Переход к стохастичности в широком сферическом слое при встречном вращении границ: прямой расчет и эксперимент тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

□ОЗ17703Э

На правах рукописи

Кривоносова Ольга Эрленовна

ПЕРЕХОД К СТОХАСТИЧНОСТИ В ШИРОКОМ СФЕРИЧЕСКОМ СЛОЕ

ПРИ ВСТРЕЧНОМ ВРАЩЕНИИ ГРАНИЦ- ПРЯМОЙ РАСЧЕТ И ЭКСПЕРИМЕНТ

(01 02 05 - механика жидкости, газа и плазмы)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2007

003177039

Работа выполнена в Институте механики Московского государственного университета им. М.В Ломоносова.

Научные руководители - доктор физико-математических наук,

профессор С Я. Герценштейн - доктор физико-математических наук НВ Никитин

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

А.Г. Зацепин, - доктор физико-математических наук, профессор А.В Уваров

Ведущая организация - Южный федеральный университет

Защита состоится « 19 » октября в /о час. на заседании диссертационного совета Д.501 001.89 при МГУ им. М В Ломоносова по адресу 119992, г. Москва, Воробьевы горы, главное здание МГУ, аудитория¡4-0%

Автореферат разослан .» аЖ^МсЯЯ 2007 года. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ им МВ Ломоносова.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

А.Н. Осипцов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ. Актуальность темы. Гидродинамические процессы в природе, в том числе крупномасштабные течения в геофизических и астрофизических объектах, таких как океаны, атмосферы и недра Земли и других планет, чрезвычайно сложны Исследование таких объектов требует одновременного учета многих факторов Именно поэтому на протяжении долгого времени сохраняется устойчивый интерес к модельным течениям, в которых влияние одного или нескольких параметров отделено от влияния остальных Несмотря на свою ограниченность, изучение модельных систем на основе численного и лабораторного моделирования, в том числе с изменением нескольких управляющих параметров, позволяет выделить характерные стороны явления и, тем самым, облегчить продвижение к пониманию закономерностей в реальных природных многопараметрических процессах

В данной работе рассматривается одно из модельных течений -сферическое течение Куэтта - сдвиговое течение вязкой несжимаемой жидкости между двумя сферическими границами, возникающее под действием вращения сфер вокруг общей оси Изотермические течения в сферических слоях позволяют рассмотреть влияние двух факторов в реальных природных объектах - сферической геометрии течения и вращения В последние несколько лет наблюдается всплеск активности в изучении течений в сферических слоях, связанный с исследованиями зарождения магнитного поля и конвекции в неизотермических условиях Однако, до сих пор остается открытым вопрос о формировании и дальнейшей эволюции стохастических режимов течения в изотермических сферических слоях

Предметом исследования данной работы является численное и экспериментальное изучение переходов к хаосу на примере вращающегося изотермического сферического слоя Переходы рассматриваются в слое с толщиной, равной радиусу внутренней сферы при встречном вращении сферических границ Проводятся прямой численный расчет перехода к стохастичности при изменении одного управляющего параметра - скорости вращения внутренней сферы, и экспериментальное исследование перехода с одновременным изменением двух параметров - скоростей вращения обеих

сферических границ

Цель работы состоит в численном и экспериментальном исследовании формирования и эволюции трехмерных пространственно-временных структур, развивающихся при переходе к стохастичности в сферическом слое

Методика исследования. Для получения изложенных в диссертации численных результатов используются конечно-разностные методы решения уравнений Навье-Стокса как в линейной постановке, так и в нелинейной трехмерной постановке для нестационарных уравнений Навье-Стокса Для получения экспериментальных данных используется метод одновременного совмещения визуализации течения и измерения скорости лазерным доплеровским анемометром Научная новизна:

- впервые рассчитан ламинарно-турбулентный переход, происходящий под действием изменения скорости внутренней сферы в слое с толщиной, равной радиусу внутренней сферы, при встречном вращении сферических границ,

- впервые экспериментально исследован сценарий перехода к стохастичности при одновременном изменении скоростей обеих сферических границ

Практическая ценность. Результаты, полученные в диссертации, важны для теории гидродинамической устойчивости и перехода к стохастичности, и могут быть использованы при моделировании течений во вращающихся природных системах и в различных технических устройствах

Апробация. Результаты работы докладывались и получили положительную оценку на семинаре под руководством академика Г Г Черного в 2006 гг, на международной школе-семинаре «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность» (Москва, 2006), на международном семинаре «GeoFlow» (Коттбус, Германия, 2006), на Ломоносовских чтениях (Москва, МГУ, 2006, 2007), на IX Всероссийком съезде по теоретической и прикладной механике (Н Новгород, 2006), на «15th International Couette-Taylor Workshop» (Гавр, Франция, 2007)

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения Общий объем диссертации - ¡28 стр , в том числе

33 рисунок и таблица Список литературы состоит из 115

наименований

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 10 работ, из них 2 работы в научных журналах из списка ВАК

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении дано обоснование актуальности работы и определены цели исследования

В первой главе проведен обзор результатов работ, связанных с проблемами, рассматриваемыми в данной диссертации

В разделе 1 1 анализируются результаты теоретических и экспериментальных исследований, посвященных изучению переходов к стохастичности для течений вязкой несжимаемой жидкости во вращающихся сферических слоях. Течение характеризуется следующими параметрами подобия числами Рейнольдса для внутренней Ret = Q; Г!2 / v и внешней сфер Re2 = г22 / V, а также относительной толщиной слоя 5 = (г2 - г,) / г,. Приняты обозначения г, - радиус, Q, - угловая скорость вращения соответствующей сферической границы (1 - внутренней, 2 - внешней), v -кинематическая вязкость жидкости в слое Основное течение, симметричное относительно плоскости экватора и оси вращения, имеет три ненулевые компоненты скорости, и теряет устойчивость с увеличением параметров подобия По виду вторичного течения на пределе устойчивости при вращении только внутренней сферы слои принято разделять на тонкие и широкие В широких слоях вторичные течения не симметричны относительно оси вращения и плоскости экватора

Основные результаты исследования стохастичности в сферических слоях получены к настоящему времени экспериментально Большой вклад в экспериментальные исследования переходов к хаосу внесли результаты, полученные в Институте механики МГУ Ю Н Беляевым и И М Яворской с сотрудниками

Как в тонких, так и в широких слоях измерения проводились с изменением одного управляющего параметра - Re!, в широких слоях также с

последовательным изменением двух параметров - (Яе^ Ие2) и (Яеь е), где е -эксцентриситет внутренней сферы вдоль оси вращения Показано, что как в тонких, так и в широких слоях вторичные течения в процессе перехода к хаосу становятся не симметричными относительно оси вращения, и чем больше толщина слоя 5, тем меньшее количество бифуркаций наблюдается перед потерей осевой симметрии Поэтому расчеты в осесимметричной постановке являются недостаточными для моделирования переходов к хаосу

В разделе 1 2 анализируются результаты численных исследований, направленных на изучение неосесимметричных вторичных течений во вращающихся сферических слоях Показано, что полученные до настоящего времени результаты прямого расчета ограничиваются следующим- в тонких слоях режимы течения и положение границ переходов между ними получены только после первых двух бифуркаций, в широких слоях получены положение границ устойчивости и режимы течения только после первой бифуркации

В разделе 1 3 сформулирована постановка задачи исследования Во второй главе рассматривается метод численного решения, и приводятся обоснования для выбора конфигурации расчетной сетки

В разделе 2.1 приведены уравнения, описывающие изотермическое течение вязкой несжимаемой жидкости в сферическом слое, это уравнения Навье-Стокса и неразрывности с условиями прилипания и непротекания на границах. Для данной задачи уравнения записаны в сферической системе координат

Приводятся основные положения разработанного Н В Никитиным консервативного вычислительного алгоритма, основанного на центрально-разностной дискретизации второго порядка точности по пространству и полунеявном методе третьего порядка точности для интегрирования по времени Метод интегрирования по времени включает в себя алгоритм оценки локальной погрешности счета и автоматического выбора шага по времени, что эффективно для учета изменения характерных временных масштабов в процессе ламинарно-турбулентного перехода. В данной работе этот вычислительный алгоритм используется с небольшим дополнением, а

именно для дискретизации по пространству используется сгущение узлов расчетной сетки не только вблизи сферических границ, но и вблизи плоскости экватора, что позволяет заметно экономить время счета Приведена используемая в данной работе система дискретных уравнений

Для получения численных результатов используется как система полных трехмерных нестационарных уравнений, так и расчет стационарных осесимметричных и экваторосимметричных течений, подобных основному, с последующим анализом их линейной устойчивости Во всех случаях режимы течения определяются по виду решения при I -» оэ

В разделе 2 2 анализируется влияние количества узлов расчетной сетки на результаты расчета и проводится тестирование метода Показано, что в линейной задаче при увеличении количества узлов, величины инкремента нарастания стремятся к своему предельному значению, и, начиная с определенных величин, результат расчета практически не зависит от количества узлов То же самое наблюдается и в нелинейной задаче Для рассматриваемых в данной работе параметров течения в линейной задаче достаточно использовать сетку с 60 узлами в радиальном направлении и 120 узлами - в меридиональном (для угла я/2) В нелинейной задаче при Яе1<500 достаточным признано использование 0 6 х 10б узлов, с возможностью уменьшения этого количества при снижении надкритичности Для тестирования метода проведены методические расчеты в широких слоях 5=127 и 8=133 вблизи предела устойчивости при вращении только внутренней сферы Полученные результаты согласуются с ранее полученными результатами, как экспериментов, так и вычислений, как по пространственной структуре вторичного течения, так и по величине предела устойчивости

В третьей главе представлена методика проведения эксперимента

В разделе 3 1 приводится описание экспериментальной установки, используемой для исследования течений в сферических слоях начиная с 70-ых гг Установка создана Ю Н Беляевым с сотрудниками при поддержке академика Г И Петрова Сферический слой в установке образован двумя концентрически расположенными прозрачными сферическими оболочками с

диаметрами 150мм и 300мм, каждая из которых снабжена независимым приводом. Зазор между оболочками заполняется прозрачным раствором силиконовых масел ПМС с добавлением небольшого количества алюминиевой пудры Это позволяет сохранить оптическую прозрачность сферического слоя, достаточную для проведения как визуализации течения внутри слоя, так и измерений пульсаций скорости. Система управления скоростями вращения сфер модернизирована к настоящему времени таким образом, что позволяет выдерживать постоянные значения не только для скорости, но и для ускорения каждой сферы В системе управления использованы современные технологии, включающие отдельный цифровой сигнальный процессор (DSP) и программируемый контроллер для управления шиной обмена данными между центральным процессором и DSP Система управления движением и система стабилизации температуры в слое обеспечивают постоянные значения скорости, ускорения и температуры с отклонением не более ±0 1%

В разделе 3 2 рассматривается методика проведения эксперимента, основанная на сочетании процессов визуализации и измерения пульсаций скорости в одной точке Измерения проводятся на основе последовательного усиления сигнала процессорами двух лазерных доплеровских измерителей скорости В оптической схеме измерения скорости использовался метод двойного луча с прямым рассеянием По сравнению с предыдущими экспериментами изменено местоположение точки измерения Лучи расположены в плоскости, перпендикулярной оси вращения, так что измеряется только азимутальная компонента скорости Течение в слое для визуализации подсвечивалось щелевыми источниками света как в меридиональной, так и в параллельной экватору плоскостях

В четвертой главе рассматриваются результаты прямого расчета осесимметричных течений и анализ их линейной устойчивости при параметрах, соответствующих параметрам ранее проведенных экспериментов v=5xl0"5 м2/с, r,=0 075m, г2=0.15т, Q2=-2cl (Re2=-900), 2 67с1 < Qt < 4 0с"1.

Изучена структура меридиональной циркуляции стационарных

двумерных течений, симметричных относительно оси вращения и плоскости экватора При вращении только внешней сферы (Re2 = -900) в меридиональной плоскости формируется один вихрь с циркуляцией по часовой стрелке, заполняющий весь зазор, это т н внешняя циркуляция При вращении внутренней сферы появляется второй вихрь с противоположным направлением циркуляции, вихрь внутренней меридиональной циркуляции, который при небольших Reí располагается вблизи полюса внутренней сферы С увеличением Reí интенсивность внутренней циркуляции возрастает, область, которую она занимает, увеличивается, и при Reí = 280 достигает плоскости экватора, те. линия раздела циркуляций касается внутренней сферы на экваторе Во внутренней циркуляции при Rei>375 появляется перетяжка, т.е появляются два максимума завихренности Такой вид меридиональной циркуляции сохраняется до Re)=!425, когда рассматриваемое двумерное течение перестает быть стационарным

Линейная устойчивость полученных двумерных решений исследовалась по отношению к трехмерным возмущениям с азимутальными числами т=1,2 . ,6 Малые возмущения задавались как симметричными (далее обозначаются индексом s), так и антисимметричными (далее - as) относительно плоскости экватора. В качестве граничных условий использовалось равенство нулю величины малых возмущений для всех компонент скорости на сферических границах Устойчивость течения к данному возмущению определялась по величине показателя экспоненты в зависимости решения от времени exp(at) при t-»°c. Действительная часть показателя определяет величину инкремента нарастания, а мнимая часть величину частоты или фазовой угловой скорости рассматриваемой моды

Проведенные расчеты показали, что при Reí <315 течение устойчиво по отношению ко всем рассматриваемым видам возмущений При 315 < Reí < 357 инкремент положителен только для одной моды m=3,s, и соответствующие этой моде бегущие азимутальные волны распространяются в направлении вращения внешней сферы При Reí = 357 направление распространения моды m=3,s изменяется на противоположное, при этом величина частоты рассматриваемой моды проходит через нулевое значение

Инкременты нарастания еще двух мод, m=2,s и m=2,as, при Rei=357 также становятся положительными Обе моды распространяются в направлении вращения внутренней сферы, с очень близкими значениями величин инкремента нарастания и фазовой скорости При увеличении числа Re! > 374 течение становится неустойчивым по отношению и к другим модам, а при Reí = 414 инкременты нарастания уже всех рассматриваемых мод положительны

Начиная с Reí = 378, наблюдается сближение фазовых скоростей мод m=2,s, m=2,as, m=3,s При Reí > 400 тенденция к сближению фазовых скоростей наблюдается для всех мод, при этом симметричные моды ш=2-6 с близкими фазовыми скоростями распространяются в направлении вращения внутренней сферы, а антисимметричные моды ш=3-6 - в противоположном направлении

В пятой главе представлены результаты прямого численного расчета в полной нелинейной постановке для параметров течения, приведенных ранее в 4 главе При решении полной нелинейной системы уравнений Навье-Стокса в качестве начальных условий задавалось либо течение Стокса с возмущением небольшой амплитуды, несимметричным относительно экватора и оси вращения, либо решение при близком значении Reb с возмущением или без него Сопоставление с результатами экспериментов проводилось по сравнению экспериментальных и расчетных спектров пульсаций скорости, по виду пространственных структур, положению границ существования и областей гистерезиса каждого из рассчитанных режимов течения.

Анализ полученных в расчете пространственных структур нестационарных режимов течения проводился в основном по контурам скорости и завихренности в координатах ср—Э Граница перехода от основного течения к одночастотному и от одночастотного к двухчастотноиу определялись из анализа линейной устойчивости Все последующие границы, в том числе и областей гистерезисов, определены по результатам нелинейного расчета, а именно, по зависимости момента сил трения, передаваемого на внутреннюю сферу, от величины и направления изменения Re,

В диапазоне изменения чисел Рейнольдса 315 < Reí < 357 решением нелинейной задачи является периодическое по времени течение, симметричное относительно плоскости экватора Три вихря в верхней и нижней полусферах равноудалены от полюса и экватора, и распространяются в направлении вращения внешней сферы При Reí < 320 течение соответствует единственной растущей по линейной теории моде m=3,s, о чем свидетельствует сходство между собственной функцией линейной задачи и нелинейным решением Величина единственной частоты в спектре скорости fi уменьшается с увеличением надкритичности, что согласуется как с результатами линейного анализа, так и с экспериментальными данными

При переходе к двухчастотному режиму (Rei=357) структура течения становится несимметричной относительно плоскости экватора и распространяется в направлении вращения внутренней сферы В спектре сигнала скорости наблюдаются две частоты, одна из которых (fi) соответствует медленному движению, а другая (f2) - более быстрому движению Для анализа пространственной структуры течения проведена его декомпозиция Поскольку fi « f2, и амплитуда колебаний на частоте fi существенно выше чем на частоте f2, пространственную структуру течения (поле меридиональной компоненты скорости) можно усреднить за период l/f2 В результате усреднения остается экваторосимметричное движение на частоте fi с тремя вихрями, аналогичное периодическому режиму течения. Разность между полным и усредненным значениями меридиональной скорости свидетельствует о том, что движение на частоте f2 представляет собой два несимметричных относительно экватора вихря Таким образом, рассматриваемый режим течения представляет собой комбинацию азимутальных волн m=3,s и m=2,as, величины частот которых соответствуют как результатам линейного анализа, так и результатам эксперимента.

При Ret=375 на зависимости момента от Reí наблюдается излом, свидетельствующий о смене режима течения в спектре скорости появляется третья частота Течение остается несимметричным относительно экватора, и распространяется в направлении вращения внутренней сферы Как и в предшествующем режиме течения, наблюдаются три пары

экваторосимметричных вихрей и несимметричное относительно экватора движение Из сравнения величин частот различных мод в линейной задаче и аналогичных величин, полученных в нелинейной задаче, можно предположить, что новая, по сравнению с двухчастотным режимом, частота f3 соответствует экваторосимметричному движению с двумя вихрями Таким образом, рассматриваемый трехчастотный режим течения представляет собой комбинацию азимутальных волн m=3,s, m=2,as и m=2,s

Переход к следующему режиму течения происходит с гистерезисом, о чем свидетельствует скачкообразное возрастание момента при увеличении числа Reí (Rei=412) и такое же уменьшение момента при уменьшении числа Reí (Rei=404) Течение становится симметричным относительно экватора В каждой из полусфер в направлении вращения уже внешней сферы распространяются по три равноотстоящих по азимутальному углу сложных вихря Вблизи плоскости экватора это парные вихри с противоположным направлением вращения, по мере удаления от экватора появляются одиночные вихри с большим углом наклона В спектре пульсаций скорости наблюдается одна частота С» с гармониками Сравнение с результатами линейного анализа показало, что ни у одной из мод нет частоты, близкой к f4 Тот факт, что в линейной задаче при Rej > 400 наблюдается сближение фазовых скоростей различных мод, позволяет предположить, что рассматриваемый режим течения образуется вследствие синхронизации движений на частотах fi, f2, f3

При дальнейшем увеличении Re! происходит переход к стохастичности, который сопровождается гистерезисом В отличие от предшествующего перехода здесь с возрастанием Re, наблюдается скачкообразное снижение средней величины момента сил трения Установление стохастичности в расчете определялось по потере регулярности во временном поведении скорости, по подъему уровня непрерывного фона в спектре Также, как и в экспериментах, спектр скорости является сплошным, без выделенных частот Установление стохастичности приводит и к изменению пространственной структуры течения, оно теряет экваториальную симметрию, но сохраняет элементы структуры предшествующего режима

В шестой главе представлены результаты экспериментального исследования перехода к стохастичности при одновременном изменении скорости сферических границ

Переход к хаосу изучен для случая, когда скорости вращения сфер начинают изменяться одновременно из состояния покоя При этом в каждый момент времени (как при изменении скорости вращения сфер, так и при их вращении с постоянной скоростью) выполняется условие равенства чисел Re! = - Re2 При этом частоты вращения сфер связаны условием fi = 4f2 При таком соотношении чисел Re положение линии раздела внутренней и внешней циркуляций основного течения остается неизменным А именно, линия раздела циркуляций удалена от обеих сферических границ везде за исключением экватора внешней сферы На экваторе происходит соприкосновение линии раздела и внешней сферы, при этом вихрь внешней циркуляции оттеснен от экватора к полюсу Именно условие сохранения неизменной структуры осесимметричного течения при увеличении чисел Re является основным отличием от случая, рассматриваемого в главах 4 и 5

При увеличении скорости вращения сфер основное течение теряет устойчивость при Re = 172+1 Визуализация закритических режимов течений показывает, что они несимметричны относительно плоскости экватора во всем исследованном диапазоне изменения чисел 172 < Re < 500 В меридиональной плоскости наблюдается периодическое смещение вихрей внутренней циркуляции, пересекающих плоскость экватора, с минимальной амплитудой смещения вблизи внутренней сферы и максимальной - вблизи внешней сферы

Проведенные лазерным доплеровским анемометром измерения пульсаций скорости позволили установить, что после периодического и квазипериодического режимов течения (172 < Re < 250) устанавливается одночастотный режим, существующий вплоть до перехода к стохастичности (250 < Re < 467) Очень слабая зависимость относительной величины частоты этого режима от надкритичности позволяет предположить, что образование данного режима течения вызвано синхронизацией При увеличении числа Re уровень шума в спектре пульсаций скорости непрерывно возрастает (при

одних и тех же условиях измерения) Наблюдается два участка с линейной зависимостью соотношения сигнал-шум от числа Re На первом участке (250< Re<454) это соотношение снижается в 5 раз, на втором (454< Re< 467) - на 2 порядка При Re > 467 сигнал скорости становится полностью нерегулярным, но в спектре остается выделенная частота То, что величина этой частоты остается постоянной при дальнейшем увеличении Re, свидетельствует о том, что переход к стохастичности происходит без полного разрушения предшествующего режима Таким образом, рассматриваемый стохастический режим существенно отличается от стохастического режима, образующегося при встречном вращении сфер при условии Re2 = const ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1 Впервые в результате прямого расчета воспроизведен сценарий ламинарно-турбулентного перехода в широком сферическом слое

2 Полученные при прямом расчете результаты находятся в хорошем количественном соответствии с экспериментальными данными по пространственной структуре течений, по положению границ переходов между режимами, а также по величинам частот в спектре пульсаций скорости

3 Установлено, что пространственная структура рассчитанного двухчастотного режима течения является суперпозицией двух движений, каждое из которых соответствует одной из неустойчивых мод линейной задачи

4 Показано, что пространственные структуры всех рассчитанных ламинарных режимов течения, вплоть до установления стохастичности, представляют собой результат нелинейного развития и/или взаимодействия одной, двух или трех азимутальных волн с волновыми числами 2 и/или 3

5 Проведенные расчеты продемонстрировали, что до наступления стохастичности симметричные относительно плоскости экватора вторичные течения распространяются в направлении вращения внешней сферы, антисимметричные - в направлении вращения внутренней сферы

6 Показано, что формирование режима локализованных вихрей и

хаотического режима течения, так же как и в эксперименте, происходит с гистерезисом Обнаружено, что переход к хаотическому режиму сопровождается уменьшением средней по времени величины момента сил трения.

7. Обнаружено, что, так же как в эксперименте, в хаотическом режиме течения нарушается экваториальная симметрия. Спектр скорости, полученный при расчете хаотического режима течения, является сплошным, без выделенных частот. Это также соответствует эксперименту.

8. Экспериментально установлено, что при одновременном увеличении скорости вращения границ в разные стороны из состояния покоя, с условием равенства чисел Рейнольдса по абсолютной величине, переходу к хаосу предшествует периодический режим течения. Переход к стохастичности в этом случае происходит с постепенным повышением уровня шума и сохранением выделенной частоты в спектре

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1. Жиленко ДЮ., Кривоносова О.Э., Никитин Н.В. Пространственные структуры при переходе к хаосу в широком сферическом слое Сравнение результатов эксперимента и прямого расчета // Современные проблемы аэрогидродинамики. Тез. докл. XIII школы - семинара под руководством академика РАН Г Г Черного. - г.Сочи, 5-15 сентября 2005г - М, 2005 -С 40

2. Жиленко Д.Ю., Кривоносова О.Э., Никитин Н.В. Прямой численный расчет трехмерных структур в широком сферическом слое // Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность- Матер междун. конференции. - Моек обл, 26февраля - 5марта 2006г. - М, 2006. -С 44-45

3. Жиленко Д Ю, Кривоносова О.Э., Никитин Н.В. Нестационарные трехмерные структуры в сферическом течении Куэтта - прямой расчет и сравнение с экспериментом // Ломоносовские чтения тез. докл научной конференции. Секция механики; г. Москва, апрель 2006г. - М, 2006. С 65

О '

- J

4 Жиленко Д Ю, Кривоносова О Э Прямое численное моделирование нестационарных, неосесимметричных структур в сферическом течении Куэтта // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике аннот докл в 3 Т - г H Новгород, 22-28 августа 2006г - H Новгород, 2006 - Т 2. - С 84.

5 Жиленко Д Ю, Кривоносова О Э, Никитин H В Развитие пространственных структур течения при ламинарно-турбулентном переходе в широком сферическом слое // Докл РАН 2007 т 414 №1 С.39-43

6 Жиленко Д Ю, Кривоносова О.Э, Никитин H В Прямой расчет ламинарно-турбулентного перехода в широком сферическом слое // Изв РАН МЖГ 2007 №б С 38-42.

7 Жиленко Д Ю , Кривоносова О Э, Никитин H В Прямой расчет областей гистерезисов и стохастического режима течения в широком сферическом слое // Ломоносовские чтения: тез. докл научной конференции Секция механики,г Москва, апрель2007г -М,2007 - С 71-72

8. Жиленко Д Ю, Кривоносова О.Э Экспериментальное исследование перехода к стохасгичности при одновременном изменении скорости границ в широком сферическом слое // Ломоносовские чтения тез докл научной конференции Секция механики, г Москва, апрель 2007г. - M, 2007 - С 72

9 Жиленко Д Ю , Кривоносова О Э. Переход к стохастичности в широком сферическом слое при одновременном изменении скорости вращения сфер - эксперимент // Современные проблемы аэрогидродинамики. Тез докл XV школы-семинара под руководством академика РАН Г Г Черного - г Сочи, 5-15 сентября 2007г - М., 2007. - С 9S- */3

10. Кривоносова О.Э Сценарий перехода к стохастичности при изменении скорости вращения внутренней сферы в широком слое - прямой расчет // Современные проблемы аэрогидродинамики Тез докл XV школы -семинара под руководством академика РАН Г Г Черного - г Сочи, 5-15 сентября 2007г. - M, 2007 - С С£

Введение.

1. Обзор и постановка задачи.

1.1 Закономерности переходов к стохастичности во вращающихся сферических слоях.

1.2 Численное моделирование нестационарных неосесимметричных вторичных течений, возникающих при неустойчивости в сферических слоях.

1.3 Постановка задачи исследования.

2. Методические расчеты.

2.1 Основные уравнения и вычислительный алгоритм.

2.1.1 Система координат.

2.1.2 Дискретизация по пространству.

2.1.3 Баланс кинетической энергии.

2.1.4 Вычисление давления.

2.1.5 Интегрирование по времени.

2.1.6 Анализ линейной устойчивости.

2.2 Методические расчеты.

2.2.1 Тестирование метода.

2.2.2 Выбор числа узлов в линейной задаче.

3. Экспериментальная установка и методика проведения эксперимента

3.1 Описание установки и модернизация системы управления вращением границ.

3.2 Методика проведения эксперимента.

4. Расчет осесимметричного течения и его линейной устойчивости.

4.1 Эволюция осесимметричного течения.

4.2 Анализ линейной устойчивости осесимметричного течения.

5. Результаты прямого численного расчета уравнений Навье-Стокса в полной постановке

5.1 Область исследования и представление результатов расчета.

5.2 Эволюция пространственных структур и спектров пульсаций скорости с увеличением надкритичности.

6. Экспериментальное исследование ламинарно-турбулентного перехода при одновременном изменении скорости вращения обеих границ.

Развитие стохастичности в гидродинамических течениях до сих пор остается одной из фундаментальных проблем механики. Одним из подходов к решению этой проблемы является физическое и численное моделирование переходов к стохастичности в модельных течениях, позволяющих выделить наиболее характерные стороны изучаемых явлений при контролируемом и ограниченном действии внешних случайных факторов. Именно таким модельным течением является сферическое течение Куэтта (СТК) - течение вязкой несжимаемой жидкости в слое между двумя концентрическими сферами, возникающее под действием вращающихся сферических границ.

Исследования СТК представляют интерес для тех природных и технических объектов, течения в которых формируются под влиянием вращения и сферической геометрии. Экспериментальные и численные исследования СТК ведутся в настоящее время по нескольким направлениям, основными из которых являются переходы к хаосу в изотермических слоях, конвекция в неизотермических слоях, возникновение и развитие магнитных полей во вращающихся сферических слоях. В последних двух случаях развитие стохастичности приходится рассматривать при изменении нескольких управляющих параметров.

В данной работе численно и экспериментально изучается переход к стохастичности в изотермическом вращающемся сферическом слое с толщиной, равной радиусу внутренней сферы. Рассматривается случай встречного вращения сферических границ.

На основе численного решения трехмерных уравнений Навье-Стокса, проводится прямой расчет ламинарно-турбулентного перехода при изменении одного управляющего параметра - увеличении скорости вращения только внутренней сферы при неизменной скорости вращения внешней сферы. Особое внимание при этом уделяется условиям формирования и эволюции трехмерных пространственных структур. Проведено детальное сравнение с имеющимися экспериментальными данными.

До сих пор экспериментальные исследования изотермических течений в сферических слоях проводились либо при изменении одного управляющего параметра, либо при последовательном изменении двух параметров. В данной работе экспериментально исследуется ламинарно-турбулентный переход при одновременном изменении двух управляющих параметров, а именно, скоростей вращения обеих сферических границ.

Заключение.

В данной работе рассчитан ламинарно-турбулентный переход, происходящий под действием изменения скорости внутренней сферы в слое с толщиной, равной радиусу внутренней сферы, при встречном вращении сферических границ. Экспериментально исследован сценарий перехода к стохастичности при одновременном изменении скоростей обеих сферических границ. Основные результаты состоят в следующем:

1.Впервые в результате прямого расчета воспроизведен сценарий ламинарно-турбулентного перехода в широком сферическом слое. Полученные при прямом расчете результаты находятся в хорошем количественном соответствии с экспериментальными данными по пространственной структуре течений, по положению границ переходов между режимами, а также по величинам частот в спектрах пульсаций скорости.

2.Установлено, что пространственная структура рассчитанного двухчастотного режима течения является суперпозицией двух движений, каждое из которых соответствует одной из неустойчивых мод линейной задачи. Показано, что пространственные структуры всех рассчитанных ламинарных режимов течения, вплоть до установления стохастичности, представляют собой результат нелинейного развития и/или взаимодействия одной, двух или трех азимутальных волн с волновыми числами 2 и/или 3. Проведенные расчеты продемонстрировали, что до наступления стохастичности симметричные относительно плоскости экватора вторичные течения распространяются в направлении вращения внешней сферы, антисимметричные - в направлении вращения внутренней сферы.

3.Показано, что формирование режима локализованных вихрей и хаотического режима течения, так же как и в эксперименте, происходит с гистерезисом. Обнаружено, что переход к хаотическому режиму сопровождается уменьшением средней по времени величины момента сил трения. Обнаружено, что, так же как в эксперименте, в хаотическом режиме течения нарушается экваториальная симметрия. Спектр скорости, полученный при расчете хаотического режима течения, является сплошным, без выделенных частот. Это также соответствует эксперименту.

4.Экспериментально установлено, что при одновременном увеличении скорости вращения границ в разные стороны из состояния покоя, с условием равенства чисел Рейнольдса по абсолютной величине, переходу к хаосу предшествует периодический режим течения. Переход к стохастичности в этом случае происходит с постепенным повышением уровня шума и сохранением выделенной частоты в спектре.

Rei сетка fi f2 f3

Nr Ne N<p sr e0 экспер. расчет А экспер. расчет А экспер. расчет А

340 64 64 32 1 1 0.0122 0.0138 0.2% - - - - -

360 50 180 64 0.5 0.5 0.0036 0.0023 0.2% 0.3320 0.3170 1.8% - -

378 50 180 64 0.5 0.5 0.0147 0.0122 0.3% 0.2971 0.2938 0.4% 0.3503 0.371 2.4%

U экспер. расчет А

414 100 120 128 0.25 0.25 0.039 0.031 0.9%

1.Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. - М. : Наука. - Т.б.: Гидродинамика. - 3-е изд. - 1986.

2. Schuster Н. G. Deterministic chaos: an introduction, 2nd edition. 1988. VCH, Weinheim, Germany. ( Пер.: Шустер Г. Г. Детерминированный хаос: введение. М. : Мир, 1988.)

3. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. М.: Мир, 1991.-368с.

4. Монин А.С. О природе турбулентности. УФН. 1978.т.125. вып.1.С.97-122.

5. Newhouse D., Ruelle D., Takens F. Occurrence of strange axiom A attractors near quasi periodic flowson Tm , m>3, Commun. Math. Phys.1978., 64, №1. p. 3540.

6. Feigenbaume M.J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations. J. Stat. Phys. 1978. V. 19. №1. P. 25-52.

7. Pomeau Y., Manneville P. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems. Commun. Math. Phys.1980., 74, №2. p. 189-197.

8. Рабинович М.И., Сущик M.M. Регулярная и хаотическая динамика структур в течениях жидкости. УФН. 1990, т.160, вып. 1, с.1-64

9. Hussain A. Coherent structures-reality and myth. Phys. Fluids, 1983, vol.26, N10, pp.2818-2850

10. Гетлинг А.В. Формирование пространственных структур конвекции Рэлея-Бенара. УФН., 1991., т.161., №9. С. 180.

11. П.Богатырев Г.П., Зимин В.Д., Эволюция пространственных спектров при переходе от ламинарной конвекции к турбулентной. Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. №3. С.104-109.

12. Zatsepin A.G., Gritsenko V.A., Kremenetskii V.V., Poyarkov S.G., Stroganov O.Yu. Laborotory and numerical study of gravity currents over a slopping bottom. Izv. Acad. Nauk, Ser. Oceanology, 2005, vol.45, N1, pp.1-11

13. Гриценко В.А., Зацепин А.Г., Низов С.С. О вихре-волновом режиме распространения вдольсклоновых гравитационных течений//Потоки и структуры в жидкостях. Тез. докл. Междун. Конференции. г. С.Петербург,2-5 июля 2007г.-С.

14. Joseph D. D. Stability of fluid motions. Springer-Verlag, Berlin, 1976 (Пер.: Джозеф Д. Устойчивость течений жидкости. М.: Мир, 1981.)

15. Langlois W.E. Slow viscous flow. N.-Y.:Macmillan,1964.

16. Яворская И.М. Влияние широтного градиента температуры на сферическое течение Куэтта. Изв. АН СССР. МЖГ. 1975. №2. С.15-23.

17. Яворская И.М. Гидродинамика вращающихся сферических слоев. Некоторые астрофизические приложения: Дис.докт. физ.- мат. наук. М., ИКИ АН СССР. 1978. 421 с.

18. Taylor, G.J.: Stability of a viscous liquid contained between two rotating cylinders. Phil. Trans. Sec. London, 1923, Ser. A 223, p.289-293.

19. Хлебутин Г.Н. Устойчивость движения жидкости между вращающейся и неподвижной концентрическими сферами. Изв. АН СССР. МЖГ, 1968, №6, стр.53-56.

20. С. Egbers, H.J. Rath The existence of Taylor vortices and wide-gap instabilities in spherical Couette flow. Acta Mechanica, 1995, 111, p.125-140.

21. Беляев Ю.Н., Монахов А.А., Яворская И.М. Исследование устойчивости и вторичные течения во вращающихся сферических слоях при произвольных числах Россби. Докл. АН СССР.1977.Т.237.№4. С.804-807.

22. Wimmer М. Experiments on the stability of viscous flow between two concentric rotating spheres. J. Fluid Mech., 1981, v.103, pp.117-131.

23. Астафьева H.M. Численное моделирование несимметричного относительно плоскости экватора сферического течения Куэтта. Изв. АН СССР. МЖГ. 1985. №3. С. 56-62.

24. Marcus P. S., Tuckermann L. S. Simulation of flow between concentric rotating spheres. Pt2. Transitions. J. Fluid Mech., 1987, v.185, №1, p.31-65.

25. Schrauf G., Krause E. Symmetric and asymmetric Taylor vortices in a Spherical gap. Laminar Turbulent Transition, Editor V.V.Kozlov, Sprinqer-Verlag, 1985, 659-668.

26. Монахов А.А. Граница устойчивости основного течения в сферических слоях. Изв. РАН. МЖГ. 1996. №4. С.66-70.

27. Zikanov О. Symmetry breaking bifurcations in spherical Couette flow. J. Fluid Mech., 1996, v.310, p. 293-324.

28. Bar-Yoseph P., Solan A., Hillen R., Roesner K. Taylor vortex flow between eccentric coaxial rotating spheres. Phys. Fluids A, v.2, №9, 1990, p. 1564-1573.

29. Buhler K. Symmetric and asymmetric Taylor vortex flow in spherical gaps. Acta Mechanica, 1990, 81, p.3-38.

30. Schrauf G. The first instability in spherical Taylor-Couette flow. J. Fluid Mech., 1986, v.166, p.287-303.

31. Dumas G. Study of spherical Couette flow via 3-D spectral simulation: large and narrow gap flows and their transitions. Ph.D. thesis, California Institute of Technology, Pasadena, California, 1991, 217 p.

32. Яворская И.М., Беляев Ю.Н., Монахов A. A. Экспериментальное изучение сферического течения Куэтта. Докл. АН СССР.1975.Т.221.№5. С.1059-1062.

33. Беляев Ю.Н., Монахов А.А., Яворская И.М. Устойчивость сферического течения Куэтта в толстых слоях при вращении внутренней сферы. Изв. АН СССР. МЖГ. 1978. №2. С.9-15.

34. Герценштейн С.Я., Жиленко Д.Ю., Кривоносова О.Э., Монахов А.А. Экспериментальное исследование структуры и устойчивости течения в толстом сферическом слое между разновращающимися сферами. Изв. РАН. МЖГ. 1999. №4. С.54-60.

35. Жиленко Д.Ю. Экспериментальное исследование процессов перехода к стохастичности в сферическом течении Куэтта при вращении обеих сферических границ. Дис.канд. физ.- мат. наук. М., МГУ. 2001. 108 с.

36. Зиканов О.Ю. Численное моделирование неустойчивостей и вторичных режимов в сферическом течении. Изв. РАН. МЖГ. 1995. №1. С.3-15.

37. Hollerbach R. Instabilities of the Stewartson layer. Ptl. The dependence on the sign of Ro. J. Fluid Mech., 2003, v.492, p.289-303.

38. Беляев Ю.Н., Яворская И.М. Течения вязкой жидкости во вращающихся сферических слоях и их устойчивость.

39. Итоги науки и техники ВИНИТИ, Механика жидкости и газа., 1980, т.15. С. 3-80.

40. Астафьева Н.М. Нелинейные неравновесные процессы во вращающемся сферическом слое жидкости и в земной атмосфере. Дис.докт. физ.- мат. наук. М., ИКИ РАН 2001. 297 с.

41. Sawatski О., Zierep J. Das Stromfeld im Spalt zwischen zwei konzentrischen Kugelflachen, von denen die innere rotiert. Acta Mechanica, 1970, 9, p. 13

42. Wimmer M. Experiments on a viscous fluid flow between concentric rotating spheres. J. Fluid Mech., 1976, v.317, pp.317-335.

43. Беляев Ю.Н., Монахов А.А., Яворская И.М. Экспериментальное исследование потери устойчивости сферическим течением Куэтта. В сб. : Турбулентные течения. М. «Наука», 1977, с.162-170.

44. М. Yavorskaya, Yu. N. Belyaev Hydrodynamical stability in rotating spherical layers: application to dynamics of planetary atmospheres. Acta Astronautica, 1986, vol.13, № 6/7, pp. 433-440.

45. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М. «Наука», 1970. 288с.

46. Ladyzenskaya О. Mathematical analysis of Navier-Stokes equations for incompressible fluids. Annu. Rev. Fluid Mech., 1975, vol.7, pp. 249-272.

47. Coles D. Transition in circular Couette flow. J. Fluid Mech., 1965, 21, №3, p.385-425.

48. Snyder H. A. Wave number selection at finite -amplitude in rotating Couette flow. J. Fluid Mech., 1969, 35, №2, p.273-298.

49. Колесов В.В., Юдович В. И. Расчет колебательных режимов в течении Куэтта вблизи точки пересечения бифуркаций возникновения вихрей Тейлора и азимутальных волн. Изв. РАН. МЖГ. 1998. №4. С.81-93.

50. Lim Т., Chew Y., Xiao Q. A new flow regime in a Taylor- Couette flow. Phys. Fluids, 1998, v.10, №12, pp. 3233-3235.

51. Rigopoulos J., Sheridan J., Thompson M. State selection in Taylor-vortex flow reached with an accelerated inner cylinder. J. Fluid Mech., 2003, v.489, p.79-99.

52. Kobine J., Mullin T. Nonlinear phenomena in hybrid Couette flow composed from planar and circular shear. Phys. Fluids, 2001, v.13, №6, pp. 1583-1593.

53. Shtern V., Hussain F. Collapse, symmetry breaking, and hysteresis in swirling flows. Annu. Rev. Fluid Mech. 1999, v.31, pp. 537-566.

54. Erenburg V., Gelfgat A., Kit E., Bar-Yoseph P., Solan A. Multiple states, stability and bifurcations of natural convection in a rectangular cavity with partially heated vertical walls. J. Fluid Mech., 2003, v.492, pp.63-89.

55. Юдович В. И. Вторичные течения и неустойчивость жидкости между двумя вращающимися цилиндрами. Прикл. мат. и мех., 1966, №5, с.688-698.

56. Зоненко С.И., Черный Г.Г. Новый вид кумуляции энергии и импульса метаемых взрывом пластин и оболочек. Докл. РАН, 2003, т.390, №1, с.46-50.

57. Павельев А.А., Решмин А.И., Трифонов В. В. Влияние структуры начальных возмущений на режимустановившегося течения в трубе. Изв. РАН. МЖГ. 2006, №6, с.68-76

58. Никитин Н. В. Турбулентное течение в канале с искусственным двумерным пристенным слоем. Изв. РАН, МЖГ, 2003, с.32-40.

59. Kit Е., Krivonosova О., Zhilenko D., Friedman D. Reconstruction of large coherent structures from SPIV measurements in a forced turbulent mixing layer. Experiment in fluids. 2005, v.39, №4, pp.761-770.

60. Яворская И.М., Астафьева H.M., Введенская Н.Д. Об устойчивости и неединственности течений жидкости во вращающихся сферических слоях. Докл. АН СССР. 1978. Т.241. №1. С.52-55.

61. Mamun С., Tuckerman L., Asymmetry and Hopf bifurcation in spherical Couette flow. Phys. Fluids, 1995, vol.7, №1, pp. 80-91

62. Hollerbach R. Time-dependent Taylor vortices in wide-gap spherical Coquette flow. Physical review letters, 1998, vol.81, N15, pp.3132-3135.

63. Nakabayashi K., Tsuchida Y. Spectral study of the laminar-turbulent transition in spherical Couette flow. J. Fluid Mech., 1988, v.194, p.101-132.

64. Nakabayashi K., Tsuchida Y. Modulated and unmodulated travelling azimuthal waves on the toroidal vortices in a spherical Couette system. J. Fluid Mech., 1988, v. 195, p.495-522.

65. Nakabayashi K., Tsuchida Y. Flow-history effect on higher modes in the spherical Couette system. J. Fluid Mech., 1995, v.295, pp.43-60.

66. Nakabayashi K., Zheng Z., Tsuchida Y. Characteristics of disturbances in the laminar-turbulent transition ofspherical Couette flow.l. Spiral Taylor-Gortler vortices and traveling waves for narrow gaps. Phys. Fluids, 2002, v.14, N11, pp.3963-3972.

67. Nakabayashi K., Zheng Z., Tsuchida Y. Characteristics of disturbances in the laminar-turbulent transition of spherical Couette flow.2. New disturbances observed for a medium gap. Phys. Fluids, 2002, v. 14, N11, pp.3973-3982.

68. Nakabayashi K., Sha W., Tsuchida Y. Relaminarization phenomena and external-disturbance effects in spherical Couette flow. J. Fluid Mech., 2005, v.534, p.327-350.

69. Беляев Ю.Н., Монахов А.А., Щербаков С.А., Яворская И.М. Возникновение турбулентности во вращающихся жидкостях. Письма в ЖЭТФ, 1979.,т.29, вып.6,с.329-333.

70. Беляев Ю.Н., Монахов А.А., Щербаков С.А., Яворская И.М. Неединственность последовательности переходов к турбулентности во вращающихся сферических слоях. Докл. АН СССР, 1984, т.279, №1, с.51-54

71. Беляев Ю. Н., Яворская И. М. Проблемы устойчивости и возникновения хаоса в замкнутых гидродинамических течениях. Труды МИАН СССР,1989, т. 18 6, с.106 116.

72. Belyaev Yu. N., Yavorskaya I. M. Nonunuqueness and multiparametric study of transition to chaos in the spherical Couette flow. Eurup. Journ. Mech. B/Fluids. 1991, vol.10, №2, pp.267-274.

73. Беляев Ю. H., Яворская И. M. Сферическое течение Куэтта переходы и возникновение хаоса. Изв. АН СССР МЖГ,1991, №1,с.10-18.

74. Беляев Ю. Н. Об одном подходе к исследованию возникновения турбулентности при течениях вязкой жидкости в замкнутых объемах. ПМТФ, 1995, №1, с.64-72.

75. P. Wulf, С. Egbers, H.J. Rath. Routs to chaos in wide gap spherical Couette flow. Physics of fluids, 1999, v.ll, №6, pp.1359- 1372.

76. Ильяшенко Ю.С. Слабо сжимаемые системы и аттракторы галеркинских приближений уравнений Навье-Стокса на двумерном торе. Успехи механики.1982,т.5, №1/2. с. 3163.

77. Ладыженская О.А. Минимальные глобальные В-аттракторы полугрупп и начально-краевых задач для нелинейных уравнений с частными производными. Докл. АН СССР, 1987, т.294, №1, с.33-37.

78. Герценштейн С.Я., Жиленко Д.Ю., Кривоносова О.Э. О сценарии перехода к хаосу в сферическом течении Куэтта при противоположном направлении вращения сферических границ. Докл. РАН, 1999, т. 369,№3, с.337-341.

79. Герценштейн С.Я., Жиленко Д.Ю., Кривоносова О.Э. О попытке обобщения сценариев перехода к турбулентности в сферическом течении Куэтта при встречном направлении вращения сферических границ. Докл. РАН. 2000. т.375, №6, с. 770-773.

80. Герценштейн С.Я., Жиленко Д.Ю., Кривоносова О.Э. Ламинарно-турбулентный переход в сферическом течении Куэтта при встречном вращении границ. Изв. РАН, МЖГ. 2001,№2, с.56-63.

81. Герценштейн С.Я., Жиленко Д.Ю., Кривоносова О.Э. Экспериментальное исследование режимов перемежаемости в сферическом течении Куэтта. Докл. РАН, 2003, т.390, №4, с. 478-483.

82. Moin P., Mahesh К. Direct numerical simulation: а tool in turbulent research. Ann. Rev. Fluid Mech. 1998, v.30, pp.539-578.

83. Никитин H.B. Прямое численное моделирование турбулентных течений в трубах. Дис.докт. физ.- мат. наук. М., МГУ, 1996.

84. Винниченко Н.А., Никитин Н.В., Уваров А.В. Вихревая дорожка Кармана в колебательно-неравновесном газе. Изв. РАН, МЖГ. 2005,№5, с.107-114.

85. Мукин Р.В., Осипов А.И., Уваров А.В. Устойчивость неоднородного потока колебательно-неравновесного газа в волноводе. Изв. РАН. МЖГ. 2007. №1. с.144-15 0.

86. Никитин Н.В., Полежаев В.И. Трехмерные эффекты переходных и турбулентных режимов тепловой гравитационной конвекции в методе Чохральского // Изв. РАН. МЖГ. 1999. №6. С.81-90.

87. Никитин Н. В. О характере вторичных течений во вращающейся трубе. Изв. РАН, МЖГ. 1992, №6, с.29-35.

88. Eggels J.G.M., Unger F., Weiss M.H., Westerweel J., Adrian R.J., Friedrich R., Nieuwstadt F.T.M. Fully-developed turbulent pipe flow: a comparison between direct numerical simulation and experiment. J. Fluid Mech., 1994, v.268, p.175-209.

89. Никитин Н.В. Пространственный подход к численному моделированию турбулентности в трубах. Докл. РАН, 1995, т.343, №6, с. 767-770.

90. Никитин Н.В. Численное моделирование турбулентных течений в трубе квадратного сечения. Докл. РАН, 1997, т.353, №3, с. 338-342.

91. Nikitin N., Yakhot A. Direct numerical simulation of turbulent flow in elliptical ducts. J. Fluid Mech., 2005, v.532, p.141-164.

92. Никитин Н.В. Прямой расчет турбулентных течений в эксцентрических трубах. ЖВМ и МФ, 2006, т.4 6, №3, с.509-525.

93. Araki К., Mizushima J., Yanase S. The nonaxisymmetric instability of the wide gap spherical Couette flow. Physics of fluids, 1997, v.9, №4, pp.1197- 1199.

94. Harris D., Bassom A.P., Soward A.M. An inhomogeneous Landau equation with application to spherical Couette flow in the narrow gap limit. Physica D, 2000, 137, p. 260-276.

95. Harris D., Bassom A.P., Soward A.M. Global bifurcation to traveling waves with application to narrow gap spherical Couette flow. Physica D, 2003, 177, p. 122-174.

96. Dumas G., Leonard A. A divergence-free spectral expansions method for three-dimensional flows in spherical-gap geometries. J. Сотр. Phys., 1994, v.Ill, №2, p. 205-219.

97. Nakabayashi K. Transition of Taylor-Gortler vortex flow in spherical Coquette flow. J. Fluid Mech., 1983, v.132, p.209-230.

98. Астафьева Н.М. Анализ устойчивости течений во вращающихся сферических слоях (линейная теория). Изв. РАН, МЖГ, 1997, №6, с.63-73.

99. Зиканов О.Ю. Численное исследование неустойчивости течения вязкой жидкости во вращающихся объемах. Дисс. . канд. физ. мат. наук. М. МГУ. 1993. 141с.

100. Sha W., Nakabayashi К, Ueda Н. An accurate second-order approximation factorization method for time-dependent incompressible Navier-Stokes equations in spherical polar coordinates. J. Сотр. Phys., 1998, v.142, p. 47-66.

101. Sha W., Nakabayashi K. On the structure and formation of spiral Taylor-Gortler vortices in spherical Couette flow. J. Fluid Mech., 2001, v.431, p.323-345.

102. Nikitin N. Finite-difference method for incompressible Navier-Stokes equations in arbitrary orthogonal curvilinear coordinates //J. Сотр. Phys. 2006, 217(2), pp. 759-781.

103. Nikitin N.V. Third-order-accurate semi-implicit Runge-Kutta scheme for incompressible Navier-Stocks equations. //Int. J. Num. Meth. Fluids, 2006, 51, pp.221-233

104. Лойцянский JI.Г. Механика жидкости и газа. М. : Наука, 1973. 848С.

105. Munson, В. R., Mengaturk, М. : Viscous incompressible flow between concentric rotating spheres. Part3: Linear stability and experiments. J. Fluid Mech., 1975, 69, №4, p.705-719.

106. Жиленко Д.Ю., Кривоносова О.Э., Никитин Н.В. Развитие пространственных структур течения при ламинарно-турбулентном переходе в широком сферическом слое// Докл. РАН, 2007, т. 414, №1, с.39-43.

107. Жиленко Д.Ю., Кривоносова О.Э., Никитин Н.В. Прямой расчет ламинарно-турбулентного перехода в широком сферическом слое// Изв. РАН. МЖГ. 2007. В печати.