Затухание волн в полуограниченных телах и локализация колебаний тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Пешков Александр Александрович

ЗАТУХАНИЕ ВОЛН В ПОЛУОГРАНИЧЕННЫХ ТЕЛАХ И ЛОКАЛИЗАЦИЯ КОЛЕБАНИЙ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2004

Формат 60x84/16. Бумага офсетная Объем 1,0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № Отпечатано в типографии 0 0 0 «ВУД» 344010, г. Ростов-на-Дону, ул. Красноармейская, 157. Тел. (8632) 64-38-77

Работа выполнена в Ростозском государственном университте

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Устинов Юрий Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Селезнев Михаил Георгиевич

кандидат физико-математических наук, доцент Скалиух Александр Сергеевич

Ведущая организация: Кубанский государственный университет

Защита диссертации состоится «26>> октября 2004 г. в 1650 час. на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 по физико-математическим наукам в Ростовском государственном университете по адресу: 344090, г.Ростов-на-Дону, ул.Зорге, 5, РГУ, механико-математический факультет, ауд. 239.

С диссертационной работой можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ по адресу: 344006, г Ростоа-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан « %Ъ » сентября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Боев Н.В.

2005-4 12778

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В практике, применяя ультразвуковые методы исследования акустических сред и объектов, расположенных в них, приходится сталкиваться с ситуациями, когда ультразвуковую энергию нужно ввести в среду через упругие пластины или оболочки. Иными словами, нет возможности акустическую среду непосредственно нагрузить ультразвуковым устройством. В связи с этим возникает ряд задач, решение которых может способствовать созданию устройств, позволяющих достичь необходимого эффекта. Одна из таких проблем состоит в выборе рабочих частот и распределения амплитуд внешнего воздействия так, чтобы колебания локализовались в окрестности области приложения ультразвуковой энергии, а энергия по возможности не уходила вдоль стенки. Вторая задача, тесно связанная с первой, состоит в дополнительном подборе параметров так, чтобы звуковая энергия в акустической среде не рассеивалась, а концентрировалась в виде узконаправленного луча, иными словами, чтобы давление имело узконаправленные характеристики.

В связи с этим в диссертации исследуются две проблемы. Первая посвящена изучению затухания нормальных волн в поперечно-неоднородных пластинах в случае, когда материал не является идеально-упругим, при отсутствии излучения звука через ее лицевые поверхности и возможности подбора амплитуд внешней нагрузки так, чтобы колебания локализовались в конечной области. В случае локализации колебаний можно использовать модель полуограниченного тела (термин введен И.И. Воровичем), частным представителем которой является, например, бесконечная слоистая пластина (поперечно-неоднородный слой). Вторая проблема - возможность создания узконаправленных характеристик звука при просвечивании акустической среды через упругие слоистые элементы.

(•'Л- НАЦИОНАЛЬНАЯ{ БИБЛИОТЕКА , {

В диссертации главное внимание уделяется изучению поведения волновых полей на критических частотах и возможности локализации колебаний в окрестности области приложения внешней нагрузки.

Научная_новизна диссертационной работы состоит в следующих результатах, полученных автором:

1. Методы определения коэффициента затухания в поперечно -неоднородном слое на критической частоте, порожденного внутренними потерями.

2. Реализация методов для трехслойной пластины на критических частотах.

3. Построение алгоритма подбора нагрузки с целью локализации колебаний.

4. Реализация алгоритма для трехслойной пластины.

5. Исследование затухания нормальных волн в неоднородной полосе, лежащей на поверхности акустической среды.

6. Исследование проблемы просвечивания акустической среды через двухслойную пластину.

Практическая ценность диссертации состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы для подбора параметров ультразвуковых устройств, применяемых для просвечивания акустических сред через неоднородные среды (работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, гранты 01-01-00454, 04-01-00069 и программы «Государственная поддержка ведущих научных школ» НШ-2113.2003.1).

На защиту выносятся результаты, сформулированные выше в разделе научная новизна.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции «Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в механике и физике» (Ростов-на-Дону, 2003 г.), 8-й Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2002 г.), 3-й Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием (Ростов-на-Дону, Азов, 2003 г.), на семинарах кафедры теории упругости РГУ.

Публикации. Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в работах [1-4], список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем диссертационной работы составляет 80 страниц, список литературы включает 47 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сделан обзор публикаций по рассматриваемой теме, сформулированы цели работы и дано краткое описание содержания всех глав диссертации.

Глава I. Колебания и волны в поперечно-неоднородной пластине.

В первой главе на основе трехмерных уравнений теории упругости рассматривается, задача о гармонических колебаниях поперечно неоднородной пластины, физико-механические свойства которой описываются произвольными кусочно-непрерывными функциями.

В § 1 дается общая постановка задачи для слоя, упругие характеристики которого являются кусочно-постоянными функциями поперечной

координаш. В области V - R2 x[z~,z+3 рассматриваются уравнения стационарных колебаний:

ЭОсДЭм, +Э,«3))++ +(А + ^)Э1Э2«2 +

щ +,1Э1Эи3 + роР'щ =0

Э(//(Эм2 +Э2г/3))+(Я + 2л)Э\иг +(Л + и)3jS2u, +

+ Лд2ди3 + ~ О Э(А(Э3«, +Э2Ы2) + (Л + 2^)Э(/З)+//4ыз -1-

/¿(Э^и, + Э2Эи2)+/?й>2«з = О Эв=Э/а*в,Э = Э/аг,Д = Э?+э1 (а = 1,2)

при граничных условиях

(2)

Здесь и} - амплитуды смещений {j ~ 1,2,3). A = A(z), Д ~ u(z), р = p(z) - упругие характерно гики Ляме и плотность соответственно, о которых предполагается, что они являются кусочно-непрерывными функциями от z; СО - круговая частота гармонических колебаний.

В §2 с помощью представления плоского поля и0 = {щ,и2} в виде потенциальной и вихревой частей

ul=dlv}+d2v2, U2=32V\-dlv2 (3)

исходная задача (1), (2) сводятся к двум несвязанным краевым задачам

¿(v2) = 0 (4)

Л|гаг± (5)

и

1,(у,,из,й}) = 0, ¿2(У1,К3)<У) = 0 ^(Эу,+м3)]2=г± =г1± [(Л + 2д)ды3

(7)

где

1*Ь>2 ) = ) + дАу2 + рсо\г

А (^1, "з, = Э(//Эу, + /ци3)+Лдщ +(Я + 2д)Ау1 + ра)2у{

£2 (у, , м3, со) = Э((Л + 2//)Эи3 + ЛД V,)+/ДЭЛу, +&и3)+ро?иъ = О

Глава II. Однородные решения неоднородной пластины.

Во второй главе задача (4), (6) при однородных граничных усло-

дится к двум спектральным задачам с парой спектральных параметров, роль которых выполняет круговая частота и волновое число. Особое внимание уделяется критическим частотам, при которых в спектре волновых чисел существуют кратные собственные значения. Дается их классификация и приводятся дифференциальные уравнения, описывающие распределение критических мод в области, занятой пластиной.

В §3 для сведения исходной задачи к спектральной решение отыскивается в виде:

у2 = а{г)т2(хьх2), V, = а1{г)тх{хих2), и3 = 1к а2{г)т{{хих2) (9)

После подстановки (9) в (4) - (8) и разделения переменных получены следующие спектральные задачи:

виях на лицевых поверхностях пластины

Дта + к та= О

•а

Z(*,<y) = 0, (Са'4/А:Ва^=г, =0 (11)

Z(k,eo) = (Ca')' + ik\ßz) + В *a'j - к2 Aa + раз1 а

Здесь a = {öj,o2} - вектор-функция, C = jjC,y|, Et = [jö^-|j, А = Щу| ~

матрицы-функции, со следующими отличными от нуля элементами: сп =U> C22=A + 2ju, Вп В21 ~Л, Ап =Л + 2д, Л22 -U> штрих означает производную по z.

В §4 дается определение критической частоты СОс, как такой, когда среди собственных значений к„ е А} (ей) (j = 1,2) существует кратное кс, где Лу - спектры задач (10), (11) по параметру к . В случае, когда кс - 0, приводятся соотношения, на основе которых определяются С0С■

Глава III. Затухание волн в пластине при малой диссипации энергии.

В третьей главе рассматриваются колебания трехслойной пластины симметричного строения и методом, основанном на введении комплексных упругих характеристик, исследуется затухание нормальных волн. Особое внимание уделяется вопросу затухания волн на критических частотах. Исследуется задача локализации колебаний путем подбора распределения амплитуды внешней нагрузки.

В §5 в области 5,YS2 (S[ ={-«■<*, -hx <х2 S2 ={-oo<Xj <оо, hi <х2 </i}u {-»<Xi <«, — hüx2 <—hi}) гармонически e волны возбуждаются нормальными напряжениями, приложенными к лицевой поверхности х 2-h, и изменяются по гармоническому закону. Описанная задача сводится к нахождению решений в областях S j уравнений гармонических колебаний

X i э ? И j ¡ + (z i - 2 tí j )э 1 э 2 И У 2 +

A j (Э 2 И j2 + Э , Э 2 И у2) + р}0?U ! = О

, , ч (12)

ЛГу Э f м у2 + wT; ~ i Э 2« yi +

и j (э \ и л + а, э 2«J2)+PjCo2u J2=о

где ¿/у, Vy, /7у модули сдвига, коэффициенты Пуассона, плотности материалов (соответственно j = 1,2), Эу = 3/3* у, Uj -проекции амплитуд колебаний смещений на оси х j соответственно, Xj =2/¿7|/y/(l — 2Vy) при следующих граничных условия и условиях непрерывности на границах раздела сред:

x2=h: <тт=0, <Jiíi=U2g{x\) (13)

x2=±hi: и^-игр= О, сгху)-агу}=0, Р=\2 (14)

x2=-h: <Тщ=0, (15)

Сначала рассматривается задача о распространении однородных волн в трехслойной полосе симметричного строения при условии отсутствия диссипации энергии в материале пластины и отсутствии напряжений на лицевых поверхностях (х2 — ±h). В безразмерных координатах = Хр jh с помощью представления Uj¡ - aj¡ (£2 )ехр, Иу2 = iaj2 {$2 )exPí0ríi задача (12) - (15) сводится к спектральной

4-Ф' -4/ -Ф-2 =0

/ \ /X (16)

а[к] -ljb;, +к]а'.2+щ-а%2 = 0

Ы^Г0 (17>

(«i/? ~агр\ = 0. {b\¡32 ~Ь2р2=0 (18)

Здесь штрих означает производную по £2 >

V =hMj\ -aaj2), bj22 =Uj{a(k)-2)an +k]aj2),

к] ~ 2(l - Vj }/(í - 2Vj), n; -~p,0?h2/Mj , g ^ íhjh.

Исследование задачи (16) - (18) осуществляется путем разделения ее на симметричную и антисимметричную. Для каждого случая получены дисперсионные уравнения

Ds{a,n) = 0 (19)

DA{a,Q) = Q (20)

которые приводятся в приложении. Общее дисперсионное уравнение имеет вид

D{a,Q)---Ds (a, Q)Da (в, í l) = 0 (21)

В качестве безразмерного частотною параметра выбрано £2 = Q(.

Для кратного ас ~ 0 задача (16) - (18) сводится к двум: Задача A: aj¡ /0, а^ = 0

a-l+n2jajl= 0

cll(í2 )=a2lí^2 ) (22) игЪхкг)

а'2](± 1) = 0 Задача В: а/2 aj¡ =0

bj«'j2+Q2;aj2=0

апЬ*)'"nfef) (23)

Хга'гг^г)

аг2 (±1) = 0

Задача А описывает продольные критические моды, и соответствующие им критические частоты, задача В описывает поперечные критические моды и соответствующие им критические частоты. Используются следующие обозначения: AS - симметричный случай задачи А, АА - антисимметричный случай задачи A, BS - симметричный случай В, В А - антисимметричный случай задачи В.

Для каждого случая получены следующие частотные уравнения:

&AS sin^2+ cosxü(l-£2+)+

■JÜ2P2 COS sin Aíí(l - ) = О

&ЛЛ = 4~П\Р\ c°scos - ) -■JÜ2P2 sinsin - Ь2 )= 0

&BS = 4x\P\ cosT~&cos k\ k2

JXiPi sin у & sin ~ (l- #2 ) = 0 k\ k2

s'n ™ £2 cos ~ (1 - & )+ k\ 4

ÍX2P2 cos ~ & sin—(1 - ¿2 )=0 k¡ k2

где **= 4U\Pi¡UiP\-

Далее рассматривается уравнение D(a,ílc) = 0 при различных а, которое имеет счетное множество корней J^ (ím>о), симметрично расположенных в комплексной плоскости. При этом для любого значения Í2C помимо ас = 0 существу ет конечное число N(Q^) вещественных чисел а* -±ост (а„ >0,m = l,...,iV(Qc}).

В §6 на основе введения комплексных модулей исследуется затухание нормальных волн.

= (28) где £ — малый параметр.

При этом уравнение

F{a,a,e)= Fs{a,Q,E)FA{aM,e) = 0 (29)

которое получаезся путем подстановки (28) в (21) исследуется как методом малого параметра, так и численно.

(24)

(25)

(26) (27)

Показывается, что при Л = в случае, когда а = 0 является двукратным корнем уравнения (21), уравнение (29) в окрестности а = О имеет пару комплексных корней вида

«с = Го) + О{е) (30)

где у0=/7?,£(<Шс,0)/2> >аа

(о ,ЙС).

Для остальных корней

0.°С.О) , п(г2)

(31)

где Лд - корень уравнения (21), при этом если Сф - вещественный, то множитель F,£. всегда является чисто мнимым.

В §7 рассматривается задача о распространении волн на критической частоте в трехслойной полосе симметричного строения, которые возбуждаются нормальными напряжениями )ехр(— /су/), приложенными к лицевой поверхности х2 = к, амплитуда давления Ц. 2 ) отлична от нуля в области - а й £ <, а.

Задача исследуется с помощью преобразования Фурье. С помощью теории вычетов решение представляется в виде при С\—а

п-0 N.

>яг

Ы\

1)с;5 ехр(/ у^

т

Ъ^МАЛ&'га «Р {Пы^/Рл^а (Гы^аз^)

г

где С'р = )ехр,

выражения Лд, приведены в

-я

диссертационной работе.

Для локализации колебаний в окрестности приложения нагрузки достаточно выбрать функцию g(¿;) таким образом, чтобы С'п~ О (и = 1,..., Ы) то есть, иными словами, «запереть» квазиоднородные моды.

В работе реализован следующий подход: фикгир) ется ширина области 2а, а нагрузка отыскивается в виде полинома с неопределенными коэффициентами

(32)

V. *=1

Выражение (32) соответствует симметричному распределению амплитуды внешнею давления Коэффициенты 1к определялись решением алгебраической системы, вытекающей из условий

С„ = |соз(аи£, =0, и = 1,..., N

(33)

В §8 приведены некоторые результаты численною расчета Расчеты проводились для системы сталь-резина-сталь на первой критической частоте в» 42.

На рис.1 приведен график распределения амплитуды внешнего давления ) (использована нормировка ~ при кото-

ром амплитуды однородных мод в областях ¡^ > от] равны нулю. На рис.2 приведены графики распределения амплитуд поперечных смещений 22(^1 сплошяая линия соответствует распределению давления g(¿i¡) и иллюстрирует локализацию колебаний в окрестности области приложения внешней нагрузки, штриховая линия - распределению давления /(£) = 1.1905-Ю-2 (¡£,|<а).

Глава IV. Колебания двухслойной пластины на поверхности акустической среды.

В четвертой главе рассматривался задача о распространении и затухании волн в упругой двухслойной полосе, лежащей на поверхности идеальной сжимаемой жидкости. Решается проблема локализации колебаний таким образом, чтобы устранить распространение звуковой энергии вдоль пластины. Методом стационарной фазы изучаются возможности формирования диаграмм направленности звукового давления в акустической среде. Построенная теория иллюстрируется серией расчетов для систем сталь-резина-вода, сталь-резина-воздух.

В §9 рассматривается задачу о распространении волн в двухслойной упругой полосе, лежащей на поверхности акустической среды. Волновые процессы в области

возбуждаются нормальными напряжениями, приложенными к лицевой поверхности ;С2=0. IIV j, модули сдвига, коэффициенты Пуассона, плотности материалов (соответственно у =1,2). Задача сводится к нахождению решений в областях уравнений гармонических колебаний и решению уравнения Гельмгольца в 5о. Распространение волн в системе биполоса-жидкость рассматривается при следующих граничных условиях и условиях сопряжения полей

х2=0: <г,12=0, а}п=Ц\&{*\) (34)

х2-Их: ихр-и2р~0, сг,^-а2|д-0, >9=1,2 (35)

Л- 2 = Л : <7212 =0. = <7222 +Р = ® (36)

В § 10 решение -задачи строится методом интеграла Фурье. Вводятся безразмерные координаты £ = х^/к, £ = х2/к и к уравнениям гармонических колебаний, уравнению Гельмгольиа, граничным условиям и условиям сопряжения применяется преобразование Фурье Вводится че-

тырехкомпонентный вектор =\у ¡\,У ^^У > где

У)\=иЛи> У]2 ¡¡г, у^^п/ди У]4=-^н7А1 Уравнения

гармонических колебаний и условия (39), (40) переписывается в виде

У, =АУУ7, Лз(0)=0, Л4(0) = -/*Л = (37)

Далее строится эволюционный оператор этой системы ОСраз Фурье потенциала скоростей точек среды имеет вид

<р\е) = <р0 ехр[— / чо = №/в2-Г2

В завершающей части параграфа приводится представление амплитуд смещений в полосе, потенциала и давления в жидкости в виде интегралов Фурье.

В §11 исследуется задача о нахождении критических частот и мод двухслойной полосы при условии отсутствия акустической среды.

Для определения критических частот получено частотное уравнение вида

(О, И)=й 1 (&)£) 2(0) = 0 (38)

где

£1(£2)=со8(£1С2)81п(ги, кт(^'10)соз(от( £2П)

—, Щ--, Щ--, т, -—, /и„ -—, т 2/ -—

Р} съРг сиРг съ см сц

которое определяет два типа резонансов - продольный (Г2 [г) и поперечный (Л 2г)< гДе ^ ]Г' (г = 1,2,...) - корни уравнений О](£).) = О, £>2 (Ф ~ 0 соответственно.

В §12 исследуется дисперсионное уравнение системы биполоса-ахстическая среда, которое имеет вид

¿"(у, П)= кq0F0-¡е^Г1 =0 (39)

где - отношение волновых сопротивлений.

Показано, что на критических частотах (39) имеет кратные волновые числа Уо~0 только при ¡П1С — £2 !г. При £2С — Г2 2г кратность утрачивается и при малых £ появляется пара (в случае кратности равной 2) комплексных волновых чисел вида

ао =-<¡0 «С Ло,ас)/л^(о,ас) В отличие от квазикритичеких квазиоднородные моды, которые возникают в результате возмущения однородных мод, затухают значительно медленнее. Локализация колебаний в окрестности приложения нагрузки достигается выбором функцию из условий

С„ = а\ё{£)со%{ссп£)(1£ = 0 (я = 1,..., Ы) (40)

—а

где а„ - вещественные корни уравнения = 0» ПРИ подста-

новке в них

\ /=1

Для того чтобы исследовать давление в дальнем поле в §13 решение для давления в виде интеграла Фурье строится методом стационар-

ной фазы. Для построения характеристики направленности получена формула

р(р,т)

¿(т) = 8.68591п

р{р,ж/ 2)

0„сп, Н-£22,!со5г!)/0 , : 8.68591п—---Г\-— Г

и(о)

ОБ)

§14 посвящен описанию результатов численного исследования решений задачи в случае систем сталь-резина-вода, сталь-резина-воздух.

На рис. 3 приведен график распределения амплитуды внешнего давления (использована нормировка =!), при котором

амплитуды однородных мод в областях > а\ (а = 6) равны нулю. На рис.4 приведены графики распределения амплитуд поперечных смещений на границе раздела резина-вода ¡ы 22(цЛ){- Сплошная линия соответствует распределению давления g{g) и иллюсфирует локализацию колебаний в окрестности области приложения внешней нагрузки, штриховая линия - распределению давления = 0.08333 (¡£| ^ а).

0.29

1 0.1 \

/ \

Рис.3

Рис. 4

На рис. 5 изображена характеристика направленности поля давления в дальнем поле, соответствующая распределению давления g(£) и первой критической частоте поперечного резонанса Ф = 0.= 2.38 (сплошная линия) и распределению давления = 0.08333 < я)

(штриховая линия) на той же критической частоте. Из приведенных графиков видно, что для распределения давления g{£) характеристика направленности не имеет боковых лепестков и имеет характер остро направленного луча, в то время как для распределения характеристика не обладает этим свойством. На рис. 6 показана зависимость максимального давления в воде в дальнем поле от частоты. Этот рисунок наглядно иллюстрирует рост амплитуды давления в окрестности критических частот второго рода (поперечный резонанс).

На рис. 7 изображена характеристика направленности поля давления в дальнем поле, соответствующая распределению давления g(£) и второй критической частоте поперечного резонанса С2 = С2 22 = 5.51.

На рис. 8 изображена характеристика направленности поля давления в дальнем поле, соответствующая распределению давления

Из сравнения рисунков 7, 8 видно, что в данном случае характеристики направленности практически совпадают и имеют более острую направленность.

Рис. 7 Рис. 8

Также Б этом параграфе приводятся результаты исследований для системы сталь-резина-воздух и для системы сталь-резина-вода при учете влияния внутренних потерь в полосе.

Основные результаты и выводы.

1. Методом введения комплексных упругих характеристик разработаны численные и аналитические методы определения коэффициентов затухания нормальных волн на критических частотах.

2. На основе разработанных методов исследовано затухание нормальных воля в трехслойной полосе симметричного строения.

3. Разработан и реализован алгоритм локализации колебаний для трехслойной пластины симметричного строения.

4. Разработана теория, практическое применение которой может повысить эффективность ультразвукового просвечивания акустической среды через упругие многослойные стенки. Теория включает в себя:

- аналитические и численные методы определения коэффициента затухания нормальных волн поперечно-неоднородной полосы, лежащей на поверхности акустической среды;

— методы построения характеристик направленности акустического давления в дальнем поле.

5. Разработанные методы реализованы для двухслойной полосы, лежащей на поверхности воды путем определения коэффициента затухания и построения характеристик направленности акустического давления в дальнем поле.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Пешков А А., Устинов Ю.А. Затухание нормальных волн в неоднородной пластине, лежащей на поверхности жидкости, и локализация колебаний // Изв. Вузов Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки. Спецвыпуск. 2001. С. 135-137.

2. Пешков А.А. Затухание нормачьных волн в двухслойной полосе, лежащей на поверхности идеальной сжимаемой жидкости // Труды асп. и соиск. РГУ, Ростов н/Д. Изд-во Рост, ун-та, 2002. т. 8, С. 1012.

3. Пешков А.А., Устинов Ю.А. Ультразвуковое просвечивание акустической среды через двухслойную пластину // Теоретическая и прикладная механика. Харьков. Основа. 2003. вьш.38, С.175-181.

4. Пешков А А., Устинов Ю А. О просвечивании акустической среды через толстую двухслойную стенку на критических частотах // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды VIII Международной конференции. Ростов н/Д. Новая книга. 2003. С. 125128.

»179 13

РНБ Русский фонд

2005-4 12778

Введение.

Глава I. Колебания и волны в поперечно-неоднородной пластине.

§ 1. Постановка задачи.

§2. Общее представление решения уравнений стационарных колебаний

Глава И. Однородные решения неоднородной пластины.

§3. Сведение к спектральным задачам.

§4. Критические частоты и моды.

Глава III. Затухание волн в пластине при малой диссипации энергии

§5. Постановка задачи.

§6. Исследование затухания волн методом теории возмущений.

§7. Локализация колебаний.

§8. Некоторые результаты численного анализа.

Глава IV. Колебания двухслойной пластины на поверхности акустической среды.

§9. Постановка задачи.

§ 10. Построение решения методом интеграла Фурье.

§11. Критические частоты и моды двухслойной полосы.

§12. Квазикритические и квазиоднородные моды и локализация колебаний

§13. Характеристика направленности в дальнем поле.

§ 14. Результаты численного анализа.

В настоящее время существуют разнообразные акустические устройства, широко использующие слоистые упругие элементы пластинчатой структуры. Методы расчета таких элементов зачастую опираются на прикладные теории слоистых пластин. Однако такие теории оказываются мало пригодны в случае высокочастотных колебаний, когда длина волны становится соизмерима с толщиной пластины. Такие ситуации возникают, если частота внешнего воздействия на элемент равна или больше первой критической частоты (частоты запирания) неограниченной полосы.

В диссертации исследуются две проблемы. Первая посвящена изучению затухания нормальных волн в поперечно-неоднородных пластинах в случае, когда материал не является идеально-упругим, при отсутствии излучения звука через ее лицевые поверхности и возможности подбора амплитуд внешней нагрузки так, чтобы колебания локализовались в конечной области, созданию алгоритма такого подбора. В случае локализации колебаний можно использовать модель полуограниченного тела (термин введен И.И. Воровичем [8]), частным представителем которой является, например, бесконечная слоистая пластина (поперечно-неоднородный слой). Вторая проблема, тесно связанная с первой, — возможность создания узконаправленных характеристик звука при просвечивании акустической среды через упругие слоистые элементы. Главное внимание в обеих проблемах уделяется изучению поведения волновых полей на критических частотах и возможности локализации колебаний в окрестности области приложения внешней нагрузки. В случае реализации таких возможностей можно использовать модель неограниченной пластины, даже если материал пластины является достаточно добротным.

Большой вклад в развитие математической теории гармонических волн в полуограниченных телах внес И.И. Ворович [6, 7, 8] благодаря тонким исследованиям свойств дисперсионных множеств и связанных с этими свойствами таких проблем, как условия существования решений с конечной энергией, единственность решения и принципы его выбора.

Важным циклом работ аналитического направления для изучения волновой картины в слоистых средах являются работы [24, 25, 26] по применению матричной технологии в теории слоистых сред: каждый слой характеризуется своей матрицей, определяемой параметрами слоя. Для определения характеристик волны, прошедшей несколько слоев, соответствующие матрицы следует перемножить. В терминах произведения матриц характеризуется также и дисперсионное уравнение.

Несмотря на то, что проблеме распространения волн в неоднородных телах посвящено большое количество работ [1, 2, 3, 4, 17, 18, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47], вопросу поведения волновых полей в окрестности критических частот посвящено сравнительно небольшое число исследований. Одним из первых таких исследований, где задача математически изучалась достаточно полно, была работа [8]. Для твердых волноводов типа цилиндра математическая сторона вопроса детально была исследована в [13].

Проблема затухания нормальных волн в однородной полосе на основе метода комплексных модулей упругости (комплексных скоростей РН и PS-волн) подробно исследована в [5, 22], однако из поля зрения авторов этих работ выпал особый случай - затухание волн в окрестности критических частот. Этот случай для однородного слоя детально изучен в [10], а для слоя, лежащего на поверхности идеальной акустической среды - в работе [20]. В [19] рассмотрена задача об определении амплитудно-частотной характеристики упругой полосы, лежащей на поверхности жидкости на критических частотах при воздействии на внешнюю лицевую поверхность пластины сосредоточенной, периодически меняющейся нагрузки.

В диссертационной работе обосновываются и защищаются следующие новые выводы:

- методы определения коэффициента затухания в поперечно-неоднородном слое на критической частоте, порожденного внутренними потерями;

- реализация методов для трехслойной пластины на критических частотах;

- построение алгоритма подбора нагрузки с целью локализации колебаний;

- реализация алгоритма для трехслойной пластины;

- исследование затухания нормальных волн в двухслойной полосе, лежащей на поверхности акустической среды;

- исследование проблемы просвечивания акустической среды через двухслойную пластину.

Актуальность поставленных и исследованных задач вытекает из недостаточного уровня их исследования и практической значимости для создания устройств ультразвукового просвечивания акустических сред через упругие стенки.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения.

В первой главе на основе трехмерных уравнений теории упругости рассматривается задача о гармонических колебаниях поперечно неоднородной пластины, физико-механические свойства которой описываются произвольными кусочно-непрерывными функциями. Строится общее представление решения уравнения стационарных колебаний.

Во второй главе задача при однородных граничных условиях на лицевых поверхностях пластины сведена к двум спектральным задачам с парой спектральных параметров, роль которых выполняет круговая частота и волновое число. Особое внимание уделяется критическим частотам, при которых в спектре волновых чисел существуют кратные собственные значения.

Дается их классификация и получены дифференциальные уравнения, описывающие распределение критических мод в области, занятой пластиной.

В третьей главе рассматриваются колебания трехслойной пластины симметричного строения, при этом исследуется затухание нормальных волн на критических частотах методом, основанном на введении комплексных упругих характеристик. Решается задача локализации колебаний на критической частоте путем подбора распределения амплитуды внешней нагрузки.

В четвертой главе рассматривается задача о распространении и затухании волн в упругой двухслойной полосе, лежащей на поверхности идеальной сжимаемой жидкости, на критических частотах. Решается проблема локализации колебаний таким образом, чтобы подвить распространение звуковой энергии вдоль пластины. Методом стационарной фазы изучаются возможности формирования диаграмм направленности звукового давления в акустической среде. Построенная теория иллюстрируется серией расчетов для систем сталь-резина-вода, сталь-резина-воздух.

Основные результаты диссертационной работы отражены в публикациях [27,28,29,30].

Работы [27, 29, 30] выполнены совместно с научным руководителем Ю.А. Устиновым. Ему принадлежит общая постановка задачи и рекомендации по выбору метода исследования.

Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, гранты 01-01-00454, 04-01-00069 и программы «Государственная поддержка ведущих научных школ» НШ-2113.2003.1.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Суммируя результаты проведенных исследований, можно заключить, что в диссертационной работе получены следующие новые результаты:

1. Для поперечно-неоднородных пластин разработаны численные и аналитические методы определения коэффициентов затухания нормальных волн на критических частотах.

2. На основе разработанных методов исследовано затухание нормальных волн в трехслойной полосе симметричного строения.

3. Для трехслойной полосы разработан алгоритм подбора распределения амплитуды внешней нагрузки, приложенной к одной из лицевых сторон, позволяющий локализовать колебания полосы в окрестности приложения нагрузки.

4. Разработаны аналитические и численные методы определения коэффициента затухания нормальных волн для поперечно-неоднородной полосы, лежащей на поверхности акустической среды.

5. Для двухслойной пластины, лежащей на поверхности воды, проведена серия расчетов, позволившая проверить эффективность полученных формул для коэффициента затухания.

6. Путем построения характеристик направленности исследовано влияние характера распределения давления на поведение давления в дальнем поле на различных частотах. Установлены некоторые закономерности влияния параметров задачи на структуру акустического поля. Построенная теория и разработанные на ее основе численные и аналитические методы могут быть использованы при проектировании устройств ультразвукового просвечивания акустических сред через упругие слоистые стенки.

1. Бабешко В.А., Белянкова Т.И., Калинчук В.В. О решении одного класса смешанных задач для слоистого полупространства // Доклады РАН, 2001, Т.380, №5, С.619-622

2. Белянкова Т.И., Калинчук В.В., Устинова С.Ю. Динамические свойства составной преднапряженной среды // Изв. Вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2001. №4, С. 122-125.

3. Боровков О.В., Кучеров И.Я., Островский И.В. Распространение волн в трехслойной системе. Упр. физ. ж., 1973, т. 18, №7, с. 1075-1080.

4. Буденков Г.А., Волков Ю.В., Черепкова Н.Г., Гунтина Т.А. Дисперсионное уравнение интерференционных волн в трехслойной среде. Дефектоскопия, 1977, №3, с. 42-47.

5. Викторов И.А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике. М.: Нука, 1966. 168 с.

6. Ворович И.И Спектральные свойства краевой задачи теории упругости для неоднородной полосы // Докл. АН СССР, 1979, т.245, №4, С.817-820.

7. Ворович И.И. Резонансные свойства упругой неоднородной полосы // Докл. АН СССР, 1979, т.245, №5, С.1076-1079.

8. Ворович И.И, Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М. Наука. 1979, 319 с.

9. Ворович ИИ, Кадомцев ИГ., Устинов Ю.А. К теории неоднородных по толщине плит // Изв. АН СССР. МТТ. 1975. № 3. С.119-129.

10. Гетман И.П., Устинов Ю.А. О распространение волн в упругом продольно-неоднородном цилиндре // ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 1. С. 103-108.

11. Гетман И.П., Устинов Ю.А. Математическая теория твердых нерегулярных волноводов. Ростов-на-Дону, изд. РГУ, 1993,144 с.

12. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наук. Думка, 1981. 283 с.

13. Диденко Е.В., Устинов Ю.А. Критические моды колебаний поперечно-неоднородной пластины периодической структуры // ПММ. 2002. Т. 66. Вып.З.С. 481-490.1 б.Иссакович М.А. Общая акустика (Учебник пособие для физ. Специальностей вузов) М. Наука, 1973, 495 с.

14. Калинчук В.В., Белянкова Т.Н. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных тел. М, ФИЗМАТЛИТ 2002, 240 с.

15. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. К проблеме исследования динамических смешанных задач электроупругости и термоупругости для слоисто-неоднородного полупространства.// Изв. Вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2000. № 3, С. 72-74.

16. Каплунов Ю.Д., Маркушевич Д.Г. Излучение упругого слоя в жидкое полупространство (плоская задача) // Докл. АН СССР, 1990, т. 313, №6, С. 1385-1390.

17. Меркулов Л.Г. Затухание нормальных волн в пластинах, находящихся в жидкости // Акуст.ж., 1964, т. 10, Вып.2, С.206-212.

18. Молотков JI.A. Об интерференционных волнах в свободном неоднородном упругом слое. Зап.научн.семинаров Ленингр.отд.Мат.Ин-та АН СССР, 1973, т.34, с.117-141.

19. Молотков JI.A. Отражение и преломление волн неоднородным слоем. В ст.: Вопр. динамич. Теории распространения сейсмич.волн. Вып. 13. - Л.: Наука, 1973, с.15-39.

20. Пешков А.А., Устинов Ю.А. Ультразвуковое просвечивание акустической среды через двухслойную пластину // Теоретическая и прикладная механика. Харьков. Основа. 2003. вып.38, С.175-181.

21. Пешков А.А., Устинов Ю.А. О просвечивании акустической среды через толстую двухслойную стенку на критических частотах // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды VIII Международной конференции. Ростов н/Д. Новая книга. 2003. С. 125-128.

22. Труэлл Р., Элъбаум Ч, Чик Б. Ультрозвуковые методы в физике твердого тела. М.:Мир, 1972. 307 с.

23. Устинов Ю.А. Некоторые свойства однородных решений неоднородных плит. // Докл. АН СССР. 1974. Т. 216. № 4. С. 755-758.

24. Устинов Ю.А. О принципах выбора единственного решения для полуограниченных тел на критических частотах. // Изв. АН СССР. МТТ. 1991. №5. С. 87-93.

25. Устинов Ю.А. О критических модах неоднородной пластины // Докл. РАН. 2000. Т. 370. № 4.С.473-476.

26. Устинов Ю.А. О критических частотах и модах неоднородной пьезо-активной пластины.// Изв. Вузов Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2000. Вып. 3.C.169-173.

27. Федорюк М.В. Метод перевала. М. Наука, 1977. 368 с.

28. Ъ1.Armstrong G.A., Grampin S. Piezoelectric surface-wave calculations in multilayered anisotropic media. Electron.Lett., 1972, vol.8, N21, p.521-522.

29. Cheng N.C., Sun C.T. Wave propagation in two-layered piezoelectric plates. J.Acoust.Soc.Am., 1975, vol.57, N3, p.632-639.

30. Hughes A.J. Elastic surface wave guidance by v/v effect guidance structure. J.Appl.Phys., 1972, vol.43, N6, p.2569-2586. 1.9.

31. Kaliski S. Amplification of a traveling wave in nonhomogeneous elastic medium. Bull.Acad. pol.sci., Ser.Sci.techn., 1973, vol.21, N1, p. 1-5. 1.10.

32. Kenning D.H. A mixed boundary value problem for infinite, piezoceramic bimorphs. Acta mech., 1972, vol.14, N2-3, p. 199-217. 1.11.

33. Kenning D.H. Approximate equations for the flexure of thin, incomplete, piezoelectric bimorphs. J. of Engineering Math., 1971, vol.5, N4, p.307-319. 1.12.

34. Li R.C.M., Yen Kio-Hsiung. Elastic waves guided by a solid layer between adjacent substructures. IEEE Trans. Microwave Theory and Techn., 1972, vol.20, N7, p.477-486. 1.13.

35. Scott R.A. Wave propagation in a layered elastic plate. Int.J.Solids and Struct., 1972, vol.8, N6, p.833-845. 1.14.

36. Sinha B.K., Tiersten H.F. Elastic and piezoelectric surface waves guided by thin films.-J.Appl.Phys., 1973, vol.44, p.4831-4854. 1.15.

37. Wagers R.S. Kino G.S. Analysis of the elastic potential of an acoustic surface wave propagating on a layered halfspace. IEEE Tfans.Sonics and Ul-trason., 1974, vol.21, N3, p.209-213. 1.16.