Исследование модельных систем заряженных частицв классической и квантовой статистической механике тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

національна Академія наук України

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукопису ЩЕПАНЮК Юеннадій Вікторович

ДОСЛЩЖЕННЯ МОДЕЛЬНИХ СИСТЕМ ЗАРЯДЖЕНИХ ЧАСТИНОК В КЛАСИЧНІЙ ТА КВАНТОВІЙ СТАТИСТИЧНІЙ МЕХАНІЦІ

01.01.03 — математична фіоика

Автореферат

дисертації на сідоЬуття наукового ступеня кандидата фіоико-математичних наук

КИЇВ - 1006.

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН Украйни. Науковий керівник: доктор фіоико-математи'іаих наук

Офіційні опоненти: доктор фіоико-математичних наук

Провідна установа: Інститут теоретичної фізики

НАН України, и. Київ.

Захист відбудеться 2-го квітня 1996 року о 15-й годині на (засіданні спеціалізованої ради Д 01.66.02 при Інституті математики НАН України оа адресою: 252601, Київ-4, МСП, вул.’ Терещенківська, 3.

З дисертацією можна оонаиомитися в бібліотеці Інституту

Автореферат розіслано 1-го береоня 1996 р.

РЕБЕНКО О. Л.=

КОНДРАТЬЄВ Ю. Г.

кандидат фіоико-математичних наук

Ус Г. Ф.

Вчений сежретар спеціалізованої ради, доктор фіоико-математичних

ША А. Ю.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ.

Актуальність теми. Дослідження етанів нескінченних систем заряджених частшіок с важливою задачею сучасної математичної фіоики, яка має як прикладне так і теоретичне значення.

Стани систем (заряджених частинок повністю визначаються послідовністю функцій ро’.зноділу, в класичному вшіадку, та елементами редуковапаїматриці густини — її квантовому. При скінченному числі частинок і об’ємі системи ці функціїп математичної точки оору визначаються строго. Для визначення ж функцій розподілу, або як їх іде напинають, кореляційних функцій та редукованих матриць густини, що описують нескінченні системи заряджених частячок, необхідно у відповідних виразах для скінченних систем попрямувати (при постійній густині) число часток і об’см до нескінченності, тобто ииконати так званий термодинамічний граничний перехід. Для систем о короткодіючими потенціалами ще в 60-ті роки були розроблені потужні методи побудови кореляційних функцій у термодинамічній границі (це роботи В. Л. Ліба, Дж. Л. Лібовіца, Д. Рю-сля, М. М. Боголюбова, Д. Я. Пстрини, Б. Л. Хацета та інших). Проблема обґрунтування термодинамічного грапичпого переходу для систем наряджених частинок досить складна і вимагає розробки та використання нових математичних методів. Суттєві успіхи при дослідженні систем заряджених частинок пов’язані о працями Д, Бріджеса та П. Федербуніа (іонні системи), О. Л. Ребенка (іонно-дипольні системи), Т. Імбрі (системи типу желе) та інших. Більшість о цих результатів нои’язапі о можливістю представлення функцій рооподіпу та елементів редукованої матриці густини скін-ченни^систсм заряджених частинок у вигляді функціональних інтегралів за Гауссовою мірою я наступним дослідженням їх термін Динамічної.границі методом кластерних розкладів. Ефективність такого підходу базується па його тісному пв'яоку о евклідопою теорією поля та використанням фешімаїїіпс.ьких інтегрялін у кнанто

вій теорії поля, ідо робить можливим використання напрацьованих там методів гга фізичної інтуїції. ,

Однак слід зазначити, що побудова кластерних розкладів виходячи о представленії!:. функцій розподілу або елементів редукованої ’ матриці густиии скінченних систол заряджених ч.істинок функціональними інтегралами па і'ауссопими мірами (Ртехнічно дуже складною внаслідок того, що ґауссоне поле в загальному випадку не с полем о незалежними в кожній точці значеннями. У ов’язку п цим О. ¿1. Ребенком було «запропоноване.нове представлення фуі.х-; цін розподілу класичної системи нейтральних частинок функціональними інтегралами за іншою, пуасєоновою, мірою. Пуассонове йоле вже с полем о незалежними и кожній.точці значеннями, що значно спрощує побудову та анапіо кластериих розкладів і оа рахунок цього дозволяє сподіватися на одержання результатів, які ще не були отримані в рамках “ ґауєсо во го підходу”. Ці сподівання великою мірою підкріплюються тим значним розвитком, який дістав в останні роки неґаусс.овий, і зокрема пуаєсоновий, нескінченно-вимірний аналіз зусиллями таких математиків як И. Іто, І. Кубо, Ю. М. Береоанський, 10. П. Кондратьев, С. Альбеверіо, Г. Ф. Ус, Л. Штрайт та інші. .

Виходячи з вищесказаного, актуальною представляється задача узагальнення запропонованого О. Л. Ребенком представлення функцій розподілу класичної системи нейтральних частинок на випадок систем заряджених частинок (і:к класичних, так і квантових) для найбільш загальних потенціалів взаємодії з наступним їх дослідженням. ,

Мета роботи. Побудувати представлення функцій розподілу та елементів редукованої матриці густини системи -заряджених частинок інтегралами за пуассоновими мірами та дослідити існування термодинамічної границі для випадків юканівсілого потенціалу взаємодії заряджених частинок з твердого серцевиною та ба-гаточастинкоіюго потенціалу. • >

Методика досліджень, В роботі використовуються методи евклідової квантової теорії иоля та нескіиченнонимірного пуассо-нового аналізу. '

Наукова новиона дисертації иолягне в тому, що в пій вперш :

® сформульовані та доведені аналоги теорем Віка (пвичайної та уоагальненої) для випадку пуассоиопих поліп, що виражають пра-пш.з, на яким добуток пуаесонових полів та добуток їх нормальних добуткін виражається череп лінійну комбінацію нормальних добутків;

о ік,будовані представлення функцій рооподілу та елементів редукованої матриці густини скінченної системи наряджених частинок о потенціалом, що оадовольняс умову стабільності функціональними інтегралами оа нуассоновою мірою, причому в квантовому вииадку розглянуті статистики Больцмана, Фермі-Дірака та Бопо-Кйннітойна; -

в шіішдспі найбільш слабкі умови на багаточастипкопий потенціал взаємодії класичної системи ізаряджсіїих частинок, що забезпечують існування термодинамічної границі та Збіжність кластер-них розкладів для систем и багиточастинкового воасмодісю. Теоретична та практична цінність. Одержані реоультати дають ослопу для подальшого розвитку статистичної механіки наряджених частинок н «астосунанням методів нескіпченновимірного пуассонового аналізу і, крім того, можуть бути ефективно використані для роо рахунків конкретних термодинамічних величин. Апробація роботи. Результати дисертації доповідались:

- на міжнародній конференції із теорії операторів та їх (застосувань (Регенсбург, Німеччина, липень - серпень 1995 року);

па міжнародній конференції “Методи математичної фізики" ' (Рахів, Україна, 11-17 вересня 1095 року);

- па семінарі “Оператори математичної фізики” відділу функціонального апаліоу Інституту математики 1ІЛІІ України (керів ник семінару — академік НЛН України Ю. М. Берепанський);

- на семінарі “Математичні проблеми ста лист-ичпої механіки та квантової теорії поля" відділ# математичних методів п статистичній механиці Інституту математики ІІДН України (керівник семінару — чл.-кор. НАІЇ України Д. Я. Петрина). ‘ Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 9 робіт, список яких наведений нижче. .

Особистий внесок. Дослідження, представлені в дисертації, є ретультатом самостійної роботи автора. Вони узагальнюють результати, одержані особисто автором або оа участю співавторі. В останньому випадку співавторам не належать ідеї, які онаі аши своє відображення в дисертації. •

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається оі вступу, чотирьох розділів, двох доданків, спис.ку уживаних позначень, списку літератури, що містить 56 найменувань, викладена на 8 сторінках і включає 15 малюнків та велику кількість діаграм.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ.

У вступі обґрунтовується актуальність та важливість питань, що розглядаються, подасться стислий огляд о історії розвитку теорії нескінченних систем оаряджслшх частинок, стисло викладається вміст роботи та формулюються основні результати дисертації.

В першій главі дисертації викладаються основні положення, формули та теореми нєскінчениовнміриого пуассонового аналізу у формі, оручній для подальшого використання.

В першому параграфі першої глави розглядається оснащений гільберті» простір 5(Т) С Ьі(Т, А) С £>'(Т), де Ьі{Т, А) — простір квадратично інтегровпих дійсних функцій, оадапих па деякому се-пара/ігльному топологічному просторі ї’о <7-скІнчсішою борелевою дифузійною мірою А(-) та вионачається (означення 1.1) (некомпем-сована) пуассоноші міра Р](•) па просторі узагальнених функцій повільного оросташія 5'(7’) через її характеристичний функціонал:

/ ¿РЇІдУ*™* = схр-[/ ,:'!/(- 1)|, (1.1)

РІГ) . 'Т Г ' 1

де ч> Є 5(7'), < ■ ,• > поойачас спарешія в сенсі ЬгіТуХ), а міра и(-) є скінченного та абсолютно неперервного відносно міри Л(-), тобто: dvfdX = z Є L)(A,X).

В другому параграфі першої глаші. вводиться простір Lj — = ¿2(5'(лГ), dP'f^j, визначений як простір комплексноопамшх квадратично інтегровних відносно міри Р?(-) функціоналів на S'(T). Нагадується, іцо простір Lg включає и себе експоненціальні та мономіальні функціонали (твердження 1.1), а також, що множини Е = {¿<™> І у Є 5(Г)} та Р = { < <p,q >| 9 Є S(T)} с тотальнії','И В И<2 (тпердженя 1.2).

Третій параграф першої глаїш присвячений формулюванню та доведенню (на основі шпаченя 1.1 та тверджена 1.2) наступної важливої для подальшого викладеная леми:

Лема 1.1. Для будь-якого F Є LÍJ:

/ dPj(q)F[q) = g І / du{t)lF¡ £ ¿J. ’ (1.2)

В четвертому параграфі першої глави розглядається наступна “кластерна властивість” пуассонової міри, яка робить представления функцій рооподілу та елементів редукованої матриці густини функціональними інтегралами оа пуассоновими мірами оруч- -ними для побудови оастерних роокладіа:

Твердження 1.3-1.4. Для будь-яких Д, Д' Є ®(7’) таких, що ДПД' = 0, та для будь-яких F, Р € LÍJ справедлива наступна рівність: х

/ л7(,)П»«№«'],=

Я'(Г) *

= / ¿Р?{ч)Р[чХ&] /

' ' . s>( д) ^(Д')

де ха с індикатором множини Д.

В п’ятому параграфі першої пиши наведені формули для моментів міри P?(-)s пропонується пручне для розуміння оагальної 'іа

кономірності графічне представлення ттих формул, коротко обговорюється ов’яоок між моментами та .семі із парі антами міри та робиться (твердження 1.5)„груÇa оцінка пвєрху кількості доданків у формулах для моментів (некомненсованої) пуассонової міри.

В шостому параграфі першої глави формулюється "та доводиться (онов на основі оэначеня 1.1 та твєрджєіш Л.2) наступна лема> що виражає правило інтегрування частішими для (иекомпеїїсованої) пуассонової міри: .

Лема 1.2. Для будь-якого F Є та будь-якого ір Є S(T) справедлива паступпс формула:

/ d.pj(q) <tp,q> F[q}= / dPf {q) { d»(t)<p{t)F[q + 6,].

S!(T) • S'(T) ï

В сьомому параграфі першої глави вводиться означення [/¿»-перетворення функціоналів F Є IL% оа формулою: •

’ (ypF)(0 = Cj(0-‘ / dP?{q)F[4}é<'&,

«'(Г) .

де Cf(()—характеристичний функціонал міри Pf{-) і £ Є S, доводиться існування оберненого перетворений Up1 та явно обраховуються Up- та С/^-неретворепя від деяких важливих функціоналів. У восьмому параграфі першої глави визначається (ооначення 1.3) віхівсьха регулярноація функціоналів F Є Ьр2 аз. формулою: ’

і наводяться явні формули для віківської регуляриоації експоненціального та моломіального функціоналів.

Крім того, доводяться (загальна формула для середнього від регу-яярипованого (оа Віком) монома (твердження 1.6):

/ àPj(q): П <<fj,q>-.p= П <<j>j,z>,

5'(Г) >=1 _ J=>

нагальна формула для регуляршованих (оа Віком) мономів, або, як

ще кажуть, нормального добутку пуассоиових поліп (твердження 1.7):

: П q{tj) :Р= П (q(tj) ~ Е S(U - і,-)) (1.18)

;'=1 j=\ ' 1=1 '

та наступна характеристична властивість такого добутку : Твердження 1.8. Для будь-яких <рІ,..., £l,...,£m Ê S(T) справедлива наступна формула:

/ гтг П ТТ\

J dpi(<l) ■ П < ?»<! ~ 2 >'Р '■ П < <Pj,q~ z >:р-

S'(T) і=і

. Л

&тп,ті 53 П ^ фіі і

*Єв» >=1

де {тг(1)7..., 7г(п-)| є перестановкою ВІД |і, . . . ,ilj.

В дев’ятому параграфі першої глави оа формулою:

< <P\À>< V»2,?> •" < <Pk,} >=< Уі<Р2---<Рк,д> '

визначаються (верхні) “старения” довільної кількості пуассонових полів та формулюються (о доведенням) аналоги звичайної та узагальненої теорем Віка для випадку пуассоиових полів:

Теорема 1.1 (теорема Віка для пуассоиових полів). Овичай- ■ пий добуток (пекомпепеоаапих) пуассоиових полів дорівнює сумі всіх відповідних нормальних добутків зі всіма можливими (верхніми) “спарениями”, включаючи нормальний добуток без спарень. .

Теорема 1.2 (узагальнена теорема Віка для пуассоиових полін). Добуток нормальних до/іуціків (пекомпепсоваиих) пуассочо-вих полів дорівнює сумі всіх відповідних нормальних добутків сі всіма моокливими (верхніми) “спарениями”, що з’єднують (мекомпепсовам) пуассопові поля з початково рі:іних нормальних добутків, включаючи нормальний doÔyvioK без спарень. .

Наводяться приклади.

Десятий параграф першої глави прлгвячсш' л формулюванню та доведенню наступної леми, що фактично'узагальнює формулу інтегрування частинами, наведену в шостому параграфі1.

Лема 1.3. Для будь-яких функціоналів Ф,Р 6 И/^ і для будь-якого Є 3(Т) справедлива наступна формула’. .

/ ІРТІЯ) '< 9Л> <%] ‘Р ^[?] =

^(Г)

' = / ¿рТ(я)'Ця] '-р І ¿і^(І)<р(і)Р[д + 6і]. '

5»(Т) Т

Як наслідок, іо лємп 1.3 отримується, що .

/ ¿Рїія): П <Фі>У>-Р РЫ =

^(Г) -7е1 .

= і 0» п + Ег«4]. (і-24)

^(Г) Т 1=1 1=1

В одинадцятому параграфі першої глава розглядаються уоагал!»-нений ізоморфіом Вінера-Іто-Сігала між простором квадратично інтегровішхоа мірою Р?(-) функціоналів та простором Фока

Я(7»= 0 (Ы7»)®\ ‘

п=0 '

що виражається наступною теоремою:

Теорема 1.3. Для будь-якого Р € ^ існує таке / € ^Р(Т,и), що

Пя) = Е-т-ї /¿Х(фп(іи..П (?(«;•)-*(«,-)) *

_ 71=0 V ПІуп * ‘ .

і, навпаки, для будь-якого / Є ^(Г, г/) /^[<7], що визначено зо цією формулою, належить до простору Ь1^. _

Доведено (тверджепня 1.9), що при цьому іооморфіомі оператор множення на ?(<) в просторі переходить в оператор ^(¿) = = (а+(<) + г(£)) (а"(і) + і) у просторі Фока ^(Т, і/), де а+(і) та ¿"(і) є звичайними операторами народженій та знищення.

Покапано (тперджеотм 1.10), що при іссторфіомі Вінера-Іто-Сіга-ла нормальному добутку пуассопозих полів відповідає нормальне впорядкування операторів a+(i) та а."(£), тобто лінійна операція впорядкування операторів народження та шшщеяня при якій всі оператори народження переносяться вліво, а всі оператори онй-щє ній — вправо.

В дванадцятому параграфі першої глави розглядається компенсована пуассоиова міра визначена через наступнії« характеристичний функціонал: .

. І dPj(q)s.'<,p''1> — exp f J dv(t)(c,v® — itp[t) — 1) ,

S>(T) T

та вводиться простір h2 = L-^S'iT), dP]комплсгепошгачних квадратично інтегровних оа цією мірою функціоналів. Доведено (твердження 1.11), що оператор осуву

T,:F[q)->F{q + z]

вшпачає ізоморфізм між просторами L2 та lf2.

За допомогою цього іоомсірфіому на випадок компенсованих пуас-сонових йолів переносяться всі результати, отримані для неком-пепсованих пуассонозих полів в перших десяти параграфах першої глави. Зокрема, слід огадатн наступну формулу інтегрування частинам« для пекомпенсозаїшї пуассонової міри:

Лема 1.4. Для будь-якого фупкціопалу Ф Є L j ma для будь-якого ір Є S(T) справедлива поступна формула:

/ (?) <<p,q> Ф[д] = / dP?(q) I du{t)tp[l)$\q + if] -

S>( T) S>(T) T

— < ip,z > / dPJ(q)4>[q}.

. S*(T) *

Віківська регуляриоація функціоналів від компенсованого пуассо-

нового поля природним чином вионачасться череп віхівську регу-

ляриоацію функціоналів від нескомненсованого пуассонового поля:

:Щ:р=Т,:Т;1Ф[ч]:г.

Характеристична властивість нормального доґ/тку компенсованих пуассонових полів тепер виражається наступною формулою:

/ <ірІ(я) • П < ч>іА >'р ■ ГІ < ірї,ч >’р-

S'(T) >=1 , «=>' .

rt

= ^т,п £ По< 1 t ^4r(í) ^ i

Ves» ¡=l

що є справедливою для будь-яких У>|, . , <pn, £l, • • • ,£m Є S(T) i

часто приймається oa вшначеннл віківської регуляриоації. '

Після додаткового вігоначеніш нижніх “спарень” довільної кількості пуассонових полів оа формулою

< <РиЯ>< <РгД> ••• < >Рк,Я >=< V>i<p2---<pk,z>

для компенсованих пуассонових полів формулюються аналоги звичайної та уоагальненої теорем Віка: -

Теорема 1.4 (теорема Віка для компенсованих пуассонових полів). Звичайний добуток компенсованих пуассонових полів дорівнює сумі всіх відповідних нормальних добутків зі еста можливими верхніми та нижніми “спарениямц”, включаючи нормальний добуток без спарень. ' _

Теорема 1.5 (уоагальнена теорема Віка длл компенсованих пуассонових попів). Добуток нормальних добутків компенсованих пуассонових полів дорівнює сумі всіх відповідних нормальних добутків зі всіма можливими верхніми то а нижніми “спареп-нями”, що з'єднують компенсовані пуассопові поля з початково різних нормальних добутків, включаючи нормальний добуток без спарень. . ’

Уоагальиений ізоморфізм Вінера-Іто-Сіг&ла між простором ІЬ^ та простором Фока ^(Г, и) тепер дається наступною теоремою: ТЬорема 1.6. Для будь-якого Ф Є існус таке / Є що '

і навпаки, для будъ-якогЪ / Є Р{Т, и) Ф^, що визначено за формулою (1.38) належить до простору і/).

При цьому ізоморфізмі оператор множенпя на д(Ь) в І. з переходить в оператор д'(і) = а+(і)а~(і) + а+(£) + г(і)а“(£) в просторі Фока и), а нормальний добуток компенсованих по;. І б оиову відповідає нормальному впорядкуванню операторів народження та онидоення.

В другій глаоі дисертації розглядається багатокомпонентна система заряджених точкових частинок в обмеженій замкненій області А, що воаємодіють черео двохчастшіковий потенціал V(д, д1), де д— (є, г) € С? = Е х Л, та будуються представлення функцій рооподілу та елементів редукованої матриці густини такої системи функціональними інтегралами оа пуассоповими мірами. При цьому відносно потенціалу У(ду^) вважається, що він є вимірною на функцією та задовольняє наступну умову стабільності:

З В : Уп ,Чди. К3 У(д)'п > -Вп, (2.1)

Де (я)і = (і?і,...,?п)«Функція

У(д)1 = Е У{д„9і), (2.2)

с потенціальною енергією системи п частинок.

В першому параграфі другої глави будується представлення пуассоновими інтегралами функцій рооподілу відповідної класичної системи, що вионачаються оа формулою:

. 00 1 = гг—) ір ^

''ЛХУ/т “

Де

РА(д)1 = Е? Е ~ /(¿да' Д%Ыехр[-/?^)т+п], (2.3)

п=0 и.дц " ]=і

. , ■ /М-]=

О

0 — обернена температура, г{д) — ^ — активність,

що відповідає частинкам о зарядом є, хімічпим потенціалом /і(е)

та масою т(є). аНд — велика статистична с ыа, ідо отримується о умови рА(г)о = 1. .

Основний результат цього параграфу зпражає наступна Теорема 2.1. Функції розподілу (2.3) великого паиоиічного ансамблю класичної багатокомпонентної систcmt заряджених частинок в скінченному об’ємі А С R3, взаємодія яких описується парним потенціалом (2-й), v(-o є аилщтсю функ- . цією та задовольняє умову стабільності (2.1), мооісутль бути* представлені у вигляді:

РЛ(йУп = 5(Л)_1 I dP°(q) : П ?Ы : ехр { - pVK[q]}, (2.6)

• S’(O) 1=1

де за означенням '

Va[ç] = \ / dgdg1 : q(ff)V{(i,cj)q(ÿr) : . (2.Т)

(Лх£)3 ' J

В другому параграфі другої глави будуються представлення пуас-соновими інтегралами едеменгів редукованої матриці густини відповідної квантової системи оі статистикою Больцмана:

P\((S)L> (flOm) - 2 “J / ШтІї Д K3i) X

' ' гг=0 П!(уя jœl •

X єхр [ - /ЗН;;+Г1] (<ЛІ, (ЖУ, (Щ

де z(g) = — активність квантової частинки з парадом е,

ехр [ - /3#*+п](-; •) — ядро оператора ехр [ - /ЗЯ*],

— n-частин ковий гамільгоніан і ДА' — оператор Лапласа о умовами Діріхпе на границі сбнасті А.

Використання формули Фейнмана-Каца • ■, , _

ехр[-/ЗЯ£](<ь0%= / {dW^{^))[v.

{<^)[ • . ^

о

X ехр І — f V^и>(£)^аш, (2.9)

де V/*'}(■) — умовна міра ВіїК'ра, гго шдиогЛдає ядру оператора

ехр [^^уДл] і позначена на множині Г^О?,«?1) -- Є Е X С[0; /3] :

(а'(0) = <7, и>(/3) -- д\и>{і) Є О' V/ Є М} радам о фермулаш» (1.2), (1.24) та (1.18) дас можливість отримати шустушпш оспошпш репультат даного нараграфа:

Теорема 2.3. Елементи редукованої матриці еусттп (2.8) багатсксітстептиої квантової системи заряджених частино?: зі статистикою Больцмапа в скінченному об’ємі А С К3, взаємодія яких описується парним потенціалом (2.2), що є вимірною фуптщгс’ю та задовольняє умову стабільності (2.1), можуть бути представлені у виг.гяді:

Мсл.сл:.) = т~' / *

/ \ 1 171

(аМго

X / АР^Іч) : її «(«,-): ехр [ - І // <МГ&и)<ІУУ£(и/) х

V»)’ '

• ' р

х : 9(0») / І^и^і), и/(£)) '■ »

г?е ¿ІУ/Н - адШ^іи).

В третьому параграфі другої глави будуються представлення пу-ассопошши інтегралами елємептів редукованої матриці густини відповідних квантових систем оі статистиками Боое-Ейнштейна та Фєрмі-Дірака, що визначаються оа формулою

/>л((г/)^(!7')У = Вд1 £ і / (ЖГгГзд Е Т?т X ' ч=оп.!р >=і ігєвга+„

X ехр[- /?Я^+П]((^,(^)^;(х^,(;г^+'), (2.12)

де 77 — +1 — для статистики Боте-Ейнштейна, т] ~ — 1 — для статистики Фермі-Дірака, а &п е групою перестановок п елементів. Формула Фейимана-Каца (2.9), перетворення Жинібра та формули (1.2), (1.24) (1.183 приводять до наступного реоультатуг

n

Теорема 2.3» Елементи ред$коааиаї матриці густини (2.12) багатоне^ионектяпаї xoaumaaої системи зармджених части-цок зі статистикою Безе-Ейнштейна або Фермі-Дірша в скін-ченпоиуі об’ємі Л с Fi5, взаємодія яких описується парним потетціадеш, (2.2), що є вимірною функцією та задовольняє умову; стабільності (2.1), аожуть бути представлені у вигляді:

- ^ CO fcft £ . t

ра(</)гп = 2(л) £ ч £ П X

*'€6™, •=* .

х / И'ЙИ)! / •(«*):*

х ехр І - * jj dW^iu^W^) і д(и>Уі{и/) : х

(Па)1

х / К(и(«)»іУ(і))Л + *>0(-і») / <НУА(ь>)(р(а>) - і)?(иО|, о йа ' і

де ¿(аг) = ¡Т(?)ір, іїа- У 0^ іяо

І®1

у •>}=£ / *(*>*и^НІ-..).

0А Р^ррА

І нарешті, четвертнії параграф другої глави присвячений обговоренню можливості та доцільності уоагальиення реоультатів, отриманих в трьох попередніх параграфах на випадок багатокомпонентної іонно-дипольної системи.

Т^»етя глава дисертації присвячена дослідженню, модельної системи їлаеи чпах оаряджеяих частинок о твердою серцевиною, що на відстанях, більших оа діаметр частинки, взаємодіють черео юкаг вівськи» потенціал, тобто для якої:

vW) =

+оо, |r— г'І < 2Ло;

,,к|г-г'| , _ 4“*-V

feT=7T’ k~^l>2Ä0.

В першому параграфі третьої глави доводиться (твердження 3.1) стабільність потенціалу Юкшш о твердими серцевинами (3.1), що дозволяє (теорема 2.1) представити функції рооподілу відповідної системи функціональними інтегралами оа пуассоновою мірою.

В другому параграфі третьої глави вводяться “огладжені” функції рооподілу •

РАІФт) = / (¿дУтФтід'УгяРлід'Ут, (3.3)

Де “'огладжуючі” функції фт вибираються неперервними і такими, що supp фт С Хь |^і| < оо.

8 урахуванням формули (2,6) огладжені функції рооподілу представляються у вигляді

РАІФт) = Н(Л)-1 / dPf(q) < q®m,4n > exp { - (3.6)

S>(G) ’

Де VA[,3 оадаеться формулою (2.7).

Третій параграф третьої глави присвячений побудові хластериих роокладів для функцій рооподілу скінченної системи класичних оа-ряджешіх частинок оі стабільним потенціалом гоасмодії. Для цього простір R3, розбивається на одиничні кубики Д (множина таких кубиків, що належать Л постачається Юд) і будуються послідовності = (Х\.. ,Хп) та = (У|,..., Yn) таким чином, що Fj =

і для всіх і < 2 Хі — Х{-\ ü Yi, Y{ Є &\\хг Як допоміжне також вводиться поняття “древесного” графа о п вершинами, під яким рооуміеться функція (2,... ,п) А (1,.., ,п), тажа що т}(і) < і дая всіх і = 1,..., п. Результатом даного параграфа є наступна Лема 3.1. Огладжені функції розподілу скінченної багатокомпонентної системи класичних заряджених частинок, які взаємодіють через парний потенціал (2.2), що с вимірною функцією та задовільшс умощ стабільності (2.1), можуть бути представлені у вигляді насгпупної суми:

ч njv ”

. РАІФт) = £ (-0Г!' £ М^)/Л<^п), (3-Ю)

- • 'п=1 *і . ' . ■

і

Ьх\(фт) ~ Jv її (fir;(l) • * • si—i) j I (?)

‘*f '* v 1 - Д(u)

X < §®m*^rn > Д K,i0ii[gj exp [ - fiVx*{q,%„-1, (s)«-i)]> (3-13)

/а(х)==Щ(лГ' (3-7)

а еелпчиии Vx (g; S.‘£_j, (e)JUi) буди-япия Xn С X С Л, j>e-ігцрспіппо задаються формулою

VX (?;^»(s).) = (І “ єі){^Л; {q; 3sf_„ («);-з) +

+ ^л\хД?]} + s.Vx(?;%Ї-і>(с)*-і)- (3-12)

Четвертий псраграфтретьої глави присвячений доведенню обіж-иості (е термодинамічній границі) раду кластерных розкладів (3.10) для “огладжених” функцій роог.од5лу системи, що роаглядасться. Длл цього спочатку, оа рахунок введення регударігоовапих "оріоа-. них” потенціалі:»:

М, Іг-Г-І <2/г„;

роокривастьса невшначеишсть добутку

Д^.^ехр [ - pv{q\Xn_,, (*)„-і)|

у виразі дня /Cr„(i>m) та доводяться три допоміжні оцінки, що виражаються наступними лемами: •

Лема S.2 Ісщс така незалежна від об’єму А, оберненої температури ¡S та *древесного ” графа г\ константа Со, що справедлива наступна нерівність: ;.

iv 1/2

/ ^(9)П£%,гФ),у;) <^_1n^0il."паді

S'(С) 1=2 / 1=2

де

»)■• — v(Y^b

геУт(0 \

/ г/3(}г - г»!)*»

* ^(0 = #{i I v(j) = *} позначає число ліній *древесногоя графа г], що входять а і-тпу вершину.

Лема 3.3. Для будь-якого парного потенціалу, що задовольняє умову стабільності (2.1), справедлива ппступпа оцінка:

(\ */*

J rfff(i)exp[- ton-.)]] < d?Mn-'\

де Сх{0) = exp [ { ЕеЄя z(e)(e^B - l)j.

Лема 3.4. За tjnoe Лема 3.1 для всіх обмежених X та А, стакаг «{о X С А, С Я.3, викопається наступна нерівність:

І/лР0|<есі*і

дєс = Е z(e).

tes w .

З вішзрястапгош методу рівгешь типу Кірзгвуда-Зальцбурга отримується також наступна

Лема 3.5. Якщо існують такі неперервні в околі пула функції Кф{р) і Кф), що

|£3

£ ЬХя(фт) < Кф{р)(К{р))п (3.29)

то для будь-якого обмеженого X СЇ1« сенсі поточкової збіжності існує наступна границя:

f{X)=lmtMX). (3.30)

Подвійне використання нерівності Шварца у формулі (3.15) для КхХФгп) раоом о лемами 3.2-3.4 дозволяє покаоати справедливість (при досить малих ¡3) оцінки (3.29), а чого внаслідок леми 3.5 випливає наступна теорема, яка і становить основний рсоультат третьої глави:

Теорема 3.1. Для дост&тиьо малих (і, термодигишгчгш гра~ шгш для згладжених функцій розподілу класичнт багатокодг-поьектіїої системи заряджених ’чаєгишст з твердими серце-&ипаіт, що взаємодіють к а відстанях більших за діаметр •частигітт через потенціал КРкави,, гсщс і може бути представлена у вигляді наступного абсолютно збіжного ряду:

СО ,

р{фт) = Е І-РТ £ Ьхь4фт)ЯХп), (3.46)

г£3

. я де Ьх%з(фт) та /(X) задаються формулами (3.13) та (3.30).

В четвертій главі дисертації досліджується класична батат с-

компонентна система оарядлтених частинок о багаточастипковою взаємодією

У-'хУп^Е . Е УрОгі,,...,**), (4.2)

р-1

що оадовольняє умову стабільності (2.1).

В результаті формулюється найбільш слабка та фіоично орооуміла умова “експоисяційного в інтегральному сенсі” спадання потенціалу взаємодії, яка оабегиіечус обіжність кластерних розкладів для функцій розподілу відповідної безмежної системи.

Перший параграф четвертої глави присвячений уоагаиьиеннхо твердженій; теореми 2.1 на випадок систем а М-частіш козою взаємодією; Теорема 4.1. Функції розподілу (2.6) великого канонічного ансамблю класичної багатокомпонентної системи заряджених частинок в скінченному об’ємі А С К3, взаємодія яких описується М-частььковии потенціалом (4.2), що є вимірною функцією та задовольняє умову стабільності (2.1), можуть бути представлені у вигляді (2.6), де

ВД=!г^,(?;{Л}»), (4.з)

к разів

Уг(/1', Vі..У1’’1') = } / ¿’Г’ ~-<;У)-"<і{у[рї)''Х

В другому параграфі четвертої гсшви будуються кластсрні розклади для функцій розподілу класгг;г.сї багатокомпонентної системи оаряджених частинок о багачедчастЕтоговс» взаємодією, які відрізняються від кластерішх роожладтз щші систем із нарніш потенціалом тим, що тепер будь-яка о мивняш Уч,.. Уп може бути як оди-нзчшш кубиком, так і сб’сджшизм¿"«зх, трьох а так далі, до (М—1) таких кубиків:

д|,

Д*и А?, Д|, Є ©ад_, і Д| Ф ЛІ;

‘V, € ЗЭл\Х,м ¡Д**Д?Д»я*#/.

Yv

Осяявши результат їцього параграфа дас наступив Лема 4.1. Вгладжені фуппціг розподілу скіпчєттої багато-яоят.ошптпоїcncmtim шпсз/ч.шх заряджених частинок з М-частшктот яжсмодісю (4.2), сг?о зад&вольпзс дгясву стабільності (2.1), можуть 'бути щедстпа-йлепі g пигляді {3.10), де bxMmlhiX) too Vxfa £n-ii(.s)n-i} задаються відповідно фор-мулшла (3.13), (3.7) гтш (3.12), о під вираз-огл Vij\q] слід розуміти: . -

,, лг 1

^v->іМ= Ë IE* £ ~ кті rtt к

P=^',+ÎÏU^>T л*!!

Як оручшій метод оперування о досить громіздкими сумами, що витікають при цих розкладах, пропонується відповідна діаграмна техніка та вводиться поняття “розширеного" дрсвссг.ого графа.

В третьому параграфі четвертої глави дається наступне означення “експоненційного в інтегральному сенсі” спадання багатсча-стинкового потенціалу взаємодії:

Означеним 4.1. Нехай ¿¡зі(Д, Д#) пооначае відстань між центрами кубиків Д і А'. Будемо говорити, що Лі-частииковий потенціал взаємодії “ексиоиенційно в інтегральному сенсі" спадая на безмежності, якщо для деякого а > 0

8 = &■, Ч ? , Л'"ЛМ' < “

ЄВ3 р=3 Д',,..,Д(г-1)є©ІІз

Де ,

К(Ді,...,Д„)= шах піах ецр X .

4 ’ ’ і<і<р-і «в, Мь)Єд;(1)х£

>*=» ' ■

; X { / <¿</»(1+1)* ’ ‘ / (*1| • • Ч^р)^

^»(ї+1) ^*(г)

і сііат , Д^} = } с1івІ( Д,, ДД та формулюється основ-

ний результат четвертої глави;

Теорема 4.2. Нехай М ■■частьиковий потенціал взаємодії класичної багатокомпонентної системи заряджених частинок задовольняє умову стабільності (2.1) та експоненційно в інтегральному сенсі спадає на безмежності. Тоді, при досить малих /3, термодинамічна границя для згладжених функцій розподілу такої системи існує та може бути представлена у вигляді абсолютно збіжного ряду (3.46), де Ь^ІФт), /РО

та (*)>,-і) задаються формулами (3.13), (3.30) та

(3.12) відповідно з К,...,у(?] замість ш Четвертий параграф четвертої глави присвячений доведенню обі^ ності (в термодинамічній границі) ряду кластерних розкладів для

функцій рооподілу класичної багатокомпонентноїспстсмн оарядже-них частнігок о багаточастипковою взаємодією (4.2).

Це доведення має деякі спільні риси о тим, було проведено в попередній главі для випадку паркого потенціалу взаємодії. Ткх, леми 3.4 та 3.5 »залишаються справедливими і для багаточастипко-вого випадку, тема 3.3 уоагальшоється їлаіпке бет змін (лема 4.3), а замість леми 3.2 використовується наступив схоже твердженпя: Лема 4.2. /еще тсггз незалежна від об'єму А та “розширеного" древесного графа іЦ константа <7, що

( 5"(С) Д Д (%>єхр [® <їіат{^(*)}]).

де с1іат{і7(г)} = (Пат {Д’(і), ..., Л^0’,..., Д?,..., д[Уі!}. Зазначимо, що для випадку М-частниковсї взаємодії доведення оцінки (3.29) є значно складнішим ніж у випадку парного потенціалу взаємодії і проводиться о додатковим залученням процедури пересумувавші “роотпретіх” дрсзеспих графів, яка докладно пояснюється на численних малюнках.

Доданок 1 доповнює доведення стабільності потенціалу Юкави о твердими серцєпааамй більш детальним розглядом питання, а додаток 2 містить доведаняя допоміжного (для доведення Леми 4.3) твердження.

Основні результата та висновки:

1. Сформульовані та доведені аналоги теорем Віка (шгачайної та узагальненої) для випадку нуассояових полій, що виражають правило, за яким добуток пуассонових полів та добуток їх нормальних добутків виражається через лінійну комбінацію нормальних добутків.

2. Побудовані представлення функцій рооподілу та елементів редукованої матриці густини скінченної системи заряджених частинок о потенціалом, що задовольняє умову стабільності. В

квантоБому випадку роагаянуті статигтнки Больцмана, Фермі-Дірака та Бдае-Ешшітейна.

3. Виходячи о побудованого представлення функцій роаподілу скінченної системи »зраджених частинок о двохчастинковнм потенціалом взаємодії, що оадовольнас умову стабільності, побудовані кдастеркі розклади та доведена їх обіжність в термодинамічній границі даа випадку юкааівського потенціалу взаємодії частинок о твердою серцевиною.

4. Знайдені найбільш слабкі умов« на багаточастинковий потенціал взаємодії класичної системи (заряджених частинок, що оа-беопечукп'ь існування термодинамічної границі та обіжність кла-стерних ршкладів для систем о багаточастшіковою взаємодією.

Основні результати дисертації опубліковані в наступннх роботах:

1. Щенанюк Г. В. Представлення пуассанісськими інтегралами функцій розподілу та діагональних елементів редукованої матриці густини систем заряджених частинок. Ц Доповіді НАН України - 1995. - N 4. - С. 21-24.

2. Shchepan’uk G. V. Poisson fields and distribution functions in statistical mechanics oj charged particles. // Ukrainian Mathematical Journal - 1995. - 47, no. 5. - P. 710-719.

3. Lytvynov E. W., Rebenko A. L. and Shchepan’uk G. V. Wick theorems in non-Gaussian white noise calculus, f/ Reports on Mathematical Physics - 1996. - 37, no. 1. - P. 157-172.

4. ІДепанюк Г. В. Пуассонівські поля та функції розподілу в статистичній механіці заряджених частинок. - Київ, 1994.

- 15 с. - (Препринт / Інститут математики ИАІЇ України; 94.17).

5. Rebenko A. L. and Shchepan’uk G. V. The convergence oj cluster expansion for continuous systems viith many-body interaction. -Bielefeld, 1995. - 16 p. - (Preprint BiBoS no. 690/6/95; submitted to Journal of Statistical Physics).

6. Литвинов G. В., Ребенко О. Л., Щспсшюк Г. В. Теорсми Bina в не?ауссовому апалгзг бглого viyt.ty. - Киш, 1995. - 25 с. -(Препринт / Гпститут математики НАН Укр’аТни; 95.7).

7. Lytvynov Е. W., Rebenko A. L. and Shchepan’uk G. V. Quantum

compound poisson processes and while noise calculus. - Bielefeld, 1995. - 44 p. (Preprint BiBoS no. 712/12/95; submitted to Reports on Mathematical Physics). .

8. Shchepan’uk G. V. and Rebenko A. L. Poisson field approach to classical statistical mechanics of charged balls with Yukawa interaction. - Kyiv, 1995. - 42 p. - (Preprint N 95.9 / Institute for Mathematics of Ukrainian National Science Academy; to appear in Proceedings of the International Workshop “Methods of Mathematical Physics” ¡n Rakhiv, (Ukraine), at 11-17 September 1995).

9. Rebenko A. L. and Shchepan’uk G. V. Wick’s theorem for A,9-jields. // Book of Abstracts of International Workshop on Operator Theory and Applications, Regensburg (Germany), 1995. - P. 65.

Щепанюк Г. В. “Исследование модельных систем оаряженных частиц в классической и квантовой статистической механике.” Диссертация на соискание учёной степени кандидата фтоико-ма-тематических наук по специальности 01.01.03 - математическая физика. Институт математики НАН Украины, Киев, 1996. Защищается диссертация, посвящённая исследованию модельных систем оаряженных частиц в классической и квантовой статистической механике методами бесконечномерного пуассоиового анализа. В диссертации построены новые представления функций распределения классических систем оаряженных частиц и елемен-тов редуцированной матрицы плотности квантовых систем оаряженных частиц функциональными интегралами по пуассоновым мерам. Исходя ио полученных представлений, для двух практически важных моделей классической системы оаряженных частиц построепы кластерные разложения и доказана их абсолютная сходимость в термодинамической границе. ~

Shchspaa’tsk G. V. “investigation of model (systems of charged particles in classical and qaaatuHi statistical mechanics.”

Doctor oi Philosophy thesis, speciality 01.01.03- mathematical physics. . Institute for Mathematics of Wkiaiaiau National Science Academy, Kyiv,ІОЗв.

The thesis. to-be defend-edi is, dsvaicd to the investigation of model systems of cbargeo particles їв classical and quantum statistical mechanics by Eisans of ntteitods of iaSaHe tlimensiona] Polssoa analysis. Is the thesis; are coasiiucted bcw representations lor distribution fuEctioaa of classical systems, oi ebasrged particles and reduced density matrix elements of qiaaaiiaaa systems oi charged particles via functional Pois' eon integrals. Bty1 csisg this repzeseclaikms, cluster expansions foi two practically fciportaat msdel systems ol charged particles are eoa-etructed and tbera aisoJate cosvergeace is proved.

Ключові сж>&&: аародояет чгастквЕв, функції рооподку, ess-меити редукованої кингршр гуетшя, міра Пуассоаа, функціональне інтегрування, терж>дивам»чва гразяця, ккгстгерні розхяадп.

Підписало до друку 28.02.9S. Формат 60 х 84/16. Папір друк. Офс. друк. Ум. друк. арк. 1,63. Ум. Фарбо-відб. 1,63. Обв.-ввд. apg. 1,0. Tfepajss 100 пр. Оам. Ьк ■

Віддруковано в Інституті математики НАН України 252G01 Київ 4, ГСП, вул. ТЬрещенхівська 3.