Исследование моделей многомерных стохастических динамических систем с сильной взаимосвязью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ргБ 03

2 1 М1Р «97

На правах рукописи

НЕСТЕРЕНКО ТАМАРА ВЛАДИМИРОВНА

ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ МНОГОМЕРНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С СИЛЬНОЙ ВЗАИМОСВЯЗЬЮ

01.01.02 — Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ХАБАРОВСК 1997

Работа выполнена в Амурском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Дубко В.А Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Турбин А.Ф.

доктор физико-математических наук, профессор Катрахов В. В.

Ведущая организация: Дальневосточный государственный университет

заседании специализированного Совета К 002.06.12 при Президиуме ДВО РАН по адресу: 680000, г. Хабаровск, ул. Шевченко 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Хабаровского отделения Института прикладной математики

Автореферат разослан № , ил/)'»!/) 1997 г. Ученый секретарь

Защита диссертации состоится "28" апреля 1997 года в 14

часов на

специализированного Совета

Новицкий И.М.

Актуальность темы. В зависимости от назначения математической модели динамической системы, интерес представляет обычно не общее изменение вектора решения (вектора состояния), а либо эволюции части его компонент либо функционалов от них. Это побуждает к исследованию возможности перехода от более полных модельных уравнений к уравнениям, содержащим только исследуемые переменные и отображающие с необходимой точностью их динамику.

Поскольку любая реальная система не может рассматриваться как изолированная и подчиненная строго детерминированным законам, то этот факт отражается при моделировании реальных динамических систем (физических, экономических, социальных, биологических и др.) при помощи введения случайного воздействия. Эффективные методы для осуществления такого моделирования предоставляет теория стохастических дифференциальных уравнений, основы которой были заложены H.H. Боголюбовым, И.И. Гихманом и К.Ито. Уровень современной теории стохастических дифференциальных уравнений определяется вкладом многих авторов и с достаточной полнотой, в контексте направлений исследований данной работы, отражен в книге И.И.Гихмана и A.B. Скорохода "Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения" (Киев: Наук. Думка, 1982).

Однако, при моделировании таких систем на основе стохастических дифференциальных уравнений, некритическое применение выводов классической теории дифференциальных уравнений часто приводит к существенным ошибкам. Поэтому, даже при внешнем подобии проблем, требуются специальные исследования. Сказанное относится и к задачам, исследуемым в диссертации. А именно: возможности аппроксимации динамики (решения) x,(t) конкретной подсистемы многоэлементнон (w-мернои) системы решениями системы стохастических дифференциальных уравнений конечной размерности.

Такая возможность, как показывает статистическая физика, реализуется за счет появления макропеременных, подчиняющихся своей системе уравнений. Динамика подсистем в этом случае описывается системой

уравнений, коэффициенты которого зависят от этих макропеременных и текущего состояния системы.

Исследования, проводившиеся раньше, независимо от методов и подходов ( см..например, А.В.Скороход A.B. Стохастические уравнения для сложных систем.- М.:Наука, 1983) были связаны с предположением о том, что коэффициенты, отвечающие за взаимодействие в уравнениях динамики п-мерной системы быстро убывают с "расстоянием" между подсистемами. Существует однако много задач, в которых понятие расстояния не применяется (экономические модели, модели взаимодействия видов). Хорошо изучены в этом смысле системы билинейного типа. То есть такие, в которых взаимодействие между подсистемами моделируется произведением компонент решения подсистем. В этом случае уже нельзя говорить ни о короткодействии, ни о слабом взаимодействии. Для систем билинейного типа возможно, в некоторых случаях, построить уравнение для макропеременных (см. Молчанов A.M. Билинейные системы// В кн. Вероятностные методы в биологии.- Киев: Изд-во ИМ АН УССР, 1985). Однако как в этой работе, так и в работах других авторов этот вопрос не изучался с точки зрения влияния случайных возмущений, когда число подсистем неограниченно возрастает. В работе Doobko V.A. Stochastic differential equation in modeling of open system // Frontiers in Pure and Applied Probability,v.2: Evolutionery Stochastic Systems inPhisics and Biology,- procceedings of the Third International Catsiveli Conference, 1992 г. этот вопрос был рассмотрен, и более детально исследован в наших работах (см. список литературы).

Цель работы. Исследовать предельное поведение динамического процесса, описывающего динамику выделенной подсистемы сложно организованной системы. Определить условия, при выполнении которых для такой системы (N —>-оо) можно получить замкнутую систему стохастически* дифференциальных уравнений Ито, в которых динамика выделенной подсистемы зависит только от вектора состояний этой системы и конечного числа макропеременных, которые подчинены собственной замкнутой системе стохастических уравнений.

Методика исследования. Основным моментом при доказательстве предельных теорем является установление слабой сходимости решения уравнения для выделенной подсистемы и макропеременной, когда число подсистем неограниченно возрастает.

Используются методы теории стохастических дифференциальных уравнений, алгебры.

Научная новизна. Основными результатами являются следующие:

1. Для класса исследуемых нелинейных стохастических систем первого порядка и второго порядка, но с малым параметром при старших производных установлена аналитическая связь между коэффициентами исходных стохастических систем Ито и коэффициентами предельного уравнения, решения которых в смысле слабой сходимости аппроксимируют динамику выделенной подсистемы. Построены уравнения для макропеременных, которые входят в коэффициенты уравнений для аппроксимирующих решений.

2. Доказанные предельные теоремы содержат критерии стохастизации макропеременных. Выводы этих теорем можно рассматривать как контрпримеры представлениям о том, что динамика подсистемы всегда более хаотична, чем динамика макропеременных.

3. Исследована возможность расширения класса исследуемых систем и для ряда уравнений получены точные аналитические представления их решений.

Аппробация работы. Основные результаты работы докладывались в Институте математики АН Украины (1992), на научной конференции студентов и аспирантов Политехнического института (г.Благовещенск, 1994), на международной конференции "Математические проблемы экологии" (г.Чита, 1994), на научных семинарах Биробиджанского педагогического института (рук. семинара проф. Дубко В.А., 1993-1996), на международной конференции, посвященной памяти академика Кравчука М.Н.(Киевский политехнический университет, 1995), на научных семинарах Хабаровского технического университета: "Функциональный анализ" (рук. проф. Степанов В.Д.,1996), "Дифференциальные уравнения"(рук. проф. Зарубин А.Г.,1996), на научном семинаре Хабаровского отделения Института прикладной

математики ДВО РАН (рук.семинара д.ф.-м.н.Быковский В.А.,1996), на международной конференции "Современные проблемы математики и механики", посвященной 175-летию П.Л.Чебышева (МГУ, 1996).

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, приложения и списка цитируемой литературы, насчитывающей 41 наименование. Полный объем работы 116 страниц.

Содержание работы.

Во введении выполнен краткий критический обзор основополагающих работ по моделированию динамики подсистем многоэлементных систем. Цель данного обзора - обосновать новизну выбираемого класса задач. Делается попытка мотивированного выбора вида моделей для исследования, исходя из моделей, применяющихся в естествознании.

Нумерация формул в диссертации непрерывная по главам. Для удобства восприятия содержания в автореферате введена своя нумерация формул. Первая цифра при нумерации теорем и лемм показывает номер главы, вторая - номер теоремы (леммы) в главах.

В главе 1 исследуются многомерные стохастические системы при неограниченном росте числа подсистем и наличии внешних случайных воздействий. В п. 1.1 рассматриваются модели, для которых реакция на случайные воздействия не зависит от состояния системы, вида:

'с!х,л(0 = (а(х„(0) + х„(0Ь(х„(1)))х/_/,(0<11 + ¿/(пЭсКу/О);

(I)

*я(0= ,|х„(0)| < сопй .V/ " /.и Уп>1, X/,,

,=о=*/<0)

Относительно коэффициентов предполагается выполнение следующих условий Л])'-

1) а(-),Ь{-),£/(я) - скалярные функции; хДОе^.У/ /.«;

2) - независимые винеровские процессы;

3) £•/(«) = о(1)п~а , а > 0 ст/ - ограниченные, независимые между

*

собой V I - 1,п и от (у ^ /,п) случайные величины;

4) Мо-2(/) = ог2 , V / ■ 1,п ;

5) Ит х„(0)=х(0).

п-усо

В п. 1.1.2 доказывается основная теорема данного параграфа.

Теорема 1.1 Пусть выполнены условия Ц) и а(х), Ь(х)х - непрерывны и ограничены вместе со своими производными вплоть до второй. Тогда последовательность процессов {х/„(1);х„(1)}, являющихся решением (I), когда л-> оо слабо сходится к решению {х/(1); х(1)| при а = 0.5, системы уравнений

<1х,(1) = (а(х(0) + Ъ^аМО^ЮЛ.

<1х (I) = [(а(х(0) + Ь(х(г))х(1)]х(1)(11 + от!\у(1) ;

а при а > 0.5 системы [<Ьс/(0

сП <1х(0

= (а(х (1))4-Ь(х(0)х(0)х/(0;

«11

= (а(х0)) + Ь(х(1))х(1))х(1).

В п. 1.2 исследуется предельное поведение решений для одного класса уравнений Ито многомерных систем. В п. 1.2.1 рассматривается нелинейная многомерная стохастическая система с линейной реакцией на возмущения вида:

п

<1х/1Я(о=(в/а)х/1И(1) + х/1И(1)2^1„(ох_/1Я(1))л+о-/(1)х/1Иа)(Ь,(о

У ' (2)

, = 0-х/л(0) = х/(0)./ 1.п

При выполнении условий /,;}-1),2):

') - не обязательно независимые винеровские процессы, 2) относительно РуОЬЯ/О)»0"/(О> V/ ¡,п будем предполагать, что они если и терпят разрыв, то первого рода, I е[0,Т], а на участках непрерыв-

ности удовлетворяют условию Липшица; замена

(0 = **п0) ехр|-{ (г)х;> (г)с1г|

позволяет линеаризовать исходную систему (2). При дополнительных условиях ¿г)-3),4):

3) = Р;„(1)У1=Тп,

Ох, (0)^0; VI e[0■^]■yJ 1.п

доказывается Лемма 1.5 о явном виде решения уравнения (2).

Лемма 1.5 Пусть выполнены ограничения /,2). Тогда на интервале [О.Т] решения непрерывны и имеют вид:

ехр|/(«,(г) - + |а/(г)ё№/(г)|х/(0)

1 " _ 2 / \ и 1

о 1-1 [о о |

В п. 1.2.3 установлены дополнительные условия (¿3), обеспечивающие существование предельного решения, фигурирующего в Лемме 1.5, когда/; неограниченно возрастает. Ц):

1) /7^,(1)-независимые для различных ) случайные величины, не зависящие от Ху(0);

2) = V/ Тп\

J п J

3) м

4)М

^•(1)ехр \\а]{г)Ат\

а j(т) +

= У(0. V; ¡.п;

с!г

5)

5>у<0)

1х;'(0)

< со!^; — , = г); у > 0.

В п. 1.2.3 доказана теорема.

ТЕОРЕМА 1.2. Если выполнены условия />2), Ц) и существует

1т ¿х (0) = х(0), /

то процесс х/„(1), являющийся решением уравнения (2) сходится в средне-квадратнческом к решению Х/(0 задачи с начальными условиями:

а/(0 + (1 + г(1)х(0))"1у(Ох(0)

Л + о7(0х/(0(1«г/(0,

<1х/(0 = х/(1)

с1г(1) = у(0сИ, х/(0|,=0 =х/(0);2(0) = 0.

В п. 1.2.4, представляющем самостоятельный интерес, рассмотрены возможные обобщения и расширения исходной задачи.

В п. 1.2.5, 1.2.6 исследуется более широкая система, чем в п. 1.2.1 вида:

т

с1х(0=[Ах(0 + (/?(1),х(0)х0)]<11+ 2>п.(1)0*х(1),

к 1

п к

где х(1)еЯ -матрицы (их л) с элементами а/у (1),с1 . ДО;/7(0 -вектор с

компонентами /7/(1), V/ /, п, w^(t)- вннеровские процессы, (-,•)- скалярное

произведение. Показано, что существует общее решение этой системы при ограничении: функция

ч(1) = (ДО,

Т+ ехр|/А(г)с1г- 104(г)Э1(г)(1г+ (г)]

к I

к 10

Х(0))

меньше нуля Vt е[0;Т] (Т* - оператор хронологического упорядочения; d Wk (t) - приращение от винеровского процесса в форме Стратоновича). Рассмотрен частный случай этого решения (Теорема 1.3) при условии постоянства матриц A.D.

В главе 2 исследуются многомерные стохастические системы , моделируемые стохастическими дифференциальными уравнениями Ито второго порядка с малым параметром при старшей производной, когда число подсистем неограниченно возрастает. В п.2.1 проводятся специальные математические исследования, мотивирующие выбор класса сингулярно возмущенных систем стохастических дифференциальных уравнений, билинейных по быстрой компоненте. Основным при выборе таких систем являлось требование возможности аппроксимации медленных составляющих диффузионными процессами. В п.2. 2 формулируется основной алгоритм дальнейших исследований системы

rfy,-(e;t)=[-a(x(i,t);>?)y/(«;t) + eQ((x(«;t).^))y/(«;tXy(«;t).>?)]dt +

+ fi((x(E;t),ß);t)dt + aidw|.(t), (3)

dx/(E;t) = yI(e;t)dt,

ß,x.y eR";£-->0;te[0;T],/ Tri.

При выполнении условий L4):

0 wi (0 - независимые винеровские процессы; ßt (t),cr/ (t) - независимые между собой и от w, (t) одинаково распределенные случайные величины ограниченной вариации,

2)а(х;/3) >0; f,(x;/9;t); Q(q)- скалярные функции, непрерывные и ограниченные со своими производными до второй по х; q и t,

|(f(x;/?;t),/7)| < const V/9;

3)

V 2

jQ(u)du

<const; Vy|,y2 eR1;

4) сМу,б(0)| = с{еа'а' >¿/,/у>0 доказана теорема.

ТЕОРЕМА 2.1 Пусть х(г^0 - решение исходной системы стохастических дифференциальных уравнений (3). Тогда при выполнении требований !.*) для решения системы возможно представление

2* /7X1

±1 а-1 (х(г, г);^)а"|(х(г> г);/?)/7, <х/<1г а"1 (х(г; (г) +

I1

+

+1 а"1 (х(г, г);/?К, (х(гг, г); Д г)ёг + 13(е%;/), о

где 2 '(х;/7) = а 1 (х;/?)0((х,/7)), а через 1з(г7''2,/) обозначены слагаемые, для

которых при любом фиксированном п: М

= 0(*).Вп. 2.2.4 на

основе Теоремы 2.1 строится основное интегральное урав-нение для медленной составляющей макропеременной : =(,х(£;1),/3). В п.2.3 доказывается основная теорема Главы 2 об асимптотическом представлении уравнений, описывающих динамику выделенной подсистемы при неограниченном росте их числа (п) для исследуемого класса сингулярно возмущенных стохастических систем. В п. 2.3.1 устанавливаются основные ограничения (/,5), позволяющие осуществить предельный переход по п.

/*):

1) а(х(г.= а((х(г,IШ. О (*(«: 0; ДI) = Г{{х(е, 1),/?))х/ (г, I);

2)м|<х/| = а~\ V/ /,л где а, =(Т/Па ,а>0;

3) м[/?/1 = у32; V/

О

4) С3+^м[(Ду(0))6] = 0(^).^>0;

6) /.,./я.Ч„(0) = Ч(0).

/1-» 00

В п. 2.3.3 доказана основная теорема Главы 2. ТЕОРЕМА 2.2 Пусть выполнены условия Ц), ¿5), тогда при п—><х> последовательность процессов {х, (£'(л);0;Ч/|(£(я);0}> являющихся решением исходной системы (3) слабо сходится к решению {х/(0;ч(1)} системы уравнений

при а = 0,5 следующего вида

с1ху (I) = X, ? (я(1))а-1 Сч(1))с11,

ёЧ(1) =

2 ¿ц 2

+а_1 (ч(0)ч0К(ч(0)

Л + суйГ^яО^О);

при а > 0,5

«1х/(0 = х|-(0Г(ч(1))а-,(я(1))(Й,

^ЧО) = ч0)?(ч(0)а~' (я(О)ск.

При а <0,5 решения системы при указанных ограничениях Ы), ¿5 ) не существует.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[5]

I. Духовная Т.В. О некоторых особенностях динамики систем при малых случайных возмущениях/ Деп. № 1347-В-93, ВИНИТИ, 1993,- 10с.

2. Веселовский М.В., Дубко В.А., Духовная Т.В. Применение теории многоэлементных систем при построении и исследовании моделей бносистем// Международная конференция "Математические проблемы экологии", тез. докл. ,Чита, I994.C.30-3I

3. Дубко В.А., Духовная Т.В. Появление когерентного случайного воздействия в возмущенных системах с нелинейным взаимодействием// УеждународнГг HayMufz конференциг, посвящ. памяти академика Кравчука М.Н., тез. докл., Киев. 1995, 2с

4. Нестеренко Т.В. Роль малых стохастических возмущении в динамике /V - мерных систем билинейного типа// Препринт № 11-96, Хабаровск: Ин-т прикладной математики ДВО РАН, 1996, -11с.

5. Дубко В.А., Нестеренко Т.В. Исследование одного класса уравнений Ито билинейного типа и их решений// Препринт № 10-96,- Хабаровск: Ин-т прикладной математики ДВО РАН, 1996,-9с.

6. Дубко В.А..Нестеренко Т.В. Построение точного решения для одного класса нелинейных уравнений Ито// В сб. Нелинейные краевые задачи математической физики и их применение.-Киев:Изд-во ИМ HAH Украины, 1996, с. 106-108