Исследование моделей принятия решений в условиях четкой и нечеткой информации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ЧЕТКОЙ ИНФОРМАЦИИ.

1. Постановка задачи.

1.1. Понятие математической модели принятия решений.

1.2. Сущность исследования моделей принятия решений. Постановка задачи и обзор проблемы.

2. Бинарные отношения и обобщенное математическое программирование.

2.1. Простейшая структура в пространстве четких бинарных отношений.

2.2. Задача обобщенного математического программирования и ее преимущества по сравнению с задачами оптимального выбора и классического математического программирования.

2.3. Задача многошагового обобщенного математического программирования. Информационная структура.

2.4. Достаточные условия существования оптимальных решений в задаче обобщенного математического программирования.

3. Бинарные отношения в пространстве бинарных отношений.

3.1. Распространение бинарных отношений с множества допустимых ситуаций на множество пар допустимых ситуаций.

3.2. Принципы упорядочения бинарных отношений и их аксиоматическое задание.

3.3. Понятие способа реализации принципа упорядочения бинарных отношений

3.4. Принцип согласования (С). Способы реализации и их иерархическая структура.

3.5. Принцип расширения (Р). Способы реализации и их иерархическая структура.

3.6. Принцип насыщения (Н). Способы реализации и их иерархическая структура.

3.7. Принцип сближения (Б) и способ его реализации. Эталонная реализация принципов упорядочения.

ГЛАВА И. МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕЧЕТКОЙ ИНФОРМАЦИИ.

4. Распространение вопросов упорядочения четких бинарных отношений на нечеткий случай.

4.1. Простейшая структура в пространстве нечетких бинарных отношений и ее основные отличия от четкого случая.

4.2. Нечеткость и «почти» оптимальность. Моделирование задач обобщенного математического программирования в нечетком случае.

4.3. Принцип размывания (М) и его местоположение в иерархической структуре принципов упорядочения бинарных отношений.

5. Упорядочение бинарных отношений, основанное на понятиях аппроксимации и регуляризации принципов оптимальности.

5.1. Проблема устойчивости принципов оптимальности. Пример неустойчивого принципа оптимальности.

5.2. Различные понятия устойчивости принципов оптимальности и взаимосвязи между ними.

5.3. Аппроксимация и регуляризация принципов оптимальности.

5.4. Принцип стабилизации (Т) и его местоположение в иерархической структуре принципов упорядочения бинарных отношений.

6. Общая методология априорного исследования математических моделей принятия решений.

6.1. Одноэтапные математические модели принятия решений.

6.2. Многоэтапные математические модели принятия решений.

ГЛАВА III. МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ТАРИФНОЙ ПОЛИТИКОЙ В ТОПЛИВНО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКОМ КОМПЛЕКСЕ РЕГИОНА.

7. Математические модели управления тарифной политикой в топливно-энергетическом комплексе региона.

7.1. Особенности ценообразования в условиях естественной монополии. Двухуровневая модель принятия решений.

7.2. Перспективное планирование расходной части баланса энергоснаб-жающей организации.

7.3. Перспективное планирование доходной части баланса энергоснаб-жающей организации.

7.4. Математические модели управления тарифной политикой в условиях нечеткой информации.

7.5. Исследование математических моделей управления тарифной политикой в топливно-энергетическом комплексе региона.

8. Вычислительный эксперимент, апробация и анализ результатов.

В последние несколько десятилетий отмечается заметное развитие математической теории принятия решений, связанное с именами К. Эрроу, Дж. фон Неймана, О. Моргенштерна, П. Фишбериа, Л. Саваджа, Д. Пакарда, Э. Мулена, Л. Заде, Р. Беллмана и многих других. В последние годы были получены существенные результаты в области аксиоматических основ предпочтения и полезности, субъективной вероятности, мер возможности и необходимости, анализа устойчивости, регуляризации и других важных свойств оптимальных решений.

Данная работа является попыткой продолжить исследования в области теории принятия решений в условиях четкой и нечеткой информации.

Актуальность работы. В настоящее время проблематика социально-экономических систем сопряжена с необходимостью согласования и совместной оптимизации различных направлений деятельности и развития современного общества. Поэтому задачи принятия решений, возникающие при исследовании такого рода систем, носят многогранный характер, который выражается не только в множественности участников, их интересов и сложности взаимных влияний, но и в значительной трудоемкости разработки критериев общественной полезности конечных результатов, учитывающих целый комплекс различных показателей и многосторонних целей. Эффективные методы принятия решений в столь сложных системах могут быть разработаны только лишь на основании специально предназначенного для этого математического аппарата.

Однако усложнение социально-экономической жизни общества привело к тому, что такой развитый и обширный раздел прикладной математики, как математическая теория принятия решений и оптимального выбора, в настоящее время вынужден использовать различные подходы и инструментарии для решения различных задач прикладного характера, а в ряде случаев и вовсе оказывается недостаточным для принятия оптимальных решений. Данная проблема связана с тем, что в данной теории, как правило, априори предполагаются заданными некоторые числовые критерии полезности допустимых альтернатив 6 участников. Но так как при принятии решений в социально-экономических системах ключевую роль играет человеческий фактор, то построение таких числовых критериев, даже если и возможно, то достаточно трудоемко или вообще неразрешимо, по крайней мере, в рамках систематического подхода.

Необходимость разрешения указанной проблемы стала причиной активного развития в последнее время исследований, связанных с разработкой универсальных моделей и методов для поиска и изучения свойств решений прикладных социально-экономических задач вне зависимости от их специфических особенностей. Такие исследования, в основном, исходят из общего определения математической модели принятия решений, в котором ключевая роль принадлежит понятиям отношений на множествах допустимых альтернатив участников и ситуаций. Настоящая работа является попыткой продолжить исследования в данном направлении в условиях четкой и нечеткой информации.

Такие отличительные черты социально-экономических систем как множественность участников, заинтересованных в получаемых результатах, их интересов, а также возможных вариантов развития событий приводят к возможности возникновения целой совокупности различных оптимумов. При условии же, что различные участники могут придерживаться различных, оптимальных по их мнению, стратегий поведения, возникает необходимость сравнения оптимальных множеств, что математически означает необходимость упорядочения не отдельных элементов множества допустимых ситуаций, а его подмножеств.

Рассмотрение такого рода вопросов может быть отнесено к области «апостериорного» исследования моделей принятия решений, так как оно предполагает, что осуществлен поиск всего множества оптимальных решений, причем значительное число раз. Усложнение же исходных постановок задач и используемых для их формализации математических инструментариев делает не применимыми традиционные методы поиска оптимальных решений и приводит к необходимости разработки новых универсальных «диалоговых» процедур, основная идея которых состоит в постоянном взаимодействии программного 7 комплекса (диалоговой системы) с лицом, принимающим решения (ЛПР). В результате, процесс поиска оптимальных решений существенно усложняется, а время на его реализацию возрастает.

Однако по мере усложнения социально-экономических отношений и развития информационных технологий вопрос о снижении времени на принятие решений с постепенным переходом к системам принятия решений в режиме «on-line» становится все более актуальным, что приводит к необходимости разработки других механизмов согласования множеств оптимальных решений.

Один из возможных путей решения данной проблемы можно видеть, если связывать множества результатов с бинарными отношениями. Упорядочение таких отношений проводится до запуска процедур поиска решений, и поэтому такое упорядочение можно назвать «априорным» исследованием моделей принятия решений. При этом основная задача должна состоять в разработке единой методологической схемы априорного исследования, и если следовать традициям теории полезности и принятия решений, то в качестве основного математического инструментария следует избрать аксиоматический подход. Построенная в результате проведения таких исследований структура в пространстве бинарных отношений позволит, не приступая к поиску оптимумов, априори гарантировать определенные свойства получаемых множеств оптимальных решений и тем самым отбраковывать «неконкурентоспособные» составляющие.

Однако при моделировании процедур принятия решений, возникающих в реальной действительности, практически все исследуемые процессы являются многоэтапными. Многоэтапность при этом может пониматься в самых различных смыслах, а именно как наличие: периодов принятия решений, разделенных во времени, на которых совершаются однородные по своему содержанию операции; одного временного периода, на котором различные по своему содержанию операции совершаются на иерархической последовательности уровней; одного временного периода, на котором однородные по своему содер8 жанию операции совершаются различными участниками; одного временного периода, на котором однородные по своему содержанию операции совершаются на основании уточненных данных, полученных в результате реализации предыдущих операций.

Но вне зависимости от того, каким содержательным смыслом наполнена многоэтапность процессов принятия решений в каждой конкретной задаче, переход от одноэтапных к многоэтапным моделям принятия решений приводит к необходимости проведения ряда дополнительных исследований.

Во-первых, при планировании на перспективу параметры модели уже утрачивают детерминированный характер, что становится причиной выбора инструментария для учета возникающей неопределенности. При этом в условиях оперирования не числовыми функциональными критериями качества, а отношениями на допустимых множествах, а также в связи с необходимостью максимально полного учета человеческого фактора и невозможности в ряде случаев накопить историю реализации неопределенных параметров модели, наиболее целесообразным представляется использование при принятии решений в социально-экономических системах аппаратов теории нечетких множеств и основанной на ней теории возможностей.

Во-вторых, недетерминированный характер моделей принятия решений требует предусмотреть возможность сохранения значений и свойств оптимальных решений при фактической реализации значений параметров, отличных от плановых, а значит, и необходимость выполнения свойств устойчивости оптимальных решений. Если же свойство устойчивости не выполняется, то исходную математическую модель нельзя считать корректной, и она должна быть в некотором смысле регуляризована другой моделью.

В-третьих, структуры в пространстве бинарных отношений, построенные на каждом шаге многоэтапного процесса, могут не сохраняться вдоль всего процесса, а следовательно, достигнутые по его окончанию множества оптимальных решений могут не обладать теми свойствами, которые были получены 9 на каждом шаге и которые предполагалось получить в ходе реализации всего процесса. Как результат, возникает необходимость построения и исследования не только локальных упорядочений бинарных отношений в моделях принятия решений, но и их упорядочений в глобальном смысле.

Полученные результаты проводимых исследований могут успешно применяться при принятии инновационных, инвестиционных, социальных, политических решений, при анализе и стратегическом планировании хозяйственной деятельности как отдельных предприятий, так и отраслей народного хозяйства в целом, при разработке лингвистических моделей, систем имитационного моделирования и искусственного интеллекта, баз знаний, нейронных сетей, автоматизированных экспертно-аналитических систем поддержки принятия решений, а также в дальнейших исследованиях и разработках в области принятия решений в условиях четкой и нечеткой информации.

Широта применения результатов диссертационной работы говорит об ее актуальности.

Целью диссертационной работы является: разработка и исследование принципов упорядочения бинарных отношений в моделях принятия решений, конструктивных механизмов реализации данных принципов и построения на их основе структуры в пространстве четких бинарных отношений; распространение упорядочений из пространства четких в пространство нечетких бинарных отношений в моделях принятия решений, исследование проблем устойчивости принимаемых решений; исследование многоэтапных моделей принятия решений и упорядочений последовательностей бинарных отношений в моделях принятия решений; применение разработанного инструментария к прикладным математическим моделям принятия решений.

Методы исследования. В работе используются аппараты теории полезности и принятия решений, выпуклого анализа, исследования операций, обоб

10 щенного математического программирования, математической логики, теории нечетких множеств, возможностного программирования, теории устойчивости.

Научная новизна. В диссертационной работе используется новый систематический подход к исследованию упорядочений в пространстве бинарных отношений в моделях принятия решений. Благодаря введению в рассмотрение принципов упорядочения отношений, их аксиоматическому заданию и разработке способов реализации появилась возможность для построения структуры в пространстве четких бинарных отношений в моделях принятия решений.

Использование для учета неопределенностей аппаратов теории нечетких множеств и теории возможностей позволило разработать принцип размывания упорядочения бинарных отношений, провести исследования устойчивости и регуляризации принципов оптимальности, порожденных данными бинарными отношениями, распространить структуру из пространства четких в пространство нечетких бинарных отношений в моделях принятия решений и построить общую методологию априорного исследования моделей принятия решений.

Выбор в качестве исходной постановки задачи обобщенного математического программирования позволяет применять предложенный инструментарий для широко класса прикладных задач. В диссертации его применение продемонстрировано на примере разработанных математических моделей управления тарифной политикой в топливно-энергетическом комплексе региона.

Степень обоснованности и достоверности научных положений и выводов. Все результаты диссертационной работы строго доказаны в соответствующих утверждениях, что говорит об их достоверности.

Научная новизна результатов. Все результаты, полученные в диссертационной работе, являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Исследование, проведенное в диссертационной работе, является законченным.

Результаты исследований диссертационной работы, предложенные математические модели управления тарифной политикой в топливно-энергети

11 ческом комплексе региона, инструментарий для их исследования, а также созданная на их основе автоматизированная система поддержки принятия решений успешно внедрены в практику работы Региональной энергетической комиссии (РЭК) Санкт-Петербурга (имеется соответствующий Акт о внедрении, приведенный в Приложении 1 к диссертационной работе).

Апробация результатов исследования. Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинарах кафедры математической теории экономических решений факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета, на XXX-XXXIII научных конференциях «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, СПбГУ, 1999-2002), 1-П Международных научно-практических конференциях «Финансовые проблемы РФ и пути их решения: теория и практика» (Санкт-Петербург, СПбГТУ, 2000-2001), Всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, ТулГУ, 2000), III Международной научно-практической конференции «Экономические реформы в России» (Санкт-Петербург, СПбГТУ, 2000), Всероссийской конференции «Общие проблемы управления и их приложения к математической экономике» (Тамбов, ТГУ, 2000), 3-4-й Международных научно-практических конференциях «Экономика, экология и общество России в 21-м столетии» (Санкт-Петербург, СПбГТУ, 2001-2002), 3-ем Всероссийском симпозиуме «Стратегическое планирование и развитие предприятий» (Москва, ЦЭМИ РАН, 2002), на заседаниях Общественного консультативно-экспертного совета при Региональной энергетической комиссии (РЭК) Санкт-Петербурга, а также были использованы в программах курса по выбору «Методы прикладной математики в экономике» и специального курса «Теория решений».

Результаты исследования отражены в работах [17,26-35,50,73-78].

12

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей диссертационной работе были получены следующие основные результаты.

1. Рассмотрено общее понятие математической модели принятия решений. Обоснована необходимость и осуществлена постановка проблемы априорного исследования моделей принятия решений. Произведен обоснованный выбор теории обобщенного математического программирования как инструментария для формализации широкого класса математических моделей принятия решений. Доказаны достаточные условия существования оптимальных решений в задаче обобщенного математического программирования.

2. Разработаны принципы согласования, расширения, насыщения и сближения упорядочения бинарных отношений в моделях принятия решений, произведено их аксиоматическое задание. Введены понятия способа реализации и отношения более адекватной реализации принципа упорядочения бинарных отношений. Разработаны конкретные виды бинарных отношений в пространстве бинарных отношений и доказано, что они являются способами реализации принципов упорядочения бинарных отношений в моделях принятия решений. Построена иерархическая структура данных принципов, что позволило структурировать пространство четких бинарных отношений.

3. Рассмотрены различные подходы к построению эталонных бинарных отношений в моделях принятия решений. Введено понятие эталонной реализации принципов упорядочения бинарных отношений. Построены конкретные виды эталонных бинарных отношений, что позволило доказать результат об эталонной реализации всех разработанных принципов упорядочения.

4. Обоснована необходимость использования в моделях принятия решений нечетких бинарных отношений. Разработан принцип размывания упорядочения нечетких бинарных отношений. Произведено распространение структуры из пространства четких в пространство нечетких бинарных отношений.

5. Введены различные понятия устойчивости принципов оптимальности,

139 порожденных нечеткими бинарными отношениями. Доказаны результаты о взаимосвязи между данными понятиями. Введены понятия аппроксимации и регуляризации принципов оптимальности, соответствующие определениям устойчивости. Доказаны достаточные условия регуляризации принципов оптимальности, порожденных нечеткими бинарными отношениями. Разработан принцип стабилизации упорядочения бинарных отношений и построены конкретные способы его реализации.

6. Введены понятия локального и глобального упорядочения последовательностей бинарных отношений в моделях принятия решений. Доказаны достаточные условия глобального упорядочения последовательностей бинарных отношений.

7. Разработаны математические модели управления тарифной политикой в ТЭК региона. Произведено исследование данных моделей посредством предложенного в работе инструментария, что позволило привести ряд предложений по оптимизации тарифной политики в области энергоснабжения. На языке Visual Basic создан программный комплекс для реализации предложенных математических моделей. Математические модели и программный комплекс внедрены в практику работы Региональной энергетической комиссии (РЭК) Санкт-Петербурга (имеется Акт о внедрении, приведенный в Приложении 1 к диссертационной работе).

Полученные результаты могут успешно применяться при принятии инновационных, инвестиционных, социальных, политических решений, при анализе и стратегическом планировании хозяйственной деятельности как отдельных предприятий, так и отраслей народного хозяйства в целом, при разработке лингвистических моделей, систем имитационного моделирования и искусственного интеллекта, баз знаний, нейронных сетей, автоматизированных экспертно-аналитических систем поддержки принятия решений, а также в дальнейших исследованиях и разработках в области принятия решений в условиях четкой и нечеткой информации.

140

1. Батыршин И.З. Методы представления и обработки нечеткой информации в интеллектуальных системах // Новости искусственного интеллекта. -1996. -№2.-С. 9-65.

2. Батыршин И.З. О транзитивности размытых упорядочений // Исследование операций и аналитическое проектирование в технике. Казань: КАИ, 1979.-С. 67-73.

3. Беллман Р., Заде JI. Принятие решений в расплывчатых условиях // Вопросы анализа и процедуры принятия решений. М.: Мир, 1976. - С. 172215.

4. Белянин A.B. Ожидаемая полезность и обращение предпочтений: теория и эксперимент // Экономика и математические методы. 1998. - Том 34. -С. 77-96.

5. Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984. - 566 с.

6. Борисов А.Н. и др. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений / Борисов А.Н., Алексеев A.B., Меркурьева Г.В., Слядзь H.H., Глушков В.И. М.: Наука, 1989. - 303 с.

7. Борисов А.Н. и др. Принятие решений на основе нечетких моделей: примеры использования / Борисов А.Н., Крумберг O.A., Федоров И.П. Рига: Зинатне, 1990. - 184 с.

8. Брук В.М. Адекватность моделей бинарных отношений // Автоматика и телемеханика. 1990. - №9. - С. 172-175.

9. Быкова И.Ю. Исследование проблем принятия решений в условиях неполной информации: Автореферат дисс. канд. физ.-мат. наук. СПб, 1999. -18 с.

10. Вилкас Э.И. Оптимальность в играх и решениях. М.: Наука, 1990. -253 с.

11. Вилкас Э.Й., Майминас Е.З. Решения: теория, информация, моделирование. -М.: Радио и связь, 1981. 328 с.141

12. Виноградская Т.М. Структуры множества альтернатив и предпочтений в задачах выбора // Сб. тр. Института проблем управления — 1979. — №20. -С. 76-83.

13. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971.-383 с.

14. Гольштейн Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения. М.: Наука, 1971. - 351 с.

15. Гольштейн Е.Г., Борисова Э.П., Дубсон М.С. Диалоговая система анализа многокритериальных задач // Экономика и математические методы. -1990. Том 26. - №4. - С. 698-709.

16. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике М.: Радио и связь, 1990. - 288 с.

17. Жукова Е.В., Шагов A.B. Принятие решений на нечетких множествах // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXII науч. конф. СПб: СПбГУ, 2001. - С. 366-370.

18. Жуковин В.Е. Нечеткие многокритериальные модели принятия решений. Тбилиси: Мецниераба, 1988. - 71 с.

19. Задачи выбора на четких и нечетких данных: Сб. тр. ВНИИ системных исследований. 1988. - Вып. 6. - 88 с.

20. Заде JI. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений // Математика сегодня. М.: Знание, 1974. - С. 5-49.

21. Заде JI. Понятие лингвистической переменной и его приложения к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976. - 165 с.

22. Зубов В.И., Петросян JI.A. Задача распределения капиталовложений. -Л.: ЛГУ, 1971.-24 с.

23. Зубов В.И., Петросян Л.А. Математические методы в планировании. -Л.: ЛГУ, 1982.- 112 с.

24. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. -М.: Мир, 1964. 838 с.142

25. Кирута А.Я. и др. Оптимальный выбор распределений с сложных социально-экономических задачах (вероятностный подход) / Кирута А.Я., Рубинов A.M., Яновская Е.Б. Л.: Наука, 1980. - 167 с.

26. Колбин В.В., Шагов A.B. Модели принятия решений: Учебное пособие к специальному курсу «Теория решений». СПб: СПбГУ, 2002. - 48 с.

27. Колбин В.В., Шагов A.B. Модели принятия решений в условиях нечеткой информации: Учебное пособие к специальному курсу «Теория решений». СПб: СПбГУ, 2002. - 34 с.

28. Колбин В.В., Шагов A.B. Модель распределения ресурсов в терминах отношений предпочтения II Современные проблемы математики, механики, информатики: Тез. докл. Всеросс. науч. конф. Тула: ТулГУ, 2000. - С. MS-ISO.

29. Колбин В.В., Шагов A.B. Перспективное планирование в терминах обобщенного математического программирования П Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2000. - Том 5. - С. 460462.

30. Колбин В.В., Шагов A.B. Прикладная математическая модель конфликтного управления: Учебное пособие к специальному курсу «Теория решений». СПб: СПбГУ, 2002. - 40 с.

31. Колбин В.В., Шагов A.B. Ценообразование в условиях естественной монополии // Экономические реформы в России: Материалы III международной науч.-практ. конф. СПб: Нестор, 2000. - С. 213-214.

32. Колбин В.В., Шагов A.B. Эффективное распределение капиталовложений в условиях нечеткой информации // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXI науч. конф. СПб: СПбГУ, 2000. - С. 438-446.

33. Корниенко И.А. Бинарные отношения множеств и многокритериальные задачи оптимизации в условиях неопределенности // Сб. тр. ВНИИ системных исследований. 1986. - Вып. 19. - С. 47-53.

34. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Наука, 1982.-482 с.

35. Кузьмин В.Б. Построение групповых решений в пространствах четких и нечетких бинарных отношений. М.: Наука, 1982. — 168 с.

36. Макаров И.М. и др. Теория выбора и принятия решений / Макаров И.М., Виноградская Т.М., Рубчинский A.M., Соколов В.Б. М.: Наука, 1982.-328 с.

37. Молодцов Д.А. Регуляризация множества точек Парето // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1978. - Том 18. - С. 597602.

38. Молодцов Д.А. Устойчивость и регуляризация принципов оптимальности // Журнал вычислительной математики и математической физики. -1980. — Том 20. С. 1117-1129.

39. Молодцов Д.А. Устойчивость принципов оптимальности. М.: Наука, 1987.-280 с.

40. Моркелюнас А. Групповой выбор из множеств подмножеств // Мате-матич. методы в социальных науках. Вильнюс, 1981. - Вып. 14. - С. 19-32.144

41. Моркелюнас А. О выборе из наборов множеств // Математические методы в социальных науках. Вильнюс, 1981. - Вып. 14. - С. 33-50.

42. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: аксиомы и модели. М.: Мир, 1991.-463 с.

43. Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970. - 707 с.

44. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта/Под ред. Д.А. Поспелова. -М.: Наука, 1986. 312 с.

45. Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения/Под ред. P.P. Ягера. М.: Радио и связь, 1986. - 408 с.

46. Нечеткие системы поддержки принятия решений/Под ред. A.B. Язе-нина. Калинин: КГУ, 1989. - 108 с.

47. Окунцева С.И., Шагов A.B. Применение стохастического доминирования в моделях распределения ресурсов // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXII науч. конф. СПб: СПбГУ, 2001. - С. 419-424.

48. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. М.: Наука, 1981. - 208 с.

49. Петросян JI.A. Дифференциальная игра распределения капиталовложений и ресурсов // Управляемые динамические системы. Саранск, 1991. -С. 4-11.

50. Подиновский В.В. Эффективные последовательности и их свойства // Математические методы в социальных науках. Вильнюс, 1972. - Вып. 2 — С. 75-88.

51. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. - 254 с.

52. Поспелов Д.А. Ситуационное управление: Теория и практика. М.: Наука, 1986. - 284 с.

53. Пытьев Ю.П. Возможность. Элементы теории и применения. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 192 с.145

54. Разработка принципов формирования тарифной политики Санкт-Петербурга и ОАО «Ленэнерго» в области обеспечения города электрической и тепловой энергией: Промеж, отч. ООО «Балт-Аудит-Эксперт» по первому этапу работ по Договору №1/2000. СПб, 2000. - 74 с.

55. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. - 472 с.

56. Рыжов А.П. Элементы теории нечетких множеств и измерения нечеткости. -М.: Диалог-МГУ, 1998. 116 с.

57. Силов В.Б. Принятие стратегических решений в нечеткой обстановке в макроэкономике, политике, социологии, менеджменте, экономике, медицине.-М.: ИНПРО-РЕС, 1995.-229 с.

58. Современное состояние теории исследования операций/Под ред. Н.Н. Моисеева. М.: Наука, 1979. - 464 с.

59. Создание программного комплекса автоматизированного расчета тарифов на электрическую и тепловую энергию: Отч. ОАО «Научно-технологический парк «Санкт-Петербург» о выполнении работ по Договору №6-РЭК от 21.09.2001 (с приложениями). СПб, 2001. - 167 с.

60. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1979.-285 с.

61. Трухаев Р.И. Методы инфлюентного анализа высоких порядков. Л.: Наука, 1987.-257 с.

62. Трухаев Р.И. Элементы инфлюентного анализа динамических систем // Вопросы механики и процессов управления. 1989. - Вып. 12. - С. 161169.

63. Трухаев Р.И., Горшков И.С. Факторный анализ в организационных системах. М.: Радио и связь, 1985. - 184 с.146

64. Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. М.: Наука, 1978.-352 с.

65. Хазин В. Аксиоматическая характеризация функции расстояния на системе пар отношений предпочтения и интенсивностей этих предпочтений // Математические методы в социальных науках. Вильнюс, 1987. - Вып. 20.-С. 74-81.

66. Харшаньи Дж., Зельтен Р. Общая теория выбора равновесия в играх: Пер. с англ./Под ред. H.A. Зенкевича. СПб: Экономическая школа, 2001. -424 с.

67. Хованов Н.В. Математические модели риска и неопределенности. -СПб: СПбГУ, 1998.-201 с.

68. Хоменюк В.В. Элементы теории многоцелевой оптимизации. М.: Наука, 1983. - 124 с.

69. Шагов A.B. Исследование упорядочений в пространстве бинарных отношений // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXIII науч. конф. СПб: СПбГУ, 2002. - С. 438-447.

70. Шагов A.B. Модель оптимизации с принципом выбора несобственно эффективности Джеффри // Процессы управления и устойчивость: Труды XXX научной конференции. СПб: СПбГУ, 1999. - С. 542-546.

71. Шагов A.B. Нормирование затрат на ремонт основных фондов энерго-снабжающих организаций // Экономика, экология и общество России в 21-м столетии: Труды 4-й Международной науч.-практ. конф. Том 3. СПб: Нестор, 2002.-С. 67-73.

72. Шагов A.B. Основные приложения исследования отношений предпочтения на подмножествах данного множества // Современные проблемы математики, механики, информатики: Тез. докл. Всеросс. науч. конф. Тула: ТулГУ, 2000.-С. 193-194.

73. Шагов A.B. Основные принципы упорядочивания бинарных отношений и некоторые способы их реализации // Процессы управления и устойчи147вость: Труды XXXII науч. конф. СПб: СПбГУ, 2001. - С. 444-452.

74. Шагов A.B. Стратегическое планирование как процесс установления нормативных значений // Стратегическое планирование и развитие предприятий: Тез. докл. и сообщ. 3-его Всеросс. симпозиума. Секция 1. — М.: ЦЭМИ РАН, 2002.-С. 124-125.

75. Шоломов JI.A. Агрегирование линейных порядков в задачах группового выбора // Автоматика и телемеханика. 1998. - №2. - С. 113-122.

76. Шоломов JI.A., Юдин Д.Б. Синтез многошаговых схем выбора // Автоматика и телемеханика. 1986. - №10. - С. 115-129.

77. Шоломов Л.А., Юдин Д.Б. Сложность многошаговых схем выбора // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1988. - №4. - С. 13-22.

78. Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. М.: Наука, 1971. -256 с.

79. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация: Теория, вычисления и приложения. М.: Радио и связь, 1992. - 504 с.

80. Юдин Д.Б. Вычислительные методы теории принятия решений. М.: Наука, 1989.-319 с.

81. Юдин Д.Б. Математическое программирование в порядковых шкалах // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1982. - №2. — С. 3-17.

82. Юдин Д.Б. Многослойные нейронные сети и многошаговое обобщенное математическое программирование // Доклады РАН. 1996. - Том 348.-С. 173-175.

83. Юдин Д.Б. Обобщенное математическое программирование // Экономика и математические методы. 1984. - Том 20.-С. 148-167.

84. Юдин Д.Б., Шоломов Л.А. Обобщенное математическое программирование и функции выбора // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. -1985.-№3.-С. 3-16.

85. Язенин A.B. Квазиэффективные решения задач многокритериальной нечеткой оптимизации // Известия АН СССР. Техническая кибернетика.1481992. -№5.- С. 163-170.

86. Язенин А.В. Модели возможностного программирования в оптимизации систем// Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1991. - №5. -С.133-142.

87. Язенин А.В. Моделирование ограничений в задачах возможностного линейного программирования // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1994. - №2. - С. 84-88.

88. Bandyopadhyay Т. Extension of an order on a set to the power set: some further observations //Math. Soc. Sci. 1988. - Vol. 15. - P. 81-85.

89. Bank В., Guddat J., Klatte D., Kummer В., Tammer K. Non-linear parametric optimization. Berlin: Akademie-Verlag, 1982. - 228 pp.

90. Barbera S., Pattanaik P.K. Extending an order on a set to the power set: some remarks on Kannai and Peleg's approach // J. Econ. Theory. 1984. -Vol. 32.-P. 185-191.

91. Barrett C.R., Pattanaik P.K., Salles M. On choosing rationally when preferences are fuzzy // Fuzzy Sets and Systems. 1990. - Vol. 34. - P. 197-212.

92. Bellman R.E., Giertz M. On the analytic formalism of the theory of fuzzy sets//Inf Sci. 1973.-Vol. 5.-P. 149-156.

93. Bellman RE., Zadeh L.A. Decision-making in a fuzzy environment // Manag. Sci. 1970.-Vol. 17.-P. 141-164.

94. Bogart P.K. Preference structure. I: Distances between transitive preference relations // J. Math. Sociology. 1973. - Vol. 3. - P. 49-67.

95. Bogart P.K. Preference structure. II: Distances between asymmetric relations // SIAM J. Appl. Math. 1975. - Vol. 29. - P. 254-262.

96. Capocelli R., De Luca A. Fuzzy sets and decision theory // Information and Control. 1973. - Vol. 23. - P. 446-473.

97. Chou J.H., Hsia W.S., Lee T.Y. On multiple objective programming problems with set functions // J. Math. Anal, and Appl. 1985. - Vol. 105. - P. 383-394.

98. De Baets В., Kerre E., Van der Walle B. Fuzzy preference structures and149their characterisation // J. Fuzzy Math. Vol. 3. - 1995. - P. 373-381.

99. Ester J. Multicriteria fuzzy decisions // Math. Res. 1988. - Vol. 46. -P.209-212.

100. Fishburn P.C. Comment on the Kannai-Peleg impossibility theorem for extending orders // J. Econ. Theory. 1984. - Vol. 32. - P. 176-179.

101. Fishburn P.C. Even-chance lotteries in social choice theory // Theory and Decision. 1972.-Vol. 3.-P. 18-40.

102. Fishburn P.C., Sarin R.K. Fairness and social risk. I: Unaggregated analyses // Manag. Sci. 1994. - Vol. 40. - P. 1174-1188.

103. Fodor J.C., Roubens M. Structure of transitive valued binary relations // Math. Soc. Sci. 1995. - Vol. 30. - P. 71-94.

104. Gardenfors P. Manipulation of social choice functions // J. Econ. Theory. -1976.-Vol. 13.-P. 217-228.

105. Geoffrion A.M. Proper efficiency and the theory of vector maximization // J. Math. Anal, and Appl. 1968. - Vol. 22. - P. 618-630.

106. Heiner R.A., Packard D.J. A uniqueness result for extending orders; with application to collective choice as inconsistency resolution // J. Econ. Theory. -1984.-Vol. 32.-P. 180-184.

107. Holzman R. An extension of Fishburn's theorem on extending orders // J. Econ. Theory. 1984. - Vol. 32. - P. 192-196.

108. Hsia W.S., Lee T.Y. Lagrangian function and duality theory in multiobjec-tive decision making // J. Optimiz. Theory and Appl. 1988. - Vol. 57. - P. 239-251.

109. Hsia W.S., Lee T.Y. Proper D-solutions of multiobjective programming problems with set functions // J. Optimiz. Theory and Appl. 1987. - Vol. 53. -P. 247-258.

110. Kannai Y., Peleg B. A note on the extension of an order on a set to the power set// J. Econ. Theory. 1984. - Vol. 32. - P. 172-175.

111. Kim K.H., Roush F.W. Preferences on subsets // J. Math. Psych. 1980. -Vol. 21. - P. 279-282.150

112. Kitainik L. Fuzzy decision procedures with binary relation: Towards a unified theory. Boston: Kluwer, 1993. - 254 pp.

113. Kolbin V.V. Systems optimization methodology. I. Singapore: World scientific publ., 1998. - 436 pp.

114. Kolbin V.V. Systems optimization methodology. II. Singapore: World scientific publ., 1999. - 385 pp.

115. Lai H.C. Optimization theory for infinite dimensional set functions // Approximate Optimiz. and Comput.: Theory and Appl. Amsterdam, 1990. - P. 13-21.

116. Lai H.C., Lin L.J. Moreau Rockafellar type theorem for convex set functions // J. Math. Anal, and Appl. - 1988. - Vol. 132. - P. 558-571.

117. Lai H.C., Lin L.J. The Fenchel Moreau theorem for set functions // Proc. Amer. Math. Soc. - 1988. - Vol. 103. - P. 85-90.

118. Lai H.C., Szilagyi P. Alternative theorems and saddlepoint results for convex programming problems of set functions with values in ordered vector spaces // Acta math. hung. 1994. - Vol. 63. - P. 231-241.

119. Lai H.C., Yang S.S., Hwang G.R. Duality in mathematical programming of set function: on Fenchel duality theorem // J. Math. Anal, and Appl. 1983. -Vol. 95.-P. 223-234.

120. Levy H. Stochastic dominance and expected utility // Manag. Sci. 1992. -Vol. 38.-P. 555-593.

121. Li S.X. Quasiconcavity and nondominated solutions in multiobjective programming // J. Optimaz. Theory and Appl. 1996. - Vol. 88. - P. 197-208.

122. Lin C.T. Neural fuzzy control systems wiht structure and parameter learning. Singapore: World scientific publ., 1994. - 127 pp.

123. Loo S.G. Measures of fuzziness // Cybernetica. 1977. - Vol. 20. - P. 201210.

124. Mote J., Olson D.L., Venkataramanan M.A. A comporative multiobjective programming study // Math, and Comput. Modell. 1988. -Vol. 10. - P. 719-729.

125. Packard D.J. A preference logic minimally complete for expected utility151maximization // J. Philosophical Logic. 1975. - Vol. 4. - P. 223-235.

126. Packard D.J. Plausibility ordering and social choice // Syntheses. 1981. -Vol. 49.-P. 415-418.

127. Packard D.J. Preference relations II J. Math. Psych. 1979. - Vol. 19. -P. 295-306.

128. Preda V. Some optimality conditions for multiobjective programming problems with set functions // Rev. roum. math. Pures et appl. 1994. - Vol. 39. -P. 233-247.

129. Rao J.R., Tiwari R.N., Mohanty B.K. Preference structure on alternatives and judges in group decision problem — a fuzzy approach // Int. J. Syst. Sci. -1988.-Vol. 19.-P. 1795-1811.

130. Stadler W. A survey of multicriteria optimization or the vector maximum problem. I: 1776-1960 // J. Optimaz. Theory and Appl. 1979. - Vol. 29. - P. 1-52.

131. Sugeno M. An introductory survey of fuzzy control // Inform. Sci. -1985.-Vol. 36.-P. 59-83.

132. Tarvainen K. Duality theory for preferences in multiobjective desision-making // J. Optimaz. Theory and Appl. 1996. - Vol. 88. - P. 197-208.

133. Wehrung G. Interactive identification »and optimization using a binary preference relation // Operat. Res. 1978. - Vol. 26.

134. Yilmaz M.R. Multiattribute utility theory: a survey // Theory and Decision. 1978. - Vol. 9. - P. 317-347.

135. Zadeh L.A. Discussion: Probability theory and fuzzy logic are complementary rather than competitive // Technometrics. 1995. - Vol. 37. - P. 271-276.

136. Zadeh L.A. Fuzzy Sets // Information and Control. 1965. - Vol. 8. -P. 338-353.

137. Zadeh L.A. Fuzzy Sets as a basis for a theory of possibility // Fuzzy Sets and Systems. 1978. - Vol. 1. - P. 3-28.

138. Zadeh L.A. Similarity relations and fuzzy ordering // Inform. Sci. 1971. -Vol. 3.-P. 177-200.152