Исследование неуниверсальных характеристик микроскопических дискретных моделей структурных фазовых переходов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Введение

Глава

Структурные фазовые переходы: феноменологический и микроскопический подходы

1.1. Классификация структурных фазовых переходов и универсальные характеристики.

1.2. Феноменологический подход.

1.2.1. Теория Ландау.

1.2.2. Флуктуационная область в рамках теории Ландау.

1.2.3. Квантовые флуктуации.

1.3. Микроскопический подход.

1.3.1. Класс универсальности Изинга и дискретная модель

1.3.2. ХУ класс универсальности.

1.3.3. Модели с несоразмерными фазами.

1.3.3.1. АШШ модель.

1.3.3.2. БШГОт модель.

1.3.3.3. Модель Френкеля-Конторовой.

1.3.4. Модели с квантовыми флуктуациями.

1.4. Методы исследования неуниверсальных характеристик микроскопических моделей.

1.4.1. Численные методы Монте-Карло.

1.4.2. Приближение среднего поля.

1.4.3. Приближение независимых мод.

Глава

Двумерные и слоистые структуры в классической дискретной ф4 модели

2.1. Постановка задачи и численное моделирование методом Монте-Карло

2.1.1. Постановка задачи.

2.1.2. Численное моделирование.

2.2. Приближение среднего поля для слоистых систем.

2.3. Приближение независимых мод для слоистых систем.

2.4. Анализ полученных результатов.

Глава

Квантовая дискретная ф4 модель при ненулевых температурах

3.1. Тепловые и квантовые флуктуации в дискретной ф'1 модели: постановка задачи.

3.2. Численное моделирование: квантовый метод Монте-Карло при ненулевых температурах.

3.2.1. Алгоритм квантового метода Монте-Карло.

3.2.2. Численные результаты.

3.3. Приближение среднего поля для квантового случая.

3.4. Приближение независимых мод для квантового случая.

3.5. Анализ полученных результатов.

3.5.1. Качественные оценки для некоторых сегнетоэлектриков.

Глава

Несоразмерные фазы в квантовой и классической моделях Б1ЕЕОи

4.1. Одномерная квантовая и двумерная классическая модели БШГОиЫ: постановка задачи.

4.2. Модель БГРГОТШ в приближении среднего поля.

4.3. Двумерная классическая модель БП^ТОТЖ: численное моделирование

4.3.1. Алгоритм.

4.3.2. Анализ численных данных.

4.3.2.1. Случай ^ = -0.45.

4.3.2.2. Случай с1 = -0.35.

4.4. Обсуждение результатов.

Диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию неуниверсальных свойств микроскопических моделей структурных фазовых переходов численными и аналитическими методами. Из множества неуниверсальных характеристик основное внимание уделяется количественным фазовым диаграммам моделей. В качестве микроскопических моделей используются простейшие приближения для структурных фазовых переходов, включающие ангармонический (двуямный) потенциал и короткодействующие взаимодействия (с ближайшими или через одного соседями).

Базовой задачей в теории фазовых переходов является описание поведения физических величин (теплоемкости, восприимчивости, диэлектрической проницаемости и т.д.) в широком интервале значений внешних параметров (температуры, давления и т.д.). Основная трудность этой задачи связана с существованием неограниченного роста флуктуаций в критической области, что приводит к невозможности использования обычной теории возмущений. Ограниченность применения теории Ландау [1], предложенной для описания структурных фазовых переходов, стала ясной после нахождения Онсагером точного решения для двумерной (2В) модели Изинга с иными значениями критических индексов [2]. Учет влияния длинноволновых флуктуаций Леванюком и Гинзбургом привел к формулировке критерия применимости разложения Ландау [3].

Современная теория критических явлений базируется на гипотезе масштабной инвариантности [4,5], которая позволила Вильсону разработать целый ряд методов для нахождения так называемых универсальных величин (критических индексов), описывающих поведение в критической области [6]. Однако, по-прежнему остается открытым вопрос об описании с единых позиций поведения основных физических величин не только в критической области, но и вдали от нее, где применима теория Ландау.

В тоже время существует целый ряд других, так называемых неуниверсальных характеристик, отражающих детальное устройство состава и взаимодействий в веществе, к которым не применимы упомянутые методы. Из наиболее важных таких величин стоит отметить параметр порядка как функцию температуры и температуру фазового перехода. В настоящее время единая теория, позволяющая описывать универсальные и неуниверсальные свойства системы, по-видимому, отсутствует.

Исследование неуниверсальных характеристик микроскопических моделей представляет интерес не только ввиду важности изучения явлений фазовых переходов в целом. Так же в рамках одной микроскопической модели возможно описание широкого спектра свойств структурных фазовых переходов, таких как существование переходов типа смещения и порядок-беспорядок, свойственных, например, сегнетоэлектрическим и ферромагнитным материалам, влияние квантовых флуктуаций, наличие несоразмерных фаз. Оказывается, что уже простые решеточные модели могут показывать существование обоих типов фазовых переходов [7,8]. Учет квантовых флуктуаций позволяет предсказывать разрушение порядка при низких температурах и, в частности, существование квантовых параэлектриков. Введение простейшим образом конкурирующих взаимодействий (например, разный знак констант связи для ближайших и через одного соседей) позволяет предсказывать несоразмерные и соразмерные участки на фазовых диаграммах.

Достаточно широко известны следующие простейшие модели структурных фазовых переходов и несоразмерных фаз: дискретная ф4 модель (discrete ф4 model) и дискретная ф4 модель с конкурирующими взаимодействиями (discrete frustrated ф4 model - DIFFOUR), соответственно. Обе модели описываются гамильтонианом с двуямным (2-4) потенциалом, гармоническим взаимодействием с ближайшими соседями и взаимодействием через соседа в одном направлении (последнее для модели DIFFOUR) [8,9]: i г i

I - Xj)2<jij +

Здесь, в предпоследней сумме = 1 только для ближайших соседей, в последней сумме o'i;j = 1 только для j == г — 2 и j = % + 2 вдоль одной из осей и <тг? = о'ц — 0 во всех остальных случаях. Дискретная ф4 модель отвечает случаю С' = 0, а модель DIFFOUR случаю С ф 0.

Выбор указанных моделей мотивирован следующим обстоятельством. Несмотря на то, что универсальные свойства этих моделей достаточно хорошо известны, неуниверсальные характеристики либо не исследованы, либо изучены для ограниченного числа предельных случаев как для 2D, так и для трехмерного (3D) случаев. Обычно, исследуемыми неуниверсальными характеристиками подобных моделей являются такие величины, как зависимость параметра порядка от температуры, температура фазового перехода, корреляционные функции, а так же количественные фазовые диаграммы, как функции параметров моделей.

Ввиду ограниченного числа точно решаемых моделей для анализа неунинереальных характеристик широко используются численное моделирование и приближенные аналитические схемы. Сравнение результатов, полученных различными методами, представляет собой самостоятельный раздел, направленный на создание новых и улучшение уже существующих приближений в теории критических явлений.

Цель данной работы состояла в теоретическом исследовании неуниверсальных характеристик микроскопических моделей структурных фазовых переходов с классическими и квантовыми флуктуациями численным моделированием методом Монте-Карло и в рамках простейших аналитических приближений.

Актуальность работы связана с фундаментальным интересом к исследованию структурных фазовых переходов, несоразмерных и соразмерных фаз в тонких пленках и объемных материалах. Фазовые диаграммы и неуниверсальные характеристики микроскопических моделей могут быть использованы для качественных оценок свойств некоторых материалов.

Научная новизна предложенных результатов состоит в следующем:

- исследованы 2Б и слоистые структуры в рамках классической дискретной ф4 модели; изучена температура фазового перехода как функция различных параметров численным методом Монте-Карло и аналитическими приближениями, обобщенными на случай слоистых систем, для различных типов фазовых переходов

- показана эффективность использования схемы квантового метода Монте-Карло с Фурье-представлением фейнмановских интегралов по траекториям для численного моделирования дискретной ф4 модели с классическими и квантовыми флуктуациями

- получены количественные фазовые диаграммы для различных параметров квантовой дискретной </>4 модели при ненулевых температурах для 2Б и ЗБ систем; проведено сравнение результатов, полученных численным моделированием и в рамках аналитических приближений

- построена фазовая диаграмма квантовой модели В1ГР01Л1 в приближении среднего поля; исследованы корреляционные функции 2В классической модели БШГОХЖ численным моделированием методом Монте-Карло; для определенных параметров модели было показано существование области несоразмерной фазы без дальнего порядка и двух различных фазовых переходов

Работа состоит из введения, четырех глав и заключения.

- В первой главе, являющейся литературным обзором, приведены классификация фазовых переходов в целом, обзор основных подходов для изучения критических явлений, методов анализа микроскопических моделей и полученных результатов. Особое внимание внимание уделялось разделам, связанным с оригинальной частью работы, а именно свойствам класса универсальности Изинга и ХУ класса, моделям с несоразмерными и соразмерными фазами на диаграммах, а также моделям с квантовыми флуктуация ми

- Вторая глава посвящена исследованию 2Б и слоистых структур в рамках классической дискретной 04 модели. Приведены результаты исследования зависимостей квадрата параметра порядка от температуры для широкого интервала значений параметров модели и температуры фазового перехода методом Монте-Карло. Для случая слоистых систем представлены модификации приближений среднего поля и независимых мод. Проведено сравнение численных результатов и результатов, полученных аналитическими приближениями

- В третьей главе излагаются результаты исследования квантовой дискретной ф4 модели при ненулевых температурах для 2Б и ЗВ систем. Представлена численная схема для квантового метода Монте-Карло для данного случая. Изложены обобщения приближений среднего поля и независимых мод на случай классических и квантовых флуктуаций. Представлены фазовые диаграммы модели

- Четвертая глава посвящена исследованию одномерной (1В) квантовой модели БШГОиН в рамках приближения среднего поля и 2Б классической модели численным моделированием Монте-Карло. Представлена фазовая диаграмма для Ш квантовой модели. Описана схема для численного моделирования классического 2Б случая. Для определенных параметров модели приведены и проанализированы корреляционные функции. Обсуждаются существование несоразмерной фазы без дальнего порядка и фазового перехода типа Костерлица-Таулесса

В заключении представлены основные выводы диссертации.

Апробация работы производилась на следующих конференциях:

- Международный симпозиум по сегнетоэлектрикам (181Р'2000), Аахен, Германия, 2000

- Европейская конференция по исследованию материалов (Е-МЫ8'2000), Страсбург, Франция, 2000

- Европейская конференция по физике поверхности (ЕС088'19, ЕС088'20), Мадрид, Испания, 2000; Краков, Польша, 2001

- Ежегодная конференция голландского фонда фундаментальных исследований по физике твердого тела (Уе1с1Ьоуеп'2002), Вельдховен, Нидерланды, 2002

Основные результаты диссертационной работы можно сформулировать следующим образом:

1. Получены зависимости параметра порядка от температуры классической дискретной ф4 модели методом Монте-Карло для двумерного случая в интервале значений параметра а от 1 до 4000, а так же для слоистых систем с толщиной N, варьируемой в пределах от 1 до 6 для а = 1, а — 44, а = 4000. Данный интервал значений параметра а позволяет исследовать различные типы фазовых переходов: от типа смещения, до типа порядок-беспорядок. Определены температуры фазового перехода классической дискретной ф4 модели, как функции параметра а и толщины N.

2. Аналитические приближения среднего поля и независимых мод обобщены на случай классических слоистых систем в рамках дискретной ф4 модели. Показано, что приближение среднего поля качественно правильно описывает результаты численного моделирования во всем интервале значений параметра а с количественной ошибкой от десятков до сотен процентов, а приближение независимых мод качественно и количественно согласуется с численными данными с ошибкой менее 5% только в пределе типа смещения, соответствующего значениям а < 1.

3. Показана эффективность квантового метода Монте-Карло с использованием Фурье-представления для фейнмановских траекторий в случае квантовой дискретной ф4 модели при ненулевой температуре. Численным моделированием получены фазовые диаграммы квантовой дискретной ф4 модели при ненулевой температуре для двумерного и трехмерного случаев и трех значений параметра а, равных 4, 16 и 64. Полученные диаграммы показывают переходы между классическим и квантовым пределами, а также между пределами смещения и порядок-беспорядок квантовой дискретной ф'4 модели.

4. Аналитические приближения среднего поля и независимых мод для дискретной ф4 модели обобщены на случай квантовых и классических флуктуаций. Показано, что приближение среднего поля качественно правильно описывает результаты численного моделирования для всех значений параметров модели а. т. ¿. Количественная ошибка варьируется от десятков до сотен процентов для двумерного и трехмерного случаев в зависимости от параметров модели. Приближение независимых мод количественно согласуется с численными данными с ошибкой менее 5% только в пределе типа смещения (а < 1) для трехмерного случая и в квантовом пределе смещения (£ = 0, а —»• +0) для двумерного случая.

Заключение 89

5. Для квантовой модели БПТОиЫ при нуле температуры в приближении среднего поля построена фазовая диаграмма, имеющая участки с несоразмерной, соразмерной с периодом 4, ферро- и пара-фазами. Показано, что при массах т < 0.2 основное состояние является пара-фазой.

6. Классическая двумерная модель ОШРОиВ, исследована численным методом Монте-Карло для двух значений параметра (I, равных —0.45 и —0.35. Путем анализа корреляционных функций для случая б? = —0.45 было обнаружено два различных фазовых перехода: первый переход типа Костерлица-Таулесса из модулированной пара-фазы без дальнего порядка в несоразмерную фазу без дальнего порядка при « 1.2 и второй переход из несоразмерной фазы без дальнего порядка в соразмерную фазу с периодом 6 при ¿2 ~ 0.55. Для случая сI = —0.35 был обнаружен один фазовый переход из пара-фазы в ферро-фазу при « 0.91.

Результаты представленные в диссертации опубликованы в работах [126 -131].

Автор выражает благодарность Леониду Вениаминовичу Келдышу за научное руководство, Алексею Николаевичу Рубцову за неоценимый вклад в работу, внимание и поддержку за все время обучения на физическом факультете, проф. Теду Янссену (Prof. Ted Janssen) за ценные замечания и руководство при работе над четвертой главой диссертации. Пользуясь случаем, автор выражает признательность руководителю лаборатории нелинейной оптики наноструктур и фотонных кристаллов Олегу Андреевичу Акципетрову, а также всем членам лаборатории за поддержку. Работа частично выполнена в рамках программы INTAS для молодых ученых (грант YSF 2001/1 - 135).

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие. В 10 т. Т. V. Статистическая физика. Ч. 1. Москва: Наука. Физмат лит, 1995. -608 с.

2. Onsager L. Crystal statistics. I. A two-dimensional model with an orderdisorder transition // Phys. Rev. 1944. - V. 65, №. 3-4. - P. 117-149.

3. Гинзбург В.Л. Несколько замечаний о фазовых переходах второго рода и микроскопической теории сегнетоэлектриков // ФТТ 1960. - Т. 2, №. 9.- С. 2031-2043.

4. Kadanoff L.P. Scaling" laws for Ising models near Tc // Pysics. 1966. - V. 2.- P. 263-272.

5. Паташинский A.3., Покровский В.Л. О поведении упорядочивающихся систем вблизи точки фазового перехода // ЖЭТФ 1966. - Т. 50, №. 2. -С. 439-447.

6. Wilson K.G. The renorrnalization group and critical phenomena // Rev. Mod. Phys. 1983. - V. 55, № 3. - P. 583-600.

7. Струков Б.А., Леванюк А.П. Физические основы сегнетоэлектрических явлений в кристаллах Москва: Наука.Физмат лит, 1995. - 304 с.

8. Брус А., Каули Р. Структурные фазовые переходы: Пер. с англ. Москва: Мир, 1984. - 408 с.

9. Selke W. Spatially modulated structures in systems with competing interactions // In: Phase transitions and critical phenomena, eds. C. Domb and J.L. Lebowitz (Academic Press), 1992. - Y. 15. - P. 1-72.

10. Иона Ф., Ширане Д. Сегнетоэлектрические кристаллы: Пер. с англ. -Москва: Мир, 1965. 556 с.

11. Вакс В.Г. Введение в микроскопическую теорию сегнетоэлектриков -Москва: Наука, 1973. 328 с.

12. Паташинский А.З., Покровский В.Л. Флуктуационная теория фазовых переходов Москва: Наука, 1982. - 382 с.

13. Merz W.J. The electric and optical behavior of ВаТЮз single-domain cristals // Phys. Rev. 1949. - Y. 76, №. 8. - P. 1221-1225.

14. Gonzalo J.A. Critical behavior of ferroelectric triglycine sulfate // Phys. Rev.- 1966. V. 144, №. 2. - P. 662-665.

15. Schneider Т., Beck H., Stoll E. Quantum effects in an n-component vector model for structural phase transitions // Phys. Rev. В 1976. - V. 13, №. 3.- P. 1123-1130.

16. Mliller K.A., Burkard H. ЭгТЮз: An intrinsic quantum paraelectric: below 4 К // Phys. Rev. В 1979. - V. 19, №. 7. - P. 3593-3602.

17. Viana R., Lunkenhekner P., Hemberger J., Bohmer R., Loidl A. Dielectric spectroscopy in SrTi03 // Phys. Rev. В 1994. - V. 50, №. 1. - P. 601-604.

18. Christen H.-M., Mannhart J., Williams E.J., Gerber Ch. Dielectric properties of sputtered SrTi03 films /,/ Phys. Rev. В 1994. - V. 49, №. 17. - P. 1209512104.

19. Fleury P.A., Worlock J.M. Electric-field-induced Raman effect in paraelectric crystals // Phys. Rev. Lett. 1967. - V. 18, №. 16. - P. 665-667.

20. Abel W.R. Effect of pressure on the static dielectric constant of KTa03 // Phys. Rev. В 1971. - V. 4, №. 8. - P. 2696-2701.

21. Chen Ang, Bhalla A.S., Cross L.E. Dielectric behavior of paraelectric KTa03, CaTi03, and (Ln0.5Na0.5)TiO3 under a dc electric field // Phys. Rev. В 2001.- V. 64, №. 1. P. 184104-1-184104-6.

22. Itoh M., Wang R., Inaguma Y., Yamaguchi Т., Shan Y-J., Nakamura T. Ferroelectricity induced by oxydgen isotope exchange in strontium titanate perovskite // Phys. Rev. Lett. 1999. - V. 82, №. 17. - P. 3540-3543.

23. Фейнман P., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям: Пер. с англ. Новокузнецк: ИО НФМИ, 1998. - 380 с.

24. Sondhi S.L., Girvin S.M., Carini J.P., Shahar D. Continuous phase transitions // Rev. Mod. Phys. 1997. - V. 69, №. 1. - P. 315-333.

25. Sachdev S. Theory of finite-temperature crossovers near quantum critical points close to, or above, their upper-critical dimension // Phys. Rev. В -1997. V. 55, №. 1. - P. 142-163.

26. Morf R., Schneider Т., Stoll E. Nonuniversal critical behavior and its suppression by quantum fluctuations // Phys. Rev. В 1977. - V. 16, №. 1. -P. 462-469.

27. Elliott R.J., Wood C. The Ising model with a transverse field I High temperature expansion //J. Phys. C: Solid St. Phys. - 1971. - V. 4, №. 15. -P. 2359-2369.

28. Pfeuty P., Elliott R.J. The Ising model with a transverse field II ground state properties // J. Phys. C: Solid St. Phys. - 1971. - V. 4, №. 15. - P. 2370-2385.

29. Kadanoff L.P., Gotze W., Hamblen D., Hecht R., Lewis E.A.S., Palciauskas V.V., Rayl M., Swift J., Aspnes D., Kane J. Static phenomena near critical points: theory and experiment // Rev. Mod. Phys. 1967. - V. 39, № 2. - P. 395-431.

30. Pelissetto A., Yicari E. Critical phenomena and renormalization-group theory // Phys. Rep. 2002. - V. 368, № 6. - P. 549-727.

31. Adler J. Critical temperatures of the d = 3, s = 1/2 Ising model; the effect of confluent corrections to scaling //J. Phys. A: Math. Gen. 1983. - V. 16, №. 15. - P. 3585-3599.

32. Ferrenberg A.M., Landau D.P. Critical behavior of the three-dimensional Ising model: a high-resolution Monte Carlo study // Phys. Rev. В 1991. - V. 44, №. 10. - P. 5081-5091.

33. Аксенов В.JI., Бретер X., Ковальски Я.М., Плакида Н.М., Приезжев В.Б. Фазовый переход смешанного типа в модели сегнетоэлектрика // ФТТ -1976.- V. 18, №. 10.- Р. 2920-2926.

34. Stamenkovic S., Plakida N.M., Aksienov V.L., Siklos Т. Unified theory of ferroelectric phase transitions // Phys. Rev. В 1976. - V. 14, №. 11. -P. 5080-5087.

35. Aubry S. A unified approach to the interpretation of displacive and order-disorder systems. I. Thermodynarriical aspect //J. Chem. Phys. 1975. - V. 62, №. 8. - P. 3217-3229.

36. Padlewski S., Evans A.K., Ayling C., Heine V. Crossover between displacive and order-disorder behaviour in the фА model //J. Phys.: Condens. Matter -1992. V. 4, №. 21. - P. 4895-4908.

37. Hlinka J., Janssen Т., Dvorak V. Orcler-disorcler versus soft mode behaviour of the ferroelectric phase transition in Sn2P2S6 //J- Phys.: Condens. Matter- 1999. V. 11, №. 16. - P. 3209-3216.

38. Toral R., Chakrabarti A. Numerical determination of the phase diagram for the ф4 model in two dimensions // Phys. Rev. В 1990. - V. 42, №. 4. -P. 2445-2454.

39. Loinaz W., Willey R.S. Monte Carlo simulation calculation of the critical coupling constant for two-dimensional continuum ф4 theory // Phys. Rev. D- 1998. V. 58, №. 7. - P. 076003-1-076003-5.

40. Rostiashvili V.G., Schilling R. Effective kink-kink interaction in a one-dimensional model mediated by phonon exchange // Phys. Rev. Lett 1994.- V. 72, №. 14. P. 2130-2133.

41. Radescu S., Etxebarria I., Perez-Mato J.M. The Landau free energy of the three-dimensional ф4 model in wide temperature intervals //J. Phys.: Condens. Matter 1995. - V. 7, №. 3. - P. 585-595.

42. Schneider Т., Stoll E. Molecular-dynamics study of structural-phase transitions. I. One-component displacement models // Phys. Rev. В 1976. -V. 13, №. 3. - P. 1216-1241.

43. Schneider Т., Stoll E. Molecular-dynamics study of a three-dimensional one-component model for distortive phase transitions // Phys. Rev. В 1978. -V. 17, №. 3. - P. 1302-1322.

44. Rubtsov A.N., Hlinka J., Janssen T. Crossover between a displacive and an order-disorder phase transition // Phys. Rev. E 2000. - V. 61, №. 1. - P. 126131.

45. Аксенов В.Л., Плакида H.M. Метод самосогласованного фононного поля в теории структурных переходов // ТМФ 1978. - V. 34, №. 3. - Р. 353-363.

46. Giddy А.P., Dove М.Т., Heine V. What do Landau free energies really look like for structural phase transitions? // J. Phys.: Condens. Matter 1989. -V. 1, №. 44. - P. 8327-8335.

47. Flach S., Siewert J., Siems R., Schreiber J. A molecular dynamics study of long-time correlations in a model of structural phase transitions-comparison with a mode-coupling approximation //J. Phys.: Condens. Matter 1991. -V. 3, №. 36. - P. 7061-7067.

48. Flach S., Siewert J. Dynamical scaling properties of a one-dimensional <£4 lattice model-comparison with mode coupling theory //J- Phys.: Condens. Matter 1992. - V. 4, №. 25. - P. L363-L370.

49. Wang Y.G., Zhong W.L., Zhang P.L. Surface and size effects on ferroelectric films with domain structures // Phys. Rev. B 1995. - V. 51, № 8. -P. 5311-5314.

50. Qu B., Zhong W., Zhang P. Phase-transition behavior of the spontaneous polarization and susceptibility of ferroelectric thin films // Phys. Rev. B -1995. V. 52, № 2. - P. 766-770.

51. Binder K., Hohenberg P.C. Surface effects on magnetic phase transitions // Phys. Rev. B 1974. - V. 9, № 5. - P. 2194-2214.

52. Binder K. Monte Carlo study of thin magnetic Ising films // Thin Solid Films 1974. - V. 20. - P. 367-381.

53. Lipowski A., Suzuki M. The layered Ising model mean-field and interfacial approximations // Physica A - 1993. - V. 198. - P. 227-244.

54. Jensen P.J., Dreysse H., Bennernann K.H. Thickness dependence of the magnetization and the Curie temperature of ferromagnetic thin films // Surf. Sei. 1992. - V. 269-270. - P. 627-631.

55. Schilbe P., Siebentritt S., Rieder K.-H. Monte Carlo calculations on the dimensional crossover of thin Ising films // Phys. Lett. A 1996. - V. 216. -P. 20-25.

56. Lin D.L., Che H., Lai W., George T.F. Critical temperature of Ising films with cubic lattices // Phys. Rev. E 1994. - V. 49, № 3. - P. 2155-2160.

57. Lin D.L., Che H., Xia Y. Critical temperature of (d + l)-dimensional Ising films // Phys. Rev. A 1992. - V. 46, № 4. - P. 1805-1809.

58. Allan G.A.T. Critical temperatures of Ising lattice films // Phys. Rev. B -1970. V. 1, № 1. - P. 352-356.

59. Mermin N.D., Wagner H. Absence of ferromagnetism or antiferromagnetism in one- or two-dimensional isotropic Heisenberg models // Phys. Rev. Lett. -1966. V. 17, № 22. - P. 1133-1136.

60. Hohenberg Р.С. Existence of long-range order in one and two dimensions // Phys. Rev. 1967. - V. 158, № 2. - P. 383-386.

61. Березинский В.JI. Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симметрии // ЖЭТФ 1970. - Т. 59, №. 3. - С. 907-920.

62. Stanley Н.Е., Kaplan Т.A. Possibility of a phase transition for the two-dimensional Heisenberg model // Phys. Rev. Lett. 1966. - V. 17, № 17. -P. 913-915.

63. Kosterlitz J.M., Tliouless B.J. Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems //J- Phys. C: Solid State Phys. 1973. - V. 6, №. 7. - P. 1181-1203.

64. Kosterlitz J.M. The critical properties of the two-dimensional XY model // J. Phys. C: Solid State Phys. 1974. - V. 7, №. 6. - P. 1046-1060.

65. Gupta R., Baillie C.F. Critical behavior of the two-dimensional XY model // Phys. Rev. В 1992. - V. 45, № 6. - P. 2883-2898.

66. Gupta R., BeLapp J., Batrouni G.G., Fox G.C., Baillie C.F., Apostolakis J. Phase transition in the 2D XY model // Pliys. Rev. Lett. 1988. - V. 61, № 17.- P. 1996-1999.

67. Janke W. Logarithmic: corrections in the two-dimensional XY model // Phys. Rev. В 1997. - V. 55, № 6. - P. 3580-3584.

68. Olsson P. Self-consistent boundary conditions in the 2D XY model // Phys. Rev. Lett, 1994. - V. 73, № 25. - P. 3339-3342.

69. Olsson P. Monte Carlo analysis of the two-dimensional XY model. II. Comparison with the Kosterlitz renormalization-group equations // Phys. Rev. В 1995. - V. 52, № 6. - P. 4526-4535.

70. Selke W., Fisher M.E. Monte Carlo study of the spatially modulated phase in an Ising model // Phys. Rev. В 1979. - V. 20, № 1. - P. 257-265.

71. Вак P., von Boehm J. Ising model with solitons, phasons, and "the devil's staircase-// Phys. Rev. В 1980. - V. 21, № 11. - P. 5297-5308.

72. Fisher M.E., Selke W. Infinitely many commensurate phases in a simple Ising model // Phys. Rev. Lett. 1980. - V. 44, № 23. - P. 1502-1505.

73. H0gh Jensen M., Bak P. Mean-field theory of the three-dimensional anisotropic Ising model as a four-dimensional mapping // Phys. Rev. В 1983. - V. 27, № 11. - P. 6853-6868.

74. Beale P.D., Duxbury P.M., Yeomans J. Finite-size scaling of two-dimensional axial next-nearest-neighbor Ising models // Phys. Rev. В 1985. - V. 31, № 11.- P. 7166-7170.

75. Selke W. Finite-size behaviour of the two-dimensional ANNNI model // Z. Phys. В 1981. - V. 43. - P. 335-344.

76. Sato A., Matsubara F. Equilibrium properties of an axial next-nearest-neighbor Ising model in two dimensions // Phys. Rev. В 1999. - V. 60, № 14.- P. 10316-10324.

77. Barber M.N., Derrida B. Dynamical phase transitions in the two-dimensional ANNNI model //J. Stat. Phys. 1988. - V. 51. - P. 877-891.

78. Shirahata Т., Nakamura T. Infinitesimal incommensurate stripe phase in an axial next-nearest-neighbor Ising model in two dimensions // Phys. Rev. В -2002. V. 65, № 1. - P. 024402-1-024402-10.

79. Villain J., Bak P. Two-dimensional Ising model with competing interactions: floating phase, walls and dislocations //J. Phys. (Paris) 1981. - V. 42, № 5.- P. 657-668.

80. Grynberg M.D., Ceva H. Interacting-fermion approximation in the two-dimensional axial next-nearest-neighbor Ising model // Phys. Rev. В 1991.- V. 43, № 16. P. 13630-13633.

81. Mliller-Hartmann E., Zittartz J. Interface free energy and transition temperature of the square-lattice Ising antiferromagnet at finite magnetic field // Z. Phys. В 1977. - V. 27, № 3. - P. 261-266.

82. Покровский В.JI., Талапов А.Л. Теория двумерных несоизмеримых кристаллов // ЖЭТФ 1980. - У. 78, №. 1. - Р. 269-295.

83. Janssen Т., Tjon J.A. Microscopic model for incommensurate crystal phases // Phys. Rev. В 1982. - У. 25, № 6. - P. 3767-3785.

84. Janssen Т., Tjon J.A. Incommensurate crystal phases in mean-field approximation // J. Phys. C: Solid State Phys. 1983. - V. 16, №. 24. -P. 4789-4810.

85. Rubtsov A.R., Janssen Т. Numerical study of the paraelectric-incommensurate-ferroelectric transition in the DIFFOUR model // Europhys. Lett. 2001. - V. 53, № 2. - P. 216-220.

86. Dmitriev S.V., Shigenari Т., Vasiliev A.A., Abe K. Dynamics of domain walls in an incommensurate phase near the lock-in transition: one-dimensional crystal model // Phys. Rev. В 1997. - V. 55, № 13. - P. 8155-8164.

87. Dmitriev S.V., Shigenari Т., Abe K. Mechanisms of transition between 1 q and 2q incommensurate phases in a two-dimensional crystal model // Phys. Rev. В 1998. - V. 58, №- 5. - P. 2513-2522.

88. Конторова Т.А., Френкель Я.И. К теории пластической деформации и двойникования. И, III // ЖЭТФ 1938. - Т. 8, №. 12. - С. 1340-1358.

89. Biham О., Mukamel D. Global universality in the Frenkel-Kontorova model // Phys. Rev. A 1989. - V. 39, № 10. - P. 5326-5335.

90. Risting M.L., Kirn J.W. Correlated-basis-function analysis of the transverse Ising model // Phys. Rev. В 1996. - V. 53, №- 10. - P. 6665-6676.

91. Kim J.W., Risting M.L., Clark J.W. Transverse Ising model at zero temperature // Phys. Rev. В 1998. - V. 57, № 1. - P. 56-59.

92. Irkhin V.Yu., Katanin A.A. Quantum phase transitions and thermodynamic properties in highly anisotropic magnets // Phys. Rev. В 1998. - V. 58, N°- 9. - P. 5509-5528.

93. Rubtsov A.R., Janssen Т. Quantum phase transitions in the discrete ф4 model: the crossover between two types of transition // Phys. Rev. В 2001. - V. 63, № 17. - P. 172101-1-172101-4.

94. Sen P., Cliakrabarti B.K. Ising models with competing interactions in transverse fields // Phys. Rev. В 1989. - V. 40, № 1. - P. 760-762.

95. Sen P., Chakrabarti B.K. Critical properties of a one-dimensional frustrated quantum magnetic model // Pliys. Rev. B 1991. - Y. 43, № 16. - P. 1355913565.

96. Rieger H., Uimin G. The one-dimensional ANNNI model in a transverse field: analytic and numerical study of effective Hamiltonians // Z. Phys. B 1996.- V. 101, №4. P. 597-611.

97. Dutta A., Bhattacharjee J.K., Chakrabarti B.K. Quantum rotors with regular frustration and the quantum Lifshitz point // Eur. Phys. J. B 1998. - V. 3, № 1. - P. 97-103.

98. Martonak R., Tosatt.i E. Path-integral Monte Carlo study of a model two-dimensional quantum paraelecfcric // Phys. Rev. B 1994. - V. 49, № 18. -P. 12596-12613.

99. Bilz H., Benedek G., Bussmann-Holder A. Theory of ferroelectricity: The polarizability model // Phys. Rev. B 1987. - V. 35, № 10. - P. 4840-4849.

100. Zhong W., Vanderbilt, D. Effect of quantum fluctuations on structural phase transitions in SrTi03 and BaTi03 // Phys. Rev. B 1996. - V. 53, № 9. -P. 5047-5050.

101. Bussmann-Holder A., Buttner H., Bishop A.R. Stabilization of ferroelectricity in quantum paraelectrics by isotopic substitution //J. Phys.: Condens. Matter- 2000. V. 12, №. 6. - P. L115-L120.

102. Prosandeev S.A., Maslennikov A.E., Kleemann W., Dec J. Polarization fluctuations in pure SrTi03 // Ferroelectrics 2000. - V. 238, № 1-4. - P. 735742.

103. Prosandeev S.A., Kleemann W., Westwanski B., Dec J. Quantum paraelectricity in the mean-field approximation // Phys. Rev. B 1999. -V. 60, № 21. - P. 14489-14491.

104. Prosandeev S.A., Kleemann W., Dec J. Quantum paraelectricity in the self-consistent phonon approximation // Integr. Ferroelectrics 2001. - V. 32, № 1-4. - P. 979-986.

105. Zhang L., Zhong W-L., Kleemann W. The study of the quantum effect in BaTi03 // Phys. Lett. A 2000. - V. 276. - P. 162-166.

106. Blankenbecler R., Scalapino D.J., Sugar R.L. Monte Carlo calculations of coupled boson-fermion systems. I // Phys. Rev. D 1981. - V. 24, № 8. -P. 2278-2286.

107. Foulkes W.M.C., Mitas L., Needs R.J., Rajagopal G. Quantum Monte Carlo simulations of solids // Rev. Mod. Phys. 2001. - V. 73, № 1. - P. 33-83.

108. Swendsen R.H., Wang J-S. Nonuniversal critical dynamics in Monte Carlo simulations // Phys. Rev. Lett. 1987. - V. 58, № 2. - P. 86-88.

109. Wang F., Landau D.P. Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states // Phys. Rev. Lett. 2001. - V. 86, № 10. -P. 2050-2053.

110. Dürr W., Taborelli M., Paul O., Germax R., Gudat W., Pescia D., Lanclolt M. Magnetic phase transition in two-dimensional ultrathin Fe films on Au(100) // Phys. Rev. Lett. 1989. - V. 62, № 2. - P. 206-209.

111. Li Y., Baberschke K. Dimensional crossover in ultrathin Ni(lll) films on W(100) // Phys. Rev. Lett. 1992. - V. 68, № 8. - P. 1208-1211.

112. Allenspach R., Bischof A. Magnetization direction switching in Fe/Cu(100) epitaxial films: temperature and thickness dependence // Phys. Rev. Lett. -1992. V. 69, № 23. - P. 3385-3388.

113. Ducharme S., Bune A.V., Blinov L.M., Fridkin V.M., Palto S.P., Sorokin A.V., Yudin S.G. Critical point in ferroelectric Langmuir-Blodgett polymer films // Phys. Rev. В 1998. - V. 57, № 1. - P. 25-28.

114. Bune A.V., Fridkin V.M., Ducharme S., BlinovL.M., Palto S.P., Sorokin A.V., Yudin S.G., Zlatkin A. Two-dimensional ferroelectric films // Nature 1998. - V. 391, № 1. - P. 874-877.

115. Doll J.D., Coalson R.D., Freeman D.L. Fourier path-integral Monte Carlo methods: partial averaging // Phys. Rev. Lett. 1985. - V. 55, № 1. - P. 1-4.

116. Vorontsov-Velyaminov P.N., Nesvit, M.O., Gorbunov R.I. Bead-Fourier pathintegral Monte Carlo method applied to systems of identical particles // Phys. Rev. E 1997. - V. 55, № 2. - P. 1979-1997.

117. Ильинский Ю.А., Келдыш JI.B. Взаимодействие электромагнитного излучения с веществом Москва: Издательство Московского университета, 1989. - 299 с.

118. Калиткин Н.Н. Численные методы Москва: Наука, 1978. - 512 с.

119. Высочанский Ю.М., Сливка В.Ю. Сегнетоэлектрики семейства Sn2P2S6. Свойства в окрестности точки Лившица Львов, 1994. - 243 с.

120. Barsamian Т.К., Khasanov S.S., Shekhrnan V.Sh. Diffraction analysis of incommensurate phases in crystals of quasi-binary system Sn2P2(Sia;Se;c)6 // Ferroelectrics 1993. - V. 138, № 1. - P. 63-77.

121. Scott В., Pressprich M., Willet R.D., Clearly D.A. High-temperature crystal-structure and DSC of Sn2P2S6 // J. Solid State Chemistry 1992. - V. 96, № 2. - P. 294-300.

122. Grupp D.E., Goldman A.M. Indications of a T = 0 quantum phase transition in SrTi03 // Phys. Rev. Lett. 1997. - V. 78, № 18. - P. 3511-3514.

123. Kubo M., Oumi Y., Miura R., Stirling A., Miyamoto A., Kawasaki M., Yoshimoto M., Koinuma H. Atomic control of layer-by-layer epitaxial growth on ЗгТЮз(001): Molecular-dynamics simulations // Phys. Rev. В 1997. -V. 56, № 20. - P. 13535-13542.

124. Савкин В.В., Рубцов А.Н. Двумерные и слоистые структуры в дискретной ф4 модели // ЖЭТФ 2000. - Т. 118, № 6. - Р. 1391-1401.

125. Savkin V.V., Rubtsov A.N. Crossover between 2D and 3D systems for the discrete ф4 model // Integr. Ferroelectrics 2001. - V. 32, № 1-4. - P. 10011013.

126. Savkin V.V., Rubtsov A.N. The crossover between quantum and classical phase transitions in monolayers: a discrete ф4 model study // Surf. Sci.2002. V. 507-510C, № 1. - P. 705-710.

127. Savkin V.V., Rubtsov A.N., Janssen T. The quantum discrete ф4 model at finite temperatures // Phys. Rev. В 2002. - V. 65. - P. 214103-1-214103-12.

128. Savkin V.Y., Rubtsov A.N., Janssen T. Discrete frustrated ф4 model with quantum and classical fluctuations: study of the incommensurate crystal phases // FOM-conference: condensed matter. Book of Abstract. Veldhoven, the Netherlands, 2002.

129. Savkin V.V., Rubtsov A.N., Janssen T. Monte Carlo simulations of the classical two-dimensional discrete frustrated model // Eur. Phys. J. В2003. in print.