Алгебры с нечеткими операциями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ
|
Яхъяева, Гульнара Эркиновна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Алматы
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2000
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.06
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
Па ираиах рукописи
РГб од 1 3 ш ??П(|
Яхъяева Гулытра Эркииовна
АЛГЕБРЫ С НЕЧЕТКИМИ ОПЕРАЦИЯМИ
01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степепп кандидата физико-математических наук
Омск 2000
Работа выполнена в Алматипеком Государственном Университете им. Абая
Научный руководитель - доктор физико-математических наук,
профессор ДОБРИЦА В. II.
Официальные оипопепты - доктор физико-математических ыаук,
КГ. Хисаисш^
- кандидат физико-матем. наук, Ведущая организация - Иркутский государственный университет
Н /Г"
Защита состоится " " декабря 2000 г. в " " часов на заседании специализированного совета К 064.36.02 при Омском государственном университете по адресу: 644077, Омск, пр. Мира 55-А.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университета.
Автореферат разослан " ноября 2000 г.
Ученый секретарь специализированного совета доктор физ.-мат. паук ^ В. А. Романьков
¿/Г&, ОЗ
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы.
В свое время появление формальной логики было шагом вперед в борьбе с неопределенностью, расплывчатостью представления человеческих знаний. Логика была призвана исключить нестрогость, неоднозначность из рассуждений. Теперь же возникла насущная необходимость создания теории, позволяющей формально описывать нестрогие, нечеткие понятия и обеспечивающей возможность продвинуться в познании процессов рассуждений, содержащих такие понятия.
Ситуация ухода от нечеткости существовала до 1965 года, когда Л. Заде предложил теорию нечетких множеств [1] многообещающую теорию и технику для анализа и представления неясных или неточных понятий, используемых в утверждениях о событиях и фактах для описания отношений между объектами или действиями. Нечеткое множество - это математическая модель класса с нечеткими или, иначе, размытыми границами. В этом понятии учитывается возможность постепенного перехода от принадлежности к непринадлежности элемента данному множеству. Иными слонами, элемент может, вообще говоря, иметь степень принадлежности множеству, промежуточную между полной принадлежностью и полной непринадлежностью.
В 1972 году Заде предложил теоретико-мпожественную интерпретацию лингвистических переменных и ограничений [2] , которая отражала лингвистические аспекты отношения принадлежности в нечетких множествах. Например, если высказывание о некотором факте несет оттенок неуверенности, то его можно характеризовать лингвистически как, скажем, истипное, не истинное, очень истинное, более-менее истинное, не очень истинное и т. п., определяя каждым таким истинно-значным представлением нечеткого объекта смысл лингвистического ограничения.
Несколько позже [3] Заде предложил ввести в рассмотрение не-' четкую логику с лингвистическими, а не числовыми значениями истинности. Согласно такой логике высказывание может принимать истинное значение типа: истинно, ложно, абсолютно истинно, совсем ложно и т. п. - и каждое такое значение представляет нечеткое подмножество единичного интервала.
* 3
Далее ¡Заде исследовал метаязык, называемый PRÜF (Possi-biliatic Relational Universal Fuzzy), чтобы отразить смысловое представление естественных языков [4] . Язык PRÜF опирается на логику с лингвистическими значениями истинности, в которой неточность или неясность, присущая естественным языкам, описывается в терминах распределения возможностей. Кванторы в PRÜF также выражаются с помощью лингвистических терминов. Кроме того, понятия семантической равносильности и семантического следования введены так, что PRÜF может служить в качестве языка для системы "вопрос - ответ" и вывода из нечетких посылок.
Современная библиография по теории нечетких множеств, содержащая несколько тысяч единиц, охватывает не только теоретические аспекты теории, но и такие прикладные области, как распознавание образов, кластерный анализ, принятие решений, разработка роботов, медицинская диагностика, инженерное искусство, системное моделирование, процесс управления, психология, лингвистика, общественные и политические науки, управление каким-либо процессом, в том числе и наукой. Что же достигнуто с помощью теории нечетких множеств в различных отраслях человеческих знаний?
В философском плане теория нечетких множеств примечательна тем, что открывает новый подход к решению проблемы абстракции и образования понятий, обладающих богатством всевозможных оттенков [5-7].
В области анализа больших систем (например, системы управления экономикой страны, отрасли т. д.) открывается возможность моделирования неопределенности, .выраженной, в частности, в градациях информированности центра о ниже лежащих уровнях [8-13],
В области психологии - это моделирование свойств целостности, диффузности психических образов и представлений, гибкости мышления, многозначности элементов языка, присутствующих на всех уровнях отражения, регуляции и коммуникации [14,15].
В области лингвистики - это моделирование смысла предложений и текстов с помощью распределения возможностей, описываемых функциями принадлежности [16-20].
В области здравоохранения - разработка информациошю-техно-
4
логических методов диагностирования и создание на их основе автоматизированных диагностирующих систем [21-24].
В области техники теория нечетких алгоритмов стимулирует развитие гибких автоматизированных производств и робототехпи-ческих комплексов, в частности, роботов, способных выполнять отдельные интеллектуальные действия человека [25-28]. Это дало толчок как развитию командного управления (выполнение нечетких инструкций), так и созданию управляемых систем с повышенной автономностью. Открытость системы, взаимодействие с внешней средой ставят целый ряд новых проблем при конструировании соответствующих моделей. Эти проблемы связаны с неопределенностями, неизбежными при описании состояния внешнего мира. Источниками неопределенности такого представления являются: невозможность сколь угодпо точного измерения реальных величин; невозможность полного и четкого описания многих физических объектов и ситуаций; принципиальные ограничения но точности и большие погрешности выполнения сенсорных или перцептивных действий; неточность исполнительских действий, которые зачастую не достигают цели; недостаточность размерности модели, не позволяющая отразить все значимые свойства объективного мира.
Эти рассуждения наталкивают на мысль о несовершепстве метода нечетких множеств для формализации окружающего нас мира. Общество нуждается в новых способах борьбы с неопределенностью, расплывчатостью представления человеческого знания, которые в совокупности с методом нечетких множеств дали бы нам возможность создания более приближенных к действительности формальных систем.
С множеством неопределенностей такого рода справляется интервальный анализ. Непосредственное применение интервальных методов в вычислительных процессах позволяет заключить в интервалы решения задач, о входных данных которых известно лишь то, что они лежат в определенных интервалах [30]. Однако, при точном определении входных данных задачи, получаемые решения так же являются точными значениями.
В природе же часто встречаются процессы, в которых не объекты, а действия над ними содержат нечеткость. Так, например, связь между поколениями осуществляется через гепы, которые
5
определяют развитие того или иного признака. Обозначим ген, определяющий доминантный призпак буквой А, а соответствующий ему рецессивный геи - буквой а. Тогда каждый из двух предков обладает гаметой АА, либо Аа, либо аа.
Гипотеза чистоты гамет устанавливает, что закон расщепления есть результат случайного сочетания гамет, несущей ген А или же а, при условии равной жизнеспособности гамет и равного их количества, одинаково вероятного контактирования. При случайном характере соединения гамет общий результат оказывается закономерным. Здесь видна статистическая закономерность, определяемая большим числом равновероятных встреч гамет.
В этом примере мы имеем конкретные объекты, действия производимые над которыми расплывчатые. Вопросам исследования алгебраических систем, содержащих нечеткие операции, и посвящена настоящая работа.
Цель работы.
1. Описать принцип построения нечеткой операции, т. е. операции, результатом действия которой является не один объект, а целое множество объектов, каждый из которых задается с некоторым предпочтением.
2. Исследовать структуру и основные свойства алгебр с нечеткими операциями.
Научная новизна.
Все результаты, полученпые в диссертации, являются новыми и снабжены подробными доказательствами.
Теоретическая и практическая ценность.
Полученные результаты имеют теоретическую ценность и могут быть использованы в дальнейших исследованиях алгебраических систем с нечеткими операциями, а так же может использоваться при описании объектов с нечетким выполпепием операций.
Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались на:
6
« международной конференции по математике, посвященной памяти А. Д. Тайманова (г. Л л маты, 1998),
• международной конференции по математической логике, посвященной 90-летию со дпя рождения А. И. Мальцева (г. Новосибирск, 1999),
в международной конференции "Логика и приложения", посвященной 60-летию академика Ю. Л. Ершова (г. Новосибирск, 2000),
в заседаниях объединенного семинара лабораторий программных систем и лаборатории логических основ программирования института информационных технологий и прикладной математики СО РАН
« заседаниях Алматинского городского семинара но алгебре и математическуй логике,
в заседаниях семинара "Прикладные вопросы математики" института теоретической и прикладной математики HAH PK
в заседаниях семинара "Вопросы языкознания" филологического факультета ЛГУ им. Абая
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 103 наименований и занимает 102 страницы машинописного текста.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обсуждаются предпосылки возникновения теории нечетких объектов ("fuzzy"), раскрывается широта применения этого направления в различных отраслях науки, обосновывается актуальность решаемых в диссертационной работе задач.
В первой главе дается обзор основных направлений теории "fuzzy", который показывает, что проводившиеся до сих пор исследования в данной области касались только систем с "нечеткими" отношениями, но обычными "четкими" операциями. В дан-
7
ной диссертационной работе предлагается новый нодход к проблеме формализации неточных знаний через системы, содержащие "четкие" отношения, но "нечеткие" операции.
При исследовании арифметики в той или иной форме проводится аналогия с' числовыми множествами. Вторая глава диссертационной работы посвящена изучению нечеткого натурального ряда и нечеткого целочисленного ряда.
В разделе 2.1, опираясь на аксиоматику Пиано, была построена аксиоматическая теория, моделями которой являются нечеткие натуральные ряды. В качестве универсума рассматривается частично упорядоченное множество < Ь, F >, где Р - некоторое антирефлексивное, антисимметричное, транзитивное отношение. На множестве Ъ вводится нечеткое отношение Р, зависящее от заданного частичного порядка Р следующим образом:
Р(а,Ь) >0 [<а,6>€^А ~>Эс(< а,с>€ РА < с, 6 >6 Р)]-
Огпошение Р называется нечетким отношением непосредственного следования. Фиксируется натуральное число к и требуется выполнение следующих аксиом:
1. Существует конечное число п < к элементов е1,е2,...,е„ не имеющих предшественников. Эти элементы назовем единицами.
2. Для любого элемента х существует не более к непосредственных последователей.
3. Для любого элемента х, не являющегося единицей, существует не более к непосредственных предшественников.
4. Любые две единицы имеют общий непосредственный последователь.
5. 15с л и два элемента имеют общий непосредственный предшественник, то все непосредственные предшественники одного из них являются непосредственными предшественниками другого.
С. Если два элемента имеют общий непосредственный предшественник, то оии имеют и общий непосредственный последователь. В
7. Если, некоторым формульным свойством ф(х) обладает хотя бы одна единица и из того, что этим свойством обладает некоторый элемент х следует, что и все его непосредственные последователи обладают этим свойством, то данным свойством обладает все мпожество Ь за исключением , может быть, некоторых единиц.
Подход к определению функции от п переменных как к отношению от п + 1 переменной, обладающему определенными свойствами, а так же бурное развитие теории нечетких отношений наталкивает па мысль о возможности задания специфического класса функций, построенных на. базе нечетких отношений. Раздел 2.2 посвящен изучению таких функций. Вполне естественно выглядело бы назвать эти фупкцин "нечеткими". Однако этот термин уже был использован для объектов немного другой природы [2.9]. В связи с этим, рассматриваемые нами функции мы будем называть "размытыми".
В разделе 2.3, используя понятие размытой функции, на системе Ь вводятся размытые аналоги основных арифметических операций, исследуются основные свойства этих операций.
В третьей главе производится дальнейшее обобщение понятия размытой алгебраической операции, в частности рассматривается размытая функция от двух переменных.
Раздел 3.1 посвящен исследованию свойств коммутативности и ассоциативности размытой операции. Особое внимание уделяется композиции размытых операций. Выполняя первую операцию композиции мы получаем множество, поэтому, вынолняя второй раз операцию, мы вынуждены умножать элемент на множество. В связи с этим предлагается алгоритм выполнения композиции и обосновывается целесообразность выбора данного алгоритма.
Раздел 3.2 носпящен исследованию нейтральных и обратных элементов относительно размытой бинарной операции. Показано, что в отличие от классического случая, система с размытой операцией может обладать более чем одним нейтральным элементом.
Произведение двух пейтральных элементов е^ и е2 с некоторой точностью дает каждый из этих элементов. Но в результате выполнения нечеткого умножения ех * е2 мы с некоторой вероятностью можем получить элемент не равный ни ед, ни е2. Вполне
9
естественно выглядело бы, если этот элемент так же был бы ней тральным. Возникает вопрос, при каких условиях это возможно'
Для получения ответа на этот вопрос вводится определение
Определение 3.2.3 Нечеткую операцию * назовем компакт ной, если для любых а, Ь, с 6 А выполняется условие
За; € (0,1] [а * Ь —а с] Vй[{а,*Ъ) * (1 = с* й Л в. * (а * Ь) = ё * с]
и доказывается теорема
Теорема 3.2.4 Если нечеткая операция ассоциативна и ком пактпа, то произведение двух любых нейтральных элемептос с некоторой приоритетностью дает каждый нейтральный элемент.
В этом же параграфе так же показано, что в системе с размытой операцией для любого элемента, относительно каждого нейтрального элемента, может существовать более одного обратного А так же доказана следующая теорема.
Теорема 3.2.8 Если операция * ассоциативна и компактна, то для любых нейтральных элементов е^ег классы [а-'1] и [а-62] совпадают,.
В разделе 3.3 дается определение размытой группы. Помимо традиционных свойств ассоциативности, существования нейтрального элемента и существования обратного элемента, размытая группа должна так же обладать свойством комнактности, введенным в предыдущем разделе.
В разделе 3.4 показывается, что взаимно-однозначное отображение, сохраняющее операцию, в случае размытых операций не является достаточным для определения изоморфизма размытых групп. Для определения этого понятия необходимым, является условие "сохранения порядка на весовых числах", которое подробно описывается в разделе 3.5.
Раздел 3.6 посвящен изучению гомоморфизмов размытых груш Под гомоморфизмом размытых групп понимается отображение уз, обладающее следующим свойством:
За € (0,1] [а * Ь =в с] => Э/? € (0,1] [р(а) о <р(Ь) р(с)].
Показано, что в отличие от четкого случая, данный гомоморфизм может "забывать" свойство ассоциативности. Этот гомоморфизм может так же "забывать" и свойство комнактности. В связи с этим доказана следующая теорема.
10
Теорема 3.6.1 Пусть < Gi, * > - размытая группа и < G2, о > - некоторая размытая алгебра. Пусть отобралсенис ip : G\ G2 сохраняет операцию. Тогда, если алгебра ассоциативна и компактна, то алгебра < > является размытой группой.
Фактор-группа G/E (где Е - множество всех нейтральных элементов) является обычной четкой группой и названа нами скелетной группой для размытой группы G.
Теорема 3.6.6 Необходимым и достаточным условием для существования гомоморфного отображения размытой группы G па размытую группу Gj является существование гомоморфизма соответствующих им скелетных групп.
Прообраз всех нейтральных элементов назван ядром гомоморфизма размытых групп. Так же как и в классическом случае, ядро гомоморфизма размытых групп является размытой группой. Однако из теоремы 3.(i.G вытекает следующее следствие:
Следствие 3.6.7 Существуют различные гомоморфизмы, переводящие группу Gj в группу <72, обладающие одним и тем vice ядром.
В случае нечетких операций в группах видоизменяется и основная теорема о гомоморфизмах.
Теорема 3.6.8 Если <уа - гомоморфизм размытой группы G на разлттую группу G' с ядром Kertp — Н, то Gf л ~ G'/в1-
Рассмотрим две ралмытые равномощпые и неизоморфные группы Gi и Go. Гомоморфное отображение группы Gr па группу G2 называется родственным гомоморфизмом. Частным случаем родственного гомоморфизма, при общем носителе, является отображение (р : х х, которое называло тождественным гомоморфизмом. В отличие от четкого случая, тождественный гомоморфизм может переводить размытую группу на некоторую равномощную неизоморфпуто ей группу.
Если ядро гомоморфизма состоит только из нейтральных элементов, то такой гомоморфизм назовем гомоморфизм с тривиальным ядром.
Теорема 3.6.12 Всякий гомоморфизм из размытой группы G в размытую группу G' мо-жет быть представлен в виде композиции тююдественпого гомоморфизма и гомоморфизма с тривиальным ядром.
В четвертой главе предлагаются на рассмотрения два конкретных приложепия размытых алгебраических структур. В разделе 4.1 описывается размытая динамическая модель клеточного цикла, которая позволяет' формализовать гетерогенность, связанную с ростом и развитием биологической клетки. Строится модель, изоморфная размытому патуральпому ряду, введенному и описанному в главе 2.
В разделе 4.2 описывается ряд лингвистических моделей, каждая из которых изоморфна некоторой конечной размытой группе.
Мы не знаем, в чем в действительности состоит "процедура" мышления человека. Но мы хорошо знаем, что на уровпе коммуникации при общении друг с другом люди широко используют формальную логику. И здесь немедленно возникает вопрос: в чем же тайна нашего языка?
Концепция полиморфизма является ответом на этот и многие другие вопросы. Нечеткие и неотчетливые по своему смыслу слова с неровными краями областей их значений, неясность разграничительных линий между понятиями, их многообразие и пестрота - все это создает возможность для нарушения строго дедуктивных форм мышления.
Для того, чтобы ваш собеседник смог более точно иоцять смысл, который вы вкладываете в даппоеслово, вы должны "подсказать" ему синонимический ряд, которому это слово принадлежит. Формализация этой процедуры описывается в разделе 4.2.1.
А как же быть, если вы и ваш собеседник говорите на разных естественных языках? Если далее ваш собеседник знает перевод всех слов вашего словарного запаса на свой язык, вам будет трудно передать смысл, который вы вкладываете в сказанное слово. Ведь помимо того, что ваше слово может принадлежать разным сипонимическим рядам, его перевод так же может соответствовать разным понятиям. Для того, чтобы преодолеть эту проблему, на множестве Í20 слов вашего естественного языка и на множестве fíj слов языка вашего собеседника зададим структуры нечетких множеств, сопоставленных одиому и тому же набору понятий. Очевидно, что па множествах О0 и Í2j нельзя задать взаимно однозначное отображение "перевода". Однако, если сопоставлять друг другу синонимические ряды, отвечающие одному понятию,
12
то множества синонимических рядов будут обладать таким отображением. Теперь, для того, чтобы собеседник вас понял, вместе со словом вы должны указать синонимический ряд, которому это слово принадлежит. Тогда, производя перевод всего синонимического ряда, ваш собеседник безошибочно определит то понятие, которое вы хотели охарактеризовать. Весовые же характеристики слов позволят ему подобрать в своем словаре более удачный перевод вашего слова. Формализация этой процедуры онисана в разделе 4.2.2.
В разделе 4.2.3 показана возможность построения понятийного словаря-переводчика, содержащего один родной язык и конечное число иностранных языков.
Предлагаемые нами модели не претендуют на отражение всех грааий естественных языков. Мы просто надеемся, что данные исследования станут еще одним шагом ца цути совершенствования формализации работы с естественными языками.
В заключении перечисляются три различных направления в изучение "нечеткости", обсуждаются перспективы дальнейшего исследования как нечетких; так и размытых систем.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Основные результаты диссертации состоят в следующем:
1. Разработана методология определения алгебр с нечеткими операциями (размытые алгебры).
2. Дано определение и доказаны основные свойства размытых групп.
3. Дан критерий изоморфности размытых групп.
4. Установлены основные свойства гомоморфизмов размытых групп, доказана теорема о гомоморфизмах.
5. Найдены приложения понятия размытых алгебр в генетике, биологии и лингвистике.
ЛИТЕРАТУРА
1. Zadeh L.A. Fuzzy seta // Inform, aud control. 1965. - Vol. 8. -P. 338-353.
2. Zadeh L.A. A fuzzy-set-theoretic interpretation oflinguistic hedges // J. Cybern. 1972. - Vol. 2. - P. 4-34.
3. Zadeh L.A. The concept of linguistic variable and approximaterea-soning // information Sciences. 1974. - Vol. 8. - P. 199-249.
4. Zadeh L.A. PRUF - a meaning representation language for natural languages // Int. J. Man - Mach., Stud. 1978. - Vol. 10. -P. 395-460.
5. Swapan R., Kumar S. R. Reasoning with vague truth.// Fuzzy Sets and Sistems. 1999. - Vol. 105, N3. - P. 385-399.
6. Tzouvaras A., Modeling vagueness by nonstandardness // Fuzzy Sets And Systems. 1998. - Vol. 94, N3. - P. 385-396.
7. Pedrycz W., Fuzzy set technology in knowledge discovery // Fuzzy Sets And Systems. 1998. - Vol. 98, N3. - P. 279-290.
8. Dompere K. K. The theory of social costs and costing for cost-benefit analysis in a fuzzy-decision space // Fuzzy Sets and Sistems. 1995. - Vol. 76, N1. - P. 1-24.
9. Dompexe K. K. The theory of approximate prices: Analytical foundations of experimental cost-bencfit analysis in a fuzzy-decisioi space // Fuzzy Sets And Systems. 1997. - Vol. 87, N1. - P. 1-26.
10. Wu K. Consumer surplus and producer surplus in fuzzy sense // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. - Vol. 103, N3. - P. 405-419.
11. Yao J. S., Wu K. Consumer surplus and producer surplus for fuzzy demand and fuzzy supply // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. - Vol. 103, N3. - P. 421-426.
12. Buckley J.J. Solving fuzzy equations in economics and finance // Fuzzy Sets and Sistems. 1992. Vol. 48, N3. - P. 289-296.
13. Fedrizzi M., Ostasicwicz W. Towards fuzzy modelling in economics // Fuzzy Sets and Sistems. 1993. - Vol. 54, N3. - P. 259-268.
14. Figue J., Grabisch M., Charbonuel M. P. A method for still image interpretation relying on a multi-algorithms fusion scheme. Application to human face characterization // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. - Vol. 103, N2. - P. 317-337.
15. Su Lan, Mo Zhiwen Closure of finite-state automaton languages // Fuzzy Sets and Sistems. 1995. - Vol. 75, N3. - P. 393-397.
16. Herrera F., Herrera-Viedma E., Verdegay J. L. Choice processes for non-homogeneous group decision- making in linguistic setting // Fuzzy Sets And Systems. 1998. - Vol. 94, N3. - P. 287-308.
17. Herrera F., Herrera-Viedma E., Verdegay J. L. A model of consensus in group decision making under linguistic assessments // Fuzzy Sets and Sitsems. 1996. - Vol. 78, N1. - P. 73-87.
18. Goran B. D., Endre Pap Multicriteria-multistages linguistic evaluation and ranking of machine tools // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. - Vol. 102, N3. - P. 451-461.
19. Wen-June Wang, Shao-Feng Yan, Chih-Hui Chiu Flexible stability criteria for a linguistic fuzzy dynamic system // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. - Vol. 105, N1. - P. 63-80.
20. Blanco A., Delgado M., Fajardo W. Representation model of information in linguistics terms // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. - Vol. 107, N3. - P. 277-287.
21. Strackeljan J., Behr D., Kocher Т., Fuzzy-pattern recognition for automatic detection of different teeth substances // Fuzzy Sets And Systems. 1997. - Vol. 85, N2. - P. 275-286.
22. Waschek Т., Levegrn S., van'Kampen M., Glesner M., Engenhart-Cabillic R., Schlegel W. Determination of target volumes for three-dimensional radiotherapy of cancer patients with a fuzzy system // Fuzzy Sets And Systems. 1997. - Vol. 89, N3. - P. 361-370.
23. Нурманганбегова M.O., Применение методов принятия решений на основе нечетких множеств в медицине // "Новости науки Казахстана!', экспресс информация. 1994.
24. Maim R., Mira J. On knowledge-based fuzzy classifiers: A medical case study // Fuzzy Sens and Sistems. 1991. - Vol. 44, N3. - P. 421-430.
25. Fat hi M., Lambrecht M. EBFLATSY: A fuzzy logic system tc calculate and optimize parameters for an electro a beam welding machine// Fuzzy Sets and Sistems. 1995. Vol. 69, N1. - P. 3-13.
26. Trauwacrt E., Reynders R., T. Van Roy Fuzzy optimization and nuclear production processes // Fuzzy Sets and Sistems. 1995. -Vol. 74, N1..-P. 93-102.
27. Van de Walle В., De Baets В., Kerre E. E. Fuzzy multi-criteria analysis of cutting techniques in a nuclear reactor dismantling project // Fuzzy Sets and Sistems. 1995. - Vol. 74, N1. - P. 115-126.
28. Kitainik L. M. Cut technique in valued relational systems: mainsprings and applications // Fuzzy seta and Sistems. 1995. - Vol. 75, N2. - P. 143-164.
29. Dombi J. Л general class of fuzzy operators, the De Morgan class of fuzzy operators and fuzz'mess measures induced by fuzzy operators // Fuzzy Sets and Sistems. 1982. - Vol. 8. - P. 55-73.
30. Nogueira M., Nandigam F. Why Intervals? Because if we allow other sets, tractable problem become intractable // Reliable Computing. 1998. Vol. 4. - P. 389-394.
РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
31. Яхъяева. Г. Э. О нечетком отношении следования на нечетких счетных множествах // Поиск. Алматы. 1998. - Т. 3. - С. 115120.
32. Яхъяева Г. Э. Одно нечеткое отношение непосредственного следования // Труды конференции по математике, посвященной памяти А. Д. Тайманова. Алматы. 1998. - С. 120-123.
33. Добрица В. П., Яхъяева Г. Э. О возможных подходах в изучении нечеткости // Материалы годичной научной конферен-
16
ции профессорско-преподавательского состава и аспирантов МН и ВО РК, АГУ им. Абая. Алматы. 1999. - С. 58-59.
34. Яхъяева Г. Э. О нечетких функциях от одной переменной // Вестник КазГУ: серия математика, механика, информатика. Алматы. 1999. - Т. 3, N17. - С. 147-152.
35. Добрица В. ГГ., Яхъяева Г. Э. О группах с нечеткими операциями // Материалы международной конференции по математической логике, посвященной 90-летию со дня рождения А. И. Мальцева. Новосибирск. 1999. - С. 18-19.
36. Добрица В. П., Яхъяева Г. Э. О группах с нечеткими операциями // Вычислительные системы. Новосибирск. 1999, N 165. - С.127-138.
37. Яхъяева Г. Э. Изоморфизмы размытых групп // Вестник ЛГУ: серия физико-математических наук. Алматы. 2000. -N1. - С. 90-98.
38. Добрица В. П., Яхъяева Г. Э. О гомоморфизмах размытых групп / / Тезисы меж;«у народной конференции "Логика и приложения", иоспящеппой 60-летяю академика Ю. Л. Ершова. Новосибирск. 2000. - С. 43-44.
?9. Добрица В.Г1., Яхъяева Г.Э. Огомоморфизмах размытых групп // Сиб. мат. журнал. Новосибирск. - (в печати)
Подписано в печать 10.11.2000. Формат издания 60x84 1/16. Объем 1 уч.-изд.л. Тираж 100 экз. Заказ 81.
Участок оперативной печати Алматинского государственного университета им.Абая. 480100, г.Алматы, пр.Достык, 13, АГУ им.Абая. Тел. 91-82-49
ПЕРЕЧЕНЬ ТЕРМИНОВ.
ВВЕДЕНИЕ.
1. Обзор направлений теории "fuzzy"
2. Размытые порядки
2.1. Нечеткое отношение непосредственного следования
2.2. Размытые функции.
2.3Ь Размытая арифметика
2.4. Размытый линейный порядок.
3. Размытые группы
3.1. Нечеткие операции.
3.2. Нейтральные и обратные элементы
3.3. Группы с нечеткими операциями.
3.4. Структура размытой группы
3.5« Изоморфизм размытых групп.
3.6, Гомоморфизмы и фактор-групцы размытых групп
4. Практические приложения размытых алгебр
4.1. Размытая динамическая модель клеточного цикла
4.2. Лингвистические размытые модели.
4.2.1. Алгоритм определения семантического поля данного слова.
4.2.2. Двухязыковой словарь-переводчик.
4.2.3. Многоязыковой словарь-переводчик.
В свое время появление формальной логики было шагом вперед в борьбе с неопределенностью, расплывчатостью представления человеческих знаний, что приводило к непониманию между различными субъектами. Логика была призвана исключить нестрогость, неоднозначность из рассуждений. Теперь же возникла насущная необходимость создания теории, позволяющей формально описывать нестрогие, нечеткие понятия и обеспечивать возможность продвинуться в познании процессов рассуждений, содержащих такие понятия.
Анализируя конкретную систему, мы фактически рассматриваем выделенную нами часть более полной сложной системы. Само это выделение мы производим, поскольку не в состоянии охватить и достаточно компактно математически описать и исследовать все многообразие свойств полной системы. Выделяя подсистему, мы фактически вводим границы, которые на самом деле не существуют. Анализируя выделенную подсистему, мы не можем игнорировать ее связи с остальной частью более полной системы. Не имея возможности и средств точно описать все эти связи, мы используем либо свои собственные представления об этих связях, либо обращаемся за помощью к экспертам, которые этими представлениями обладают. Важно то, что эта информация чаще всего бывает выражена в понятиях, которые имеют нечеткий смысл с точки зрения классической математики.
В свете господствующего мнения, порожденного так называемой декартовой рационалистской методологией, традиционно существует тенденция отвергать такие термины, как неясность, неопределенность, нечеткость и неточность из-за их ненаучной или иррациональной концепции. Однако в реальном мире мы неминуемо сталкиваемся со множеством случаев, когда невозможно избежать проблемы учета неясной или неточной информации о сведениях, явлениях или событиях и т.п. Ситуация ухода от нечеткости существовала до 1965 года, когда Л. Заде предложил теорию нечетких множеств [1] - многообещающую теорию и технику для анализа и представления неясных или неточных понятий, используемых в утверждениях о событиях и фактах для описания отношений между объектами или действиями. Нечеткое множество это математическая модель класса с нечеткими или, иначе, размытыми границами. В этом понятии учитывается возможность постепенного перехода от принадлежности к непринадлежности элемента данному множеству. Иными словами, элемент может, вообще говоря, иметь степень принадлежности множеству, промежуточную между полной принадлежностью и полной непринадлежностью.
В 1972 году Заде предложил теоретико-множественную интерпретацию лингвистических переменных и ограничений [2] , которая отражала лингвистические аспекты отношения принадлежности в нечетких множествах. Например, если .высказывание о некотором факте несет оттенок неуверенности, то его можно характеризовать лингвистически как, скажем, истинное, не истинное, очень истинное, более-менее истинное, не очень истинное и т. п., определяя каждым таким истинно-значным представлением нечеткого объекта смысл лингвистического ограничения.
Несколько позже [3] Заде предложил ввести в рассмотрение нечеткую логику с лингвистическими, а не числовыми значениями истинности. Согласно такой логике высказывание может принимать истинное значение типа: истинно, ложно, абсолютно истинно, совсем ложно и т. п. - и каждое такое значение представляет нечеткое подмножество единичного интервала.
Далее Заде исследовал метаязык, называемый PRÜF (Possi-bilistic Relational Universal Fuzzy), чтобы отразить смысловое представление естественных языков [4] . Язык PRÜF опирается на логику с лингвистическими значениями истинности, в которой неточность или неясность, присущая естественным языкам, описывается в терминах распределения возможностей. Кванторы в PRÜF также выражаются с помощью лингвистических терминов. Кроме того, понятия семантической равносильности и семантического следования введены так, что PRÜF может служить в качестве языка для системы "вопрос - ответ" и вывода из нечетких посылок.
Современная библиография по теории нечетких множеств, содержащая несколько тысяч ссылок, охватывает не только теоретические аспекты теории, но и такие прикладные области, как распознавание образов, кластерный анализ, принятие решений, разработка роботов, медицинская диагностика, инженерное искусство, системное моделирование, процесс управления, психология, лингвистика, общественные и политические науки, управление каким-либо процессом, в том числе и наукой. Что же достигнуто с помощью теории нечетких множеств в различных отраслях человеческих знаний?
В философском плане теория нечетких множеств примечательна тем, что открывает новый подход к решению проблемы абстракции и образования понятий, обладающих богатством всевозможных оттенков [5], [6], [7].
В области анализа больших систем (например, системы управления экономикой страны, отрасли т. д.) открывается возможность моделирования неопределенности, выраженной, в частности, в градациях информированности центра о нижележащих уровнях [8], [9], [10], [11], [38], [13].
В области психологии - это моделирование свойств целостности, диффузности психических образов и представлений, гибкости мышления, многозначности элементов языка, присутствующих па всех уровнях отражения, регуляции и коммуникации [14], [15].
В области лингвистики - это моделирование смысла предложений и текстов с помощью распределения возможностей, описываемых функциями принадлежности [16], [17], [18], [19], [20].
В области здравоохранения - разработка информационно-технологических методов деагностирования и создание на. их основе автоматизированных диагностирующих систем [21], [22], [23], [24].
В области техники теория нечетких алгоритмов стимулирует развитие гибких автоматизированных производств и робототех-нических комплексов, в частности, роботов, способных выполнять отдельные интеллектуальные действия человека [25], [26], [27], [28]. Это дало толчок как развитию командного управления (выполнение нечетких инструкций), так и созданию управляемых систем с повышенной автономностью. Открытость системы, взаимодействие с внешней средой ставят целый ряд новых проблем при конструировании соответствующих моделей. Эти проблемы связаны с неопределенностями, неизбежными при описании состояния внешнего мира. Источниками неопределенности такого представления являются: невозможность сколь угодно точного измерения реальных величин; невозможность полного и четкого описания многих физических объектов и ситуаций; принципиальные ограничения по точности и большие погрешности выполнения сенсорных или перцептивных действий; неточность исполнительских действий, которые зачастую не достигают цели; недостаточность размерности модели, не позволяющая отразить все значимые свойства мира.
Эти рассуждения наталкивают на мысль о несовершенстве метода нечетких множеств для формализации окружающего нас.мира. Общество нуждается в новых способах борьбы с неопределенностью, расплывчатостью представления человеческого знания, которые в совокупности с методом нечетких множеств дали бы нам возможность создания более приближенных к действительности формальных систем.
С множеством неопределенностей такого рода справляется интервальный анализ. Непосредственное применение интервальных методов в вычислительных процессах позволяет заключить в интервалы решения задач, о входных данных которых известно лишь то, что они лежат в определенных интервалах [29]. Однако, при точном определении входных данных задачи, получаемые решения так же являются точными значениями.
В природе же часто встречаются процессы, в которых не объекты, а действия над ними содержат нечеткость. Так, например, связь между поколениями осуществляется через гены, которые определяют развитие того или иного признака. Обозначим ген, определяющий доминантный признак буквой А, а соответствующий ему рецессивный ген - буквой а. Тогда каждый из двух предков обладает гаметой АА, либо Аа, либо аа.
Гипотеза чистоты гамет устанавливает, что закон расщепления есть результат случайного сочетания гамет, несущей ген А или же а, при условии равной жизнеспособности гамет и равного их количества, одинаково вероятного контактирования. При случайном характере соединения гамет общий результат оказывается закономерным. Здесь видна статистическая закономерность, определяемая большим числом равновероятных встреч гамет.
В этом примере мы имеем конкретные объекты, действия производимые над которыми расплывчатые.
Идея одного такого способа формализации информации прослеживается еще в работах Е. С. Ляпина. Евгений Сергеевич писал [30] о нередко встречающейся необходимости допустить, чтобы результат действия состоял не из одного элемента, а представлял бы собой некоторое подмножество исходного множества. Однако систематического изучения этого метода до сегодняшнего времени не велось.
Вопросам исследования алгебраических систем, содержащих нечеткие операции, посвящена настоящая работа.
Первая глава - обзорного характера. В ней рассмотрены основные направления теории "fuzzy", показана взаимосвязь этих направлений с исследованиями автора.
При исследовании арифметики в той или иной форме проводится аналогия с числовыми множествами. Вторая глава диссертационной работы посвящена изучению нечеткого натурального ряда и нечеткого целочисленного ряда. Опираясь на аксиоматику Пеано, была построена аксиоматическая теория, модели которой являются нечеткими натуральными рядами. Принципиальное отличие от обычного множества натуральных чисел заключается в том, что каждый элемент имеет не один, а конечное множество последователей. Таким образом, функция непосредственного следования носит нечеткий характер. Далее, в этой главе, производится обобщение понятия нечеткой или, другими словами, размытой функции.
В третьей главе вводится определение размытой алгебраической операции через размытую функцию от двух переменных. Далее, вводится понятие размытой группы, для определения которой помимо традиционных свойств ассоциативности, существования нейтрального элемента, существование обратного элемента, необходимо выполнение еще одного свойства, которое автором предложено назвать свойством компактности. Рассматриваются основные свойства размытых групп.
В четвертой главе предлагаются на рассмотрения два конкретных приложения размытых алгебраических структур. В разделе 4.1 описывается размытая динамическая модель клеточного цикла, которая позволяет формализовать гетерогенность, связанную с ростом и развитием биологической клетки. Строится модель, изоморфная размытому натуральному ряду, введенному и описанному в главе 2. В разделе 4.2 описывается ряд лингвистических моделей, каждая из которых изоморфна некоторой конечной размытой группе. 9
В заключение намечаются дальнейшие направления и перспективы развития теории размытых систем.
Результаты, изложенные в диссертационной работе докладывались следующих международных конференциях: по математике, посвященной памяти А. Д. Тайманова (г. Алматы), по математической логике, посвященной 90-летию со дня рождения А. И. Мальцева (г. Новосибирск), "Логика и приложения", посвященной 60-летию академика Ю. Л. Ершова (г. Новосибирск), а так же на следующих семинарах: общегородском семинаре г. Алматы "Алгоритмические вопросы алгебры и теории моделей", объединенном семинаре лаборатории программных систем и лаборатории логических основ программирования института математики г. Новосибирска, семинаре "Прикладные вопросы математики" института теоретической и прикладной математики HAH PK, семинаре " Вопросы языковедения" филологического факультета АГУ им. Абая г. Алматы.
Я выражаю искреннюю благодарность своему руководителю В. П. Добрице за многочисленные полезные обсуждения результатов и проблематики проводимых исследований. Я также благодарна Ю. И. Маслову за постоянное внимание к работе и моральную поддержку.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Изучение "нечеткости" на алгебраических системах может вестись в трех различных аспектах:
1. Рассматриваются нечеткие отношения, но четкие операции. Это направление активно разрабатывается на западе ("fuzzy"). Множество А задается вместе с функцией приоритета /хд, определенной на этом множестве, и принимающей значения на отрезке [0,1]. Такое множество принято называть нечетким, т.е. отношение принадлежности объектов данному множеству нечеткое. Выполнение же операций над нечеткими объектами остается обычное - "четкое".
2. Наоборот, в рассматриваемой системе все отношения четкие, а операции "размытые", т.е. результатом выполнения операции является целое множество, на котором задана характеристика предпочтительности.
В этом направлении исследования начаты нашей группой. Ранее публикации в этом направлении нами не встречались.
В данной диссертационной работе были рассмотрены алгебраические системы, содержащие одну нечеткую операцию. Дальнейшее исследование предполагает изучение структур, содержащих несколько размытых операций, а также структур, содержащих как четкие, так и нечеткие операции.
Особый интерес представляет изучение колец, обе операции в которых являются размытыми. Если на размытую операцию умножения наложить аналог свойства х • х = х, то, возможно, мы получим размытую булеву алгебру. А это, в свою очередь, приводит к логике, содержащей несколько различных значений истинны и лжи.
3. На системе и отношения, и операции являются нечеткими. Это направление ждет своего исследования. Публикаций по этому подходу нами так же не встречалось.
1. Zadeh L.A. Fuzzy sets // Inform, and control. 1965. Vol. 8. -P. 338-353.
2. Zadeh L.A. A fuzzy-set-theoretic interpretation ofiinguistic hedges // J. Cybern. 1972. Vol. 2. - P. 4-34.
3. Zadeh L.A. The concept of linguistic variable and approximaterea-soning // information Sciences. 1974. Vol. 8. - P. 199-249.
4. Zadeh L.A. PRUF a meaning representation language for natural languages // Int. J. Man - Mach., Stud. 1978. - Vol. 10. -P. 395-460.
5. Swapan R., Kumar S. R. Reasoning with vague truth // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. Vol. 105, N3. - P. 385-399.
6. Tzouvaras A., Modeling vagueness by nonstandardness // Fuzzy Sets And Systems. 1998. Vol. 94, N3. - P. 385-396.
7. Pedrycz W., Fuzzy set technology in knowledge discovery // Fuzzy Sets And Systems. 1998. Vol. 98, N3. - P. 279-290.
8. Dompere К. K. The theory of social costs and costing for cost-benefit analysis in a fuzzy-decision space // Fuzzy Sets and Sistems. 1995. Vol. 76, N1. - P. 1-24.
9. Dompere К. K. The theory of approximate prices: Analytical foundations of experimental cost-benefit analysis in a fuzzy-decisior space // Fuzzy Sets And Systems. 1997. Vol. 87, N1. - P. 1-26.
10. Wu K. Consumer surplus and producer surplus in fuzzy sense // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. Vol. 103, N3. - P. 405-419.
11. Yao J. S., Wu K. Consumer surplus and producer surplus for fuzzy demand and fuzzy supply // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. Vol. 103, N3. - P. 421-426.
12. Buckley J.J. Solving fuzzy equations in economics and finance // Fuzzy Sets and Sistems. 1992. Vol. 48, N3. - P. 289-296.
13. Fedrizzi M., Ostasiewicz W. Towards fuzzy modelling in economics // Fuzzy Sets and Sistems. 1993. Vol. 54, N3. - P. 259-268.
14. Figue J., Grabisch M., Charbonnel M. P. A method for still image interpretation relying on a multi-algorithms fusion scheme. Application to human face characterization // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. Vol. 103, N2. - P. 317-337.
15. Su Lan, Mo Zhiwen Closure of finite-state automaton languages // Fuzzy Sets and Sistems. 1995. Vol. 75, N3. - P. 393-397.
16. Herrera F., Herrera-Viedma E., Verdegay J. L. Choice processes for non-homogeneous group decision making in linguistic setting // Fuzzy Sets And Systems. 1998. Vol. 94, N3. - P. 287-308.
17. Herrera F., Herrera-Viedma E., Verdegay J. L. A model of consensus in group decision making under linguistic assessments // Fuzzy Sets and Sitsems. 1996. Vol. 78, N1. - P. 73-87.
18. Goran B. D., Endre Pap Muiticriteria-multistages linguistic evaluation and ranking of machine tools // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. Vol. 102, N3. - P. 451-461.
19. Wen-June Wang, Shao-Feng Yan, Chih-Hui Chiu Flexible stability criteria for a linguistic fuzzy dynamic system // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. Vol. 105, N1. - P. 63-80.
20. Blanco A., Delgado M., Fajardo W. Representation model of information in linguistics terms // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. Vol. 107, N3. - P. 277-287.
21. Strackeljan J., Behr D., Kocher Т., Fuzzy-pattern recognition for automatic detection of different teeth substances // Fuzzy Sets And Systems. 1997. Vol. 85, N2. - P. 275-286.
22. Waschek Т., Levegrn S., van'KampenM., Glesner M., Engenhart-Cabillic R., Schlegel W. Determination of target volumes for three-dimensional radiotherapy of cancer patients with a fuzzy system // Fuzzy Sets And Systems. 1997. Vol. 89, N3. - P. 361-370.
23. Нурманганбетова M.O., Применение методов принятия решений на основе нечетких множеств в медицине // "Новости науки Казахстана", экспресс информация. 1994.
24. Marin R., Mira J. On knowledge-based fuzzy classifiers: A medical case study // Fuzzy Sens and Sistems. 1991. Vol. 44, N3. - P. 421-430.
25. Fathi M., Lambrecht M. EBFLATSY: A fuzzy logic system to calculate and optimize parameters for an electron beam welding machine // Fuzzy Sets and Sistems. 1995. Vol. 69, N1. - P. 3-13.
26. Trauwaert E., Reynders R., T. Van Roy Fuzzy optimization and nuclear production processes // Fuzzy Sets and Sistems. 1995. -Vol. 74, N1. P. 93-102.
27. Van de Walle В., De Baets В., Kerre E. E. Fuzzy multi-criteria analysis of cutting techniques in a nuclear reactor dismantling project // Fuzzy Sets and Sistems. 1995. Vol. 74, N1. - P. 115-126.
28. Kitainik L. M. Cut technique in valued relational systems: mainsprings and applications // Fuzzy sets and Sistems. 1995. Vol. 75, N2. - P. 143-164.
29. Nogueira M., Nandigam F. Why Intervals? Because if we allow other sets, tractable problem become intractable // Reliable Computing. 1998. Vol. 4. - P. 389-394.
30. Ляпин. E. С. Полугруппы. M.: Гос. из-во ф.-м. лит-ры. 1960.
31. Bellman R., Giertz M. On the analytic formalism of the theory of fuzzy sets // information Sciences. 1974. Vol. 5. - P. 149-157.
32. Dombi J. A general class of fuzzy operators, the De Morgan class of fuzzy operators and fuzziness measures induced by fuzzy operators // Fuzzy Sets and Sistems. 1982. Vol. 8. - P. 55-73.
33. Dubois D., Prade H. A class of fuzzy measures based on triangular norms // Int. G. General Systems. 1982. Vol. 8. - P.43-61.
34. Klement E.P. Construction of fuzzy ст-algebras using triangular norms // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1982. Vol. 85. - P. 543-565.
35. Butnariu D., Klement Б. P., Zafrany S. On triangular norm-based propositional fuzzy logics // Fuzzy Sets and Sistems. 1995. Vol. 69, N3. - P. 241-255.
36. Hong D. H. A note on t-norm-based addition of fuzzy intervals // Fuzzy Sets and Sistems. 1995. Vol. 75, N1. - P.73-76.
37. Mesiar R. Triangular-norm-based addition of fuzzy intervals // Fuzzy Sets and Sistems. 1997. Vol. 91, N2. - P. 231-237.
38. Buckley J. J., Siler W., A new t-norm //' Fuzzy Sets And Systems. 1998. Vol. 100, N1. - P. 283-290.
39. Klement E. p., Navara M. A survey on different triangular norm-based fuzzy logics // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. Vol. 101, N2. - P. 241-251.
40. Mesiar R., Navara M. Diagonals of continuous triangular norms // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. Vol 104, N1. - P. 35-41.
41. Negoita C.V., Minou S., Stan E. On considering imprecision in dynamic linear programming // ECEESR. 1976. Vol. 3. - P. 83-95.
42. Тарасов В.Б. О соотношении различных подходов к описанию нечетких понятий / В кн.: Управление при наличии расплывчатых категорий: Тезисы 6 научно-технического семинара. Пермь: НИИУМС. 1983. С. 41-45.
43. Мс Vicax-Whelan P. J. Fuzzy and multivalued logic // 7th International Symposium on Multivalued Logic, N. C. 1977. P. 98-102.
44. Goguen J. A. L-fuzzy sets // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1967. Vol. 18. - P. 145-174.
45. Wechler W. Analyse and synthese zeitvariabler R-fuzzy automaten // ZKJ Information. 1974. Vol. 1. - P. 32-366.
46. Ralescu D. A. Fuzzy subobjects in a category and the theory of C-sets // Fuzzy Sets and Sistems. 1978. Vol. 1. - P. 193-202.
47. De Luca A., Termini S. Entropy of L-fuzzy sets // Information and Control. 1974. Vol. 24. - P. 55-73.
48. Koczy L. Vector-valued fuzzy sets // BUSEFAL. 1980. P. 41-57.
49. Kaufmann A. Progress in modelling of human reasoning by fuzzy logic / In: Fuzzy Automata and Decision Processes / Ed. by M. M. Gupta, G. Saridis, B. Gaines. Amsterdam: North-Holland. 1977. P. 11-16.
50. Wong С. K. Fuzzy points and local propertiesof fuzzy topology // J. Math. Anal., Appl. 1974. Vol. 46. - P. 316-328.
51. T Kudri S. R. Countability in L-fuzzy topology // Fuzzy Sets and Sistems. 1995. Vol. 71, N2. - P. 241-249.
52. Dang S., Behera A. On fuzzy compact-open topology // Fuzzy Sets and Sistems. 1996. Vol. 80, N3. - P. 377-381.
53. Cuchillo-Ibanez E., Tarres J. On zero dimensionality in fuzzy topological spaces // Fuzzy Sets and Sistems. 1996. Vol. 82, N3. - P. 361-367.
54. Mukherjee A. Some more results on induced fuzzy topological spaces // Fuzzy Sets And Systems. 1998. Vol. 96, N2. - P. 255-258.
55. El-Saady K., Bakeir M. Y. Separation axioms in fuzzy topological ordered spaces // Fuzzy Sets And Systems. 1998. Vol. 98. N1.- P. 211-215.
56. Demirci M. Three topological structures of smooth topological spaces // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. Vol. 101, N1. - P. 185-190.
57. Georgiou D. N., Papadopoulos В. K. Convergences in fuzzy topological spaces // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. Vol. 101, N3.- P.495-504.
58. Добрица В.П. Нечеткие алгебры как модели булевозначной логики // Материалы 4-ой международной конференции по прикладной логике, Иркутск. 1995. - С. 25-26.
59. Malic D.S., Mordeson John N., Nair P.S. Fuzzy normal subgroups in fuzzy subgroups //J. Korean Math. Soc. 1992. Vol. 29, N1.- P. 1-8.
60. Абдухаликов К.С., Туленбаев М.С., Умирбаев У.У. О нечетких базисах // Алгоритмические вопросы в алгебре и теории моделей. Алматы. 1995. - С. 35-43.
61. Lubczonok P. Fuzzy vector spaces // Fuzzy Sets and Sistems. 1990. Vol. 38. - P. 329-343.
62. Yeh R. T., Bang S. Y. Fuzzy relations, fuzzy graphs and their applications to clustering analysis / In: Fuzzy Sets and Their Applications to Cognitive and Decision Processes / Ed. by L.A.Zadeh et fl., N.Y.: Academic Press. 1975. P. 125-149.
63. Ruspini E. H. A new apprach to clustering // Information and Control. 1969. Vol. 15. - P. 22-32.
64. Ruspini E. H. Numerical methods for fuzzy clustering // Information Sciences. 1970. Vol. 2. - P. 319-350.
65. Tamura S., Yiguchi S., Tanaka K. Hfttern classification based on fuzzy relations // IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics. 1971. Vol. SMC-1. - P. 61-66.
66. Кузьмин В.Б. Построение групповых решений в пространствах четких и нечетких бинарных отношений. М.: Наука. 1982. - 168 с.
67. Bezdek J.С. Numerical taxonomy with fuzzy sets // Jornal of Mathematical Biology. 1974. Vol. 1. - P. 57-71.
68. Ruspini E.H. A new approach to clustering // Information and Control. 1969. Vol. 15. - P. 22-32.
69. Zadeh L.A. Fuzzy sets and their application to pattern classification and cluster analysis // Information Sciences. 1971. Vol. 3. - P. 177-200.
70. Орловский С.А. Проблемы принятия решения при нечеткой исходной информации. М.: Наука. 1981. - 208 с.
71. Tazaki E., Amagasa M. Structural modelling in a class of systems using fuzzy sets theory // Fuzzy Sets and Sistems. 1979. Vol. 2. - P. 87-103.
72. De'Luca A., Termini S. A definition of a non-probabilistic entropy in the setting of fuzzy sets theory // Information and Control. 1972. Vol. 20. - P. 301-312.
73. Dumitrescu D. Entropy of fuzzy dynamical systems // Fuzzy Sets and Sistems. 1995. Vol. 70, N1. - P. 45-57.
74. Chen Y. H., Wang W. Y. Fuzzy entropy management via scaling, elevation and saturation // Fuzzy Sets And Systems. 1998. -Vol. 95, N2. P. 173-178.
75. Mesiar R., Rybrik J. Entropy of fuzzy partitions: A general model // Fuzzy Sets And Systems. 1998. Vol. 99, N1. - P. 73-79.
76. Chen Y. H., Wang W. Y. Fuzzy entropy management via scaling, elevation and saturation // Fuzzy Sets And Systems. 1998. -Vol. 95, N2. P. 173-178.
77. Khare M. Fuzzy -algebras and conditional entropy // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. Vol. 102, N2. - P. 287-292.
78. Wen-June Wang, Chih-Hui Chiu The entropy change in extension principle // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. Vol. 103, N1. - P. 153-162.
79. Fan J., Xie W. Distance measure and induced fuzzy entropy // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. Vol. 104, N2. - P. 305-314.
80. Frank H. A new axiom system of fuzzy logic // Fuzzy Sets and Sistems. 1996. Vol. 77, N2. - P. 203-205.
81. Virant J., Zimic N. Attention to time in fuzzy logic // Fuzzy Sets and Sistems. 1996. Vol. 82, N1. - P. 39-49.
82. Xu H., Kwan C. M., Haynes L., Pryor J. D. First-order logic The unity of fuzziness and randomness // Fuzzy Sets And Systems. 1998. - Vol. 93, N2. - P. 185-195.
83. Atanassov K., Gargov G. Elements of intuitionistic fuzzy logic. Part I // Fuzzy Sets And Systems. 1998. Vol. 95, N1. - P. 39-52.
84. Mizumoto M., Tanaka K. Algebraic propeties of fuzzy numbers / In: Proc. IEEE Int. Conf. Cybernetics and Society. 1976. -P.559-563.
85. Dubois D., Prade H. Fuzzy real algebra: some results // Fuzzy Sets and Sistems. 1979. Vol. 2, N4. - P. 327-348.
86. Yager R. R. Fuzzy equations / In: Proc. of IEEE Int. Conf. Decision and Control. 1977. P. 596-600.
87. Yager R. R. On solving fuzzy mathematical relationships // Information and Control. 1979. Vol. 41, N1. - P. 29-55.
88. Saad О. M. Stability on multiobjective linear programming problems with fuzzy parameters // Fuzzy Sets and Sistems. 1995. -Vol. 74, N2. P. 207-215.
89. Inuiguchi M., Sakawa M. Possible and necessary efficiency in pos-sibilistic multiobjective linear programming problems and possible efficiency test // Fuzzy Sets and Sistems. 1995. Vol. 78, N2. - P. 193-202.
90. Huey-Kuo Chen, Huey-Wen Chou Solving multiobjective linear programming problems a generic approach // Fuzzy Sets and Sistems. 1996. - Vol. 82, N1. - P. 35-38.
91. Buckley J. J., Feuring Т., Hayashi Y. Neural net solutions to fuzzy linear programming // Fuzzy Sets and Sistems. 1999. -Vol. 106, N2. R 99-111.
92. Sakawa M., Kato K., Interactive decision-making for multiobjective linear fractional programming problems with block angular structure involving fuzzy numbers // Fuzzy Sets And Systems. 1998. Vol. 97, N1. - P. 19-31.
93. Dubois D., Prade H. Sistems of linear fuzzy constraints // Fuzzy Sets and Sistems. 1980. Vol. 3, N1. - P. 327-348.
94. Prade H. Using fuzzy set theory in scheduling problem: a case study // Fuzzy Sets and Sistems. 1972. Vol. 2, N2. - P. 153-165.
95. Иванов B.H., Угодчиков Г.А. Клеточный цикл микроорганизмов и гетерогенность их популяций. Киев: Наук, думка. 1984. - 279 с.101
96. Школьник Е.М. Динамические модели клеточного цикла // в кн. Динамика химических и биологических систем. Новосибирск: Наука. 1989. С. 230-260.
97. Фултон А. Цитоскелет Архитектура и хореография клетки. -М.: Мир. 1986. С. 73-109.
98. Налимов В.В. Вероятностная модель языка-М.: Наука. 1979. 303 с.
99. Арапов М.В. Связь между полисемией и употребительностью слова. / В кн. Лингвистические задачи и обработка данных на ЭВМ. М. 1987. - С. 171-192.'
100. Ахмаяова О.С. Словарь лингвистических терминов. М. Советская энциклопедия. 1996. 608 с.
101. Вежбицкая А. Язык. Культура. Познание. М.: Русские словари. 1996. - 416 с.
102. Александрова З.Е. Словарь синонимов русского языка М.: Русский язык. 1986. - 600 с.
103. РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
104. Яхъяева Г. Э. О нечетком отношении следования на нечетких счетных множествах // Поиск, Алматы. 1998. Т. 3. - С. 115120.
105. Яхъяева Г. Э. Одно нечеткое отношение непосредственного следования // Труды конференции по математике, посвященной памяти А. Д. Тайманова. Алматы. 1998. С. 120-123.
106. Добрица В. П., Яхъяева Г. Э. О возможных подходах в изучении нечеткости // Материалы годичной научной конференции профессорско-преподавательского состава и аспирантов МП и ВО РК, АГУ им. Абая. Алматы. 1999. С. 58-59.
107. Яхъяева Г. Э. О нечетких функциях от одной переменной // Вестник КазГУ: серия математика, механика, информатика. Алматы. 1999. Т 3, N17, - С. 147-152.
108. Добрица В. П., Яхъяева Г. Э. О группах с нечеткими операциями // Материалы международной конференции по математической логике, посвященной 90-летию со дня рождения А. И. Мальцева. Новосибирск. 1999. С. 18-19.
109. Добрица В. П., Яхъяева Г. Э. О группах с нечеткими операциями // Вычислительные системы. Новосибирск. 1999, N 165. С.127-138.
110. Яхъяева Г. Э. Изоморфизмы размытых групп // Вестник АГУ: серия физико-математических наук. Алматы. 2000. -N1, С. 90-98.
111. Добрица В. П., Яхъяева Г. Э. О гомоморфизмах размытых групп // Тезисы международной конференции "Логика и приложения", посвященной 60-летию академика Ю. Л. Ершова. Новосибирск. 2000. С. 43-44.
