Нелинейные задачи массопереноса в каналах и бассейнах различной геометрической формы, с учетом кориолисовой силы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Ser»-"

На правах рукописи

Васильев Денис Юрьевич

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАД АЧИ МАССОПЕРЕНОСА В КАНАЛАХ И БАССЕЙНАХ РАЗЛИЧНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ, С УЧЕТОМ КОРИОЛИСОВОЙ СИЛЫ

Специальность 01.02 05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

0031605ТТ

Уфа-2007

003160577

Работа выполнена на кафедре инженерной физики Башкирского государственного университета.

Научный руководитель. доктор физико-математических наук,

профессор

Александр Николаевич Чувыров

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Семен Израилевич Спивак

кандидат физико-математических наук, доцент

Андрей Сергеевич Топольников

Ведущая организация:

Институт механики УНЦ РАН

Защита состоится «.М> ¿гпг^2007 года в ч. на заседании диссертационного совета Д 21201309 в Башкирском Государственном Университете по адресу 450074, г Уфа, ул. Фрунзе, 32, физический факультет, ауд. 216 физико-математического корпуса

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Башкирского государственного университета.

Отзывы на автореферат, заверенные печатью, просим направлять по адресу 450074, г. Уфа, ул. Фрунзе, 32, Ученому секретарю совета факс (347) 225-37-59

Автореферат разослан 2007г.

Ученый секретарь Диссертационного совеп профессор

Ковалёва Л.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Несмотря на свою многовековую историю, гидродинамика была и остается одной из самых интенсивно развивающихся областей науки и техники Такая ситуация связана, прежде всего, со сложностью описания процессов массопереноса в конденсированной среде и отсутствием универсальных математических уравнений и рецептов их решения. По этой причине, до сих пор остается актуальным подход, связанный с выделением наиболее важных физических факторов, которые в тот или иной момент времени или при тех или иных особенностях конкретной задачи, управляют процессами массопереноса. Выделение этих факторов и абстрагирование от менее существенных факторов для данного гидродинамического процесса, является важным моментом при построении математической модели реального физического процесса. Диссертационная работа посвящена моделированию во вращающейся системе координат течения невязкой, несжимаемой жидкости (воды) в каналах и бассейнах с различной формой, но постоянной по всей длине исследуемых каналов и бассейнов площадью живого сечения. При малых числах Россби из всех инерционных сил наиболее существенной становится сила Кориолиса, а при больших числах Рейнольдса вязкостью жидкости можно пренебречь В наиболее важных для народного хозяйства широких реках и каналах с достаточно медленным течением на большом протяжении, являющихся пригодными для судоходства, эти два фактора являются определяющими Несмотря на очень интенсивное использование таких водоемов, моделирование гидродинамических процессов на достаточно протяженных участках, когда эффект вращения планеты становится доминирующим из всех сил инерционной природы, подробно не исследовалось в литературе. Влияние этих сил на течение воды в каналах и бассейнах с различной формой поперечного сечения также не было предметом интенсивных научных дискуссий. Необходимость решения этих задач связана как с соображениями развития самой гидродинамики, так и с конкретными технологическими задачами. Не менее важной технической задачей является изучение движения в таких каналах и бассейнах наносов в открытых потоках,

именуемых мутностью или пульпой (твёрдые частицы грунта, переносимые водными потоками)

Целью диссертационной работы являлось моделирование течения невязкой жидкости в каналах, кавернах и бассейнах и включало в себя исследование влияния кориолисовой силы на протекание процессов массопереноса, изучение сноса взвеси в движущейся жидкости, а также изучение зависимостей расходных характеристик потока от параметров, характеризующих динамику волновых процессов в каверне. Моделирование этих процессов предполагало выбор системы дифференциальных уравнений гидродинамики и теплотехники и их решение путем численного интегрирования с применением сеточного метода на основе прикладного пакета программ МаШСаё.

Методы исследования. При исследовании проблем данной работы применялись численные методы решения дифференциальных уравнений, описывающие течения жидкости (воды) в каналах и кавернах, используя пакет прикладных программ МаШСаё

Достоверность и обоснованность результатов, полученных в диссертационной работе, обеспечивается использованием проверенных методов математического моделирования и последующим сравнением, когда они доступны, с экспериментальными данными Обеспечение моделей и наиболее точных программных и технических средств, производилось в сотрудничестве с сотрудниками факультета океанографии и гидрологии Орегонского государственного университета (США, г Корвалис). Научная новизна:

1 Получены математические модели течения невязкой жидкости в каналах и кавернах различного геометрического сечения с учетом эффекта вращения планеты.

2 Найдены численные решения уравнений гидродинамики во вращающейся системе координат для течения невязкой жидкости в каналах и бассейнах с различной формой поперечного сечения.

3 Реализована программа и получены численные решения для моделирования гидродинамических процессов с учетом коэффициента затухания в каналах и бассейнах с постоянным сечением вдоль длины канала или бассейна

4 Произведен подсчет сноса взвеси в движущейся жидкости в каналах и бассейнах, с учетом кориолисовой силы по основным характеристикам (параметрам) желобов бассейнов и русел каналов.

Научное и практическое значение работы. Результаты диссертационной работы могут быть использованы для моделирования гидродинамических процессов, происходящих в невязких жидкостях при их протекании в каналах и реках различной формы поперечного сечения с учетом эффекта вращения планеты Результаты работы могут быть внедрены в системе Росгидромета, научно-исследовательских институтах соответствующего профиля, проектных институтах, технических факультетах образовательных учреждениях, а также могут быть полезными при составлении учебных пособий на кафедрах механического профиля образовательных учреждений. На защиту выносятся следующие положения и утверждения:

1 Разработанный численный метод решения уравнений волнового движения в кавернах и бассейнах с разным профилем сечения, включающий в себя способ описания этого профиля рядами степенных функций.

2 Результаты математического моделирования исследования гидродинамических процессов в каналах и бассейнах с поперечным сечением различной геометрической формы

3 Результаты исследования о преимущественном выборе формы поперечного сечения каналов и бассейнов для конкретных гидротехнических сооружений.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах Института механики РАН, IV Региональной научно-методической конференции «ЭВТ в обучении и моделировании», Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2004»; Десятой Всероссийской Научной Конференции Студентов-Физиков и молодых ученых-2005; Международной научно-практической конференции

«Нефтегазопереработка и нефтехимия-2007», Всероссийской научно-практической конференции «Гуманитарные и естественнонаучные аспекты современной экологии-2006», Российской научной конференции «Механика и химическая физика сплошных сред-2007»

Публикации и апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах, список которых приведен в конце автореферата

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, выводов и приложения Текст изложен на 125 страницах, содержит 101 иллюстраций Список цитируемой литературы содержит 150 наименований

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цель работы, научная новизна и практическая ценность. Приведены основные положения, выносимые на защиту

Глава 1. Течение невязкой жидкости в каналах и бассейнах

Первая глава диссертационной работы посвящена анализу работ, имеющих дело с исследованием задач массопереноса в различных водоемах. Ввиду сложности изучаемых явлений, все эти работы можно было бы разделить на две большие группы К первой группе относятся исследования в области гидравлики, связанные с собственно движением жидкостей в каналах и бассейнах, а ко второй группе работы по исследованию влияния теплообмена и конвекции на характер волновых процессов в каналах и бассейнах В свою очередь первую группу работ можно разбить на несколько направлений, тесно связанных между собой. К одному из таких направлений относится изучение движения жидкостей в открытых каналах и реках, представленных в работах Чэнсона, Бриджа Основной предмет исследования в этих работах - открытые каналы и бассейны и возбуждение и прохождение в них гравитационных волн и другие типы возмущения движущейся жидкости Волны в жидкости по своему происхождению (генезису) делятся на три класса 1) гравитационные и приливные - колебания жидкости на свободной поверхности под действием

силы тяжести Земли и притяжения со стороны Солнца и Луны, 2) ветровые -вызванные разностью давлений на поверхности жидкости и 3) геотектонические - возникающие из-за подвижек земной коры Юнг и Эри были одни из первых, которые ввели классификацию гравитационных и приливных волн, выделив в них понятие длинных и коротких волн, а также создали первые теории течения жидкости по каналам. Дальнейшее развитие теории получено в трудах Лэмба, Проудмана, Джеффриса и Голдштейна, которые создали динамическую теорию приливных течений, которая затем нашла применение в теории течения жидкости в каналах усилиями других ученых Разработка теории плавно изменяющегося неравномерного движения жидкости в открытых каналах и руслах со свободной поверхностью, с учетом влияния поворотной силы Земли, была связана с работами таких ученых, как Кориолис и Сен-Венан Одними из последних работ в этом направлении были исследования Иванова и Калашника, которые рассматривали задачи о распространении свободных приливных волн в плоских бассейнах постоянной глубины, а также изучали эволюцию мод во времени во вращающемся эллиптическом бассейне.

Рассмотрим вращающуюся планету, с угловой скоростью со направленную вверх (рис 1) Для жидкости текущей в каналах или в различных бассейнах с течением существуют две системы координат глобальная (планетарная) X, У, 2 у которой ось X или У направлены вдоль касательной по направлению вращения и ось У направлена перпендикулярно оси вращения по касательной к поверхности Земли перпендикулярно вращению и вертикальная ось как перпендикуляр к данной точке Другая, локальная система координат, описывает процессы движения жидкости в исследуемых каналах и бассейнах в плоском приближении При этом если скорость движения жидкости направлена под углом а к оси ОХ, то локальные оси ох, оу выбранные вдоль и перпендикулярно каналу (бассейна), ох, оу перпендикулярны ОХ || ог.

Рис 1 Плоское приближение для движения жидкости в каналах и бассейнах, где к>о - угловая скорость, ()> - широта, г - радиус, £ - центробежная сила, Рк - сила Кориолиса XYZ оси координат глобальной системы

Определим силу Кориолиса в глобальной (планетарной) системе координат, в которой она влияет на движение жидкости После перехода будут определены силы, действующие на жидкость в системе координат хоу.

Рассматривая движение жидкости в канале (бассейне) определим силу Кориолиса, действующую в локальной системе на жидкость, на элемент первый жидкость движется со скоростью V и имеющая компоненты скорости Ух и Уу Определим силу Кориолиса как

Представляя векторное произведение (1 2 1) в виде определителей, будем

иметь

(1)

где V— вектор скорости, со — угловая скорость.

Расписывая V и со в глобальной системе получаем

(2)

г } к

К>Р - 2 УхУуУ7 = 2Уго)1г - 2Уха>2]. О 0о)2

Считая, что Уг «Ух ,Уу, тогда согласно рис.1 направления силы, действующие вдоль ОХ, ОУ будут равны

Fx =2VYÚ)Z, Fy - -2vx<Dz

При переходе из глобальной системы координат в локальную, имеем Fx = 2vyú)2 cosa + 2ui©2 sma, Fr = 2 иха>г cosa-2vycoz sin«

При преобразовании скоростей, учитывалось, что coz =a>z и Оу = иу cos а ~их sm а, их = их cos a~vy sin а В локальной системе координат силы имеют следующий вид Fx = 2со, cosa(i>j, cos cc-vx sm a) - 2vxa>. sin a(vx cos a~uy sin a) = uy cos2 a -ur cos asma — ux cos a sin a +uy sin2 a = vy -ux sin 2a Вьщеляя ux t)y, вычисления имеют вид

dt dt

du 8vx • о •

—- =—- + u, -u„sin2asm® 8t dt x y Y

+v — ux sm 2a sin (p,

^ X

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Рис 2 Глобальная (Земная) система координат ХЧЪ, локальная система координат (местная) хуг Скорость жидкости и (и*, г>у) в хуг, Уч, \'у в ХУТ

Свободная поверхность жидкости £ (рис 3), находящейся в равновесии в поле силы тяжести - плоская Если в результате какого-либо внешнего воздействия поверхность жидкости в каком-либо месте выводится из ее равновесного положения, возникает движение, распространяющееся вдоль всей поверхности жидкости в виде волн, называемых гравитационными, так как они обуславливаются действием поля тяжести Данный тип волн происходит в основном на поверхности жидкости, захватывая внутренние слои тем меньше, чем глубже они расположены

В данной работе будут рассматриваться такие гравитационные волны, в которых скорость движущихся частиц настолько мала, что в уравнении Эйлера

можно пренебречь членом (V У)у по сравнению с — В течение промежутка

времени порядка периода т колебаний, совершаемых частицами жидкости в волне, эти частицы проходят расстояние порядка амплитуды а волны Поэтому скорость их движения — порядка V ~ а/т Скорость о заметно меняется на протяжении интервалов времени порядка т и на протяжении расстояний порядка X вдоль направления распространения волны (к - длина волны) Поэтому производная от скорости по времени — порядка о/г, а по координатам

- порядка о/1. Таким образом, условие (V У)у « — эквивалентно требованию

т е. амплитуда колебаний в волне должна быть мала по сравнению с длиной волны

Случай плоского горизонтального слоя жидкости (воды), который в невозмущенном состоянии вращается равномерно около вертикальной оси ох. Результаты применимы к бассейну, каналу не очень больших размеров,

Ы

или

а{{Х

(9)

расположение которого может произвольным, в пределах вращающегося земного шара, но с известными координатами

Рассмотрим распространение волн в канале, длина канала (направленную вдоль оси х) примем равной 104 метров, жидкость движется вдоль канала В таких волнах пх скорости вдоль канала, ьу (в дальнейшем будем обозначать ее через и) поперек канала велика по сравнению с компонентой ьт Сечение канала может иметь произвольную форму и меняться вдоль его длины по мере изменения уровня жидкости, площадь поперечного сечения жидкости в канале обозначим посредством 8=Б(х,1) Глубина канала и бассейна предполагаются малыми по сравнению с длиной волны

Обозначив пх скорость вдоль канала (бассейна), через ьу скорость поперек канала, расписывая хм у —компоненты уравнения Эйлера в виде

^ 1 Ф

д1 р дх'

диу _ 1 др р ду'

а г- компоненту в виде

1 др р дг

где р - плотность, р - давление, ^ - ускорение свободного падения Квадратичные по скорости члены опускаем, поскольку амплитуда волн по-прежнему считается малой. Из второго уравнения имеем, что на свободной поверхности должна быть р=р0

Рг'Ро ' -г) Подставляя это выражение в первые два, получаем

Ы дх' (Ю)

81

& ~ g ду

Третье уравнение для определения неизвестных их ,ьу и £ можно вывести методом, аналогичным выводу уравнения непрерывности Это уравнение представляет собой уравнение непрерывности применительно к

рассматриваемому случаю. Рассмотрим объем жидкости, заключенный между двумя плоскостями поперечного сечения канала (бассейна), находящимися на расстоянии (к друг от друга. За единицу времени через одну плоскость войдет объем жидкости, равный Поэтому объем жидкости между плоскостями

изменится на

дх

Но в силу несжимаемости жидкости это изменение может произойти только за счет изменения ее уровня. Изменение объема жидкости между рассматриваемыми плоскостями в единицу времени равно

а?

-ск

Ы

Следовательно, можно написать

или

а? , д(Бо) . — ах =—^—-ах, & дх

дБ [ д(6Ь) 0 & дх

(И)

Обозначим через к0 ординату свободной поверхности жидкости (рис 3), находящейся в состоянии относительного равновесия и меняющуюся исключительно под действием силы тяжести.

Если А = На + С, где через й0 обозначена ордината свободной поверхности жидкости (рис. 3), находящейся в состоянии относительного равновесия и меняющуюся исключительно под действием силы тяжести. Тогда

(12)

& дх ду

Рис 3 Схематическое изображение, показывающее слой жидкости переменной глубины, где йо есть уровень свободной поверхности, £. - отклонение уровня воды от свободной поверхности, й - глубина жидкости и г - вертикальная координата произвольной точки в толще жидкости

Принимая более удобные для дальнейшей работы обозначения —— =

от

ди до Оц

= , подставляя (12) в (13) получаем уравнения движения жидкости от от о1

в каналах (бассейнах), с учетом кориолисовой силы в следующем виде

(13)

^сг = -Я Ш-+2® в»1 (р{и - и вт 2а), от ах

Эо ЪЕ.

= -g-ф + 2й!>sín (р(~и + ият 2а),

имея в виду, что юг=ч» втер.

При разложении силы по соответствующим осям координат получаем ^ =1{ртФ2-о2а)г),

= к(ихсоу -ига>х)

так как « mg, то третье уравнение в системе уравнений движения (14) определяет статическую нагрузку, следовательно, оно не определяет характер движения и рассматриваться не будет.

К системе уравнений (13) добавим уравнение свободной поверхности (12) и окончательно имеем

^=^ + 2й> вт р(и - и бш 2а),

=^ - 2 са бш <р(-и + V бш 2а), 5/ ду

дфи) дфи)

(15)

Ы дх ду

Полученная система дифференциальных уравнений (15) была впервые выведена Эйлером, для невязкой, несжимаемой (идеальной) жидкости с учетом кориолисовых сил.

Полученная система уравнений (15) решалась сеточным методом в рамках программы МайСасйООО Максимальное значение времени принималось 60 секунд, что значительно превышает характерные времена установления равновесия при исследуемом характере течения В работе рассчитывались следующие параметры для каналов длина составляла 10000 метров, ширина 300 метров, а глубина 70 метров Так как в начальный момент времени жидкость находилась в относительном покое, то начальные условия принимались следующими-

и(х, у, ОНО, ь(х, у, 0)=0 (16)

Уровень воды в начале канала (бассейна) принимался за 0, а в конце канала (бассейна) £о, поэтому

I 0,у>0

Дня простоты, уровни воды в задаче принимались постоянными, т е в начале канала (бассейна) - 0, а на его конце — -1 Поэтому краевые условия задавались в следующем виде*

фс,0Л) = -1, м>(х, Ъ, 0 = 0, (18)

На рис 4 схематично представлен моделируемый канал постоянного по длине площади поперечного сечения во вращающейся системе координат относительно оси г.

/

Рис 4 Схематичное изображение констант и переменных рассчитываемой системы дифференциальных уравнений

Сетка по х, у и * задавалась формулами

X =-а+1 сЬс, г = 0...Мх,

(19)

(20)

Тк=к Л,к = 0 (21)

Н^=Кх„У]), (22)

где Ых, Ыу, - дробления по оси х и у соответственно, N1 - дробление по времени, сЬс, с1у, <й — шаги сеток по соответствующим осям, Ям - дробление уровней

воды по осям хп у.

Решение и, V, м> краевой задачи искалось в виде сеточных функций иц к = и(х„ ур (к), к = ь{х„ур (к), = Цх„ Ур к) Подставляя в формулы дифференцирования

8£ _ й^/н* Зу 2-ф>

дх 2 сЬс

(23)

(24)

дфи) = МН^и^ь дх 2 <3х

дфи) _ Кн*

ду 2 ¿у

а л

до К

& Л

(27)

(28)

(29)

(30)

Ж

и выражая из соответствующих уравнений, получаем

формулы для вычисления значений этих сеточных функций по слоям (к = 0,1,2,. Л)

( „ .2-ф 5Ш9 -и^ 8ш2«)1 (31)

2 Оу

( ш —Ш 8 1 сЫ

+2 а &т<р-{~и11Л + $т2а)

(32)

(33)

2 <Ьс 2 0у

где

В работе рассчитывались следующие параметры для каналов- длина составляла 10000 метров, ширина 300 метров, а глубина 7 метров

Геометрические профили поперечных сечений каналов моделировались

степенными функциями Так прямоугольное сечение задавалось функцией:

*>-*, <34)

где К есть глубина, а постоянная а полуширина канала Легко показать, что с ростом и, функция И(х) стремится к прямоугольному виду и выбор п - 55 при этом является достаточным для задания прямоугольного профиля Поперечное сечение треугольной формы определялось в виде:

1-л/1+*2 Л'2 '

(35)

1-л/1+а2 Я"2,

где йо — гидравлический радиус или глубина канала, постоянная а -полуширина канала Как видно из (14), Н(х) представляет собой гиперболу, однако при малых X < 1 профиль Ъ(х) становится близким к треугольному виду, поэтому в данной работе принималось 1=1.

Трапецеидальное поперечное сечение канала (бассейна) более точно описывает функция.

где ао = 25, является полушириной дна трапецеидального канала При значении а0 ~ 0 профиль канала превращается в треугольный, а при а0 ~ а - в прямоугольный

Профиль параболического поперечного сечения задавался следующим образом

где И(х) — глубина канала в точке х,а — его полуширина

Глава 2. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В КАНАЛАХ РАЗЛИЧНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

На рис 5-8 показаны результаты численного интегрирования системы уравнений (15) для случая возбуждения гравитационных волн в каналах различного геометрического сечения Начальные и краевые условия задавались уравнениями (16-18).

(36)

(37)

Рис. 5. План волновых возмущений в прямоугольном канале.

X

Рис. 6. План волновых возмущений в треугольном канале.

i

Сне, 7. План волновых возмущений к трапецеидальном канале.

-

Рис. 8. План волновых возмущений в параболическом канаяе.

Для расчета незаиляющеЙ скорости использовалась эмпирическая формула (38):

= (38)

Интегрируя сеточные функций и^ и Уу , можно получить

иК^а^'Ъ, (39)

где в формулах (38) и (39) а - постоянная, определяемая из опыта, О —диаметр частицы взвеси. На оси х отложена ширина канала, ось у соответствует длине канала, ось г — размывающая скорость. Результаты расчетов незаиляющей скорости для каналов различного поперечного сечения приведены на рис. 9 -12.

Рис. 9. Движение пульпы в канале прямоугольного сечения (средние широты).

X

Рис. 10. Движение пульпы в кан;ше треугольного сечения (средние широты).

X

Рие И. Движение пульпы и канал« Рис, 12. Движение пульпы и канале трапецеидального сечения (средние широты), параболического сечении (средние широты)

Для всех рассчитанных вариаций канала с прямоугольным поперечным сечением определен характерный снос твердого материала с берегов, причем расчеты предсказывают, что смыв с правого берега должен происходить гораздо интенсивнее, что является следствием влияния ко р иол и со вой силы в северном полушарии. При нулевом уклоне движение наносов осуществляется очень равномерно по всей площади поперечного сечения. Установлено, что географическая широта на которой расположен канал и направление течения жидкости в нем лишь опосредованно влияют на размывающую скорость движения пульпы. Расчеты предсказывают, что при положительном уклоне размыв должен протекать более интенсивно, чем при отрицательном уклоне. Для каналов с другими поперечными сечениями получены аналогичные результаты. Отличительной чертой каналов с треугольным поперечным сечением установлено очень интенсивное движение наносов в центральной части каналов, что должно приводить к развитой линейной эрозии В этих каналах.

В работе также проведено моделирование процессов затухания движения жидкости а канапе произвольной формы путем введения различных коэффициентов затухания X в модифицированную систему уравнений движения методом перекрестного дифференцирования системы уравнений (15):

(V, и) ~ е"

дх2 дудх

= Зизт <рЦи-«зт 2 а) + А7и;

(40)

= 2йшп<рл(-н + изш 2д) +

Такие процессы могут в действительности происходить в реках и каналах, которые и результате антропогенной деятельности могут быть загрязнены различными промышленными отходами, что может привести к дополнительным диссипативным процессам.

Глава 3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В БАССЕЙНАХ РАЗЛИЧНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

В данной главе работы представлены результаты численного интегрирования системы уравнений (15) для бассейнов, имеющих различное расположение относительно экватора. I Глощадь расчетных бассейнов составляла ]0000х]0000 метров при уровне воды в них 300 метроп. Некоторые решения пол новых уравнений для бассейнов с различными формами поперечного сечения покачаны на рис. 13 - 16.

1 »_.

х

Рис. 13. Волновые процессы в бассейне прямоугольного сечения.

Рис. 14, Волнообразное изменение уровня свободной поверхности в бассейне 1реугольиого

сечения.

Рне. 15. волновые процессы в трапецеидальном бассейне.

Рис. 16. Характерное отклонение свободной поверхности в бассейне с параболическим поперечным сечением.

В данной главе работы также приводятся результаты расчетов сноса взвеси в движущейся жидкости в бассейнах, полученных путем численного интегрирования системы уравнений, составленной из уравнений (38) и (39). Установлено, что эпюра незаиляющей скорости в бассейнах с различной геометрической формой схожа с характером движения наносов в каналах соответствующего сечения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Выполненная работа и полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:

В данной работе были исследованы течения невязкой жидкости, с учетом кориолисовой силы в каналах и бассейнах различной геометрической формы. Также приведены результаты математического моделирования гидродинамических процессов в каналах с постоянной по длине площадью поперечного сечения, с учетом коэффициента затухания. Исследовались движения наносов в открытых каналах и бассейнах и влияние на них корполисовой силы.

1. Было установлено, что высота волн, возникающих на уровне свободной поверхности в каналах с различной правильной геометрической

формой поперечного сечения меньше по своей амплитуде от волн возникающих в бассейне с одинаковым поперечным сечением Рассчитанная максимальная амплитуда волн в них не превышает 4 метров, тогда как в бассейнах волны могут достигать 10 метров в высоту. Моделирование волновых процессов также показало, что характер возникающих волн должен быть различным в каналах и бассейнах.

2. Показано, что влияние кориолисовой силы в разной степени проявляется в каналах и бассейнах всех исследованных профилей поперечного сечения. Так во всех типах каналов волны, возникающие по левому берегу, характеризовались большей амплитудой по сравнению с правобережными волнами При этом периодичность возникающих волн различна для разных типов профилей поперечного сечения, а геометрия возникающих волн зависит от формы поперечного сечения канала

3 Расчеты предсказывают, что в параболическом и треугольном каналах форма возникающих волн должна быть более сложной и хаотичной, в отличие от трапецеидального и прямоугольного каналов, в которых максимальные значения волн приходятся на левый берег, а на правом берегу наблюдаются затопленные струи (т.е движения жидкости ниже уровня свободной поверхности), чего вообще нет в бассейнах Здесь проявление кориолисовой силы в бассейнах является менее заметным, чем в каналах, в бассейнах возникающие волны максимальны по высоте на правой половине бассейна (поскольку здесь, для примера, рассматривались бассейны в северном полушарии планеты) Важным отличием бассейнов от каналов является то, что геометрия возникающих волн повторяет форму поперечного сечения и силы, возникающие при отклонении поверхностного слоя здесь гораздо больше по величине по сравнению с таковыми при движении воды в затопленных струях, но в бассейнах процессы массопереноса происходят по всей их площади, в каналах же движение жидкости происходит на отдельных участках В прямоугольном канале движение жидкости в центре равномерное и увеличивается по мере отдаления к берегам, что свидетельствует о подмывании стенок, в бассейне же происходит последовательное прохождение

прямоугольных волн, последовательно сменяющих друг друга и затухающих со временем. Для треугольного канала характерно увеличение скорости движения жидкости в его центре с дальнейшим нарастанием по длине

4. Выявлено, что движение жидкости в бассейне с треугольным профилем происходит максимальным образом в центре и характеризуется рассеиванием волн со временем. Параболические канал и бассейн повторяют характер движения жидкости в треугольном канале и бассейне, отличаясь при этом в том, что волны, возникающие здесь, являются более сглаженными. Движение жидкости в трапецеидальных каналах и бассейнах сравнимо с таковым в прямоугольном и параболическом канале и бассейне и является своеобразной переходной формой, межу ними

В заключении отметим, что разработанный метод позволяет решать различные гидродинамические задачи, расчет каскадов водохранилищ, каналов с изменяющимися профилями поперечного сечения от истока к устью и с изменяющимися гидравлическими уклонами.

Движение наносов в каналах и бассейнах в большей степени зависит от геометрии поперечного сечения Так из-за влияния силы Кориолиса, в прямоугольном канале движение наносов происходит по берегам с преобладанием на правом берегу В прямоугольном бассейне процессы движения наносов схожи с родственным ему каналом Важной особенностью является влияние обратного уклона, проявляющегося в том, что размыв русла канала и ложе бассейна происходит по всей ширине и длине. В треугольных каналах и бассейнах с прямым уклоном снос влекомого материала с максимальной скоростью происходит по центру, при нулевом уклоне концентрация сноса усиливается в центре, а в случае обратного уклона размыв равномерен по всей ширине. Трапецеидальный канал, и бассейн характеризуется максимальной скоростью движения наносов в углах основания, влияние обратного уклона идентично другим каналам и бассейнам Канал и бассейн параболического сечения отличается от остальных меньшей степенью размыва. Движение наноса здесь происходит с меньшей скоростью,

этот тип каналов и бассейнов является своего рода "промежуточной формой" между каналами и бассейнами прямоугольной и треугольной формы

5. Проведено моделирование гидродинамических процессов, происходящих в каналах произвольной формы с учетом кориолисовой силы и процессов затухания путем варьирования коэффициентов затухания Я. Результаты моделирования показали, что учет затухания существенно сказывается на гидродинамические процессы, протекающих в канале Отметим, что предлагаемая в работе вариация коэффициентов затухания в определенной степени может моделировать различного рода катастрофы, имеющих место в настоящее время, когда химические выбросы, попадая в реки при отрицательных значениях Л волновые процессы затухают со временем, при положительных нарастают, нулевое значение Л характеризует стационарный волновой процесс

Публикации по теме диссертации:

1 Васильев ДЮ Эрозионные и русловые процессы на реках второго порядка на примере Башкирии // Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2004» Сборник тезисов -М.. МГУ. 2004 -с.70.

2 Васильев Д.Ю., Тропин A.B., Чувыров АН. Моделирование течения жидкости во вращающейся системе координат //Электронный научный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» http //zhumaLape.retam.nl/articles/ 2006/202.pdf

3. Васильев ДЮ., Тропин A.B., Чувыров А.Н. Моделирование течения жидкости с учетом эффекта вращения Земли. //Электронный научный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» http //zhurnai аре retarn.ru/articles/ 2006/ 203pdf.

4. Васильев ДЮ, Тропин AJB., Чувыров А.Н Численное моделирование гидродинамических процессов в канале постоянного сечения, с учетом коэффициента затухания // Уфа" Вестник Башкирского университета. -2006.-№4. -с. 17-19.

6 Васильев Д.Ю., Тропин А В Математическое моделирование гидродинамических процессов в решении частных экологических проблем // Гуманитарные и естественнонаучные аспекты современной экологии. Сборник статей. Уфа: РИО БИСТ, 2006. -с 36-39.

7 Васильев Д Ю., Тропин А.В Математическое моделирование гидродинамического процесса в каналах различной геометрической формы// IV региональная научно-метод. конф «ЭВТ в обучении и моделировании». Сборник трудов. - Бирск: Бирск. соц. пед. акад., 2005 -с 140-144

8. Васильев ДЮ., Кузнецов В А., Тропин AB, Чувыров А.Н. Численное _ исследование движения пульпы в каналах и кавернах различной

геометрической формы // Российская научная конференция «Механика и химическая физика сплошных сред» Сборник статей, Бирск , 2007. -с. 20-26

9. Васильев Д.Ю, Кузнецов В А., Тропин А.В , Чувыров А.Н Численное исследование движения пульпы в бассейне различной геометрической формы // Российская научная конференция «Механика и химическая физика сплошных сред». Сборник статей. Бирск:, 2007. -с. 27-32.

Ю.Васильев Д.Ю., Кузнецов В А, Тропин A.B. Нелинейные задачи масса переноса в каналах различной разной геометрической формы // Международная научно-практическая конференция

«Нефтегазопереработка и нефтехимия-2007». Сборник статей Уфа: , 2007. -с. 360.

П.Васильев ДЮ, Кузнецов В А., Чувыров А.Н Математическое моделирование гидродинамических потоков в центрифугах имеющие каверны, различной правильной геометрической формы // Нефтегазовое дело.-2007 - №5-с. 233

Подписано в печать: г Формат 60 х 84 1/16. Бумага ксероксная

Гарнитура Тайме Печать на ризографе с оригинала Тираж 100 экз. Отпечатано в типографии БГУ. Заказ № 69 2007 г.

Глава 2.

Глава 3.

Глава 1. Течение невязкой жидкости в каналах и бассейнах

§1.1 Исследования течений невязкой жидкости в каналах и 9 бассейнах

§ 1.2 Описание исходной математической модели

Численное моделирование неустановившегося течения невязкой жидкости в каналах различной геометрической формы

§2.1 Динамика изотропной жидкости в канале с прямоугольным сечением

§2.2 Динамика изотропной жидкости в канале с треугольным сечением

§2.3 Динамика изотропной жидкости в канале с трапецеидальным сечением

§2.4 Динамика изотропной жидкости в канале с параболическим (сегментным) сечением

§2.5 Снос взвеси движущейся жидкости в каналах различной геометрической формы, с учётом кориолисовой силы

§2.6 Численное моделирование гидродинамических процессов в канале постоянного сечения, с учётом коэффициента затухания

Численное моделирование неустановившегося течения невязкой жидкости в бассейнах различной геометрической формы

§3.1 Динамика изотропной жидкости в бассейне с прямоугольным сечением

§3.2 Динамика изотропной жидкости в бассейне с треугольным сечением

§3.3 Динамика изотропной жидкости в бассейне с трапецеидальным сечением

§3.4 Динамика изотропной жидкости в бассейне с параболическим (сегментным) сечением

§3.5 Снос взвеси движущейся жидкости в бассейне и с учётом кориолисовой силы

Актуальность темы

Диссертационная работа посвящена исследованию течения невязкой жидкости (воды) в каналах, кавернах и бассейнах [1] с различной площадью живого сечения, но постоянной по всей длине исследуемых каналов и бассейнах, во вращающейся системе координат. Под невязкой жидкостью понимается абстрактная жидкость, при движении которой не возникают касательные напряжения (отсутствует трение).

Изучение гидродинамических проблем исторически проводилось в нескольких направлениях, одним из важных аспектов которых были исследования приливных (гравитационных) и поверхностных волн, возникающих в прямолинейных каналах с непостоянной по длине формой поперечного сечения и круглых бассейнах с различной глубиной. Первые работы такого рода были начаты в Англии еще в конце XIX века под руководством Ламба [2]. В последние годы особенно интересным и актуальным направлением в исследовании динамики жидкости стало применение математического моделирования, позволяющее понять характер сложных физических процессов происходящих в канале или желобе, наполненных водой. Однако вопросы, связанные с особенностями течения жидкости (воды) в каналах с различным геометрическим сечением и их последующий сравнительный анализ, почти не рассматривались в литературе. Необходимость решения этих вопросов связана как с соображениями развития самой гидродинамики, так и с конкретными технологическими задачами. Действительно, во многих отраслях науки и техники применяют устройства и аппараты, основной технологический процесс в которых связан с перемещением жидкости, поэтому исследование движения жидкости в этих устройствах необходимо с точки зрения развития производства и техники, чтобы привести, в конечном итоге, к повышению их эффективности и экологичности [3]. Одной из существенных трудностей при описании этих процессов является тот факт, что уравнения гидродинамики являются нелинейными и поэтому прямое их исследование и решение возможно лишь в сравнительно редких случаях [4]. Отсюда актуальность и насущная потребность привлечения математического моделирования с последующим численным решением сложных гидродинамических задач, что само по себе существенно расширяет пространственное поле изучения механики жидкости.

Необходимость знания особенностей поведения течения жидкости, в том или ином водном бассейне особенно важно при оценке возможных отрицательных последствий от различного рода стихийных бедствий, ярким примером которых являются, например, волны цунами. Такие волны возникают от внезапных перемещений участков океанических плит, сопровождающиеся землетрясениями [5], они представляют собой серию волн длиной до 100 км и достаточно пологих до 1 м высотой в открытом море, но по мере приближения к берегу, их высота может достигать 30 м, что приводит к огромным разрушениям. Неровности океанического дна при этом могут служить своего рода проводником таких волн (эффект волновода) [6].

Важной задачей гидродинамики является изучение движения наносов в открытых потоках, именуемые мутностью или пульпой (твёрдые частицы грунта, переносимые водными потоками). При решении такого рода задач существует два подхода: 1) поток, насыщенный твёрдой взвесью, не расходует дополнительной энергии на транспортирование этой взвеси, т. е. твёрдое содержимое пульпы, во взвешенном состоянии, не влияет на потери напора [7]; 2) другая точка зрения [8] предполагает непрерывную работу движущегося потока по поддержанию твердых частиц во взвешенном состоянии. Решению этого вопроса посвящен отдельный раздел работы.

Влияние кориолисовой силы при течении жидкости в каналах частично исследовалось в литературе [9, 10] и было установлено, что при поддержании постоянной разности температур стенок каналов возникают несколько, качественно различных, типов течений. Влияние силы Кориолиса на скорость и характер осаждения наносов при этом не исследовалось, так как к решению этой проблемы подходили с точки зрения механики жидкости, когда изучался поток воды и его влияние на мутность. Другие работы, наоборот, рассматривали движение наносов с гидрологической точки зрения, не принимая во внимание кориолисову силу. Этот вопрос также рассматривается в диссертационной работе.

Цель работы является моделирование течения невязкой жидкости в каналах, кавернах и бассейнах и включает в себя исследование влияния кориолисовой силы на протекание процессов массопереноса, изучение сноса взвеси в движущейся жидкости, а также изучение зависимостей расходных характеристик потока от параметров, характеризующих динамику волновых процессов в каверне. Моделирование этих процессов предполагает выбор системы дифференциальных уравнений гидродинамики и теплотехники и их решение путем численного интегрирования с применением сеточного метода [11] на основе прикладного пакета программ МаЛСаё [12].

Новизна работы:

1. Получены математические модели течения невязкой жидкости в каналах и кавернах различного геометрического сечения с учетом эффекта вращения Земли.

2. Найдены численные решения уравнений гидродинамики во вращающейся системе координат для течения невязкой жидкости в каналах и бассейнах с различной формой поперечного сечения.

3. Реализована программа и получены численные решения для моделирования гидродинамических процессов с учётом коэффициента затухания в каналах и бассейнах с постоянным сечением вдоль длины канала или бассейна.

4. Произведена оценка сноса взвеси в движущейся жидкости в каналах и бассейнах, с учетом кориолисовой силы по основным характеристикам (параметрам) желобов бассейнов и русел рек.

Практическая ценность

Результаты диссертационной работы могут быть использованы для моделирования гидродинамических процессов, происходящих в невязких жидкостях при их протекании в каналах и реках различной формы поперечного сечения с учетом эффекта вращения Земли. Результаты работы могут быть внедрены в системе Росгидромета, научно-исследовательских институтах соответствующего профиля, проектных институтах, технических факультетах образовательных учреждениях, а также могут быть полезными при составлении учебных пособий на кафедрах механического профиля образовательных учреждений. На защиту выносятся:

1. Разработанный численный метод решения уравнений волнового движения в кавернах и бассейнах с разным профилем сечения, включающий в себя способ описания этого профиля рядами степенных функций.

2. Результаты математического моделирования исследования гидродинамических процессов в каналах и бассейнах с поперечным сечением различной геометрической формы.

3. Обоснование результатов исследования о преимущественном выборе формы поперечного сечения каналов и бассейнов для конкретных гидротехнических сооружений.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, выводов и приложения, изложена на 125 страницах, содержит 102 иллюстраций и. Список цитируемой литературы содержит 150 наименований.

Заключение

В данной работе были исследованы течения невязкой жидкости, с учетом кориолисовой силы в каналах и бассейнах различной геометрической формы. Также приведены результаты математического моделирования гидродинамических процессов в каналах с постоянной по длине площадью поперечного сечения, с учетом коэффициента затухания. Исследовались движения наносов в открытых каналах и бассейнах и влияние на них кориолисовой силы.

1. Было установлено, что высота волн, возникающих на уровне свободной поверхности в каналах с различной правильной геометрической формой поперечного сечения меньше по своей амплитуде от волн, возникающих в бассейне с одинаковым поперечным сечением. Рассчитанная максимальная амплитуда волн в них не превышает 4 метров, тогда как в бассейнах волны могут достигать 10 метров в высоту. Моделирование волновых процессов также показало, что характер возникающих волн должен быть различным в каналах и бассейнах. Амплитуда волн в каналах возрастает по мере продвижения волны вдоль длины канала, то в бассейнах волны гасятся по мере их продвижения в глубь бассейна.

2. Показано, что влияние кориолисовой силы в разной степени проявляется в каналах и бассейнах всех исследованных профилей поперечного сечения. Так во всех типах каналов волны, возникающие по левому берегу, характеризовались большей амплитудой по сравнению с правобережными волнами. При этом периодичность возникающих волн различна для разных типов профилей поперечного сечения, а геометрия возникающих волн зависит от формы поперечного сечения канала.

3. Расчеты предсказывают, что в параболическом и треугольном каналах форма возникающих волн должна быть более сложной и хаотичной, в отличие от трапецеидального и прямоугольного каналов, в которых максимальные значения волн приходятся на левый берег, а на правом берегу наблюдаются затопленные струи (т.е. движения жидкости ниже уровня свободной поверхности), чего вообще нет в бассейнах. Здесь проявление кориолисовой силы в бассейнах является менее заметным, чем в каналах: в бассейнах возникающие волны максимальны по высоте на правой половине бассейна (поскольку здесь, для примера, рассматривались бассейны в северном полушарии Земли). Важным отличием бассейнов от каналов является то, что геометрия возникающих волн повторяет форму поперечного сечения и силы, возникающие при отклонении поверхностного слоя здесь гораздо больше по величине по сравнению с таковыми при движении воды в затопленных струях, но в бассейнах процессы массопереноса происходят по всей их площади, в каналах же движение жидкости происходит на отдельных участках. В прямоугольном канале движение жидкости в центре равномерное и увеличивается по мере отдаления к берегам, что свидетельствует о подмывании стенок, в бассейне же происходит последовательное прохождение прямоугольных волн, последовательно сменяющих друг друга и затухающих со временем. Для треугольного канала характерно увеличение скорости движения жидкости в его центре с дальнейшим нарастанием по длине.

4. Выявлено, что движение жидкости в бассейне с треугольным профилем происходит максимальным образом в центре и характеризуется рассеиванием волн со временем. Параболические канал и бассейн повторяют характер движения жидкости в треугольном канале и бассейне, отличаясь при этом в том, что волны, возникающие здесь, являются более сглаженными. Движение жидкости в трапецеидальных каналах и бассейнах сравнимо с таковым в прямоугольном и параболическом канале и бассейне и является своеобразной переходной формой, межу ними.

В заключении отметим, что разработанный метод позволяет решать различные гидродинамические задачи: расчет каскадов водохранилищ, каналов с изменяющимися профилями поперечного сечения от истока к устью и с изменяющимися гидравлическими уклонами.

Движение наносов в каналах и бассейнах в большей степени зависит от геометрии поперечного сечения. Так из-за влияния силы Кориолиса, в прямоугольном канале движение наносов происходит по берегам с преобладанием на правом берегу. В прямоугольном бассейне процессы движения наносов схожи с родственным ему каналом. Важной особенностью является влияние обратного уклона, проявляющегося в том, что размыв русла канала и ложе бассейна происходит по всей ширине и длине. В треугольных каналах и бассейнах с прямым уклоном снос влекомого материала с максимальной скоростью происходит по центру, при нулевом уклоне концентрация сноса усиливается в центре, а в случае обратного уклона размыв равномерен по всей ширине. Трапецеидальный канал, и бассейн характеризуется максимальной скоростью движения наносов в углах основания, влияние обратного уклона идентично другим каналам и бассейнам. Канал и бассейн параболического сечения отличается от остальных меньшей степенью размыва. Движение наноса здесь происходит с меньшей скоростью, этот тип каналов и бассейнов является своего рода "промежуточной формой" между каналами и бассейнами прямоугольной и треугольной формы.

5. Проведено моделирование гидродинамических процессов, происходящих в каналах произвольной формы с учетом кориолисовой силы и процессов затухания путем варьирования коэффициентов затухания Я. Результаты моделирования показали, что учет затухания существенно сказывается на гидродинамические процессы, протекающих в канале. Отметим, что предлагаемая в работе вариация коэффициентов затухания в определенной степени может моделировать различного рода катастрофы, имеющих место в настоящее время, когда химические выбросы, попадая в реки: при отрицательных значениях Я волновые процессы затухают со временем, при положительных нарастают, нулевое значение X характеризует стационарный волновой процесс.

1. Гуров Д.Б, Елизарова Т.Г., Шеретов Ю.В. Численное моделирование течений жидкости в каверне на основе квазигидродинамической системы уравнений // Матем. моделирование. 1999,. Т. 8. №7. С. 33-44.

2. Ламб Г. Гидродинамика. Л.: Гостехиздат, 1947. 928 с.

3. Иделъчик И.Е. Аэрогидродинамика технологических аппаратов. М.: Машиностроение, 1983. 351с. ил.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736с.

5. Газарян Ю.Л. О поверхностных волнах, возбуждаемых подводными землетрясениями. Акуст. жур., 3 1955.

6. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. Физматлитература., М.: Наука, 1986. 736 с.

7. Гончаров В.Н. Динамика русловых потоков. Л.: Гидрометеоиздат, 1962. 374 с.

8. Великанов М.А. Динамика русловых потоков. М.: Гостехиздат, 1954. 350 с.

9. Галиев U.M., Зубков П.Т. Плоское конвективное течение воды в горизонтальном канале//РНКТ-2. М., 1998. Т. 3. С. 54-57.

10. Evans G., Greif R. Buoyant instabilities in downward flow in a symmetrically heated vertical channel // intern. J. Heat and Mass Transfer. 1997. V. 40. № 9. P. 2019-2033.

11. Калиткин H.H. Численные методы. M.: Наука, 1978. 512с.

12. Дьяконов В. MathCad8/2000: специальный справочник СПб: Питер, 2001. -592с.: ил.

13. Васильев Д.Ю., Тропин A.B. Математическое моделирование гидродинамического процесса в каналах различной геометрической формы // IV региональная науч.-метод. конф. / Бирск. гос. соц.-пед. акад. Бирск, 2005. - Ч. 1.С. 140-144.

14. Васильев Д.Ю., Тропин A.B. Математическое моделирование гидродинамических процессов в решении частных экологических проблем // Всероссийская науч.-практ. конф. / БИСТ. Уфа, 2006. - Ч. 1. С. 36-39.

15. Васильев Д.Ю., Кузнецов В.А., Тропин A.B. Нелинейные задачи массопереноса в каналах различной геометрической формы // Сборник трудов. Международная научно-практическая конференция «Нефтегазопереработка и нефтехимия» / Уфа, 2007. - с. 360.

16. Васильев Д.Ю., Тропин A.B., Чувыров А.Н. Численное моделирование гидродинамических процессов в канале постоянного сечения, с учетомкоэффициента затухания // Вестник БашГУ. Физика и техника. 2006. № 4. С. 1719.

17. Васильев Д.Ю., Тропин A.B., Чувыров А.Н. Моделирование течения жидкости во вращающейся системе координат. Электронный научный журнал "ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ" http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2006/202.pdf.

18. Васильев Д. Ю., Тропин A.B., Чувыров А.Н. Моделирование течения жидкости с учетом эффекта вращения Земли. Электронный научный журнал "ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ" http://zhurnal.ape.relarn.rU/articles/2006//203pdf.

19. Васильев Д.Ю., Чувыров А.Н., Кузнецов В.А. Математическое моделирование гидродинамических потоков в центрифугах имеющие каверны, различной правильной геометрической формы // Нефтегазовое дело. 2007. № 5 -с. 233.

20. Свиркунов П.Н., Калашник М.В. Эволюция вихря, вызванного стоком массы воды в модели мелкой воды // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1995. Т. 31. №5. С. 725-730.

21. Копченое В.И., Ласкин И.Н. Об одной конечно-разностной схеме для численного решения параболизированных уравнений Навье-Стокса // Ж. вычисл. математики и мат. физики. 1996. Т. 36. № 2. С. 126-137.

22. Бетяев С.К. Математические модели в задачах истечения // Мат. моделирование. 1992. Т. 4. № 3. С. 28-39.

23. Smith R. Longitudinal dispersion coefficients for varying channels // J. Fluid Mech. 1983. V. 130. P. 299-314.

24. Madabhushi R.K., Vanka S.P. Large eddy simulation of turbulence-driven secondary flow in square duct I I Phys. Fluids A. 1991. V. 3. № 11. P. 2734-2745.

25. Holtorff G. Resistance to flow in alluvial channels // Trans. ASME. J. Hydraulic Div. 1982. V. 108. № HY9. P. 1010-1028.

26. Зубков П.Т., Климин В.Г. Численное исследование естественной конвекции чистой воды вблизи точки инверсии плотности // Изв. РАН. МЖГ. 1999. № 4. С. 171-176.

27. Moallemi М.К., Jang K.S. Prandtl number effects on laminar mixed convection heat transfer in lid-driven cavity // intern. J. Heat Mass Transfer. 1992. V. 35. № 8. P. 1881-1892.

28. Wei Tong, KonsterJ.N. Density inversion effect on transient natural convection in a rectangular enclosure // Intern. J. Heat Mass Transfer. 1994. V. 37. № 6. P. 927-938.

29. Ho C.J., Chiou S.P., Ни C.S. Heat transfer characteristics of a rectangular natural circulation loop containing water near its density extreme // Intern. J. Heat Mass Transfer. 1997. V. 40. № 15. P. 3553-3558.

30. Chanson H. The hydraulics of open channel flow: an introduction. Oxford etc.: Linacre House, 2004, 585 p.

31. Bridge J.S. Rivers and floodplains. Cornwall: Blackwell, 2003,491 p.

32. Стеренский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977. 815с.

33. ЛайтхиллД. Волны в жидкостях. М.: Мир, 1981, 589с.

34. Синха Н.Д., Дэги СМ. Расчеты сверхзвуковых течений в каналах при наличии горения, выполняемые посредством решения параболизованных уравнений Навье-Стокса // Аэрокосмич. техника. 1988. № 5. С. 48-60.

35. Мануйлович С.В. О восприимчивости плоского течения Пуазейля к вибрации стенок канала // Изв. РАН. МЖГ. 1992. № 4. С. 12-19.

36. Airy G.B., Tides and Waves. In Encycl. Metropol. London, (1845), vol. 5, pp. 2411-396.

37. Ламб Г. Гидродинамика. Т. 1. Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2003. 452 с.

38. Proudman J. On the tides in a flat semi-circular sea of uniform depth // Mont. Not. Roy. Astr. Soc. Geoph. Suppl. 1928. V. 2. P. 32-43.

39. Proudman J. On some cases of tidal motion of rotating sheets of water // Proc. L. Math. Soc. (2). 1913. V. 12. P. 453-473.

40. Jeffreys H. The free oscillations of water in an elliptical lake // Proc. L. Math. Soc. (2). 1924. V. 23. P. 455-476.

41. Jeffreys H. On certain solutions of Mathieu's equation // Proc. L. Math. Soc. (2). 1924. V. 23.P. 437-448.

42. Jeffreys H. On certain approximate solution of linear differential equations on second order// Proc. L. Math. Soc. (2). 1924. V. 23. P. 428-436/

43. Goldstein S. Tidal motion in a rotating elliptic basins of constant depth // Mont. Not. Roy. Astr. Soc. Geoph. Suppl. 1929. V. 2. P. 213-231.

44. Goldstein S. The free oscillations of water in a canal of elliptic plan // Proc. L. Math. Soc. (2). 1928. V. 28. P. 91-101.

45. Goldstein S. A special case of tidal motion in elliptic basins // Mont. Not. Roy. Astr. Soc. Geoph. Suppl. 1928. V. 2. P. 44-56.

46. Goldstein S. A note on certain approximate solution of linear differential equation of second order with an application to the Mathieu equation // Proc. L. Math. Soc. (2). 1928. V. 28. P. 81-90.

47. Бабенко К.И., Алгазин С.Д. Об одном численном алгоритме решения задачи на собственные значения для линейных дифференциальных операторов. Препринт № 46. М.: ИПМ АН СССР им. М.В. Келдыша. 1978. 80с.

48. Иванов М.И. О свободных приливах в плоских бассейнах постоянной глубины // Изв. РАН. МЖГ. 2004. № 5. С. 119-130.

49. Мануйлович C.B. Пространственная эволюция нестационарных возмущений в течении Гамеля. // Изв. РАН. МЖГ. 2004. № 2. С. 42-56.

50. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. М.: Наука, 1985.-680с.

51. Лаплас П.С. Изложение системы мира. Пер. В.М. Васильев, А.А. Михайлов. Л.: Наука. Лен. отд. 1982. 374с. ил. 1л. порт. 22см. - (Классики науки).

52. Лагранж Ж. Аналитическая механика, т. 1. под ред. и с прим. Л.Г. Лойцянского и А.И. Лурье. М. Л.: Гостехтеоретиздат, 1950.

53. Герстнер Ф. И. Руководство по механике. 1834.

54. Коши А. Семь лекций общей физики. С приложениями. Пер. с фр. СПб.: 1872.82с.

55. Poisson S. Mem. de l'Acad. roy. des Sciences, I 1816.

56. Stokes N. On the highest wave of uniform propagation. Proc. Cambridge Phil. Soc., IV, 361 p. 1883, papers V.

57. Rayleigh L. On the discharge of gases under high pressures. Phil. Mag. (6). XXXII. 177p. 1916.

58. Некрасов A.M. Курс теоретической механики. T. 2. Динамика. Изд. 5-е препринт. М.: Гостехиздат 1953. 503с.

59. Airy G.B. On the algebraical and numerical theory of errors of observations. Macmillan and Co., Cambridge: London. 1861. P.

60. Boussinesq, J. Mémoire sur l'influence des frottements dans les movements réguliers des fluides. J. Math. Pures et Appl. 13, 1868.

61. Кочин H.E. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.: Наука, 1965.426с.

62. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика / Под ред. Кибеля И.А. Ч. 2. М.; Л.: Гостехиздат, 1948. 612с.

63. Гелъмгольц Г. Основы вихревой тории. Москва Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 82с.

64. Маккавеев В.М., Коновалов И.М. Гидравлика. Л. М.: Речиздат, 1940.

65. Багров Н.А. Развитие ветрового нагона в замкнутом море. // Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геофиз. 1946. Т. 10. № 6. С. 501-516.

66. Капица П.Л. К вопросу об образовании ветром морских волн. // Докл. АН СССР. 1949. Т. 64. № 4. С. 513-516.

67. Китайгородский С. А. Физика взаимодействия атмосферы и океана. JL: Гидрометеоиздат, 1970. 284с.

68. Доброклонский С.В., Лесников Б.М. Исследование приповерхностного слоя дрейфовых течений в лабораторных условиях // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1972. Т. 8. № 11. С. 1177-1187.

69. Ефимов В.В. Динамика волновых процессов в пограничных слоях атмосферы и океана. Киев: Наук, думка, 1981. 255с.

70. LinJ.T., Gad-el-Hak М. Turbulent current measurements in a wind-wave tank //J. Geophys. Res.Ser. C. 1984. V. 89. № 1. P. 627-636.

71. WuJ. Wind-induced drift current // J. Fluid. Mech. 1975. V.68. Pt.l. P. 49-70.

72. Baines W.D., Knapp D.J. Wind driven water currents // J. Hydraul. Div. Proc. ASCE. 1965. V. 91. №2. P. 205-221.

73. Kranenburg C. Mixed-layer deepening in lakes after wind setup // J. Hydraul. Eng. ASCE. 1985. V. 111.№9.P. 1279-1297.

74. Калиниченко B.A. Кинематические характеристики двухфазного потока в прямоугольном канале // Изв. РАН. МЖГ.2004. № 4. С. 112-118.

75. Жуковский Н.Е. Сбор. соч. Т. 2. Гидродинамика. JI. М.: Гос. изд-во технико-теор. лит-ры. 1949. 167с.

76. Муангу Ж.Э. Фильтрация из канала. Структура решения и оценка расхода. // Изв. РАН. МЖГ. 2006. № 1. С. 108-120.

77. Preissmann А.А. Propos de la filtration au-dessous de canaux // Houille Blanche. 1957. V. 12. №2. P. 181-188.

78. Кориолис Г. Математическая теория явлений бильярдной игры. Пер. с фр. И.Н. Веселовского и М.М. Гернета. М.: Техиздат. 1956. 235с. с ил. (Классики естествознания).

79. Saint Venant. Wantzel. Journal de l'Ecole Polyt., XVI, p92. 1839.

80. СтокерДж. Волны на воде. М.: Изд-во иностр. лит., 1959. 617с.

81. Ле Меоте Б. Введение в гидродинамику и теорию волн на воде. JL: Гидрометеоиздат. 1974. 367с.

82. УиземДж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 622с.

83. Dias F., Kharif Ch. Nonlinear gravity and capiliary-gravity waves (review) // Annu. Rev. Fluid Mech. 1999. V. 31. P. 301-346.

84. Цвелодуб О.Ю. Резонансные взаимодействия двух волн в модели двухслойной жидкости // Изв. РАН. МЖГ. 2000. № 1. С. 92-98.

85. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Нелинейные движения вязкой жидкости со свободной поверхностью // Изв. РАН. МЖГ. 2003. № 2. С. 184-192.

86. Биркгоф Г. Гидродинамика. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. 238с.

87. Мшн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. М.: Мир, 1964. 655с. с ил.

88. Miles J.W., Ball F.K. On free-surface oscillations in a rotating paraboloid // J. Fluid Mech. 1963. V. 17. Pt. 2. P. 257-266.

89. Thacker W.C. Some exact solutions to the nonlinear shallow-water wave equations // J. Fluid Mech. 1981. V. 107. P. 499-508.

90. Ингель Л.Х. Класс точных нестационарных решений уравнений мелкой воды с вращением // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1994. Т. 30. № 5. С. 718720.

91. Доценко С.Ф., Рубимо А. Точные аналитические решения нелинейных уравнений длинных волн в случае осесимметричных колебаний жидкости во вращающемся параболическом бассейне // Изв. РАН. МЖГ. 2003. № 2. С. 158164.

92. Свиркунов П.Н. Неустановившиеся осесимметричные течения в приближении теории мелкой воды // ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 3. С. 520-522.

93. Калашник М.В., Кахиани В.О., Ломинадзе Д.Г., Патарашвили К.И., Свиркунов П.Н., Цакадзе С.Д. Нелинейные изохронные колебания жидкости в параболоиде: теория и эксперимент // Изв. РАН. МЖГ. 2004. № 5. 131.С. 131142.

94. Гиндикин С.Г. Рассказы о физиках и математиках. М.: Наука, 1981. 191с.

95. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука, 1987. 157с.

96. Незлин М.В., Снежкин E.H. Вихри Россби и спиральные структуры. М.: Наука, 1990.238с.

97. Hide R. On source-sink flows in a rotating fluid // J. Mech. 1968. V. 32. Pt4. P. 737-764.

98. Мании Д.Ю., Черноусько Ю.Л. экспериментальное исследование устойчивости квазидвумерного струйного течения, создаваемого во вращающейся жидкости методом источников и стоков // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1990. Т. 26. № 5. С. 483-492.

99. Должанский Ф.В., Крымов В.А., Манин Д.Ю. Устойчивость и вихревые структуры квазидмумерных сдвиговых течений // Успехи физ. наук. 1990. Вып. 7. С. 1-47.

100. Bennetts D.A., Jackson W.D.N. Source-sink flows in a rotating annulus: a combined laboratory and numerical study // J. Fluid Mech. 1974. V. 66. Pt4. P. 689705.

101. Данилов С.Д, Сазонов И.А. Вычисление азимутального потока, создаваемого во вращающемся сосуде методом источников и стоков // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1999. Т. 35. № 3. С. 344-355.

102. Жвания М.А., Калашник М.В., Кахиани В.О., Нанобашвили Дж.И., Патарашвили К.И., Цакадзе СДж. Формирование азимутальных течений,создаваемых системой источник-сток массы во вращающемся параболоиде // Изв. РАН. МЖГ. 2006. № 2. С. 61-75.

103. Гринспен X. Теория вращающихся жидкостей. Л.: Гидрометеоиздат, 1975. 304с.

104. Букреев В.И. О глубине воды в проране при частичном разрушении плотины // Изв. РАН. МЖГ. 2005. № 5. С. 115-123.

105. Давыдов Л.К., Дмитриева A.A., Конкина Н.Г. Общая гидрология. Л.: Гидрометеоиздат. 1973.462с.

106. Пуанкаре А. Теория вихрей. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. 160с.

107. Дынникова Г.Я. Аналог интегралов Бернулли и Коши-Лагранжа для нестационарного вихревого течения идеальной несжимаемой жидкости // Изв. РАН. МЖГ. 2000. № 1. С. 31-41.

108. Калашник М.В. Формирование вихревой воронки стоком массы в модели мелкой воды // Изв. РАН. МЖГ. 2004. № 2. С. 120-132.

109. Интенсивные атмосферные вихри / Ред. Л. Бенгдссон и Дж. Лайтхилл. М.: Мир, 1985. 368с.

110. Хаин А.П. Математическое моделирование тропических циклонов. Л.: Гидрометеоиздат, 1984. 247с.

111. Саночкин Ю.В. Влияние вязкости на свободные поверхностные волны в жидкостях // Изв. РАН. МЖГ. 2000. № 4. С. 156-164.

112. Калиниченко В.А. Кинематические характеристики потока жидкости в канале с профилированным дном // Изв. РАН. МЖГ. 2001. № 6. С. 139-146.

113. Великанов М.А. Три типа движения речных наносов // Изв. АН СССР. ОТН: Энергетика и транспорт. 1963. № 1. С. 122-128.

114. Гончаров В.Н. Динамика русловых потоков. Л.: Гидрометеоиздат, 1962. 374с.

115. KennedyJ.F. The mechanics of dunes and antidunes in erodible-bed channels // J. Fluid Mech. 1963. V. 16. Pt4. P. 521-544.

116. Михайлова H.A. Перенос твердых частиц турбулентными потоками воды. JL: Гидрометеоиздат, 1966.234с.

117. Гришанин К. В. Динамика русловых потоков. JL: Гидрометеоиздат, 1979. 311с.

118. Mendoza С., Shen H.W. Investigation of turbulent flow over dunes // Trans. ASME J. Hydraulic Div. 1990. V. 116. № 4. P. 459-477.

119. Ranasoma K.I.M., Sleath F.A. Combined oscillatory and steady flow over ripples // Trans. ASME J. Waterw. Port Coastal Ocean Eng. 1994. V. 120. № 4. p. 331-346.

120. Мельникова O.H. Формирование песчаных гряд на дне руслового потока стационарными волнами // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1996. Т. 32. № 3. С. 426-430.

121. Аристов С.Н., Зеленина В.Г. Влияние теплообмена на Пуазейлевское течение термовязкой жидкости в плоском канале // Изв. РАН. МЖГ. 2000. № 2. С. 75-80.

122. Лейбензон Л. С. О движении подогретой вязкой жидкости // Азерб. нефт. хоз-во. 1922. №2(3). С. 59-66.

123. Галиев И.М., Зубков П.Т. Влияние инверсии плотности воды на плоскопараллельное течение и теплоперенос в канале постоянной ширины // Изв. РАН. МЖГ. 2000. № 1. С. 72-78.

124. Ostrach S., Kamotani Y. Heat transfer augmentation in laminar fully developed channel flow by means of heating from below // Trans. ASME J. Heat Transfer. 1975. V. 97. № 2. P. 220-225.

125. Chui K.C., Ouazzani J., Rosenberger F. Mixed convection between horizontal plates, II, fully developed flow // Intern. J. Heat and Mass Transfer. 1987. V. 30. № 8. P. 1655-1662.

126. Kamotani Y., Ostrach S. Effect of thermal instability on thermally developing laminar channel flow //Trans. ASME J. Heat Transfer. 1976. V. 98. №1. P. 62-66.

127. Incropera F.P., SchuttJ.A. Numerical simulation of laminar mixed convection in the entrance region of horizontal rectangular ducts // Numer. Heat Transfer. 1985. V. 8. № 6. P. 707-729.

128. Chui K.C., Rosenberger F. Mixed convection between horizontal plates, I, entrance effects // Intern. J. Heat and Mass Transfer. 1987. V. 30. № 8. P. 1645-1654.

129. Maughan J.R., Incropera F.P. Secondary flow in horizontal channels heated from below // Experim. Fluids. 1987. V. 5. № 5. P. 334-343.

130. Maughan J.R., Incropera F.P. Regions of heat transfer enhancement for laminar mixed convection in a parallel channel // Intern. J. Heat and Mass Trancfer. 1990. V. 33. №3. P. 555-570.

131. Кузьминский A.B., Смирнов E.M. Экспериментальное исследование неустойчивостей в течении по длинному квадратному каналу, вращающемуся вокруг поперечной оси //Изв. РАН. МЖГ. 1996. № 2. С. 87-93.

132. Гергиуни F.3., Жуховицкий Е.М. Конвективная неустойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука. 1972. 392с.

133. Hwang G.J., Tsai С. IV. Theoretical and experimental studies of laminar mixed convection in water pipe flow with density inversion effect // Intern. J. Heat and Mass Transfer. 1997. V. 40. № 9. P. 2019-2033.

134. Шварц К.Г. Влияние вращения на устойчивость адвективного течения в горизонтальном слое жидкости при малом значении числа Прандтля // Изв. РАН. МЖГ. 2005. № 2. С. 29-38.

135. Аристов С.Н., Фрик П.Г. Динамика крупномасштабных течений в тонких слоях жидкости: Препринт ИМСС УрЩ АН СССР. Свердловск, 1987ю 47с.

136. ПедлоскиДж. Геофизическая гидродинамика: В 2 т. М.: Мир, 1981. 396с.

137. Аристов С.Н., Шварц К.Г. Об устойчивости адвективного течения во вращающемся горизонтальном слое жидкости // Изв. РАН. МЖГ. 1999. № 5. С. 3-11.

138. Пикш С. А. Структурные превращения в жидких кристаллах. М.: Наука, 1984. С.

139. Ландау Л.Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Уч. Пос. В 10 . Т. VI. Гидродинамика. 4-е изд., стер. - М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. Лит., 1988. - 736 с.

140. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн: уч. Пос. М.: Наука. Гл. ред. Ф.-м. лит., 1984. - 432с.

141. Шварц К.Г. Конечно-амплитудные пространственные возмущения адвективного течения во вращающемся горизонтальном слое жидкости // Вычислительные технологии, 2001. Т. 6. Спец. выпуск. Ч. 2. Тр. Междунар. конф. RDAMM-2001. С. 702-707.

142. Тарунин Е.Л., Шварц К.Г. Исследование линейной устойчивости адвективного течения методом сеток // Вычислительные технологии. 2001. Т. 6. №6. С. 108-117.

143. Пикин С.А. Физика жидких кристаллов. М.: Наука, 1982. С. 433.

144. Алексидзе М.А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. М.: Наука, 1978. С. 351.

145. Агроскин И.И., Дмитриев Г.Т., Пикалаов Ф.И. Гидравлика. М., Л.: Энергия, 1964. С. 93.