Интегрируемая комплексификация иерархии уравнения Кортевега - де Вриза тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

^^лентиновна

ИНТЕГРИРУЕМАЯ КОМПЛЕКСИФИКАЦИЯ ^ ИЕРАРХИИ УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА - ДЕ ВРИЗА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж 1997 г.

Работа выполнена на кафедре математического анализа Ставропольского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор О.И. Богоявленский

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук,профессор В.Г. Звягин

доктор физико-математических наук профессор В.В. Жаринов

Ростовский государственный университет

Защита состоится ""/¿¿^опь 1997 года в {6~,ЗЮ часов на заседании специализированного совета К 063.48.09 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Воронежском государственном университете по адресу: Воронеж, Университетская пл., N1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВГУ Автореферат разослан "<^>е^адУ1997 года

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физико-математических наук, профессор Задорожний В.Г.

Актуальность темы. В диссертации (ассмотрены некоторые вопросы теории [елинейных дифференциальных уравнений в [астных производных, развитие которых произошло а последние тридцать лет. Начало этому [аправлению (1965 - 1968 гг.) положили работы ¡абуского и Краскала1, Гарднера, Грина, Миуры2 и

о

1акса. Исследование ими задачи Ферми-Паста-Ллама одномерной ангармонической цепочки в гепрерывном пределе привело к открытию ¡олитонных решений, а позднее, к методу обратной адачи рассеяния для решения уравнения Кортевега де Вриза. В настоящее время теория обратных адач является одним из важнейших разделов еории дифференциальных уравнений с частными фоизводными. Этот метод оказался применим к юльшому числу нелинейных уравнений математической физики, связанных с упругими ;мещениями, электромагнитными колебаниями, щффузионными и другими процессами.

1 Zabusky N.J., Kruskal M.D. Interaction of "solitons" in' a collisionless ilasma and the recurrence of initial states// Phys. Rev. Lett. 1965. V. 15.P. 240 243.

Gardner C. S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura K.M. Method for solving he Korteweg - de Vries equation// Phys. Rev. Lett. 1967. V. 19.P.1095 - 1097.

Лаке П.Д. Интегралы нелинейных эволюционных уравнений и 'единенные волны//Математика. 1968. Т. 13, N 5. С. 128-150.

В дальнейших исследованиях Лаксом бьи получено представление уравнения Кортевега-д Вриза в виде условия коммутации дв> дифференциальных операторов. Начиная с этс работы, все схемы построения новы интегрируемых уравнений, решающиеся методо обратной задачи рассеяния, основываясь к некоторых обобщениях коммутационног уравнения Лакса. В связи с этим особый интере приобретают новые уравнения, обладающи свойством Лакса, над комплексной областью, диссертации рассматривается уравнение, которо является комплексным расширением уравнен* Кортевега-де Вриза и имеющее коммутационно представление Лакса.

В настоящее время особую значимост приобретает нахождение новых классов уравнент которые интегрируются методом обратной задач рассеяния. В работах Богоявленского рассмотрен новая операторная структура, допускающа применение теории обратных задач.

Как правило, все солитонные уравнения обладаю' замечательным свойством, наличием бесконечной набора первых интегралов - законов сохранения Поэтому построение законов сохранения являете; существенной частью исследование

дифференциального уравнения.

Наряду с построением бесконечного набора первых интегралов, важным этапом является получение точных решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Хирота4 нашел метод вычисления многосолитонных решений. Среди ранее рассмотренных уравнений проблема существования п-солитонных решений положительно решается для всех нелинейных уравнений, имеющих представление Лакса. Следует заметить, что некоторые авторы известных нам публикаций5, подчеркивает связь формализма Хироты со свойством Пенлеве. Это свойство было первоначально введено в связи с обыкновенными нелинейными уравнениями второго порядка. Оно означает, что единственным типом сингулярностей, положение которых зависит от начальных данных, являются полюса. Обсуждению этой гипотезы посвящено множество работ. В ряде частных случаев ее удалось обосновать. Однако, в последнее время становится ясно, что свойство Пенлеве не является ни необходимым, ни достаточным для интегрируемости. Контрпримеры можно найти в

4 Hirota R. Exact solution of the Kortevveg - de Vries equation for multiple collisions of solitons//Phys. Rev. Lett. 1972. V. 27. P. 1192 - 1194.

5 Ныоэлл А. Солитоны в математике и физике/ Под ред. А.В. Михайлова. -М. : Мир. 1989.

работах Фаддеева и Тахтаджяна6. В предложенной диссертации изучено свойство Пенлеве и построено односолитонное решение методом Хироты.

Целью работы является исследование комплексных нелинейных дифференциальных уравнений, имеющих представление в виде операторной пары Лакса. Основной целью диссертационной работы было применение метода обратной задачи рассеяния и получение данных рассеяния для комплексификации уравнения Кортевега-де Вриза, а также построение счетного числа первых интегралов.

Методы исследования. Основным методом диссертационной работы является метод обратной задачи рассеяния с помощью которого найдены данные рассеяния для исследуемого нелинейного уравнения. Также используются классические методы математической физики, теории обобщенных функций и теории дифференциального исчисления функций многих переменных.

Научная «0<шз//аг.Вработе получены следующие новые результаты:

1. Теория обратной задачи рассеяния применена к новому нелинейному дифференциальному уравнению

6 РасШееу Ь.О., ТакМуап Ь.А. Рюббоп Б^исШге Гог Ле Кс1У едиа^опУ/Ьен. МаЛ. РЬуБ. 1985. V. 10. Р. 183 - 188.

и,=бихи + з(и-и)их+^(и-зи)ххх, (1)

которое является комплексным расширением уравнения Кортевега-де Вриза.

2. Исследована прямая задача рассеяния четвертого порядка для комплексификации уравнения Кортевега-де Вриза (1)

(о? -ид] + = (2)

3. Получена эволюция данных рассеяния для непрерывного и дискретного спектров.

4. Для исследуемого уравнения (1) получено счетное число первых интегралов. Найдена

6. Доказано, что решение изучаемого уравнения не имеет подвижных критических точек. Единственными подвижными особенностями являются полюса, а следовательно уравнение обладает свойством Пенлеве.

7. Методом Хироты построено односолитонное решение для комплексификации уравнения Кортевега-де Вриза. Указана невозможность построения 2-солитонного решения.

Все основные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит тео^^ический характер. Ее результаты и методы могут бы"' использованы в работах по исследованию

рекуррентная формула для их вычисления. Показано, что при сужении комплексной функции к вещественной функции законы сохранения уравнения (1) переходят в законы сохранения Кортевега-де Вриза.

5. Для уравнения (1) получено решение в виде бегущей волны, а также в виде:

¿/(х,/) = 2 тг

-1) ' -1) 2 + лу

т= По-п(-* + 2тГ>)-

1

■ +

(3)

нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, имеющих операторное представление Лакса. Результаты диссертации также могут составить содержание специального курса для студентов физико-математического факультета в университете.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научной конференции в Ставропольском государственном университете и на семинаре по математической физике в Московском педагогическом университете им. В.И. Ленина. Содержание полученных результатов полностью опубликовано в статьях, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация эстоит из введения, двух глав и списка итированной литературы. Объем диссертации 68 границ, 36 наименований цитированной итературы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается краткий обзор предыдущего [атериала и результатов, относящихся к теме аботы, обосновывается актуальность проводимых [сследований и приводятся основные результаты, ыносимые автором на защиту.

Первая глава состоит из трех параграфов и •свещает вопросы, связанные с основными войствами комплексификации уравнения Сортевега-де Вриза.

В первом параграфе продемонстрировано ^пользование метода Лакса для получения ¡емейства интегрируемых уравнений. Метод юнован на представлении дифференциального 'равнения в виде коммутации двух шфференциальных операторов М и В

М,=[М,В]. (4)

•у

В работе Богоявленского в качестве операторов А/ и В выбраны матрицы вида

М =

0 С

в =

А 0 V 0 - А)

(5)

VI 0)

где I и X, Л и Л комплексно сопряженные операторы, зависящие от комплексной функции и(хД), вида

Ь = -д2к +£/(*,/), - (6)

Л = 45з +1 (£/ - 3£/)5Х +1 с-Л. (¿7 - 3£/). (7)

Используя уравнение (4) с операторами (6) й (7) получено уравнение (1), которое для вещественных функций и(х, 1) переходит в уравнение Кортевега-де Вриза

и, = биих - иххх,

и поэтому является его интегрируемой комплексификацией.

Аналогичный подход был применен к уравнению (4),(5), выбрав оператор А в виде

+ / = 2,3,К, (8)

где а, - действительное постоянное число, р„ -функции от комплексной переменной Щх^) и ее производных по а* , а оператор Ь , оставив прежним.

7 Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны. Ш//Изв. АН СССР Сер. Матем. 1989. Т. 53, N6. С. 1335-1345.

В этом случае уравнение (4) дает комплексификацию всей иерархии уравнения Кортевега-де Вриза.

• Второй параграф этой главы, на наш взгляд, занимает центральное место. Представление Лакса (4) эквивалетно системе линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами

'О (А

г о;

о = Хи , и,

0 А)

(9)

первое из которых представляет уравнение на собственные значения, второе - описывает эволюцию собственной функции и по времени, где ^.=соп51 - собственное значение. Уравнение на собственные значения имеет вид (2). Прямая задача рассеяния (2) исследуется подобно тому, как это сделано для уравнения Шредингера. Но существенной особенностью является то, что уравнение (2) четвертого порядка.

Будем считать, что и(х,1) - комплексная функция, регулярная при всех значениях переменной х и обращается в нуль вместе со своими производными при х -><х> .Отметим, что это предположение очень важно, так как теория рассеяния с другими граничными условиями приводит к совершенно другим результатам.

Спектр задачи на собственные значения состоит из двух компонент: непрерывной, включающей все положительные собственные значения Я,2=к4>0 , и ряда дискретных собственных значений X2 = -х* , х,, > 0. Очевидно, что для локальных потенциалов u(x,t) все решения уравнения (2) сведутся при |х{ ±оо, к линейной комбинации

базисных векторов на +оо:

Ф1 (л-, к) = e~ikx, ф 2 (х Д) = е,

(10)

и на -со:

(И)

Ф3(д:Д) = <?'**,ф4(*Д) = <?**.

Векторы каждого из этих базисов можно представить как линейную комбинацию векторов другого базиса с помощью матрицы перехода следующим образом:

q>m(xtk) = a(im-lk)eim*2hc + № +y(i]k)e'"lkx +b{i"'~]k)e'"'~ikx.

lk)el

■т+1

Ь

+

(12)

Эволюция данных рассеяния а, Р, у, 5 определяется как функция переменной к если потенциал и(хЛ) меняется в соответствии с уравнением (1)

Решение задачи на собственные значения (2) для связанного состояния, когда А.~<0 имеет существенные отличия от решений для непрерывного спектра. Выбор нормировки собственной функции в виде:

Ф/7, =е

_ -(Мх»*

Фи2

Ф/7, =е X —> -со

(14)

Ф

>ъ

обусловлен ограничениями, наложенными на функцию при Л' —» ± оо .

Переход от одного базиса к другому описывается матрицей

\Ф«2у

а„

\Ьп

(15)

Динамика же и Ь„ определяется аналогично временной зависимости данных рассеяния для непрерывного спектра. Полученные характеристики

«„(') = *«(°У16х"' ' ь«(*) = ьп(о)е1*-Ъ"' (16)

вместе с набором Хп определяют дискретный спектр задачи.

В результате исследований показано, что спектральные данные единственным образом определяются функцией u(x,t) . Изменение u(x,t) во времени ведет к изменению во времени и ее спектральных данных. Поэтому, наблюдая за временным эволюциями в спектральном пространстве с помощью обратной спектральной задачи, можно получить информацию об интересующей нас эволюции функции u(x,t).

Проведенные рассуждения позволили

сформулировать следующую

Теорему. Если u(x,t) меняется в соответствии с уравнением (1), то данные рассеяния зависят от времени следующим образом: (0), (16),

n=l,...,N ,(13) где xn(0), <0), bn(0), а(0,к), 0(0,*), у(0, к), 8(0, к) определяются из начальных условий для уравнения (1).

Третий параграф посвящен законам сохранения уравнения (1). Сформулирована следующая

Теорема. Нелинейное уравнение(1) имеет счетное множество первых интегралов

™ _ и-1

Л)+3 =- | {2(и +и )(/?л+1 + £ ) + +

7=1

+2С7.ГЛ„ -1(4/г/Е/?//?,+ (17)

у=1 ./=1 /=1

*2 Л Я ) - 2 £ Я " 17 /?; " X /?,„ /?„_,•_,_„, 7=1 /=1 ;//=1

це дифференциальные многочлены 1^,(1-0

пределяются по рекурентной формуле

?,7+3 =2(и + и)(Я, 7+1 +ЛПг +£Л,-Д„_у)-(ЗЛл-2 +

у=1

4^1, +2/?„и )д. +4£/тЛ„ -1(4/?, ''¿Я,Я„+1_Н +

./=1 /=1

/?+1

м

77 77-3 77-2-7 -1-У-/

I */ ^'/7 -^/7-7-/-/77

у'=1 У=ь /=1 /77=1

/7-2 /7-1-7

12 £д/, /7= 1,2,... (18)

/=1

Вследствие взаимнооднозначного соответствия ежду функцией 1)(хД) и данными рассеяния (13), 6) можно предполагать, что независимость зэффициента прохождения 1/а от времени

(а((к)=0) повлечет существование некоторых сохраняющихся величин, зависящих от функции и(х,1) и ее производных по х.

Для получения законов сохранения рассматривается решение уравнения (2) при х—>±оо и при

| к |»и. Используя предельные формы решения и, в параграфе показано, что

Нт ме~1кх - а(к), (19)

.V—>00

где и = е'!кх+ф, Ф - функция, зависящая от х и к. Поведение Ф(х,к) при х—>оо из (19) описывается как

Ф(ооД)= \па(к). (20)

Учитывая, что и удовлетворяет уравнению (2) получено

Фдлл + Ш + Фл. )ФЛЛХ + ЗФ;Д. + 6(¿к + Фх )2ФХХ + (/к + Фл. )4 - (и + П)(ФХУ + (¡к + Ф, )2) - 2Пх (/к +

Фх)-ихх+\и\2 =(1к)\ (21)

оно является уравнением для фазы Фх, которая допускает асимптотическое разложение по обратным степеням к

со

Ф* = 2Х(2*Г- (22)

/7=1

пользуя постоянство In а(к) и (20), (21) и (22), 1учаем независимость от времени следующих эвых интегралов

х

Jn=(2/)-" }/?fIrfv, (23)

-ее

: Rn задается рекуррентным соотношением (18). Зторая глава посвящена некоторым точным иениям комплексификации уравнения Кортевега-Вриза. Она имеет четыре параграфа. 3 первом параграфе второй главы получено пение в виде бегущей волны. Как известно, нкции вида F=F(x+at) называются бегущими шами. Решение в виде бегущей волны присуще огим нелинейным динамическим уравнениям. Отделив действительную и мнимую части нкции

U(x, t)= и (х, t)+ioMx, t).

1внение (1) запишется в виде системы

и, = бои.. +1 2cooj v - и......

' л л ллл' (24)

(о, = 2со ххх - бисо v

и замене переменных на вид аргумента бегущей

[ны с,= x+at, а о (x,t)=f(q), со(х, t) =g(ф, система (24)

>ейдет в систему обыкновенных

[)ференциальных уравнений

af=3f2+6g'+Co-f, С о-const,

ag!=2/-6fg'- ' (25)

штрихами обозначено дифференцирование по

Для системы (25) рассмотрены два случая: а). Положив решение уравнения (1

примет вид

и(х,О = щ2 (с)± ^2а(а + 2у)- ) + у + /-(с).

где Е,=л:+<з/, определена обращением интеграл

к

J E-Cg + ^g4±pa(a + 2y)-Ag'+(3y + ^)gz dg

E, С, a, a, y, ¿;0- произвольные постоянные.

б). Положив f=2rjg/, где rj = const, уравнение (1

будет иметь решение в виде (3).

Второй параграф раскрывает свойства Пенлев для уравнения (1). Большинство нелинейны дифференциальных уравнений не обладает эти свойством, так как расположение особенносте зависит от постоянных интегрирования, которы являются точками ветвления решения.

Тест Пенлеве проверяется для системы уравнени (24), эквивалентной уравнению (1). Для этог представим функции x>(x,t) и со (x,t) в виде ряд Лорана

00 00 и'= И ап(х~хо)"> 03 = (26

>?=-2 и=- 2

ап , Ьп х„ - функции от Так как каждое авнение системы (24) имеет третий порядок, то :щее решение должно зависеть от шести •стоянных интегрирования. Одной из них является Определение для каких п возникнут другие юизвольные функции следует из системы авнений

a(r-2)(r-3)(r-4)Ç5 =12a(r-4)Ç"3 + 12Щг-3)£~\ P(K-3)(K-2)(K-4)Ç-5=3(2P(K-2)Ç-5-cc?"'),

представляющее собой алгебраическое уравнение я г. Анализ показал, что при п= - 1, 0, 2,4 зникнут произвольные функции b.](t), ba(t), a2(t), ft), a4(t). Остальные коэффициенты разложения [ражаются через эти произвольные функции и их оизводные по t.

В результате функция U(x,t) имеет локальное зложение, которое может быть записано в виде да Лорана

Третий параграф демонстрирует применение рмализма Хироты к уравнению (1). Метод гроты связан с введением операторов и Ц, ределяемых следующим образом

00

+ Хап (О(х-Х0)" +

( Ъ , (/) £

+/ -' w 4- V h i/Vr-r V .

1 )i+j с1(д'Гд^>а)(д\д{Ь

Для построения билинейного уравнени квадратичного по зависимой переменной, сделана системе (24) следующая подстановка

u = F/T, (2

Чтобы уравнения были совместны необходил положить

Ут = -2д2х\п Q, T=Q2, тогда (24) примет вид

(DxD,+D4x)Q-Q = aQ2-6Р\ а * 0,

{D,-2D¡)P-Q= 0. . Положим, что функции Р и Q представляют некоторые формальные ряды по степеням е: Р = а + е/}] + pj +•••> a-const, Q = 1 + zc¡x + z"q2 +•

n /

/•=1 ;=1

mi

где c;„ =

m

X = + /7/ + Г| i, T ¡ = + Г,-/ + A:,-, г,- T),-, í_i- const.

Для всех задач, допускающих точное гс-солитонное решение, эти формальные ряды обрываются. При

п=\ и pi= ех\ <7] = еХ] , получено односолитонное решение

к2 1 ^ U(x, t) = - — sec h - (kx + 2k3 / + ц) ±

к3 1 ,

±i — в-1-(кх + 2к^ + и). 2 2

Для п>1 ряды (29) не обрываются и /7-солитонные решения построить не удалось.

В последнем, четвертом параграфе, дано представление уравнения (1) в виде уравнения нулевой кривизны, то есть

PX-V,+[P, V]=0, где Р и V матрицы - функции, которые зависят от комплексной функции U(x,t) и ее частных производных по переменной х.

Основные результаты, полученные в

диссертации, опубликованы в следующих печатных работах:

1. Редькина Т.В. Некоторые свойства комплексификации уравнения Кортевега-де Вриза//Изв. АН СССР. Сер. матем. М. : 1991. Т. 55, N6. С. 1300- 1311.

2. Редькина Т.В. Задача рассеяния для системы уравнений//Сб. науч. труд. Модели и дискретные структуры. Э.: 1993. С. 86 -90.

3. Редькина Т.В. Счетное множество законов сохранения комплексификации уравнения КдВ//Вестник СГПИ. Ставр.: 1995. Вып. 2. Естественные науки. С. 83 - 86.

4. Редькина Т.В. Законы сохранения системы уравнений //Матер, науч. конференции. Пробл. естеств. наук. Ставр.: 1996. С. 53 - 54.

/

Заказ 41 от 21.01.97, Тираж 100 экз., Типография СГУ