Нелинейные неравновесные процессы во вращающемся сферическом слое жидкости и в земной атмосфере тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение.

В. 1. Актуальность проблемы и ее состояние.

8.2. Структура и краткое содержание диссертации.

8.3. Научная новизна, практическая и теоретическая ценность результатов; основные положения, выносимые на защиту; апробация результатов.

ГЛАВА 1. Основные закономерности нелинейной динамики и линейной устойчивости проблемы СТК — сдвигового течения несжимаемой вязкой жидкости между концентрическими коаксиально вращающимися сферами.

1.1. Математическая постановка задачи о движениях, формирующихся в сферических слоях несжимаемой вязкой жидкости под воздействием вращения граничных сфер.

1.1 ,а. Формулировка нелинейной проблемы СТК.

1.1 ,б. Формулировка задачи об устойчивости СТК по отношению к малым возмущениям.

1.1, в Спектральный состав течений в сферических слоях.

1.2. Общие закономерности нелинейной динамики и устойчивости осе-симметричного СТК в случае вращения одной внутренней сферы

1.2, а. Зависимость СТК от толщины слоя жидкости; три стадии развития основного течения.

1.2,6. Устойчивость СТК по отношению к малым возмущениям.

1.2, в. Нелинейная динамика СТК в тонких слоях; вторичные течения и их неединственность.

1.3. Особенности осесимметричного СТК в случае вращения обеих граничных сфер в одну или разные стороны с постоянными угловыми скоростями.

1.3, а. Основное течение и области существования вторичных кольцевых режимов.

1.3,6. Вторичные периодические течения со сменой топологии; их нелинейная динамика и линейная устойчивость.

ГЛАВА 2. Специфика нелинейной динамики СТК в толстом слое; устойчивость основного течения и формирование трехмерных вторичных режимов.ПО

2.1. Общие закономерности нелинейной динамики основного течения в толстом слое в случае вращения одной внутренней сферы.НО

2.1 ,а. Эволюция основного течения с ростом числа Рейнольдса.

2.1 ,б. Перераспределение углового момента в жидкости и формирование вязких пограничных и сдвиговых слоев.

2.1 ,в. Спектральный состав основного течения; соотношение между меридиональной и азимутальной составляющими.

2.2. Устойчивость основного течения по отношению к малым трехмерным возмущениям.

2.3. Упорядоченные нелинейные трехмерные вторичные течения.

2.3,а. Зависимость вторичного течения от толщины слоя.

2.3,6. Физический механизм неустойчивости СТК в толстом слое.

ГЛАВА 3. Воздействие тепловых и динамических граничных условий и свойств жидкости на структуру глобальной циркуляции во вращающихся сферических слоях.

3.1. Влияние сжимаемости жидкости и стратификации плотности на сдвиговое течение во вращающихся сферических слоях.

3.1 ,а. Влияние сжимаемости жидкости на характер течения в сферическом слое с вращающимися границами.

3.1,6. Влияние стратификации плотности на характер течения в сферическом слое с вращающимися границами.

3.2. Влияние неоднородных по широте граничных условий на движение слабо сжимаемой вязкой жидкости в покоящемся или однородно вращающемся сферическом слое.

3.2,а. Постановка задачи в приближении Буссинеска.

3.2,6. Влияние динамических граничных условий на формирование движений в покоящемся или однородно вращающемся сферическом слое.

3.2, в. Воздействие центрально-симметричного потока тепла изнутри слоя и неоднородных напряжений сдвига на границах.

ГЛАВА 4. Основные закономерности нелинейной временной изменчивости процесса ЮКЭН — важного компонента термодинамики системы океан - атмосфера.

4.1. Структура глобальной циркуляции атмосферы и явление Эль-Ниньо.

4.1,а. Основные характеристики явления Эль-Ниньо и глобальной климатической аномалии Южное Колебание (ЮК).

4.1 ,б. Некоторые особенности системы циркуляции океана и атмосферы тропических широт в годы с Эль-Ниньо и без него.

4.2. 500 лет из жизни Эль-Ниньо.

4.3. Нелинейная динамика изменчивости характеристик процесса

ЮКЭН.

4.3, а. Мультимасштабная структура индекса ЮК.

4.3,6. Стохастичность процесса ЮКЭН.

ГЛАВА 5. Выявление связей долговременной изменчивости природных катастроф разного масштаба (ЮКЭН и ГТЦ) с другими характеристиками термодинамической активности атмосферы.

5.1. Иерархическая структура изменчивости коллективной вихревой активности атмосферы — интенсивности глобального тропического циклогенеза.

5.1 ,а. Иерархическая структура интенсивности ГТЦ.

5.1 ,б. Региональные особенности ГТЦ.

5.2. Процессы ЮКЭН и ГТЦ в цепочке гелио- reo динамической активности.

5.2,а. Изменчивость приземной температуры воздуха, глобальной и региональных.

5.2,6. Структура временной изменчивости солнечной активности.

5.2,в. Нелинейная изменчивость географических параметров.

Во введении обоснованы актуальность, научная ценность и новизна темы диссертации. Сформулированы цели проведенных исследований, обоснован выбор проблем и некоторые детали постановки задач. Кратко излагается история формулировки и изучения рассматриваемых в диссертации проблем и отражается место полученных результатов среди исследований, проведенных другими авторами. Описана структура и дано краткое содержание диссертации. Приведены сведения о научной новизне и практической и теоретической ценности полученных результатов, основные положения, выносимые на защиту, а также сведения об апробации результатов работы.

В последние годы огромный интерес вызывают проблемы упорядоченного поведения неравновесных систем: проблемы образования, устойчивости и разрущения упорядоченных временных и пространственных структур в сложных неравновесных системах самой различной природы. Такие проблемы возникают во многих, казалось бы не так уж тесно связанных областях науки: в социологических, экономических, биологических, медицинских, химических, астрофизических, термогидродинамических и других системах. Хорошо известны, ставшие уже классическими и вошедшие в монографии и учебники, примеры возникновения упорядоченных структур: реакция Белоусова-Жаботинского в химии, спиральные галактики в астрофизике, в гидродинамике — это шестиугольные ячейки Бенара и тороидальные вихри Тейлора.

Настоящая работа посвящена исследованию общих свойств и закономерностей нелинейной динамики и процессов формирования упорядоченных временных, пространственных и пространственно-временных структур в таких неравновесных системах, как сферический слой вязкой жидкости при подводе тепла и (или) углового момента и земная атмосфера. Интерес к этим исследованиям связан с проблемами теории гидродинамической устойчивости, с проблемами моделирования процессов в астро- и геофизических объектах, а также с необходимостью изучения изменчивости и упорядоченного поведения геофизических процессов.

В большей своей части работа является продолжением и развитием исследований начатых соискателем еще в 1970-х гг. по инициативе академика Г.И. Петрова и направленных на изучение нелинейной динамики, общих свойств и закономерностей сдвигового течения вязкой жидкости во вращающихся сферических слоях методами численного моделирования. В слое вязкой жидкости, заключенной между коаксиальными концентрическими сферами, под действием вращения граничных сфер формируется сдвиговое течение, которое по аналогии с цилиндрическим течением Куэтта (ЦТК) принято называть сферическим течением Куэтта (СТК). По сравнению со своими более простыми классическими аналогами, сдвиговыми течениями в плоском и цилиндрическом слоях, СТК является течением более общего типа. Топология и устойчивость СТК, формирующегося в естетсвенным образом замкнутой области, определяется тремя параметрами подобия (Ке, 6, со)*; уже при малых значениях числа Рейнольдса Яе основное течение зависит от двух координат и имеет все три компоненты скорости; при различных значениях параметров подобия в сферических слоях реализуются большинство типов движений, пограничных и сдвиговых вязких слоев, физических меха Ке — число Рейнольдса, 5 — толщина слоя жидкости, со — отношение угловых скоростей вращения граничных сфер. механизмов неустойчивости и сценариев перехода к турбулентности, которые наблюдаются во вращающейся жидкости. Задача об СТК может послужить основой для изучения и прогнозирования любых природных и технологических движений и процессов, форму и устойчивость которых определяют, в основном, два физических фактора: сферическая геометрия области течения и вращение объема.

Тепловая конвекция является неотъемлемым процессом геофизических объектов; она влияет на глобальные движения в атмосфере, океанах и мантии Земли. Взаимодействие конвекции с вращением, нелинейный обмен теплом и угловым моментом, оказывает влияние на топологию и масштабы течений, заметно усложняет и обогащает спектр движений, формирующихся в сферических слоях. Реальные движения в геофизических объектах неизмеримо более сложны, они определяются большим числом нелинейно взаимодействующих природных процессов. Численное моделирование, являясь удобным инструментом исследования многопараметрических систем, позволяет выделить определенные физические факторы и рассмотреть их влияние на основе ясной математической постановки и с минимальным числом основополагающих допущений. Задача о движениях вязкой жидкости во вращающихся сферических слоях при различных динамических и тепловых воздействиях может послужить основой для изучения крупномасштабных термодинамических природных процессов, формирующихся под определяющим влиянием трех основных факторов: сферической геометрии планеты, ее вращения и процессов переноса тепла.

Геофизические процессы протекают в открытой нелинейной системе взаимосвязанных геосфер планеты, формируясь в результате большого набора природных процессов энергообмена и массопереноса (в широком диапазоне интенсивностей и с разными пространственными и временными масштабами). Сложность нелинейных неравновесных процессов в атмосфере отражается в структуре данных натурных наблюдений. Определение основных свойств и закономерностей временной изменчивости гидрометеорологических параметров, характеризующих энергетику и динамику наиболее влиятельных атмосферных процессов с разными пространственно-временными масштабами, важно для оценки степени упорядоченности поведения атмосферы. В этой связи особый интерес представляет изучение крупномасштабных природных процессов, оказывающих заметное воздействие на транспортные и диссипативные свойства атмосферы, нарушающих нормальный цикл циркуляции в системе океан-атмосфера и приводящих к широкомасштабным аномалиям всего климатического процесса планеты.

Проведенное в диссертационной работе исследование является важным вкладом в иззАчение упорядоченного поведения неравновесных систем. Диссертационная работа является первым последовательным теоретическим исследованием общих свойств и закономерностей нелинейной динамики и устойчивости движения вязкой жидкости во вращающихся сферических слоях, принадлежащего к классу самых распространенных движений в природе и в технологических процессах — сдвиговым движениям вязкой жидкости. Полученные общие закономерности, результаты и выводы можно классифицировать как крупный вклад в развитие современных представлений о гидродинамической устойчивости, они: • могут быть полезны для понимания физических механизмов, ответственных за нелинейную динамику и устойчивость процессов во вращающихся сферических слоях и в реальных геофизических условиях; • могут способствовать построению моделей, адекватно описывающих основные особенности нелинейной динамики атмосферных процессов (глобальных движений и изменчивости климатических характеристик); • могут дать новый взгляд на проблему прогнозирования климата и на проблемы диагностики и прогнозирования крупномасштабных природных атмосферных катастроф.

В1. Актуальность проблемы и ее состояние

Интерес к обозначенным выше исследованиям связан: • с проблемами общей теории гидродинамической устойчивости и турбулентности; • с потребностями изучения и моделирования крупномасштабных термодинамических процессов в астро- и геофизических, а также в технологических объектах; • с необходимостью выявления степени упорядоченности и изменчивости природных процессов (например, с проблемой изменчивости климата). Этот интерес определяется важностью выявления общих закономерностей в процессах образования, устойчивости и разрушения организованного поведения, возникающего в открытых системах, в нелинейных неравновесных системах различной природы, в результате внешнего воздействия или собственных внутренних неустойчивостей.

• Открытые системы, в отличие от идеализированных изолированных систем, могут обмениваться с окружающей средой энергией, веществом и информацией. Эволюция систем — очень общее понятие. Если в изолированной системе существуют неоднородности (температуры, концентрации, скорости), то вызванные ими неравновесные процессы (теплопроводности, диффузии, вязкости) будут стремиться к устранению различий и установлению состояния равновесия. В результате эволюции открытых систем в них возможны как процессы деградации (переход в стационарное состояние в гидродинамике), так и процессы организации упорядоченного поведения с образованием последовательности более сложных структур. Организованное поведение в неравновесной системе может возникнуть по причине внешнего воздействия (вынужденная организация) или в результате собственных внутренних неустойчивостей (самоорганизация).

Процессы организации упорядоченного поведения занимают особое место среди эволюционных процессов: они возможны лишь в нелинейных системах и происходят только в диссипативных системах. Нелинейность является источником широкого спектра разнообразных сложных движений, а без участия диссипации невозможно образование устойчивых пространственно-временных структур {Климонтович, 1990).

Интерес к изучению нелинейных диссипативных систем очень велик и связан, в частности, с их чрезвычайно широким спектром от физического вакуума и экономики до социологических и биологических систем {Николис, Пригожий, 1963, 1979; Хакен, 1985). В гидродинамике наиболее часто цитируемые примеры нелинейных неравновесных систем: • проблема Релея-Бенара — конвекция в подогреваемом снизу плоском слое жидкости (с формированием упорядоченных структур в виде шестиугольных ячеек Бенара) и • проблема Тейлора-Куэтта — сдвиговое течение вязкой жидкости в слое между коаксиально враш;ающимися цилиндрами (с формированием упорядоченных вторичных движений в виде тороидальных вихрей Тейлора). Примером нелинейной неравновесной системы является также и проблема СТК — сдвиговое течение вязкой жидкости в слое между концентрическими коаксиальными сферами, формируюш;ееся под воздействием вращения граничных сфер.

При анализе и сопоставлении сложных движений важен выбор управляющих параметров, изменение которых определяет характер процесса. В гидродинамике в зависимости от типа течения роль управляющего параметра могут играть числа Рейнольдса Ке, Релея Ка, Тейлора Та. С ростом управляющего параметра возникают бифуркации — переходы от одного режима течения к другому — качественные изменения в решениях системы уравнений гидродинамики или в лабораторном эксперименте. Прослеживая по мере квазистатического роста управляющего параметра последовательность бифуркаций можно дойти до непериодического хаотического решения, т. е. найти весь сценарий перехода к хаосу. На практике такая задача чрезвычайно сложна и в настоящее время нет надежных численных расчетов последовательности бифуркаций, приводящей к хаосу в реальных течениях, онисываемых уравнениями Навье-Стокса: как правило, используются маломодо-вые, двумерные и другие приближения.

Следует отметить, что после появления теории детерминистского динамического хаоса {Ruelle&Takens, 1971; Newhouse et. al, 1978) экспериментальные исследования показали возможность развития стохастических процессов при конечном значении управляющего параметра после небольшого числа бифуркаций {Belyaev et. al, 1985; Brandstater&Swinney, 1987; Brand-stater et al., 1983), a теоретические — в системах обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений относительно невысокого порядка. Однако по прошествии 1-2-х десятилетий стало ясно, что необходимыми свойствами реальной турбулентности являются и временная и пространственная стохас-тичность. Это повышает значимость изучения стохастических режимов и сценариев перехода на основе системы уравнений гидродинамики — нестационарных нелинейных уравнений Навье - Стокса (что тем более важно в свете теоремы о центральном многообразии), а также подчеркивает необходимость развития методов, адекватных таким задачам, в частности, очень перспективных, на наш взгляд, полуспектральных методов.

Можно разбить проблему поиска сценария перехода на два этапа: • изучение перестроек ламинарного течения при квазистатическом изменении управляющего параметра и • изучение характеристик хаотических течений и переходов между ними с дальнейшим ростом Re. Изучение перестроек течения и сравнение полученных результатов с известными теоретическими сценариями перехода (удивляет их небольшое число) и имеющимися результатами экспериментальных исследований представляет большой интерес; причем и их согласие, и отличия между ними одинаково интересны.

Наши исследования показали эффективность изучения сценариев перехода в сферическом течении Куэтта на первом этапе на основе численного решения полной системы нелинейных нестационарных уравнений Навье-Стокса полуспектральными методами. Второй этап связан с гораздо большими математическими и вычислительными трудностями, однако, и на этом этапе решение уравнений Навье-Стокса представляется перспективным.

Наиболее полное экспериментальное исследование сценариев перехода к турбулентности проведено к настоящему времени в классических проблемах: течении Тейлора-Куэтта (Swinney&Gollub, 1987) и конвекции Релея-Бенара {Gollub&Benson, 1980; Gollub&Swinney, 1975; Roux et al, 1983). Сейчас уже можно говорить о большом экспериментальном материале, накопленном при изучении сферического течения Куэтта. Наиболее последовательное исследование и практически все основные результаты по изучению сценариев перехода к турбулентности в проблеме СТК получены в серии экспериментов Ю.Н. Беляева и И.М. Яворской (1980,1984,1985,1991,1995).

Отметим, что в проблеме СТК обнаружено четыре различных сценария переходов к турбулентности: через последовательную синхронизацию — де-синхронизацию колебаний двух частот; путем генерации субгармоник одной частоты; через квазипериодический режим с тремя частотами; через перемежаемость квазипериодического и непериодического режимов.

• Изучение свойств сдвиговых течений вязкой жидкости остается актуальным для развития общей теории гидродинамической устойчивости на протяжении длительного времени (Stokes, 1845; Rayleigh, 1916; Taylor, 1923; Heisenberg, 1924). Следует отметить, что огромное число работ было посвящено и посвящается изучению устойчивости плоских течений Пуазейля и Куэтта и аналогичных течений в трубах разного сечения и в цилиндрических слоях и довольно мало (всего несколько работ до 1970-х гг.) — устойчивости течений в сферических слоях. Это объясняется сложностью задачи и для теоретического, и для экспериментального исследования. Тем не менее, большой интерес к движениям в сферических слоях позволил в последние 20-25 лет заметно продвинуться изучении их устойчивости. Интерес к сдвиговым течениям связан и с проблемами общей теории гидродинамической устойчивости и с прикладными геофизическими задачами и определяется, в частности, большой распространенностью этого типа движений в природе и в технологических процессах {Бэтчелор, 1973; Гринспен, 1975; Джозеф, 1981; Монин, 1978, 1986). Именно астро- и геофизическими приложениями стимулировались работы по изучению устойчивости движения жидкости, возникающего из-за наличия горизонтального градиента температуры, во вращающихся кольцевых цилиндрических сосудах, см., например, обзоры (Должанский и Голицын, 1977). В настоящее время в линейной теории устойчивости наибольший интерес вызывает рассмотрение течений, отличных от стационарных и плоских, а также течений, формирующихся под влиянием нестандартных граничных условий. Нелинейность реальных движений и процессов объясняет постоянный интерес к нелинейной теории.

Для примера приведем лишь несколько последних из огромного количества работ, посвященных экспериментальному и теоретическому изучению сдвиговых течений вращающейся жидкости (с разными тепловыми и динамическими воздействиями и в объемах разной формы: плоских, цилиндрических, конических, сферических). Неустойчивость экмановского типа изучается в слое между вращающимися дисками в присутствии градиента давления, моделирующего сквозной поток {НоЛпапп&Ви55е, 2001). Линейная устойчивость ЦТК изучается в случае, когда цилиндры осциллируют в фазе или противофазе (Аошс1е/&Ыогтапс1, 2000). Экспериментально и численно изучается устойчивость ЦТК, когда одна из горизонтальных крышек объема вращается с внутренним цилиндром, а вторая покоится с внешним {МиШп&В1окт, 2001). Устойчивость тейлоровских вихрей в ЦТК изучается в случае вращения цилиндров в одну сторону; рассматривается переход к закрученным или волнисто закрученным вихрям {Ашощоап&Запскег, 2000). Наступление конвекции в ЦТК изучается в случае, когда высота объема зависит не только от расстояния от оси, но и от азимутальной координаты {Неггтапп&Виззе, 1998). Численно решается проблема Тейлора-Бенара в случае, когда дифференциально вращающиеся коаксиальные цилиндры поддерживаются при разных температурах; рассматривается предельный случай узкого зазора {Auer&Busse, 1998). Наступление конвекции в вертикальном вращающемся цилиндрическом объеме изучается в присутствии радиальной гравитации и подогрева изнутри; численно рещается задача на собственные значения в случае, когда есть плоская крышка с условиями без проскальзывания или свободная от напряжений (Alonso et ai, 1999). Устойчивость течения вязкой жидкости между дифференциально вращающимися конусами изучается в приближении тонкого слоя (Hojfmann&Busse, 1999). Изучается спектральная зональная анизотропия двумерной турбулентности на сфере, формирующаяся вследствие ее вращения (Nozawa&Yoden, 1997а, Ь); результаты сравниваются с полученными в приближении бета-плоскости. Экспериментально изучается переход к хаосу в СТК; сценарии перехода квалифицируются как сценарии типа Рюэля-Такенса-Ньюхауза (Wulf et al., 1999). Численно изучается тепловая конвекция в быстро вращающемся сферическом слое в присутствии магнитного поля для исследования динамо эффекта (Grote&Busse, 2001).

Наиболее полно изученными сдвиговыми течениями являются классические проблемы Куэтта-Пуазейля (рис. В1) и Тейлора-Куэтта (рис. В2). Несмотря на формальную простоту классических течений (одномерность профиля и зависимость от Re только амплитуды основного течения*) и тот факт, что за более чем полуторавековую историю исследования сдвиговых течений они удостаивались внимания ученых с очень громкими именами, история их изучения далеко непроста. Основное течение — единственное течение, существующее при Re < Reo (Reo — глобальный предел устойчивости), к которому стремятся при —> со все нестационарные течения с любыми начальными данными.

Uo(h)

Рис. В1. Проблема Куэтта-Пуазейля. Вид области течения и профили скорости течений Куэтта, Пуазейля и Куэтта-Пуазейля (слева направо).

Uo(r)-Re

I)

Рис. В2. Проблема Тейлора-Куэтта. Вид Re = Ю|г,№, области течения, основное (а) и вторичное Ш = 012/(01 (б) течение и определяющие параметры задачи.

Re

Так, плоскопараллельное течение Куэтта с линейным профилем Uo(h)Re согласно всем проводившимся вычислениям линейно устойчиво при любых конечных значениях числа Рейнольдса (доказательство этого факта пока не опубликовано). В то же время, из экспериментов известна его неустойчивость по отношению к конечно-амплитудным возмущениям, подтвержденная приближенными вычислениями {Ellingsen et ai, 1970).

Известна линейная устойчивость плоского течения Пуазейля с параболическим профилем Uo(K)Re в идеальной жидкости и знаменитый теперь Гейзенберг вызвал бурю негодования, когда обнаружил нормальную бифуркацию течения Пуазейля в вязкой жидкости {Heisenberg, 1924), поскольку в те времена вязкости полагалось быть сглаживающим фактором и уж никак не дестабилизирующим. Спустя 20 лет также знаменитый теперь Линь Цзя Цзяо численно подтвердил {Lin, 1945) линейную неустойчивость течения Пуазейля в вязкой жидкости. Однако их обоих опровергают результаты экспериментальных исследований, поскольку в эксперименте потеря устойчивости течения происходит при значениях числа Рейнольдса ReE, которые значительно ниже критического числа Рейнольдса Ret линейной теории. Позднее неустойчивость течения Пуазейля по отношению к конечно-амплитудным возмущениям была подтверждена численно {Reynolds&РоПех, 1967; Pekeris&-Shkoller, 1967).

Цилиндрическое течение Куэтта (сдвиговое течение жидкости в слое между бесконечными коаксиально вращающимися цилиндрами) определяется двумя параметрами подобия (Re, ю) — число Рейнольдса и отношение угловых скоростей вращения граничных цилиндров; основное течение в ЦТК Uo(r)Re зависит только от радиальной координаты и с ростом Re меняется лишь его амплитуда. Релей {Rayleigh, 1916) показал, что при выполнении условия ö(rU) /or < О течение идеальной жидкости между вращающимися цилиндрами становится неустойчивым. В вязкой жидкости ЦТК независимо от толщины слоя 6 становится линейно неустойчивым относительно монотонных осесимметричных возмущений (за исключением случая больших отрицательных со). После потери устойчивости основного течения в результате центробежного механизма неустойчивости и с соблюдением принципа смены устойчивости формируется стационарное осесимметричное вторичное течение в виде бесконечной стопки кольцевых вихрей (см. рис. В2) — торои

U с» гр U с» дальных тейлоровских вихрей, названных именем Тейлора, который первым получил их численно в приближении тонкого слоя {Taylor, 1923). G ростом Re на тороидальных вихрях также в результате нормальной бифуркации Хопфа появляются азимутальные моды {Gollub&Swinney, 1975). Дальнейшее увеличение Re после нескольких переходов (вихри с волной — вихри с двумя независимыми частотами - вихри с двумя зависимыми частотами и т. д. {Fenstermacher et ah, 1979; Andereck et al, 1983;)) приводит к формированию турбулентного течения. Особняком стоит случай больших отрицательных со — здесь ЦТК теряет устойчивость относительно периодических неосесиммет-ричных возмущений {Krueger et ah, 1966).

• Сферическое течение Куэтта — сдвиговое движение вязкой жидкости, формирующееся в слое между коаксиальными концентрическими сферами под воздействием вращения граничных сфер (на рис. ВЗ показана область течения). СТК — более сложное течение, чем его классические аналоги, в отличие от них СТК:

• происходит в естественным образом замкнутой области, а известно (Сорокин, 1961), что явления неустойчивости в замкнутых и незамкнутых областях различны;

• топология течения определяется всеми тремя параметрами подобия (это число Рейнольдса Ке, толщина слоя жидкости 6 и соотношение между угловыми скоростями граничных сфер со); причем устойчивость течения не только от числа Рейнольдса, но и от двух других параметров, 5 и со, зависит критическим образом.

• уже при малых значениях Ке основное течение зависит от двух независимых переменных (радиуса г и широтного угла 0) и имеет все три компоненты скорости; каждая частица жидкости участвует и в меридиональном, и в азимутальном движениях (рис. В4), совершая винтовую намотку на торо-подобную «поверхность тока»;

• с ростом Яе меняется не только амплитуда, но и форма основного течения; этот факт и отсутствие аналитического решения для основного течения заметно усложняют изучение линейной устойчивости СТК.

Ле = о)1Г,2Д, б= (г2-г1>/г1> со = «2/«!

Рис. ВЗ. Вид области течения между вращающимися сферами и определяющие параметры задачи.

Re

2,5-D

6)

Рис. В4. Проекции линий тока на меридиональную плоскость *Р = const (далее будем называть их линиями тока) и линии уровня угловой скорости Q. = const (в нижней полусфере) основного течения Uo(r, 6, Re) в СТК (а) при вращении одной внутренней сферы (со = 0). Показаны изменения, происходящие с ростом числа Рейнольдса: вид вторичного течения после первой бифуркации в тонком слое (б) и трансформация основного течения в толстом слое (в).

Сложность основного течения Uo(r, 9, Re, 8, со) = (U, V, W} приводит к тому, что в СТК наблюдается большинство типов движений, вязких слоев (пограничных экмановских и свободных сдвиговых), физических механизмов неустойчивости и сценариев перехода к турбулентности, характерных для вращающейся жидкости. Применение для суждения об устойчивости СТК критериев, относящихся к плоскому или цилиндрическому течениям, приводит к качественно неверным выводам. Так, например, развитие основного течения с ростом Re в сферических слоях зависит от толщины слоя (см. рис. В4), в результате чего, механизмы неустойчивости и форма вторичного течения в СТК различны в тонких и толстых слоях. Напомним, что форма основного течения и его устойчивость в плоском и цилиндрическом сдвиговых течениях не зависят от толщины слоя жидкости.

В общем виде проблема СТК описывается начально-краевой задачей для системы нелинейных нестационарных уравнений Навье - Стокса, решение которой представляет собой весьма сложную задачу даже при современном уровне вычислительной техники. Вследствие этого долгое время проблема СТК изучалась лишь в предельных случаях, когда задача имеет малый параметр и можно упростить уравнения.

Стоке первым дал строгую математическую постановку СТК в частном случае медленного вращения сферы в безграничной жидкости § с», Re « 1 и описал структуру течения {Stokes, 1845). Отметим, что эта задача и экспериментально {Sawatzki, 1970) и численно {Dennis&Ingham, 1979) была решена только более 100 лет спустя.

В случае малых значений числа Рейнольдса Re « 1 метод регулярных возмущений позволяет искать решение в виде бесконечного ряда по целым положительным степеням Re

U = SU„.ReAA (B.l) и свести задачу к последовательности систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Четные члены разложения (1) описывают азимутальное, а нечетные — меридиональное движение в слое. Нулевой член разложения описывает азимутальное движение в случае, когда инерционные силы малы по сравнению с силой вязкости, и представляет собой дифференциальное вращение жидкости — движение по концентрическим окружностям со скоростью {Кочин и др., 1963) r(aACU-lV-aA[cD-l) sin О

Это классическое приближение ={о,0,АоГ8ш9 называют течением Сто-кса. Характер меридиональной циркуляции, описываемой первым членом ряда {Langlois, 1964) показан на рис. В5. Это может быть одновихревое меридиональное течение с направлением* циркуляции, зависящим от того, влиянием какой из граничных сфер определяется течение, и двухвихревое меридиональное течение с расслоением циркуляции по радиусу при смешанном влиянии граничных сфер. Результатами многих работ продемонстрировано, что для описания основного течения в тонких слоях 5 « 1 можно пользоваться приближенным аналитическим решением (В.1), учитывая лишь несколько первых членов ряда, при достаточно больших Ке (до КГ и даже более).

РИС.В5. Типы меридиональной циркуляции основного течения при разных значениях о.

В случае быстрого почти твердотельного вращения Ке» 1 и со-11«1 обнаружено удивительно красивое течение Стюартсона-Праудмена. В этом предельном случае вязкие напряжения на сферических границах вызывают слабое дополнительное к твердотельному течение. Решение линеаризованных уравнений {Ргоидтап, 1956) показало, что вертикальный цилиндр, охватывающий внутреннюю сферу, разделяет области с разными характеристиками течения: вне цилиндра жидкость вращается как твердое тело, внутри него в невязком ядре характеристики течения зависят Положительным принято считать направление циркуляции против часовой стрелки, т. е. направление циркуляции, которая формируется при доминирующем влиянии вращения внутренней сферы. а а а только от расстояния от оси вращения. На рис. В6 показаны линии тока меридионального течения и структура цилиндрического сдвигового слоя, которая оказалась очень сложной. Методом сращиваемых асимптотических раз

U /—i с» U U ложений Стюартсон показал, что вертикальный сдвиговый слой состоит из нескольких слоев разной толщины, выполняющих разные физические функции {Stewartson, 1957, 1966). В одном из них осуществляется поток жидкости между пограничными экмановскими слоями на сферах; в другом происходит сглаживание разрыва азимутальной скорости; в слое между первыми двумя сглаживаются разрывы во второй производной азимутальной скорости и в нормальной оси вращения компоненте меридиональной скорости.

Отметим, что тенденция к образованию вертикального сдвигового слоя Стюартсона-Праудмена при почти твердотельном вращении сферического слоя подтверждена {Bonnet, 1975; Bonnet&Roquefort, 1976) подробным численным решением задачи и в лабораторных экспериментах.

Рис. В6. Течение Стюартсона-Праудмена: меридиональная циркуляция (а) и структура свободного сдвигового слоя (б).

В предельном случае очень тонкого слоя 5 « 1 изучалось не только основное течение, но и его устойчивость по отношению к малым возмущениям {Walton, 1978; Hocking, 1981; Soward&Jones, 1983). Отметим, что попытки изучения устойчивости СТК на основе этого и других асимптотических решений для основного течения не привели к верным результатам.

В случае средних значений определяющих параметров, когда нет малого параметра и невозможны асимптотические разложения, для решения задачи использовались различные численные методы: разностные или спектральные. Отметим здесь лишь несколько интересных по тем или иным причинам работ. В первой и очень удачной работе по численному моделированию СТК методом конечных разностей {Pearson, 1967) изучалось основное течение в толстом слое в случае вращения одной из граничных сфер и почти твердотельного вращения. Конечно-разностными методами с использованием подробных сеток {Bonnet&Roquefort, 1976; Greenspan, 1975; Schultz&Greenspan, 1979) получены решения в толстом слое, согласующиеся между собой и с результатами Pearson'a. При близких значениях определяющих параметров задача решалась методом Галеркина с базисом из собственных функций задачи о возмущениях равновесия жидкости в сферическом слое {Якушин, 1968,а; 1968,а); однако базис из 12 функций оказался недостаточным для адекватного описания течения.

Использование полупрямых методов для решения проблемы СТК поначалу не принесло желаемого результата. Полупрямой метод, основанный на разложении искомых функций в ряды по целым положительным степеням полярного угла 9 {Ritter, 1973), оказался малоперспективным, поскольку сходимость этого метода, по утверждению автора, хорошая везде, кроме приэкваториальной области, а именно там и происходят наиболее интересные явления и в основном течении и при потере устойчивости СТК. Полуспектральные методы применялись для моделирования СТК в толстом слое {Munson& Joseph, 1971,а), где функция тока и угловой момент представлялись в виде рядов по полиномам Лежандра, и {Dennis&Singh, 1978), где решение представлялось в виде рядов по функциям Гегенбауэра; использованных авторами семи и восьми членов ряда, соответственно, оказалось недостаточно для качественно верного описания основного течения.

Впервые полуспектральный метод с представлением решения в виде рядов по присоединенным функциям Лежандра был удачно использован (Астафьева и др., 1985,в) для изучения основного течения, нахождения пределов устойчивости и вторичных осесимметричных течений; специальное исследование показало, что для адекватного описания течения в сферическом слое необходимо гораздо большее число базисных функций, чем предполагалось другими авторами.

Все численные методы оказываются достаточно трудоемкими, поскольку течение необходимо описывать с подробной дискретизацией. Это объясняется спецификой задачи, где имеется три или даже более линейных масштаба*, вследствие чего в сферических слоях одновременно могут существовать и нелинейно взаимодействовать движения, очень различающиеся по масштабу и интенсивности. В результате, использование конечно-разностных методов приводит к необходимости подробных пространственных сеток, а использование спектральных или полуспектральных методов — к большому числу базисных функций.

Существует довольно много работ, содержащих неверные результаты численного исследования проблемы СТК, именно по причине пренебрежения необходимостью подробной дискретизации решения. В некоторых работах приводятся качественно неверные картины линий тока, полученные при неточном описании решения из-за того, что было оставлено недостаточное число членов ряда (В.1), использовались разностные сетки с недостаточно подробной дискретизацией или спектральные методы с недостаточным числом функций, описывающих зависимость течения от широты. Практически Это естественные геометрические масштабы области течения: радиус внутренней сферы, толш;ина слоя жидкости и длина экваториальной окружности, а с ростом числа Рей-нольдса формируются экмановские пограничные и свободные сдвиговые вязкие слои со своими толщинами. все попытки изучения линейной устойчивости СТК вплоть до 1985 года (Астафьева, 1985а, б, в) оказывались неудачными, в основном, по двум причинам: • во-первых, из-за вполне естественного при решении такой громоздкой задачи желания сэкономить на дискретизации либо основного течения, либо возмущения; • во-вторых, в тех же целях завышалась степень симметрии возмущения и изучалась устойчивость по отношению к осесимметричным возмущениям или к трехмерным, но симметричным по отношению к плоскости экватора или монотонным возмущениям.

Исследование СТК в общем случае на основе начально-краевой задачи для системы нелинейных нестационарных уравнений Навье - Стокса начато соискателем в 1970-х гг. по инициативе академика Г.И. Петрова. Проблема СТК привлекала внимание многих исследователей, поскольку по значимости для общей теории гидродинамической устойчивости СТК стоит в одном ряду с классическими проблемами Релея-Бенара, Куэтта-Пуазейля и Тейлора-Куэтта. Однако, наиболее полное и последовательное изучение нелинейной динамики осесимметричного (2,5-В) монотонного СТК с применением методов численного моделирования было проведено в работах соискателя. В этом плане диссертационная работа является продолжением и развитием исследований по изучению общих свойств и закономерностей нелинейной динамики и линейной устойчивости течений во вращающемся сферическом слое — трехмерных (З-В) и нестационарных. Отметим, что примеры численного решения трехмерных задач вообще довольно редки, а работы, исследующие трехмерное СТК, отсутствовали.

Практически все основополагающие результаты в этой проблеме получены соискателем впервые: неустойчивость СТК, упорядоченные вторичные режимы, зависимость физического механизма неустойчивости от толщины слоя, сценарии переходов между вторичными режимами и неединственность течения. На редкость удачным обстоятельством является возможность сравнения результатов численного эксперимента с полученными в лабораторном физическом эксперименте, особенно в такой сложной проблеме, как проблема СТК. Эта возможность была у соискателя в течение двух десятилетий работы, благодаря экспериментальным исследованиям И.М. Яворской и Ю.Н. Беляева, проводившимся в Институте механики МГУ им. М.В. Ломоносова.

Полученные в диссертационной работе результаты имеют большое значение для теории гидродинамической устойчивости и для выявления общих закономерностей организованного поведения в нелинейных неравновесных системах; их можно квалифицировать как крупное достижение в развитии этого научного направления. Кроме того СТК может послужить основой для понимания отдельных явлений и управляющих физических механизмов в геофизических процессах (Philander, 1971), которые определяются в основном двумя физическими факторами: сферическая геометрия и вращение объема. Полученные в работе результаты могут найти применение в инженерных задачах: при прогнозировании технологических процессов, включающих вращение и кривизну поверхности, например, происходящих в поплавковых гироскопах и шаровых подшипниках (они уже применялись в теории смазки).

• Все природные процессы и явления звездной или планетной гидродинамики и термодинамики предстают в астро- и геофизических объектах не изолированными, а в сложном, как правило, нелинейном взаимодействии друг с другом. Такие физические факторы, как магнитные поля и гравитация, сферическая геометрия объема и вращение, сжимаемость и стратификация плотности, градиенты температуры и процессы выделения, поглощения и переноса тепла и многие другие оказывают влияние на глобальные движения в оболочках и недрах звезд и планет, в частности, в атмосфере, океанах и жидком ядре Земли. Необходимость глубокого понимания взаимодействия этих физических факторов и их влияния на явление в целом вызывала и вызывает к жизни множество моделей, описывающих те или иные стороны астро- и геофизических явлтш (Гершуни и Жуховщкий, 1973, 1978).

Большой опыт, накопленный в построении моделей, описывающих термодинамические процессы в астро- и геофизических объектах, наряду с достижениями показал и трудности моделирования {Монин и Озмидов, 1981; Педлоски, 1984; Гилл, 1986). Вот всего две из них: • одна связана с большой сложностью и многопараметричностью природных процессов, формирующихся в результате множества нелинейных взаимодействий в широком диапазоне интенсивностей и пространственно-временных масштабов, • другая — с недостаточной информацией о физических условиях, вызывающих происходящие в астро- и геофизических объектах явления, и управляющих ими механизмах. Как правило, для получения согласия результатов моделирования с имеющимися наблюдательными данными, в моделях приходится вводить некий произвол: например, через коэффициенты турбулентной вязкости, переноса тепла, анизотропии свойств и другие. При выборе правильной гипотезы о физических механизмах, вызывающих моделируемые явления и управляющих ими, этот путь приводит к успеху, при выборе неправильной гипотезы может ввести в заблуждение.

Необходимы критерии выбора правильного направления — критерии независимые, полученные в строго контролируемых условиях. Это достижимо путем решения модельных задач, позволяющих выделить некоторые наиболее характерные физические факторы или механизмы и облегчить понимание явления в целом (Должанский и Голицын, 1977).

Моделирование является одним из наиболее удобных инструментов исследования поведения многопараметрических процессов. Представляется разумным искать понимание отдельных явлений и управляющих физических механизмов посредством численного моделирования, которое предоставляет уникальную и очень важную в таких случаях возможность выделить определенные физические факторы и рассмотреть их влияние независимо, в контролируемых условиях, на основе ясной математической постановки и с минимальным числом основополагающих допущений и искомых переменных.

Задача о течениях, формирующихся в сферическом слое вязкой теплопроводной жидкости при подводе тепла и (или) углового момента, может быть использована в качестве модельной для изучения особенностей нелинейного обмена теплом и угловым моментом в специфической геометрии. Эта модельная гидродинамическая задача, учитывает всего три из множества физических факторов: • сферическая геометрия области течения, • вращение объема и • тепловой обмен (на Земле — это, например, солнечная радиация и энергообмен между океанами, атмосферой и сушей).

Движение жидкости во вращающихся сферических слоях описывается начально-краевой задачей для системы уравнений гидродинамики, численное решение которой довольно сложно даже без учета процессов переноса тепла, стратификации плотности, сжимаемости и других важных для геофизических движений факторов. Лабораторный эксперимент по изучению движений во вращающихся сферических слоях также представляет собой сложную проблему, скорее даже целый комплекс проблем — научных и технических. Поэтому при численном и лабораторном моделировании геофизических процессов в целях упрощения часто используются различные приближения, позволяющие упростить решение проблемы.

В динамической метеорологии и океанографии для описания крупномасштабных течений часто используется приближение тонкого слоя жидкости на вращающейся сфере (приближение мелкой воды с учетом изменения толщины слоя за счет смещений дна и свободной поверхности). Завихренность элемента жидкости в этом приближении меняется только вследствие изменения толщины слоя или широты (поскольку сила Кориолиса во вращающейся сферической системе зависит от широты). Для описания течений, охватывающих малый диапазон широт, выбирают более локальные системы координат, например, используется приближение бета-плоскости, предполагающее малое линейное изменение параметра Кориолиса с широтой. В этом приближении пренебрегают кривизной области течения: движение происходит в плоском слое жидкости с линейно меняющейся в направлении север -юг угловой скоростью.

Замена сферической геометрии цилиндрической (в области экватора), плоской (в полярных областях) или приближением бета-плоскости в тех случаях, когда это неоправданно, может приводить не только к количественно, но и качественно неверным выводам. В результате целый ряд важных эффектов остается неизученным, либо имеет неадекватную интерпретацию, поскольку учет влияния каждого из трех определяющих факторов оказывается принципиально важным. Моделирование глобальных атмосферных движений и глобальных океанических течений требует рассмотрения задачи о движении вращающейся жидкости в полной области — от полюса до полюса.

Вращение является фактором, необходимым для формирования в атмосфере и океанах циркуляции глобального масштаба и большинства крупно- и мелкомасштабных движений. В сферической геометрии сила Кориолиса неоднородна и зависит от широты, что важно для термодинамических процессов разных масштабов. Кроме того, неоднородность силы Кориолиса приводит к появлению качественно новых эффектов в течениях жидкости. Например, некоторые стационарные в плоском слое течения в сферическом случае приобретают волновую природу (так появляются характерные для атмосфер и океанов волны Россби). Важное влияние вращения состоит в изменении направления горизонтальной скорости частицы, что вынуждает ее двигаться вправо в Северном полушарии и влево в Южном.

Перенос тепла в атмосфере и океанах вызывается различными причинами и приводит к динамическим процессам разных масштабов. Разность температуры между экваториальными и полярными областями создает меридиональные градиенты тепла, которые становятся причиной формирования движений глобального масштаба — глобальных циркуляции и зональных потоков. Градиент температуры на сфере в невозмущенном состоянии при равномерном распределении источников тепла сферически симметричен. Вращение вводит новую симметрию — относительно оси вращения, а сферическая геометрия области течения приводит к неоднородности в направлении экватор-полюс. В результате эффективность переноса тепла во вращающихся сферических слоях зависит от полярного угла даже при центрально симметричных тепловых потоках.

Учет вращения представляется тем более важным, что вместе с вращением в жидкости включается механизм, при помощи которого уже «вторичное» для азимутального вращения меридиональное движение может заметно изменить его путем перераспределения углового момента. «Вторичное» движение воздействует на «первичное» азимутальное течение путем растяжения вихревых линий и перераспределения и сохранения углового момента в жидкости. Это происходит всегда и везде на Земле: при взаимодействии с глобальной циркуляцией атмосферы и великими океаническими и крупномасштабными атмосферными струйными течениями; при взаимодействии с крупномасштабными термодинамическими процессами в системе океан-атмосфера, вызванными явлением Эль-Ниньо или процессом Южное Колебание - Эль-Ниньо; при возникновении, развитии и разрушении тропических тайфунов, циклонов средних широт и полярных ныряющих циклонов; при диссипации урагана над сушей и при формировании и развитии многих и многих процессов с разными временными и пространственными масштабами, происходящих в океанах, атмосфере и недрах Земли.

В связи с вышесказанным представляется важным развитие теории нелинейных упорядоченных структур, формирующихся во вращающихся сферических слоях вязкой жидкости, а также изучение влияния нелинейного обмена теплом и угловым моментом на топологию и масштабы формирующихся в слое движений. Задача об СТК при различных динамических и тепловых воздействиях на границах слоя может быть модельной основой для изучения физических механизмов, управляющих крупномасштабными термодинамическими процессами в системе океан - атмосфера. Характерные для СТК физические эффекты, приводящие к неустойчивости, неединственности решений и гистерезису, характерны также и для многих природных процессов.

Отметим, что задача о конвекции во вращающихся сферически слоях достаточно хорошо изучена при очень больших закритических значениях числа Релея, в основном, с целью создания модели конвективной оболочки Солнца (Шварцшильд, 1961) и объяснения причин ее дифференциального вращения (Busse, 1970, 1975; Durney, 1968, 1970; Geiger&Busse, 1981; Tilgner, 1997).

• Изучение реальных геофизических процессов представляет собой чрезвычайно сложную проблему, поскольку они протекают в открытой нелинейной системе взаимосвязанных геосфер и формируются в результате большого набора природных процессов под действием внутренних и внешних энергетических источников. Термодинамические процессы в системе океан-атмосфера, обмен завихренностью, угловым моментом и теплом, происходят на фоне и под управлением большого числа физических природных процессов, происходящих в разных геосферах планеты (Ван Мигем, 1977; Степанов, 1983). Энергетические потоки и массоперенос, происходящие в природных процессах в широком спектре интенсивностей и пространственных и временных масштабов, связывают между собой функционирующие структуры всех геосфер планеты. Как правило, эти связи, а в результате и сами геофизические процессы, оказываются сложными, нелинейными и многопараметрическими.

Для построения адекватных моделей термодинамических атмосферных процессов необходимо учитывать длинную цепочку природных процессов энергообмена, в частности, вклад движений разных масштабов. Существует детерминированная связь между статистическими характеристиками турбулентности и параметрами термодинамических полей, на фоне которых развивается турбулентность. В свою очередь, статистические характеристики тонкой структуры термодинамических полей связаны с крупномасштабными процессами энергообмена, характеристиками которых могут служить фоновые гидрометеорологические поля или параметры. Таким образом, изучение структуры и изменчивости гидрометеорологических параметров, характери-зуюш;их энергетику и динамику наиболее влиятельных атмосферных процессов с разными пространственно-временными масштабами, важно для оценки степени упорядоченности поведения атмосферы.

В этой связи особый интерес представляет изучение нелинейных свойств временной изменчивости крупномасштабных термодинамических природных процессов, оказывающих воздействие на транспортные и дисси-пативные свойства атмосферы. Таких, например, как процесс Южное Колебание - Эль-Ниньо (ЮКЭН) или глобальный тропический циклогенез (ГТЦ).

Южное Колебание — крупномасштабный атмосферный процесс, развивающийся над акваторией Тихого океана, и тесно связанный с явлением Эль-Ниньо — резким потеплением океанических вод вблизи тихоокеанского побережья Центральной Америки. Термин Южное Колебание ввел в 1920-х гг. известный английский ученый Gilbert Walker для обозначения аномалий приземного атмосферного давления вдоль тропической зоны. Чередование знаков аномалий напоминает гигантские качели, перекачивающие массы воздуха между восточным и западным полушариями: вблизи центров действия Южного Колебания противоположного знака находятся станции Таити (17° ю. ш., 150° з. д.) и Дарвин (12° ю. ш., 150° в. д.). Связь между этими двумя явлениями была осознана гораздо позже — после сильного Эль-Ниньо в 1957 г.

Термодинамический процесс глобального масштаба, ЮКЭН, происходит в тропической зоне системы океан-атмосфера, но оказывает заметное воздействие на динамику всей климатической системы планеты, влияя на циркуляции Гадлея и Уокера и на расположение областей активной конвекции в приэкваториальной зоне (Bjerknes, 1969; Philander, 1983; 1990). События Эль-Ниньо нарушают нормальный цикл циркуляции в системе океан-атмосфера и приводят к широкомасштабным аномалиям климатического процесса (Сапе, 1983; 1986; Wyrtki, 1975). ГТЦ — процесс коллективной вихревой активности интенсивных крупномасштабных атмосферных вихрей тропических широт — является важным звеном циркуляционных процессов в атмосфере.

Изучение крупномасштабных термодинамических процессов тропической зоны, ЮКЭН и ГТЦ, интересно и актуально по нескольким причинам:

• процессы в тропической зоне важны для динамики климата в масштабах десятилетия и более; к тому же, частота явления Эль-Ниньо некоторыми авторами ассоциируется с глобальным потеплением климата {Enfield&Cids, 1990);

• аномальный нагрев вод экваториальной зоны в период Эль-Ниньо обостряет контраст температуры между экватором и полюсами, что приводит к увеличению интенсивности зональной циркуляции; наблюдается смещение путей распространения тропических циклонов; аномалии погоды обнаруживаются не только в приэкваториальной зоне, но и в зонах умеренных широт;

• Эль-Ниньо и интенсивные тайфуны являются природными катастрофами и часто приводят к тяжелым экологическим и экономическим последствиям. Во время действия событий Эль-Ниньо из-за изменения расположения областей активной конвекции в обычно умеренно влажных районах наступают периоды засухи; в районах с обычно сухим климатом начинают лить проливные дожди и происходят наводнения; из-за прекращения прибрежного апвеллинга мигрирует или гибнет рыба, птицы, животные. Диагностика и прогноз таких опасных природных явлений чрезвычайно актуальны.

К тому же практически отсутствовали работы, в которых бы нестандартными математическими методами анализировались связи между временной структурой климата, с одной стороны, и многомасштабной структурой динамики ЮКЭН и ГТЦ — с другой, а также временной изменчивостью связанных с ними процессов в гелио- геодинамической цепочке энергообмена.

Международная программа TOGA (1980-1990) была специально посвящена пристальному изучению процесса ЮКЭН. За десятилетие работы в рамках программы TOGA проведено множество экспедиций и конференций, получен обширный наблюдательный материал, построены теоретические модели явления, выдвинуты гипотезы об управляющих физических механизмах. Интерпретация связи Эль-Ниньо и ЮК, основанная ранее на гипотезе Виртки {Wyrtki, 1975), претерпела изменения: оказалось, в частности, что периодичность и сценарии ЮКЭН заметно меняются во времени.

Изучению динамики и изменчивости природных процессов и, в частности, процессов тропической зоны посвящено много публикаций, однако, многие детали изучены недостаточно. Одна из причин этого, на наш взгляд, состоит в том, что для адекватного выявления свойств нелинейности, неоднородности и многомасштабности природных процессов, которая отражается в структуре данных долговременных наблюдений за изменчивостью их характеристик, необходимы нестандартные нетрадиционные методы анализа. Ряды данных, как правило, очень неоднородны, имеют хаотическую структуру на относительно малых масштабах и нестационарны на масштабах, близких к длине реализации. Традиционно используемые методы классического спектрального анализа, основанного на математическом аппарате преобразования Фурье, оказываются недостаточными для изучения изменчивости природных процессов и адекватного выявления их сложной внутренней неоднородной структуры.

Чтобы выявить локализованные спектральные характеристики процесса, его иерархическую структуру, глобальную и локальную автомодельность, необходимо использовать методы локализованного спектрального анализа, основанного, на математическом аппарате вейвлет-преобразования {Grossmann&Morlet, 1984; Daubechies, 1988, 1990, 1991; Астафьева, 1996в, г, д; 1997а, д; 1998в), Вейвлет-преобразование состоит в разложении множества (сигнала, ряда, реализации) по иерархическому базису, сконструированному из хорошо локализованной солитоноподобной функции посредством масштабных преобразований и переносов. Базис преобразования обладает свойством самоподобия; автомодельность анализируемого процесса проявляется соответствующими соотношениями для коэффициентов преобразования; каждая из функций базиса характеризует как частоту, так и ее локализацию во времени; в отличие от преобразования Фурье, вейвлет-преобразование проецирует одномерную реализацию на полуплоскость время-частота, что позволяет с одинаково хорошей точностью выделять разномасштабные составляющие и получать локализованные во времени спектральные характеристики. В литературе уже принято спектр Фурье называть single spectrum, в отличие от вейвлет-спектра — time-scale spectrum.

В связи со сказанным выше о структуре природных процессов, важным представляется привлечение понятий теории нелинейных динамических систем (Takens, 1981), чтобы выявить хаотическую природу осцилляции в рядах, и синергетики, связанных с оценкой упорядоченности поведения нелинейных неравновесных систем (параметры порядка, взаимная синхронизация, когерентные структуры, перемежаемость и др.). Для вейвлет-преобразования выполняется аналог равенства Парсеваля, что позволяет получить распределение мощности анализируемого процесса по масштабам. Возможность получения этой характеристики локально позволяет при анализе сложных процессов выявить набор характерных масштабов; объективно определить масштабы, связанные с когерентными структурами и исследовать перемежаемость процесса; определить распределенные по масштабам корреляции, спектр мощности, меру локальной перемежаемости и многое другое (т. е., и это принципиально, — выявить и изучить нелинейные свойства процесса), а также вычислить размерности анализируемого множества, или спектр размерностей, если оно мультифрактально {Атеойо а1., 1988; Но15скпе1ёег,

ША,РассаМаа1,ШО).

• Таким образом, актуальность темы исследования определяют сформулированные выше проблемы нелинейных неравновесных систем и необходимость

• исследования общих свойств и закономерностей нелинейной динамики сдвигового течения во вращающихся сферических слоях вязкой жидкости и изучения процессов формирования в них нелинейных упорядоченных пространственных и пространственно-временных структур под влиянием тепловых и (или) динамических воздействий на границах слоя;

• изучения степени упорядоченности термодинамических процессов глобального масштаба в системе океан-атмосфера (ЮКЭН и ГТЦ) и выявления общих закономерностей временной изменчивости геофизических процессов, протекающих в открытой нелинейной системе взаимосвязанных геосфер, формирующихся в результате большого набора природных процессов энергообмена под действием внутренних и внешних энергетических источников.

Некоторые вопросы к началу работы над диссертацией были недостаточно изучены или невыяснены. Перечислим их коротко:

1. Не были выявлены общие закономерности сферического течения Ку-этта. Исследование СТК относилось к отдельным точкам пространства параметров подобия. Недостаточно изучены изменения, происходящие в СТК с ростом толщины слоя, его линейная устойчивость и вторичные режимы. Не была изучена устойчивость СТК в толстых слоях, где, как известно из эксперимента, после потери устойчивости основного течения формируются трехмерные вторичные режимы: не изучен спектральный состав критического возмущения, не получены кривые устойчивости основного течения, не определен физический механизм, ответственный за неустойчивость основного течения.

2. Не была изучена нелинейная динамика течения в однородно вращающемся сферическом слое жидкости при граничных условиях моделирующих неоднородный по широте нагрев атмосферы Солнцем в случае небольших закритических значений числа Релея. Не были изучены упорядоченные вторичные структуры, формирующиеся под влиянием нелинейного обмена теплом и угловым моментом.

3. Не были изучены нелинейные свойства изменчивости крупномасштабных термодинамических процессов Южное Колебание — Эль-Ниньо и глобальный тропический циклогенез, происходящих в тропической зоне системы океан-атмосфера и влияющих на транспортные и диссипативные свойства атмосферы.

Цели и задачи диссертационной работы

По этим направлениям развивалась, в основном, настоящая работа. Целью диссертационной работы было выявление основных закономерностей в процессах образования, устойчивости и разрушения организованного поведения в сферических слоях жидкости и в атмосфере, а также разработка методик решения поставленных задач. Исходя из этого, решались следующие основные задачи.

1. Изучение нелинейной динамики упорядоченных осесимметричных и трехмерных пространственно-временных структур, формирующихся в сферических слоях вязкой несжимаемой жидкости под воздействием вращения граничных сфер; выявление механизмов, ответственных за потерю устойчивости основного течения.

2. Исследование влияния нелинейного обмена теплом и угловым моментом на топологию осесимметричных упорядоченных структур, формирующихся в покоящемся или однородно вращающемся сферическом слое вязкой жидкости под воздействием тепловых потоков и динамических условий на границах слоя.

3. Выявление особенностей и общих закономерностей мультимасштаб-ной временной структуры глобальных термодинамических процессов, участвующих в длинной цепочке энергообмена в атмосфере; анализ данных долговременных наблюдений за изменчивостью параметров наиболее влиятельных природных процессов на разных пространственных масштабах с целью изучения их структурных характеристик.

4. Разработка адекватных рассматриваемым проблемам практических алгоритмов и методик: для численного моделирования нелинейных процессов обмена теплом и (или) угловым моментом в сферических слоях вязкой жидкости, для анализа линейной устойчивости течений и изучения нелинейных вторичных структур; для проведения комплексного анализа долговременных натурных данных, нерегулярная структура которых отражает всю сложность нелинейных неравновесных процессов в атмосфере; развитие методик локализованного спектрального анализа (на основе вейвлет-преобразования) для получения структурных характеристик нелинейных систем.

В2. Структура и краткое содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Полный объем диссертации составляет 288 страниц, включая 66 рисунков в тексте, 29 страниц литературы, содержащих 300 наименований и два Приложения с 16-ю рисунками. Отметим, что список литературы имеет сквозную нумерацию и состоит из двух последовательных блоков: на русском и английском языках (в алфавитном порядке).

Основные выводы и результаты сводятся к следующему:

1. Показано, что толщина слоя является критическим параметром для СТК: с ростом 5 меняется физический механизм неустойчивости и топология вторичного течения. Определяющее влияние геометрии объема на формирование и устойчивость сдвиговых течений вязкой жидкости необходимо учитывать при моделировании технологических и крупномасштабных геофизических процессов.

2. Изучены основные закономерности нелинейной динамики и линейной устойчивости сдвигового течения вязкой жидкости во вращающихся сферических слоях. В частности: обнаружено, что интенсивная меридиональная циркуляция в толстых слоях перераспределяет угловой момент в жидкости, приводя к формированию пограничных и свободных сдвиговых вязких слоев, к затягиванию устойчивости основного течения и к смене механизма его неустойчивости; выявлено, что основное течение теряет устойчивость в результате нормальной закритической бифуркации Хопфа; критическим для СТК в толстых слоях является трехмерное немонотонное антисимметричное по отношению к плоскости экватора возмущение (в отличие от осесимметричного в тонких); азимутальное волновое число критического возмущения уменьшается с ростом толщины слоя; получены трехмерные нестационарные упорядоченные вторичные структуры в виде бегущих азимутальных волн, формирующиеся после потери устойчивости основного течения; выявлено, что ответственным за неустойчивость основного течения в толстых слоях является механизм невязкой релеевской неустойчивости течения с перегибом скорости, в то время как СТК в тонких слоях и ЦТК в слоях любой толщины становятся неустойчивыми в результате срабатывания центробежного механизма.

3. Получены осесимметричные упорядоченные вторичные структуры типа тороидальных тейлоровских вихрей, однако эти структуры имеют периодическую во времени природу со сменой топологии течения; они возникают в сферических слоях средней толщины, где, как считалось, кольцевые режимы реализуются лишь в результате конечноамплитудных возмущений; показано, что режимы со сменой топологии формируются в результате нормальной бифуркации Хопфа в той области пространства определяющих параметров задачи, где пара собственных значений практически одновременно пересекает мнимую ось; причиной срабатывания центробежного механизма, характерного для тонких слоев, является уменьшение эффективной толщины слоя вследствие вращения граничных сфер в разные стороны.

4. Выявлено, что под воздействием притока тепла и граничных условий, моделирующих неравномерный по широте нагрев атмосферы Солнцем, в покоящемся или однородно вращающемся сферическом слое формируются осесимметричные стационарные упорядоченные течения сложной топологии. В частности, показано, что: сила Кориолиса может оказывать стабилизирующее и дестабилизирующее влияние на течение; это необходимо учитывать при моделировании геофизических процессов, развивающихся в условиях вращения системы в целом; в результате смешанного влияния динамических и тепловых факторов могут формироваться известные физические явления: дифференциальное вращение жидкости, суперротация внешней части экваториальной области или «полосатая» структура полей температуры и скорости вблизи внешней границы, подобные тем, что наблюдаются в атмосферах планет-гигантов.

5. Исследована изменчивость ЮКЭН - глобального термодинамического процесса тропической зоны системы океан-атмосфера, являющегося одним из важных )Ачастников цепочки энергообмена в атмосфере; обнаружены иерархическая структура и долговременные эпохи ЮКЭН, границы которых совпадают с сильнейшими явлениями ЭН; выявлены диапазоны временных масштабов с автомодельным характером поведения

ЮКЭН, что свидетельствует о важной роли нелинейности в формировании процесса; показана хаотическая природа изменчивости процесса ЮКЭН; локальное и глобальное самоподобие процесса ЮКЭН дает основу для нового подхода к прогнозированию явления ЭН.

6. Исследована изменчивость интенсивности ГТЦ — коллективного процесса крупномасштабных атмосферных тропических вихрей, изучены его региональные и сезонные особенности; обнаружены три диапазона масштабов с качественно различной временной структурой, каждая из которых может быть описана в рамках известных физических моделей; показано, что процессы циклогенеза в Северном и Южном полушариях практически независимы и качественно отличаются.

7. Проведен сравнительный анализ данных долговременных наблюдений за изменениями характеристик большого набора участников энергооби и т-\ мена в длинной гелио- геодинамической цепочке. В частности показано, что: изменчивость приземной температуры воздуха и числа солнечных пятен сильно нелинейна приблизительно до 2,5 лет; характер экстремумов и структура функции перемежаемости, полученные для чисел Вольфа и индекса ЮК, практически повторяют друг друга, что может свидетельствовать о связи между изменчивостью солнечной активности и динамикой процесса ЮКЭН; обнаружено, что сбои некоторых циклов происходят в периоды ослабления солнечной активности; автомодельность выявлена на разных пространственных масштабах усреднения одной из важных климатических характеристик - приземной температуры воздуха; существует диапазон масштабов, по крайней мере, в два порядка величины, в котором для температуры выполняются скейлинго-вые соотношения; автомодельность, существенная нелинейность и перемежаемость являются характерным свойством не только процессов тропической зоны, но и всей климатической системы (в разной степени и в разных диапазонах временных масштабов).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе работы над диссертацией

• выявлены общие свойства и закономерности проблемы СТК в пространстве параметров подобия; изучены нелинейная динамика течения, проблемы его устойчивости и формирования вторичных упорядоченных движений;

• изучены особенности нелинейного переноса тепла в сферических слоях (под влиянием вращения граничных сфер или при однородном вращении слоя жидкости) с учетом некоторых физических факторов, характерных для термодинамических процессов глобального масштаба в атмосферах планет;

• выявлены некоторые особенности нелинейной изменчивости важных крупномасштабных термодинамических процессов системы океан-атмосфера, влияющих на транспортные и диссипативные свойства атмосферы планеты и динамику климатической системы.

Представленные в диссертационной работе результаты являются важным вкладом в развитие исследований по выявлению общих свойств и основных закономерностей в процессах образования, устойчивости и разрушения организованного поведения в нелинейных неравновесных системах: во вращающихся сферических слоях жидкости и в земной атмосфере.

1. Астафьева Н.М. (1984) Устойчивость осесимметричного течения вязкой жидкости между вращающимися сферами // X Всесоюзная конф. по Численным методам в механике вязкой жидкости. Новосибирск, 1984. С. 13.

2. Астафьева НЖ (1985а) Численное моделирование несимметричного относительно плоскости экватора сферического течения Куэтта // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1985. № 3. С. 56-67.

3. Астафьева Н.М. (19856) Численное решение задачи о малых возмущениях сферического течения Куэтта. Препринт ИКИ АН СССР: Пр-1027. М., 1985. 53 С.

4. Астафьева Н.М. (1985в) Устойчивость осесимметричного течения вязкой жидкости между вращающимися сферами // Проблемы динамики вязкой жидкости. Новосибирск, СО АН СССР, 1985. С. 3-8.

5. Астафьева Н.М. (1987) Устойчивость осесимметричного течения вязкой жидкости между вращающимися сферами // 46-я Научная конференция ЛГУ им. П. Стучки, Рига, 1987. С. 53-55.

6. Астафьева Н.М. (1989а) Устойчивость сферического течения Куэтта; линейная теория // Материалы конф. «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости», Москва, 1988. Труды Института Механики МГУ, 1989. С. 5.

7. Астафьева Н.М. (19896) Численное моделирование в сферических объемах с вращением // Численные методы моделирования технологических процессов. Рига, 1989. С. 7-11.

8. Астафьева Н.М. (1990) Численное исследование устойчивости сферического течения Куэтта; линейная теория // Моделирование в механике. Новосибирск, СО АН СССР, 1990. Т. 4. № 1. С. 78-82.

9. Астафьева Н.М. (1992) Методы обработки спутниковых изображений для изучения структурных характеристик атмосферной турбулентности. Препринт ИКИ АН СССР: Пр-1853. М., 1992. 39 С.

10. Астафьева Н.М. (1993) Сферическое течение Куэтта; устойчивость относительно трехмерных возмущений // Материалы Межд. конф. Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости. М., 1993. С. 1516.

11. Астафьева Н.М. (1994а) Вейвлет-анализ временных (геофизических) рядов // Стохастические колебания в радиофизике и электронике. Саратов, 1994. С. 17.

12. Астафьева Н.М. (19946) Вейвлет-преобразование; основные свойства и примеры применения. Препринт ИКИ АН СССР: Пр-1891. М., 1994. 56 С.

13. Астафьева Н.М. (1996а) Теоретические исследования течений в сферическом слое. Краткий обзор. Сопоставление с экспериментами Беляева Ю.А, // Научная конференция МГУ Ломоносовские чтения. М., 1996. С. 71.

14. Астафьева Н.М. (19966) Взаимодействие атмосферы и океана: анализ муль-тимасштабной структуры данных долговременных наблюдений динамики Эль-Ниньо и Южного Колебания. Препринт ИКИ РАН: Пр-1945. М., 1996. 33 С.

15. Астафьева Н.М. (1996в) Вейвлет-преобразование: свойства и примеры анализа гармонических функций. Препринт ИКИ РАН: Пр-1946. М., 1996. 45 С.

16. Астафьева Н.М. (1996г) Вейвлет-анализ: спектральный анализ локальных возмущений // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 1996. Т. 4. №2. С. 3-39.

17. Астафьева Н.М. (1996д) Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. 1996. Т. 166. № 11. С. 1145-1170.

18. Астафьева Н.М. (1996е) Взаимодействие атмосферы: и океана: анализ долговременных рядов наблюдений за некоторыми характеристиками ЮКЭН // Взаимодействие в системе литосфера гидросфера - атмосфера. М.: МГУ, 1996. С. 20-21.

19. Астафьева Н.М. (1997а) Вейвлет-анализ: спектральный анализ локальных возмущений (основы теории и примеры применения) // Материалы Межд. конф. Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости. М., 1997. С. 14-15.

20. Астафьева Н.М. (19976) Динамика процесса Южное Колебание Эль-Ниньо (ЮКЭН), глобальные температуры и тропический циклогенез // Материалы Межд. конф. Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости. М., 1997. С. 15-16.

21. Астафьева Н.М. (1997в) Численный анализ устойчивости течений во вращающихся сферических слоях // Материалы Межд. конф. Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости. М., 1997. С. 17-18.

22. Астафьева Н.М. (1997г) Сферическое течение Куэтта и численное моделирование глобальных атмосферных движений // Методы и достижения механики сплошной среды. М., 1997. С. 3-4.

23. Астафьева Н.М. (1997д) Вейвлет-анализ и его приложения // Методы и достижения механики сплошной среды. М., 1997. С. 5-6.

24. Астафьева Н.М. (1997е) Анализ устойчивости течений во вращающихся сферических слоях (линейная теория, трехмерные возмущения) // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1997. № 6. С. 66-76.

25. Астафьева Н.М. (1997ж) Анализ долговременной структуры индекса Южного Колебания и событий Эль-Ниньо // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 1997. Т. 33. № 6. С. 850-859.

26. Астафьева Н.М. (1997з) Нелинейное сдвиговое течение во вращающихся сферических слоях и моделирование глобальных атмосферных движений // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 1997. Т. 5. № 5. С. 3-30.

27. Астафьева Н.М. (1998а) Изменчивость многомасштабной временной структуры геодинамических и геофизических характеристик // Материалы Межд. конф. Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости. Москва Зеленоград, 1998. С. 5.

28. Астафьева Н.М. (19986) Влияние граничных условий на сферическое течение Куэтта при почти твердотельном вращении // Материалы Межд. конф. Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости. Москва Зеленоград, 1998. С. 6.

29. Астафьева Н.М. (1998в) Основы теории вейвлет-преобразования и примеры его применения для анализа временных рядов // Шумовые и деградаци-онные процессы в полупроводниковых приборах. М. 1998 С. 37.

30. Астафьева Н.М. (1998г) Устойчивость и неединственность осесимметрич-ных течений во вращающихся сферических слоях (нелинейная теория) // Известия РАН. Механика жидкости и газа, 1998. № 1. С. 75-86.

31. Астафьева Н.М. (1999а) Численное моделирование трехмерных вторичных течений во вращающихся сферических слоях // Материалы X сессии Совета по нелинейной динамике, М., 1999.

32. Астафьева Н.М. (19996) Течение во вращающемся сферическом слое с заданными вязкими сдвиговыми напряжениями на границе // Материалы Межд. конф. Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости. М. 1999. С. 7.

33. Астафьева Н.М. (1999в) Численное моделирование трехмерного сферического течения Куэтта // Материалы Межд. конф. Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости. М., 1999. С. 8.

34. Астафьева Н.М. (1999г) Влияние сдвиговых напряжений и потока тепла на течение во вращающемся слое. Препринт ИКИ РАН: Пр-2017. М., 1999. 28 С.

35. Астафьева Н.М., Беляев Ю.Н., Макарычев СВ., Монахов А.А., Щербаков С.А., Яворская И.М. (1981) О переходе к турбулентности течений во вращающихся сферических слоях // V Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике, Алма-Ата, 1981, С. 34-39.

36. Астафьева Н.М., Браиловская И.Ю., Яворская И.М. (1971) О движениях вязкой сжимаемой теплопроводной жидкости в сферическом слое. Препринт ИКИ АН СССР: Пр-96, М., 1971. 28 С.

37. Астафьева Н.М., Браиловская И.Ю., Яворская И.М. (1972а) Нестационарное движение сжимаемой вязкой жидкости в шаровом слое // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1972. № 3. С. 4-10.

38. Астафьева Н.М., Введенская Н.Д., Яворская И.М. (1977) Нелинейные осе-симметричные течения жидкости в сферических слоях. Препринт ИКИ АН СССР: Пр-385. М., 1977. 55 С.

39. Астафьева Н.М., Застенкер Г.Н., Эйгес НЕ. (1996) Вейвлет-анализ флуктуации потока ионов солнечного ветра // Космические исследования, 1996. Т. 34. Вып. 4. С. 407-413.

40. Астафьева Н.М., Келлер Б.С., Яворская И.М. (19726) Влияние стратификации плотности на движение сжимаемой жидкости в сферическом слое. Препринт ИКИ АН СССР: Пр- Д-147. М., 1972. 35 С.

41. Астафьева KM., Паршев В.А. (1978) К вопросу о численном решении уравнений Навье-Стокса в задачах со сферической геометрией // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, СО АН СССР, ИТПМ, 1978. Т. 9. № 7. С. 12-18.

42. Астафьева Н.М., Покровская КВ., Шарков Е.А. (1993) Скейлинговая структура глобального тропического циклогенеза и вейвлет-анализ // Материалы Межд. конф. Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости. М. 1993. С. 16-17.

43. Астафьева КМ., Покровская И.В., Шарков Е.А. (1994а) Иерархическая структура глобального тропического циклогенеза // Исследования Земли из Космоса. 1994ю № 2. С. 14-23.

44. Астафьева КМ., Покровская И.В., Шарков Е.А. (19946) Масштабные свойства глобального тропического циклогенеза // Доклады АН СССР, 1994. Т. 337. №4. С. 85-88.

45. Астафьева КМ., Сонечкин Д.М. (1995) Мультимасштабный анализ индекса Южного Колебания // Доклады РАН, 1995. Т. 344. № 4. С. 1-4.

46. Астафьева K.M., Шарков Е.А. (1998) Иерархическая структура системы массового обслуживания железнодорожного движения // Математическое моделирование, 1998. Т. 10. № 7. С. 37-47.

47. Астафьева K.M., Яворская КМ. (1980) Численное исследование нелинейных осесимметричных движений жидкости в сферических слоях // Численные методы в механике вязкой жидкости, Новосибирск, СО АН СССР, 1980. С. 3-14.

48. Астафьева КМ. Яворская КМ. (1981) Численное исследование устойчивости осесимметричного симметричного относительно экватора сферического течения Куэтта при различных значениях 5 и СО // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа, 1981. № 2. С. 105.

49. Астафьева HM., Яворская И.М., Келлер Б. С. (1972в) О движениях вязкого стратифицированного газа во вращающемся сферическом слое // Численные методы в механике вязкой жидкости. Рига. 1972. С. 7-11.

50. Астафьева Н.М., Яворская И.М., Келлер Б.С. (1973) О движениях вязкого стратифицированного газа в сферическом слое // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, СО АН СССР, ИТПМ, 1973. Т. 4. С. 30-37.

51. Беляев Ю.Н. (1995) Об одном подходе к исследованию возникновения турбулентности при течениях вязкой жидкости в замкнутых объемах // ПМТФ, 1995. № I.e. 64-72.

52. Беляев Ю.Н., Монахов A.A., Хлебутин Г.Н., Астафьева Н.М., Яворская И.М. (1979а) Исследование течений вязкой несжимаемой жидкости во вращающихся сферических слоях. Препринт НИИ Механики МГУ: № 2296. М., 1979. 27 С.

53. Беляев Ю.Н, Монахов A.A., Хлебутин Г.Н., Яворская И.М. (1980) Исследование устойчивости и неединственности течений в тонких сферических слоях. Препринт ИКИ АН СССР: Пр-567. М., 1980. 49 С.

54. Беляев Ю.Н, Монахов A.A., Щербаков С.А., Яворская И.М. (19796) Возникновение тзфбулентности во вращающихся жидкостях // Письма в ЖЭТФ. 1979. Т. 29. № 6. С. 329-333.

55. Беляев Ю.Н, Монахов A.A., Щербаков С.А., Яворская И.М. (1984) Неединственность последовательности переходов к турбулентности во вращающихся слоях // Докл. АН СССР. 1984. Т. 278. № 1. с. 51-54.

56. Беляев Ю.К, Монахов A.A., Яворская И.М. (1978) Устойчивость сферического течения Куэтта в толстых слоях при вращении внутренней сферы // Изв. АН СССР. МЖГ. 1978. № 2. С. 9-15.

57. Беляев Ю.Н., Яворская И.М. (1980) Течения вязкой жидкости во вращающихся сферических слоях и их устойчивость // Итоги науки и техники. ВИНИТИ, 1980. Т. 15 С. 3-80.

58. Беляев Ю.Н., Яворская И.М. (1985) Экспериментальное исследование возникновения стохастичности в сферическом течении Куэтта // Механика неоднородных систем. Новосибирск, 1985. С. 6-31.

59. Беляев Ю.Н., Яворская И.М. (1991) Сферическое течение Куэтта — переходы и возникновение хаоса // Изв. АН СССР. МЖГ. 1991. № 1. С. 10-18.

60. Богоявленский А.Б. (1987) Осесимметричная конвекция в сферических слоях Куэтта. Препринт ИКИ АН СССР: Пр-1206. М., 1987. 30 С.

61. БэтчелорДж. (1973) Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973.

62. Братухин Ю.К. (1961) К оценке критического числа Рейнольдса для течения жидкости между двумя вращающимися сферическими поверхностями // Прикладная математика и механика. 1961. Т. 25. Вып. 5. С. 858-865.

63. Ван МигемЖ. (1977) Энергетика атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат, 1977.

64. Герценштейн С.Я., Жиленко Д.Ю., Кривоносова О.Э., Монахов A.A. (1999) Экспериментальное исследование структуры и устойчивости течения в толстом сферическом слое между разновращающимися сферами // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1999. № 1. С. 61-68.

65. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. (1973) Конвективная неустойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1973.

66. Гершуни Г.З., Жуховицкий ЕМ. (1978) Конвективная устойчивость // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. 1978. Т. 11. С. 66-154.

67. ГиллА. (1986) Динамика атмосферы и океана. М.: Мир, 1986.

68. Гладышев Г.П. (1988) Термодинамика и макрокинетика природных иерархических процессов. М.: Наука. 1988.

69. Годунов CK, Рябенький B.C. (1962) Введение в теорию разностных схем. М.: Физматгиз. 1962.

70. Грей В.М. (1985) Генезис и интенсификация тропических циклонов // Интенсивные атмосферные вихри. М.: Мир, 1985. С. 10-31.

71. Гринспен X. (1975) Теория вращающихся жидкостей. Л.: Гидрометеоиздат, 1975.

72. Джозеф Д. (1981) Устойчивость движений жидкости. М.: Мир, 1981.

73. Должанский Ф.В., Кляцкин В.В., Обухов A.M., Чусов М.А. (1974) Нелинейные системы гидродинамического типа. М.: Наука, 1974.

74. Должанский Ф.В., Голицын ГС. (1977) Лабораторное моделирование глобальных геофизических течений Куэтта // Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 1977. Т. 13. № 8. С. 795-819.

75. Застенкер и др. (1982) Наблюдения солнечного ветра с высоким временным разрешением // Космические исследования. 1982. Т. 20. Вып. 6. С. 900-906.

76. Зиканов О.Ю. (1995) Численное моделирование неустойчивостей и вторичных режимов в сферическом течении Куэтта // Изв. РАН, МЖГ. 1995. № 1. С. 3-15.

77. Иосс Ж., Джозеф Д. (1983) Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. М.: Мир, 1983.

78. Келлер B.C., Яворская И.М. (1975) Влияние широтного градиента температуры на возникновение конвекции во вращающемся сферическом слое // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1975. № 1. С. 128-137.

79. Келлер Б. С Яворская ИМ. (1976) Моделирование гидродинамических процессов в атмосферах больших планет // Гидроаэромеханика и космические исследования. М. Наука, 1976. С. 256-279.

80. Климонтович Ю.Л. (1990) Турбулентное движение и структура хаоса. М.: Наука, 1990.

81. Кондратьев К.Я. (1992) Глобальный климат. Л.: Наука. 1992.

82. КонродА.С. (1964) Узлы и веса квадратурных формул. М.: Наука, 1964.

83. Кочт Н.Е., Кибель И.А., Розе КВ. (1963) Теоретическая гидромеханика. М.: Физматгиз, 1963 Ч. 2.

84. Ладыженская O.A. (1970) Математические вопросы динамики вязкой жидкости. М.: Наука, 1970.

85. Ладыженская O.A. (1987) Минимальные глобальные В-аттракторы полугрупп и начально-краевых задач для нелинейных уравнений с частными производными // Докл. АН СССР. 1987. Т. 294. № 1.

86. МарсденДж., Мак-Кракен (1980) М. Бифуркация рождения и ее приложения. М.: Мир, 1980.

87. Монахов A.A. (1996) Граница устойчивости основного течения в сферических слоях // Изв. РАН. МЖГ. 1996. № 4. С. 66-70.

88. Монин A.C. (1978) О природе турбулентности // Успехи физических наук. 1978. Т. 125. С. 97-122.

89. Монин A.C. (1986) Гидродинамическая неустойчивость // Успехи физических наук. 1986. Т. 150.С.61.

90. Монин A.C., Озмидов Р.В. (1981) Океанская турбулентность. Л.: Гидрометео-издат, 1981.

91. Монин A.C., Яглом A.M. (1967) Статистическая гидромеханика. М.: Наука, 1965. Ч. 1; 1967. Ч. 2.

92. Мороз В.И. (1967) Физика планет. М. Наука. 1967. 496 С.

93. Николис Г., Пригожий И. (1979) Самоорганизация в неравновесных систе-мах.-М.: Мир, 1979.

94. НиколисГ., Пригожий И. (1963) Познание сложного. М.: Мир, 1990.

95. Овсеенко ЮТ. (1963) О движении вязкой жидкости между двумя вращающимися сферами // Изв. Вузов. Математика. 1963. № 4. С. 129-139.

96. Овсеенко Ю.Г. (1974) О движении вязкой жидкости между вращающимися сферами // Прикладная математика и теоретическая физика. 1974. № 3. С. 179-180.

97. ПедлоскиДж. (1984) Геофизическая гидродинамика. М.: Мир, 1984.

98. Покровская И.В., Шарков Е.А. (1993а) Глобальный тропический циклогенез как пуассоновский случайный процесс // Доклады РАН. 1993. Т. 331. № 5. С. 625-627.

99. Покровская И.В., Шарков Е.А. (19936) Дистанционные исследования термической стратификации тропической атмосферы в процессе циклогенеза // Исследование Земли из космоса. 1993. >& 1. С. 59-65.

100. Покровская И.В., Шарков Е.А., Клепиков КН., Карасева H.A. (1993) Каталог и база данных глобального тропического циклогенеза за 1988-1992 гг. Препринт ИКИ РАН: Пр-1869. М., 1993. 29 с.

101. Рыжик км., Градштейн КС. (1962) Таблицы интегралов, сумм, рядов, и произведений. М.: Физматгиз, 1962.

102. Сидоренков КС. (1991) Характеристики явления Южное Колебание Эль-Ниньо // Труды Гидрометеоцентра СССР. 1991. Вып. 316. С. 31-44.

103. Сорокин B.C. (1961) Нелинейные явления в замкнутых потоках вблизи критических чисел Рейнольдса // Прикладная математика и механика.1961. Т. 25. Вып. 2. С. 248-258.

104. Сорокин B.C., Хлебутин Г.Н., Шайдуров Г.Ф. (1966) Об устойчивости движения между двумя вращающимися сферическими поверхностями // ПМТФ. 1966. № 6. С. 103-104.

105. Справочник по специальным функциям (1970). М., Наука. 1979.

106. Степанов В.Н. (1983) Океаносфера. М., Мысль, 1983.

107. Стоун П. (1976) Морфология атмосферы Юпитера / Юпитер. М.: Мир, 1976. Т. 2. С. 460-500.

108. Суэтин U.K. (1976) Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1976.

109. Фалькович А.И. (1979) Динамика и энергетика внутритропической зоны конвергенции. Л.: Гидрометеоиздат, 1979.

110. ХакенГ. (1985) Синергетика. М.: Мир, 1985.

111. Хлебутин Г.Н. (1968) Устойчивость движения жидкости между вращающейся и неподвижной концентрическими сферами // Изв. АН СССР. МЖГ. 1968. №6. С. 53-56.

112. Шварцшилъд М. (1961) Строение и эволюция звезд. М.: Иностранная литература, 1961.

113. Юдович В.И. (1966) Вторичные течения и неустойчивость жидкости между двумя вращающимися цилиндрами // Прикладная математика и механика. 1966. Вып. 5. С. 688-698.

114. Яворская ИМ. (1975) Влияние широтного градиента температуры на сферическое течение Куэтга // Изв. АН СССР. МЖГ. 1975. Ж 2. С. 15-23.

115. Яворская И.М., Астафьева КМ. (1974) Течения вязкой жидкости в сферических слоях. Обзор. Препринт ИКИ АН СССР: Пр-06-10. М., 1974. 42 С.

116. Яворская И.М., Астафьева КМ., Введенская К.Д. (1978) Об устойчивости и неединственности течений вязкой жидкости во вращающихся сферических слоях // Доклады АН СССР. 1978. Т. 241. № 1. С. 52-55.

117. Яворская ИМ., Беляев Ю.Н. (1982) Конвективные течения во вращающихся слоях // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. 1982. Т. 17. С. 3-85.

118. Яворская ИМ., Беляев Ю.Н. (1989) Моделирование конвективных процессов в атмосферах планет-гигантов // Моделирование в механике. Новосибирск, 1989. Т. 3. С. 148-156.

119. Яворская И.М., Беляев Ю.Н., Монахов A.A. (1975) Экспериментальное изучение сферического течения Куэтта // Докл. АН СССР. 1975. Т. 221. № 5. С. 1059-1062.

120. Яворская И.М., Беляев Ю.Н., Монахов A.A. (1977) Исследование устойчивости и вторичные течения во вращающихся сферических слоях при произвольных числах Россби // Докл. АН СССР. 1977. Т. 237. № 4. С. 804807.

121. Якушин В.И. О спектре малых возмущений движения жидкости между вращающимися сферическими поверхностями // Прикладная математика и механика. 1967. Т. 31. № 3. С. 567-672.

122. Якушин В.И. (1968а) О стационарном движении вязкой жидкости в шаровом слое // Изв. АН СССР. МЖГ. 1968. № 2. С. 140-144.

123. Якушин В.И. (19686) О движении жидкости между двумя вращающимися концентрическими сферами // Изв. АН СССР. МЖГ. 1968. № 6. С. 59-61.

124. Якушин В.И. (1969) О неустойчивости движения жидкости в тонком шаровом слое // Изв. АН СССР. МЖГ. 1969. № 1. С. 119-123.

125. Якушин В.И. (1970) О неустойчивости движения жидкости между двумя вращающимися сферическими поверхностями // Изв. АН СССР. МЖГ. 1970. №4. С. 155-156.

126. AlonsoA., NetM., MercaderI., KnohlochE. (1999) Onset of convection in a rotating annulus with radial gravity and heating // Fluid Dynamics Res. 1999. V. 24. Xo 3. P. 133-145.

127. Andereck CD., Dickman R., Swinney H.L. (1983) New flows in a circular Couette system with co-rotating cylinders // Phys. Fluids. 1983. V. 26. № 6. P. 13951401.

128. Antonijoan J., Sánchez J. (2000) Transitions from Taylor vortex flow in a co-rotating Taylor-Couette system // Phys. Fluids. 2000. V. 12. Iss. 12. P. 3147-3159.

129. AouidefA. Normana C. (2000) Coriolis effects on the stability of pulsed flows in a Taylor-Couette geometry // European J. of Mechanics B/Fluids. 2000. V. 19. № LP. 89-107.

130. Araki K., Mizushima J., Yanase S. (1997) The nonaxisymmetric instability of the wide-gap spherical Couette flow // Phys. Fluids. 1997. V. 9. № 4. P. 11971199.

131. Ardes M., Busse F.Y., Wicht J. (1997) Thermal convection in rotating spherical shells // Phys. Earth Plan. Int. V. 99. P. 55-67.

132. Ameodo A., Grasseau G., HolschneiderM. (1988) Wavelet transform of multifrac-tals // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 61. № 20. P. 2281-2287.

133. Astafyeva N.M. (1991,a) Stability of spherical rotating layers. Geophysical aspects // Annales Geophysicae. 1991. Sup. V. 9. P. C556.

134. Astafyeva N.M. (1991,b) Stability of spherical Couette flow. Spectral method // XIII IMAC World Congress on Computation and Applied Mathematics, Dublin, Ireland, 1991. P. 37.

135. Astafyeva N.M. (1991,c) Numerical method for spherical rotating layer. Nonlinear axisymmetric flow and linear stability // IX GAMM Conference on Numerical Method in Fluid Mechanics, Lausanne, Switserland, 1991. P. 135.

136. Astafyeva N.M. (1992) Semi-spectral method for spherical rotating layers. Nonlinear flows and linear stability // International Conference on Spectral and High Order Methods, Montpellier, France, 1992. P. 68.

137. Astafyeva N. (1995) Atmospherical (tropical and extratropical) features: Wavelet analysis of natural time series // URSI and Step/Gaps Workshop on Theory and Observations of Nonlinear Processes in the Near-Earth Environment, Warsaw, Poland, 1995. P. 73.

138. Astafyeva N.M. (1996a) Multiscale nature of ocean-atmosphere processes on the base of ENSO time series analysis // Annales Geophysicae. 1996. P. II. Sup. II. V. 14. P. C616.

139. Astafyeva N.M. (1996b) Nonhnear dynamics of Southern Oscillation // Annales Geophysicae. 1996. P. II. Sup. 11. V. 14. P. C650.

140. Astafyeva N.M. (1997) Solar activity and temporal behaviour of temperature anomalies (Global and Hemispheric) // Annales Geophysicae. 1997. P. II. Sup. II. V. 15. P. C157.

141. Astafyeva N.M. (1998a) Influence of the boundary conditions on almost rigid rotation of spherical layer and equatorial acceleration of the Planet-Giant atmospheres // Annales Geophysicae. 1998. P. l Y. Sup. IV. V. 16. P. C1037.

142. Astafyeva N.M. (1998b) Matched variability of the temporal structure of the geo-dynamical and geophysical characteristics // Annales Geophysicae. 1998. P. IV. Sup. IV. V. 16. P. C1074.

143. Astafyeva N.M. (2000a) Numerical modelling of 3-D spherical Couette flow near the basic flow instability // Geophysical Research Abstracts. 2000. V. 2. P. 440.

144. Astafyeva N.M. (2000b) Fluid flow in rotating spherical layer with nonuniform meridional heating and radial heat flux // Geophysical Research Abstracts, 2000. V. 2. P. 441.

145. Astafyeva N.M., Bazilevskaya G.A., Krainev M.B. (1997a) Dispersion in cosmic ray variability // International Symposium on the Solar-Terrestrial Coupling Processes, Paros, Greece, 1997. P. 137.

146. Astafyeva N.M., Bazilevskaya G.A. (1999) Long-term changes of cosmic ray intensity: spectral behaviour and 27-day variations // Physics and Chemistry of the Earth, 1999. V. 25. № 1-2. P. 129-132.

147. AstafyevaN.M., Braverman L.V., LyubimovD,V., MoiseevS.S, (1991) Small-mode model of helical turbulence convection // XYI General Assembly of European Geophysical Society, Wiesbaden, 1991. Sup. V. 9. P. C531.

148. Astafyeva N.M., Dremin I.M., Kotelnikov K.A. (1997d) Pattern recognition in high multiplicity events // Modem Phys. Letters A. 1997. V. 12. № 16. P. 1185-119L

149. Astafyeva N.M., Moiseev S.S. (1990) Possibility of large-scale instability in helical MHD turbulence // Int. Symp. on Generation of Large-Scale Structures in Continuius Media, 1990, P. 31.

150. Astafyeva N.M., Moiseev S.S. (1997a) About numerical modelling of global motion in planetary atmosphere // Annales Geophysicae. 1997. P. 11. Sup. 11. V. 15. P. C770.

151. Astafyeva N.M., Moiseev S.S. (1997b) About numerical modelling of Planet-Giants global atmosphere motions / Proc. of Intern. Conf. on Stabilities and Non-stabilities in Stratified and (or) rotating fluids. M., 1997. P. 72-73.

152. Astafyeva N.M., Mokhov I.I. (1997) Day by day variations of meteorological parameters at the RUSSIA territory // Annales Geophysicae, 1997. P. II. Sup. II. V. 15. P. 223.

153. Astafyeva N.M., Netreba S.N. (1995) Analysis of high resolution time series of the X-Ray Solar intensity and thermodynamic pulsations of the Earth's low atmosphere // Annales Geophysicae, 1995. P. II. Sup. II. V. 13. P. C494.

154. Astafyeva N.M., Petrovichev B.A. (1993) Fractal features of atmospheric turbulence // international conference on fractals in hydroscience, Ischia, Italy, 1993. P. 36.

155. AstafyevaNM., PokrovskayaLV., SharkovE.A. (1994) Global tropical cyclogene-sis scaling structure with wavelets // Annales Geophysicae, 1994. P. II. Sup. II. V. 12. P. C494.

156. Astafyeva NM., Sharkov E.A. (1996) Semiannual variability of tropical cyclogene-sis and Southern Oscillation // Annales Geophysicae, 1996. P. 11. Sup. II. V. 14. P. C544.

157. Astafyeva N.M., Sharkov E.A. (1997) Solar activity variations and longtime variations of some characteristics of atmosphere's thermodynamic activity // Annales Geophysicae. 1997. P. II. Sup. II. V. 15. P. C187.

158. Astafyeva N.M., Sonechkin D.M. (1995) Multiresolution analysis of Southern Oscillations index with wavelets // Annales Geophysicae, 1995. P. II. Sup. II. V. 13. P. C494.

159. Astafyeva N.M., Vvedenskaya N.D., Yavorskaya I.M. (1979) Numerical study of nonlinear axisymmetric flow of fluid between two concentric rotating spheres // Lect. Notes. Phys., 1979. № 90. P. 56-63.

160. Astafyeva N.M., Zastenker G.N., Eiges P.E. (1996) Wavelet analysis of fluctuations in the flux of Solar wind ions // Cosmic Research. 1996. V. 34. № 4. P. 375-381.

161. AuerM., BasseF.H. (1998) Wavy rolls in the Taylor-B6nard problem // Phys. Fluids. 1998. V. 10. Iss. 1. P. 318-320.

162. Bacry E., Muzy J.F., Arneodo A. (1993) Singularity spectrum of fractal signals from wavelet analysis: exact results // J. Stat. Phys. 1993. V. 170. P. 635674.

163. Banks W.H.H. (1965) The boundary layer on a rotating sphere // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1965. V. 18. № 4. 443-454.

164. Banks W.H.H. (1976) The laminar boundary layer on a rotating sphere // Acta. Mech. 1976. V. 24. № 3-4. 273-287.

165. Battle G. (1987) A block spin construction of ondelettes. Part 1. Lemarie functions // Commun. Math. Phys. 1987. V. 110. P. 607-615.

166. Belyaev Yu.N., Monakhov AA., Scherbakov S.A., Yavorskaya I.M. (1985) Some routs to turbulence in the spherical Couette flow // Laminar-turbulent transition. Berlin: Springer Verlag. 1985. P. 669-676.

167. Belyaev Yu.N., Yavorskaya I.M. (1991) Nonuniqueness and multiparametric study of transition to chaos in the spherical Couette flow // Europ. J. Mech. B/Fluids. 1991. V. 10. № 2. P. 267-274.

168. Beylkin G., Coifman R., Rokhlin V. (1991) Fast wavelet transforms and numerical algorithms // Comm. Pure Appl. Math. 1991. V. 44. P. 141-183.

169. Bjerknes J. (1969) Atmospheric teleconnections from the equatorial Pacific // Mon. Wea. Rev. 1969. V. 97. P. 163-172.

170. Bonnet J.-P. (1975) Etude numérique et expérimentale de lecoulemaunt dun fluide visqueux incompressible entre spheres en rotation. These. Université de Poitiers. 1975.

171. Bonnet J.-P., Roquefort A. (1976) Ecoulement entre deux spheres concentricues en rotation // J. Mec. 1976. V. 15. № 3. P. 373-397.

172. Brailovskaya I.Yu., Astafyeva N.M., Yavorskaya I.M. (1972) Nonstationary compressible viscous fluid motion in a spherical layer // Fluid Dynamics. 1972. V. 7. P.370-385.

173. Brandstater A., Swift J.B., Swinney H.L. (1983) Low-dimensional chaos in hydrodynamic system//Phys. Rev. Lett. 1983. V. 51. X2 16. P. 1442-1445.

174. Brandstater A., Swinney H.L. (1987) A strange attractor in weakly turbulent Cou-ette-Taylor flow // Phys. Rev. A. 1987. V. 35A. № 5. P. 2207-2221.

175. Brandstater A., Swinney H.L, Chapman G.T. (1986) In Dimension and entropies in chaotic system. 1986. Springer. Ed. Mayer-Kress. P. 150-156.

176. V. 72. № LP. 67-85. Cane M. A. (1983) Océanographie events during El Nino // Science, 1983. V. 222. P. 1189-1194.

177. CaneM.A. (1986) El Nino // Annu. Rev. Earth Planet Sei. 1986. V. 14. P. 43-70. Chandrasekhar S. (1961) Hydrodynamic and hydromagnetic stability. London.

178. Oxford Univ. Press. 1961. Chui Ch. (1992) An introduction to wavelets N. Y. Acad. Press. 1992. Coles D. (1965) Transition in circular Couette flow // J. Fluid Mech. 1965. V. 21. № 3. P. 385-425.

179. Collineau S., Brunei Y. (1993) Detection on turbulent coherent motion in forest canopy. Part 1. Wavelet analysis // Boundary-Layer Meteorology. 1993. V. 65. P. 357-379.

180. Currie R.G. (1984) Periodic (18.6-year) and cyclic (11-year) induced drought and flood in western North America // J. Geoph. Res. 1984. V. 89. № D5. P. 7213-7230.

181. Daubechies I. (1988) Orthogonal bases of compactly supported wavelets // Comm.

182. Pure Appl. Math. 1988. V. 41. № 7. P. 909-996. Daubechies I. (1990) The wavelet transform? Time-frequency localization and signal analysis // IEEE Trans. Inform. Theory. 1990. V. 36. P. 961-1005.

183. Daudechies I. (1991) Ten lectures on wavelets // CBMS Lecture Notes Series. SIAM. Philadelphia. 1991.136 p.

184. Dennis S.C.R., Ingham D.B. (1979) Laminar boundary layer on an impulsively started rotating sphere // Phys. Fluids. 1979. V. 22. Iss. 1. P. 1-9.

185. Dennis S,C.R., Quartapelle L. (1984) Finite difference solution to flow between two rotating spheres // Comput. and Fluids. 1984. V. 12. № 2. P. 77-92.

186. Dennis S.C.R., Singh S. (1978) Calculation of the flow between two rotating spheres by method of series truncation // J. Comput. Phus. 1978. V. 28. № 3. P. 297-313.

187. Dennis S.C.R., Singh S. (1981) The steady flow of a viscous fluid due to a rotating sphere // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1981. V. 34. № 3. P. 361-381.

188. Douglas R.W., Munson B.R., Shaugnessy E.J. (1978,a) Thermal convection in rotating spherical annuli/ Part 1. Forced convection // J. Heat Mass Trans. 1978. V. 21. № 12. P. 1543-1553.

189. Douglas R.W., Munson B.R., Shaugnessy E.J. (1978b) Thermal convection in rotating spherical annuli/ Part 2. Stratified flows // J. Heat Mass Trans. 1978. V. 21. № 12. P. 1555-1564.

190. Dumas G. (1994) The spherical Couette flow and its large-gap stability by spectral simulations // CFD94, Canadian Soc, Toronto, June 1994. P. 67.

191. Durney B. (1968) Convective spherical shell. IL With rotation // J. Atmos. Sci. 1968. V. 25. № 5 . P. 771-778.

192. Durney B. (1970) Convective spherical shell. IIL Nonaxisymmetrical convection in a rotating spherical shell // Astrophys. J. 1970. V. 25. № 3. p. 353-367.

193. Rev. Fluid Mech. 1992. V. 24. P. 395-457. FenstermacherP.R., Swinney H.L., Gollub J.P. (1979) Dynamical instabilities and the transition to chaotic Taylor vortex flow // J. Fluid Mech. 1979. V. 94. № LP. 103-128.

194. Gabor D. (1946) Theory of communication // J. 1st. Electr. Eng. 1946. V. 93. P. 429-457.

195. Rev. Lett. 1983. V. 50. № 5. P. 346-349. Greenspan D. (1975) Numerical studies of steady viscous incompressible flow between two rotating spheres // Computer and Fluids. 1975. V. 3. № 1. P. 69-82.

196. Gregory N., Stuart IT., Walker W.S. (1955) On stability of the three-dimensional boundary layers with application to the flow due to a rotating disk // Phil. Trans. Roy. Soc. London. 1955. V. A248. № 2. P. 155-199.

197. Grossmann A., Morlet J. (1984) Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant shape // SI AM J. Math. Anal. 1984. V. 15. № 4. P. 723-736.

198. Grote E., Basse F.Y. (2001) Dynamics of convection and dynamos in rotating spherical fluid shells // Fluid Dynamics Res. 2001. V. 20. P. 349-368.

199. Gu D.F., Philander S.G.H. (1995) Secular changes of annual and interannual variability in the tropics during the past century // J. CHm. 1995. V. 8. P. 864-876.

200. Haberman W.L. (1962) Secondary flow about a sphere rotating in a viscous liquid inside a coaxially rotating spherical container // Phys. Fluids. 1962. V. 5. № 5. P. 625-626.

201. HandlerR., AndsagerK. (1990) Volcanic aerosol, El Nino and Southern Oscillation // Inter. J. Climato. 1990. V. 10. P. 413-424.

202. Heisenberg W. (1924) // Ann. d. Phys. (4). 1924. Bd. 74. P. 577.

203. Herrmann J., Basse F.H. (1998) Stationary and time dependent convection in the rotating cylindrical annulus with modulated height // Phys. Fluids. 1998. V. 10. Iss. 7. P. 1611-1620.

204. Hocking LM. (1981) The instability of flow in the narrow gap between two prolate spheroids/ Part II. Arbitrary axis ratio // J. Mach. Appl. Math. 1981. V. 34. № 4. P. 475A88.

205. Hoffinann N.P., Busse F.H. (1999) Instabilities of shear flows between two coaxial differentially rotating cones // Phys. Fluids. 1999. V. 11. Iss. 6. P. 16761678.

206. Hoffmann N.P., Busse F.H. (2001) Linear instability of Poiseuille Couette - Ek-man flows: Local results for flows between differentially rotating disks with throughflow // Phys. Fluids. 2001. V. 13. Iss. 9. P. 2735-2738.

207. HolschneiderM. (1988) On wavelet transformation of fractal object// J. Stat. Phys. 1988. V. 50. P. 953-993.

208. Houghton J.T., Jenkins FJ., Ephraums J.J. (eds) (1990) Climate Change. The Scientific Chmate Change. Cambridge University Press. UK. 1990.

209. Howarth F.R.C. (1951) Note on the boundary layer on a rotating sphere // Phil. Mag. Ser. 7. 1951. V. 42. № 334. P. 1308-1315.

210. Jacobs G.A.,Hurlburt HE., Kindle J.C., Metzger E.J., Mitchell J.L., Teague W.J., WallcraftAJ. (1994) // Nature. 1994. V. 370. P. 360-363.

211. Jones P.D., Wigley T.M.L., Briffa K.R. (1992) Global and hemispheric temperature anomalies // TRENDS-91: A compendium of data on global change. Carbon Dioxide Inform Anal. Center. 1992. P. 522-523.

212. Kaiser G. (1994) A friendly guide to wavelets. Birkhauser Boston. 1994.

213. MacKenzie D. (1087) How the Pacific drains the Nile // New Scientist, 1987. April. P. 16-27.

214. MallatS.G. (1989) A theory for multiresolution signal decomposition: The wavelet representation // IEEE Trans. Patt. Anal. Mach. Int. 1989. V. 31(7). P. 674-693.

215. Muzy J.F., Bacry K, Arneodo A. (1978) // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 67. № 25. R 3515.

216. Nakabayashi K. (1978) Fractional moment of flow between two concentric spheres one of which rotates // Trans. ASME. J. Fluids Eng. 1978. V. 100. № 1. R 97-106.

217. Nakabayashi K. (1978) Transition of Taylor-Gortler vortex flow in spherical Couette flow // J. Fluid Mtch. 1983. V. 132. P. 209-230.

218. Newhouse S., Ruelle D., Takens F. (1978) Occurence of strange axiom. An attrac-tor near quasi periodic flows of Tm, m>3 // Comm. Math. Phys. 1978. V. 64. № LP. 3540.

219. Nozawa T., Yoden S. (1997a) Formation of zonal band structure in forced two-dimensional turbulence on a rotating sphere // Phys. Fluids. 1997. V. 9. Iss. 7. P. 2081-2093.

220. Philander S.G.H. (1990) El Nino, La Nina and Southern Oscillation. London: Academic Press. 1990.

221. Poulighy B., Gabriel G., Muzy J.F., ArneodoA., ArgoulF. (1991) // J. Appl. Cryst.1991. V. 24. R 526-530. Proudman I. (1956) The almost rigid rotation of viscous fluid between concentric spheres // J. Fluid Mech. 1956. V. 1. № 5. P. 505-519.

222. Quinn W.H., Neal V.T., AntunezdeMayloS.E. (1987) El Nino occurences over the last four and a half centuries // J. Geophys. Res. 1987. V. 92. № C13.1. P. 14449-14461.

223. Rasmusson M.E., Wallace J.M. (1983) Meteorological aspects of the El

224. Univ. Press. 1916. V. 6. P. 447-453. Reynolds W.C, PorterM.C. (1967) // J. Fluid Mech. 1967. V. 27. P. 465. Ritter C.F. (1973) Berechnung der Strömung im Spalt rotierenden kugelflachen //

225. Z. angew. Math. Und Mech. 1973. V. 53. № 4. P Tl 17-T119. Roux J.C., Kepper P., Swinney H.L. (1983) // Physica D. 1983. V. 8. № 1-3. R 257.

226. Schultz D., Greenspan D. (1979) Improved solution of steady, viscous incompressible flow between two rotating spheres // Comput. And Fluids. 1979. V. 7.№3.P. 157-163.

227. Shaowu W. (1992) Reconstruction ofthe El-Nino event chronology for the last 600 tear period // Acta Meteorológica Sinica. 1992. V. 6. № 1. P. 47-57.

228. Shaugnessy E.J., Douglass R.W. (1978) The effect of stable stratification on the motion in rotating spherical annulus // J. Heat and Mass Transf. 1978. V. 21. №9. P. 1251-1259.

229. Sreenivasan K.R. (1986) In Dimension and entropies in chaotic system. 1986.

230. Springer. Ed. Mayer-Kress. P. 222-230. Stewartson K. (1957) On almost rigid rotation. Part 1 // J. Fluid Mech. 1957. V. 3. № l.P. 17-26.

231. Stewartson K. (1966) On almost rigid rotation. Part 2 // J. Fluid Mech. 1966. V. 26. № l.P. 131-144.

232. Lect. Notes Math. 1981. № 899. P. 366-381. Taylor G.I. (1923) Stability of viscous liquid contained between rotating cylinders

233. Phil. Trans. Roy. Soc. London. 1923. V. A223. P. 289-343. Tilgner A., Ardes M., Busse F.H. (1997) Convection in rotating spherical fluid shell // Acta Astron. Geophys. Univ. Commenianae. 1997. V. 19. P. 337-358.

234. Tuckerman L.S., Marcus P.S. (1985) Formation of Taylor vortices in spherical Couette flow // Lect. Notes Phys., 1985. V. 218. P. 552-556.

235. Walked A.M., Munson B.R. (1978) Laminar-turbulent flow in a spherical annulus // Trans. AS ME. J. Fluids Eng. 1978. V. 100. № 3. P. 281-286.

236. Walton I.e. (1978) The linear stability of the flow in narrow spherical annulus // J. Fluid Mech. 1978. V. 86. № 4. P. 673-693.

237. Wavelets (1989). Edited by J.M. Combes, A. Grossmann, P. Tchamitchian. Springer-Verlag. Berlin, 1989.

238. Wavelets (1991) and their applications. Edited by Coifman. Jones and Barlett Publ., 1991.

239. Wavelet (1992) analysis and its applications. V. 1. An introduction to wavelets. Charlts K. Chui. V. 2. Wavelets: A tutorial in theory and applications. Aca-dem. Press, Inc., San Diego, 1992.

240. Wimmer M. (1976) Experiments on a viscous flow between concentric rotating spheres // J. Fluid Mech. 1976. V. 78. № 2. P. 317-335.

241. Wimmer M. (1981) Experiments on the stability of viscous flow between two concentric rotating spheres // J. Fluid Mech. 1981. V. 103. P. 117-131.

242. Wulf P., Egbers C, Rath H.J. (1999) Routes to chaos in wide-gap spherical Couette flow // Phys. Fluids. 1999. V. 11. Iss. 6. P. 1359-1372.

243. Wyrtki K. (1975) El Nino — the dynamic response of the equatorial Pacific ocean to atmospheric forcing // J. Phys. Oceanogr. 1975. V. 5. P. 572-584.

244. Yang J-K., Nigro N.J, Elkouh A.F., Gagliardi J.C. (1989) Numerical study of the axially symmetric motion of an incompressible viscous fluid in an annulus between two concentric rotating spheres // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 1989. V. 9. №6. P. 689-712.

245. Yavorskaya I.M., Astafyeva N.M. (1979) Numerical analysis of the stability and non-uniqueness of spherical Couette flow // Proceedings of III GAMM Conf. on Numerical Methods in Fluid Mech., Köln, 1979. P. 37-39.

246. Yavorskaya I.M., Astafyeva N.M. (1980) Numerical Analysis of stability and non-uniqueness of nonlinear axisymmetric spherical Couette flow // Notes. Numer. Fluid Mech., 1980. № 2. P. 305-315.226

247. Yavorskaya I.M., Belyaev Yu.N., Monakhov A.A., Astafyeva N.M., Scherbakov S.A., Vvedenskaya N.D. (1980b) Stability, non-uniqueness and transition to turbulence in flow between two rotating spheres // Москва, Препринт № 595, ИКИ АН СССР, 1980. 63 С.

248. Yavorskaya I.M., Belyaev Yu.N., Monakhov A.A., Astafyeva N.M., Scherbakov S.A. (1980) Stability, non-uniqueness and transition to turbulence in flow between two rotating spheres // Postprint I CT AM. North Holland. 1980. P. 131-143.

249. Yuan L, Fu D., Ma Y. (1997) Periodic vortex breakdown in wide spherical gaps // Phys. Fluids. 1997. V. 9. Iss. 5. P. 1479-1481.

250. Zikanov O. (1993) Numerical simulation of the first instability in spherical Couette flow. Prepr. IPM RAS: Pr-531. Moscow, 1993. 43 p.

251. Zurbuchen Th., Zastenker G., Eiges P., Bochsler P, Avanov L, Astafyeva N. (1995) Features of small-scale Solar wind mass flux fluctuations // Proc. of IX Intern. Solar Wind Conference, Dana Point, USA, 1995. P. 367-370.