Испарение и разрушение метеорного тела в атмосфере тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Барри Наталья Геннадьевна

ИСПАРЕНИЕ И РАЗРУШЕНИЕ МЕТЕОРНОГО ТЕЛА В

АТМОСФЕРЕ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена на кафедре аэромеханики и газовой динамики механико-математического факультета Московского государственного университета имени МВ. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор В. П. Стулов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Н. Н. Смирнов

доктор физико-математических наук, В. В. Шувалов

Ведущая организация:

Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН.

Защита состоится « 26 » мая 2006 г. в 16 часов 20 минут на заседании диссертационного совета Д. 501.001.89 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119899, г. Москва, Ленинские горы, главное здание МГУ, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан « 20 » апреля 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

А.Н. Осипцов

¿¿ообА

им

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Проблема движения в земной атмосфере крупных космических тел, способных пройти сквозь атмосферу и выпасть на поверхность планеты в виде метеоритов, представляет в настоящее время большой интерес.

Известно, что около 70000000 метеороидов проникают в атмосферу Земли каждый день, из них более 1000 кг (около 1%) метеорного вещества достигает ее поверхности. Для маленьких тел (1 мм - 1 см) большое количество данных получено с помощью методов метеорной астрономии (радиолокация, телевизионные и фотографические наблюдения). Крупные тела (1-10 км и более) обнаруживаются обычными астрономическими наблюдениями (телескопы). Тела "промежуточных" размеров стали наблюдаться сравнительно недавно.

Наблюдение за такими телами и интерпретация наблюдательных данных позволяет выяснить, какова вероятность их падения, каковы их свойства, характерные особенности пролета через атмосферу и последствия этих падений. Выяснение этих вопросов позволит более достоверно оценить астероидную опасность.

Для сбора информации о притоке метеорного вещества на Землю был создан ряд болидных сетей в США, Канаде и Европе. Предполагалось, что оптическая регистрация болидов, их кривых светимости и траекторий будет способствовать нахождению упавших метеоритов, однако, наблюдательными сетями были обнаружены лишь три метеорита (Пршибрам, Лост-Сити, Иннисфри). Тем не менее, был собран уникальный наблюдательный материал, анализ которого продолжается и по сей день.

Цель работы

• Оценка влияния процесса дробления на_ траекторию болида, основанная на анализе наблюдаемой траектории. / Рос национ« I

I библиотек\

• Решение задачи о расхождении двух сфер, линия центров которых лежит поперек потока, под действием поперечной силы, полученной в результате численного эксперимента

• Построение новой модели разлета фрагментов разрушенного метеорного тела.

Научная новизна

• На основе анализа траекторий пяти болидов (в том числе болида Бенешов) выявлено, что наилучшую аппроксимацию наблюдаемой траектории дает формула, соответствующая модели единого тела с учетом абляции, т.е. форма светящегося участка траектории не обнаруживает явного влияния дробления метеорного тела

• Решена задача о расхождении двух сфер, линия центров которых лежит поперек потока, под действием поперечной силы, полученной в результате численного эксперимента.

• Показано, что индуцируемая поперечная скорость сферического фрагмента существенно меньше значений, опубликованных ранее другими авторами.

• Выявлено, что влияние силы сопротивления, действующей в поперечном направлении столь мало, что при описании поперечного разлета фрагментов ее можно не учитывать.

• Предложена новая модель разлета разрушенного метеороида по слоям.

• Получено, что время разлета много меньше времени движения метеороида в атмосфере и практически не зависит от количества фрагментов, на которое тело дробится в соответствии с предложенной моделью разлета по слоям.

Научная и практическая значимость. Теория метеорных явлений

развивается уже более 60 лет. Одной из основных ее задач является

определение по данным наблюдений параметров метеорных тел, попадающих в

атмосферу Земли. Это позволяет описать и предсказать характеристики

метеоров, определить приток метеорного вещества на Землю, и его распределение по скоростям и размерам.

Интенсивность метеорного явления определяется кинетической энергией тела при входе к внешней атмосфере планеты. Как известно, скорость тел при входе в атмосферу Земли лежит в относительно узком диапазоне 11,2 < Ve< 72,8 км/с, так что разброс значений скоростного вклада в кинетическую энергию не превышает 50 раз. Вместе с тем значение массы метеорного тела может изменяться в существенно более широком диапазоне, от долей грамма (микрометеоры) до сотен тысяч тонн (Тунгусское космическое тело), т.е. на 1214 порядков. Кроме того, скорость входа сравнительно просто определяется в наблюдениях начального участка атмосферной траектории. Напротив, надежные способы определения массы входа, содержащие оценку точности результата, в настоящее время отсутствуют.

При отсутствии атмосферы поверхности планеты могут достигать тела любых возможных размеров и скоростей. Однако атмосфера Земли "поглощает" относительно мелкие метеорные тела и существенно воздействует на крупные. Дробление является одним из основных процессов, определяющих ход явления метеора.

В диссертации делается попытка определить наличие дробления по форме наблюдаемой траектории, не связывая ее с величиной свечения болида, так как теоретическая связь интенсивности свечения с полной массой роя фрагментов установлена еще не вполне точно. Траектория вычисляется в переменных скорость - высота. Для выявления роли дробления используется метод наименьших квадратов, а в качестве пробных функций - аналитические формулы для траектории, полученные с помощью модели последовательного дробления метеорного тела в атмосфере.

Все известные кратерные поля имеют некую ширину. Объяснением поперечной протяженности кратерного поля является наличие поперечной горизонтальной составляющей скорости. В литературе показано, что взаимодействие ударных волн является основной причиной поперечного

разброса фрагментов Однако был предложен метод для определения расстояния поперечного разлета, в котором не было учтено, что взаимодействие ударных волн ослабевает с увеличением расстояния между фрагментами. В диссертации этот недочет был восполнен, и было получено аналитическое решение для задачи о расхождении двух сферических фрагментов в сверхзвуковом потоке воздуха под действием уменьшающейся поперечной силы.

Полученные результаты могут быть использованы для решения задачи об оценке метеоритных и кратерных полей для модели дробления, а также для совершенствования теории, изучающей дробление метеороида под действием аэродинамической нагрузки.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались в школе - семинаре "Современные проблемы аэрогидродинамики", Туапсе, "Буревестник" МГУ, 2001 г, на Ломоносовских чтениях в МГУ 2002 и 2006 гг, на конференции -конкурсе молодых ученых, Москва, НИИ Механики, 2002, 2003, 2004, 2005 гг, на научных семинарах под руководством проф. В.П. Стулова.

Объём и структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложений, списка литературы и содержит 75 стр. В работе приводится 12 рисунков и 10 таблиц Список литературы содержит 56 библиографических ссылок

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Владимиру Петровичу Стулову (Институт механики МГУ, лаборатория общей аэродинамики) за внимательное руководство работой.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава I. Обратная задача (определение параметров метеорных тел по данным наблюдений).

Первая глава состоит из двух частей. В первой части описана известная

модель единого тела. В метеорной физике при расчете траектории весом тела

обычно пренебрегают, так как при больших скоростях входа в атмосферу

полное сопротивление тела во много раз больше собственного веса. Считая

траекторию прямолинейной, уравнения торможения и уноса массы в

безразмерном виде записываются так:

¿V йт 2

т—— = а р\ в, ——=2 аРрх з ау ау

2 Ю

а=\саР{,Н^е ^ \ с „у} 2 Ме*шу ' 2 саН*

Здесь угол траектории у, коэффициенты сопротивления са и

теплообмена ск, а так же эффективная энтальпия разрушения Н - постоянные величины. В качестве масштабов скорости V , массы тела М и площади миделева сечения Б, принимаются их значения при входе в атмосферу, обозначаемые индексом "е", масштаб высоты Н - высота однородной атмосферы Н0, плотности Ра — плотность воздуха на уровне моря р о, т.е. ? = У1Ге,т=М1М„а = 818„у = Н1Н0,р = ра1рь.

Система для модели единого тела решается в предположении экспоненциальной атмосферы при постоянных параметрах а и /? с начальными условиями т-1, V = 1, у = сс. Выражение для т(у) имеет вид:

т = ехр[-/?(1 - V2 )] (2)

При ограниченных значениях параметра (5 <2 можно использовать приближенное выражение для :

у = а - 1п(- 1п у) + 0.83(1 - у)/? , (3)

позволяющее свести вычисления к элементарным функциям. Решение зависит от двух безразмерных определяющих параметров: ¡5 - параметр уноса массы (абляции), а а- баллистический коэффициент.

В диссертации эта задача представлена в новых координатах - время высота у и проекция траектории на горизонталь Используя кинематическое

<ь>

соотношение — = - V ыпу и производную по времени выражения (3), ш

получено дифференциальное уравнение, связывающее скорость и время:

(¡V _ у2(1ПУ)-8ШХ

~сй~ 0.83/?+ 1 <4>

Это дифференциальное уравнение решается численно с начальными условиями V = 0.99 при (= 0 (момент, когда уже произошло некоторое торможение). В совокупности с (2) и (3) имеем зависимости т(/) иу(0.

Рис.1 Зависимости х(0, у(0

/7 = 1.5, эту = 0.95.

для модели единого тела, при а = 7.8,

Проекция траектории на горизонталь определяется следующим соотношением: = (у(0) - у и)) • сщу, где у(0) находится го (3) при V = 0.99.

Во второй части описан метод наименьших квадратов для решения обратной задачи - нахождения параметров метеорных тел по данным наблюдений.

В литературе предложено несколько схем реализации метода наименьших квадратов для определения значений баллистического коэффициента и параметра уноса массы из условия наилучшего приближения наблюдаемой траектории.

В первой схеме составляется сумма

/=1 "о

и определяются значения аир, при которых Q\ достигает минимума Здесь

Н{ и V, значения высоты и скорости полета, Уе - скорость входа, взятые из таблицы наблюдений.

В качестве основной принята вторая схема метода, где определяется

п

минимум суммы £>2= (Уш ,<*,Р)~ V», ]2, где значения V, (уш, а, 0),

1=1

например, для случая единого тела вычисляются с помощью функции, обратной (3). Этот метод использован в работе для аппроксимации наблюдаемой траектории болидов моделями единого тела и последовательного дробления.

Глава П. Опенка влияния процесса дробления на траекторию болида

Во второй главе проводится анализ траекторий пяти болидов с целью обнаружения влияния дробления на кривую торможения.

В первой части проведен обзор аналитической модели последовательного дробления, которая использовалась для анализа траекторий. Согласно этой

модели при выполнении условия раУ - & вц (АО происходит разрушение мегеороида на N одинаковых фрагментов геометрически подобных исходному телу. Количество образующихся фрагментов выражается через параметры атмосферы и тела. Для постановки задачи о расчете траекторий используются обычные уравнения метеорной физики для единого тела с увеличивающейся площадью миделева сечения. В литературе было показано, что для достаточно крупных тел разрушение предшествует торможению и абляции, поэтому уравнения для модели последовательного дробления решаются с начальным условием V = 1 при _у = _у0. Начальная высота разрушения д>0

определяется формулой = 1п(/?0 Уе / сг^ ).

Уравнения торможения и абляции метеорного тела при движении в атмосфере и последовательном дроблении под действием аэродинамической нагрузки имеет аналитическое решение. Выражение для /и(у), как и в случае

модели единого тела, имеет вид пг = ехр[-/?(1 - V2 )].

Для практических расчетов и быстрых оценок в литературе предложена аппроксимация решения для у в виде простой функции р и V по аналогии с решением в случае единого тела В диапазоне 0 < /?<8 представление имеет вид

у + А 1п(у-2/3_1) + 0.223(1 - V)?.

Во второй части изучаются траектории четырех болидов Прерийной сети США. Для анализа были выбраны болиды, для которых отмечалось наибольшее превышение массы входа, полученной с использованием метода радиационного радиуса, над массой, полученной в ряде работ чисто динамическими методами. Предполагалось, что этот факт связан с наличием дробления. Итак, выбраны траектории следующих болидов: «40151А», «40590», «40405», «38737*». Для этих болидов методами, описанными в первой главе, решена обратная задача метеорной физики - определены основные параметры, при которых модель наилучшим образом аппроксимирует данные наблюдений. В качестве пробных

функций использованы решения для моделей единого тела с учетом и без учета абляции и последовательного дробления без учета абляции. Результат аппроксимации траектории, к примеру, болида Lost City в координатах "скорость - высота" представлен на рисунке 2.

Рис.2 Траектория болида в координатах скорость -высота. Пунктир - модель единого тела с учетом уноса массы а = 11.8, Р = 1.08; штрих - пунктирная линия — модель единого тела без учета абляции

а = 19.3, >0 = 0; сплошная линия - модель

последовательного дробления без учета абляции а = 15.9, Р = 0; точки -данные наблюдений.

Практически во всех случаях (исключение составил болид PN40405) наилучшую аппроксимацию наблюдаемой траектории дала формула, соответствующая модели единого тела с учетом абляции, особенно в нижней части траектории. Таким образом, форма светящегося участка траектории не обнаруживает явного влияния дробления метеорного тела.

Для определения значения доатмосферной массы метеороида Ме вводится

/2/3

We , We - объем тела Выражение для а

1 PqHQ Sp записывается в следующем виде: а — ——--, ,., .

2 sin/ р^Мет

Итак, в выражение для а входят шесть параметров. Из них - плотность атмосферы на уровне моря р0 = 1.29-1 (Г3г/см3 и высота однородной

атмосферы HQ -1.16-105 см - известные параметры, а у определяется на основе траекторных измерений. Следующие три параметра: Сd ,pt,SF определяются на основе физических теорий или специальных гипотез. В работе принималось Cd- 1, р = 3,73 г/см 3 (плотность метеорита Lost City), SF= 1,21 (сфера). Как и следовало ожидать, определенная таким образом динамическая масса Ме во много раз меньше фотометрической массы.

В третьей части метод наименьших квадратов применен к анализу наблюдаемого участка траектории болида Бенешов Европейской болидной сети. Для этого болида отчетливо наблюдалось отделение светящихся фрагментов.

Болид Бенешов (BeneSov; EN070591) является одним из наиболее интересных болидов, зарегистрированных Европейской наблюдательной сетью. Для него были получены подробные данные по траектории основного тела и нескольких фрагментов, а также по светимости. Тело почти вертикально вошло в атмосферу (9° к вертикали) со скоростью 21 км/с и было наблюдаемо в течение 5.2 секунд. Последняя точка, где была измерена скорость (6 км/с) находилась на высоте 19 км. Фотометрическая масса для болида Бенешов была оценена в 5-13 тонн. Динамическая масса оказалась, по крайней мере, на два порядка меньше- 80-120 кг. Так как болид летел практически вертикально, он испытывал сильное возрастание давления. Фрагментация была вполне видима, и траектории каждого фрагмента заметно отклонились от основной траектории. Наблюдалось, как, по крайней мере, шесть фрагментов разделились, однако метеориты найдены не были.

В качестве пробных функций в методе наименьших квадратов выбраны решения для траектории единого тела без учета абляции, траектории единого тела с учетом абляции. Так же было использовано решение для модели последовательного дробления с учетом абляции, полученное при начальном условии v = v0 У = Уо (^о * безразмерная высота разрушения, v0 -безразмерная скорость в момент разрушения), т.е. разрушение происходит

10

после значительного торможения. В этом случае верхняя часть наблюдаемой траектории аппроксимируется зависимостью V = ехр(-ае~у), соответствующей торможению единого тела постоянной массы, а нижняя часть (у < у0) аппроксимируется моделью последовательного дробления.

Рис.3. Аппроксимация У траектории болида

Бенешов. Сплошная линия - модель единого тела с учетом уноса массы; штрих - пунктирная линия - модель единого тела без учета абляции; штриховая линия - модель последовательного дробления с учетом абляции; точки - данные наблюдений.

0.5 1

Применение метода наименьших квадратов к наблюдаемой траектории болида Бенешов показало, что наилучшую аппроксимацию обеспечивает формула (3) - решение для модели единого тела с учетом абляции при следующих значениях свободных параметров: or = 7.8,/? = 1.5 (рисунок 3). Эти

значения позволяют оценить массу входа болида Ме и средний коэффициент абляции <т = 2ß !Ve . Используя значения параметров, описанные выше,

получим Ме = 28 кг, ег = 0.0067с2/км2. Важно отметить, что полученное значение среднего коэффициента абляции вполне соответствует данным работы ( Spumy P. Planet. Space Sei. 1994. V. 42, P. 157-162 ), где оно было определено другим способом. Что касается начальной массы Ме, это значение

зависит от предположения о сферической форме тела. Например, если предположить, что тело имеет форму плиты 1х 1х0.25, Тогда Б¡, =2.52, С¿ = 2 и Ме= 2023 кг.

Необходимо отметить, что чисто динамические оценки массы болида по различным моделям существенно ближе, чем полученные из расчетов с использованием свечения болида.

Таким образом, наилучшая аппроксимация наблюдаемой траектории болида Бенешов получается с помощью модели единого тела с учетом абляции. Хотя дробление наблюдалось явно, данный результат этому не противоречит. Основной вывод, полученный методом наименьших квадратов, объясняется тем фактом, что общая масса наблюдаемых фрагментов, отделившихся от основного тела, не составляет главную долю полной массы метеороида. Суммарная начальная масса фрагментов составила 7.19 кг, а при Ме= 28 кг и

Р = 1.5 унос массы абляцией составил 15.8 кг. Именно этим обстоятельством можно объяснить то, что траектория в переменных «скорость - высота» описывается моделью единого тела с абляцией.

Глава ПТ. Взаимодействие фрагментов разрушенного метеорного тела в потоке

В третьей главе предложены и тестированы модели распада фрагментов метеорного тела в атмосфере под действием аэродинамической нагрузки. Опровергнуты имеющиеся в литературе сильно завышенные скорости разлета фрагментов.

В первой части описан метод определения расстояния поперечного разлета сферических фрагментов разрушенного метеороида, использующийся в литературе. Этот метод основан на предположении о том, что расталкивающая сила, действующая на фрагменты в поперечном направлении, постоянна и исчезает, когда фрагменты разойдутся на расстояние порядка их радиуса. Однако по мере увеличения расстояния между фрагментами уменьшается сила

их взаимодействия, расталкивающая сила В работе (Ждан H.A., Ступов В.П., Стулов П.В. ДАН. 2004. Т.396. №2 С. 191-193 ) приведены значения коэффициента расталкивающей силы в зависимости от расстояния в поперечном направлении - результат численного эксперимента по обтеканию сверхзвуковым потоком двух сфер одинакового радиуса. Эти данные аппроксимированы и использованы для построения модели разлета фрагментов разрушенного метеороида.

Ср— коэффициент силы, S — площадь миделева сечения. В литературе считается, что коэффициент Ср постоянный и равен 2. В работе (.Passey Q.R., Melosh H.J. Icarus. 1980. V.42, №2. P. 211-233.) приобретенная поперечная скорость фрагмента для С „ - 2 задается формулой

где ра— плотность атмосферы на высоте дробления, рт— плотность метеороида где V— продольная скорость тела в момент дробления.

Данные численного эксперимента показывают, что максимальное значение Ср для сфер примерно равно 0,28 при расстоянии между осколками, равном нулю, и монотонно убывает до значения С р— 0 при И « 0,5 (см. рисунок

4, сплошная линия); 2И— расстояние между ближайшими точками сфер, отнесенное к радиусу.

Вблизи /?= 0 численный эксперимент не вполне соответствует реальной картине разлета фрагментов. В начальный момент времени давление между

2 2

фрагментами равно полному давлению, и Рр = раУ пЯ . То есть коэффициент силы Ср должен равняться 2 при А = 0. Численный эксперимент дает другой результат ((7^(0)= 0.28), так как этому моменту в нем

1 7

Расталкивающая сила определяется формулой Fp - ~Ср paV S, где

соответствовало положение двух соприкасающихся сфер. Далее, для расстояния между фрагментами, большего нуля, данные численного эксперимента вполне годятся для описания зависимости расталкивающей силы от расстояния.

Рис. 4 Зависимость коэффициента

^ Ср расталкивающей силы от расстояния

I • между фрагментами. Штрих -

\ !

^ ' пунктирная линяя - значение

* | коэффициента силы, используемое в

I \ литературе; сплошная линия - данные

I

1 1 I численного эксперимента; штриховая

^ I линия - аппроксимация численного

4I эксперимента, зависимость,

) используемая при построении

. модели разлета двух фрагментов; точка I 1 ■ 1 'I' Ь

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 (йо,С0) - точка пересечения отрезков

сРт и ср2{н).

В диссертации предложена следующая аппроксимация данных численного эксперимента: для согласования с реальной картиной разлета фрагментов внесена поправка вблизи й=0. Для упрощения дальнейших расчетов зависимость Ср(И) представлена в виде двух пересекающихся

отрезков, как изображено на рисунке 4. Точка (Л0»С0) должна лежать на

кривой, соответствующей численному эксперименту, при этом Л0 выбирается близким к нулю.

Отрезкам, изображенным на рисунке 4, соответствует функция \Ср1{К) = (Ь-Иъ)а + С0, 0<Ь<К р([) \Ср2(К) = (Ь-ЮР + С0, Аь<А<0.5 (6)

Ср

I I I \ I I I 1

I V

0.1 0.2 0.3 0.4 0

здесь (А0, Со ) — точка пересечения отрезков С (А) и Ср2 (А); для расчетов использовались значения С0= 0.25 и А0= 0.1, от и р— коэффициенты наклона отрезков Ср1(Н) и Ср2 (А) соответственное = (С0 - 2) / %, а ^ = С0/(А0 - 0.5).

Уравнения динамики фрагментов в данной задаче имеет вид:

О-ЛЬ-сж

г2} _ с1? 8

Здесь коэффициент расталкивающей силы задается формулой (6), он зависит от расстояния между фрагментами, а расстояние в свою очередь зависит от времени. После прекращения взаимодействия для считается, что

фрагменты движутся в поперечном направлении по инерции с постоянной скоростью, равной скорости в последний момент их взаимодействия.

В диссертации получено аналитическое решение уравнения динамики фрагментов

А,(0 = С,сое тт+С^т /и*-2/а, 0<t£to

константы

Й(0=

Сх,Сг,Съ,Сц, найдены из начальных условий.

/»2(0 = Сзсоэ кг + С^т к * +1/2, < * < "

Л2(<о) = А,(<0) = йо

й,(0) = й{(0) = 0, к = , т = т!\ра\, Ы0 находится го условия А1(<0) = А0.

Функции А(г) и А'(0 на рассматриваемом отрезке времени 0 < / < ^ являются монотонно возрастающими функциями. Конечная поперечная скорость фрагмента есть И/1 = ^ (* у ) > гДе '/ время взаимодействия фрагментов определяется из соотношения А^у) = 0.5 и имеет вид

^ = - агсвЦСз / л/с|~+с|~ )/*.

Скорость разлета фрагментов в конечный момент их взаимодействия будет

4С

иметь вид

(

И/1 =

-С— 2

А

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3

Рис. 5 Зависимость К от \ при фиксированном С0 =0,27,

Ьо

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Легко проверить, что и^ отличается от Му безразмерной скорости,

соответствующей (5), множителем К, который при —>2 и —>0.5 равен единице, а при С0= 0.27 и /^=0.1 равен 0.4. На рисунке 5 представлен график зависимости АГ(йо) при фиксированном Со= 0.27. Для Ад, стремящегося к нулю, множитель К равняется 0.25, а при ->0.5 имеем 0.75. Таким образом, индуцируемая поперечная скорость сферического фрагмента существенно меньше значений, опубликованных ранее другими авторами.

Во второй части на основе описанных выше результатов предложена новая модель разлета фрагментов разрушенного метеорного тела. В работе ( Ждан И.А., Стулов В.П., Стулов П.В. ДАН. 2004. Т.396. №2 С.191-193. ) численно исследована задача сверхзвукового обтекания конечного числа сфер при их различном пространственном положении. Приведены значения коэффициента расталкивающей силы для сфер в зависимости от их расположения в группе. Показано, что расталкивающая сила, действующая на тела во "внешнем слое", значительно больше, чем сила, действующая на остальные "внутренние" тела. На основе этих данных в диссертации

предложена следующая модель разлета фрагментов разрушенного метеороида Разрушенное тело представляется в виде роя (компактной совокупности)

фрагментов сферической формы. Предложены к рассмотрению две формы исходного тела, а далее роя фрагментов - цилиндрическая и сферическая (см рисунок 7) Дробление метеороида в соответствии с предлагаемой моделью происходит

Рис.7 -а®*,

по этапам. На каждом этапе ®

происходит взаимодействие фрагмента внешнего слоя и центральной части, которая считается неподвижным целым Это взаимодействие длится до тех пор, пока внешний слой не отойдет на расстояние, равное радиусу центральной части Тогда следующий слой становится внешним и начинает отдаляться от основной части.

Для определения времени взаимодействия центральной части и внешнего слоя было использовано решение уравнения динамики фрагмента, полученное в первой части третьей главы. Просуммировав время для каждого отделяющегося слоя, было определено время разлета фрагментов метеороида, соответствующее построенной модели. Например, для сферического тела радиуса я = 200 см (а также тела цилиндрической формы высотой 2Я и радиусом основания Я, где Л = 200 см), которое движется в атмосфере со скоростью V, = 20 км/с, расчеты в соответствии с моделью разлета разрушенного метеороида по слоям дают результат, который приведен в таблице. Предполагалось, что разрушение метеороида происходило на высоте У = 20 км.

Таблица

Кол-во фрагмент ов Радиус фрагмента, см Кол-во слоев Время разлета, с

ц С Ц С ц С

103 22.8 20 7 7 0.021 0.017

105 4.93 4.3 29 30 0.022 0.018

107 1.06 0.92 131 135 0.022 0.018

Исходя из результатов расчетов по данной модели дробления, можно сделать несколько выводов. Время распада (разрушения по слоям) одного и того же тела практически не зависит от количества фрагментов, на которое оно дробится. Кроме того, время разлета составляет незначительную часть всего времени движения мегеороида в атмосфере (время прохождения метеороида в атмосфере порядка нескольких секунд). Также были проведены расчеты для тел различной массы. Чем больше тело, тем больше время взаимодействия, больше поперечная скорость фрагментов, а следовательно, и расстояние разлета.

В диссертации предложен следующий способ описания движения метеорного тела с момента его входа в атмосферу планеты до полного его испарения или же выпадения на поверхность. До момента дробления движение тела описывается уравнениями метеорной физики для единого тела. Можно считать, что разрушение тела происходит мгновенно, и движение его фрагментов в поперечном направлении будет происходить с приобретенной

скоростью определяемой согласно построенной модели дробления по

слоям. Затем продольное и поперечное движение осколков можно считать независимыми и описывать продольное движение каждого из них моделью единого тела.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Проведен анализ траекторий пяти болидов «40151А», «40590» (Lost City, 2,5), «40405», «38737*» и EN070591 (BeneSov) для оценки влияния процесса дробления на траекторию метеорного тела. В результате определены значения основных параметров для каждого болида, получено, что значение коэффициента абляции для болида Бенешов а = 0.0067с2/км2 (/? = 1.5), определенное в данной работе, соответствует результатам расчетов, полученным в литературе другим способом (ст = 0.006 ±0.001с2/км2). Определено значение доатмосферной массы для каждого болида и выявлено, что значение массы, полученное фотометрическим методом, существенно превышает значение, определенное чисто динамическим способом, например, дня болида Бенешов Ме = 28 кг, МрН = 13000 кг согласно данным

наблюдателей. Получено, что практически для всех изученных болидов наилучшую аппроксимацию наблюдаемой траектории обеспечивает модель единого тела с учетом абляции, т.е. форма светящегося участка траектории не обнаруживает явного влияния дробления метеорного тела В случае болида Бенешов это можно объяснить тем, что масса, потерянная за счет абляции (15.8 кг), почти в два раза больше суммарной начальной массы фрагментов (7.19 кг).

Проведено исследование задачи о взаимодействии сферических фрагментов разрушенного метеорного тела в сверхзвуковом потоке. Предложена аппроксимация численных данных для коэффициента расталкивающей силы. Получено аналитическое решение задачи о расхождении двух сфер, линия центров которых лежит поперек потока под действием уменьшающейся расталкивающей силы без учета сопротивления. Выявлено, что поперечная скорость фрагмента в последний момент взаимодействия примерно в 2.4 раза меньше значений, опубликованных ранее другими авторами. Численно решена задача о расхождении двух сфер, линия центров которых лежит поперек потока, под действием уменьшающейся расталкивающей силы с учетом сопротивления. Обнаружено, что поперечная

скорость фрагмента практически не убывает под действием силы сопротивления. Предложена новая модель разлета фрагментов разрушенного метеороида по слоям, в которой каждый фрагмент рассматривается как отдельное тело. Получено, что в соответствии с предложенной моделью разлета метеороида по слоям время распада фрагментов метеорного тела много меньше времени его движения в атмосфере и практически не зависит от количества фрагментов, на которое оно дробится.

ПУБЛИКАЦИИ

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих публикациях:

1. Barri N.G., Stulov V.P., Titova L. Approximating trajectories of observed

bolides with account of fragmentation // Dynamics of Natural and Artificial Celestial Bodies. Proceedings of Ihe US/European Celestial Mechanics Workshop. Poland 3-7 July 2000. P. 369 - 371.

2. Барри Н.Г. Определение параметров болида Бенешов по данным

наблюдений // Современные проблемы аэрогидродинамики. Тезисы докладов IX школы-семинара 5-14 сентября 2001 г. С. 9.

3. Барри Н.Г., Стулов В.П., Титова Л.Ю. Аппроксимация траекторий

наблюдаемых болидов с учетом дробления // Вестник Московского Университета, Сер.1, Математика. Механика. 2001г.№ 4. С. 60 - 63.

4. Барри Н.Г., Стулов В.П. Обратная задача для атмосферной траектории

болида // Аэродинамика и газовая динамика в XXI веке. Тезисы докладов Всероссийской конференции. М., МГУ 2003 г.

5. Барри Н.Г. Оценка метеоритных и кратерных полей для модели

последовательного дробления в атмосфере // Труды конференции -конкурса молодых ученых. Институт механики МГУ, 2003 г.С. 28 - 32.

Барри Н.Г., Стулов В.П. Особенности дробления болида Беяешов //

Асгрон. веста. 2003. Т. 37. № 4. С. 332 - 335. Барри Н.Г. Взаимодействие фрагментов разрушившегося метеороида // Труды конференции - конкурса молодых ученых. Институт механики МГУ. 2004 г. С. 47-54. Барри Н.Г. Модель разлета фрагментов разрушенного метеороида // Вестник Московского Университета, Сер.1, Математика. Механика. 2005 г. №4. С. 56-59.

*-826i

к исполнению 13/04/2006 Заказ № 274

Исполнено 14/04/2006 Тираж 100 экз

ООО «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 Москва. Варшавское ш, 36 (495) 975-78-56 (495) 747-64-70 www autoreferat ru

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА

1.1. Модель единого тела

1.2. Определение параметров метеорного тела с помощью метода наименьших квадратов

2. ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ ПРОЦЕССА ДРОБЛЕНИЯ НА ТРАЕКТОРИЮ БОЛИДА

2.1. Модель последовательного дробления (Обзор)

2.2. Аппроксимация траекторий наблюдаемых болидов с учетом дробления

2.3. Болид Бенешов

2.3.1. Краткое описание болида Бенешов

2.3.2. Решение обратной задачи и результаты

3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ФРАГМЕНТОВ РАЗРУШЕННОГО МЕТЕОРНОГО ТЕЛА В ПОТОКЕ

3.1. Модель разлета двух фрагментов разрушенного метеороида

3.2. Модель разлета фрагментов разрушенного метеороида по слоям

Проблема движения в земной атмосфере крупных космических тел, способных пройти сквозь атмосферу и выпасть на поверхность планеты в виде метеоритов, представляет в настоящее время большой интерес.

Известно, что около 70 000000 метеороидов проникают в атмосферу

Земли каждый день, из них более 1000 кг (около 1%) метеорного вещества достигает ее поверхности [35]. Для маленьких тел (1 мм — 1 см) большое количество данных получено с помощью методов метеорной астрономии (радиолокация, телевизионные и фотографические наблюдения). Крупные тела (1-10 км и более) обнаруживаются обычными астрономическими наблюдениями (телескопы). Тела "промежуточных" размеров стали наблюдаться сравнительно недавно [40].

Наблюдение за такими телами и интерпретация наблюдательных данных позволяет выяснить, какова вероятность их падения, каковы их свойства, характерные особенности пролета через атмосферу и последствия этих падений. Выяснение этих вопросов позволит более достоверно оценить астероидную опасность.

Для сбора информации о притоке метеорного вещества на Землю был создан ряд болидных сетей в США, Канаде и Чехословакии. К последней присоединились наблюдательные станции ряда Европейских стран, Европейская сеть действует до сих пор. Предполагалось, что оптическая регистрация болидов, их кривых светимости и траекторий будет способствовать нахождению упавших метеоритов, однако, наблюдательными сетями были обнаружены лишь три метеорита (Пршибрам, Лост-Сити, Иннисфри). Тем не менее, был собран уникальный наблюдательный материал, анализ которого продолжается и по сей день.

Кроме наземных наблюдательных сетей существует еще и система наблюдений, базирующаяся на спутниках. Геостационарные спутники США, отмечают яркие вспышки в атмосфере Земли, вызванные внедрением весьма крупных метеороидов. Достоинством нового подхода является независимость от погодных условий, охват широкой территории, а также использование фотоэлектрических датчиков с высоким разрешением по времени, позволяющих зарегистрировать особенности формы импульса излучения и на их основе выявить тонкие особенности происходящих процессов. Однако лишь в единичных случаях определяется угол наклона траектории и начальная скорость.

Одной из фундаментальных проблем метеорной физики служит определение доатмосферной массы болидообразующих тел. Интенсивность метеорного явления определяется кинетической энергией тела при входе к внешней атмосфере планеты. Как известно, скорость тел при входе в атмосферу Земли лежит в относительно узком диапазоне 11,2 < Ve< 72,8 км/с, так что разброс значений скоростного вклада в кинетическую энергию не превышает 50 раз. Вместе с тем значение массы метеорного тела может изменяться в существенно более широком диапазоне, от долей грамма (микрометеоры) до сотен тысяч тонн (Тунгусское космическое тело), т.е. на 12-14 порядков. Кроме того, скорость входа сравнительно просто определяется в наблюдениях начального участка атмосферной траектории. Напротив, надежные способы определения массы входа, содержащие оценку точности результата, в настоящее время отсутствуют.

Существует несколько моделей, описывающих движение метеорных тел в атмосфере. Модель единого тела изучалась и использовалась многими авторами: [47] - [49], [53] - [55], [18] - [20], [21], [23]. В работе [29] предложена аппроксимация аналитического решения для этой модели простыми функциями.

Физическая модель последовательного дробления метеороида была предложена в работе [36] и использована там для получения серии численных решений. Согласно этой модели при выполнении условия, когда давление на лобовую поверхность тела достигает величин порядка прочности материала метеороида, тело разрушается на несколько одинаковых фрагментов, которые быстро переходят в режим аэродинамически независимого движения. Поскольку плотность атмосферы быстро нарастает, фрагменты продолжают последовательно дробиться. Такая модель пригодна для описания железных и каменных метеоритов и, возможно, углистых хондритов. В работе [34] эта модель использовалась для восстановления разрушающих нагрузок и параметров траекторий на основе экспериментальных измерений прочностных свойств реальных метеоритов.

Аналитическое решение уравнений торможения и абляции метеорного тела при движении в атмосфере и последовательном дроблении на основе работы [36], а также довольно простая его аппроксимация были получены в работе [27]. Это решение было использовано в работах [28], [3] для определения параметров метеорных тел по данным наблюдений.

Физические свойства модели мгновенного разрушения были впервые сформулированы в известной работе [6]; модель позднее была использована в численных расчетах [43].

В работе [11] весь процесс дробления представляется как серия этапов по удвоению числа осколков, и расчет траектории неаблирующего тела сводился к поэтапным вычислениям, причем количество этапов могло быть больше тридцати. В работе [30] эта физическая модель представлена в виде системы дифференциальных уравнений, которая решается методом разделения переменных, в том числе с учетом абляции.

Теоретическое исследование дробления на основе интенсивности свечения болида было проведено в диссертации [26]. С помощью метода радиационного радиуса в этой работе установлено, что для ряда крупных болидов Прерийной сети, США (PN - болидов) свечение заметно превышает величину, адекватную значениям массы при входе, полученным ранее чисто динамическими методами на основе теории единого тела, т.е. в отсутствие дробления. Автор [26] предположил, что траекторию в этих случаях образует не единое тело, а рой фрагментов, так что торможение соответствует наиболее крупному фрагменту, а свечение создают все фрагменты, полная масса которых, естественно, может заметно превышать массу одного фрагмента.

В настоящей работе делается попытка определить наличие дробления по форме наблюдаемой траектории, не связывая ее с величиной свечения болида, так как теоретическая связь интенсивности свечения с полной массой роя фрагментов установлена еще не вполне точно. Траектория вычисляется в переменных скорость — высота. Для выявления роли дробления используется метод наименьших квадратов, а в качестве пробных функций -аналитические формулы для траектории, полученные с помощью модели последовательного дробления метеорного тела в атмосфере [27].

Процесс разрушения метеороида в атмосфере, а также влияние этого процесса на строение кратерного поля исследуется в работе [50]. Авторы исследовали несколько известных кратерных полей. С помощью численных расчетов они попытались восстановить картины метеорных падений, результатами которых стали изучаемые поля.

В качестве физической модели для расчета траектории в работе [50] используются обычные уравнения метеорной физики для единого тела. Изучаемые кратеры, образованные в результате падения фрагментов одного метеороида, отличаются размерами. Поэтому модель дробления авторы [50] выбрали следующую: тело разрушается на несколько фрагментов разных размеров, если массу максимального фрагмента обозначить, например, М, то массы остальных фрагментов будут равны соответственно Ml2, М/4, М!8 и так далее. Потом, определяются индивидуальные траектории фрагментов при помощи численного интегрирования уравнений метеорной физики для модели единого тела методом Рунге-Кутта. Вычисления прекращаются, когда последний фрагмент достигает поверхности земли, далее определяются разброс метеоритов и диаметры образованных ими кратеров.

Все изучаемые кратерные поля имеют некую ширину. Объяснением поперечной протяженности кратерного поля является наличие поперечной горизонтальной составляющей скорости. В работе [50] рассматриваются несколько возможных механизмов, обеспечивающих поперечную компоненту скорости фрагмента метеороида. Это центростремительный разлет фрагментов от вращающегося метеороида, действие поперечной подъемной силы, динамический поперечный разлет осколков вследствие взрывообразного разрушения метеороида, и пересечение двух или нескольких ударных волн непосредственно после разрушения.

Авторы [50] пришли к выводу, что взаимодействие ударных волн является основной причиной поперечного разброса фрагментов. Действие подъемной силы может быть существенным только в случаях, когда масса фрагментов меньше чем 100 кг.

Однако в работе [50] был предложен метод для определения расстояния поперечного разлета, в котором не было учтено, что взаимодействие ударных волн ослабевает с увеличением расстояния между фрагментами. И этот же метод использовался в работах [25], [26]. Расчеты проводились в предположении о том, что расталкивающая сила постоянна. В настоящей работе этот недочет был восполнен, и было получено аналитическое решение для задачи о расхождении двух сферических фрагментов в сверхзвуковом потоке воздуха под действием уменьшающейся поперечной силы.

В работе [50] также было проанализировано влияние угла входа, начальной массы и скорости на продольную протяженность кратерного поля и его строение. Например, по расчетам авторов для тела массой 109 кг и начальным углом траектории с горизонтом 45 ° будет образовываться только один кратер, даже если произойдет дробление. При таких начальных данных разлет возможных фрагментов будет недостаточный. Также отмечается, что для скоростей больше 20 км/с максимальный разлет двух тел массами 109 и 108 кг, обусловленный гравитацией и сопротивлением, будет меньше 20 км, а для более крупных тел будет меньше. Это дает верхний предел длины возможного кратерного поля, которое будет образовано геометрически подобными телами со скоростями больше 20 км/с. А для начальных скоростей между 11.2 и 20 км/с продольный разброс кратеров может быть очень большим (более 100 км) при угле входа меньше 5 °.

В работе [24] подробно изучается падение Сихотэ-Алинского метеоритного дождя. Авторами использовалась следующая информация об этом уникальном событии: число и размер образовавшихся кратеров, их расположение на поле рассеяния, прочность образцов метеорита, устные рассказы и зарисовки очевидцев, оценки высот разрушения, наклона траектории и интенсивности свечения. Проведено численное моделирование движения, абляции и светимости, учитывающее возможность нескольких стадий разрушения.

В результате падения Сихотэ-Алинского метеорита образовалось обширное кратерное поле. Было обнаружено около 130 кратеров и воронок, 23 кратера с диаметром, превышающим 9 м [15]. Самые крупные осколки метеорита (массой 1.7 т и 0.7 т) были найдены не в самых больших кратерах. В нескольких больших кратерах (с D > 9 м) вообще не было найдено крупных фрагментов, а только большое число мелких осколков самих кратерах и вокруг них.

Первая экспедиция собрала около 27 т метеоритного вещества [15], в основном в виде мелких фрагментов. Полная масса, упавшая на Землю, была оценена в 70-100 т [15]. Оценка в работе [24] приводит к увеличению упавшей массы до 120-140 т. Численное моделирование в этой работе показало, что большие фрагменты теряют примерно 30-50 % массы в результате абляции, поэтому авторы оценивают массу тела, распавшегося на крупные фрагменты примерно в 200-300 т.

В работе [24], также как и в работе [50], движение метеороида рассматривается в рамках модели единого тела до тех пор, пока давление на лобовую поверхность не достигнет некоторого критического значения, ведущего к дроблению тела. После чего движение каждого отдельного фрагмента описывается также в рамках этой модели.

Реальные нагрузки, испытываемые метеорными телами при движении в атмосфере, оказываются меньше пределов прочности [34], но, тем не менее, вызывают их разрушение, поскольку метеорные тела прочностно неоднородны. Небольшие образцы разрушаются в основном вдоль границ между кристаллами, которые слабее связаны между собой. Структурно неоднородные тела могут быть описаны с помощью статистической теории прочности [52], [4], из которой следует, что крупные дефекты встречаются реже незначительных, и вероятность их появления возрастает с увеличением объема тела. После разрушения образовавшиеся фрагменты оказываются прочнее раздробившегося тела. Поэтому для оценки прочности метеорита массой М можно воспользоваться степенным законом увеличения прочности с уменьшением размера, зная прочность образца. Такой метод использовался в работе [24].

Модель катастрофической фрагментации [41] использовалась в работе [24]. В ней предполагается, что метеорное тело разрушается на фрагменты разных размеров и с ростом массы осколка их число уменьшается. Затем выбирались один или несколько максимальных фрагментов, остальные разбивались на несколько групп и рассматривалась средняя масса группы.

Далее в работе [24] оценивалось рассеяние образовавшихся фрагментов в направлении, перпендикулярном движению, таким же методом, как и в работе [50] без учета уменьшения расталкивающей силы. Кроме того, в работе [24] предполагается, что, если число фрагментов значительно больше двух, расталкивание осколков меняется благодаря их взаимодействию и влиянию облака мелких фрагментов и паров между ними. Осколки могут двигаться, окруженные общей ударной волной. Это может увеличить расстояние поперечного разброса осколков в 2 — 3 раза, по оценке авторов до 160-240м, что по ряду величины согласуется с размером основного кратерного поля Сихотэ-Алинского метеорита (0.3x0.5 км). Размер же всей области, покрытой фрагментами метеорита, включающий и вторичный эллипс рассеяния обычно полагают равным 0.9x1 км.

В работе [24] проведено численное моделирование Сихотэ-Алинского события. Основываясь на описанной выше модели, авторы подобрали такие значения параметров, определяющих картину падения, которые дают наибольшее сходство реального кратерного поля и теоретического.

Фрагменты небольшого размера тормозятся довольно сильно и достигают земли с небольшой скоростью за счет действия веса тела. Поэтому вблизи поверхности планеты для этих фрагментов необходимо учитывать вес, чего не было сделано в работе [24].

Преимущества аналитических решений перед численными общеизвестны. Эти преимущества особенно акцентированы в метеорной физике, так как возможности получения численных решений высокой точности весьма ограничены из-за неточной постановки исходной задачи.

Целями настоящей работы являются: оценка влияния процесса дробления на траекторию болида, основанная на анализе наблюдаемой траектории решение задачи о расхождении двух сфер, линия центров которых лежит поперек потока, под действием поперечной силы, полученной в результате численного эксперимента построение новой модели разлета фрагментов разрушенного метеорного тела.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложений, списка литературы и содержит 75 стр. Список литературы содержит 56 библиографических ссылок.

Основные результаты и выводы работы:

1. Известное решение для модели единого тела представлено в новых координатах: время, высота над поверхностью планеты, проекция траектории на горизонталь. Решение в таком виде удобно использовать для оценки метеоритных и кратерных полей.

2. Проведен анализ траекторий пяти болидов «40151 А», «40590» (Lost City, 2,5), «40405», «38737*» и EN070591 (Benesov) для оценки влияния процесса дробления на траекторию метеорного тела, в результате которого: а) решена обратная задача, т.е. определены значения основных параметров для каждого болида б) получено, что значение коэффициента абляции для болида Бенешов сг = 0.0067 с2/км2 (/? = 1.5), определенное в данной работе, соответствует результатам расчетов работы [51], полученным другим способом (а = 0.006 ± 0.001с2/км2) в) определено значение доатмосферной массы для каждого болида и выявлено, что значение массы, полученное фотометрическим методом, существенно превышает значение, определенное чисто динамическим способом, например, для болида Бенешов Ме = 28 кг, Mph = 13000 кг согласно данным наблюдателей г) получено, что практически для всех изученных болидов наилучшую аппроксимацию наблюдаемой траектории обеспечивает модель единого тела с учетом абляции, т.е. форма светящегося участка траектории не обнаруживает явного влияния дробления метеорного тела. В случае болида Бенешов это можно объяснить тем, что масса, потерянная за счет абляции (15.8 кг) почти в два раза больше суммарной начальной массы фрагментов (7.19 кг)

3. Проведено исследование задачи о взаимодействии сферических фрагментов разрушенного метеорного тела в сверхзвуковом потоке, в результате которого: а) предложена аппроксимация численных данных для коэффициента расталкивающей силы б) получено аналитическое решение задачи о расхождении двух сфер, линия центров которых лежит поперек потока под действием уменьшающейся расталкивающей силы без учета сопротивления в) выявлено, что поперечная скорость фрагмента в последний момент взаимодействия примерно в 2.4 раза меньше значений опубликованных ранее другими авторами г) численно решена задача о расхождении двух сфер, линия центров которых лежит поперек потока под действием уменьшающейся расталкивающей силы с учетом сопротивления д) обнаружено, что поперечная скорость фрагмента практически не убывает под действием силы сопротивления е) предложена новая модель разрушения метеороида по слоям, в которой каждый фрагмент рассматривается как отдельное тело ж) получено, что в соответствии с предложенной моделью разрушения метеороида по слоям время разрушения метеорного тела много меньше времени его движения в атмосфере и практически не зависит от количества фрагментов, на которое оно дробится.

Заключение

В результате выполненных автором исследований изучены и реализованы методы решения обратной задачи для наблюдаемой траектории болида, получено более ясное представление о динамике и термодинамике прохождения атмосферы метеорного тела.

1. Барри Н.Г. Модель разлета фрагментов разрушенного метеороида //

2. Вестник Московского Университета, Сер.1, Математика. Механика. 2005 г., №4, С. 56-59.

3. Барри Н.Г., Стулов В.П. Особенности дробления болида Бенешов //

4. Астрон. вестн. 2003. Т. 37. № 4. с. 332 335.

5. Барри Н.Г., Стулов В.П., Титова Л.Ю. Аппроксимация траекторийнаблюдаемых болидов с учетом дробления // Вестник Московского Университета, Сер.1, Математика. Механика. 2001 г., № 4, С. 60 -63.

6. Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. М:

7. Госстройиздат, 1961.204 с.

8. Бронштэн В.А. Физика метеорных явлений М.: Наука, 1981,416 с.

9. Григорян С.С. О движении и разрушении метеороидов в атмосферахпланет // Космические исследования 1979. Т. 17. № 6. С. 875-893.

10. Дивари Н.Б. Явления, сопровождающие падение метеоритного дождя,и его атмосферная траектория //В кн.: Сихотэ-Алинский железный метеоритный дождь. Т. 1. М.: Изд-во АН СССР, 1959. С. 26-48.

11. Ждан И.А. Аэродинамическое сопротивление системы тел всверхзвуковом потоке // Ломоносовские чтения. Секция механики. Тезисы докладов, 2005 г., С. 88.

12. Ждан И.А., Стулов В.П., Стулов П.В. Аэродинамическоевзаимодействие двух тел в сверхзвуковом потоке // ДАН. 2004. Т. 396. №2 С. 191-193.

13. Ждан И.А., Стулов В.П., Стулов П.В. Трехмерные конфигурациифрагментов разрушенного тела в сверхзвуковом потоке // ДАН. 2005. Т. 404 №4 С.

14. Иванов А.Г. , Рыжанскш В.А. Фрагментация малого небесного телапри его взаимодействии с атмосферой // ДАН. 1997.Т. 353. № 3. С. 334-337.

15. Коробейников В.П., Власов В.И., Волков Д.Б. Моделированиеразрушения космических тел при движении в атмосферах планет // Мат. Моделирование 1994. Т 6. № 8. С.61-75.

16. Кринов Е.Л. Краткий каталог метеоритов СССР на 1 января 1962 г.

17. Метеоритика. 1962. Вып. 22. С. 114 126.

18. Кринов E.JI. Железный дождь. М.: Наука, 1981. 192 с.

19. Кринов E.JI,. Фонтон С.С. Описание метеорных кратеров, углублений имест падения индивидуальных фрагментов на поверхности // В кн.: Сихотэ-Алинский железный метеоритный дождь. Т. 1. М.: Изд-во АН СССР, 1959. С.157 —303.

20. Кринов E.JI., Цветков В.И. Сихотэ-Алинский метеоритный дождь какклассическое метеоритное падение // Метеоритика. 1979. Вып 38. С. 19-26.

21. Кулаков А.Л., Стулов В.П. Определение параметров метеорных тел поданным наблюдений // Астрон. вестн. 1992. Т. 26. № 5. С. 67-75.

22. Левин Б.Ю. Элементы физической теории метеоров // Астрон. журн.1941. Т. 18. № 4-5. С. 331-342.

23. Левин Б.Ю. Физическая теория метеоров и метеорное вещество в

24. Солнечной системе. -М.: Изд-во АН СССР, 1956.-296 с.

25. Левин Б.Ю. О фрагментации метеорных тел // Астрон. журн. 1963. Т.40.№2. С. 304-311.

26. Лох У. Динамика и термодинамика спуска в атмосфере планет. М.:1. Мир, 1966.-276 С.

27. Мак-Кроски Р.Е., Шао Ц.И., Позен А. Болиды Прерийной сети. 1.

28. Общие сведения и орбиты // Метеоритика. 1978. вып. 37 С. 44-59.

29. Мартин Дж. Вход в атмосферу. М.: Мир, 1969. - 320 С.

30. Немчинов КВ., Попова О.П. Анализ Сихотэ-Алинского события 1947 г.и его сравнение с явлением 1 февраля 1994 //Астрон. вестн. 1997. Т. 31. №5. С. 458-471.

31. Немчинов И.В., Попова О.П., Тетерев А.В. Внедрение крупныхметеороидов в атмосферу: теория и наблюдения (Обзор) //Инж-физ. журн. 1999. 72, № 6. 1233-1265.

32. Попова О.И Определение параметров крупных метеорных тел по набл.данным: Дисс. канд. Физ. мат. наук. Ин-т динамики геосфер. 1997. 198 с.

33. Стулов В.П. Аналитическая модель последовательного дробления иабляции метеорного тела в атмосфере // Астрономический вестник. -1998. Т.32. № 5. С. 455-458.

34. Стулов В.П. Определение параметров разрушающихся метеороидов поторможению в атмосфере // Астрономический вестник. —2000. Т.34. №6. С. 545-549.

35. Стулов В.П., Мирский В.Н., Вислый А.И. Аэродинамика болидов.

36. М.:Наука. Физматлит, 1995. -240 с.

37. Стулов В.П, Титова Л.Ю. Сравнительный анализ моделей дробленияметеорных тел // Астрономический вестник. 2001. Т.35. № 4. С. 345-349.

38. Фадеенко Ю.И. Разрушение метеорных тел в атмосфере // Физикагорения и взрыва. 1967. № 2. С.276 280.

39. Фесенков В.Г. Орбита Сихотэ-Алинского метеорита // Метеоритика.1951. Вып. 9. С 27-31.

40. Цветков В.И. Сихотэ-Алинский метеоритный дождь: дробление,рассеяние, траектория и орбита // Метеоритика. 1987. Вып. 46. С. 3 -10.

41. Цветков В.И., Скрипнш А.Я. Атмосферное дробление метеороидов сточки зрения механической прочности // Астрономический вестник. 1991. Т.25. № 3. С. 364 - 371.

42. Baldwin R. В. The Measure of the Moon // Univ. Of Chicago Press, Chicago1. P. 6-7,, 1963.

43. Baldwin В., Sheajfer Y. Ablation and breakup of large meteoroids duringatmospheric entry // J. Geophys. Res. 1971. V. 76. № 19. P.4653-4668.

44. Borovicka J. Spumy P. Radiation study of two very bright terrestrial bolidesand an application to the Comet S-L 9 Collision with Jupiter // Icarus. 1996. V.121.P. 484-510.

45. Ceplecha Z, Spumy P, Borovicka J., and Keclikova J. Atmosphericfragmentation of meteoroids // Astron. Astrophys. 1993. V. 279. P. 615 -626.

46. Ceplecha Z., Borovicka J., Elford W.G., Revelle D.O., Hawkes

47. R.L.,Porubcan V., Simek M. Big Meteoroids and Meteors / Submitted to editors of Interplanetary Dust Eds. S. Dermott, B. Gustafson, and E. Griin. Tucson: The University of Arizona Press, 1997.

48. Fujiwara A., Cerroni P., Davis D., Ryan E., DiMartino M., Holsapple K.,

49. Hausen K. Experiments and scaling laws for catastrophic collisions // Asteroids I / Ed. R. P. Binsel, T. Gehrels, and M.S Matthews. Tucson: University of Arizona press, 1989. P. 240 — 265.

50. Hawkins G.S. The meteor process // Physics and Astronomy of Meteors,

51. Comets and Meteorits. 1964. McGraw-Hill. New York.

52. Hills J.G., Goda P. The fragmantation of small asteroids in the atmosphere //

53. Astron. J. 1993. V.105.№3.P. 1114-1144.

54. Linderman F.A., Dobson J.M. A theory of meteors and the density andtemperature of the outer atmosphere or which it leads // Proc. Roy. Soc. 1923. V. A102. P. 411-437.

55. MacCormac R. W., Warming R.F. Survey of computation methods for threedimensional inviscid flows with shocks // AGARD Lecture Series № 64. Advanced in numerical fluid dynamics. 1973. - P. 5-1-5-20.

56. McKinley, D.W.R. Physical theory of meteors I I Meteor Science andengineering. 1961. McGraw-Hill. New York.

57. Opik E.J. Atomic collisions and radiation of meteors // Acta Commentat.

58. Univ. Tartuen. 1933. V.A26, № 2. P. 1 39.

59. Opik E.J. Meteor radiation, ionization and atomic luminous efficiency //

60. Proc. Roy. Soc.1956. V.A230, № Ц83. P.463 501.

61. Opik E.J. Physics of meteor flight in the atmosphere. Interscience, New1. York. 174 p, 1958.

62. Passeym Q.R., Melosh H.J. Effects of atmospheric breakup on crater fieldformation // Icarus. 1980. V. 42, № 2. P. 211-233.

63. Spumy P. Resent fireballs photographed in central Europe // Planet. Space

64. Sci. 1994. V. 42, P. 157-162.

65. Weibull W. A statistical distribution function of wide applicability // J.

66. Apple. Mech. 1951. V. 10. P. 140 147.

67. Whipple F.L. Meteors and the Earth's atmosphere // Rev. Mod. Phys. 1943.1. V.15., № 3. P. 246-264.

68. Whipple F.L. The physical theory of meteors VII. On meteor luminosity andionization // Asteophys. J. 1955. V.l21, № 1. P. 241 249.