Исследование нелинейной асимптотической устойчивости состояния равновесия для системы моментных уравнений переноса заряда в полупроводниках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

БУШМАНОВ Роман Сергеевич

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ МОМЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА ЗАРЯДА В ПОЛУПРОВОДНИКАХ

01 01 02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗ 161*704

Новосибирск — 2007

003161704

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Блохин Александр Михайлович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Кожанов Александр Иванович

доктор физико-математических наук Рудых Геннадий Алексеевич

Ведущая организация Омский государственный университет

Защита состоится "ноября 2007г в часов

на заседании диссертационного совета Д 212 174 02 в Новосибирском государственном университете по адресу 630090, г Новосибирск, ул Пирогова, 2

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета

Автореферат разослан " ^"октября 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук ^ Макаренко

Общая характеристика работы

Актуальность темы. При современном стремительном развитии микроэлектронных технологий становится все более актуальным математическое моделирование полупроводниковых структур Для снижения стоимости и ускорения процесса разработки при создании новых приборов необходимо использовать модели, обладающие достаточной точностью в соответствующей области применения Использование упрощенных аналитических моделей для анализа и проектирования полупроводниковых устройств оказывается затруднительным, поскольку в основу таких моделей положены упрощающие принципы, которые могут существенно нарушаться в современных приборах

Моделирование процесса переноса заряда в полупроводниковых устройствах основывается на кинетическом уравнении Больцмана для электронной функции распределения Однако прямое численное интегрирование полного уравнения Больцмана (например, с помощью метода Монте-Карло) требует больших вычислительных затрат

Таким образом, велика потребность в более простых моделях, представляющих собой разумный компромисс между физической точностью и вычислительной эффективностью Естественным упрощением, позволяющим получить приемлемую точность, является рассмотрение только некоторых моментов электронной функции распределения, таких как концентрация и температура носителей

Простейшая модель переноса заряда, полученная методом моментов из уравнения Больцмана, — это дрейф-диффузионная модель, состоящая из уравнений неразрывности для носителей заряда и уравнения Пуассона для электрического потенциала. На протяжении долгого времени именно на дрейф-диффузионной модели основывалось большинство прикладных программ, используемых при моделировании полупроводников Однако при переходе полупроводниковых устройств на субмикронный уровень, предположения, на которых она основывается, перестают выполняться Поэтому транспортные модели постоянно расширяются и улучшаются для более детального охвата физических явлений в таких приборах

Для описания таких важных явлений, как горячие электроны,

ударная ионизация, генерация тепла и тому подобное, наиболее подходящими оказываются гидродинамические модели При построении таких моделей выбирается подходящая процедура замыкания, позволяющая из бесконечной системы моментов уравнения Больцмана получить замкнутую систему из конечного числа уравнений (как правило, из трех или четырех) Существование процедур замыкания, основанных на разных предположениях, обуславливает наличие большого количества различных гидродинамических моделей

В настоящей диссертации изучается недавно предложенная итальянскими физиками А М Anile и V Romano гидродинамическая модель, полученная из четырех моментов уравнения Больцмана с помощью так называемого принципа максимума энтропии (или МЕР от Maximum Entropy Principle) Исследование новой модели переноса заряда представляет большой интерес Естественно, какая бы математическая модель ни была предложена, она должна быть адекватна описываемому физическому явлению С этой точки зрения очень важной проблемой при изучении гидродинамических моделей переноса заряда в полупроводниках является проблема устойчивости состояния термодинамического равновесия Дело в том, что выбранная модель должна правильно описывать переходный процесс при снятии напряжения смещения Известно, что при отсутствии напряжения смещения в реальных полупроводниковых приборах отсутствует перенос носителей зарядов (то есть электрический ток) Другими словами, требуется, чтобы состояние термодинамического равновесия было асимптотически устойчивым (по Ляпунову) для гидродинамической модели переноса заряда

Цель работы. Основной целью данной диссертации является исследование асимптотической устойчивости состояния равновесия МЕР модели переноса заряда в полупроводниках

Научная новизна. В работе получены следующие основные результаты, которые выносятся на защиту

1 Доказательство при определенных ограничениях на функцию плотности легирования и начальные данные асимптотической устойчивости (по Ляпунову) состояния равновесия для одномерной МЕР модели в нелинейной постановке

2 Доказательство при определенных ограничениях на функцию плотности легирования асимптотической устойчивости (по Ляпунову) в линейном приближении для двумерной МЕР модели

Все результаты диссертации являются новыми

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, полученные в диссертации носят теоретический характер Кроме того, полученные результаты могут быть использованы при математическом моделировании и численном исследовании задач физики полупроводников

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на Международных конференциях молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2002 г, Красноярск, 2003 г), XLII Международной научной студенческой конференции „Студент и научно-технический прогресс"(Новосибирск, 2004 г), Международной научной конференции „Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования" (Воронеж, 2005 г), на семинаре кафедры дифференцальных уравнений Новосибирского государственного университета „Теоретические и вычислительные проблемы задач математической физики" (под рук проф А. М Блохина), объединенном семинаре лаборатории вычислительных проблем задач математической физики и лаборатории дифференциальных и разностных уравнений Института математики СО РАН

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в 12 работах, список которых приведен в конце автореферата В совместных публикациях V Romano является автором МЕР модели, А М Блохину принадлежит постановка задач Результаты, касающиеся построения априорных оценок и доказательства асимптотической устойчивости, принадлежат диссертанту

Структура и объем работы. Диссертация объемом 118 страниц состоит из введения, трех глав, трех приложений и списка литературы из 69 наименований В диссертации содержатся 6 рисунков и 6 таблиц

Содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность темы, приведен обзор литературы, изложены цели и краткое содержание диссертации

Глава 1 диссертации посвящена исследованию устойчивости состояния равновесия для МЕР модели в различных упрощенных случаях

В первом параграфе приведена формулировка МЕР модели в общем случае, проведено ее обезразмеривание В одномерном случае поставлены две тестовые задачи о длинном полупроводнике и о баллистическом диоде Кроме этого, обсуждается вопрос о наличии состояний равновесия и их виде, делаются некоторые предварительные замечания, используемые далее в Главе 1.

В одномерном случае в безразмерном виде рассматриваемая модель записывается следующим образом

ит + ъих = р(ч>х,и),

е^Рхх — Я — р

(1) (2)

Здесь

и

(к\ / 0 1 0 0\

Пи , Ъ= 0 0 2 3 0

ЕЕ 0 0 0 1

V- 0 тв о)

( 0 \

Е(<Рх + СцМ + С12<2) К (исрх + с (§£? - 1)) \Я(^Е(рх+с21и+с2-2д)/

Я — плотность электронов, и — средняя электронная скорость, Е — средняя энергия электрона, д — поток энергии, (р - электрический потенциал есть неизвестные функции переменных т, х, коэффициенты Сц, ,022, с являются гладкими функциями Е, е — некоторая постоянная, р[х) — плотность легирования, некоторая заданная функция

Для системы (1), (2) будем рассматривать две тестовые задачи Первая из них - так называемая задача о длинном полупроводнике -описывает поток электронов в однородно легированном полупроводнике.

Рис. 1: Схематическое представление п+ -п-п+ баллистического диода

Система (1), (2) при р{х) = 1 имеет стационарное решение, описывающее однородный поток электронов в постоянном электрическом поле:

R(t,x) = R = 1, и(т,х) — Ü,

Е(т, х) = Ё, (3)

Я(т, х) = q,

<р(т,х) = ф = а + Ьх,,

где и (> 0), Е (> 1), q, a, b (> 0) - постоянные, Ъ - напряжение смещения, приложенное к полупроводнику. Решение (3) представляет собой состояние равновесия для рассматриваемой задачи.

Для системы (1), (2) также рассматривается широко известная в физике полупроводников тестовая задача о баллистическом диоде. Это одномерная задача, описывающая полупроводниковый прибор, состоящий из трех частей. Две области, представленные высоколегированным материалом (п+-области) разделены зоной низкой концентрации легирования (n-область). Предполагается, что функция (р(а;)-1) достаточно гладкая и финитная. Типичный профиль функции р(х) изображен на Рис. 1.

Прежде, чем поставить смешанную задачу соответствующую, за-

даче о баллистическом диоде, рассмотрим новый вектор независимых переменных

/ 1 0 0 0 \ О 10 0

и =

( К \ J

Р \ © /

о

о

и

(4)

-10 1/

\ о

В новых обозначениях система (1) примет вид Лт + Зх = 0,

Зт + Пх + Рх = Щ + £*п7 + ¿12®, 3 2 2

-Рт + Зх + 0,

+ сР, = ^ + ¿21«/+ <¿22©

(5)

Здесь д = (рх, С*ц = СИ + |с12, ¿12 = С12, (¡21 ~ |с21 - Сц + §£¿22, ¿22 = |С22 ~ С12

Поставим теперь для системы (5), (2) граничные условия при х = 0,1 (т > 0), соответствующие задаче о баллистическом диоде.

Д(т,0) = Д(т,1) = 1,1 Р(т,0)=Р(т,1) = 0,} <р(т,0)=а, <р(т,1)=а + Ь, (7)

(6)

где а, Ь - некоторые постоянные, причем напряжение смещения Ъ > 0 Не нарушая общности, будем полагать далее, что а = 0 Кроме того, при г = 0, 0<ж<1 нужно задать начальные условия

Задача (5), (2), (6), (7) имеет при 6 = 0 стационарное решение (состояние глобального термодинамического равновесия)

«/(г, х) = J = 0, Р(т,х) = Р = 0, в(т,х) = 8 = 0, П(т,х) = Д(аг) = е*<х>,

где ф(х) удовлетворяет уравнению Пуассона

е2ф" = Д- р

с граничными условиями

ф( 0) = ф( 1) = 0

(10)

Далее будем обозначать

«7 Р

V©/

Основные результаты первой главы сформулированы в первом параграфе в виде двух теорем

Теорема 1 При р(х) = 1 состояние равновесия (3) системы (1) (2) в линейном приближении асимптотически устойчиво по Ляпунову

Рассмотрим нелинейное упрощение системы (5) вида

с постоянными коэффициентами (1ц, ¿12, ¿21, ¿22) с. Для упрощенной таким образом задачи о баллистическом диоде доказана

Теорема 2 Пусть начальные данные 1/(0,х) = 11о(х) принадлежат, И^1 (0,1) и удовлетворяют условию

Если, кроме того, плотность легирования р(х) мало отличается от р(х) = 1, 0 < х < 1, то состояние равновесия (8) смешанной задачи

Яг + ^ = 0, 2

-Рт + <7* + &Х = Зф' + &Р,

|вг + Рх = Рф' + ¿213 + ¿22© 5

(П)

(11), (2), (6), (7) асимптотически устойчиво по Ляпунову, поскольку справедлива оценка

над - f>llwi(0,i) < Me~n\Un ~ Здесь а, М, N — положительные постоянные

Доказательству Теорем 1 и 2 посвящены, соответственно, §3 и §4

Во втором параграфе собраны модельные задачи для двух упрощенных моделей переноса заряда ставятся смешанные задачи о баллистическом диоде Первая упрощенная модель получена из МЕР модели путем отбрасывания двух последних уравнений Вторая же модель получается упрощением так называемой газодинамической модели На примере модельных задач показана техника конструирования априорной оценки, позволяющей доказать асимптотическую устойчивость состояния равновесия

Основные результаты Главы 1 опубликованы в работах [1-5,9-11].

Глава 2 посвящена исследованию одномерной задачи о баллистическом диоде в нелинейной постановке и содержит главный результат диссертации - построение в нелинейном случае глобальной априорной оценки с экспоненциальным убыванием вида

над - ^iiwko.x) ^ Me_ffriit/o - eiiw (l2)

В первом параграфе формулируется вспомогательная задача, которая приводится к виду, удобному для конструирования априорной оценки решения Основные результаты главы сформулированы здесь в виде следующих теорем

Теорема 3 Пусть начальные данные U(0,x) — Uо (ж) принадлежат (0,1) и удовлетворяют в точках (0,0) и (0,1) условиям согласования. Пусть, кроме того, начальные данные удовлетворяют условию

Wo - Ö"llw|(0,i) < N (13)

с положительной постоянной N, определяемой при построении априорной оценки (12) Тогда для любого т, Q < т <тг < со (т\ - произвольное число), существует единственное гладкое решение задачи (5), (2),

(6), (7)

я, л, ©е

Ре и|(о,1)п ^(0,1),

<р(т,х)€ И$(0,1)П Й$(0,1),

такое, что выполняется оценка (12)

Теорема 4 Если начальные данные задачи (5), (2), (6), (7) удовлетворяют условию (13) и плотность легирования р(х) близка к р(х) = 1, то состояние равновесия (8) асимптотически устойчиво по Ляпунову

Само построение оценки решения подробно описано во втором параграфе Кроме того, с учетом полученной априорной оценки здесь сформулирована локальная теорема существования для рассматриваемой задачи

Теорема 5 Пусть начальные данные 17(0, ж) — IIо (х) принадлежат Ж? (0,1) и удовлетворяют в точках (0,0) и (0,1) условиям согласования. Тогда найдется число г* > 0 такое, что в области 0 < т < т*, О < х < 1 существует единственное решение 1/(т,х) задачи (5), (2), (6), (7), принадлежащее Сх([0, т*] х [0,1]). Кроме того,

17(т, х) е (0,1), 0 < т < т*,

в силу априорной оценки (12)

Третий параграф содержит доказательство теорем, сформулированных в первом параграфе

Основные результаты Главы 2 опубликованы в работах [6,7,12] Предметом исследования Главы 3 является двумерный вариант МЕР модели, для которого в линейном приближении доказывается асимптотическая устойчивость состояния равновесия В первом параграфе приведена постановка задачи - выписана система моментных уравнений для двумерного случая, поставлена смешанная задача

В безразмерном виде двумерная модель записывается следующим образом

RT + divJ = О,

Jr + V(P + R) = RQ + du J + di 20, 3

2-Pr + div(J + ©) = (J, Q) + cP, 2 ( P2\

-0r + V iP+ — J =PQ + d2iJ + d22®,

(14)

AV = 0(R - p) (15)

Здесь неизвестные функции R, 3 = (J(x',J(v')y Р, 0 = (0(ж),0^), Q = Vy, <р переменных т, х, у имеют тот же физический смысл, что и в одномерной случае

Поставим для системы (14), (15) тестовую задачу, описывающую кремниевый полевой транзистор со структурой металл-полупроводник (Metal-semiconductor field-effect transistor или MESFET) прямоугольной формы Схематическое представление рассматриваемого полупроводникового прибора в безразмерных переменных изображено на Рис 2 Таким образом, будем рассматривать математическую модель (14), (15) в области

0 = (0,1)х

Функция плотности легирования р(х,у) имеет вид

p(x,y) = ilAX>y)eU.+ >- (16)

Здесь = (0, х U (§,1) х |) — зона высокой концен-

трации легирования, i< 1 В дальнейшем, вместо кусочно-постоянной функции р(х, у) будем использовать достаточно гладкую аппроксимацию этой функции

Обозначим за Го часть границы <90, представляющую исток (source), затвор (gate) и сток (dram)

{1 XI 2 5 1

(«,») У = 3, 0<х<~, -<х<~, -<Ж<1|,

1/6

1/3

1/2

* l

Рис 2 Схематическое представление двумерного транзистора MESFET

Г/ = дИ \ Го, 1 — единичный вектор внешней нормали

Запишем теперь граничные условия для системы (14), (15)

Я =

1 на истоке и стоке, Ng на затворе, Р = 0 на Г0,

{О на истоке, (17)

G на затворе, В на стоке, (1,Vi?) = (1,VF) = (1,V<p) =0 опГ, J

Здесь Ng, G, В — некоторые постоянные

Предположим, что Ng = I, G — В = 0 Тогда математическая модель (14), (15), (17) имеет стационарное решение (состояние глобального термодинамического рановесия)

3(т,х,у) = 0, ®(т,х,у) = 0, Р(т,х,у)=0, (18)

R(r,x,y) = R(x,y), ip(r,x,y) = ф(х,у) ^

Здесь Ди ф — функции, связанные соотношениями

УЛ = Шф, (19)

Аф = /?(Я - р) (20)

и удовлетворяющие граничным условиям Я = 1, ф = 0 на Г0,

= (1,У£) =0 на Г/

Основным результатом Главы 3 является следующая теорема

Теорема 6 Пусть Мд = 1, С? = В — 0 Тогда, если функция плотности легирования р(х, у) достаточно близка к р(х, у) = 1, то состояние равновесия (18) смешанной, задачи (14), (15), (17) в линейном приближении асимптотически устойчиво по Ляпунову, поскольку

К(т,х,у) -> К, <р(т,х,у) ф, Р(т,х,у) ->-0 в ^(О) при г ->■ оо, 3(т,х,у), &(т,х,у) 0 е при тоо,

Во втором параграфе производится линеаризация системы (14), (15) и граничных условий (17) относительно состояния равновесия (18), делаются предварительные замечания и формулируется вспомогательная задача, необходимые для получения априорной оценки. В третьем параграфе с помощью построения глобальной априорной оценки решения доказывается теорема 6

Результаты Главы 3 опубликованы в работе [8] Приложение А содержит явные выражения для коэффициентов с, сц, , С22, стоящих в правой части системы моментных уравнений В Приложениях Б и В обсуждается положительная определенность агрегатов, возникающих при построении априорных оценок в Главах 2 и 3

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю д ф -м.н , профессору А М Блохину за постановку задачи, постоянное внимание и помощь в работе.

Список литературы

[1] А М Бдохин, Р С Бушманов, Глобальная разрешимость задачи о баллистическом диоде для некоторых упрощенных моделей переноса заряда в полупроводниках, Вестник НГУ, серия "Математика, механика, информатика", том IV, 2004 г, выпуск 3/4, с 3-16

[2] А М Blokhm, R S Bushmanov, V Romano, Electron flow stability in bulk silicon in the limit of small electric field, Proceedings WASCOM 2001, World Scientific (2002), pp 55-60

[3] A M Blokhin, R S Bushmanov, V Romano, Asymptotic stability of the solutions of the hydrodynamical model of semiconductors based on the maximum entropy principle the case of bulk silicon, Applied and Industrial Mathematics in Italy, edited by M Primicerio, R Spigler and V Valente, World Scientific, 2005, pp 155-166

[4] A M Blokhm, R S Bushmanov, V Romano Asymptotic stability of the equilibrium state for the macroscopic balance equations of charge transport m semiconductors, Comp Technologies, Vol 8/3 (2003), pp 7-22

[5] A M Blokhm, R S Bushmanov, V. Romano, Asymptotic stability of the equilibrium state for the hydrodynamical model of charge transport m semiconductors based on the maximum entropy principle, Int J Engineering Science., 42(8-9) (2004) pp 915-934

[6] A M Blokhm, R S Bushmanov, V Romano, Global existence for the system of the macroscopic balance equations of charge transport m semiconductors, J Math Anal Appl 305 (2005), pp 72-90

[7] A M Blokhin, R S Bushmanov, V Romano, Nonlinear asymptotic stability of the equilibrium state for the МЕР model of charge transport %n semiconductors, Nonlinear Analysis, 65 (2006), pp 2169-2191

[8] A M Blokhm, R S Bushmanov, A S Rudometova, and V Romano, Linear asymptotic stability of the equilibrium state for the 2-D МЕР

hydrodynamical model of charge transport m semiconductors, Nonlinear Analysis, 65 (2006), pp. 1018-1038

[9] A M Блохин, P С Бушманов, Асимптотическая устойчивость состояния равновесия одной гидродинамической модели переноса заряда в полупроводниках, Международная конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям Программа и тезисы докладов, Новосибирск, 2002 с 18

[10] A M Блохин, Р С Бушманов, Асимптотическая устойчивость состояния равновесия для системы моментных уравнений переноса заряда в полупроводниках, IV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям Программа и тезисы докладов, Красноярск, 2003,с 15

[11] Р С Бушманов, Асимптотическая устойчивость состояния равновесия для МЕР-модели переноса заряда в полупроводниках, Материалы XLII Международной Научной Студенческой Конференции «Студент и научно-технический прогресс» Математика / Новосиб гос университет Новосибирск, 2004, с 38

[12] A M Блохин, Р С Бушманов, Исследование асимптотической устойчивости состояния равновесия для МЕР модели переноса заряда в полупроводниках, Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования Материалы конференции - Воронеж Воронежская государственная академия, 2005, с 32

Подписано в печать 04 10 2007г Уч -изд л 1 Офсетная печать Формат 60x84 1/16 Заказ № 439 Тираж 100 экз

Лицензия ЛР №021285 от 6 мая 1998г

Редакционно-издательский центр НГУ, 630090, Новосибирск-90, ул Пирогова, 2

Введение

Глава 1. Асимптотическая устойчивость состояния равновесия для упрощенных моделей

§1 Постановка задач и основные результаты.

§2 Модельные задачи.

§3 Доказательство Теоремы

§4 Доказательство Теоремы

Глава 2. Нелинейная асимптотическая устойчивость состояния равновесия. Глобальная теорема существования.

§1 Основные результаты и предварительные замечания

§2 Конструирование априорной оценки.

§3 Глобальная теорема существования. Асимптотическая устойчивость.

Глава 3. Асимптотическая устойчивость состояния равновесия в двумерном случае

§1 Постановка задачи и основные результаты.

§2 Формулировка вспомогательных задач.

§3 Конструирование глобальной априорной оценки.

При современном стремительном развитии микроэлектронных технологий становится все более актуальным математическое моделирование полупроводниковых структур. Для снижения стоимости и ускорения процесса разработки при создании новых приборов необходимо использовать модели, обладающие достаточной точностью в соответствующей области применения. Использование упрощенных аналитических моделей для анализа и проектирования полупроводниковых устройств оказывается затруднительным, поскольку в основу таких моделей положены упрощающие принципы, которые могут существенно нарушаться в современных приборах.

Моделирование процесса переноса заряда в полупроводниковых устройствах основывается на кинетическом уравнении Больцмана, описывающем движение носителей зарядов (электронов или дырок) в полупроводнике. Для электронной функции распределения / = /(£, х, v) имеем уравнение [1]:

Здесь постоянная q - заряд электрона, т* - эффективная масса электрона, Е - электрическое поле, Q - оператор Больцмана, учитывающий взаимодействие электронов с решеткой. Уравнение (1) написано для случая, когда имеются носители заряда только одного типа. При наличии нескольких типов носителей (электронов и дырок, «легких» и «тяжелых» дырок и т.д.) надо ввести свою функцию распределения для каждого типа. Соответственно мы будем иметь столько кинетических уравнений вида (1), сколько есть таких типов. При этом в правой части формулы (1) появится сумма по всем типам частиц, на которых рассматриваемые носители заряда могут рассеиваться. Поэтому, если существенно взаимное рассеяние или превращение частиц разных типов, то мы приходим к системе связанных кинетических уравнений.

Для численного решения уравнения Больцмана широко применяется метод Монте-Карло. Этот метод зарекомендовал себя, как дающий достаточно точные результаты. Среди недостатков метода следует отметить, что он требует больших и довольно неоправданных вычислительных затрат. Кроме того, в некоторых случаях, например, если концентрация носителей заряда в отдельных областях прибора очень низкая, результаты вычислений с помощью этого метода могут значительно различаться.

Другой подход, основанный на разложении функции распределения в ряд по сферическим гармоникам, успешно применяется для решения уравнения Больцмана в работах [2,3]. В отличие от метода Монте-Карло, этот метод детерминированный и вычислительные затраты значительно ниже. Тем не менее, не до конца ясно, в какой степени влияет на точность результатов рассмотрение только младших членов разложения.

Таким образом, велика потребность в более простых моделях, представляющих собой разумный компромисс между физической точностью и вычислительной эффективностью.

Естественным упрощением, позволяющим получить приемлемую точность является рассмотрение только некоторых моментов функции распределения / = f(t,x,v), таких как концентрация и температура носителей.

Дрейф-диффузионная модель - простейшая модель переноса заряда, полученная методом моментов из уравнения Больцмана. Стандартная дрейф-диффузионная модель была предложена Van Roosbroeck [4] в 1950 году и состоит из уравнений неразрывности для носителей заряда и уравнения Пуассона для электрического потенциала (р{х, t): f)n

V-Jn = R(p,n), (2) ft-V-Jp = R(p,n), (3)

A<p = -±(p-n + Nd-Na), (4) где n(x,t), p(x,t) — концентрации электронов и дырок. Векторы плотности электронного и дырочного токов записываются в виде

Jn = DnWn - цппЧ(р, Jp = DpVp - iippV(p.

Здесь Dn, Dp — коэффициенты диффузии, fim jip — подвижности электронов и дырок, q — величина заряда электрона, £о — относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника. Предполагается, что структура полупроводника легирована донорной и акцепторной примесями с концентрациями Nd(x) и Na(x), а также в полупроводнике происходит рекомбинация частиц со скоростью R{p,n).

Математические аспекты модели (2)-(4) хорошо исследованы многими авторами. Так, существование и единственность решения доказана в [5], вопросы точности описания различных физических явлений обсуждаются в [6]. Численное моделирование переноса заряда в полупроводниковых устройствах восходит к известной работе Шарфеттера и Гум-меля [7], предложивших устойчивую дискретизацию уравнений дрейфа и диффузии, используемую и по сей день.

На протяжении долгого времени именно на дрейф-диффузионной модели основывалось большинство прикладных программ, используемых при моделировании полупроводников. Однако при переходе полупроводниковых устройств на субмикронный уровень, предположения на которых она основывается перестают выполняться. Поэтому транспортные модели постоянно расширяются и улучшаются для более детального охвата физических явлений в таких приборах.

Тем не менее, для описания таких важных явлений, как горячие электроны, ударная ионизация, генерация тепла и тому подобное, наиболее подходящими оказываются гидродинамические модели. При построении таких моделей выбирается подходящая процедура замыкания, позволяющая из бесконечной системы моментов уравнения Больцмана получить замкнутую систему из конечного числа уравнений (как правило, из трех или четырех). Существование процедур замыкания, основанных на разных предположениях, обуславливает наличие большого количества различных гидродинамических моделей. Достаточно подробно различия и общие черты основных моделей описаны в [8].

Одна из самых первых гидродинамических моделей была получена Blotekjaer [9] и изучалась Baccarani, Wordeman [10] и другими авторами. В предположении одного типа носителей (электронов) модель записывается в виде системы для электронной плотности, скорости и плотности энергии (р,и,£) (см. [И]): + div(H = 0, (5) diу(ри ®и) + Vp(p, Т) = pVV - (6) at ти

Щр- + div(Su + р(р, Т)и - fiVT) = ри • W — (7)

AV = p-C{x). (8)

Здесь T — температура, р(р, Т) — давление, ти > 0 и те > О — времена релаксации , V — электростатический потенциал, С(х) — проф>иль легирования, Si = \рквГь, кв — постоянная Больцмана, Ti — температура решетки. Плотность энергии Е имеет следующее выражение где m - эффективная электронная масса. Надо отметить, что полный математический анализ гидродинамической модели (5)-(8) пока отсутствует. В то же время достаточно хорошо изучена упрощенная, так называемая изэнтропическая гидродинамическая модель, которая получается из (5)-(8) в предположении, что температура постоянна: + div(pw) = 0, (9) + div(pu <g> и) + Vp = pVV - —, (10)

01 ти

AV = p-C(x), (И) где р — р{р). Часто предполагается, что р{р) = ^р1, 7 > 1.

Для упрощенной модели исследовались такие вопросы, как существование и асимптотическое поведение решения [12-15]. Также существует большое количество работ посвященных вычислительным аспектам модели, см., например, [16]. Работа [17] посвящена моделированию электронных ударных волн в стационарном случае для субмикронных полупроводниковых устройств.

В настоящей диссертации изучается недавно предложенная гидродинамическая модель [23,59], полученная из четырех моментов уравнения Больцмана с помощью так называемого принципа максимума энтропии (или МЕР от Maximum Entropy Principle). Модель имеет вид четырех моментных уравнений дп

12) gt + div(nV) = О, V (^nW^j + пеЕ - пСр, dnW

- + div(nS) + пе ■ (Е, V) = nCw, d(nS) /10 5 W ^ яГ + V Тп~7 + опе~Е = nCw, dt \ 9 т* J 3 т* рассматриваемых совместно с уравнением Пуассона бДФ = е(п - N). (13)

Здесь п, V, W, S — соответственно электронная плотность, средняя скорость электрона, средняя энергия электрона, поток энергии; Р = m*V — средний момент кристалла, т* — эффективная масса электрона, е — абсолютное значение заряда электрона, Е = — \7Ф — электрическое поле, Ср (W), Cw(W), Cw(W0 — члены производства балансных уравнений, б — диэлектрическая постоянная, N = Nd — Na, Nd и Na — плотности доноров и акцепторов.

Исследование новой модели (12), (13) представляет большой интерес. Естественно, какая бы математическая модель ни была предложена, она должна быть адекватна описываемому физическому явлению. С этой точки зрения очень важной проблемой при изучении гидродинамических моделей переноса заряда в полупроводниках является проблема устойчивости состояния термодинамического равновесия. Дело в том, что выбранная модель должна правильно описывать переходный процесс при снятии напряжения смещения. Известно, что при отсутствии напряжения смещения в реальных полупроводниковых приборах отсутствует перенос носителей зарядов (то есть электрический ток). Другими словами, требуется, чтобы состояние термодинамического равновесия было асимптотически устойчивым (по Ляпунову) для гидродинамической модели переноса заряда. Настоящая диссертация посвящена исследованию этого вопроса для модели (12), (13).

1. В. J1. Бонч-Бруевич, С. Г. Калашников, Физика полупроводников, М.: Наука, 1990.

2. М. С. Vecchi and М. Rudan, Modelling electron and hole transport with full-band structure effects by means of the spherical-harmonics expansion of the BTE, IEEE Trans. Electron Devices, vol. 45, pp. 230-238, Jan. 1998.

3. С. K. Lin, N. Goldsman, I. Mayergoyz, S. Aronowitz, and N. Belova, Advances in spherical harmonic device modelling: Calibration and nanoscale electron dynamics, Proc. Simulation Semiconductor Processes and Devices, 1999, pp. 167-170

4. W. van Roosbroeck, Theory of flow of electrons and holes in germanium and other semiconductors, Bell Syst. Techn. J., vol. 29,1950, pp. 560-607

5. M. Mock, An initial value problem from semiconductor device theory, SIAM J. Math. Anal., vol. 5, 1974, pp.597-612

6. S. Selberherr, Analysis and simulation of semiconductor devices, Wien New York, Springer-Verlag, 1984.

7. D. L. Scharfetter and H. K. Gummel, Large-signal analysis of a silicon Read diode oscillator, IEEE Trans. Electron Devices, vol. ED-16, pp. 64-77, Jan. 1969

8. Т. Grasser, T.-W. Tang, H. Kosina and S. Selberherr, A review of hydrodynamic and energy-transport models for semiconductor device simulation, Proc IEEE 91 (2003) (2), pp. 251-274

9. K. Blotekjaer, Transport equations for electrons in two-valley semiconductors, IEEE Trans. Electron Devices, vol. ED-17, pp. 38-47, Jan. 1970

10. G. Baccarani and M. R. Wordeman, An investigation on steady-state velocity overshoot in silicon, Solid-state electronics, 29 (1982), pp. 970977

11. Hailiang Li and P. A. Markowich, A Review of Hydrodynamical Models for Semiconductors, Asymptotic Behavior, Boletim da Sociedade Brasileira de Matematica, vol. 32, No. 3, pp.321-342, 2001

12. T. Luo, R. Natalini and Z. Xin, Large time bahavior of solutions to a hydrodynamic model for semiconductors, SIAM J. Appl. Math. 59 (1998), pp. 810-830

13. H. Li, P. Markowich and M. Mei, Asymtotic behaviour of solutions of the hydrodynamical model of semiconductors, Proceedings of the Royal Society of Edinburg 132 A (2002) pp. 359-378.

14. I. M. Gamba, Stationary transonic solutions of a one-dimensional hydrodynamic model for semiconductors, Commun. PDE, vol. 17, N3, 1990, pp. 25-29

15. B. Zhang, On a local existence theorem for a simplified one-dimensional hydrodinamic model for semiconductor devices, SIAM J. Math. Anal., v.25, N3, 1994, pp. 941-947

16. J. Jerome and C.-W. Shu, Energy models for one-carrier transport in semiconductor devices,ШA Volumes in Mathematics and Its Applications, v59, Springer-Verlag, 1994, pp. 185-207.

17. C. L. Gardner, Numerical simulation of a steady-state electron shock wave in a submicrometer semiconductor device, IEEE Transactions on Electron Devices, 38 (1991) pp. 392-398

18. N. B. Abdallah and P. Degond, On a hierarchy of macroscopic models for semiconductors, J. Math. Phys., 37 (1996) pp.3308-3333

19. G. Ali and A. M. Anile, Moment equations for charged particles: global existence results, preprint 2003.

20. G. Ali, D. Bini and S. Rionero, Global existence and relation limit for smooth solutions to the Euler-Poisson model for semiconductors, SIAM J. Math. Anal. 32 (2002) pp. 572-587.

21. A. M. Anile, M. Junk, V. Romano, G. Russo, Cross-validation of numerical schemes for extended hydrodynamical models of semiconductors, Math. Models Meth. Appl. Sci., 10 (2000) pp. 833-861

22. A. M. Anile, G. Mascali and V. Romano, Lecture Notes in Mathematics, Springer (2003)

23. A. M. Anile and V. Romano, Non parabolic band transport in semiconductors: closure of the moment equations, Cont. Mech. Thermodyn., 11 (1999) pp. 307-325.

24. A. M. Anile and V. Romano, Hydrodynamical modeling of charge carrier transport in in semiconductors, MECCANICA, 35 (2000) pp. 249-296.

25. А. М. Anile, О. Muscato. Improved hydrodynamical model for carrier transport in semiconductors, Phys. Rev. B, 1995, V.51, 23, p.p. 1672816740

26. A. M. Anile, V. Romano and G. Russo, Extended hydrodynamical model of carrier transport in semiconductors, SIAM J. Appl. Math., 61 (2000) pp. 74-101

27. A. M. Blokhin, Well posedness of a mixed problem for the nonstationary model of a flow around an infinite cone, Numer. Meth. Mech. Cont. Medium, 10(7) (1979) pp.10-25

28. A. M. Blokhin, A. D. Birkin, Global resolving of a problem on supersonic flow around a cone, Mathematical Modelling, 8(4) (1996) pp. 89-104

29. A. M. Blokhin, A. D. Birkin, Global resolving of a problem about piston, Sib. J. Industrial Math., 2(1) (1999) pp. 13-24

30. A. M. Blokhin, A. S. Bushmanova and E.V. Mishchenko, On solution of a nonlinear boundary value problem for a singularly perturbed differential equation, Computational Technologies, 6(4) (1999) pp. 27-57

31. A. M. Блохин, P. С. Бушманов, Глобальная разрешимость задачи о баллистическом диоде для некоторых упрощенных моделей переноса заряда в полупроводниках, Вестник НГУ, серия "Математика, механика, информатика", том IV, 2004 г., выпуск 3/4, с. 3-16

32. А. М. Blokhin, R. S. Bushmanov, V. Romano, Electron flow stability in bulk silicon in the limit of small electric field, Proceedings WASCOM 2001, World Scientific (2002), pp. 55-60

33. A. M. Blokhin, R. S. Bushmanov, V. Romano Asymptotic stability of the equilibrium state for the macroscopic balance equations of charge transport in semiconductors, Сотр. Technologies, Vol. 8/3 (2003), pp. 7-22

34. A. M. Blokhin, R. S. Bushmanov, V. Romano, Asymptotic stability of the equilibrium state for the hydrodynamical model of charge transport in semiconductors based on the maximum entropy principle, Int. J. Engineering Science., 42(8-9) (2004) pp. 915-934

35. A. M. Blokhin, R. S. Bushmanov, V. Romano, Global existence for the system of the macroscopic balance equations of charge transport in semiconductors, J. Math. Anal. Appl. 305 (2005), pp. 72-90

36. A. M. Blokhin, R. S. Bushmanov, V. Romano, Nonlinear asymptotic stability of the equilibrium state for the МЕР model of charge transport in semiconductors, Nonlinear Analysis, 65 (2006), pp. 2169-2191

37. A. M. Blokhin, R. S. Bushmanov, A. S. Rudometova, and V. Romano, Linear asymptotic stability of the equilibrium state for the 2-D МЕР hydrodynamical model of charge transport in semiconductors, Nonlinear Analysis, 65 (2006), pp. 1018-1038

38. A. M.Blokhin and A. A. Iordanidy, Numerical investigation of a gas dynamical model for charge transport in semiconductors, COMPEL, 18 (1999) pp. 6-37

39. A. M. Blokhin, Yu. L. Trakhinin, Symmetrization of Radiation hydrodynamics equations and global resolving of Cauchy problem, Sib.Math. J., 37 (1996) pp.1101-1109

40. D. Chen, E. C. Kan, U. Ravaioli, C-W. Shu and R. Dutton, An improved energy-transport model including nonparabolicity and non-maxwellian distribution effects, IEEE on Electron Device Letters, 13 (1992) pp. 2628

41. C.L.Gardner, J.W.Jerome and D.J.Rose, Numerical methods for the hydrodynamic device model: subsonic flow, IEEE Transactions on Computeraided Design, 8 (1989) pp. 501-507

42. С. К. Годунов, Уравнения математической физики, М.: Наука, 1979

43. W. Hansch, The drift-diffusion equation and its applications in MOSFET modeling, Wien, Springer-Verlag, 1991.

44. D. Jou, J. Casas-Vazquez and G. Lebon, Extended irreversible thermodynamics, Berlin, Springer-Verlag, 1993

45. Lee Da-tsin, Yu Wen-tzu, Some existence theorems for quasi-linear hyperbolic systems of partial differential equations in two dependent variables, Scientia Sinica 13(4) (1964) pp. 529-562.

46. C. D. Levermore, Moment Closure Hierarchies for Kinetic Theories, J. Stat. Phys., 83 (1996) pp. 331-407

47. H. Ling and W. Shu, The asymptotic behaviour of global smooth solutions to the macroscopic models of semiconductors, Chin. Ann. of Math., 22 В (2001) pp. 195-210.

48. H. Ling and W. Shu, Asymtotie behaviour of global smooth solutions to the full ID hydrodynamical model for semiconductors, Math. Models and Methods in Applied Sciences 12 (2002) pp. 777-796.

49. Т. Luo, R. Natalini and Z. R Xin, Large-time behaviour of the solutions to a hydrodynamical model for semiconductors, SIAM J. Appl. Math. 59 (1998) pp. 810-830.

50. E. Lyumkis, B. Polsky, A. Shir and P. Visocky, Transient semiconductor device simulation including energy balance equation, COMPEL, 11 (1992) pp. 311-325

51. P. A. Marcati and R. Natalini, Weak solutions to hydrodynamical model for semiconductors and relaxation to the drift-diffusion equation, Arch Rational Mech. Anal. 129 (1995) pp. 129-145.

52. P. Markowich, C. A. Ringhofer and C. Schmeiser, Semiconductor equations, Wien, Springer-Verlag, 1990.

53. I. Muller and T. Ruggeri, Rational Extended Thermodynamics, Berlin, Springer-Verlag, 1998

54. V. Romano, Non parabolic band transport in semiconductors: closure of the production terms in the moment equations, Cont. Mech. Thermodyn., 12 (2000) pp. 31-51.

55. V. Romano, Nonparabolic band hydrodynamical model of silicon semiconductors and simulation of electron devices, Math. Meth. Appl. Sci., 24 (2001) pp. 439-471

56. V. Romano, 2D simulation of a silicon MESFET with a non-parabolic hydrodynamical model based on the maximum entropy principle, J. Сотр. Phys., 176 (2002) pp. 70-92

57. V. Romano and G. Russo, Numerical solution for hydrodymamical models of semiconductors, Math. Models Meth. Appl. Sci., 10 (2000) pp. 1099-1120

58. С. Мизохата, Теория уравнений с частными производными, М.: Мир, 1977

59. А. М. Блохин, Интегралы энергии и их приложения к задачам газовой динамики, Новосибирск: Наука, 1986

60. О. А. Ладыженская, Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой эюидкости, М.: Наука, 1970

61. С. J1. Соболев, Некоторые применения функционального анализа в математической физике, JL: изд. ЛГУ, 1950

62. О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, М.: Наука, 1973

63. Д. Гилбарг, Н. Трудингер, Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, М.: Наука, 1989

64. X. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас, Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения, М.: Мир, 1978