Исследование проблем управления запасом непрерывного продукта в стохастической модели регенерации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

На правах рукописи

00460

733

Мельников Роман Витальевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСОМ НЕПРЕРЫВНОГО ПРОДУКТА В СТОХАСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РЕГЕНЕРАЦИИ

Специальность 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

£ >

Москва-2010

004601733

Работа выполнена на кафедре «Исследование операций» факультета прикладной математики Московского государственного института электроники и математики (технического университета).

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент

Шнурков Петр Викторович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Рыков Владимир Васильевич

Ведущая организация: Институт проблем управления имени В.А. Трапезникова Российской Академии наук.

Защита состоится 18 мая 2010г. в на заседании диссертационного со-

вета Д 212.133.07 при Московском государственном институте электроники и математики (техническом университете) по адресу: 109028, г. Москва, Б. Трехсвятительский пер., д. 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института электроники и математики (технического университета), по адресу:

109028, г. Москва, Б. Трехсвятительский пер., д. 3.

Автореферат разослан » ¿I1 2010г.

доктор физико-математических наук, профессор Калинкин Александр Вячеславович

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.133.07 к. ф.-м. н., доцент

1Г.

П.В. Шнурков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования и актуальность темы. Работа посвящена исследованию нескольких стохастических моделей управления непрерывным запасом в схеме регенерации.

По мере развития экономических и торговых взаимоотношений все большую актуальность приобретают логистика и оптимальное управление имеющимися ресурсами или продуктами. Принятие верных управляющих решений при выработке стратегии управления запасом является важным условием эффективного функционирования торгового предприятия. Для разработки управляющих решений необходим математический анализ исследуемой системы, позволяющий получить научно обоснованные теоретические рекомендации.

В настоящем исследовании предлагается рассмотреть ряд математических моделей функционирования товарного склада, на котором хранится непрерывный продукт. В роли такого продукта могут выступать нефть, горюче-смазочные материалы, газ, вода, зерно и т. п. Экономика России сейчас сильно зависит от экспорта нефти и газа, что определяет значимость исследования подобной тематики. Кроме того, поставки указанных продуктов имеют большое значение и на внутреннем рынке. Таким образом, существует объективная необходимость в исследовании такого рода моделей.

Кроме того, предложенные математические модели могут быть рекомендованы к использованию в крупных торговых сетях, где при большом объеме запасов хранящиеся продукты удобно описывать непрерывными параметрами.

Предметом исследования являются экстремальные задачи для функционалов, описывающих эффективность систем управления запасом.

Теоретико-методологические основы управления запасами разрабатывались многими отечественными и зарубежными учеными и практиками. Еще в начале XX века появился ряд статей по определению оптимального объема заказа - Ф. Харриса (1913г.), К. Андлера (1929г.) и Р. Уилсона (1934г.). В последние десятилетия вопросами управления запасами занимались такие отечественные ученые как: Т.А. Алиева, Б.А. Аникин, Е. В. Булинская, А.М. Гаджинский, К.В. Инютина, В.А. Лотоцкий, С.Р. Микитьянц, Ю.М. Неруш, Г.Б. Рубальский, Ю.И. Рыжиков и др.; зарубежные ученые Е. Копытов, П. Зермати, М.Р. Линдере, Х.Е. Фирон, Т.Л. Саати, А. Прабху, Д. Хедли, Т. Уайтен и др.

Общая характеристика полученных результатов. В первой главе диссертации дан краткий обзор ряда современных результатов в исследуемой области. На его основе можно сделать ряд общих выводов, относительно характера этих результатов. В первую очередь необходимо отметить, что в большинстве рассматриваемых моделей поиск решения проводится не аналитическими, а численными методами. Далее, почти во всех исследованиях случайные характеристики моделей представлены не произвольными, а заданными законами распределения. В большинстве случаев потребление продукта описывается пуассонов-ским процессом. В качестве функционалов, характеризующих эффективность

управления системами, как правило, выступают средние общие затраты, или, реже, общая прибыль.

Модели, рассматриваемые в настоящем исследовании, имеют целый ряд существенных отличительных особенностей. Исследование предложенных моделей будет проводиться аналитическими методами, численные примеры будут приведены для иллюстрации полученных результатов. Математической моделью функционирования системы является регенерирующий процесс.

Роль параметра управления играет время от момента очередного пополнения запаса до момента следующего заказа на пополнение запаса. При этом параметр управления имеет случайный характер, а проблема оптимизации управления заключается в определении вероятностного распределения, доставляющего экстремум заданному функционалу - показателю качества. Оптимизация осуществляется по множеству распределений неотрицательных случайных величин. Показателями качества управления являются стационарные функционалы, выражающие средние удельные затраты или среднюю удельную прибыль, связанные с функционированием данной системы. Длительность задержки поставки может быть как случайной, так и детерминированной; при этом ее характеристики зависят от объема потребленного продукта.

Цель диссертационной работы заключается в получении условий на характеристики системы, при которых существует оптимальная стратегия управления запасом, а также соотношений для ее определения в каждой из рассматриваемых моделей.

Научная новизна работы. В диссертации получены следующие новые научные результаты, связанные с управлением запасом непрерывного продукта.

1) Для каждой из трех основных видов моделей управления, рассмотренных в диссертации, доказаны теоремы о существовании оптимальных детерминированных значений параметра управления и получены соотношения для определения этих оптимальных значений.

2) Проанализирован целый ряд частных случаев основных вариантов моделей, связанных с конкретными предположениями о характеристиках системы. Для вариантов, в которых стоимостные характеристики модели являются линейными, получены явные аналитические формулы для оптимальных значений параметров управления.

3) Проведено численное исследование значительного числа теоретических примеров, иллюстрирующих полученные общие результаты. В каждом их этих примеров исследовано поведение зависимостей основных показателей качества от параметров управления.

Научная и практическая ценность. Результаты диссертации могут представлять интерес для специалистов, занимающихся приложениями теоретико-вероятностных методов в экономических, технических и других областях. Они также могут быть использованы в качестве теоретической основы для будущих исследований более сложных систем управления запасами.

Личное участие автора. В совместно выполненных научных работах [2, 57] вклад каждого из соавторов может быть определен следующим образом. Научному руководителю диссертйции Шнуркову П.В. принадлежит разработка основной математической модели управления запасом, получение представлений для исследуемых функционалов, постановки соответствующих экстремальных задач и формулировки основных теорем о существовании оптимальных значений параметров управления. Автору диссертации принадлежат аналитические преобразования и выводы, содержащиеся в доказательствах основных утверждений, аналитические исследования теоретических примеров, а также численное исследование примеров, иллюстрирующих полученные теоретические результаты.

Апробация работы. Результаты работы были представлены на следующих научных конференциях и симпозиумах:

1. IX Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия) (Кисловодск, 2008 г.);

2. Седьмая Международная Петрозаводская конференция "Вероятностные методы в дискретной математике" (Петрозаводск, 2008 г.);

3. Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов Московского государственного института электроники и математики 2005,2007 и 2008 годов.

Кроме того, результаты работы докладывались на заседаниях следующих научно-исследовательских семинаров:

1. Научный семинар кафедры теории вероятностей Российского университета дружбы народов;

2. Научный семинар по теории запасов Института проблем управления имени В.А. Трапезникова Российской Академии наук.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 7 работах соискателя, список которых приведен в конце автореферата. Научные работы [2, 5, 6, 7] опубликованы в журналах, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть размещены основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук. При это работы [2] и [5] представляют собой развернутые научные статьи, включающие подробное изложение и обоснование полученных результатов. В указанных публикациях содержатся все основные результаты диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Объем работы составляет 135 страниц текста, в том числе 132 рисунка. Библиография включает в себя 43 наименования, в том числе и публикации диссертанта по теме исследования. Каждая глава разбита на параграфы, параграфы, кроме посвященных числовым примерам, в свою очередь, разбиты на пункты, имеющие порядковую нумерацию. Формулы внутри каждого пункта имеют тройную нумерацию с указанием на параграф и номер пункта; при ссылке на формулы из другой главы номер главы указывается от-

дельно. Рисунки также имеют тройную нумерацию с указанием на параграф и номер пункта.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проводится обоснование актуальности темы диссертации, рассматриваются примеры конкретных экономических систем, которые можно описать исследуемыми в работе математическими моделями, содержится постановка целей исследования.

В главе 1 приводится обзор литературы по теме диссертационного исследования.

В главе 2 рассматриваются такие варианты основной модели управления запасом, в которых либо поставка продукта осуществляется мгновенно, т. е. задержка поставки равняется нулю, либо задержка имеет случайную длительность с заданным распределением, но в период задержки потребление продукта прекращается.

Первый параграф содержит исследование модели управления запасом с мгновенной поставкой. В первом пункте данного параграфа проводится общее описание предлагаемой модели и вводятся ее параметры. Пункт 2 содержит важный результат из теории дробно-линейных функционалов, принадлежащий В.А. Каштанову. Приведем формулировку этого результата.

Определение Функция распределения в* (/) случайной величины £ называется вырожденной, если она имеет вид

Пусть Р](и), Р2(и), ...Р»(и) - функции распределения неотрицательных случайных величин, Р(и) = ^¡(и), Р2(и), ...Рц(и)), Лц- множество всевозможных векторов распределений Р(~), Л^* - множество векторов вырожденных распределений Р*(и) = (Р]*(и% Р2*(и), ...Рц*(и)), каждое из которых имеет единственную точку роста, т. е. распределений вида (1). Рассмотрим экстремальную проблему для функционала (2).

00 о

Функционал /(/^/(^Я,,...,^) будем называть дробно-линейным функционалом, заданным на распределениях

Теорема 1 (Каштанов В.А.) Если функционал 1(Р) ограничен на множестве функций распределения Л и, а функция В(и„и2,...ик) сохраняет знак при любых значениях аргументов, то экстремум функционала 1(Р) достигается на вырожденных функциях распределения, т. е.

sup 1(F) = sup 1(F), inf 1(F) = inf /(F).

Fe\„ Fe л'„ FeAn Fe\'„

Из доказательства данной теоремы непосредственно следует, что достаточным условием ограниченности и существования экстремума функционала (2) является существование соответствующего экстремума функции

B(ultu2,..MN)

где и = (и„и2,..л„).

Таким образом, решение экстремальной задачи для дробно-линейного функционаласводится к исследованию на экстремум функции С (и).

Экстремальная задача для дробно-линейного функционала затрат, описывающего эффективность системы управления запасом, выглядит следующим образом.

«о

¡A(.t)dG(t)

^-->min. (3)

- i'OA

О

где А - некоторое множество функций распределения, на которых определен функционал IfG(■)), а функция Aft) задается соотношением (3)

i

ícj (т — CLX)C¿C, 0<t<-

0

/а , ■ (4)

| q(i - ax)dx + J c2(x - ax)dx, t > —

от/ а

/а

Тогда выполнены все условия теоремы 1 об экстремуме дробно-линейного функционала, следовательно, если существует минимум функционала в (3), то он достигается на некоторой вырожденной функции распределения:

p(r)dG(0

min I{G (•)) = min -= min /(G(-))= min dlül

Oe/L GgA % GGA* ■£(!;«) u

\tdG (t) 0

где А - множество вырожденных функций распределения (1).

Таким образом, для решения исходной экстремальной задачи (3) необходимо решить задачу (5).

min. (5)

и "(о,«)

Справедливо следующее утверждение, сформулированное и доказанное в п. 5 первого параграфа. Теорема 2

Пусть c¡(x), c¿fx) - дифференцируемые, неотрицательные функции затрат, c¡(x) не убывает, определена для х>0, c¡(x)=0 для х<0; С2(х) не возрастает, определена для х<0, с2(х)=0 для х>0. Пусть также lim с2(х) = +оо. Тогда:

решение экстремальной задачи (5) существует и удовлетворяет уравнению

т/а и

ис2(т - аи) - |с,(т - ах)с!х - |с2(х - ах)с!х = 0, (6)

О т/а

если же функции с/(х), С2(х) являются строго монотонными (возрастающей и убывающей соответственно), то исследуемая в задаче (5) функция имеет единственную экстремальную точку - глобальный минимум. В п. 6 рассмотрен случай линейных функций затрат

[рх,х 2. О О, х > О

с2(х) =

Решение задачи получено в явном виде.

"о

р, s>0. (8)

- sx, х < О

X I р + S

= а у s '

В следующем пункте введен доход от реализации продукта D(z)=g■z, где г ■ объем реализованной продукции, g>0, ¿>0.

Условный доход на интервале регенерации (при условии, что длина интервала ц= /)

D(t) =

ga-t, если 0<tS—, a

т

gi, если — <t <®. a

Экстремальная задача поиска максимума дробно-линейного функционала средней удельной прибыли сводится к исследованию на экстремум функции вещественного переменного.

~\D(t)dG(t)-\A(t)dG(t) max П (G()) = шах -2-- шах n(G(-)) = max (и) {"}. (9)

С().л С(М " сол* ««(0;») и

\tdG{t)

о

Следующая теорема позволяет получить в явном виде решение задачи (9) для линейных затрат. Теорема 3

Пусть функции затрат имеют вид (7), (8). Тогда решение экстремальной задачи (9) задается следующими формулами:

при о < g < — максимум функции S(u) достигается в точке 2а

и°=Ж(р+8)

2gr)

-tJ'

при g > - в точке и=т/а.

Исследование функционала средней удельной прибыли было продолжено на случай наличия дополнительных затрат на заказ продукта: с3=у-И2 - стоимость заказа, у>0, А - размер заказа.

Экстремальная задача поставлена аналогичным предыдущему пункту об-

разом:

тах1-1-=тахВ(и)-А(и)-у(аи) _ (10)

йОЛ »6(0;®) ц

¡1^(0 о

Решение задачи определяется следующим утверждением. Теорема 3

Пусть функции затрат имеют вид (7), (8). Тогда решение экстремальной задачи (10) определяется следующими соотношениями: при о < g < — (р - 2уа)экстремум достигается в точке

2а

»0

= ГГ7

у5 + 2уа(а2 а )

при g > —(р - 2уа), р > 2уа в точке и=т/а, 2а

р < 2у а в точке и=0, р = 2уа в точках и е [0; т/а].

В пунктах 7 и 8 при исследовании функционалов, связанных с прибылью, в качестве дохода рассматривалась некоторая детерминированная функция. В п. 9 проанализирован случай, когда функция дохода носит интегральный характер.

Как и ранее, рассматривается исходная модель, описанная в п. 1.

Введем дополнительно цену единицы продукции, по которой запас реализуется со склада. Пусть цена единицы продукции определяется функцией, задаваемой соотношением (11).

g1(г-at), если 0</<-,

х ° (П)

g2(г•at), если — </<оо, а

где величина т-си представляет собой количество продукта, имеющегося на складе в момент времени t (или его нехватку при отрицательном значении).

Доход от реализации продукции со склада на интервале между моментами регенерации, при условии, что длина интервала регенерации (т. е. время до поставки) равна I, выражается следующей формулой:

, х

жо=] у:

а ^¡(т-ах)с1х + а {¡¡¡(г -ах.)<£с, —</<°о.

X а

Затраты на интервале регенерации при условии (где ц - случайное время до заказа новой партии продукта) записываются следующим образом.

а ^¡(т - ах.)сЬс, 0<.1< — ,

Гс,(т-ах)с1х , 0<t<-,

о «

У. <

|c,(x-ax)dx+ fc2(T-ax)dx, — <t<oo. к

до=

Удельная средняя прибыль на интервале регенерации задается функциона-

лом

J(D(t)-A(t))dG(t) ЩС(-)) = --=-.

JfdG(t)

о

Проведя для дробно-линейного функционала прибыли рассуждения, аналогичные изложенным ранее, получаем, что оптимальное решение исходной задачи является решением задачи (12).

П(/) = ————->тах. (12)

t ,>0

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 4

Пусть C/(x), C2(x), gi(x), g2(x) - неотрицательные дифференцируемые функции, Ci(x) не убывает, определена для х>0, с\(х)=0 для х<0; с2(х) не возрастает, определена для х<0, с2(х)=0 для х>0; gj(x) не возрастает, определена для х е[0, х), g2(x) не убывает, определена для хе(-ао, 0], gi(0)=g2(0)=ff}>0, ¿0) eR, Пусть также lim с,(х) = -к», lim g,(x) = g(~\gH >0.

X-»-« X-+-«

Тогда:

решение экстремальной задачи (12) существует и удовлетворяет уравнению

У.

ag2(*-at)-t-a Jg,(T-ax)dx- Jg2(t-ax)dx-

%

Уш

-c2(x-at)-t+ Jc,(T-ax)dx + jc2(T-ax)dx = 0. (13)

причем данное решение принадлежит интервалу t: — < t < а>;

а

если же функция с2(х) или функция g2(x) является строго монотонной (убывающей или возрастающей соответственно), то решение экстремальной задачи (13) единственно и представляет собой глобальный максимум.

Рассматриваемая в параграфе 2 модель является усложнением той, которая была изложена в предыдущем параграфе. Основное отличие предлагаемой модели от предыдущей заключается во введении случайной задержки на поставку, т. е. случайного времени, которое проходит между моментом заказа и моментом поставки на склад. В предлагаемой модели вводится случайная задержка на поставку, математическое ожидание которой есть функция, зависящая от размера заказа.

Описание параметров модели и постановка экстремальной задачи содержатся в п. 1-3. Ниже на рисунке изображена динамика уровня запаса.

Рис. I Динамика уровня запаса

Аналогично § 1, стратегия управления запасом состоит в выборе момента заказа новой партии продукции г\, при котором удельные средние затраты на интервале регенерации минимальны, ц задается распределением 0(1)= Р{Ц<Ч

Удельные средние затраты на интервале регенерации определяются следующей формулой.

]з(1)ёС(1) •)) = -—2--

|(1+Т„(а/))аоа)

где 5(0 =

|с, (х - ах)<Ьс + с, (т - са)Т0 (а/),

а

[с. (т - ах)с1х + Гс2(т-ах)с1х + с2(т-а1)Т0(а/), — <Коо.

* П

I» %

Экстремальная задача для функционала затрат записана ниже.

где

шш С(0(-)) = ппп С(в{•)) = шш У(и),

ОДбЛ О'ОЛ' и>0

Ч» =

|с,(т-ах)(Ьс + с, (т - аи)Т„ (аи)

К

и+Т0(аи)

г, и

|с,(т-ах)с1х+ |с2 (т - ах)с1х + с 2 (т - аи)Т0 (аи)

_X_

а

и+Т0(аи)

, —<ц<оо. а

(14)

Условия существования решения последней экстремальной задачи получены в следующей теореме.

Теорема 5

Пусть с^х), с2(х) - дифференцируемые, неотрицательные функции затрат, С1(х) не убывает, определена для х>0, С1(х)~0 для х<0; с2(х) не возрастает, определена для х<0, с2(х) =0 для х>0; Т0(ой) - неубывающая неотрицатель-

ная дифференцируемая функция от t. Пусть также Нт с,(х) = -к».

Тогда решение экстремальной задачи (14) существует, минимум достигается в точке, являющейся решением уравнения (15) либо в точке и=х/а. У.

исг(1-аи)- |с,(т -ах>к - |сг(т-ах)<1х

У.

- ж'2(т - аи)Т0(аи)(и + Т0(аи)) = 0. (15)

В п. 5 рассмотрен случай линейных функций затрат (7), (8). Также предполагается, что Т0(ах)= Тсах. Явно получено следующее решение задачи:

1 I

а\«+2(иГ0'

если р>2аяТ0, х

—, если р < 2а5Т0

а

Как и в п. 7 предыдущего параграфа, введен в рассмотрение функционал прибыли. В условиях предыдущей модели предполагается, что от реализации хранящейся продукции склад получает доход, равный D(z)=g2, где г - объем реализованной продукции, ¿>0, ¿>0.

Условный доход на интервале регенерации (при условии, что время до заказа г/= /):

если

а

т ,

§т, если —<1<оо. а

Аналогично проведенным исследованиям для функционала затрат, экстремальная задача поиска оптимального распределения времени до заказа на поставку для дробно-линейного функционала удельной средней прибыли сводится к решению следующей экстремальной задачи.

ад^-Л^)--> тах . (16)

и + Т0(ш/) ие(0,<я)

Следующее утверждение устанавливает точные формулы для оптимального значения параметра управления для линейного варианта модели с линейными затратами и задержкой поставки.

Теорема 6

Пусть функции затрат имеют вид (7), (8), а Т0(ах)= Т0ах, Т0>0. Тогда решение экстремальной задачи (16) определяется следующими соотношениями:

при о < § < — (р - 2аУГо) максимум Б(и) достигается в точке 2а

"о

при % г: ^-(р - 2аЛЬ) -в точке и=т/а.

В пункте 7 рассматривается дробно-линейный функционал прибыли, в котором доход имеет интегральный характер, цена единицы продукции в момент

времени t определяется формулами из п. 9 § 1:

|0(1)сЮ(1)-|5(г)сЮ(1)

П(0(-))=-Ч;-?-

¡(1+Та(си)тО

П(0()) =

о

4

|с,(х- ах)ёх + с, (т - а1)Т0(а/),

о

а

гДе ад =

О

(17)

Следующий параграф посвящен исследованию числовых примеров, иллюстрирующих теоретические результаты второй главы. Для конкретных значений параметров моделей и явно заданных функций затрат и задержки поставки получены оптимальные управления, при численном поиске решения использовались возможности программного средства МаЛСа&

В главе 3 исследуются модели с постоянно происходящим потреблением продукта из системы, т. е. во время поставки новой партии продукта потребление продолжается с той же заданной скоростью.

Динамика уровня запаса в моделях, предложенных в данной главе, выглядит следующим образом.

Рис. 5. Динамика уровня запаса (траектория процесса х(ф

В первом параграфе рассматривается модель без учета дополнительных затрат. Описание функционирования системы и параметров модели предложено в п. 1. В следующем пункте вводится функционал средних удельных затрат, который выглядит следующим образом:

|х(0

{АО+КафсЮСг)

С(0(-)) =

О

(18)

|(И-11(аО)<Ю(1)

о

t+Км)

|с,(х-ах)с1х, I: 0<1 + Ь(аО<—,

где А(1 + Ъ(а1)) = \/а° нца) ^ ® (19)

|с,(х-ах)йх + |с2(х-ах)дх, Г: — 2И-Ь(«0 <оо.

X а

Стратегия управления запасом состоит в выборе момента заказа новой партии продукции при котором удельные средние затраты на интервале регенерации минимальны, ц задается распределением 0(1), (3(0= =Р{г]<Ц. Тогда получаем следующую экстремальную задачу:

С(С())~* пйп, (20)

где А - множество функций распределения неотрицательных случайных величин, на которых определен функционал С(С()).

Аналогично проведенным в главе 2 исследованиям, воспользовавшись результатами для дробно-линейных функционалов, можно доказать, что если существует минимум функционала в (20), то он достигается на некоторой вырожденной функции распределения:

пнп С(р()) = пнп С({У(-)) = пиа/(/), (21)

где Л*- множество вырожденных функций распределения,

[с[(т-ах)ёх

• <г

^(t + h(at)) t + h(cA)

t: 0<t+h(et)<-

t + h(at) а

X t+b(at)

Jc,(x-ax)dx + Jc2(x-ax)dx 0 V x

--^--/: — <t + h(at)<co.

t + h(al) а

Таким образом, для решения исходной экстремальной задачи необходимо решить экстремальную задачу для функции вещественного переменного l(t).

Доказана следующая теорема о существовании и единственности решения задачи (21).

Теорема 7

Пусть С](х), с2(х) - неотрицательные дифференцируемые функции затрат, ci(x) не убывает, определена для х>0, ci(x)=0 для х<0; с2(х) не возрастает, определена для х<0, с2(х)-0 для х>0, с2(0)=0; h(at) - неубывающая неотрицательная дифференцируемая функция от t. Пусть также lim с2(х) = -ко.

Тогда:

решение экстремальной задачи (21) для функции I(t) существует и удовлетворяет уравнению

X t+h(ot)

с2(х - a(t + h(at)))• (f+A(at))- je,(x-ax)dx- jc2(x-ax)dx = 0. (22)

0 X •

причем данное решение существует и принадлежит множеству значений

1

параметра t, определяемому соотношением t: — < t + h(et) < да;

если же функция С2(х) является строго монотонной (убывающей), то исследуемая функция имеет единственную экстремальную точку - глобальный минимум.

В п. 3 рассмотрен случай линейных функций затрат и линейной функции задержки поставки, функции затрат задаются формулами (7), (8), h(ax)= h0ax -длительность задержки поставки, h0>0.

Явная формула для оптимального решения задачи записана ниже.

t»_ г Й±£.

a(l + ah0)\ s

В п. 4 вводится доход от реализации продукта и рассматривается функционал удельной средней прибыли.

Цена единицы продукта, имеющегося в системе в момент времени V.

т-

Условный доход:

£>(t + h(at)) =

g,(r-ot), если 0<t + h(at)<—,

а

х

g2 (г - at), если — < t+h(et) <

I-ПК«)

0St + h(at)<-, а

a J g,(r-ax)i&,

о

'A t+«<n)

a jgl{T-ax)dx + a j g2(r-ax)dxy — St + h(at) <oo.

Экстремальная задача для рассматриваемого варианта модели выглядит следующим образом.

П(0 (■)) = >

¡D(t+h(at))dG(t) - + h(at))JG(/)

J(t + h(at))£/G(0

► max,

С(>Л

(23)

где А(г+Ъ(аф определена в (19), Л - множество функций распределения неотрицательных случайных величин, на которых определен функционал П(0()).

В силу выполнения условий теоремы об экстремуме дробно-линейного функционала

maxn(G(-)) = max II(G(0) = max Sir),

С()6Л С0«л" />0

(24)

где 5(i) =

Ithfat) t+h(«)

a Jg,(x-ctx)dx- Jc,(t-ax)dx

о_о_

t + h(at)

a Jg,(r-ax)iü:+ <z jg3(r-ax)äx- jc,(T-ax)dx- Jc2(x-ax)dx

% 0 %

t: 0<t + h(at)i-, а

, /:-<t + h(at)<°o. а

Основньм теоретическим результатом для поставленной экстремальной задачи является следующее утверждение.

Теорема 8

Пусть ci(x), С2(х), gi(x), g2(x) - неотрицательные дифференцируемые функции, cj(x) не убывает, определена для х>0, Cj(x)=0 длях<0; с2(х) не возрастает, определена для х<0, с2(х)=0 для х>0; с2(0)=0; gi(x) не возрастает, определена для х s[0, т), g2(x) не убывает, определена для хе(-аа, 0], Si (0) ~g2Î=gi°)>0, eR, h(at) - неубывающая неотрицательная дифференцируемая функция от t. Пусть также lim с2(х) = +оо, lim g2(x) = g('),g(") £0.

Х-+-«0 к-»-00

Тогда:

решение экстремальной задачи (24) существует и удовлетворяет уравнению

У* i+Kffl)

ag2 (х - a(t + h(at))) ■ (I + /¡(at)) - a Jg, (x - ax)dx - Jg2(x - ax)dx -

%

Уа 1+КЯ)

- c2 (x - a(t + h(at))) • (< + /¡(at)) + Jc, (x - ax)dx + jc2 (x - ax)dx = 0 ■ (25)

» X

причем данное решение существует, принадлежит интервалу

f. — <: t + h(at) < œ j a

если же функция с2(х) или функция g2(x) является строго монотонной (убывающей или возрастающей соответственно), то экстремальная точка функции S(t) является единственной, и в ней функция достигает глобального максимума.

Для линейного варианта задания основных характеристик модели (см. явные формулы ниже) в п. 5 получены выражения для оптимального управления.

Функции затрат и задержки поставки:

с2(х) = { х > 0 , h(ax)= hoax, р, s, h0>0.

рх, *>0

q« =

Цена единицы имеющегося объема продукта: P(i)

-k(r-at)+b, если 0<t+h0at<—,

a

m(r-at) + b, если — 5t + h0at<a>, k,m^0.

Решение задачи:

t т

'2' 2>a(l + h0a)' -4отг(И-Ь0ог)±л/р

т х '■» - 2a(s + ma)(l + h0ar)2 *2 S

a(l + h0a)' 2 a(l + h0a)' D = (4amr(l + h0a))2+4a(ï+ma)(l+h0a)2(i:r2 + mr2+—(p+s)|.

а

В п. 6 теорема 8 применена для функционала прибыли, когда функции, определяющие цену продукта, имеют экспоненциальный характер.

Специальный случай, когда задержка поставки является постоянной вели-

чиной, рассматривается в п. 7. Для функционала затрат, при q(x)

_Í0,x<0 ~\px,x>0'

с2(х) = j >< g' h(ax)=ho, р, s, ho>0, получена формула для оптимального

управления: /* =— Для функционала прибыли, где функции, описы-

а V s

вающие доход в единицу времени, описываются системой (26). ?(/) =

к, Ь>0, оптимальное управление имеет следующий вид:

gi(0 g¿0~

1

- k(r - at) + b, если 0 ^ t + h0 < —

(26)

b, если — й t + h0 <œ a

. /kr2 r2 4 s a

as

Предположим теперь, что задержка поставки продукта, т. е. временной интервал от момента заказа на пополнение продукта до момента поставки на склад, является случайной величиной с заданным вероятностным распределением. Пусть £ - случайное время задержки поставки, (2(г): Р{£<г}={2(2) - функция распределения данной случайной величины £ пусть распределение задержки ()(г) не зависит от объема заказа. Такой вариант модели исследуется в п. 8.

Функционал средних удельных затрат представляется выражением (27).

С(0(.)) = ^-. (27)

А{ о =

f [ fe,(т-ax)dx]dQ(z), 0<t<-;0<z<—/

о о a a

К

{

%

05 /в t+z ^ ^ í [ fe, (т - ax)dx + fc2 (т - ax)dx]dQ(z), О < t < —; z > — /

¿ • к a a

(28)

f[ Jc,(t—ax)dx + Jej(r-ax)dx]dQ(z), í>—;z>0

O O 1/ a

/а

Экстремальная задача для поиска оптимального управления записана ниже.

C(Gf-))~*wm (29)

СОЛ

Для дробно-линейного функционала C(G(-)) можно записать равенство (1.8.4).

min C(G(-)) = min C(G(-)) = min/(/), (30)

с()«л с(-)«л' i>o

A(t)

где функхщя I(t) имеет вид /(/) = ——.

/+ Jzq(z)dz

о

Для экстремальной задачи (30) получено необходимое условие экстремума.

Второй параграф посвящен проблеме управления запасом непрерывного продукта при непрерывном потреблении в условиях наличия дополнительных затрат.

Полагаем, что через время х после очередного пополнения запаса, когда будет израсходовано ах единиц продукта, стоимость поставки данного объема будет составлять величину С}(ах), где с3(-) - заданная функция.

Будем предполагать также, что общая стоимость поставки, связанная с ее текущей ценой и объемом, будет накапливаться в течение периода задержки поставки. Общая цена поставки

/+Л(вг) 13 = |сэ

I

Суммарные затраты на периоде регенерации:

| с,(т-ах)йх+ |с,(ах)<к.

A(t + h(at)) =

/: 0<t + h(ot)<—, а

/а т+п((Л|

jc,(T-ax)dx+ Jcj(t-ax)dx+ Jc,(ax)dx, Г: — <t + h(at)<oo.

C(G(0) =

jA(t + h(at))dG(t) 0 _

](t + h(a/))dG(t) 0

/(/)-> min,

► min •

С()еЛ

где/(/) =

t+b(at}

t+b(at)

J c,(T-ox)dx+ |cj(ox)dx

_0_t_

/ + h(at)

Уа t+h(et) t+h(at)

|c,(x-ax)dx+ Jc2(t-ax)dx+ jc3(ax)dx 0 Ya '

/: 0<t + h(at)< —, а

, /:-St+h(at)<°o. а

(31)

1 + И(сЛ)

Сформулировано и доказано основное теоретическое утверждение, характеризующее область поиска решения экстремальной задачи (31).

Теорема 9

Пусть Cj(x), С2(х), с3(х) - неотрицательные дифференцируемые функции, cj(x) не убывает, определена для х>0, С](х)=0 для х<0; с2(х) не возрастает, определена для х<0, с2(х)=0 для х>0; сз(х) не убывает, определена для х>0, сз(х)=0 для х<0; h(at) - неубывающая неотрицательная дифференцируемая функция от

t, причем А(0)= lim h(A)<—. Предположим далее, что выполнены следующие усл. /+h(at)

ловия: lim с2(х) = -юо, и существует такое число i, >t0, что функция ----

|c3(ax)dx

о

является монотонно неубывающей при t>t't.

Обозначим через t\ > t0 такое значение параметра t, что

Cj (т - a(t+h(at)) > с, (x) при ttt'2. Тогда функция I(t) достигает глобального минимума в некоторой точке t=t, принадлежащей замкнутому конечному интервалу значений параметра t,

Q<i <t'0, где величина t'0 определяется соотношением t'„ =max(/,', t\).Значение *

î является корнем уравнения

t+h(<a)

( 1 + ah'(at)Xc,(T - a(t + h(at))) • (t + h(at)) - Jcl(т - ax)dx] +

о

t+h(et) I

+ (l + ah'(at))-[ca(a(/ + h(m)))(/ + h(ot))- j* c3(ax)dx + je, (ax)dx]- c3(oi)-(î + A(crt)) = 0, если

о 0

OSf'</0,

либо удовлетворяет уравнению

( 1 + ah'(at))• [сj(x-a(t + h(at)))(/ + ft(at))- jc,(x-ax)dx - jc2(x-ax)dx] +

%

t+h(at)

+ (1 + ah'(at)) • [c j (a(t+h(at)))(/+h(at)) - jc3 (ax)dx]+

t

>- (1 + ah'(at)) Jc3 (ax)dx - c3 (at)(t + h(at)) = 0, если l0

¿t <t„

Во втором пункте отдельно исследован случай, когда функции, определяющие величины затрат, штрафов и длительности задержки поставки, носят линейный характер. Именно:

И(сос) = И0ах, где р,г,5,^>0- заданные положительные числа. Оптимальное управление в данном варианте модели определяется следующей системой: Т если(р-г)(1 + <*о)2+г>0, Т

I =

a(l + ûh0)' a(l + £di0)'

x

t°, есля(р-г)(1 + <&ау +r>0, t" >

a(I + ah0)'

{t:Q<t< -T , ■ >, ecm(p-r)(l + ah0)2 +r = 0, t° < T ,

a(l + ah0) a(l + ah0)

0, если(,р-0(1 + аЬ„)2 + r<0, t° <. X

а(1 + <*„)'

0, если(р-г)(1 + аЬ„)2 +г<0, >---,/(Г)2рг,

а(1 + <й0)

если(р~г)(1 +аЬ„)2 +г<0, Г > ■ ь - Дг°)<рг,

а(1 + ст0)

где/»=1|-

а\(*+г)(1+аЬ0)2-г

В следующем пункте подробно исследуется случай, когда функции с^х), С2(х), с}(х), определяющие величины затрат и штрафов, задаются формулами (32), а длительность задержки поставки является постоянной величиной:

И(са)=ко, х>0; р, г, х, А0 - заданные положительные числа. Явное решение задачи записано в виде системы равенств, определяющих оптимальные значения параметра управления для различных вариантов соотношений между характеристиками модели.

По аналогии с § 3 главы 2, в § 3 данной главы предложен ряд числовых примеров, на которых проиллюстрирован алгоритм поиска решения для введенных ранее в этой главе моделей. Для сравнения решения получены как из теоретических результатов, так и посредством непосредственной оптимизации соответствующих функционалов.

В заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

■ Постановка задачи управления запасом в модели с мгновенной поставкой. Построение целевых функционалов. Теорема о существовании и единственности решения. Анализ частных случаев. Аналитические решения для функционала прибыли при линейных затратах и линейном доходе.

■ Постановка задачи управления запасом в модели с прекращением потребления в период поставки и случайной длительностью задержки поставки. Экстремальная задача для функционала затрат. Теорема о существовании решения. Формулы для оптимального управления в линейном случае. Анализ функционала прибыли.

■ Постановка задачи управления запасом в модели с продолжением потребления в период поставки. Теоремы существования и единственности решения экстремальной задачи для функционалов удельных средних затрат и удельной средней прибыли. Аналитические решения для линейного варианта модели.

■ Исследование модели с продолжением потребления при наличии дополнительных затрат. Теорема о характеризации области поиска решения для соответствующей экстремальной задачи. Явные выражения для оптимальных управлений в линейных вариантах данной модели, в том числе при фиксированной задержке поставки.

■ Анализ численных примеров, иллюстрирующих полученные теоретические результаты.

Автор искренне благодарен своему научному руководителю доценту Шнур-кову П.В. за постановку задачи, постоянную поддержку и участие в обсуждении работы.

Список работ соискателя по теме диссертации

1. Р.В, Мельников. Анализ стохастической модели регенерации в проблеме управления запасом непрерывного продукта // Внутривузовский сборник. Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. - М.:МИЭМ, 2005. - С. 16 - 18.

2. П.В. Шнурков, Р.В. Мельников. Оптимальное управление запасом непрерывного продукта в модели регенерации // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2006. - Т. 13. - №. 3. - С. 434 - 452.

3. Р.В. Мельников. Модель регенерации в проблеме управления запасом нефтепродукта // Внутривузовский сборник. Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. -М.-.МИЭМ, 2007. - С. 381 - 382.

4. Р.В. Мельников. Исследование проблемы управления непрерывным запасом для функционала затрат // Внутривузовский сборник. Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. - М.:МИЭМ, 2008. - С. 402 - 403.

5. П.В. Шнурков, Р.В. Мельников. Исследование проблемы управления запасом непрерывного продукта при детерминированной задержке поставки // Автоматика и телемеханика.-2008. - №. 10.-С. 93 -113.

6. Г1.В. Шнурков, Р.В. Мельников. Оптимальное управление запасом непрерывного продукта по отношению к функционалу средних удельных затрат // IX Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия). Тезисы докладов. Обозрение прикладной и промышленной математики. - Москва, 2008. - Т. 15. - №. 6. - С. 1146 - 1147.

7. П.В. Шнурков, Р.В. Мельников. Оптимальное управление запасом непрерывного продукта по отношению к функционалу средней удельной прибыли // Седьмая Международная Петрозаводская конференция "Вероятностные методы в дискретной математике". Научные доклады. Обозрение прикладной и промышленной математики. - Москва, 2009. - Т. 16. - №. 1. - С. 99 - 100.

Подписано к печати " 13 " апреля 2010 г. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии МИЭМ. Москва, ул. М. Пионерская, д. 12. Заказ № 65 . Объем 1,0 п.л. Тираж 100 экз.

Введение.

Глава 1. Обзор и анализ литературных источников по теме исследования

§ 1. Классические модели теории запасов.

1. Управление запасом при детерминированной постоянной интенсивности спроса.

2. Однопродуктовая модель с постоянной интенсивностью спроса и поставок.

§2. Обзор современных результатов.

1. Моделирование двух стратегий в системе управления запасом со случайными задержкой и спросом.

2. Стохастическая модель управления запасом с учетом портящихся товаров.

3. Стохастические модели управления запасом с непрерывным пуассоновским спросом для функционала средних затрат в условиях наличия дисконта.

4. Математическая модель управления запасами при случайном сезонном спросе и ненадежных поставщиках.

5. Определение вероятностных характеристик полумарковских моделей с положительным и отрицательным сносами.

6. Краткие обзоры современных результатов.

Глава 2. Управление запасом непрерывного продукта с прекращением потребления на время поставки.

§ 1. Модель регенерации с мгновенным пополнением запаса.

1. Постановка задачи и параметры модели.

2. Необходимые результаты из теории дробно-линейных функционалов.

3. Определение функционала затрат.

4. Постановка экстремальной задачи.

5. Существование и единственность решения.

6. Случай линейных функций затрат.

7. Анализ функционала прибыли и линейных затрат.

8. Исследование функционала прибыли при наличии затрат на пополнение запаса.

9. Интегральная прибыль.

§ 2. Модель регенерации со случайным временем задержки поставки.

1. Постановка задачи и параметры модели.

2. Определение функционала затрат.

3. Постановка экстремальной задачи.

4. Существование решения.

5. Случай линейных функций затрат.

6. Исследование функционала прибыли и линейных затрат.

7. Интегральная прибыль.

§ 3. Расчет оптимальных управлений для некоторых числовых примеров.

Глава 3. Модели с непрерывным потреблением продукта.

§ 1. Управление запасом непрерывного продукта в модели с детерминированной задержкой поставки.

1. Описание математической модели.

2. Оптимальное управление по функционалу средних удельных затрат.

3. Случай линейных функций затрат и линейной функции задержки поставки.

4. Анализ функционала прибыли.

5. Линейный вариант задания основных характеристик модели.

6. Экспоненциальные функции цены и линейные затраты при линейной задержке.

7. Постоянная функция задержки.

8. Продолжение потребления и случайная задержка.

§ 2. Управление запасом непрерывного продукта в модели с непрерывным потреблением при наличии дополнительных затрат с детерминированной задержкой поставки.

1. Результаты для общих функционалов.

2. Оптимальное управление в линейном варианте модели.

3. Оптимальное управление при линейных затратах и фиксированной длительности задержки.

§ 3. Расчет оптимальных параметров управления для некоторых числовых примеров.

По мере развития экономических и торговых взаимоотношений все большую актуальность принимают логистика и оптимальное управление имеющимися ресурсами или продуктами. При нынешних масштабах розничной и оптовой торговли оптимальное управление запасом играет ключевую роль в функционировании того или иного крупного торгового предприятия и оказывает значительное влияние на политику ценообразования. Нерациональное использование имеющихся технологических и производственных мощностей может привести к повышению издержек, а, следовательно, к повышению цен на продукцию, что, в свою очередь, ведет к потере конкурентоспособности продукции данного предприятия. Таким образом, принятие верных управляющих решений при выработке стратегии управления запасом является необходимым условием эффективного функционирования торгового предприятия.

В настоящем исследовании предлагается рассмотреть ряд моделей функционирования товарного склада, на котором хранится непрерывный продукт. В роли такого продукта могут выступать нефть, горюче-смазочные материалы, газ, вода, зерно и т. п. Экономика России сейчас сильно зависит от экспорта нефти и газа, что определяет значимость исследования подобной тематики. Кроме того, поставки указанных продуктов имеют большое значение и на внутреннем рынке. Таким образом, существует объективная необходимость в исследовании такого рода моделей.

В качестве экономического примера базовой модели из исследуемых в настоящей диссертации можно предложить следующую систему.

Предположим, что исследуемая система представляет собой нефтехранилище, способное вместить т тонн горючих материалов. Эти материалы равномерно поступают на пункты потребления (например, по трубопроводу). Пусть в единицу времени (час) покупателям отправляется а единиц (тонн) продукта. Весь запас хранится в резервном хранилище (например, в целях безопасности), из которого и поступает запас на наше нефтехранилище. Считаем, что запас в резервном хранилище неисчерпаем (т. е., всегда пополняется быстрее, чем расходуется). Управление нефтехранилищем заключается в выборе момента, в который следует пополнить запас горючих материалов в нефтехранилище из резервного хранилища. Заметим, что при этом рассматривается не только детерминированный вариант управления запасом, т. е. пополнение запаса через фиксированное время t с вероятностью, равной единице, но и тот случай, когда в качестве периода времени, через которое следует производить заказ на поставку новой партии продукта, выступает реализация некоторой случайной величины.

Кроме того, здесь предполагается, что вполне естественно, что время пополнения запаса зависит от размера заказа, т. е., если щ— время, через которое дается заказ на поставку, то запас пополнится до уровня г через время, равное щ+ho, ho - задержка поставки в часах, причем величина ho зависит от объема заказа.

Будем предполагать, что существуют объективные причины, по которым потребление продукта во время пополнения запаса, т. е. в период задержки, должно быть прекращено. Например, если для поставки нефтепродукта используется часть трубопровода, который служит для отправки его потребителю, то естественно, что на время поставки потребление запаса из хранилища прекращается. Данному варианту соответствует математическая модель, исследованная в § 2 главы 2.

Вариант, когда потребление из хранилища продолжается на время поставки новой партии горючих материалов, также учитывается в настоящей работе, такие условия функционирования системы рассматриваются в моделях, изложенных в главе 3.

Предположим далее, что хранение одной единицы (тонны) продукции обходится в р условных единиц в единицу времени (час). Эти затраты могут быть связаны, например, с поддержанием необходимой температуры горючего материала в резервуаре, увеличением страховых взносов с ростом объема материала и т.п. В случае, если хранилище опустело, потребление продолжается из некоторого вспомогательного хранилища, уплачивается штраф в размере s условных единиц в единицу времени (час), а недостаток продукта будет восполнен в момент пополнения запаса. Величины р и s, вообще говоря, могут зависеть от объема хранящейся продукции или ее дефицита соответственно.

После пополнения запаса до первоначального уровня т потребление продукта возобновляется, дальнейшее поведение системы происходит независимо от прошлого и по тем же закономерностям, которые были описаны ранее. Критериями качества управления будут служить средние удельные затраты или средняя удельная прибыль на интервале регенерации, т. е. на периоде времени между последовательными пополнениями объема запаса до уровня т.

Отметим, что также могут быть рассмотрены другие распространенные примеры приложений, аналогичные вышеприведенному, такие как АЗС в случае наличия постоянного спроса на бензин, управление водохранилищем, обеспечивающим водой населенные пункты, управление оптовым складом зерновых культур и т. п.

Кроме того, предложенные математические модели могут быть рекомендованы к использованию в крупных торговых сетях, где при большом уровне запасов перечисляемые продукты можно рассматривать в непрерывном контексте.

Цель исследования заключается в получении условий на характеристики системы, при которых существует оптимальная стратегия управления запасом, а также соотношений для ее определения в каждой из рассматриваемых моделей.

Заключение

Итак, перечислим основные результаты проведенного исследования.

1) Постановка задачи управления запасом в модели с мгновенной поставкой. Построение целевых функционалов. Теорема о существовании и единственности решения. Анализ частных случаев. Аналитические решения для функционала прибыли при линейных затратах и линейном доходе.

2) Постановка задачи управления запасом в модели с прекращением потребления в период поставки и случайной длительностью задержки поставки. Экстремальная задача для функционала затрат. Теорема о существовании решения. Формулы для оптимального управления в линейном случае. Анализ функционала прибыли.

3) Постановка задачи управления запасом в модели с продолжением потребления в период поставки. Теоремы существования и единственности решения экстремальной задачи для функционалов удельных средних затрат и удельной средней прибыли. Аналитические решения для линейного варианта модели.

4) Исследование модели с продолжением потребления при наличии дополнительных затрат. Теорема о характеризации области поиска решения для соответствующей экстремальной задачи. Явные выражения для оптимальных управлений в линейных вариантах данной модели, в том числе при фиксированной задержке поставки.

5) Анализ численных примеров, иллюстрирующих полученные теоретические результаты.

1. Алиева Т.А. Изучение граничного функционала от процесса полумарковского блуждания // Извест. AHA, серия физ.-тех.мат.наук. 2000. - Т. 20. -№ 2-3. - С. 144-147.

2. Алиева Т.А. Исследование граничного функционала процесса полумарковского блуждания с положительным сносом и параметром // Труды Респ. науч. конф. «Современные проблемы информатизации, кибернетики и информационных технологий». Баку. - 2003. - С. 45-47.

3. Алиева Т.А. Определение вероятностных характеристик полумарковских моделей с положительным и отрицательным сносами // Известия национальной академии наук Азербайджана. Серия физико-технических и математических наук. 2004. - № 2. - С. 236-239.

4. Афанасьева Л.Г., Булинская Е.В. Случайные процессы в теории массового обслуживания и управления запасами. М.: Изд-во МГУ, 1980.

5. Барзилович Е.Ю, Каштанов В.А. Некоторые математические вопросы теории обслуживания сложных систем. М.: Советское радио, 1971.

6. Булинская Е. В. Оптимальное управление запасами в случае выпуклой функции платы за заказ // ТВП. — 1967. Т. 12. - № 1. - С. 11-23.

7. Булинская Е. В. Некоторые задачи оптимального управления запасами // ТВП. 1964. - Т. 9. - № 3. - С. 431^147.

8. Булинская Е. В. О пересечении высокого уровня некоторым классом случайных процессов с дискретным временем // Фундамент, и прикл. матем. -1995.- Т. l.-№ 1.-С. 81-107.

9. Домбровский В.В., Чаусова Е.В. Математическая модель управления запасами при случайном сезонном спросе и ненадежных поставщиках // Вестник томского государственного университета. 2000. - № 271. - С. 141146.

10. Потоцкий В.А., Мандель А.С. Модели и методы управления запасами. М.: Наука, 1991.

11. Мельников Р.В. Модель регенерации в проблеме управления запасом нефтепродукта // Внутривузовский сборник. Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. М.: МИЭМ, 2007. - С. 381-382.

12. Мельников Р.В. Исследование проблемы управления непрерывным запасом для функционала затрат // Внутривузовский сборник. Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. М.: МИЭМ, 2008. - С. 402-403.

13. Прабху А. Методы теории массового обслуживания и управления запасами. Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1969.

14. Рубальский Г.Б. Управление запасами при случайном спросе (модели с непрерывным временем). М.: Советское радио, 1977.

15. Рыжиков Ю.И. Теория очередей и управление запасами. СПб.: Питер, 2001.

16. Рыжиков Ю.И. Управление запасами. М.: Наука, 1969.

17. Рыков. В.В. Регенерирующие процессы с вложенными периодами регенерации и их применение при исследовании приоритетных систем массового обслуживания // Кибернетика. — 1975. № 6.

18. Рыков В.В. Исследование одноканальной системы общего вида методом регенерирующих процессов. I // Изв. АНСССР. Технич. киберн. 1983. - № 6. - С. 13-20.

19. Рыков В.В. Исследование одноканальной системы общего вида методом регенерирующих процессов. II: Исследование основных процессов на периоде регенерации // Изв. АНСССР. Технич. киберн. 1984. - № 1. С. 126132.

20. Рыков В.В., М.А. Ястребенецкий. О регенерирующих процессах с несколькими типами точек регенерации // Кибернетика. 1971. - № 3. - С. 8286.

21. Саати T.JI. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. М.: Советское радио, 1971.

22. Хедли Д., Уайтин Т. Анализ систем управления запасами. Пер. с англ. М.: Наука, 1969.

23. Шнурков П.В., Мельников Р.В. Оптимальное управление запасом непрерывного продукта в модели регенерации // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2006. - Т. 13. - №. 3. - С. 434-452.

24. Шнурков П.В., Мельников Р.В. Исследование проблемы управления запасом непрерывного продукта при детерминированной задержке поставки // Автоматика и телемеханика. 2008. - № 10. - С. 93-113.

25. Вопросы математической теории надежности. Под ред. Б.В. Гнеден-ко. М.: Радио и связь, 1983.

26. Aggoun L., Benkherouf L., Tadj L. On a stochastic inventory model with deteriorating items // IJMMS. 2001. - V. 25. - № 3. - P. 197-203.

27. Darwish M.A. Joint determination of order quantity and reorder point of continuous review model under quantity and freight rate discounts // Computers & Operations Research. 2008. - V. 35. - № 12. - P. 3902-3917.

28. He X. J. The impact of stochastic lead time: the mean or the variance // Proceedings of the International MultiConference of Engineers and Computer Scientists March 18-20, 2009, Hong Kong: IMECS, 2009. P. 2076-2080.

29. Kopytov E., Greenglaz L., Muravyov A., Puzinkevich E. Modelling of two strategies in inventory control system with random lead time and demand // Computer Modelling and New Technologies. 2007. - V.l 1. - №. 1. - P. 21-30.

30. Lee J., Schwarz L.B. Leadtime management in a periodic-review inventory system: A state-dependent base-stock policy // European Journal of Operational Research. 2009. - V. 199. - № 1. - P. 122-129.

31. Lo M. Economic ordering quantity model with lead time reduction and backorder price discount for stochastic demand // American Journal of Applied Sciences. 2009. - V. 6. - № 3. - P. 387-392.

32. Olsson F. Optimal policies for inventory systems with lateral transshipments // International Journal of Production Economics. 2009. - V. 118. - № 1. — P. 175-184.

33. Olsson R.J., Hill R.M. A two-echelon base-stock inventory model with Poisson demand and the sequential processing of orders at the upper echelon // European Journal of Operational Research. 2007. -V. 177. - № 1. - P. 310-324.

34. Presman E., Sethi S.P. Inventory models with continuous and poisson demands and discounted and average costs // Production and Operations Management. 2006. - V. 15. - № 2. - P. 279-293.

35. Rykov V.V., Jolkoff S. Yu. Generalized regenerative processes with embedded regeneration periods and their applications // MOS. Ser. Optimization. -1981.-V. 12. -№4.-P. 575-591.

36. Silver E.A., Руке D.F., Peterson R. Inventory management and production planning and scheduling. New York: John Wiley & Sons, Inc, 1998.

37. Ting P., Hou K., Chung K. An accurate and reliable solution algorithm for the (Q, r) inventory system with a fixed shortage cost // Mathematical and Computer Modelling. 2009. - V. 49. - № 1-2. - P. 128-135.

38. Xiaoming Y., Ke L. An inventory system with two suppliers and default risk // Operations Research Letters. 2009. - V. 37. - №. 5. - P. 322-326.

39. Zhao Y. Analysis and evaluation of an assemble-to-order system with batch ordering policy and compound Poisson demand // European Journal of Operational Research. 2009. - V. 198, № 3. - P. 800-809.У