Исследование динамики сильноточных релятивистских электронных потоков в рамках подхода метода "частица-частица" тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.04 ВАК РФ

004614911

На правах рукописи

Захарченко Сергей Владимирович

Исследование динамики сильноточных релятивистских электронных потоков в рамках подхода метода "частица-частица"

01.04.04 - Физическая электроника

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

~ - ЛЕК 2010

Волгоград - 2010

004614911

Работа выполнена на кафедре Физики факультета электроники и вычислительной техники ГОУ ВПО "Волгоградский государственный технический университет".

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор

Шеин Александр Георгиевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Байбурин Вил Бариевич;

Защита состоится 16 декабря 2010 г. в 12ю на заседании диссертационного совс та Д 212.028.05 в Волгоградском государственном техническом университете п адресу: 400131, г. Волгоград, пр-т Ленина, 28, аудитория 209.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государстве! ного технического университета.

доктор физико-математических наук, профессор Ильин Евгений Михайлович.

Ведущая организация Волгоградский государственный университет

Автореферат разослан "^/Х " Но Л 2010 года.

Учёный секретарь диссертационного совета

О.А. Авдек

Общая характеристика работы

Релятивистские электронные потоки представляют научный и практический нтерес как в связи с использованием их в мощных генераторах миллиметрового иапазона — лазерах на свободных электронах, мазерах на циклотронном резонансе других — так и самостоятельно, находя применение в ряде задач от элекгронно-учевой сварки до инердиального ядерного синтеза. Потоки, транспортируемые продольном магнитном поле, могут иметь токовые ограничения из-за тормо-щего электроны отрицательного потенциала, возникающего в пучке вследствие лсокой плотности электронного объемного заряда. Потоки в скрещенных полях огут неограниченно расширяться, что затрудняет их транспорт в ограниченном зосгранстве прибора. Данные обстоятельства имеют большое значение при размотке новых источников СВЧ-излучения.

С ростом мощностей и частот растут и ресурсы, необходимые для проведе-ля натурных экспериментов, поэтому их требуется предварять моделированием эоектируемых устройств. Область применимости аналитических моделей пото->в ограничена вводимыми в них упрощениями: рассмотрением распределения юстранственного заряда как непрерывного, предположением о ламинарности по->ка, пренебрежением эффектами специальной теории относительности. В связи этим прибегают к численному моделированию динамики потоков. Высокая вы-1слительная сложность задачи расчёта поведения потока приводит к тому, что шменяется ряд упрощающих приближений. В распространённых программных тениях (код КАРАТ, MAGIC, QUICKSILVER, CST Particle Studio) применяются точные методы при расчёте поля пространственного заряда (ПЗ) потока, сни-ающие точность результата. Вводимое некоторыми авторами квазистатическое шближение позволяет искать поле потока не через систему уравнений Макс-лла, а решая уравнение Пуассона, но не позволяет достаточно точно описать [намику частиц, так как не учитывает собственного магнитного поля потока, нализ других применяемых методов большинством авторов в должной мере не юизводится. Построение более точной модели, опирающейся на расчёт поля ПЗ :тодом "частица-частица", сталкивается с рядом трудностей, в том числе большая гчислительная сложность и необходимость учёта граничных условий.

Существующие тенденции в развитии аппаратного обеспечения ЭВМ пред-щагают рост производительности в основном не за счёт повышения тактовой стоты процессора, а за счёт параллельной обработки частей задачи на различие исполняющих устройствах.

Это обуславливает актуальность работы по изучению динамики протяжён-IX сильноточных потоков с помощью системы распределённого моделирования лятивистских электронных потоков, основанной на расчёте поля пространствен-то заряда методом "частица-частица".

Целью диссертационной работы является выявление закономерностей ди-

намики сильноточных релятивистских электронных потоков в продольном магнитном поле и в скрещенных полях при помощи вычислительного эксперимента с расчётом поля ПЗ методом "частица-частица".

Для достижения поставленных целей решены следующие задачи:

- анализ и выбор применяемых методов;

- реализация численной модели электронного потока;

- реализация распараллеливания модельных вычислений;

- проведение вычислительных экспериментов с целью проверки соответстви результатов теоретическим на тестовых задачах;

- проведение вычислительных экспериментов с потоками в продольном магнитном поле и в скрещенных полях с целью выявления закономерностей результатах и их формализация.

Научную новизну работы составляет анализ процесса численного решс ния релятивистского уравнения движения, демонстрация возможности получени качественно неверных результатов при следовании стандартным и модифицирс ванным процедурам интегрирования и предложение способов повышения адекват ности результатов. Впервые предпринята попытка учёта сил радиационного трс ния, описано и проанализировано их влияние на динамику электронного поток Теоретически обоснован и проверен численным экспериментом способ удержг ния электронного потока в приборах со скрещенными полями, основанный л использовании дополнительного малого по сравнению с основным неоднородног магнитного поля и предложен способ формирования поля, близкого к требуемом;

Внедрение результатов работы. Результаты работы использованы в ш учно-исследовательской работе "Разработка принципов создания многочастотны сверхвысокочастотных усилителей и генераторов М-типа" (тема №54-53/429-0' №гос. регистрации 01200500653), выполненной на кафедре физики Волгограде« го государственного технического университета в 2004-2009 гг. по планам фунд; ментальных и поисковых работ Федерального агентства по образованию РФ и и< пользуются в НИР "Исследование процессов усиления и генерации стохастически колебаний в скрещенных полях" (№31-53/145-09, №гос. регистрации 01201050958 выполняемой в настоящее время по планам фундаментальных и поисковых рабе Министерства образования и науки РФ.

Основные результаты работы реализованы в виде комплекса программ, р( ализующих моделирование сильноточных релятивистских электронных потоков обработку полученных данных, и результатов анализа поведения электронного п< тока в скрещенных полях.

В работе использовались методы теории сложности, теории ортогональнь: многочленов, линейной (в том числе тензорной) алгебры, численные методы т

тегрирования (в том числе специализированные), основные принципы построения распределённых систем, статистические методы обработки данных.

Достоверность результатов исследования обусловлена корректным применением известных физических законов и указанных методов и подтверждается отсутствием противоречий с фундаментальными представлениями о рассматриваемых процессах и согласием получаемых численных результатов с теоретическими, а также с результатами других авторов.

Основные положения, выносимые на защиту:

- учёт граничных условий на границах раздела сред "вакуум-идеальный проводник" в рамках метода расчёта взаимодействия "частица-частица" может осуществляться методом, аналогичным методу электростатических изображений;

- применение методов квази-Монте-Карло позволяет получить более равномерное распределение заряда при малых количествах частиц и повысить точность при тех же вычислительных затратах;

- при расчёте поля пространственного заряда релятивистских потоков ограничение учёта поля на основании расстояния между частицами не является оптимальным; полученный аналитически оптимальный в выбранном классе метод сочетает учёт расстояния и скорости;

- расширение релятивистского электронного потока в скрещенных полях может быть ограничено магнитным полем, создаваемым внешними проводниками с током; построенная аналитическая модель такого ограничения подтверждается численным экспериментом.

Апробация результатов. Результаты исследования докладывались на С—XIII региональных конференциях молодых исследователей Волгоградской области (2005-2008 гг.), на X международной научной конференции "Актуальные проблемы твердотельной электроники и микроэлектроники", с. Дивноморское, 2006 г., на XX международной научной конференции "Математические методы в технике и технологии", г, Ростов-на-Дону, 2007 г., на международной научной конференции "Излучение и рассеяние электромагнитных волн", с. Дивноморское, 009 г., на 19 международной Крымской конференции "СВЧ-техника и елекоммуникационные технологии", г. Севастополь, 2009 г., на 16 всероссийской аучной конференции студентов-физиков, г. Волгоград, 2010 г.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 13 публикаци-х, из них 2 работы в изданиях, включённых в Перечень ВАК.

Личный вклад автора. Результаты экспериментов и расчетов, представленные в диссертации, получены непосредственно автором. Выводы диссертации и основные положения, выносимые на защиту, также принадлежат автору. Основные результаты работы опубликованы в соавторстве с научным руководителем А.Г. Шейным.

Структура и объём. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и приложений. Содержание работы изложено на 159 страницах маши нописного текста, рисунков 76. Список литературных источников включает 96 на именований, в том числе 39 иностранных.

Содержание работы

Во введении сформулированы цели и задачи исследования, научная новина и практическая значимость полученных теоретических и экспериментальны результатов, а также перечисляются положения, выносимые на защиту.

В первой главе приведён обзор литературы, связанной с электронным потоками и их моделированием. Экспериментальные исследования потоков чаш всего проводятся совместно с численным моделированием или мотивированы ег результатами. Общими почти для всех численных моделей потоков являются и< пользование сеточных методов, которые вносят существенную неоднородность пространство взаимодействия, и отстутствие учёта радиационного трения (в свяэ с теоретическими трудностями). Отмечаются особенности численной реализаци модели, которые могут приводить к качественно неверным результатам. В связи дискуссионностью вопроса об учёте торможения излучением предлагается реал] зовать варианты модели без учёта реакции излучения и с её учётом.

Во второй главе на основании анализа постановки задачи формулирую' ся требования к модели релятивистского электронного потока и описываются < элементы. Демонстрируется достаточность классической электродинамики и сп циальной теории относительности в качестве базы для построения модели.

Для моделирования проводящих плоскостей необходим учёт граничнь условий на границах раздела сред "вакуум-идеальный проводник", что нетрив ально в рамках метода расчёта взаимодействия "частица-частица". С помощь аппарата функций Грина показана возможность их учёта для бесконечной идеал но проводящей плоскости путём замены её на "изображение" потока, формируем^ методом, аналогичным методу электростатических изображений, но действител ным и в релятивистском случае. Предлагаемый метод накладывает ограничения : допустимые конфигурации плоскостей: из свойств групп, порождаемых осевы? симметриями, следует, что допустимыми углами между любыми плоскостями таком случае являются только а = п е N. Рисунок 1 демонстрирует это огран чение.

Так же, как и в случае электростатики, может возникать бесконечное I личество переотражений. Ограничения на расчёт отражений накладываются к

я

исходя из ограниченности времени моделирования и требования и искусственно с целью повышения производительности модели.

Обоснован способ сравнения потоков и их состояний с использовани метода моментов. Для состояния потока с N частицами момент {а, Ь, с, с1, е, /)-с

(а), допустимое расположение (б). недопустимое расположение

Рисунок 1 — Примеры взаимного расположения плоскостей

эрядка будет иметь вид 1.

N-1

8аьыег = К 2

(1)

Погрешности моментов разных порядков нормируются по результатам мно-жратного моделирования. Таким образом можно сформировать вектор, состоя-ий из отклонений по каждому из моментов, и считать степенью похожести двух эделей электронных потоков норму этого вектора.

Известно, что в электронном потоке в скрещенных полях силы простран-венного заряда в направлении, параллельном линиям магнитного поля (далее — (оль оси Ог), не компенсированы. В результате расширение потока в этом направили ограничено только размерами устройства (см. рисунок 2(а)). В результате сализа динамики тонкого ленточного электронного потока в скрещенных полях ;алитически обоснована возможность ограничения расширения электронного пока в приборах М-типа путём введения дополнительных проводников с током (см. гсунок 2(6)).

Линейная модель, не учитывающая перераспределения заряда, затем преоб-зуется путём рассмотрения потока как совокупности N элементарных потоков, спределение положения которых в пределе N со является распределением отности заряда исходного потока. Задача о нахождении равновесного расселения при наличии внешних токов преобразуется к задаче об асимптотическом спределении корней многочленов Якоби вида где р0 — безразмер-

ш параметр:

Г р

(а), исходная конфигурация (б), конфигурация с дополнительными провод-

никами с током

Рисунок 2 — Электронный поток в скрещенных полях

где I — ток потока (со знаком), /' — токи дополнительных проводников, /3 = Уо/с. Модель даёт следующее ограничение на распространение потока вдоль оси Ог\

_ VI + 4р0 ^ _ < уТ+4^

1 + 2р0 - * - 1 + 2р0 ' ( ]

где х = 4, г' — расстояние от центра потока до каждого из проводников с током,

График зависимости х от ро изображён на рисунке 3(а). Из получении выражений можно сделать вывод о том, что сильнорелятивистские потоки можн ограничивать внешними токами, сравнимыми и даже меньшими, чем ток потека. Численное нахождение корней полиномов Якоби вида /^0-1,2/у>0-1 высоки~ порядков N позволяет оценить плотность их асимптотического распределения I 1 как следствие, характер распределения заряда в сечении потока при различны значениях ро; результаты отображены на рисунке 3(6).

р0 = 1, 2, 5, 10

Рисунок 3 — Зависимость равновесного распределения корней от параметра р0

Допущения, сделанные при построении аналитической модели, делал необходимым её подтверждение путём численного моделирования.

В третьей главе проанализированы и обоснованы применяемые приближения и численные методы.

Как правило, в работах по численному моделированию вместо одиночных электронов рассматривается поведение ансамблей из к электронов — частиц с зарядом и массой в к раз большими, чем у электрона — т.е. применяется метод крупных частиц. При укрупнении частиц погрешность растёт в связи с тем, что поле пространственного заряда, создаваемое ими, становится всё более неоднородным и зависящим от случайных величин начальных координат (и скоростей) частиц. При использовании метода квази-Монте-Карло место случайных величин занимают детерминированные квазислучайные величины. Предлагается использовать равномерно распределённые последовательности, в частности последовательности Холтона, вместо случайных последовательностей координат. Результаты различных численных экспериментов по определению распределения плотности заряда по оси Ог в сечении потока приведены на рисунке 4.

200 *

-0.1

сг, 10~18Кл/м2

А

сг, 10~'8Кл/м2

г, м

г, м

0.1 -0.1 1 0.1

(а). 10 экспериментов с К = 5 • 109, метод (6). 10 экспериментов с К = 5-109, метод квази-Монте-Карло Монте-Карло

ст, 10"18Кл/м2

200

0

-0.1

Л® о

г, м

0.1

(в). 1 эксперимент с К = 1 • 109, метод Монте-Карло

Рисунок 4 — Распределение плотности заряда по оси Ог при различных параметрах укрупнения и методах моделирования инжекции

Отмечается достаточно точное согласие между результатами с различными коэффициентами укрупнения; вместе с тем вследствие особенностей расчёта поля пространственного заряда модель с коэффициентом укрупнения в п раз больше рассчитывается в п2 раз быстрее. Численный эксперимент показывает, что благода-

ря большей равномерности распределения пространственного заряда применение методов квази-Монте-Карло позволяет получить более точные результаты при малых количествах вбрасываемых за такт частиц, что может положительно повлиять на адекватность при низких вычислительных затратах. В частности, среднее значение выборочного среднеквадратического отклонения при использовании квазислучайной последовательности на 15% ниже, чем при использовании классического метода Монте-Карло. Аналогичные результаты получены и для потоков других конфигураций.

При отсутствии необходимости учёта сил реакции излучения предпочтительно использовать метод Верле ввиду его симплектичности. Он требует модификации для учёта зависимости силы от скорости; с точки зрения устойчивости предпочтительно использовать предыдущего значения скорости для расчёта силы.

Уравнение движения с учётом сил радиационного трения не позволяет исключить влияния сильного магнитного поля на модуль и продольную составляющую импульса частиц предлагаемым образом; кроме того, энергия частиц в этом случае не сохраняется. В связи с этим приходится предполагать однородность и постоянство поля в окрестности частиц в течение кванта времени и использовать метод Рунге-Кутты 4-ого порядка. Численные эксперименты показывают, что учёт радиационного трения может существенно влиять на результаты для потоков, в которых на частицы дейстуют переменные силы.

Для получения удовлетворительной производительности приходится ограничивать расчёт поля пространственного заряда с тем, чтобы учитывать только наиболее интенсивные взаимодействия. Показано, что нерелятивистский способ отброса состояний на основании расстояния R между ними не является оптимальным при расчёте релятивистских потоков. Из рассмотренного параметрического класса методов отброса состояний выделен оптимальный метод, состоящий в отбросе состояний на основании расстояния между соответствующими им координатами г, + aviuAt при а -

Реализованы две вариации модели: с использованием MPI и с ручным геометрическим распараллеливанием. Расчёт потоков с возникновением виртуального катода целесообразно проводить с ограничением пространственного заряда по R, а протяжённых потоков без ВК — с ограничением по R'.

В четвёртой главе рассматриваются результаты численных экспериментов с потоками в продольном магнитном поле и в скрещенных полях. Динамика фазового портрета потока в продольном магнитном поле с образованием виртуального катода приведена на рисунке 5.

Предлагается фиксировать появление ВК в момент времени, когда средняя скорость частиц в каком-либо поперечном сечении х = хц потока переходит через определённую границу. В качестве таких границ в данном случае выбраны величины скоростей с/2 и с/3. Выяснено, что время возникновения виртуального катода изменяется примерно обратно пропорционально величине тока инжекции (см. ри-

р/тс

р/тс

р/тс

(а), г = 0.3нс (б). 1 = 0.4нс (в), г = 0.5нс

Рисунок 5 — Динамика фазового портрета потока при В = ЮТл, у = 1.67, / = ЗкА

сунок 6(а)) при постоянных остальных параметрах пучка (В = ЮТл, V = 0.8с, 5 = 1 см2). Время возникновения виртуального катода зависит от начальной скорости электронов; зависимость становится более наглядной, если вместо скорости рассматривать релятивистский множитель у, что продемонстрировано на рисунке 6(6).

2} 1

/, не о

• — по с/2 о — по с/3

-4—нЛ,кА

не

У

«лйв* • — по с/2 о - по с/3

0 1 5 10 0 1 5 10

(а), зависимость от величины тока пучка (б), зависимость от у

Рисунок 6 — Зависимость времени возникновения виртуального катода от параметров потока

При сверхкритических токах наблюдается проникновения части электронов сквозь плоскость виртуального катода; рисунок 7 иллюстрирует частичное отражение электронов от ВК. В пространственно-неограниченных системах в сильном продольном магнитном поле В = ЮТл при скорости влёта частиц V - 2.4 ■ 108м/с, сечении входящего потока 5 = 1 см2 и токи менее ~ 1000 А проходят через систему беспрепятственно. При больших токах образуется виртуальный катод, и проходящий ток снижается.

Зависимость проходящего тока /п от инжектируемого /и в этих условиях достаточно точно описывается эмпирической кусочно-линейной формулой:

/п =

Ли

/И —

+ (/и /кр) > Л) > Л:р>

где /кр — критический ток, ( — коэффициент прозрачности виртуального катода.

При рассмотрении потока в скрещенных полях с ограничением его распространения, описанным в главе 2, наблюдается согласие результатов численного эксперимента с аналитической моделью. Желательно, чтобы уже на входе в пространство взаимодействия поток обладал поперечным размером Дг, близким к целевому ограничению. Динамика потока с существенным отклонением начальной ширины от ограничения иллюстрируется рисунком 8 (/ = 800А, у0 = 0.8с, Лг = 0.06м, равновесный поперечный размер 0.11бм).

г, м

О]_

у, М

I Г | I I 1°а I .*'М

У, м

(а), г = 1нс

(б), г = 2нс

г, м

<ц_

>', м

|0.8 | | X, м

(в). I = Знс

Рисунок 8 — Динамика потока в скрещенных полях при В = 0.08Тл

Рисунок 9 иллюстрирует сечения рассматриваемого потока при различных значениях индукции внешнего магнитного поля (напряжённость электрического поля соответствует £?| = Уо Эффективное ограничение достигается, начиная с некоторых минимальных значений внешних полей.

По результатам экспериментов можно оценить соответствие ширина сечения потоков предсказаниям аналитической модели. Как видно из рисунка 10, ширина

-0.1 о а

0.1

0.1

-0.1

(а). |в| = 0.04Тл, Аг = 0.03м (б). = О.ОбТл, Дг = 0.03м (в). Щ = 0.08Тл, Дг = 0.03м

у.м

-0.1

о 0.1

-0.1

0.1

-0.1

0.1

(г). В = 0.04Тл, Дг = (д). |В| = О.ОбТл, Дг = (е). |В| = 0.08Тл, Дг = = 0.116м = 0.116м = 0.116м

Рисунок 9 — Сечения потоков с различными значениями |й| и различными начальными поперечными размерами

сечения, определённая по критерию местоположения 95% частиц, выходит за теоретические пределы при ро < 10, что объясняется несоответствием начального и равновесного распределений заряда (начальное сечение во всех случях одинаково, 5 = 0.002м х 0.06м, а равновесное определяется значением ро и различно).

Рисунок 10 — Теоретическая и экспериментальная зависимости х от значения р0

Ограничение расширения потока может быть обеспечено и с помощью то-эв, существенно меньших, чем ток самого потока, что соотвествует аналитической одели. Это справедливо и для потоков с начальным распределением плотности фяда, существенно отличающимся от равновесного.

Основные результаты работы

При решении поставленных задач получены следующие результаты:

1. Разработана система моделирования сильноточных релятивистских электронных потоков, выполняющая расчёты методом "частица-частица".

2. Показана возможность учёта граничных условий на границах раздела сред "вакуум-идеальный проводник" в рамках выбранного метода расчёта взаимодействия.

3. Применение методов квази-Монте-Карло для моделирования процесса ин-жекции позволяет получить более равномерно распределённые потоки при малых количествах вбрасываемых за такт частиц и позволяет снизить вычислительные затраты при сохранении точности.

4. Выделен оптимальный метод отброса состояний для расчёта поля пространственного заряда, учитывающий не только положения, но и скорости частиц.

5. Выяснено, что учёт реакции излучения важен в ситуациях, где силы, действующие на частицы, часто меняют направление и модуль.

6. Установлено, что для сплошного цилиндрического потока в продольном магнитном поле в неограниченном пространстве ток за виртуальным катодом линейно зависит от тока инжекции и может превышать токи, проходящие в аналогичных условиях в ограниченном пространстве.

7. Впервые аналитически обоснована возможность ограничения расширения электронного потока в приборах М-типа путём введения дополнительных проводников с током в модель. Показано, что силыюрелятивистские потоки можно ограничивать внешними токами, сравнимыми и даже меньшими, чем ток потока.

8. Выяснено, что эффективное ограничение достигается, начиная с некоторых минимальных значений внешних полей. При соответствии поперечного размера потока на влёте целевому ограничению зависимость эффективности ограничения от внешних полей снижается.

Список основных публикаций

1. Захарченко С. В., Шеин А. Г. Численное моделирование протяжённых релятивистских электронных потоков // Известия Волгогорадского государственного технического университета, серия "Электротехника, измерительная техника,

радиотехника и связь". 2007. № 6(32). С. 40-44. — публикация в журнале списка ВАК.

2. Захарченко С. В., Шеин А. Г. Моделирование протяжённых релятивистских электронных потоков без применения сеточных методов // Электромагнитные волны и электронные системы. 2010. Т. 15, № 4. С. 27-32. — публикация в журнале списка ВАК.

3. Шеин А. Г., Захарченко С. В. Моделирование электронного потока на ЭВМ локальной сети // Цифровые методы и технологии: матер, междунар. науч. конф. Таганрог: 2005. С. 86-91.

4. Захарченко С. В., Шеин А. Г. Анализ погрешности модели электронного потока // Тезисы и доклады V международной научно-технической конференции "Физика и технические приложения волновых процессов". Самара: ООО "Типография «Книга»", 2006. С. 83-84.

5. Захарченко С. В., Шеин А. Г. Распределённая модель электронного потока // Тезисы докладов X региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области. Волгоград: ВолгГТУ, 2006. С. 205-207.

6. Захарченко С. В., Шеин А. Г. Анализ погрешности модели электронного потока // Статистические методы в естественных, гуманитарных и технических науках: матер, междунар. науч. конф. Таганрог: 2006. С. 32-35.

7. Захарченко С. В., Шеин А. Г. Распределённая модель релятивистского электронного потока // Труды X международной научной конференции "Актуальные проблемы твердотельной электроники и микроэлектроники". Таганрог: ТРТУ, 2006. С. 194-196.

8. Захарченко С. В., Шеин А. Г. Минимизация численной погрешности модели релятивистского электронного потока // Тезисы докладов XI региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области. Волгоград: ВолГУ, 2007. С. 20-22.

9. Захарченко С. В., Шеин А. Г. Моделирование релятивисткого электронного потока в области критических параметров И Математические методы в технике и технологиях — ММТТ-20: сб. трудов XX Междунар. науч. конф. Т. 10. Ростов-на-Дону: Донской гос. техн. ун-т, 2007. С. 271-273.

). Захарченко С. В., Шеин А. Г. Изучение условий возникновения виртуального катода в релятивистском электронном потоке // Тезисы докладов XII региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области. Волгоград: ВолГУ, 2008. С. 15-17.

11. Захарченко С. В., Шеин А. Г. Особенности численных методов моделирования электронных потоков // Тезисы и доклады VII международной научно-технической конференции "Физика и технические приложения волновых процессов". Самара: ООО "Типография «Книга»", 2008. С. 112-113.

12. Захарченко С. В., Шеин А. Г. Особенности моделирования релятивистских электронных потоков // Излучение и рассеяние электромагнитных волн: Труды Международной научной конференции "Излучение и рассеяние ЭМВ — ИРЭМВ-2009". Таганрог: ТТИ ЮФУ, 2009. С. 144-147.

13. Захарченко С. В., Шеин А. Г. Распределение расчёта поля пространственного заряда релятивистских электронных потоков // 19-я Международная Крымская конференция "СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии": матер. междунар. науч. конф. Севастополь: Вебер, 2009. С. 684-685.

Подписано в печать Л8. // .2010 г. Заказ № 7ЯЯ . Тираж 100 экз. Печ. л. 1,0 Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.

Типография ИУНЛ Волгоградского государственного технического университета. 400131, г. Волгоград, просп. им. В.И. Ленина, 28, корп. №7

Введение.

1 Обзор исследований релятивистских электронных потоков

1.1 Экспериментальные исследования потоков

1.2 Обзор аналитических моделей.

1.3 Нелинейные явления в сильноточных потоках.

1.4 Численное моделирование нелинейных явлений

1.5 Методы распараллеливания вычислений.

Выводы.

2 Обоснование математической модели потока.

2.1 Анализ требований к модели.

2.2 Анализ используемых приближений.

2.3 Механизм учёта граничных условий.

2.4 Методы обработки результатов.

2.5 Аналитическая модель потока в неоднородном магнитном поле . 46 Выводы.

3 Особенности численной реализации модели.

3.1 Решение релятивистского уравнения движения.

3.2 Моделирование процесса инжекции.

3.3 Анализ методов численного интегрирования уравнения движения

3.4 Повышение производительности модели.

3.5 Ограничение расчёта поля пространственного заряда

3.6 Свойства численной модели.

Выводы.

4 Нелинейная динамика потоков.

4.1 Прохождение тока через виртуальный катод.

4.2 Поведение потока в неоднородном магнитном поле.

Выводы.

Релятивистские электронные потоки представляют научный и практический интерес как в связи с использованием их в мощных генераторах миллиметрового диапазона — лазерах на свободных электронах, мазерах на циклотронном резонансе и других — так и самостоятельно, находя применение в ряде задач от электроннолучевой сварки до инерциального ядерного синтеза. Потоки, транспортируемые в продольном магнитном поле, могут иметь токовые ограничения из-за тормозящего электроны отрицательного потенциала, возникающего в пучке вследствие высокой плотности электронного объемного заряда. Потоки в скрещенных полях могут неограниченно расширяться, что затрудняет их транспорт в ограниченном пространстве прибора. Данные обстоятельства имеют большое значение при разработке новых источников СВЧ-излучения.

С ростом мощностей и частот растут и ресурсы, необходимые для проведения натурных экспериментов, поэтому их требуется предварять моделированием проектируемых устройств. Область применимости аналитических моделей потоков ограничена вводимыми в них упрощающими предположениями. В связи с этим прибегают к численному моделированию динамики потоков. Высокая вычислительная сложность задачи расчёта поведения потока приводит к тому, что применяется ряд упрощающих приближений. В распространённых программных решениях [1—8] применяются сеточные методы при расчёте поля пространственного заряда (ПЗ) потока, снижающие точность результата. Вводимое некоторыми авторами [9-11] квазистатическое приближение позволяет искать поле потока не через систему уравнений Максвелла, а решая уравнение Пуассона, но не позволяет достаточно точно описать динамику частиц, так как не учитывает собственного магнитного поля потока. Анализ других применяемых методов большинством авторов в должной мере не производится. Построение более точной модели, опирающейся на расчёт поля ПЗ методом "частица-частица", сталкивается с рядом трудностей, в том числе большая вычислительная сложность и необходимость учёта граничных условий.

Существующие тенденции в развитии аппаратного обеспечения ЭВМ предполагают рост производительности в основном не за счёт повышения тактовой частоты процессора, а за счёт параллельной обработки частей задачи на различных исполняющих устройствах.

Это обуславливает актуальность работы по изучению динамики протяжённых сильноточных потоков с помощью системы распределённого моделирования релятивистских электронных потоков, основанной на расчёте поля пространственного заряда методом "частица-частица".

Целью диссертационной работы является выявление закономерностей динамики сильноточных релятивистских электронных потоков в продольном магнитном поле и в скрещенных полях при помощи вычислительного эксперимента с расчётом поля ПЗ методом "частица-частица".

Для достижения поставленных целей необходимо решить следующие задачи:

- анализ и выбор применяемых методов;

- реализация численной модели электронного потока;

- реализация распараллеливания модельных вычислений;

- проведение вычислительных экспериментов с целью проверки соответствия результатов теоретическим на тестовых задачах;

- проведение вычислительных экспериментов с потоками в продольном магнитном поле и в скрещенных полях с целью выявления закономерностей в результатах и их формализация.

Научную новизну работы составляет анализ процесса численного решения релятивистского уравнения движения, демонстрация возможности получения качественно неверных результатов при следовании стандартным и модифицированным процедурам интегрирования и предложение способов повышения адекватности результатов. Впервые предпринята попытка учёта сил радиационного трения, описано и проанализировано их влияние на динамику электронного потока. Теоретически обоснован и проверен численным экспериментом способ удержания электронного потока в приборах со скрещенными полями, основанный на использовании дополнительного малого по сравнению с основным неоднородного магнитного поля и предложен способ формирования поля, близкого к требуемому.

Внедрение результатов работы. Результаты работы использованы в научно-исследовательской работе "Разработка принципов создания многочастотных сверхвысокочастотных усилителей и генераторов М-типа" (тема №54-53/429-04. №гос. регистрации 01200500653), выполненной на кафедре физики Волгоградского государственного технического университета в 2004-2009 гг. по планам фундаментальных и поисковых работ Федерального агентства по образованию РФ и используются в НИР "Исследование процессов усиления и генерации стохастических колебаний в скрещенных полях" (№31-53/145-09, №гос. регистрации 01201050958), выполняемой в настоящее время по планам фундаментальных и поисковых работ Министерства образования и науки РФ.

Основные результаты работы реализованы в виде комплекса программ, реализующих моделирование СРЭП и обработку полученных данных, и результатов анализа поведения электронного потока в скрещенных полях.

В работе использовались методы теории сложности, теории ортогональных многочленов, линейной (в том числе тензорной) алгебры, численные методы интегрирования (в том числе специализированные), основные принципы построения распределённых систем, статистические методы обработки данных.

Достоверность результатов исследования обусловлена корректным применением известных физических законов и указанных методов и подтверждается отсутствием противоречий с фундаментальными представлениями о рассматриваемых процессах и согласием получаемых численных результатов с теоретическими, а также с результатами других авторов.

Основные положения, выносимые на защиту:

- учёт граничных условий на границах раздела сред "вакуум-идеальный проводник" в рамках метода расчёта взаимодействия "частица-частица" может осуществляться методом, аналогичным методу электростатических изображений;

- применение методов квази-Монте-Карло позволяет получить более равномерное распределение заряда при малых количествах частиц и повысить точность при тех же вычислительных затратах;

- при расчёте поля пространственного заряда релятивистских потоков ограничение учёта поля на основании расстояния между частицами не является оптимальным; полученный аналитически оптимальный в выбранном классе метод сочетает учёт расстояния и скорости;

- расширение релятивистского электронного потока в скрещенных полях может быть ограничено магнитным полем, создаваемым внешними проводниками с током; построенная аналитическая модель такого ограничения подтверждается численным экспериментом.

Апробация результатов. Результаты исследования докладывались на Х-Х1П региональных конференциях молодых исследователей Волгоградской области (2005-2008 гг.), на X международной научной конференции "Актуальные проблемы твердотельной электроники и микроэлектроники", с. Дивноморское, 2006 г., на XX международной научной конференции "Математические методы в технике и технологии", г. Ростов-на-Дону, 2007 г., на международной научной конференции "Излучение и рассеяние электромагнитных волн", с. Дивноморское, 2009 г., на 19 международной Крымской конференции "СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии", г. Севастополь, 2009 г., на 16 всероссийской научной конференции студентов-физиков, г. Волгоград, 2010 г.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 13 публикациях, из них 2 работы в изданиях, включённых в Перечень ВАК.

Личный вклад автора. Результаты экспериментов и расчетов, представленные в диссертации, получены непосредственно автором. Выводы диссертации и основные положения, выносимые на защиту, также принадлежат автору. Основные результаты работы опубликованы в соавторстве с научным руководителем А.Г. Шейным.

Структура и объём. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и приложений. Содержание работы изложено на 159 страницах машинописного текста, рисунков 76. Список литературных источников включает 96 наименований, в том числе 39 иностранных.

Выводы

В главе рассматриваются результаты численных экспериментов с потоками в продольном магнитном поле и в скрещенных полях.

Наличие виртуального катода не определяет полного прекращения движения электронов далее; ток за ним эмпирически оказывается линейно зависящим от тока инжекции. Средняя скорость частиц за ВК повышается, в связи с чем проходящий ток не является критическим для этого участка потока.

Численный эксперимент подтверждает возможность ограничения расширения потока в скрещенных полях методом, описанным в главе 2. Ограничение расширения потока может быть обеспечено и с помощью токов, существенно меньших, чем ток самого потока. Эффективное ограничение достигается, начиная с некоторых минимальных значений внешних полей.

При использовании ограничения распространения потока желательно, чтобы уже на входе в пространство взаимодействия он обладал поперечным размером, близким к целевому ограничению. Чем ближе распределение плотности пространственного заряда к равновесному распределению, тем менее выражен преходный процесс и тем меньше влияние внешних полей на эффектвность ограничения.

Заключение

Выполненное исследование посвящено анализу динамики сильноточных релятивистских электронных потоков путём численного эксперимента. В результате выполнения работы получены следующие основные результаты:

1. Разработана система моделирования сильноточных релятивистских электронных потоков, выполняющая расчёты методом "частица-частица".

2. Показана возможность учёта граничных условий на границах раздела сред "вакуум-идеальный проводник" в рамках выбранного метода расчёта взаимодействия.

3. Применение методов квази-Монте-Карло для моделирования процесса ин-жекции позволяет получить более равномерно распределённые потоки при малых количествах вбрасываемых за такт частиц и позволяет снизить вычислительные затраты при сохранении точности.

4. Выделен оптимальный метод отброса состояний для расчёта поля пространственного заряда, учитывающий не только положения, но и скорости частиц.

5. Выяснено, что учёт реакции излучения важен в ситуациях, где силы, действующие на частицы, часто меняют направление и модуль.

6. Установлено, что для сплошного цилиндрического потока в продольном магнитном поле в неограниченном пространстве ток за виртуальным катодом линейно зависит от тока инжекции и может превышать токи, проходящие в аналогичных условиях в ограниченном пространстве.

7. Впервые аналитически обоснована возможность ограничения расширения электронного потока в приборах М-типа путём введения дополнительных проводников с током в модель. Показано, что сильнорелятивистские потоки можно ограничивать внешними токами, сравнимыми и даже меньшими, чем ток потока.

8. Выяснено, что эффективное ограничение достигается, начиная с некоторых минимальных значений внешних полей. При соответствии поперечного размера потока на влёте целевому ограничению зависимость эффективности ограничения от внешних полей снижается.

Возможность определения времени и места возникновения виртуального катода в потоках и предлагаемый способ ограничения расширения потока в скрещенных полях могут быть использованы при проектировании новых вакуумных приборов СВЧ.

Материалы работы доложены на региональных и международных конференциях и опубликованы, в частности, в работах [82, 85-96].

Автор выражает благодарность научному руководителю Александру Георгиевичу Шеину за постоянное и внимательное руководство и поддержку. Автор признателен сотрудникам кафедр Физики и ЭВМ и систем, общение с которыми способствовало прогрессу работы.

1. Tarakanov V. Р. User's Manual for Code KARAT. Springfield, VA: Berkeley Research Associates, Inc., 1992.

2. MAGIC Tool Suite: FDTD-PIC Software for EM Design and Simulation. 2008. URL: http://www.mrcwdc.com/magic/ (дата обращения: 13.06.2010).

3. Plimpton S. J., Seidel D. В., Pasik M. F. et al. A Load-Balancing Algorithm for a Parallel Electromagnetic Particle-in-Cell Code. 2003. URL: http://www.es. sandia.gov/~sjplimp/papers/cpc03.pdf (дата обращения: 13.06.2010).

4. CST Particle Studio. 2008. URL: http://www.cst.com/Content/Products/PS/ Overview.aspx (дата обращения: 13.06.2010).

5. Богданов JI. Ю., Соминский Г. Г., Фабировский А. Я. Влияние условий формирования на развитие колебаний пространственного заряда в длинноимпульсном электронном пучке // Журнал технической физики. 1998. Т. 68. С. 102-106.

6. Дубинов А. Е., Ефимова И. А., Каргин В. И. и др. Виркатор в режиме генерации тормозного рентгеновского излучения // Вопросы атомной науки и техники, серия "Плазменная электроника и новые методы ускорения". 2003. № 4. С. 15-19.

7. Дубинов А. Е., Селемир В. Д. Управление спектром генерации виркатора с помощью внешнего СВЧ сигнала // Письма в ЖТФ. 2000. Т. 26. С. 17-22.

8. Беломытцев С. Я., Гришков А. А., Кицанов С. А. и др. Экспериментальные исследования электронного пучка в "сжатом" состоянии // Письма в ЖТФ. 2005. Т. 31. С. 74-81.

9. Куркин С. А. Нелинейная динамика электронного потока с виртуальным катодом во внешнем неоднородном магнитном поле // Письма в ЖТФ. 2010. Т. 36. С. 69-76.

10. Куркин С. А. Влияние шумового разброса электронов по скоростям на динамику электронного потока с виртуальным катодом // Радиотехника и электроника. 2010. Т. 55. С. 1-9.

11. Трубецков Д. И., Храмов А. Е. Лекции по сверхвысокочастотной электронике для физиков. В 2 т. Т. 1. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 496 с.

12. Исмаилов Э. Ш. Биофизическое действие СВЧ-излучений. М.: Энергоатомиз-дат, 1987. 144 с.

13. Месяц Г. А., Яландин М. И. Пикосекундная электроника больших мощностей // Успехи физических наук. 2005. Т. 175. С. 225-246.

14. Friedman М. Propagation of an intense relativistic electron beam in an annular channel//Journal of Applied Physics. 1996. Vol. 80. Pp. 1263-1267.

15. Беломытцев С. Я., Гришков А. А., Кицанов С. А. и др. Ток трубчатого электронного пучка за виртуальным катодом // Письма в ЖТФ. 2005. Т. 31. С. 22-26.

16. Калинин Ю. А. Сложная динамика и явления динамического хаоса в потоке заряженных частиц, формируемом магнетронно-инжекторной пушкой (численный и физический эксперимент) // Журнал технической физики. 2000. Т. 70. С. 83-91.

17. Алямовский И. В. Электронные пучки и электронные пушки. М.: Советское радио, 1966. 456 с.

18. Колесников Е. К., Мануйлов А. С. Кинетическое уравнение для релятивистского электронного пучка, распространяющегося в плотных и разреженных газоплазменных средах продольно внешнему магнитному полю // Журнал технической физики. 2004. Т. 74. С. 103-107.

19. Л. Д. Ландау Е. М. Л. Теоретическая физика: учеб. пособ. В 10 т. 7-е, испр изд. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. T. II. Теория поля. 512 с.

20. Усыченко В. Г. Самоорганизация электронов в электронных приборах // Журнал технической физики. 2004. Т. 74. С. 38-46.

21. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 6: Электродинамика: Пер. с англ. М.: Мир, 1966. 344 с.

22. Dirac P. А. М. Classical Theory of Radiating Electrons // Proc. R. Soc. Lond. London: 1938. Pp. 148-169.

23. Гинзбург В. Л. О излучении и силе радиационного трения при равномерно ускоренном движении заряда // Успехи физических наук. 1969. Т. 98. С. 569-585.

24. Власов А. А. Проблема радиационной отдачи для классических заряженных пылинок // Теоретическая и математическая физика. 2003. Т. 134, № 2. С. 254-272.

25. Wheeler J. A., Feynman R. P. Interaction with the absorber as the mechanism of radiation//Reviews of Modern Physics. 1945. Vol. 13, no. 2,3. Pp. 157-181.

26. Daywitt W. C. The radiation reaction of a point electron as a Planck vacuum responce phenomenon//Progress in physics. 2010. Vol. 2. Pp. 15-16.

27. Baylis W. E., Huschilt J. Energy balance with the Landau-Lifshitz equation // Physics Letters A. 2002. Vol. 301, no. 1-2. Pp. 7-12.

28. Kim K.-J., Sessler A. M. The equation of motion of an electron // Proc. 8th Workshop on advanced accelerator concepts. Vol. 472. AIP Conference Proceedings, 1999. Pp. 3-18.

29. Rohrlich F. The dynamics of a charged sphere and the electron // American Journal of Physics. 1997. Vol. 65, no. 11. Pp. 1051-1056.

30. Гмурман В. E. Теория вероятностей и математическая статистика. 9-е изд., стереотип. М.: Высш. шк., 2003. 479 с.

31. Долов А. М., Кузнецов С. П. Усовершенствование метода крупных частиц, применяемого при численном решении задач сверхвысокочастотной электроники // Журнал технической физики. 2005. Т. 75. С. 126-128.

32. Веденяпин В. В. Кинетические уравнения Больцмана и Власова. М.: Физмат-лит, 2001. 112 с.

33. Корниенко В. Н., Олейников А. Я., Соколов С. А., Черепенин В. А. Решение нестационарных задач вакуумной электроники на компьютерном кластере ИРЭ РАН. 2007. URL: http://www.ict.edu.ru/vconf/files/tm01610.doc (дата обращения: 13.06.2010).

34. Plimpton S., Shokair I., Wagner J., Jortner J. Load-Balancing and Performance of a Gridless Particle Simulation on MIMD, SIMD, and Vector Supercomputers.1991. URL: http://www.sandia.gov/~sjplimp/papers/siam91.ps (дата обращения: 13.06.2010).

35. Schmitz Н., Grauer R. Darwin-Vlasov Simulations of Magnetized Plasmas. 2007. URL: http://arxiv.org/abs/physics/0601220vl (дата обращения: 13.06.2010).

36. Т-система: система программирования и run-time среда, реализующие автоматическое динамическое распараллеливание программ. 2006. URL: http: //parallel. ru/russia/map/data/project15. html (дата обращения: 13.06.2010).

37. Glasgow Parallel Haskell. 2006. URL: http://www.macs.hw.ac.uk/~dsg/gph/ (дата обращения: 13.06.2010).

38. Plastino A., Ribeiro С. C., Rodriguez N. A framework for SPMD applications with load balancing. 2003. URL: http://citeseer.ist.psu.edu/294851.html (дата обращения: 13.06.2010).

39. Gordeev V. S., Mikliailov E. S. BEAM25 Program for Numerical Simulation of the Processes of High-Current Electron Beam Shaping, Acceleration and Transportation // Вопросы атомной науки и техники. 2001. № 5. С. 30-32.

40. Smirnov A., Raitses Y., Fisch N. J. Electron Cross-Field Transport in a Low Power Cylindrical Hall Thruster//Physics of Plasmas. 2004. no. 11. Pp. 4922-4933.

41. Желтов К. А., Зданович И. Г., Нечаев М. Н. Динамика электронного пучка пи-косекундного сильноточного ускорителя // Журнал технической физики. 1999. Т. 69. С. 111-115.

42. Smith A. W., Cappelli М. A. Investigation of Field Structure and Electron Behavior in the Near-Field of Hall Thrusters. 2006. URL: http://www.Stanford.edu/group/pdl/Papers/2006/Smitli-AIAA-2006-4835.pdf (дата обращения: 13.06.2010).

43. Wang J., Liewer P. C., Huang E. 3D Electromagnetic Monte Carlo Particle-in-Cell Simulations on MIMD Parallel Computers. 1995. URL: http://trs-new. jpl.nasa.gov/dspace/bitstream/2014/29512/1/95-0122.pdf (дата обращения: 13.06.2010).

44. Иродов И. Е. Основные законы электромагнетизма: Учеб. пособие. 2-е изд., стереотип. М.: Высш. шк., 1991. 289 с.

45. Соловьянинова И. П., Наймушин М. Теория волновых процессов. Электромагнитные волны: учеб. пособ. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ УПИ, 2005. 131 с.

46. Смирнов Е. Ю. Группы отражений и правильные многогранники. М.: МЦНМО, 2009. 48 с.

47. Дубинов А. Е., Лойко М. В. Численное моделирование приборов с виртуальным катодом с учётом рассеяния электронов на анодной фольге // Вычислительные технологии. 2003. Т. 8. С. 53-63.

48. Сегё Г. Ортогональные многочлены: Пер. с англ. М.: Физматгиз, 1962. 500 с.

49. Керов С. В. Равновесие и ортогональные полиномы // Алгебра и анализ. 2000. Т. 12, № 6. С. 224-237.

50. Stefanescu D. Bounds for Real Roots and Applications to Orthogonal Polynomials // Proc. 10th International Computer Algebra in Scientific Computing Workshop. Vol. 4770 of Lecture Notes in Computer Science. 2007. Pp. 377-391.

51. Dodier R. Maxima Reference Manual. 2010. URL: http: //maxima, sourcef orge. net/docs/manual/en/maxima.pdf (дата обращения: 26.09.2010).

52. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 3. Электричество. Изд. 4-е, стереотипное. М.: Физматлит; изд-во МФТИ, 2004. 656 с.

53. Marsaglia G. Random numbers fall mainly in the planes // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. Vol. 61. 1968. Pp. 25-28.

54. Matsumoto M., Nishimura T. Mersenne Twister: A 623-dimensionally equidistribut-ed uniform pseudorandom number generator // ACM Trans, on Modeling and Computer Simulation. Vol. 8(1). 1998. Pp. 3-30.

55. The Marsaglia Random Number CDROM including the Diehard Battery of Tests of Randomness. 1995. URL: http://www.stat .fsu.edu/pub/diehard/.

56. Box G. E. P., Muller M. E. A Note on the Generation of Random Normal Deviates // The Annals of Mathematical Statistics. 1958. Vol. 29, no. 2. Pp. 610-611.

57. Hellekalek P. Don't trust parallel Monte Carlo! // ACM SIGSIM Simulation Digest archive. Vol. 28. 1998. Pp. 82-89.

58. Месяц Г. А. Эктон — лавина электронов из металла // Успехи физических наук. 1995. Т. 165. С. 601-626.

59. Вейль Г. Математика. Теоретическая физика, Под ред. В. И. Арнольд, А. Н. Паршин. М.: Наука, 1984. 510 с.

60. Соболь И. М. Точки, равномерно заполняющие единичный куб. М.: Знание, 1985. 32 с.

61. Кейперс JL, Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей: Пер. с англ., Под ред. С. М. Ермаков. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985. 408 с.

62. Faure Н., Lemieux С. Generalized Halton sequences in 2008: A comparative study // ACM Trans. Model. Comput. Simul. 2009. Vol. 19, no. 4. Pp. 1-31.

63. Proceedings of the Fourth Conference on Numerical Simulation of Plasmas, Ed. by J. P. Boris, R. A. Shanny. Washington: Naval Research Lab, 1970. 537 pp.

64. Волков E. А. Численные методы: учеб. пособ. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. 256 с.

65. Kutta-Merson method. 2006. URL: http: //eom. springer. de/k/k056060. htm (дата обращения: 13.06.2010).

66. Dahlquist G. A special stability problem for linear multistep methods // BIT. 1963. Vol. 3. Pp. 27-43.

67. Farr W. M., Bertschinger E. Variational Integrators for the Gravitational N-Body Problem. URL: http://arxiv.org/abs/astro-ph/0611416v2 (датаобращения: 13.06.2010).

68. Calvo M., Hairer E. Accurate Long-Term Integration of Dynamical Systems. 1994. URL: http://citeseer.ist.psu.edu/calvo94accurate.html (дата обращения: 13.06.2010).

69. Mathiowetz A. M. Dynamic and Stochastic Protein Simulations: From Peptides to Viruses: Ph.D. thesis / California Institute of Technology. 1992. URL: http://www.wag.caltech.edu/publications/theses/alan/thesis.html (дата обращения: 13.06.2010).

70. Groot R. D., Warren P. B. Dissipative particle dynamics: Bridging the gap between atomistic and mesoscopic simulation // J. Chem. Phys. 1997. Vol. 107, no. 11. Pp. 4423-4435.

71. Захарченко С. В., Шеин А. Г. Анализ погрешности модели электронного потока // Статистические методы в естественных, гуманитарных и технических науках: матер, междунар. науч. конф. Таганрог: 2006. С. 32-35.

72. Ефимов А. Н. Порядковые статистики, их свойства и приложения. М.: Знание; 1980. 64 с.

73. Dittami S. Shapiro-Wilk Normality Test (Web version). 2009. URL: http: // dittami. gmxhome. de/shapiro/ (дата обращения: 29.09.2010).

74. Захарченко С. В., Шеин А. Г. Анализ погрешности модели электронного потока // Тезисы и доклады V международной научно-технической конференции

75. Физика и технические приложения волновых процессов". Самара: ООО "Типография «Книга»", 2006. С. 83-84.

76. Захарченко С. В., Шеин А. Г. Распределённая модель электронного потока // Тезисы докладов X региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области. Волгоград: ВолгГТУ, 2006. С. 205-207.

77. Захарченко С. В., Шеин А. Г. Минимизация численной погрешности модели релятивистского электронного потока // Тезисы докладов XI региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области. Волгоград: ВолГУ, 2007. С. 20-22.

78. Захарченко С. В., Шеин А. Г. Изучение условий возникновения виртуального катода в релятивистском электронном потоке // Тезисы докладов XII региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области. Волгоград: ВолГУ, 2008. С. 15-17.

79. Захарченко С. В., Шеин А. Г. Распределённая модель релятивистского электронного потока // Труды X международной научной конференции "Актуальные проблемы твердотельной электроники и микроэлектроники". Таганрог: ТРТУ, 2006. С. 194-196.

80. Шеин А. Г., Захарченко С. В. Моделирование электронного потока на ЭВМ локальной сети // Цифровые методы и технологии: матер, междунар. науч. конф. Таганрог: 2005. С. 86-91.

81. Захарченко С. В., Шеин А. Г. Моделирование протяжённых релятивистских электронных потоков без применения сеточных методов // Электромагнитные волны и электронные системы. 2010. Т. 15, № 4. С. 27-32.