Исследование бесконечных систем заряженных частиц методом функционального интегрирования тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ
|
Пилявский, Анатолий Иванович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Киев
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1995
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.03
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
Национальна Академ1я наук Украши Р Г Щ ОД Институт математики
* п АИР
На правах рукопису
ШЛЯВСЬКИЙ Анатолий 1ванович
ДОСЛЩЖЕННЯ НЕСК1НЧЕННИХ СИСТЕМ ЗАРЯДЖЕНИХ ЧАСГИНОК МЕТОДОМ ФУНКШОНАЛЬНОГО 1НТЕГРУВАННЯ
01.01.03 - математична ф|эика
АВТОРЕФЕРАТ лиссртацК на здобуггя вченого ступени доктора фЫко-матсматичних наук
К«1в 1995
Диссртащею е рукопис.
Робота внконана у ваддш математичиих метода у статистичш'й механпи tiiciriyry математики НашональноГ Академ¡1 Наук Укра'ши
Науков! консультанте: - член-кореспондент HAH Укра'ши, доктор ф|зик0-математичлих наук, лрофесор ПЕТРИНА Д.Я. - доктор фпико-матсматичнкх наук, РЕБЕНКО ОЛ.
Офиийш »но!ictmv. - доктор фгтко-математичних наук, пр.хрссор ГОЛОВКО М.Ф.
- доктор фпико-математичних наук, профссор-ЬЙД1у1ЬМЛН СД.
- доктор ф^зико-матсматичних наук, ирофесор СВШЗШСЬКИЙ A.B.
Прошдна усиноаа - Харювський державний уш'всрситет
Захист дйсертацн »¡.чбулепся " 1995 року
о _ голиш на ticuaifiii cnciiiam юваноУ ради Д01.66.02 при
lnimrryri матсмашкм HAH Украши и адрссот: 25.2601 Kiii'n - 4. пул. Тсрещеикюська, 3.
3 дисертацкто можна ошайомишеи в ОШ.жлеш t нети гуту.
Автореферат роисланий " /S WQS р.
/ '
Вченин сскрстар cncitianiioBamti рал и
ЛУЧКА А К).
ЗЛГЛЛЫ1Л ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Лктуалынсть теми. Досшдження сташв нссюичениих систем за-ряджених частинок с важливою задачею сучасно! матемапппоУ ф1-зики, яка мае як прикладне, гак I теоретичне значения.
Стани сюмчешгих систем попшетю визлачаються поелтовтетю функцШ розпо;цлу (або кореляцШинх функцШ) в класичному ви-падку I пос-пдошпстю статисгичних операторов комплекс!» часгннок (або редукованих матрицъ гуеттш) - в квантовому. При сктчен-ному члсл1 частинок i об'епп системи Ц1 функца (оиератори), з ма-темашчно! точки зору, внзначаються строго. Яйцо у виразах для них попрямувати (при постШшй густиш) число часгннок 1 об'ем ло нескшчеиноеп (викоиати, так званий, термодинампиин граничннй перехш), ми 1 отримасмо функцп (оператори), шо описують стани неекп'ченних систем зарядженнх частинок. Саме такнй гпдхщ ] ви-користопусться в маний р0б0Т1.
Проблема обгрунтуваиня гермодинам1чного граничного нерехо-ду для систем з кулоншською нтаемол'кю досигь складна I пнипглс розробки 1 використання найсучасннпих матемагичних м сто/ив. Суттсв» усЫхи при опиЫ просгорово однорщних систем зарядженнх частинок пов'язаш з працями Д. Бр1джеса (О. Вгу^сз) (за-рядово-симетричний газ на грапн), Д. Бриикеся 1 II. Фелербуша (Р. РескгЬикЬ) (неперервт системи), ОЛ. Ребенка (¡он-диполыП системи), а також Г. 1мбр1 (Т. 1тЬпе) (сисгеми тину желе). Ш результати нов'яшм з вщкритгям пеного зв'язку м1ж модельними системами квангово! тсори поля \ статистично! мехашки. Ипелеиня в статнетнчну мехаш'ку евклшових папв I використання 5те-СЗоа1о" - неретворашя дало можливтеть подати мирати для функнш розподшу сиочатку при скшченному об'еч1 у шн.тп фугкшоиалышх нпегра.нв. а попм для дослЬжптя гч при Л / И'
застосувати там потужи метол» як метод кластерних розкладш та котурну тех!нку (Глимм Дж., Джаффе Л.. Математические методы квантовой физики. Подход с использованием функциональных интегралов. - М.; Мир, 1984. - 448с.). •
Особливе значння мае розробка математично строгих методов описания нескшченних просторово-неоднорщшх систем зарядже-них частинок, при наявноси в серсдовииц велико! юлькосп непро-1ШК1ШХ доелектричних включень або переижод (так звано! динамично! мембрани), коли виникають додагкош трудногщ, пов'язаш з нсобхданстю враховувати заряди, що щдукуються на поверхнях роздшу областей з р1зними доелектричними проникностями. Не менш важливим е.також о1шсання нсскшчетшх систем зарядже-них частинок, що дифундують у рцщш. Актуалыисть цих проблем зумовлена в першу чергу там, що вони мають безпосередне вщно-шення до теори пронесу прсткання розчшив електролтв через мембрани, дослщжешно якого в оста!пи роки придишсться все бмыпе уваги \ я кий вдаграе важливу роль у природа та технлц.
Важливою е також задача розробки метод1в дослщжсння таких иескшчсшгих кватових мойельних систем заряджештх частинок, ми € точно розв'язувалышми. Ця задача розглядасться в робоп на приклад» модельно! системи теори надпровщносп.
Мета робота. Досладши нссюнченш просторово-нсоднорщш та нср1вноважн; системи класичних заряджених частинок за допомо-гою узагальненля на таы системи методу кластерних розкладав, а також розробити метода для матсматично строгого описашш нес-кшченних квантовнх моделышх систем (модельно! системи теори тщнров^чиоеп).
Методика дослщжсння. Застосовуються методи евклщово! квамтово! тсорГ; ноля та тсори функнкшалышх штеграл!в.
Теоретична 1 практична цнписть дослщжсния та його науко-ва новизна. Запропоновано ефектнвний метод визначення потен-Ц1ал1в електростатичних взаемод1й як мш частниками, так I м)ж частниками I зарядами, шдукованими на поверхнях перешкод. Важлшюго особлшистю дього методу, в основ) якого лежить шд-шмальна процедура, е те, то за перше наближення берегься точ-ний розв'язок задач1 для випадку, коли перешкоди врахопуються незалежно, а внлив перешкод одна на одну враховустъся методами теорй- збурень.
Для перешкод сферично!" форми отримаш в явному виглялу по-тетояли електроетатично! взаемодп" мiж частниками 1 м)ж частниками I зарядами, що шдукуготься па поверхнях перешкод. Проведено доелмркення цих потешиа^пв при рнннх сшввщношенлях м!ж даелектричними проникностями еередовиша 1 перешкод.
За допомогою методов евкладово! квантовоГ теорн поля отрима-ш 1 дослщжеш потешцали екрановашк взаемодоЧ м1ж частиками 1 лих частниками \ зарвдами, що Ьадукуються на поверхнях перешкод.
Для функцш розподЬчу системн заряджеш частинки-динам]чиа мембрана побудоваш кластерш розклади I для досташьо високих значень температури доведено зб1жшсть кластсриих розклади! I ¡с-нування фуикщй розподшу в гратпм Л / Л3. Встаиоалено пору-шеиня експоненщально!" кластеризацп фу1псшй розподпу. Доведено, що в напрямку перпендикулярному до мембрани функпи розпод1лу експоненшалъно клаегеризуються. а в поп ж иоверх1н мембрани вони спадають степеисво (в границ! Л//?3).
Дтя нер1пноважних кореляшйннх функшй систсми мрядженнх частлнок. що дифуидуюгь у рииим 1 вз.-нмодпоть через кжав!вськмй иагеншал, побудоваш кластер!« розклади, 1 -тля сличенного ча^^^
»ого штервалу 1 достатньо високих температур доведено 1х зб!ж-шеть в граншй Л/Л3. Доведено також експонешиальну кластсри-защю (в гра!тщ Л / Л3 ) кореляншних функщй.
Охримаш результата можуть бути е<|)ективо використаш для роз-рахушав конкретних термодинам1чних характеристик просторово-неоднорщних систем заряджених частииок, а також для описания, наприклад, янища оберненого осмосу.
Дослщжено нееюнченну квантову модельну систему типу ЬКЩ-Боголюбова за доиомогою методу функнюнального ¡нтегру-вания та тех1пки евклщових квантових напв. Цс дозволило засто-сувати вар1анг принципу великих п'тшпепъ I отримати точний розв'язок, який був рашше оггриманий методом апрокеимуючого гамтьтошану.
Метод апроксимуючих гам1льтошан1в узагальнено на нершно-важш квангош моделын сиетеми з взасмод!ею, то роздтясться. Це дозволило описаги безпосередньо в термодинамгинн граншй ево-.'дюшю модельио! сисгеми типу ЬКШ-Боголюбова.
Практична значтистъ цих результате в тому, то вони можугь буги використаш для опису властивостей явшца налнровЬчносп.
Лнробахуя результапв. Матер1али дисергацн доповшались та обговорювались на VI Республжанеькш конфе ренин з сгатистич-ио1 фгшки (Льв1в, 1982 р.), МЬкнародшй тко;и з фпики 10111101 сольватацй" (Льв1в, 1983 р.), М1жнародному еимпоз1ум1 з вибраних проблем статжтичиоУ мехлшки (Д)гбпа. 1985 р.), Л Радяисько-
Ггалшському симноз1ум1 з проблем статиспгчноТ фпики (Льв1в,
•
р.). Всссоюзшн школ! аДипа\йч1и сисгсми 1 турбудентшеть" (Каниве/н, 1988 р>, IV ЧНжнаршшй шко;п 5 недшшних 1 турбулентных пронест у фпиш (Кшв, 1489), Мккн.фидшй шко.ц "Ма-течачпчж методи в стагисгичшй механни" {Дубна. 1990 р.). X
М1жнародному Kourpeci з математично! ф1зики (Лейпцп, №меч-чшш, 1991 р.), 28 Зимовш школ] з теоретично! фпики (Карпач, Полыца, 1992 р.), III М1жлародшй школ! *Еполюцшш стохастичш систсми: теорш i застосупання у ф1зшц i бюлоги" (Kaitimcjii, 1992), I УкрашськШ конферешщ "Структура та ф1зичш властивосп не-впорядкованих систем" (Льв1в, 1993 р.), II Украшсько-Амсрикан-сьый конференцп з диферетйалънмх ртняиь i ix засгосуваннь (Судак, 1993 р.), а також на ссмшарах в1ддшу математичних метода в статистичшй Mcxaniiii {нституту математики HAH Украши (KcpißHHK - член-кореспоняент HAH Укра'им Д.Я.Петрииа), на ссмшарах в lucimyri ф1зики кондснсованих систем HAH Украши (KepiBinnc - нрофесор М.Ф.Головко), ФЬико-тех1НЧНому шепггуп Ш1зьких температур HAH Укра'нш, Ыституп теоретично! фппки HAH Украши.
Публлкади. За матер1алами диссртацп опубЛ1Ковано 21 друко-вана праця. Основ!ii результати агриман1 автором самостшпо. Вклад кожного з сшвавтор1в чггко вншлено в дисертацшшй робот!.
Об'см та структура. Дисертащя склаласться з вступу, шести глав, списку цитовано! лператури, що Micnrn» 237 лжерел, никл ад сна на 247 сторшках i включае 3 рисунки.
Основний зше-т роботи
У ЕЕИШ подано короткий огляд по теори нескшченних сисгем зарядженга частинок, видьтено матсматичш проблемн, шо вини-кають при строгому описэнш просторово-неодноршнит систем заряджених частинок. сфпрчульовпмо задач!, що рп-т'язуклмч и ■шссрташГ, обгрутовяно лктуя.ник-п, викоманнх лослпжень, я тгзкож полено сп!сл?»Л ппклпя 3Micry робот I осиопни* -min
У иерннй глав] визначаеться потеши альиа снерпя електроста-ги'оки взаем од ¡1 системи заряджених частинок i динамично! мем-брани.
Результата глави отримаш автором за методикою Д.Я.Петрипи. У §1 першо'| глави задача про визначення потенгпалыю'/ енер-гп елекгростатично! взаемоди зводиться до системи ипегральних р!вняиь для густин зарядав, ищукованих на поверхнях перешкод.
Нехай у простор! К3 задало шар Г , який обмежений дпома иаралельними нлощннами Г+ 1 Г~ .В шар1 Гвидшимо область 5, яка е об'еднанням однозв'язних областей (а = 1,2,...), що не нсрстинаються 1 обмежст гладкими поверхнями Ляпунова Позначимо через О область О =Л3\5, а через £•, та ег вщ-повщно доелектрнчш проникносп обласи О 1 областей 6'д . Область О будемо також називати середовищем, обласн 5а - перешкодами, або тшами в середовииц, а область 5 - динам1чною мембраною. Нехай зовш тш Яд уточках розмодет N
частинок М сорт ¡в з зарядами сц , дс а - сорт зарядав. Нсобхщно знайти потеншал електростатично! взаемодп шж частниками Ф^. Потеншал Фс„ можна знайти, яйцо вадомий потеншал електро-
сф
статичного поля у/(д) , то спюрюеться системою частинок I
динам1'чною мембраною. В свою чергу, потеншал можна
нодати у виглнд1 суми объемного нотеншал у \ суми потенщал1в простого шару
и^г'- ХЛ^ т1-! О)
4ЛГ, а а \а -а \ а \Я-у\
чаг. а
До того ж щьтьшеть простого шару ая задовольняс систему нггег-ралышх ршнянь:
г СОЯ (Х-у, Л )
+ к (У) . , ,г~ «У, *
С соя (л--/,л ) + А 2 ) (у) —-------- (2)
" лу 2 л-¡.г - /( ^
л
т со*(х-ЧаГпаХ) ,
I ч I
£, - г
дс Я = ------ .ли - зовншшн нормаль до ¿?5„ у точц|
г-, ■+ 3 х 3
х е
У §2 проведено дослщження систем и (2) в нрипушешн, гцо I Д I < 1 1 НС1 тша -куд| одного I того ж диаметра с/.
Теорема 1.2.1 Система иггегральних ртнянь (2) для розполЫи лереткод, то щ ювачышютъ уяюиу
то* £ < С0 .
° аЬ
де С0 - деяка стала, а г - пшетань ьпж а - ю та Ь - ю перст-кодами, мне едиипй розв 'язох,
У дисертлпи наведено дпа ирнклади ротодЫп нерешкод н облает» Т, то задоволытютъ умову (3).
В §3 методом модиф!кованоТ теорн збурень побудоваш роз-п'язки системи р(внннь (2).
Введемо величину £. що харакгеризус гсометричну структуру 1 материал динам1Чно1 мембранн за формулою
1-1 д; " '
Теорема 1.3.1 Яюцо розпсицл лерешкцц в облает.г Т задоволь-няе умову (3), то при 4 < I розв'язок системи ршнянь (2) можна подати у внглящ
дс аа1 - густина зарядш, яю ищукувалнея б на кожтшг перешкод/ у вщсутносП вах шших лсрсткод у мембрана, а 8а - густина, що враховуе сфскт взаемного впливу перешкод. До того ж, густина може бути значена точно, а 8а лодасться у виглядз зб!жного ряду за степенями £ / мае порядок О (£ ) .
У 0 визиачено потенщал у/(д) .
Теорема 1.4.1 Нехай розподшлсрешкод у мембран/' задоволь-няе умову (3). Тот при £ < 1 потенщ'ал у/ (д) можна подати у шггллш
V - + V, >
дс у/0 - потеншал системи частинок у однородному серсдовинн;
у/, - суш лотснщ'алт тих зардшв, що шдукувалися б на кожнш лсрсткод¡, за умови вщсутосп вс1х ¡нших перешкод у мембран¡; у - ногслщал, якии враховуе взаемний вплив лсрсткод одна на одну, лодасться збЬюшм рядом за степенями £ / мае порядок 0(4).
У §5 отримаш у першому наближенш за £ явш вирази для потешу алу Ф^ , а також для потепшалу , який визначае
шс одну важливу для описания системи члряджених частинок 1 динамично! мембранн величину - потеши ал вмемодн частники э «радами, ню пиуковаш на поверхш мембрани. Проведено дослиження одержаних вирами.
Твердження 1.5.1. Нотсншая у = ^ + ^ при х е д Я / обмежений у О .
Твсрджсння 1.5.2. При ^ > е1 Ц > мембрана при-тягуе (вщштовхуе) частики. До тою ж при наближснн! частики до иоверхш мембрана потетиол ф£(//п) необмежено зростае (спа-дае).
У §6 проялшпэовяно можлив|'сть покрашення степеш точносл розв'язку системи р!внянь (2).
За допомогою пЬ'цималыю1 процедури запропоновано метод побудовн розв'ялав системи р1внянь (2) , який дозволяе послабил« умову (3).
® лрупй глав1 побудоваш вирази для кореляцШннх функшй пр0СТ0р0В0-ие0Д1юр|ДН01 системи заряджених чаетинок в скшчен-шй обласп А (А с /?3) у вигляш функикжалышх ¡нгегралш I ви-конуеться термодинам1чний граничний перехщ по короткод1ючих силах.
Були використаш результата Д. Брхджеса 1 II. Федербуша (для однорщних ¡ОИШ1Х систем) та 0,11. Ребенка (яти одноршних юнно-диполышх систем). Автору належить узагальнення них результат на просторово-неоднорщний випадок.
У §1 проана-^зовано проблему термодинам1чното граничного переходу у пнразах для р!вноважннх кореляшйних Функтм Р { ) ( ' як' У формал]зм] великого каиопншого ансамблю
маю гь яигляд:
Р Л <*>т ЪЛ I ! „х ' «Ф <-/» ии) »• <4>
де 5. - педика стпгисгичиа сума л
= 1о Ь £ *£> И°вр м "<«>>' (5)
а °
яка е повною Мфою фазового простору. Тут р - (кТ)л , к - стала Больцмана, Т~ температура, (а )д = а1,...,ав,
(«= , - потенциальна енерпя частинок
а
сорту а1 ,-.-,ав ., яка е сумою парних потенщашв Ф^ , №)л - «^...«йг,-, ^ - -активность
Потешиал кулошвсько* взаемоди не задовольняе умови
регулярное!» та стабгяыгост]. Ось .чому винихае необвдшсть введения додатково'1 взаемоди на блиаьких шдстаннях 'м1ж частниками (короткод)юч1 сили) 1 використання лпотези Дебая (перейти у виразах (4) для кореляцшних функцШ до екраиоваиого иотешналу юкашвського типу). Це, в свою чергу, надае певш особливосп для термодинам1чиого граничного переходу. В цьому випздку його слщ виконати спочатку по короткойючих силах, а ПОТ1М по КуЛОШВСЬКИХ.
Реал1заци першо! частини хиех програми 1 присвячена глава 2.
У §2 вводиться короткодноча взаемодм 1 виконуеться допом1ж-на регуляризация.
Введемо скшченний об'ем Л' (ЛсЛ'сЛ1 ) . Будемо вважа-ти, що в облает! Л о О частники ваемодиоть через короткодаю-чу ] кулотвську взаемодш, при дьому на д К для кулошвсько! взаемоди задано умови Др1хле, а в облает» Л' \ Л г>0 частники взаемоддагь т!льки через коро гкод!ЮЧ1Ш потеншал (потеншал твер-дих куль ра/йуса г0 ). Модифжуемо кулошвську взаемодто поблизу
д Л > ввсдемо регуляризоваш потснщали Ф^ 1 Ф^ за форму
сф
лами
Ф
як сф
*К\3 (х)
схр
Ф1, (х,у) + е.
I* - у\
XI
г>
Ак\х - у\ Р
+ Р/
V
г)
дс х " характеристична фунюия обдаст! Л ,
~ ' дебасвський рад'|ус снстсми, А - параметр
(А > 0) , Д - оператор Лапласа в обласп А з |раничними умовамн Др1хлс на с1 А , 1)(х,у) - розв'язок задача
Д 1/(х,у) = - — 8 (х - у), х е О ; е,
Д Щх,у) = 0.
хчК*\С1 ;
зи
• дп 2 дп <?л
У §3, враховуючи, то далекод1ючу частицу пбавського фактора, за теоремою Мнтоса (Минлос РЛ. Обобщенные случайные процессы и их продолжения до меры // Тр. Моск. мат. о-ва. -1959. -8. -С. 497-518), можла полати у вигляш функшонвльного игтег-ралу г
ехр[ 0 и*1. ) = схр| \рг,гсЧЩ\ ,(ф ,,(у)ГТ схр (/Р'' еа <р(х,)\.
\ <а>В / I /
■сгатнстична сума I кореляпшш функни нредстапляються у пшля/п
•2 !<#/„<*) 5лл.и>) . (Ь)
ЛД'
де
Нл л.(?)= £ I % •
л,л д=о (в), я! (Л,)Л '
"} ' <а>в
(8)
00 I \ I*
Л>Л -0 П! (А-)-
(9)
т+п
«Р (''¿«„Л^-^ы 1 '
Г>*г 1 - суми парних модифшованих потешу ашв куло-
швсько'х Ф^ 1 короткодаючо! Ф^ взаемодШ вщповщно. Яюцо
тспер виконати пересумування за короткодиочим потсшцалом у вира-зах для 5. \ р (х) , то для достатньо малих значеиь
Р I X. можна перейти до грашпи / К3 .
Зауважспня. Ми розглядаемо в цглому елсктронейтралъну систему. Тому ми вимагаемо викоиання умови 2 Р,( У) = О ■
У §4, переходимо у внразах (4) 1 (5) до екрановано! взаемодн. Роз1б'смо простер Я3 па куб и з ребром
_ 1
Н'т2 Р„е\Р) 2)- Кожей з 70 -куб!в роиб'емо на
елементарш кубики Ок з ребром I ( у^ - ц1пе). Нозначимо через т найбшъший спшышй перюд функци ехр( 1 ( л ) } 1 визначимо на /. - кубах, як1 мають неиорож-
шй перетин з областю Л() (Л - л \(//()115) , де Н^ - шар товщн-ною г0 , то межуе з г?Я а А \ 5 ) , множнну У{ кусочно-неле-рервних фушщ>й Ь(\) — тла, лг > Z1,.v^= О^ . Ипкорнстасмо роз-клад типу Пайерлса:
ехр {Т.Ра\х, и) ( ехрО 4Р с ф{.\)) 111 =
а А0
(10)
- ехр { а} £ «хр {- (<Р -1')2 } .
л ^ ло
де ехр { С?) задас вщхипення вад внбрано! апроксимацп, Шел я псресумувания виразАв (4), (5) 1 замши
<р(Х) = Ф(Х) + О О
перейдемо в них до нопо1 М1ри
ф(«0=ЛГ'ехр {.\\ф 7х^)ф10(ф) , (12)
де ТУ - нормуючий множник.
Зауваження. Перстворсння грапелят (11) / пОиютчпнп шиЪр функцп £ дозпаляють сутгепо шешшггн пилив лшШного по <р члену 1 внконятн пересумуванш по Л. В результат! отримасмо:
2. = 2 <Я , <п>
л ь
=2;'2 <<*>„,;*>«Р (л . <и)
1а>т л й '•"'т
Ковар1ашя ново! »при С (х,у) по суп I е екранованим тпеши-амоч чкчй лаловолъняс гаке нггегральне ртияиня
С(х,у) = и (х,у) - <1г и(х,г) С(г,у) . (15)
Я
У §5 у першому наближенш за £ (параметр,що характеризуй розподш перешкод у мембраш) розв'язуемо ршняння (15) 1 знахо-димо явний вираз для екрановаиого потенщалу С (х,у) . Суттево, що ковар!ацио С(х,у) можна подати у вигляд! двох доданкш (метод вшобрахепь)
С(х.у) = Ск(х,у) + С (х,у) , (16)
де СА (х,у) вщповщае ковар1ацп у вщсутносп мембрани, а О (х,у)
враховуе вплив поверхш 35 . Поклавши у вирам для С (х,у)
, знаходимо потеншал С* (х) *екрановано'1 взаемодц окремого заряду з зарядами, Ьщукованими па поверхш .
Параграф 6 присвячений дослщженню отримаиих у 5 5 вираз1п для С(х,У) .
Нехай О0 - область, яку визначимо так: О0= Яъ \ (Н^Я). Теорема 2.6.1. При внконаши умоли (3) потснщали С(х,у) / С (х,у) обмсжет п П() .
Теорема 2.6.2. Нсхаи ^ - ра | »с( ( к"п,1 або р^ ). Тод!
мають лиспе оцшкл
■ с>ехр { "т; -
С'<яы) 5 С ехр { ^ы-ра\ ) ,
г>
дс ра - рад/ус-вектор центра а-1 перешкоди, С| / С^ - деяю стал:, а
к - ыт = к - 4
Тнсрджения 2.6.1. При <1
С (х,у) ~ --ехр { ~ - —(Wfl.v!)} , (17)
( cf sin '2 )3 О Jo
дс Ci - деяка стали.
У ШШ 3 у виразах (13) í (14) виконусгься тсрмодинамгншй
граничлий псрсад.
Доведения лем 3.4 - 3.6 дисертацннкм роботи ( 6) належить
OJI.Ребенку.
У §1 формулюсгься осноиний результат.
Нехай А - деяка обмежена фумкпм л supp А с X . (но
'"' m л
кожнш jmíhiiííí). Тут X - деяка компактна область » Л . Визначимо
Теорема 3.1.1. Для достатньо малгтх значепь параметра
, Рь . К •
1К = "i------tí: , r„ , л . .í також -— / --- t достатгпю пелнкоо
0 4л-e ( Á7 0 rQ Л
обласл S ¡снують абсолютно констант С'( У , С > О, а також
константи С. У С„ , що залежать толькн nin фулкшй А (л)
л и 1,1'm. "'i
л», 1
У В. . (д ) тал-/ /до /¿//я? грантш
( А ) - lirn (Л)л (19)
л/я3
У
| ( АВ ) - ( А X В ) | <
d схр[-(«/. - л>/7 I САС,{С, схр«-г)+ С,. .....— iT5J9- " > .
7>т d = dist (Хл, Xg) , d+ -- dist (XA,ßSf) + dist {X дS') ,
tf, ~ nun dist ^ (XA,Xß), a dist v p (А'д,Л'/() - довжнна хорди
шж найблюкчшт дтпчятт тгромспямн, яю проведай з центра
шлйшшчо! кум до повсрхоль областей X i X „ .
/\ и
Доведения теореми 3.1.1 виконуегься в деюлька етатв. Перший етап (§2) - не нобудова кластерних розклашв для таких серед-ttix:
(А >А Ел' 2 AfJ ф (ф) А(Ф) ехр , (21)
л л
Я с
р Л1 '
А(Ф) = S J d(x)m / (X)m П схр {ty[ßca ф(х )) , (22)
(a)m х М J J
supp f с (®ХЛШ , тобго А{ф) локализовано у деякш облает! X и *
о
Змлст кластерного розкладу полягае в тому, щоб на кожному крош розкладу виразити середне { А )л , адо враховув взаемодоо yeix точок обласп Л , через деяю середш, HKi враховують взаемо-
д(ю точок областей Xk'i X°k окремо ( Je — I, |Л| ).
Другим крок (§3) - цс одшка функцюнальних похдошх в отриманих виразах.
Трстш крок (§4) - оцшка гаусових ¡нтегралш.
1, napeuni, останшй крок (§5) - комбшаторш оцшки.
Результатом с така теорема.
Теорема 3.5.1. Для довтыюУ стило! с > О можна вибрати фне-comiii значения параметров а, Л, е, L, L' таю, що для достатньо малш значень ß Q i ссреднЬс вщ фуншци А(ф) i В(ф) , яю зада-ються пнразлмн (21), (22) з supp А. с XА , supp В с X ß , в rp.uiuiu А / Я3 ииколупъся JicpinnicTb
¡<ab )-<a>< в >| s
* САСв ( ^ «p <-]T) + --iTd^— } •
D ч>
HcpinnicTb (23) фактичио означас, що експоненшальнйй характер спадатш корсдяцш збер1гаеться титьки у радаальних напрям-ках до обдаст! S , а вздовж поверхш ¿9 S заряджеш частники взаемоддать як два диполь
Наслщком теореми 3.5.1. е сдиш'сть гранищ < Л > = lim < А>л
AfH1 л
i, отже, теорема 3.1.1, осюльки кореляцшш фунмш (7) легко подати у вигляда абсолютно збЬкних ряд1в за виразами типу (21).
У четвертой глав! метод кластерних розкла/нв, використаиий у трети! глав! для опису нескшченних р1'вноважтшх просторово-неод-норщних систем взашодночих частинок, узагальнюеться на не-скшченш иер1ВНоважш системи, а саме для опису нескшченно1 еистеми класичиих частинок, яю дифундують у рщшн.
При доведешн основиих результата niei глави було використа-но представления функщй розподшу за допомогою ninepincbKnx штеграл1В, яке впериге побудував B.Í. Скрипник. Доведения техшч-Hoí леми 5.1 ( § 5) було викоиано сгилыю з OJT. Ребенком.
Несюнченну систему дифуидуючих у píanni частинок описусмо за допомогою нескнгченно! посл1довпост1 граничних кореляшйпих функции, як! с розв^язками задач! Komi для дифузишо! icpapxií Боголюбова-Стрельцово!
С< t
* Д. л ¿ФЦХ.-Х
Нехай р^ (/,(л)т) - розв'язок задач» Кош! в И Ът р1вняння
Смолуховського (ршняння (24) без апегрального члена), при умо-В1, що в початковий момент часу частники знаходяться в компакт-П1Й обласп Л I граница щ'е'| облает] г? Л не вплнвас на рух
дифундуючих частинок. Розтлянемо кореляшиш функца великого
(
каношчного ансамблю:
р/</.<*>,)|\ • <26>
' Л "
«> .г" Г
Еа=2 ^Г \ • (27)
При достатньо слабких умовах на початковий розподи! функцн р * (/,(л)5) е узагальненим розв'язком крархн (24), (25). Отже, задача опису нсскшчемки системи дифундуючих частинок зво-дшься до термодиналпчного гра(шчного переходу у виразах (26), (27). •
У §1 визначаеться система \ формулюеться основний результат глави.
Розтлянемо симстричну двосортну систему, дифундуючих у рь дни! класичних частинок з зарядами еа ( а » +.- ; с4 = - с --~ с0 ) 1 однаковими активностями. Частники взаемод!ють через ллрний погешиач Ф^ ( |.г- ) , яклй мае вигляд
- С ехр ( - Ц-^! ) + С ехр ( - ) К
Л 1 Я 2
де стал! С^ ! С2 вшповцшо дор^внюють
*?■<*? - Я0> г
^- А?)
Заупахення. Стал/ С ( та С г шгбрага так, щоб виконувалися
таю умови для потетралш:
% (0> =с«<7> ф<°> < ю (-ЛФ)^ ( 0 ) = спс, Ф0 < «.
2 .(-ДФ),, ( Iх" У! ) а -
(29)
1<я<Р<Ы
О О
Тут А- оператор Лапласа в /г . Початковий розподш р (а)" - не
локально збурений р1вноважнин стан, тобто
(30)
де
■2 ф
(*)„ = 2 V <
•г. - лг. ' 7
1 збурюючнй потеншал д - х, |) задовольняс таю умопи:
Z V (IV. - А' . . . а . а .у / ; ик)1т 1 ] 1
т £>,
¿> - со'М
(31)
кир 2 ] «/V V (л) = сопм
Р » а" '
Теорема 4.1.1. Исхай
ь
*'{а)т ( х)т <¿ 3 (Л 5 ) , де ¿f (R 3 ) - npocrip Шварца
основних фупкцш, suppf с X с А (по КОЖГШ ЗМШШЙ X.)
(а) О Г т
2.pKAt,X )= £ i idx) f г* </,<*) )
Tojxi для досгагны> малнх fi ( г fi - l } iсиують сталi С та C(t) таю,
що для 1< С f) при нсобмсженому зросташп'об'сму icnye орапиця
lim рк (t,X р {t,X > А/Л» ' ° ' 0
i виконуеться nepiniiicm i р-}«. \> - рг <»■
C(í) exp i - ~ (i> , ДС
f. . <*> - ir, (*>, -Г (»>
лт лт i' _ >
11
л-mntx,, Jt Д, л
i для довишюю розбнтгя Т€гнж na дт ninrpyim я?( та
1 ВТ
/я, (т х + т2 ~т) ; л. «, t. ......r
t m »/! ar * ®
I í i «
Як r u трстмг глав», доведения jeopemt 4.1.1. розбивасться на дс-k¡ дька crauÍB. Перший eran (§2) - »с представления корсляцШних функшй фушанональничи гнтеграгами. Biir виконус гься кпькома
кроками. Перший - це вгасористання формули Фейпмана-Каца j другай - використання теореми Miiuioca.
Настугпшй етап (§3) - це перетворення Брщжеса-Федербуша-Майера за "коротко,шючим потенщалом" i доведения. зб1Жносп (при Л / J? ) такого представлеш1я.
Заувахешш. Отржши в цьому параграфi розкладц су/тело вщр1зняються вщ аналопчних розклад!В глави 3 тим, що тут за ко-роткод1ючни noTCHijüvi принмаеться, фактично, 3 - частинковий потенщал взаемоди. Це, в свою черту, вимагае точнппих оцшок.
У §4 для отриманих в §3 вщповщних вираз1в для кореляцШ-шгх функщй будуютьея кластеры! розклади.
У §5 з використанням технЬси, описано! в третш глав), доводиться ix зб1*жшсп>.
Яйцо в попередшх главах розглядалися класичш системи, то у пчяТ1Й глав1 розгладаються квантов! системи статнстично! мехаш-ки. Розвинуто метод дослщження, суть якого полягае в представ-ленш функцш Грша за допомогою функщ'ональних штеграл1в у вигляда середшх вщ евклщових Ферм1-пол!в. На приклад! модел! Бардша-Купера-Шр1фера-Боголюбова, що опнсуе явище надпро-вщносгп, використовуючи пршпцт великих в'щхилень, або то'пнше теореми Елка - Розена (Ellis II. Entropy, Large Deviation and Statistical Mechanics. - Berlin, Heidelberg, New-York: Springer.-1985.- 367 p.), знавдеш точш розв'яки nie! модели як! paniine були отримаш методом апроксимуючо1 о гамшыошану, доводиться точна розв'язувалыйсть nie! модс.'н.
1дея введения евклщових ферм1-пол1в ( § 2) палежить О Л. Ребенку.
У §1 визначып при сличенному об'елн Л температурш функпн fpina G'J подаються у вшляд] функпюнальних iirrcrpa.iin.
Моделышй гамшьтошан типу БКШ-Богодюбова для сюнчен-Hoí системи електрошв, що М1стяться у куб| (Л с R3) , мае виг-лад:
#Л = #л + Я л
0 (flt *
я0л = 2 / (.v) ( - - /О r (JT) , (32)
а д ¿JJJ а
К - |ТГ /-/лг.-^Ц-^И^-ДГ,)-
•Тут Д - оператор Лапласа в Л3; (с, <т ) ; ft - ммгчмий
патенщал, т - маса частинок, Л • об'ем системи, онератори ц/+а(х) та цга(х) задовольняють авичайш ашикомуташйш сшввш-
ношення, v(x) е Ú , g ( g > О) - стала. Розглянсмо послщов-
iiicrb фуккцШ а (г,г ') (г,г r е ¡O, Р) ) таких, то *
w — lim а (г,г ')=<*(г-т ')
е о *
i посладовик-п» гауе1вських Mip на iipocropi иеперервни* функцШ з
нульовим серсднЫ i ковар/ацкю a (г, г ' ) :
«
ехр { - ^ f tfr f </r' /(г) « (г,Г ' )/<г') } =
л о о « ■
= | ф * (?) ехр {« Í dr /(г) Иг) > ,
о
дс /уг; - оператор виду
/V г) ~ ехр (- т Н^ j Г ехр { г Н* / ,
а /"- лшпший обмежений оператор. Це дас можлнтсть янзиачигтн тсмиературт фушаш l pina у вигляд) фуикцкшалыюго штегралу:
Gu (x ,r ,т 1Л) = w- lim — f dße(v) f
1 1 2 2 t öS* • л л
"л
. 7>( Г v^^.r^W^.r^cxp Ug f </r.
. idvJdKvC*-^)! ^ +(лг,г) V +(y,r)r}(r) + c.c. j)exp (-/>ЯЛ)|. Л Л о
Тут у; j =• ¡, 2 i = . v(2) = V ¥{х,х)~ехр(-тН$ } v{x) cxpftH* } ,
Н* = f ) f dpUrj *). 7r{ Г exp (yfg 1 <k •
Л Л Л т q
. JdrJi/7 v(,v-7)[ yUy, r) 7(r) + e.c. J )exp <-}
л л о
• Г«« . '
1 Г - оператор антихронолопчного влорядкування.
У §2 температурш функцц Грша виражаються через евкгццов1 Ферм!-поля i подаються у виглдш
О0 (х ,т ;х ,т IA)= w- lim — i duc(n) I ФЧп *)• aß 112 2 » ОН" К К
.Öv(x ,г ,г.1Л,>7,Л)1 -ехр < \ Х\ F (г,, ч') } ,
aß 112 2 А=1 Л
S е - i ) f ФЧп "> схр { - и! F (Т) , г,-) } ,
Л Л Л л
де
FAl > = - ГТТ \ dx \ dt \dx\dyv(x -у). л I л I о о л л
• {nU\ö^_{x,r\ytr 17Д-Л) + пЧг)0п и,т\у,т\1,,х л) 1 • Вшсорнставши властипосп функшй ö'J^ , одержимо систему pin-иянь
&iJfí(xvvvXvT2\rl^,A)-(l-8i¡) Ofc. г,; Л"2, r2) +
3lJ(y,T-,X2,T2lV ,Л,А),)(т) + A 2 Г •
• ídr JcEr/вГк v(jr - j^)O®(ж,r;,r,) &lJ(ytT-,xrt2\t) ,X ,\)n (O Туг i -v2' r2) вгльш функцй Грша
; _0, . Tr( T; I у^.г^х^скн-рн^)]] дсф «V*!- V *2' .......Тг{ cxp Я0Л) ) ~ " ~ •
Твердження 5.2.1.
(7) двд довшших tj (r) g „, система ршнянь (33) мае единий
W,P\
розв 'язок.
(ii) Дня rj (т) = cofísí система ршнянь (33) розв 'язуеться точно, i ü розв 'зок ствпадае з вщповщними фующ/ями Грша, що (приму-ются задопомогою методу апрокслмуючлх гам1лъюшан1в, (ш) Для т) (г ) = const граничш ( А / R3 ) функцй' Грша >'сну-
ють i ашпадають з граничшши функциями Грша, огриманими за допомоюю методу апрокснмую чих пиольтоншив.
У §3 за допомогою методу Лапласа вяконано граничпий (Л / R3) //epexia у виразах для функцш Tpina G^ i для вшьно!
c.ieprií f^H^) :
4\{Hlics)=: гЬ1" Нл'
Можливлстъ застосувамня методу Лапласа легко бачити ч пилу формалмтх виразю для м»ри
dfj(n)dp{tj' ) - лг1 «хр{- — I Л $dr\dx '77 (г)а (TjT'W (г')}
1 О О е
• П dj]{z)drj'{t)
г
де W - нормуючий множник.
Лсма 5.3.1. 1снують числа О < 1/2 i Ьг > О таю, що для довитых rj(r) с Cj0 ^ j i довшьних досгатньо великих величии | Л |
ГА(Ч, П') ä ft, jA|7(r)f + b2 ,
lim F in, ч') < b jA|»7(r)|2 + b. .
Л/R3 0
Теорема 5.3.1. Hexaii потепц/ал v (x) задовольняе умову r (,v) e i} . To/v
AfJtl I Л I n{r)eC[0,ß\
де
Ф(тг, t]')=F (rj, rj') fi/rfc/r '^(r) a (r,rV (r') •
1 о о «
Вщзиа'пшо, що in/- Ф (г/, 7") досягаетьси на деяких фушацях
т/"(т) , яю е розв'язком нгтегрального р1вняння
rf(г) = lim ) dX \dx к(.г) Ön U,rl7~, Д) , \fR3 О
В1Домого в leopiif надпровишосл як р!вия!гия самоузгоцженосп.
Теорема 5.3.2. Нсхай фршия Ф (/7 , /;') досягас мнпмуму на мтюжшн то-юк {'Га - \,'л } I кожна точка ij~ псвироджсна.
Toni
m
lim G'J (.v ,t ,..y ,r l.\) - Z b 0"J (v , r ; v .г I rf -Д )<
v,?.i ,ф (¡2: " .</< 11:2 I
Дс
ьа -W- lim [ Jet (1+ <те Ф' (tj~, rfa' )jf 2 .
£ -+ О
У июсий глаы метод апроксимуюних гамшьтошашв, занропо-нований М.М.Боголюбовим для опису р1шюважних модельних систем квантожм статистичлоТ фЬики, узагалыноеться для опису нсскигчсшю! исршнонажпо/ Kiwinouoi модельно! системи типу БК Ш - Боголюбова.
У §1 огримано ланцюжок р1внянь Боголюбова для liepißiio-важпих статистичпих oneparopi» комплексе частинок безлосеред-ньо в тсрмодинам1Ч1нй грапшй для невного класу модельних систем з взасмодкчо, що роздйшеться (ней клас включас i модельну систему типу БКШ-Боголюбова).
У §2 для цього класу модельних систем будуються анроксиму-loui гамьтьтошани i задача дослщження ix еволюцп зводться до дослщження систем з апроксимуючим гамшътошаном. Процедура н обул они алроксимуючих ттьтошашв у нер^вловажному випадку под1бна процедур! побудови iix у р!вноважному, проте вона мае i супсву особливей.. Тепср вже у модельному гамижюшал» nemii оператори зяшнюютъся не сталими числами, а певними фунх-шями Bia часу.
У §3 за допомогою методу апроксимугачих гамшьтошашп отримаш ршнншш для KBairiOBiix статистичпих оператор!» комп-jicKcin частннок модслыкм систсмн типу БКШ-Боголюбова.
У 3 4 показано, гао при внконанш принципу послабления ко-оеЛЯШЙ ДОСЛЩЖСННЯ них ргпняпь можна зпсспг до досмлжсиня сис теми ршнянь для функцш
£„</, - Р) , gQ2(t,p) i g2Q(t,p) , hkí e квантовоста-
тиети'шими середшмн за нерншоиажною матрицею густиии л
+
'гсрмодииа\пчиш границ! вщ таких операторних вира™ (.?(р)а(р) ).
+ + +■
(а(- р)а(-р)) , (а(р)а(-р)) i а (-р)а(р) ¡адновщно. Тут операто-нг
а(р) i а(р') - фермьоператори народження i знищення частники з ¡мпульсом р,р'<■ R3.
У § 5 доводиться ¿снування i сдшпсть глобального розв'язку задач! Komi для nieí системи piniwiib в к-'iaci неперервннх обмежених фунгапи.
Ochobhí результата роботи
Дтя нескшченних систем класичних заряджених частинок
1. Занропоновано метод визначення потеншалш електростатичних взаемодш як М1Ж частниками, так i мгж: частиками i зарядами, нщукованими на поверхнях перешкод.
2. Знайдеш явш вирази для потешиал1в електростатично! взасмодм в припущенш, то мембрана складаеться з нерешкод сферично1 форми i розподш перешкод в мембран! задовольняе псвну умову.
3. Кореляцшш функпй' просторово-неоднорщно! системи заряджених частинок представлен! у вигляд1 функция гальних йпегралж.
4. Узагальнено на просторово-неоднорЬчннй випадок метод клас-терних розкдад1в Ь р i джес а - Фе д е рб yi п а - Р с бе н к а, запропоновапо-го ними для опису нескшчспиих просторово-однорщних систем зарялжеиих частинок.
5. 3найдет явш вирази для логен1йал1в скрановамо! взаемоди як »н'ж частниками, так 1 мiж частниками i зарядами, шдукошшшн на поверхнях перешкод сферично! форми.
6. Дослщжено асимптотики потеншал1в екрановано* взаемоди.
7. Доведено кнування 1 едишсть граничних ( Л /Л3 ) корслягцй-них функдш системи заряджених частинок 1 динамично! мембра-ни, а також '¿х експоненщальна кластеризащя у напрямках, пер-пендикулярних до поверхш мембра1Ш, % стеленева вздовж поверхш мембрани.
8. Нер1вноважш кореляцшш функци системи частинок, що взасмо-щють через псггенщал Юкави 1 дифунцують у рщиш, представлено у вигляд» функцюнального иггегралу.
9. Доведено ¡снування 1 едишсть граничних корелягцйних функшй на скшчениому часовому промЬосу при умов1, що початковий стан е локально збурений 1 в початковий момент часу частинки знаходяться в деякш компактнш облает! Л , границя яко! не впливае на дифузш частинок.
Для кшиггово! модельно! системи типу БКШ-Боголюбова
1. Р^вноважш функцн Грша 1 вшьна енерпя представлен! у вигляда функционального ¡нтегралу.
2. Доведено ¡снування граничних ( ^fRъ) р1вноважних функшй Грша та вшьно! енерш.
3. Узагальнено на нершноважний випадок метод апрогсимуючоГо гамшътошану Боголюбова.
4. Отрнмаш ршняння, що онисують в термодинам] чн!й границ* еволкнцю модельно! системи типу БКШ-Боголюбова. Знайдено плеграл руху I доведено ¡снування ! единит. '¿х розв'язку в клас! ненерервних обмежених функшй.
Основ!» положения лисертацн онублжоваш в працях:
1. Петрина Д.Я., Герасименко В.И., Малышев ГГ.В., Пилявский Л. И. О процессе обратного осмоса как краевой задаче в областях с мелкозернистой структурой // Докл. ЛН УССР. Сер. А.-1980,- N.9.- С. 75-78.
2. Петрина Д.Я., Пилявский А.И. О потенциале электростатического поля системы заряженных частиц и динамической мембраны // Докл, АН УССР. Сер. А.- 1981.-N.7.- С. 61-63.
3. Пилявский А.И. О решении одного эволюционного, уравнения теории сверхпроводимости // Докл. АН УССР. Сер. А.- 1982.-!Ч.1.-С. 27-29.
4. Пилявский А.И., Ребенко АЛ. Функции распределения Попов и диполей вблизи сферической поверхности. Экранированные потенциалы //Докл. АН УССР. Сер. А.- 1984,- N. 7.: С. 59-62.
5. Петрина Д.Я., Пилявский А.И. Задачи электростатики в пространственно неоднородных средах и вычитательная процедура // Физика многочастичных систем.- 1985.- Вып. 7.- С. 82-96
6. Пилявский А.И., Ребенко АЛ. Дсбасвское экранирование в пространствешю-неоднородных системах заряженных частиц I. Модель сферического диэлектрика // Георет. и мат. физика. -1986,- 62, N. 2,- С. 245-258.
7. Пилявский А.И., Ребенко АЛ. Дебаевскос экранирование в пространственно-неоднородтгых системах заряженных частиц. II. Доказательство с ход им ост кластерных раложении // Георет. и мат. физика. 1987,- 20, N. 2.- С. 278-288.8. Пилявский А.И., Гебснко АЛ. Об экранировании взаимодействии в ограниченных ионно-дигго льных системах. Учег переходной области // Математические проблемы теории систем
заряженных частиц в неоднородных средах. Киев: - Ин-т математики АН УССР, 1988.- С. 28-49.
9. Пилявский А.И., Ребенко Л Л., Скрипник В.И. Об обобщенных решениях диффузионной иерархии Боголюбова з термодинамическом пределе. Кластерные разложения // Теорет. и мат. физика,- 1992.-^2, N. 1.- С. 119-137.
10. Pilyavsky A.I, Rebenko A.L Hie Laige Deviation Principle and BCS-Model // Journal of Statistical Physics. 1994.- Ц, N. 5/6,- P. 1321-1322.
11. Пилявский А.И. Об эволюции одного класса модельных систем с многочастичным взаимодействием. Киев, 1979. -19 с.-(Препр. /АН УССР. Ин-т теорет.физики; 79-72 Р)
12. Пилявский А.И. Об эволюции модельной системы типа БКШ-Боголюбова в термодинамическом пределе. Киев, 1980.- 29 с. (Препр. / АН УССР. Ин-т теорет.физики; 80-44Р)
13. Петрила ДЛ., Герасименко В.И., Малышев П.В., Пилявский А.И. Диффузия ионов и протекание жидкости через мембраны как краевая задача в областях с мелкозершкгтой структурой. Киев, 1980.- 15 с. (Препр. / АН УССР. Ин-т теорет.физики; 80-30Р)
14. Петрина ДЛ., Пилявский А.И. О потенциале электростатического поля системы заряженных частиц и динамической мембраны. Киев, 1980.- 32 с. (Препр. / АН УССР. Ин-т теорет.физики; 80-14 IP)
15. Пилявский А.И. Об экранировании взаимодействий в системе заряженные частицы-дннамическая мембрана. Киев, 1982.- 36 с, (Препр. / АН УССР. Ин-т теорет.физики; 82-37Р)
16. Пилявский А.И. Функции распределения системы заряженные чаепшы-линамическая мембрана. Киев, 1982.- 22 с. (Препр. / АН УССР. Ии-т теорет.физики; В2-38Р)
17.Пилявский А.И., Ребенко АЛ. Функции распределения ионов и диполей вблизи сферической поверхности. Экранировашше потенциалы. Киев, 1983.- 23 с. (Препр. / АН УССР. Ин-т. георет. физики; 83-126Р)
18. Rebenko A.L., Pilyavsky A.I. Debye screening in space inhomogeneous systems. - Kiev, 1984,- 33 p. (Preprint / AS UkrSSR. Inst. Theoret. Phys.; 84-167E).
19. Pilyavsky A.I., Rebenko A.L., Skrypnik W.I. Cluster expansion for weak solution of the Bogolubov diffusion hierarghy. - Kiev, 1990.31 p. (Preprint / AS UkrSSR. Inst.Math.; 90.22).
20. Pilyavsky A.I, Rebenko A.L The large deviation principle and the BCS-model. - Kiev, 1993.- 20 p. (Preprint / AS UkrSSR. Inst. Math.; 93.4).
21. Пилявський A.I. Ршноважш властивоеи нескшченно! системи заряджених частииок в присутпост! динамично? мембранн // Структура та фгзичш властивосп невиорядкованих систем: Тез. доп., JIbBiB, 2-16 жовт. 1993 р. - Лыйв, 1993,- ч. 1. - С. 71.
Пилявский А. И. Исследование бесконечных систем заряженных частиц методом функционального интегрирования.
Диссертация на соискание ученой степени доктора фнзико-матс-матичесюгх наук по спещгальности 01.01.03 - математическая физика, Институт математики АН Украины, Киеп, 1995 г. Защищается 21 научная работа, которые содержат теоретическое исследование бесконечной равновесной системы классических заряженных частиц в присутствии диначшчсской мембраны, бесконечной неравновесной системы классических частиц, взаимодействующих посредством юкавонского потенциала, бесконечной квантовой молельной системы типа bKIH-bomunoona. Установлено существование н единственность предельных функций рас-
пределсния и их експоиенциальная кластеризация и направлении перпендикулярном к мембране и степенная вдоль поверхности мембраны (классические системы), а также существование предельных функции Грина к свободной сперши (квантовые модельные системы).
Pilyavskii АЛ. Investigation of inrmitc system of charged particles by the method of functional integration.
Thesis on search of the scientific degree of doctor of physical and mathematical sciences., specialty Ql.0l.Q3. - mathematical physics. Ukrainian Academy of Sciences, Institute of Mathematics, Kiev. 1995. 21 scientific papers containing the theoretical studies of infinite equilibrium system of classical cliargcd particles near dynamical membrane, un infinite nonequilibriuii) system of classical particles interacting viit tiie Yukawa potential and infinite quantum model system of the BCS-Bogoh»bov type are defended. We establish the existence and uniqueness of limiting distribution functions and prove that the decay exponentially in the direction normal to the membrane and according to a power law along the membrane surface. We also prove the existence of limiting Green's functions and free energy for quantum model systems. Ключош слова:
заряджеш частники, дияам]чна мембрана, функнн розподЬу, статистичш оператори комплексов чпетинок, функци I piHa, вшы>я елерпя. фунмиомапънс тшрування. кластерт розклпди, принцип великих тдхитснь, гермолттмгша граниня.
Iii:ui. до друку ii7.02.95- Формат 60x84/16. Ifanip друк. Офс. друк. Ум. друк. арк. ¿¿,09 . Ум. фарбо-пщб. 2,09 Обл. вид. apt:. 1,7. I и раж 100 нр. Зам. S & Бсзкоштовно. Шччрукопано в 1нсгигуri математики НАН Укр.н'ни 252601 Кш'в 4. ГСП. вуд. Терещенюиська. Л,
