Устойчивость течений релаксирующих молекулярных газов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Ершов Игорь Валерьевич

УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЙ РЕЛАКСИРУЮЩИХ МОЛЕКУЛЯРНЫХ ГАЗОВ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

4 2014

005556481

Новосибирск 2014

005556481

Работа выполнена в ФГБУН Институте вычислительных технологий Сибирского отделения Российиской академии наук и в ФГБОУ ВПО Новосибирском государственном архитектурно-строительном университете (Сиб-стрин).

Научный консультант:

Григорьев Юрий Николаевич, доктор физ.-мат. наук, профессор.

Официальные оппоненты:

Пухначев Владислав Васильевич, член-корр. РАН, доктор физ.-мат. наук, профессор, гл. научный сотрудник, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН;

Бойко Андрей Владиславович, доктор физ.-мат. наук, профессор, гл. научный сотрудник, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Хри-стиановича СО РАН;

Васенин Игорь Михайлович, доктор физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой прикладной аэромеханики, Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Томский государственный университет.

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Математический институт им. В.А. Стеклова РАН.

Защита состоится * * Сро&ро-Л -Я._ 2015 г. в ИЧ-ОЪ часов на

заседании диссертационного совета Д 003.035.02 при ФГБУН Институте теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, ул. Институтская, 4/1. 1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН и на сайте совета: \ушш.^ат.п8с.ги/п1Д11е51з/?Ю=348373.

Автореферат разослан _* ИуЛ _2014 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета доктор техн. наук

Засыпкин И.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В последние несколько десятилетий ведется активный поиск новых возможностей управления газовыми потоками посредством воздействия на процессы ламинарно-турбулентного перехода и генерации турбулентности. При этом основное внимание уделяется эффектам, ранее находившимся вне поля зрения исследователей. Один из путей воздействия на сжимаемые течения молекулярных газов связан с диссипа-тивным эффектом, возникающим при релаксации термически возбужденных внутренних степеней свободы молекул газа.

Этот эффект проявляется, например, как аномальное поглощение ультразвука в молекулярных газах1. В сверхзвуковых течениях неравновесное распределение внутренней энергии молекул во многих случаях возникает естественным образом, например, в соплах, нерасчетных струях, за косыми скачками уплотнения. В гидродинамическом приближении, описываемом полной системой уравнений Навье - Стокса, при небольшой термической неравновесности этому диссипативному процессу соответствует коэффициент объемной вязкости в тензоре напряжений.

В уравнения теории гидродинамической устойчивости течений сжимаемого газа объемная вязкость впервые была введена в 1969 году Мэком2. Тем не менее в работах по устойчивости сжимаемых течений, как правило, использовалось феноменологическое соотношение Стокса, позволяющее не рассматривать объемную вязкость. Хотя из кинетической теории молекулярных газов известно, что исключение объемной вязкости возможно только для одноатомных газов.

В этой связи можно констатировать, что в общем случае влияние объемной вязкости, а также релаксации внутренних степеней свободы молекул газа при более глубоком возбуждении, когда релаксируют возбужденные колебательные моды молекул, на устойчивость сжимаемых течений исследовано недостаточно полно.

Таким образом, исследование влияния релаксационных процессов в термически неравновесных молекулярных газах на устойчивость и диссипа-тивные свойства течений является современной и актуальной задачей.

Цель диссертационной работы состоит в изучении влияния релаксационных процессов в термически неравновесных молекулярных газах на

'Михайлов И.С., Соловьев В.А., Сырников Ю.П. Основы молекулярной акустики. М.: Наука, 1964. 514 с.

2Mack L.M. Boundary layer stability theory. Pasadena, California, USA, 1969 / (Rev. A. / Jet propulsion lab.; Doc. 900 - 277). 388 p.

устойчивость и диссипативные свойства течений. Для достижения поставленной цели выполнены численные и аналитические исследования линейной и нелинейной устойчивости плоскопараллельных сжимаемых течений термически неравновесного газа; диссипации вихревых структур в сдвиговом несущем потоке термически неравновесного газа; расчеты критических чисел Рейнольдса в плоском течении Куэтта термически неравновесного газа; нелинейного развития неустойчивости Кельвина - Гельмгольца в сдвиговом течении термически неравновесного газа с точкой перегиба на профиле скорости.

Основные результаты и их научная новизна состоят в следующем.

1. Впервые проведено численные и аналитические исследования линейной устойчивости плоскопараллельных сжимаемых невязких течений колебательно-неравновесного газа. Получено обобщение первой и второй теорем Рэлея и теоремы Ховарда на случай рассматриваемых течений. Доказано, что колебательная релаксация создает дополнительный дисси-пативный фактор, повышающий устойчивость потока.

2. Для свободного слоя сдвига колебательно-неравновесного газа рассчитаны наиболее неустойчивые невязкие моды с максимальными инкрементами нарастания. Исследования зависимостей инкрементов роста этих мод возмущений от числа Маха и параметров колебательной релаксации показали, что колебательная релаксация подобно сжимаемости снижает инкременты нарастания возмущений. При этом с ростом числа Маха снижение инкрементов, обусловленное релаксационным процессом, становится все более заметным.

3. Для сжимаемого невязкого течения Куэтта колебательно-возбужденного газа рассчитаны семейства четных и нечетных невязких мод возмущений. Анализ фазовых скоростей этих мод возмущений показал, что рост параметров колебательной релаксации слабо влияет на их поведение. При этом для широкого диапазона изменения значений параметров колебательной релаксации и числа Маха первая невязкая мода всегда остается устойчивой. В то же время инкременты наиболее неустойчивой второй невязкой моды, напротив, увеличиваются с возрастанием сжимаемости (числа Маха М), асимптотически стремясь к определенному конечному пределу при М —> оо. Рост степени неравновесности колебательной энергии молекул газа приводит к уменьшению значений инкрементов второй невязкой моды возмущений по сравнению с их значениями для термически равновесного газа.

4. Для сжимаемого вязкого плоского течения Куэтта термически нерав-

новесного газа исследованы семейства четных и нечетных вязких мод возмущений. Показано, что рост значений числа Рейнольдса 11е приводит к росту значений инкрементов наиболее неустойчивых вязких мод возмущений и тем самым оказывает дестабилизирующее воздействие на течение. Возрастание же степени термической неравновесности приводит к стабилизации течения, поскольку сопровождается падением значений инкрементов роста наиболее неустойчивых вязких мод возмущений. Расчетные кривые нейтральной устойчивости этих мод возмущений показали, что критические числа Рейнольдса возрастают примерно на 12 % при достижении максимального рассмотренного уровня термической неравновесности газа.

5. Впервые проведено обобщение энергетической теории гидродинамической устойчивости на случай сжимаемых течений термически неравновесных молекулярных газов. Получены уравнения энергетического баланса полной пульсационной энергии возмущений, учитывающие физические особенности сжимаемого течения термически неравновесного молекулярного газа. На базе этих уравнений поставлены и решены вариационные задачи на определение критических значений числа Рейнольдса для умеренного уровня термической неравновесности и колебательно-возбужденного газа.

6. Впервые построены длинноволновые асимптотические оценки критических чисел Рейнольдса для плоского течения Куэтта, показывающие, что возрастание значений объемной вязкости, параметров термической релаксации и числа Маха потока приводит к росту критических чисел Рейнольдса. Для произвольных волновых чисел спектральные задачи решались численно методом коллокаций. В результате было показано, что на фоне максимального уровня возбуждения внутренних степеней свободы молекул газа рост критических чисел Рейнольдса может достигать примерно 40

7. Впервые на базе модельного течения, представляющего собой суперпозицию вихря Рэнкина и линейного сдвигового потока, в рамках полных уравнений Навье - Стокса проведено численное моделирования влияния объемной вязкости щ (слабой термической неравновесности) на нелинейное взаимодействие вихревого возмущения конечной амплитуды с несущим сдвиговым потоком. Расчеты показали, что в слабо сжимаемом течении с возрастанием объемной вязкости в диапазоне 0 < щ < 2 т] (г? - сдвиговая вязкость) относительное снижение абсолютной величины рейнольдсовых напряжений и кинетической энергии возмущения увеличивается, прибли-' жаясь к 10 % при т]ь = 2г). При увеличении значения числа Маха М оба

предела возрастают, и при М = 2 достигают значения порядка 20 %.

8. Впервые в рамках полных уравнений двухтемпературной аэродинамики проведено численное моделирование влияния термической релаксации на нелинейное взаимодействие вихревого возмущения конечной амплитуды с несущим сдвиговым потоком колебательно-возбужденного газа. Вычисления показали, что когда объемная вязкость и степень колебательной неравновесности возрастают, стремясь к своим максимальным значениям, принятым в расчетах, полные относительные снижения осреднен-ных по условному времени «жизни» вихревой структуры величин кинетической энергии возмущения и рейнольдсовых напряжений также растут, приближаясь к 20 %. В приближении релаксационной газовой динамики, когда все диссипативные коэффициенты в системе уравнений двухтемпературной аэродинамики равны нулю, относительные снижения осреднен-ных по условному времени «жизни» вихревой структуры величин кинетической энергии возмущения и рейнольдсовых напряжений при возрастании степени колебательной неравновесности и скорости неупругих УТ-энергообменов достигают величин порядка 10 %.

9. Впервые проведены исследования диссипативного влияния релаксации внутренних мод молекул на процесс ламинарно-турбулентного перехода на основе моделирования полного цикла развития инерционной неустойчивости в эволюционирующем во времени сдвиговом слое с точкой перегиба на профиле скорости. Расчеты показали, что независимо от уровня термической неравновесности эволюция вихревой структуры носит универсальный характер: рост и достижение через некоторое время максимального значения завихренности, затем ее спад и стабилизация к значению, несколько превышающему начальное. При этом рост значений параметров термической релаксации сопровождается усилением расплывания вихревой структуры. Проведенные вычисления выявили однонаправленность воздействия сжимаемости, объемной вязкости и возбуждения колебательных степеней свободы, возрастание которых вызывает увеличение диссипации энергии возмущений. В отсутствие у молекул газа возбужденных колебательных мод возрастание объемной вязкости сопровождается ростом среднего по времени «жизни» структуры относительного увеличения диссипации энергии возмущений, которое достигает величины порядка 13,1 %. При повышении же степени неравновесности колебательной энергии молекул газа в отсутствие объемной вязкости относительное увеличение диссипации энергии возмущений достигает примерно 11,4 %, а при достижении объемной вязкости своего максимального значения т)Ь = 2т], используемого

в расчетах, приближается к 14,6 %.

Достоверность результатов диссертационной работы основывается на использовании адекватных физико-математических моделей течений ре-лаксирующих молекулярных газов, строгих математических методов теории гидродинамической устойчивости, тщательном тестировании реализуемых численных алгоритмов с контролем практической точности расчетов, в частности, с помощью исследований сходимости на последовательности вложенных сеток и устойчивости численных решений, сопоставлении результатов работы с численными и экспериментальными данными других авторов.

Научная и практическая ценность работы состоят в том, что результаты исследований, представленных в диссертационной работе, проливают свет на понимание роли релаксационных процессов, в частности, объемной вязкости и колебательной релаксации, в задачах механики, учитывающих эффекты реального газа. Полученные численные и аналитические результаты позволяют оценить влияние дополнительного канала диссипации, связанного с релаксацией различных возбужденных внутренних мод молекул газа, на гидродинамическую устойчивость течений и подавление турбулентности в возбужденных молекулярных газах. Впервые проведенные обобщения необходимых условий неустойчивости (теорем Рэлея и Ховарда) и энергетической теории устойчивости на случай сжимаемых течений термически неравновесных молекулярных газов могут рассматриваться в качестве новых дополнительных критериев устойчивости таких течений.

Отметим, что во всех выполненных исследованиях рассматривались уровни возбуждения внутренних мод молекул, которые можно получить в двухатомных газах в течениях в соплах, недорасширенных струях или умеренной лазерной накачкой. Это позволяет предположить, что лазерная накачка колебательных мод молекул может стать реальным способом управления течениями молекулярных газов.

Исследования, представленные в диссертационной работе, неоднократно поддерживались грантами Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 01-01-00827, № 03-01-00160, № 05-01-00359, № 08-0100116, № 11-01-00064, № 14-01-00274). В 2014 году решением Президиума Национального комитета по теоретической и прикладной механики РАН цикл этих работ был удостоен премии имени академика Г.И. Петрова.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всероссийских съездах по теорети-

ческой и прикладной механике (2006, 2011), International conference on the methods of aerophysical research (ICMAR) (2002, 2004, 2007, 2008, 2010, 2012, 2014), Международной конференции «Нелинейные задачи теории гидродинамической теории устойчивости и турбулентность» (Не-За-Те-Ги-Ус) (2012, 2014), Международной школе-семинаре «Модели и методы аэродинамики» (2008 - 2014), Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика» (2001, 2011), Международной конференции по механике «Шестые Поляховские чтения» (2012), Международной конференции «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений» (2008, 2013), Международной конференции «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики» (2009), Международной конференции «Забабахинские научные чтения» (2003, 2007), Юбилейной научной конференции, посвященной 40-летию Института механики МГУ (1999), Всероссийской конференции «Нелинейные волны» (2009, 2011, 2014), Всероссийской конференции «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение» (2004, 2009, 2014), Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (2011, 2013), Всероссийской конференции по математике и механике (2008, 2013), XXVII Сибирском теплофизическом семинаре (CTC-XXVII) (2004), Всероссийском семинаре по аэрогидродинамике (2008), Всероссийском семинаре по струйным, отрывным и нестационарным течениям (2012), а таже на объединенном видеосеминаре по аэрогидродинамике ЦАГИ - ИТПМ СО РАН - СПбГПУ (руководитель академик РАН В.М. Фомин), научных семинарах Института теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН (руководители академик РАН В.М. Фомин, профессор В.В. Козлов, г. Новосибирск), Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (руководитель член-корреспондент РАН В.В. Пухначев, г. Новосибирск), Института вычислительных технологий СО РАН, (руководители академик РАН Ю.И. Шокин, профессор В.М. Ковеня, г. Новосибирск), Института вычислительного моделирования СО РАН (руководитель профессор В.К. Андреев, г. Красноярск), НИИ прикладной математики и механики Томского государственного университета (руководители профессора A.A. Глазунов, И.М. Васенин, г. Томск).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Обобщение первой и второй теорем Рэлея и теоремы Ховарда на случай плоскопараллельных сжимаемых невязких течений колебательно-

возбужденного газа.

2. Результаты исследований линейной устойчивости свободного слоя сдвига колебательно-возбужденного газа.

3. Результаты численных и аналитических исследований линейной устойчивости сжимаемого течения Куэтта термически неравновесного газа.

4. Результаты энергетического анализа линейной и нелинейной устойчивости сжимаемых плоскопараллельных течений термически неравновесных молекулярных газов.

5. Результаты исследований численного моделирования влияния релаксации внутренних мод молекул на нелинейное взаимодействие вихревого возмущения конечной амплитуды с несущим сдвиговым потоком на базе модельного течения, представляющего собой суперпозицию вихря Рэнкина и линейного сдвигового потока.

6. Результаты исследований диссипативного влияния релаксации внутренних мод молекул на процесс ламинарно-турбулентного перехода на основе моделирования полного цикла развития инерционной неустойчивости в эволюционирующем во времени сдвиговом слое термически неравновесного газа с точкой перегиба на профиле скорости.

Публикации. Материал диссертационной работы опубликован в 65 научных работах, среди которых одна монография и 19 статей в научных журналах из перечня ВАК.

Личный вклад автора состоит в непосредственном участии в постановках исследуемых задач, разработке и реализации аналитических и численных методов решения этих задач, получении и обсуждении результатов исследований, подготовке печатных работ и докладов на конференции. Результаты совместных работ представлены с согласия соавторов.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из Предисловия, Введения, шести глав, Заключения и списка литературы, содержащего 187 наименований. Объем работы составляет 302 страницы, включая 59 рисунков и 19 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В Предисловии дано обоснование актуальности темы диссертации, сформулированы цели и задачи исследования, представлены научная новизна и практическая ценность работы, приведены основные положения, выносимые на защиту. Описана структура и дано краткое описание дис- • сертационной работы.

В Введении представлен обзор современного состояния исследуемого в диссертации вопроса. Из приведенного анализа следует, что в совокупности пол} ченные результаты документируют реальное существование рассмотренного эффекта и возможность его практического применения для управления течениями молекулярных газов. Тем не менее влияние объемной вязкости и релаксации внутренних степеней свободы молекул газа при более глубоком возбуждении, когда релаксируют возбужденные колебательные моды молекул, на устойчивость сжимаемых течений исследовано недостаточно полно.

В Первой главе представлены физико-математические модели течений термически неравновесных молекулярных газов, которые используются в последующих главах. Приведены конечные формулы и экспериментальные данные для объемной вязкости и времен вращательной и колебательной релаксации, дающие представление о реальных диапазонах изменения этих параметров.

В п. 1.1 показано, что течения при умеренном уровне возбуждения внутренних мод молекул газа удовлетворительно описываются в рамках системы полных уравнений Навье - Стокса вязкого теплопроводного газа, в которых релаксационный процесс учитывается посредством слагаемых с объемной вязкостью в тензоре напряжений. Появление в тензоре напряжений вклада объемной вязкости и его связь с релаксационным процессом является строгим результатом кинетической теории многоатомных газов3'4.

В случае сильно неравновесного колебательно-возбужденного газа течение описывается в рамках полной системой уравнений двухтемпературной аэрогазодинамики, где уравнения неразрывности и импульсов совпадают с аналогичными уравнения из системы уравнений Навье - Стокса, а релаксация колебательных мод молекул моделируется источниковым членом в уравнении энергии и уравнением Ландау - Теллера для колебательной температуры3'4, которое имеет вид

дЬ + Здх3) " ИеРг дх> ту1 ' К )

Здесь р, гц, Т, Т,,, т„( - плотность, компоненты вектора скорости, статическая и колебательные температуры газа, время колебательной релаксации

3Жданов В.М., Алиевский М.Е. Процессы переноса'и релаксации в молекулярных газах. М.: Наука, 1989. 336 с.

4Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. М.: Мир, 1976. 554 с.

соответственно.

Параметры, входящие в уравнение (1), определяются следующим образом: с*2 — А„/(А( + Аг) (А{, Аг, А„ - коэффициенты теплопроводности, описывающие перенос энергии соответственно поступательными и вращательными степенями свободы молекул, а также квантами колебательной энергии); параметр 7„ = су,у/(су,1 + су,г) характеризует степень неравновесности колебательной моды су1г и су> - удельные теплоемкости при постоянном объем, обусловленные соответственно поступательным, вращательным и колебательным движением молекул газа); 7 = (су,г + су,г + К)/(сУ,г + су,г) ~ показатель адиабаты (Л - газовая постоянная); Ле = PQh.Ua/Г) и Рг = г](су, ¡ + су,г + -К)/(А4 + Аг) - числа Рейнольдса и Прандтля несущего потока соответственно. Все определенные здесь теплоемкости и коэффициенты переноса предполагаются постоянными.

В п. 1.2 представлены, собранные из различных источников, экспериментальные данные по объемной вязкости, полученные из измерений поглощения ультразвука в молекулярных газах и электронно-оптических измерений времен вращательной релаксации тг4 в ударных волнах и недо-расширенных струях (см. табл. 1). Расчеты значений объемной вязкости щ для различных температур потока Т, проведенные для трех молекулярных моделей, показали, что с ростом Т значения щ также возрастают. В последующих главах диссертации принималось, что объемная вязкость меняется в интервале 0 < т]ь < 2т], где 77 - сдвиговая вязкость.

Таблица 1. Значения объемной вязкости некоторых газов при нормальных условиях Т = 273 К, р = 105 Па

Газы N2 СО Воздух С02 Н2

г) -10й, Па-с 1,750 1,750 1,820 1,460 0,880

г?£3> • 105, Па с 0,348 12,274 1,178 54,015 34,570

а; ; /ч 0,199 7,014 0,647 39,997 39,280

77^ • 105, Па с 0.966 1.231 — — —

аГ^ГЛ? 0,552 0,703 - - -

Анализ экспериментальных и расчетных данных по времена колебательной релаксации т„и проведенный в п. 1.2, показал, что при изменении температуры газа Т в диапазоне от 500 до 3000 К и давлении газа р = 1 атм значения т^ изменяются примерно в пределах от 10 до Ю-6 с, уменьшаясь с ростом Т.

Вторая глава посвящена численным и аналитическим исследованиям линейной устойчивости плоскопараллельных течений невязкого нетеплопроводного колебательно-возбужденного газа.

В п. 2.1 в рамках системы уравнений двухтемпературной газовой динамики изучается линейная устойчивость плоскопараллельного сдвигового течения колебательно-возбужденного двухатомного газа. Релаксация колебательных мод молекул в этой системе моделируется источниковым членом в уравнении энергии и уравнением Ландау - Теллера для колебательной температуры. Основной (несущий) поток равномерной плотности ро и температуры То направлен вдоль оси абсцисс х\ и имеет профиль скорости

иа = и,(х2).

Путем линеаризации относительно стационарного решения уравнений системы двухтемпературной газовой динамики получена система уравнений, описывающих эволюцию малых возмущений. Предполагается, что все возмущения периодичны вдоль оси абсцисс х\. Это позволяет рассматривать решения системы уравнений, описывающих эволюцию малых возмущений, в некоторой полосе вдоль оси ординат хг, конечной или неограниченной. При этом как на конечных границах полосы по оси Х2, так и в асимптотических пределах для всех малых возмущений ставятся нулевые граничные условия.

При этих предположениях выведено уравнение энергетического баланса возмущений

где М = Щ/у/^КГо - число Маха несущего потока.

По сравнению со случаем идеального газа, в интеграл энергии Е кроме слагаемого с давлением р, определяющим возмущение внутренней энергии газа в состоянии локального термодинамического равновесия, входит слагаемое с Т„, связанное с возмущением колебательных степеней свободы. Из общих термодинамических соображений5 следует, что в любом внутреннем процессе (релаксации), который является переходным к термодинамическому равновесию, независимо от знака отклонения проявляется необратимость, т.е. процесс сопровождается возрастанием энтропии и, следовательно, диссипацией энергии. Это наглядно демонстрирует уравнение энергетического баланса возмущений (2), где последний интеграл в правой

5Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Ч. 1. М.: Наука, 1988. 736 с.

части положительно определен и в явном виде показывает диссипатив-ный эффект процесса термической релаксации колебательной моды, который естественно отсутствует в идеальном газе. Чтобы подчеркнуть это, по аналогии с уравнениями энергетического баланса в вязких средах6, перед этим интегралом выделен диссипативный параметр Rer = роЩЬг/т]ь, который рассчитывается по характерной релаксационной " длине" Lr = Uo Tvt и объемной вязкости щ, связанный с релаксацией колебательной моды формулой4

Щ = 1(ïf^T)P0Tvt-

Таким образом, наличие термической релаксации повышает устойчивость сжимаемого плоскопараллельного течения по сравнению со случаем идеального газа в локальном термодинамическом равновесии7.

Для развития неустойчивости возмущений в виде плоских волн с вещественным волновым числом а > 0 и комплексной фазовой скоростью с = cr+ici, было получено обобщение необходимых условий неустойчивости (первой и второй теорем Рэлея и теоремы Ховарда) на случай плоскопараллельных сжимаемых течений колебательно-возбужденного газа.

Показано, что для развития неустойчивости в рассматриваемом течении необходимо выполнение условия Рэлея (первой теоремы Рэлея) в той же форме, что и для случаев однородной и стратифицированной несжимаемых жидкостей8 и идеального газа7: min(i7s) = и < ст < U = ma,x(Us). Из данного неравенства следует, что для любого нарастающего возмущения комплексная фазовая скорость с должна лежать в верхней полуплоскости Ci > 0 в полуполосе, ширина которой равна \U — и\.

Обобщение на случай колебательно-возбужденного газа более жесткого ограничения на фазовую скорость с, известное как теорема о полукруге (теорема Ховарда7,8), и известной теоремы Рэлея о необходимости существования точки перегиба на неустойчивом профиле скорости в идеальной жидкости (вторая теорема Рэлея8) можно здесь получить лишь при выполнении некоторых дополнительных условий, которые необходимо проверять для конкретных профилей скорости и температуры несущего потока термически неравновесного газа.

6Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М.: Мир, 1981. 639 с.

7 Blumen W. Shear layer instability of an inviscid compressible fluid //J. of Fluid Mech. 1970. V. 40, part 4. P. 769 - 781.

8Дразин Ф. Введение в теорию гидродинамической устойчивости / Под ред. А.Т. Ильичева. М.: Физматлит, 2005. 288 с.

В п. 2.2 для свободного слоя сдвига с профилем скорости иа = 1^1(22), хг С (—оо, оо) приведены расчеты наиболее неустойчивых невязких мод возмущений с максимальными инкрементами нарастания. Рассматриваются возмущения в виде бегущих плоских волн, для которых сг = С/ДО) = 0. На рис. 1 приведены изолинии инкрементов ас^ в координатной плоскости (М, а) для режима т^ = 1, 7„ = 0,667. Там же для сравнения штриховыми линиями нанесены воспроизведенные данные7 для идеального газа. Кривые а, Ь показывают изменение максимальных инкрементов для идеального и колебательно-возбужденного газов в зависимости от числа Маха М. Некоторые числовые значения для этих кривых даны в табл. 2. Наибольший инкремент ас* = 0,1897 достигается в идеальной жидкости при М = 0, а = 0,44469.

Рис. 1. Изолинии инкрементов роста для времени колебательной релаксации r„t = 1 (штриховая линия — 7„ = 0, сплошная линия — -yv = 0,667, a, Ь — кривые инкрементов роста наиболее неустойчивых мод соответственно для fv = 0 и 7„ = 0,667)

Кривая Ъ на рис. 1 и соответствующие числовые данные табл. 2 выделяют наиболее неустойчивые моды для фиксированного набора других режимных параметров релаксирующего газа. Видно, что релаксация подобно сжимаемости снижает инкременты нарастания неустойчивых мод. При этом с ростом числа Маха снижение инкрементов, обусловленное релаксационным процессом, становится все более заметным. Расчеты показывают, что с ростом уровня возбуждения, который задается здесь коэффициен-

9Michalke A. On the inviscid instability of the hyperbolic-tangent velocity profile // J. of Fluid Mech. 1964. V. 19. P. 543 - 556.

a

том 7г,, влияние релаксации усиливается. Надо отметить, что в расчетах использовались умеренные значения 7„. В то же время модель двухтемпе-ратурной газовой динамики применима и для более высоких уровней возбуждения10'11. Можно предположить, что на уровне возбуждения, близком к началу диссоциации, эффект релаксации по порядку величины снижения о.Сг будет сравним с действием сжимаемости.

Таблица 2. Спектральные характеристики и инкременты роста наиболее неустойчивых невязких мод при т„( = 1 и 7, = 0; 0,667

а Ci a Ci

M lv = 0 0.667 lv =0 0.667 7« = 0 0.667

0.0 0.4446 0.4446 0.4266 0.4266 0.1897 0.1897

0.2 0.4260 0.4377 0.4255 0.4115 0.1813 0.1801

0.5 0.3970 0.3890 0.3556 0.3449 0.1413 0.1341

0.8 0.2790 0.2895 0.2790 0.2142 0.0778 0.0620

1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Третья глава посвящена численным и аналитическим исследованиям линейной устойчивости сжимаемого течения Куэтта колебательно-возбужденного газа. Для данного течения в невязком пределе вычислены семейства четных и нечетных невязких мод возмущений (см. рис. 2). Классификация невязких мод на четные и нечетные и характер их поведения, известные для идеального газа12,13, сохраняются и для колебательно-возбужденного газа14.

Из рис. 2 следует, что для нечетных мод при волновом числе а —> О Сг > 1 и для всех мод, кроме моды I, сг —> со. В то же время для четных мод при а —» 0 сг < 0 и для всех мод, за исключением моды II, сг —> —оо. Выделенные моды I и II при а = 0 имеют конечные пределы. Анализ поведения фазовых скоростей невязких мод возмущений показал, что рост параметров колебательной релаксации слабо влияет на их поведение.

При этом для широкого диапазона изменения значений параметров колебательной релаксации и числа Маха невязкая мода I всегда остается

103ельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Наука, 1966. 686 с.

11 Ступоченко Е.В., Лосев С.А., Осипов А.И. Релаксационные процессы в ударных волнах. М.: Наука, 1965. 484 с.

12Duck P.W., Erlebacher G., Hussaini N.Y. On the linear stability of compressible plane Couette flow // J. of Fluid Mech. 1994. V. 258. P. 131 - 165.

13Malik M., Dey J., Alam M. Linear stablity, transient energy growth, and role of viscosity -stratification in compressible plane Couette flow // Phys. Rev. E. 2008. V. 77. P. 036322(15).

14Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Устойчивость течений релаксирующих молекулярных газов / Отв. ред. А.Д. Рычков. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2012. 230 с.

Cr

Рис. 2. Зависимости cr(a) для чисел Маха М = 2 (а) и М = 5 (б) (1, 1' - мода I, 2, 2'- мода И, 3, 3' - мода III, 4, 4' - мода IV, 5, 5' - мода V, 6, 6' - мода Vi] 7,7- мода VII, 8, 8' - мода VIII; сплошная линия - -yv = 0, пунктирная линия -fv = 0,667, r„t = 1)

Рис. 3. Зависимости с<(а) (а - мода I (1, 1 ' - М = 2, 2, 2' — М = 3, 3, 3' - М = 5); б - мода II (1, 1 ' - М = оо, 2, 2' - М = 10, 3, 3' - М = 5, 4, 4' - М = 2, 5, 5' -

М = 0,5, 6, 6' - М = 0); сплошная линия--Си = 0, пунктирная линия — -/„ ~ 0,667,

тиг — 1)

устойчивой (см. рис. 3, а). В то же время мнимые фазовые скорости с* наиболее неустойчивой невязкой моды II, напротив, увеличиваются с возрастанием сжимаемости (числа Маха М), асимптотически стремясь к определенному конечному пределу при М —оо (см. рис. 3, б). Рост степени неравновесности колебательной энергии молекул газа приводит к уменьшению значений с* невязкой моды II по отношению к их значениям для термически равновесного газа.

ш,'Ю3 <у;-103

Рис. 4. Зависимости Ш{(а) для моды I (а) и моды II (б) в совершенном газе при М=2 (линия в виде точек — Не = 107, штрихпунктирная — И.е = 10®, штриховая — Яе = 105, сплошная — Яе = оо)

Для сжимаемого вязкого течения Куэтта термически неравновесного газа показано, что рост значений числа Рейнольдса Ее приводит к росту значений инкрементов и>; = ас^ наиболее неустойчивых вязких мод возмущений и тем самым оказывает дестабилизирующее воздействие на течение (см. рис. 4). Возрастание же параметра ах = цъЫ (ль, V ~ объемная и сдвиговая вязкости соответственно) и степени термической неравновесности 7„ приводит к стабилизации течения, поскольку сопровождается падением значений инкрементов роста наиболее неустойчивых вязких мод возмущений (см. рис. 5). Кривые нейтральной устойчивости этих мод возмущений показали, что критические чисела Рейнольдса возрастают примерно на 12 % при достижении максимального уровня термической неравновесности газа. Примеры изолиний инкрементов (¿¿(Не, а) для совершенного и термически неравновесного газов при различных значения числа Маха М представлены на рис. 6.

2,5 2,7 А- - ,

а о

Рис. 5. Зависимости ш<(а) для Ее = 5105 и М=3 (о — мода I; б — мода II; сплошная

линия — совершенный газ, штриховая — с*1 = 2, 7„ = 0,667)

Рис. 6. Изолинии поверхностей ш^Ке, а) (а — М=3, б — М=5; сплошная линия — совершенный газ, штриховал — с*! = 2, 7„ = 0,667)

В частности, расчеты показали, что критические значения числа Рей-нольдса и соответствующие им значения волновых чисел вязкой моды I при числе Маха М = 3 равны Re^ = 1,239 ■ 105, а',, = 2,837 для «i = -yv = О и ReJ.r =--= 1,256 • 105, а\г = 2,859 для аг = 2, 7„ = 0,667, а вязкой моды II - Re" = 5,006 • 104, а» = 2,546 для ах = 7„ = 0 и Re^ = 5,606 • 104, а" = 2,604 для ах = 2, 7„ = 0,667.

В Четвертой главе на основе энергетической теории устойчивости рассчитаны критические числа Рейнольдса Recr для сжимаемого течения Куэтта с линейным профилем скорости. В рамках полных моделей Навье -Стокса и двухтемпературной аэромеханики выводятся уравнения энергетического баланса возмущений для энергетических функционалов, адекватно отражающих эволюцию полной пульсационной энергии. На их основе ставятся вариационные задачи, определяющие критическое число Рейнольдса возможного начала развития ламинарно-турбулентного перехода.

Рис. 7. Зависимости Re(a) при различных значениях ai (1 - a i =0, 2 - ai =0,5, 3 - ai = 1, 4 ~ »l = 1,5, 5 - ai =2; штриховые линии - асимптоты (3),

штрихпунктирная линия - зависимость критического числа Рейнольдса от волнового числа ReCr(а))

В п. 4.1 в случае умеренного уровня термической неравновесности (приближение Навье - Стокса) для длинноволновых продольных (а « 1, 5 = 0) и поперечных (а = 0, 5 « 1) мод возмущений получены асимптотические оценки критических чисел Рейнольдса Recr, которые с точностью до членов порядка О {а2 + 52) имеют вид

Оценки (3) показывают, что с ростом параметра cti (объемной вязкости) значения Reer также увеличиваются.

Полученные асимптотики являются длинноволновыми приближениями. Это позволяет заключить, что полученная зависимость описывает воздействие объемной вязкости на крупномасштабные вихревые структуры, характерные для развития неустойчивости Кельвина - Гельмгольца. На основе численных расчетов для широкого диапазона волновых чисел возмущений показано, что критические значения числа Рейнольдса достигаются на продольных модах возмущений (см. рис. 7) и с ростом объемной вязкости в реальных границах для двухатомных газов возрастают, увеличиваясь приблизительно на треть по сравнению со случаем нулевой объемной вязкости.

В п. 4.2 представлены аналогичные результаты для течения Куэтта колебательно-возбужденного газа, описываемого системой уравнений двух-температурной аэродинамики. Используя уравнения этой системы, было построено уравнение энергетического баланса полной пульсационной энергии

-уМ2

<К1,

которое имеет вид

+ — р(П-т')Ч

T~vt

J_

ди[ дх„

Для (4) поставлена и решена вариационная задача на определение критического значения числа Рейнольдса Recr. В результате в длинноволновом приближении получена асимптотическая формула для зависимости критического числа Рейнольдса Нсгг от числа Маха М, коэффициента объемной вязкости (параметра c*i) и времени колебательной релаксации rvt:

Recr = 7г2

а о

т3 Tvt

Ьо

T„tM (ai + 4/3)

-1/3

(5)

где а0 и b0 — некоторые положительные постоянные порядка 0(1). Из (5) следует, что с ростом указанных параметров значения Recr также возрас-татют.

Для произвольных волновых чисел задача решена численно с помощью метода коллокаций. Показано, что в реальных для двухатомных газов пределах изменения параметров режима критические значения числа Рейнольдса Recr также достигаются на модах продольных возмущений и возрастают с ростом указанных параметров (см. рис. 8). При этом в рассмотренном диапазоне изменения параметров термической релаксации для дозвукового течения число Recr в пределе возрастает примерно в два раза, а для сверхзвукового течения максимальный диапазон изменения Recr приближается к полутора порядкам. Анализ степени влияния каждого параметра на Recr при фиксированных значениях остальных параметров, показывает, что при числах Маха М > 1 наибольшее воздействие на возрастание Recr оказывает рост числа М (сжимаемость). При этом в диапазоне значений М = 2 -f- 5 критические числа Рейнольдса увеличиваются более чем на порядок. В то же время при изменении числа Маха в дозвуковом диапазоне М = 0,2-^0,8 возрастание Recr лежит в пределах 10 %. Вместе с тем степень влияния параметров jv и rvt, определяющих основное воздействие при М < 1, при переходе к сверхзвуковому режиму остаются на прежнем уровне.

Было отмечено, что полученные здесь значения Recr остаются более чем на порядок ниже критических чисел Рейнольдса, рассчитанных в рамках линейной теории устойчивости.

В п. 4.3 для оценки реального вклада нелинейности в значения критических чисел Рейнольдса были получены данные для Recr, рассчитанные на основе энергетической теории устойчивости, примененной к линеаризованной системе уравнений двухтемпературной аэродинамики. Количественное сравнение данных Recr для линейной и нелинейной постановок задач показывает, что критические значения числам Рейнольдса линеаризованной задачи существенно смещаются в сторону меньших значений, а их числовые значения примерно в два раза меньше по сравнению с нелинейной.

В Пятой главе представлены результаты исследования влияния релаксационных процессов на эволюцию крупной вихревой структуры в плоском сдвиговом течении молекулярного газа. Несмотря на простоту, такая постановка представляет несомненный интерес, так как нестационарное поведение относительно интенсивного вихря в локально однородном поле сдвига является обязательным атрибутом процессов ламинарно-тур-

Рис. 8. Зависимость Re(a) для продольных мод возмущений при числах Маха М = 3 (а, б) и М = 5 (в, г) (а, в - ai = 0; б, г - ai = 2; 1, 1' - 7„ = 0,250; 2, 2' -7и = 0,429; 3, 3' — fv = 0,667; сплошные линии — т — 1, штриховые — г = 3, штрихпунктирные — зависимость критического числа Рейнольдса Reer от волнового числа а)

булентного перехода и генерации турбулентности в плоских следах, слоях смешения, затопленных струях. Поскольку ожидаемый относительный эффект подавления вихревого возмущения оценивался в пределах нескольких процентов, для использованной в расчетах конечно-разностной схемы Ко-вени - Яненко15 предварительно были выполнены многочисленные тесты, показавшие ее адекватность исследуемой задаче.

ЕШ 0.048

0.044 0.040 0,036

Рис. 9. Временные зависимости от времени кинетической энергии возмущений E{t) для М = 0,5, Re = 100, Рг = 0,74, ß = 0,2, х = 3, 7 = 1- 4 (i - аг = 0; 2 - «i = 0,5; 3 - ai = 1; 4 - Qi = 1,5; 5 - сч = 2)

Исследование двумерного модельного течения с начальными данными, представляющими суперпозицию вихря Рэнкина и линейного сдвигового потока, позволили получить количественные оценки влияния релаксационных процессов в молекулярных газах на подавление гидродинамических возмущений. Расчеты проводились как для умеренного уровня возмущений на основе уравнений Навье - Стокса, так и для сильно неравновесного газа с возбуждением колебательных мод, описываемого полными уравнениями двухтемпературной аэродинамики. "

Расчеты, проведенные в п. 5.1, при умеренном уровне термической неравновесности газа, показали, что кинетическая энергия возмущений E(t) с ростом коэффициента объемной вязкости г/ъ затухают более интенсивно (см. рис. 9). При этом, как вытекает из рис. 9, максимальное расслоение кривых E(t) наблюдаются на временном интервале 4 < t < 5. Отмечено, что поведение зависимостей рейнольдсовых напряжений <Ti2(i, т}ь) аналогично поведению кривых E{t, щ).

15Ковеня В.М., Яненко H.H. Методы расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1981. 304 с.

Показано, что при умеренном уровне термической неравновесности в слабо сжимаемом течении с возрастанием объемной вязкости в диапазоне О < т]ь < 2 т) (77 - сдвиговая вязкость) увеличивается, приближаясь к 10 % при щ = 2т]. При увеличении значения числа Маха М оба предела возрастают, и при М = 2 достигают значения порядка 20 %.

0,025

■ "-

% 1

N

0,5

2,5 б

4,5 t

Рис. 10. Временные зависимости кинетической энергии возмущения E{t) (а - 77 = Vb = = <W = Art = = 0, Tvt = 3 и £ = 1 -г 6 (1 - £ = 1,5, 2 - £ = 2, 3 - £ = 2, 4 ~ £ = 4, 5 - £ = 5, 6 - £ = 6); б- сц = 0,5, £ = 3 и rvt = 1 Ч- 5 (.? - т„4 = 0,5, 2 -Tut = 1, 3 - T„t = 2, ^ - r„t = 3, 5 - r„t =4, 6 - rvt = 5))

Для колебательно-возбужденного газа вычисления, проведенные в п. 5.2, показали, что кривые зависимостей в приближении релаксационной газовой динамики (когда все диссипативные коэффициенты в системе уравнений двухтемпературной аэродинамики равны нулю) спадают более интенсивно с ростом уровня возбуждения колебательной энергии £ (см. рис. 10, а).

Влияние изменения времени колебательной релаксации т„г на затухание энергии возмущения Е(£) иллюстрирует рис. 10, б. Параметр ту1 здесь меняется в пределах одного порядка, а значения параметров а\ и £ выбраны умеренными. Видно, что с уменьшением времени релаксации т„4 при фиксированном уровне возбуждения колебательной энергии £ (что соответствует росту скорости УТ-энергообмена) пульсации подавляются более интенсивно, хотя и не в прямой пропорции с изменением т^. Зависимости модуля рейнольдсовых напряжений <712(1) при различных т^ и £ ведут себя аналогично кривым, представленным на рис. 10.

Проведенные вычисления также показали, что когда объемная вязкость и степень колебательной неравновесности возрастают, стремясь к своим

максимальным значениям, принятым в расчетах, полные относительные снижения осредненных по условному времени «жизни» величин кинетической энергии возмущения и рейнольдсовых напряжений также растут, приближаясь к 20 %. В приближении релаксационной газовой динамики относительные снижения осредненных по условному времени «жизни» величин кинетической энергии возмущения и рейнольдсовых напряжений при возрастании степени колебательной неравновесности и скорости неупругих УТ-энергообменов достигают величин порядка 10 %.

Таким образом, приведенные в пятой главе результаты численного моделирования дали возможность сделать вывод о заметном демпфирующем влиянии термической неравновесности на нелинейную динамику возмущений при уровнях возбуждения, которые реально можно получить при течениях в соплах, недорасширенных струях или умеренной лазерной накачкой.

В Шестой главе приведены результаты численного моделирования нелинейного развития неустойчивостей Кельвина - Гельмгольца, которое достаточно полно воспроизводит локальный механизм турбулизации свободного сдвигового течения. Задача рассматривалась как в рамках уравнений Навье - Стокса для умеренного уровня термической неравновесности, так и на основе полной системы уравнений двухтемпературной аэродинамики для колебательно-возбужденного газа. В качестве начальных возмущений использовались плоские волны с максимальными инкрементами нарастания, предварительно рассчитанные на базе соответствующих линеаризованных систем невязких уравнений газовой динамики во второй главе. Детально воспроизведена известная картина динамики развития крупной вихревой структуры «са!'я-еуе», характерная для возникновения и развития инерционной неустойчивости.

Расчеты показали, что независимо от уровня термической неравновесности эволюция вихревой структуры носит универсальный характер: рост и достижение через некоторое время максимального значения полной завихренности потока, затем ее спад и стабилизация при í > 5 к значению, несколько превышающему начальное. При этом рост значений параметров термической релаксации сопровождается усилением расплывания вихревой структуры. Характерная картина изолиний завихренности, близкая к достигаемому максимуму, для умеренного уровня термической неравновесности приведена на рис. 11, а, а для колебательно-возбужденного газа - на рис. 11, б, где параметр £ задает амплитуду возмущения колебательной температуры Т„.

Рис. 11. Изолинии поля завихренности ы при М = 0, 5 (а - а\ = 2, £ = 0; б - сц = 0, С = 5, т„4 = 1)

Проведенные вычисления выявили однонаправленность воздействия объемной вязкости, степени возбуждения колебательной энергии молекул газа и числа Маха (сжимаемости), возрастание которых вызывает увеличение диссипации энергии кинетической возмущений Е(Ь) (см. рис. 12).

Для количественного сравнения вклада термической релаксации в диссипацию кинетической энергии возмущений вычислялись средние по вре-

мени относительные отклонения

е.

Ы<*1, О = Q"1

о

» /

\E(t, Qb 0-E(t, 0) E{t, 0)

■100%dt, ai = 0ч-2, £ = 0-=-5.

Осреднение здесь осуществляется по условному времени «жизни» структуры 0 = 6. Результаты расчетов относительных отклонений £е{с*г, О представлены в табл. 3.

Таблица 3. Относительные отклонения £23(01, £), %, для П,е = 100, т„г = 1

ai = 0 ai = 1 ai = 2

M i = o Ç = 5 i = 0 C = 5 i = 0 € = 1 Ç = 5

0,2 0,0 1,986 9,721 3,148 2,121 10,448 7,511 2,332 11,455

0,5 0,0 2,750 11,348 5,772 3,799 12,009 13,074 3,096 14,567

Из данных табл. 3 следует, что в отсутствие у молекул газа возбужденных колебательных мод (£ = 0) возрастание значений объемной вязкости (параметра ai) сопровождается ростом среднего по времени «жизни» структуры относительного увеличения диссипации энергии возмущений, которое достигает величины порядка 13,1 %. При повышении же степени неравновесности колебательной энергии £ в отсутствие объемной вязкости (параметра ai = 0) относительное увеличение диссипации энергии возмущений достигает примерно 11,4 %, а при достижении объемной вязкости своего максимального значения, равного ai = 2 (тоже самое, что Щ = 2т/ ), приближается к 14,6 %.

Приведенные в шестой главе результаты численного моделирования нелинейного развития дозвуковых вихревых возмущений в эволюционирующем во времени сдвиговом слое термически неравновесного молекулярного газа позволяют еще раз подтвердить сделанный в предыдущих главах вывод о заметном демпфирующем влиянии релаксации возбужденных внутренних мод молекул на линейную и нелинейную динамику возмущений. Следует отметить, что диапазон изменения диссипативного эффекта при релаксации колебательной моды сопоставим с механическим способом воздействия на крупные вихревые структуры (LEBU)16. Это позволяет предположить, что лазерная накачка колебательных мод может стать реальным способом управления течениями молекулярных газов.

16Savill А.М. Drag réduction by passive devices a review of some recent developments // Structure of Turbulence and Drag Réduction / Ed. by A. Gry. Berlin etc.: SpringerVerlag, 1990. P. 429 - 465.

В Заключении представлены основные результаты и выводы диссертационной работы, которые состоят в следующем.

1. В области линейной теории устойчивости плоскопараллельных сдвиговых течений сжимаемого термически неравновесного молекулярного газа:

1.1. Получено обобщение первой и второй теорем Рэлея и теоремы Хо-варда на случай плоскопараллельных сжимаемых течений колебательно-возбужденного газа.

1.2. Доказано, что колебательная релаксация создает дополнительный диссипативный фактор, повышающий устойчивость потока.

1.3. Для свободного слоя сдвига рассчитаны наиболее неустойчивые невязкие моды с максимальными инкрементами нарастания. Показано, что с возрастанием степени неравновесности колебательной энергии молекул газа инкременты роста этих мод возмущений существенно понижаются. При этом варьирование времени колебательной релаксации практически не оказавает влияние на их поведение.

1.4. Исследования зависимостей инкрементов роста наиболее неустойчивых невязких мод от числа Маха и параметров колебательной релаксации показали, что колебательная релаксация подобно сжимаемости (числа Маха М) снижает инкременты нарастания этих мод возмущений. При этом с ростом числа Маха снижение инкрементов, обусловленное релаксационным процессом, становится все более заметным.

1.5. Для сжимаемого течения Куэтта колебательно-возбужденного газа вычислены параметры четных и нечетных невязких мод возмущений. Анализ фазовых скоростей этих мод возмущений показал, что рост параметров колебательной релаксации слабо влияет на их поведение.

1.6. Установлено, что для широкого диапазона изменения значений параметров колебательной релаксации и числа Маха первая невязкая мода всегда устойчива. В то же время инкременты наиболее неустойчивой второй невязкой моды, напротив, увеличиваются с возрастанием сжимаемости (числа Маха М), асимптотически стремясь к определенному конечному пределу при М —» оо. Рост степени неравновесности колебательной энергии молекул газа приводит к уменьшению значений инкрементов второй невязкой моды возмущений по отношению к их значениям для термически равновесного газа.

1.7. Для сжимаемого течения Куэтта термически неравновесного газа вычислены четные и нечетные вязкие моды возмущений. Показано, что рост значений числа Рейнольдса 11е приводит к росту значений инкремен-

тов наиболее неустойчивых вязких мод возмущений и тем самым оказывает дестабилизирующее воздействие на течение. Возрастание степени термической неравновесности приводит к стабилизации течения, поскольку сопровождается падением значений инкрементов роста наиболее неустойчивых вязких мод возмущений.

1.8. Для наиболее неустойчивых первой и второй вязких мод возмущений в сверхзвуковом течении Куэтта рассчитаны кривые нейтральной устойчивости, показывающие, что возрастание критических чисел Рей-нольдса в зависимости от уровня термической неравновесности может достигать 12 %.

2. В рамках энергетической теории нелинейной устойчивости течений сжимаемого термически неравновесного газа:

2.1. Проведено обобщение энергетической теории гидродинамической устойчивости на случай сжимаемых течений термически неравновесных молекулярных газов.

2.2. Получены уравнения энергетического баланса полной пульсацион-ной энергии возмущений, учитывающее физические особенности сжимаемого течения термически неравновесного молекулярного газа.

2.3. На основе полученных уравнений энергетического баланса пуль-сационной энергии для умеренного уровня термической неравновесности и колебательно-возбужденного газа поставлены вариационные задачи на определение критических значений числа Рейнольдса.

2.4. В рамках обобщенной энергетической теории проведен асимптотический анализ устойчивости плоского течения Куэтта термически неравновесного газа. В результате построены длинноволновые асимптотические оценки критических чисел Рейнольдса для плоского течения Куэтта, показывающая, что возрастание объемной вязкости, параметров термической релаксации и числа Маха потока приводит к росту критических чисел Рейнольдса.

2.5. Для произвольных волновых чисел спектральные задачи, вытекающие из вариационных постановок, решались численно. Показано, что на фоне максимального исследованного уровня возбуждения внутренних степеней свободы молекул газа рост критических чисел Рейнольдса может достигать 40 %.

2.6. Проведена оценка вклада нелинейности на критические значения числа Рейнольдса Recr- Рассчитанные для линеаризованной задачи Recr примерно в два раза меньше по сравнению со значениями для нелинейной.

3. На основе расчетов модельных задач при закритических числах Рейнольдах:

3.1. На базе модельного течения, представляющего собой суперпозицию вихря Рэнкина и линейного сдвигового потока, в рамках полных уравнений Навье - Стокса проведено численное моделирование влияния объемной вязкости Т)ъ (слабой термической неравновесности) на нелинейное взаимодействие вихревого возмущения конечной амплитуды с несущим сдвиговым потоком. Расчеты показали, что в слабо сжимаемом течении с возрастанием объемной вязкости в диапазоне 0 < щ < 2 т] относительное снижение абсолютной величины рейнольдсовых напряжений и кинетической энергии возмущения увеличивается, приближаясь к 10 % при щ = 2т]. При увеличении значения числа Маха М оба предела возрастают, и при М = 2 достигают значения порядка 20 %.

3.2. Численное моделирование влияния термической релаксации на нелинейное взаимодействие вихревого возмущения конечной амплитуды с несущим сдвиговым потоком колебательно-возбужденного газа проводилось в рамках полных уравнений двухтемпературной аэродинамики на базе того же модельного течения. Вычисления показали, что когда объемная вязкость и степень колебательной неравновесности возрастают, стремясь к своим максимальным значениям, принятым в расчетах, полное относительное снижение осредненных по условному времени «жизни» структуры величин кинетической энергии возмущения и рейнольдсовых напряжений также растет, приближаясь к 20 %.

3.3. В приближении релаксационной газовой динамики, когда все дис-сипативные коэффициенты в системе уравнений двухтемпературной аэродинамики равны нулю, относительное снижение осредненных по условному времени «жизни» структуры величин кинетической энергии возмущения и рейнольдсовых напряжений при возрастании степени колебательной неравновесности и скорости неупругих УТ-энергообменов достигает величин порядка 10 %.

3.4. Исследования диссипативного влияния релаксации внутренних мод молекул на процесс ламинарно-турбулентного перехода на основе моделирования полного цикла развития инерционной неустойчивости в эволюционирующем во времени сдвиговом слое с точкой перегиба на профиле скорости показали, что независимо от уровня термической неравновесности эволюция вихревой структуры носит универсальный характер: рост и достижение через некоторое время максимального значения полной завихренности ы потока, затем ее спад и стабилизация при О 5 к значению,

несколько превышающему начальное. При этом рост значений параметров термической релаксации сопровождается усилением расплывания вихревой структуры.

3.5. Проведенные вычисления выявили однонаправленность воздействия сжимаемости, объемной вязкости и возбуждения колебательных степеней свободы, возрастание которых вызывает увеличение диссипации энергии возмущений. В отсутствие у молекул газа возбужденных колебательных мод возрастание значений объемной вязкости сопровождается ростом среднего по времени «жизни» структуры относительного увеличения диссипации энергии возмущений, которое достигает величины порядка 13,1 %. При повышении же степени неравновесности колебательной энергии молекул газа в отсутствие объемной вязкости относительное увеличение диссипации энергии возмущений достигает примерно 11,4 %, а при достижении объемной вязкости своего максимального значения щ = 2г/, используемого в расчетах, приближается к 14,6 %.

Таким образом, результаты исследований устойчивости сдвиговых течений термически неравновесного молекулярного газа позволяют сделать вывод о заметном демпфирующем влиянии релаксации возбужденных внутренних мод молекул на линейную и нелинейную динамику возмущений.

Автор выражает благодарность доктору физико-математических наук, профессору Юрию Николаевичу Григорьеву за плодотворное сотрудничество, постоянное внимание к работе и обсуждение ее результатов, а также Российскому фонду фундаментальных исследований, гранты которого поддерживали исследования, представленные в работе, на протяжении более чем десяти лет.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Монографии:

1. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Устойчивость течений релаксирующих молекулярных газов / Отв. ред. А.Д. Рынков. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2012. 230 с.

Научные журналы из перечня ВАК:

2. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Генерация турбулентности в потоках неравновесного молекулярного газа // Вычислительные технологии. 2001. Т. 6 (Спец. вып.). С. 225 - 232.

3. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Подавление вихревых возмущений релаксацион- -ным процессом в молекулярном газе // Прикл. мех. и техн. физика. 2003. Т. 44, № 4. С. 22 - 34.

4. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В., Ершова Е.Е. Влияние колебательной релаксации на пульсационную активность в течениях возбужденного двухатомного газа // Прикл. мех. и техн. физика. 2004. Т.45, № 3. С. 15 - 23.

5. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В., Зырянов К.В., Синяя A.B. Численное моделирование эффекта объемной вязкости на последовательности вложенных сеток // Вычислительные технологии. 2006. Т.11, № 3. С. 36 - 49.

6. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Влияние объемной вязкости на неустойчивость Кельвина - Гельмгольца // Прикл. мех. и техн. физика. 2008. Т. 49, № 3. С. 73 -84.

7. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В., Зырянов К.И. Численное моделирование волн Кельвина - Гельмгольца в слабо неравновесном молекулярном газе // Вычислительные технологии. 2008. Т. 13, № 5. С. 25 - 40.

8. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Энергетическая оценка критических чисел Рей-нольдса в сжимаемом течении Куэтта. Влияние объемной вязкости // Прикл. мех. и техн. физика. 2010. Т. 51, № 5. С. 59 - 67.

9. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В., Зырянов К.И. Численное моделирование инерционной неустойчивости в колебательно неравновесном двухатомном газе // Вычислительные технологии. 2010. Т.15, № 6. С. 25 - 40.

10. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Линейная устойчивость невязкого сдвигового течения колебательно возбужденного двухатомного газа // Прикл. матем. и механика. 2011. Т. 45, вып. 4. С. 581 - 593.

11. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Устойчивость течений колебательно возбужденных газов. Энергетический подход // Вестн. Нижегородского гос. ун-та им. Н.И. Лобачевского. МЖГ. 2011. № 4 (3). С. 735 - 737.

12. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Критические числа Рейнольдса в течении Куэтта колебательно возбужденного двухатомного газа. Энергетический подход // Прикл. мех. и техн. физика. 2012. Т. 53, № 4. С.57 - 73.

13. Ершов И.В., Зырянов К.И. Диссипация волн Кельвина - Гельмгольца в колебательно неравновесном двухатомном газе // Вестн. Томск, гос. ун-та. Матем. и механика. 2012. № 1. С. 68 - 80.

14. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Диссипация вихревых возмущений в колебательно неравновесном газе // Теплофизика и аэромеханика. 2012. Т. 19, № 3. С. 291 - 300.

15. Ершов И.В. Энергетическая оценка критических чисел Рейнольдса в течении Куэтта колебательно-неравновесного молекулярного газа // Вестн. Томск, гос. ун-та. Матем. и механика. 2012. № 2. С. 99 - 112. •

16. Ершов И.В. Устойчивость течения Куэтта колебательно-неравновесного молекулярного газа. Энергетический подход // Вестн. Томск, гос. ун-та. Матем. и

мех. 2013. № 3. С. 76 - 88.

17. Ершов И.В. Линейная устойчивость течения Куэтта колебательно-неравновесного молекулярного газа // Известия вузов. Физика. 2013. Т. 56, № 6/3. С. 125 -127.

18. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Линейная устойчивость течения Куэтта колебательно-возбужденного газа. 1. Невязкая задача // Прикл. мех. и техн. физика. 2014. Т. 55, № 2. С. 57 - 73.

19. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Критические числа Рейнольдса в сверхзвуковом течении Куэтта колебательно-возбужденного двухатомного газа // Вычислительные технологии. 2014. Т. 19, № 2. С. 20 - 32.

20. Ершов И.В. Линейная устойчивость невязкого сдвигового течения термически неравновесного молекулярного газа // Вестн. Томск, гос. ун-та. Матем. и мех. 2014. № 1. С. 71 - 81.

Труды и материалы конференций:

21. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Зарождение и генерация турбулентности в релаксирующем молекулярном газе // Современные проблемы механики: Тр. межд. конф., Алматы, 5-7 сентября 2001 г. Часть I: Механика жидкости и газа. Алматы: Казахский национальный ун-т, 2001. С. 90 - 92.

22. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В., Ершова Е.Е. Влияние термического возбуждения на генерацию турбулентности в потоке молекулярного газа // Матем. модели и методы их исследования: Тр. межд. конф., Красноярск, 16 - 21 августа 2001 г. Том 1. Красноярск: Ин-т вычисл. моделир. СО РАН, 2001. С. 197 - 202.

23. Grigoryev Yu.N., Ershov I.V. The organized vortex structure in relaxing gas // Proc. XI Intern. Conf. on the Methods of Aerophys. Res., Part II. Novosibirsk: Publ. House «Parallel», 2002. P. 68 - 72.

24. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Подавление вихревых возмущений в течении возбужденного молекулярного газа // Модели и методы аэродинамики: Материалы 3-ей межд. школы-семинара, Евпатория, 5-14 июня 2003 г. М.: МЦНМО, 2003. С. 36 - 37.

25. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В., Ершова Е.Е. Подавление вихревых возмущений в потоке релаксирующего молекулярного газа // VII Забабахинские научные чтения: Тр. межд. конф., Снежинск, 8-12 сентября 2003 г. Снежинск: Изд-во РФЯЦ - ВНИИТФ, 2003.http://www.vniitf.ru/rig/konfer/7zst/reports/s4/4-30.pdf

26. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. К проблеме ламинарно-турбулентного перехода в течениях молекулярного газа при конечных числах Маха // Модели и методы аэродинамики: Материалы 4-ой межд. школы-семинара, Евпатория, 7-14 июня 2004 г. М.: МЦНМО, 2004. С. 34 - 35.

27. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Подавление вихревых возмущений в потоке сильно неравновесного двухатомного газа // XXVII Сибирский теплофизический семинар: Сборник трудов, Москва - Новосибирск, 1-5 октября 2004 г. Новосибирск: Ин-т теплофизики СО РАН, 2004. Статья № 041. http://www.vniitf.ru/rig/ konfer/7zst/reports/s4/4-30.pdf

28. Grigoryev Yu.N., Ershov I.V. Suppression of vortex disturbances in vibrationally excited diatomic gas // Proc. XII Intern. Conf. on the Methods of Aerophys. Res., Part II. Novosibirsk: Publ. House «Parallel», 2004. P. 89 - 93.

29. Grigoryev Yu.N., Ershov I.V. Influence of bulk viscosity on the Kelvin - Helmholts instability // Proc. XIII Intern. Conf. on the Methods of Aerophys. Res., Part III. Novosibirsk: Publ. House «Parallel», 2007. P. 123 - 128.

30. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Влияние термической неравновесности молекулярного газа на критическое число Рейнольдса в плоском течении Куэтта // IX Забабахинские научные чтения: Тр. межд. конф., Снежинск, 10 - 14 сентября 2007 г. Снежинск: Изд-во РФЯЦ-ВНИИТФ, 2007. http://www.vniitf.ru/ rig/konfer/9zst/s4/4-12 .pdf

31. Grigoryev Yu. N., Ershov I.V., Zyryanov K.I. The Kelvin-Helmholtz waves in non-equilibrium molecular gas flow // Proc. XIV Intern. Conf. on the Methods of Aerophys. Res., Part II. Novosibirsk: Publ. House «Parallel», 2008. P. 128 - 133.

32. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Нелинейная устойчивость течения Куэтта слабо возбужденного молекулярного газа // Всеросс-й семинар по аэрогидродинамике: Избран, труды, С.-Петербург, 5-7 февраля 2008 г. СПб.: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 2008. С. 28 - 33.

33. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Влияние релаксации возбужденных молекулярных мод на нелинейную стадию ламинарно-турбулентного перехода // Модели и методы аэродинамики: Материалы 8-ой межд. школы-семинара, Евпатория, 4 -13 июня 2008 г. М: МЦНМО, 2008. С. 37 - 39.

34. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Устойчивость внутренних течений релаксирую-щих молекулярных газов // Модели и методы аэродинамики: Матер. 9-ой межд. школы-семинара, Евпатория, 4-13 июня 2009 г. М.: МЦНМО, 2009. С. 58 - 60.

35. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Устойчивость течений релаксирующих молекулярных газов // Тр. XV Междун. конф. «Методы аэрофиз. исследований». Новосибирск: Изд-во «Параллель», 2010. С. 123 - 128.

36. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Релаксация: влияние на устойчивость и диссипация турбулентности // Модели и методы аэродинамики: Матер. 10-ой межд. школы-семинара, Евпатория, 3-14 июня 2010 г. М: МЦНМО, 2010. С. 49 - 51.

37. Ершов И.В., Григорьев Ю.Н. Энергетический анализ устойчивости течения Куэтта релаксирующего молекулярного газа // Фундаментальные и прикладные

проблемы современной механики: Сборник материалов всеросс-й конф., Томск, 12 - 14 апреля 2011 г. Томск: Изд-во Томского гос. ун-та, 2011. С. 445 - 447.

38. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Переход к турбулентности в течении колебательно-возбужденного газа // Модели и методы аэродинамики: Материалы 11-ой межд. школы-семинара, Евпатория, 4-13 июня 2011 г. М.: МЦНМО, 2011. С. 55 - 57.

39. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Устойчивость течений релаксирующих молекулярных газов // Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика: Тр. межд. конф., Новосибирск, 30 мая - 4 июня 2011 г. № гос. регистр. 0321101160, ФГУП НТЦ «Информрегистр». Новосибирск, 2011. http://conf.nsc.ru/files/conferences/niknik-90/fulltext/38025/65074/yugrigor-dokl-new.pdf

40. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Релаксация: влияние на устойчивость и диссипация турбулентности // Межд. науч. конференция по механике «Шестые По-ляховские чтения»: Избран, труды, С.-Петербург, 31 января - 3 февраля 2012 г. СПб: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 2012. С. 176 - 184.

41. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Линейная и нелинейная устойчивость течений колебательно неравновесных газов // Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность (НеЗаТеГиУс-2012): Материалы межд. конфер., Моск. обл., пане. «Звенингородский» РАН, 5-11 февраля 2012 г. М: Изд-во НИИ механики МГУ, 2012. С. 64 - 66.

42. Ершов И.В. Устойчивость течения Куэтта термически неравновесного молекулярного газа. Энергетический подход // XXIII семинар по струйным, отрывным и нестационарным течениям: Сборник трудов / под ред. Г.В. Кузнецова и др., Томск, 26 - 29 июня 2012 г. Томск: Изд-во Томск, политехи, ун-та, 2012. С. 129 - 133.

43. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Линейная устойчивость течения Куэтта колебательно-возбужденного газа // Модели и методы аэродинамики: Материалы 13-ой межд. школы-семинара, Евпатория, 4-13 июня 2013 г. М.: МЦНМО, 2013. С. 67 - 68.

44. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Устойчивость сверхзвукового течения Куэтта колебательно возбужденного газа // Модели и методы аэродинамики: Материалы 14-ой межд. школы-семинара, Евпатория, 4-13 июня 2014 г. М.: МЦНМО, 2014. С. 51 - 52.

Ответственный за выпуск Ершов И.В.

Подписано в печать «¿V ъо/ст&ЗрЯ 2014 г. Формат60x84/16 Усл.-печл. 2,0 Уз.-щцл.1,6 Тираж 150 экз. Заказ№419 Новосиб1фскии государства П1ый архигеиур» ю-сгрошельный университет (Сибсприн) 630008, пНовосибирск, улЛенинтрадооя, 113 Отпечатаю в мастерской оперативной полиграфии