Моделирование методом Монте-Карло фазовых переходов в двумерных классических и квантовых системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

РГб. од

Московский государственный инженерно - фиоический институт (Технический университет)

г На правах рукописи

■■■л" '^'ЪН':.УДК 538.947 .

ПОМИРЧИ Леопид Михаилович

МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО

ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ В ДВУМЕРНЫХ КЛАССИЧЕСКИХ И КВАНТОВЫХ СИСТЕМАХ

01.04.07 - фиаика твердого тела ;

АВТОРЕФЕРАТ , ' диссертации па соискание ученой степени ;. кандидата фшзико - математических наук

Автор fflpftfeWUt •

косква. г 1995

Работа выполнена в Институте физики высоких давлений им. Л.Ф. Верещагина Российской Академии наук

| Научный руководитель: кандидат физико-математических

! • наук Ю.Е. Лооовик

! Официальные оппоненты: доктор фиоико-математичеосих I , наук, профессор Л.А. Максимов,

| кандидат фтаико-математических

наук А.В. Ключник ^ ^

I Ведущая организация: Московский институт стали

• ,и сплавов^ -Я.-"-'."'.

I ■ . '■■■ ' // /С

! Зашита состоится " . / 1995 г. в' п { час. на оаседашш диссертационного совета K-0.53.03.0l МИФИ ; но адресу: 115409» Москва, Каширское шоссе, д.31, теп. 324 84! ' 98. ■' г ;

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИФИ.

Автореферат раоосяао " * 1995 г.

Просим принять участие й работе совета или приедать отоыв в одном экземпляре, оавереяныи печатью организации. .

Ученый секретарь диссертационного совета, -кандидат фда.-мат. наук и/ И.А. Руднев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. |

Поучению двумерных систем посвящено в настоящее врет | оиачетелыюе число экспериментальных и теоретических работ. : Это связано как с практической важностью систем, которые | можно рассматривать как двумерные (гранулированные сверх- | проводящие пленки, слоистые полупроводниковые гетерострук- ■ туры и т.д.)» так и с интересом к фпоическим особенностям поведения таких систем, в частности, к особенностям фаоового перехода в упорядоченное состояние в двумерных системах. ;

Актуальность исследования плаяарной ХУ- модели свяоана, в частности, с тем, что ета модель отражает фяоические свойства таких систем, как сверхтекучий гелий, пленки гранулированных сверхпроводников, джооефсоновские среды, а также некоторые качественные особенности поведения высокотемпературных сверхпроводящих керамик. Оксидные сверхпроводники, изготовленные по керамической технологии, также как и пленки таких сверхпроводников, чаще всего имеют гранулированную структуру, с размером грапул (в массивных сверхпроводниках) ! порядка 1 микрона. Кроме того, внутри отих оерен имеются ! еще меньшие структурные обраоованга со слабой (джооефсо-новской) свяоью между шили. При температурах ниже температуры перехода в сверхпроводящее состояние для массивного сверхпроводника фаоы комплексного параметра порядка в этих !. областях могут испытывать существенные температурные флук- ; туации. Упорядочение фаз, т.е. переход системы в Глобальное ! сверхпроводящее состояние может рассматриваться с помощью | ЛГУ-модели. |

Константы свяои, входящие в гамильтониан ХУ- модели (кон- > станты Джооефсона), выражаются черео ширину сверхпроводящей щели и сопротивление контакта между гранулами в нор- 1 мальпом состоянии. В неоднородной фиоической системе ети константы свяои различны для раоных пар гранул. В свяои с этим актуальна оадача исследования неоднородной ХУ- системы, в том числе системы с перхоляцией. Критические индексы .

имеют очень общий характер и их величины одинаковы для совершенно раоличных двумерных систем с перхошщией. Расчет критических индексов интересен с точки орення изучения систем с пониженной раомерностыо.

Актуальна оадача численного расчета "холодного", квантового разрушения сверхпроводящего порядка и ХУ- модели. Малая величина гранул (соответственно, их мйлая емкость) приводит к существенному влиянию квантовых флуктуации ааряда па упорядочение фао и к вооможпости нарушения когерентности фао уже при температуре Г=0. С фиои ческой точки орения интересно, что поведение гранулированных пленок в квантовой области параметров имеет кваои- трехмерный характер, что видно, например, по поведению корреляционной функции фао на расстояниях меньших области кроссовера.

Расчет фдаячееккх характеристик кластера ио частпц с куло-вовским отталкиванием, помещенных в удерлгизшощее логе, актуален в свяои с поучением гигантских "атоглов", обраоующихся при определенных условиях в полупроводниковых гетерострук-турах. Такие кластеры могут обраооиывать также ноны, удерживаемые в ловушках Поля или Пеннннга.

Расчеты, приведенные в диссертации, выполнены методом Монте-Карло. Численные эксперименты, проводимые с исполь-оованием методов Монте-Карло или молекулярной динамики, являются мощным способом расчета в фнонке конденсированного состояния. Численный эксперимент позволяет с высокой точностью, ограниченной лишь ресурсами ЭВМ, рассчитать физические свойства модели, не накладывая ограничении па потенциал межчастичного взаимодействия.

Целью работы являлось:

1. Ноучение зависимости температуры (сверхпроводящего) фаоового перехода в ХУ- модели от типа неоднородности, в том числе для ХУ- модели с дерколяцией.

2. Расчет квантовым методом Монте-Карло ХУ- модели с учетом квантовых флуктуации оаряда, определенно вависимости температуры перехода от квантового параметра для ьтой модели.

.....? " ...... ..... " " "

3. Численное моделирование крлсталлпоацчп кластера но частиц с хуноновским отталкиванием з удерживающем потенциале.

Научная новизна и практическая ценность работы.

Проведено детальное исследование влияния различных типов неоднородности па фгдэовый переход в гранулированных сверхпроводниках. Для модели с перколяцией получено чкеленпое она-чение крптичесхого индекса, характеризующего оавпсимость температуры сверхпроводящего перехода от бяяоостп х точке пер-коллции. Эта ог.висимость согласуется с экспериментом.

Численный расчет методом Монте-Карло дал возможность оценить влияние квантовых эффектов па фазовый переход в ХУ-моделн. Рассчитанная нами фаяовая диаграмма может быть сопоставлена с аналитическими реоуяьтатами, полученными, например, в самосогласованном гармоническом приближении.

На оащтасу яыпосятсд следующие реоультаты диссертации:

1. Зависимость температурного перехода в гранулированной сверхпроводящей пленке от блиоости к порогу перколявдш Т(р) ~ (Р-РсУ.

2. Зависимость характеристик перехода Костерпица- Таулесса от неоднородности хопстант сшгои в джооефсоновской среде с положительными константами свяои.

3. Результаты моделирования: квантовым методом Монте-Карло фасового перехода, свяоанного с квантовыми флухтуацп-яшх оаряда, в гранулированной пленке сверхпроводника: оави-стшостъ модуля спиральвости от квантового параметра, линяя перехода в координатах температура- квантовый параметр.

4. Результаты моделирования методом Монте-Карло кристаллического упорядочения в малых хулоповских кластерах: оболо-чечная структура кластера, величина управляющего параметра Г прн температуре плавления кластера.

Апробация работы. Реоультаты, вошедшие в диссертационную работу, докладывались на семинарах и на Ученом Совете Института физики высоких давлений РАН, на семинаре Института —

спектроскопии РАН, на Международном рабочем совещании по ¡ еффектам сильного раоупорядочеппя в BTCIT (Заречный, 1990).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит ио Введе-; ния, четырех глав, оаключения, приложения и списка цитируемой литературы. Объем диссертации - 111 страниц, включая приложение, 23 рисунка и список литературы ио 51 нанменова-| ния" '

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы- численного моделирования фаоового перехода порядок- беспорядок I в двумерных системах, сформулирована цепь работы, кратко [ описана структура диссертация.

I В первой главе описана схема Метрополиса, реализующая ме-' тод Монте- Карло в фиоике конденсированного состояния и приведено подробное описание разработанной нами программы па языке ФОРТРАН 77 для расчета неоднородной XY- модели, i В втой главе прпЕеден алгоритм построения последователь-[ ности равновесных состояний и вычисления термодинамических : средних, исполызующий схему Метрополиса; рассмотрен датчик | случайных чисел (ДСЧ), а также рассмотрено тестирование ДСЧ. | В диссертации содержится описание структуры п отдельных j влементов программного комплекса. Комплс-с состоит ио четы-j рех блоков. В нулевом блоке производится расчет геометрпче-| ских характеристик решетки в оависимости от рассматривае-; мого типа неоднородности. В 1-ом блоке вводятся физические ; параметры: оначение температуры, число ^частиц и параметры, ! управляющие счетом. Во втором блоке осуществляется много-• кратное повторение цикла Метрополиса и вычисление термодп-• вамических средних. Ресультаты счета оаписываются в дисхо-' вый файл. В третьем блоке производится обработка корреляци-; онвых функций по методу наименьших квадратов и построение Г """ графиков. Эта обработка может производиться и после охопча-

; ■'•'■' ■ 'Г >■ •

ния работы основной программы.

Во второй, третьей и четвертой главах рассмотрен расчет методом Монте- Карло некоторых двумерных систем: ХУ- модели с двумя типами неоднородности, и также с учетом квантовых флуктуации заряда, и системы кулоновских частиц в удерживающем поле. ; /-■;. : , Во второй главе рассмотрен расчет неоднородной ХУ- модели с гамильтоновой функцией

" " Я = -V (1)

Фаоы фх свжзапы с гранулами, паходшцимисяв уопах квадрантной решетки, и испытывают тепловые флуктуации, Л," - констан- ' ты свяои, отличные от нуля только для ближайших соседей. Во введении к главе приведен краткий рбоор теоретических и экспериментальных работ, относящихся к етон оадаче. В однородной ХУ- модели, с одошакоиыми константами свяои ./¿у, при нио-' ких температурах наблюдается упорядочение фао а с ростом температуры происходит фаоовый переход типа Вереоинского-Костерлица- Таулеса. /

Как один ио примеров неоднородности в ХУ- модели рассмотрен расчет системы со случайными положительными константами свяои Л/, равномерно распределенными в интервале (1 — . 0.51?) < Уу < (1 + 0.52>), где В- 0, 1, 2, Модельная система -квадратная решетка с числом уолов N ~ 30 х 30. Рассчитывалась средняя онергия, теплоемкость С = АЕ/(АТМ), корреляционная ФУНКЦИЯ фао .:-.. . ■

д(г) =< соз(#г) - №)) > • (2)

Корреляционная функция фао аппроксимировалась покаоател%-ной функцией 1/га<?\ При ниэких температурах показатель а пропорционален температуре Т. Начиная с некоторой температуры Г = Тс(1?), а(Т) растет овачительно быстрее, что отражает переход от покааатеяьного к окспоненциальному падению корреляционной функции д(г) и исчезновение кваоидальпего порядка в системе. При температуре, близкой к Тс(2>), наблюдается также пик теплоемкости. Наши расчеты показали, что

фаоовый переход порядок - беспорядок происходит в системе с ■ положит ельными ©палениями констант свяои при всех значени-: ях параметра неоднородности D, но с ростом неоднородности ! пик теплоемкости понижаете« и уширяется.

Наиболее подробно в диссертации рассмотрена разбавленная , система (система с перкояяцией). В отой системе константы свя-; ои равны J или нулю, и доля ненулевых констант свяои равна р. Квааидалышй порядок в перколирующей системе вооможен только при р > рс, где рс — 0.5- порог перкодяции по связям на ! квадратной решетге. С целью определения линии фаоового перехода Тс(р) был проведен подробный расчет свойств системы с гамнльтоновой функцией (1) для нескольких значений р > рс. Для получения темсературвых оависимостей проводилось нагре- ; вапие модельной системы с релаксацией через интервалы темпе! ратуры AT/J = 0.01 — 0.02. Длительность релаксации на ка; ждом температурном шаге составляла 10е шагов Мопте-Карло. На рис.1 приведены температурные зависимости показателя корреляционной функции af(T) для нескольких значений р > 0.65. Реокий рост показателя сср(Т) при температуре, большей некоторой Те(р), позволяет определить температуру фазового пере- . 1 хода для данного значения параметра р. При температуре фаоо-! вого перехода величина показателя а,(Тс) = 0.2 -г 0.3, что близко к аналитическому значению для однородной модели а(Те)= 0.25. i Возможность более точного опредетения температуры фаоо-| вого перехода дает вычисление температурной зависимости мо~ i дуля спиральности (helicity modulus) 7 = SPF/dip, где F- ceo; бодная анергия (в расчете на один усел). Модуль спиральности • соответствует "жесткостз" в упорядоченной, "тЕердой" фазе. ' При фазовом переходе Костерлнца- Таулеса зависимость ц(Т) ; скачкообразно уменьшается до нуля при температуре перехода, j В однородной састеме скачок 7 происходит при универсальном | значении 7= 2/тг. Модуль спиральности для XY- моде; ли определяется по формуле •

NT

(3)

| где - единичный вектор, соединяющий соседние точки t я j, ®

g(r) ~ l/r"^1') от температуры для онглепнй р > 0.65.

Рис.2 Зависимость модуля спиральностн (helicity modulus) от температуры, р=0.7. Пунктирная линия соответствует 7 = (2/тг)Т. Изображенный штриховой линией скачок происходит выше точки пересечения 7(!Г) и (2/я)Т.

«о

Рис.3 Зависимость температуры фаоового перехода ЗГе(р) в раобавленнойсистеме от р — рс. Ливия соответсвует аппрохси-иации (р —рс)1И.

Рис.4 Фаоовая диаграмма двумерной гранулированной системы с учетом квантовых флуктуации. Сплошная линия - расчет в самосогласованной гармоническом приближении. Крестики -численный расчет ыетодок Монте - Карло.

| - проиовольное фиксированное направление в плоскости. На рис. ! 2 представлена оависимость к(Т), подученная в наших расчетах. { Зависимость 7(Г) испытывает характерный скачок как для р=1, ■ так и для разбавленной системы. Для р=1 скачок происходит I лрионаченки 71(Т^")/Г~ = 0.63, дл^р < 1 величина скачка боль! ше: Ъ(Т;)/ТС- > 2/тг. Температура, при которой происходит | , скачок,совпадаете, з рамках точности расчетов, с температурой Г ад» определенной по реокому увеличению показателя корре-Г ляционной функции ар(Т). Зависимость температуры перехода [ Тс(р), определенная в наших расчетах, аппроксимируется пока; оатепьлой функцией Те(р) ~ (р—рс)" , где V = 1.52 ± 0.15'(рис.З). ; В экспериментах с джооефсоновскими средами-было получено V — 1.56 ± 0.24. Эти сначения согласуются с (значением кри-: тического индекса для проводимостиДв нормальном состоянии)

перколирующей решетки на плоскости, равным 4/3. | В третьей главе рассмотрено применение квантового мето-

;Монте-Карло для расчета фановой диаграммы гранулированной сверхпроводящей пленка с учетом квантовых флуктуация оаря-] у да. Малый раомер гранул (соответственно, вк малая емкость) приводит х существенному влиянию квантовых флуктуации оа-. ряда на упорядочение фао параметра порядка в плевке. Беорао-- мерный квантовый параметр для гранулированной сверхпрово-г дящей пленки- д = П/у/1с , где Х-константа джооефсоновской свяонмежду гранулами,<7-емкостьгранулы.

Квантовый метод Монте- Карпо основывается на феяманов-ском подходе х квантовой статистической фгоике. В этом подхо-дестатастическая сумма для одномерного движения квантовой |. частицы в попе У{х) оапнодв&ется в веде

тР(х!Г-хш)х [ У(»0

2&Р

(4) |

одесь = II . Выражение (4) есть многомерный интеграл, который можно рассматривать как интеграл по всевооможным траекториям, соединяюкснм точка х\ я Хр+1. Это выражение сходится х точному оначевию для статистической суммы, когда

:'■'"' -л. . ■ «

величина РН/Р -*0. Выражение (4) для статистической суммы квантовой частицы аналогично классическому выражению для статистической суммы кольцевой цепочки ио Р частиц в поле с аффективным потенциалом .

к

тР{хк-хк+\У . У(хк) --¡_-

(5)

2Ь5/32 Р

Исходя но выражения для средней енергии системы

< Е >= -Э1п С}/ЭР и выражения (4) для статистической суммы получаем: •

< Е >= Р/2/9+ < А — а >, (С)

етР(хк-хшУ

Кинетическая энергия квантовой частицы есть К = Р/20—

< а >, а "потенциальная энергия V =< А >, где < ... > ооначает термодинамическое среднее для классической системы с потенциалом '

Квантовый метод Монте- Карло применен нами для расчета ХУ— модели с учетом квантовых флуктуации оаряда. Упорядочение фао параметра порядка в гранулированной сверхпроводящей пленке с учетом квантовых фдуктуаций оаряда может быть рассмотрено с помощью модельного гамильтониана

н=-фъ-щ+^-^ь-му (в)

где суммирование в первом слагаемом выполняется по всем уо-лам г, а во втором- также по всем ближайшим соседям. Для модели с гамильтонианом (8) формулы (7) принимают вид:

Уел = £ [£(1 - С0В{Ф1 - <%)) + -, (9) где суммирование проводится по У и б,

Пч*Р) = '№?) ¿(1 - - (10)

I ' • • • .

• а средняя кинетическая энергия для двумерной системы ио N ча-i стиц есть

? MP Р

= (И)

• Средняя опергия системы JSfa,/?) = U(g,/3)+ K(q,/3).

йсподьоуа квантовый метод Мопте- Карло, мы проиели рас; чет XY— моделя с гамильтоновой функцией (8) и определили . фаоовуго диаграмму в координатах Те - q. Моделируемая намл , квадратная решетка содержала N = 5x5 узлов с фазами . -; Решетка "раомкожаяась" Р pao вдоль z— направления.

Сходимость дискретизовааного интеграла по траекториям oupe-

• деляется значением параметра дискретизации т = ¡3Jq[P. Для рассматриваемых опачений параметра, q, температуры Т и значений Р = 10 -i- 20 параметр дискретизации равен т = 0.1 -f

; 0.5. Как показали реоультаты нашего моделирования, при таких оначеншпс параметра дискретизации относительное изменение средней потенциальной энергия как функции Р в укаоакном пн; • тервале Р = 10 -г 20 равно по порядку величины 0.01. Кинетическая озергня (11) вычисляется как разность двух больших величин, приблизительно пропорциональных Р, и аналогичная величина для средней кинетической онергии составляет 0.1. . Дня определения точки фаоового перехода использовалась зависимость модуля схшрапьности i (см. (3)) от квантового параметра q и температуры. При фиксированной температуре Т модуль спираяьности 7 как функция q уменьшается и скачкообразно обращается в ноль при критическом оначении q = gc(T). Рассчитанные таким методом значения qc(T) (рис.4) согласуются с ; лилией фаоового перехода, полученной аналитическими методами в самосогласованном гармоническом приближении.

Расчет корреляционной функций фаз д(г) был проведен для системы большего рапмера, N = 30 х 30. Величина (¡(г) уменьшается с ростом параметра q и температуры Т, но слабо зависит от расстояния г (как для кваои- 3D порядка). Кроссовер от трехмерного к двумерному поведению корреляционной фунх-ции должен наблюдаться при L > R — aq/t (L[a— размер системы, t — T(J— приведенная: температура). Квазитрехмерное

поведение корреляционной функкции фао покаогЛвает, что даже, . при оначениях q/t « 1 размер модельной системы оказывается, ■ по- видимому, еще недостаточным для перехода корреляционной функции i двумерному поведению. '■■'•

В четвертой главе диссертации рассмотрен расчет методом Мойте- Карло кристаллизации двумерных кулоновских кластеров в удерживающем поле (гавушке). Постановка такой оада-чи связана с вксперимеитальным наблюдением "гигантских атомов" в слоистых полупроводниковых гетероструктурах, а также с экспериментами по удержанию оаряженных частиц (влектро-нов или ионов) в электромагнитном попе. ■ ; Г'

В применении к етой оадаче рассмотрена методика расчета структуры, средней потенциальной энергии, корреляционной функции кластера ю N классических кулоновских частиц в гармоническом потенциале ловуягки. Потенциальная енергия системы есть:- ''..■'■-"

v= z ~+Erf (12)

Для расчета структуры кластера при температуре Т = 0 схема Метрополиса модифицируется таким образом, что частицы могут перемещаться только в состояния с более низкой энергией. После релаксации мы получаем структуру кластера, соответствующую шкальному минимуму свергай. .

Реоультаты расчета показывают оболочечную структуру кла- : стера при ниоких температурах. Минимальный ио полученных в расчете шкальных минимумов анергии доя каждого JV принимался как основное состояние. Распределение частиц кластера ' по оболочкам при температуре Т — 0, соответствующее основному состоянию, приведено в таблице для значений N <37 (рис. .

5).. -• ■-"•'•"•■;■'• —лЧг'ол-; ■

Рассчитывалась также пзрпая корреляционная функция д(г), которая при ниоких температурах имеет острые максимумы на расстояниях, соответствующих радиусам оболочек. Кластер ио конечного числа частиц не имеет фиксированной температуры плавления. Уширение оболочек с ростом температуры характе-- ршуется отношением i/a, еда 6 - среднеквадратичное смещение частиц от положения равноведы,а. - расстояние между оболоч-

структура радиус

N Е Е/И оболочек кластера

1 0 0 1 0

2 1.499 0.749 2 0.49

3 3.928 1.310 3 0.66

4 7.335 1.834 4 0.78

5 11.685 2.337 5 0.88

6 16.80 2.80 1,5 1.10

7 22.70 3.24 1,6 1.15

8 29.50 3.68 2,6 1.32

9 36.83 4.09 1,8 1.38

10 44.82 4.48 2,8 1.40

37 470. 12.7 1,6,13,17 2.33

Рис.5 Энергия Е кластеров с числом частиц N и структура оболочек при температуре Т=0.

16 j

! I !

ками. Температура, при которой 6/а = 0.1, принята оа температуру плавления Тт. Параметр Г = е2/акТ при отой температуре имеет сначеяие Гт = 125 (для N — 37), что хорошо согласуется с оначепием Г — 137 i 15 при плавлении электронного кристалла на поверхности жидкого гелия.

В оахлючении приведены основные реоультаты диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. В работе проведено поучение методом численного моделирования некоторых фазовых переходов, свяоанных с воопикнове-нкем кпаоидальнего порядка в двумерных системах.

2. Рассчитана линия фазового перехода для XY— модели с перколяцией, которую, можно аппроксимировать оависимостью Те(р) ~ (р — "РсУ с покаоателем v — 1.52 ± 0.15.

3. При численном моделировании неоднородной XY— модели со случайпыми положительными константами связи похаоапо, что фазовый переход (типа Ко стер лица- Tay леса) имеет место . для всех рассмотренных случаев распределения констант сияои.

4. Методом квантового Моыте- Карло проведен расчет термодинамических свойств XY — модели с учетом кваптовых флуктуации оаряда. Определепа лилия фаоового перехода в координатах температура перехода- квантовый параметр (Тс — q).

5. При численном моделировании двумерной системы кулонов-ских частицв удерживающем параболическом поле получено, что такая система, при пиах-ix температурах кристаллизуется в виде оболочечпото кластера. Определено отношение Г потенциальной опергин ж кинетической при температуре плавления, Гто & 125.

По материалам диссертации опубликованы следующие работы:

1. Yu. Е. Lozovik, L. М. Poiaiichy. Shell Structure of Two-Dimensional Electron Clusters.- phys. stat. sol. (b), 1990, v. 161, K11-K13.

2. L. M!. Pomirchy, Yu. E. Lozovik. Phase transition in high-Te superconductive granular films: Mente Cavío simulations.- Int. Workshop 'Effects of strong disordering in HTSC\ Zareclmy, 1S90, Proceedings, p. 333- 335. ............

3. IO. E. Лооовик, Л. M. Помкрчи. Фазовый переход в гранулированных плелхах ВТСП: моделирование методом Мопте-Карло!- Институт спектроскопии РАН, 1939, Препринт N 17, 14 с.

4. Ю. Е. Лоасвик, Л. М. Помпрчи. Переход Костерлица-Таулсся в системе с перполяциек.- ФТТ, 1993, т. 35, 9, с. 25192524. '

5. IO. Е. Лоэовпх, Л. М. Помирчл. Кристаллизация двумерных кулоцоЕскнх кластеров в ловушке: растет методом Монте-Карло.- Институт спектроскопии РАН, 1990, Препрпят N 1,14с.

6. Yu. Е. Losovik, L. М. Pomirchy. Phase transition in nonuniform Josephson medium: Monte Carlo simulations.- Институт спектроскопии РАН, 1392, Препринт N 19, 13 с.

7. Yu. Е. Lozovik,L. М. Pomirchy. Phase transition in nonuniform Josephson arrays: Monte Carlo simulations.- Sol. St. Comm., 19S4, v. 89, N 2, p. 145- 150.

8. Yu. E. Lozovik, L. M. Pomirchy. Disordering of superconductive state in granular films by quantum fluctuations of charge: Monte Carlo simulations.- Physics Letters, 191*5, v. A197, N4, p. 345- 349.

Подписано в печать €,с£.с!Т Заказ <Гс*6

Таиографая ШЭД, Каширское шоссе, 31

Тирах зкъ