Локализация линейных и нелинейных волн в средах с включениями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

частотный спектры, квадратичная и кубическая нелинейности, методы перенормировки и многих масштабов

2 Волновые процессы в упругих телах с включениями

2.1 Постановка задачи

2.2 Ловушечные моды колебаний в полубесконечной струне с сосредоточенной массой

2.3 Нелинейные эффекты, вносимые упругим основанием

2.4 Перенормировка частоты ловушечной моды

2.5 Затухание локализованной волны: метод многих масштабов

2.6 Нелинейные эффекты, вносимые упругостью сосредоточенной массы

2.7

Выводы

3 Линейные и нелинейные гравитационные волны на мелкой воде в плоском канале с включением

3.1 Основные уравнения

3.2 Линейное приближение

3.3 Нелинейные эффекты

3.4 Частота локализованных волн: метод перенормировки

3.5 Амплитуда локализованных волн: метод многих масштабов

4 Ловушечные моды акустических колебаний в волноводе конечной глубины с включением в виде массивного штампа

4.1 Акустические колебания жидкости в плоском канале с включением ОГЛАВЛЕНИЕ

4.2 Акустические колебания жидкости в трехмерном канале с включением

4.3 Обсуждение нелинейных эффектов локализации и выводы

высокочастотный и низкочастотный спектры, квадратичная и кубическая нелинейности, методы перенормировки и многих масштабов Исследование колебательных и волновых процессов имеет большое значение для современной техники. Все более интенсивное развитие передовых технологий приводит к необходимости более детального изучения процессов распространения и локализации волн в телах, содержащих включения либо в объеме, либо на границе.Одной из причин этого является обнаруженное недавно явление локализации волн вблизи включений в различных системах [1-4]. В частности, в акустике такие явления приводят к сильно концентрированным полям излучения в окружающую среду [5-8], в задачах о нестационарном воздействии ударных волн на дополнительные элементы конструкций (включения) — к локализованным полям напряжений в районах крепления этих элементов [9-15], в волноводах электромагнитных волн — к локализации электромагнитных волн вблизи неоднородностей волноводов [4,16-18]. Аналогичное явление происходит и в различных физико-механических задачах твердого тела, где локализация волновых процессов приводит к перестрой

Заключение

Ниже кратко сформулированы основные результаты и выводы диссертации.

• На примере ряда задач в работе предлагается метод описания локализации волн вблизи включений для случаев квадратичной и кубической нелинейностей. Этот метод основан на использовании теории возмущений по амплитуде колебаний локализованной моды. Установлено, что причиной расходимости асимптотических рядов является присутствие вековых слагаемых, которые могут быть двух типов: с той же фазой, что и у локализованной моды, и с противоположной. Доказано, что комбинирование метода перенормировки и метода многих масштабов могут обеспечить сходимость решений до необходимого порядка разложения. Установлено, что процесс локализации нелинейных волн определяется положением дискретного спектра относительно частоты отсечки, видом нелинейности и характером дисперсии.

• Нелинейность, вносимая упругим основанием, приводит к двум характерным явлениям. Во-первых, частота колебаний локализованной волны становится зависящей от амплитуды волны (формула (2.90)). Во-вторых, в системе могут возникнуть бегущие волны кратной частоты (Зсио, 5а»с, 7и^о, .), которые отводят энергию от локализованной волны и приводят к ее затуханию. Характер затухания определяется положением минимальной частоты бегущих волн относительно частоты отсечки.

Зависимость времени жизни локализованной волны от массы динамического включения содержит ряд максимумов. В частности, первый максимум соответствует минимальной амплитуде бегущей волны с тройной частотой (Рис. 2.4). В пределе бесконечно большой массы динамического включения т —> оо время жизни локализованной волны ведет себя как г 2 +1, где т — безразмерная масса включения (2.6).

• Нелинейность, порождаемая свободной поверхностью жидкости, приводит к зависимости частоты колебаний локализованных мод от их амплитуды и амплитуды от времени (затуханию локализованных мод). В отличие от случая полубесконечной струны с кубической нелинейностью в данном случае зависимость частоты ловушечных мод от амплитуды является квадратичной (формулы (3.37) и (4.45)). Время жизни локализованных мод значительно меньше, чем в случае с полубесконечной струной на упругом основании. Это объясняется двумя факторами. Во-первых, дисперсия в данном случае такова, что частота отсечки равна нулю, следовательно, бегущие волны здесь возбуждаются лучше. Во-вторых, квадратичная нелинейность сильнее кубической, что при малых амплитудах приводит к более быстрому затуханию локализованной моды. Профиль ловушечных гравитационных волн описывается выражением (3.48). Для того чтобы обеспечить условие совместного движения как штампа, так и жидкости масса штампа должна задаваться выражением (3.51). В случае акустических волн профиль волны и масса штампа описываются выражениями (4.25) и (4.40).

• Проведено численное моделирование процесса локализации линейных и нелинейных волн и показано хорошее соответствие между результатами моделирования и полученными аналитическими результатами.

1. Бабешко В. А., Ворович И. И., Образцов И. Ф. Высокочастотный резонанс в полуограниченных телах с включениями. - Изв. АН СССР. Сер. МТТ. - 1990. Т. 3. - № 3. - С. 74-84.

2. Бобровницкий Ю. И. Короткой М. П. Резонансные волны в упругих телах. Акуст. журн. 1991. - Т. 5. - № 5. - С. 143152.

3. Chang P. Oceanic adjustment in the presence of mean currents on an equatorial plane. J. Geoph. Res. - 1990. - V. 95. - № C9. -P. 15975-15996.

4. Stupakov G. V., Kurennoy S. S. Trapped electromagnetic modes in a waveguide with a small discontinuity. Phys. Rev. E - 1994. -V. 49. - № 1. -P. 794-799.

5. Hamilton E. L. The likelihood of ducted acoustic transmission in deep-ocean sediment channels. /. Acoust. Soc. Am. - 1970. -V. 48. - № 5. - P. 1296-1298.

6. Evans D.V. Trapped acoustic modes. IMA J. Appl. Math. -1992. - V. 49. - № 1. - P. 45-60.

7. Badiey M., Bongiovanni K. P., Jaya I., Siegmann W. L. Frequency dependence of sound propagation in shallow water: Theory and experiments. J. Acoust. Soc. Amer. - 1995. - V. 98. - № 5. -P. 2897.

8. Fawcett J. A., Westwood E. K., Tindle С. T. Modeling range-dependent propagation using trapped and leaky wedge modes.

9. J. Acoust. Soc. Amer. 1995. - V. 97. - № 5. - P. 3313.

10. Indejtchev D., Abramian A. Trapping modes of oscillation in an elastic system In: Proceedings of the Third International Congress on Air- and Structure-Borne Sound and Vibration. -1994. V. 3. - Montreal, Canada. - P. 1817-1825.

11. Indejtchev D., Abramjan A., Andreev V. Trapping modes of oscillation in a channel with rigid and an inclusion in the form of rigid. In: Proceedings of the EUROMECH-316. 1994. - V. 3. -Manchester, England. - P. 223-226.

12. Indejtchev D. A. Trapping modes of oscillation in an elastic system. In: Proceedings of the EUROMECH-316. 1994. - V. 3. -Manchester, England. - P. 304-308.

13. Abramjan A. K., Andreev Y. L., Indejtchev D. A. Resonance oscillations of infinite and finite elastic structures with inclusions. /. Acoust. Soc. Amer. - 1994. - V. 95. - №5. -P. 3007-3008.

14. Abramian A. K. Vibration and nonstationary wave localization within elastic constructions. /. Acoust. Soc. Amer. - 1996. -V. 100. - № 4. - P. 2723.

15. Andreev V. L. Trapped modes in elastic structures with massspring inclusions. J. Acoust. Soc. Amer. - 1996. - V. 100. -№ 4. - P. 2686.

16. Abramian A. K., Indeitsev D. A. Trapping modes in a membrane with an inhomogeneity. Acoust. Phys. - 1998. - V. 44. - № 4. -P. 371-376.

17. Kurennoy S. S. Trapped modes in waveguides with many small discontinuities. Phys. Rev. E. - 1995. - V. 51. - № 3. -P. 2498-2509.

18. Kurennoy S. S., Gluckstern R. L., Stupakov G. V. Coupling impedances of small discontinuities: A general approach. Phys. Rev. E - 1995. - V. 52. - № 4. - P. 4354-4360.

19. Kurennoy S. S. Wakefields and coupling impedances. AIP Conf. Proc. - 1995. - V. 326. - № 1. - P. 311-325.

20. Бабешко В. А., Глушков Б. В., Зинченко Ж. Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 343 с.

21. Hall М. Mode theory of wave propagation in a bilinear medium: The WKB approximation. J. Acoust. Soc. Am. - 1976. - V. 60. -№ 4. - P. 810-814.

22. Macpherson M. K., Frisk G. V. The contribution of normal modes in the bottom to the acoustic field in the ocean. /. Acoust. Soc. Amer. - 1980. - V. 68. - № 3. - P. 929-940.

23. Williams A. O. Normal-mode propagation in deep-ocean sediment channels. /. Acoust. Soc. Am. - 1981. - V. 70. - № 3. -P. 820-824.

24. Rajan S. D., Bhatta S. D. Evaluation of high-resolution frequency estimation methods for determining frequencies of eigenmodes in shallow water acoustic field. I. Acoust. Soc. Am. - 1993. -V. 93. - № 1. - P. 378-389.

25. Petrich W., Anderson M. H„ Ensher J. R., Cornell E. A. Stable, Tightly Confining Magnetic trap for Evaporative Cooling of Neutral Atoms. -Phys. Rev. Lett. 1995. - V. 74. - № 17. -P. 3352-3355.

26. Стокер Дж. Дж. Волны на воде. М.: ИЛ, 1959. 653 с.

27. Roseau М. Asymptotic Wave Theory. Amsterdam: North-Holland Publ. Сотр., 1976.

28. Сретенский. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977. 708 с.

29. Newman J. N. The theory of ship motions. Adv. Appl. Mech. -1978. - V. 18. - № 3. - P. 221-283.

30. Lighthill M. J. Waves in Fluids. Cambridge: Camb. Univ. Press, 1978.

31. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах. М.: Мир, 1983.

32. Ursel F. Some unsolved and unfinished problems in theory of waves. Wave Asymptotics. Cambridge: Camb. Univ. Press, 1992.

33. Debnath L. Nonlinear Water Waves. London: Acad. Press, 1994. -512 p.

34. Абрамян А. К., Андреев В. Л., Индейцев Д. А. Особенности колебаний динамических систем, имеющих несущую конструкцию бесконечной протяженности. В сб.: Моделирование в механике. 1992. - Т. 6. - № 2. С. 3-12.

35. Evans D. Y., Linton С. М., Ursell F. Trapped modes frequencies embedded in the continuous spectrum. Quart. J. Mech. Appl. Math. - 1993. - V. 46. - P. 253-274.

36. Indejtchev D. A. The process of wave localization in elastic structures of infinite length. I. Acoust. Soc. Amer. - 1996. -V. 100. - № 4. - P. 2686.

37. Schredinger E. Abhandlungen zur Welienmechanik. Leipzig, 1927. 314 p.

38. Ursell F. Trapping modes in the theory of surface waves. Camb. Phil. Soc. V. 47. - P. 347-358.

39. Dean R. G., Ursell F., Yu Y. S. Forced small-amplitude water waves: comparison of theory and experiment. J. Fluid Mech. -1959. - V. 7. - № 1. - P. 33-52.

40. Ursell F. The decay of the free motion of a floating body. /. Fluid Mech. - 1964. - V. 19. - № 3. - P. 305-319.

41. Friedman A., Shinbrot M. The initial value problem for the linearized equation of water waves. J. Math. Mech. - 1967. -V. 17. - № 1. - P. 107-180, Ibid. - 1969. - V. 18. - № 11. -P. 1177-1194.

42. Garipov R. M. On the linear theory of gravity waves: the theorem of existence and uniqueness. Arch. Rat. Mech. Anal. - 1967. -V. 24. - № 3. - P. 352-362.

43. Evans D. V. Diffraction of water waves by a submerged vertical plate. J. Fluid Mech. - 1970. - V. 40. - № 3. - P. 433-451.

44. Maskell S. J., Ursell F. The transient motion of a floating body. -J. Fluid Mech. 1970. - V. 44. - № 3. - P. 303-313.

45. Evans D. V. The application of a new source potential to the problem of the transmission of waves over a shelf of arbitrary profile. -Proc. Camb. Phil. Soc. 1972. - V. 71. - № 4. - P. 391410.

46. Evans D. V., Mclver P. Edge waves over a shelf: full linear theory. /. Fluid Mech. - 1984. - V. 142. - №1. - P. 79-95.

47. Mclver P., Evans D. V. The trapping of surface waves above a submerged horizontal cylinder. J. Fluid Mech. - 1985. -V. 161. - № 1. - P. 243-255.

48. Kuznetsov N. G. Uniqueness of a solution of a linear problem for stationary oscillations of a liquid. Diff. Equat. - 1991. - V. 27. -№ 2. - P. 187-194.

49. Evans D. V., Linton C. M. Trapped modes in open channels. /. Fluid Mech. - 1991. - V. 225. - № 2. - P. 153-175.

50. Mclver P., Mclver M. Trapped modes in an axisymmetric water-wave problem. Quart. J. Mech. Appl. Math. - 1997. - V. 50. -№ 1. - P. 165-178.

51. Linton C. M., Kuznetsov N. G. Non-uniqueness in two-dimensional water wave problems: numerical evidence and geometrical restrictions. Proc. Roy. Soc. Lond. A. - 1997. -V. 453. - P. 2437-2460.

52. Kuznetsov N., Mclver P. On uniqueness and trapped modes in the water-wave problem for a surface-piercing axisymmetric structure. Quart. J. Mech. Appl. Math. - 1997. - V 50. -№ 3. - P. 565-580.

53. Evans D. V., Kuznetsov N. Trapped modes. In: Gravity Waves in Water of Finite Depth. Southampton: Comp. Mech. Publ., 1997. -P. 343-351.

54. Pravica D. W. Propagation estimates for dispersive wave equations: Application to the stratified wave equation. /. Math. Phys. - 1999. - V. 40. - № 1. - P. 511-527.

55. Abramian A. Localized modes of oscillating structures which lie on the bottom. J. Acoust. Soc. Amer. - 1999. - V. 105. - № 2. -P. 1196.

56. Indeitchev D. Trapping modes of oscillations in an infinitely long waveguide with submerged object in the form of a massive die. -/. Acoust. Soc. Amer. 1999. - V. 105. - № 2. - P. 1196.

57. Wengrovitz M. S. A technique for generating synthetic acoustic fields in shallow water. /. Acoust. Soc. Amer. Suppl. - 1984. -V. 76. - № SI. - P. Sll.

58. Kaplunov J. D., Sorokin S. Y. A simple example of a trapped mode in an unbounded waveguide. I. Acoust. Soc. Amer. - 1995. -V. 97. - № 6. - P. 3898-3899.

59. Bernes D. P. The discontinuous conical bore as a Sturm-Liouville problem. J. Acoust. Soc. Amer. - 1996. - V. 100. - № 4. -P. 2812.

60. Chimonas G, Hauser Н. М., Bennett R. D. The excitation of ducted modes by passing internal waves. Phys. Fluids - 1996. -V. 8. - № 6. - P. 1486-1505.

61. Allard J.-F., Henry M., Tizianel J. Surface waves over bead layers. /. Acoust. Soc. Amer. - 1999. - V. 105. - № 6. -P. 3021-3025.

62. Becker К. M., Frisk G. V. Application of the Gelfand-Levitan method to geoacoustic inversion in shallow water. / Acoust. Soc. Amer. - 2000. - V. 108. - № 5. - P. 2536.

63. Liao C. Y., Mei С. C. Numerical Solution for Trapped Modes around Inclined Venice Gates. J. Water. Port Coast. Ocean Eng. - 2000. - V. 126. - № 5. - P. 236-244.

64. Найфэ А. Методы возмущений. M.: Мир, 1976. 455 с.

65. Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. -535 с.

66. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974. -542 с.

67. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. -622 с.

68. Ляпидевский В. Ю. Уравнения мелкой воды с дисперсией. -ПМТФ. 1998. - V. 39. - № 2. - С. 40-46.

69. Капцов О. В. Построение точных решений уравнений Буссине-ска. ПМТФ. - 1998. - V. 39. - № 3. - С. 74-78.

70. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 690 с.