. 1977, N 4, С. 172-178.

20. Okumura H., Kawahara M. On the Relation between Petrov-Galerkin Finite Element Method and Bubble Element// European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering, Barcelona, Spain. 2000.

21. Okumura H., Kawahara M. A New Bubble Element Prompts Stabilized Methods for Incompressible Flows// Tokyo. Workshop of Information Technology in Hydroscience and Engineering, Japan. 2000.

22. Matsumoto J., Kawahara M. Stable Shape Identification for Fluid-Structure Interaction Problem Using MINI Element// J. of Applied Mechanics, V.3, p. 263-274, 2000.

23. Matsumoto J., Kawahara M. Incompressible Viscous Flow Analysis and Adaptive Finite Element Method Using Linear Bubble Function// J. of Applied Mechanics, V.2, p. 223-232, 1999.

24. Kawahara M., Yamada M. Estimation of Flood Waters at Nagara River With Moving Boundary Technique/International Conference on Hydro-Science and Engineering, 2002. Warsaw. C. 6.

25. Франкль Ф.И. К теории движения взвешенных наносов //Тр. физ. мат. фак-та. Киргизского гос. Ун-та. 1955. вып.З. с.103-118.

26. Франкль Ф.И. Уравнение энергии для движений жидкости со взвешенными наносами//ДАН СССР. 1955. Т. 102. № 5.

27. Маккавеев Н.И. К теории турбулентного режима и взвешивания наносов// Изв. ГГИ: 1931. Вып.2

28. Маккавеев Н.И. Русло реки и эрозия в её бассейне. М. : АН СССР. 1955. 346 с.

29. Маккавеев Н.И., Чалов P.C. Русловые процессы. М.: МГУ, 1988. - 264 с.

30. Кондратьев Н.Е. и др. Исследование русловых переформирований Казакевичевой протоки р. Амур с целью оценки вариантов мероприятий по улучшению гидрологического режима протоки. JI. ГГИ. 1969.124 с.

31. Кондратьев Н.Е., Попов И.В., Снищенко Б.Ф. Основы гидроморфологической теории руслового процесса. JI. : Гидрометеоиздат, 1982. 272 с.

32. Кондратьев Н.Е. Дискретность русловых процессов // Труды ГГИ. JI.: Гидрометеоиздат Вып. 252. 1978. С. 319.

33. Кондратьев Н.Е., Ляпин А.Н., Попов И. В., Пиньковский С.И., Федоров H.H. Якунин И.И. Русловой процесс. JI.: Гидрометеоиздат. 1959. 372 с.

34. Великанов М.А. Динамика русловых потоков. JI.: Гидрометеоиздат. 1949. 475 с.

35. Великанов М.А. Динамика русловых потоков. Т. II. Наносы и русло. М.: Гостехиздат. 1955. 323 с.

36. Великанов М.А. Русловой процесс. М.: Физматгиз, 1958, 396 с.

37. Дебольский В.К., Зайдлер Р., Массель С. и др. Динамика русловых потоков и литодинамика прибрежной зоны моря// М.: Наука, 1994. 303 с.

38. Дебольский В.К., Анцыферов С.М. К вопросу о начальной стадии деформации песчаного дна // Труды МИИТ. Вып. 288. 1968.

39. Дебольский В.К. К вопросу об устойчивости форм перемещений донных наносов // Движение наносов в открытых руслах. М.: Наука. 1970.

40. Гришанин К. В. Гидравлическое сопротивление естественных русел // С.-Пб.: Гидрометеоиздат 1992. 182 с.

41. Гришанин К.В. Устойчивость русел рек и каналов // J1. : Гидрометеоиздат, 1974. 144 с.

42. Знаменская Н.С. Грядовое движение наносов. JT.: Гидрометеоиздат, 1968, 186 с.

43. Знаменская Н.С. Донные наносы и русловые процессы. J1.: Гидрометеоиздат, 1976, 186 с.4 6.Знаменская Н.С. Гидравлическое моделирование русловых процессов. JT.: Гидрометеоиздат. 1992.240 с.

44. Знаменская Н.С. Единые закономерности формирования речных русел. СПб.: НИИХ СПбГУ. 2002. 61 с.

45. Россинский К.И., Любомирова К. С. Скачкообразное движение речных наносов // Динамика и термика речных потоков. М.: Наука. 1972. С. 50-62.

46. Россинский К.И., Любомирова К. С. Скачкообразное движение твердых частиц по дну турбулентного потока // Труды ГГИ. Вып. 162. 1969. С. 221-235.

47. Россинский К. И. Движение донных наносов // Труды ГГИ. Вып. 160. 1968. С. 102-139.

48. Караушев A.B. Проблемы динамики естественных водных потоков. Л.: Гидрометеоиздат. 1960. 392 с.

49. Караушев A.B. Теория и методы расчета речных наносов// Л.: Гидрометеоиздат 1977. 270 с.53 . Караушев А.В., Боголюбова И.В., Романовский В. В. Итоги и перспективы исследований ГГИ по проблеме речных наносов // Труды ГГИ. Вып. 297. 1983. С.4-16.

50. Караушев А.В., Романовский В. В. Научные и практические аспекты исследования стока наносов // Тезисы докладов V Всесоюзного гидролог, съезда. Секция русловых процессов и наносов. JI.: Гидрометеоиздат. 1986. С. 12-14.

51. Bagnold, R.A., An approach to the sediment transport problem from general physics. Professional paper 422-1, 1966. US Geological Survey.

52. Bailard, J.A., An energetics total load sediment transport model for a plane sloping beach. Journal of Geophysical Research, V.86, 1981. p. 10938-10954.

53. Bowen, A.J., Simple models of nearshore sedimentation: Beach profiles and longshore bars. In Coastline of Canada, Halifax. Geological Survey of Canada. 1980. p.1-11.

54. Петров П. Г. Движение донных наносов под воздействием потока жидкости// МЖГ 1988 № 2. С. 182 185.

55. Петров П.Г. Движение сыпучей среды в придонном слое жидкости // ПМТФ 1991 № 5. С. 72-75.

56. Петров А.Г., Петров П.Г. Вектор расхода наносов в турбулентном потоке над размываемым дном// ПМТФ 2000. Т.41. № 2. С. 102 112.

57. Милитеев А.Н., Базаров Д.Р. Двумерные в плане уравнения для размываемых русел: Сообщение по прикладной математике II М.: ВЦ РАН, 1997. - 17 с.

58. Белолипецкий В.М., Генова С.Н. Вычислительный алгоритм для определения динамики взвешенных идонных наносов в речном русле. Вычислительные технологии. Т.9. № 2. 2004.

59. Parker G. Bedload at low Shields stress on arbitrarily sloping beds: alternative entrainment Formulation //J. Water Resources Research V. 51.

60. Jasim I., Parker G., Peter H. Experiments on incipient canalizations of submarine fans//J. of Hydraulic research V.40. 2002. № 1. p. 21-32.

61. Douglas J. Jr., Mohrig D. A unified model for sub aqueous bed form dynamics// Water resources research, V. 41.

62. Потапов И.И. Математическая модель задачи о русловых деформациях для равнинных аллювиальных рек// препр. № 86. Хабаровск: ВЦ ДВО РАН 2005. 16 с.

63. Картвелишвили Н.А. Потоки- в недеформируемых руслах // JI. : Гидрометеоиздат 1973. 279 с.

64. Вольцингер Н.Е., Пясковский Р.В. Теория мелкой воды. Океанологические задачи и численные методы. JI. : Гидрометеоиздат, 1977. 208 с.

65. Пясковский Р.В. Наводнения. Математическая теория и предсказания /Пясковский Р.В., Померанец K.C.-JI.: Гидрометеоиздат, 1982.-17 6 с.

66. Вольцингер И.Е., Пясковский Р.В. Основные океанологические задачи теории мелкой воды. JI. Гидрометеоиздат, 1968, 299 с.

67. Андросов А.А., Вольцингер Н.Е. Проливы Мирового океана. Общий подход к моделированию. С.-Петербург, Наука, 2005. 187 с.

68. Гришанин К.В. Динамика русловых потоков. J1. : Гидрометеоиздат, 1969. 244 с.

69. Великанов M.А. (1949) Динамика русловых потоков. JI. : Гидрометеоиздат. 1949. 475 с.

70. Великанов М.А. (1955) Динамика русловых потоков. Т. II. Наносы и русло. М.: Гостехиздат. 1955. 323 с.

71. Ибрагимов М.Х., Субботин В.И., Бобков В.П. и др. Структура турбулентного потока и механизм теплообмена в канале. М.: Атомиздат, 1973. 342 с.

72. Дебольский В.К., Долгополова К.Н., Замай О.А., Орлов А.С. Статистическое описание турбулентного движения в реках. Водные ресурсы. 1986. №4. с.12-21.

73. Smagorinsky J. General circulation experiments with the primitive equation, I. The basic experiment// Monthly Weather Review. 1963. V 91. № 2. p. 99-164.

74. Rodi W. Hydraulic computations with the k-e turbulence model. In Smith P.E. ed., Appling Research to hydraulic practice, Proceedings of the Conference of the Hydraulic Division of the American Society of Civil Engineers, Jackson, Miss., 1982. p 44-54.

75. Роди В. Модели турбулентности окружающей среды/Методы расчета турбулентных течений. М. : Мир. 1984. с. 227-323.

76. Лойцанский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1977. 904 с.

77. User's manual for FESWMS FST2DH// U.S. Department of Transportation 2002.

78. Бутаков A.H. Гидравлика развития мезоформ речного русла М.: РУДН, 1999. 215 с.

79. Барышников Н.Б. Антропогенное воздействие на русловые процессы. Л.: Изд-во ЛГМИ, 1990.

80. Wu W., Rodi W., Wenka Th. 3D numerical modeling of flow and sediment transport in open channels. J. of Hydr. Engineering , 2000. Vol.126, No. 1, p. 4-15.

81. Эббот М.Б. Гидравлика открытого потока. M. Энергоатомиздат, 1983. 272 с.

82. Марчук Г.И., Каган Б.А. Океанические приливы. JI. : Гидрометеоиздат, 1977. 296 с.

83. Самарский А.А. Теория разностных схем. М., Наука, 1989. 616 с.

84. Самарский А.А., Гулин А. В. Численные методы. М. Наука. 1989. 432 с.

85. Agoshkov V.I., Saleri F. Recent Developments in Numerical Simulation of Shallow Water Equations. Ill

86. Boundary Conditions and Finite Element Approximation in River Flow Calculations// Математическое моделирование. 1996. T. 8. № 9. С. 3

87. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир,1988.

88. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей// М.: Мир, 1991. Т.1.-2.

89. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидродинамика и теплообмен. Т.2 -М. : Мир', 1990. 392 с.

90. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат. 1984. - 152 с.

91. Федотова З.И. О применении инвариантной разностной схемы к расчету колебаний жидкости в бассейне// Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск:ВЦ СО АН СССР, ИТПМ СО АН СССР. 1978. Т. 9. № 3. С. 137 146.

92. Fedotova Z.I. The Simple numerical method for a long wave on a beach // XlX-th Biennial Symposium on Advanced Problems and Methods in Fluid Mechanics. Abstracts on papers, Warszawa, 1989. P. 200 - 201.

93. Uchiyama, Y., Dec., 2004: Rep. Port and Airport Res. Inst., Yokosuka, Japan, pp.3-21.

94. Федотова З.И. Чубаров Л.Б. Численное моделирование наката цунами // Special Issue Proceedings of International Conference RDAMM-2001 2001. У.бю № 2. с. 380 396.

95. Лятхер B.M., Милитеев A.H., Школьников С.Я. Расчет наката волн цунами на берега // В кн. Изучение цунами в открытом океане. М.: Наука. 1978, с.48-55.

96. Вольцингер Н.Е., Клеванный К.А., Пелиновский Е.Н. Длинноволновая динамика прибрежной зоны. JI.: Гидрометеоиздат, 1989. 272 с.

97. Yan M., Kahawara R. Modeling the fate of pollutant in Overland flow// Water Resour. 2000. V. 34 № 13 p. 3335-3344.

98. Barakhnin V.B., Borodkin N.V., Karamyshev V.B. TVD scheme on a nostationary adaptive grid// Rus.J. of Numer. Anal. And Math Modelling. 1999. Vol. 14. N. 4. P. 298 309.

99. Louaker M., Nachich L. TDV scheme for the shallow water equations// J. Hudr. Engng. 1998. V. 124(6). P. 605-614.

100. Юб.Кивва С.Jl., Железняк М.И. Численное моделирование двумерного открытого потока с подвижными границами// ИПММ и с НАН Украины, Киев. 2001. 8 с.

101. Маханов С.С., Семенов А.Ю. Новая методика расчета поверхностного стока// Метеорология и гидрология.1995. № 2. С. 72-82.

102. Маханов С.С., Семенов А.Ю. Двумерный неотрицательный алгоритм расчета течений жидкости в открытых руслах// Ж. вычисл. матем. и матем. физ.1996. Т. 36, № 4. С. 97 - 105.

103. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики// Новосибирск. Наука, 1967.

104. Темам Р. Уравнения Навье Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир. 1981. 408 с.

105. Susanne С.В., L. Ridgway S. The mathematical theory of finite element methods// New York: Springer, 1996. 297 p.

106. Stefan Turek. Multilevel Pressure Schur Complement techniques for the numerical solution of the incompressible NavierStokes equations // Univ. Heidelberg, 1998.

107. Роуч П.Д. Вычислительная гидродинамика. М. : Мир, 1980.

108. Girault V., Raviart P.A. Finite Element Method for the Navier Stokes Equations: The Theory and Algorithms// Springer Verlag, New York, 1986.

109. Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid Finite Element Method// Springer Verlag, New York, 1991.

110. Zienkiewicz O.C. Taylor R.L. The Finite Element Method/New York: Mc Graw-Hill, 1989. V. 1; 1991 V.2.

111. Иваненко С.А., Коряев П. П. Динамика вод и распространение загрязняющих веществ в водохранилище// Математическое моделирование. 2002. Т.14. № 6 С. 105 118.

112. Эдельштейн К.К., Иваненко С.А., Патрик П. А. Пространственная структура ветровых течений вдолинном водохранилище// Метеорология и гидрология.2001. № 7. С.89-100.

113. Иваненко С.А. Вариационные методы построения адаптивных сеток // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. Т.43. № 6. с. 830-844.

114. Иваненко С.А. Адаптивно-гармонические сетки. М. ВЦ. РАН. 1997.

115. Потапов И.И., Булгаков В.К. Метод конечных элементов в задачах гидродинамики // Хабаровск: Изд-во ХГТУ, 1999. 190 с.

116. Kobayashi J. Optimal control of pollutant concentration in shallow water flow// Annual report.2002. Kawahara lab.

117. Minoru 0. An Analysis of Shallow Water Flow Using Multi-Level Model // Ann.report. 2002. Kawahara lab.

118. Matsumoto J., ALE Formulation for Shallow Water Flow Using Fixed Domain, Presentation of Kawahara Lab, 2000. V.l.

119. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.Наука. 1979. 391 с.

120. Потапов И.И., Булгаков В. К. Противопоточные конечно-элементные схемы высокого порядка для задачи теплопереноса// ЖВМ и МФ т. 43, № 9. 2003. С. 1424 1429.

121. Потапов И.И., Булгаков В.К. Конечно-элементные схемы высокого порядка для задачи Навье-Стокса. Модифицированный SUPG метод // ММТТ-16: Сб. трудов XVI Международ. Науч. Конф. В 10-ти т. Т.1./СП6. СПГТУ 2003 С. 129-132.

122. Turek S. Multilevel Pressure Schur Complement techniques for the numerical solution of the incompressible NavierStokes equations // Univ. Heidelberg, 1998.

123. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М. Наука. 1981. 416 с.

124. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач// М.: Мир. 1980. 512 с.

125. Raviart P.A., Girault V. Finite Element Method for the Navier Stokes Equations: The Theory and Algorithms// Springer - Verlag, New York, 1986.

126. Douglas Jr., Santos Е., and X. Ye. Nonconforming Galerkin methods based on quadrilateral elements for second order elliptic problems. Mathematical

127. Modeling and Numerical .Analysis, V.33 1999. P.747-770.

128. Потапов И.И., Булгаков B.K. Методики и алгоритмы расчета гидродинамических процессов равнинных рек методом конечных элементов// Препринт № 77. Хабаровск: ВЦ ДВО РАН/ 4.1: 2004. 47 с.

129. Saad Y. Iterative Methods for sparse linear systems// PWS, New Jersey, 1996.

130. Saad Y. Block LU Preconditioners for Symmetric and Nonsymmetric Saddle Point Problems// Technical Report UMSI-97-118, Minnesota Supercomputing Institute, Minneapolis, MN, 1998.

131. Вержбицкий B.M. Основы численных методов. M. : Высш. Шк., 2002. 840 с.

132. А. Джордж, Дж. Лю. Численное решение больших разреженных систем уравнений// М., Мир. 1984. 333 с.

133. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. Пер. с англ. М., Мир. 1988г. 410 с.14 6.Дж. Ортега, В. Рейнболдт. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. Мир, Москва, 1975. 558 с.

134. А. Джордж, Дж. Лю. Численное решение больших разреженных систем уравнений// М., Мир. 1984. 333 с.

135. Жармен-Лакур П., Жорж П.Л., Пистр Ф., Безье П. Математика и САПР. М. : Мир. В 2-х кн. Кн.2. 1989. 264 с.

136. Круглякова Л.В., Неледова А.В., Тишкин В.Ф., Филатов А.Ю. Неструктурированные адаптивные сетки для задач математической физики// Математическое моделирование. 1998. Т.10. № 3. с. 93-115.

137. Потапов И.И. Использование неполиномиального базиса для псевдодифференциальной генерации конечно элементных сеток// Сборник научных трудов НИИ Компьютерных технологий/ Математическое моделирование/ Из-во ХГТУ 2000. Вып. 10.

138. Thompson J.G. Numerical grid generation. New York: Elsever Sci. Pub. Co., 1982. 468 p.

139. Ruo Li, Tao Tang, Pingwen Z. Moving Mesh Methods in Multiple Dimensions Based on Harmonic Maps// J. of Computational Physics V. 170, 2001 p. 562-588.

140. Liao G., Liu F., de la Репа C., Peng D., Osher S. Level-set-based deformation methods for adaptive grids// J. Comput. Phys. 2000. V.159, p. 103-122

141. Babuska I. The finite element method with lagrangian multipliers. Numeric Math., 1973.

142. Karniadakis G.E., Sherwin S.J., Spectral/hp Element Methods for Computational Fluid Dynamics// Oxford University Press. 1999. p. 404

143. Иваненко С.А. Адаптивно-гармонические сетки. M. : ВЦ РАН, 1997.

144. Zegeling P.A., Borsboom М., Van Kester J.A.Th.M., "Adaptive Moving-Grid Solutions of Shallow-Water

145. Transport Models with Steep Vertical Gradients", published in the Proceedings of the Xllth International Conference on Computational Methods in Water Resources, The Chersonese, Crete, Greece, June 1998. p. 15-19

146. Горшков А.Г., Колесников И.Ю. Конечные элементы на основе полного семейства неполиномиальных определяющих функций формы для произвольного числа граничных узлов//Механика твердого тела, 1998. № 1, с. 116-129

147. Горшков А.Г., Колесников И.Ю. Формирование определяющих базисных функций и функций формы для пластинчатого блока с произвольным числом граничных узлов// Изв. АН СССР РАН, МТТ. 1993. № 4. С 130-143.

148. Зенкевич 0., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986. 318 с.

149. Lukacova-Medvidova М. Numerical modeling of shallow flows including bottom topography and friction effects// Proceedings Of Algoritmy 2005. P. 73 82.

150. Mourad Heniche, Yves Secretan, Paul Boudreau, Michel Leclerc. Dynamic tracking of flowboundaries in rivers with respect to discharge// J. Of Hydraulic Research, V. 40, № 5. 2002, p. 589 602.

151. Heniche M., Secretan Y. and Leclerc M. Efficient ILU preconditioning and inexact-Newton-GMRES to solve the 2D steady shallow water equations. Communications in Numerical Methods in Engineering, 2001. № 17, p. 69-75.

152. Rodi, W. Turbulence Models and their Application in Hydraulics. State-of-the-Art Paper. IAHR 1980.

153. Ghanem A. H., Steffler P.M., Hicks F.E., Katopodis C. Two dimensional finite element flow modeling of physical fish habitat// Regulated Rivers: Research and Management, 1996. V. 12, p. 185-200.

154. Потапов И.И., Булгаков В.К. Методики и алгоритмы расчета гидродинамических процессов равнинных рек методом конечных элементов // Препринт № 82. Хабаровск: ВЦ ДВО РАН/ 4.II: 2004. 43 с.

155. Григорян С.С. О математическом моделировании течений в крупномасштабных мелководных акваториях// ДАН, 1996. Т. 348, № 5. с. 615 616.

156. Manoj Khanna, Hector М. Malano, A.M.ASCE, John D. Fenton, Hugh Turral Two-Dimensional Simulation Model for Contour Basin Layouts in Southeast Australia. I: Rectangular Basins// J. of irrigation and drainage engineering ASCE 2003. p. 305 316.

157. Chessa J., Beletschko T. An extended finite element method for two-phase fluids// Transaction of the ASME V/ 70, 2003. p. 10 17.

158. Потапов И.И., Булгаков В.К. Моделирование распространения сточных вод в реке Амур в окрестности города Хабаровска // Фундаментальные и прикладные вопросы механики. Сб. трудов Международ. Науч. Конф. В 2 х т. Т.1/ Хабаровск. ХГТУ 2003. С. 50-62.

159. Потапов И.И., Булгаков В.К. Применение метода конечных элементов для моделирования гидродинамических процессов речного потока // ММТТ-18: Сб. трудов XVIII Международ. Науч. Конф. В 10-ти т. Т.1./Казань. Казанский гос.университет 2005 С. 17 - 19.

160. Потапов И.И., Булгаков В.К. Моделирование двумерного речного потока методом конечных элементов // Высокие технологии-2004 Международ. научно-технический форум. В 4-х т. Т. 2. / Ижевск 2004 . С.97-103.

161. Ruppert J. A Delaunay Refinement Algorithm for Quality 2-Dimentional Mesh Generation // NASA Ames Research Center, Submission to Journal of Algorithms, 1994.

162. Чалов P.C., Лю Шугуан, Алексеевский Н.И. Сток наносов и русловые процессы на больших реках России и Китая. М.: МГУ. 2000. 212 с.

163. Чалов P.C., Алабян A.M., Иванов В.В., Лодина Р.В., Панин A.B. Морфодинамика русел равнинных рек. М.: Геос, 1998, 288 с.

164. Алексеевский Н.И., Чалов Р.С. Движение наносов и русловые процессы. М.: Изд-во МГУ, 1997, 172 с.

165. Методические основы оценки и регламентирования антропогенного влияния на качество поверхностных вод /по ред. Караушева А.В. //, JI., Гидрометеоиздат, 1987, 28б с.

166. Сток наносов, его изучение и географическое распределение / под ред. Караушева А.В.// JI.: Гидрометеоиздат, 1977, 240 с.

167. Мирцхулава Ц.Е. Основы физики и механики эрозии русла. J1.: Гидрометеоиздат, 1988, 304 с.

168. Барышников Н.В. Морфология, гидрология и гидравлика пойм. JI.: Гидрометеоиздат, 1984, 280 с.

169. Троицкий В.П., Косарев С.Г. Деформируемые каналы в несвязных грунтах с неизменной пропускной способностью //Труды ЛПИ. № 424. 1988.

170. Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977.

171. Wang S.Y. Experimental study on scour rate and river bed inertia// J. of Hydraulic Research. IAI IR. 1999. Vol. 37. No. 1. p. 17-37.

172. Weiming Wu. CCHE2D Sediment Transport Model// Technical report. University of Mississippi University. № NCCHE-TR-2001-3. 2001.

173. Кондратьев Н.Е. Русловые процессы рек и деформации берегов водохранилищ. Избранные труды. С.Пб. 1999.

174. Newton С. Т. An experimental investigation of bed degradation in an open channel. Transcript, Boston Society of Civil Engineers, 1951, p.28-60

175. Vikas Singh. Two dimensional sediment transport model using parallel computers// Banaras Hindu University, India, 2002 May 2005 p. 118.

176. Soni J. P. Aggradation in streams due to increase in sediment load// Ph. D. theis, University of Roorkee, Roorkee 1975.

177. Soni J. P. Laboratory study of aggradation in alluvial channel// Journal of Hydrology, V.49, 1981, p. 87-106.

178. Розовский И.JT. Движение воды на повороте открытого русла. Киев. Изд-во АН УССР 1957. 187 с.

179. Шарп Дж. Гидравлическое моделирование. М. Мир. 1984. 280 с.

180. Никора В.И. Русловые процессы и гидравлика малых рек. Кишинев. Из-во «Штиинца» 1992. 144 с.

181. Николаев В.Ф., Браславская Е.Н., Трофимов А.Г. и др. Инженерная защита левого берега р. Амур в районе г. Хабаровска/С.Пб. Ленгипроречтранс.Т.З. 2001. с.4 9

182. Сншценко Б. Носков В. Исследование русловых переформирований Казакевичевой протоки р.Амур с целью оценки вариантов мероприятий по улучшению гидрологического режима протоки// Л.: Гидрологический ин.-т. НТО № РУС-2/38 1969.

183. Ice Engineering. Method to Estimate River Ice Thickness Based on Meteorological Data // ERDC/CRREL Technical Note 04-3 June 2004 p.6

184. Ice Engineering. Ice Cover Effects on Scour in Narrow Rivers // ERDC/CRREL Technical Note 05-3 April 2005 p.6

185. Мордовии A.M. Годовой и сезонный сток рек бассейна Амура. Препринт. Хабаровск: ХНЦ ДВО РАН, 1996, 72 с.

186. Динамические процессы береговой зоны моря. (Под ред. Р.Д. Косьяна, И.С. Подымова, Н.В. Пыхова). -М.: Научный мир, 2003. 320 с.

187. Bagnold R.A. Mechanics of marine sedimentation. The Sea. 1963. V.3. N.Y.: J. Wiley. P.507-528.

188. Meijer-Peter E., Muller R. Formulae for bedload transport. Proc. 2nd Cong. Int. Assoc. Hydraul. Res., Stockholm. 1948.

189. Bagnold R.A. The ow of cohesionless grains in fluids. Phil. Trans. R. Soc. London A249, 235-297. 1956.

190. Bagnold R.A. Beach and nearshore processes. Part I, Mechanics of marine sedimentation// Wiley Interscience, New York, 1963. vol. 3, pp. 507-528.

191. Einstein H.A. The bedload function for sediment transportation in open channel// Ows. Soil Cons. Serv. U.S. Dept. Agric. Tech. Bull. 1950. p. 1026.

192. Yalin M.S. An expression for bedload transportation// J. Hydraul. Div. ASCE 89, 1963. pp. 221-250.

193. Yalin M.S. Mechanics of sediment transport// Pergamon Press. 1977.

194. Soulsby R. Bettess (eds.) Sand transport in rivers, estuaries and the sea// Balkema, Rotterdam. 1991.

195. De Swart H.E. Physics Of Coastal Systems// http://www.phys.uu.nl/deswart/education/phys coasts, 2006. 89 c.

196. Алексеевский Н.И. Гидрофизика M.: «Академия» 2006. 176 с.

197. Потапов И.И., Чехонин К.А., Булгаков В. К., Бакланов А.Н. Анализ трехмерного НДС РДТТ на стадии отверждения // Математическое моделирование. Изд-во ХГТУ, 1997. Вып. 3. С. 181 192.

198. Потапов И.И., Булгаков В. К. Сравнительный анализ конечно-элементных аппроксимаций второго порядкадля задачи Стокса// ЖВМ и МФ т. 42, № 11. 2002. с. 1756 1760.

199. Barrett J.W., Morton K.W. Optimal finite element approximation for diffusion-convection problems. // Conf. On Math. Of Finite Elements Trends and Appl. Brunei Univ., May. 1981.

200. Potapov I.I., Bulgakov V.K., Chekhonin K.A. Optimal Coordination Coefficients Selection in Upwind Finite-element Schemes // The Fourth International Symposium on Advances in science and technology in the Far East. February 10-15. 1995. Harbin. China.

201. Griffiths D.F., Mitchell A.R. Finite elements for convection dominated flows // Ed. Hughes T.J. AMD 34, New York: 1979. P. 91-104.

202. Baiocchi C., Brezzi F., Franca L.P. Virtual bublees and Galerkin-Least-squares method // Сотр. Methods Appl. Mech. Eng. 1993. V.105. P. 125-141.

203. Hughes T.J.R., Franca L.P., Hulbert G.M. A new finite element formulation for computational fluid dynamics: VIII. The Galerkin-least-squares method for advective-diffusive equations // Сотр. Methods Appl. Mech. Eng. 1989. V.73. P. 173-189.

204. Brezzi F., Bristeau M.O., Franca L.P, Mallet M., Roge G. A relationship between stabilized finite element methods and the Galerkin method with bubble functions// Сотр. Methods Appl. Mech. Eng. 1992. 4.96. P. 117-129.

205. Багаев Б.М., Карепов Е.Д., Шайдуров В.В. Сеточные методы решения задач с пограничным слоем: В 5 ч. Новосибирск: Наука, 2001. Ч. 2. 224 с.

206. Brezzi F., Marini D., Russo A. Application of the Pseudo-Free Bubbles to the Stabilization of Convection-Diffusion Problems // Сотр. Methods Appl. Mech. Eng. 1998. V. 166. P. 51-64.

207. Brooks A.N., Hughes T.J.R. Streamline upwind Petrov Galerkin formulations for convection dominated flows with particular emphasis on the incompressible Navier-Stockes equations // Сотр. Methods Appl. Mech. Eng. 1982. V.32. P 199-259.

208. Franca L.P., Frey S.L., Hughes T.J.R. Stabilized finite element methods: I. Application to the advective-diffusive model // Сотр. Methods Appl. Mech. Eng. 1992. V. 95. P. 253-276.

209. Стренг Г. , Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.