Исследование циклических процессов теплопроводности и термоупругости в термическом слое твердого тела сложной формы тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

На правах рукописи

Супельняк Максим Игоревич

ИССЛЕДОВАНИЕ ЦИКЛИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ТЕРМОУПРУГОСТИ В ТЕРМИЧЕСКОМ СЛОЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

01.04.14 - Теплофизика и теоретическая теплотехника

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

- 8 ИЮЛ 2015

005570464

Москва-2015

005570464

Работа выполнена в Калужском филиале федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана» на кафедре «Тепловые двигатели и теплофизика»

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

кандидат технических наук, профессор Карышев Анатолий Константинович

Карташов Эдуард Михайлович,

заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры высшей и прикладной математики ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет тонких химических технологий им. М.В. Ломоносова»

Кудинов Игорь Васильевич,

кандидат технических наук, доцент кафедры «Теоретические основы теплотехники и гидромеханика» ФГБОУ ВПО «Самарский государственный технический университет»

ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)»

Защита состоится 16 октября 2015 г. в 10:00 на заседании диссертационного совета Д 212.157.04 при ФГБОУ ВО «НИУ «МЭИ» по адресу: 111250, г.Москва, ул. Красноказарменная, д. 17, корп. Т, кафедра Инженерной теплофизики им. В.А. Кириллина, ауд. Т-206.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВО НИУ «МЭИ» и на сайте www.mpei.ru.

Автореферат разослан <с/» ЫЮ//^_2015 г.

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах) с подписями, заверенные печатью учреждения, просим направлять по адресу: 111250, г. Москва, ул. Красноказарменная, д. 14, Ученый совет ФГБОУ ВО НИУ «МЭИ».

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.157.04 кандидат технических наук

А.К. Ястребов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Циклическое изменение знака теплового потока через поверхность твердого тела возбуждает в нем тепловые волны и термоциклические напряжения, которые могут вызвать усталостное разрушение материала. С подобным явлением приходится часто сталкиваться на практике, поскольку работа ряда технических устройств и конструкций сопровождается периодическим изменением температуры их элементов во времени. Тепловые волны возникают в рабочих лопатках газовых турбин при существенной окружной неоднородности температуры потока за камерой сгорания, в элементах двигателей внутреннего сгорания и теплообменных аппаратов регенеративного типа, в периодически нагреваемых Солнцем стенах зданий и сооружений и коре Земли, с ними сталкиваются в теории автоматических систем регулирования температуры. Термоциклические напряжения, вызванные тепловыми волнами, представляют наибольшую опасность для парциально охлаждаемых рабочих лопаток газовых турбин. Поскольку циклическое изменение температуры деталей может оказывать заметное влияние на рабочий процесс или надежность работы установки, то оно должно учитываться при проектировании изделия. Несмотря на имеющиеся исследования циклических процессов теплопроводности, они охватывают не все возникающие на практике случаи, поэтому дальнейшее изучение подобных задач является актуальным.

Цель диссертационной работы заключается в разработке и практическом использовании расчетных схем для исследования тепловых волн и термоциклических напряжений в термическом слое твердого тела сложной формы. Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи исследования:

1. Выбор одномерных пространственных моделей для исследования тепловых волн и термоциклических напряжений в термическом слое твердого тела сложной формы.

2. Применение расчетных схем для исследования термоусталостной прочности парциально охлаждаемых рабочих лопаток.

3. Проведение экспериментальных исследований для практического использования полученных аналитических зависимостей.

Научная новизна полученных в ходе исследования результатов заключается в следующем:

1. Предложены расчетные схемы для исследования тепловых волн и термоциклических напряжений в термическом слое твердого тела сложной формы.

2. Получены новые аналитические решения задач теплопроводности и термоупругости без начальных условий.

3. Показано, что при определенных условиях теплообмена допустима замена переменного коэффициента теплоотдачи эквивалентным постоянным.

4. Исследованы тепловые волны с учетом конечной скорости распространения теплоты и установлено, что с увеличением времени релаксации теплового потока высшие гармоники перестают затухать с глубиной быстрее низших.

Практическая значимость результатов диссертационной работы заключается в следующем:

1. Разработана методика расчета ступени турбины с парциальным охлаждением рабочих лопаток.

2. Разработана инженерная методика расчета колебаний температуры и термических напряжений в парциально охлаждаемых лопатках.

3. Предложена методика определения локального коэффициента теплоотдачи на поверхности продольно обтекаемой насадки регенератора.

Достоверность и обоснованность полученных результатов подтверждается использованием общепризнанных математических моделей физических процессов и строгих методов математической физики, оценкой методической погрешности измерения температуры и применением в экспериментальных исследованиях аттестованных измерительных устройств и предварительно тарированных термоэлектрических преобразователей.

Личный вклад автора заключается в разработке расчетных схем для исследования тепловых волн и термоциклических напряжений в термическом слое твердого тела сложной формы; выводе аналитических зависимостей; проведении расчетов и анализе их результатов; разработке экспериментального стенда; проведении экспериментальных исследований и обработке их результатов.

Автор защищает:

1. Расчетные схемы для исследования тепловых волн и термоциклических напряжений в термическом слое твердого тела сложной формы.

2. Аналитические решения задач теплопроводности и термоупругости без начальных условий.

3. Инженерную методику расчета колебаний температуры и термических напряжений в парциально охлаждаемых лопатках.

4. Результаты расчетно-экспериментального исследования нестационарной циклической теплоотдачи на поверхности продольно обтекаемого цилиндра.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на: XVIII и XIX школах-семинарах молодых ученых и специалистов под руководством акад. РАН А.И. Леонтьева (Звенигород, 2011; Орехово-Зуево, 2013); Всероссийских научно-технических конференциях «Наукоемкие технологии в приборо- и машиностроении и развитие инновационной деятельности в вузе» (Калуга, 2012-2014); научно-технических семинарах ЗАО НПВП «Турбокон» (Калуга, 2012-2014); семинарах и заседаниях кафедры «Тепловые двигатели и теплофизика» КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана (Калуга, 2012-2014); Шестой Российской национальной конференции по теплообмену (Москва, 2014); научном семинаре ОИВТ РАН (Москва, 2015); заседании кафедры Паровых и газовых турбин НИУ МЭИ (Москва, 2015); заседании кафедры «Теплофизика» МГТУ им. Н.Э. Баумана (Москва, 2015); научно-техническом совете ОАО «Калужский турбинный завод» (Калуга, 2015).

Награды. Результаты работы были отмечены дипломом за П место на секции «Теплопроводность. Теплоизоляция» Шестой Российской национальной конференции по теплообмену.

Реализация результатов работы. Результаты работы переданы в ОАО «Калужское опытное бюро моторостроения» для использования при разработке

малоразмерных ГТД, а также применяются в учебном процессе кафедры «Тепловые двигатели и теплофизика» Калужского филиала МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 13 печатных работ, в том числе 4 статьи в научных журналах, включенных в перечень ведущих периодических изданий ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 150 наименований. Работа изложена на 249 страницах и содержит 86 рисунков и 27 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна, теоретическая и практическая значимость полученных результатов, их достоверность, основные положения, выносимые на защиту, приведены данные о структуре и объеме диссертационной работы.

Первая глава носит обзорный характер. В начале главы кратко рассмотрены встречающиеся на практике задачи, связанные с периодическим изменением температуры твердых тел во времени, и приведен более подробный обзор исследований, посвященных парциальному охлаждению рабочих лопаток газовых турбин. Из обзора следует, что проблеме усталостной прочности лопаток под действием термоциклических напряжений не было уделено должного внимания. Заключение о выносливости детали делается после определения возникающих в ней напряжений. Для нахождения термоциклических напряжений в общем случае необходимо численно проинтегрировать задачу термоупругости для лопатки, сопряженную с задачей газовой динамики для проточной части. В связи с тем, что численное решение нестационарных междисциплинарных задач большой размерности требует значительных вычислительных ресурсов и времени, постановку задачи часто упрощают. Таким образом поступали И.А. Барский и А.Д. Трухний в исследованиях теплового состояния лопатки при циклическом изменении температуры жидкой среды. Предложенные ими расчетные схемы справедливы при низкой частоте колебаний температуры. При высокой частоте требуются другие подходы, которые должны адекватно отражать основные особенности и определяющие параметры процесса. Наиболее важной особенностью реальных процессов является нестационарность коэффициента теплоотдачи.

В конце главы сделан обзор аналитических методов исследования тепловых волн при нестационарном коэффициенте теплоотдачи. Методы решения уравнения теплопроводности при постоянном коэффициенте теплоотдачи и колеблющейся температуре жидкости приведены в работах Г. Карслоу, Д. Егера, Э.Р. Эккерта, P.M. Дрейка, Г. Гребера, С. Эрка, У. Григулля, A.B. Лыкова, А.Д. Пинчевского и других ученых. Циклическое решение уравнения теплопроводности, полученное с помощью метода разделения переменных, лежит в основе теории теплоустойчивости ограждений зданий и сооружений, базирующейся на трудах O.E. Власова, Г.А. Селиверстова, С.И. Муромова, A.M. Шкло-вера, Л.А. Семенова, К.Ф. Фокина. Достаточно большое количество публикаций посвящено решению начально-краевых задач теплопроводности при произвольной зависимости коэффициента теплоотдачи от времени. Среди работ,

рассмотренных в обзоре, можно выделить исследования Л.Б. Бодрецовой, Э.М. Карташова, A.B. Атгеткова, И.К. Волкова, Я.Ф. Рутнера, В.Н. Гревцевой, В.В. Саломатова, Э.И. Гончарова, Б.Я. Любова, Н.И. Ялового, В.А. Кудинова, Е.В. Стефанюк. Недостатком методов, используемых для решения задачи теплопроводности в приведенных работах, является практическая невозможность выделить в решении установившуюся периодическую составляющую, которая представляет непосредственный интерес для практики. Возможные подходы к поиску стабилизированной температуры изложены в работах М.А. Каганова, Ю.Л. Розенштока, Ю.А. Кирсанова, P.C. Минасяна. После анализа публикаций для поиска установившегося периодического решения задачи теплопроводности в дальнейших исследованиях был выбран метод разделения переменных с учетом подхода P.C. Минасяна.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию тепловых волн и термоциклических напряжений в термическом слое твердого тела сложной формы.

При отсутствии в теле источников теплоты циклическое поле температуры определяется из решения задачи теплопроводности без начальных условий дТ/dt = aV2T, (x,y,z) eV,t > —oo; (1)

-A(ÖT/3n)w = k(Tw ~ Тж), t > -oo, (2)

где T — T(x,y,z,t) - температура тела в точке с координатами (x,y,z) в момент времени t, К; V2 - оператор Лапласа; V — занятая телом область пространства; а — коэффициент температуропроводности, м2/с; Я - коэффициент теплопроводности, Вт/(м - К); п - вектор внешней нормали к поверхности тела, м; Тж = Тж (xw,yw,zw, t)-температура жидкой среды, К; к = K(xw,yw,zw,t) > 0-коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2 ■ К); индекс «w» относится к параметрам на поверхности тела F = dV. Кроме того, K\t=r+T = к|£=т, Tx\t~r+T = Гж|£=т, где Т - период процесса, с. Ввиду того, что в диссертации рассматривались периодические во времени поля, для их исследования использовалась теория тригонометрических рядов Фурье. Как известно, любая периодическая функция f(t) с периодом Т, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд Фурье

/ 00

/СО = у + К cos(bjt) + в[ sin(fciüt)], (3)

к=1

где со = 2п/Т - круговая частота процесса, с-1; = f — среднее за период значение функции. Важной характеристикой периодической функции является размах колебаний

Д/ = max [f(t)] - min [/(t)]. ' 0<t<r 0£t<ru v Ji

Исследуемые поля являются периодическими функциями времени, поэтому они могут бьггь разложены в ряды Фурье, однако в общем случае коэффициенты этих рядов и размахи колебаний будут зависеть от пространственных координат.

В ходе анализа безразмерной формы (1), (2) было установлено, что существуют два предельных состояния поля температуры, при которых задача значительно упрощается. При высокой теплопроводности материала или малых размерах тела, большом периоде цикла и низкой теплоотдаче поле температуры

можно считать безградиентным. Для такого случая удалось получить зависимость температуры от времени в аналитически замкнутом виде е-от(Г) 7

T(t) = e-^Cimodr)

1 _ е-Ш1СГ)

tmodJ"

+ J етМ<т(т)Тж(т) dr

о

где t mod Т = t- T[t/T\; [t/T\ - целая часть числа t/T;

= KdF;Tx(t) = J KTxdF/ j KdF-,m(t)= [mfödr;

F FF 0

p - плотность материала тела, кг/м3; с - удельная массовая теплоемкость материала тела, Дж/(кг • К); V - объем тела, м3. При очень высокой частоте процесса поле температуры можно считать стационарным, поскольку AT -> 0 при со -» оо. Для данного случая была получена квазистационарная форма (1), (2).

В общем случае температура тела зависит как от пространственных координат, так и от времени. Из (3) следует, что у поля температуры можно выделить постоянную и колебательную составляющие:

Т = Т + тЭ.

Осреднение (1), (2) за период приводит к задаче

V2f = 0, (x,y,z) е V;

где

"А (£)= к_ Tw++- <г->* T . T

(Тж)к = J кТж dt j J к dt.

(4)

(5)

В связи с тем, что

slzw*

lfc=l

AKATW 6 к

при малом размахе колебаний температуры на поверхности тела рядом в граничном условии (5) можно пренебречь, что слабо скажется на решении из-за корректности постановки краевой задачи (4), (5). Колебательная составляющая поля температуры определяется из решения задачи

дti/дt = оЯЧХх.у.г) е V, г> -оо; (6)

-ЖМ/ЭтОи, = к(Р„ + Т„- Гж) + \{дТ/дп)„, t > -оо. (7)

При высокой частоте процесса размах колебаний температуры на поверхности тела мал, а тепловые волны затухают в глубине тела. В таких случаях удобно по аналогии с теорией пограничного слоя ввести понятие термического слоя толщиной 8Т, которая является решением уравнения

' 2 VI!

где 8 — глубина, отсчитываемая от поверхности тела вдоль ее внутренней нормали, м; Д- размах колебаний температуры на глубине 5 от

точки поверхности ( « 1, обычно С = 0,01. Без решения задачи

теплопроводности нельзя определить толщину термического слоя, однако можно установить его существование. Очевидно, что толщина термического слоя должна быть гораздо меньше характерного поперечного размера тела. Последний можно определить как Д = ¿V/Р, где Р - площадь поверхности теплообмена, м2; параметр £ характеризует форму тела: £ = 1 - для оболочек; £ = 2 - для стержней; £ = 3 — для массивных тел. У стержней и оболочек площадь F относится только к боковым поверхностям, а торцевые во внимание не принимаются. Быстрота уменьшения амплитуды тепловой волны с увеличением глубины зависит от ее характерного размера Д* = -у/а/со — чем он меньше, тем меньше толщина термического слоя. При наличии термического слоя 5Г~Д*, поэтому условие его существования можно записать в следующем виде:

Д/Д* » 1.

Если тепловые волны не проникают на всю глубину тела, то не происходит их интерференции, что позволяет исследовать колебания температуры в небольшой области термического слоя независимо от остальной части тела. Учитывая, что тепловые волны распространяются преимущественно по нормали к поверхности тела, и приняв во внимание (6), (7), можно заключить, что на колебания температуры в термическом слое оказывают влияние локальные условия теплообмена на поверхности и ее форма. Это дает возможность исследовать тепловые волны вдоль нормали к поверхности тела в одномерном приближении, решив задачу теплопроводности в одной из канонических областей в декартовой, цилиндрической или сферической системе координат. Выбор геометрической области обусловлен формой поверхности, которая определяется двумя радиусами главных кривизн Д^, и Д"р. В зависимости от их модулей и знаков возможны несколько вариантов расчетных схем:

1) полупространство, если > » Д*;

2) неограниченный цилиндр или пространство с цилиндрическим каналом радиуса Д = |д;'р|, если |д;р|» |Д^| > Д*;

3) шар или пространство со сферической полостью радиуса

Д = 2|ДкрДкр/(Д£р + ^¡ф)|>

если |Д£р| > |Д^'р| > Д*.

Тепловые волны в термическом слое могут быть исследованы двумя способами. Если средней за период плотностью теплового потока на поверхности тела можно пренебречь, то колебания температуры определяются из решения одномерного пространственного приближения задачи (1), (2). В противном случае сначала в квазистационарном приближении интегрируется пространственная задача (4), (5), а только затем решается (6), (7) в приближении термического слоя. Для одномерных расчетных схем в качестве граничного условия на поверхности тела используется (2) или (7). На второй границе, которая является фиктивной, для задачи (1), (2) и внутренней задачи (6), (7) ставится условие ограниченности решения, а для внешней задачи (6), (7) — условие затухания колебаний температуры на бесконечности.

Важной для практики является ситуация, при которой имеют место кусочно-постоянные на периоде зависимости температуры жидкой среды и коэф-

фициента теплоотдачи от времени. Подобные условия теплообмена характерны для парциально охлаждаемой рабочей лопатки, соответствующие зависимости тж = Гж(0 и к = к(0 приведены на рис. 1. Они полностью определяются степенью паровой парциальности еп, температурами Гп < Тт и коэффициентами теплоотдачи кя, кт, где индексами «п» и «г» обозначены параметры пара и газа. Для указанных законов могут быть найдены размах колебаний температуры жидкой среды

ДГЖ = ТГ- Гп, ее средняя за период температура

Тж = епТл + (1 - еп)Гг, средний за период коэффициент теплоотдачи

к = + (1 - £л)кт и коэффициент интенсивности охлаждения Ь = кп/кт. При этом вместо кп и кт коэффициент теплоотдачи может быть задан значениями к и Ь. В общем случае

г Тп^Хм^у^гу,), Тт ~ Тт(ХулУу],кп = кп(Х'И„уш,гц,), кг = еп = £п(.х\\пУы1 а также имеет место запаздывание изменения знака плотности теплового потока вдоль поверхности тела, поэтому

^ж — ГжО^и" Уи" Ь т), К = кСХы'Уи/' £ где т = т(Ху/.уу^гп) — время запаздывания, с. Было установлено, что для указанных условий теплообмена возможна замена переменного коэффициента теплоотдачи эквивалентным постоянным

к' = кь+ АКь,

которая практически не сказывается на колебаниях температуры при высокой частоте процесса. Здесь

к„кг Ыс Дг Х(дТ\

[1 + (Ь - 1)еп]2 ь= 51§П(Ь " Д7^ЛК: '

Для произвольных законов изменения температуры жидкой среды и коэффициента теплоотдачи на периоде была найдена более общая формула т т

К' = I [к((Гж)к - Тж) - (к - к)Ат„] (Тж - Тж) Л П (Тж - Тжу Л.

п г _

е,т t

а) б)

Рис. 1. Зависимости температуры жидкой среды (а) и коэффициента теплоотдачи (б) от времени на периоде процесса

Если градиент средней за период температуры не слишком велик, теплопроводность материала достаточно низкая, а интенсивность теплоотдачи относительно высока, то средней за период плотностью теплового потока на по-

верхности тела можно пренебречь, что обычно оказывается допустимым. На практике тела с циклически изменяющейся температурой в основном имеют такую форму поверхности, что один из главных радиусов кривизны очень велик, поэтому наибольший интерес представляют расчетные схемы в цилиндрической системе координат. Примером могут служить парциально охлаждаемые рабочие лопатки первой ступени турбины, которые из-за малой длины выполняются либо с постоянным сечением, либо с небольшой закруткой профиля. Для таких деталей один из радиусов главных 1фивизн велик, поэтому с достаточной для практики степенью точности их можно считать цилиндрическими телами, а необходимый радиус кривизны определять по кривой, очерчивающей контур плоского сечения профиля. Отсюда следует, что для выпуклых поверхностей профиля - кромок и спинки - в качестве расчетной схемы для определения термоциклических напряжений выступает цилиндр, а для вогнутой поверхности корытца - пространство с цилиндрическим каналом. В связи с практической важностью указанных расчетных схем было проведено их детальное исследование.

В первой части исследования получено аналитическое решение несвязанной задачи термоупругости для цилиндра, а также рассмотрено влияние конечной скорости распространения теплоты на колебания температуры. Математическая модель теплопереноса имела вид

д2Т дТ 13/ дТ\ ,оч

= + МЯР'С*' - {> (10)

где Т = Г (г, £) - температура цилиндра в точке с радиальной координатой г в момент времени К; тг — время релаксации теплового потока, с; Я — радиус цилиндра, м; Гж(£) = Гж(£ + Т); к(£) = к(£ + Т) > 0. Температура жидкости и коэффициент теплоотдачи являются ограниченными периодическими функциями времени, удовлетворяющими условиям Дирихле. Решение (8) - (10) представляет собой ряд Фурье

Ат 00

т(г, с) = + £ \Airn со8(п£) + №) 5ш(пс)],

П=1

где

= Ап Вег(т/пЛ срп) + В1 Ве1(лп?, <рп) ;

Щ(?) = -Атп ВеКг)пг, срп) + ВХ Вег(??пг, срп) ; г - безразмерная радиальная координата; Ь = - безразмерная переменная времени; - действитель-

ная и мнимая части функции]0{х^е~1ч>)\/0(х) - функция Бесселя первого рода нулевого порядка; = V—1 - мнимая единица; г]п = + — + <Рп = + -£ип) = агс^С^п)-1]; = п2хг/¥ош\уп = п/¥оы; = штг -

безразмерное время релаксации теплового потока; Рош = а/(&)й2) — критерий Фурье. Для определения постоянных коэффициентов

решения ^

граничного условия (10) произведение к(с)Г(Д, £) было предварительно разложено в тригонометрический ряд, коэффициенты которого были выражены через коэффициенты соответствующих и Г(Д, I:) рядов Фурье. Далее с помощью свойства ортогональности тригонометрической системы функций была получена бесконечная система линейных алгебраических уравнений с бесчисленным множеством неизвестных Ад, которая решалась приближенно методом редукции.

Расчеты поля температуры, проведенные при характерных для парциаль-но охлаждаемой лопатки условиях теплообмена, показали, что конечная скорость распространения теплоты заметно влияет на колебания температуры при условии

тг/Т > 10"3,

которое обычно не выполняется на практике, поэтому в дальнейшем тепловые волны исследовались в рамках классической феноменологии Фурье, которой соответствует хг = 0.

Так как для рассматриваемой расчетной схемы Т = const, то

причем при парциальном охлаждении

0Ь-1)е„(1-е„)Д1Г \b-l\ATw

(Тж)к = Тж ' П/ДГЖ; |f - {Тж)к| < •

1 + Gb-lK "ж'к|-6[1 + (Ь-1)<гпГ

Расчетным путем была подтверждена возможность замены переменного коэффициента теплоотдачи K(t) эквивалентным постоянным кь, что существенно упрощает задачу, поскольку в таком случае можно получить точные зависимости для коэффициентов АЦ, А

Проведены исследования предельных состояний поля температуры цилиндра, важных с практической точки зрения. Сравнение расчетов, выполненных с помощью точной и приближенной зависимостей безградиентного поля температуры от времени, подтвердило приемлемую точность используемого в исследованиях приближенного метода решения задачи теплопроводности. Показано, что при бесконечно малой кривизне поверхности цилиндр можно заменить полупространством, для которого было найдено решение циклической задачи теплопроводности.

Наибольшие колебания температуры имеют место на поверхности цилиндра. С помощью безразмерной формы задачи теплопроводности показано, что при характерных для парциально охлаждаемой лопатки условиях теплообмена

A9W = ДeRI b, BiJ) « A9w(fi*, en, 1, BiJ), где 9 = (T — ТЖ)/ДГЖ - безразмерная избыточная температура; Bi* = KTR*/Х\ R* - R/R* — Fo~1/2; Bi£ = KbR*/A. Указанную зависимость было предложено искать в виде

Ав„(Й*. еп, 1, BiJ) = ХцХсЬЫсо, 1/2,1, BiS), где ЗСкр = ЗСКР(Й\ еп) - поправка на кривизну поверхности; Ке = 0С£(.ел) - поправка на степень парциальное™. В ходе исследований была получена формула для расчета размаха колебаний температуры на поверхноста цилиндра

. (1 + [4еп(1 - ОГ» 0'5+„2е"1 , -.

I «* ¡^Т+ХбЩТЦЩ?

аппроксимирующая действительную величину с погрешностью менее 10 %. Для решения задачи теплопроводности без начальных условий дТ 13/ дТ\

аг(о,о/аг = о,с>-оо; (12)

-лэг(д,с)/эг = К(0[г(д,0 - гж(0], с > -«, (13)

получена априорная оценка

т т т

J Т2(г,Ь)сИ < | / 77^(0Л,

о о о

которая позволяет доказать корректность постановки (11) - (13) и обосновать

редукцию бесконечной системы уравнений для определения Здесь

т .т

Кщт ^ кТ2 = I к{г)Т2{Я,€)<1ь /1 Г2(Д,0с*с < кшах.

о 'о

При определении напряжений использовалась динамическая постановка задачи теории упругости в перемещениях (без учета инерции теплового потока) 13 / диг\ ги 1 д2иг 1 + V д$

__ г_21 ---—ГГ = --у— 0 < г < Д, С > -оо; (14)

гдг\ дг / г2 а2 дг2 1 - V1 дг к '

1^(0,0 = 0,0-00; (15)

ЗиДдд) Щ(Я, 0 .... (1-у) +у д = (1+у)у0(Я, С), *>-«>, (16)

где и,. = щ. (г, Ь) — радиальная компонента вектора перемещения из точки с радиальной координатой г в момент времени Ь, м; ар - скорость распространения продольных волн в твердом теле, м/с; v - коэффициент Пуассона; у - коэффициент линейного термического расширения, К-1; $ = \9(г, 0 = Т(г, О — Т. Решение (14) - (16) представляет собой ряд Фурье

00

щф. 0=2 С0<п{) + б"Г(г) 5Ш(пС)] ,

п=1

где

А^ОТ = -СЛ(шиМ/л„) + Ьег'0?„?) + Ьм'О?«*) ; = В^псоЮ/ар) - Ье!'(чп?) + К Ьег'(ч„* )!

Ьег'х = сЛэегя/сЬ:; ЬеГх = <1Ъе[х/с1х; Л 00 - функция Бесселя первого рода первого порядка; Ьегх, Ье1х - функции Кельвина первого рода нулевого порядка; Лпг, Впг, <Апг, Ъпг - постоянные коэффициенты, м. Расчеты, проведенные с помощью найденного решения и его предельной формы при Лр -> оо, соответствующей квазистатической постановке задачи, показали, что влияние сил инерции пренебрежимо мало. Тем самым была обоснована возможность решения задачи термоупругости в квазистатической постановке.

Об опасности переменных напряжений при сложном напряженном состоянии позволяет судить интенсивность размахов колебаний напряжений Ааг. Установлено, что она достигает наибольшего значения на поверхности цилиндра, причем при безградиентном поле температуры

Д aiw - £yATw,

а при бесконечно малой кривизне поверхности

Дaiw = £yATw/(l - v),

где £ - модуль Юнга, Па.

Во второй части исследования решена квазистатическая задача термоупругости для пространства с цилиндрическим каналом, найдена приближенная формула для расчета размаха колебаний температуры на поверхности канала

I ß* Jvi + i,6Bi*b + a5Bfb)2

и установлена зависимость

AaiM = £yATw/{ 1 - v), справедливая при любом радиусе канала.

На основе полученных результатов разработана инженерная методика расчета интенсивности размахов колебаний термоциклических напряжений на поверхности парциально охлаждаемой лопатки:

• для выпуклого участка поверхности при Й* < 2,8[4еп(1 — еп)]0,34

* fij-гд и ^0 7°'5 + 2е"Я1 ЗВ8;Убп(1-б„) _ Аалу, « Еу\ 1 + [4еп(1 - enJJ --г ■ =ДТЖ;

• во всех остальных случаях

£у fl гл м моЯ°'4-°'2е~я*) 3Bi;ygn(i-en) ^

В формулы входит радиус цилиндрической поверхности R, который соответствует кривизне контура поперечного сечения профиля в рассматриваемой точке. С помощью максимального значения Aai w находятся коэффициенты запаса

2tr_! , ^ грс5

Па KiAaiw + 2\1)а5'П" KiA<Ji.w ' по величине которых делается заключение об усталостной прочности лопатки. Здесь ст.! — предел выносливости материала при симметричном цикле нагруже-ния, Па; гра - коэффициент чувствительности материала к асимметрии цикла; а - наибольшее среднее за период нормальное напряжение в сечении профиля, Па; JQ - эффективный коэффициент концентрации напряжений, учитывающий влияние состояния поверхности, масштабного эффекта и концентрации напряжений на усталостную прочность.

В конце главы более детально исследовано влияние конечной скорости распространения теплоты на колебания температуры. Как и в случае с нулевым временем релаксации теплового потока, модельной задачей для исследования тепловых волн выступает задача о колебаниях температуры в полупространстве. С помощью найденного решения установлено, что уменьшение амплитуды тепловой волны с увеличением глубины определяется множителем е (п , где 8* = S/R*;

У(пЧгУ+п2 I ntr

V2 J Vl + (птгУ ^ В рамках классической феноменологии Фурье тг = 0, поэтому е-^®* -> 0 при п -» оо и S* * 0. Если тг 0, то -> e"s*/(2VV) при п -> оо, т.е. при

большом времени релаксации теплового потока высшие гармоники перестают затухать с глубиной быстрее низших, а колебания температуры не становятся гармоническими.

Третья глава диссертации посвящена использованию расчетных схем и инженерной методики для исследования усталостной прочности парциально охлаждаемой рабочей лопатки.

В начале главы рассмотрены особенности проектирования ступени турбины с парциальным охлаждением рабочих лопаток. Отличительной чертой конструкции является совместное расширение продуктов сгорания и охлаждающего агента в общей проточной части, из-за чего их параметры должны выбираться согласованно. Исходя из того, что отношение массовых расходов потоков на выходе из рабочей решетки должно быть таким же, как и на входе, было получено условие, связывающее в неявном виде располагаемые теплоперепады Дhi и степени реактивности д рабочих тел в ступени:

Mc^it^t sin а1

-—— = idem. (17)

Здесь ц — коэффициент расхода; с - скорость потока в абсолютном движении, м/с; иг - скорость потока в относительном движении, м/с; v - удельный объем рабочего тела, м3/кг; а, /? - углы, определяющие направления векторов скорости с и w соответственно, град; индексы «с» и «р» обозначают сопловую и рабочую решетку, «1» и «2» - параметры за сопловой и рабочей решеткой, «t» -термодинамическое состояние потока при обратимом адиабатном расширении потока в решетке. Согласно (17), при расчете ступени только три из четырех параметров Дh*Qn, Ah*0r, дп, дг могут быть выбраны произвольно.

Для термически совершенного газа связь (17) между Ah*0 и д рабочих тел найдена в явном виде. С ее помощью установлено, что оптимальная с точки зрения газодинамики ступень должна быть чисто активной, т.е. следует выбирать степени реактивности рабочих тел близкими к нулю. Также получена зависимость для оценки степени паровой парциальности, которая показала, что снижение температуры пара на входе в ступень приводит к уменьшению степени паровой парциальности, поэтому эффективность охлаждения практически не меняется.

С помощью установленных соотношений проведен расчет ступени с парциальным охлаждением лопаток. На основе полученных данных построен профиль рабочей лопатки и численно определено его циклическое термонапряженное состояние (рис. 2). Результаты двумерного расчета (2D) были сопоставлены с данными расчетов, проведенных с помощью одномерных расчетных схем (1D) и приближенных формул (0D) без учета Vf, в четырех характерных точках на контуре сечения профиля: А на входной кромке, В на спинке, С на выходной кромке, D на корытце. Точки А и С располагались на пересечении дуг кромок и

биссектрис углов заострения кромок, а в точках В и О окружность максимального диаметра, вписанная в контур сечения профиля, касалась спинки и корытца. Сопоставление результатов, приведенное в табл. 1, подтвердило достоверность предложенных одномерных пространственных расчетных схем и приближенных формул для определения термоциклических напряжений в парци-ально охлаждаемых лопатках.

5 10 20 53,4 а) б)

Рис. 2. Поля размаха колебаний температуры (а) и интенсивности размахов колебаний напряжений (б) в среднем сечении парциально охлаждаемой лопатки

Таблица 1

Размах колебаний температуры и интенсивность размахов колебаний

Точка Д7\ К (00) ДГ, К (Ю) ДГ, К (20) ДМПа (ОБ) Д|хе, МПа (Ю) Дст^, МПа (20)

А 52,0 52,0 53,4 196,9 187,8 181,7

В 12,3 12,4 12,3 59,4 59,6 57,1

С 21,9 21,9 21,6 75,0 72,9 71,5

Б 10,4 10,5 10,4 50,9 51,4 49,3

С помощью инженерной методики проведена оценка термоусталостной прочности парциально охлаждаемой лопатки, которая показала, что возникающие в ней термоциклические напряжения могут представлять реальную опасность для надежной работы лопаточного аппарата.

Четвертая глава диссертации посвящена использованию решения задачи (11) - (13) для определения локального циклического коэффициента теплоотдачи на поверхности насадки регенератора, продольно обтекаемой жидкостью с переменной температурой.

В начале главы на простом примере ламинарного течения жидкости в канале с циклически изменяющейся температурой поверхности показано, что стабилизированная нестационарная теплоотдача заметно отличается от стацио-

нарной. В подобных случаях нельзя использовать квазистационарный подход, поэтому требуется иной способ нахождения коэффициента теплоотдачи. Одним из способов является решение обратной граничной задачи теплопроводности методом подбора. Его суть заключается в выборе из заранее заданного подкласса возможных решений такого коэффициента теплоотдачи, который минимизирует невязку между результатами расчета, проведенного с помощью известного решения прямой задачи теплопроводности, и данными эксперимента.

Рис. 3. Экспериментальный стенд:

1 - ТА регенеративного типа; 2, 3 - емкости с горячей и холодной водой; 4, 5 -центробежные насосы; б - воздухоотводчик; 7 - расходомер; 8-10 - термопары; 11-16 - электромагнитные клапаны; 17, 18 - универсальные измерители-регуляторы; 19 - ПК

Для проведения эксперимента был разработан и изготовлен специальный стенд (рис. 3). В ходе эксперимента цилиндрическая насадка теплообменного аппарата (ТА) регенеративного типа 1, включающая термометрируемый цилиндр, поочередно обтекалась холодной и горячей водой. Диаметр насадки составлял 50 мм, а внутренний диаметр корпуса ТА - 59 мм. Теплоносители подавались из открытых емкостей 2 и 3 с помощью центробежных насосов 4 и 5 соответственно. Для удаления воздуха в верхней точке системы был установлен автоматический воздухоотводчик 6. Объемный расход жидкости, протекающей в кольцевом канале ТА, измерялся электромагнитным преобразователем расхода 7. Поочередность подачи холодной и горячей воды обеспечивалась с помощью шести электромагнитных клапанов 11-16, переключающих контуры движения потоков в автоматическом режиме. Подключенные к ПК 19 универсальные измерители-регуляторы ТРМ 17, 18 при помощи хромель-алюмелевых термопар 8-10 измеряли температуру исследуемого цилиндра в десяти различных точках и температуру воды перед и за ТА. После стабилизации температуры их показания регистрировались в течение нескольких периодов на ПК спе-

циальной программой, которая также управляла режимом работы клапанов через один из ТРМ. Исследования проводились на медном и стальном цилиндрах для четырех режимов, отличающихся длительностями подачи в ТА каждого из теплоносителей (50 с, 100 с). Каждый цилиндр был препарирован десятью термопарами, рабочие спаи которых располагались в двух сечениях, перпендикулярных оси цилиндра.

Параметры поступающей в ТА воды в ходе проведения эксперимента на различных режимах были практически неизменны. В табл. 2 приведены температуры холодной и горячей жидкостей Тж, их объемные расходы отвечающие им средние по сечению кольцевого канала скорости игж, а также числа Рейнольдса Яе, вычисленные по эквивалентному диаметру <^экв = 9 мм, скоростям игж и кинематическим вязкостям воды при Тхол и Ггор соответственно.

Таблица 2

Параметры воды на входе в ТА

Вода г», °с Кк, м3/ч •ИГЖ, м/с Яеж

Холодная 9 0,67 0,24 1,6 • 103

Горячая 95 0,41 0,15 4,3 • 103

Решение обратной задачи теплопроводности проводилось при кусочно-постоянных на периоде температуре жидкости и коэффициенте теплоотдачи, аналогичных изображенным на рис. 1. В качестве характерных температур жидкости Гхол и Ггор использовались значения, указанные в табл. 2, а параметр е, определяющий длительность охлаждения сечения цилиндра, определялся по формуле

в которой V — объем водяного тракта, заключенный между сечением за впускными клапанами и исследуемым сечением цилиндра, м3; гхол - длительность подачи холодной воды в ТА. В качестве невязки Ат между расчетными и экспериментальными данными использовалось среднеквадратическое значение их разностей. Коэффициентам теплоотдачи кхол и кгор, найденным в ходе решения обратной задачи теплопроводности, соответствовали значения Ат= 0,8 -г-1,3 К.

Для оценки отклонения коэффициента теплоотдачи от действительного значения была разработана расчетная схема, с помощью которой было установлено, что термометрирование цилиндра приводит к несущественному искажению его поля температуры, а погрешность определения коэффициента теплоотдачи в основном связана с невязкой между решением прямой задачи теплопроводности и экспериментом. Использование в экспериментах насадки с медным цилиндром, поле температуры которого было близким к безградиентному, позволило непосредственно определить коэффициент теплоотдачи по формуле

рей с1Т

К = 2(ГЖ-Г)^'

где р - плотность материала цилиндра, кг/м3; с - удельная массовая теплоемкость материала цилиндра, Дж/(кг • К). Сравнение обратного расчета с прямым (рис. 4) подтвердило достоверность предложенного метода оценки отклонения коэффициента теплоотдачи от действительного значения. Кроме того оно пока-

зало, что значения кхол и кгор, определенные из решения обратной задачи теплопроводности, близки к значениям действительного коэффициента теплоотдачи, осредненным за промежутки охлаждения и нагревания цилиндра.

к, Вт/(м2-К) к, Вт/(м2-К)

Рис. 4. Коэффициенты теплоотдачи, определенные по аппроксимированным данным эксперимента (сплошная линия), из решения обратной задачи теплопроводности (штриховая линия) и по дискретным показаниям термопар (точки) на режимах: а - Т = 100 с; б - Т = 150 с

В конце главы проведено сравнение коэффициентов теплоотдачи кхол = 870 4-1100 Вт/(м2 • К), кгор = 1360 ч- 1550 Вт/(м2 • К), найденных из решения обратной задачи теплопроводности, и

кхол = 1920 ч- 2010 Вт/(м2 • К), кгор = 1170 Вт/(м2 • К), определенных по критериальным уравнениям. Заметная разница между ними еще раз подтверждает недопустимость использования при расчетах циклической теплоотдачи эмпирических зависимостей, справедливых для стационарных процессов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Рассмотрены предельные случаи циклического поля температуры твердого тела. Для квазистационарного поля температуры, которое имеет место при очень высокой частоте процесса, получено математическое описание, а для безградиентного теплового состояния в аналитически замкнутом виде найдена зависимость температуры от времени.

2. Предложены расчетные схемы для исследования тепловых волн и. термоциклических напряжений в термическом слое твердого тела сложной формы, которые представляют собой канонические области в декартовой, цилиндрической или сферической системах координат. Выбор расчетной схемы определяется формой поверхности тела в исследуемой точке.

3. Показано, что при высокой частоте процесса возможна замена нестационарного коэффициента теплоотдачи эквивалентным постоянным.

4. Получены новые аналитические решения задач теплопроводности и термоупругости без начальных условий. В задаче теплопроводности учтена конечная скорость распространения теплоты и нестационарность коэффициен-

та теплоотдачи. Несвязанная задача термоупругости решена в динамической постановке.

5. Получена априорная оценка решения третьей краевой задачи без начальных условий для уравнения теплопроводности параболического типа через краевые функции. С ее помощью доказана корректность постановки задачи и обоснована редукция бесконечной системы уравнений, содержащей неизвестные постоянные коэффициенты решения.

6. Разработаны простые приближенные формулы для расчета размаха колебаний температуры и интенсивности размахов колебаний напряжений на поверхности парциально охлаждаемой лопатки и методика оценки ее многоцикловой термоусталостной прочности.

7. Найдена зависимость между основными параметрами рабочих тел в ступени турбины с парциальным охлаждением лопаток. С ее помощью установлено, что оптимальная с точки зрения газодинамики ступень должна быть чисто активной.

8. На простом примере ламинарного течения жидкости в канале с циклически изменяющейся температурой поверхности показано, что стабилизированная нестационарная теплоотдача заметно отличается от стационарной. Из решения обратной граничной задачи теплопроводности определен местный циклический коэффициент теплоотдачи на поверхности продольно обтекаемой цилиндрической насадки регенератора.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В научных журналах из списка ВАК

1. Карышев А.К., Супельняк М.И. Температурное поле цилиндра при нестационарных периодических условиях теплообмена с окружающей средой // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. - 2011. - № 4. -С. 54-70.

2. Карышев А.К., Супельняк М.И. Термоциклические напряжения в цилиндре, вызванные нестационарными периодическими условиями теплообмена с внешней средой // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. -2012,-№2.-С. 47-58.

3. Супельняк М.И., Карышев А.К. Исследование температурных волн в цилиндре с учетом инерции теплового потока // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. -2013. -№ 2. - С. 106-119.

4. Супельняк М.И., Карышев А.К. Экспериментальное исследование тепловых волн в цилиндре при переменной интенсивности теплоотдачи // Тепловые процессы в технике. — 2015.— № 2. - С. 67—72.

В других журналах и изданиях

5. Карышев А.К., Супельняк М.И. Оценка термонапряженного состояния рабочих лопаток турбины с парциальными подводами пара и газа // Проблемы газодинамики и тепломассообмена в новых энергетических технологиях: Тезисы докладов XVIII Школы-семинара молодых ученых и специалистов под руководством акад. РАН А.И. Леонтьева, 23-27 мая 2011 г., Звенигород. -М.: Издательский дом МЭИ, 2011. - С. 275-276.

6. Супельняк М.И. Решение гиперболического уравнения теплопроводности без начальных условий для неограниченного цилиндра // Наукоемкие технологии в приборо- и машиностроении и развитие инновационной деятельности в вузе: материалы Всероссийской научно-технической конференции, 4-6 декабря 2012 г., Калуга. Т. 2. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012.-С. 176-177.

7. Супельняк М.И. О корректности одной нестационарной периодической задачи теплопроводности // Там же. - С. 178-179.

8. Супельняк М.И., Карышев А.К. Оценка методической погрешности измерения нестационарной температуры на оси цилиндра // Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках: Тезисы докладов XIX Школы-семинара молодых ученых и специалистов под руководством акад. РАН А.И. Леонтьева, 20-24 мая 2013 г., Орехово-Зуево. - М.: Издательский дом МЭИ, 2013. - С. 227-228.

9. Супельняк М.И., Карышев А.К. Особенности расчета ступени турбины с парциальным охлаждением рабочих лопаток // Наукоемкие технологии в приборо- и машиностроении и развитие инновационной деятельности в вузе: материалы Всероссийской научно-технической конференции, 10-12 декабря 2013 г., Калуга. Т. 1. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013. -С. 228-230.

10. Супельняк М.И., Карышев А.К. Температурные волны и термоциклические напряжения в неограниченном твердом теле с цилиндрическим каналом // Там же. - С. 245-247.

11. Супельняк М.И., Карышев А.К. Экспериментальное исследование тепловых волн в цилиндре при переменной интенсивности теплоотдачи // Тезисы Шестой Российской национальной конференции по теплообмену, 27-31 октября 2014 г., Москва. В 3 томах. Т. 3. - М.: Издательский дом МЭИ, 2014. -С. 227-228.

12. Супельняк М.И., Карышев А.К. Определение циклического коэффициента теплоотдачи из решения обратной задачи теплопроводности // Наукоемкие технологии в приборо- и машиностроении и развитие инновационной деятельности в вузе: материалы Всероссийской научно-технической конференции, 25-27 ноября 2014 г., Калуга. Т. 1. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014. - С. 198-200.

13. Супельняк М.И., Карышев А.К. Особенности стабилизированной теплоотдачи при ламинарном течении жидкости в канале с циклически изменяющейся температурой поверхности // Там же. - С. 201-202.

Тираж Ч @

Полиграфический центр МЭИ, Москва, Красноказарменная 13.