Структура сжимаемых вихревых течений Куэтта-Тэйлора тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

СТРУКТУРА СЖИМАЕМЫХ ВИХРЕВЫХ ТЕЧЕНИЙ КУЭТТА -

ТЭЙЛОРА

Специальность 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА-2014

005549502

Работа выполнена на кафедре «Теоретической и прикладной аэрогидромеханики» факультета аэромеханики и летательной техники (ФАЛТ) Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)» (МФТИ).

Научный руководитель: Игорь Иванович Липатов, доктор физико-

Официальные оппоненты: Максимов Федор Александрович, доктор

Защита состоится «20» июня 2014 года в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.125.14 при ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» по адресу: 125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д.4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)»

Отзывы, заверенные печатью, просим направить по адресу: 125993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д. 4.

Автореферат разослан «jéi» /Г/ 2014 г.

математических наук, профессор, член-корреспондент РАН

технических наук, ведущий

научный сотрудник института автоматизации

проектирования РАН

Богданов Андрей Николаевич, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник института механики МГУ

Ведущая организация: Федеральное государственное образовательное

учреждение высшего профессионального образования МГТУ им. Н.Э. Баумана

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации: Гидродинамическая неустойчивость проявляется во многих природных и технических процессах, газах. Такого рода процессы важны и для понимания с позиций фундаментальной науки.

Целью работы является выявление особенностей неустойчивости сжимаемых течений Куэтта- Тэйлора. В рамках исследования были решены следующие задачи

1. Проведение асимптотического анализа при больших числах Рейнольдса течений Куэтта-Тэйлора сжимаемого газа.

2. Получение параметров подобия и построение диаграммы различных возможных режимов течения Куэтта-Тейлора.

3. Разработка системы уравнений для возмущений и получение численного решения для невозмущенного и возмущенного сжимаемого течения Куэтта-Тэйлора.

4. Разработка разных физических моделей течения Куэтта-Тэйлора.

5. Исследование влияния температуры на структуру вихрей при фиксированных числах Рейнольдса.

6. Влияние числа Рейнольдса на структуру течения при фиксированной температуре цилиндров.

Общие методы исследования. В диссертации использовались аналитические методы исследований при изучении линейных процессов устойчивости сжимаемых течений. При исследовании влияния температуры и числа Рейнольдса на структуру течения использованы численные методы.

Научная новизна

1. Впервые проведен асимптотический анализ течений Куэтта-Тэйлора сжимаего газа при больших числах Рейнольдса. На основе теоретического анализа построена диаграмма различных возможных режимов течения Куэтта-Тейлора.

2. Получено численное решение линейных задач для определения характеристик неустойчивости возмущенного сжимаемого течения Куэтта-Тэйлора.

з

3. Получены численные решения нелинейных задач, описывающих

возникновение вихрей Тэйлора в сжимаемом газе.

Практическая значимость и реализация результатов состоит в том, что предложенные автором подходы позволяют исследовать устойчивость течения Тэйлора-Куэтта в сжимаемом газе при различных значениях параметров.

Основные научные результаты, выносимые на защиту

1. Одним из основных итогов диссертационной работы является асимптотический анализ уравнений Навье-Стокса, описывающих течение сжимаемого газа между вращающимися цилиндрами, формулирование математических моделей для характерных режимов возмущенного течения. Определение параметров подобия и построение диаграмм режимов в условиях возникновения периодической системы вихрей.

2. Результаты численного исследования течение Куэтта-Тейлора вязкого сжимаемого газа. Анализ результатов для разных температур поверхностей и угловых скоростей цилиндров. Исследование влияние данных параметров на плотность и структуру вихрей в течении. Выявление немонотонных зависимостей числа вихрей (или размеров вихрей в окружном направлении) от числа Рейнольдса и от температуры поверхности внешнего цилиндра.

Достоверность результатов

Достоверность результатов подтверждается проведением одновременно численных и аналитических исследований и совпадением в тех случаях, где это возможно численных и аналитических результатов

Апробация работы: Материалы работы докладывались на следующих научно-технических конференциях:

• Липатов М.И., До С.З. Структура сжимаемых вихревых течений Куэтга -Тэйлора // 55-я научная конференция МФТИ, 2012.

• До С.З, Липатов М.И. Влияние характерных параметров на структуру вихрей в течении Куэтта-Тэйлора сжимаемого газа // 56-я научная конференция МФТИ, 2013.

• M.I. Lipatov, Do X.D. Stability of compressible Taylor-Couette flow. 18-th International Couette-Taylor Workshop. University of Twente Netherlands // 24-26 June, 2013.

Публикации. По результатам научных исследований в рамках диссертационной работы опубликовано 5 работ, в том числе 2 статьи в периодических изданиях, включенных в перечень ВАК; 3 публикации в тезисах докладов Международных и Всероссийских конференций.

Лнчный вклад. Результаты получены совместно с соавтором М.И. Липатовым. Последнему принадлежит большая часть работы по постановке задачи и выбору методов. Автору диссертации принадлежит численный анализ и анализ получаемых результатов.

Структура и объём работы: Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, 2 приложений, списка использованной литературы из 275 наименований. Объём диссертации - 104 страницы, включая 26 рис., 8 таблиц.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе представлен обзор литературы по задаче об устойчивости течения между вращающимися соосными цилиндрами (течение Тейлора-Куэтга) и введение в комплекс - программу АЫБУЗ СРЭ.

Отмечено, что в работе Доу X. С. и др.[10] применяется теория градиента энергии для анализа течения Тейлора-Куэтта между концентрическими вращающимися цилиндрами с целью показать, что механизм неустойчивости теории Тейлора-Куэтта может получить объяснение на основе концепции градиента энергии.

В работе Д.А. Шалыбкова [6] автор предложил теоретическое изучение поведения неустойчивости течения Куэтта (т.е. первичной неустойчивости течения Тейлора-Куэтга) под влиянием таких факторов, как стратификация плотности и магнитное поле. В его работе,он привел общие уравнения, описывающие поведение системы и определяющие её стационарное состояние. Затем были приведены уравнения, описывающие устойчивость этого стационарного состояния в рамках линейного приближения. Эти уравнения удаётся решить, как правило, только с помощью численных

методов, которые являются стандартными и кратко обсуждаются при первом появлении линеаризованных уравнений. Для идеальной жидкости некоторые результаты удаётся получить аналитически.

В работе Городецкой Н.С. и других, [7] представлены результаты численного моделирования развития регулярных вихревых возмущений в пограничном слое над вогнутой поверхностью. Пограничный слой формируется на внутренней поверхности внешнего цилиндра после его остановки в круговом течении Куэтга между двумя вращающимися цилиндрами.

В 2003 г. в работе A.M. Балонишникова [8] предложил новые выражения для закона сопротивления и безразмерного момента сил для турбулентного течения Тэйлора-Куэтта, исходя из обобщенной модели локального баланса турбулентной энергии. Эти формулы содержат единственную постоянную — постоянную Кармана в случае предельно больших чисел Рейнольдса.

Далее, представлено описание программы ANSYS CFD и основных использованных в ней методов.

Во второй главе проведён асимптотический анализ при больших числах Рейнольдса течений Куэтта -Тэйлора.

На практике могут реализовываться течения как, с конечными так и большими числами Рейнольдса. Течение в первом случае описывается обычными уравнениями Навье-Стокса нелинейными или линейными в зависимости от рассматриваемых задач (описания среднего течения или исследовании устойчивости). Понятно, что для решения таких задач единственным способом является использование численных методов, основанных на использовании конечных разностей или представлениями в виде разложений в ряды.

Ситуация с рассмотрением течений при больших числах Рейнольдса приводит к появлению сингулярности в уравнениях Навье-Стокса, что требует или введения адаптивных сеток или применения асимптотических методов, например таких как метод сращиваемых асимптотических разложений или других и создания с их использованием соответствующих моделей. Такой путь ранее был применен к анализу течений открытого типа -

в пограничных слоях на искривленной поверхности в результате был выявлен целый класс решений, соответствующих различным длинам волн.

Аналогичный анализ можно провести и для течений закрытого типа (между вращающимися концентрическими цилиндрами). Аналогом толщины пограничного слоя здесь выступает расстояние между стенками. Иерархия режимов может быть построена для разных величин отношения длин волн возмущений к величине зазора.

При анализе течений с большими числами Рейнольдса возникает вопрос о сосуществовании инерционного и вязкого течений. Под вязким понимается течение, описывающееся только диссипативной частью уравнений Навье-Стокса. На самом деле даже без предположения об отсутствии инерционности только принимая, условие одномерности течения можно получить описание с диссипативными членами (как в случае несжимаемой жидкости.

При преимущественном влиянии инерционных эффектов уравнения не содержат диссипативных членов вообще, поэтому обычной является схема рассмотрения задач, для которых (при любых числах Рейнольдса) на основное течение, описывающееся дффузионными членами накладывается возмущение, описывающееся инерционными членами. Таким образом можно исследовать линейные и нелинейные режимы.

Ситуация с большой величиной параметра (пропорционального отношению величин инерционных членов к диффузионным) приводит как и для течений открытого типа к локальным задачам, описывающим квадратные вихри с асимптотически одинаковыми размерами в направлениях у и г.

Можно показать, что возмущенное течение описывается в этом случае параболизованными уравнениями Навье-Стокса для несжимаемой жидкости с локальными термодинамическими величинами, соответствующими местоположению вихря (расположенному около одной из стенок или всплывшему).

Более интересной оказываются течения, в которых действительно сказывается влияние вязкости, а именно в таких для которых размер вихря в направлении у сравним с величиной зазора. Такого рода режимы и проанализированы в работе.

Система оценок представлена для сжимаемого течения. Оценим вначале перепад давления между стенками цилиндров, возникающий под действием центробежных сил

Ар~Хс1 (1)

предполагая, что скорость в окружном направлении порядка единицы, а (1 ширина зазора между цилиндрами.

Индуцируемая этим перепадом скорость в направлении ъ (предполагая, что перепад давления в радиальном направлении такой же как и в трансверсальном) оценивается следующим образом

• (2) Эта оценка, строго говоря, имеет место, если силы вязкости несущественны. Мы рассматриваем именно режимы, для которых или вязкость несущественна или граничные, для которых вязкость и инерционные силы сравнимы

Поскольку мы ограничиваемся режимами, где от окружной координаты ничего не зависит и неустойчивость (в отличие от вихрей Тэйлора Гертлера на пластине) развивается как нестационарный процесс, то уравнение неразрывности в невырожденном виде должно содержать производные, как в радиальном направлении, так и в трансверсальном. Тогда при заданном масштабе по ъ

V х й

— -—илиу~ —- . (3)

Я в. Я

Оценим теперь в уравнении радиального импульса влияние вязкости

V 2 V гг4'У'5

V--£*—- или с/--— . (4)

с/ (Г " Я

То есть имеется такая иерархия. Если зазор и длина волны сравнимы, тогда если они совпадают с этим вязким размером получатся параболизованные уравнения Навье-Стокса, в которых вязкость работает в двух направлениях в радиальном и трансверсальном. Если эти размеры больше вязкого размера тогда у нас получаются уравнения Эйлера.

Далее если длина волны больше зазора тогда есть предельная длина волны, при которой в течении проявится влияние сил вязкости, но уже только в одном направлении радиальном. Поэтому

(б)

(7)

,(8)

др дри дру . ...

д! о: дг

дри дри2 др дриу 1 1 ,2._ 9 ,ди ду 1 ., —I— —I—— н———+ -риу =—{-[2—ц{----—у)] +

01 д: д: дг г Яе 3 д: д: дг г

2,3 ди -ду V, гди

+ -[—--+2---] + //[— + —]}

3 дг д: дг г дг д:

дру дриу др\'2 др , , 1 д .ди д\\

—+-1-— +— + ру -/лс =—{[—/л{— + —] + 9/ д: дг дг Яе д: дг д:

2 д г ди -ду V,. 2 и г ди ду „ п +--р[--+ 2---]}-------+ 2У]

3 дг д: дг г 3 Яе д: дг

дрм д(риы) д(ру1с) _ 1 1 3. д\у.

-С———'-+2-рт =--[и—] +

д1 д: дг г Кед:д:

1 3. д , м и г 1С дм>. +--[ц—(--+ —)] + —[--+ —]

Яе дг дг г дг Яе г дг

дрЕ дриН друН I ,, ц ,2 д „ди ду 1 ,

-т—+-£т—+—-+-руН = —{--ри[ 2-----у]+

д( дг дг г Яе 3 дг дг дг г

д гди ду- .ди ду^ 2 г ди „ Эу + ^-М— + —] + ри[— + —\ + -ру[- — +2 — -у] + дг дг дг дг дг 3 дг дг

2 ди г ди .ду - дуГди ду- дг ,ди ду

+--[--+2--у] + —[—+—] + —[ри{—+—)] +

3 дг дг дг дг дг дг дг дг дг

2 3 . , ди „ду V., ди.ди ду, 2 дуг ди „ду , (о\ + -—[м--+2---)]+—[—+ —]+--[--+2--V]

3 дг дг дг г дг дг дг 3 дг дг дг

1 г д . дТ. дТ д , дТ., Рг(^-1)Л/ Яе дг дг дг дг д г

1 д Г ду/, 1 д г , м Зи\, 1 г , м/ ди\,

—+—)]+—ЫЧ--+—)

Яе дг дг Яе дг г дг Яе г дг

Итак, введем следующие представления координат и функций течения : = Л:„ г = йг„ / = сГ"2Г,Л м = \\>0+..., и = с!"2 и,+..., V = 2А~'у, + ... р = р0 + с1р,+..., р = р0+... Подстановка разложений в исходную систему уравнений дает

дл + дЖ+дЖ

д<, дг, дг,

а/, &, ñz, з & 1 & Зг

2,„ 3 , Su

+ —[П1(и—(--+ 2—]}

3 дг 8z дг

(П)

(12)

3/, Зг, Зг дг дг дг

+ = n,n2{[f п2 §1]

&, За; Зг, & ог д:

2 д г ди »3vn, +--//[--+2—]}

3 дг д: дг

дрЕ_ дриН_ dpvH^ _-Э_ д_Т В ВТ

di д: дг Рг(у — 1)М ' д: д: 1 2 дг 3V

(13)

(14)

„ „ 3 г Зус. 3 . ,3н\-,

12 & 1 + 12 йгt/W( йг)]

Полученные параметры подобия имеют простой физический смысл. Параметр П, определяет отношение диффузионных эффектов к инерционным эффектам. По существу это обратная величина локального числа Рейнольдса. Параметр П,определяет отношение ширины зазора к длине волны пространственных возмущений (вихрей). Напомним, что во всех случаях мы имеем дело с безразмерными параметрами.

Полученные оценки можно использовать для построения диаграммы возможных режимов. Анализируемые режимы располагаются внутри треугольника ABC. Наиболее общим, с точки зрения проявляющихся эффектов, будет режим, соответствующий точке А, где течение описывается параболизованными уравнениями Навье-Стокса. Термин

«параболизованные» соответствует здесь отсутствию диссипативных членов в окружном направлении. Эти эффекты проявляются лишь в направлениях по радиусу и вдоль оси цилиндров. Соответственно параметры, находящиеся на линии АВ ниже точки А соответствуют режимам, для которых вязкость уже не существенна, а длина волны вихрей совпадает по порядку величины с величиной зазора.

Линии АС соответствуют вихри, на которые влияет вязкость, а характерный размер зазора много меньше, чем длина волны.

ю

In d , ln£

4/3

4/5 -

1пЛ

Рис 1. Диаграмма различных возможных режимов течения Куэтта-Тейлора

Решение линейной задачи для одного из режимов, описывающей развитие неустойчивости в течении между цилиндрами в условиях независимости решения от окружной координаты. Опуская полную систему уравнений для этого случая приведем окончательный вид уравнений следующего вида

Ра г, Л2а!.

[1 + ^4

(15)

(16)

у=Лиг - ця; --+ -1)(wQ+%

ral а г Рога~о

ar г

Задача состоит в нахождении собственных решений системы уравнений с однородными граничными условиями. Дисперсионное соотношение, которому должны удовлетворять параметры, при которых существуют нетривиальные решения, имеет вид

a = F(R2/R¡,b2,H„l,H„2,r,(r,/3)

и может быть получено в результате численного решения уравнений для невозмущенного и возмущенного течений.

Ниже представлены некоторые численные решения. Решения получены для следующих значений параметров

¿>2=0.5, #„,=1., Я„2=1., а = 0.74, /3 = 0.1 для которых часть течения между цилиндрами сверхзвуковая, а часть дозвуковая. На фигурах

представлены решения для первой моды (Рис.2) и для второй моды (Рис.3) при Я = 1. Этот вариант соответствует сверхзвуковому течению около внутреннего цилиндра (М=5.) и дозвуковому течению около внешнего цилиндра (М=0.71).

Рис. 2. Первая мода а = 0.0505 Рис. 3. Вторая мода а = 0.0252

Следующая серия расчетов соответствует параметрам, при которых течение между цилиндрами полностью сверхзвуковое, Ь2=0.5, //,„,= 1., = 0.5, с7 = 0.74, /3 = 0.7. На фигурах решения для первой моды (Рис 4.) и для второй моды (Рис. 5.) представлены для Л = 1. Этот вариант соответствует сверхзвуковой скорости около внутреннего цилиндра (М= 5.) и сверхзвуковой скорости около внешнего цилиндра (М= 1.67). Можно заключить, что увеличение числа Маха внешнего цилиндра приводит к уменьшению инкремента роста возмущений первой и второй мод.

Расчеты показали также, что инкремент роста возмущений сильно зависит от температуры цилиндров.

Рис. 4. Первая мода а = 0.0438

Рис. 5. Вторая мода а = 0.0225

В третьей главе представлены результаты расчетов с применением коммерческой программы АШУБ СРХ (лицензия МФТИ). Исследованы две геометрических конфигурации: первая с И = 0.0= 0.01л/иЯ2 = 0.011л/ и вторая (к = 0.\м,Я1 = 0.100л/иЛ2 = 0.101лг)

При аналитическом решении задачи рассматривается бесконечный цилиндр. Однако, при численном моделировании необходимо ограничивать длину цилиндров, соблюдая условие: И » Л = |д2 - Л, |

При достаточно малых угловых скоростях цилиндров, параметры течения не зависят от угловой координаты. Поэтому достаточно рассмотреть двумерную осесимметричную задачу. В расчёте для этой первой модели ы рассматривался круговой сектор с углом 1°(рис. 76). ПриЛ,0 А, данный круговой сектор можно приближенно рассматривать как прямоугольный параллелепипед с размерами 0.001л/ х 0.01л/х 0.01л для модели I и 0.000115м х 0.001мх0Лм для модели II.

Для второй модели рассмотрено влияние температуры и числа Рейнольдса на структуру течения.

При изменении температуры внешнего цилиндра, поле скоростей остается в рассмотренном диапазоне изменения параметров стационарным. Пары вихрей образуют периодическую структуру. Плотность пар вихрей (количество пар вихрей в размере одного метра цилиндра) незначительно изменяется (см. рис. 6).

Сначала, при Т <4 или Т2 < 1200° АГ количество пар монотонно увеличивается с повышением температуры. После этого оно уменьшается и, наконец, стабилизируется при Г>7 или Тг >2000°^

nondimensional temperature

Рис. 6. Зависимость плотности пар вихрей от температуры внешнего

цилиндра

Анализ полученных результатов показывает, что при изменении числа Рейнольдса от 4* 104 до 4* 105 (угловой скорости О, от Юобо./сек до ЮОобо./сек) количество пар вихрей изменяется в соответствии с кривой, показанной на рис. 7. При числе Рейнольдса Ре=41583.05 (О, =10 об./сек) поле является стационарным и не содержит вихрей. Из графика 4 видно, что при числе Рейнольдса Яе<20*104 (О, <50) количество пар вихрей монотонно возрастает с увеличением числа Рейнольдса (т.е. угловой скорости). В диапазоне изменения числа Рейнольдса от 20*104 до 30*104 (т.е. е[50,70]) количество вихрей быстро уменьшается при увеличении П,. После этого оно почти остается постоянным, хотя угловая скорость продолжает увеличиваться. При О, >50 вихри начинается нестационарный режим течения. Пары вихрей изменяют свою форму и становятся разными (см. рис. В)

о^ & ■<?

Ж л? ¿г ^ # ¿г ж

$ / # # & -р4 ^ ^

Яе

Рис. 7. Зависимость плотности пар вихрей от вращательной скорости внутреннего цилиндра

п=2о о=ео ¡вжят*]

Рис. 8. Изменение поля вихрей при увеличении вращательной скорости

Основные научные результаты диссертационной работы

1. Проведение асимптотического анализа при больших числах Рейнольдса течений Куэтта-Тэйлора сжимаемого газа.

2. Получение параметров подобия и построение диаграммы различных возможных режимов течения Куэтта-Тейлора.

3. Разработка системы уравнений для возмущений и получение численного решения для невозмущенного и возмущенного сжимаемого течения Куэтта-Тэйлора.

4. Разработка разных физических моделей течения Куэтта-Тэйлора.

5. Исследование влияния температуры на структуру вихрей при фиксированных числах Рейнольдса.

6. Влияние числа Рейнольдса на структуру течения при фиксированной температуре цилиндров.

Список опубликованных работ по теме диссертации

I. В изданиях, рекомендованных перечнем ВАК:

1. Липатов М.И., До С.З. Структура сжимаемых вихревых течений Куэтта -Тэйлора// Труды МФТИ 2014, том 6, №1, страницы 112-116.

2. С.З. До, М.И. Липатов, Т.В. Фам Влияние характерных параметров на структуру вихрей в течении Куэтта-Тэйлора сжимаемого газа // Вестник МГТУ ГА2014, № 200 (2), страницы 126 - 133.

II. В других изданиях:

3. Липатов М.И., До С.З. Структура сжимаемых вихревых течений Куэтта -Тэйлора // 55-я научная конференция МФТИ. Сборник тезисов докладов. Москва. 2012.

4. До С.З, Липатов М.И. Влияние характерных параметров на структуру вихрей в течении Куэтта-Тэйлора сжимаемого газа// 56-я научная конференция МФТИ. Сборник тезисов докладов, Москва, 2013.

5. M. I. Lipatov, Do X.D. Stability of compressible Taylor-Couette flow, 18-th International Couette-Taylor Workshop, University of Twente Netherlands //24-26 June. 2013.

Список использованных источников

1. Као К.Н., Chow C.Y. Linear stability of compressible Taylor-Couette flow // Physics of Fluids A: Fluid Dynamics -V.4, V5 -P. 984-996.

2. Боголепов В.В., Липатов И.И. Влияние сжимаемости на структуру вихрей Гертлера // Механика жидкости и газа. - 1997. - Т. 1. С. 36-47.

3. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Я.Д.Теоретическая гидромеханика М.: Физматлит, 1963.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидромеханика. -М.: Наука, 1986.

5. Richard D. Sandberg Governing equations for a new Navier-Stokes Solver in general cylindrical coordinates //Report No. AFM-07/07, University of Southampton, 2007

6. Д.А. Шалыбков Гидродинамическая и гидромагнитная устойчивость течения Куэтта Успехи физических наук, том 179, №9, 2009.

7. Н.С. Городецкая, В.И. Никишов, Л.В. Ткаченко Численное моделирование развития вихрей тейлора-гертлера в нестационарном течении куэтта. Влияние начальной энергии возмущений // ISSN 15619087 Прикладная гидромеханика, 2012, том 14, N 2 С. 3-16.

8. A.M. Баюнишников Закон сопротивления для турбулентного течения Тэйлора-Куэтта при очень больших числах Рейнольдса // Журнал технической физики, 2003, том 73, вып. 2.

9. Ф.А. Макашов Течение между вращающимися цилиндрами разной температуры // Сборник аннотаций конференции "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (НЕЗАТЕГИУС), Звенигород, 2014.

10. Х.С. Доу, Б.С. Кхоо, КС. Йео Нестабильность течения Тэйлор- Куэтта между концентрическими вращающимися цилиндрами // Международный журнал Наука теплота, Том 47, № 11, С. 1422-1435.

Подписано в печать: 18.04.14

Объем: 1,0 п.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 231 Отпечатано в типографии «Реглет» г. Москва, Ленинский проспект, д.2 (495) 978-66-63, www.reglet.ru