Исследование проблем принятия решений в пространствах нечетких бинарных отношений и /или/ в условиях неполной информации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕ! 1ЫЙ МПГОЕРСИТЕТ

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОБЛЕМ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВАХ НЕЧЕТКИХ БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ И/ИЛИ /

В УСЛОВИЯХ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Специальность 01.01.09 - дискретная математика и математическая кибернетика

АВТОРЕ Ф Е РАТ диссертации на. соискаштс учспой етеиетш капди,1 цуга. фгоико-математичеокпх наук-

Па. правах рукописи

КУДРЯШОВА Татьяна. Евгепьевпа

Санкт-Петербург 2006 г.

Работа. выполнена. на ка<}хуфс Матсматичоской теории -жошаппееких роптоний факультета Прикладной математтамфоцеееов управления " Ггкл-длрстжчшого У штерлт тега.

Санкт-Петербургского

Научный руководитель: < >фпцпа.тьн.ле оппоненты:

доктор фи:тко-матсматичееких паук, щ>о<]>есеор Колбшт Вячеслав Викторович, доктор фкшко-математических наук, пуюфесеор Гарпаев Апдрсй Юрьевич,

кандидат физико-математических нате Суворова Мария Адексаидровпа

Ведущая оргмгизагг.ия:

Защита

№90

Институт шн]к:>1>мат'ики и автоматизации Российской Академии паук

ОКТбих^Ли

еостотттея "Л.Г" су^» 2006 г.

на заседании диссертационного совета К-злтцптам диссертаций па сонекашге ученой

чае

212.232.07 по

степени кандидата фтико-матоматнчеоких паук при С'а.пкт - Петербург-

«■ким государственном университете по адресу:

1!)0001. (1а1тктЛТ<1тчьрбург, П.О. Средний пр., д. И , 13, ауд.

т

С дпссеунацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ им. Л.М. Рорького по адресу: ('.Петербург, Уни1»е})си'1'етская наб., 7/3.

Ляп цкч|к>ра г разослан 2006 г.

Учеш.гй секретарь диссертацн» и того с< те га, доктор физ.-мат. наук, П]ю<|хх:еор

В. Ф. Горьковон

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Диссертационная работа является попыткой продолжить исследования проблем принятия решений в пространствах нечетких бинарных отношений и / иди / в условиях, неполной информации. Экспертные методы используются главным образом в ситуациях, которые характеризуются большой сложностью решаемой проблемы и неоиределешюстьто исследуемых объектов. Экспертные оценки, призванные разрешить эту неопределенность, часто представляются в форме бинарных отношений, позволяющих однозначно ответить, по сути дела, па вопрос: какие объекты из оцетптаемой совокупности находятся или не находятся в данном отношении. В то же время однозначный ответ на такой вопрос не всегда возможен. Часто бывает, что более точным был бы ответ, содержащий в себе оценку той степени, с которой объекты находятся в данном отношешш. Конечно, содержательная интерпретация такой меры может быть иной. Напрзшер, она может пониматься как степень уверенности в том, что объекты находятся в данном отношении. Язык теоршг нечетких мпожеств дает возможность представлять такие всличшгы и, тем самым, оказывается во многих случаях более адекватным условием экспертного оденивашш, чем обычная («четкая») теория.

С этой целью в первую очередь предггрщпшается исследовадше свойств и структур нечетких отношений. Оказывается, что многие структурные свойства четких отношений, как правило, непосредственно не эксшппцфуются на нечетий случай, что затрудняет построение и исследовадше пространств нечетких отношений. Однако для случая отношений чаепгшого порядка такая экспликация возможна и будет реализована построением метрического и геометрического подходов к решению проблемы группового выбора.

С развитием экономики в современных условиях повышается потребность использования в практике экономических решений оптпмпза.циониые модели. В задачах планирования, управления и исследования параметры могут иметь вероятностные характеристики, полученные в результате анализа опытных данных, обработки статиепгческог© материала или на основании изучения процессов, подлежащих моделзгровашш. Необходимо системное рассмотрение этих проблем, которыми занимается теория стохастического программирования.

Моделирование является одним из методов прогнозирования развития

сложных экономических регионов, одним из таких регионов является Санкт-Петербург. Важнейшим этапом по принятию решений относительно управления и анализа бюджетного финансирования является проблема распределения ресурсов, в частности, распределешш расходной части бюджетных средств.

Полученные результаты проводго.шх исследований могут успешно применяться при моде*'гароватш реальных эконоьшческнх процессов, использоваться в задачах распх>еделетшя ресурсов — в экономике, политике, при принятии инвестиционных, социальных и политических решешгй, а так же в дальнейших иссло-довалшях в области приляпы решений в условиях, когда исходная информация нечеткая и / или / неполная.

Все выше изложенное говорит об актуальности диссертационной работы.

Целыо диссертационной работы является:

• анализ для малых групп методов парных эскпертных оценок;

• исследование вопросов манипулирования и коитрмаиипулировашы в задачах социального выбора;

• исследование задачи построения групповых эксперных решений; удовлетворяющих классическому принципу единогласия Парето, когда исходные данные представлены в виде нечетких бинарных отношений;

• исследование свойств и структур нечетких отношений;

• исследование пространства нечетких частичных порядков;

• решение проблемы группового выбора — построезше единственного группового решения в пространстве нечетких частичных порядков;

• разработка, а также сравнение методов решения одноэтапной задачи стохастического программирования с вероятностными целевой функцией и условиями;

• применение разработанного подхода к прикладным математическим задачам.

Научная новизна. Используется новый подход к проблеме принятия решений в условиях нечетких бинарных отношений. Данная проблема разрешается на основе свойств пространства нечетких частичных порядков.

Для оптимизации модели задачи стохастического программирования с вероятностными целевой функцией и условиями разработаны два метода, используется детерминированный эквивалент, для получения которого доказаны соответ-

ствующие утверждения.

Общая методика исследования. В работе используются аппараты стохастического программирования, теории принятия решений, метода парных экспертных оценок.

Практическая значимость. Исследование, проведенное в диссертационной работе, является закопченным. Представлено математическое решение конкретной задачи минимизации затрат, имеющей практическое применение в распределении расходиой части бюджета города по социальным отраслям. Для ро-1иения задачи были использовали исходные дашпле из постановления Правитсль-ства Санкт-Петербурга о «Программе социально-экономического развития Санкт-Пстербурга на 2005-2008 годы», в котором получены показатели города по различным направлениям на 2005-2008 годы. В результате решетгя практической задачи — получешю оптимальное распределение затрат для мпожества социально-экономических показателей.

Апробация результатов исследования. Результаты диссертационной работы докладывались на семинарах кафедры математической теории экономических решений, на ежегодных научных конференциях факультета ПМ-ПУ СПбГУ «Процессы управления и устойчивость» (2003-2006), на международной конференции «Устойчивость и процессы управлешгя» (Санкт-Петербург 2005 г.).

Публикации. По результатам исследования имеется 12 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит их четырех глав, введения, заключения, списка использованной литературы и десяти приложений. Библиография содержит 80 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отражена актуальность исследуемых вопросов, излагаются цели работы, практическая значимость и апроба.ция результатов.

Первая глава посвящена исследованию проблем принятия решегшй в задачах социального выбора.

В п. 1.1 исследованы линейные модели, методы парных экспертных оценок. Анализируется метод Саатн, аддитивный и мультнгопгкатившлй методы парных экспертных оценок, а также комбинаторные методы.

В п. 1.2 исследуются для малых групп вопросы манипулирования и контрманипулирования в задачах принятая групповых решений. Многие распространенные процедуры голосования, в общей теории голосования, не защищены от манипулирования. D связи с этим отражены вопросы, которые возникают при применении «политики диктата.*-, а также какие возможности есть у группы, оставшейся в меньшинстве — принцип меньшинства . Рассматриваются способы манипулирования группами с раэл1гпшх сторон: со стороны организатора голосования, со стороны избирателей.

Во второй главе исследуется задача построения групповых экспертных решений, удовлетворяющих классическому пршщипу единогласия Парето, для случаев, когда исходные данные представлены в форме нечетких бинарных отношений. Задача решается па основе результатов исследования структур выпуклых множеств и их оболочек в пространствах нечетких бинарных отношений. В отличие от четкого случая, решение доводится до единственного группового суждения. Дня пространств нечетких частичных порядков вводится метрическая структура., также используемая для решения проблемы группового выбора.

В п. 2.1 рассматрива ются структуры и нечеткие бинарные отношения, вводятся определения выпуклых шюжеств и выпуклых оболочек.

п. 2.1.1 начинается с определений пространства нечетких бинарных отпо-шений (Ф, Я); вводится определение точки Я, лежащий между точками IÍ, Я"; точки, лежащий между точками семейства {Я,} f~|¡£/ R% C/iC у¿£f /?,; Л1шейного сегмента L (tí, Я").

Доказала следующая теорема.

Теорема 1 Для любого линейного сегмента L(tí, Я") существует определенная на нам взаимно однозначная функция l(R) со значения.ии в интервале [0,1], удовлетворяющая следующим условиям:

1. l(R') = О, 1{R") = 1,

2. R е [/',<?] тогда и тмько тогда, когда (/(Я) - 1(1'}) < (/(Я) - 1{Q)) < 0.

В и. 2.1.2 вводятся необходимые определения и доказано следующее: для любого множества, точек X полного пространства (Ф, Я) справедливо включение II(Л') С С(Л') и в полном пространстве (Ф < Я.) выпуклая оболочка С(Х) произвольного множества X совпадает c. множеством точек Парето — П(Л^) : С(Х) =

npQ.

В п. 2.2 переходим к полному пространству нечетких частнтаых порядков (Ф,Я,<т).

Определение 1 Под нечетким частичньш порядком будем, понимать множество всех не^ьетких бинарных отношений частичного порядка на фиксированном множестве А.

Определим метрическую структуру на (Ф, Я, сг) и рассмотрим для него проблем группового выбора. В частности, исследована метрическая структура, доказана его полнота и на основе этого построена теория выпуклых оболочек и ядер в данном пространстве.

В п. 2.2.1 исследуются свойства полноты в пространстве (Ф, Я, <т). Пространство (Ф, Я) называется полным, если ддя любых различных точек R' и Я" существует линейный сегмент L(R , Я") в (Ф, Я,) который можно представить в виде объединения линейных сегментов

L(R', R") = L(R0,Rl)\jL(R1,R2)\J...\jL{nm-i,Rm),

где Я-о = Я , Ят = Я", таких, что симметрическая разность IU Л 11ц. i есть одноэлементное нечеткое множество для всех г — 1, т.

Пространство (Ф, Я, а) является полпым. Для него справедливы результаты, получешше для полных пространств: С(Х) = П(Х) и

В п. 2.2.2 вводим определение меры близости. Мерой близости между нечеткими частичными порядкашг будем называть функцию d(P,Q), заданную на множестве всех пар (P,Q) элементов множества (Ф, Я, <т), удовлетворяющую следующим условиям.

1. d{P,Q) = d.(Q,P),

2. d{P, Q) = d{P, Я) + d(R, Q) тогда и только тогда, когда Я е [Р, Q] (Я лежит между Р и Q),

3. d(p,Q) = |/tp(x,у) — fiQ{x,y)\ для соседних нечетких чаепртых порядков Р и Q.

Имеет место теорема.

Теорема 2 Существует единственная функция <1{Р, удовлетворяющая условиям 1-3. Значение функции вычисляется по формуле:

В п. 2.2.3 на основе определения базиса множества и того, что для постро-ешш выпуклой оболочки С (А/) множества М не всегда необходимо использовать все точки го А/, сформулировала и доказана теорема.

Теорема 3 Выпуклая оболочка С{М) любого конечного множества М точек пространства (Ф, В) имеет вид С(М) = {Я: Я е [Я', Я"], Я' с Я"}, где Я', Я" — точки пространства (Ф, В).

В п. 2.2.4 необходимо построить шгожество допустимых групповых решений в пространстве (Ф, В, о). Такое множество будет представлено в виде ядра выпуклой оболочки. Предыдущие результаты позволяют ввести определение граничного слоя — 8М , внутренности множества А/ — А/ 5М (гМ с М).

Определение 2 Ядром К{М), К{М) = С(М^), конечного множества М точек пространства (Ф, В, а) будем называть выпуклую оболочку последнего непустого множества в следующей последовательности: А/и = М,Мк — А/Л_х, к = 1,2,..., где М - к/течное, ¿А/ с М, то последовательность ЛТк, начиная с некоторого номера N. стабилизируется: А//у+1 = Мц+2 — ... —

Это означает, что гМм = 0, то есть А/дг = дМц. Таким образом, нами построена последовательность вложеных подмножеств множества А/, из которых последнее непустое совпадает со своим граничным слоем.

Описанное в определении множество печеткпх частичпых порядков представляет собой множество групповых решений, допустимых для выбора среди них одного единственного решения. Ход рассуждений, приведший к понятию ядра, подсказывает следующую процедуру его пост]Х)ештя.

Пусть А/ — коиетшое множество точек в пространстве (Ф, В, а). Обозначим

/'/' = Лпсм11"(х<У) п >1п =

Для /с = 1,2... определим процедуру построештя ядра следующим образом. Шаг 1. Среди точек множества Л/4 выделим те, у которых функция принадлежности хотя бы на одной паре (.г, у) совпадает с пли с Эти точки составляют множество 5Мк. Определяем Л/*+1 = ¿АД, — 5Мь.

Шаг 2. Если Мк+1 = 0, то полагаем К(М) = С(Мк). Если Д/"к+1 ф 0, то 1с = к + 1, и переходим к шагу 1.

Эта процедура за конечное число шагов позватяет сформулировать мпоже-ство К(М).

В п. 2.2.5 описана блок-схема построения для исходного множества М из N отношений предпочтения.

В п. 2.3 предложен способ построения единственного группового решения на основе операции осреднения. Так как нечеткий частичный порядок определяется двумя условиями, антирефлекс1шностьто и транзитивностью, то возникающая здесь проблема состоит в том, чтобы построенное среднее отношение также обладало этими свойствами. Для решения этой проблемы предлагается следующий подход. Сначала строится такая модель пространства (Ф, Я, а), изоморфная в раджах геометрического подхода к самому пространству (Ф.Я, а), что операция осреднения, примененная к произвольной совокупности исходных данных, не нарушает свойства, антисимметричности. Тем самым вопрос сводится к построению транзитивного группового репетгая. В заключительном параграфе этой главы описывается алгоритм для построения такого решения.

п. 2.3.1 на'пгнается с определения пространства АЗ — множество всех действительных функций па Л х Л, удовлетворяютцих условию антисимметричности 1{х, у) — — /(у>х)- Введены структуры АЭ, рассмотрен пример и доказана теорема.

Теорема 4 Отображение Ф : I' —> ¡р пространства (Ф,К,ст) в пространство /15, определенное формулой

/р(х, у) = /1р{х, у) - цР(у, х), (2)

где цр{х,у) — функция принадлежности нечеткого частичного порядка Р, является взаимно однозначным вложением, сохраняющим структуры порядка ■емежду»и расстояние между парами точек.

В п. 2.3.2 модель пространства (Ф, Я, о) и взаимно однозначное отображение Ф пространства (Ф, Я, а) в эту модель, рассмотренные в предыдущем параграф, позволяют предложить следующий подход к построению единственного

группового решения. Обозначим через /сг> среднее арифметическое образов тех исходных точек, выпуклой оболочкой которых является ядро. Вообще говоря, прообраз /q,, хотя л антисимметричное отношение, может не принадлежать (Ф, R, а), так как может оказаться нетрапзиптпым. Рассмотрим в простралстве Л5 отрезок, соединяющий точки /„„„ (образ минимального отношения из ядра) и fíp, и на этом отрезке выберем точку, ближайшую к /q,, прообраз которой принадлежит (Ф, /Í, а). Прообраз этой точки прилагается за групповое решетше, соответствующее исходным данным, для которых было построено ядро.

Далее пртгведепа блок-схема алгоритма, реализующего поиск определенного выше группового решения. Для работы алгоритма необходимо задать точность £, с которой будет' определено групповое решетше. Алгоритм последовательно, начиная с fcp, с определенным шагом перебирает точки отрезка [/min, fq>] до тех пор, пока не будет получена точка, прообраз которой транзитивен. Шаг алгоритма равен Д/е, где Д = тах(хл) - fmin(x,y)\.

Блок-схема 1.

Третья глава посвящена методам решения одноэтапной задачи стохастического программирования с вероятностными целевой функцией и условиями. Так как часто конкретное содержание задачи требует, чтобы вероятность попадания решения в допустимую область превышала пекторое заданное число о>0,5. В п. 3.1 описана постановка задачи

тгп/, (3)

Р{С&и)ТХ(1) >/} = /?, (4)

+ + + >«» ¿ = 1,2,...,п (5)

п

«=1

ц > 0, г = 1, 2,..., п, (6)

оц > 0,5, г = 1,2____,п,

0 < Р < 0,5, 4 £ (1,...,Т),ш 6 П.

Здесь:

г/» (й, из) — значение показателя развития г-ого направления в момент времени г,

— количество средств, вкладываемое в г-ое направление в момент времени t,

— удельные показатели, характеризующие рост значения г-ого направления при вложении единицы ресурсов,

С(<,ш) — нормированный вектор приоритетов вложения средств,

ш) — внешний фактор, С — доходная часть бюджета.

Векторы гд(г/,ш) и г = 1,2,...,п — зависят от случайной

величины шб!!, предполагается, что имеет место нормальное распределение величин с соответствующими векторами математических, ожиданий 1г дисперсий.

Это означает, что №1 ищем такой неотрицательный вектор X с для которого нижняя граница / интервала (/, + ос), в который зпачепие линейного функционала попадает с вероятностью /3, была минимальной.

Замена ¡/¿(г + 1,ш) — ¡/¿(¿) = — прирост вел1гппш показателя г-ого

направления, = 0, приводит нас к > ш)} > о-,.

Что дает возможность задачу (З)-(б) заменить задачей выпуклого программировать с некоторыми предположениями: 1) компоненты Ь4(ш) вектора Ь(ш) подчиним нормальному распределению Nfa, 2) вектор С{ы) имеет многомерное нормальное распределение с вектором математической индукции С и корреляци-оппой матрицей V = (Vrk), где Vrk = Е(СГ - Ст)(Ск - Ск), г, к = lfn; 3) сц > 0,5 н О < /3 < 0,5.

а

Пусть Ф(а) = f*^ — функция распределения случайной величи-

2

ны Д'(0,1). Введем функцию Ф(.х) = 1 — Ф(ж) = ^¡L- f* <r*rdj>, рассматривая случайный вектор С(и>)тХ, с математическим ожиданием СТХ, положив q — получим

F = Ст X + qy/XTVX. (7)

Теорема 5 Функция f определенная соотношением (О) выпуклая.

Введем множества S* = {А' : SiXt > Ь",Х > 0,г = 1,..., и}, окончательно получим, что задача (3)-(0) эквивалентна задаче

minxes'f = rninxes- (СТХ + qV X^VX), (8)

которая в силу теоремы 5 является задачей выпуклого програтшрования.

Катаока [Kataoka S. "On Stochastic Programming I: Stochastic Programming and its Application to Production Horizon Problem". Hititsubashi Journal Arts Science, Л'"2, 19C2 г., 23-35] предлагает решение задачи (8) заменить решением заг дачи:

minxes-f = minxes- (СТХ + JLxTVX), (0)

где R — положительный параметр. Задача (9) является уже задачей квадратичного программирования. Следующая теорема устанавливает эквивалентность решений задач (8) и (9).

Теорема 6 Пусть X{Rq) — оптимальное решение, задачи (9) при R — Rо. Если имеет место соотношение Rq = yX(Ru)TVX(R<j), X(Rq) также оптимальное решение задачи (8).

В п. 3.1.1 разработаны два метода решения задачи (З)-(С), которые называются интерполяционным и итеративным. Доказываются необходимые леммы.

Лемма 1 Функция V{R) = ^X(R)TVX{R), где X(R) — решение задачи (9) монотонно неубывающая функция от R, имекпцая конечный предел при R —юс.

Лемма 2 Вели для достаточно ма.лого R выполнено условие ^jp > 1, то задача (&) имеет ненулевые решения.

Сущность интерполяционного и итеративного методов ясна из рисунка. 1.

V(R1 =■ vXiRpYXfRl

í

К в Kç_ Rd lío К

Рисунок 1. Итеративный и интерполяционный методы

Решение задачи (9) при Rq = \JXÜVX0 дает пам -î(/io) и V(Ilo)

Х(11о)ТУХ(Пц) (точка Л). По лемме 2 существование решешы исходной за^ дачи равносильно существованию указанной на рисунке точки В дня маленького

Л. Ищем пересечения отрезка Л В с прямой V (/?) = Я (точка С). Точке С соответствует абсцисса Яс- Вычислим У(Яс) (точка С'). Если У(Яс) > Яс, (как в нашем случае), то на следующем шаге ищем пересечегоге отрезка АС' с прямой У(Я) = Я (точка О). Если же У(Яс) < Яс, то ищем пересечение отрезка ВС' с этой прямой. В результате такого приближения дойдем до такой точки Е, в которой = Яе■ Сходимость данного метода следует из монотонности функтцш У{Я) (лемма 1), потому что этого достаточно для того, чтобы найденные точки приближались к искомой точке.

Блок-схема 2. Итеративный метод

Блок-схема 3. Интерползщиопный метод

В п. 3.2 рассмотрены вопросы устойчивости, так как в задачах стохастического программирования значения параметров случайны.

В п. 3.2.1 исследуется устойчивость решений задач стохастического нелинейного щх>граммироваго1я, для чего ставится задача стохастзгческого программирования, у которой целевая функция }{Х) = СТХ + ^ХТУХ некоторая непрерывная детерьпппцх>ванная функция, а функции, определяющие условия задачи SiXi > 64(ш), г = 1,2,...,га, линейны по X, то есть имеем задачу вида

тгпх/(Х)щж условии < й1»^ > ¿=1,2, ...,п

X > О,

где все компоненты ¿¡¡(и>), г = 1,2,..., п могут быть случайными.

Доказываются соответствующее теоремы.

п. 3.2.2 посвящен вопросу абсолютной плановой устойчивости постному распределению

тш/(Х) = ттх(СТХ + ^ХТУХ), Щ&х, > Ь,(и)} > щ, г = 1,2,..., п, (11)

X >0

Доказана следующая теорема.

Теорема 7 Пусть задача (11) удовлетворяет условиям:

1. ш — непрерывная случайная величина, П С Я", ш„ — последовательность непрерывных случайных величин, П — множеспгво реализаций случайных величин каждая случайная величина задает вероятностное пространство (П, ^ Ри„), и существуют 0{Х) и <7„(А') — функции распределения случайных величин ш и соответственно и некоторая последовательность чисел {£„} : еп > 0,\/п, /гт„_+осг„ = 0 такие, что

2. множество реализаций случайных величин ограничено: У(П) = С < + ос (Vй - объем в п-мерном пространстве);

3. множество допустимых планов задачи (И) ограничено при некотором 0,5 < а1 < 1;

(10)

по вероят-

4. Сугч£.стяует решение X задачи (11) при некотором па > а} и существует решение задачи

' ,тпх/(Х) = шт,(СтА' + ¿¡ХТУХ), < < > щ, ¿ = 1,2,...,« (12)

А' > О,

которое обозначим X (а) для а Е [а1,»0], тогда существует последовательность {¿„} : 5п > О и Итп^+Х5п > О такая, что {Л'(м — <?„)} сходится к решению задачи (11) при а = а0.

Четвертая глава, посвящена практическому применению. Реализуются два метода решепия одноэташюй задатпг стохастического проградашроваты с вероятностными целевой функцией п ограничешгями, позволяющую распределить расходую часть бюджетных средств города. Санкт-Петербурга по соответствующим социальным направлениям, требующим городского бюджетнровазгая, для достижения задятпп.гх значений показателей социально-эконохшческого развития города за период времени.

Так же сделай сравнительный анализ этих методов на основе полученных результатов при решении конкретной задачи. Для решешш задачи были использованы исходные датше из постановлетгя Правительства о «Программе социалыю-эконошгческого развития Санкт-Петербурга на 2005-2008 годы», в котором получены показатели города по различным направлениям на 2005-2008 годы. В результате решепия практической задачи — получение распределение затрат для набора показателей. В работе рассмотрено 31 направление социально-экономического развития. Известны значения этих направлений в 2005 году и матемаигческие ожидания этих показателей в 2006, 2007 и 2008 годах. Требуется минимизировать бюджетное финансирование, вычислив оптимальное распределение средств по направлениям.

Модель Катаока для этого случая выглядит так: minf,

P{C(t,u)TX(t)>f} = /3,

Pi{Ui(t + l, ui) < y¡(t) + Si(t)x¡ + d,(t,u)} >a¡, i = 1,2,.. ,,n, !/i(0) = y¡°\ г = 1,2,..., ra, ¿ = 1,2,...,», i¡>0, i = 1,2,..., ra, Eh^íG i = l,2,,.n, a, > 0,5, i = 1,2,.. ,,n, 0 < /? < 0,5, te (1,2,3,4), ueí!,

где

2/¿(l) — показатель развития г'-ого направления в 2005 г., yt(2) — м.о. показателя развития г'-ого направления в 2006 г., уДЗ) — м.о. показателя развития г'-ого направления в 2007 г., Vi (4) — м.о. показателя развития г'-ого направления в 2008 г.,

Xj (í) — количество сг>едств, вкладываемое в г-ое направление в момент времени t, Si(t) — удельные показатели, характеризующие рост зпачеття г'-ого направлешш единицы ресурсов,

C(t, и>) — нормированный вектор приоритетов вложения средств в момент времени t,

di(t, и) — внешний фактор, который за счет зависимости от случайной велищгны, мы принимаем равным нулю, G — доходная часть бюджета.

Векторы C(t,w), yi(t,Lj) и d¡(t,w) — зависят от случайной величины aGÍl, предполагается, тго имеет место нормальное распределение ве-шппш с соответствующими векторами математических ожидаштй и дисперсий.

Вероятностные ограничения с уровнями вероятностей a¡ > 0,5 обеспечивают попадание решешш в допустимую область в большинстве случаев, то есть с вероятностями больше 0,5.

Уровень вероятности в целевой фунюуш меньше 0,5, а в данной задаче мы принимаем ¡3 = 0,1, то есть вероятность попадания значения линейного функци-

онала в интервал (/, + ос), где граница / минимальна, будет мала. То есть велика вероятность того, что значение линейного функционала меньше минимального значения /. Вероятность того, что общей выделенной бюджетом суммы денег не хватит на выполнение всех предписаний, мала.

]С"= 1< О — балансовое соотношение, не позволяющее расходной ■части бюджета превысить доходную часть. Невыполшмше этого условия требует проведения второго этапа вычислений, в котором уменьшаются пороговые значения 37; + 1) Д-тя самых затратных направлений так, чтобы выполнялось балансовое соотношение.

Построенный детермппировшшый эквивалент, решается двумя методами: интерполяционным и итеративным.

В ходе вьппгслений становится видно, что интерполяционный метод более эффективен для решения подобных задач, он дает результат после меньшего числа итераций, быстродействие интерполяционного метода тоже лучше. Еще одним недостатком итеративного метода является приближение к решению исключительно справа по числовой оси К, что означает, что метод дает решение, большее или равное истинном}' решению.

В заключении приведены результаты работы.

В приложениях содержится информация, связанная с практической реализацией модели распредели™ ресурсов. Получено распределение бюджетных средств в каждое из направлений социальпо-эконошпеского развития для постам новления о «Программе социально-экономического развития Санкт-Петербурга на 2005-2008 годы», утверждеттого Правительством Санкт-Петербург 19.0-1.2005.

Общие выводы по работе В диссертационной работе были получены следующие основные результаты:

• проведен для малых групп анализ методов парных экспертных оценок; рассмотрена задача социального выбора, в частности исследованы проблемы манипулирования и контрманипулировапия в задачах выбора в различных социальных группах;

• исследована задача построения групповых эксперпых решений, удоатетворя-ющих классическому принципу единогласия Парето, когда исходные данные представлены в виде нечетких бинарных отношений;

• исследованы свойства п структуры нечетких отношений;

• исследовапо пространство нечетких часттгпгых порядков, решена проблема группового выбора — построено единственное групповое решение в пространстве нечетких частичных порядков;

• рассмотрена одноэтаиная стохастическая задача распределения ресурсов с вероятностными целевой функцией и ограничениями, построен и исследован ее детерминированный эквивалент, который решен двумя методами: интерполяционным и итеративным, сделано сравнение эффективности этих двух методов;

• исследована устойчивость решений задач стохастического нелинейного программирования и абсолютная плановая устойчивость;

• полученные математические результаты использовались при решении задачи минимизации бюджетного финансирования каждого го направлений сошгально-экономического развития для постановления о «Программе сотцгалыю-эконошпеского развития Санкт-Петербурга на 2005-2008 годы», утвержденого Правительством Санкт-Петербурга 19.04.2005.

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ СЛЕДУЮЩИЕ

РАБОТЫ:

1. Колбин В.В., Кудряшова Т.Е. Групповые решения в пространствах нечетких бинарных отношений - СПб: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2006. - 43с., (дата личного участия 22с..).

2. Колбин В.В., Кудряшова Т.Е. Исследование групповых решений в условиях нечетких данных // Процессы управления и устойчивости: Труды XXXVII научной конференции студентов и аспирантов факультета ПМ-ПУ. — СПб: ООП ПИИ Химии СПбГУ, 2006. — с. 509-573, (доля личного участия 50%).

3. Колбин В.В., Кудряшова. Т.Е. Манипулирование в социальном выборе — СПб: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2002. — 19с., (доля личного участия 50%).

4. Колбин В.В., Кудряшова Т.Е. Прогнозирование результатов в задачах социального выбора// Процессы управления и устойчивости: Труды XXXTV научной конференции студентов и аспирантов факультета ПМ-ПУ. — СПб: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2003. — с. 532-530, (доля личного участия 50%).

5. Колбин В.В., Кудряшова Т.Е, Пронькина Ж.В. Оптимизация тгвестициоп-ного портфеля// Процессы управления и устойчивости: Труды XXXV науч-

ной конференции студентов и аспирантов <1>акультета ПМ-ПУ. — СПб: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2004. — с. 624-628, (доля личного участия 35%).

<3. Колбнн В.В., Кудрянгова Т.Е. Манипулирование в социальном выборе // Устойчивость и процессы управления: Сборник трудов Международной конференции СПб, СПбГУ НИИ ВМ и ПУ, 2005. - с. С54-С57, (доля личного участия 50%).

7. Колбтпт В.В., Кудряшова Т.Е. Модели и методы парных экспертных оценок (ПЭО). - СПб: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2006. - 90с.., (доля личного участия 45 е.).

8. Кудряшова Т.Е. Аддитивный и мультипликативный методы парных экспертных оценок// Процессы управления и устойчивости: Труды XXXVI научной конференции студентов и аспирантов факультета ПМ-ПУ. — СПб: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2005. — с. 510-516.

9. Кудряшова Т.Е. Проблемы распределения риска// Процессы управления и устойчивости: Труды XXXII научной конференции студентов и аспиратггов факультета ПМ-ПУ. — СПб: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2001. - с.395-399.

10. Кудряшова Т.Е., Чередниченко С.Н. Методы манипулирования голосованием в социальных группах// Экономика, экология и общество России в 21-м столетии: Труды 4-й Международной науч.-практ. конф. Том 1 — СПб: Изд-во СПбГТУ, 2002. — с. 2GS-270, (доля личного участия 50%).

11.' Чередниченко C.IL, Кудряшова Т.Е. Устойчивость задач шгогоцедевой оптимизации// Процессы управления и устойчивости: Труды XXXIII научной конференции студентов и аспирантов факультета ПМ-ПУ. — СПб: ООП ПНИ Химии СПбГУ, 2002. — с.517-520, (доля лзгчного участия 50%).

12. Чередшгчепко С.Н., Кудряшова Т.Е. Устойчивость принципов оптимизации в экономике// Экономика, экология и общество России в 21-м столетии: Труды 4-й Международной науч.-практ. копф. Том 4 — СПб: Изд-во СПбГТУ, 2002. — с. 119-120, (доля личного участия 50%).

Подписано в печать 15.09.2006. Формат бумаги 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 3841.

Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр.26

Введение

1 Исследование методов Парных Экспертных Оценок (ПЭО)

1.1 Анализ линейных моделей, методов ПЭО.

1.1.1 Линейные модели.

1.1.2 Многомерные парные сравнения.

1.1.3 Метод Саати.

1.1.4 Аддитивный и мультипликативный методы ПЭО . 17 ) 1.1.5 Комбинаторные методы.

1.2 Манипулирование в задачах социального выбора.

1.2.1 Манипулирование

1.2.2 Способы манипулирования группами.

2 Групповые решения в пространствах нечетких бинарных отношений

2.1 Пространства нечетких бинарных отношений.

2.1.1 Структуры и пространства нечетких бинарных отношений.

2.1.2 Выпуклые множества и выпуклые оболочки в пространствах нечетких бинарных отношений

2.2 Пространства нечетких частичных порядков (Ф, Д, а) . . 49 ^ 2.2.1 Полнота пространства (Ф, Я,, а).

2.2.2 Метрика в пространстве (Ф,11, сг).

2.2.3 Базис выпуклого множества.

2.2.4 Ядро выпуклой оболочки.

2.2.5 Алгоритм «^-ядро».

2.3 Групповые решения в пространстве нечетких частичных порядков.

2.3.1 Модель пространства (Ф, Я, а).

2.3.2 Построение единственного группового решения

3 Методы решения одноэтапной задачи стохастического программирования с вероятностными целевой функцией и условиями

3.1 Решение одноэтапной задачи стохастического программирования с вероятностными целевой функцией и условиями

3.1.1 Два алгоритма решения задачи.

3.2 Исследование устойчивости решений.

3.2.1 Устойчивость решений задач стохастического нелинейного программирования

3.2.2 Абсолютная плановая устойчивость по вероятностному распределению

4 Практическая реализация модели распределения ресурсов

Диссертационная работа является попыткой продолжить исследования проблем принятия решений в пространствах нечетких бинарных отношений и / или / в условиях неполной информации.

Экспертные методы используются главным образом в ситуациях, которые характеризуются большой сложностью решаемой проблемы и неопределенностью исследуемых объектов. Экспертные оценки, призванные разрешить эту неопределенность, часто представляются в форме бинарных отношений, позволяющих однозначно ответить на вопрос: какие объекты из оцениваемой совокупности находятся или не находятся в данном отношении. В то же время однозначный ответ на такой вопрос не всегда возможен. Часто бывает, что более точным был бы ответ, содержащий в себе оценку той степени, с которой объекты находятся в данном отношении. Конечно, содержательная интерпретация такой меры может быть иной. Например, она может пониматься как степень уверенности в том, что объекты находятся в данном отношении. Язык теории нечетких множеств дает возможность представлять такие величины и, тем самым, оказывается во многих случаях более адекватным условием экспертной оценки, чем обычная («четкая») теория.

Развивая геометрический подход к проблеме группового выбора в нечетком случае, необходимо внимательно рассмотреть вопрос, что нового дает развиваемый подход при использовании информации нового вида — нечетких отношений предпочтения.

С этой целью в первую очередь предпринимается исследование свойств и структур нечетких отношений. Оказывается, что многие структурные свойства четких отношений, как правило, непосредственно не эксплицируются на нечеткий случай, что затрудняет построение и исследование пространств нечетких отношений. Однако для случая отношений частичного порядка такая экспликация возможна и будет в дальнейшем реализована построением метрического и геометрического подходов к решению проблемы группового выбора.

С развитием экономики повышается потребность использовать в практике экономических решений оптимизационные модели. В задачах планирования, управления и исследования параметры могут иметь вероятностные характеристики, полученные в результате анализа опытных данных, обработки статистического материала или на основании изучения процессов, подлежащих моделированию. Необходимо системное рассмотрение проблем, которыми занимается теория стохастического программирования.

Моделирование является одним из методов прогнозирования развития сложных экономических регионов, одним из которых является Санкт-Петербург. Важнейшим этапом по принятию решений относительно управления и анализа бюджетного финансирования является проблема распределения ресурсов, в частности, распределения расходной части бюджетных средств.

Полученные результаты проводимых исследований могут успешно применяться при моделировании реальных экономических процессов. Использоваться в задачах распределения ресурсов — в экономике, политике, при принятии инвестиционных, социальных и политических решений, а так же в дальнейших исследованиях в области принятия решений, когда исходная информация нечеткая или неполная.

Целью данной диссертационной работы является: • анализ для малых групп методов парных эскпертных оценок;

• исследование вопросов манипулирования и контрманипулирования в задачах социального выбора;

• исследование задачи построения групповых эксперных решений, удовлетворяющих классическому принципу единогласия Парето, когда исходные данные представлены в виде нечетких бинарных отношений;

• исследование свойств и структур нечетких отношений;

• исследование пространства нечетких частичных порядков;

• решение проблемы группового выбора — построение единственного группового решения в пространстве нечетких частичных порядков;

• разработка, а также сравнение методов решения одноэтапной задачи стохастического программирования с вероятностной целевой функцией и вероятностными условиями;

• применение разработанного подхода к прикладным математическим задачам.

В первой главе работы представлен анализ для малых групп методов парных эскпертных оценок. Представлено исследование вопросов манипулирования и контрманипулирования в задачах социального выбора.

Во второй главе диссертации проводится исследование свойств и структуры нечетких отношений. Рассмотрены геометрические структуры в произвольном пространстве нечетких отношений. Полученные результаты развиваются для пространства нечетких частичных порядков, для которых вводится также метрическая структура. Заключительная часть второй главы посвящена решению проблемы группового выбора в пространствах нечетких частичных порядков, разработке способа построения единственного группового решения.

Третья глава исследует методы решения одноэтапной задачи оптимизации при вероятностных ограничениях и целевой функции. Рассмотрена модель одноэтапной задачи стохастического программирования с вероятностными целевой функцией и условиями — модель Ка-таока, построен ее детерминированный эквивалент. Разработаны два метода решения найденного детерминированного эквивалента, блок-схемы методов.

Исследуется два вида устойчивости решений: устойчивость решений задач стохастического нелинейного программирования и абсолютная плановая устойчивость по вероятностному распределению. Проводится исследование и сравнение работы двух новых методов на примере практического применения модели.

В заключительной главе диссертационной работы представлено математическое решение конкретной задачи минимизации затрат, имеющей практическое применение в распределении расходной части бюджета города по социальным направлениям. Для решения задачи были использованы исходные данные из постановления Правительства Санкт-Петербурга о «Программе социально-экономического развития Санкт-Петербурга на 2005-2008 годы», по различным направлениям на 2005-2008 годы.

В результате решения практической задачи — получению распределение затрат для набора показателей.

Результаты диссертационной работы докладывались на семинарах кафедры математической теории экономических решений, на ежегодных научных конференциях факультета ПМ-ПУ СПбГУ «Процессы управления и устойчивость»(2003-2006), на международной конференции «Устойчивость и процессы управления»(Санкт-Петербург 2005г.). По результатам работы имеется 12 печатных работ.

Все выше сказанное говорит об актуальности темы исследования.

Заключение

Таким образом в диссертационной работе получены следующие результаты:

• проведен анализ для малых групп методов парных эскпертных ^ оценок;

• исследованы вопросы манипулирования и контрманипулирования в задачах социального выбора;

• исследована задача построения групповых эксперных решений, удовлетворяющих классическому принципу единогласия Парето, когда исходные данные представлены в виде нечетких бинарных отношений;

• исследованы свойства и структура нечетких отношений;

• исследовано пространство нечетких частичных порядков;

• решена проблема группового выбора-построено единственное групповое решение в пространстве нечетких частичных порядков;

• разработаны два новых метода, интерполяционный и итеративный, решения одноэтапной задачи стохастического программирования с вероятностными целевой функцией и условиями;, проведено сравнение этих методов; исследована устойчивость

• решена задача минимизации затрат, имеющей практическое применение в распределении расходной части бюджета города по со-I циальным направлениям. Исходные данные взяты из постановления Правительства Санкт-Петербург о «Программе социально-экономического развития Санкт-Петербурга на 2005-2008 годы», в котором получены показатели города по различным направлениям на 2005-2008 годы. Результат практической задачи — полу-ченно распределение затрат для набора показателей. I

Тайшща началБных данных .№1 Рассматривается 31 напр явление. требуютее городского бюджеттар овяшм. Доя каждого направления даны начальные и конечные ¡иачешш

2005г. 2006г. 2007г. 2008г. единицы из мер енгя

1. Транспорт

1 Количеств мостовье пер еходов 403 404 405 406 ед.

2 Колнчеетво путепр оводов •37 42.3 47.7 53 ед.

3 Количество пешеходных тоннелей 15 20 25 30 ед.

4 Количество стояночных мест на ог аншованных автостоянках 384.6 416.4 448.;? 480 тыс ед.

Ир отяжность улично-дор ожной сети, охваченной АСУ ДЦ 830.3 1660.5 2490;S 3321 км

6 Количество светофорных постов, охваченных АСУ ДД 253 506 759 1012 ед.

7 Плотность транспортной сети в городе 2394. 2451 2508 2565 570(кг.ькв. км)

S Плотность тр анспортной сети в пригородном р айпне 936 1144 1352' 1560 ~80(км;кв. км)

Суммарная вместимость наземного автотранспорта 211 230.7 250.3 270 ' тыс. мест

10 Суммарная вместимость наземного электх»отранспорта 220 233.3 246.7 260 тыс. мест

11 Суммарная вместимость метх> ополи тена 197 201.3 205.7 210 тыс. мест

12 Число летковых и маршрутных так с омоторов. 1 1.5 2 2.5 ед. на 1000 чел

13 Число по двйжног о со с т ава наз емн or о тр анспор та, обор уд ованн ог о 98 105.3 .112.7 120 ед

14 Количество автовокзалов на город 1 1.3 17 2 ед.

2. 3;ф авоохр аненне

2.1 Амбулаторпо-по.шж.шпнгжеские учр еждення

15 Обеспеченноть врачебным nejjсоналом 41 42.3 43.7 45 спец-ов на 10000 ч?л.

16 ооеспеченность ср едннм мед. персоналом т 67.3 68.7 70 сп ец-ов на 10000 ч?л.

2.3. Стационары

17 Обеспеченность оольнмчныш койками интенсивного лечения 17 17.3 17.7 18 ед. на 10000 чел.

18 Обеспеченность больничными койками восстановительног о лечеш 3.7 4.3 ^ ед. на 10000 чел.

19 О б есп еч енно с ть с тацион ар амн дневног о пр ебываши а. 1.2 1:з 1.5 ед. на 10000 чел.

20 Обеспеченность средштммед. персоналом 63 65.3 67.7 70 спец-ов на 10000 чал.

21 О 6 есп еч енно с ть всп омога тельн ым пер сон алом 74. 76 78 80 спец-ов на 10000 чал.

3. Социально обслуживания населения

Л-> — л. Всего стационарных учреждений 28 34.7 4.1.3 4S ед

23 Всего нестационарных учреждений 36 47.3 58,7 70 ед.

24 Численность социальных работников 94 104.3 114 Л 125 спец-ов на 1000 обслу>:жив.

25: Количество отделений сощ^алъно-меднщвдского обслуживания на ? 68.5 77.2 85.8 94.5 ед

26 Численно медицинских работников 69 79.3 89.7 100 спец-ов на 1000 обслужив.

27 Количесвто совднально-раебилитационных отделений 15 17.7 20.3 23 ед.

2S Обеспеченное ть специалист амн 16 27.3 38.7 50 спец-ов на 1000 обслу^сив.

29 Количество центров социальной помощи семье н детям ■у 7 .13;3. 19 ед.

30 Количество учреждений, оказывающих услуги лицам БОМЖ и освЧ 10 13.7 17.3. 21 ед.

31 Всего домов для одиноких пожилых гр аждани инвалидов 11 15.7 20.3 25 ед.

Та&таца ншапьвых данных Ж Вектор С^, V/) задает приоритеты финансирования Нам известны м.о. и дисперсия для ш)

Этапы а С н Й

Ъ 8 В л ьо м.о. С(1, ш) =

2005-06 1006-07 2007-08

1.213664 0.664633 1.121713 1.005619 0.642994 0.525593 0.763312 1.843195 0.620311 0.459748 0.214696 1.706646 1.568284 0.478233 0.995453 0.926681 0.853539 0.580636 1.464194 0.835659 1.079107 1.143056 1.853909 1.403153 0.399933 1.23752 1.045859 1.065354 1.161909 1.080818 1.04458

1.15465 1.09149 0.75086 1.52572 2.10004 1.7244 0.73473 2.09267 0.2802 1.02553 0.79048 0.4162 1.37216 0.50444 1.31882 0.6231 1.3016 0.28015 0.22066 0.20374 1.28072 1.64319 0.23614 0.85531 0.72324 0.96555 1.31621 0.5648 1.38278 1.691 32 0.82147

0.55687 1.35087 1.09226 0.85541 0.78052 0.98718 1.01964 0.02813 0.72085 1.21391 0.2945 0.79109 1.21126 1.34987 1.13701 1.32518 0.84017 1.67335 1.70114 0.95877 0.97747 1.4173 1.08436 0.44408 0.48902 1.02341 0.95401 1.16964 1.13748 0.77142 1.64684

Число (5 0<(5<0.5 а а-вектор а>0.5

0.68 0.64 0.71 0.61 0.85 0.85 0.81 0.52 0.93 0.67 0.52 0.64 0.75 0.92 0.83 0.72 0.61 0.8 0.55 0.74 0.93 0.53 0.83 0.99 0.65 67 0.6 0.95 0.96 0.6 0.91

Частный случай задачи для 3-х направлений интерполяционный метод:

1. Абрамов Л.М., Бочкарева И.М. О Задаче стохастического про-граммирования с вероятностными ограничениями. — В кн.: Он-тимальное планирование. Вып. 16-Новосибирск, 1970.-е. 3-9.

2. Быкова И.Ю. Исследование проблем принятия решений в услови- ях неполной информации: Дисс. канд. физ.-мат. наук.-СПб, 1999.-160с.

3. Белман Р., Заде Л. Принятие решений в расплывчатых условиях // В кн.: Вопросы анализа и процедуры принятия решений. —М.:Мир, 1976.-С. 172-215.

4. Бешелев Д., Гурвич Ф.Г. Математико-статистические методы экспертных оценок. М.: Статистика, 1980.-263 с.

5. Биркгоф Г. Теория структур. М.: ИЛ, 1952.

6. Брук Б.Н., Бурков Б.Н. Методы экспертных оценок в задачах упо- рядочения объектов. Известия АН СССР. Техническая кибернети-ка, 1972 № 3.

7. Вемяе Г.В. Качество телефонной передачи и его оценка. М.: Связь, 1970.

8. Вилкас Э.Й., Майминас Е.З. Решения: теория, информация, мо- делирование. — М.: Радио и связь, 1981.-328с.

9. Раврилец Ю.Н. Целевые функции социально-экономического пла- нирования. М.: Экономика, 1983.-275с.

10. Вольский В.И., Лезина З.М. Ролосование в малых группах. —М.: Наука, 1991.-192С.И. Рермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования онераций. — М.Наука, 1971.-383с.

11. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимиза- ция. М.: Наука, 1981.-384с.

12. Дэвид Г. Метод парных сравнений. М.: Статистика, 1978.-144 с.

13. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложения к пред- ставлению знаний в информатике: Пер. с фр. —М.: Радио и связь,1990.-288С.

14. Евланов Г., Кутузов В.А. Экспертные оценки в унравлении. М.: Экономика, 1978.-133 с.

15. Жуковин В.Е. Модели и процедуры принятия решений. Тбилиси, Мецниераба, 1981.-118с.

16. Заде Л.А. Основы нового нодхода к анализу сложных систем и прицедуры принятия решений // Математика сегодня. М.: Знание,1974.-273С.

17. Зубов В.И., Петросян Л.А. Задача распределения капиталовложе- ний. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1971.-24с.

18. Зубов В.И., Петросян Л.А. Математические методы в нланирова- нии. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1982.-112с.

19. Канлинский А.И., Позняк А.С, Пропой А.И. Условия оптималь- ности для некоторых задач стохастического программирования //Автоматика и телемеханика.-1971.-№10.-с.87-94.

20. Карманов В.Г. Математическое программировапие. М.: Паука, 1975.-272С.

21. Кини Р.Д., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замеп.,ения. —М.: Радио и связь, 1981.-560с.

22. Кирута А.Я., Рубинов A.M., Яновская Е.В. Оптимальный выбор распределений в сложных социально-экономических задачах (ве-роятностный подход). — Ленинград: Паука, 198О.-167с.115

23. Ковалев В.В. Методы оценки инвестиционных проектов. М.: Фи- нансы и статистика, 1998.-144с.

24. Колбин В.В. Стохастическое программирование. Итоги науки. Теория вероятностей. Мат. Статистика. Теоретическая киберне-тика. М., 1970.-119С.

25. Колбин В.В., Кудряшова Т.Е. Манипулирование в социальном вы- боре - СПб: СПбГУ, 2002. - 19с.

26. Колбин В.В., Кудряшова Т.Е. Прогнозирование результатов в за- дачах социального выбора// Процессы управления и устойчиво-сти: Труды XXXIV научной конференции студентов и аспирантовфакультета ПМ-ПУ. - СПб: ООП ПИИ Химии СПбГУ, 2003. - с.532-536.

27. Колбин В.В., Кудряшова Т.Е, Пронькина Ж.В. Оптимизация ин- вестиционного портфеля// Процессы управления и устойчивости:Труды XXXV научной конференции студентов и аспирантов фа-культета ПМ-ПУ. - СПб: ООП ПИИ Химии СПбГУ, 2004. - с.624-628.

28. Колбин В.В., Кудряшова Т.Е. Модели и методы парных эксперт- ных оценок (ПЭО). - СПб: СПбГУ, 2006.-90с.

29. Колбин В.В., Кудряшова Т.Е. Групповые решения в простран- ствах нечетких бинарных отношений - СПб: СПбГУ, 2006.-43с.

30. Колбин В.В., Кудряшова Т.Е. Исследование групповых решепий в условиях нечетких данных // Процессы управления и устойчиво-сти: Труды XXXVn научной конференции студентов и аспирантовфакультета ПМ-ПУ. - СПб: ООП ПИИ Химии СПбГУ, 2006. - с.569-573.116

31. Колбин В.В., Кудряшова Т.Е. Манипулирование в социальном вы- боре // Устойчивоть и процессы управления — СПб: ООП НИИХимии СПбГУ, 2005. с.654-657.

32. Колбин В.В. Голосование в малых грунпах // Учебное пособие к специальному курсу «Теория решений», ООП ПИИ Химии СПб-ГУ, 2001. - 68с.

33. Колбин В.В., Шагов А.В. Модели принятия решений: Учебное по- собие к специальному курсу "Теория решений". —СПб: ООП ПИИХимии СПбГУ, 2002.-48С.

34. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. —М.: Наука, 1982,-482с.

35. Кудряшова Т.Е. Проблемы распределения риска// Процессы управления и устойчивости: Труды ХХХП научной конференциистудентов и аспирантов факультета ПМ-ПУ. — СПб: ООП НИИХимии СПбГУ, 2001.-С.395-399.

36. Кудряшова Т.Е. Аддитивный и мультипликативный методы пар- ных экспертных оценок// Процессы управления и устойчивости:Труды XXXVI научной конференции студентов и аспирантов фа-культета ПМ-ПУ. - СПб: ООП ПИИ Химии СПбГУ, 2005. - с.510-516.

37. Кудряшова Т.Е., Чередниченко СП. Методы манипулирования голосованием в социальных группах // Экономика, экология и об-ш,ество России в 21-м столетии: Труды 4-й Международной науч.-практ. конф. Том 1 - СПб: Изд-во СПбГТУ, 2002. - с. 268-270.

38. Кузьмин В.В., Овчинников СВ. Построение групповых решений в пространствах четких бинарных отношений. М.: ВПИИСИ, 1979.117

39. Лезина З.М. Процедуры коллективного выбора // Автоматика и телемеханика. —1987.-8.-C.3-35.

40. Льюс Р.Д., Райфа X. Игры и решения. —М.: Иностранная лите- ратура, 19б1.-642с.

41. Макаров И.М., Виноградская Т.М., Рубчинский А.А., Соколов В.Б. Теория выбора и принятие решений. —М.:Наука, 1982-328с.

42. Мирзоахмедов Ф., Михалевич М.В. Прикладные аспекты стоха- стического программирования. Душанбе, <Маориф», 1989.-340с.

43. Молодцов Д.А. Устойчивость принципов оптимальности. —М.: Па- ука, 1987.-280С.

44. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: Аксиомы и модели. — М.: Мир, 19.-91-463С.

45. Пейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и математическое поведение.-М.: Паука, 1970.-707с.

46. Печеткие множества в моделях управления и искусственного ин- теллекта/Под ред. Д.А. Поспелова. —М.: Паука, 1986.-312с.

47. Печеткие множества и теория возмоджностей. Последние дости- жения: Пер. с англ./Под ред. P.P. Ягера. —М.: Радио и связь,1986.-408С.

48. Орловский А. Проблемы принятия решений при нечеткой ис- ходной информации. —М.: Паука, 1981.-208с.

49. Петросяп Л.А. Дифференциальная игра распределепия капита- ловложений и ресурсов // Управляемые динамические системы.-Саранск, 1991.-е. 4-11.

50. Петросян Л.А. Задача распределения капиталовложений по от- раслям. Теоретико-игровой подход // Математические методы всоциальных науках.-Вильнюс, 1981.-Вьш. 14.-е. 51-59.118

51. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решений мно- гокритериальных задач.М.: Наука, 1982.-254с.

52. Нытьев Ю.П. Возможность. Элементы теории и применения. —М.: Эдиториал УРСС, 2000.-192с.

53. Райхман Э.П. Экспертные методы в оценке качества товаров. М.: Экономика, 1974. 151 с.

54. Саати Т. Нринятие решений. Метод анализа иерархий М.: Радио и связь, 1993. Автоматика и телемеханика. 1997. № 10. 175-179.

55. Современное состояние теории исследования операций/Под ред. Н.Н. Моисеева. —М.: Наука, 1979.-464с.

56. Статистические методы анализа экспертных оценок. М.: Наука, 1977.

57. Хитров Г.М., Хованов Н.В. Нростая модель обмена: основные предположения и ближайшие следствия. Вестник СНбГУ, сер. 5,1992, вып. Ш (№26), с. 101-106.

58. Чередниченко Н., Кудряшова Т.Е. Устойчивость принципов оп- тимизации в экономике// Экономика, экология и обш,ество Россиив 21-м столетии: Труды 4-й Международной науч.-практ. конф.Том 4 - СНб: Изд-во СНбГТУ, 2002. с. 119-120.

59. Чередниченко Н., Кудряшова Т.Е. Устойчивость задач многоце- левой оптимизации// Нроцессы управления и устойчивости: Тру-ды XXXHI научной конференции студентов и аспирантов факуль-тета НМ-НУ. - СНб: ООН ННН Химии СНбГУ, 2002. - с.517-520.

60. Фишберн Н.С. Теория полезности для принятия решений. — М.: Наука, 1978.-352С.

61. Юдин Д.Б. Задачи и методы стохастического программирования. М.: Советсткое радио, 1979.-392с.119

62. Юдин Д.Б. Математические методы управления в условиях неполной информации.М.: Советское радио, 1974.-400с.

63. Fishburn Р.С. А general theory of subjective probabilities and expected utilities.Ann. Math.Statistisc 40, 1969.-p. 1419-1429.

64. Fishburn P.С Even-chance lotteries in social choice theory // Theory andDecision.-1972.-Vol.3.-p.l8-40.

65. Gibbard A. Manipulation of voiting schemes: a general rezult // Econometrica.-1973.-41.-P.587-601.

66. Kail P. Stochastic programming // European J. Oper.Res. -1982.- Vol.lO.-p.l25-130.

67. Kataoka S. «On Stochastic Programming I: Stochastic Programming and its Application to Production Horizon Problem», HititsubashiJournal Arts Science, 1962 г., №2. 23-35.

68. Kaufmann A. Introduction the Theory of the Fuzzy Subset. Vol. I, New Jork, Academic: Press, 1975.

69. Keeney R.L. Quasi - separable utility function // Naval Research 1.ogistics Quartery -1968.-15.P.551-565.

70. Keeney R.L. Multiplicative utility function // Operations Reserch. — 1974.-22.-P.22-34.

71. Kolbin V.V. "Stochastic programming"Boston - USA, 1977r.

72. Kolbin V.V. Systems Optimization Methodology. World Siencetific Publicom // Singapore, 2000 part I, part IL

73. Mouhn H. Choosing from a tournament // Social Choice and Welfare. - 1986-3.-R271-291.

74. Negoita C.V., Minou S., Stan E. On considering imprecision in dynamic linear programming // ECEESR.-1976.-3.-P.83-95.120

75. Sengupte J.K., Tintner G. A review of stohastic linear programming // Internat. Statist. Rev.-1971.-VoL39.-p.l97-223.

76. Wets R. Stohastic programs with fixed recourse // SIAM Rev.-1974.- Vol.l6.-p.309-339.

77. Yilmaz M.R. Multiattribute utility theory: a survey // Theory and Decision.-1978.-Vol.9.-№4.-p.317-347.

78. Zadeh L.A. Fuzzy Sets // Information and Control.-1965.-vol 8.-p. 338-353.

79. Zadeh L.A. Similarity Relations and Fuzzy Orderings. Information Siences.-vol. 3-1971.-p. 177-200.121