Исследование распространения и локализации волн в слоистых системах

Мерзликин, Александр Михайлович

Исследование распространения и локализации волн в слоистых системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.13 ВАК РФ

Мерзликин, Александр Михайлович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2003 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.13 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Исследование распространения и локализации волн в слоистых системах»

Автореферат диссертации на тему "Исследование распространения и локализации волн в слоистых системах"

РОССИЙСКАЯ АКЛДЕМИЯ НАУК ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР

ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ И ЛОКАЛИЗАЦИИ ВОЛН В СЛОИСТЫХ СИСТЕМАХ

Специальность 01.04.13 - электрофизика

АВТОРЕФЕРАТ диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Мерзликин Александр Михайлович

Москва - 2003

Работа выполнена в Институте теоретической и прикладной электродинамики Объединенного института высоких температур РАН

Научные руководители: кандидат физико-математических наук

А. П. Виноградов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

А. Л. Хомкин

кандидат физико-математических наук Б. А. Аронзон

Ведущая организация Институт радио электроники РАН

Москва

Защита состоится « Л »к 2003 г. в часов на заседании

Диссертационного совета Д 002.110.01 при Объединенном институте высоких

температур РАН по адресу:

127412, Москва, Ижорская 13/19, ОИВТ РАН

Fax: 485-99-22

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОИВТ РАН

Автореферат разослан « » c-gf~t^2003 г.

Ученый секретарь J

Диссертационного совета Д 002.110.01 L/^

к. ф. -м. н А- Кунавин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Задачи, рассматриваемые в диссертации, касаются проблемы распространения электромагнитных волн в неоднородных средах. Общепризнанно, что в случае, когда масштаб неоднородности меньше длины волны, то распространение электромагнитных волн можно описывать при помощи материальных уравнений Максвелла, в которые входят эффективные параметры. Нахождение эффективных параметров, так называемая теория гомогенизации, обычно сводится к получению формул смешения, связывающих свойства среды и эффективные параметры. В подавляющем числе случаев рассматривается потенциальное взаимодействие полей с неоднородностями (статическое или квазистатическое приближение). Однако для удовлетворения запросов современной. техники необходимо рассматривать случаи непотенциального взаимодействия (искусственные магнетики, киральные материалы, среды Веселаго, и т.п.). Данная диссертация посвящена исследованию влиянию эффектов непотенциальности (интерференции) на макроскопические свойства неоднородных (слоистых) сред.

Существенной особенностью рассматриваемой проблемы, отличающей ее от статики, где поля всегда потенциальны, является ее многомасштабность. Если в статике мы имеем только масштаб неоднородности £ и размер системы Ц и все величины зависят от их безразмерного отношения, то в случае переменных полей, появляется дополнительный масштаб - длина волны Я. Поведение системы начинает зависеть от соотношения между этими тремя параметрами. В частности, даже в случае малости геометрического размера флуюуаций по сравнению с длиной волны все величины зависят от соотношения меаду размером системы и длиной волны.

Действительно, в работах Татарского [1] и Бреховских [2] было показано, что даже в случае если в системе нет диссипации энергии, эффективная диэлектрическая проницаемость обладает мнимой частью (е^). Мнимая часть диэлектрической проницаемости описывает

перекачку энергии из когерентной составляющей волны в диффузионную. До тех пор пока ЫХ<Уе^, преобладает когерентная

составляющая и композит можно описывать, как однородный, с помощью эффективных параметров.

В области, где ЫХ>\1е# когерентная часть электромагнитной

волны становиться меньше диффузионной составляющей и описание распространения волн материальными уравнениями Максвелла с какими-либо эффективными материальными параметрами становиться невозможным. В этой области распространение энергии электромагнитного поля описывается уравнением диффузии. Из-за поправок связанных с обратным когерентным рассеянием коэффициент диффузии (О), являясь мезоскопический величиной, уменьшается с ростом размера системы и в ряде случаев может стремиться к нулю [3]. Это явление связывается с андерсоновской локализацией. При локализации, электромагнитное поле, распространяясь в случайной системе, экспоненциально затухает. Характерный масштаб этого экспоненциального затухания называется длиной локализации Ь^.

Хотя вышеописанная картина общепринята, она обладает внутренним противоречием: она хороша для 2-х и 3-х мерных систем, но ее трудно применить к одномерным (слоистым) системам, где сложно различать когерентную и диффузную составляющие излучения (в пределах одного слоя поле всегда когерентно). Тем не менее, именно для одномерного случая, получены основные математически строгие результаты, приведшие к формированию этой картины [4, 5].

Данная диссертация посвящена изучению взаимодействия электромагнитного поля с 1-мерной неупорядоченной системой и построению физической интерпретации известных строгих математических теорем.

В качестве реализации одномерных сред в диссертации рассмотрены немагнитные слоистые системы, описываемые локальными значениями диэлектрической проницаемости. Предполагается, также, что волновой вектор перпендикулярен слоям (нормальное падение).

Целью данной работы является: во-первых, теоретическое исследование возможности гомогенизации уравнений Максвелла для одномерных сред, как случайных, так и периодических; во вторых, выяснение причин возникновения локализации и построение физической картины локализации; в третьих, исследование существования (выяснение необходимых и достаточных условий) высокочастотного предела длины локализации.

Научная новизна и практическая ценность. Впервые показано, что вне статического приближения одномерной среде нельзя приписать никакую эффективную диэлектрическую и магнитную проницаемость. Путем компьютерного моделирования и аналитически показано, что эти

эффективные параметры зависят от размера системы и разброс их значений для разных может быть сколь угодно большим.

Построена зонная теория локализации света в одномерных неупорядоченных системах. Впервые показано, что локализация обусловлена эффектом брэгговского отражения, а вовсе не эффектом когерентного обратного рассеяния или рандомизацией фазы, и может быть описана как тотальный рост меры ассоциированных запрещенных зон. Локализованные состояния в бесконечной неупорядоченной системе соответствуют разрешенным состояниям ассоциированной зонной структуры, имеющим меру ноль и характеризующихся нулевой групповой скоростью. Таким образом, локализация означает, что частоты либо принадлежат к запрещенным зонам либо, соответствуют состояниям с нулевой групповой скоростью. Показано, что эффект локализации обусловлен случайной организацией в системе специфических частей - брегговких отражателей.

Впервые найдены необходимые и достаточные условия существования высокочастотного предела (теорема Хуберта-Джоноса-Таулеса) длины локализации в случайной одномерной слоистой среде. Показано, что высокочастотный предел существует лишь в системах, где диэлектрическая проницаемость может принимать любые значения из какого-либо интервала.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав. Первая глава посвящена возможности учесть запаздывание при нахождении эффективных материальных параметров - % и

Вторая глава посвящена изучению высокочастотного предела длины локализации электромагнитных волн в неупорядоченных одномерных (слоистых) средах. Третья глава посвящена исследованию физических причин возникновения локализации электромагнитных волн в неупорядоченных системах и построению зонной теории локализации. Работа изложена на ¿^страницах, содержит -^ рисунков и список литературы, насчитывающий ?.Т наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава посвящена теоретическому исследованию гомогенизации уравнений Максвелла для одномерных сред в длинноволновом приближении, когда период или корреляционная длина (1 много меньше длины волны к. В случае неупорядоченных сред вторым условием является малость размера системы I. по сравнению с длинной локализации ь^.

Для переменных полей решение задачи о нахождении эффективных параметров было дано Рытовым [6-8] для случая бесконечной периодической среды, состоящей из слоев с проницаемостями £„ ^ и е2, ¡л2. По прошествии многих лет работы

Рытова стали классическими, породив целое направление, посвященное гомогенизации одномерных сред различной природы [9-11]. Однако все эти работы, как и пионерские работы Рытова, дают результаты, затрудняющие их физическую интерпретацию: даже для чисто действительных локальных значениях диэлектрической проницаемости % и являются комплексными величинами. Более того, либо

либо ц^ имеет отрицательную мнимую часть.

Для того чтобы придать физический смысл каждой из восприимчивостей, и отождествить отрицательную мнимую часть, скажем для определенности у с усилением излучения, необходимо

поместить образец в пучность магнитного поля, где величиной электрического поля можно пренебречь. Такой эксперимент можно провести лишь с конечной системой, а не с бесконечной, рассмотренной Рытовым.

В данной главе была снята идеализация бесконечности системы и рассмотрены конечные системы. Эффективные параметры определялись в ходе численного эксперимента согласно волноводному методу [12,13]. При этом величины е и ц определяют по

коэффициентам прохождения t и отражения г падающей волны1 [14]. Предположив, что образец состоит из однородного материала с показателем преломления = к^/к0 - и характеристическим

адмитансом у^ =МХт, где Ъ^ - характеристический

импеданс, для нормального падения плоской волны имеем

у _ /а-о2-*2 с'к«ш-

= + • 1/г^+г/ге//+1-г(1)

По отношению к изменению направления падения волны на противоположное, для периодической системы, существует два принципиально разных случая: количество слоев четно (целое число периодов, система несимметрична); количество слоев нечетно (полу целое число периодов, система симметрична)

1 Так мы будем интересоваться оптически толстыми образцами, то мы не рассматриваем классический метод

короткого замыкания - холостого хода, дающий надежные результата лишь при оптической толщине порядка одной пятой длины волны.

системы, а осциллирует с периодом 0.5ХчГ=л/к^ (рис.2). Величины и /¿ф, будучи функциями, как так и 7^, проявляя

комбинированное поведение, не стремятсь к какому либо пределу при

о--1--г-

-з-

■4-

<ч>

1!» ' ^

6У ч

/ V

их..

«м»

0£

1.0

1Л

Рис. 1

Зависимость Зп-п^-п^ от

Рис. 2

Зависимость 57 = У^ - 7^* от

толщины системы. Сплошная кривая - Яе(5У), пунктир - Ьп(57)

для четного случая. Параметры:

е,=2,е2=ЗД0^=0.01.

толщины системы. Сплошная кривая - Ые(5и), пунктир - 1ш(5и)

для четного случая, точечная кривая 8п для нечетного случая. Параметры: ^ =2,с2 =3,к0с!=0.01.

В случае, когда число слоев нечетно, п^ действителен и стремится к рытовскому значению (Рис. 1). 7^ также действителен,

но в отличие от испытывает периодические всплески различной

амплитуды (Рис. 3). Амплитуда всплесков не затухает с ростом I. Следствием такого поведения является то, что ее# и могут сколь

угодно отличаться от рытовского решения.

Зависимость от

толщины системы. Параметры: е1 = 2,е2=ЗД0б/=0.01.

Рис. 3 Рис. 4

Зависимость 5У=(У^-У^)*т от

толщины системы. Сплошная кривая - Ъе(8У), пунктир - 1т(5У).

Верхний график для нечетного случая, нижний для четного. Параметры: £, =2+0.Ь', е2 =3 +0.Ц к^=0.01.

Если возможно локальное поглощение энергии, величина пиков которые наблюдались в случае нечетного числа слоев,

уменьшается с толщиной образца, а сам У^ стремится к некоторому

значению отличному от рытовского (рис. 4). Предельное значение

достигается на толщине, когда образец становится непрозрачным, и

становится, как видно из (1), равным входному адмитансу.

Для случайных систем численный эксперимент показал, что

самоусредняется и стремится к некому пределу с ростом размера системы. Характеристический адмитанс, и, как следствие, эффективные параметры не самоусредняются и их значения при любом способе усреднения имеют неограниченный разброс при изменении толщины образца.

В рамках теории возмущения по ка<1 результаты численного

эксперимента были подтверждены.

С точностью до первого порядка по кй<1 в четном случае имеем

(е2-е])5т(к^Ь) ||о 1| Т=Т.+ Л—\JLJ-kA

4Л/(£г+е,)/2 ||1 0|

где 7} это Г-матрица однородного слоя с проницаемостью (е,+е2)/2 и толщины Ь. Заметим, что поправка, пропорциональная к0с!

симметрична, что делает заведомо не возможным придать 7-матрице четного случая вид Г-матрицы однородного слоя с какими-либо эффективными параметрами.

Симметрия Т-матрицы для нечетного случая позволяет ввести эффективные точностью они равны:

соз ост=сцед -+

Как видно, они зависят от толщины образца. Наиболее ярко эта зависимость проявляется вблизи области прозрачности 1- 0,1,2,..., где е^ и достигают сколь угодно больших

значений (Рис. 1).

Резюмируя полученные выше результаты, можно сказать, что введение е^ и для описания одномерных сред возможно только в

квазистатическом пределе ¿«¿«А, когда работают статические формулы смешения, например при нормальном падении е^={е),

Вторая глава посвящена исследованию локализации электромагнитных волн (ЛЭВ) в одномерных системах. Необходимо отметить, что электромагнитные поля - идеальный объект для изучения локализации Андерсона. В электронных системах в силу кулоновского взаимодействия, его практически невозможно отделить от перехода Мотта-Хаббарта.

Для упорядоченных систем физический механизм возникновения локализации (запрещенных зон) хорошо известен - это брегговское отражение. Для неупорядоченных систем точные математические результаты [4,15], основанные на теореме Фурстенберга и носящие характер "теорем существования", предсказывают полную локализацию волн на всех частотах. К сожалению, формальный характер этих рассуждений делает их мало пригодными при разработке прямых экспериментов по наблюдению локализации электромагнитных волн.

При рассмотрении ЛЭВ в одномерной системе речь обычно идет о непрозрачности толстой системы [3]. Иными словами предполагается, что коэффициент прохождения экспоненциально убывает с ростом толщины образца. В связи с этим Ь^ определяют как

Т = 5

Я"1

здесь t - коэффициент прохождения, I. - суммарная толщина системы, 7^=1/1^, так называемый, показатель Ляпунова.

Ниже явление ЛЭВ описано на привычном в физике твердого тела языке зонной теории. Введено понятие ассоциированной зонной структуры неупорядоченной системы, показано, что при увеличении размера системы происходит тотальный рост запрещенных зон, отождествляемый нами с ЛЭВ. В наших рассуждениях мы используем формализм Т-матриц. Данный выбор обусловлен тем, что свойства Т-матриц, во-первых, не зависят от граничных условий, а во-вторых, полностью определяют как решения задачи рассеяния, так и зонную структуру.

Заметим, что, так как детерминант Г-матрицы любой системы равен единице, то Т-матрица любой системы (ячейки) представима в виде

ехр(й^) О

О ехр(-1^)

Т-матрица системы, состоящей из N таких систем (ячеек), отличается от Г-матрицы одной системы только заменой с/ на 1 = Ш, что позволяет рассматривать как эффективное волновое число, а

уравнение

вр(Г) = 2сов (к^ь) (3)

где Т относится к одной ячейке, как дисперсионное уравнение.

Запрещенные зоны определяются из условия |8р(Г)|>2 [16,17].

Этому условию соответствует чисто мнимое волновое число, и экспоненциальное затухание волны на масштабе

=£/Ьп[агссо8(8р(Г)/2)].

Для случайных, а тем более для конечных, систем трансляционная инвариантность отутствует, поэтому непосредственное построение зонной структуры затруднено. В диссертации введено понятие ассоциированной зонной структуры, которая является зонной структурой сверхрешетки, где конечный образец случайной системы выступает в качестве периода. Далее показано, что при £-»<» величина 1/у^ стремится к определяемой из (2).

изменения в зонную картину. Однако, если после объединения соседних ячеек в новую, большую ячейку порядок слоев в ней нарушить, то, как видно из Рис. 5, возникают дополнительные запрещенные зоны.

Рис. 5

Пунктирная кривая представляет зависимость Тг(г) от частоты для Т-

матрицы описывающей последовательность слоев с проницаемостями 2; 7; 2; 7; 2; 7, сплошная

кривая для последовательности

2; 7; 7; 2; 7; 2.

Рис.6 Зависимость меры зон прозрачности от толщины системы. Проницаемость

слоев г равномерно распределена в интервале [2,11].

1 0

поведением меры зон прозрачности т = 1ш1—[Г1

О*' ^

Величина 1—г является мерой запрещенных зон. В ходе численного эксперимента обнаружено, что при увеличении толщины случайной реализации, т стремиться к нулю (Рис. 6). Для бесконечно компонентной системы т-ехр^/^Доо)). где ^(оо) . высокочастотный предел

длины локализации. Для системы, где диэлектрическая проницаемость может принимать лишь конечное число значений, убывание х(ь) более

слабое, в частности для бинарной системы падение имеет степенной

характер, что связано с отсутствием высокочастотного предела 4Д°°) в таких системах (см. Главу 3).

Ассоциированная зонная структура обладает счетным числом бесконечно узких разрешенных зон, причем нами показано, что фупповая скорость в разрешенной зоне убывает с ростом толщины системы

= оп (М-)*"1""

и не может переносить энергию.

Появление - запрещенных зон обусловлено брэгговским отражением. Так как мы отождествляем ЛЭВ с глобальным ростом запрещенных зон, то естественно предположить, что именно брэгговское отражение является механизмом, обеспечивающим ЛЭВ. Остается вопрос: от чего происходит это брэгговское отражение, если в системе нет периода?

При детальном рассмотрении распределения поля в неупорядоченной системе можно заметить, что есть участки, где поле спадает очень резко, в оставшихся областях амплитуда поля почти не меняется. В среднем наблюдается экспоненциальное убывание. Расчеты показывают, что участки убывания поля, которые мы будем называть брэгговскими отражателями, имеют Г-матрицы со следом по модулю превосходящим 2. Области же, в которых амплитуда поля почти постоянна, обладают действительным к (соответственно |8рГ|<2).

Примечательно, что известные системы с ближними и дальними корреляциями, демонстрирующие делокализацию волн [3, 4, 18, 19] не содержат брэгговских отражателей.

Для получения репрезентативных результатов мы рассмотрели алгоритм удаления брэгговских отражателей из произвольной случайной системы. Мы последовательно перебираем все слои в данной случайной реализации, рассчитывая след Г-матрицы участка, состоящего из данного слоя и предыдущих /-1 слоев. Если данный участок оказывается брэгговским отражателем (|8рГ|>2), то он

заменяется случайной последовательностью той же длины, но со следом Т-матрицы по модулю меньшим двух. При этом принимаются только реализации, не содержащие брэгговских отражателей меньшей длины. После просмотра всей системы мы приходим к неупорядоченной

системе, в которой остались лишь брэгговские отражатели длины больше /. На рис. 7 представлена зависимость (у) и уаг(у) от /. Для

получения этой зависимости было проведено усреднение по ансамблю изначальных реализаций, а алгоритм вырезания брэгговских отражателей был последовательно применен для длин равных 2, ... , I. Как мы видим, удаление брэгговских отражателей из системы приводит к резкому росту Иными словами, в отсутствии брэгговских

отражателей ЛЭВ нет, то есть наличие брэгговских отражателей

Рис. 7

На рисунке представлена зависимость (у) и \еа{у)2Ь в зависимости от

степени модификации ансамбля М. Диэлектрическая проницаемость равновероятно распределена в интервале [2,13]. Длина волны £„<¿=0.5,

толщина всей системы [=2000 слоев. Усреднение взято по 400

реализациям.

Резюмируя полученные данные можно сказать, что ЛЭВ обусловлена эффектом брэгговского отражения и может быть описана как тотальный рост меры запрещенных зон. Таким образом, ЛЭВ в одномерной неупорядоченной системе, с нашей точки зрения, означает, что частоты либо принадлежат к запрещенным зонам либо, соответствуют состояниям с нулевой групповой скоростью.

Третья глава посвящена исследованию высокочастотного предела длины локализации (ВПДЛ). На данный момент в достаточной степени изучен эффект локализации лишь в дельта-коррелированном процессе [20-22], для которого характерно, что величины е(х1) и е(х2) независимы при В такой системе нет характерного масштаба

длины, и применение гипотезы масштабной инвариантности (скейлинга) оправданно. Показано [20, 23], что в рамках этого процесса длина локализации обратно пропорциональна квадрату частоты. Численное моделирование [24], выполненное для слоев конечной толщены, дает на высоких частотах отклонение от этого закона - выход длины локализации на константу - ВПДЛ. В ряде работ наблюдалось и более сложное поведение длины локализации с частотой [19, 25]. Ниже будет показано, что многообразие поведения ¿^ в одномерных системах

связано с нарушением гипотезы скейлинга. Что связанно с появлением иной, помимо длины волны, характерной длины. В качестве таковой может выступать, например, средняя толщина слоя.

Не смотря на нарушение гипотезы масштабной инвариантности принято считать, что ВПДЛ является универсальным для любой случайной одномерной среды [26, 24 и др]. Данная глава посвящена выяснения необходимых и достаточных условий существования ВПДЛ.

Оказывается, что принципиальным является число значений, которые может принимать диэлектрическая проницаемость. Следует различать системы, где это число конечно и системы, где множество значений имеет мощность континуума.

пики, эти пики обусловлены существованием частот, на которых волна не локализована. Для бинарной смеси это серии частот *0, на которых

прозрачен какой либо элементарный слой [3, 4]. Поскольку эти частоты определяются только параметрами каждого из двух слоев, то они не зависят ни от общей толщины исследуемого образца ни от реализации данного случайного процесса. Поскольку эти серии частот ничем не ограниченны, следовательно, не существует ВПДЛ. Для трех компонентной смеси, в которой оптические толщины слоев попарно несоизмеримы, зависимость в общем случае отличается от двух

компонентной (Рис.9).

2000 -

1000

и и и и

Т ' к а

Рис. 8 Рис. 9

Зависимость длины локализации Зависимость длины локализации

от частоты для двухкомпонентной от частоты для трехкомпонентной системы. системы

Зная зависимость длины локализации для двух компонентной смеси, образованной слоями первого и второго типа (х£(*о)), несложно

найти значение длины' локализации для трехкомпонентной смеси на

частотах прозрачности одной из компонент Поскольку

параметры слоев несоизмеримы, то частоты *03 могут быть сколь угодно близко к частотам, на которых обращается в бесконечность. Из

всего сказанного следует, что, как и в двух компонентной смеси, в трехкомпонентной смеси ВПДЛ отсутствует. Проведя аналогичные рассуждения (добавляя по одной компоненте), по индукции получим, что для любой конечно-компонентной смеси не существует ВПДЛ.

Рассмотрим бесконечно компонентную систему. Т матрица отдельного слоя определяется оптическим путем по слою и импедансом слоя. Т. к. Т-матрица всего образца есть произведение Т матриц, то она и все величины полученные на основе усреднения ее элементов определяются распределениями величин адмитанса и оптических путей отдельных слоев. Заметим, что от частоты кй зависит только в

оптическая толщина слоя, причем эта зависимость одинакова для всех слоев (мы пренебрегаем частотной дисперсией материальных параметров ингредиентов). Зная функцию распределения на какой-либо частоте можно построить ее для любой частоты. При увеличении ка максимум функции распределения / оптических путей сдвигается в область больших значений, а сама / в силу нормировки расплывается (рис. 10). Отметим, что изменение оптического пути на 2л не меняет Т

матрицы, поэтому важно лишь распределение оптических путей по модулю 2тг - /гк (редуцированное распределение в область [0,2я]). Поскольку / размывается с ростом частоты, то стремится к константе 1/2тг, не зависящей от распределения значений импеданса

Рис.10 Рис.11

Функция распределения Редуцированная функция

оптических путей на разных распределения оптических путей на

частотах. разных частотах.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Проведено численное и аналитическое исследование электродинамических свойств одномерных систем. Показано, что вне статического приближения несимметричная одномерная среда не может быть описана никакими эффективными проницаемостями.

2. Показано, что локализация обусловлена эффектом брэгговского отражения и может быть описана как тотальный рост меры ассоциированных запрещенных зон. Локализованные состояния в бесконечной неупорядоченной системе соответствуют разрешенным зонам в ассоциированной зонной структуре, при этом групповая скорость в разрешенных зонах экспоненциально убывает с толщиной. Таким образом, локализация означает, что частоты либо принадлежат к запрещенным зонам либо, соответствуют состояниям с нулевой групповой скоростью.

3. Показано, что эффект локализации обусловлен наличием в системе брегговских отражателей. Иными словами волна локализуется благодаря рассеянию на бреговских отражателях.

4. Показано, что необходимым и достаточным условием существования высокочастотного предела (теорема Хуберта-Джоноса-Таулеса) длины локализации в случайной одномерной (слоистой) среде является существование непрерывного спектра флуктуаций допустимых значений оптических путей и импеданса. Апробация работы. Основные результаты диссертации были

представлены на конференциях: PIERS 2001, July 18-22, 2001, Osaka, Japan; International Conference ETOPiM 6, Snowbird Utha, USA, July 15-19, 2002; SPIE conference Seatlle USA, 2002; ВI AN ISOTROP IC'02 Lisbon, 2002, и докладывались на семинарах теоретических отделов ИВТАН и Физического института им. Лебедева, семинаре ИТПЭ, общемосковском радиофизическом семинаре (ИРЭ-IEEE). Список публикаций:

1. Виноградов А. П., Мерзликин А. М. ДАН Т. 281, стр. 1 (2001)

2. Виноградов. А. П., Мерзликин А. М. "К вопросу о гомогенизации одномерных систем" ЖЭТФ Т. 121 вып. 3, стр. 565-572 (2002)

3. Vinogradov А. P., Merzlikin А. М. "On electrodynamics of one-dimensional system beyond homogenization approximation" in "Advanced in Metamaterials" ed. By A. Sikhvola and M. Zouhdi, NATO BOOK series, Kluwer Academic Publishers Dordrecht 2002, p.341-361.

4. Vinogradov A. P., Merzlikin A- M. "Electromagnetic properties of superlattice in the long wavelength regime" SPIE Proc. v. 4806 p. 307-316, Seatlle USA, 2002

5. Vinogradov A. P., Merzlikin A. M. Book of Abstracts of the International Conference ETOPIM 6, "The frequency dependence of the localization length in one-dimensional system" p. 180 Snowbird Utha, July 15-19, 2002, University of Utha, Salt Lake City, UT, USA, 2002

Литература

1. У. A. Ryzhov, V. V. Tamoikin, and V. I. Tatarskii JETP 21, 303 (1981)

2. V. L Brekhovskikh, JETP 62,1160 (1985)

3. P. Sheng, Introduction to wave scattering, localization, and mesoscopic phenomena, Academic press, London (1995)

4. K. Ishii Prog. Theor Phys Supp. 53, 77 (1973)

5. N. F. Mott Adv. Phys. 16, (1967), 50, No. 7, 865-945 (2001)

6. С. M. Рытое, ЖЭТФ 29, С. 605 (1955);

7. С. М. Рытое, Акуст. Журнал 2, 71 (1956)

8. fl. М. Бреховских, Волны в слоистых средах, Издательство Академии Наук, Москва (1957)

9. В. Djafari Rouhani, J. Sapriel, Phys. Rev. В 34, 7114 (1986)

10. E. Akcakaya, G. W. Famell, J. Appl. Phys. 64,4469

11. И.В. Семченко, Кристаллография 35,1047 (1990)

12. А. А. Брандт Исследование диэлектриков на сверхвысоких частотах, Физматгиз, Москва (1963) с. 403

13. А. N. Lagarkov, S. М. Matytsin, К. N. Rozanov, and А, К, Sarychev, J. Appl. Phys. 84, 3806 (1998)

14. G. Francsechetti, Acta frequenza. 36, 757 (1967)

15. H. Furstenberg Trans. Am. Math. Soc. 108,377 (1963)

16. H. F. Kramers Physica 2,483 (1935)

17. B. Y. Tong, Phys. Rev. 175, 710 (1968)

18. M. Hilke and J. C. Floras, Phys. Rev. В 55 10625 (1997)

19. P. Luan and Z. Ye Phys Rev E 63 №066611 (2001)

20. В. И. Кляцкин Метод погружения в теории распространения волн М. Наука 1986

21. С. А. Градескул, В. Д. Фрелихер, УФН 160,239 (1990)

22. К. Kim, Phys. Rev. В 58, 6153 (1998)

23. A. A. Abrikosov Solid State Comm., 37 997 (1981)

24. P. Sheng Scattering and Localization of Classical Waves in Random Media World Scientific Singapore (1990)

25. P. Luan and Z. Ye, Phys Rev E 64 №066609 (2001)

26. C. J. Lambert, M. F. Thorpe Phys. Rev. В 27 (2), 715 (1983)

Отпечатано в ООО «Компания Спутник*» ПД № 1-00007 от 23.06.2000 г. Подписано в печать 27.08.2003 Тираж 100 экз. Усл. печ. л. 1,12 Печать авторефератов 730-47-74

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Мерзликин, Александр Михайлович

Введение.

Обзор литературы

Цели исследований

Краткое содержание

Актуальность

Научная новизна

Положения, выносимые на защиту

Список публикаций

1 Гомогенизация слоистых систем.

1. 1 Обзор литературы

1. 2 Постановка задачи

1. 3 Периодическая среда

Волноводный метод определения ееу и

Резонаторный метод определения и

Определение эффективных параметров методом теории эффективной среды

1. 4 Случайная среда

1. 5 Аналитическое решение задачи гомогенизации для периодической среды

Введение диссертация по физике, на тему "Исследование распространения и локализации волн в слоистых системах"

Обзор литературы

Задачи, рассматриваемые в диссертации, касаются проблемы распространения электромагнитных волн в неоднородных средах. Общепризнанно, что в случае, когда масштаб неоднородности меньше длины волны, распространение электромагнитных волн можно описывать при помощи материальных уравнений Максвелла, в которые входят эффективные параметры [1]. Нахождение эффективных параметров, так называемая теория гомогенизации, обычно сводится к получению формул смешения, связывающих свойства среды и эффективные параметры. В подавляющем числе случаев рассматривается потенциальное взаимодействие полей с неоднородностями (статическое или квазистатическое приближение). Однако для удовлетворения запросов современной техники необходимо рассматривать случаи непотенциального взаимодействия (искусственные магнетики, киральные материалы, среды Веселаго, и т.п.). Данная диссертация посвящена исследованию влиянию эффектов непотенциальности (интерференции) на макроскопические свойства неоднородных (слоистых) сред.

Существенной особенностью рассматриваемой проблемы, отличающей ее от статики, где поля всегда потенциальны, является ее многомасштабность. Если в статике мы имеем только масштаб неоднородности \ и размер системы L, и все величины могут зависеть от их безразмерного отношения, то в случае переменных полей, появляется дополнительный масштаб - длина волны Я. Поведение системы начинает зависеть от соотношения между этими тремя параметрами.

Рассмотрим принятую в литературе картину эволюции 'Х- поведения электромагнитных волн в неупорядоченной системе при увеличении ее размера L. Ключевым моментом здесь является результат, полученный для случая l = оо в работах Татарского [2, 3], Филькинберга [4] и Бреховских [5], где было показано, что даже в случае, если в системе нет диссипации энергии, эффективная диэлектрическая проницаемость обладает мнимой частью (^г) которая обратно пропорциональна Я-3). Мнимая часть диэлектрической проницаемости описывает перекачку энергии из когерентной составляющей волны в диффузионную. До тех пор пока

Ы, преобладает когерентная составляющая и композит можно описывать, как однородный, с помощью эффективных * параметров.

В области, где Ы когерентная часть электромагнитной волны становиться меньше диффузионной составляющей и описание распространения волн материальными уравнениями Максвелла с какими-либо эффективными материальными параметрами становиться невозможным. В этой области распространение энергии электромагнитного поля описывается уравнением диффузии. Из-за поправок, связанных с обратным когерентным рассеянием, коэффициент диффузии (D), являясь мезоскопический величиной, уменьшается с ростом размера системы и в ряде случаев может стремиться к нулю [6]. Это явление Ч- принято связывать с андерсоновской локализацией [6]. При локализации электромагнитное поле, распространяясь в случайной системе, экспоненциально ослабляется. Характерный масштаб этого экспоненциального затухания называется длиной локализации lloc [6].

Хотя вышеописанная картина общепринята, она обладает внутренним противоречием: она хороша для 2-х и 3-х мерных систем, но ее трудно применить к одномерным (слоистым) системам, где сложно различать когерентную и диффузную составляющие излучения (в пределах одного слоя поле всегда когерентно). Более того, как будет показано далее, подход Татарского (то есть усреднение поля по ансамблю) в ряде случаев дает принципиально неверный результат. Тем не менее, именно для одномерного случая, получены основные математически строгие результаты, приведшие к формированию этой картины [7, 8].

Данная диссертация посвящена изучению взаимодействия электромагнитного поля с 1-мерной неупорядоченной системой и построению непротиворечивой физической картины явлений.

Исторически сложилось, что двумя основными эффектами в композитных средах (гомогенизацией и локализацией) занимались различные не пересекающиеся научные коллективы. Это связанно с тем, что эффект локализации пришел в электродинамику из квантовой механики, в то время как задача гомогенизации (пришедшая в электродинамику из теории упругости) существовала в электродинамике задолго до открытия андерсоновской локализации. Таким образом, задача локализация и задача гомогенизация имеют различные предыстории. По этой причине Глава, посвященная гомогенизации, и Главы, посвященные локализации, будут начинаться с собственного введения и обзора литературы.

В качестве реализации одномерных сред в диссертации рассмотрены слоистые системы, описываемые локальными значениями диэлектрической проницаемости. Предполагается, также, что волновой вектор перпендикулярен слоям (нормальное падение). Для упрощения изложения и приводимых формул в диссертации будут рассматриваться преимущественно немагнитные ингредиенты, однако результаты, приведенные в работе, абсолютно верны и для случая наличия в системе локальных //, отличных от единицы.

Цели исследований

Целями данной диссертации являются: во-первых, теоретическое исследование возможности гомогенизации уравнений Максвелла для одномерных сред, как случайных, так и периодических; во вторых, выяснение механизма возникновения локализации и построение физической картины локализации; в третьих, исследование существования (выяснение необходимых и достаточных условий) ^ высокочастотного предела длины локализации

Краткое содержание

Первая глава посвящена теоретическому исследованию гомогенизации уравнений Максвелла для одномерных сред в длинноволновом приближении, когда период или корреляционная длина много меньше длины волны. В случае неупорядоченных сред вторым условием, принятым в первой главе, является малость размера системы по сравнению с длинной локализации.

В данной главе была снята идеализация бесконечности системы и рассмотрены конечные системы. В ходе численного эксперимента ^ рассмотрены различные методы определения эффективных параметров: волноводный, резонаторный и метод эффективной среды.

По отношению к изменению направления падения волны на противоположное, для периодической системы, существует два принципиально разных случая: количество слоев четно (целое число '•+4 периодов, система несимметрична); количество слоев нечетно (полу целое число периодов, система симметрична).

В случае, когда число слоев четно, симметрия задачи не позволяет корректно ввести эффективные параметры, и получаемые в ходе численного эксперимента значения зависят от размера системы. При этом эффективный показатель преломления стремиться к рытовскому значению при увеличении размера системы (но на любой конечной толщине имеет отличную от нуля мнимую часть), а эффективный адмитанс осциллирует с периодом полдлины волны. Эффективные материальные параметры, будучи функциями, как эффективного показателя преломления, так и адмитанса, проявляя комбинированное поведение, не стремятся к какому либо пределу при увеличении размера системы.

В случае, когда число слоев нечетно, эффективный показатель преломления действителен и стремится к рытовскому значению. Эффективный адмитанс также действителен, но в отличие от показателя преломления, испытывает периодические всплески различной амплитуды. Амплитуда всплесков не затухает с ростом толщины системы. Следствием сказанного является то, что эффективные материальные параметры могут сколь угодно отличаться от рытовского решения.

Если возможно локальное поглощение энергии, величина пиков эффективного адмитанса, которые наблюдались в случае нечетного т<- числа слоев, уменьшается с толщиной образца, а он сам стремится к некоторому значению отличному от рытовского. Предельное значение достигается на толщине, когда образец становится непрозрачным, и эффективный адмитанс становится равным входному адмитансу.

Для случайных систем численный эксперимент показал, что показатель преломления самоусредняется и стремится к некому пределу с ростом размера системы. Характеристический адмитанс, и, как следствие, эффективные параметры не самоусредняются, и их значения при любом способе усреднения имеют неограниченный разброс при изменении толщины образца.

В рамках теории возмущения результаты численного эксперимента были подтверждены. Показано, что возможность введения эффективных параметров связана с симметрией Г-матрицы. В частности симметрия Г-матрицы не позволяет ввести эффективные параметры для четного числа слоев, что провидит к зависимости эффективных параметров от метода измерения.

Резюмируя полученные выше результаты, можно сказать, что введение эффективных параметров для описания одномерных сред возможно только в квазистатическом пределе, когда работают статические формулы смешения.

Вторая глава посвящена исследованию локализации электромагнитных волн в одномерных системах. Необходимо отметить, что электромагнитные поля - идеальный объект для изучения локализации Андерсона. В электронных системах в силу кулоновского взаимодействия, его практически невозможно отделить от перехода Мотта-Хаббарда.

Для упорядоченных систем физический механизм возникновения локализации (запрещенных зон) хорошо известен - это брэгговское отражение. Для неупорядоченных систем точные математические результаты, основанные на теореме Фурстенберга и носящие характер "теорем существования", предсказывают полную локализацию волн на всех частотах. К сожалению, формальный характер этих рассуждений делает их мало пригодными при разработке прямых экспериментов по наблюдению локализации электромагнитных волн.

Явление локализации электромагнитных волн описано на привычном в физике твердого тела языке зонной теории. Введено понятие ассоциированной зонной структуры неупорядоченной системы, показано, что при увеличении размера системы происходит тотальный рост запрещенных зон, отождествляемый нами с локализацией электромагнитных волн.

Для случайных, а тем более для конечных, систем трансляционная инвариантность отсутствует, поэтому непосредственное построение зонной структуры затруднено. В диссертации введено понятие ассоциированной зонной структуры, которая является зонной структурой сверхрешетки, где конечный образец случайной системы выступает в качестве периода.

Рассмотрена эволюция зонной структуры при усложнении периода. При фиксированной толщине каждого слоя усложнение периода неизбежно ведет к увеличению его толщины. Формальное увеличение периода путем объединения одинаковых ячеек, конечно же, не вносит изменения в зонную картину. Показано, что после объединения соседних ячеек в новую, большую ячейку при нарушении в ней порядка слоев, возникают дополнительные запрещенные зоны.

С ростом числа запрещенных зон происходит их сужение, поэтому нельзя просто отождествить локализацию с увеличением числа запрещенных зон. Необходимо рассмотреть меру, занимаемую запрещенными зонами. В численном эксперименте удобнее следить за поведением меры зон прозрачности. В ходе численного эксперимента обнаружено, что при увеличении толщины случайной реализации, мера зон прозрачности стремиться к нулю. Найден закон этого стремления.

Ассоциированная зонная структура обладает счетным числом бесконечно узких разрешенных зон, причем нами показано, что групповая скорость в разрешенной зоне экспоненциально убывает с ростом толщины системы. Таким образом, разрешенные состояния не могут переносить энергию.

Появление запрещенных зон обусловлено брэгговским отражением. Так как мы отождествляем локализацию электромагнитных волн с глобальным ростом запрещенных зон, то естественно предположить, что именно брэгговское отражение является механизмом, обеспечивающим локализацию. Остается вопрос: от чего происходит это брэгговское отражение, если в системе нет периода?

При детальном рассмотрении распределения поля в неупорядоченной системе можно заметить, что есть участки, где поле спадает очень резко, в оставшихся областях амплитуда поля почти не меняется. В среднем наблюдается экспоненциальное убывание. Расчеты показывают, что участки убывания поля, которые мы будем называть брэгговскими отражателями, имеют Г-матрицы со следом по модулю превосходящим 2 и, следовательно, обладают мнимым показателем преломления.

В ходе численного моделирования найдена реализация случайной системы не содержащая ни одного брэгговского отражателя. Оказывается, что волна в такой системе не локализована, примечательно, что известные системы с ближними и дальними корреляциями, демонстрирующие делокализацию волн не содержат брэгговских отражателей.

Для получения репрезентативных результатов мы рассмотрели алгоритм удаления брэгговских отражателей из произвольной случайной системы. Численный эксперимент показал, что удаление брэгговских отражателей из системы приводит к резкому росту длины локализации. Иными словами, в отсутствии брэгговских отражателей локализации электромагнитных волн нет, то есть наличие брэгговских отражателей необходимо для возникновения локализации.

Резюмируя полученные данные можно сказать, что локализация электромагнитных волн обусловлена эффектом брэгговского отражения и может быть описана как тотальный рост меры запрещенных зон. Таким образом, локализация в одномерной неупорядоченной системе, с нашей точки зрения, означает, что частоты либо принадлежат к запрещенным зонам либо, соответствуют состояниям с нулевой групповой скоростью.

Третья глава посвящена исследованию высокочастотного предела длины локализации (условиям теоремы Джоноса-Хуберда-Таулесса). Показано, что многообразие поведения зависимости длины локализации от частоты в одномерных системах связано с нарушением гипотезы скейлинга. Что связанно с появлением иной, помимо длины волны, характерной длины. В качестве таковой может выступать, например, средняя толщина слоя.

Простейшим случаем случайной системы первого класса является бинарная система, набранная из двух различных типов слоев. Для бинарной системы наше численное моделирование указывает на отсутствие высокочастотного предела длины локализации. По индукции показано, что для любой, конечно-компонентной, смеси ке существует высокочастотного предел длины локализации.

Рассмотрим бесконечно компонентную систему. Г-матрица отдельного слоя определяется оптическим путем по слою и импедансом слоя. Т. к. Г-матрица всего образца есть произведение Г-матриц, то она и все величины, полученные на основе усреднения, ее элементов определяются распределениями величин адмитанса и оптических путей отдельных слоев. Заметим, что от частоты зависит только оптическая толщина слоя, причем эта зависимость одинакова для всех слоев (мы пренебрегаем частотной дисперсией материальных параметров ингредиентов). Зная функцию распределения на какой-либо частоте можно построить ее для любой частоты. При увеличении частоты максимум функции распределения оптических путей сдвигается в область больших значений, а сама функция распределения в силу нормировки расплывается. Отметим, что изменение оптического пути на 2л не меняет Г-матрицы, поэтому важно лишь распределение оптических путей по модулю 2л (редуцированное распределение в область [0,2 л-]). Следствием сказанного является стремление редуцированной функции распределения оптических путей к константе, не зависящей от распределения значений импеданса. Таким образом, для бесконечно-компонентных смесей существует высокочастотный предел длины локализации.

Актуальность

В связи с возросшим количеством приложений, в последнее время особой интерес вызывают среды, в которых взаимодействие поля с элементами, образующим среду (инородными включениями в матрице, ячейками фотонного кристалла, молекулами и т.д.) не может быть описано в рамках только квазистатического приближения. Однако нет ясности относительно возможности описания различных сред эффективными параметрами и корректности учета в материальных параметрах пространственной и временной дисперсии.

Интерес, вызванный к таким средам (фотонными кристаллами, нанокомпозитами, лазерами на случайных структурах, и т.д.), порожден с одной стороны новой физикой, привносимой непотенциальным характером полей, и проявляющейся в интерференционных и резонансных явлениях (Андерсоновская локализация света, аномальное пропускание света при плазмонном резонансе, возможность наблюдения нелинейных эффектов за счет возникновения гигантских флуктуаций поля, возникновение запрещенных зон в фотонных кристаллах и т.д.) с другой стороны возможностью создания новых приборов и устройств, использующих уникальные свойства таких сред.

С фундаментальной точки зрения оптические системы являются идеальными для изучения таких чисто интерференционных явлений как андерсоновская локализация. Действительно в широких пределах интенсивности можно пренебречь влиянием излучения на систему существующих уровней, что в силу кулоновского взаимодействия электронов оказывается невозможным. Причем несмотря на открытие андерсоновской локализации для неупорядоченных электронных систем еще в 50-х годах прошлого века и существенное упрощение исследование этого эффекта в оптических системах, до сих пор не найден механизм возникновения локализации.

В то же известен время механизм локализации в упорядоченных системах - экспоненциального затухания падающей волны в запрещенной зоне и экспоненциального затухания собственного состояния в кристалле с дефект модой известен — это брэгговское отражение.

Указанные выше эффекты (гомогенизации и локализации) вызывают значительный интерес, однако, как правило, в литературе они рассматриваются по отдельности, вне связи друг с другом. Особенность подхода, предлагаемого в настоящей работе, является рассмотрение такой связи.

Научная новизна

1. Впервые показано, что при описании материальных параметров слоистых сред нельзя учесть эффекты запаздывания на масштабе слоя (даже в длинноволновом пределе). Иными словами учет пространственной дисперсии при расчете материальных параметров (связанной с неоднородностями масштаба толщины слоя или более) для слоистых материалов является превышением точности. Путем компьютерного моделирования и аналитически показано, что попытка введения эффективных параметров приводит к тому, что они зависят от размера системы и разброс их значений для разных L может быть сколь угодно большим.

2. Построена зонная теория локализации света в одномерных неупорядоченных системах. Впервые показано, что локализация обусловлена эффектом брэгговского отражения, а вовсе не эффектом когерентного обратного рассеяния [6] или рандомизацией фазы [9, 10] , и может быть описана как тотальный рост меры ассоциированных запрещенных зон. Локализованные состояния в бесконечной неупорядоченной системе соответствуют разрешенным состояниям ассоциированной зонной структуры, имеющим меру ноль и характеризующихся нулевой групповой скоростью. Таким образом, локализация означает, что частоты либо принадлежат к запрещенным зонам либо, соответствуют состояниям с нулевой групповой скоростью. Показано, что эффект локализации обусловлен случайной организацией в системе специфических частей — брэгговких отражателей.

3. Впервые найдены необходимые и достаточные условия существования высокочастотного предела (теорема Хуберда-Джоноса-Таулеса [6]) длины локализации в случайной одномерной слоистой среде. Показано, что высокочастотный предел существует лишь в системах, где диэлектрическая проницаемость может принимать любые значения из какого-либо интервала.

Положения, выносимые на защиту

1. При описании материальных параметров слоистых сред нельзя учесть эффекты запаздывания на масштабе слоя (даже в длинноволновом пределе), то есть вне квазистатического приближения слоистые системы не могут быть адекватно описаны в рамках £eff и juejr.

2. Локализация электромагнитных волн (как в упорядоченных, так и в неупорядоченных слоистых системах) обусловлена эффектом брэгговского отражения.

3. Локализация может быть описана как тотальный рост меры ассоциированных запрещенных зон. Локализованные состояния в бесконечной неупорядоченной системе соответствуют разрешенным состояниям ассоциированной зонной структуры, имеющим меру ноль, и характеризующихся нулевой групповой скоростью.

4. Эффект локализации обусловлен случайной организацией в системе специфических частей - брэгговких отражателей.

5. Высокочастотный предел длины локализации существует тогда и только тогда, когда в случайной системе существует непрерывный набор оптических путей (когда мера дискретной части функции распределения оптических путей равна нулю).

Список публикаций

1. Виноградов А. П., Мерзликин А. М. ДАН 281, стр. 1 (2001)

2. Виноградов. А. П., Мерзликин А. М. "К вопросу о гомогенизации одномерных систем" ЖЭТФ 121 вып. 3, стр. 565572 (2002)

4. Vinogradov A. P., Merzlikin A. M. "Electromagnetic properties of super-lattice in the long wavelength regime" SPIE Proc. v. 4806 p. 307-316, Seatlle USA, 2002

6. Vinogradov A.P., Merzlikin A. M. Electromagnetic Properties of Superlattice in the Long Wavelength Regime Proc. Of PIERS 2001, July 18-22, 2001, Osaka, Japan

Принято в печать в Physica В:

Vinogradov А. P., Merzlikin A. M. «Frequency dependence of localization length of an electromagnetic wave in the one-dimensional system»

Находиться на рецензии в Phys. Rev. E

Vinogradov A. P., Merzlikin «Localization of electromagnetic waves in an one-dimensional system»

Апробация Результаты докладывались на международных конференциях и на семинарах ИТПЭ, Общемосковском радио семинаре (ИРЭ-IEEE), на семинарах теоретических отделов ИВТАН и Физического института им. Лебедева, Института Кристаллографии, Курчатовского института, Хельсинского технологического университета.

Заключение диссертации по теме "Электрофизика, электрофизические установки"

Заключение

В данной диссертационной работе исследованы распространение и локализация электромагнитных волн в слоистых системах.

При рассмотрении задачи гомогенизации для конечных слоистых периодических двухкомпонентных систем было обнаружено существенное различие свойств периодических систем состоящих из целого и полцелого числа периодов.

Для систем из целого числа периодов эффектные материальные параметры зависели как от толщины образца (не выходя на константу при увеличении толщины) так и от метода определения эффективных параметров (в численном моделировании использовались: волноводный метод, резонаторный и метод эффективной среды).

Для систем из полуцелого числа периодов, хотя эффективные параметры и не зависели от метода измерения, но существенно зависели от толщины образца, при этом их флуктуации были более 100%.

Проведено сравнение полученных результатов с ранее известными результатами, полученными Рытовым, при гомогенизации бесконечной периодической системы. Показано, что отличие материальных параметров от Рытовских результатов достигает 100% и более. При этом волновой вектор стремиться к рытовскому значению

В связи с задачей гомогенизации рассмотрена случайная слоистая система. Показано, что самоусредняется волновой вектор, адмитанс не самоусредняется, что приводит к неусреднению материальных параметров. Проведено сравнение с результатами

Татарского и др., оказалось, что в ряде случаев результаты Татарского дают принципиально неверный результат.

Введено понятие ассоциированной зонной структуры. Показано, что зависимость эффективных параметров для полуцелого числа периодов от толщины связана с образованием запрещенных зон в ассоциированной зонной структуре.

На основе ассоциированной зонной структуры построена зонная теория локализации неупорядоченных сред, что позволило объяснить локализацию в упорядоченных системах и локализация в случайных системах с единой позиции брэгговского отражения.

В рамках построенной зонной теории локализации показано, что мера разрешенных зон в неупорядоченных системах стремиться к нулю при увеличении толщины системы. Численно и аналитически найден закон этого стремления. Показано, что групповая скорость в разрешенных зонах экспоненциально стремится к нулю.

В рамках численного эксперимента было обнаружено, что в системе есть части (брэгговские отражатели), на которых поле падающей волны спадает быстрее, чем на других. Оказалось, что если из любой из этих частей сделать кристалл, как на периоде, то в этом кристалле на данной частоте будет наблюдаться запрещенная зона. Был разработан алгоритм, замены брэгтовских отражателей на части не содержащие брэгговских отражателей. Показано, что в процессе применения этого алгоритма к случайной системе длина локализации неограниченно возрастает, что приводит к делокализации. Таким образом, наличие брэгговких отражателей в системе является необходимым для локализации. Численные эксперименты показали, что наличие брэгговских отражателей достаточно для возникновения локализации с вероятностью 1.

При изучении зависимости длины локализации от частоты, оказалось, что для конечно-компонентных систем не существует высоко-частного предела. Показано, что необходимыми и достаточными условиями существования высоко частного предела длины локализации (теорема Джоноса-Хуберта-Таулесса) является непрерывный разброс параметров описывающих среду (более точно, непрерывный разброс оптических путей).

На основании вышеизложенного можно сформулировать следующие положения, выносимые на защиту:

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Мерзликин, Александр Михайлович, Москва

1. J1. Д. Ландау и Е. М Лифшиц, Электродинамика сплошных сред, третье издание, Наука Главная редакция физико-математической литературы (1992)

2. Ю. А. Рыжов, В. В. Тамойкин, В. И. Татарский ЖЭТФ 48, 656 (1965)1

3. Ю. А. Рыжов, В. В. Тамойкин Извю Высш. Уч. Зав. 13, 348 (1970)

4. В. М. Филькинберг ЖТФ 34, 509 (1964)

5. V. L Brekhovskikh, JETP 62, 1160 (1985)

6. Ping Sheng «Introduction to wave scattering, localization, and mesoscopic» phenomena Academic Press London 1995

7. Ishii Prog. Theor Phys Supp. 1973 v. 53, p. 77-138

8. N. F. Mott Adv. Phys. 16, (1967), 50, No. 7, 865-945 (2001)

9. C. J. Lambert, M. F. Thorpe Phys. Rev. В 27 (2), 715 (1983)10.

10. Э. Санчес-Паленсия, «Неоднородные среды и теория колебаний», Мир, Москва (1984)

11. Н. С. Бахвалов, Г. П. Панасенко, «Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов» М.: Наука. (1984)

12. А. N. Lagarkov, А. P. Vinogradov, Advances in complex electromagnetic materials, Ed. A. Priou, A. Sihvola, S. Tretyakov, A. Vinogradov, NATO ASI Series 3. High Technology (Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1997) vol. 28 P. 117

13. J. E. Sipe, J. van Kranendonk, Phys. Rev. A 9, 1806 (1974)

14. R. Landauer, AIP Conference Proc. No 40 Ed. J. C. Garland, D. B. Tanner, AIP, New York, (1978)

15. A. P. Vinogradov, A. V. Aivazian Phys. Rev E 60, (1), 987 (1999)

16. W. Voigt Lehrbuch der Kristallphysik, Teubner, Berlin (1928)

17. A. Reuss Berechnung der Fliebgrenze von Mischkristallen auf Grund der Plastizitatsbedingung fur rinkristalle, ZAMM (1929)

18. C. M. Рытов, ЖЭТФ 29, 605 (1955);

19. C. M. Рытов, Акуст. Журнал 2, 71 (1956)

20. JI. М. Бреховских, «Волны в слоистых средах», Издательство Академии Наук, Москва (1957)

21. Р. Yeh, A. Yariv, and Chi-Shain Hong, J. Opt. Soc. Am. 67,423 (1977)

22. B. Djafari Rouhani, J. Sapriel, Phys. Rev. В 34, 7114 (1986)

23. E. Akcakaya, G. W. Farnell, J. Appl. Phys. 64, 4469 (1988)

24. E. M. Кикарин, Д. В. Петров, Кристаллография 34, 1072 (1989)

25. И. В. Семченко, Кристаллография 35, 1047 (1990)

26. В. П. Силин, А. А. Рухадзе, «Электродинамические свойства плазмы и плазменноподобных сред», ГосАтомИздат, Москва (1961)

27. А. А. Брандт «Исследование диэлектриков на сверхвысоких частотах», Физматгиз, Москва (1963) с. 403

28. А. N. Lagarkov, S. М. Matytsin, К. N. Rozanov, and А, К, Sarychev, J. Appl. Phys. 84, 3806 (1998)

29. G. Francsechetti, Acta frequenza. 36, 757 (1967)

30. M. Борн, Э. Вульф «Основы оптики» М.: Наука, (1973)

31. А. И. Мальцев, «Основы линейной алгебры», Наука, Москва (1970)

32. L. Tsang, J. A. Kong, R, W, Newton IEEE Trans. On Antennas and prop. AP-30, 292 (1982)

33. L. Tsang, J. A. Kong, Radio Science 16, 303, (1981)

34. P. Б. Ваганов, Б. 3. Каценеленбаум, «Основы теории дифракции», Наука, Москва (1982)36.?. W. Anderson, Phys. Rev. 109, 1492 (1958)

35. E. Abrahams, P. W. Anderson, D. C. Licciardello and Т. V. Ramakrishnan, Phys. Rev. Lett. 42, 673 (1979)

36. P. W. Anderson, D. J. Thouless, E. Abrahams, and D. S. Fisher, Phys. Rev. В 22, 3519(1980)

37. L. I. Deych, D. Zaslavsky A. A. Lisyansky Phys. Rev. Lett. 81, 5390 (1998)

38. R. E. Borland, Proc. Phys. Soc., 78, 926 (1961)

39. H. Furstenberg Trans. Am. Math. Soc. 108, 377 (1963) 42.S. John Phys. Rev. Lett. 53,2169 (1984)

40. S. John M. Stephen Phys. Rev. В 28, 6358 (1983) 44.A. Crisanti, G. Paladin, A. Vulpiani Phys. Rev. A 39, 6491 (1989) 45.0. Thorp, M. Ruzzene, and A. Baz, Smart Mater. Struct 10, 979 (2001)

41. T. Misirphashaev, C. Beenaker cond-mat. 96071119 (1996)

42. C. Beenaker cond-mat. 0009061 (2000)

43. J. Sanchez-Gil, V. Freilikher, A. Maradudin, I. Yurkevich Phys. Rev. В 59, 5915 (1999)

44. M. Hjort, S. Stafstrom Phys. Rev. В 62, 5245 (2000)

45. G. Samelsohn R. Mazar Phys. Rev. E 54, 5697 (1996)

46. G. Samelsohn R. Mazar Phys. Rev. E 56, 6095 (1997)

47. C. Condat, T. Kirkpatrick Phys. Rev. Lett. 58, 226 (1987)

48. M. Stockman, S. V. Faleev, D. J. Bergman Phys. Rev. В 37, 7726 (1988)

49. M. Stockman, S. V. Faleev, D. J. Bergman Phys. Rev. Lett 87, 167401 (2001)

50. C. Wang cond-matt. 0112457 (2001)

51. S. Mudaliar Wave in Random Media 11,45 (2001) 57.V. Baluni, J. Willemsen Phys. Rev. A 31, 3358 (1985)

52. С. А. Градескул, В. Д. Фрейлихер УФН 1990 т. 160 №2, с. 239

53. В. И. Кляцкин «Метод погружения в теории распространения волн» М. Наука 1986

54. V. Freilikher, М. Pustilnik I. Yurkevich Phys. Rev. lett 73, 810 (1994)

55. V. Freilikher, M. Pustilnik I. Yurkevich Phys. Rev. В 50, 6071 (1994)

56. A. A. Abrikosov Solid State Comm. 37, 997 (1981)

57. P. Lee Phys. Rev. Lett. 42, 1492 (1979)

58. P. W. Anderson, D. J. Thouless, E. Abrahams, D. S. Fisher Phys. Rev. В 22, 3519 (1980)

59. D. Vollhardt P. Wolfle Phys. Rev. Lett. 48, 699 (1982)

60. J.E. Sipe, Ping Sheng, B. S. White, and M. Cohen, Phys. Rev. Lett. 60, №2, p. 108(1988)

61. L. I. Deych, A. Yamilov A. A. Lisyansky, Phys. Rev. В 64, 024201 (2001)

62. L. I. Deych, A. A. Lisyansky, B. L. Altshuler, Phys. Rev. Lett. 84, 2678(1999)

63. P. Sheng «Scattering and Localization of Classical Waves in Random Media» World Scientific Singapore (1990)

64. B. И. Кляцкин «Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах» М. Наука ГРФМЛ (1980)

65. В. И. Кляцкин, А. И. Саичев УФН 162, № 3 с. 161 (1992)

66. Р. Luan and Z. Ye 2001 Phys Rev E 63 №066611 (2001)

67. P. Luan and Z. Ye, Phys Rev E 64 №066609 (2001)

68. Z. Ye, A. Alvarez Phys. Rev. Lett. 80, 3503 (1998)

69. A. R. McGurn, A. A. Maradudin Phys. Rev. В 47, 13120 (1993)

70. V. D. Freilikher, B. A. Liansky, I. V. Yurkevich, A. A. Maradudin. A. R. McGurn Phys. Rev. E 51, 6301 (1995)

71. V. M. Shalaev «Optical Properties of Nanostructured Random Media» Springer-Verlag Berlin (2002)

72. M. Hilke and J. C. Flores, Phys. Rev. В 55 10625 (1997)

73. D. H. Dunlap, H-L. Wu, P. W. Phillips Phys. Rev. Lett. 65, 88, (1990)

74. F. M. Izrailev and A. A. Krokhin Phys. Rev. Lett. 80,4062 (1998)

75. F. A. B. F. Moura M. Lyra Phys. Rev. Lett. 81, 3735 (1998)

76. S. A. Bulgakov, M. Nieto-Vasperinas, Waves in Random Media 7, 183 (1997)

77. A. A. Bulgakov, S. A. Bulgakov, M. Nieto-Vasperinas Phys. Rev. В 58, 4438(1998)

78. А. И. Кострикин «Введение в алгебру» М.: Наука, (1977)

79. Н. F. Kramers, Physica v. 2,483 (1935)

80. В. Y. Tong Phys. Rev. v. 175, p. 710-722 (1968)

81. B. Y. Tong Phys. Rev. A 1, 52, (1969)

82. K. Kim Phys. Rev. В 58 № 10, 6153 (1998)

83. И. M. Суслов ЖЭТФ 83,1079 (1982)90.

84. D. R. Smith, R. Dalichaouch, N. Kroll, S. Schultz, S. L. McCall, and P. M. Platzman in Developt and Application of Materials Exhibiting Photonic Band Gaps, 314

85. K. Busch, С. T. Chan, and С. M. Soukoulis in «Photonic Band Gap Material», edited by С. M. Soukoulis, Kluwer Academic (1996), 465

86. Березинский ЖЭТФ 1973 65, с. 1251

87. M. Steslicka, R. Kucharczyk, A. Akjouj, B. Djafari-Rouhani, L. Dobrzynski, S. D. Davison, Surface Science Reports 47, 93, (2002)