Индикатор неоднородности среды для задачи томографии в полихроматическом случае

Балакина, Екатерина Юрьевна

Индикатор неоднородности среды для задачи томографии в полихроматическом случае тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Балакина, Екатерина Юрьевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Новосибирск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Индикатор неоднородности среды для задачи томографии в полихроматическом случае»

Автореферат диссертации на тему "Индикатор неоднородности среды для задачи томографии в полихроматическом случае"

005054278

На правах рукописи

Я-

Балакина Екатерина Юрьевна

ИНДИКАТОР НЕОДНОРОДНОСТИ СРЕДЫ ДЛЯ ЗАДАЧИ ТОМОГРАФИИ В ПОЛИХРОМАТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

- 1 НОЯ 2012

Новосибирск - 2012

005054278

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Новосибирский национальный исследовательский государственный университет".

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Аниконов Дмитрий Сергеевич.

Официальные оппоненты:

Белых Владимир Никитич, доктор физико-математических наук, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, ведущий научный сотрудник; Казанцев Иван Гаврилович, кандидат физико-математических наук, Федеральное государственное бюджетное учреждении науки Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, старший научный сотрудник.

Ведущая организация: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Дальневосточный федеральный университет".

Защита состоится 20 ноября 2012 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.174.02 при Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Новосибирский национальный исследовательский государственный университет" по адресу: 630090, г. Новосибирск, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан Ч октября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических паук

Старовойтов В.Н.

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Диссертация посвящена вопросу радиационного зондирования неизвестной среды, что представляет интерес для таких областей, как медицина, промышленность, геология и т.д. В работе эта проблема представлена в виде некоторых обратных задач для уравнения переноса. Исследование этого направления началось в 1964 г. с работ Г.И. Марчука, посвящёпных постановке и обсуждению одной обратной задачи в плоскопараллельном случае. В 1968 г. М.В. Масленников рассмотрел стационарное односкоростпое уравнение переноса в полупространстве и исследовал задачу о восстановлении индикатрисы рассеяния по угловому распределению излучения в глубине слоя. В книгах Р. Беллана, Р. Калабы, Ж.-Л. Лионса обратные задачи для уравнения переноса рассматривались в основном с точки зрения получения численных результатов. Затем К. Кейзом было предложено решение обратной задачи об определении индикатрисы рассеяния по угловому распределению излучения. Теперь теория обратных задач для уравнения переноса весьма обширна. Это объясняется большим разнообразием постановок задач, различными ограничениями и методами.

Задачи, поставленные в работах Д.С. Аникоиова, наиболее близки нам по характеру ограничений и методам исследования. В них ищется только лишь множество разрывов коэффициентов уравнения переноса при заданной плотности выходящего потока. Это соответствует поиску границ между различными веществами, входящими в состав зондируемой среды. Решение этой проблемы при широких ограничениях на исследуемый объект интересует специалистов в различных областях, в особенности, в дефектоскопии.

Цель работы. Целями работы являются:

1) реконструкция радиационного поля при известных характеристиках среды,

2) нахождение мест разрывов коэффициентов уравнения переноса, что является существенной характеристикой строения неизвестной среды.

Основные результаты. Рассмотрены краевые задачи для интегро-дифференциального уравнения переноса, где , в

качестве граничного условия задана плотность падающего либо выходящего потока. Приведено достаточное условие существования и единственности этих задач. Проведено сравнение этих условий.

Исследованы задачи нахождения множества разрывов коэффициентов уравнения переноса в случае объёмного и послойного зондирования. При этом учитывалось поглощение частиц средой и их однократное рассеяние. Постановки проблем соответствуют поэтапному зондированию неизвестной среды, что обычно имеет место на практике. Для каждого случая найдена функция, которая может принимать неограниченное значение только вблизи искомых множеств. Доказывается теорема единственности решения при довольно общих предположениях и при условии, гарантирующем существование искомых поверхностей.

Методика исследования. Для реконструкции радиационного поля ставятся и решаются краевые задачи с заданным падающим либо выходящим потоком. Для их исследования мы использовали схему, предложенную в работах B.C. Владимирова, Т.А. Гермогеповой, Д.С. Аниконова: сведение краевых задач к интегральным уравнениям и их решение при некоторых условиях на операторы.

Для нахождения разрывов коэффициентов уравнения переноса строится функция, принимающая неограниченные значения в окрестности искомых множеств. Метод исследования аналогичен методу, предложенному Д.С. Аниконовым.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Все основные результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми, их достоверность основана на строгих математических доказательствах. Кроме теоретической ценности полученные выводы могут служить основанием для построения численных алгоритмов.

Аппробация работы. Результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались и обсуждались на конференциях: XLVI Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс"(Новосибирск, 2008), IX Всероссийская молодежная школа-конференция "Лобачевские чтения-2010" (Казань, 2010), Международная научная конференция «Теория операторов,

комплексный анализ и математическое моделирование» (Волгодонск, 2011), Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики» (Новосибирск, 2007, 2012). Основные результаты докладывались на семинарах: семинар "Избранные вопросы математического анализа"(руководитель: д.ф.-м.н., проф. Г. В. Демиденко), семинар отдела условно-корректных задач (руководители: член-корр. РАН В.Г. Романов, д.ф.-м.н. Д.С. Аниконов), семинар по геометрическому анализу (руководитель: д.ф.-м.н., проф. С. К. Водопьянов).

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 10-01-00384-а, 11-08-00286-а) и поддержке ФЦП " Научные и научно-педагогические кадры инновационной России"на 2009-2013 гг. (государственный контракт № 16.740.11.0127).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-6]. Из них 2 работы - в журналах из списка изданий, рекомендованных ВАК.

Объём и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Объем работы 106 страниц. Список литературы состоит из 53 наименований.

Содержание диссертации.

Во введении дается краткий обзор литературы и излагаются основные результаты диссертации.

В первой главе рассматриваются две прямые задачи для уравнения переноса.

В параграфе 1.1 вводятся основные обозначения и предположения.

Рассматривается стационарное линейное интегро-дифференциальное уравнение:

ш • Уг/(г, и, Е) + м(г, Е)/(г, ш, Е) = е2

где г — пространственная переменная, г 6 О, С — выпуклая ограниченная область в трёхмерном евклидовом пространстве Е3; и б П — {ш € Е3 : |ш| = 1}; Е — числовая переменная, Е е I — [Етгп > Етах] •

Среда С — неоднородна. Для характеристики этой неоднородности введём в рассмотрение подмножество Со области б, которое является

объединением конечного числа областей:

р _ _

= и р< пОз = 0 ПРИ { ^ Г' =

¿=1

Область можно интерпретировать как часть неоднородной среды С, заполненную г-ым веществом.

Предполагается, что Со является обобщённо выпуклым множеством.

Величины, характеризующие среду, могут скачкообразно меняться по энергетической переменной Е е I внутри любой области С?г- Поэтому мы также будем рассматривать некоторое подмножество /о (/о с i, iо — i) множества i :

/о = У ь, ч < ос, /г П i] = 0 при г ф

г=1

где /г С /, г = 1,..., д, — открытые попарно непересекающиеся интервалы. Разбиение 12,. ■ ■ , 1д определяет области непрерывного изменения параметров излучения по спектральной переменной Е.

Определим следующий класс функций. Пусть У — произвольное ограниченное множество в К"1, дУ — его граница. К классу Б (У) отнесём вещественные функции ¡р(у), непрерывные и ограниченные на У, доопределённые в граничных точках г € У \ У, в которых они не определены, нижним пределом функции <р(у) при у —>■ г, у € У.

Зададим множества Ьг>ш = {г + : £ ^ 0} п X = {(г,ш,Е) : {г,и,Е) е х П х 1,Ьг,ш Ибо ф 0}- _

Введём функцию (¿(г, ш) — расстояние от точки г 6 б до границы <9(7 в направлении и.

Везде в дальнейшем будем считать, что дС — двумерная поверхность класса С2.

В параграфе 1.2, который состоит из трёх пунктов, исследуется классическая краевая задача.

В пункте 1.2.1 ставится классическая краевая задача, даётся определение её решения, вводятся ограничения на коэффициенты уравнения и краевое условие.

Классическая краевая задача. Найти функцию / из уравнения (1) и краевого условия

№,и},Е) = КЬи,Е), едв хПх /0) (2)

£ = г - й(г, —ш)и, г е С?,

где известными являются функции /л, к, 3, к.

Определение. Функция /(г, ш, Е)— решение классической задачи (1), (2), если:

а) /{г,и,Е) 6 Б(С?о х П х /0);

б) для всех (г, € бох^х/о функция и, Е) абсолютно непрерывна по £ при £ 6 [—d(r, —ш), ¿(г, ш)];

в) для всех (r,oj, Е) 6 Gq х Q х Iq

df(r + tu,u,E) dt

и выполняется:

df(r + tuj. oj, E)

dt t=о

£ D(G0 x ü x I0)

t=о

-r/xir, E)f(r,u,E) =

k(r, uj ■ и', E, E')f(r, u', E')dE'duj' + J(r, и, E);

n Ег

r) f(Z,u,E) = h(S,l),E),rflfi£ = r- d(r, -u)u для (г, ш, E) 6 Gq x

f2 x /0-

Введем вспомогательную функцию h(r, ш,Е) = h(r — d(r, -lü)u,u,E) = h(£,u>, E), где £ = r — d(r, -u)w.

Будем искать решение классической ^іря.мой задачи при следующих ограничениях на функции /л, к, J, к :

1) Цг,ы,Е) Є Б(С0 х П х /0);

2) ¡л{г,Е) Є Б(Со х /0), /с(г,ги • ъи',Е,Е') Є В((30 х П х П х /0 х /0), J{r,uJ,E) Є Б^о х П х /0).

В пункте 1.2.2 доказывается вспомогательная теорема. Теорема 1.2.1. Для того чтобы функция /(г,иі,Е) 5шіа решением прямой задачи (1), (2) необходимо и достаточно, чтобы /(г,ш,Е) для всех (г,ш,Е) Є Л" удовлетворяла уравнению

( «у») \

/(г,и>,Е) = ехр — / /х(г - Е)(іи /г(г — ¿(г, — ш)ш,и>, Е) +

d(r,—uj)

ег

k(r - tu, и -и',Е,Е')х

о / n Ei

xf(r-tu,oj',E')dE'duj' + J{r-tu,uj,E) j dt

+ J exp i~J — UUJ' E)du

в классе функций D(Go x fl x Iq).

В пункте 1.2.3 доказана основная теорема этого параграфа, в которой сформулировано достаточное условие, при котором решение классической задачи существует и единственно.

Для формулировки результата введём линейные операторы S и

Л :

е2

(,S<p)(r, ш,Е) = J J kir, и ■ и', Е, Е')<р(г, и', E')dE'dbj',

П Ei

d(r-uj) / t \

{Лф){г, ш, Е) — J exp j -J ¡j,(r - vuj, E)dv\ (p(r — tu,u, E)dt. о \ о /

Зададим функции

( d(r,—uj)

fo(r,u,E) = exp

' d(r,—u) \

— J [i{r — vlo, E)du

h(r - d(r, —uS)(jj, u>, E)+

е2

ц*а(г,Е) = У ! к{г,ы-Л,Е,Я)вы'йЁ,

П Ех

игт?Л-\ ІЇ{г,Е)/ц(г,Е), если/л(г, Е) > О,

О, если ц(г, Е) = О,

<1(г,—и>)

т — эир

/¿¿(г — иш, Е)(1и. Л= вир Х(г,Е)

и будем считать, что Л < оо.

Имеет место теорема существования и единственности. Теорема 1.2.2. Если выполняется А(1 — ехр(—т)) < 1, то решение задачи (1), (2) существует, единственно и представимо равномерно сходящимся рядом

ос

Е) = ^^ ((*Д5)п/о)(г, ил Е), (г, и, Е) Є X.

п=о

В параграфе 1.3 исследуется неклассическая краевая задача. В пункте 1.3.1 ставится краевая задача, даётся определение её решения, вводятся ограничения на коэффициенты уравнения и краевое условие.

Неклассическая краевая задача. Найти функцию / из уравнения (1) и краевого условия

/(7?, Е) = Н(г], Ш, Е), (77, ш. Е) Є дЄ х П х /, (3)

Т] = г + сІ(г,и)ш, гЄЄ,

где известными являются функции /х, /с. З, Н.

Определение. Функция /(г, и. Е)— решение неклассической задачи (1), (3). если:

а) /(г,ш,Е) Є Б^о хПх /0);

б) для всех (г, и,Е) £ Goxüxlo функция f(r+tu, и, E) абсолютно непрерывна по t при t Є [—d(r, -w), d(r,cj)];

в) для всех (г, lj, Е) £ Go х Ü X /о

df(r + tuj,u,E) dt

и выполняется:

df(r + tu,u,E) <ft

£ D(G0 xüxiq)

t=0

+M(r, E)f(r, и, E)

4=0

= J J k(r,u-u',E,E')f(r,u',E')dE'du' + J(r,u,E)-,

fl Ei

r) /(77, Ш, £) = H(r1, со, E), где Г] = г + d(r, для (r, cj, E) £ G0 x S7 x lo.

Введем функцию

Нг{г,и,Е) = + = Н{г].и,Е), где rj = r-+ d(r,

Сформулируем ограничения на функции ц, к, J, Н\\

1) Нг(г,ш,Е) £ D(G0 xSlx /0);

2) /i(r,£) 6 D(G0 x /0), k(r, w ■ w', E, E') £ D(G0 x tt x tt x I0 x /0), J{r,u,E) G D(G0 x П x /0).

В пункте 1.3.2 доказываются вспомогательные утверждения. Имеет место следующее утверждение.

Теорема 1.3.1. Для того чтобы функция f(r,w,E) была решением задачи (1), (3) необходимо и достаточно, чтобы f(r,tü,E) для всех (г, и>,Е) £ X удовлетворяла уравнению

/d(r.) \

/(г, ш, Е) = ехр / fi(r + fu,E)du\H(r + d(r,uj)uj,u,E)-

d{r,w) / t \ Е2

- J ехр ( У ц{г + uiü,E)dv j (//fc(r + • и, E,E') x

0 Vo / Cl El

х/(г + ,Е')(1Е'<1и' + J{r + Ъ*},ш,Е) ^ йг

в классе функций 0(Со х Г2 х 1о).

В пункте 1.3.3 доказана основная теорема этого параграфа, в которой сформулировано достаточное условие, при котором решение неклассической задачи существует и единственно. Также проводится сравнение условий существования решений для классической и неклассической задач.

В этом параграфе определим линейные операторы А и 5 следующим образом:

е-2

(S<p){r, ш,Е) = J J k(r, lü ■ J, E, E')ip(r, J, E')dE'du',

п ei

d{r, w) / t \

(A<p)(r,üJ,E) = - J exp (J n(r + vw,E)dv\ ip(r + tu,u,E)dt.

o \o /

Зададим функции:

/ d(r,cj) \

f0(r,uj,E) = exp í n(r + uu,E)du\H{r + d(r,u)uj,u,E)+ \ 0 /

+(AJ)(r,u,E),

lj,;(r, E) = J J k(r,LJ-ij',E,E')dLj'dE',

п ei

j pL*(r,E)/ti(r,E), еслп »(r,E) >0, b) - j если ^ = 0)

d(r,uj)

t = sup / /i(r + uto, E)du, A = sup A(r, E)

(r,üj,E)eGxQxI и считаем, что А < oo.

(■r,cj,E)eGxQxI J reG, Eel

Теорема существования и единственности заключается в следующем.

Теорема 1.3.2. Если выполняется Х(ехр(т) — 1) < 1, то решение задачи (1), (3) существует, единственно и представимо равномерно сходящимся рядом

со п-О

Вторая глава диссертации состоит из двух параграфов и посвящена двум обратным задачам.

В параграфе 2.1 ставится и исследуется задача рентгеновской томографии, являющаяся обратной задачей для дифференциального уравнения переноса. При этом учитывается поглощение частиц средой и их однократное рассеяние. Постановка проблемы соответствует поэтапному зондированию неизвестной среды, что обычно имеет место па практике. Ещё одним шагом в сторону реалистичности задачи является использование в качестве известных данных интегралов по энергии от плотности выходящего потока излучения, в отличие от задания плотности потока для каждого уровня энергии, как это принято в томографии. Искомым объектом являются поверхности разрывов коэффициентов уравнения, что соответствует поиску границ между различными веществами, входящими в состав зондируемой среды. Доказывается теорема единственности решения при довольно общих предположениях и при условии, гарантирующем существование искомых поверхностей.

Первый параграф состоит из четырёх пунктов. В пункте 2.1.1 приводится постановка задачи, вводятся предположения и ограничения на среду, в которой протекает процесс.

Задача. Найти — границу множества из уравнений

ы-ЧМг,и,Е) + 11{г,Е)!ч{г,и,Е) = Лг,и,Е), д=1,...,К, (4) и краевых условий

= (5)

{£,ш,Е) € дв х П х £ = г-с1(г,-ш)ы, г £ в,

е2

/ /,(71,ш,Е)йЕ = Нч{г),ш), [ЕъЕ2] С [Етгп 1 Етах

]. (6)

е\

(Т),ш) е дв х П, Г) = г + (1{г, г ей,

где известными являются поверхность дй и функции Нд(г/, и;), q — 1

Для упрощения обозначений введем функции

Нд(г,ш) = #д(г + (](г,ш)ш,и) = Нч(т],ш), где Г) = г + с£(г,и)ш,

1гч(г,ш, Е) = Нч(г - ¿(г, -ш)и,и, Е) = /г,(£,£*;, £),

£ = г - (1{г,-и)и, д=1 ,...,К.

Будем предполагать, что Е) е 0(С?о х Г 2 х /о) и, сверх того,

их частные производные по гт, т — 1, 2, 3, непрерывны в Со х П х /0 и могут быть неограниченными только при г, близких к На функции /л и .7 введём следующие ограничения:

1) ц(г,Е) е Щво х /0), 3 (г, ш, Е) € Б^о хПх /0),

2) т;Р(г>Е)> Э^Л^Е) Равномерно непрерывны в у, к = 1. 2, 3, г = 1,. .. ,р.

Считаем, что граница <9С?г. г = является непрерывной

кусочно-гладкой двумерной поверхностью класса С2.

Точку 2 назовём контактной, если она принадлежит границе только двух подобластей и эта граница в некоторой окрестности точки г представима в виде графика функции класса С2. Предполагаем, что контактные точки образуют множество, плотное в дОо\дО. В целом дОг для любого г считается липшицевой. Пусть 2 £ тогда существуют конечные пределы при Г —У г € бг, функций /х(г, Е) и 3(г,ш,Е), которые обозначим [ц(г,Е)]{ и Е)^. Возьмём точку г 6 <Э(?о, которая является граничной

только для двух множеств и С]. Величиной скачка функций ¡1 и 3 в точке г назовём: [[л(г, Е)}1^ = [ц(г,Е)]1 — [3{г,и),Е)}1^ =

В пункте 2.1.2 доказываются некоторые вспомогательные утверждения.

Обозначим: Ед(г,и>,Е) = /9(г + ¿(г,и)и,и, Е) — /д(т],ш,Е), (г, ш, Е) € Со х V. х /0, г\ — г + ¿(г, д = 1,..., К.

Лемма 2.1.1. Функции Ед(г,и,Е), д — 1 ,...,К, предстпавимы в виде

( ¿(г,ш)

Ед(г,и,Е) = ехр

¿{гм) ( £

+ / ехр

/х(г + аш, Е)йа

/ч(г,и,Е)+

J ¡л{г + аиі, Е)сіа У(г.ш)

3{г + ііо, иі, Е)(іі.

Далее будем исследовать функцию

1пй{т) = £ 9=1

е2

V J J Ед(г, си, Е)/Зя(г, и)(1Е(1и

СІ Еі

где /Зд(г,и>) — вспомогательные функции класса С2(С х Г2). Функция 1п(1(г) также вычисляется по данным обратной задачи:

1пй{г) = £ 9=1

V J рч(г,и)Н„(г,и)с1ы п

В пункте 2.1.3 доказываются основные утверждения, из которых следует основная теорема этого параграфа. Введём следующие обозначения:

¿(г,и) ^

гпуд(г, со,Е) = /Зя(г, а;) ехр | — J ц(г + аш, Е)йа

0 У

,з г'

9 I '

IУ - г I

( = тУд + тУд (,

Iг - у\' 14

IУ ~ Л

£1 Пг

где Г22 — пересечение единичной сферы в Е3 с центром в точке 2 и плоскости, касательной к в этой же точке.

Теорема 2.1.1. Для любой контактной точки г, г £ дО[ Г}дGj, и для г = г + тщ, щ — вектор внутренней нормали к 9(5;, 0 < \т\ < <5 (5 — достаточно малое число) функция 1пс1(г) представима в виде:

Ind(r) = M(r) ln(/j(r,0Go))

здесь

^ Mq{rJ.q{r))

+0(1),

М(г) = ^ 9=1

O(l) — функция, непрерывная и ограниченная при 0 < jr| < <5. p(r,dGo) — расстояние от точки г до поверхности Gq.

Отсюда следует основная теорема.

Теорема 2.1.2. Функция Ind(r) является непрерывной и ограниченной на всяком компакте в Gо- Пусть z — произвольная контактная точка. Рассмотрим точки г = z + rn(z), 0 < |т| < 5, где n(z) — какой-либо вектор единичной нормали к Go в точке z, 5 достаточно малое положительное число. Если выполнено неравенство АЛ(г) > const > 0, то Ind(r) стремится к бесконечности при г —^ г, т.е. при т —>• 0.

Таким образом, функция Ind{r) может быть неограниченной только вблизи искомой поверхности 8Gо- Это свойство служит основанием того, что функция Ind{r) называется индикатором неоднородности среды G.

В пункте 2.1.4 доказывается теорема единственности решения обратной задачи и делаются замечания по поводу условия, при котором задача может быть решена.

Пусть имеются две системы подобластей {G^'}, j — 1 функции ii^(r,E), jW(r,w,E) и h(q]{r, w, Е), к = 1,2, q = 1 ,...,К. Вычислим Hqk\r,u), q = 1,..., К, и (г), к = 1, 2.

Теорема 2.1.3 (теорема единственности). Если функции Ндг\г,и) и Нд2\г,ш) совпадают при всех (г, ш) 6 G х Я, q = 1,... , К, и M^(r) > const > 0 для всех контактных точек z поверхностей дС4:) и dG%\ г = z + гп(г), 0 < |т| < á, то dG{¿] = dG^.

Замечание 2.1.1. Выполнение условия Л4(г) > const > О гарантирует наличие скачков, т.е. разрыва функций ц(г, Е) или J{r,u,E) в этой точке. Предположим противное, пусть [ß(z,E)}ij — О и [J(z,

— тогда из вида функции Л4 следует, что она равна

нулю.

Случай, когда имеют место разрывы функций /л(г, Е) или J(r,w,E) Ф 0, №(г,ш,Е)]и ф 0, г - z + тщ, 0 < |т| < 5),

но при этом Л4(г) —> 0 (т —> 0), очень специфичен. Он означает наличие особой связи между параметрами задачи и вряд ли будет выполняться в широком классе случаев.

Замечание 2.1.2. Нетрудно указать достаточное условие, гарантирующее неравенство M{r) > const > 0. Сделаем естественное предположение, что хотя бы для одного q, 1 < q < К, fq(r,u,E) > const > 0, что соответствует проникновению зондирующего излучения в окрестность точки г. Тогда, если скачки [ц{г,Е)\ц, [J(z,u, E)]i¿ имеют разные знаки, функция 3q(r,ui) > 0, то условие М(г) > const > 0 выполняется. При отсутствии внутренних источников, т.е. при J(r,u,E) = 0, ситуация упрощается. Тогда достаточно только условия [ß(z, E)]ij ф 0, что соответствует наличию разрыва функции /х(г, Е) в точке г — z.

Замечание 2.1.3. В этой работе функциям ßq(r, и) предназначена роль резерва. Их можно было бы использовать, например, для учёта априорной информации, если таковая имеется. Кроме того, при построении численного алгоритма, когда искомые поверхности находятся rio аномально большим значениям индикатора, можно положить ßq(r,cj) — 0, г 6 0G, чтобы аннулировать особенности Ind(r) вблизи поверхности dG, которая и так известна из постановки задачи.

В параграфе 2.2 ставится и исследуется задача, соответствующая поэтапному и послойному зондированию неизвестной среды. В качестве исходных данных берутся интегралы

по энергии от плотности выходящего потока, измеренной на части границы области G, содержащийся в сечении трёхмерной среды.

Для решения этой задачи применяются похожие преобразования, как и при решении обратной задачи из главы 2, §1. Многие выкладки и обозначения носят похожий характер. Однако решить поставленную задачу, используя §1 главы 2, не предоставляется возможным. Имеются отличия, из-за которых необходимо решать задачу с самого начала и проводить все рассуждения заново.

Второй параграф состоит из четырёх пунктов. В пункте 2.2.1 приводится постановка задачи, вводятся предположения и ограничения на сред,', в которой протекает процесс.

Пусть V — плоскость в евклидовом пространстве Е3. Без ограничения общности будем полагать, что V = {(гьгг.гз) € Е3 : г3 = const}. Обозначим V = Gil? и предположим, что V ф 0. Так как G — выпуклая ограниченная область, то V также выпуклая ограниченная область в плоскости V. Будем считать, что каждое непустое пересечение Gt П V состоит из конечного числа областей. Множество всех таких областей обозначим Т>\, V2,. ■ ■ ,Т>К. Предположим, что к > 2 и выполнены условия:

V = [jvl, ViDVj^ 0, при г ф j.

¿=1

Обозначим через Р0 объединение всех XV

V0 = U Vi, к. < эс, V0 = GTVP. t=i

Пусть V*- плоскость, параллельная V и содержащая начало

координат, Q* = ii П V*.

Рассмотрим следующую обратную задачу, соответствующую многократному облучению среды G в случае, когда измерение выходящего потока происходит послойно, т.е. только в плоскости. Задача. Найти dV0 - границу множества V0 из уравнений

oj-Vrfq(r,u,E) + fi(r,E)fq(r,u,E) = J(r,u,E), (8)

и краевых условий

fq(Z,u,,E) = hq(Z,u,E), (9)

(£,и,Е) = (г-с1(г,-ш)ш,ш,Е), (г,и,Е) € V0 х П* х /0,

е2

! ¡ч{г!,Ш,Е)<1Е = Нч{77, ш), [Е1,Е2] С [ЕтЫ,Етах}, (10) е1

(Г),ш) = (г + (г,со) еТ>о х Г2*,

где известными являются функции Нд(л,ш), д = 1,..., К.

В задаче ставится вопрос о нахождении множеств с®г, г = 1,.... /с, на которых функции ц(г, Е) и ./(г, ш, Е) претерпевают разрыв первого рода по переменной г. Эти линии являются существенной характеристикой строения неизвестной среды.

Здесь измерение плотности выходящего потока производится в плоскости, в этом случае в постановке задачи нам даны функции Нд(г],ш), зависящие только от двух независимых переменных, вместо четырёх.

Для упрощения обозначений введем функции Нд(г,ш) = Нд{г+с1(г,ш)и,и) = Нд(г],ш), где ц = г+й(г,и)и, и>еп*,

Нд(г,и,Е) = Нд{г - й(г, -и)и,и,Е) = Нд(£,и,Е),

£ = г — (¿(г, — ш)со, шеС1*, я — 1

Будем предполагать, что /гд(г, и, Е) е В(£>о х П* х /о), д = 1,. .., К, и, кроме того, их частные производные по гт, т = 1,2, непрерывны в Т>о х П* х /о и могут быть неограниченными только при г, близких к дТ>.

На функции р. и ,7 введём следующие ограничения:

1) ц(г,Е) е х /о), Л{т,и,Е) € х ГГ х /0),

2) ^/Дг.Е), равномерно непрерывны в Gi, к — 1, 2, г = 1,.... р.

Считаем, что граница <ЭХ?г, г — 1,. .., к, состоит из конечного числа гладких кривых класса С2. Предположим, что контактные точки образуют множество, плотное в дТ>о\дТ>.

В целом 0Т>г для любого г считается липшицевой. В пункте 2.2.2 доказывается вспомогательная лемма.

Введём обозначение Fq(г, ш, Е) = fq(r+d(r,u)ui,uj, Е) = fq(r],u,E), (г, ш, Е) G Х>о х ÍT х /0, r¡ = г + d{r,u)u, q — 1,.... К. Будем исследовать функцию Ind*(r):

А' £2

Ind*(r)=J2 V/ i Fq(r,u},E)0q(r,u)dEdij

где ¡3q(r,Lü) — вспомогательные функции класса С2(Т> х П*). Функция Ind*(r) также представима в виде

Ind*

К Г

(r) = J2 V ßq{r, и)Hq(r,u)du

9=1 о.

В пункте 2.2.3 доказываются основные утверждения, из которых следует основная теорема этого параграфа.

Введём следующие обозначения для д — 1,... , К:

I rf(r,w)

mvJr, U, Е) = ßq(r, iü) exp

— J /i(r + aui. E)da 1 x

x {-[ß(z, E)]ijfq(r, и, E) + [J(z, w, E)]ij} , mü |r, —) = r?w9 ( r, —JE ) +mvq ( r, ^——i:E ) ,

k - у I:

ІУ -

£2

I \m°a(r, y{ñ Г

E і

4 'ly^-r

Теорема 2.2.1. Для любой контактной точки z, z Є ÖX>; n92?j, и для г — z + тпі, 0 < |г| < д (5 — достаточно малое число), функция Ind* (г) представиліа в виде:

Ind" {г) = М{г)

In(р(г, dV0))

+0(1),

Mq(r,tl(r),t*Jr))

здесь

M{r) = £

q=l

0(1)— функция, непрерывная и ограниченная при 0 < |т| < 5, р(г, дТ>о) — расстояние от точки г до поверхности Vо.

Следствием этого является

Теорема 2.2.2. Функция Ind.*[г) является непрерывной и ограниченной на всяком компакте в Т>о. Пусть z — произвольная контактная точка. Рассмотрим точки г — z + тп(г), 0 < |т| < 6. где n(z) — какой-либо вектор единичной нормали к Vо в точке z, 5 достаточно малое положительное число. Если выполнено неравенство ЛЛ{г) > const > 0, то Ind*(r) стремится к бесконечности при г z, т.е. при т -4 0.

В пункте 2.2.4 доказывается теорема единственности решения обратной задачи и делаются замечания по поводу условия, при котором задача может быть решена.

Пусть имеются две системы подобластей j — 1

функции fj,W(r,E), jW(r,u,E) и Цк) (г, со, Е), к = 1,2, q = 1 по ним вычислим Hqk\r, со), q = 1,..., К, и к — 1,2.

Теорема 2.2.3 (теорема единственности). Пусть функции и Hq2\r,u) совпадают при всех [г,и) € V х П*, q = 1 и выполняются неравенства ЛЛ^к\г) > const > 0 для всех

контактных точек z линий дТ>^ и дТ>¡¡2\ г — z + rn(z), 0 < |г| <6, тогда dV{Q] = dV{2).

Автор выражает благодарность Аниконову Дмитрию Сергеевичу за научное руководство и постановку задачи.

Работы автора по теме диссертации

[1] Балакина Е.Ю. Неклассическая краевая задача для уравнения переноса // Дифференциальные уравнения, 2009. Т. 45, № 9. С. 1219-1228.

[2] Аниконов Д.С., Балакина Е.Ю. Полихроматический индикатор неоднородности неизвестной среды для задачи рентгеновской томографии // Сибирский математический журнал, 2012. Т. 53, № 4. С. 200-221.

[3] Балакина Е.Ю. Применение одпоракурспого индикатора неоднородности в одной задаче томографии ■'/ Материалы ХЬУ1 Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2008. С. 58.

[4] Балакина Е.Ю. Неклассическая краевая задача для уравнения переноса// Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Казань: Издательство Казанского математического общества, 2010. Т. 40. С. 59-61.

[5] Балакина Е.Ю. Индикатор неоднородности неизвестной среды // Международная научная конференция «Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование». Тезисы докладов. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2011. С. 106107.

[6] Балакина Е.Ю. Полихроматический индикатор неоднородности неизвестной среды для задачи рентгеновской томографии// Международная научная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики». Тезисы докладов. Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2012. С. 120.

Балакина Екатерина Юрьевна

Индикатор неоднородности среды для задачи томографии в полихроматическом случае

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать О/ ./о. 12. Формат 60x84 1/16.

Усл. печ. л. 1.3. Уч.-изд. л. 1.3. Тираж 100 экз.

Заказ № 249

Редакциоппо-издательский центр НГУ 630090, Новосибирск-90, ул Пирогова. 2

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Балакина, Екатерина Юрьевна

Введение.

Глава 1. ПРЯМЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА

§1.1. Обозначения.

§1.2. Классическая краевая задача

§1.2.1 Постановка задачи.

§1.2.2 Вспомогательные результаты.

§1.2.3 Основной результат.

§1.3. Неклассическая краевая задача

§1.3.1 Постановка задачи.

§1.3.2 Вспомогательные результаты.

§1.3.3 Основной результат.

Глава 2. ЗАДАЧИ РЕНТГЕНОВСКОЙ ТОМОГРАФИИ

§2.1. Индикатор неоднородности неизвестной среды в полихроматическом случае при объемном зондировании

§2.1.1 Постановка задачи.

§2.1.2 Вспомогательные результаты.

§2.1.3 Основные утверждения.

§2.1.4 Теорема единственности.

§2.2. Индикатор неоднородности неизвестной среды в полихроматическом случае при послойном зондировании

§2.2.1 Постановка задачи.

§2.2.2 Вспомогательные результаты.

§2.2.3 Основные утверждения.

§2.2.4 Теорема единственности.

Введение диссертация по математике, на тему "Индикатор неоднородности среды для задачи томографии в полихроматическом случае"

Под проблемой томографии мы понимаем задачу определения внутреннего строения среды по результатам прохождения через неё радиационного излучения. Излучение рассматривается как поток фотонов различных энергий.

В качестве математической модели процесса переноса взято линейное стационарное интегро-дифференциальное уравнение переноса w • Vr/(r, uj, E)+fi{r, E)f(r, и, Е) = ei J J k(r,u-u',E,E')f(r,u',E')dE'dw'+ J(r,u,E), ^ п ei где r — пространственная переменная, г € G, G — выпуклая ограниченная область в трёхмерном евклидовом пространстве Е3; и е i2 = {oj € Е3 : |cj| = 1}; Е — числовая переменная, Е е I = [Emin, Етах].

Здесь f(r,u;,E) интерпретируется как плотность потока частиц в точке г с энергией Е, летящих в направлении и. Функции /i, к и J характеризуют среду G, при этом ц(г, Е) означает коэффициент полного взаимодействия (эта величина обратна свободному пробегу и складывается из коэффициента рассеяния и коэффициента поглощения), к (г, и • и>', Е, Е') означает индикатрису рассеяния (величину, пропорциональную числу частиц, которые в точке г меняют направление и/ и энергию Е' на w и Е соответственно), J(r,w, Е) означает плотность внутренних источников.

Работа состоит из двух основных частей. Первая часть посвящена двум прямым задачам для уравнения переноса. Они заключаются в определении функции / из уравнения (1) при всех известных коэффициентах fx, к, J и при задании дополнительных данных: плотности либо входящего в среду либо выходящего потока. Библиография этой и близких задач обширна [1-22]. Особенно отметим работу B.C. Владимирова [2], которая является фундаментальной в этом направлении, и книгу Т.А. Гермогеновой [3], наиболее близкую к нам по характеру ограничений и посвящённую, в основном, качественной теории решений краевых задач. Исследования в диссертации тесно связаны с книгой Д.С. Аниконова [1], в которой поставлена и решена задача о нахождении функции / при заданном падающем на среду потоке. В настоящей работе решение ищется в другом классе функций, а также рассмотрена задача о нахождении функции / при заданном выходящем из среды потоке.

Вторая часть работы заключается в исследовании двух обратных задач.

Часто постановки задач томографии выводятся непосредственно из соответствующих физических предположений. Как правило, аналогичного результата можно добиться, рассматривая определённые обратные задачи для уравнения переноса излучения. Впервые подобная постановка задачи была рассмотрена в 1964 г. в работах Г.И. Марчука [23, 24], посвящёпных постановке и обсуждению одной обратной задаче в плоскопараллельном случае. В 1968 г. М.В. Масленников [13] рассмотрел стационарное односкоростное уравнение переноса в полупространстве и исследовал задачу о восстановлении индикатрисы рассеяния по угловому распределению излучения в глубине слоя. В книгах Р. Беллана, Р. Калабы [25] и Р. Латтеса, Ж.-Л. Лионса [26] обратные задачи для уравнения переноса рассматривались в основном с точки зрения получения численных результатов. Затем К. Кейзом было предложено решение обратной задачи об определении индикатрисы рассеяния по угловому распределению излучения. Для уравнения, учитывающего зависимость от времени (нестационарный случай), постановки и обсуждения обратных задач имеются в работе А.И. Прилепко [27].

Вообще, томография была и остаётся областью интенсивных исследований, которой посвящены многочисленные публикации во многих странах мира. Отметим лишь некоторые из них, наиболее близкие к теме диссертации [28-49]. Задача рентгеновской томографии о нахождении неизвестных границ при известном выходящем потоке впервые была рассмотрена Д.С. Аникоиовым [1,28]. В настоящей работе предметом поиска также являются поверхности либо кривые (в зависимости от способа зондрования) разрывов коэффициентов уравнения, что является существенной характеристикой строения неизвестной среды. Однако отличие заключается в том, что в диссертации уравнение переноса не содержит интеграла столкновения, однако сделано продвижение в направлении постановки более реальной задачи томографии, а именно, вместо задания выходящего излучения для каждого уровня энергии задаётся интеграл по энергии и, кроме того, предполагается поэтапное зондирование среды, что принято на практике.

Остановимся более подробно на содержании диссертации. Диссертация состоит из двух глав.

В первой главе рассматриваются две прямые задачи для уравнения переноса. В параграфе 1.1 вводятся основные обозначения и предположения.

Рассматривается стационарное линейное дифференциальное уравнение (1). Среда С? — неоднородна. Для характеристики этой неоднородности введём в рассмотрение подмножество С?о области (7, которое является объединением конечного числа областей: V У р< П Ф = 0 при* ^ = 1=1

Область С?1 можно интерпретировать как часть неоднородной среды (7, заполненную ¿-ым веществом.

Предполагается, что С?о является обобщённо выпуклым множеством.

Величины, характеризующие среду, могут скачкообразно меняться по энергетической переменной Е € I внутри любой области Поэтому мы также будем рассматривать некоторое подмножество /0 (/о С /, /о = I) множества I: о = У /¿, 5 < 00, и П 13 = 0 при г ф j, ¿=1 где /г С /, г = — открытые попарно непересекающиеся интервалы.

Разбиение 1\,12,. ,1а определяет области непрерывного изменения параметров излучения по спектральной переменной Е.

Определим следующий класс функций. Пусть У — произвольное ограниченное множество в Мт, дУ — его граница. К классу О (У) отнесём вещественные функции (р(у), непрерывные и ограниченные на У, доопределённые в граничных точках г € У \ У, в которых они не определены, нижним пределом функции (р(у) при у —> г, уеУ

Зададим множества:

• Ьг<ш = + 0},

• X — {(г,и,Е) : (г,ш,Е) евхПх 1,£Г|ЫПС0 ф 0}.

Введём функцию с1(г, со) — расстояние от точки г € С до границы <Э(? в направлении и: с1(г,ш) = J х{г + о где х(г) ~ характеристическая функция области С, с/ = сИатС.

Везде в дальнейшем будем считать, что дй — двумерная поверхность класса С2. Обозначим частную производную функции (р(хх, ., х^) по переменной г = 1 через Пгф(Х1,Х2,.,Хк)

В параграфе 1.2, который состоит из трёх пунктов, исследуется классическая краевая задача.

В пункте 1.2.1 ставится краевая задача, даётся определение её решения, вводятся ограничения на коэффициенты уравнения и краевое условие.

Классическая краевая задача. Найти функцию / из уравнения (1) и краевого условия и,Е) = Н{£,и,Е), Е) Е дй х П х 10, (2) = г - ¿(г, г € С?, где известными являются функции к, 3, Н.

Пусть 1/(г, и, Е) есть следующее линейное дифференциальное выражение:

1/(г + Ьи,со,Е)

1Пг,и>,Е) = ей ц(г, Е)/(г,ш,Е). 0

Интеграл в правой части уравнения (1) обозначим через е2

ЛГ(г, и, Е) = J J к(г, и ■ и', Е, £?')/(г, а/, Е')йЕ'йш'. а Е1

Для сокращения записи будем пользоваться обозначением Р(г, и>, Е) = ТУ (г, и>, Е) + Определение. Функция /(г,и>,Е)— решение классической задачи (1), (2), если: а) /(г, и, Е) Є D(G0 х П х 70); б) для всех {г,ш,Е) eGoXÜxIo функция f{r + tu,uj,E) абсолютно непрерывна по t при t Є [~d(r, —из), d(r, cj)]; в) для всех (г, со, Е) Є Go х Q х 10 df(r + tu>,iü, Е) dt и выполняется: df(r + tu),uj,E) D(G0 х Ü x /о) t=0 eft z(r, £)/(r, w, £7) - iV(r, w, E) + J(r, w, £7); t=o r) £7) = £), где £ = г d(r, для (r, w, E) e G0 x П x I0.

Введем вспомогательную функцию h(r,u, E) = h(r — d(r, — oj)u,u>, E) = h(€,u, E), где f = r — d(r, —

Будем искать решение классической прямой задачи при следующих ограничениях на функции ¡л, к, J, h :

1. h(r,uj,E) 6 D(G0 х fi х /0);

2. /i(r,£) e D(G0 x /о), • w',E,E') e D(G0 x ü x Q x I0 x J0), J(r,uj,E) e D(G0 x Г2 x J0) ; эти функции неотрицательны, продолжаются нулем вне G, то есть /i(r, Е) — О, J(r, и, Е) = 0, к(г, ш • о/, Е, Е') = 0, при г £ G.

Также введем в рассмотрение функции: t d(r,—ui) t(r,u,E,t) = J ц(г — uüj, E)du, т(г,ш,Е)= J ß(r — uuj, E)dv. о о

В пункте 1.2.2 доказывается вспомогательная теорема.

Теорема 1.2.1. Для того чтобы функция f(r,w,E) была решением задачи (1), (2) необходимо и достаточно, чтобы f(r,u>,E) для всех (г,ш,Е) е X удовлетворяла уравнению f(r, и>, Е) — ехр (—т(г, и, E))h(r - d(r, -u)oj, lj, E)+ d(r,-u) J exp (~t(r,u>,E,t))P(r -tu,u,E)dt в классе функций D(C?o х О, х lo).

Для формулировки результата введём линейные операторы S и А : е2

S<p)(r, ш,Е) = J J k(r, и ■ и', Е, Е')ф, и', E')dE'du', п ei d(r,—u/)

Atp)(r,w,E) = J exp(—r(r, u),E, t))ip(r — tco,u,E)dt. о

Обозначим fo(r,u,E) = exp (—r(r, w, E))h{r — d(r, —u>)u>, u>, E) + (AJ)(r,w,E) и определим функции e2

E) = f J k(r, w • сУ, E, E')du;'dE',

П Ei x(r / ti(r,E)/n(r,E), еслиц(г,Е) > 0,

0, если fi(r, E) = 0.

Полагаем, что если /х(г, E) = 0, то ц*(г, Е) = 0. Введем также обозначения т = sup r(r,w,E),À= sup \(r,E) г,ш,е)есшх1 réG,EÇl и будем считать, что Л < оо. Имеет место утверждение:

Лемма 1.2.1. Для нормы оператора AS справедлива оценка:

AS|| ^ А(1 — ехр (—г)).

Отсюда следует формулировка теоремы существования и единственности. Теорема 1.2.2. Если выполняется А(1 — ехр (—г)) < 1, то решение задачи (1), (2) существует, единственно и представимо равномерно сходящимся рядом оо г,и,Е) = £((Л$)п/о)(г,и;,Я), (г,и,Е) Є п—0

В параграфе 1.3 исследуется неклассическая краевая задача. При обозначении некоторых функций, имеющих похожий смысл, что и во втором параграфе, будут применяться те же символы.

В пункте 1.3.1 ставится краевая задача, даётся определение её решения, вводятся ограничения на коэффициенты уравнения и краевое условие.

Неклассическая краевая задача. Найти функцию / из уравнения (1) и краевого условия

77, и/, Е) = Н(г), и, Е), (7], и, Е) е дв х П х /, (3)

Т] — г + ¿(г, ш)и, ГбС, где известными являются функции ц, к, J, Н.

Определение. Функция /(г,ш,Е)— решение неклассической задачи (1), (3), если: а) /(г, и, Я) еТ>{в0хПх 70); б) для всех (г, оо, Е) € Со х Г2 х 10 функция /(г + £и>, а;, Е) абсолютно непрерывна по £ при £ е [—с£(г, —а>), (¿(г, ы)]; в) для всех (г, ы,£)€<ЗохГ2х/о г + £ш, и>, Е) и и выполняется: г + £о>, и, Е)

6 Б(Со х П х /0) 0 Л х(г, £)/(г, и, Е) = ЛГ(г,о;, Я) + ./(г, и, £); 0 г) /(т],и, Е) = Н(т],ш, Е), где 77 = г + с1(г,ш)и> для (г, и;, Е) е (Зо х Г2 х /о-Введем функцию

Н1(г,и,Е) = Н(г+ с1(г,и)ы,и},Е) = Н(г],и},Е), где т] = г + с!(г,ш)ш. Сформулируем ограничения на функции /х, А;, 7, Яь

1. Н!(г,ш,Е) е Б(С0 х П х /о);

2. £?) е Б(Со х /0), к{г,из ■ ь/,Е,Е') е Б(С0 хПхПх 10х 10), € Б(С?0 х П х /0) ; эти функции неотрицательны, продолжаются нулем вне (3, то есть /л(г, Е) = 0, J(r, ш, Е) = 0, к(г, ы • и/, Е, Е') = 0, при г £ <3.

Введем ещё две необходимые функции: t d(r,u)

T(r,u>,E,t) — J fi(r + isu, E)du, т(г,и,Е)= J ß(r 4- uu,E)du. о о

В пункте 1.3.2 доказываются вспомогательные утверждения.

Лемма 1.3.1. Функции т(г, и, E,t), r(r,uj,E), d(r,u>) непрерывны при (г,ш,Е) € t е [0,d(r,w)].

В этом параграфе определим линейные операторы А и S следующим образом: е2

S<p)(r,aj,E) = J J k(r,u-w',E,E')(p{r,u',E')dE'düj',

Л Ei d{r,w)

A<p){r,w,E) = — J exp (r(r,u>, E,t))<p(r + tu, w, E)dt. о

Тогда справедлива следующая лемма.

Лемма 1.3.2. Операторы А uS действуют из D(G0 х fi х /0) в D{Gq х х /0). И имеет место следующее утверждение.

Теорема 1.3.1. Для того чтобы функция f(r,u>,E) была решением задачи (1), (3) необходимо и достаточно, чтобы f(r,u>, Е) для всех (г, и, Е) € X удовлетворяла уравнению f(r,uj,E) = exp (т(г,и,Е))Н{г + d{r,UJ)üJ,UJ,E)d(r,u>)

- J exp (T(r,ui,E,t))P(r + tüj,uj,E)dt 0 в классе функций D{Gq x г2 x /q).

Ег

Е) — f J k{r, и ■ и', Е, E')dw'dE',

П Ei ur j?\ / ti(riE)/ß(r,E), еслиц(г,Е) > О, K ' ' \ 0, если /л(г,Е) — 0.

Полагаем, что если ц(г, Е) — 0, то //*(г, Е) = 0.

Введем также обозначения т— sup т(г,и,Е),\= sup X(rtE) г,ш ,E)£G xilx I r€G,E€l и считаем, что Л < оо.

Справедлива лемма.

Лемма 1.3.3. Для нормы оператора AS справедлива оценка:

Л5ИЛ(ехр(г)-1).

Замечание. Оценку, полученную в лемме 1.3.2, нельзя улучшить, то есть возможно выполнение равенства: ||AS|| = А(ехр(т) — 1).

Теорема существования и единственности заключается в следующем.

Теорема 1.3.2. Если выполняется А(ехр (г) — 1) < 1, то решение задачи (1), (3) существует, единственно и представимо равномерно сходящимся рядом оо f(r,u,E) = J2((^S)nfo)(r,u,E), (г, uj, Е) 6 X. п=0

Вторая часть диссертации состоит из двух параграфов и посвящена двум обратным задачам.

В параграфе 2.1 ставится и исследуется задача рентгеновской томографии, являющаяся обратной задачей для дифференциального уравнения переноса. При этом учитывается поглощение частиц средой и их однократное рассеяние. Постановка проблемы соответствует поэтапному зондированию неизвестной среды, что обычно имеет место на практике. Ещё одним шагом в сторону реалистичности задачи является использование в качестве известных данных интегралов по энергии от плотности выходящего потока излучения, в отличие от задания плотности потока для каждого уровня энергии, как это принято в томографии. Искомым объектом являются поверхности разрывов коэффициентов уравнения, что соответствует поиску границ между различными веществами, входящими в состав зондируемой среды. Доказывается теорема единственности решения при довольно общих предположениях и при условии, гарантирующем существование искомых поверхностей.

Задача. Найти 8Gq — границу множества Gq из уравнений w-Vrfq{r,u,E)+n(r,E)fq{r,u,E) = J(r,u,E), q=l,.,K, (4) и краевых условий fq(S,u,E) = hq{£,<j,E), (5) е дв х О х I, £ = г-(1(г,-и) со, г € <7, е2

I }<1{г1,и,Е)йЕ = НС1{г1, и), [ЕиЕ2\ с [Ет{п, Етах], (б) е1 г],и)едСхП, г} = г + й{г,и)ш, г в в, где известными являются поверхность <9(7 и функции Нд(г],ш), я = I,.,К. Для упрощения обозначений введем функции

Н9(г,и>) = Нд(г + с1(г,и)и,ш) = Нд{г},ы), где г] = г + й{г,ш)ш, г,и,Е) = ¡1ч{г-й{г, -ы)ш,ш,Е) = = г - ¿{г, = 1,., К.

Будем предполагать, что Нд(г,и,Е) € Б(С0 х П х /0) и, сверх того, их частные производные по гт, т = 1,2,3, непрерывны в С?о х О х /0 и могут быть неограниченными только при г, близких к <9(7. На функции /I и 7 введём ограничения:

1) ц(г,Е) е Б(<70 х /0), Лг,и,Е) е Б(£0 хрх 10),

2) равномерно непрерывны в С?г, З,к = 1,2,3, 1 = 1,.,р.

Считаем, что граница 5(7;, г = 1 ,.,р, является непрерывной кусочно-гладкой двумерной поверхностью класса С2.

Точнее говоря, сделаем следующие предположения.

Условимся обозначать координаты точек г, у, г, и в основной системе координат (Г1,Г2,Г3), (У1,У2,Уз), (-гь^г^з), (и>1,и>2,ш3) соответственно. Базис для этой системы координат состоит из ортонормированной системы векторов {ех,в2,ез}. Пусть г Е п дй^ и в некоторой окрестности У(г) этой точки нет точек областей (7г кроме (7; и (7/. Пусть в точке г существует касательная плоскость Р(г), общая для 5(7^ и дО у Обозначим единичный вектор внутренней нормали к 5(7; в точке г через щ(г). Возьмём цилиндр Сг(.г) высоты 25 с центральной осью вдоль П/(г), основанием которого является круг в плоскости Р{г) : {у : у 6 Р(г),\у — г\ ^ <5,0 < <5 < 1}, т.е. С5(г) = {у : у € Е3,|у - г|2 - (у - г,щ(г))2 < 62,\{{у - г),т(г))\ < б}. Часть поверхности <9(7; внутри С$(г) обозначим 5<7/>г. Пусть для достаточно малого 5 выполняется дС^г = дО]<г и для всех г е С&{г), у е дй^ \у — г| = р(г, 9(7(,г). Возьмём декартову систему координат в Е3 с началом в точке г, у которой первые две оси расположены в Р(,г), а третья направлена вдоль п;(г). Координаты точек в этой системе координат будем обозначать (Сь Сг, С — (Сь Сг), $ € М1.

Предположим, что поверхность 9(7;,г представляется в виде графика (С> ^(С))> |С| ^ <5, где функция <р имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно и уэ(0) = ^^(О) = Г>2<^(0) = 0.

Тогда справедливы оценки: \ВкЦ>(С)\ ^ соп8Ь\^\,к = 1,2, |у>(С)| ^ сопв^2.

Такие точки г будем называть контактными и предположим, что они образуют множество, плотное в <9Со\9С.

Как и в [1], в целом дGi для любого г считается липшицевой.

Пусть 2 € тогда существуют конечные пределы при Г —» 2, Г € Си функций г,Е) и 3(г,и>,Е), которые обозначим Б1)]! и [7(2,и;, Е)]^ Возьмём точку 2 € <ЗС?о, которая является граничной только для двух множеств (7; и Величиной скачка функций ц и 3 в точке 2 назовём: [^(2, -Е)]^- = [¡л(г, Е1)]; —[/1(2,

7(2,0;,= №,<*/,£)]« - у,£?)],-.

В пункте 2.1.2 доказываются некоторые вспомогательные утверждения.

Введём обозначения:

Ря{г,и,Е) = /в(г + й(г,ш)и,и,Е) = /ч(г),и,Е), (г,и,Е) е в0 х О, х 10, г] = г + с1(г,и)и), я = 1 ,.,К.

Лемма 2.1.1. Функция Еч(г,и!, Е), д = 1,., К, представима в виде с1(г,ы)

Ед(г,и,Е) =ехр J ц{г + аи).Е)(1а ^ /д(г,ш,Е)+ о J ехр ^ J ц{г + аи>,Е)йа^ 7(г + си,

О й{г,ш)

Возьмём вспомогательные функции /Зд(г,ш), д = 1,.,АГ, класса С2(б х Далее будем рассматривать функции Ря(г,и>,Е) = Рд(г,ш)Ед(г,и>,Е), <7 = и исследовать оператор к Е2

Ind(r) = ^2 v/ I Pq(r,u,E)dEdw 0=1 г; к г ^

9=1 П Si который явно вычисляется по данным обратной задачи: к

Ind(r) = ^2 V / Pq(r,u)Hq(r,u)du 9=1

Исследуем функцию Ind(r), представленную в (7), а именно, выясним её поведение на множествах Go и dGo

Предварительно введём следующие обозначения: Щ = {г : г Gi, p(r, dGi) < г},

Пусть V — произвольная окрестность в Е3, замыкание которой содержится в множестве G0, V С Go- Потребуем, чтобы выполнялось условие sup mesi(LriUr\ I ])-*0, при e ->■ 0, mes3 П- < const e, rev, \i=1 / здесь mesk— лебегова мера в евклидовом А;—мерном пространстве.

Считая, что функции //(г, Е) и J (г, и, Е) допускают гладкое продолжение по г вне каждой области Gi, аналогично [1] введём функции //(г, Е) и J£(r, и, Е) такие, что: V це(г,Е) = Е), где ц,\{г,Е) — функция, имеющая при (г, Е) е G х 10 i=i непрерывные и ограниченные частные производные по гт, т = 1,2,3, до второго порядка включительно, совпадающая с ¿¿(г, £) при г £ Gi и равная нулю при г ^ Gf; р

Je(r,u>,E) = £), где J-(r,u,E) — функция, имеющая при (г,и>,Е) 6 г=1

G х Q х 10 непрерывные и ограниченные частные производные по rm, m = 1,2,3, до второго порядка включительно, совпадающая с J(r,u>,E) при г € Gi и равная нулю при г ^ G\. Предположим также, что нормы функций це(г,Е) и J£(r,oj,E) в пространстве C2(Gi), г — 1,. ,р, ограничены константой, не зависящей от w, Е.

В выражения fq(r,uJ,E) и Рд(г,и>,Е) вместо функций /х(г, Е) и J(r,u>,E) подставим ff(r,E) и Je(r,ui,E), переобозначив их через /д(г,ш,Е) и P%(r,w,E), и рассмотрим функции tf),

2 е2 г) = 11 Р*(г,и,Е)(1Е(Ь, Уд{г) = 11 Рч(г,ш,Е)(1Е(1и, Ч = 1 п ег п ех

Лемма 2.1.2. Для любой окрестности V, V С Со, непрерывные функции при е —> О стремятся к уд(г) равномерно по г € V, = 1,., К. Для любого т = 1,2,3 непрерывные производные Пту^\г) равномерно в V стремятся к Птьд(г) при е —> 0, д = I,. ,К. Для всех г € б о имеет место равенство р £2 £ 11 + где интеграл по множеству «ЭС^ в правой части понимается как поверхностный интеграл первого рода, функция Я^г,у,Е) представляется в виде:

Щт, у, Е) = /3, (г, ) ехр ( - I „ (г + Е) йа о х {-*(*,£)Л (г, + •>< (у.]~Т7['£:)} +

О-«) о у € 5С?о, ~ непрерывная в С?о функция, которая может быть неограниченной только вблизи поверхности q = 1,., К.

В пункте 2.1.3 доказываются основные утверждения, из которых следует основная теорема этого параграфа. Введём следующие обозначения: d(r,u) а х mvg(r,u, Е) = ßq(r,ui)exp J fi(r + aco,E)dc о

П'Я) =туя(г'ТГ~+mvi Zi>E) ' <7 = 1, ■ ■. ,К. у-г

Рассмотрим выражение / / г-у I J \ ' I у -г dyadE. г-у|2

Пусть Г22 — пересечение единичной сферы в Е3 с центром в точке г и плоскости, касательной к в этой же точке.

Лемма 2.1.3. Существует функция £9(г), |£д(г)| ^ <5, такая, что

Iq{r) = Mq{r,tq{r)) ln(p(r, ÖGo))

0(1), где s2

E\ П2 " Г|

0(1)— функция, непрерывная и ограниченная при 0 < |т| < 5, p(r, öGq) — расстояние от точки г до поверхности Gq.

С помощью этой леммы доказывается

Теорема 2.1.1. Для любой контактной точки z, z Є dGiOdGj, и для г = z+тщ, О < \т\ ^ 5 (5 — достаточно малое число) функция Ind(r), определённая в (7), представима в виде:

Ind(r) = М{г)

Hp(r,8Go))

0(1), здесь к

М{г) = £

9=1

Mq(r,tq(r))

Отсюда следует основная теорема этого параграфа.

Теорема 2.1.2. Функция Ind[r) является непрерывной и ограниченной на всяком компакте в Go- Пусть z — произвольная контактная точка. Рассмотрим точки г = z + тп(г), 0 < |т| ^ 5, где n(z) — какой-либо вектор единичной нормали к Go вточке z, 5 достаточно малое положительное число. Если выполнено неравенство M(r) > const > 0, то Ind(r) стремится к бесконечности при г z, т.е. при г —> 0.

Таким образом, функция Ind(r) может быть неограниченной только вблизи искомой поверхности 8Gq. Это свойство служит основанием того, что функция Ind{r) называется индикатором неоднородности среды G.

Пусть имеются по две системы подобластей {Gjh^}, j = 1,. ,р, функции i(k){r,E), и Цк\г,и>,Е), к = 1,2, q = 1 ,.,К. Вычислим Щк\г,и), д = 1,.,К, иМ{кЦг), к =1,2.

Теорема 2.1.3. Пусть функции Ндг\г, си) и совпадают при всех (г, w) €

G х Q, q = 1,., К. Тогда контактные точки z е к = 1,2, для которых

M^k\r) > const > 0 (г = z+rn(z), 0 < \т\ ^ 5), являются общими для поверхностей 8G{o] и dG%\

Следствием этой теоремы является теорема единственности решения обратной задачи.

Теорема 2.1.4 (теорема единственности). Если в условиях теоремы 2.1.3 потребовать выполнения неравенств Л4^(г) > const > 0, для всех контактных точек z поверхностей dG^ и dG^\ г = z + rn(z), 0 < |т| ^ S, то

Замечание 2.1.1. Выполнение условия M(r) > const > 0 гарантирует наличие скачков, т.е. разрыва функций ц{г,Е) или J(r,u,E) в этой точке. Предположим противное, пусть \p.(z,E)]ij = 0 и [J(z,u, E)]ij = 0, тогда из вида функции М. следует, что она равна нулю.

Случай, когда имеют место разрывы функций /л(г, Е) или J(r, и, Е) (\p(z, E)]ij ф 0, \J{z,u, E))ij Ф 0, г = z + тщ, 0 < |г| < 5), но при этом М{г) -)■ 0 (г 0), очень специфичен. Он означает наличие особой связи между параметрами задачи и вряд ли будет выполняться в широком классе случаев.

Замечание^ 2.1.2. Нетрудно указать достаточное условие, гарантирующее неравенство M.{r) > const > 0. Сделаем естественное предположение, что хотя бы для одного q, 1 ^ q ^ К, fg(r,u,E) > const > 0, что соответствует проникновению зондирующего излучения в окрестность точки z. Тогда, если скачки [n(z,E)]ij и [J(z,u},E)}ij имеют разные знаки, функция ßq(r,u) > 0, то условие M(r) > const > 0 выполняется. При отсутствии внутренних источников, т.е. при J(r, oj, Е) = 0, ситуация упрощается. Тогда достаточно только условия [fi(z, E)]ij Ф 0, что соответствует наличию разрыва функции ¡л(г, Е) в точке г = z.

Замечание 2.1.3. В этой работе функциям ßq(r, и>) предназначена роль резерва. Их можно было бы использовать, например, для учёта априорной информации, если таковая имеется. Кроме того, при построении численного алгоритма, когда искомые поверхности находятся по аномально большим значениям индикатора, можно положить ßq(r,ui) = 0, г € dG, чтобы аннулировать особенности Ind(r) вблизи поверхности dG, которая и так известна из постановки задачи.

В параграфе 2.2 ставится и исследуется задача, соответствующая поэтапному и послойному зондированию неизвестной среды. В качестве исходных данных берутся интегралы по энергии от плотности выходящего потока, измеренной на части границы области G, содержащийся в сечении трёхмерной среды.

Второй параграф состоит из четырёх пунктов. В пункте 2.2.1 приводится постановка задачи, вводятся предположения и ограничения на среду, в которой протекает процесс.

Пусть V — плоскость в евклидовом пространстве Е3. Без ограничения общности будем полагать, что V = {(гьг2,гз) Е Е3 : г3 = const). Обозначим V — G П V и предположим, что V ф 0. Так как G — выпуклая ограниченная область, то V также выпуклая ограниченная область в плоскости V. Будем считать, что каждое непустое пересечение Go п V состоит из конечного числа областей. Множество всех таких областей обозначим V\, V2,.,VK. Предположим, что к > 2 и выполнены условия: к

V = (J Vu Vi n Vj = 0, приг Ф j. i=1

Обозначим через V0 объединение всех V{-, к

0 = U Vi, к< 00, V0 = GTvP. i=i

Пусть V* — плоскость, параллельная V и содержащая начало координат, О,* = QnV*.

Задача. Найти &Dq — границу множества Vq из уравнений w • Vr/, (г, ш, Е) + /х(г, E)fg(r, и, Е) = J (г, и, Е), (8) и краевых условий fq(^u,E) = hq(^,u,E), (9) и,Е) = (r-d(r,-u)oj,uj,E), (г, ш, Е) 6 V0 х П* х 10, е2

I= [ЕъЕ2] с [е^пепах], (10) ег г),и>) = (г + <1(г,и)и,и), {г,и) ет>о х Г2*, где известными являются функции Ня(г],и), д = 1,., К.

В задаче ставится вопрос о нахождении множеств дТ>1, г = 1,. ,к, на которых функции ц(г, Е) и 3(г, и, Е) претерпевают разрыв первого рода по переменной г. Эти линии являются существенной характеристикой строения неизвестной среды.

Здесь измерение плотности выходящего потока производится в плоскости, в этом случае в постановке задачи нам даны функции Нд(т],и), зависящие только от двух независимых переменных, вместо четырёх.

Для упрощения обозначений введем функции

Нд(г,и>) = Нч(г + й(г,и>)и),ш) = Н9(т],и), где г) = г + й(г, и)и, ш € О*,

Л,(г, ш, Е) = - й(г, и, Е) = ш, Е), £ = г — ¿{г, — ш)а>, и е ГГ, <7=1 ,.,К.

Будем предполагать, что Ьд(г,и, Е) 6 Б(Р0 х Г2* х /0), ^ = 1,., Л', и, кроме того, их частные производные по гт, т = 1,2, непрерывны в Т>0 х Г2* х /о и могут быть неограниченными только при г, близких к дТ>.

На функции ц и <7 введём следующие ограничения:

1) р(г, Е) е В(2?о х /0), у, £7) е Б(Р0 х р* х /0),

2) равномерно непрерывны в ви з,к = 1,2, г =

Считаем, что граница сШг, г = 1,.,/с, состоит из конечного числа гладких кривых класса С2. Точнее говоря, сделаем следующие предположения.

Условимся обозначать координаты точек г, у, г, и> в основной системе координат (т'ъЫ) (УьУ2), (^1,^2)) соответственно. Базис для этой системы координат состоит из ортонормированной системы векторов {еьег}. Пусть г € дТ>1 П дТ>] и в некоторой окрестности У(г) этой точки нет точек областей кроме Т>1 и Пусть в точке г существует касательная, общая для дТ>1 и дТ>^. Обозначим единичный вектор внутренней нормали к дТ>1 в точке г через п^г). Возьмём квадрат С ¡{г) шириной и высотой 25, центром в точке г и осью вдоль т{г) : С$(г) = {у : у € Е2, \у — г\2 - (у - г,щ(г))2 < 52,\((у - ^ 5,0 < 5 < 1}. Часть кривой Э1внутри

С ¡(г) обозначим дТ>^г. Выберем 5 так, чтобы дТ>1<г = и чтобы для точек г = г + тщ, 0 < |т| < 5, р(г,дТ>о) = \г — г\, где р(г,дТ>о) — расстояние от точки г до границы множества Vо- Возьмём декартову систему координат в Е2 с началом в точке г, у которой одна ось — касательная к &Т>1 в точке г, а вторая направлена вдоль п/(г). Координаты точек в этой системе координат будем обозначать (С,

Предположим, что кривая сЩ>г представляется в виде графика ((, |С| ^ ^ где функция у? е С2(|С| < 5) и у?(0) = ср'(0) = 0.

Тогда справедливы оценки: |<^'(С)| ^ сопэЬ|С|, |у(С)| ^ сопй^С!2. Такие точки г будем называть контактными и предположим, что они образуют множество, плотное в дТ>0\дТ>.

Как и в [28], в целом дТ>* для любого г считается липшицевой. В пункте 2.2.2 доказывается вспомогательная лемма.

Введём обозначения: Рд(г,и,Е) = /д(г + с1(г,ш)ш,ш, Е) = /д(т],со,Е), (г,ш,Е) б Т>0 х Г2* х /0, г] = г + с1(г,и)и, д - 1

Возьмём вспомогательные функции 0д(г,ш), д = 1 класса С2(Т> х Г2*) и зададим функции Рд(г, ш, Е) = /Зд(г, и)Рд(г, ш, Е), д = 1,., К. Определим функцию 1пй*{г) следующим образом: к Е2

Ind*(r) = ¿ V í í Pq(r,u>,E)dEdu , (11) í i которая также представима в виде к

Ind*(r) = ¿ V Í Pq(r,u)Hq(r,u)du

9=1 о.

Исследуем функцию Ind*(r), представленную в (11), а именно, выясним её поведение на множествах Vq и &Vq.

Предварительно введём следующие обозначения: Щ = {г : г £ T>i, p(r, 9X>¿) < е},

X* = п?ид.

Пусть V — произвольная окрестность в Е2, замыкание которой содержится в множестве Vq, V С Vq. Потребуем, чтобы выполнялось условие sup mesi{LT<uC\ í \ju¡ J) -> О, при г —> 0, mes2 П- < conste, reV,wen* \ j=1 / здесь mesk~ лебегова мера в евклидовом А:—мерном пространстве.

Считая, что функции /л(г,Е) и J(r,u,E) допускают гладкое продолжение по г вне каждой области Vi, аналогично [1] введём функции це{г,Е) и J£(r,u,E) такие, что: к xe(г, Е) = Y^¡ÁÍriE), где ¡i\(г, Е) — функция, имеющая при (г, Е) е V х /0 i=l непрерывные и ограниченные частные производные по rm, m = 1,2, до второго порядка включительно, совпадающая с ,u(r, Е1) при г G и равная нулю при г ^ к

JE(r,uj,E) = X) где Jf(r,u,E) — функция, при (г,и,Е) в V х Г2* х 70 i имеющая непрерывные и ограниченные частные производные по rm, m = 1,2, до второго порядка включительно, совпадающая с J (г, и, Е) при г 6 P¡ и равная нулю при г ^ V¡. Предположим также, что нормы функций ¡ле(г,Е) и J£(r, и, Е) в пространстве C2(Ví), i = 1,., к, ограничены константой, не зависящей от и, Е.

В выражения /д(г,ш,Е) и Рд(г,и>,Е) вместо функций г,Е) и 3{г,ш,Е) подставим це{г,Е) и £), переобозначив их через /д(г,ш,Е) и Рд(г,и>,Е), и рассмотрим функции е2 Е2

4e)(r) = / / Peq(r,u,E)dEdhj, vq(r) = j J Pq(r,u,E)dE(bj, q = l,.,K.

П* Si n- Si

Лемма 2.2.2. Длл любой окрестности V, V С Т>о, непрерывные функции при е 0 стремятся к ид(г) равномерно по г € V, я = 1К. Для любого т = 1,2 непрерывные производные Вт4д\т) равномерно в V стремятся к Птьд(г) при е —» 0, я — 1,. ,К. Для всех г € То имеет место равенство к Ез

А»Ч»(г) = Е / / V. + Ф,(г), где интеграл по множеству дТ>{ в правой части понимается как криволинейный интеграл первого рода, функция Л^г, у,Е) представляется в виде:

U ~~ T а--г, Е) da ) х у-г и х {-«<»,ад (г.^.я) + л + О

X (г, я) + Ji ,s) } , у G öGo, Фд(г) — непрерывная в Vq функция, которая может быть неограниченной только вблизи линии дТ>, q = 1,., К.

В пункте 2.2.3 доказываются основные утверждения, из которых следует основная теорема этого параграфа. Введём следующие обозначения: d{r,u) mvg(r,u,E) = ßg(r,Lü)exр J /х(г + au, E)da ^ х о

I у-г

Рассмотрим выражение тя (Г>ЇІ—Л'Я) =mvq(r, , q = l,.,K. е2

W=JJ г~УУ J .4 V \y-r m„

El dVi,z r-V I dyCrdE.

Лемма 2.2.3. Для любой контактной точки г, г € Т>1 П 1 ^ I < j ^ к, существуют функции ^(г), —5 ^ ^(г) ^ 0, и 0 ^ £2(г) ^ <5, такие, что для всех г, г = г + тщ(г), О < |т| ^ 5, выполняется равенство: = Mq(r,tl(r),t2g(r)) ln(p(r, dv0))

0(1), где

M,(r,t\t>) = /{m; (г,+ (r.gl

ЕІ

0(1)— функция, непрерывная и ограниченная при 0 < |т| < 5, р(г, дТ>0) — расстояние от точки г до линии Vо.

Далее доказывается теорема

Теорема 2.2.1. Для любой контактной точки г, г Є дV^Г\дT>j, и для г = г+тщ, О < |т| ^ 6 (5 — достаточно малое число), функция, 1псГ{г), определённая в (И), представима в виде:

Ind*(r) = М(г)

1п(р(г, дТ>0))

0(1), здесь к

М{т) = £ ?=1

Mq{r,t\{r),tl{T))

Следствием этого является

Теорема 2.2.2. Функция Ind*(r) является непрерывной и ограниченной на всяком компакте в XV Пусть z — произвольная контактная точка. Рассмотрим точки г = z + rn(z), 0 < |r| ^ <5, где n(z) — какой-либо вектор единичной нормали к Х>о вточке z, 8 достаточно малое положительное число. Если выполнено неравенство M(r) > const > 0, то Ind*(r) стремится к бесконечности при г —» z, т.е. при т -4 0.

Пусть имеются две системы подобластей {T>f^}, j = 1,., к, функции /x(fe)(r, Е),

J^(r,u,E) и hqk\r,u>, Е), к = 1,2, q = 1 ,.,К. Вычислим по ним Hqk\r,oj), q — 1,.,К,иММ(г),к = 1,2.

Теорема 2.2.3. Пусть функции Ндг\г, и) и Hq2\r, со) совпадают при всех (г, ш) Е V х Q*, q = 1,., К. Тогда контактные точки z Е дТ>^\ к = 1,2, для которых M.^k\r) > const >0 (г = z + rn(z), 0 < |т| ^ 6), являются общими для линий и dvf.

Следствием этой теоремы является теорема единственности решения обратной задачи.

Теорема 2.2.4 (теорема единственности). Если в условиях теоремы 2.2.3 потребовать выполнения неравенств Л4^(г) > const > 0 для всех контактных точек z линий &D(01} и г = z + rn(z), 0 < |т[ ^ 5, то дТ>= <9Х>{,2).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Аниконову Дмитрию Сергеевичу за постановку задачи, постоянное внимание в процессе работы над диссертацией, мудрые указания и рекомендации; Демиденко Геннадию Владимировичу и Матвеевой Инессе Изотовне за всестороннюю помощь, цепные советы, неустанную заботу; Уваровой Ирине Алексеевне за неизменную дружескую помощь; Скворцовой Марии Александровне за беспрестанную поддержку.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Балакина, Екатерина Юрьевна, Новосибирск

1. Аниконов Д.С., Ковтанюк А.Е., Прохоров Я.¿^Использование уравнения переноса в томографии. М.: Логос, 2000. 224 с.

2. Владимиров B.C. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц// Тр. МИАН СССР, 1961. Вып. 61. С. 3-158.

3. Гермогенова Т.А. Локальные свойства решений уравнения переноса. М.: Наука, 1986.

4. Агошков В. И. О гладкости решения уравнения переноса и приближенных методах их построения. В сб.: Дифференциальные и интегродифференциальные уравнения / Под ред. Г.И. Марчука. Новосибирск, 1977. Вып. 1. С. 44-58.

5. Агошков В.И. Некоторые вопросы теории и приближенного решения о переносе частиц. M.: ОВМ АН СССР, 1984. 206 с.

6. Агошков В.И. Обобщённые решения уравнения переноса и свойства их гладкости. М.: Наука, 1988.

7. Гермогенова Т.А. Локальные свойства решения уравнения переноса. // Доклады АН, 1969. Вып. 187 № 5. С. 18-21.

8. Гермогенова Г.Л.Регулярные компоненты асимптотических приближений к решениям уравнения переноса в оптически плотных средах // ЖВМ и МФ, 1997. Вып. 37 № 4. С. 464-482.

9. Грынь В.И. Точные решения уравнения стационарного переноса излучения при одномерной плоской и сферической геометриях // ЖВМ и МФ, 1997. Вып. 37 № 7. С. 841-861.

10. Иванов А.П. Оптика рассеивающих сред. Минск, 1969. 529 с.

11. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах. М.: Мир, 1981. Т. 1, 2.

12. Кейз К., Цвайфелъ П. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1972. 384 с.

13. Масленников М. В. Проблема Милна с анизатропным рассеянием // Тр. МИАН СССР, 1968. Вып. 47.

14. Новиков В.М., Шихов C.B. Теория параметрического воздействия на перенос нейтронов. М.: Энергоатомиздат, 1982.

15. Прохоров И. В. Некоторые свойства решений уравнения переноса // Дальневосточный мат. сборник, 1996. №2. С. 161-172.

16. Смелое B.B. Лекции по теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1978.

17. Соболев В.В. Перенос лучистой энергии в атмосферах звёзд и планет. М., 1956.

18. Сушкевич Т.А. Решение общей краевой задачи теории переноса для плоского слоя с горизонтальной неоднородностью // Доклады АН, 1994. Вып. 339. № 2. С. 726-747.

19. Сушкевич Т.А. Решение краевой задачи теории переноса для плоского слоя с горизонтально-неоднородной границей раздела двух сред // Доклады АН, 1996. Вып. 350. № 4. С. 460-464.

20. Чандрасекхар С. Перенос лучистой энергии. М.: ИЛ, 1953.

21. Шихов С.Б. Вопросы математической теории реакторов. Линейный анализ. М.: Атомиздат, 1973.

22. Anikonov D.S. Formula for gradient of the transport equation solution // Л. Inv. Ill-Posed Problems, 1999. Vol. 7. № 1. P. 17-59.

23. Марчук Г.И. О постановке некоторых обратных задач // Доклады АН, 1964. Вып. 156. № 3. С. 503-506.

24. Марчук Г.И. Уравнения для ценности информации с метеорологических спутников Земли и постановка обратных задач. Космические исследования, 1964. Вып. 2, № 3. С. 462-477.

25. Веллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейиые краевые задачи. М.: Мир, 1968.

26. JIammec Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970.

27. Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала (эллиптические, параболические, гиперболические и уравнения переноса) // Мат. заметки, 1973. Вып. 14. № 15. С. 777-789.

28. D.S. Anikonov, V.G. Nasarov, I. V. Prokhorov Poorly visible media in X-ray tomography. Boston, 2002.

29. Амиров A.X. Теоремы существования и единственности решения одной обратной задачи для уравнения переноса // Сиб. мат. журнал, 1986. Т. 27. № 6. С. 3-20.

30. Аниконов Ю.Е. О многомерных обратных задачах для кинетических уравнений. В кн.: Методы решения некорректных задач и проблемы геофизики. Новосибирск, 1984. С. 3-8.

31. Аниконов Ю.Е., Бондаренко А.Н. Многомерные обратные задачи для кинетических уравнений // Доклады АН, 1984. № 4. С. 779-781.

32. Аниконов Ю.Е., Пестов Л.Н. Формулы в линейных и нелинейных задачах томографии. Новосибирск, 1990. 64 с.

33. Бронников A.B. Эмиссионная томография источников с самопоглащающим излучением // Доклады АН, 1992. Вып. 332. № 5. С. 879-882.

34. Гермогенова Т.А. Об обратных задачах атмосферной оптики // Доклады АН, 1985. Вып. 228. № 5. С. 1091-1096.

35. Грынъ В. И. Об обратных задачах стационарного переноса излучения // ЖВМ и МФ, 1995. Вып. 35. № 12. С. 758-771.

36. Ковтанюк А.Е. Определение внутренней структуры среды посредством многократного облучения // Дальневосточный мат. сб., 1995. Вып. 1. С. 101118.

37. Назаров Г. В. Численные эксперименты в томографии с использованием индикатора неоднородности и меры видимости. Препринт ИПМ ДВО РАН, 1997. № 16. С. 1-14.

38. Нижник Л.П., Рарасов В.Г. Обратная задача рассеяния для односкоростного уравнения переноса // Доклады АН, 1978. Вып. 242. № 6.

39. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1980.

40. Романов В. Г. Задача о совместном определении коэффициента ослабления и индикатрисы рассеяния // Доклады АН, 1996. Вып. 351. № 1. С. 29-31.

41. Шарафутдинов В.А. Обратная задача определения источника в стационарном уравнении переноса // Доклады АН, 1996. Вып. 347. № 5. С.604-606.

42. Шарафутдинов В.А. Задача эмиссионной томографии для неоднородных сред // Доклады АН, 1992. Вып. 326. № 3. С. 446-448.

43. Левин Г.Г., Старостенко О.В. О возможности томографических исследований рассеивающих сред // Линейные и нелинейные задачи вычислительной томографии. Новосибирск, 1985. С. 86-99.

44. Пикетов В.В., Преображенский Н.Г. Вычислительная томография и физический эксперимент // Успехи физ. наук, 1983. Вып. 141. № 3. С. 469-498.

45. Романов В.Г. Задача о совместном определении коэффициента ослабления и индикатрисы рассеяния// Доклады АН, 1996. Вып. 351. JV« 1. С.29-31.

46. Султангазин У.Н., Иркегулов И.Ш. О некоторых обратных задачах атмосферной оптики // Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 184. С. 143-149.

47. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

48. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов A.A. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука, 1987.

49. Натптперер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. М.: Мир, 1990. 228 с.

50. Шварц Л. Анализ.М.:Мир, 1972. Т.1.

51. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1972. 384 с.

52. Владимиров B.C. Обобщённые функции в математической физике. М.: Наука, 1976. 280 с.

53. Зорин В.А. Математический анализ. Наука, Москва,1981.