Расчет термодинамических функций трехмерной модели Изинга и исследование их зависимости от микроскопических параметров системы тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

3 1:9 V.

г

ЛЬВОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. И. ФРАНКО

На правах рукописи

ПЫЛЮК Игорь Васильевич

РАСЧЕТ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ТРЕХМЕРНОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА И ИССЛЕДОВАНИЕ ИХ ЗАВИСИМОСТИ ОТ МИКРОСКОПИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМЫ

01.04.07 — физика твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Львов — 1991

Работа выполнена в Институте физики конденсированных систем АН Украины

Научные руководители

Официальные оппоненты

Ведущая организация

- академик АН Украины,

доктор физико-математических наук, ' профессор ШЮВСКИЙ И.Р.

- доктор физико-математических наук, . старший научный сотрудник

КОЗЛОВСКИЙ М.П.

- доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник РУДАВСКИЙ Ю.К.

- доктор физйкй-математических наук, профессор ПЕТРОВ Э.Г.

- Одесский ордена Трудового Красного Знамени государственный университет

И.И. Мечникова

.им.

Защита состоится

45"" Л1

ванного

1992 г. в

часов

на* заседании специализированного совета Д.068.26.05 при Львовском государственном университете им. И. Франко по адресу: 290005, г. Львов-5, ул. Ломоносова, 8а, Большая физическая аудитория.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Львовского государственного университета им. И.Франко, г. Львов, ул. Драгома-иова, 5.

Автореферат' разослан

199 1 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физ.-мат. наук

И.И. Половинко

• : >

» . '

г

■ ■ 1 ' ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

- | • ■

Актуальность темы« Проблема описания фазовых переходов и критических явлений относится к одной из фундаментальных проблем физики. Она включает в себя довольно широкий круг вопросов, связанных с исследованием таких физических систем, как жидкости, ферромагнетики и сегнетоэлектрики, бинарные, сплавы, полимеры, жидкие кристаллы и др. Явления фазовых переходов проникают в область физики твердого тела, физики низких температур, физической химии, металлургии, биологии. Они находят широкое применение в технике: автоматике и электротехнике, радиоэлектронике и акустике, лазерной технике и оптоэлектронике. Большое научное и практическое значение, а также трудности теоретического описания и экспериментального исследования явлений при приближении к точке фазового перехода, связанные с возрастанием роли крупномасштабных флуктуа-ций, большими временами релаксации, вызывают несомненный научный интерес к указанной проблеме и стимулируют ее дальнейшее изучение. .

В результате широких и интенсивных исследований фазовых переходов в последнее время были сформулированы новые концепции,, связанные с пониманием сути критических явлений, создан мощный математический аппарат их описания. В большинстве работ, посвя-

• ценных современным вопросам теории фазовых переходов, основное внимание уделялось определению класса универсальности систем, исследованию симметрийных свойств безотносительно к затравочным па-, раме'трам исходного гамильтониана, типов решений рекуррентных соотношений (РС) и вычислению значений критических показателей. Получены важные экспериментальные результаты. Рассчитаны универ -сальные отношения и комбинации критических амплитуд термодинамических характеристик спиновых систем, в частности, трехмерной модели Иэинга, являющейся одной из ключевых моделей фазового перехода. Проблема зависимости критических амплитуд от микроскопических параметров гамильтониана системы требовала последовательного изучения и могла быть успешно разрешена вместе с решением основного вопроса теории фазовых переходов - получением явных выражений термодинамических характеристик-системы вблизи точки' фазово- • го перехода как функций температуры и микроскопических параметров гамильтониана. •

Цель работы - исследование критичеокогб поведения трехмерной модели Изинга, являющейся оснорой изучения свойств ряда веществ ' (ферромагнетизма и антиферромагнетизма, сегнетоэлектричества,

упорядочения в бинарных сплавах и др.), развитие на примере этой модели одного из спссобор расчета и анализа на микроскопическом уровне явных выражений для термодинамических функций однокомпо-нентной спиновой системы в реальном трехмерном пространстве. Исходя из этого, задачи настоящей диссертационной работы составляют:

- рассмотрение влияния основных приближений оригинального метода интегрирования статистической суммы трехмерной модели Изинга на критическое поведение этой модели (учет высших негауссовых плотностей мер, поправки на усреднение фурье-образа потенциала взаимодействия);

- численное интегрирование статистической суммы изинговского ферромагнетика с учетом шестерного распределения, использование результатов численного расчета для получения TeiMnepaTypbi фазового перехода и критического показателя корреляционной длины;

- анализ роли коротковолновых и длинноволновых мод колебаний плотное Vи спинового момента вблизи точки фазового перехода второго рода, расчет соответствующих им частей свободной энергии и полного выражения для нее, других термодинамических функций модели в рамках четверной базисной плотности меры с учетом конфлуент-ных поправок;

- исследование зависимости полученных термодинамических функций трехмерной спиновой системы, их критических амплитуд от микроскопических параметров гамильтониана;

- развитие в приближении шестерной плотности меры методики .расчета коротковолновой и длинноволновой частей термодинамических функций модели Изинга, их полных выражений для температур выше и ниже критической;

- изучение влияния усложнения формы .негауссовой плотности меры на зависимость термодинамических характеристик системы от параметра ренормгруппы (РГ) вблизиточки фазового.перехода.

Иаучнал новизна. Предложено статистическое описание основных свойств трехмерной модели Изинга на основе негауссовых плотностей мер. Б качестве математического аппарата используется метод коллективных переменных (W1), обобщенный И.Р. Юхновскъм на случай сшыгвых систем. Этот метод применительно к трехмерной модели ¡'..-•инг.ч позволяет произвести приближенный расчет выражения для , 1 -.-ч-.'сткческой суммы, получить, кроме универсальных величин (кри-. . •;<', )■..•.:•; показателей), полные выражения для термодинамических

функций в окрестности температуры фазового перехода. Основная идея расчета на микроскопическом уровне термодинамических функций состоит в раздельном учете вкладов двух флуктуационных процессов, имеющих место вблизи точки фазового перехода и соответствующих коротковолновым и длинноволновым модам, флуктуаций спиновой плотности. Если коротковолновые флуктуации плотности спинового момента могут быть описаны с использованием ренормгруппового подхода, то для длинноволновых флуктуаций этот метод неприменим. Здесь развит прямой метод расчета. Исходными данными для него являются результаты, полученные при учете коротковолновых флуктуаций.

Впервые построены и исследованы общие РС для модели р^предполагающей учет при интегрировании статистической суммы десятичной плотности меры. Из них получены РС для более простых моделей $> (т.- 2,3,4). Проанализировано влияние усложнения формы плотности меры на поведение критического показателя корреляционной длины.

С использованием ЭВМ на основе шестерной плотности меры осуществлено численное интегрирование статистической суммы трехмерной модели Изинга по слоям фазового пространства КП, в процессе которого исследовано эволюцию коэффициентов эффективных плотностей мер. Из данных машинных расчетов найдено температуру фазового перехода и критический показатель корреляционной длины.

В приближении модели разработана схема последовательного расчета и анализа выражений для основных критических.амплитуд и • амплитуд конфлуентных поправок термодинамических функций трехмерной спиновой системы с учетом ее микроскопических особенностей. Оценен вклад от первой и второе скейлинговых попразок в теплоемкость системы. Впервые с использованием четверного распределения вычислены температурные зависимости среднего спинового момента, восприимчивости, энтропии, теплоемкости для различных значений микроскопических параметров гамильтониана системы.

В рамках модели впервые предложен способ расчета в критической области свободной энергии, энтропии, внутренней энергии, теплоемкости, среднего спинового момента, восприимчивости' как функций температуры и микроскопических параметров гамильтониана. Результаты для модели §ь. сравниваются со случаем модели §ч .

Практическая ценность работы. Проведенные в диссертации теоретические исследования способствуют расширению, общих представлений о критических явлениях в трехмерных однокомпонентных системах.

- б -

испытующих фазовый переход второго рода. Полученные в. работе результаты могут найти применение при интерпретации экспериментальных данных по изучению поведения ряда реальных веществ вблизи точки фазового перехода: второго рода, а предложенная методика расчета термодинамических функций может быть использована для вычисления их термодинамических характеристик в критической области. Результаты, приведенные в работе, могут оказаться полезными при вычислениях термодинамических функций с использованием метода Монте-Карло и других численных методов.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Общие РС для модели ^ . Переход от них к РС для более простых; моделей ¡>ггл (т.- 2,3,4). Явный вид приближенных РС для модели З»4"0 . Вычисление их фиксированной точки, элементов и собственных значений матрицы линеаризации РС. Расчет в рамках модели р10 критического показателя корреляционной длины -0 и показателей поправок к скейлингу. Изучение поведения >) с усложнением

_гт.

порядка модели $

2. Исследование с помощью численных машинных расчетов характера поведения коэффициентов эффективных шестерных распределений, свидетельствующего о наличии вблизи температуры фазового перехода Тс двух главных флуктуационных процессов. •

3. Расчет с использованием четверной базисной плотности меры и.учетом поправок к скейлингу коротковолновой и длинноволновой частей' свободной энергии трехмерной модели Изинга при температурах выше и ниже критической. Получение в критической области пол--ных выражений для свободной энергия, энтропии, внутренней энергии, теплоемкости, среднего спинового момента.и восприимчивости системы.

4. Анализ полученных выражений для ведущих критических амплитуд и амплитуд конфлуентных поправок теплоемкости и других характеристик системы, результаты исследования их зависимости от микроскопических параметров гамильтониана системы. Вычисление отношений этих амплитуд и их комбинаций. Оценка вклада поправок к скейлингу в теплоемкость модели в критической области.

5. Построение в рамках модели дч графиков температурной зависимости среднего спинового момента, восприимчивости, энтропии, теплоемкости системы для различных отношений радиуса действия 6 акспонентно убывающего потенциала взаимодействия к постоянной" простой кубической ресетки с .

6. Разработка способа расчета в приближении шестерной плотности меры термодинамических функций трехмерной модели Изинга (случай Т > Тс и Т <Тс). Получение выражений для вкладов в них от коротковолновых и длинноволновых мод колебаний плотности спинового момента. Вычисление в рамках указанного приближения сред-лего спинового момента и восприимчивости системы. Результаты расчета с использованием модели д6' коэффициентов свободной энергии системы для разных отношений микроскопических параметров & и с .

7. Оценка влияния усложнения формы нзгауссовой плотности меры на зависимость энтропии, теплоемкости и других характеристик системы от параметра РГ 5 , вытекающая из непосредственного сравнения графиков температурной зависимости этих характеристик вблизи точки фазового перехода, полученных в рамках моделей §ч и р6 для разных значений $ .

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на II советско-итальянском симпозиуме по математическим проблемам статистической физики (Львов, 1935), Всесоюзной конференции "Современные' проблемы статистической физики" (Львов, 1987), иколе-семинаре молодых ученых по статистической физике (Львов, Отделение статистической физики Института теоретической физики АН УССР, 1988), 4 конференции молодых ученых физического факультета.Львовского университета (Львов, 1990), I советско-польском симпозиуме по физике сегнетоэлектриков и родственных материалов (Львов, 1990), Всесоюзной конференции "Совре- • менные проблемы статистической физики" (Харьков, 1991) ^Всесоюзной школе-семинаре по физике сегнетоэластиков (Ужгород', 1991), а также на научных семинарах Льр^вского отделения статистической физики Института теоретической физики АН УССР (1988-1990), Института физики конденсированных систем АН Украины (Львов, 1990-1991).

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 16 основных работ, перечень которых приведен в конце автореферата. Общее число публикаций равно 24.

Структура-и объем диссертации. Основная часть диссертации обьемом в 164 страницы.состоит из введения, четырех глаз и заключения. Имеются также приложения 1-4, включающие 32 рисунка, ¿5 таблиц, и список цитируемой'литературы из 198 наименований отечественных и зарубежных источников. Общий объем работы составляет 237.страниц машинописного текста. -

■ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ ■

Во введении обосновывается актуальность темы, дан краткий обзор теории фазовых переходов и критических явлений, исследования трехмерной модели Изинга. Здесь определяются цель и задачи работы, излагается краткое содержание диссертации и перечислены основные положения, выдвигаемые на защиту.

В первой главе рассматривается вычисление в методе КП статистической суммы трехмерной модели Изинга. Гамильтониан модели представляется в виде

где - потенциал взаимодействия частиц, находящихся в

узлах 3- и К, , оператор г -компоненты спина в ^-ом угле

решетки, имеющий два собственных значения +1 и -I. Рассматривается случай простой кубической решетки с периодом с и окспонентнс убывакгего потенциала взаимодействия

для фурье-образа которого используется параболическая аппроксимация . ■ ,

Ф^Нл (3)

[О,

Здесь К - постоянная, 1 - расстояние между частицами, 6 - радиус эффективного взаимодействия, £> - граница полузоны Бриллюэ-• на (Ь=К/с) , е;»^)"1 , , 10-*5ГА .

Статистическая сумма системы в представлении КП задается следующим выражением:

„„ .£=с'К(5)а/, . (4)

где с'-^г'^е^" , , , ^ - число

узлов кубической решетки в объеме периодичности V . Функция

при определенном значении те. характеризует соответственную нега-уссовую плотность меры, на использовании которой основана модель р . При щ - 2 имеем четверную базисную плотность меры,т. = 3 -шестерную, щ- 4 - восьмерную, уи,«= 5 - десятичную плотности меры. Коэффициент зависит от обратной термодинамичес-

кой температуры и фурье-образа потенциала . Коэ-

ффициенты а!1Л (П. - 0,1,2,...) определяются в результате перехода от спиновых к Ш, - символ Кронекера, - комплекс-

ные переменные, действительная и мнимая части которых являются КП. Анализируются два основных приближения, имеющих место при интегрировании статистической суммы (4) по слоям фазового пространства КП.

Первое приближение связано с применением при вычислениях ограниченного числа слагаемых в экспоненте плотности меры (5). Это приводит к возникновению зависимости результатов от ренорм-группового параметра 5 , определяющего величину слоя пространства КП, в котором происходит интегрирование. В связи с этим изучается влияние учета высших негауссовых плотностей мер на критические свойства трехмерной модели Изинга. Для оценки сходимости процедуры вычисления 'критического показателя корреляционной длины •О , выяснения вопросов о зависимости и $ а целесообразности использования более высоких плотностей мер рассмотрена последователь -„ гт.' с п

ность моделей 9 , ограничиваясь т. « 5, т.е. моделью о . Результаты расчета для последней сопоставляются с результатами для • менее сложных форм плотностей мер. Для модели р10 получены общие РС, связывающие между собой коэффициенты плотностей мер последующих блочных структур. Рассмотрен переход от них к РС для более простых моделей 2,3,4). Найдено фиксированную точку-РС

дчя модели § , явный вид приближенных РС, осуществлено их линеаризацию в окрестности этой фиксированной точки, вычислены значе -ния критического показателя -О и показателей поправок к скейлингу. Показано, что зависимость* от $ постепенно исчезает при'услож -нении формы плотности меры, причем чем выше порядок полинома в показателе экспоненты функции распределения, тем стабильнее результаты. Для данных расчетов*указан интервал оптимальных значений параметра РГ 5 . . •

Второе приближение при "послойном" интёгрировании статсумш модели Изинга связано с заменой в каждом из слоев пространства КП фурье-образа потенциала взаимодействия-средним значением. Поэтому

рассмотрено влияние учета усреднения фурье-образа потенциала в слое на критическое поведение рассматриваемой модели. Рассчитана поправка на усреднение потенциала. Приведены и исследованы возникающие при этом РС. Найдены перенорыированные значения критических показателей корреляционной длины, восприимчивости, теплоем -кости.

Во второй главе диссертации, используя метод КП и ограничиваясь шестерной плотностью меры, с помощью расчета на ЭВМ исследован фазовый переход в трехмерной модели Изинга. Шестерное распределение является особым среди всех возможных распределений, так как соответствует экстремальным значениям коэффициентов. Параболическая аппроксимация фурье-образа потенциала взаимодействия использовалась для всего интервала значений волнового вектора

, разбивка зоны Бриллюэна велась с постоянным шагом 5-2.

При нахождении в приближении указанной плотности меры критической температуры Тс применялась процедура ее поиска в методе КП. Представляя исследуемые в этой главе величины в виде

о+о «с - ,а.

А 1Т)=К (Т)& к , (б>

где характеризует степень изменения величины как функции номера слоя л , изучается их.эволюция вблизи Тс с ростом п.. Большое внимание в настоящей главе уделено исследованию изменения коэффициентов при второй, четвертой и шестой степенях переменной в показателе экспоненты эффективных плотностей мер в процессе по -этапного вычисления статистической суммы. Рассматриваются высокот и низкотемпературная области (Т > Тс и Т < Тс). Получены общие закономерности поведения этих коэффициентов в областях двух режимов, существование которых позволяет в приближении модели $>6 рассчитать в четвертой главе основные термодинамические характеристики системы. Первый из них - критический режим (КР), имеющий место как выше, так и ниже точки фазового перехода. Второй - предельный гауссов режим (ПГР) при Т > Тс или инверсный гауссов режим (ИГР) при Т <Тс. КР характеризуется синхронным убыванием коэффициентов эффективных распределений при переходе от одного слоя Ш к другому. Скорости убывания этих величин строго скоррелирова-ны. После выхода из КР начинается нарушение баланса в их поведении, что являотся следствием возникновения эффективных спиновых блоков, размер которых превышает корреляционную длину системы при данной температуре. Определены размеры коррелирующих блоков вблизи Тс .

Важным результатом выполненных численных расчетов является возможность из первых принципов, не прибегая к каким-либо гипотезам, провести прямой расчет критического показателя корреляционной длины системы.

Третья глава посвящена расчету и исследованию термодинамических функций трехмерной модели Изинга вблизи точки фазового перехода (Т>Тс и Т<Тс) в приближении четверной базисной плотности меры с учетом первой и второй конфлуентных поправок.

Отдельно рассчитываются вклады в свободную энергию системы от коротковолновых (область КР) и длинноволновых (область ПГР при Т>Тс или область ИГР при Т<Тс) мод колебаний плотности спинового момента. Коротковолновые моды характеризуются наличием ренорм-групповой симметрии и описываются кегауссовой плотностью меры. Вклад от них вычисляется с использованием явных решений РС, линеаризованных вблизи фиксированной точки. В области ПГР флуктуации характеризуются гауссовым распределением, дисперсия которого является неаналитической функцией температуры. ИГР, в отличие от ПГР, описывается негауссовой плотностью меры. Только в результате выделения свободной энергии упорядочения распределение принимает гауссов характер с положительной дисперсией. Расчет вклада в свободную энергию от длинноволновых мод колебаний основан на использовании гауссовой плотности меры в качестве базисной. При этом выделена температурная зависимость в коэффициентах разложения свободной энергии по параметру порядка вблизи Тс при Т<Тс.

В едином подходе в рамках модели §ч получены значения критических показателей, температуры фазового перехода, а также соотношения для критических амплитуд термодинамических характеристик системы как функции ее микроскопических параметров.

■ С учетом конфлуентных поправок найдены выражения для срёдне-го спинового момента, играющего в рассматриваемом случае роль параметра порядка, и восприимчивости систеш.

Для свободной энергии трехмерной модели Изинга в приближении четверной плотности меры получено-

ЧтЛМС *

Т>ТС , (7)

- ц -

Здесь (Т-тс)/тс , - критический показатель корре-

ляционной длины, Дя-ЬнЕг/^лЕ! - показатель поправки к скейлин-гу (Е1 и Е^ - собственные значения матрицы линеаризации РС вблизи фиксированной точки). Основным достоинством выражения (7) является наличие соотношений, связывающих его коэффициенты с микроскопическими параметрами гамильтониана системы (радиусом действия потенциала в , постоянной решетки с , значением фурье-образа потенциала взаимодействия при нулевом значении волнового вектора) и координатами фиксированной точки РС. Коэффициенты (£= ж 0,1,2), являющиеся функциями микроскопических параметров, в отличие от (т- 0,1,2,3) не зависят от того, выше или ниже температуры фазового перехода находится система. Коэффициенты

_ можно представить в виде произведения универсальной части и неуниверсального фактора, зависящего посредством величин С1К , , С1К от микроскопических параметров гамильтониа-

=Сгк(С1к/^0) Хъ , (8).

где С - 0,1,2, а характеризует координату фиксированной точки (Х1Ь> = -*о§>Ф(0)).

Коэффициенты энтропии, внутренней энергии, теплоемкости выражаются через коэффициенты свободной энергии. Их ведущие амплитуды и амплитуды конфлуентных поправок определяются соотношениями, аналогичными (8). Для энтропии и теплоемкости системы имеем

5 - - сд * и'Г г гсГ^ГкГ** и^тГ*♦ ♦с'^ги1^.-

Здесь <Л= - критический показатель теплоемкости, знак "+"

вверху коэффициентов соответствует случаю Т>Тс, знак - случаю Т<Тс.

Приведены графики температурных зависимостей термодинамических функций, проанализированы вклады в них от коротковолновых и длинноволновых мод колебаний спиновой плотности. Установлена стабилизирующая роль длинноволновых мод.-

• Рассчитаны универсальные отношения для основных критических

амплитуд и амплитуд конфлуентных поправок теплоемкости и восппи-имчивости системы при температурах выше и ниже критической, комбинации некоторых критических амплитуд. Полученные значения сравниваются с другими результатами. Численно оценен вклад от конфлуентных поправок в теплоемкость 'системы. На основе аналитических выражений вычислены средний спиновый момент, восприимчивость, энтропия, теплоемкость модели для разных величин отношения эффективного радиуса действия экспонентно убывающего потенциала взаимодействия к постоянной простой кубической решетки. График температурной зависимости энтропии для разных отношений в/С изображен на рис. 1.

¿55.

сп

А6

■ о.ба Ч

■О.Ьб

■0.64

■0.60 2.

■0.54

■0.54 М

■0.52.

•0.50

Д/ Т . 1-------к--- . , 1_ __1_и--

Рис. I. Энтропия системы в рамках модели ^ для $> * 3 и различных значений отношения ¿/С . Кривая I соответствует взаимодействию ближайших соседей (в/с- 1/(2ЛЗ))} 2 - первых и вторых соседей (в/С - 0.3379),- 3 -первых, вторых и третьих соседей ( в/с - 0.3584). Кривые 4, 5, 6 представляют энтропию системы при в/С « I, в/с « 2, 6/С ш 10 соответственно.

-МО"

. -140

Ш"

-ЬЧО'

г*

В четвертой

лаве диссертации аналогичны? расчеты для спиновой системы выполняются в приближении модели . Из-за прибли -женности расчета: статистической суммы в связи с ограничением простейшей моделью , позволяющей выйти за рамки классического поведения системы, полученные результаты (критические показатели, амплитуды, термодинамические функций)* содержат определенную зависимость от параметра РГЬ . Зависимость критического показателя -)

от 5 в процессе усложнения формы негауссовой плотности меры рассмотрена в первой главе. При этом было установлено, что в интервале значений 2 :$ $ « 4 модель позволяет осуществить количественное описание критических свойств спиновой системы. Настоящая глава и посвящена расчету в рамках модели свободной энергии, энтропии, внутренней энергии, теплоемкости системы кал ^.ля Т>Тс,-так и для Т<Тс. Вычислены вклады в эти термодинамические функции от областей КР, ПГР, ИГР. Получены и рассчитаны коэффициенты той части свободной энергии, которая связана с параметром порядка.

В ведущих критических амплитудах термодинамических характеристик выделены величина, универсальная по отношению к микроскопическим параметрам, и неуниверсальный фактор. Для различных значений отношения микроскопических параметров вис вычислены коэффициенты выражения свободной энергии ■

используемые для расчета коэффициентов других термодинамических функций. Значения этих коэффициентов для оптимального значения параметр 5 - Ъ* ■ 2.7349 приведены в табл. I.

Таблица I

Р =

эффя-^Г циенты 0.3379 0.3564 ; 1 : 2

Хо 1.8776 2.7496 3.2000 . 61.1930 486.713

-0.7063 -0.6962 -0.6913 -0.6924 -0.6978

*» -4.6948 -4.1735 -3.9764 -2.2672 -2.1665

К 5.3047 4.8640 4.6971 3.3020 ■ 3.2323

х; 7.8627 7.2096 6.9622 4.8944 . 4.7910

Найдены выражения и осуществлен численный расчет среднего спинового момента при Т<Тс и восприимчивости системы вблизи температуры фазового перехода;

Проведено сравнение полученных для разных & термодинамических функций с результатами для модели 94 , свидетельствующее об ' уменьшении их зависимости от параметра РГ & при переходе от модели §ч к модели д6 . Для иллюстрации одного из примеров этого, сравнения может быть использована теплоемкость системы, которая

в приближении модели д* определяется выражением

С-Мс.^гсГ*!. ■<«)

где С.-гОи+М . .

Температурная зависимость С/М ♦ ГД0 , для раз-

ных значений $ и 6/С « I изображена на рис. 2. Здесь же показана и теплоемкость, вычисленная в рамках модели .

ш

■ / -- "Т-- ' ■0* ■0.» 0.6 • И

5 .il 'ь . • 1

-МО-* -но""* О 110"ъ ViO"1 t

Рис. 2. Температурная зависимость теплоемкости системы для различных значений параметра РГ S в рамках модели g6 (сплошные линии). Для сравнения приведена теплоемкость, найденная в приближении четверной базисной плотности меры с учетом конфлуентных поправок (штриховые линии). Кривым I соответствует 5 - 2, 2 - s » 2.5, 3 - s. ■ 3.

В конце главы приведены значения критических показателей, отношений ведущих критических амплитуд для теплоемкости, восприимчивости и комбинаций некоторых основных критических а"плитуд, рассчитанные на основе моделей и . Результаты согласуются с данными, полученными с использованием теоретико-полевого подхода и высокотемпературных разложений.

В заключении перечислены основные результаты и выводы работы. В приложении I приведены рисунки, в приложении 2 - таблицы.

Приложение 3 содержит решение РС для шестерной плотности меры, а расчет специальных функций основных и промежуточных аргументов в области КР для модели §6 осуществлен в приложении 4.

ОСНОВШЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И Вь1В0да

1. Проведен анализ критического поведения трехмерной модели Изинга с учетом при вычислениях в методе коллективных переменных (КП) двух основных приближений, связанных соответственно с ничением определенной формой плотности меры и усреднением фурье-образа потенциала взаимодействия. Установлено, что в процессе усложнения формы плотности меры зависимость критического показателя корреляционной длины ^ от параметра ренормгруппы (РГ) $ постепенно ослабляется и, начиная с шестерной плотности меры, происходит незначительное изменение значения показателя , име-'

гт

еще г о тенденцию к насыщению с ростом порядка модели § (»л» 2, 3, 4, 5). Детально рассмотрен случай ул,« 5, т.е. проведено ис -следование модели , основанной на использовании десятичной плотности меры (получены общие рекуррентные соотношения (РС), указана схема перехода к РС для более простых моделей ^ , найдено фиксированную точку приближенных РС, элементы и собственные значения матрицы линеаризации РС, критический показатель и показатели поправок к скейлингу). Отмечено наибольшую эффективность используемого способа расчета в промежуточной области изменения параметра 5 Показано, что учет поправки на усреднение фурье-образа потенциала взаимодействия и сдвига при этом фиксированной точки не приводит к качественным изменениям основных критических характеристик модели. Происходит перенормировка ритических показателей корреляционной длины, восприимчивости, • теплоемкости.

2. На основе шестерного распределения в методе КП осуществлен численный анализ поведения трехмерной модели Изинга. Выполнено непосредственное вычисление статистической суммы, найдена температура фазового перехода Тс, критический показатель "О . .

3. Выполнен прямой расчет явных выражений для термодинамических функций трехмерной модели Изинга вблизи точки фазового перехода второго рода в приближении четверной и шестерной плотностей мер. Главной отличительной чертой данного метода расчета, позволяющего получить термодинамические характеристики системы как функции температуры и микроскопических параметров ее гамильтониа--на; является раздельный учет вкладов от коротко- и длинноволно-

вых мод колебаний плотности спинового момента. Расчеты проиллюстрированы случаем простой кубической решетки и экспонентно убывающего потенциала взаимодействия. Кроме критических показателей получены соотношения для коэффициентов термодинамических функций, позволяющие изучить их зависимость от микроскопических параметров гамильтониана однокомпоненткой спиновой систем (радиуса дейс зня потенциала 6 , постоянной решетки с , фурье-образа потенциала при нулевом значении волнового вектора).

4. В приближении модели расчет свободной энергии, энтропии, внутренней энергии, теплоемкости, среднего спинового момента, воспр"имчивости системы осуществлен для температур выше и ниже критической и с учетом первой и зторой конфлуентных поправок. Получены выражения для вкладов в свободную энергию коротковолновых

и длинноволновых мод колебаний спиновой плотности. Последние играют роль стабилизирующего фактора. Коротковолновые моды, способствующие неустойчивости системы, ответственны за формирование значений критических показателей и перенормировку дисперсии распределений, описывающих длинноволновые моды.

5. На основе четверного базисного распределения рассчитаны основные критические амплитуды и амплитуды конфлуентных поправок термодинамических характеристик модели, отношения для некоторых этих амплитуд и их комбинации. Показано, что каждую из амплитуд можно представить в виде произведения универсальной части, не зависящей от микроскопических параметров, и зависящего от этих параметров неуниверсального фактора. Отношения критических амплитуд при Т>Тс и Т<Тс являются универсальными, поскольку неуниверсальный фактор сокращается.. На примере теплоемкости вблизи Тс вычислен вклад от конфлуентных поправок.

6. В рамках модели §6 для температур выше и ниже критической развита методика расчета свободной энергии, энтропии, внутренней энергии, теплоемкости системы, вкладов в них от коротковолновых и длинноволновых- мод колебаний плотности спинового момента, получены средний спиновый момент и восприимчивость системы.

7. В приближениях моделей §6<и вычислены соответственно'коэффициенты. свободной энергии и температурные зависимое? основных характеристик системы (средний спиновый момент, восприимчивость, энтропия, теплоемкость) для различных отношений в/с (в том числе

и для отношений 8/с •, соответствующих .учету взаимодействия ближайших, первых и вторых, первых, вторых и третьих соседей).

8. Непосредственное сравнение графиков температурных зависимостей термодинамических функций, рассчитанных для разных значений параметра РГ S и моделей $ц , , подтверждает предположение об уменьшении зависимости этих функций от параметра & при усложнении формы плотности меры. Значения критических показателей, отношений ведущих критических амплитуд для теплоемкости и других характеристик системы, некоторых комбинаций этих амплитуд, вычисленные с использованием указанных моделей, согласуются с данными теоретических и экспериментальных исследований.

Результаты диссертации опубликованы в следующих основных работах:

1. Козловский М.П., Пылюк И.В., Коломиец В.А. Численное исследование статистической суммы трехмерной модели Иэинга на основе шестерного базисного распределения. - Киев, 1984. - 41 с. -(Препринт / АН УССР. ИТФ; ИТФ-84-177Р).

2. Kozlovsky М.Р., Pylyuk I.V. Free energy and other thermodynamical functions above the oecond-order phaae transition point.

- Kiev, 1985. - 48 p. - (Preprint / Acad. Sei. Ukr. SSR. ITPj XTP-85-23E).

3. Козловский Ы.П., Ильницкий Я.Н.,-Пылюк И.В. Свободная энергия и другие термодинамические функции трехмерной модели Изинга ниже точки фазового перехода. - Киев, 1985. - 33 с. - (Препринт / АН УССР. ИТФ; ИТФ-85-107Р).

4. Зеленчук И.П., Пылюк И.В., Гурский З.А., Козловский M.I1. Расчет из первых принципов фазовой диаграммы порядок-беспорядок бинарных сплавов замещения // У2Ж. - 1988. - Т. 33, № 8. -

С. II97-I200.

5. Юхновский И.Р., Козловский М.П., Пылюк И.В. Учет поправки на усреднение потенциала в методе поэтапного вычисления статсуы-мы однокомпонентной спиновой системы вблизи Тс. - Киев, 1988.

- 43 с. - (Препринт / АН УССР. ИТй; ИТФ-88-105Р).

6. Пылюк И.В. Критическое поведение трехмерной однокомпонентной спиновой системы в методе коллективных переменных при усложне-. нии базисной меры. - Киев, 1988. - 33 с. - (Препринт / АН УССР. ИТФ; ИТФ-88-107Р).

7. Козловский МЛ., Пылюк И.В. Расчет поправок к скейлингу в выражениях для термодинамических функций модели Изинга. - Киев, 1989. - 29 с. - (Препринт / АН УССР. ИТФ; ИТФ-89-24Р).

8. Козловский Ы.П., Пылюк И.В. Сравнение выражений для термодина-

иических функций модели Изинга при температурах выше и hi....m критической в трехмерном пространстве. - Киев, 1989. - 35 с.

- (Препринт / АН УССР. ИТФ; ИТФ-89-42Р).

9. Козловсысий М.П., Пилюк I.B. Досл1дження критичних характеристик TpuBmiipHoi модел1 1з1ига з використанням негаубсо-вих густин Mip // УФЗС. - 1990. - Т. 35, № I. - С. 146-147.

10. Пылюк И.В. Термодинамические функции трехмерного нзинговско-го ферромагнетика в окрестности точки фазового перехода с учетом первой и второй конфлуентных поправок. - Киев, 1990.

- 40 с. - (Препринт / АН УССР. ИТФ; ИТФ-90-12Р).

11. Козловский Ы.П., Пшпок И.В. Термодинамика трехмерного изин-говского ферромагнетика в окрестности точки фазового перехода в рамках модели . Сравнение о моделью дч . - Киев,

1990. - 53 с. - (Препринт / АН УССР. ИГЕ; ИТ5-30-81Р).

12. Пылюк И.В., Козловский М.П. Вклад конфлуентных поправок в термодинамику трехмерной модели Изинга // Изв. АН СССР. Сер. фиэич. - 1991. - Т. 55, № 3. - С. 597-601.

13. Yukhnovskll I.R., Kozlovskll М.Р., Pylyuk I.V. A method for the calculation of thermodynamic functions for the 3D model systems In the critical region // Z. Naturforsoh. - 1991. -V. 46a. - P. 1-7.

14. Пылюк И.В. Зависимость термодинамических функций трехмерной модели Изинга в окрестности точки фазового перехода от микроскопических параметров гамильтониана // Материалы 4 конф. моя. ученых физ. фак. Львов, ун-та, Львов, 18-19 апреля

1990 г. - Киев, 1991. - Деп. в УкрНИИШИ 30.04.91, № 763-Ук91. - С/2-4.

15..Козловский МЛ., Пылюк И.В., Юхновский И.Р. Термодинамические функции трехмерной модели Изинга вблизи точки фазового перехода с учетом поправок к скейлингу.. I. Случай Т>Тс // TMS6. -

1991. - Т. ;87, » 2. - С. 293-316.

16. Козловский М.П., Пылюк И.В., Ехновский И.Р. Термодинамические функции трехмерной модели Изинга вблизи точки фазового пере- , хода с учетом поправок к скейлингу. П. Случай Т<Тс Ч ТМЗ. -1991. - Т. 87, » 3.. - С. 434-455.

.