Исследование колебаний упругих систем методом дискредитации на основе динамической податливости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

- • « г}

На правах рукописи

«О 4

' " ' и^

V ^

Зеленков Юрий Александрович

ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ДИСКРЕТИЗАЦИИ НА ОСНОВЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ПОДАТЛИВОСТИ

01.02.04 - механика твердого деформируемого тела

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1997

Работа выполнена на кафедре теоретической механики и сопротивления материалов Рыбинской государственной авиационной технологической академии.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук В.Н. Вернигор

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор С.Б. Филиппов

кандидат физико-математических наук,

доцент В.И. Ершов

Ведущая организация:

Центральный научно-исследовательский институт робототехники и технической кибернетики.

Защита состоится « ">'/ » С.р ?,*~р О р. А Эу 199 Я г. в часов на

заседании диссертационного совета К.063.57.13 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Ст. Петергоф, Бибилиотечная пл., 2, математико-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького, СПбГУ, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан «_»_,_199_г.

Ученый секретарь диссертационного совета

М.А. Нарбут

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность работы. Ввиду увеличения скоростей современных машин становятся все более важными вопросы исследования возникающих в них колебаний. Проблемы теории колебаний, связанные с балансировкой роторов, колебаниями турбинных лопаток, выбором оптимальной частоты вращения валов и т.п. имеют большое практическое значение. Ввиду сложности многих колебательных систем первоначально получили широкое распространение методы их исследования, опирающиеся на построение механических моделей, приближенно описывающих колебания упругого тела. Например, во многих работах, посвященных динамике роторов, действие вала на диски ротора заменяется действием на них упругой системы, податливость которой соответствует статической податливости вала. Это позволяет упростить уравнения, описывающие движение роторов, и исследовать общие качественные закономерности их динамики, однако для практического использования полученных результатов необходимо решение задач в более полной постановке с учетом сил инерции вала.

При более точном подходе модель подбирается таким образом, чтобы ее модальные параметры (собственные частоты, собственные формы колебаний, коэффициенты демпфирования) наиболее точно соответствовали модальным параметрам исследуемого тела, которые определяются экспериментально или теоретически. Использование способов, которые позволяют обоснованно, без значительного снижения точности решения, упростить уравнения колебаний сложных механических систем, позволило бы разработать эффективные методы устранения вибраций деталей машин. Эти методы могут быть направлены как на уменьшение предварительной неуравновешенности (балансировки) деталей, так и на виброгашение в процессе работы механизма. В последнем случае наибольший интерес представляет использование таких простых устройств как динамические гасители, рассеивающие энергию колебаний за счет ударного взаимодействия.

В настоящей работе используется приближенный метод исследования колебаний твердого тела, взаимодействующего с упругой системой. На основе этого метода получены уравнения динамики нестационарно вращающегося гибкого ротора, которые, оставаясь достаточно простыми, в тоже время могут быть использованы для расчета его динамических характеристик и определения параметров динамического гасителя колебаний ударного типа. Также исследованы применение ударного гасителя для уменьшения колебаний руки промышленного робота и влияние неравномерности вращения ротора газотурбинного дпитателя на колебания его рабочих лопаток.

Целью работы является разработка способов исследования динамики вращающихся деталей газотурбинных устройств и промышленных роботов, а также методов снижения их колебаний.

Автор защищает:

1. Методику определения оптимальных параметров ударного виброгасителя, предназначенного для гашения колебаний руки промышленного робота после ее поворота и опускания колонны.

2. Методику исследования влияния неравномерности вращения ротора газотурбинного двигателя (ГТД) на колебания рабочих лопаток.

3. Уравнения динамики гибкого неуравновешенного ротора, приближенно учитывающие инертность вала.

4. Способ определения вектора дисбаланса детали типа «диск».

5. Методику определения оптимальных параметров гасителя колебаний ударного действия для гибкого ротора.

Научная новизна:

1. Предложены математические модели и разработаны алгоритмы исследования нестационарного вращения гибкого вала с учетом гироскопических моментов диска и связи с неидеальным двигателем.

2. Предложена математическая модель и разработаны алгоритмы исследования нестационарного вращения жесткого диска с закрепленными на нем гибкими лопатками.

3. Предложена математическая модель и разработаны алгоритмы исследования руки промышленного манипулятора.

4. Исследовано внецентренное соударение двух тел, совершающих плоское движение.

Практическая ценность работы:

1. Разработана конструкция и методика определения параметров гасителя колебаний ударного типа для гибкого ротора.

2. Разработана методика определения дисбаланса детали типа «диск».

3. Разработана методика определения параметров гасителя колебаний ударного типа для руки промышленного робота.

Апробация работы:

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах кафедры теоретической механики и сопротивления материалов Рыбинской государственной авиационной технологической академии, кафедры теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского государственного университета, на шестой Всесоюзной конференции но управлению в механических системах (Львов, 1988), на пятнадцатой Всесоюзной конференции по вопросам рассеяния энергии при колебаниях механических систем (Киев, 1989).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав и заключения и содержит 133 страницы, 26 рисунков, 4 таблицы , список литературы из 113 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна, а также основные научные результаты, выносимые на защиту. Здесь приведен краткий обзор методов построения приближенных моделей для исследования колебаний различных механических систем, обзор теоретических и экспериментальных работ по определению динамической податливости упругой системы и ее модальных параметров, а также работ по исследованию динамики гибких роторов и ударного гашения колебаний.

Первая глава носит реферативный характер. В ней собран материал, необходимый для изложения диссертации. Здесь описан приближенный метод исследования колебаний твердого тела, взаимодействующего с упругой системой, предложенный В.Н. Вернигором. Данный метод позволяет заменить действие на тело упругой системы с распределенными параметрами действием ее приближенной механической модели с числом степеней свободы, равным п. Эта модель позволяет точно учесть первые п собственных форм колебаний упругой системы и квазистатически - все остальные. Решение задачи содержит статическую податливость системы, а также первые п ее собственных частот и эквивалентных масс.

В второй главе разрабатывается способ определения оптимальных параметров виброгасителя ударного действия для уменьшения колебаний руки промышленного робота после ее поворота и опускания колонны.

Гаситель колебаний ударного действия для руки промышленного робота (рис.1) представляет собой корпус 2, закрепленный на захвате манипулятора 1, внутрь которого помещен виброгасящий элемент (шарик) 4 массой т0. Корпус виброгасителя имеет массу т. Гаситель предназначен для сокращения времени колебаний руки после ее поворота и после опускания колонны. Поэтому шарик имеет возможность перемещаться в горизонтальном и вертикальном направлениях (направлениях колебаний). Величины свободного хода виброгасящего элемента Ди А' регулируется винтами 3. Виброгашение осуществляется за счет рассеяния энергии колебаний при ударах виброгасящего элемента о корпус виброгасителя.

Для исследования режимов виброгашения построена приближенная механическая модель руки робота. Модель состоит из последовательно соединенных п сосредоточенных масс п\,тг,...,тп и п+ 1 линейных жесткостей с,, с2,...,с„, слЧ. Точность модели определена из сравнения решений задачи о свободных колебаниях руки после ее удара об упор на основе рассмотрения руки как системы с распределенными параметрами и на основе введенной модели. Показано, что необходимая точность вычислений достигается уже при п = 1. Формулы для параметров модели в этом случае определяются выражениями: /я, = 0,25 M, с, = 103,1£J IV, с, — 3,1 EJ ! где M -- fiSi- масса руки, I- ее длина, Е - модуль Юнга, J, S - момент инерции и площадь поперечного сечения руки, р - плотность материала руки.

На основе построенной модели получена и решена система дифференциальных уравнений колебаний руки робота с ударным виброгасителем. Движение захвата с закрепленным на нем корпусом виброгасителя и виброгасящего элемента можно разбить на отдельные этапы. Для случая опускания колонны первый этап (0 < t < /, ) соответствует совместному движению захвата и виброгасящего элемента, прижатого к верхней грани виброгасителя. Движение на этом этапе описывается уравнениями

(,m + m0) —rf - = -с, ( » - у, )

Л (О

Рис. 1

-d2y, m,

dt2

~сгУ, +f,Ov ~У>)

при начальных условиях

>,c-Lo=>î>L=0

dy, dt

= i,

4F, dt

.„т

(2)

где yr = a7yr / v0(2, y, = a2 y, / vaf~, m = tu! M , m„ = m01 M , m, = m, / M ,

с, = c/1 /£/, c2 /£/, t = a11! t., a* = FJ ! pS, y, , yt - смещение захвата и

массы т, от положения, при котором пружины данной модели не деформированы; утал - амплитуда колебаний захвата, определяемая из рассмотрения руки как балки с распределенными параметрами, у0 - скорость руки в момент удара об упор. Последняя формула в выражениях (2) получена из условия равенства кинетической энергии механической системы в начальный момент времени и максимальной потенциальной энергии руки. Момент : = Г, соответствует отрыву виброгасящего элемента от верхней грани корпуса и определяется из условия равенства нулю силы взаимодействия между корпусом виброгасителя и виброгасящим элементом. Второй этап движения (/, </</,) заканчивается ударом виброгасящего элемента об одну из стенок корпуса. Третий и дальнейшие этапы соответствуют движению этого элемента между двумя последовательными его ударами о корпус виброгасителя. Движение на втором и последующем этапах описывается системой дифференциальных уравнений

где g = "£71\'аа2; у0 - уаа21\\12', g-ускорение свободного падения, ур -смещение виброгасящего элемента от положения, при котором он прижат к верхней грани виброгасителя, а пружины жесткостью с, и с, не деформированы.

При интегрировании уравнений (3) на втором этапе движения начальные значения переменных полагаются равным значениям этих величин, вычисленным в конце первого этапа. На ¿-том этапе движения начальные значения величин , у,'1', , ¿¿¡''/Л полагаются равным значениям этих величин, вычисленным в конце (к-1)-го этапа, а начальные значения величин ¡!улск) /ей, сГр^'/л определяются из уравнения удара виброгасящего элемента о корпус виброгасителя с некоторым коэффициентом восстановления г.

Характер процесса виброгашения зависит от коэффициента восстановления г, который определяется характеристиками материала, из которого изготавливаются детали виброгасителя, и четырех безразмерных параметров: т, т„. А' = я"Д'/ V,/2, От конструкции виброгасителя зависят параметры т„ и Д'. Поскольку закрепление на захват робота дополнительной массы т„ увеличивает время цикла его работы, то параметр-следует выбирать таким образом, чтобы это увеличение было не ш:г;:1

(3)

тельным. Исходя из вышеизложенного, настройку на оптимальный режим виброгашения предлагается осуществлять только за счет изменения величины зазора Д', т.е. по заданным величинам т, т0, г необходимо определить такое значение параметра Д', при котором затухание колебаний происходит наиболее быстро.

Поскольку уравнения, описывающие движение руки на основе приближенной модели, являются достаточно простыми, оптимальный зазор можно определить путем последовательного их интегрирования с различными значениями этого параметра, выбрая величину, обеспечивающую максимально быстрое гашение. В качестве начального приближения предлагается использовать оптимальное значение зазора виброгасителя, полученное из рассмотрения колебаний захвата, возбуждаемых гармонической силой. Приводятся таблицы рассчитанных оптимальных значений зазора при различных значениях указанных выше параметров для случая поворота руки, а также экспериментальные данные по исследованию затухания колебаний за счет внутреннего трения в материале руки. Из анализа результатов следует, что затухание колебаний руки, вызванное внутренним сопротивлением происходит значительно медленнее затухания, вызванного использованием виброгаситедя ударного действия.

Кроме того, на основе исследования большого количества наборов параметров руки робота и виброгасителя, при которых происходит наиболее эффективное гашение колебаний, получено уравнение регрессии, связывающее оптимальное значение зазора со значениями других параметров. Получаемую из этого уравнения величину также можно использовать как начальное приближение при определении необходимого значения зазора.

В третьей главе исследуется влияние неравномерности вращения ротора ГТД на колебания его рабочих лопаток, для чего построена механическая модель лопатки, приближенно описывающая ее движение вместе с диском.

Способ исследования влияния неравномерности вращения ротора газотурбинного двигателя на колебания рабочей лопатки основан на построении приближенной механической модели лопатки. В более полной постановке задачи исследование колебаний таких лопаток сводится к интегрированию дифференциального уравнения колебаний вращающегося стержня

при граничных условиях

ду

Я 0,0 = 0,

ас

£у

йс2

¿5"

= 0.

где х=хИ, у = уИ, г=г/£, I = / М, П = Пу]М/с., с. =ЫП\ М- масса лопатки, П = П(0 - угловая скорость ротора, I- длина лопатки, Г- радиус диска, на котором она установлена, Е - модуль Юнга, /- момент инерции поперечного сечения, у - прогиб лопатки, х - координата поперечного сечения.

Модель представляет собой закрепленный на диске радиусом г1"' упругий невесомый стержень АВ с сосредоточенными массами т\"\ т[п),..., т'"', которые удалены от диска на расстояния

I™,..., ¿(„") соответственно (рис. 2) При этом движение массы т^ рассматривается как движение конца лопатки. Количество степеней свободы модели, обеспечивающих заданную точность модели, зависит от отношения длины лопатки к радиусу диска, на котором она закреплена. Точность приближенного решения, полученного на основе моделей с одной и с двумя степенями свободы, определена из сравнения решения задачи о колебаниях лопатки при разгоне ротора по линейному закону, полученного на основе дифференциального уравнения поперечных колебаний стержня (4), с приближенным решением, которому соответствуют выражения

"¿/V , . , . сЮ~ -+(/-• г е.1"')— ск

Рис. 2

У'[") +

аг

= 0, к=\,2,...,п

(5)

где у1п) =уУ И, /я,"" = т1;"' / Л/, 5к

(ч)

?(-)=г(«)/£> ¿М

--б^ П.

отклонение массы т)'" под действием единичной силы, приложенной к

массе от,(п) при П = 0. Величины г1'

С

опре-

деляются из рассмотрения динамической податливости К(/о) конца лопатки и динамической податливости /г'"'{со) стержня АВ в точке расположения массы т\"] в соответствии с описанным выше методом.

На основе уравнений (5) исследованы колебания рабочей лопатки компрессора авиационного ГТД при разгоне ротора до взлетного режима. Результаты расчетов показывают, что амплитуды колебаний лопатки, вызванные неравномерностью вращения ротора ГТД, имеют тот же порядок.

что и амплитуды колебаний, вызванные аэродинамической неравномерностью потока газа на взлетом режиме.

В четвертой главе получены приближенные уравнения динамики гибкого ротора, представляющего собой вал с закрепленным на нем жестким несбалансированным диском. Уравнения позволяют исследовать нестационарное движение диска во время разгона. При этом действие вала на диск приближенно представляется действием на него механической модели с конечным числом степеней свободы. Параметры модели определены на основе описанного выше приближенного метода исследования колебаний твердого тела, взаимодействующего с упругой системой. Рассматриваются два способа закрепления диска - симметрично и несимметрично относительно опор.

Рис.3

случае имеют вид:

т -jr^- + с,(х — х,) = Cjt; eos<р

_d2y ^ __ .

т ~рV + с, (у - у,) = с,е sin (р ai'

t -

' dt~!

■ c,(x - x,) + c2x, = —c,e eos(p

di

T-c,{y-yt)+ c2y, = -c,e sin (p

Приближенная механическая модель ротора для первого случая представлена на рис. 3. Точкой О обозначен след оси опор вала, А - место крепления вала к диску, С - центр масс диска, (р - угол поворота вала, Оху - неподвижная система координат. Параметры с,, сг, яг, представляют собой параметры модели, описывающей колебания среднего сечения шарнирно опертой балки под действием силы, приложенной в этом же сечении. Уравнения нестационарного движения ротора в этом

(6)

где х ~ х / £, х, у=у/£, у, = ухИ, I = /а2 / (2, т = т/М, т, / М,

с, =с, /е., с, /е., ё = е/г, У, = /, /ЛЛ\ У, = У2 / Л«3, а4 = ЕЗIф, с, - Ы! £г, М,(/)= /а4М, 1 - время, А/ = - масса вала, X -

площадь поперечного сечения вала, р - плотность материала вала, I - длина вала, х, у - координаты центра масс диска в неподвижной системе координат; х,, у, - смещения масс т, от положений, при которых упругие элементы механической системы, изображенной на рис. 3 не деформированы ( в этом случае точка А находится в начале координат Оху); т - масса диска; ./, - момент инерции вала; ,/2 - момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс; е = \.4С] - эксцентриситет, Л/, (г) -вращающий момент двигателя.

Показано, что такой подход, оставаясь достаточно простым, обеспечивает значительное повышение точности по сравнению с решением, не учитывающим инертность вала. Для случая равноускоренного вращения вала получено решение системы первых четырех уравнений (6) в замкнутом виде. Из решения следует, что прогибы вала линейно связаны с эксцентриситетом. Способность уравнений (6) достаточно точно описывать колебания диска при нестационарном вращении вала позволила разработать способ определения дисбаланса детали типа «диск». Данный способ требует разгона предварительно отбалансированного технологического вала с установленным неуравновешенным диском по заданному закону и измерения прогиба вала в определенный момент времени.

Рассмотренная выше модель гибкого ротора справедлива только для случая закрепления диска между опорами на равных расстояниях от них. В этом случае диск совершает плоское движение и на него не действуют гироскопические моменты. В более общем случае на колебания вала будут оказывать влияние гироскопические моменты диска.

Рассмотрим тонкий круглый диск, закрепленный на гибком валу. Введем следующие обозначения (рис. 4): Охуг - неподвижная система координат, ось г совпадает с осью неизогнутого вала; 5 - центр масс диска, IV - точка крепления диска к валу, е-\81У\ - линейный эксцентриситет; оси ;;, д - главные центральные оси инерции диска, -А- —I -экваториальный момент инерции, ^ - полярный момент инерции; <5 -угловой эксцентриситет, т.е. угол между осью направленной по касательной к оси изогнутого вала, и осью 1, перпендикулярной плоскости диска; % - угол между направлением и осью Н'г/,; <р - угол поворота вала, отсчитываемый оттого положения, когда отрезок Л'Л' при отсутствии прогиба вала лежит в плоскости хг \ а- угол поворота диски вочпу' ■■■с;- ,

Рис.4

Пусть вал шарнирно оперт и при t - 0 ось вала прямолинейна. Тогда, используя классическое уравнение поперечных колебаний балки в плоскости xz, находим, что прогиб и угол поворота вала могут быть представлены в виде:

*(') = Ш 77Т1-íF(f) sin 0-r)dr + '^ - \l(t) sin Ú)t (t - r)dt

fn Mt O), i tTi M¡ cok i

СО | ' Л ^ l

«(') = И ТЛ1-j^V) sin wk (f - T)dz + £ —^-j¿(r) sin cok {t - t)dz

где wt = k-jcje -jEJ/pS, M" = M/2X'(b), M? = M¡l{X'k(b))2, M¡2 = M¡] = M/2X'k(b)Xk(b), Xk(z)=smknz/E, X'k(z) = hr/£cashz/e, F, L -сила и пара сил, приложенные к диску со стороны вала, Ь - расстояние между диском и левой опорой вала. Эти уравнения можно заменить выражениями, динамически учитывающими первую форму колебаний и квази-статически все остальные:

и р

х = —¡7 + a,.F + —тт + a,,L , М" " М2 '

и р

М21 21 М22 22

I "'1 -"'I

Й1 Л^Ч М(со, <w, ¿ с, J

Уравнения движения ротора в этом случае будут иметь вид:

mx"+ vn(x-/nM-/l2p) + va{a-y1{u-ynp)- me(tp'2 cos<p + ip" sin(3), ™y " + v,, (y - r,i v - ynq) + v¡2 (P- r2, v -y22q) = me(g>'2 sin <p- (p" eos<p), Ia"+ v2l(x~yuü-yl2p) + v22{a-y2lu-ynp) =

= -hP'9' - hP<P" ~ Uo ~ Щ<Р'2 s¡n(«5 + Z) - <p"cos(<p + x)}, IP" + ^21 (У- - УпЯ) + v22{P~yuv-y21q) = (7)

= ha'V + h"<P" + Uo - M?'2 cos^ + X) + <P" sin(tp + %)}, mx" + ü" + ж2 и = m~é{ip'2 eos<p + <p" sin tp), ту" + v " + ж1 v = mc(<p'2 sin (p- <p" eos (p),

la" + p" + ¿p = -IJfqf - 1ф<р" - Ch -Щ<Р'2 M<P + X) - V" cos(<p + X)},

lp" + q" + xlq= I0a'<p' + 1йаср" + (70 - 7)4í»'2 cos(p + x) + <P" sin{<p + x)] ■

Здесь x = x/£ ,y = yU,ü=--u/(M[),v = v/(M¿),p = p/(M£1), q = q/(Ml2), т = т/М,ё = е/е,1 = 1/{М1г),1а=10/{МР.2), Р~и = /(£./), ví2 =v2l = vn¿2 /(ЕГ), v^-v^UiEJ), yn = 2 sin2 лЪ , y21 = 2л:2 cos2 жЪ , У12 = У 21 = 2;rsin¿ cos жЬ , Ь = Ъ / (., штрихом обозначена производная по безразмерному времени t - t^EJ/íMi*), v„ --ап/Д, v22 =аи/А,

^12 = ^21 =—А = ац«22-а122-

Дня оценки точности построенной модели сравниваются собственные частоты, полученные на основе классического уравнения колебаний вала и на основе уравнений (7). Погрешность системы (7) по первой собственной частоте колебаний не превышает 0,1%.

В главе 5 исследовано применение ударного ниброгасителя для снижения колебаний нестационарно вращающегося гибкого неуравновешенного ротора. Эта задача решается на основе уравнений динамики ротора (6). Также как и виброгаситель для руки промышленного робота, гаситель колебаний для ротора содержит виброгасящий элемент, который может свободно перемещаться, соударяясь со стенками вала, что приводит к рассеянию энергии колебаний.

Дополнительная сложность исследований заключается в том, что ввиду смещенности центра масс неуравновешенного диска от его геометрического центра при ударе виброгасящего элемента о стенку вала центры масс соударяющихся деталей не лежат на одной прямой, т.е. возникают внецентрепные удары. Внецеитренный удар двух тел исследован на основе

и

элементарной теории удара. Получены выражения для послеударных скоростей и ударных импульсов для трех вариантов внецентренного удара:

• скользящий удар - скорость относительного проскальзывания внутри интервала удара не изменяется по направлению.

• нескользящий удар первого рода - момент окончания скольжения принадлежит интервалу восстановления нормальной составляющей скорости.

• нескользящий удар второго рода - момент окончания проскальзывания принадлежит интервалу увеличения ударной деформации.

100 30 60 40 20 0

а) разгон без виброгасителя

лЛк

.....;

о) разгон с виброгасителем ' Рис. 5.

Оптимальный зазор виброгасителя определяется численным интегрированием приближенных уравнений движения ротора при различных комбинациях параметров системы ротор - виброгаситель. Показано, что использование такого устройства позволяет не только снизить колебания ротора, но и преодолеть последствия эффекта Зоммерфельда, проявляющегося в

I

0.6

виде «зависания» (прекращения разгона) вала вблизи критической частоты вращения. Этот эффект возникает в том случае, когда мощности внешнего источника энергии недостаточно для перевода системы через ее резонансную частоту. На рис.5 представлены кривые изменения угловой скорости ю и амплитуды прогиба вала а при нестационарном разгоне его через первую критическую скорость вращения.

ПУБЛИКАЦИИ.

1.Вернигор В.Н., Зеленков Ю.А. Исследование колебаний руки промышленного робота, снабженной ударным виброгасителем.// Машиноведение.

1987. №2. С. 14-19.

2.Вернигор В.Н., Зеленков Ю.А. О влиянии неравномерности вращения ротора газотурбинного двигателя на колебания рабочих лопаток. // Динамика и устойчивость механических систем. - JL: Изд-во Ленингр. ун-та,

1988. С.82-86.

3.Вернигор В.Н., Зеленков Ю.А. Оптимизация параметров виброударного демпфера при гашении колебаний руки промышленного робота. // Тезисы 6 Всесоюзной конференции по управлению в механических системах.-Львов, 1988. С.30.

4.Вернигор В.Н., Зеленков Ю.А. Оптимизация параметров ударного гасителя колебаний руки промышленного робота. // XV Конференция по вопросам рассеяния энергии при колебаниях механических систем. Тезисы докладов. - Киев.: Ин-т проблем прочности АН УССР, 1989. С. 33.

5.A.c. 1590725 СССР, М. кл. F16C3/00. Ротор энергетических машин./ Вернигор В .В., Зеленков Ю.А. Опубл. 07.09.90, Бюл. № 33.

6.Вернигор В.Н., Зеленков Ю.А. Об определении вектора дисбаланса деталей типа «диск».// Проблемы машиностроения и надежности машин. 1991. № 5. С.31-37.

7.3егжда С.А., Зеленков Ю.А. К вопросу об учете сил инерции вала в уравнениях динамики гибкого неуравновешенного ротора. // Динамика и устойчивость механических систем / Под ред. П.Б. Товстика. - СПб.: Изд-во С.-Петербургского ун-та. 1995. С. 31-39.

8.3еленков Ю.А. Исследование колебаний гибкого ротора с ударным виброгасителем на нестационарных режимах вращения. // Динамика, прочность и износостойкость машин. Вып. 3,1997 г. С. 51-57.