Игровая задача управления при ограниченных ресурсах воздействия тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

л

ШДЕШЯ НАУК СССР УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

ЛОГЛЗШ Михаил Давидович

ИГРОВАЯ ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ ПРИ СГРА1ШЧЕШЖ РЕСУРСАХ ВОЗДЕЙСТВИЯ

01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации ira соискание ученой степени кандидата физико-матемаигаеенвх паук

Свердловск - 1990

с

Работа выполнена В Уральском государственном университете ям, А.М.Горького на кафедре теоретической механики

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

академик АН СССР Н.Н.Красовский

Официальные оппоненты - доктор физико-математич зосях щук

A.В.Кряжимскяй,

кандидат ф и з и ко -ма т е ка V: и з с I нау

B.Г.Пименов

Ведущая организация - Институт кибернетики им. В.М.Глуш-

Вова АН УССР

Защита диссертации состоится 199 /.> г.

в /У час, на заседании специализированного совета Д-002.07 в Институте математики а механики УрО АН СССР по адресу: 620065, г, Свердловск, ул. С,Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО АН СССР

Автореферат разослан " " ,<?рЯ.199^ г,

Учзвнй секретарь Специализированного совета щамтх физ.- мат, наук

М.И.Тусев

Г!"" I ■

':

1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Теория диф£ере;щплъ:шх игр, лознп-кшзя в конце 1950-х годов в связи с потребностями практики, в настоящее время сформировалась в самостоятельней раздел прикладной' математики со своей внутренней логикой развития и собственным кругом понятий.

Становление и развитие математической теории дифференциальных игр'в нашей стране во многом обусловлено исследованиями научных школ Москвы, Ленинграда, Киева, Минска, Свердлово-ка. Ваяние результаты в этой области били получены и в других научных центрах.

Существенный, вклад а развитие теории дйф$вргнцкалышх игр внесли работы Р.Айзекса, Э.Г.Альбрехта, В.Д.Еатухтина, А.Брай-сона, Р.Габасова, Р.В.Гамкреладзе, Н.Калтона, Ф.И.Кирилловой, Н.Н.Красовского, А.Е.Кряжииского, А. Б. Ку ржа некого, Е.Ф.Мищенко, М.С.Никольского, Г.Ольсдера, Ю.С.Осипова, Л.А.Петросяна, Л.С.Понтрягина, Б,Н.Пшеничного, Н.Сатимова, А.И.Субботша, В.Е.Третьякова, У.Флеманга, А.Фридмана, 1с О-си, А'.ГЛенцова, Ф.ЛЛерноусько, А.А.Чшсрия,. Р.Эллиотта я многих других советских и зарубежных ученых.

Дифференциальные игры представляют интерес для исследований не только как ебстрактный математический объект, но и как инструмент для решения конкретных задач управления в условиях действия т с к стегну неконтролируемой помехи. Хороео известно, что шюгез задачи об управлении динамическими системами, рассматривающимися в теоретической и прикладной механике, формулируются как задачи из области дифференццальшсс игр.

Рассматриваемые в диссертации дифференциальные'лгрн с йн-

тогралькша ограничениями на управления второю игрока возникают в ходе математической формализации ряда практических 'задач: например, при исследовании дшшзешя управляемого объекта, подверженного воздействию помехи, энергия которой ограничена, а мгновенные значения реализаций помехи могут быть сколь угодно болыншш.

Цель работы.. Целью работы является построение оптимальных законов управления.душ обоих игроков и доказательство существования цены игры и седловой точки в задаче игрового управления линейной системой при интегральных ограничениях на управляющие воздействия второго игрока.

Методика исследования. В основе исследований лежат результаты теории позиционных дифференциальных игр Использую- • тся понятия и йакти аз теории оптимального управления, дифференциальных уравнений и функционального анализа.

Научная новизна. Рассматриваемая в диссертации дифференциальная игра отличается от ранее исследованных в литературе позиционных дифференциальных игр тем, что отсутствуют ограничения на величины управляющих воздействий обоих игроков, а на реализации управления второго игрока наложены интегральные ограничения: интеграл по времени от квадратичной формы относительно компонент реализаций управлений второго игрока равномерно ограничен. Б работе проведена модификация общей схемы теории позиционных дифференциальных игр на рассматриваемый класс задач

I) Н.Н'.Красовский. Управление динамической скоте/Лай* )<Ь: Наука, 1935. - 520 с.

игрового управления. При этом потребовались модификация доказательства существования седловой точи;, новое обоснование стохастического програлмюго сянтеза и разработка эффективного метода построения onm/алз ных стратегий и контрстратегий.

Основные результаты работы являются нозыш.

Практическая и теоретическая ценность. Полученные в работе результаты позволяют в ранках кещенш'.л позиционная дифференциальных игр проводить исследования широкого класса игровых задач управления при ограниченных ресурсах воздействия. Описанные в диссертация алгоритмы дают эозмоянооть регать нз практике ряд конкретных задач управления.

Апробация работы. Основные результаты работы рзссматрито-лись на семинарах кафедр теоретачеоко? механики и информатики и процессов управления Уральского гооуийзсрситета, на семинарах отдела динамических систеч J&M УрО АН СССР, на 21 Региональной молодежной школе-конфорзнцаи (Сзордлог.ок, I9S0 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в работах CI - 4 ] .

Структура и объем работы. Диссертация состоят из введения, трех глав и приложения. Объем работы составляет S8 страниц основного текста, 9 страниц - Прилсгение. Библиография содержит 4S наименований.

5

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор литературы по теме диссертации, а также приведены основные результаты работы.

Первая гла&з посзяцеиа математической формализация рассматриваемой в работе позиционной дифференциальном игры. Вводятся понятия оптимальное стратегий и контротратегий, цены игры и седловой точки, послз чего дается постановка задачи. Движение объекта описывается уравнением

иеЯг, с/ей*, (1)

Здесь ОС - И -мерный фазовый вектор, и , 0~ - вектора #Гра-елявдих воздействий перзого и второго игроков соответственно, Л '(•£), В - непрерывные матрицы, - фик-

сированные моменты времени. Каадая: возможная реализация управления второго игрока СГС~Ь0 £']&) 31 ^&У измерима по Борелю и удовлетворяет ограничению

Ч ■ : -

Здесь VС~Ь03 >0 - заданное число, символ озна-

чает скалярное произведение векторов л в £ , СЬ У непрерывная матрица, <(/• - определенно-положите-

льная квадратичная форш. - •

В §1 вводится понятие стратегии, определяемой как функция

и 6> = { и■(4> X, у, о, ¿„^ ¿у X £ яп)

в

Закон управления первого игрока X/ на отрезке времени определяется как совокупность трз:; сированных компонент: стратегии и СО < разбиения

^ отрезка ¿¿^и ь*ко-горого значения параметра £ >£) , гак что

и^ис-ьА^Ье). (2)

Пусть реализовалась позиция *, Х^, V Л }", £ 0— 3 л Бш5раь закон управле-

ния первого игрока XI (£). Тогда движение СС Г^# =

^•[ОССЫопределяется как репение пошагового дифференциального уравнения .

±сы=А с-ьузеса + всш ас; усъ^, о+ + Ссиогеи, ^ии

при этом реализация СГСЬ^ Сш1$0 может .¿сазагься любой измеримой функцией, удовлетворяющей условию -

I <(/сЫ-ЧС-Ь)1ГШ>М ^ У&Л (3)

При всякой допустимой реализаций С'7&) (3) функция

)/[Ц/ £ 1 определяющая оотр.впийся ресурс для управ-

ления второго игрока в момент -£. , изменяется соггаоно уравнению

7

veil =vrt«3-/<сгст1-И/ег)и-стз>с1г, i*

Величина ViiJ может определятся по ходу управления из анализа движения.

В §2 вводится понятие контротратегии (стратегии второго игрока), определяемой как функция

O^v^vi-t^, a>ol

Под законом управления втрого игрока V^ на отрезке времени Cijf ¡"fr J понимается совокупность трех фиксированных компонент: контротратегии U~0) разбиения для отрезка Cbff.j-d'l и некоторого значения ¿>0 • т.е.

V-ic/c^A^leh . I«;.

flycr-ь реализовалась позиция , ЭС,, VLi^H} и выбран закон управления втрого игрока ]/ (4) и пусть на объект действует управление U , являющееся какой-либо из-

меримой ограниченной функцией. В этом случае движение DC D3 аналогично формируется по шагам, определяемым

разбиением A^itj} . Однако теперь в некоторый момент [t ■д'~) может быть уЦ^З-О , т.6. первоначальный ресурс для управления второго игрока истрачивается, полностью. Тогда, полагаем, что закон V на отрезке времени

назначает реализацию СГСЫ s 0 . и движение объекта определяется из уравнения

х нз= л аухоьз -h&cvum,

В качестве показателя задан функционал

f = y(ocCi. [-ЗН utt* t-ПУ) = ¡оссд-j} f

£ (5)

+ J<ис±з- Фшиазыь

Здесь /Х| - какая-либо корда вектора jC , удовлетворяющая

при ОС 6. R. условно fXj^dlOCie fJi>0■ .где символ

I'L здесь и далее означает евклидову норму; определенно-полояительная квадратичная форма, ^ (-L ) -непрерывная матрица. Пусть символ

Дг

, где <Г>0 , означает разбиедае /^{.^■¡У , которое удовлетворяет условию - "t^lkS",

i=it...)U • Для стратегии UC) и исходной позиции <{-fc#f ; ЗУ бУД6М назьшать гарантированным резуль-

татом величину

сОС), =

=: ¿ST ¿¿m ijttf W Kxaj-m tiCtJ-Щ ¿-*о м дг о-аяС'3#)

а для контрстратегии (/С*,) назовем гараятироваплыи разуль- , татой величину

= Um Lnf Ы fCxCiA-J&lUCiC-lV).

• fc-»0 г* о А,, ись.пъ * *

Оптимальнее стратегия í¿"CO л контрстратегая (f°0) определяются условиями

сCií°C-), VU, l)=mlnu^C(uC->Ji„)X,lv¡;-l

С СсгХ-Ъ -Ь, , X,, Yíi41) = С «ГО, ^, Xjt , У1Щ

какова Ci; на была исходная позиция , З^ч, Vl-t^l J-.

Во второй глаза устанавливается существование оптимальных. стратегии п аолг|!схратагла, а сгз;а;е справедлиг-ссгь ^"свттла

ni(l НО) с си (0> ^ >>yci* J) = WftX c/c-j с с ^

для всякой позиции {if f ZLç ) УС'б^зУ ; равенство (6) означает, что рассматриваемая дифференциальная игра имеет цену C°Ct1l¡ jVC'tj, J) И седловув точку { U°C■ (f )}. Для доказательства существования цеш игры и построения седловой точки в начале второй главы (§4) вводятся вспомогательная модель, которая описывается уравнениями

и/- А Сс) иг+ В Ст> и + С (X) U, ш =<ги-Феои>, "¿R?, veR?. (7)

п n+1

Обозначая {Щ,,..., U¡n) } = g £ К . запишем (7) в яаде

к=+ и, а), и é И] ere R. * ш

где Л0 Cr) - (n + l)x(n+d) -матрица. (0 (Т} LL, СГ) = ^1В(г)и + СссЩ <U- Ф(т)и>} • На ДВШениях

10

Z WJ = {in-V¥ C'J&l коделп (0),

порожденных реализациями W£ï~ L'-J-û')J Сf'C Г* .1Ю , рассмт-ринается функционал

ист,г•зю=игс*з1 + иг Î-

«m,*

S-

-s- f < и [ri- ФсоиеспМг, %£CÎ0)iïl}

соответствующий функционалу J" (5). Реализации Cf [T^. [• ] удовлетворяют ограничению (3), где =

Зафиксируем , какие-лийо число д/>0 и число /V! >0 , удовлетворяющее условна

M >/И0 , /М0 = max J ФЬ)ВСОII• А,

^d/zd + паэс иха,т )D, ' 19)

где X tt,T) ' - (дуцдакентальная матрица для уравнения J-X/<Lt- ACt) ОС, Т - знак транспошироЕашш,

¡IXa,-Oil = irtax.y 1Х(-ь,т)у1еt цф~швта)!!= = maoci} l<P~la)Br(+)ylaj \4\e±i, yeR.n

fia реализации UTt^C-JS"), (/ft* 03$) временно накладываем дополнительные ограничения

1иСгз1е^М,Та6Т^д- (10)

и

Пусть реализовалась некоторая позиция f , VFV+J}-модели (8). Зададимся некоторым числом ß . Правило, ставящее каждой кусочно-постоянной реалязации

и гг, от={)и г-гз A4 /Т# £ Т<

в соответствие кусочно-постоянную реализацию i/CT^OJ-d") , удовлетворяпщую (3) при и одновременно условию (II),

назовем CßjVCQ -процедурой, если выполнено условие наупрездеемоств (/ СТ+ С'3&) по U СТ+ [' 3 и дж всякого порозденного этим правилом движения j£ff. ["• 3 справс^и-л неравенство

к0С* ст;сом, исъ гJW)

В §§ 5-6 вводятся функции р ("•), Р СО, PCO следующим С//) JtA ' J ' 1

образом. Значения р^ £•) определявтся для каждой позиции "

{^i Яj V} согласно условию

(лО

Jm =

ß{^2 v}= [ Я.САЮ-Q-процедура].

Устанавливается, что каковы бн ни были позиция -{Х, 2., V}

числа Ms>Mn, и число Л/>0 , справедливо ра-

х • О * 2, О

венотве

СЫ) СЮ

Г CV,г,V)-ß (г,i,у). аг,

&> 21 0 учетом (12) значения функции vv определяются условием"

Ш) ( ct/) ' у)

zed to*v4va0i,M>M0\.

Во второй главе такке доказывается существование для каждой чсзиции {ft',2:,)/} конечного предела

г ) ■ (.Ы)

jHf, 2,У) = Um р ст д у) (13)

/V-* + со J у '

Таким ,образом, из (13) определится функция р СО . В §5 доказано, что оптимальная стратегия u°f •) строится как функция от переменних 0Cf V, 8 У 53 соответствии с условием

<1°-&Ши0> + 1вм1<и°.Фши°> =

= min {<l°B(-t)u>+ С+1<и-Фа)и>1 ueflz

-men. Lj>a,{3C-lJOW~i^i3)

|2 ,Z

ll£+ tnH ^ a + set -te)) ехрСЫ a -t0)J.

В §б устанавливается, что оптимальная .'контрстратегия ¿f° (■) строится как функция льроменнюс ■¿Ь/ jc, V, & ]' следующим образом.

I) Если матрица С С'Ь) при не будеч нулевой,

то С/ °СО определяется соотношениями.

<С-Са)(1°> - С =

ПН

= тСп -

сбК

у*"»«, у-О =

7<Т 1

т! + С - Ч

{15)

где /1/{"•) - любые функции, удовлетворяющие условиям

а(£)>0, А/(£)>0} йт ^(¿)=0, (лт .

£ -*0

2) Если матрица С(Ч) при ¿-т^1 становится нулевой, то тогда существует величина . '

-ь

, и построение контротратегии (/"(•) будет осуществляться также, как и в первой случае, но с той лишь разницей, что теперь роль конечного момента ф в (14)-(15) будет играть величина '¿* (16) (в данном случае воздействие второго игрока на объект (X) происходит только на отрезке времени Ч*3 )..

Во второй главе такке устанавливается, что для любой исходной позиции {Ь}Х.,У} объекта (I) справедливо равенство

с°сь,х,у) = .р(±,<*>0}, V).

В третьей главе рассматривается метод стохастического программного синтеза применительно к поставленной игровой задаче.

3 § 7 описывается стохастическая программная конструкция, даются определения ее составных; частей.

Пусть выбрана позиция {"Г*, , 3 ]* модели (8). Вы-

берем для отрезка СТ*,-^ разбиение }}

- . Свяжем с этим разбиением вероятностное пространство Рг Р} , где элементарное событие

набор значений независимых в совокупности случайных величин

— 1 • , распределенных равномерно и реализующихся в моменты т: .Позиция ^ У£Т„1} разбиение } и какая-либо пара стохастических неупре-ждающих программ (являющихся ограниченными функциями, взмери-мыми по Борелю по всем их аргументам)

и (-)- { и (-С, (X)Г, ^ со в Я};

■ соеЯ}

-С * '

определяет случайное движение 2 [[т Г" За^З, 0)1 как решение стохастического дифференциального уравнения

05оз::зчш через С^С») к U¿0) программы, отвечаю-вде разбиению /Л . Назовем программным ыаксишном р* для разбиения величину

/С^г^уГ-г^^бир Ы { Mflurfycoll}*

Ф (17)

f

4 , + / М{<иСи,Ь))-Фсс)и (х}

программным экстремумом в* для - величину

где величина определяется равенством

(18)

} уст, j,Л, ¿0))= <тв-Х(Ъъ)цг> +

СЛАСО СЛСО г. 1

• Ä7^, г) С В Ст) и Cr, ¿O) + uVr) с/Гт, оО) > -f + cucrav-CpeoueCjCoy^dT}},

Здесь ÍC )={i(Cj)} " П -мерная случайная вели-

чина на вероятностном пространстве Р} ! символ

II {(•)!! обозначает норму ||(0)Ц- (Ла.&ир |¿(w)j* случайной величины tí-) , где ¡-¿¡* - норма вектора . £ , сопряженная к корме | • I , которая фигурирует в (5); IY1 =

= М { te-')}, m cr; , w) = /М {¿C01...Д.w¡^

L = , где символы и м U. J

обозначают математическое озиданлэ и условное математическое ожидание.

В §S доказывается следующая лемма о связи между прогрэмм-мш экстремумом и программным максм.инсм.

Лемма 8.1. Каковы бы ни били позиция {с^ 1 Л*, VCt^U} и разбиение ¿^-{Т.} отрезка СТ*,-М -Т.-, ... ТГ^с-^), имеет место равенство

В §9 проводится исследование свойств программного экстремума в* . С учетом леммы 8.1 установлен следующий результат. Теорема Э.З. Каковы бы nil были исходная позиция {Т^} ,УС.Т41) и последовательность разбиений -{'Г.} = отрезка ["С,.-ft J с шагом <Г = max. fr- —Т. )

к - L1 1+1 (. V

удовлетворяющая условию ccm S" —Q , справедливо равенство

, fc К-^оп

tin е*tun

vet; a, ¿V-г };v/r-3).

В §10 развит конструктивны!-! меюд вдвделенял функция цо-ны игры путем рекуррентного построегшя иогнутюг оболочек для

с\

вспомогательных функций'

Пусть вибряни позиция { Т, ; Z I, V[T01} модели (8) и разбиение Г0, Tkti = -в- отрезка LT*,3 . а

2) Krasbvsfeji tf.bf., Resbe-fova T.tl. On the ¡>rograra syrnlbesis of a gmratiieei control //Problems cf Control and Information Theory. - 1988.- Vol.17, rfo.C.-P. 33J-34i3.

также любая измеримая функция

Введем вспомогательные функции

Т.*

у. (п,0С'1)= } Ш1п ■ 'По.Х [<т.

•Хфг)(ВстЖ+Сег)(/)> + <и- <Р(г)и > J Ыт,

%\гп)0[-])={Ф*О)} . <?.\тгС1[-1) = {Ч>*С0 + к к * ' <- £

+ > ¿=4,..-А

где символам Ц>*(т) ~ обозначена верхняя вогнутая

оболочка функции у*(т.)1 /гп)*^ 1 • Далее введем величину

Он /тГк!

Здесь верхняя грань берется по всем функциям Ос-З . удовлетворяющим С19) -

Теорема 10.1. Каковы бн ни были позиция объекта (I) и последовательность ¡избиений Ск-{, 2,..,) отрезка о шагом ^-Шзг , удовдаг-

ворякиая услсют (¿т. ^ = О справедливо равенство • ¿-»оо

1Р

(1т ел а,,€х,,01 ус^Д А) = с а х, у[11).

¡с-»со * '*' * ' *

В §11 приводится пример симуляции па ЭБМ процесса управления для модельной задачи. Отметим, что к дифференциальным уравнениям, описывающим динамику объекта в модальной задаче, годятся в ряде случаев уравнения управляемых движений двух .

териальных точек переменной массы, движущихся вдоль прямой лри наличии сили трения, пропорциональной скорости и противоположной ей по направлении, и при воздействии помех. В Прило-аенви дано доказательство двух вспомогательных лемм из третьей главы. -

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Для рассматриваемой задачи игрового управления линейным объектом при интегральных ограничениях на управления второго игрока установлено существование цены игры и построены оптимальные стратегия и контрстратёгия, которые в паре образуют седловую точку.

2. Развит метод стохастического программного синтеза для вычисления цены игры в исследуемой игровой задаче. .

3. Эффективный метод построения цены игры и-оптимальных стратегий и конгрстратегий, который известен для позиционных дифференциальных игр с геометрическими ограничениями на управлявшие воздействия. и который' основан на рекуррентном построении вогнутых оболочек для вспомогательных функций, распрост- ' ранен и на исследуемый и работе класс дифференииалпшх игр.

19

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЫЛЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Локшин М.Д. Позиционные дифференциальные игры с интегральными ограничениями на помеху /Урал. гос. ун-т.- Свердловск, 1989. - 42 е.- Деп. в ВИНИТИ 22.12.89, И7586-В89.

2. Локшин М.Д. Об игровом управлении при интегральном ограничении на помеху //Докл. АН СССР. - 1990.- T.3II, № 2. -

С. 276 - 282.

3. Локшин М.Д. О дифференциальных играх с интегральными ограничениями на помеху //Прикл. гатематика и механика.- 1990.-Т.54, Внп.З.- С. 401 - 408.

4. Lokshin Ю. On the optimal control of & Iinaar system un-¿er the condition of the integral disturbance constraint // Problems of Control anI Information Theory.- 1990.^ Vol.19, i/o. 2 P. 1П-127.

Подписано к печати 5.10.90 г. Формат 60x84 I/I6 06"ем 1.0 печ. л. Tupas 100 экз. Заказ 84. Бесплатно

Ротапринт Института математики и механики УрО АН СССР 620219, Свердловск, ул. С.Ковалевской, 16