Исследование турбулентных течений в каналах со вставками и в зазоре между вращающимися цилиндрами при малых числах Рейнольдса тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ЯКИМОВА Оксана Анатольевна

ИССЛЕДОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ В КАНАЛАХ СО ВСТАВКАМИ И В ЗАЗОРЕ МЕЖДУ ВРАЩАЮЩИМИСЯ ЦИЛИНДРАМИ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тюмень - 2011

2 5 АВГ 2011

4852368

Работа выполнена в Тюменском филиале Института теоретической и прикладной механики им. С.А.Христиановича СО РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Зубков Павел Тихонович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Вакулин Александр Анатольевич

доктор физико-математических наук, профессор Баянов Ильмир Масуилович

Ведущая организация:

ГОУ ВПО Пермский государственный университет

Защита диссертации состоится « 15 •» сентября 2011 г. в 16— часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.274.09 при Тюменском государственном университете по адресу: 625003, г. Тюмень, ул. Перекопская, 15А.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тюменского государственного университета.

Автореферат разослан «_» августа 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета у1,

кандидат физ.-мат. наук, доцент ——Мусакаев Н.Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Исследованы важные классы течений, встречающихся в прикладных задачах, — течения в каналах со вставками и в зазоре между вращающимися цилиндрами. Теоретически показана возможность измерения расхода жидкости в канале путем помещения тепловыделяющей вставки в центр потока по значению температуры лишь в одной точке в канале либо на нагревательном элементе. Предлагаемый метод позволяет работать в условиях, в которых другие методы оказываются неприменимы. Также найдено и исследовано стационарное решение уравнений движения вязкой жидкости, при котором за плохообтекаемым телом существует обособленная турбулентная область, в то время как основной поток является ламинарным. Показано, что при этом интегральные характеристики потока, такие как суммарное трение и перепад давления на участке трубы, отличаются от тех же характеристик для ламинарного и турбулентного течения. Исследовано течение в зазоре между вращающимися цилиндрами, которое часто встречается во вращающихся частях механизмов. Цель работы

Изучить возможность определения расхода жидкости в трубе путем измерения температуры в точках потока или на нагревательном элементе, расположенном на оси трубы. Показать, что достаточно измерения температуры лишь в одной точке жидкости либо на нагревательном элементе, чтобы определить расход жидкости в канале.

Исследовать течение в канале со вставкой. Показать, что существует решение системы уравнений движения вязкой жидкости, в рамках которого за плохообтекаемым телом существует обособленная турбулентная область, в то время как основной поток остается ламинарным.

Исследовать тепловыделение в зазоре между двумя коаксиальными цилиндрами за счет вязкой диссипации при вращении внутреннего цилиндра со скоростью 3000 об/мин и 6000 об/мин. Исследовать течение в зазоре при одномерной и двумерной постановках задачи при различных угловых частотах вращения.

Научная новизна

• Численно исследована зависимость температуры в нескольких выбранных точках в потоке и на нагревательном элементе, расположенном в центре трубы, от числа Рейнольдса. Получено, что, используя результаты работы, для каждой из выбранных точек можно построить обратную зависимость числа Рейнольдса от температуры и тем самым определять расход жидкости, измеряя температуру лишь в одной точке жидкости либо на нагревательном элементе. Предлагаемый метод позволяет работать в условиях, в которых другие методы оказываются неприменимы.

• Изучено влияние вставки на изменение режимов течения жидкости в канале при различных числах Рейнольдса в диапазоне значений 13е=800 -Яе=1700. Установлено, что уравнения движения вязкой жидкости допускают решения, соответствующие полностью ламинарному течению, полностью турбулентному течению, а также течению, при котором за вставкой существует обособленная турбулентная область, в то время как основной поток остается ламинарным.

• Исследовано течение жидкости в узком зазоре между неподвижным и вращающимся цилиндрами. Показано, что рассмотренная модель турбулентности позволяет получить только ламинарное установившееся решение в случае 3000 об/мин и 6000 об/мин. При 12000 об/мин численно обнаружены оба режима течения - ламинарный и турбулентный. При этом ламинарный режим колебательный. Значения осредненной вязкой диссипации: при 3000 об/мин - 216 Вт/м, при 6000

об/мин - И 40 Вт/м, при 12000 об/мин - 5580 Вт/м для ламинарного течения и 8806 Вт/м для турбулентного течения. Тем самым показано, что режим течения оказывает существенное влияние на тепловыделение за счет вязкой диссипации.

Практическая значимость

Результаты исследований могут быть использованы при расчетах приборов контроля температуры и расхода жидкости в каналах и трубопроводах, а также в качестве входных данных для расчетов повышения температуры во вращающихся механизмах за счет трения между неподвижным и вращающимся цилиндрами.

Достоверность результатов работы обеспечивается использованием общих законов и уравнений механики сплошной среды и широко используемой модели турбулентности, надежно протестированной на различных течениях. Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы были представлены на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006); на IV Российской национальной конференции по теплообмену, (Москва, 2006); на V международной конференции по обратным задачам (Казань-Москва, 2007), а также в публикациях в рецензируемых журналах. Публикации

По материалам, изложенным в диссертации, опубликовано пять печатных работ, список которых представлен в конце автореферата. Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения; содержит 92 рисунка, 5 таблиц, список литературы из 84 наименований. Объем диссертации составляет 105 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность проблемы, определены цели исследования, отмечены научная новизна и практическая значимость работы. Приведено краткое содержание работы.

В главе 1 диссертационной работы проводится анализ литературных источников с точки зрения современного состояния проблем существования различных режимов течения в каналах, а также использования различных моделей турбулентности для численных расчетов подобных течений. Также приведен краткий обзор работ по проблеме течения в зазоре между вращающимися цилиндрами.

В главе 2 рассматривается возможность определения расхода жидкости в круглой трубе при помощи измерения температуры на нагревательном элементе в центре трубы (Рис. 1).

Численно исследуется зависимость температуры в нескольких выбранных точках в потоке и на нагревательном элементе от числа Рейнольдса (Рис. 2). Используя результаты этого исследования, для каждой из выбранных точек можно построить обратную зависимость числа Рейнольдса от температуры и тем самым определять расход жидкости, измеряя температуру лишь в одной точке жидкости либо нагревательного элемента.

г

Ь

Рис. 1. Постановка задачи

Рис. 2. Функция тока и распределение безразмерной температуры при Яе = 500

Точка Р) находится в потоке, над нагревательным элементом, в радиальном направлении она удалена от поверхности нагревательного элемента на расстояние, равное его радиусу. Точки Р2 и Р3 расположены также в потоке, но в непосредственной близости от нагревательного элемента - точка Р2 находится спереди от нагревательного элемента, то есть в набегающем потоке, точка Ръ находится за тыльной стороной нагревательного элемента. Точки Рц и Р5 находятся вблизи точек Р2 и Р}, соответственно, но не в потоке, а на поверхности нагревательного элемента.

При 34 значениях расхода получено 34 соответствующих значений безразмерной температуры в указанных точках. В качестве примера на Рис. 2 показаны линии тока и безразмерное поле температуры при Яе=500. Видно, что за тыльной стороной нагревательного элемента образуется вихрь. Этот вихрь тем больше, чем меньше число Рейнольдса, и он является одной из причин более высокой температуры в этой области.

Решение было получено при значениях числа Рейнольдса от 50 до 10000, где число Рейнольдса было определено на основе радиуса трубы

Р!е = Г '""е Число Прандтля оыло взято равным 5,4. И/

Задача считалась численно с помощью метода контрольного объёма и алгоритма SIMPLER. Использовалась равномерная сетка в 2560*64 контрольных объёмов по х и г соответственно. Расчёты проводились методом установления.

Глава 3 посвящена исследованию ветвления турбулентных течений в каналах со вставками (Рис. 3). Показано, что система уравнений движения вязкой жидкости допускает решения, соответствующие ламинарному режиму течения, турбулентному, а также такому установившемуся течению, при котором основной поток ламинарный, но за вставкой существует обособленная турбулентная область. Чтобы на него было легче ссылаться, последний режим течения для удобства назван в работе «среднегурбулентным».

Рис. 3. Круглая труба с цилиндрической вставкой

Для получения ламинарного режима течения: в качестве граничного условия на входе задан установившийся одномерный ламинарный профиль скорости (профиль Пуазейля); в качестве начального условия во всей области использован тот же одномерный ламинарный профиль.

Для «среднетурбулентного» режима в качестве граничного условия на входе и в качестве начального условия во всей области взят тот же ламинарный профиль, что и в первом случае, но, кроме этого, внутри области задано ненулевое начальное приближение для турбулентной

кинетической энергии и ее диссипации. Картины течения для всех рассмотренных чисел Рейнольдса показаны на Рис. 4-8. Кроме линий тока показано также распределение безразмерной турбулентной характеристики — отношения эффективной вязкости к ламинарной. В ламинарной области течения эта величина равна единице, в турбулентной - превышает единицу. Видно, что картина течения изменяется по сравнению с ламинарным режимом. Особенно это заметно при увеличении числа Рейнольдса: вихрь за вставкой увеличивается в длину, таким образом, увеличивается область зауженного сечеиия потока жидкости над вставкой, и точка отрыва пограничного слоя на стенке грубы смещается вниз по течению. При числах Рейнольдса 800 и 900 турбулентная область сохраняется только в вихревой зоне за вставкой, а в остальной области течения турбулентные характеристики затухают. В частности, турбулентность исчезает и в вихре у стенки.

При 11е=1200 турбулентная область еще ограничена вихрем, но уже распространяется и до оси трубы. Начиная с Ке=1500, турбулентная область выходит за пределы вихря и распространяется вдоль оси, но основная часть потока при этом все равно остается ламинарной.

Рис. 4. Линии тока и поле безразмерной эффективной вязкости при «среднетурбулентном» режиме течения при 13е=800

0 4 - О 7 Т5 ' Го " ¡Т~Г 12

Рис. 5. Линии тока и поле безразмерной эффективной вязкости при «среднетурбулентном» режиме течения при Яе=900

Рис. 6. Линии тока и поле безразмерной эффективной вязкости при «среднетурбулентном» режиме течения при Ре=1200

Рис. 8. Линии тока и поле безразмерной эффективной вязкости гтри «среднетурбулентном» режиме течения при Ре= 1700

Рис. 7. Линии тока и поле безразмерной эффективной вязкости при «среднетурбулентном» режиме течения при 1Че=1500

И, наконец, для полностью турбулентного в качестве граничного и начального условий задан установившийся турбулентный профиль скорости, полученный из численного решения одномерной задачи, а также ненулевые турбулентные характеристики, вычисленные для этого профиля по формулам:

к = 5-10 ~3и(г)2

^tube

Задача считалась численно с помощью метода контрольного объёма и алгоритма SIMPLER. Использовалась равномерная сетка в 2560х64 контрольных объёмов по х и г соответственно. Расчёты проводились методом установления.

В главе 4 исследован вопрос о возможности существования турбулентного течения в узком зазоре между неподвижным и вращающимся цилиндрами (Рис. 9).

Рис. 9. Зазор между двумя коаксиальными цилиндрами, внутренний цилиндр вращается

На Рис. 10-12 координата у отсчитывается от внутреннего цилиндра. При частотах 3000 об/мин и 6000 об/мин (Рис. 10) турбулентные характеристики быстро затухают, и установившееся течение - только ламинарное.

Рис. 10. Картина течения при 6000 об/мин

Была исследована также частота 12000 об/мин. При этой частоте на сетке 500x100 были получены следующие режимы течения и значения вязкой диссипации:

• установившееся турбулентное течение, осредненная вязкая диссипация равна 8806 Вт/м (Рис. 11),

осциллирующее ламинарное течение, осредненная вязкая диссипация равна 5580 Вт/м (Рис. 12).

При ламинарном течении система вихрей колеблется, наклоняясь то к одной, то к другой торцевой стенке. На Рис. 12 показана некоторая фаза этого колебательного процесса.

x,mm

Рис. 12. Картина течения при 12000 об/мин, ламинарный случай

Показано, что режим течения оказывает существенное влияние на тепловыделение за счет вязкой диссипации.

Задача считалась численно с помощью метода контрольного объёма и алгоритма SIMPLER. Для двумерной задачи использовалась равномерная сетка в 500x100 и 1000*200 контрольных объёмов по х и г, соответственно. Расчёты проводились методом установления.

В заключении представлены основные результаты исследования.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ РАБОТЫ

Численно исследованы различные режимы течений вязкой жидкости в канале со вставкой и в зазоре между неподвижным и вращающимся цилиндрами.

* Теоретически показана возможность определения расхода жидкости в трубе путем измерения температуры на нагревательном элементе, расположенном на оси трубы (в дальнейшем результаты были использованы при расчете модели расходомера).

• Для течения в круглой трубе с цилиндрической вставкой уравнения движения вязкой жидкости допускают решения, соответствующие полностью ламинарному, полностью турбулентному течению, а также течению, при котором за вставкой существует

обособленная турбулентная область, в то время как основной поток остается ламинарным.

• Исследовано течение в малом зазоре между неподвижным и вращающимся цилиндрами. Показано, что при 3000 об/мин и 6000 об/мин существует лишь ламинарное установившееся течение. При 12000 об/мин получено ламинарное колебательное и установившееся турбулентное течение. Исследовано тепловыделение за счет вязкой диссипации. Показано, что на ее значение существенное влияние оказывает режим течения.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Шелковый Г.М., Якимова O.A. Влияние вставки на режимы течения жидкости в трубе // Тез. докл. IX Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 22 - 28 августа 2006). Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 2006, С. 183.

2. Зубков П.Т., Шелковый Г.М., Якимова O.A. Влияние подогреваемой вставки на течение в трубе // Труды четвертой Российской национальной конференции по теплообмену: В 8 томах. Т.2. М.: Издательский дом МЭИ, 2006, С. 116-119.

3. Sviridov Е.М., Zubkov Р.Т., YakimovaO.A. Flowrate Determination in a Pipe By Means of a Temperature Measurement at a Heating Element // Proc. of 5th International Conference "Inverse problems: Identification, Design, and Control" [Электронный ресурс] (Kazan - Moscow, May 10 - May 17, 2007).

4. Шелковый Г.М., Якимова O.A. Влияние вставок на течение жидкости в трубе // Сб. статей «Теплофизика, гидродинамика, теплотехника». Выпуск 4, Тюмень: Изд-во Тюменского государственного университета, 2008, С. 81-89.

5. Зубков П.Т., Якимова O.A. Определение расхода жидкости в круглой трубе при ламинарном течении при помощи измерения температуры на нагревательном элементе // Теплофизика высоких температур, 2009, Т. 47, №6, С. 957-960.

Подписано в печать 10.08.2011. Формат 60x84/16. Печ. л. 1. Печать ризограф. Тираж 100. Зак. № 865.

Типография «Печатник» Тюмень, ул. Республики, 148 корп. 1/2. Тел. (3452) 20-51-13, тел./факс (3452) 32-13-86

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАСХОДА ЖИДКОСТИ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ ПОСРЕДСТВОМ

ИЗМЕРЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ НА НАГРЕВАТЕЛЬНОМ ЭЛЕМЕНТЕ В ЦЕНТРЕ ТРУБЫ.

Пос IАНОВКА ЗАДАЧИ.

Математическая модель.

Численная реализация.

ПОЛУЧИ ШЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

ГЛАВА 3. ВЕТВЛЕНИЕ ТЕЧЕНИЙ В КАНАЛАХ СО ВСТАВКАМИ.

Постановка задачи.

Математическая модель.

Численная реализация.

РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ.

РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ «СРЕДНЕТУРБУЛЕНТНОГО» ТЕЧЕНИЯ.

РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ ТУРБУЛЕНТНОГО ТЕЧЕНИЯ.

ГЛАВА 4. ТЕЧЕНИЕ В УЗКОМ ЗАЗОРЕ МЕЖДУ ВРАЩАЮЩИМИСЯ ЦИЛИНДРАМИ.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

Математическая модель.

Численная реализация.

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ ПРИ ОДНОМЕРНОЙ ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧИ.

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ ПРИ ДВУМЕРНОЙ ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧИ.

В работе исследуются различные типы течений при помощи одной из наиболее распространенных и широко используемых к—г моделей турбулентности - модели Лаундера-Шармы для малых чисел Рейнольдса.

В первой главе проводится анализ литературных источников с точки зрения современного состояния проблем в решении задач, вынесенных в заголовок работы.

Во второй главе численно исследуется возможность определения расхода жидкости в трубе по измерению температуры в выбранных точках потока. Возможный способ измерения расхода в трубе состоит в том, чтобы поместить внутрь потока нагревательный элемент с постоянной и одинаковой мощностью во всем объеме нагревательного элемента, и, когда температурное поле установится, измерить температуру в одной или нескольких точках. Проведя подобный эксперимент для разных значений расходов, построить для выбранных точек зависимость температуры от расхода. Если в каких-то из выбранных точек эта зависимость допускает построение обратной зависимости, то по результатам экспериментов можно построить модельную зависимость расхода от температуры для некоторого диапазона значений расходов. Далее показано, что наиболее представительной является зависимость температуры от расхода на тыльной стороне нагревательного элемента, так как в этой точке происходит наибольший нагрев, и, следовательно, если по построенной зависимости определять расход по температуре, которая измерена с некоторой погрешностью, ошибка в определении расхода будет наименьшей по сравнению с другими точками.

В данном исследовании не рассматривался вопрос о наилучшей конструкции и положении нагревательного элемента. При заданной геометрии рассматривалась лишь идея о возможности определения расхода путем измерения температуры в точках потока или на нагревательном элементе.

В третьей главе исследовались возможные режимы течения в канале со вставкой. В результате было установлено, что уравнения движения вязкой жидкости допускают решения, соответствующие ламинарному течению, турбулентному течению, а также течению, при котором за вставкой существует обособленная турбулентная область, в то время как основной поток остается ламинарным. Последний режим для краткости в дальнейшем будет назван «средпетурбулентным».

В четвертой главе с помощью этой же модели исследуется течение в зазоре между неподвижным и вращающимся цилиндрами. Целью исследования является получить значение тепловыделения за счет вязкой диссипации при вращении внутреннего цилиндра со скоростью 3000 об/мин и 6000 об/мин, а также исследовать течение в зазоре при различных угловых частотах вращения.

Заключение

Численно исследованы различные режимы течений жидкости в канале со вставкой и в зазоре между неподвижным и вращающимся цилиндрами.

Теоретически показана возможность определения расхода жидкости в трубе путем измерения температуры на нагревательном элементе, расположенном на оси трубы (в дальнейшем результаты были использованы при расчете модели расходомера).

Показано, что для течения в круглой трубе с цилиндрической вставкой уравнения движения вязкой жидкости допускают решения, соответствующие полностью ламинарному течению, полностью турбулентному течению, а также течению, при котором за вставкой существует обособленная турбулентная область, в то время как основной поток остается ламинарным. Расчеты проведены при числах Рейнольдса в диапазоне значений Яе = 800 -Не = 1700.

Исследовано течение в узком зазоре между неподвижным и вращающимся цилиндрами. Показано, что при 3000 об/мин и 6000 об/мин существует лишь ламинарное установившееся течение. При 12000 об/мин получено ламинарное колебательное и установившееся турбулентное течение. Исследовано тепловыделение за счет вязкой диссипации. Показано, что на ее значение существенное влияние оказывает режим течения.

1. П.Т. Зубков, О.А. Якимова. Определение расхода жидкости в круглой трубе при ламинарном течении при помощи измерения температуры на нагревательном элементе // Теплофизика высоких температур, 2009, том 47, №6, с.1 — 4

2. Versteeg H.K., Malalasekera W. An introduction to computational fluid dynamics. The finite volume method. London: Longman Scientific and Technical, 1995.-258 p.

3. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974, 712 с.

4. Хлопков Ю.И., Жаров В.А., Горелов С.Л. Когерентные структуры в турбулентном пограничном слое. — М.: МФТИ, 2002. — 267с.

5. Wygnanski I. J. and Champagne F. H. On transition in a pipe. Part 1. The origin of puffs and slugs and the flow in a turbulent slug. // J. Fluid Mech. (1973), Vol.59, pp. 281 -335

6. Corcos G.M., Sellars JR. On the Stability of Fully Developed Flow in a Pipe // J. Fluid Mech. (1958), Vol.5, 97- 112

7. Leite R. J. An experimental investigation of the stability of Poiseuille flow // J. Fluid Mech. (1959) vol.5, 81—97

8. Lessen M., FoxJ.A., Bhat W.V., Liu T.Yu. Stability of Ilagen-Poiseuille Flow// Phys. Fluids (1964), Vol. 7, 1384-1385

9. Flow. J. A. Fox, M. Lessen and Bhat W. V. Experimental Investigation of the Stability of Hagen-Poiseuille // Phys. Fluids (1968), Vol. 11, No. 1, 1-4

10. Wedin H. and Kerswell R. R. Exact coherent structures in pipe flow: travelling wave solutions // J. Fluid Mech. (2004), Vol. 508, pp. 333 371

11. Kerswell R.R. Recent progress in understanding the transition to turbulence in a //Nonlinearity (2005), vol. 18, pp. R17 -R44

12. Kawahara Genta and Kida Shigeo Periodic motion embedded in plane Couette turbulencc: regeneration cycle and burst // J. Fluid Mech. (2001), vol. 449, pp. 291 -300

13. Viswanath D. Recurrent motions within plane Couette turbulence // J. Fluid Mech. (2007), Vol. 580, pp. 100 114

14. Smith A.M.O. Remarks on transition in a round tube // Fluid Dynamics (1960), Vol. 7, No. 4, pp. 565-576

15. Elder J. W. An experimental investigation of turbulent spots and breakdown to turbulence // J. Fluid Mech. (1960), Vol. 9, 235- 246

16. Lindgren E. Rune Propagation Velocity of Turbulent Slugs and Streaks in Transition Pipe Flow // Phys. Fluids (1969), Vol. 12, No. 2, 418-425

17. Patel V.C., Head M.R. Some observations on skin friction and velocity profiles in fully developed pipe and channel flows // J. Fluid Mech. (1969) vol.38, 181— 201

18. Patel V. C. Calibration of the Preston tube and limitations on its use in pressure gradients // Phys. Fluids (1965), Vol. 23, No. 1, 185—208

19. Badri Narayanan M. A. An experimental study of reverse transition in twodimensional channel flow// J. Fluid Mech. (1968), Vol.31, 609-623

20. Sibulkin M. Transition From Turbulent to Laminar Pipe Flow // Phys. Fluids (1962), Vol. 5,280-284

21. Wygnanski I. J. and Champagne F. FI. On transition in a pipe. Part 1. The origin of puffs and slugs and the flow in a turbulent slug // J. Fluid Mech. (1973), Vol.59, pp. 281 -335

22. Wygnanski I., Sokolov M., Friedman D. On a turbulent ‘spot’ in a laminar boundary layer // J. Fluid Mech. (1976), Vol.78, 785-819

23. Elder J. W. An experimental investigation of turbulent spots and breakdown to turbulence // J. Fluid Mech. (1960), Vol. 9, 235- 246

24. Wygnanski I. J., Sokolov M. and Friedman D. On transition in a pipe. Part 2. The equilibrium puff // J. Fluid Mech. (1975), Vol.69, pp. 283 304

25. Promode R. Bandyopadhyay Aspects of the equilibrium puff in transitional pipe flow//J. Fluid Mech. (1986), vol. 163, pp. 439-458

26. Darbyshire A. G. and Mullin T. Transition to turbulence in constant-mass-flux pipe flow // J . Fluid Mech. (1995), vol. 289, pp. 83-114

27. Priymak V. G. and Miyazakiy T. Accurate Navier-Stokes Investigation of Transitional and Turbulent Flows in a Circular Pipe // J. Computational F. (1998), vol. 142, 370-411

28. Priymak V. G., Miyazaki T. Direct numerical simulation of equilibrium spatially localized structures in pipe flow// Phys. of Fluids (2004), vol. 16, 4221-4234

29. Shan II., MA B., Zhang Z., Nieuwstadt F. T. M. Direct numerical simulation of a puff and a slug in transitional cylindrical pipe flow // J. Fluid Mech. (1999), vol. 387, pp. 39-60

30. Matsushima. T. and Marcus P.S. A Spectral Method for Polar Coordinates // J. Computational Phys. (1995), vol. 120, 365-374

31. Verkley W. T. A spectral model in two-dimensional incompressible fluid flow in a circular basin // J. Comput. Phys. (1997), Vol. 136, pp. 100 114

32. Masaki Shimizu and Shigeo Kida A Driving Mechanism of a Turbulent Puff in Pipe Flow // Fluid Dyn. Res. 41 (2009) 045501 (27pp)

33. Nikitin N. V. Direct Numerical Modeling of Three-Dimensional Turbulent Flows in Pipes of Circular Cross Section // Fluid Dynamics 29 (1994) 749-758

34. Corcos G.M., Sellars J.R. On the Stability of Fully Developed Flow in a Pipe // J. Fluid Mech. (1958), Vol.5, 97- 112

35. Grosch C.E. and Salwen II. The Stability of Poiseuille Flow in a Pipe of Circular Cross-Section // J. Fluid Mech. (1972), Vol.54, 93 112

36. Vil’gel’mi T.A., Gol’dshtik M.A., and Sapozhnikov V.A. Stability of the flow ina circular pipe // Fluid Dynamics, Vol. 8, No. 1, 1973, pp. 16-19

37. Orszag S.A. and Patera A.T. Secondary Instability of Wall-Bounded Shear Flows // J. Fluid Mech. (1983), Vol.128, 347 385

38. Davey A., Drazin P.G. The Stability of Poiseuille Flow // J. Fluid Mech., Vol.36, No. 2, 1969, pp. 209-218

39. Patera A.T., Orszag S.A. Finite amplitude stability of axisymmetric pipe flow // J. Fluid Mech., Vol. 112, 1981, pp. 467-474

40. Leite R. J. An experimental investigation of the stability of Poiseuille flow // J. Fluid Mech. (1959) vol.5, 81-97

41. Lessen M., FoxJ.A., Bhat W.V, Liu T.Yu. Stability of Hagen-Poiseuille Flow// Phys. Fluids (1964), Vol. 7, 1384-1385

42. Fox J. A., Lessen M. and Bhat W. V. Experimental Investigation of the Stability of Flagen-Poiseuille Flow//Phys. Fluids (1968), Vol. 11, No. 1, 1-4

43. Asai M. and Nishioka M. Origin of the Peak-Valley Wave Structure Leading to Wall Turbulence // J. Fluid Mech. (1989), Vol.208, 1 23

44. Kolyada K.K. and Pavelyev A.A. Effect of the velocity profile at a circular pipe inlet on the turbulent transition // Fluid Dynamics, Vol. 21, No. 4, 1986, pp. 650-653

45. Kolyada V. V. and Pavel ’ey A.A. Effect of laminar-turbulent transition along the entrance length of a circular pipe on the intensity of the velocity fluctuationsoutside the boundary layer // Fluid Dynamics, Vol. 24, No. 6, 1989, pp. 846850

46. Pavelyev A. A., Reshmin A. I., Teplovodskii S.Kh. and Fedoseev S.G. On the Lower Critical Reynolds Number for Flow in a Circular Pipe // Fluid Dynamics, Vol. 38, No. 4, 2003, pp. 545—551

47. Pavelyev A. A., Reshmin A. /. and Trifonov VV. Effect of the pattern of initial perturbations on the steady pipe flow regime //Fluid Dynamics Vol. 41, No. 6, 2006, pp. 916-922

48. Henningson D.S. and Kim J. On Turbulent Spots in Plane Poiseuille Flow // J. Fluid Mech. (1991), Vol.228, 183 -205

49. Eroshenko V.M., Ershov Л. V. and Zaichik L.I. Calculation of Turbulent Flow of an Incompressible Fluid in a Tube with Suction Through Porous Walls // Fluid Dynamics 4 (1982) 87-93

50. Иевлев B.M. Численное моделирование турбулентных течений. ■— М.: Наука, 1990. — 216с

51. Moin R., Kim J. Numerical investigation of turbulent channel flow // J. Fluid Me&. (1982), vol. 118, pp. 341-377

52. Hrenia C.M., Bolio E.J., Chakrabarti D. and Sinclair J.L. Comparison of low Reynolds number k-e turbulence models in predicting fully developed pipe flow. // Chemical Engineering Science, 1995, Vol. 50, No. 12, p. 1923 1941

53. Hrenia C., Miller S., Mallo T. and Sinclair J. Comparison of low Reynolds number k-e turbulence models in predicting heat transfer rates for pipe flow. // International Journal of Heat and Mass Transfer, 1998, Vol. 41, No. 11, p. 1543- 1547

54. Tanaka H., Maruyama S., Hatano S. Combined forced and natural convection heat transfer for upward flow in a uniformly heated, vertical pipe. // International Journal of Heat and Mass Transfer, 1987, Vol. 30, No. 1, p. 165 — 174

55. Yan W.M., Lin T.F. Theoretical and experimental study of natural convection pipe flows at high Rayleigh number. // International Journal of Heat and Mass Transfer, 1987, Vol. 34, No. 1, p. 291 303

56. Cotton M.A., Kirwin P.J. A variant of the low-Reynolds number two-equation turbulence model applied to variable property mixed convection flows. // International Journal of Heat and Fluid Flow, 1995, Vol. 16, No. 1, p. 486 492

57. Kyung II. Ahn, Mounir B. Ibragim. Laminar/turbulent oscillating flow in circular pipes // Int. J. Heat and Fluid Flow, Vol. 13 No 4, December 1992

58. Allahdadi Mehrabadi М., Sadeghy К. Simulating drag reduction phenomenon in turbulent pipe flows. // Mechanics Research Communications, 2008, Vol. 35, No. l,p. 609-613

59. Nagano Y., Hishida M. Improved form of the k-s model for wall turbulent shear flows. // J. Fluid Eng, 1987, p. 109 — 156.

60. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Теоретическая физика. Т. 6, Гидродинамика, М.: Физматлит, 2003

61. Snyder Н.А. Stability of rotating Couette flow. I. Asymmetric waveforms // Phys. Fluids (1968), Vol.l 1, 728-734,

62. Langford W.F., Tagg R., Kostelich E.J., Swinney II.L. and Golubitsky M. Primary instabilities and bicriticality in flow between counter-rotating cylinders //Phys. Fluids (1988), Vol.31, 776-785

63. Krueger E. R., Gross A. and Di Prima R. C. On the relative importance of Taylor-vortex and non-axisymmetric modes in flow between rotating cylinders // J. Fluid Mech. (1966), Vol.24, 521-538

64. Snyder II.A., Karlsson S.K.F. Experiments on the Stability of Couette Motion with a Radial Thermal Gradient//Phys. Fluids (1964), Vol.7, 1696-1706

65. Cole J.A. Taylor-vortex instability and annulus-length effects J. Fluid Mech. (1976), Vol.75, 1-15

66. Andereck C. D., Liu S. S. and Swinney H.L. Flow regimes in a circular Couette system with independently rotating cylinders //J . Fluid Mech. (1986), Vol. 164, 155-183

67. Edward W.S., Beane S.R. and Varma S. Onset of wavy vortices in the finite-length Couette-Taylor problem // Phys. Fluids (1991), Vol.3, 1510-1518

68. Langenberg J. and Pfister G. The effect of physical boundaries on oscillatory bifurcation in counterrotating Taylor-Couette flow // Phys. Fluids (2004), Vol. 16, 2757-2762

69. Czarny O., Serre E. and Bontoux P. Interaction of wavy cylindrical Couette flow with endwalls // Phys. Fluids (2004), Vol. 16, 1140-1148

70. Wimmer M. An experimental investigation of Taylor vortex flow between conical cylinders // J. Fluid Mech. (1995), Vol.292, 205-227

71. Wiener R.J., Snyder G.L., Prange M.P., Frediani D. and Diaz P.R. Period-doubling cascade to chaotic phase dynamics in Taylor vortex flow with hourglass geometry // Phys. Rev. E (1997), Vol.55, 5489-5497

72. Soos M, Wu H. and Morbidelli W. Taylor-Couette unit with a lobed inner cylinder cross section AIChE // J. (2007), Vol.53, 1103-1120

73. Sprague M.A., Weidman P.D., Macumber S. and Fischer P.F. Tailored Taylor vortices // Phys. Fluids (2008), Vol.20, 014102

74. Cadot O., Couder Y, Daerr A., Douady S. and Tsinober A. Energy injection in closed turbulent flows: stirring through boundary layers versus inertial stirring // Phys. Rev. E (1997), Vol.56, 427-433

75. Van den Berg T.H., Doering C.R., Lohse D. and Lathrop D. Smooth and rough boundaries in turbulent Taylor-Couette flow // Phys. Rev. E (2003), Vol.68, 036307

76. Lee S.H., Chung H.T., Park Ch. W., Kim Ii.B. Experimental investigation of the effect of axial wall slits on Taylor-Couette flow // Fluid Dyn. Res. (2009), Vol. 41, 1-12

77. N. T. Nguyen. Micromachined flow sensors—a review // Flow Measurement and Instrumentation (1997), Vol. 8, 7 16.

78. Вычислительная гидродинамика: курс лекций / П.Т. Зубков, Е.М. Свиридов, E.II. Тарасова — Тюмень: Изд-во Тюменского гос. ун-та, 2005. —71 с.

79. Patankar S.V. Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. N.Y.: Hemisphere, 1980. 200 p. (имеется русский перевод Патанкар С.В. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984. 152 с.)