Периодические и квазипериодические вихревые структуры в потоках жидкости и газа тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

664611337 На правах рукописи

Дроздов Сергей Михайлович

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВИХРЕВЫЕ СТРУКТУРЫ В ПОТОКАХ ЖИДКОСТИ И

ГАЗА

Специальность 01.02.05 - "Механика жидкости, газа и плазмы"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Жуковский - 2009

004611387

Работа выполнена в Государственном унитарном предприятии Центральном аэрогидродинамическом институте им. проф. Н.Е.Жуковского

(ФГУП ЦАГИ)

Научный консультант

доктор физико-математических наук, с.н.с. Дудин Георгий Николаевич. Официальные оппоненты:

д. ф-м. н., член-корреспондент РАН Гайфуллин Александр Марксович (ЦАГИ).

д. ф-м. н., профессор Ватажин Александр Бенцианович (ЦИАМ, г. Москва),

д. ф-м. н., профессор Исаев Сергей Александрович (г. Санкт-Петербург)1

Ведущая организация - Институт Механики МГУ (г. Москва, Мичуринский проспект, 1)

Защита диссертации состоится «£ » д^КасЬя 2009 г. в «/У » часов на заседании диссертационного совета Д 403.004.01 при Центральном аэрогидродинамическом институте по адресу 140180, Московская обл., г. Жуковский, ул. Жуковского, 1

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке ЦАГИ.

Автореферат разослан « /5» О? 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

д. т. н., профессор М. Чижов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Вихревое течение самая распространенная форма движения жидкостей и газов - естественное состояние этого вида сплошной среды. Присутствие устойчивых или метастабильных, стационарных или дрейфующих вихревых образований следует считать характерной чертой любого потока. Разумеется существуют и безвихревые моды течения, которые изучены достаточно хорошо, так как легче поддаются расчетно-теоретическому исследованию. Но в большинстве практически важных случаев безвихревые моды течения не реализуются по причине неустойчивости, либо просто не могут существовать без специально созданных физических условий или наложенных предположений (например - отсутствие вязкости).

Таким образом актуальность выбора вихревых течений в качестве ^ пКт.ркта исследований диссертации очевидна.

Главной целью диссертации является определение физических механизмов возникновения и поддержания пространственно упорядоченных вихревых структур и исследование их свойств применительно к нескольким актуальным проблемам течения жидкостей и газов.

Как правило, вихревое течение неразрывно связано с вязкостью жидкой или газообразной среды. Наличие вязкости является необходимым условием существования касательных напряжений в жидкой (газообразной) среде, а касательные напряжения порождают завихренность. Поэтому все применяемые методы и математические модели течений, рассмотренные в диссертации, базируются на уравнениях Навье-Стокса с обязательным сохранением вязких членов. В общем случае уравнения Навье-Стокса - нелинейные (за исключением Стоксовых течений (Яе—>0) и узкого набора линейных решений) и вихревые структуры следует рассматривать как существенно нелинейные объекты. Поэтому во всех математических субмоделях, используемых в диссертации, сохраняются основные нелинейные члены уравнений Навье-Стокса.

Тип течения (Стоксовое, ламинарное, турбулентное) и соотношение между инерционными и вязкими силами в нем характеризуется числом Рейнольдса (Яе) или его эквивалентами - число Тейлора (Та), число Грасгофа (йг) и т.п.. В

•диссертации, главным образом, рассматривается диапазон сравнительно небольших и умеренных чисел 20 < Яе < 8x104 (исключение составляют некоторые экспериментальные режимы гиперзвукового обтекания цилиндра, где при М=6 числа Рейнольдса достигали Яе=3.3х105). В этом диапазоне происходит большинство качественнйх перестроек течения. Первичная мода течения, которая при Яе—>0, обычно является единственной, стационарной и имеет сравнительно простую топологию, при некотором критическом числе Яе=Яе* теряет устойчивость с образованием вторичных, как правило -вихревых течений. При умеренных закритических числах Яе* < Яе < 105 развитые вихревые структуры сохраняются в потоке сравнительно долго, а в ряде практически важных случаев они стационарны и устойчивы.

Поэтому актуально ограничить объект исследований диссертации

именно предельными устойчивыми или метастабильными состояниями развитых вихревых структур.

Предметом исследований диссертации является группа частных случаев вихревых течений, где в одном из направлений (например г) геометрия области, граничные условия и все другие внешние факторы либо однородны (не меняются) либо изменяются специальным образом - периодически или квазипериодически. Соответственно рассматривается класс течений, удовлетворяющих такому же принципу построения пространственной структуры - периодичность или квазипериодичность вдоль переменной г. Очевидно это тоже идеализация физической реальности, где не бывает бесконечно протяженных областей с однородными или специально меняющимися условиями. Однако для раскрытия и понимания общих. физических механизмов и закономерностей вихреобразования. актуальней рассмотреть такой класс течений.

Выбор периодического (или квазипериодического) класса течений определяет и выбор математической структуры решений и алгоритмов, где неизвестные функции (скорость, давление, температура и др.) рассматриваются периодическими (квазипериодическими) вдоль заданного направления ъ. Причем в случае периодических решений неизвестные функции представляются обычными рядами Фурье, с главным периодом равным или кратным главному периоду изменения внешних факторов. Для квазипериодических решений, рассмотренных в главах 2 и 3, неизвестные функции представляются кратными рядами Фурье со спектром Фурье построенном на известном базисе спектра Фурье внешних факторов. По направлению нормали к твердым поверхностям (или ударной волне), которые ограничивают область течения, используется конечно-разностное представление неизвестных функций. Следовательно, применяемые в диссертации методы можно отнести к классу спектрально-конечноразностных.

В силу нелинейности определяющих течение уравнений и поскольку ищутся предельные состояния вихревых структур во времени, ряды Фурье оказываются бесконечными, даже если Фурье-представление геометрии области и других внешних факторов имеет конечный пространственным спектр. Поэтому данный подход может быть плодотворным, только если! обеспечено свойство достаточно быстрой сходимости рядов Фурье.

Известно, что решения уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости имеют высокую степень гладкости - не ниже второй в случае разрыва в пространственном распределении внешних факторов, и бесконечную в случае аналитичности внешних факторов. В силу известных теорем, это гарантирует быструю сходимость рядов Фурье, начиная с некоторого, достаточно большого номера гармоник N»1. Потребное число гармоник N зависит от числа И.е и это ограничивает диапазон чисел Яе доступных для расчетов. На режимах сверх и гиперзвукового обтекания тел сжимаемым газом (глава-4), примененный в диссертации метод расчета подразумевает выделение

ударной волны, а область течения рассматривается только за ударной волной, которая является первой линией расчетной сетки. При таком подходе изменение течения вдоль периодического направления ъ не имеет разрывов, и ряды Фурье тоже обладают свойством быстрой сходимости.

Для квазипериодических решений свойство сходимости кратных рядов Фурье доказано лишь для ограниченного класса равномерно непрерывных квазипериодических функций (см. например Левитан Б.М.), которые и рассмотрены в главах 2 и 3 диссертации.

Таким образом ключевые положения математических методов, используемых в диссертации, имеют под собой достаточно строгое обоснование.

В диссертации значительное внимание уделено экспериментальному исследованию явлений, составляющих предмет изучения первой и четвертой глав (главы 2 и 3 содержат только расчетно-теоретические результаты). Подробное описание экспериментальных установок, техники и методики проведения испытаний приведено в соответствующих разделах диссертации. Здесь уместно отметить, что именно экспериментальные факты послужили отправной точкой для построения теории механизмов вихреобразования и на основе экспериментальных данных сделаны выводы об адекватности расчетно-теоретических результатов физической природе изучаемых явлений.

Научная новизна работы

• На примере модифицированного течения Тейлора, обнаружено новое гидродинамического явление - бифуркация потери симметрии периодических вихревых структур с возникновением самоиндуцированного осевого градиента давления. Дано расчетно-теоретическое объяснение и экспериментальное доказательство существования этого явления.

• На примере стационарного течения жидкости в слое, бесконечно протяженном по координате х и ограниченном по координате у криволинейными поверхностями квазипериодической формы, впервые найдены квазипериодические решения двумерных уравнений Навье-Стокса. Для этого автором разработан метод, ключевым элементом которого является представление квазипериодических функций в виде абсолютно сходящихся кратных рядов Фурье с множеством показателей Фурье, генерируемых несколькими, рационально не связанными главными волновыми числами. Исследованы свойства квазипериодических решений, их спектров, интегральных характеристик и интенсивность вихревого течения в зависимости от числа Рейнольдса и геометрических параметров задачи.

• Разработанный метод поиска и исследования квазипериодических решений уравнений Навье-Стокса применен к задаче о конвекции жидкости в плоском горизонтальном слое и впервые получены стационарные квазипериодические решения двумерных

уравнений конвекции (в приближении Буссинеска), индуцированные квазипериодическим распределением температур на границах слоя. Исследованы свойства квазипериодических конвекционных структур, их спектров и интегральных характеристик в зависимости от числа Грасгофа и вида граничных условий задачи.

• Предложен и подтвержден расчетами новый механизм формирования пространственно периодических вихревых структур на лобовой поверхности тел с цилиндрическим затуплением при их поперечном гиперзвуковом обтекании, когда искривленная ударная волна производит вихревое течение, а вихрь, сохраняясь при слабой диссипации, воздействует на волну, ' поддерживая ее искривленную форму. ^

Научно-практическая ценность работы. Щ

• На основе результатов исследований модифицированного течения Тейлора, предложена и оформлена в виде запатентованного устройства новая концепция смесителя для промышленного приготовления суспензий и эмульсий, согласно которой процесс смешивания компонент многофазной среды осуществляется в периодической системе тороидальных вихревых структур, возбуждаемых в несущей жидкости при вращении ротора установки. Установлено, что выбором формы и периода волнообразных поверхностей ротора и корпуса можно добиться значительно большей эффективности смешивания, чем в классическом течении Тейлора, при одинаковых затратах удельной мощности привода.

• Выдвинута и обоснована расчетами идея применения квазипериодических решений уравнений Навье-Стокса в качестве модели течения жидкой среды в тонких слоях со сложной геометрией границ и пористых структурах.

• Определены условия возникновения вихревой пространственно-периодической моды гиперзвукового обтекания цилиндра, ее основные характеристики и, главное, на лобовой поверхности^^ получены периодические пики теплового потока, которые^ значительно превышают тепловой поток в передней критической точке при плоской моде обтекания, что представляет серьезную опасность для теплозащиты гиперзвуковых летательных аппаратов.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Экспериментальное обнаружение и расчетно-теоретическое объяснение нового гидродинамического явления - бифуркации потери симметрии периодических вихревых структур с возникновением самоиндуцированного осевого градиента давления в модифицированном течении Тейлора.

2. Новая концепция смесителя для промышленного приготовления суспензий и эмульсий, в которой основные элементы смесителя -ротор и корпус имеют осесимметричную форму, периодическую по оси вращения г, а процесс смешивания компонент многофазной жидкой среды осуществляется в периодической системе тороидальных вихревых структур, возбуждаемых в несущей жидкости при вращении ротора установки.

3. Метод расчета стационарных квазипериодических решений уравнений Навье-Стокса, индуцированных квазипериодической формой границ двумерного слоя неограниченной протяженности, с наложенным средним градиентом давления.

4. Результаты расчетно-теоретического исследования свойств квазипериодических решений уравнений Навье-Стокса, их

|| спектров и интегральных характеристик в зависимости от числа

Рейнольдса и геометрических параметров задачи.

5. Метод расчета стационарных квазипериодических решений уравнений конвекции вязкой и теплопроводной жидкости, индуцированных квазипериодическим распределением температур на границах плоского горизонтального слоя.

6. Результаты расчетно-теоретического исследования свойств квазипериодических конвекционных течений, их спектров и интегральных характеристик в зависимости от числа Грасгофа и вида граничных условий задачи.

7. Формулировка и расчетно-теоретическое обоснование нового механизма формирования пространственно периодических структур на лобовой поверхности тел с цилиндрическим затуплением при поперечном гиперзвуковом обтекании, согласно которому искривленная ударная волна производит вихревое течение, а вихрь, сохраняясь при слабой диссипации, воздействует на волну, поддерживая ее искривленную форму.

8. Результаты численных исследований пространственно-периодической вихревой моды гиперзвукового обтекания

. цилиндра, определение условий ее возникновения, основных

р характеристик и главное - периодических пиков теплового потока,

которые значительно превышают тепловой поток в передней критической точке, полученный для плоской моды обтекания.

Все вынесенные на защиту расчетно-теоретические результаты получены автором самостоятельно. Экспериментальное обнаружение бифуркации потери симметрии периодических вихревых структур в модифицированном течения Тейлора сделано в соавторстве с профессором Б. БкаН-Ьапи и доктором М. Яа%е в лаборатории ЬЕМТА (иАР , ПЧРЬ, Франция, г. Нанси). Экспериментальные исследования вихревых структур на лобовой поверхности цилиндра при поперечном гиперзвуковом обтекании выполнены в ЦАГИ в соавторстве с профессором Боровым В.Я., Струминской И.В. и Лариным Н.Б.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы и докладывались на семинарах в ЦАГИ (2000, 2002, 2003, 2004, 2006, 2007, 2008), НИИ Механики МГУ (2003, 2005, 2006, 2007, 2008) , лаборатории LEMTA UAP , INPL, Франция, г. Нанси (2002, 2005, 2006, 2007). А также на следующих конференциях: научной школе НИИ Механики МГУ НеЗаТеГиУс (1994,1996,1998, 2000); второй Российской национальной конференции по тепломассообмену, МЭИ, 1998 ; "Sino-Russia Hypersonic Flow Conference". Russia, Moscow, 2000; 12-th International conference on Gouette-Taylor flows. USA, Evanston, 2001; 13-th International conference on Gouette-Taylor flows. Spain, Barcelona, 2003. ; International conference "METHODS OF AEROPHYSICAL RESEARCH. (ICMAR'2007)." -Russia, Novosibirsk, 2007.; West-East High Speed Flow Field Conference 1922, November 2007 Moscow, 6 European Symposium on Aerothermodynamics forfl Space Vehicles. November 2008, Paris (France).

Публикации По теме диссертации опубликовано в рецензируемых изданиях автором лично - 10 работ и одна работа в соавторстве (см. раздел Список основных публикаций автора по теме диссертации).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разделенных на параграфы и содержащих 97 фигур и 19 таблиц, заключения и списка литературы, состоящего из 96 наименований. Полный объем диссертации 238 страниц.

Благодарность.

Автор благодарит руководство лаборатории LEMTA (Франция, г. Нанси) за предоставленную возможность научных исследований и, персонально, профессора S. Skali-Lami за организацию экспериментов, обучение методике проведения испытаний, численных исследований по программе "Fluent" и совместный цикл исследований вихревых течений в жидкости. Автор благодарит профессора Борового В.Я. за вовлечение в круг проблем гиперзвукового обтекания затупленных тел, организацию экспериментов и обучение методике проведения тепловых испытаний в ударной трубе ЦАГИ УТ-1М. ^

Автор благодарит своего друга Быкова Е.М. за материальную помощь при^Р написании диссертации.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дана общая характеристика диссертационной работы, обсуждается актуальность выбранной темы, указаны основные цели и методы исследований, отмечена новизна и практическая ценность работы, сформулированы положения, выносимые на защиту. Дан краткий обзор имеющихся научных результатов и вклада других авторов, основные ссылки на литературу (подробный обзор литературы и имеющиеся результаты естественным образом распределены по главам).

Глава-1 посвящена исследованию стационарных периодических вихревых структур в модифицированном течении Тейлора. В гидродинамике хорошо известно течение несжимаемой жидкости между двумя коаксиальными цилиндрами, возникающее при вращении внутреннего цилиндра-ротора -классическое течение Тейлора. Модифицированное течение Тейлора реализуется в протяженной области, где одна или обе твердые поверхности имеют осесимметричную форму, с периодическим изменением радиуса вдоль оси вращения z (волнообразная форма). Впервые экспериментальные и численные исследования модифицированного течения Тейлора были выполнены во Франции (1999г.) профессором S. Skali-Lami и доктором М. Rafiqe. Независимо, автором диссертации, были проведены (2000г.) численные исследования модифицированного течения Тейлора для общего случая обеих волнообразных поверхностей ротора и корпуса произвольной формы периодической вдоль оси z. В отличие от классического течения Тейлора, в модифицированном течении Тейлора вихревые структуры вызываются формой поверхностей ротора и корпуса и сохраняют свою пространственную периодичность (с периодом равным или кратным периоду поверхностей ротора и корпуса) в широком диапазоне изменения управляющего параметра - числа Тейлора (Т) или Рейнольдса (Re).

В разделе 1.1 дано описание экспериментальной установки, методов и средств экспериментальных исследований, которые были проведены в лаборатории теоретической и прикладной механики и энергетики LEMTA (Laboratoire d'Energetique et de Mecanique Theorique et Appliquée), университета им. Анри Пуанкаре (UAP) и национального политехнического института (INPL, Франция, г. Нанси). Схема экспериментальной установки показана на рис. 1.1. Установка состоит из прозрачного цилиндрического корпуса радиусом R=64.11 мм и длиной Н=263 мм , внутри которого помещен ротор. Ось вращения ротора (z) совпадает с осью цилиндрического корпуса. В качестве ротора использовалось одно из шести тел вращения, изменение радиуса которых описывается гармонической функцией:

Ri(z)=ao+a!Cos(2nz/X) (1.1)

Геометрические параметры роторов представленны в таблице-1.1.

Рис. 1.1 Схема установки, область течения и система координат.

Таблица- 1.1

ротор ао ai X Безразмерные величины

мм мм мм ао ai X

CR1 51.3 0 - 0.8002 0 -

WR2 51.3 7.83 71.75 0.8002 0.1221 1.1192

WR3 51.3 7.83 35.88 0.8002 0.1221 0.5597

WR4 51.3 3.91 71.75 0.8002 0.0610 1.1192

WR5 51.3 3.91 35.88 0.8002 0.0610 0.5597

WR6 51.3 1.96 71.75 0.8002 0.0306 1.1192

Здесь и далее обезразмеривание выполнено по радиусу корпуса R.

В экспериментах применялись следующие методы и средства, исследований: Измерение скорости вращения ротора в диапазоне 30-И ООО об/мин с погрешностью не больше ±3 об/мин; измерение момента и мощности на оси вращения ротора с погрешностью не больше ±5% от этих величин при минимальной скорости вращения; измерение температуры жидкости в диапазоне 15-ИО °С с погрешностью не больше ±0.1°С ; визуализация картины течения вблизи поверхности внешнего цилиндра с помощью индикаторных частиц калироскопа (диаметр 10-20 микрон); визуализация картины течения в сечении (r,z) с помощью записи на цифровую видеокамеру траекторий частиц калироскопа в плоскости узкого пучка света, созданного лазерным ножом; измерение распределения радиальной (v) и осевой (и) компонент вектора скорости частиц в плоскости (r,z) лазерного ножа по методике Particle Image

Уе1остейу (Р1У); измерение перепада давления в двух точках на корпусе по разности высот столбиков жидкости в измерительных трубочках ( погрешность не больше ±0.1 мм. водяного столба).

В качестве основного параметра, определяющего режим течения в установке, использовалось число Тейлора Т.

Т = Ле д/а7(1 - а0 )3/2 ; Яе^^ (1.2)

Ц

Где а0 - средний радиус ротора (1.1), обезразмеренный по радиусу корпуса Я, ц=[0.045 + 0.065]Ра/з - вязкость жидкости, р=1.027£/ст3 , со - угловая скорость ротора.

В разделе 1.2 приведены математическая модель, основные уравнения и метод численного решения задачи. В цилиндрической системе координат | рассматривается осесимметричная область, заключенная между внутренней поверхностью корпуса и поверхностью ротора (рис. 1.1). Длинна Н=а+Ь+Ь области вдоль оси ъ многократно превышает радиус внешнего цилиндра Ы и длину волны ~к поверхностей (Н » Я , Н » Я,). Область заполнена несжимаемой вязкой жидкостью. Вращение ротора с угловой скоростью со вызывает движение жидкости в области. Математическая модель течения жидкости строится в рамках осесимметричных стационарных уравнений Навье-Стокса. Жидкость считается несжимаемой, ее вязкость постоянна, а поле течения - изотермическое. Давление может быть представлено в следующей форме

Р' = Р0+р(соК)2[Р(г,2)-С2] (1.3)

Здесь Ро=сош1, а функция Р(г,г) остается ограниченной при неограниченном увеличении длинны области Н (рис. 1.1). При сделанных предположениях, система уравнений движения жидкости может быть представлена в безразмерном виде:

Эи Эи _ ЭР 1 „2

V— + и — = в--+—V и

Эг дг дг Ле

д\ д\ V/2 5Р 1 т2 V,

. V— + и---=--+ —[У^у-— 1

I 8т дг т дт Яе1

дм ^ то 1 т2

г

<М>

г

V— + и— + -дг дг г Яе

д(гу) | д(ги)_0

дт дъ „2 д2 15 д2

V =-Г +--+-г

дг т дт дг2

Здесь V , \у , и - радиальная, окружная и осевая компоненты скорости жидкости. Граничные условия для V , лу , и есть условия прилипания на твердых стенках области. На поверхностях ротора и корпуса:

г=Я,(Х): и=\'=0 , \у= Я,(г) , г=К2(г): и=у=\у=0 (1.5)

В краевых сечениях Л, В: ъ=Ък , ъ=Ъъ : и=у=уу=0 (1.6)

Кроме этого нужно задать величину давления в одной произвольной точке внутри области

Р'(0,К2(0)) = Р0 или Р(0,я2(0)) = 0

(1.7)

Исходя из классической постановки задачи о движении несжимаемой жидкости (1.4-1.6), сформулирована задача поиска стационарных периодических решений в главной части Ь»1 рассматриваемой области (рис.1.1), которая состоит из: представления функции давления в форме (1.3), системы уравнений (1.4) , граничных условий (1.5) , фиксации давления (1.7), условий периодичности по г с периодом, равным длине волны поверхности ротора X (или целому их числу Л=тХ) и замыкающего уравнения фиксирующего интегральный осевой расход.

<3 = 2я /и(г, х)тйг - 0 (1.8)

Я.

В диссертации установлено, что при условии непротекания жидкости на бесконечно удаленных концах А,В (рис.1.1). априорно задаваемым параметром является нулевой расход (1.8). а градиент давления в - зависимый параметр, один из компонентов искомого решения.

Для преобразования сложной формы области течения (в плоскости г,г) к прямоугольной полосе введена следующая замена переменных:

Г -11,(2)

{г,<р,2}=>{у,<р,х}, х = г, у — ■

(1.9)

[К2(2)-Я1(2)]

По координате х (или г) принято условие периодичности всех функций с периодом (б - главное волновое число) и функции системы (1.4)

представлены в виде рядов Фурье

/ / \

и и. (у)

v -1

\У П=-ю \^„(у)

л (у);

ехр(тэх)

(1.10)

Предполагая достаточную гладкость функций и ,у , , Р по продольной координате х , в рядах (1.10) взято конечное число членов N»1. Далее подстановка (1.10) в (1.4) дает систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) для комплексных амплитуд гармоник. Система ОДУ решалась конечно-разностным методом, в котором аппроксимация производных выполнена по схеме центральных разностей второго порядка точности. Решение нелинейной алгебраической системы конечно-разностных уравнений производилось модифицированным методом Ньютона.

Раздел 1.3 посвящен анализу результатов экспериментальных и расчетно-теоретических исследований. Продемонстрировано хорошее соответствие результатов экспериментальных и численных исследований для стационарных режимов течения в широком диапазоне изменения числа Тейлора. Установлено, что в отличие от классического течения Тейлора, модифицированное течение Тейлора, даже при малых числах Т«1, является трехмерным и осесимметричным. Оно имеет фиксированный пространственный период равный или кратный длине волны поверхности ротора X. Стационарные режимы модифицированного течения Тейлора, как правило, сохраняют устойчивость в большем диапазоне чисел Т чем классическое течение Тейлора. При малых и умеренных величинах числа Тейлора стационарные вихревые структуры повторяют симметрию области течения, если таковая имеется (рис. 1.2).

О 1

б)

Рис. 1.2 Симметричное течение в области с геометрией \¥К5 при Т=210.5 . а) Визуализация поля течения г, г в эксперименте, б) расчет течения Тейлора \VI15, линии тока в плоскости (г, г). 1- ротор, 2 - корпус.

Основное внимание всей главы-1 диссертации уделено неизвестному ранее явлению потери симметрии периодического вихревого течения, которое сопровождается самопроизвольным возникновением осевого градиента давления. В экспериментах асимметричные вихревые структуры трансформировались из симметричных вихрей после превышения некоторого

критического числа Т*«250. На рис. 1.3а приведена картина траекторий индикаторных частиц в плоскости лазерного ножа при Т=325. Видно, что симметрия вихрей сильно нарушена - их размеры отличаются в полтора раза (сравнить с рис. 1.2). На рис. 1.36 приведены результаты расчетов асимметричной моды вихревого течения. Совпадение расчетных линий тока и траекторий частиц-трассеров очень хорошее.

X 1 б)

Рис. 1.3 Асимметричное течение в области с геометрией \VI15 при Т=325.3 . а) Визуализация поля течения г, ъ в эксперименте, б) расчет течения Тейлора \\П5, линии тока в плоскости (г, г). 1- ротор, 2 - корпус.

Важнейшим свойством асимметричных течений является самоиндуцированный градиент давления, который существует при нулевом расходе (1.8). С целью проверки факта возникновения градиента давления, экспериментальная установка была дооснащена средствами измерения давления в двух точках отстоящих друг от друга на четыре длинны волны X. Испытания показали, что при скорости вращения соответствующей числу Т«230 появляется и начинает быстро расти разность давления, которая при скорости вращения соответствующей Т=335 достигла расчетной величины ДР-20.1 мм. На рис. 1.4 результаты этих испытаний приведены в безразмерном виде, вместе с расчетной кривой бифуркации возникновения самоиндуцированного градиента давления О(Т). В экспериментах устойчивые

стационарные асимметричные вихревые структуры реализуются до Т»350. Асимметричные решения обладают свойством непрерывной зависимости от параметров задачи. Расчеты показывают, что асимметричная ветвь существует в довольно широкой области варьирования амплитуды и периода X волнообразного ротора.

Рис. 1.4 Бифуркационная диаграмма для модифицированного течения Тейлора \VI15. 1 - Детерминант матрицы Вронского (левая шкала), 2 - функция расхода С>(Т) (правая шкала), 3 и 4 - самоиндуцированный градиент давления, положительная и отрицательная С ветви (правая шкала), 5-экспериментальные величины О.

В разделе 1.4 проведен линейный анализ обнаруженной бифуркации, позволивший получить точное критическое число Тейлора Т*, указать причину возникновения и роль осевого градиента давления в, прояснить структуру и свойства ответвляющихся решений.

Пусть границы области течения обладают свойством симметрии ^(г) = ^(-г), Я2 (г) = Я2(-г) . С учетом периодичности поверхностей ротора и корпуса (1.4), это приводит к действительному виду коэффициентов Фурье

Ап=А_п=геа1, Вп=В_п=геа1 (1.11)

При сделанных предположениях у системы (1.4) имеются, так называемые, симметричные решения вида:

u(r, 2) = -u(r,-z), v(r, z) = v(r ,-z)

w(r, z) = w(r ,-z), P(r, z) = P(r ,-z)

Предположим, что при некотором значении Т* в системе происходит бифуркация и в локальной окрестности симметричного решения (1.12) появляется новое асимметричное решение. Если бифуркация закритическая, то при (Т-Т*)«1 ответвляющееся решение отличается от симметричного на малые величины. Далее система амплитудных уравнений линеаризуется на базе симметричного решения и из нее выделяется линейная подсистема относительно вектора асимметричных возмущений, коэффициенты которой зависят от компонент симметричного решения. В правой части этой системы имеется один неопределенный параметр - градиент давления G. Если предположить, что G=0 и его введение при отсутствии внешнего нагнетания жидкости было излишним, то получится однородная краевая задача на собственные значения параметра Т*. Хорошо известно, что необходимым условием существования нетривиальных решений однородной краевой задачи является обнуление детерминанта (D) матрицы Вронского. Матрица Вронского была численно найдена и обнаружено, что ее детерминант нигде не меняет знак и при всех исследованных параметрах остается существенной величиной (рис. 1.4). Это означает, что при всех числах Т (в том числе и при Т»250) в локальной окрестности симметричной ветви (1.12) у линеаризованной системы амплитудных уравнений с G=0 не существует других решений кроме симметричного. Но эксперимент и численные расчеты по полной нелинейной системе дают бифуркацию. Следовательно, необходимо рассмотреть случай G/0, либо признать бифуркацию нелокальной. Предположим первое и, пользуясь линейностью системы для возмущений, избавимся от неизвестного параметра Сг/О путем деления на него всех уравнений и приняв новый вектор неизвестных в виде

/ / \

«п(У) _ 1 "„(У)

Рп(У) vn(y)

Уп(У) G wn(y)

,gn(y) ,

В результате получим линейную неоднородную систему относительно (1.13) с однородными граничными условиями. Расчеты показали, что детерминант матрицы Вронского для этой системы не имеет нулей (рис. 1.4) и, следовательно, неоднородная краевая задача имеет единственное решение при всех значениях параметров. Однако для исходной задачи (1.4) это будет только потенциальное асимметричное решение. Поскольку любое истинное решение должно удовлетворять еще и условию нулевого расхода вдоль оси г (1.8). В

точке Т=Т*, где функция (1.8) проходит через нуль, потенциальное решение (1.13) совместимо с граничными условиями непротекания на удаленных концах А и В области (рис. 1.1). Поэтому только в этой точке Т* может родиться асимметричное решение и самоиндуцированный градиент давления в. Причем из (1.13) и единственности решения неоднородной краевой задачи следует, что в системе рождается сразу два асимметричных решения с противоположными направлениями градиента давления и С. Расчеты показали, что для всех исследованных форм геометрии области функция <3(Т) (1.8) не является тривиальной и проходит через нуль в единственной точке диапазона Т<600. В частности для ротора \VI15, бифуркация потери симметрии происходит в точке Т*=247.72 (рис. 1.4).

Раздел 1.5 посвящен инженерному приложению результатов исследований подобного рода вихревых течений в промышленных устройствах. Автором предложена новая концепция смесителя для промышленного приготовления суспензий и эмульсий, в которой основные элементы смесителя - ротор и корпус имеют осесимметричную, периодическую по оси вращения г (волнообразную) форму, а процесс смешивания компонент многофазной жидкой среды осуществляется в периодической системе тороидальных вихревых структур, возбуждаемых в несущей жидкости при вращении ротора установки.

Роторный смеситель для жидкихсред

Рис. 1.5 Одноблочный вариант смесителя: 1 - ротор , 2 - корпус.

Показано, что, по сравнению с существующим прототипом, заданный уровень однородности распределения примеси в новом устройстве достигается при существенно меньших затратах удельной мощности. Предложены два варианта конструкции смесителя для технического воплощения новой концепции смешивания (рис. 1.5) и разработана конструкция лабораторного стенда для экспериментальной отработки новой концепции смешивания.

Основные положения новой концепции смешивания защищены патентом РФ № 2186615 "Роторный смеситель для жидких сред". Изобретение относится к устройствам для перемешивания различных жидких сред, диспергирования и гомогенизации жидкостей в виде суспензий и эмульсий, для экстрагирования целевого компонента. Оно может быть использовано в химической, нефтеперерабатывающей, лакокрасочной, пищевой, микробиологической отраслях промышленности, а также в ядерной энергетике.

Главы 2 и 3.

В гидродинамике имеется значительное количество важных для теории и практики примеров, где протяженность области течения в одном из направлений во много раз превышает характерные размеры по другим направлениям и в этом направлении внешние условия с высокой точностью однородны. И тогда, для описания всего поля течения, часто применяют периодическое продолжение решений, полученных на ограниченном отрезке -периоде (длине волны X). Однако принцип периодичности слишком примитивен для адекватного представления ограниченных решений уравнений механики жидкости или газа в неограниченной области. В этом смысле квазипериодические функции являются более общим средством описания нефинитного поведения физических явлений во времени и пространстве неограниченной протяженности.

Одна из первых попыток поиска квазипериодических решений уравнений Навье-Стокса была предпринята в работах проф. Герценштейна С.Я., где в плоском вращающемся слое рассмотрена эволюция по времени начального возмущения, состоящего из двух мод с иррациональным отношением периодов. В данной диссертации, на новом этапе исследований, было важно и интересно понять, как квазипериодическая форма условий на границах области отражается на предельной структуре вихревого течения жидкости.

Цель исследований главы 2 состоит в том, чтобы на примере конвекции жидкости в плоском горизонтальном слое, получить стационарное квазипериодическое течение, индуцированное квазипериодическим распределением температуры на границах.

В разделе 2.1 сформулирована постановка задачи и построена математическая модель течения. В приближении Буссинеска, рассматривается конвекция вязкой (вязкость ц) и теплопроводной (теплопроводность х) жидкости в двумерной области (слое), имеющей бесконечную протяженность по координате х и ограниченной по координате у горизонтальными прямыми (плоскостями) расположенными на расстоянии Ь. Плотность жидкости линейно зависит от температуры

р=р0[1-а(Т-Т0)] (2.1)

где ро - плотность при некоторой базовой температуре То- На твердых поверхностях у=0 и у=Ь для скорости ставятся условия прилипания, а для температуры - ее значения Т! и Тг, которые могут быть функциями координаты х. Давление внутри области может быть представлено в виде градиентного

члена и ограниченной функции : Р'= Р(х, у) - Сх. Для приведения

уравнений к безразмерному виду геометрические размеры нормируются на зазор слоя Ь, температура на средний перепад Бт между нижней и верхней поверхностями, давление на масштаб 8Р, скорость на масштаб , время на масштаб .

8Т = 1лт

р0ая5ТЬ2 ц =-; »р = р0а§5тп; 8,=-

вг = И.е = &2Т ; в = ^ ; рг = ^ (2.2)

(2.3)

У- РоЬ

Роаё5тЬ3 с _ ЦС

—--; и =-—; гг = —

Ц Роа§^т %

Основным параметром, определяющим режимы конвекции является число Грасгофа вг, которое при выбранном масштабе скорости (2.2) равно формальному числу Рейнольдса Ле. Далее используются только безразмерные величины и число И.е в качестве управляющего параметра. В итоге система уравнений конвекции примет вид.

ди _ . ди Эй ^ ЭР Э2и Э2и

— + Яе[и — + V —] = в--+ —- + —г

& дх ду дх дх ду2

б\ „ . д\ „ ЭР д2\ д2\

— + Яе[и — + V—1 = Т--+ —- +—-

дг дх ду ду дх2 ду2

„ эт . эт эт., Э2Т Э2Т Рг — + Рг11е[и— + V—1 = —г + —-

дг дх ду дх2 ду2

Эи ду .

— + — = 0 дх ду

С граничными условиями

у=0: и=у=0 ; Т=Т,(х); у=1: и=у=0 ; Т=Т2(х) ; Р(0Д)=0 (2.4)

Система (2.3) в бесконечном по координате х слое может иметь различные решения. Мы будем рассматривать стационарные режимы конвекции с нефинитным поведением решений по координате х. Известно три класса ограниченных решений с нефинитным поведением: периодические, равномерные квазипериодические и хаотические режимы течения. Периодические режимы течения известны хорошо и постоянно используются для представления решений в протяженных областях. Квазипериодический режим течения есть первый пример действительно нетривиального поведения ограниченного решения в неограниченной области. Поэтому главная задача этой работы - поиск и исследование квазипериодических течений. Однако, для полноты картины, необходимо рассмотреть и периодическую конвекцию.

В разделе 2.2 рассмотрены стационарные периодические режимы конвекции.

Пусть зависимости температуры на ограничивающих слой плоскостях Т^х) и Т2(х) являются непрерывными периодическими функциями с одинаковым периодом Х.=2л:/8. Эти функции представимы в виде сходящихся рядов Фурье

Т, (х) = § А» ехр(шБх) , Т2 (х) = £ Вп ехрОпБх) (2.5)

П=-=о 11=—00

Если хотя бы одна из граничных функций Т[(х), Т2(х) не константа, то в определенном диапазоне чисел Рейнольдса 0<11е<11е1, существует и устойчиво стационарное периодическое решение уравнений (2.3) с тем же периодом , Х=2л/8 и оно тоже представимо в виде сходящихся рядов Фурье

Я

и(х,у)= х;и(у)„езф(ш8х) (2.6) ^

П=-оо

Остальные компоненты V , Р , Т решения (2.3) и их коэффициенты Фурье У„, Р„ , Тп имеют аналогичное представление. Подстановка (2.5) и (2.6) в (2.3) дает систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно комплексных амплитуд гармоник. Все члены системы (2.3) представляются в явном виде через коэффициенты Фурье (2.5) и (2.6). Поскольку такой подход к решению уравнений Бусинеска хорошо известен, подробности получения и решения системы амплитудных уравнений можно опустить (они приведены в разделе 2.2 диссертации).

Раздел 2.3 посвящен поиску и исследованию стационарных

квазипериодических режимов конвекции. Пусть изменение температуры на

ограничивающих слой плоскостях Т^х) и Т2(х) описывается равномерными

квазипериодическими функциями с линейно-независимым базисом своих

показателей Фурье , э2 где отношение главных волновых чисел есть

иррациональное число

2л 2 л в, Я2

8,=—; 82=—; — = — = 12 ; 8пт = ПБ! + тз2 где п, т - целые (2.7) А#| А»2 б2 А|

Согласно известным теоремам, квазипериодические функции Т^х) и Т2(х) представимы в виде абсолютно сходящихся двойных (кратных) рядов Фурье N М

т1(х)= Е I Ап ю ехр(1х8п т) , Т2(х)-аналогично. (2.8)

п=-И т=-М

Коэффициенты Фурье имеют вид с ^

<Т1 >п,т=Ап га =1лт -£т,(х)ехрНх8п>ю)(1х

аналогично. Согласно выбору масштабов (2.2) А0,о=1 , В0,о=0.

Предположим, что в определенном диапазоне чисел Рейнольдса 0<11е<11е1 существует стационарное квазипериодическое решение уравнений (2.3) с тем

для <Т2>,

2"п,т

же множеством показателей Фурье Sn,ra (2.7), генерируемых двумя рационально не связанными главными волновыми числами Si и s2. Тогда эти решения представимы в виде абсолютно сходящихся двойных рядов Фурье

и(х,у)= £ £ U(y)n m exp(ixSnm) (2.9)

П=-°0 1П--СО

( 1 ^

где U(y)nm = Lim — L u(x,y)exp(-ixSnm)dx , коэффициенты Фурье L-wo^L ' J

Vn,m , Pn,m , Tn m имеют аналогичное представление. Подстановка (2.8) и (2.9) в (2.3) дает систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно комплексных амплитуд гармоник. Все члены системы (2.3) представляются в явном виде через коэффициенты Фурье (2.8) и (2.8) . Система относительно комплексных амплитуд гармоник состоит из бесконечного числа зацепляющихся блоков уравнений, каждый из которых соответствует паре номеров п, т. С помощью введения дополнительных неизвестных

JT Т JT

ü =-• f =_(2 10)

dy dy

уравнения этой системы приводятся к нормализованной форме, содержащей только первые производные. Ниже приведен принципиальный вид одного блока этой системы для произвольных (n, т)*0, состоящий из уравнений продольного и поперечного импульса, уравнения энергии и уравнения неразрывности.

dU"-m <g2 тт :о р _

л п,ш n,m 1LJn,m n,m

У (2'И)

= RßS S ^S„,mUkjUn_k,m_j + ÜkjVB_kim_j|

lc=—со j=—со L J

dPn m .

.'" +i^nmUn + S V -T = dy

00 CO r

= Re £ £[iSkJ(и^Уп_к>тН-Уко.ип.к^)]=0

k=-co j=-a5

(2.12)

dT.

ю 00 г • 1

~SlmTn,m=RePr I X ['Sk,jTk,jtJn_k j +Tk jVn_k jJ (2.13) dy k=-«j=-®

dV,

n,m

+ iS„,mU =0 (2.14)

dy

Блок для нулевых гармоник п=т=0 имеет вид:

dünn 1:0 ■*>

—^+G = 2ReESreal(UkJV_k>_j) dy k=oj=o

= 2RePr S I[real(fkJV_kH)- SkJ Im(TkjU_k^)] dy k=oj=o

Граничные условия

У=0: U^n,— Vnm =0 ; Tnm — An>m ; у— 1: Un,m— V^m -0 ; Tn>m — Bn m

Из уравнения неразрывности и граничных условий следует что V0,o =0. Уравнение для нулевой гармоники давления Р0,0 может быть решено отдельно, после получения решений системы (2.10)-(2.15). Отметим, что для квазипериодических режимов с K-мерным линейно-независимым базисом показателей Фурье Snm k =nSj + ms2 + ... + ksK система уравнений

сохранит вид (2.10)-(2.15) с заменой двукратного суммирования на К-кратное.

В диссертации аналитически показано, что при Re=0 возможно только вынужденное граничными условиями стационарное периодическое или квазипериодическое решение системы амплитудных уравнений (2.10)-(2.15) и оно единственно. Если граничные условия для некоторой гармоники нулевые An,m=Bn,m=0, то эта гармоника отсутствует в решении.

Для того, чтобы систему (2.10)-(2.15) можно было решить при произвольном Re>0, необходимо ограничить число ее уравнений, ограничив порядки гармоник некоторыми предельными числами |n|<N , |m|<M. В отличие от периодических решений, здесь необходимо предположить, что члены рядов (2.8) и (2.9) достаточно быстро убывают при возрастании порядков гармоник I nj —>со , | m| —>оо, независимо от величины соответствующего волнового числа S^m . Краевая задача для системы (2.10)-(2.15) решалась конечно-разностным методом с использованием полностью неявной схемы центральных разностей второго порядка точности. В расчетах число учитываемых гармоник по каждой компоненте варьировалось от N=M=4 до N=M=8. При наибольших N=M=8 число одновременно решаемых уравнений системы (2.10)-(2.15) составляло 1192. По вертикальной координате г| проводилось равномерное разбиение на 50 , 100 шагов.

В качестве примера рассмотрим стационарные режимы конвекции в слое, на нижней границе которого задано косинусоидальное распределение температуры Ti(х) с периодом A,i=2 и амплитудой Фурье AijO=0.1, а на верхней границе - косинусоидальное распределение температуры Т2(х) с периодом и амплитудой B0,i=0.1 (граничные условия QW1). Результаты расчетов квазипериодических режимов конвекции для чисел Re=[100 ; 600] приведены на рис.2.1.

(2.15)

(2.16)

ОШш

* 8

а)

Рис.2.1 Линии тока квазипериодической конвекции для граничных условий С>\У1 при а)Ые=100 , б) Ке=600.

На рис. 2.2 приведены спектры теплового потока на нижней стенке канала для различных чисел 11е. Поскольку в граничных условиях для температуры присутствуют только две гармоники (п,т)=(1,0) и (п,т)=(0,1), то при 11е=0 никаких других гармоник не возбуждается. При Яе»1 квадратичная нелинейность уравнений (2.10)-(2.15) производит гармоники со всеми комбинациями целых чисел (п,т), однако до ЯеяЗОО все они не превосходят 0.01 то есть существенно меньше тех двух гармоник, которые заданны граничными условиями. При 11е=300 лидирующая группа состоит уже из пяти гармоник, а при Яе=600 число значимых гармоник (амплитуды которых составляют более 0.01) достигает семнадцати (рис. 2.2).

S/Si

0.0001

- 8 * о о -о " * ' А А □ Re=0 о Re=300 * Re=600

А * * Л , оо * А * О ^ ^ А А * К ° ° Ь о ______А ________ А - 4 ; А * * * Ж 1 О* ** О4 A О О А А ^ Л

А О о О О о о О О А °0 А * AI в А 0 А -------о-----О-.. А * А аА ^ А О __________ А А А

Рис.2.2 Спектр теплового потока на нижней стенке канала при разных И.е (граничные условия

Зависимость числа Нуссельта, осредненного по всей длине слоя, от числа Яе показана на рис.2.3 (кривая-1). Для сравнения, на этом же рисунке помещены кривые №д(11е), полученные для периодических режимов конвекции с теми же периодами и амплитудами, как и в квазипериодическом случае . Из рис.2.3 видно, что в случае периодической конвекции, тепловой поток очень сильно зависит от взаимного сдвига фазы \\> между функциями Т,(х) и Т2(х). А для квазипериодического режима получена единая кривая Ми(11е), для любых величин сдвига фазы, хотя картина течения, безусловно, зависит от у. Такой консерватизм средних характеристик является одним из фундаментальных свойств квазипериодических течений. В главе 2 рассмотрены также квазипериодические течения, индуцированные более сложными функциями Т[(х) и Т2(х), каждая из которых образована пятью гармониками (рис.2.3 кривая-2).

¡Чи

1.8 --

1.4 --

400

800

Ие

Рис.2.3 Число Нуссельта в зависимости от Яе. 1,2- квазипериодические режимы и QW5; 3,4, 5,6 - периодические режимы с >ч=2 ; 7 -периодический режим с Х2=2^2 .

Глава 3 посвящена поиску и исследованию стационарных квазипериодических решений уравнений Навье-Стокса, индуцированных квазипериодической формой границ двумерной области течения. Прикладной задачей работы является попытка применить принцип пространственной квазипериодичности для моделирования течений в тонких слоях со сложной геометрией границ - фрактальных слоях и других видах пористых сред.

В разделе 3.1 сформулирована постановка задачи и построена математическая модель течения. Рассматривается двумерное стационарное течение жидкости в двумерной области (рис.3.1) бесконечной протяженности по координате х и ограниченной по координате у криволинейными поверхностями у\(х) и у'2(х) (штрихом обозначены размерные величины). Предполагается, что функции у')(х) и у'2(х) и их первые производные непрерывны и ограничены на всей действительной оси, а зазор 5' между поверхностями слоя никогда не исчезает. 8'(х) = у'2 (х)-у') (х) > 0 ;

Ь->х>

= Ь

(3.1.1)

Рис.3.1 Фрагмент ТО слоя и система координат.

Плотность р и вязкость ц жидкости - постоянные. Течение в слое вызвано приложенным из вне градиентом давления, средняя величина которого равна: /Т»/^ «Л Т)1/Ч, I т »л Л

0 = 1лт

Р,(х,у)-Р,(х + Ь,у)

= сопя! (3.1.2)

'V Ь J

Для приведения уравнений Навье-Стокса к безразмерному виду геометрические размеры нормируются на средний зазор в слое Ь и подходящим образом выбранные масштабы давления и скорости. Без ограничения общности давление может быть представлено в виде градиентного члена и ограниченной функции Р'= СЬ{Р(х,у) — х]. В итоге система уравнений Навье-

Стокса примет следующий вид:

г 5и ЗР. ,д2и д2и.

«К* + (ЗЛ.З)

дх ду ду дх ду

5и ду п — + — = 0 ^бх ду

гдеКе,£М = Р^ (3.1.4)

ц 12ц

На твердых поверхностях у^х) и у2(х) ставятся условия прилипания и в одной внутренней точке области фиксируется давление. Одной из важнейших характеристик течения является интегральный поток через поперечное сечение слоя.

у2 ОЬ3

Ч^ЬНУ^ЬС^—-<3 (3.1.5)

у1 12ц

Где О - безразмерный поток, а его обратная величина 11=1/0 есть безразмерный коэффициент сопротивления слоя. Масштабы выбраны так, что

для слоя, ограниченного двумя параллельными плоскостями (течение Пуазейля) <3=11=1. Наряду с формальным числом Яе (3.1.4) используется расходное число Рейнольдса Яе*=0-Ке. С помощью замены переменных (х,у) => (£,Г|) сложная внутренняя область слоя приводится к прямоугольной полосе -оо < ^ < +оо , 0<11< 1.

4-х

1 У-У.(х) =У-У.(Х) (3.1.6)

V [У2(х)-У,(х)] 5(х)

После замены (3.1.6) система уравнений Навье-Стокса (3.1.3) примет соответствующий вид в криволинейных координатах £,,г) (см. раздел 3.1 диссертации).

В разделе 3.2 рассмотрены стационарные периодические течения в области с периодической формой границ. Пусть поверхности ограничивающие слой являются периодическими функциями с одинаковым периодом И=2л/в .Эти функции представимы в виде сходящихся рядов Фурье.

*(£)= , у2(£)= £ВаГ* ,5(0= |[3.2.1)

(3.2.1)

Тогда, в определенном диапазоне чисел Рейнольдса 0<11е*<11е1*, существует и устойчиво стационарное периодическое решение системы (3.1.3) с тем же периодом \=2к/5 и оно тоже представимо в виде сходящихся рядов Фурье, с учетом замены переменных (3.1.6).

и&Т1)= ¿и(т!)п^ , где (3.2.2)

Остальные компоненты V, Р решения имеют аналогичное представление.

Подстановка (3.2.1) и (3.2.1) систему (3.1.3) дает бесконечную систему зацепляющихся ОДУ относительно комплексных амплитуд гармоник (см. раздел 3.2 диссертации), где все члены представляются в явном виде через коэффициенты Фурье (3.2.1) и (3.2.1).

Краевая задача для системы ОДУ относительно комплексных амплитуд гармоник решалась конечно-разностным методом с использованием полностью неявной схемы центральных разностей второго порядка точности. В расчетах число учитываемых гармоник по каждой компоненте варьировалось от N=10 до N=70, причем установлено, что во всех исследованных случаях достаточно N=15. По вертикальной координате г) проводилось равномерное разбиение на 50, 100 шагов.

С целью последующего сравнения периодических и квазипериодических решений, были выполнены расчеты течения в слое с гармонической формой поверхностей у^х) и у2(х). Рассмотрено два значения длины волны и Я.2=2У2=2.828427... с амплитудой гармоник А1=В1= 0.12205 . Расчеты

показали, что при Ле=0 линии тока отслеживают форму поверхностей канала. Приблизительно при 11е*=20 на стенке появляются отрывы потока и возникают периодические вихревые структуры, которые при дальнейшем увеличении 11е* расширяются и занимают почти весь объем каверн, оставляя потоку лишь среднюю часть канала. Как можно было предположить, картина течения и величина коэффициента сопротивления Я сильно зависят от фазового сдвига с1Х между верхней и нижней границами слоя, причем минимальное сопротивление имеет канал с одинаковой фазой волн поверхностей, а максимальное когда волны в противофазе. Увеличение числа Яе* приводит к монотонному возрастанию ЩЯе*), причем всегда И>].

В разделе 3.3 построен метод расчета и проведено исследование стационарных квазипериодических течений, индуцированных -' квазипериодической формой границ области. Пусть ограничивающие слой ^^ поверхности у/х) и у2(х) являются равномерными квазипериодическими функциями с линейно-независимым базисом своих показателей Фурье (волновых чисел). 8П т = г^ + 1Ш2 , где п, т - целые,

2л 2л Б, А,,

в) = —; 82 = —; — - —^ = £2 - иррациональное число. (3.3.1)

Тогда, согласно известным теоремам, квазипериодические функции у^х) и у2(х) представимы в виде двойных рядов Фурье.

N М ИМ

У1<£)= X I К^**" , У2<5)= I I . (3-3.2)

п=-Мт=-М п=-Ыт=-М

N М

8й)= £ I , где Спт= -

п=-Нт=-М

Коэффициенты Фурье имеют следующее представление:

, <У2>п,ш - аналогично. (3.3.3)

<У1 >п>т = Ап>т

Максимальные порядки К, М членов в рядах (3.3.2) могут быть конечными или даже бесконечными, поскольку при сделанных предположениях, двойные ряды Фурье абсолютно сходятся к функциям у1(х), у2(х) на всей; действительной оси х. '

Предположим, что в определенном диапазоне чисел Рейнольдса 0<11е*<11е1*, существует стационарное квазипериодическое решение уравнений (3.1.3) с тем же множеством показателей Фурье (3.3.1), генерируемых двумя рационально не связанными главными волновыми числами в) и вг. Тогда это решение тоже представимо в виде абсолютно сходящихся двойных рядов Фурье.

и&Т1)= £ £ (3.3.4)

п=-со т=-оо

Функции и , р и их коэффициенты Фурье У^т , Рп,т имеют аналогичное представление.

Подстановка (3.3.2) и (3.3.4) в (3.1.3) дает, с учетом замены переменных (3.1.6), систему ОДУ относительно комплексных амплитуд гармоник, все члены которой представляются в явном виде через коэффициенты Фурье (3.3.2) и (3.3.4) . Амплитудная система состоит из бесконечного числа зацепляющихся блоков уравнений, каждый из которых соответствует паре номеров (п, т) и состоит из Фурье-образов уравнений неразрывности, х-импульса и у-импульса (см. раздел 3.3 диссертации). Нелинейные члены завязывают между собой блоки гармоник с разными номерами.

Для того, чтобы эту систему можно было решить, необходимо ограничить число ее уравнений, ограничив порядки гармоник некоторыми предельными числами (п|<КГ , |т|<М. Здесь, также как и в задаче о квазипериодических режимах конвекции (см. раздел 2), в дополнение к свойству абсолютной сходимости рядов (3.3.2), (3.3.4), необходимо предположить, что члены этих

Пцю достаточно быстро убывают при возрастании порядков гармоник —>оо , | т| —>оо, независимо от величины соответствующего волнового числа Б^щ . Краевая задача для системы ОДУ решалась конечно-разностным методом с использованием полностью неявной схемы центральных разностей второго порядка точности. В расчетах число учитываемых гармоник по каждой компоненте варьировалось от 1Ч=М=4 до N=N1=9. При наибольших Ы=М=9 число одновременно решаемых уравнений системы составляло 1085. По вертикальной координате г| проводилось равномерное разбиение на 50 , 100 шагов. Полученная в результате дискретизации нелинейная алгебраическая система решалась модифицированным методом Ньютона. При написании программ активно использовалась "Библиотека программ для решения задач механики сплошной среды" разработанная в НИО-8 ЦАРИ .

Рассмотрим результаты расчетов для слоя напоминающего нерегулярную фрактальную форму (обозначение - СК^У) (рис.3.1 , 3.4). Здесь каждая из поверхностей образована пятью гармониками. Квазипериодические границы слоя у^х) , у2(х) и все функции входящие в систему (3.1.6) имеют единый линейно независимый базис главных волновых чисел (3.3.5).

Б,, т = ш, + тз2 : где п, т - целые

2я 2к э, Я,, /— „ _ ,ч

81=—; 82=Т1х; = (3-3.5)

2 2л/2 Я, 2

Линии тока полученного квазипериодического решения показаны на рис.3.4 для чисел Яе—>0 и Яе*=151. Видно, что при Ле->0 линии тока строго следуют форме границ слоя. Начиная примерно с Яе*=10 появляется заметное искажение линий тока, а при Ле*«40 в каждой каверне возникает отрыв потока и вихревое течение. Основной поток спрямляется и концентрируется в середине канала. Появление вихрей приводит к возрастанию диссипативных потерь и полного сопротивления канала. Кривая возрастания коэффициента

сопротивления канала Я при увеличении числа Яе* приведена на рис.3.5 . Видно, что при малых Яе*<15 коэффициент сопротивления Я возрастает примерно по квадратичному закону, следовательно само сопротивление растет ~ (Яе*)3 , что полностью согласуется с результатами работы [3.6], где кубическая зависимость сопротивления получена методом асимптотических разложений. В диапазоне 80<Яе*<200 зависимость ЩЯе*) близка к линейной (сопротивление ~ (Ле*)2), что совпадает с общей тенденцией экспериментальных данных. Заметим, что коэффициент сопротивления плоского прямого канала остается постоянным 11=1 вплоть до потери устойчивости ламинарного течения при Яе*>2000.

Несмотря на то, что в спектрах граничных функций у^х) , у2(х) имеется всего 5 гармоник, в спектрах полученных решений сохранялось более сотни гармоник по каждой компоненте, причем ведущая группа состоит примерно из 25 гармоник, амплитуды которых существенны и сопоставимы друг с другом.

а

Рис.3.4 Линии тока квазипериодического течения в слое СЮ5У: а - Яе*->0, <3=0.4415 ; б-11е*=151, 0=0.2492.

Рис.3.5 Коэффициент сопротивления канала II в функции числа Ле*.

Таким образом результаты расчетов показывают, что квазипериодические течения имеют более сложную пространственную структуру чем породившая их форма границ слоя. Навязывание единого базиса волновых чисел (3.3.1) оказывается не очень жестким ограничением, и (особенно при повышенных Ле*>80) жидкость проявляет свой "характер" путем значительного усиления или даже генерации тех гармоник, которые не присутствуют явно в геометрии слоя. Например, комбинационная гармоника 82,.3 с длинным периодом Х2,-з=16.485, которой нет в геометрии слоя и которая при Яе=0 тоже практически нулевая (амплитуда «0.003), при Ке*=151 достигает величины 0.18 и существенно определяет поведение течения. Полученные результаты позволяют рекомендовать квазипериодические решения уравнений Навье-Стокса в качестве модели течения жидкой среды в тонких слоях со сложной геометрией границ и пористых структурах.

Особый механизм вихреобразования имеется в сжимаемых сверхзвуковых течениях. Хорошо известно (см., например работы Майкапара Г.И.), что даже невязкий газ при прохождении искривленного фронта ударной волны приобретает завихренность в силу условий Рэнкина-Гюгонио.

В главе 4, в диапазоне больших сверхзвуковых и гиперзвуковых скоростей, исследуется проблема возникновения периодических вихревых

структур на лобовой поверхности тела с цилиндрическим затуплением, расположенного перпендикулярно набегающему потоку. В несжимаемой жидкости и дозвуковом потоке сжимаемого газа подобное явление хорошо известно и обычно ассоциируется с вихрями Гертлера. В работах Гольдштейна М. Е. и Устинова М. В. показано, что причиной разрушения двумерной моды обтекания и появления Зх мерных вихревых структур, периодических вдоль трансверсальной координаты г, является деформация и значительное усиление малых вихревых возмущений, приходящих из внешнего потока. При больших числах М„»1, появление пространственно-периодических вихрей в ударном слое между головным скачком уплотнения и поверхностью обтекаемого тела вызывает значительные колебания распределения температуры и теплового потока на теле. Научно-техническая актуальность этой проблемы определяется ' тем, что передние кромки крыльев и воздухозаборников всех гиперзвуковых ^ летательных аппаратов представляют собой затупленные тела типа цилиндра, и ^И именно здесь реализуется наибольший уровень теплового нагружения.

Глава 4 начинается разделом 4.1, где приведены основные экспериментальные результаты других авторов и дано описание целевых экспериментов, выполненных автором в ЦАГИ в коллективе сотрудников под руководством профессора Борового В.Я.

В экспериментальных исследованиях, проведенных при умеренных и больших числах Яе, на лобовой поверхности цилиндра обнаружены пики теплового потока, значительно превышающие тепловой поток q0 в передней критической точке при плоской (двумерной) моде обтекания. Например в работе Лапиной Н. Г. и Башкина В. А. (ЦАГИ) приведены результаты экспериментальных исследований структуры течения и распределения теплового потока на лобовой поверхности цилиндра при его поперечном обтекании со сверх и гиперзвуковыми скоростями (М=3, 5, 6). Характерной особенностью полученных картин предельных линий тока является их пространственная периодичность вдоль линии растекания. Такая же периодичность имела место и при анализе распределения теплового потока, амплитуда колебаний которого достигала ±25% и выше. В ЦАГИ за период 1980-1995 гг коллективом под руководством Борового В.Я. исследован теплообмен на модели цилиндра с углами скольжения от %=0 до %=75° при ^^ числах Маха 6 , 8 и 15.5 . Тепловой поток измерялся с помощью ^Р термоиндикаторных покрытий и дискретными датчиками, установленными вдоль линии растекания цилиндра. Некоторые результаты, полученные Боровым В.Я. (с коллегами) в аэродинамической трубе при М=6 11е=7.9х105 приведены на рис. 4.1. Последовательность фотографий лобовой поверхности модели цилиндра, покрытой термоиндикатором плавления, демонстрирует, как в начале проявляются узкие линии пиковых значений теплового потока q/q0=1.76, которые расширяются со временем обратно пропорционально местному тепловому потоку. Интересно, что подобные вихревые структуры регистрируются не всегда. Авторы высказывают предположение, что

периодическая структура теплового потока может определяться вихрями Гертлера или быть вызвана неоднородностью набегающего потока.

t=0

t=l ms, q/q0= 1.76

t=2 ms, q/q„=1.25

t=3 ms, q/q0=l

t=4 ms, q/qo=0.8

t=6 ms, q/qo=0.72

Рис.4.1 Динамика плавления термоиндикатора и тепловой поток на лобовой поверхности цилиндра. Эксперимент при М=6 , ЬЯ1=5.7 ,11е=7.9х 105.

В 2003 году коллективом Боровой В .Я, Дроздов С.М. Струминская И.В., Ларин Н.Б. выполнено экспериментальное исследование распределения теплового потока на лобовой поверхности цилиндра в гиперзвуковом потоке. Испытания проведены в ударной трубе ЦАГИ УТ-1М при числе М=6.1 в диапазоне чисел Re„ =[0.49 - 3.3]-105 с моделью цилиндра (радиус R=15mm.), оснащенной 85 датчиками теплового потока, установленными на линии 'растекания с высоким пространственным разрешением (1мм). Исследования показали, что на лобовой поверхности цилиндра образуется стационарная картина пространственных колебаний теплового потока с амплитудой до ±20% от средней величины и характерным периодом примерно равным радиусу цилиндра /.=R. Некоторые результаты этих испытаний представлены на рис.4.2 в виде зависимости от координаты z/R (z направлена вдоль линии растекания) величины теплового потока отнесенной к q0. Наиболее интенсивная и ярко выраженная волновая картина распределения теплового потока имеет место при средних числах Re„ —1.7-105.

Рис. 4.2 . Распределение теплового потока Q=q/q0 на передней линии растекания цилиндра. Эксперимент при М«=6.1 , Re„ »1.7-105

Если кратко обобщить экспериментальные результаты, то можно утверждать, что в широком диапазоне сверхзвуковых и гиперзвуковых режимов поперечного обтекания цилиндра, при достаточно больших числах Re, картина линий тока и распределение теплового потока существенно не однородны вдоль лобовой линии растекания. То есть плоская (двумерная) мода течения либо не реализуется, либо искажена пространственными возмущениями, которые значительно усиливаются при обтекании цилиндра.

В разделе 4.2 рассмотрены основные механизмы образования вихревых структур на лобовой поверхности цилиндра: I - внешнее возбуждение вихревых структур, вызванное пространственной неоднородностью набегающего потока, или граничных условий на обтекаемом теле, II - внутреннее возбуждение вихревых структур, обусловленное развитием поперечной неустойчивости потока в области передней критической точки, III - самогенерация периодических по размаху вихревых структур при однородных внешних условиях, вызванная сильным взаимодействием ударной волны с вихревым течением в ударном слое.

Механизм-I представляет собой известный эффект деформации и значительного усиления малых вихревых возмущений при обтекании затупленной поверхности. В диссертации его исследование основано на решении задачи восприимчивости, с тем отличием, что рассматривается вся

область течения (а не только пограничный слой) и ищутся установившиеся нелинейные вихревые структуры.

В большинстве известных работ механизм образования пространственных вихревых структур на лобовой поверхности цилиндра связывают с каким либо видом неустойчивости плоской моды обтекания (т.е. с механизмом-Н). Например, в пограничном слое, вниз по потоку от линии растекания может развиться неустойчивость Гертлера. Однако, при сверхзвуковых и гиперзвуковых скоростях, у такого теоретического объяснения имеются явные трудности. Прежде всего, это большой размер (период) вихрей в поперечном направлении (порядка 2-3 толщин ударного слоя). Кроме того при Мо»1 неустойчивость Гертлера имеет место только в сравнительно малой окрестности передней точки торможения.

Механизм-Ш предложен автором и основан на сильном взаимодействии вихревых структур с головной ударной волной, приводящем к периодическому искривлению ее формы, что в свою очередь, служит энергетической подпиткой для вихрей.

В разделе 4.3 излагается и обосновывается теоретическая база нового подхода к рассмотрению проблемы вихреобразования при гиперзвуковом обтекании затупленных тел. С целью обоснования предложенного механизма-III, автором разработан и программно реализован расчетно-теоретический метод исследования течения вблизи лобовой поверхности тела с цилиндрическим затуплением. Метод основан на трехмерных уравнениях Навье-Стокса, при использовании некоторых упрощающих предположений, характерных для гиперзвуковых течений: толщина ударного слоя 5 мала по сравнению с радиусом затупления тела Л, форма отошедшей ударной волны близка к форме лобовой поверхности тела, отношение удельных теплоемкостей газа у близко к 1, плотность газа р^сог^ за ударной волной в малом секторе в окрестности плоскости симметрии цилиндра (плоскость проходящая через ось цилиндра параллельно вектору скорости набегающего потока). В цилиндрической системе координат (г,ср,г) с центром на оси цилиндра г, рассматривается гиперзвуковое поперечное обтекание цилиндрического тела с характерным радиусом затупления лобовой поверхности Я. Предположим, что в некотором диапазоне параметров (М„»1 , 11ем»1), вблизи лобовой поверхности цилиндра установилось стационарное вихревое течение, периодическое вдоль оси цилиндра. Пусть профиль сечения ударной волны плоскостью растекания описывается функцией Л^г) - радиус отошедшей волны (рис.4.3). Тогда местный угол (3 между направлением набегающего потока и нормалью к поверхности волны будет определяться выражением:

tgФ) = -ГI (4.3.1)

аг

Мао»!

Рис.4.3. Структура вихревого потока на плоскости растекания между ударной волной (1) и передней кромкой затупленного тела (2): расчет при йе=5000 Д=0.34Я и Ср/Су=1.2.

Суть новой гипотезы генерации вихревых струьоур такова: Из граничных условий Рэнкина-Гюгонио следует, что при М«»1 и у<1.4 в лобовой области цилиндра, нормальная к ударной волне компонента вектора скорости набегающего потока уменьшается почти на порядок, а касательная компонента сохраняется. В результате, после прохождения ударной волны, поток приобретает сильную завихренность даже при небольшом искажении формы волны (рис.4.3). Кроме того, величина модуля скорости на линии тока, прошедшей через искривленную часть скачка, будет существенно превышать модуль скорости на линии тока прошедшей через скачок нормально. Если вязкая диссипация мала (Ке„о»1), то поток, взаимодействуя со стенкой, способен развернуться против набегающего течения и оттеснить ударную волну дальше от тела. При этом возникает вторая точка полного торможения между телом и скачком. В результате может установиться сбалансированное состояние, когда искривленная волна производит вихревое течение, а вихрь, сохраняясь при слабой диссипации, воздействует на волну, поддерживая ее искривленную форму. Энергетическая подпитка такой вихревой системы осуществляется из-за разности потерь импульса (полного давления) у частиц газа, прошедших через скачок нормально и под некоторым, пусть даже небольшим, углом Р к нормали.

Проверим реализуемость данной гипотезы с помощью численного моделирования. Обезразмерим координаты (г,г) по величине Я, а радиальную v , азимутальную V/, и осевую и компоненты скорости по величине скорости набегающего потока Ут . Плотность и давление представим в виде:

— = тЧт = —<<1; Р = Рюр8уМ^Р(г,ф,2) (4.3.2)

Р (У+1) Р5

Если дополнительно предположить, что в малой окрестности линии растекания вязкость постоянна и равна некоторой средней вязкости (например - вязкости при температуре за скачком Т5 или температуре торможения То ) , то система уравнений для течения газа в ударном слое примет следующий вид

Эу v/ Зу ду лу2 ЭР 1 г„2 v 2 Э\уп

V — +--+ и---=--+ — [V v- — -——]

Эг г Эф Эг г Эг Яе г г Эф

Э\у \у д\н Э\у у\у 1 ЭР 1 г_2 у/ 2 Эу.,

V — +--+ и — + — =---+ —[V \у —— н—~—]

Эг г Эф дг г г Эф Яе г г Эф (4-3.3)

Эи Эи ди ЭР 1 _2

у— +--+ и — =--+ —V и

Эг г Эф Эг Эг Яе

Э(гу) Э(ги) Эw Л ——+ ——- + — = О Эг Эг Эф

, д2 1 д 1 д2 д2

Где V = —- +--+ —--г- + —-, Яе - число Реинольдса,

Эг2 г Эг г2 Эф2 дг2

вычисленное по скорости набегающего потока и параметрам течения за ударной волной (в отличие от Яе„ , которое определяется по параметрам набегающего потока).

Ке^РзРсоЧД (434)

На поверхности цилиндра ставятся условия :

г = 1 : и = V = =0. (4.3.5)

При Яе»1 за ударной волной, которая в общем случае, тоже имеет волнообразную форму Яг(г), выполняются условия Рэнкина-Гюгонио. В принятом предположении о совпадении формы ударной волны с формой лобовой поверхности тела, они принимают следующий безразмерный вид:

dR2 ч . dR, dR2 ps(v-u—-) = -созф ; зшф = ш u + v—- = -созф—-

dz dz dz

psP(l + r

dR, cos2 ф

—1 ) +-- = cos2 Ф (4.3.6)

dz

Система (4.3.3) с граничными условиями (4.3.5), (4.3.6) может рассматриваться только в окрестности плоскости растекания ф«1. Причем из условий симметрии относительно этой плоскости, следует вид функциональной зависимости решений по углу ф:

у(г,ф,2)=У(г,2)+...+о(ф2к) ; \у(г,ф,г)=ф\У(г,г)+...+о(ф2к+') (4.3.7)

и(г,Ф,2)=и(г,г)+.. ,+о(ф2к) ; Р(г,Ф,г)=Р(г,г)+ ф2<2(г,г)+.. .+о(<р2к+2)

Сохраняя в (4.3.3) члены главных порядков по ф получим:

„ЗУ 1ТЭУ ЭР 1 ГАЛГ V +

V— + и — =--+ —[ДУ--;—]

8т дг дт Яе г

+ + + (4.3.8)

дт дг т г Яе г2

„эи ттэи ЭР 1 лтт V— + и— = — + —ли

дт дг дг Яе

Э(гУ) Э(гЦ) „, л д Э2. 1 Э дг

——- + ——¿+\у = 0 ; А = —— +--+ —-

Эг дг дт2 т дт дг2

Заметим, что в представлении давления (4.3.7) необходимо сохранить член с ф2. Иначе исчезает производная давления по ф, а с ней и причина, заставляющая газ растекаться по лобовой поверхности тела. Граничные условия на поверхности тела:

г=1 : и=У=\У=0 (4.3.9)

От гиперзвуковой природы исходного течения сжимаемого газа остаются только граничные условия за ударной волной г = К2(г):

р (у_и^1) = -1; = 1 ; = (4.3.10)

dz dz dz

Г«»,?. Р.-1 . (¿К *

^2

dz

Изложенная выше модель течения (4.3.8) - (4.3.10) является квазитрехмерной, но в ней сохраняется возможность для описания сильного взаимодействия течения в ударном слое с головной волной - необходимого условия генерации вихревых структур. Такая модель заметно проще трехмерной системы Навье-Стокса, решение которой при больших числах Рейнольдса Ле>104 представляет серьезную проблему, как с точки зрения математической корректности применяемых численных алгоритмов, так и с точки зрения достаточного пространственного разрешения сетки.

Для того, чтобы ограничить область интегрирования (4.3.3) ударной волной и поверхностью цилиндра введем новые переменные:

^ = 'П= гп п; -°°<4<«> 0<Т1 < 1 (4.3.11)

Пусть течение в окрестности плоскости растекания на лобовой поверхности цилиндра периодическое по z с некоторым периодом X=2n/s. Тогда радиус ударной волны и ее отход от тела тоже становятся периодическими функциями z, которые могут быть представлены сходящимися рядами Фурье:

R2fé)= £Bnexp(insÇ); 6fé) = R2(Ç)-l (4.3.12)

П=-оО

Периодические решения (4.3.9) - (4.3.11) тоже могут быть представлены рядами Фурье:

V vn0i)

W = £ wn0i)

Р П=-<» р»(л)

^Q„(rt) J

exp(ins^)

(4.3.13)

ио(г|) = 0

Подстановка (4.3.13) в (4.3.8) дает систему обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд гармоник. Коэффициенты Фурье нелинейных членов представляются в явной аналитической форме. Амплитудная система формально состоит из бесконечного числа блоков, каждый из которых, представляет баланс членов уравнений (4.3.8), соответствующих гармонике с номером п. Нелинейные члены завязывают блоки с различными п между собой. Предполагая достаточно быструю сходимость рядов Фурье, можно во всех рядах априори ограничиться конечным числом членов N»1.

Решение краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов Фурье осуществлялось конечно-разностным методом, в котором аппроксимация производных выполнена по схеме центральных разностей второго порядка точности. Решение нелинейной алгебраической системы конечно-разностных уравнений производилось модифицированным методом Ньютона. Все вычисления выполнялись с двойной точностью. Правильность расчетов проверялась по быстрой сходимости итераций в методе Ньютона, быстрой сходимости результатов при увеличении числа гармоник в рядах Фурье (4.3.13) и пренебрежимо малой погрешности интегрального баланса сил и моментов, действующих на один период течения. Основной объем расчетов произведен при следующем пространственном разрешении: число гармоник на один период N=30, число узлов сетки по радиальной координате т^ - 201.

Результаты численных исследований показали, что при однородном поле набегающего потока, в окрестности плоскости растекания перед цилиндром постоянного радиуса г=1, из однородного по оси ъ начального приближения

формируется только однородное по z течение, в котором все гармоники (4.3.13), кроме нулевых (п=0), тождественно равны нулю. Нулевые гармоники и величина отхода ударной волны тождественны решениям двумерного варианта системы (4.3.8). Этот факт естественен, поскольку плоское решение является первой ветвью решений пространственной задачи. Суть проблемы состоит в том, чтобы найти пространственную ветвь или доказать, что она не существует. На новую ветвь можно выйти при решении эволюционной задачи, стартуя с неоднородного поля начального приближения. В первой серии расчетов задавался поток с ±1% пилообразными пространственными колебаниями скорости V«,. Расчеты показали, что величины возмущений скорости в ударном слое на лобовой поверхности цилиндра существенно возрастают и появляется пространственная картина линий тока. Однако устранение внешних ' возмущений возвращает течение на плоскую ветвь. И только при начальное поле возмущений трансформируется в систему стационарных^^ периодических вихрей, которые не исчезают после снятия возмущений граничных условий набегающего потока. На рис.4.3 показана структура течения в плоскости симметрии перед цилиндром (r,z). Расчеты выполнены для у= 1.2, Re = 5000, 1=0.34 . Видно, что один период течения состоит из двух спаренных вихрей с противоположными скоростями вращения большой интенсивности. Как и предполагалось, ударная волна приняла искривленную по z форму, поток за ней приобрел завихренность, а вектор скорости между центрами вихрей направлен против набегающего потока. Вихревое течение интенсифицирует процесс передачи тепла от потока к стенке цилиндра, поэтому периодической структуре линий тока будет соответствовать периодическое изменение теплового потока на стенке. Однако в рамках данной модели уравнение энергии не используется и нельзя получить величину теплового потока на стенке. Расчеты, проведенные в диапазоне параметров Re=[500 - 8х104] , у= [1.1 - 1.4], Х=[0.3 - 1] показывают, что пространственно-периодическая мода гиперзвукового обтекания цилиндра действительно существует при однородном набегающем потоке и однородных граничных условиях. Таким образом подтвержден физический механизм генерации вихревых структур на лобовой поверхности затупленного тела, когда искривленная ударная волна производит вихревое течение, а вихрь, сохраняясь при слабой диссипации, воздействует на волну, поддерживая ее искривленную™ форму. Однако построенная модель течения содержит ряд допущений, которые снижают точность полученных результатов. Поэтому требуется дополнительная проверка реализуемости обнаруженного явления с помощью независимого вычислительного средства.

Основная задача раздела 4.4 - получить независимое подтверждение существования вихревой пространственно-периодической моды гиперзвукового обтекания цилиндра с помощью широко известного программного комплекса FLUENT. В настоящей работе пакет FLUENT использовался для Зх-мерного моделирования течения совершенного, вязкого и теплопроводного газа около лобовой поверхности цилиндра. Расчетная область

показана на рис.4.4, сетка содержит около 600000 ячеек правильной шестигранной формы. На передней границе области расчета заданы условия невозмущенного потока Мж , Р№ Тю, а на выходной поверхности - не отражающие граничные условия. На цилиндре заданы условия прилипания и температура стенки Т\у, причем сетка имеет 10 дополнительных рядов ячеек для разрешения пограничного слоя. На горизонтальной плоскости симметрии у=0 заданы условия симметрии. В поперечном направлении г область ограничена плоскостями г=0 и г=Х/2 , где заданы условия симметричного продолжения. Длинна волны выбрана из экспериментальных наблюдений (А,=1.07). В первую очередь была получена плоская мода гиперзвукового обтекания цилиндра и проведено ее сравнение с результатами других авторов, которое показало хорошее совпадение. Вихревая мода течения была инициирована с помощью такой же процедуры, как примененная выше, в 'расчетио-аналитическом методе. Некоторые результаты, полученные при Мю=6.1 , Иек=3240 , у=1.4 (температурный фактор Т\¥/Т0=0.49), представлены на рис.4.4 - 4.6. Видно, что перед цилиндром присутствует сильная вихревая структура в виде спаренных периодических вихрей. Давление в ядрах вихрей падает более чем в 2 раза, а обратная струя достигает сверхзвуковой скорости М*1.3.

Рис.4.4 Схема расчетной области и поле давления Р/Рб (плоскость г=0) Мя=6.1, Яею=3240 , Яе=2700, у =1,4

, 6.30е-01

6.26е-01 4.20в-01

1.05е-1 О.ООе

передняя кромка цилиндра

тШШт&шшшк............. .........^^

Рис.4.5 Схема расчетной области и поле давления Р/Рб (плоскость у=0) М,=6.] , Яесо=3240 , Яе=2700 , у=1.4

1.05е+00 р/р§ 9.46е-01 8 40е-01 "X

7.35е-01

Моо =6.1 Яе«, =3240

ударная волна

Рис. 4.

1.53еч00

1.Ше+00

В50е-01

6.80е-01

5.10е-[

Цилиндр

3.40е-е

1.70е-01

0.00е+00

Л,=1.07

6. Тепловой поток на цилиндре цЛ},, Ма_=6.

у=1.4 (вид спереди).

, Яею=3240, Яе=2700 ,

Интенсивное вихревое течение увеличивает теплообмен на поверхности цилиндра. Как видно из рис. 4.6, величина пиков теплового потока в 1.7 раза превышает тепловой поток в передней критической точке при плоской (двумерной) моде обтекания, что хорошо согласуется с результатами экспериментов проф. Борового В.Я. (рис. 4.1).

Расчеты проведенные для воздуха (у= 1.4) при Mm=6.1 в диапазоне Re=[ 1 ООО - 4000] показывают, что пространственно-периодическая мода гиперзвукового обтекания цилиндра существует при Re>2000 в однородном набегающем потоке и однородных граничных условиях. Вихревая мода обтекания цилиндра получена также и при большой гиперзвуковой скорости Мш=12 для газа с эффективным показателем адиабаты у= 1.19 (условия приблизительно соответствующие натурному обтеканию на больших высотах и параметрам аэродинамических труб ЦАГИ Т-117 и ИТ-2М). В этом случае 'пики теплового потока в 3-4 раза превышают тепловой поток в передней критической точке при плоской моде обтекания.

Заключение

Представленные результаты теоретических, численных и экспериментальных исследований позволяют сделать вывод, что достигнута главная цель диссертационной работы - определение физических механизмов возникновения и поддержания пространственно упорядоченных вихревых структур и исследование их свойств, применительно к рассмотренным актуальным проблемам течения жидкостей и газов.

А именно:

• На примере модифицированного течения Тейлора, впервые обнаружено новое гидродинамического явление - бифуркация потери симметрии периодических вихревых структур с возникновением самоиндуцированного осевого градиента давления. Дано расчетно-теоретическое объяснение и экспериментальное доказательство существования этого явления.

• На основе результатов исследований модифицированного течения ^^ Тейлора, предложена и оформлена в виде устройства новая концепция ^^смесителя для промышленного приготовления суспензий и эмульсий, согласно

которой процесс смешивания компонент многофазной среды осуществляется в периодической системе тороидальных вихревых структур, возбуждаемых в несущей жидкости при вращении ротора установки.

• На примере стационарного течения жидкости в слое, бесконечно протяженном по координате х и ограниченном по координате у криволинейными поверхностями квазипериодической формы, впервые найдены квазипериодические решения двумерных уравнений Навье-Стокса. Исследованы свойства квазипериодических решений, их спектров, интегральных характеристик и интенсивность вихревого течения в зависимости от числа Рейнольдса и геометрических параметров задачи. Выдвинута идея

применения квазипериодических решений уравнений Навье-Стокса в качестве модели течения жидкой среды в тонких слоях со сложной геометрией границ и пористых структурах.

• Разработанный метод поиска и исследования квазипериодических решений уравнений Навье-Стокса применен к задаче о конвекции жидкости в плоском горизонтальном слое и впервые получены стационарные квазипериодические решения двумерных уравнений конвекции, индуцированные квазипериодическим распределением температур на границах слоя. Исследованы свойства квазипериодических конвекционных структур, их спектров и интегральных характеристик в зависимости от числа Рейнольдса и вида граничных условий задачи.

• Предложен и подтвержден расчетами новый механизм формирования ' пространственно периодических вихревых структур на лобовой поверхности» тел с цилиндрическим затуплением при их поперечном гиперзвуковомИ обтекании, когда искривленная ударная волна производит вихревое течение, а вихрь, сохраняясь при слабой диссипации, воздействует на волну, поддерживая ее искривленную форму. Показано, что пространственно-периодическая мода гиперзвукового обтекания цилиндра действительно существует . при однородном набегающем потоке и однородных граничных условиях на цилиндре. Установлено, что обнаруженные периодические решения не являются вихрями Гертлера и не связаны с потерей устойчивости плоской моды обтекания цилиндра.

• С помощью широко известного программного комплекса FLUENT получено независимое подтверждение существования вихревой пространственно-периодической моды гиперзвукового обтекания цилиндра. Определены условия ее возникновения, основные характеристики и главное -на лобовой поверхности получены периодические пики теплового потока, которые значительно превышают тепловой поток в передней критической точке при плоской моде обтекания. Такой уровень теплового нагружения, представляет серьезную опасность для теплозащиты гиперзвуковых летательных аппаратов.

Список публикаций автора по теме диссертации в рецензируемых

изданиях

1. Дроздов С.М. Теоретическое и экспериментальное исследование конвекции вязкой и теплопроводной жидкости в замкнутом канале. Ученые записки ЦАГИ. 1993, том 3, № 6.

2. Дроздов С.М. Хаотические и периодические решения задачи о конвекции вязкой и теплопроводной жидкости в замкнутом канале. Известия АН СССР. МЖГ, 1993, №6.

3. Дроздов С.М. Экспериментальное исследование конвекции жидкости в замкнутом тороидальном канале. Известия РАН, МЖГ 1995, N 4, стр. 20-28.

4. Дроздов С.М. Моделирование возникновения нестационарности и хаоса в гидродинамической системе, управляемой небольшим числом степеней свободы. Известия РАН, МЖГ, No 1, pp. 31-45,2001.

5. Drozdov, S. M., "A Numerical Investigation of a Modified Couette-Taylor Apparatus with Application to Industrial Mixing": Springer. Theoret. and Comput. Fluid Dynamics, 2002,v 16 (1), P. 17-28.

6. Дроздов С.М. Патент №2186615 Россия, "Роторный смеситель для жидких сред", МПК В01 F7/00 / Заявл. 24.07.2001; Опубл. 10.08.2002, Бюл. № 22.

7. Skali-Lami S„ Drozdov S., Rafique M. An asymmetrical periodic vortical structures and appearance of the self-induced pressure gradient in the modified Taylor flow. // Springer. Theoret. and Comput. Fluid Dynamics, 2004, v. 18, N 2-4 , P. 137-150.).

8. Дроздов С. M. Бифуркация возникновения асимметричных периодических структур и самоиндуцированного градиента давления в модифицированном течении Тейлора. Известия РАН, МЖГ, №3, pp. 44-59, 2004.

9. Дроздов С. М. Квазипериодические решения уравнений Навье-Стокса, индуцированные квазипериодической формой границ двумерной области течения.//Изв. РАН. МЖГ. 2008. №2. с. 70-82.

10. Дроздов С. М. Квазипериодические структуры в задаче о конвекции жидкости между горизонтальными плоскостями. Изв. РАН. МЖГ, 2009. № 2, с. 33-45.

11. Дроздов С. М. Генерация вихревых структур на лобовой поверхности цилиндра, поперечно обтекаемого гиперзвуковым потоком // Изв. РАН. МЖГ. 2006. №6.

Введение.

Глава 1. Периодические вихревые структуры в модифицированном течении Тейлора.

1.1 Экспериментальная установка, методы и средства экспериментальных исследований.

1.2 Математическая модель и метод численного решения задачи.

1.3. Анализ результатов исследований.

1.3.1 Симметричные стационарные вихревые структуры.

1.3.2 Асимметричные стационарные вихревые структуры.

1.4 Анализ бифуркации возникновения асимметричных периодических структур и самоиндуцированного градиента давления в модифицированном течении Тейлора.

1.5 Применение модифицированного течения Тейлора в промышленных установках для смешивания, суспензирования и эмульгирования.

1.5.1 Основные результаты численных исследований новой концепции смесительного устройства для приготовления суспензий и эмульсий в промышленности.

1.5.2 Конструктивное оформление новой концепции смесительного устройства для приготовления суспензий и эмульсий в промышленности.

Выводы по главе-1.

Глава-2 Квазипериодические вихревые структуры в задаче о конвекции жидкости между горизонтальными плоскостями.

2.1 Постановка задани и математическая модель течения.

2.2 Стационарные периодические режимы конвекции

2.3 Стационарные квазипериодические режимы конвекции . 95 Выводы по главе-2.

Глава-3 Квазипериодическое течение жидкости индуцированное квазипериодической формой границ двумерного слоя.

3.1 Постановка задачи и математическая модель течения.

3.2 Периодическое течение в канале периодической формы.

3.3 Квазипериодическое течение в канале квазипериодической формы. 122 Выводы по главе-3.

Глава-4 Периодические вихревые структуры на лобовой поверхности цилиндра, поперечно обтекаемого гиперзвуковым потоком.

4.1 Основные экспериментальные сведения о вихревых структурах при поперечном обтекании цилиндра с большими числами М.

4.2 Основные механизмы вихреобразования.

4.3 Расчетно-теоретический метод поиска и исследования вихревых структур.

4.4 Прямое численное моделирование вихревых структур при поперечном обтекании цилиндра гиперзвуковым потоком.

4.4.1 Краткое описание пакета программ FLUENT.

4.4.2 Результаты расчетов двумерного обтекания цилиндра при

4.4.3 Результаты расчетов трехмерного обтекания цилиндра при

4.4.4 Результаты расчетов обтекания цилиндра при М=12. 216 Выводы по главе-4.

Вихревое течение - самая распространенная форма движения жидкостей и газов, естественное состояние этого вида сплошной среды. Присутствие устойчивых или метастабильных, стационарных или дрейфующих вихревых образований следует считать характерной чертой любого потока.

Разумеется существуют и безвихревые моды течения, которые изучены достаточно хорошо, так как легче поддаются расчетно-теоретическому исследованию [см. например 1-5]. Но в большинстве практически важных случаев безвихревые моды течения- не реализуются по причине неустойчивости, либо просто не могут существовать без специально созданных физических условий или наложенных предположений (например — отсутствие вязкости).

Вихревая тематика, так или иначе, присутствует в работах всех классиков аэрогидромеханики (см., например, [1-8]). Судя по значительному количеству публикаций (см., например, [9-21]), внимание к исследованию вихревых образований в жидкостях, газах и плазме не ослабевает и в настоящее время. Но, несмотря на успехи в решении ряда частных проблем (пограничный слой, отрывные течения, теория устойчивости и бифуркаций отдельных случаев глобальных течений, динамика вихревых структур), многие фундаментальные проблемы аэрогидромеханики еще далеки от полного решения. Сказанное целиком относится и к проблеме возникновения и поддержания вихревых течений в жидкостях и газах. Даже колоссальный прогресс компьютерной техники вместе с очевидными достижениями вычислительной аэрогидромеханики позволяет строго моделировать лишь "бурю в стакане воды".

Таким образом актуальность выбора вихревых течений в качестве объекта исследований диссертации очевидна.

Как правило, вихревое течение неразрывно связано с вязкостью жидкой или газообразной среды. Наличие вязкости является необходимым условием существования касательных напряжений в жидкой (газообразной) среде, а касательные напряжения порождают завихренность. При стационарном течении невязкой несжимаемой жидкости в поле консервативных сил происхождение завихренности неизвестно, так как уравнения и граничные условия допускают бесконечное множество решений с любыми величинами завихрености из некоторого интервала. Для выделения единственного решения требуется дополнительное условие (например - условие Жуковского на задней кромке профиля), которое нельзя обосновать, без привлечения вязких эффектов. В сверхзвуковом невязком течении, завихренность появляется при прохождении газа через искривленную ударную волну. Однако это не снимает неопределенности общей задачи невязкого обтекания — там, где появляются замкнутые на себя линии тока, завихренность не определена.

И только в вязком течении имеется естественная причина генерации завихренности касательными силами, которые замыкаются* на поверхности обтекаемого тела или передаются- на бесконечность. При этом, как правило, устраняется локальная неединственность задачи стационарного обтекания — распределение завихренности получается в, рамках решения краевой задачи без привлечения дополнительной информации.

Главной целью диссертации является- определение физических механизмов возникновения и поддержания пространственно упорядоченных вихревых структур и исследование их свойств применительно к нескольким актуальным проблемам течения жидкостей и газов. Поэтому все применяемые методы и математические модели течений, рассмотренные в диссертации, базируются на уравнениях Навье-Стокса с обязательным сохранением вязких членов.

В общем случае уравнения Навье-Стокса — нелинейные, за исключением случая Стоксовых течений (Яе—>0) и узкого набора линейных решений. Таким образом вихревые структуры следует рассматривать как существенно нелинейные объекты. Поэтому во всех математических субмоделях, рассмотренных в диссертации, сохраняются основные нелинейные члены уравнений Навье-Стокса.

Тип течения (Стоксовое, ламинарное, турбулентное) и соотношение между инерционными и вязкими силами в нем характеризуется числом Рейнольдса (Яе) или его эквивалентами — число Тейлора (Та), число Грасгофа (вг) и т.п. В диссертации, главным образом, рассматривается диапазон сравнительно небольших и умеренных чисел 20 < Яе < 8x104 (исключение составляют некоторые экспериментальные режимы гиперзвукового обтекания цилиндра, где при М=6 числа Рейнольдса достигали Яе=3.3х 105). В этом диапазоне происходит большинство качественных перестроек течения. Первичная мода течения, которая при Яе—»0, обычно является единственной, стационарной и имеет сравнительно простую топологию, при некотором критическом числе Яе=Яе* теряет устойчивость с образованием вторичных, как правило, вихревых течений. При умеренных закритических числах Яе* < Яе < 105 развитые вихревые структуры сохраняются в потоке сравнительно долго, а в ряде практически важных случаев они стационарны и устойчивы.

Поэтому актуально ограничить объект исследований диссертации именно устойчивыми или метастабильными течениями с развитыми вихревыми структурами, занимающими неограниченно протяженную область пространства.

По самой своей природе вихревые структуры не могут быть одномерными. Как минимум необходимо рассматривать плоское течение. Дополнительную возможность дает осесимметрический подход, где присутствуют все три компоненты скорости. Наибольший простор для вихреобразования имеется в полной трехмерной постановке задачи. Однако общая постановка задачи исследования трехмерных вихревых течений слишком обширна и для получения практически значимых результатов приходится ограничивать класс изучаемых явлений.

Предметом исследований данной диссертации является группа частных случаев вихревых течений, где в одном из направлений (например z^ геометрия области, граничные условия и все другие внешние факторы либо однородны (не меняются) либо изменяются специальным образом — периодически или квазипериодически. Соответственно рассматривается класс течений, удовлетворяющих такому же принципу построения пространственной структуры - периодичность или квазипериодичность вдоль переменной г.

Очевидно это тоже идеализация физической реальности, где не бывает бесконечно протяженных областей с однородными или специально меняющимися условиями. Однако имеется большое количество важных для практики примеров (часть из них рассмотрена в диссертации), где протяженность области течения в одном из направлений в 10 - 10000 раз превышает характерные размеры по другим направлениям и в- этом направлении внешние условия с высокой точностью однородны. Следовательно, для раскрытия и понимания общих физических механизмов и закономерностей вихреобразования, актуально рассмотреть такой класс течений.

Выбор периодического (или квазипериодического) класса течений с логичностью определяет и выбор математической структуры решений и алгоритмов, где неизвестные функции (скорость, давление, температура и др.) рассматриваются периодическими (квазипериодическими) вдоль однородного направления г. Причем в случае периодических решений неизвестные функции представляются обычными рядами Фурье, с главным периодом равным или кратным главному периоду изменения внешних факторов. Для квазипериодических решений, рассмотренных в главах-2 и 3, неизвестные функции представляются кратными рядами Фурье со спектром Фурье построенном на известном базисе спектра Фурье внешних факторов.

По направлению нормали к твердым поверхностям (или ударной волне), которые ограничивают область течения, используется конечно-разностное представление неизвестных функций. Следовательно применяемые в диссертации методы можно отнести к классу спектрально-конечноразностных.

В силу нелинейности определяющих течение уравнений и поскольку ищутся предельные состояния вихревых структур во времени, ряды Фурье оказываются бесконечными, даже если Фурье-представление геометрии области и других внешних факторов имеет конечный пространственный спектр. Поэтому данный подход может быть плодотворным, только если обеспечено свойство достаточно быстрой сходимости рядов Фурье.

Известно, что решения уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости имеют высокую степень гладкости - не ниже второй в случае разрыва в пространственном распределении- внешних факторов, и бесконечную в случае аналитичности внешних факторов. В силу известных теорем, это гарантирует быструю сходимость рядов Фурье, начиная с некоторого, достаточно большого номера гармоник N»1. Потребное число-гармоник 1чГ, обеспечивающее заданную точность решения, зависит от числа Яе и это ограничивает диапазон чисел Яе доступных для расчетов. На режимах сверх и гиперзвукового обтекания тел сжимаемым газом (глава-4), примененный в диссертации метод расчета* подразумевает выделение ударной волны, а область течения рассматривается только за ударной волной, которая является первой линией расчетной сетки. При таком, подходе изменение течения вдоль периодического направления ъ не имеет разрывов, и ряды Фурье тоже обладают свойством быстрой сходимости.

В случае квазипериодических решений свойство сходимости кратных рядов Фурье доказано лишь для ограниченного класса равномерно непрерывных квазипериодических функций (см. например [3.6]), которые и рассмотрены в главах-2 и 3 диссертации.

Таким образом ключевые положения математических методов, используемых в диссертации, имеют под собой достаточно строгое обоснование.

В диссертации значительное внимание уделено экспериментальному исследованию явлений, составляющих предмет изучения первой и четвертой глав (главы-2 и 3 содержат только расчетно-теоретические результаты). Подробное описание экспериментальных установок, техники и методики проведения испытаний приведено в соответствующих разделах диссертации. Здесь уместно отметить, что именно экспериментальные факты послужили отправной точкой для построения теории механизмов вихреобразования и на основе экспериментальных данных сделаны выводы об адекватности расчетно-теоретических результатов» физической природе изучаемых явлений.

Диссертация состоит из введения; четырех глав, разделенных на параграфы по смыслу изложения материала, заключения и списка литературы. Каждая глава начинается с вводной части, где достаточно подробно излагается предмет исследования, известные до настоящей работы результаты других авторов, определяются цель и методы данного исследования, его место в науке.

Выводы по главе-4

4.1 Предложен и обоснован расчетами новый механизм (III) формирования пространственно периодических структур на лобовой поверхности тел с цилиндрическим затуплением при поперечном гиперзвуковом обтекании, согласно которому искривленная ударная волна производит вихревое течение, а вихрь, сохраняясь при слабой диссипации, воздействует на волну, поддерживая ее искривленную форму. Энергетическая подпитка такой вихревой системы осуществляется из-за разности потерь импульса (полного давления) у частиц газа, прошедших через скачок нормально и под некоторым, пусть даже небольшим, углом Р к нормали.

4.2 Проведена проверка реализуемости нового механизма вихреобразования с помощью имеющихся экспериментальных данных и двух независимых математических подходов - упрощенной расчетно-теоретической модели и прямым численным моделированием с помощью пакета программ "FLUENT". Подтверждено, что в условиях однородного набегающего гиперзвукового потока, имеются две моды стационарного обтекания передней части цилиндра - плоская мода и пространственная мода с периодическими по размаху вихревыми структурами.

4.3 Установлено, что малые возмущения набегающего потока (менее 1% по числу М), наложенные на плоскую моду обтекания, значительно усиливаются и приводят к искажению поверхностных линий тока и появлению существенных (до 15-25%) колебаний теплового потока на лобовой поверхности цилиндра.

4.4 При уровне 8М « 2%Моо периодического возмущения набегающего потока происходит переход от плоской к вихревой моде обтекания, когда между ударной волной и цилиндром возникает периодическая по размаху система спаренных вихрей с характерным размером X«2 - 3 толщины ударного слоя (для воздуха X и R).

4.5 После возникновения развитых вихревых структур устранение внешних возмущений не возвращает течение в плоскую моду, а вихревая мода обтекания сохраняет устойчивое существование. Такое состояние можно назвать самогенерацией вихревых структур, поскольку для их поддержания никакие внешние факторы больше не требуются.

4.6 Вихревая мода кардинально отличается от плоской. Ударная волна принимает искривленную форму в плоскости растекания, в распределениях статического давления и плотности появляются глубокие провалы (в 2 - 3 раза), соответствующие ядрам вихрей и области их соприкосновения, там же наблюдается падение статической и полной температуры, а на периферии вихрей и в обратной струе достигаются сверхзвуковые скорости движения.

4.7 Присутствие мощных вихрей в ударном слое интенсифицирует теплообмен и на стенке цилиндра появляются периодические пики теплового потока, значительно превышающие тепловой поток в передней критической точке, полученный для плоской моды обтекания (при М=6.1 у=1.4 - в 1.7 раза, при М=12, у=1.2 - в 3.8 раза). Такой уровень теплового нагружения, представляет большую опасность для теплозащиты гиперзвуковых летательных аппаратов.

4.8 Численным моделированием установлено, что при М^бЛ вихревая мода обтекания цилиндра существует начиная примерно с числа Яеод = 2400 и вплоть до максимального исследованного числа Ке«, = 3974 она устойчива (по крайней мере для возмущений не разрушающих периодичность по г и симметрию относительно горизонтальной плоскости у = 0). Ниже Ле^ « 2400 вихревая мода без внешнего возбуждения угасает. При Моо=12 , у=1.2 вихревая мода обтекания цилиндра существует начиная с Яео«200 (Яе^« 1500) и устойчива примерно до Кео«470 (Ке^ « 3600).

Заключение

Представленные результаты теоретических, численных и экспериментальных исследований позволяют сделать вывод, что достигнута главная цель диссертационной работы - определение физических механизмов возникновения и поддержания пространственно упорядоченных вихревых структур и исследование их свойств, применительно к рассмотренным актуальным проблемам течений жидкостей и газов. А именно:

• На примере модифицированного течения Тейлора, впервые обнаружено новое гидродинамического явление - бифуркация потери симметрии периодических вихревых структур с возникновением самоиндуцированного осевого градиента давления. Дано расчетно-теоретическое объяснение и экспериментальное доказательство существования этого явления.

• На основе результатов исследований модифицированного течения Тейлора, предложена и оформлена в виде устройства новая концепция смесителя для промышленного приготовления суспензий и эмульсий, согласно которой ротор и корпус устройства имеют волнообразную осесимметричную форму, а процесс смешивания компонент многофазной среды осуществляется в периодической системе тороидальных вихревых структур, возбуждаемых в несущей жидкости при вращении ротора установки.

• На примере стационарного течения жидкости в слое, бесконечно протяженном по координате х и ограниченном по координате у криволинейными поверхностями квазипериодической формы, впервые найдены квазипериодические решения двумерных уравнений Навье-Стокса. Исследованы свойства квазипериодических решений, их спектров, интегральных характеристик и интенсивность вихревого течения в зависимости от числа Рейнольдса и геометрических параметров задачи. Выдвинута идея применения квазипериодических решений уравнений Навье

Стокса в качестве модели течения жидкой среды в тонких слоях со сложной геометрией границ и пористых структурах.

• Разработанный метод поиска и исследования квазипериодических решений уравнений Навье-Стокса применен к задаче о конвекции жидкости в плоском горизонтальном слое и впервые получены стационарные квазипериодические решения двумерных уравнений конвекции, индуцированные квазипериодическим распределением температур на границах слоя. Исследованы свойства квазипериодических конвекционных структур, их спектров и интегральных характеристик в зависимости от числа Рейнольдса и вида граничных условий задачи.

• Предложен и подтвержден расчетами новый механизм формирования пространственно периодических вихревых структур на лобовой поверхности тел с цилиндрическим затуплением при их поперечном гиперзвуковом обтекании, когда искривленная ударная волна производит вихревое течение, а вихрь, сохраняясь при слабой диссипации, воздействует на волну, поддерживая ее искривленную форму. Показано, что пространственно-периодическая мода гиперзвукового обтекания цилиндра действительно существует при однородном набегающем потоке и однородных граничных условиях на цилиндре. Установлено, что обнаруженные периодические решения не являются вихрями Гертлера и не связаны с потерей устойчивости плоской моды обтекания цилиндра.

• С помощью широко известного программного комплекса FLUENT получено независимое подтверждение существования вихревой пространственно-периодической моды гиперзвукового обтекания цилиндра. Определены условия ее возникновения, основные характеристики и главное -на лобовой поверхности получены периодические пики теплового потока, которые значительно (1.7 - 4 раза) превышают тепловой поток в передней критической точке при плоской моде обтекания. Такой уровень теплового нагружения, представляет серьезную опасность для теплозащиты гиперзвуковых летательных аппаратов.

1. Бетчелор Дж. К. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1976.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

3. ШлихтингГ. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1969

4. Кочин Н.Е., Кебель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Т.1,2. М.: Физматгиз, 1963.

5. Седое Л. И. Механика сплошной среды, т.1-2, 4 изд. — М., 1983-84;

6. Джозеф Д. Устойчивость движения жидкости. М.: Мир. 1981. 638 с.

7. Голъдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосибирск: Наука. 1977. 366 С.

8. Монин A.C., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. Т. 1. С.Петербург: Гидрометеоиздат, 1992.

9. Жигулев В.Н., Тумин A.M. Возникновение турбулентности. Новосибирск: Наука, 1987. 279 С.

10. O.A. Б. Ватаэюин, Г. А. Любимов, С. А. Регирер.

11. Магнитогидродинамические течения в каналах. М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1970. 672 с.

12. М.Должанский Ф.В., КрымовВ.А., Манин Д.Ю. Устойчивость и вихревые структуры квазидвумерных сдвиговых течений // Успехи физических наук. 1990. Т. 160. N7. С. 1-47.

13. Новиков Е.А., Седов Ю.Б. Стохастические свойства системы четырех вихрей // ЖЭТФ. 1978. Т. 75. N 3(9). С.868-876.

14. Сущик М.М. Динамика когерентных структур в сдвиговых течениях. В кн. Нелинейные волны. Структуры и бифуркации. (Ред. A.B. Гапонов-Грехов, М.И. Рабинович). М.: Наука, 1987. С. 104-132.

15. Бетяев С.К., Гайфулин A.M. Спиральные вихри.// Издательский отдел ЦАГИ, 2001.

16. Воеводин A.B., Гайфуллин A.M., Захаров С.Б., Судаков Г.Г. "Зональный метод расчета следа за летательным аппаратом". Специализированный сборник трудов ЦАГИ, 1996, стр.54-65 .

17. Исаев С.А., Судаков А.Г., Баранов П.А., Пригородов Ю. С. Эффект суперциркуляции при обтекании толстого профиля с вихревыми ячейками // Докл. РАН. 2001. - Т. 377, № 2. - С. 198- 200.

18. Исаев С.А., Пригородов Ю. С., Судаков А.Г., Фролов Д.П. Численное моделирование влияния вязкости на турбулентное обтекание толстого профиля с вихревыми ячейками // Инженерно-физический журнал. -2002. Т. 75, № 6. - С. 100- 103.

19. Управление обтеканием тел с вихревыми ячейками в приложении к летательным аппаратам интегральной компоновки / Под ред. A.B. Ермишина и С.А. Исаева. М.: МГУ, 2003. - 360 с.

20. ЮдовичВ.И. Периодические движения вязкой несжимаемой жидкости// Докл. АНСССР, 1960.Т. 1 ЗО.Вып.б.С. 1214-1217.

21. Юдович В.И. Вторичные течения и неустойчивость жидкости между вращающимися цилиндрами //ПММ, 1966. Т.30. Вып.4. С.688-698.

22. Ревина С. В., Юдович В. И. Возникновение автоколебаний при потере устойчивости пространственно-периодических трехмерных теченийвязкой жидкости относительно длинноволновых возмущений // Изв. АН. МЖГ, 2001 № 2. 29-41

23. Никитин Н. В. Численное исследование ламинарно-турбулентного перехода в круглой трубе под действием периодических входных возмущений // Изв. РАН. МЖГ. 2001. № 2. С. 42-55.

24. Никитин Н. В., Чернышенко С. И. О природе организованных структур в турбулентных пристенных течениях // Изв. РАН. МЖГ. 1997. № 1.1. С. 24-30.1. Глава 1.

25. ЛойцянскийЛ. Г. Механика жидкости и газа.//М. Наука, 1987.

26. Taylor, G. /.„ "Stability of a viscous liquid contained between two rotating cylinders": Phil. Trans. R. Soc. London, Series A223, (1923).

27. Chandrasekhar, S., "Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability": New York, Dover Publications, Inc. (1981).

28. Drozdov, S. М, "A Numerical Investigation of a Modified Couette-Taylor Apparatus with Application to Industrial Mixing": Theoretical and Computational Fluid Dynamics, 2002, 16 (1), 17-28.

29. Дроздов C.M. Патент № 2186615 Россия, "Роторный смеситель для жидких сред", МПК В01 F7/00 / Заявл. 24.07.2001; Опубл. 10.08.2002, Бюл. № 22.

30. Iooss, G., and P. Chossat, "The Couette-Taylor Problem": Springer Verlag. Applied Maths Sciences, v. 102, 1994.

31. Noui-Mehidi, M Ж, and М. Wimmer, "Free surface effects on the flow between conical cylinders": Acta Mechanica, 135. 1999.

32. Беляев Ю.Н., Монахов А.А., Яворская И.М. Устойчивость сферического течения Куэтта в толстых слоях при вращении внутренней сферы. Известия АН СССР, МЖГ, №2, pp. 9-15, 1978.

33. Беляев Ю.Н. Гидродинамическая неустойчивость и турбулентность в сферическом течении Куэтта. Избранные труды./ М. Изд-во Моск. ун-та, 1997. 348с.

34. Nakabayashi, К., "Transitions of Taylor-Gortler vortex flow in Spherical Couette flow": J. Fluid Mechanics, 132., (1983).

35. Rafique, M., "Etude de l'ecoulement entre deux cylinders coaxiaux a entrefer constant at a entrefer ondule par la surface du cylinder interieur tournant": D. Sc. Thesis, Institut National Polytechnique de Lorraine, Nancy, France (1999).

36. Stepless, A. E., and J. S. Alexande, "The dynamics of spatially modulated Taylor-Couette flow": 12th International Couette-Taylor Workshop, Northwestern University, Evanston, IL, USA, (2001).

37. Stockert, M., and R. M. Lueptow, "Velocity field in Couette-Taylor flow with axial flow": 10th International Couette-Taylor Workshop, Paris, France. (1997).

38. Wimmer, M., "Experiments on a viscous fluid flow between concentric rotating spheres": J. Fluid Mechanics, 78 (2), (1976).

39. Wimmer, M, "An experimental investigation of Taylor vortex flow between conical cylinders": J. Fluid Mechanics, 292, (1995).

40. Wereley S. T. , Lueptow R. M. Spatio-temporal character of non-wavy and wavy Taylor-Couette flow. // J. Fluid Mech. 1998. V. 364 P.59-80.

41. Skali-Lami S., Drozdov S., Rafique M. An asymmetrical periodic vortical structures and appearance of the self-induced pressure gradient in the modified Taylor flow. // Theoret. and Comput. Fluid Dynamics, 2004, v. 18, N 2-4 , P. 137-150.).

42. Дроздов С. M. Бифуркация возникновения асимметричных периодических структур и самоиндуцированного градиента давления в модифицированном течении Тейлора. Известия РАН, МЖГ, №3, pp. 44-59, 2004.

43. Бабаев И.Ю., Бабиков П.Е., Зайцев О.Л. Библиотека программ для решения задач механики сплошной среды. Отчет ЦАГИ ЦАГИ №8051 1987.

44. Брагинский Л. Н. Бегачев В. И., Барабаш В. М. Перемешивание в жидких средах. Л.: Химия, 1984. - 336 е.

45. Дроздов С.М., Шамшурин А.А. "Разработка новой концепции смесительного устройства для эффективного приготовления высококачественных суспензий и эмульсий в промышленности". Отчет о НИР / ЦАГИ №10836. Жуковский, 2004. - 59с.

46. Atkhen К., Fontaine J. , Wesfreid J.-E. "Highly turbulent Couette-Taylor patterns in nuclear engineering" . 10 Международная конференция по течениям Куэтта-Тейлора. Франция, Париж, 1997.- 9с.

47. Boothroyd R. G., "Flowing gas-solids suspensions ". Ghapman and Hall LTD. London, 1971.1. Глава 2.

48. Левитан Б. M. Почти-периодические функции. М. Гостехиздат, 1953. 396с.

49. Левитан Б. М., Жиков Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения. М. Изд. Моск. Ун-та, 1978. 204с.

50. Герценштейн С.Я. , Шмидт В.М. О взаимодействии волн конечной амплитуды в случае конвективной неустойчивости вращающегося плоского слоя. Доклады Академии Наук. 1974. № 2. Т. 219. С.297-300.

51. Герценштейн С.Я., Шмидт В.М. Нелинейное развитие и взаимодействие возмущений конечной амплитуды при конвективной неустойчивости вращающегося плоского слоя. Доклады Академии Наук. 1975. № 1.Т. 225 С.59-62.

52. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Механика сплошных сред. М. Гостехиздат 1954.

53. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная неустойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972, 392 с.

54. J Дроздов С.М. Теоретическое и экспериментальное исследование конвекции вязкой и теплопроводной жидкости в замкнутом канале. Ученые записки ЦАГИ. 1993, том 3, № 6.

55. Дроздов С.М. Хаотические и периодические решения задачи о конвекции вязкой и теплопроводной жидкости в замкнутом канале. Известия АН СССР. МЖГ, 1993, № 6.

56. Дроздов С.М. Экспериментальное исследование конвекции жидкости в замкнутом тороидальном канале. Известия РАН, МЖГ 1995, N 4, стр. 20-28.

57. Дроздов С.М. Моделирование возникновения нестационарности и хаоса в гидродинамической системе, управляемой небольшим числом степеней свободы. Известия РАН, МЖГ, No 1, pp. 31-45, 2001.

58. Дроздов С. М. Квазипериодические структуры в задаче о конвекции жидкости между горизонтальными плоскостями. Изв. РАН. МЖГ , 2009. № 2, с. 33-45.1. Глава-3.

59. Scheidegger А. Е. The Physics of flow through porous media. Toronto Univ. Press., 1957, p249. Шейдеггер Ф.Э. Физика течения жидкостей через пористые среды. М. Гостоптехиздат, 1960. 249 с.

60. Fourar М., Radilla G., LenormandR., Моупе С. On the non-linear behavior of a laminar single-phase flow through two and three-dimensional porous media // Adv. Water Resource. 2004. V.27. N6. P. 669-677.

61. Panfilov M, Fourar M. Physical splitting of non-linear effects in highvelocity stable flow through porous media // Adv. Water Resource. 2006. V. 29. N1. P. 30-41.

62. Lucas Y., Panfilov M., Bues M. High velocity flow through fractured and porous media: role of flow non-periodicity // Europ. J. of Mech. 2007. V. 26, P. 295-303.

63. Mei C.C., Auriault J-L. The effect of weak inertia on flow through a porous medum //J. Fluid Mech. 1991. V.222 . P 647-663.

64. Дроздов С. M. Квазипериодические решения уравнений Навье-Стокса, индуцированные квазипериодической формой границ двумерной области течения.//Изв. РАН. МЖГ. 2008. №2. с.70-82.1. Глава-4

65. Проблема пограничного слоя и вопросы теплопередачи.// Сборник под редакцией проф. Г. ГЕРТЛЕРА и проф. В. ТОЛЛМИНА. Перевод с английского и немецкого под общей редакцией проф. В. А. БАУМА. Гос. Энерг. Издат. М. I960 .

66. Piercy N.A. К, Richardson E.G. The variation of velocity amplitude close to the surface of cylinder moving through a viscous fluid // Phil. Mag. 1928. Ser.7. V.6. No 39. P. 970-977.

67. Лапина H. Г., Башкин В. А. Экспериментальное исследование картины течения и теплообмена в окрестности линии растекания кругового цилиндра при поперечном его обтекании сверхзвуковым потоком с числами М=3, 5 и 6 // Тр. ЦАГИ. 1983. Вып 2203. С. 44-49.

68. Хейз У.Д., Пробстин Р.Ф. Теория гиперзвуковых течений. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 607с.

69. Cheng Н. К. The blunt body problem in hypersonic flow at low Reynolds number // Paper Inst. Astronaut. Sc. 1963. No 63-92, 100 p.

70. Исследование гиперзвуковых течений // Под ред. Ф.Р. Риддел. М.: Мир. 1964. 544 с.

71. Ермак Ю. Н., Нейланд В. Я. К расчету теплопередачи на лобовой поверхности затупленного тела в гиперзвуковом потоке // Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. № 6. С. 153-156.

72. Лунев В.В. Гиперзвуковая аэродинамика. М.: Машиностроение, 1975. 327 с.

73. Анкудиное А. Л. Численное решение уравнений тонкого вязкого ударного слоя // Тр. ЦАГИ. 1977. Вып. 1845. 93 с.

74. Гершбейн Э. А., Пейгин С. В., Тирский Г. А. Сверхзвуковое обтекание тел при малых и умеренных числах Рейнольдса // Обзор ВИНИТИ, сер. МЖГ, т. 19, 1985.

75. Любимов А. Н., Русанов В. В. Течения газа около тупых тел. М.: Наука, 1970.

76. Лунев В.В. Течение реальных газов с большими скоростями. М., ФИЗМАТЛИТ, 2007. 759 с.

77. Черный Г.Г. Течения Газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.; Физматгиз, 1959, с. 47.

78. Майкапар Г.И. Вихри за ударной волной. Известия АН СССР. МЖГ, 1968, № 4 с.162-165.

79. Боголепов В.В., Липатов И.И. Влияние сжимаемости на развитие вихрей Тейлора-Гертлера при больших числах Рейнольдса.// Изв. РАН. МЖГ. 1997. № l.c.36-47.

80. Боровой В.Я., Осипов В.В., Струминская КВ. Исследование теплообмена на цилиндре в зонах интерференции с плоским скачком уплотнения параллельным образующим цилиндра. Отчет ЦАГИ , № 8880, 1990г.

81. Боровой В. Я., Дроздов С. М., Струминская И. В. Экспериментальное исследование пространственных вихревых структур и теплообмена на лобовой поверхности затупленных передних кромок, обтекаемых гиперзвуковым потоком // Отчет ЦАГИ ЦАГИ, № 10742. 2004г.

82. Дроздов С. М. Генерация вихревых структур на лобовой поверхности цилиндра, поперечно обтекаемого гиперзвуковым потоком // Изв. РАН. МЖГ. 2006. № 6.

83. Goldstein М.Е., Leib S.J., Cowley S.J. Distortion of a flat plate boundary layer by free-stream vorticity normal to the plate// J. Fluid Mech. 1992. V. 237. P.231-260.

84. Устинов M.B. Восприимчивость пограничного слоя на пластине с затупленной передней кромкой к нестационарным вихревым возмущениям// Изв. РАН Механ. жидк. и газа. 2002. №4. С. 56-68

85. Чиркин В. С. Теплофизические свойства материалов ядерной техники. Справочник. АТОМИЗДАТ. Москва. 1968.

86. Боровой В. Я. и соавторы Диагностика потока в аэродинамических трубах кратковременного действия УТ-1М и ИТ-2М с помощью насадков полного напора и теплового потока. Отчет ЦАГИ ЦАГИ, №10889. 2005г.

87. Quinn R. D. A method for calculating transient surface temperatures and surface heating rates for high-speed aircraft // NASA/TP-2000-209034, 2000.

88. Степанов Э. А. "Двумерный ламинарный пограничный слой при различных законах массообмена на поверхности." Диссертация на соискание ученой степени кандидата ф-м наук. 1974.

89. Егоров И.В. "Разработка квазиньютоновской технологии численного анализа уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса для исследования сверхзвуковых отрывных течений." Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. 2002.

90. Drozdov S.M. Vortex Structure Generation on the Frontal Surface of the Cylinder in the Transversal Hypersonic Flow / Precedence of the West-East High Speed Flow Field Conference 19-22, November 2007 Moscow.

91. Bae S., Lele S.K., Sung H.J. Influence of inflow disturbances on stagnation-region heat transfer. / Transactions of the ASME. Vol. 122, May 2000.0 a