Структура газодинамических возмущений в стационарно неравновесной среде с экспоненциальной моделью релаксации тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

МАКАРЯН Владимир Георгиевич

СТРУКТУРА ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ

В СТАЦИОНАРНО НЕРАВНОВЕСНОЙ СРЕДЕ С ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ МОДЕЛЬЮ РЕЛАКСАЦИИ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Самара - 2006

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С.П. Королева».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Молевич Нонна Евгеньевна.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Загидуллин Марсель Вакифович; доктор физико-математических наук, профессор Кожевников Евгений Николаевич.

Ведущая организация: Институт механики МГУ им. М.В.Ломоносова.

Защита состоится «

» ¿¿¿¿у? 2006 г. на заседании диссертационного совета Д.212.218.06 при ГОУ ВПО «Самарский государственный университет» по адресу: 443011, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1, зал заседаний.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ГОУ ВПО «Самарский государственный университет».

Автореферат разослан « Л/ » ^ -Я 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Глущенков В.С.

37 £4

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Волновая динамика термодинамически неравновесных сред, таких как колебательно возбуждённый газ, неизотермическая плазма, химически активные смеси и тому подобных, должна существенно отличаться от динамики равновесных сред. Это связано, во-первых, с тем, что в неравновесных средах коэффициент гидродинамической нелинейности и коэффициент второй (объёмной) вязкости являются функциями степени неравновесности и частоты. Они могут быть как положительными (как в равновесной среде), так и отрицательными. Среды с отрицательной вязкостью являются акустически активными, причём в ограниченном частотном диапазоне. В средах с отрицательным коэффициентом гидродинамической нелинейности возможно существование эво-люционно устойчивых волн разрежения. Во-вторых, в отличие от равновесной среды, в неравновесной среде при определённых степенях неравновесности скорость низкочастотного звука может превышать скорость высокочастотного звука (отрицательная дисперсия). Совокупность этих факторов должна привести к существованию стационарных структур, существенно отличных от получаемых в равновесных средах. Многочисленные эксперименты, проведённые в неравновесных средах, свидетельствуют о существенной перестройке структуры газодинамического возмущения. В частности, в неравновесных газоплазменных средах наблюдается расщепление фронта ударной волны, изменение её скорости, амплитуды и ширины фронта, образование импульсных и ступенько-образных предвестников. Эти явления пока не получили полного теоретического объяснения.

К настоящему времени в научной литературе сложилось два основных подхода к решению данной проблемы. Согласно первому все наблюдаемые явления должны объясняться поперечной неоднородностью среды. В основе второго подхода лежит утверждение о том, что подобные явления определяются в основном неравновесностью среды, т.к. подобные явления наблюдаются, в том числе, в однородных квазистационарных неравновесных средах. До сих пор исследование стационарных газодинамических структур малой, но конечной амплитуды, проводилось на основе нелинейных уравнений, полученных во втором или третьем газодинамическом приближении отдельно для низкочастотных и высокочастотных возмущений. Например, исследовались уравнение Бюргерса с отрицательной вязкостью, модифицированное уравнение Кортевега -де Вриза - Бюргерса с нелинейной вязкостью, получаемые в низкочастотном приближении, или уравнение Бюргерса с источником, получаемое в высокочастотном приближении. Недостатком этих уравнений является то, что на их основе нельзя описать нестационарную эволюцию возмущений с произвольным спектром.

Таким образом, актуальность работы определяется необходимостью определения степени влияния неравновесности среды на эволюцию газодинамических возмущений конечной амплитуды, ]

спектр.

РОС. НАЦИОНАЛ». БИБЛИОТЕКА

СПетерб; ' '' 08 Ш

Целью работы является исследование эволюции газодинамических возмущений в стационарно неравновесном газе с экспоненциальной моделью релаксации при условии отрицательной второй вязкости и дисперсии.

В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:

- определить вид ударной адиабаты в стационарно неравновесной газовой среде с экспоненциальной моделью релаксации;

- исследовать структуру ударных волн в стационарно неравновесной газовой среде с отрицательной дисперсией;

- найти условия существования и эволюционной устойчивости стационарных газодинамических структур

- провести численное моделирование эволюции газодинамических возмущений малой амплитуды в неравновесной среде с отрицательной полной вязкостью и дисперсией.

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:

1. Найден вид ударной адиабаты в стационарно неравновесной газовой среде с экспоненциальной моделью релаксации.

2. Найдены стационарные решения одномерных нелинейных уравнений гидродинамики для стационарно неравновесной газовой среды с экспоненциальной моделью релаксации.

3. Получены новые ударноволновые и автоволновые структуры в неравновесной среде, определены условия их существования.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Вид ударной адиабаты в стационарно неравновесной газовой среде с экспоненциальной моделью релаксации.

2. Ударноволновые структуры релаксационного и детонационного типа и условия их существования в стационарно неравновесной газовой среде при отрицательной дисперсии.

3. Условие неустойчивости и результат задачи об эволюции неустойчивой слабой ударной волны в стационарно неравновесной газовой среде при отрицательной дисперсии.

4. Структура и условия существования автоволнового импульса в стационарно неравновесной газовой среде с экспоненциальной моделью релаксации.

5. Условие существования ступенькообразной автоволны в стационарно неравновесной газовой среде с экспоненциальной моделью релаксации.

Достоверность результатов, основана на обоснованности принятых в механике газа и плазмы физических и математических моделей и подтверждается сравнением с опубликованными теоретическими результатами, которые могут быть получены предельным переходом из результатов, полученных автором.

Научно-практическое значение. Результаты проведенных автором исследований могут быть использованы, например, при проектировании мощных газовых лазеров (химических, газодинамических и др.), в сверхзвуковой авиации (задача обтекания крыла потоком неравновесного газа), а также в других приложениях, где применяются неравновесные среды.

Апробация результатов работы.

Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на Пятой международной школе-семинаре по неравновесным процессам и их приложениям (Минск, 2000 г.), Третьем всероссийском семинаре Моделирование неравновесных систем (Красноярск, 2000), Десятой конференции по физике газового разряда. (Рязань, 2000), Конференции "Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ". (Саратов, 2001), Второй Международной конференции молодых учёных и студентов «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2001), Пятой международной конференции Перспективы магнито-плазменной аэродинамики в аэрокосмических приложениях (Москва, 2003), Тринадцатой Сессии Российского акустического общества (Москва, 2003), Пятом всемирном конгрессе по ультразвуку (Париж, 2003), Пятой Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (№Ш-2004) (Самара, 2004), Международной конференции МСС-04 «Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность» (Москва,

2004), на 14 Всероссийской школе-конференции молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках» (Пермь 2005), на Втором международном симпозиуме по неравновесным процессам МЕРСАР-2005 (Сочи

2005), 15 Международной конференции по преобразованию МГД энергии и 6 Международной рабочей группе по магнито-плазменной аэродинамике (Москва, 2005), семинарах Института механики МГУ (Москва, 2005), Самарского филиала ФИАН (Самара, 2005), Самарского государственного аэрокосмического университета (2005), Самарского государственного университета (2005).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 22 работы, в том числе 6 статей, 7 трудов Международных конференций.

Авторский вклад. Все результаты, изложенные в диссертации, получены автором лично, либо при его определяющем личном участии.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 123 печатные страницы, содержит 55 рисунков, 1 приложение, список литературы включает 114 наименований.

Содержание работы.

Во введении дан краткий обзор новых дисперсионно-вязкостных свойств неравновесной среды с экспоненциальной моделью релаксации

а)

Л г

и их влияния на различные газодинамические явления. В (1) Е - энергия неравновесной степени свободы (например, колебательная энергия молекул в расчёте на одну молекулу), I - время, г - время колебательной релаксации, Ее - её равновесное значение, - мощность источника накачки. Если <2*0, то такую среду принято называть стационарно неравновесной со степенью неравновесности 5 = £>т/Т. Известно, что при степени неравновесности большей порогового значения 5 > Б„ор, коэффициент второй вязкости в такой среде ста-

новится отрицательным [Коган Е.Я., Молевич Н.Е. 1985]. За порогом происходит также изменение знака дисперсии на отрицательный, т.е. скорость низкочастотного звука будет превышать скорость высокочастотного звука. При дальнейшем увеличении степени неравновесности вторая вязкость остаётся отрицательной, а дисперсия становится снова положительной как в равновесной среде. Основные результаты диссертации получены для области отрицательной дисперсии.

Во введении также обоснована актуальность проблемы, сформулирована цель и задачи диссертации, показана научная новизна работы, описана структура и приведено краткое содержание диссертации.

В первой главе показано, что эволюцию газодинамических возмущений в стационарно неравновесной среде не удаётся непротиворечиво описать с помощью применения низкочастотных {сот «1) или высокочастотных (сот »1) приближений. Для этого используется автомодельная форма общего уравнения акустики релаксирующей среды

(р, + - Л»РК )е - ^[ру + §1^ + ^оРРс - ЛоРсс ] = 0 > (2)

описывающая с точностью до величин второго порядка малости по амплитуде эволюцию акустических возмущений произвольного частотного диапазона, распространяющихся в одном направлении. Здесь р = (р-р0)/р0 - безразмерное возмущение плотности; г|0, т|„ - низко- и высокочастотный вязкостно-теплопроводностные коэффициенты; р, р0 - плотность среды и ее невозмущенное значение; у = 11 т0, = - безразмерные время и координата, т0 - время релаксации в невозмущенном состоянии; =Ч/0у0/уоэ, у0, ук -низко- и высокочастотный показатели адиабаты; ХР00, - низко- и высокочастотный коэффициенты акустической нелинейности. Низкочастотный коэффициент акустической нелинейности зависит от степени неравновесности 5 как

^1 + 2СУ0 , 5(1 + 5) 5(1 + 5)

-+—--х'--=-¿-т"

2Сул СрсСул 2СРПСУ

(3)

■'УО ^РО^УО ^^РО^УО

где СР0,СУ0, СрыуСух, - низкочастотные и высокочастотные теплоёмкости при постоянном давлении и объёме, г', г* - первая и вторая безразмерные производные времени релаксации по температуре. Коэффициент т пропорционален низкочастотному коэффициенту второй вязкости :

т = (с1 = -СК0^0/Ск„р0т0с^, с0,сх - низкочастотная и высокочастотная

скорости звука. При отрицательной дисперсии т>0. Уравнение (2) получено для неравновесной среды с экспоненциальной моделью релаксации (1) в предположении слабой дисперсии т« 1 и малой диссипации г]0, т^ «1 [Молевич Н.Е. 1991].

В диссертации получены и исследованы низкочастотная и высокочастот-

ная предельные формы уравнения (2). В низкочастотном пределе получено модифицированное уравнение Курамото-Сивашинского

Ру + *оРРс = ^Р« + РоРда + кРсж' (4)

где = г)0 +1 - безразмерный коэффициент полной вязкости, £; = -т / 2 V = /2р0т0с^ - безразмерный коэффициент низкочастотной второй вязкости; $й=Су£1Сг0 - коэффициент дисперсии, к = С^Д/С^ - коэффициент высокочастотной вязкости, V = СУй / СУт. Показано, что при отрицательной полной вязкости (т.е. в условиях акустической неустойчивости) это уравнение

имеет стационарное решение в виде импульса с «ямкой» (рис. 1а), бегущего со строго определённой скоростью. Проведено численное моделирование эволюции локализованного импульса малой площади. При этом начальное возмущение расщепляется на уединенный автоволновой импульс (рис. 1а) и нестационарную «осциллирующую» волну, распространяющуюся с меньшей скоростью. При дальнейшей эволюции от волны отделяются новые автоволновые импульсы. При этом сама волна постепенно растягивается и количество периодов в ней с течением времени увеличивается.

В высокочастотном пределе получено уравнение Бюргерса с источником и интегральной дисперсией:

Ру + Ч'.РР; = л„Рс; - а„Р - Р„ |р</С. (5)

где а„=-Уот/2 = £0С*0/2С^0Тос»> Р„ = • При а„, р„ <0 получено стационарное решение в виде бегущих периодических волн с изгибом заднего фронта (рис. 16). Аналитически определена их скорость распространения. В результате численного моделирования установлено, что периодические стационарные решения уравнения Бюргерса с источником и интегральной дисперсией не являются эволюционно устойчивыми по отношению к возмущениям с большей длиной волны.

Ширина спектра стационарных структур, описываемых уравнениями (4), (5), оказывается больше, чем спектральная область, для которой эти уравнение получены. Аналогичная ситуация происходит со спектром стационарных структур, полученных ранее из решений низкочастотных или высокочастотных уравнений типа Кортевега-де Вриза-Бюргерса с нелинейной вязкостью (локализованное стационарное решение - слегка асимметричный импульс) и уравнения Бюргерса с источником (последнее следует из (5) при пренебрежении дисперсией и описывает стоячие пилообразные волны без изгиба фронта). Они также

Рис. 1. Стационарная низкочастотная (а) и высокочастотная (б) структуры.

являются неустойчивыми по отношению к возмущениям с большей длиной волны.

Таким образом, показано, что в неравновесном газе даже для описания эволюции возмущений с исходным низкочастотным или высокочастотным спектром использование только предельных низкочастотных или высокочастотных форм уравнений может быть недостаточным. Структура ударных волн и акустических возмущений произвольного спектра должна быть исследована либо непосредственно из уравнений газодинамики (это сделано во второй главе для возмущений произвольной амплитуды), однако применимость аналитических методов в этом случае ограничена, либо с помощью полной формы общего уравнения акустики релаксирующей среды (2) (что возможно только для возмущений малой амплитуды, глава 3), допускающей применение аналитических методов решения.

Во второй главе построены ударные адиабаты и исследована структура ударных волн в стационарно неравновесном молекулярном газе. Полученная равновесная ударная адиабата в колебательно неравновесном газе с зависимостью времени колебательной релаксации от температуры в форме Ландау-Теллера

х(Т,р) = В

р л/Г '

где В и Ь - положительные постоянные, имеет вид (рис. 2):

сг.(р.у,,-Щ)■-V,)(р0+Ц) + л---/*1МЛ +

2 " 1/4 " 17 т

ехр1 —-

МР0У^

1 I тк -1 ехр —*—

[щг,

+я0р0у0

г I- ( \\

1- р^ехр

-1

(6)

= 0.

ь <_

В (6) V = 1/р - удельный объём, М - молекулярная масса, Р, Т - давление и температура газа, Тк — энергия колебательного кванта, индексы 0 и 1 относятся, соответственно, к начальному и конечному состояниям. В отличие от случая 5 = 0, в стационарно неравновесном газе график равновесной адиабаты нельзя представить как однозначную функцию Р(У). Для исследуемой ниже области отрицательной дисперсии физический смысл имеет только верхняя ветвь адиабаты. С точностью до величин второго порядка малости для безразмерных приращений давления и удельного объема Р = (Р1-Р0)/Р0, У = (У,-У0)/У0 уравнение (6) сводится к виду Р = -у0(У-у¥0У2) + О(У3), где коэффициент низкочастотной нелинейности совпадает с (3). На рис. За представлено взаимное расположение равновесной (е) и замороженной (/) ударных адиабат при отрицательной дисперсии. В неравновесной среде низкочастотный коэффициент нелинейности является знакопеременным. При положительном коэффициенте Ч^ обе

адиабаты обращены выпуклостью вниз.

Для исследования структуры ударных волн исходная одномерная система релаксационной газодинамики (без учёта сдвиговой вязкости и теплопроводности) была сведена к одному точному автомодельному уравнению фЦ = /(р, Д5), описывающему изменение возмущения плотности за разрывом в стационарной волне, бегущей со скоростью О. Вид функции / не приводится в виду ее громоздкости. Да-

„ ,, „ лее были построены интегральные кри-

Рис. 2. Ударные адиабаты в стационарно _

неравновесном газе- равновесная ударная вые этого УР^ния в области отрица-адиабата (сплошная линия); замороженная тельной дисперсии и найдены три стационарных решения, удовлетворяющих условию эволюционной устойчивости.

Первое решение (рис. 36,

ударная адиабата (пунктирная линия).

б)

2"

.А I I

1

1 X

Рис. 3. Ударные адиабаты (а) и ударные волны (б) в релаксирующем газе с отрицательной дисперсией.

кривая 1-Г-2') описывает ударные волны со структурой характерной для любой релаксирующей среды (в том числе при 5 = 0). Поэтому ниже они названы ударными волнами релаксационного типа. Ударные волны релаксационного типа соответствуют большим сжатиям У >УСГ, где величины (Per'Кг) определяются параметрами неравновесной среды и задают точку пересечения адиабат (рис. 2). При больших сжатиях равновесная адиабата лежит ниже замороженной, как для обычной газовой среды с положительной дисперсией. С точностью до величин второго порядка малости они определяются в

аналитической форме, как V„ = -Ф0), Р0 =у0ю(Ч'„-%)*,

Наклон хорды, проведённой в точку пересечения равновесной и замороженной адиабат, определяет критическую скорость ударной волны

b-^-ltt-fibt-.i + jgfj. (7)

где = - Vcr. Таким образом, ударная волна релаксационного типа существует при условии D>Dcr. В ней сжатие газа сначала происходит скачком до точки пересечения хорды 1 -1' - 2' (рис. За) с замороженной адиабатой, затем уже

происходит постепенное сжатие до конечного состояния, определяемого точкой пересечения с равновесной адиабатой.

При 3 < Ьсг структура УВ отлична от стандартного релаксационного типа, так как в этой области замороженная адиабата лежит ниже равновесной адиабаты. Опять происходит быстрое сжатие до величины, определяемой пересечением соответствующей хорды (рис. За, прямая 1-2"-1") с замороженной адиабатой. Затем происходит постепенное расширение газа до конечного состояния, определяемого пересечением данной хорды с равновесной адиабатой. В результате возникает новая структура ударной волны (рис. 36, кривая 1 -1" - 2" ) с уменьшением плотности за разрывным фронтом. Такая структура типична для теории детонации, поэтому ниже она называется ударной волной детонационного типа.

В диссертации показано, что ударная волна детонационного типа теряет свою устойчивость при Г)<Е>р. В этом смысле скорость Е>Р является аналогом скорости Жуге в теории детонации. Для случая слабой дисперсии

В =1+ . (8)

2¥„-¥0

Третья стационарная структура, полученная в диссертации, является существенно отличной от рассмотренных ударноволновых структур. Это стационарный сильно асимметричный автоволновой импульс (рис. 4), распространяющийся строго со скоростью (8). Его амплитуда рр определяется

точкой пересечения хорды, соответствующей скорости Ьр, с замороженной адиабатой:

2М (9)

Рис. 4. Автоволновой импульс.

- 1 _

п = —-ж-

р ТУ -ч»

В случае слабой дисперсии форму автоволнового импульса удаётся описать аналитически, это и сделано в третьей главе.

В третьей главе аналитически получены стационарные решения общего уравнения акустики релаксирующей среды при положительном и отрицательном знаках коэффициента Ч'о. Найдены условия существования ударноволновых и автоволновых структур с учётом наличия в среде сдвиговой вязкости и теплопроводности.

Стационарная форма уравнения (2)

Л„Ри+Рг

- у—т Р + -г^Р

= с> (Ю)

где г = С,-юу, \v-D-l - безразмерная скорость стационарной волны в системе координат движущейся со скоростью высокочастотного звука, с - константа интегрирования.

При г)«, = 0 уравнение (10) сводится к виду

^Р = (Р-Р1ХР-Р2)

где ст = 2Ч/„/у11'0, у = Суо/Су„, р, = (и>-\Т|0)/Ч/„, а р, и р2 задаются соотношениями:

2и>-/и _ _ 2с

Р1 +Р2 ="

Р|Р2=;

Решение этого уравнения можно записать в неявном виде

2 = 20 + I р - р21 I р - р, I,

Р1-Р2 Р) -Рг

где г0 - произвольная постоянная. На рис. 5 а) - в) пунктирной линией представлены интегральные кривые уравнения (10) для случая > 0, V > 0 и три типа эволюционно устойчивых стационарных решения (выделенных жирными линиями). Место разрыва определяется величиной скачка газодинамического возмущения р^ =(Ч/0р1-2уцх)/Ч'„.

Р Рг

а)

_

Р. 9*

б)

1

в)

Рис. 5. Интегральные кривые (пунктирная линия) и решения (сплошная линия) уравнения (10)

Анализ полученных решений показал, что необходимым условием существования структуры детонационного типа (рис. 66) и автоволнового импульса (рис. 6в) в стационарно неравновесной среде является отрицательность коэффициента полной вязкости < 0. При выполнении этого условия структура детонационного типа существует в интервале стационарных скоростей где

¥ -Ч>

ю »--п "

' 24» -¥«

(П)

Выражения (11) уточняют вьфажения (7), (8), полученные в безвязкостном приближении. При \vywp существует структура обычного релаксационного типа

(рис. 5а). Получено также, что автоволновой импульс (рис. 5в) имеет разрывной передний и экспоненциальный задний фронты

Р(г) = Р„ехр

(2 ~ го)уХРр

2Ч>

где Zo - координата переднего фронта импульса. Амплитуда импульса рр совпадает с (9) с точностью до замены т на -2v(Xj. Скорость импульса равна wp.

Чтобы учесть влияние коэффициента rio,, уравнение (10) было дополнительно исследовано на фазовой плоскости (рг, р). В результате показано, что низкочастотный и высокочастотный вязкостно-теплопроводностные коэффициенты rig, rioo по-разному влияют на структуру стационарных газодинамических возмущений. Коэффициент Г|0 влияет на условия существования найденных стационарных структур, амплитуду скачка, скорость и амплитуду автоволнового импульса. Коэффициент Г|да влияет, прежде всего, на ширину переднего фронта. Показано также, что при достаточно большом коэффициенте Г)^ и < 0 возможно существование ударных волн малой амплитуды с осцилля-торной структурой.

При отрицательных значениях низкочастотного коэффициента нелинейности Ч',, решения уравнения (10) кардинально меняются. Это соответствует низкочастотной адиабате, обращённой выпуклостью вверх (рис. 6а). Показано,

что в этом случае при < 0 возможно существование ступенькооб-разной автоволны, амплитуда которой полностью определена параметрами неравновесности среды и соответствует точке пересечения низкочастотной и высокочастотной адиабат. Кроме того, возможно расщепление исходной нестационарной ударной волны на две стационарные волны: впереди со скоростью Dcr бежит та же самая ступенькообразная автоволна, а за ней с меньшей скоростью £>г=ф. + Vmpcr + Ч^р, распространяется стационарная ударная волна разрежения с плавным фронтом (рис. 66). Ширина ударной волны разрежения I

Дг~_3—Ü-ií^ где Др = р -p¡. Показано также, что при условии Per АР

р, <vP„pcr/(2ví'„ -Ч'о) ударная волна разрежения становится эволюционно неустойчивой (скорость звука позади фронта оказывается меньше скорости ударной волны).

Рис. 7. Ударные адиабаты (а) и расщепление ударной волны на автоволну сжатия и ударную волну разрежения (б) в релаксирующем газе с отрицательной акустической дисперсией при < 0

В четвертой главе исследована нестационарная эволюция газодинамических возмущений в стационарно неравновесной среде с отрицательной полной вязкостью и дисперсией. Для этого была разработана методика численного решения общего уравнения акустики релаксирующей среды (2), основанная на методе расщепления. Полученные в результате эволюции стационарные структуры при разных знаках Ч*0 и условия их установления полностью соответст-

р а) ! Рр Л б)

1111 ] / 1 )

с и ^ с

Рис. 7. Эволюция локализованного возмущения (а) с образованием импульсной и периодической автоволн (б).

вуют результатам, описанным в главах 2 и 3. Найдено время установления этих структур. Кроме того, показано, что слабая ударная волна, распространяющаяся со скоростью меньшей Ор (8), распадается на серию автоволновых импульсов

вида рис. 5в. При условии < 0 ударная волна с амплитудой р > рсг распадается на ступенькообразную автоволну и нестационарную волну сжатия, ударная волна с амплитудой р < рсг распадается на ступенькообразную автоволну и стационарную ударную волну разрежения (рис. 6 б). Рассмотрена также эволюция локализованного импульса (ХР0>0, т> О, < 0) (рис. 7а). Показано, что подобный импульс независимо от его первоначального профиля распадается на стационарные автоволновые импульсы вида рис. 5в и периодическую автоволну с экспоненциальным задним фронтом (рис. 76). Автоволновой импульс и периодическая автоволна имеют структуру, отличную от соответствующих структур, получаемых в низкочастотном и высокочастотном пределах (рис. 1). Кроме того, период и амплитуда периодической волны на рис. 76 полностью определяется параметрами неравновесного газа и не зависит от спектра исходного возмущения.

В приложении приведены результаты расчёта дисперсии и низкочастотного коэффициента нелинейности для типичной лазерной С02-содержащей среды. Эта параметры неравновесной среды использовались в главах 2-4.

В диссертационной работе получены следующие основные результаты: 1. Определен вид ударной адиабаты в стационарно неравновесной газовой среде с экспоненциальной моделью релаксации. Построены интегральные кривые одномерной системы релаксационной газодинамики (без учёта сдвиговой вязкости и теплопроводности) в области отрицательной дисперсии и найдены три эволюционно устойчивые решения: две ударные волны релаксационного и детонационного типов, а также сильно асимметричный автоволновой импульс, распространяющийся со строго определённой скоростью. Показано, что при

отрицательной дисперсии имеется точка пересечения замороженной и равновесной ударной адиабат. Хорда, проведённая через эту точку, определяет критическую скорость. Ударные волны, распространяющиеся со скоростью большей критической, имеют структуру релаксационного типа. Ударные волны, распространяющиеся со скоростью меньше, чем критическая, имеют структуру детонационного типа.

2. Найдены стационарные решения общего уравнения акустики релакси-рующей среды. Показано, что полученные стационарные ударноволновые и автоволновые структуры обладают широким спектром и не могут быть описаны низкочастотными или высокочастотными приближениями. Показано совпадение результатов, получаемых на основе решения общего уравнения акустики релаксирующей среды для волн слабой амплитуды, и прямого исследования интегральных кривых исходной системы уравнений релаксационной газодинамики. Выявлена существенно разная роль низкочастотного и высокочастотного вязкостно-теплопроводностных коэффициентов. Низкочастотный коэффициент влияет на условия существования найденных стационарных структур, амплитуду скачка, скорость и амплитуду автоволнового импульса. Высокочастотный коэффициент влияет, прежде всего, на ширину переднего фронта структур.

3. Получено условие неустойчивости слабой ударной волны в стационарно неравновесной газовой среде при отрицательной акустической дисперсии и полной вязкости. Показано, что неустойчивая ударная волна распадается с излучением серии одинаковых автоволновых импульсов. Аналитически описаны условия существования и форма стационарного автоволнового импульса для случая слабой дисперсии.

4. Получены условия существования ступенькообразной акустической автоволны и следующей за ней ударной волны разрежения в стационарно неравновесной газовой среде с отрицательным коэффициентом нелинейности.

Публикации по теме диссертации

1. Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Слабые ударные волны в неравновесных средах с отрицательной дисперсией // ЖТФ, 2005. Т. 75. Вып. 6. С. 13-18.

2. Molevich N.E., Klimov A. I., Makaryan V.G. Influence of thermodynamical nonequilibrium on acoustical properties of gases // Int. J. Aeroacoustics, 2005. V. 4, № 3&4. p. 345-355.

3. Макарян В. Г., Молевич H. Е. Структура слабых ударных волн в стационарно неравновесной среде // Физико-химическая кинетика в газовой динамике. 2005. Том 3. http://www.chemphys.edu.ru/pdf72005-10-06-004.pdf

4. Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Эволюционно устойчивые газодинамические структуры в неравновесных акустически активных средах // Известия СНЦ РАН 2005. Т. 7, № 1, С. 48-53.

5. Makaryan V.G., Molevich N.E. Adiabatic curves and weak shock waves in non-equilibrium media with negative dispersion. In: Proc. 15th Int. Conf. MHD Energy Conversion and 6th Workshop on Magneto-plasma aerodynamics. M.: IVTAN, 2005. V. 2. P. 646-649.

6. Zavershinsky I.P., Makaryan V.G. Forming of giant parametrical impulse in the acoustically active media. In: Proc. 15th Int. Conf. MHD Energy Conversion and 6th Workshop on Magneto-plasma aerodynamics. M.: IVTAN, 2005. P. 2. P. 675678.

7. Makaryan V.G., Molevich N.E. Weak shock waves in relaxing acoustically active media. In: Nonequilibrium processes. Plasma, aerosols, and atmospheric phenomena. (Ed. by Roy G.D., Frolov S.M., Starik A.M.) Moscow: Torus press. 2005. V. 2. P. 3-11

8. Макарян В.Г., Стукалина И.Л. Моделирование газодинамических структур в стационарно неравновесных средах // Тезисы докладов 14 Всероссийской школы-конференции молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках». Пермь 2005. С. 43-44.

9. Макарян В.Г., Стукалина И.Л. Численное моделирование газодинамических структур в стационарно неравновесных средах // Тезисы докладов 1 Международного форума "Актуальные проблемы современной науки". Самара 2005. Сер. Физика. С. 20-22.

10. Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Структура газодинамического возмущения в термодинамически неравновесной среде с экспоненциальной моделью релаксации // Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2004. № 5. С. 181191.

11. Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Автоволновые структуры в неравновесной среде с экспоненциальной моделью релаксации // Международная конференция МСС-04 «Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность». 23-25 ноября 2004 г. Сборник трудов. - М.: РОХОС, 2004. С. 313-318.

12. Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Структура слабых ударных волн в неравновесных средах с отрицательной дисперсией // Тезисы докладов V Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2004). Самара. 2004. С. 142-144.

13. Макарян В.Г., Завершинский И.П. Спектр акустической турбулентности в неравновесной газовой среде // Тезисы докладов V Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2004). Самара. 2004. С. 110-111.

14. Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Новые стационарные структуры в акустически активной среде // Письма ЖТФ. 2003. Т. 29. № 18. С. 11-15.

15. Makaryan V.G., Molevich N.E. Acoustics of nonequilibrium media with the negative second viscosity// Proc. V World Congress on Ultrasonics. Paris. France. 2003. P. 1307-1310.

16. Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Численное моделирование эволюции акустического возмущения произвольного спектра в акустически активной релак-сирующей среде. // Сб. Трудов XIII Сессии РАО. Москва. 2003. Т. 1. С. 269272.

2.QQ6 Д

»- 3764 37S4

17. Makaryan V.G., Molevich N.E. Stationary structures in relaxing acoustically active media. In: 5th Workshop Perspectives on Magneto-plasma aerodynamics in Aerospace Application. M.: IVTAN, 2003. V. 2. P. 352-356.

18. Макарян В.Г., Молевич H.E. Численное моделирование эволюции газодинамических возмущений в термодинамически неравновесных средах с отрицательной вязкостью // Тезисы II Международной конференции молодых учёных и студентов. Актуальные проблемы современной науки. Самара. 2001. Ч. I. С. 104.

19. Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Волны в неравновесной среде с отрицательной второй вязкостью, описываемые обобщённым уравнением Курамото-Сивашинского и уравнением с интегральной дисперсией // Конференция "Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ". Саратов. 2001. С. 96-100.

20. Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Акустические структуры в плазме тлеющего разряда // X Конференция по физике газового разряда. Рязань. 2000. С. 115.

21. Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Сверхзвуковое обтекание пластины потоком колебательно возбуждённого газа // Материалы III Всероссийского семинара Моделирование неравновесных систем. Красноярск: ИПЦ КГТУ. 2000. С. 151-152.

22. Makarian V.G., Molevich N.E. Stationary high-frequency structures in vibrationally excited gas //V Int. School-Seminar Nonequilibrium Processes and their Applications: Contrib. Papers. Minsk. Belarus. 2000. P. 20-23.

Подписано в печать 30.01.2006 г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать оперативная. Объем 1 п. л. Тираж 100 экз. Заказ №. 1265 443011, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1 Отпечатано ООО «Универс-групп»

Введение.

Глава 1. Структура и эволюция низкочастотных и высокочастотных возмущений в стационарно неравновесных газах.

1.1 Общее уравнение акустики релаксирующей среды и его низкочастотная и высокочастотная предельные формы.

1.2 Методика численного счёта эволюции низкочастотных и высокочастотных акустических возмущений.

1.3 Эволюция низкочастотного локализованного возмущения. Форма и спектр стационарных импульсов.

1.4 Эволюция высокочастотного периодического возмущения. Стационарные волны.

Глава 2. Стационарные решения одномерных уравнений газодинамики -невязкой среды с экспоненциальной моделью релаксации.

2.1 Ударные волны в релаксирующей среде при S = 0.

2.2 Ударные адиабаты в стационарно неравновесном газе.

2.3 Стационарные структуры в среде с отрицательной дисперсией.

Глава 3. Аналитическое описание структуры газодинамических возмущений в акустическом приближении.

3.1 Аналитические решения.

3.2 Влияние сдвиговой вязкости и теплопроводности на структуру слабых ударных волн в стационарно неравновесном газе.

Глава 4. Эволюция акустического возмущения в стационарно неравновесном газе. Численное моделирование.

4.1 Методика численного счёта.

4.2 Эволюция начального возмущения типа ступеньки в газах с положительным коэффициентом нелинейности.

4.3 Эволюция начального возмущения типа ступеньки в газах с отрицательным коэффициентом нелинейности.

Волновая динамика термодинамически неравновесных сред, таких как колебательно возбуждённый газ, неизотермическая плазма, химически активные смеси, среды с неравновесным состоянием фаз и тому подобных, должна существенно отличаться от динамики равновесных сред. Это связано, во-первых, с тем, что в неравновесных средах коэффициент второй (объёмной вязкости) £ и акустическая дисперсия могут быть отрицательными: £ < 0, с0 > [1-27]. Здесь, с0, с„ — равновесная (низкочастотная) и замороженная (высокочастотная) скорости звука, соответственно. Среды с отрицательной вязкостью являются акустически активными. Кроме того, коэффициент газодинамической нелинейности является сложной функцией стационарной степени неравновесности. При некоторых степенях неравновесности он может быть даже отрицательным. Эти новые акустические свойства неравновесных сред следует принимать во внимание при исследовании различных газодинамических явлений.

Многочисленные эксперименты, проведённые в неравновесных средах, свидетельствуют о существенной перестройке структуры газодинамического возмущения. В частности, в неравновесных газоплазменных и химически активных средах наблюдается расщепление фронта ударной волны, изменение её скорости, амплитуды и ширины фронта, образование предвестников [28-35].

Теория этих явлений до сих пор не создана. Одна группа авторов пытается объяснить все наблюдаемые явления неоднородностью среды и вызываемой этой неоднородностью искривлением волнового фронта [35-37]. Другая группа авторов утверждает, что подобные явления наблюдаются и в квазистационарных неравновесных средах, где отсутствие температурной неоднородности и искривления фронта строго контролировалось в ходе экспериментов. На рис. 1 представлены результаты одного из таких экспериментов [38]. В нем исследовалось изменение профиля плотности в плоской ударной волне при ее прохождении через область поперечного газового разряда в воздухе. При этом наблюдалось расщепление переднего фронта волны, образование предвестника, уши-рение ударного скачка уплотнения.

Следовательно, сама неравновесность среды может в какой-то степени изменять структуру ударной волны [39-45]. В [46] была высказана гипотеза, что совокупность указанных выше новых дисперсионно-вязкостных свойств неравновесной среды, качественно изменяющая её акустические свойства, должна привести к существованию стационарных структур, существенно отличных от получаемых в равновесных средах.

До сих пор теоретическое исследование стационарных газодинамических структур малой, но конечной амплитуды, в неравновесных средах проводилось на основе нелинейных уравнений, полученных во втором или третьем газодинамическом приближении отдельно для низкочастотных и высокочастотных возмущений [2,47-55]. На их основе нельзя описать ни эволюцию, ни стационарную структуру возмущений с произвольным спектром, в том числе структуру ударной волны в релаксирующей среде.

Таким образом, актуальность работы определяется необходимостью определения степени влияния неравновесности среды на эволюцию и стационарную структуру газодинамических возмущений конечной амплитуды, имеющих широкий спектр.

Простейшей моделью, демонстрирующей новые дисперсионно-вязкостные свойства неравновесных сред, является модель колебательно-возбуждённого газа с экспоненциальной моделью релаксации. В этой модели система газодинамических уравнений дополнена релаксационным уравнением вида: ол) dt т(Г,р) где Е — колебательная энергия в расчёте на одну молекулу, Ее - её равновесное

Рис. 1. Изменение формы плоской ударной волны в импульсном поперечном газовом разряде на различных расстояниях от входа в плазму: 1 - 5 см; 2 - 7,5 см; 3 - 10 см. значение, т - время колебательной релаксации, Q, - мощность источника накачки (в расчёте на одну молекулу), р, Т - плотность и температура среды. Если Q Ф 0, то такую среду принято называть стационарно неравновесной со степенью неравновесности S = Qt/T. Ниже полагается, что среда однородная, а мощности источника накачки и теплоотвода не зависят от температуры и плотности среды. На основе этой модели легко продемонстрировать качественное изменение вязкостно-дисперсионных свойств в зависимости от степени неравновесности среды, которое необходимо принимать во внимание и в более сложных системах.

После линеаризации исходной системы получается простой закон дисперсии [6]

Т0к2 Мсо2 1 у(со)

0.2) с комплексными теплоемкостями следующего вида: ди4 дТ

Cv = 0-00 +

Jv V дТ)Р СРаз + <дТ ) у fдЕ^

СУ0-№Т0СУа> уЭТ;

1 - /ю In СР0 /сот0СРоо

1 - /ют.

Очень важно, что низкочастотные теплоемкости СУ0, СР0 зависят от степени неравновесности среды 5" и ее релаксационных свойств:

Суо = Сую + СК + SxT,

С/>0 ~ ^Раз + Ск + где

Т0 &

S — —~, Т-Г- — —---, х —

Т0 Т дТ >

Родт т0 др

Полученное дисперсионное отношение (0.2) позволяет определить акустический декремент а и скорость звука cs в простой форме: а = к"~

2csp0 a0 = (o\/2clp0, G)«co0 а» = ^С2уо^с1р0т20С2Уоо со » ю0 ш = С^+со2т20С^с2т < к' V С2у0 + а2т20С1 где (о0 = То1 yjCP0CV0 / CPqoCVoo , а

-—= 2

R]

2 . „22/-т2 со ско + сохосксо является коэффициентом второй вязкости (точнее реальной частью комплексного коэффициента второй вязкости [56]). Здесь PQCqcV«~со) p0T0CKoomci 0 С С ко

- низкочастотный коэффициент второй вязкости. Этот коэффициент пропорционален разности квадратов высокочастотной с„ = yJyJT0 / М и низкочастотной с0 = ф0Т0 / М скоростей звука в газе; у0 = СР0/СУ0 и ут = СРа0 / CFoo - низко

2 2 с — с частотный и высокочастотный показатели адиабаты, m = 0 . 00 - коэффициент с; дисперсии.

Низкочастотный коэффициент второй вязкости можно представить в виде суммы с + где

Р0т0(Ск,хр + тг)5 Р0т0СК

- неравновесный коэффициент, величина и знак которого зависит от степени неравновесности и зависимости постоянной релаксации от температуры и плотности т(Т, р); ^02 - квазиравновесный коэффициент, который всегда положителен. При выполнении условия (СКоотр + тг)5' + Сд: <0 происходит изменение знака второй вязкости [57]. Этот условие соответствует наличию положительной обратной связи между газодинамическим возмущением и неравновесным тепловыделением, когда в максимумах возмущения тепловыделение растет, а в минимумах наоборот падает, и реализуется известный критерий Рэлеев-ской акустической неустойчивости.

Если учесть также сдвиговую вязкость и теплопроводность с коэффициентами г|, то среда будет акустически неустойчивой при выполнении следующего условия а = ш^+ц)<0> (03)

2р0 cs т.е. отрицательности полной вязкости £(со) + ц<0, где ц - вязкостно-теплопроводностный коэффициент вида

4Ц ' %MRe Р

С С

V W W У 3

Форма акустического инкремента (0.3) является общей и для более сложных моделей релаксации, в том числе и для моделей с несколькими характерными временами релаксации. Меняются только вид частотных зависимостей скорости звука и коэффициента второй вязкости.

На рис. 2,3 приведены рассчитанные частотные зависимости акустического инкремента и скорости звука в типичной лазерной СОг-содержащей среде (С02 :N2:He = \:2:3, Р-1 атм, Qp0/М = 1 кВт/см2, S = 0,1). Вид температурной зависимости времени колебательной релаксации т(Г) для этой смеси приведен в Приложении.

Заметим, что уже при таких относительно малых степенях неравновесности, отрицательная вторая вязкость значительно превышает по абсолютной величине сдвиговую вязкость г0 = /ц « -104.

Кроме того, рис. 3 соответствует отрицательной акустической дисперсии. Напротив, в равновесной среде высокочастотная скорость звука всегда больше низкочастотной, т.е. акустическая дисперсия всегда положительная.

На рис. 4 представлена типичная зависимость низкочастотной скорости звука от степени неравновесности при экспоненциальной модели релаксации [6]. Возможно существование четырёх характерных областей неравновесности.

В области I (0<S<Sth, где Sth = Сдг/|СКоотр + тг|) дисперсия и объемная вязкость положительны. В других областях объемная вязкость отрицательна и среда может быть акустически активной. В области II (Slh <S<Sy,

Sy=-{CVco + CK)lxT) дисперсия отрицательна и равновесная скорость звука может существенно превышать замороженную. В остальных областях дисперсия положительна. Причем в области III (Sy <S<Sp) низкочастотный звук распространяться не может, а в области IV (S>SP =-(СРа} + СА:)/(тг + 1)) дополнительно возможна тепловая неустойчивость.

В стационарно неравновесной среде с экспоненциальной моделью релаксации низкочастотный коэффициент нелинейности Ч*0 является сложной функцией степени неравновесности среды [57, 58]:

1 + 2СУ0 , S(1+ S(\ + SY

Vf =

T 0

2С + С С Tf 2C C2 Xrr

T2 d2i где Tjj = —--r-. На рис. 5 представлен график этой зависимости. Характерно, т0 дТ что уже при относительно малых степенях неравновесности, низкочастотный коэффициент нелинейности становится отрицательным (см. табл. 1 Приложения).

Рис. 2. Частотная зависимость акустического инкремента (0.3) в неравновесной СОг-содержащей среде. Пунктирная линия соответствует случаю ц = 0

Рис. 3. Частотная зависимость скорости звука в неравновесной СОг-содержащей среде равновесности среды от стационарной степени неравновесности среды.

Рассмотренная совокупность новых дисперсионно-вязкостных свойств неравновесных сред существенно влияет на распространение газодинамических возмущений. Обзор последствий этого влияния приведен в работе [26]. Часть их них отражена на диаграмме (рис. 6): подобные среды акустически активны, отражение на границе с неравновесным газом может происходить с коэффициентом отражения большим единицы [59,60]; возникают новые свойства параметрических взаимодействий, в частности с вихревыми и тепловыми модами [61-64]; появляется встречный акустический ветер [65, 66]; изменяется критическое число Рейнольдса ламинарно-турбулентного перехода в потоках неравновесного газа [67, 68] и структура пограничных слоев [69, 70], а также аэродинамические коэффициенты [71,72] и здесь следует ожидать существенного изменения структуры ударных волн.

Целью работы является исследование эволюции газодинамических возмущений в стационарно неравновесном газе с экспоненциальной моделью релаксации при условии отрицательной второй вязкости и дисперсии.

В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации: определить вид ударной адиабаты в стационарно неравновесной газовой среде с экспоненциальной моделью релаксации;

- исследовать структуру ударных волн в стационарно неравновесной газовой среде с отрицательной дисперсией;

- найти условия существования и эволюционной устойчивости стационарных газодинамических структур; провести численное моделирование эволюции газодинамических возмущений малой амплитуды в неравновесной среде с отрицательной полной вязкостью и дисперсией.

Рис. 6. Влияние новых дисперсионно-вязкостных свойств на газодинамику неравновесных сред

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 123 печатные страницы, содержит 55 рисунков, 1 приложение, список литературы включает 114 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Определен вид ударной адиабаты в стационарно неравновесной газовой среде с экспоненциальной моделью релаксации. Построены интегральные кривые одномерной системы релаксационной газодинамики (без учёта сдвиговой вязкости и теплопроводности) в области отрицательной дисперсии и найдены три эволюционно устойчивые решения: две ударные волны релаксационного и детонационного типов, а также сильно асимметричный автоволновой импульс, распространяющийся со строго определённой скоростью. Показано, что при отрицательной дисперсии имеется точка пересечения замороженной и равновесной ударной адиабат. Хорда, проведённая через эту точку, определяет критическую скорость. Ударные волны, распространяющиеся со скоростью большей критической, имеют структуру релаксационного типа. Ударные волны, распространяющиеся со скоростью меньше, чем критическая, имеют структуру детонационного типа.

2. Найдены в аналитической форме стационарные решения общего уравнения акустики релаксирующей среды. Показано, что полученные стационарные ударноволновые и автоволновые структуры обладают широким спектром и не могут быть описаны низкочастотными или высокочастотными приближениями. Показано совпадение результатов, получаемых на основе решения общего уравнения акустики релаксирующей среды для волн слабой амплитуды, и прямого исследования интегральных кривых исходной системы уравнений релаксационной газодинамики. Выявлена существенно разная роль низкочастотного и высокочастотного вязкостно-теплопроводностных коэффициентов. Низкочастотный коэффициент влияет на условия существования найденных стационарных структур, амплитуду скачка, скорость и амплитуду автоволнового импульса. Высокочастотный коэффициент влияет, прежде всего, на ширину переднего фронта структур.

3. Получено условие неустойчивости слабой ударной волны в стационарно неравновесной газовой среде при отрицательной дисперсии и полной вязкости. Показано, что неустойчивая ударная волна распадается с излучением серии одинаковых автоволновых импульсов. Аналитически описаны условия существования и форма стационарного автоволнового импульса для случая слабой дисперсии.

4. Получены условия существования ступенькообразной акустической автоволны и следующей за ней ударной волны разрежения в стационарно неравновесной газовой среде с отрицательным низкочастотным коэффициентом нелинейности.

Результаты проведенных автором исследований могут быть использованы, например, при проектировании мощных газовых лазеров (химических, газодинамических и др.), в сверхзвуковой авиации (задача обтекания крыла потоком неравновесного газа), а также в других приложениях, где применяются неравновесные среды. Полученные в данной работе аналитические решения, могут использоваться также в качестве эталонных при отладке численных схем уравнений газодинамики. Они также представляют интерес для общей теории нелинейных волн.

1. Bauer H.J., Bass Н.Е. Sound amplification from controlled excitation reactions // Phys. Fluid. 1973. V. 16. № 7. P. 988-996.

2. Борисов A.A. Длинноволновые возмущения в реагирующих средах. В сб. Исследования по гидродинамике и теплообмену. // Новосибирск: ИТФ СО АН СССР. 1976. С. 94-95.

3. Кириллов И.А., Потапкин Б.В., Русаков В.Д. и др. Дисперсия и усиление звуковых волн в химически активной плазме колебательно-возбужденных молекул//ХВЭ. 1983. Т. 17. №6. С. 519-522.

4. Коган Е.Я., Молевич Н.Е. Возбуждение волн в неравновесном газе с VRT-механизмом релаксации // ЖТФ. 1985. Т. 55. № 4. С. 754-756.

5. Коган Е.Я., Моисеев С.С., Молевич Н.Е., Тур А.В. Возбуждение вихревых структур в неравновесном молекулярном газе // ЖТФ. 1985. Т. 55. № 10. С. 2036-2038.

6. Коган Е.Я., Молевич Н.Е. Звуковые волны в неравновесном молекулярном газе // Известия Вузов СССР. Физика. 1986. Т. 29. № 7. С. 53-58.

7. Коган Е.Я., Молевич Н.Е., Ораевский А.Н. Влияние отрицательной второй вязкости на распространение звуковых волн // In: Proc. XI Int. Symp. Nonlinear Acoustics (Ed. by V.K. Kedrinskii) Novosibirsk, USSR, 1987. V.l. P. 458-462.

8. Осипов А.И., Уваров А.В. Вторая вязкость в колебательно-неравновесном газе // Вестник МГУ. Физика. Астрономия. 1987. Т. 28. № 6. С. 52-56.

9. Молевич Н.Е., Ораевский А.Н. Вторая вязкость в термодинамически неравновесных средах // ЖЭТФ. 1988. Т. 94. № 3. С. 128-132.

10. Завершинский И.П., Коган Е.Я. Ионизационная вторая вязкость в плазме и эволюция акустических волн // Письма ЖТФ. 1988. Т. 14. № 16. С. 14831486.

11. Дунаевский Н.А., Жданок С.А., Напартович А.П., Старостин А.Н. Дисперсия и поглощение ультразвука в колебательно-возбуждённом газе ангармонических молекул // ПМТФ. 1988. № 4. С. 33-39.

12. Борисов А.А., Шарыпов О.В. О формировании волны пузырьковой детонации // Изв. СО АН СССР. Сер. Тех. Наук. 1990. № 2. С. 50-59.

13. Завершинский И.П., Коган Е.Я., Молевич Н.Е. О механизме усиления звука в слабоионизованном газе // ЖЭТФ. 1991. Т. 99. № 8. С. 422-427.

14. Галечян Г.А., Завершинский И.П., Коган Е.Я., Мкртчян А.Р., Молевич Н.Е. О механизме формирования анизотропии коэффициентов усиления звука в газоразрядной плазме // Препринт №1. Ереван: Институт прикладных проблем физики АН РА. 1991. 20 с.

15. Завершинский И.П., Коган Е.Я., Молевич Н.Е. Акустические волны в частично ионизованном газе // Акуст. журн. 1992. Т. 38. № 4. С. 702-709.

16. Осипов А.И., Уваров А.В. Кинетические и газодинамические процессы в неравновесной молекулярной физике // УФН. 1992. Т. 162. № 11. С. 1-42.

17. Malnev V.N. Waves in vibration nonequilibrium media // Preprint ITP. Kiev. 1992. 2IE.

18. Молевич H.E., Ораевский А.Н. Волны в среде с отрицательной второй вязкостью // Труды ФИАН СССР. 1992. Т. 222. С. 45-95.

19. Tankeshwar К. Generalized negative bulk viscosity in liquids// Journal of Physics: Condensed Matter. V.6. №44. P.9295-9300. 1994.

20. Malnev V.N., Nedospasov A.V. About some peculiarities of streamline of bodies by flows of vibration nonequilibrium gases. In: Perspectives of MHD and plasma technologies in aerospace applications. M.: IVTAN, 1999. P. 128-130.

21. Молевич H.E., Ненашев B.E. Влияние объемной вязкости на распространение звука в неравновесных газовзвесях //Акустический журнал. 2000. Т. 46. № 4. С. 539-544.

22. Lensky N.G., Lyakhovsky V., Navon О. Expansion dynamics of volatile-supersaturated liquids and bulk viscosity of bubbly magmas// J. Fluid Mech.1. V. 460, P. 39-56. 2002.

23. Молевич H.E. Отрицательная вторая вязкость в динамике неравновесных газовых сред. Диссертация на соиск. д.ф.-м.н. М: МИФИ. 2002.

24. Torosyan, О. S, Mkrtchyan, A. R. (2003). Theory of the acoustic instability and behavior of the phase velocity of acoustic waves in weakly ionized plasma, Plasm. Phys. Rep. 29. P. 346-354.

25. Молевич H.E. Дисперсия скорости звука и вторая вязкость в средах с неравновесными химическими реакциями // Акустический журнал. 2003. Т. 49. №2. С. 229-232.

26. Molevich, N. Е. (2004). "Acoustical properties of nonequilibrium media," Paper AIAA-2004. P. 1020.

27. Molevich N.E., Klimov A. I., Makaryan V.G. Influence of thermodynamical nonequilibrium on acoustical properties of gases//Int. J. Aeroacoustics, V. 4. № 3&4. P. 345-355. 2005

28. Климов А.И., Мишин Г.И., Федотов А.Б., Шаховатов В.А. Распространение ударной волны в нестационарном тлеющем разряде // Письма ЖТФ. 1989. Т. 15. №20. С. 31-36.

29. Быстров С.А., Иванов В.И., Шугаев Ф.В. Распространение плоской ударной волны в слабоионизованной плазме // Физ. плазмы. 1989. Т. 15. № 5. С. 558 562.

30. Басаргин И.В., Мишин Г.И. Предвестник ударной волны в плазме тлеющего разряда // Письма ЖТФ. 1989. Т. 15. № 8. С. 55-60.

31. Мишин Г.И., Климов А.И., Гридин A.IO. Измерения давления и плотности в ударных волнах в газоразрядной плазме/ЯТисьма ЖТФ. 1991. Т. 17. №16. С. 84-89.

32. Гридин А.Ю., Климов А.И., Молевич Н.Е. Распространение ударных волн в плазме тлеющего разряда // ЖТФ. 1993. Т. 63. № 3. С. 157-162.

33. Ganguly В. N., Bletzinger P. and Garscadden A. Shock wave damping and dispersion in nonequilibrium low pressure argon plasmas, Phys. Lett. A. 1997.1. V. 230. P. 218-222.

34. Bailey, W. F. and Hilbun, W. M., Baseline of thermal effects on shock propagation in glow discharge, in: Proceedings of the 1st Weakly Ionized Gases Workshop. U.S. Air Force Academy. 1997. GG3-GG18.

35. Macheret, S. O., Ionikh, Yu. Z., Chernysheva, N. V., Yalin, A. P., Martinelli, L. and Miles, R. В., Shock wave propagation and dispersion in glow discharge plasmas // Phys. Fluids. 2001. V. 13. P. 2693-2705.

36. Евтюхин H.B., Марголин А.Д., Шмелёв В.И. О природе ускорения ударных волн в плазме тлеющего разряда // Хим. физ. 1984. Т. 3. № 9. С. 1322-1327.

37. Бабаева Н.Ю. О структуре ударных и взрывных волн в неоднородной плазме газового разряда // Хим. Физ. 1993. Т. 12. № 3. С. 357 360.

38. Климов А.И. Сверхзвуковое обтекание тел и распространение ударных волн в слабоионизованной неравновесной плазме. Автореф. дис. д.ф.-м.н. Москва: ОИВТ РАН. 2002.

39. Mishin, G. I. Акустические и ударные волны в газоразрядной плазме // Препринт ФТИ. № 1357. Ленинград. 1989.

40. Мишин Г.И. Уравнение состояния слабоионизованной газоразрядной плазмы // Письма ЖТФ. 1997. Т. 23. № 14. С. 81-88.

41. Мишин Г.И. Структура газоразрядной слабоионизованной плазмы // Письма ЖТФ. 1998. Т. 24. № 11. С. 80-86.

42. Бедин А.П. Об особенностях течений низкотемпературной газоразрядной плазмы // Письма ЖТФ. 1997. Т. 23. № 16. С. 88-93.

43. Бедин А.П. Газодинамические явления при движении ударных волн и тел в низкотемпературной неравновесной плазме // Письма ЖТФ. 1998. Т. 24. №18. С. 44-49.

44. Барышников А.С., Басаргин И.В., Чистякова М.В. Экспериментальное и теоретическое изучение распространения ударных волн в реагирующих газах для режимов перестройки структуры течения // ЖТФ. 2001. Т. 71. № 3. С. 17-21.

45. Коган Е.Я., Молевич Н.Е., Ораевский А.Н. Структура нелинейных акустических волн в неравновесном колебательно-возбуждённом газе // Письма ЖТФ. 1987. Т. 13. № 14. С. 836-839.

46. Пелиновский Е.Н., Фридман В.Е. Взрывная неустойчивость нелинейных волн в средах с отрицательной вязкостью // ПММ. 1974. Т. 38. № 6. С. 991— 995.

47. Борисов А.А. Распространение и структура конечных возмущений в среде с химической реакцией. Автореф. дис. к.ф.-м.н. Новосибирск: ИТФ СО АН СССР, 1977.

48. Рабинович М.И., Фабрикант A.JI. Нелинейные волны в неравновесных газах // Известия Вузов. Радиофизика. 1976. Т. 19. №. 5-6. С. 721-765.

49. Буевич Ю.А., Федотов С.П. Неустойчивость акустических волн в химически реагирующих газовзвесях // Физ.горения и взрыва. 1985. № 5. С. 64-71.

50. Осипов А.И., Уваров А.В. Распространение нелинейных гидродинамических возмущений в колебательно-неравновесном газе // Хим. физ. 1987. Т. 6. №3. С. 385-389.

51. Борисов А.А. Термодинамика волн конечной амплитуды в реальных средах. Автореф. дис. д.ф.-м.н. Новосибирск: ИТФ СО АН СССР, 1985.

52. Краснобаев К.В., Тарев В.Ю. Нелинейные волны малой амплитуды в диссипативном газе с избытком колебательной энергии // Известия АН СССР. МЖГ. 1990. № 2. С. 151-158.

53. Завершинский И.П., Коган Е.Я., Молевич Н.Е. Формирование диссипатив-ных структур в акустическом поле // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 1993. Т. 1 № 3. С. 87-96.

54. Vakhnenko V.O., Michtchenko A.V. Low-frequency and high-frequencynonlinear waves in an nonequilibrium medium // V Int. School-Seminar Non-equilibrium Processes and their Applications (September, 2000): Contrib. Papers. Minsk, Belarus. 2000. P. 159-163.

55. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Гидродинамика. M.: Наука, 1986. 736 с.

56. Коган Е.Я., Молевич Н.Е. Коллапс акустических волн в неравновесном молекулярном газ // ЖТФ. 1986. Т. 56. № 5. С. 941-943.

57. Коган Е.Я., Молевич Н.Е. Ударные волны разрежения в неравновесном колебательно-возбужденном газе // Акустический журнал. 1993. Т. 39. № 5. С. 951-954.

58. Коган Е.Я., Молевич Н.Е. Отражение звука от границы равновесного и неравновесного колебательно-возбужденного газа //Акустический журнал. 1987. Т. 33. №2. С. 252-255.

59. Молевич Н.Е., Ораевский А.Н. Отражение звука от слабонеоднородной усиливающей среды // Акустический журнал. 1988. Т. 34. № 3. С. 547-550.

60. Завершинский И.П., Коган Е.Я., Молевич Н.Е. Параметрическое взаимодействие акустических волн с возмущениями плоскопараллельных течений неравновесных газов // Акустический журнал. 1999. Т. 45. № 1. С. 69-73.

61. Молевич Н.Е., Ораевский А.Н. ВРМБ в среде с отрицательной второй вязкостью // Квантовая электроника. 1987. Т. 14. № 8. С. 1678-1684.

62. Молевич Н.Е., Ораевский А.Н. ВТР в термодинамически неравновесном газе // Квантовая электроника. 1988. Т. 15. № 4. С. 844-846.

63. Молевич Н.Е. Усиление вихревых и тепловых волн в процессе вынужденного рассеяния звука в термодинамически неравновесных средах // ТВТ. 2001. Т. 39. №4. С. 1-5.

64. Молевич Н.Е. Возбуждение встречных акустических течений в термодинамически неравновесных газовых средах // Письма ЖТФ. 2001. Т. 27. №21. С. 26-28.

65. Молевич Н.Е. Нестационарная самофокусировка звуковых пучков в колебательно-возбуждённом молекулярном газе// Акустический журнал. 2002.1. Т. 48. № 2. С. 248-252.

66. Коган Е.Я., Молевич Н.Е. Звуковые волны в потоках с отрицательной второй вязкостью // Акустический журнал. 1995. Т. 41. № 4. С. 613-616.

67. Молевич Н.Е. Асимптотический анализ устойчивости плоскопараллельного пограничного слоя сжимаемого релаксирующего газа // Известия РАН. МЖГ. 1999. № 5. С. 82-88.

68. Bertolotti F.P. The influence of rotational and vibrational energy relaxation on boundary layer stability // J. Fluid Mech. 1998. V. 372. P. 93-118.

69. Rnestyapin V.N., Zavershinsky I.P. Nonlinear critical layer of non-equilibrium gas. In: Proc. 15th Int. Conf. MHD Energy Conversion and 6th Workshop on Magneto-plasma aerodynamics. M.: IVTAN. 2005. V. 2. P. 651-655.

70. Кларк Дж., Макчесни M. Динамика реальных газов. М.: Мир, 1967. 566 с.

71. Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Сверхзвуковое обтекание пластины потоком колебательно-возбуждённого газа // Материалы III Всероссийского семинара Моделирование неравновесных систем-2000. Красноярск: КГТУ. Октябрь 2000. С. 151-152.

72. Makaryan V.G., Molevich N.E. Stationary structures in relaxing acoustically acthtive media. In: 5 Workshop Perspectives on Magneto-plasma aerodynamics in Aerospace Application. M.: IVTAN. 2003. V. 2. P. 352-356.

73. Макарян В.Г., Молевич H.E. Акустические структуры в плазме тлеющего разряда // X Конференция по физике газового разряда. Рязань. 2000. С. 115.

74. Makarian V.G., Molevich N.E. Stationary high-frequency structures in vibra-tionally excited gas //V Int. School-Seminar Nonequilibrium Processes and their Applications (September, 2000): Contrib. Papers. Minsk, Belarus. 2000. P. 2023.

75. Молевич H.E. Нелинейные уравнения в теории сред с отрицательной второй вязкостью // Сибирский физико-технический журнал. 1991. № 1. С. 133-136.

76. Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука, 1975.288 с.

77. Остроумов Г.А. Основы нелинейной акустики. Л.: Издательство Ленинградского университета, 1967. 132 с.

78. Topper J., Kawahara Т. Approximate Equations for Long Nonlinear waves on a viscous Fluid // Journal of Phys. Soc. of Japen. 1978. V. 44. №2. P. 381-384.

79. Kuramoto Y., Tsuzuki T. Persistent Propagation of Concentration waves in Dis-sipative Media Far for Thermal Equilibrium // Progress of Theoretical Physics. 1976. V. 55. №2. P. 356-369.

80. Sivashinsky G. I. Instabilities, pattern formation and turbulence in flames // Ann. Rev. Fluid Mech. 1983. V 2. P. 179-199.

81. Cohen B.I., Krommes J.A., Tang W.M., Rosenbluth M.N. Nonlinear saturation of the dissipative trapped-ion mode by mode coupling // Nuclear Fusion. 1976. V. 16. №6. P. 971-992.

82. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 1997. 496 с.

83. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: «Наука», 1971. 552 с.

84. Кудряшов НА. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.: МИФИ, 2002. 304 с.

85. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Методы решения одномерных эволюционных систем. Новосибирск: ВО «Наука». Сибирская издательская фирма, 1993. 368 с.

86. Ott Е., Manheimer W.M., Book D.L. et al. Model equation for mode coupling saturation in unstable plasmas // Phys. Fluids. 1973. V. 16. P. 855 862.

87. Островский JI.A. Об одном типе консервативных нелинейных волн // Океанология. 1978. Т. 18. С. 181-189.

88. Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Слабые ударные волны в неравновесных средах с отрицательной дисперсией. ЖТФ. Т. 75. № 6. С. 13-18. 2005.

89. Макарян В. Г., Молевич Н. Е. Структура слабых ударных волн в стационарно неравновесной среде // Физико-химическая кинетика в газовой динамике. 2005. Т. 3. http://www.chemphys.edu.ru/pdf/2005-10-06-004.pdf

90. Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Эволюционно устойчивые газодинамические структуры в неравновесных акустически активных средах // Известия СНЦ РАН 2005. Т. 7. № 1. С. 48-53.

91. Makaryan V.G., Molevich N.E. Adiabatic curves and weak shock waves in non-equilibrium media with negative dispersion // In: Proc. 15th Int. Conf. MHD Energy Conversion and 6th Workshop on Magneto-plasma aerodynamics. M.: IVTAN. 2005. V. 2. P. 646-649.

92. Molevich N.E., Klimov A. I., Makaryan V.G. Influence of thermodynamical nonequilibrium on acoustical properties of gases // Int. J. Aeroacoustics. 2005. V. 4. № 3&4. P. 345-355.

93. Makaryan V.G., Molevich N.E. Weak shock waves in relaxing acoustically active media. In: Nonequilibrium processes. Plasma, aerosols, and atmospheric phenomena. (Ed. by Roy G.D., Frolov S.M., Starik A.M.) Moscow: Torus press. 2005. V. 2. P. 3-11.

94. Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Структура слабых ударных волн в неравновесных средах с отрицательной дисперсией // Тезисы докладов V Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2004) (Самара, июль 2004). С. 142-144.

95. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Физматгиз, 1963. 632 с.

96. Буянова Е.А., Ловецкий Е.Е., Силаков В.П., Фетисов B.C. Стационарные ударные волны в неравновесном двухатомном газе // Хим. физ. Т.1. 1982. № 12. С. 1701-1703.

97. Осипов А.И., Уваров А.В. Структура ударных волн в неравновесном колебательно-возбужденном газе//Хим. физ. 1984. Т. 3. № 11. С. 1612-1615.

98. Ю1.Евтюхин Н.В., Марголин А.Д., Шмелёв В.И. Взаимодействие ударных волн с колебательно-возбуждённым газом // Хим. физ. 1985. Т. 4. № 9. С. 1276-1280.

99. Рухадзе А.А., Силаков В.П., Чеботарев А.А. Распространение нестационарных ударных волн в колебательно-возбуждённом азоте // Краткие со-общ. физ. 1983. №6. С. 18-23.

100. Встовский Г.В., Козлов Г.И. Распространение слабых ударных волн в ко-лебателыю-неравновесном газе // ЖТФ. 1986. Т. 56. № 8. С. 1536-1542.

101. Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Структура газодинамического возмущения в термодинамически неравновесной среде с экспоненциальной моделью релаксации// Известия РАН. МЖГ. 2004. №5. С. 181-191.

102. Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Новые стационарные структуры в акустически активной среде // Письма ЖТФ. 2003. Т.29. № 18. С. 11-15.

103. Makaryan V.G., Molevich N.E. Acoustics of nonequilibrium media with the negative second viscosity// Proc. V World Congress on Ultrasonics (Paris, France, Sept. 2003) P. 1307-1310.

104. Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Численное моделирование эволюции акустического возмущения произвольного спектра в акустически активной релак-сирующей среде. // Сб. Трудов XIII Сессии РАО (Москва. Август 2003), Т. 1.С. 269-272.

105. Zavershinsky I.P., Makaryan V.G. Forming of giant parametrical impulse in thethacoustically active media // Proc. 15 Int. Conf. MHD Energy Conversion and 6th Workshop on Magneto-plasma aerodynamics. M.: IVTAN. 2005. V. 2. P. 675-678.

106. Макарян В.Г., Стукалина И.Л. Численное моделирование газодинамических структур в стационарно неравновесных средах // Тезисы докладов 1 Международного форума "Актуальные проблемы современной науки" (Сентябрь 2005) Самара. Сер. Физика. С. 20-22.

107. Макарян В.Г., Завершинский И.П. Спектр акустической турбулентности в неравновесной газовой среде // Тезисы докладов V Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2004) (Самара, июль 2004). С. 110-111.

108. Андерсон Дж. Газодинамические лазеры: введение. М.: Мир, 1979. 249 с.

109. Гордиец Б.Ф., Осипов А.И., Ступоченко Е.В., Шелепин Л.А. Колебательная релаксация в газах и молекулярные лазеры // УФН. 1972. Т. 108. № 4. С. 655-699.