Математическое моделирование волновых движений вращающейся жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

N САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

I

I

На правах рз'кописи Холодова Светлана Евгеньевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ДВИЖЕНИЙ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1995

: Работа выполнена на кафедре высшей математики факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-( Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ —

доктор физико-математических наук, профессор

Алешков Юрий Зосимович

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ —

доктор технических наук, Алдошин

профессор Геннадий Тихонович, кандидат физико-математических наук. Орлов

старший научный сотрудник Вячеслав Борисович

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

Морской гидрофизический ИНСТИТУТ

Защита диссертации состоится 995 года в

¿5 часов 2> О минут на заседани диссертационного совета К.06-3.57.13 по присуждению \'ченой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: I9S904. Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2, математико-механический факультет СПбГУ.

С диссертацией .можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М.Горького СПбГУ по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, д. 7/9. _ Автореферат разослан Z) "

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук, доцент

Нарбут М.А.

1 Общая характеристика работы

1.1. Актуальность проблемы. Издавна человек тесно связан с морен. о чем свидетельствует постоянная потребность в морепродуктах и полезных ископаемых, необходимость в морских путях. Океан находится в постоянном движении, и это влияет на многие стороны жизнедеятельности человека. Мореплавание; рыболовство, погода, стихийные бедствия — все это а той или иной степени зависит от движений в океане и от его изменчивых параметров. Оксан представляет сложную гидрофизическую систему. Наряду с быстрыми волнами в океане существуют и медленные длиннопериодные волны. На движения длинных волн большое влияние оказывают топографические особенности дна бассейна и вращения Земли.. Это приводит к появлению весьма своеобразных эффектов, в частности, возникновению волн, названных топографическими волнами Россби-Блиновой. Морские волны деформируют берега, оказывают силовое воздействие на прибрежные и морские гидротехнические сооружения, влияют на мореходность и условия базирования морского транспорта, при этом чувствуя вращение Земли и действие изменяющейся с широтой силы Ко-риолиса. В связи с этим представляет интерес изучение закономерностей волновых процессов в морской среде, анализ динамики волновых полей.

Продолжительность и дороговизна экспериментального моделирования, условность переноса лабораторных результатов на натуру, а иногда и непреодолимые сложности в постановке опытов позволяет особо выделить математические методы гидродинамики. С их помощью можно раскрыть закономерности изучаемого явления, провести всесторонний анализ для прогнозирования, определить теоретическим путем параметры процесса распространения волн и их взаимодействия с преградами.

В диссертации рассматриваются вопросы, посвященные математическому моделированию пространственных волновых движе-

ний в слое вращающейся жидкости. Задача решается в рамках модели идеальной несжимаемой, жидкости. Большое внимание уделено квазигеострофически.м движениям в океане. Такой выбор связан с тем, что квазигеострофические движения наиболее четко отражают решающее влияние вращения Земли.

Такие модели наглядны и, как правило, позволяют получить аналитические решения. Может возникнуть вопрос — нужны ли в настоящее время такие идеализированные модели? Действительно, сейчас с бурным развитием компьютерной техники можно численно интегрировать полные системы нестационарных уравнений гидродинамики' на длительные сроки с хорошим пространственным разрешением для Мирового океана с реальными очертаниями берегов, донной топографией и реальными внешними силами. Однако, в сложных моделях трудно осознать физику процессов в океане, поскольку накладываются и взаимодействуют .много различных факторов. Не следует забывать, что такие модели интегрируются численно, а даже самые хорошие современные численные схемы могут вносить искажения в физические процессы.

Немаловажный интерес представляет решение задач о процессе распространения волн в атмосферной оболочке Земли. При решении разнообразных задач современной авиации приходится совершать полеты над горными районами. Зачастую самолеты летают ниже горных вершин (над долинами, вдоль ущелий). Опасность работы авиации в этих районах существенно зависит от состояния атмосферы. В связи с этим является необходимым учет возмущений, порожденных взаимодействием движущейся атмосферы с неровностями рельефа.

1.2. Целью работы является исследование пространственных волновых движений в слое вращающейся несжимаемой жидкости; а также изучение влияния рельефа земной поверхности на воздушные течения и волны.

1.3. Основные научные задачи.

1. Исследование математической модели процесса распространа-

ния пространственных волн во вращающемся океане переменной глубины как соответствующей нелинейной краевой задачи для уравнений с частными производными и анализ полученных результатов.

2. Изучение закономерностей волнового движения при взаимодействии волн конечной амплитуды с сооружениями, имеющими вертикальную грань, при переменной топографии дна.

3. Исследование процесса распространения атмосферных волн над возвышением поверхности Земли.

1.4. Методы исследования. В основу исследования названных задач теории волновых движений жидкости положены основные законы движения жидкости. При решении полученных математических задач используются методы математической физики. В целом в работе использованы аналитические методы как для непосредственного построения решения задачи, так и для сведения ее к виду, удобному для реализации численных методов с непосредственным использованием электронно-вычислительных машин.

1.5. Научная новизна работы. Основные результаты, выносимые на защит}', являются новыми.

1.6. Теоретическая и практическая значимость работы. Проведенные исследования углубляют представление о процессе распространения пространственных волн во вращающемся океане. Результаты исследований могут бьиь использованы при изучении влияния вращения Земли и топографических особенностей донной поверхности океана на структуру волнового поля морской среды. Полученные результаты и методы определения полей давления и скоростей в сжимаемой жидкости могут найти разнообразные практические приложения в задачах аэродинамики, где одной из основных проблем является повышение аэродинамических качеств летательных аппаратов; в теории прогноза погоды.

Полученные аналитические решения могут позволить проводить сравнение и оценку эффективности различных асимптотических и приближенных методов, в частности, численных.

1.7. Достоверность основных научных положений диссертации и полученных результатов обеспечивается строгостью постановки задачи и используемого математического аппарата; сопоставлением некоторых положений и следствий с результатами, известными в литературе.

1.8. Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на:

- Восьмой международной сессии Рабочей Группы "Лабораторное моделирование динамических процессов в океане" на тему "Пограничные эффекты в стратифицированной и/или вращающейся жидкости" (С.-Петербург, июнь 1995);

- Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, декабрь 1994);

- Международной конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем" (Прикладная механика) (Киев, май '1995);

- семинарах аэродинамической лаборатории НИИММ СПбГУ, кафедры гидроаэромеханики математико-механического факультета и кафедры высшей математики факультета прикладной математики - процессов управления Санкт - Петербургского государственного университета (1991-1995).

В целом работа докладывалась на кафедрах высшей математики (рук. профессор Ю.З. Алешков) и гидроаэромеханики СПбГУ (рук. чл.-кор. РАН В.Г. Дулов, 1995).

1.9. Публикации. Основное содержание диссертации отражено в работах 1-6.

1.8. Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заключения и списка литературы. Работа изложена на 130 страницах машинописного текста, из них 12 страниц — список литературы, содержащий 103 наименования.

2 Содержаниё работы

Во Введении обосновывается актуальность исследования, представляется краткий библиографический обзор работ по данной проблеме, формулируется цель диссертационной работы и излагается ее краткое содержание по главам.

Первая глава посвящена постановке задачи о волновых движениях жидкости.

В первом параграфе дано описание законов движения идеальной жидкости в инерциальной системе координат. Сформулированы основные граничные и начальные условия, присущие волновым движениям жидкости. Во втором параграфе представлена общая постановка задачи о волновом движении неоднородной идеальной жидкости с учетом вращения Земли. В третьем параграфе сформулирована задача о волновых движениях вращающейся жидкости с учетом сферичности Земли. В случае стационарного движения неоднородной жидкости представлено частное решение соответствующей задачи. В последнем, четвертом, параграфе первой главы дано описание процесса распространения волн во вращающемся плоском слое.

Во второй главе на основе модели теории распространения длинных волн выполнен анализ процессов распространения волн в безграничном по горизонтали однородном вращающемся океане постоянной глубины, в прямолинейном канале переменной глубины, а также в замкнутых бассейнах переменной глубины. Уделено внимание исследованию возможных типов волновых движений, кинематических характеристик пространственных волн. Предположение об однородности океана исключает из рассмотрения внутренние волны. В то же время, учет вращения Земли и переменности глубины бассейна позволяет исследовать волны Россби, являющиеся низкочастотными колебаниями среды.

Первый параграф второй главы посвящен рассмотрению основных уравнений, описывающих динамику длинноволновых движе-

ний жидкости, находящейся в состоянии равномерного вращения. Приведен вывод уравнений, описывающих динамику рассматриваемых процессов в пространственном случае переменной глубины жидкости. Поставлены краевые задачи для этих уравнений. ; Исследование этих краевых задач составит предмет рассмотрений последующих параграфов. Для поставленной пространственной задачи в случае мелкой воды допустимо предположение о линейном распределении давления с глубиной. Соответствующая краевая задача для горизонтальной скорости и ординаты свободной поверхности является нелинейной.

Второй параграф второй главы и все последующие параграфы данной главы посвящены исследованию линейных задач нестационарной теории волн, распространяющихся во вращающейся жидкости. Здесь сформулирована математическая постановка задачи о волновых движениях жидкости с малой амплитудой. В случае малого конвективного ускорения гидродинамическая задача сводится к краевой задаче для линейного дифференциального уравнения в частных производных с переменными коэффициентами с краевым условием в виде линейной комбинации нормальной и касательной производной на границе:

КОИ—(МЧ&^Ь-

д дп . дп , .

где т/ — отклонение свободной поверхности от ее положения в состоянии относительного покоя, Н — глубина покоящейся жидкости, / — параметр Кориолиса, Е — орт касательной, направленной в сторону обхода контура против часовой стрелки, п — орт внешней нормали. Представлены уравнения для определения компонент скорости.

Третий параграф второй главы посвящен исследованию распространения волн малой амплитуды в прямолинейном канале пе-

ременной глубины. Получено, что в случае глл'бины жидкости, не изменяющейся вдоль стенок канала и изменяющейся от стенки к стенке, изменение которой от стенки к стенке удовлетворяет уравнению Абеля второго рода:

dZ 3 2 Jk м0( о ,2W У-Р

z — = — z -2 — z + 2(q- + k)h-2-,

ah 2ha g

z(h) = h = H(y), q2 = const, математически задача сводится

к смешанной краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. В частности, это имеет место для постоянной глубины жидкости или горизонтального дна, а также в том случае, если глубина распределена по экспоненциальному закону.

В последних трех параграфах второй главы рассматривается задача о волнах в замкнутом бассейне, в частности, в цилиндрическом кольцевом бассейне переменной глубины. Для периодического волнового решения получается задача на собственные значения.

В четвертом параграфе второй главы решается задача о распространении волн в цилиндрическом кольцевом бас« ейне постоянной глубины. Для периодического волнового решения задача сводится к смешанной краевой задаче Штурма - Лиувилля для уравнения Бесселя. Общее решение которого имеет вид линейной комбинации функции Бесселя и функции Неймана. Получено дисперсионное уравнение. Представлены выражения для скорости и возмущения свободной поверхности жидкости. Пятый параграф второй главы посвящен исследованию процесса распространения волн в цилиндрическом кольцевом бассейне с плавным (параболическим) изменением глубины жидкости:

V (гг-ri) J

где наклон s « 1, Do — константа. Основное внимание уделе-

но изучению совместного влияния на волновые движения наклона дна океана и вращения Земли. Математически задача сводится к решению линейного уравнения в частных производных второго порядка с переменными коэффициентами:

1 - 5

(г-гО2 Л

1

1-2

В" + -К - -тгЯ

- 25

('• - п) (т-2 - П)2 а2-/2

сгг

+

+

9 А)

Д = 0 ,

В слз-чае малого наклона дна решение имеет вид линейной комбинации функции Бесселя и фл'нкции Неймана. Получено дисперсионное уравнение для собственных значений, а также представлены выражения для возвышения и скорости волны.

В шестом параграфе второй главы решается задача о волнах в цилиндрическом кольцевом бассейне переменной глубины. При удовлетворении функции изменения глубины жидкости уравнению Абеля второго рода:

с!г _ = 1 .г , 2А - сг ^ 1 ? (о2 - /2 (//г "

2/г

иг

— ак

9

(Пг

Н (г) , о = со1^ ,

задача сводится к смешанной краевой задаче для уравнения Бесселя, решение которой представляется в виде линейной комбинации функции Бесселя и функции Неймана.

Получено дисперсионное соотношение в случае ступенчатого изменения глубины. При изменении глубины бассейна от стенки к стенке задача сводится к интегральному уравнению. Третья глава посвящена решению нелинейных задач теории вращающейся жидкости. А именно, изучению течений и волн конечной амплитуды во вращающемся сферическом слое, а также ква-зигеострофических движений во вращающемся океане.

В первом параграфе третьей главы изучаются квазигеостро-фические волновые движения в тонком вращающемся слое иде-

г

альной несжимаемой однородной жидкости переменной глубины. Используя анализ масштабов квазигеострофических движений в теории мелкой воды, приводится вывод основных уравнений. Решение задачи представляется в виде степенных рядов по малому параметру, представляющему собой число Россби. Задача определения квазигеострофического движения сводится к нелинейному уравнению для возвышения свободной поверхности:

д дп д дт]д\

После нахождения решения т] скорости vx ,vy определяются из геострофических соотношений:

_ Oij _ dr¡ Vx ~~ ~ду ' Vy~di'

На границе области должно выполняться условие непротекания через вертикальные поверхности — границы бассейна:

г \ д'1 / \ г, —-cosíп. у) ——cosí л..г) = 0 . ах оу

Во втором параграфе третьей главы рассматривается задача о взаимодействии длинных волн конечной амплитуды с сооружениями. имеющими вертикальные грани большой протяженности. Для случая t¡b = 7-t, что эквивалентно предположению .о примерном постоянстве наклона дна на расстоянии порядка длины волны, получено точное решение соответствующего нелинейного уравнения для возвышения свободной поверхности, представимое в виде суперпозиции падающей и отраженной волн.

Третий параграф третьей главы посвящен изучению нелинейных течений и волн в тонком вращающемся сферическом слое идеальной несжимаемой однородной жидкости переменной глубины. В случае установившегося движения представлено аналитическое выражение для невозмущенной глубины жидкости, при которой имеет место точное решение нелинейной задачи в виде сферической функции. Для неустановившегося движения жидкости между

концентрическими сферами решение в виде волн, наложенных на западно-восточное течение

щ = 0 , v\ = r0Q sin в

представляет собой точное решение нелинейной задачи. Приведено дисперсионное соотношение.

Анализ выражения для линейной скорости движения волны на произвольной широте показывает, что волны, соответствующие малым значениям меридионального волнового числа п, распространяются с востока на запад. Волны, соответствующие большим значениям п, распространяются с запада на восток.

В случае установившегося течения между концентрическими сферами указано условие, при котором выражение в виде ряда по сферическим гармоникам является точным решением нелинейной задачи.

Четвертая глава работы посвящена моделированию волновых движений сжимаемой бароклинной жидкости, образующихся под действием силы тяжести. А именно, рассматриваются вопросы, связанные с влиянием рельефа земной поверхности на воздушные течения и волны. В частности, исследуются волны, возникающие при адиабатическом движении около неровности поверхности Земли. При этом, в отличие от модели мелкой воды используется теоретическая модель, учитывающая поле вертикальных скоростей.

В первом параграфе четвертой главы рассматривается обтекание земной поверхности установившимся воздушным потоком, который далеко перед горой, является горизонтальным. Скорость этого невозмущенного потока считается известной. Предполагается, что движение происходит в некоторой полосе, ширина которой в невозмущенном положении является заданной. Над этой полосой жидкость покоится. Для волн малой амплитуды с учетом малости отклонения неровности поверхности Земли от горизонтального положения при экспоненциальном распределении

плотности и линейной зависимости температуры в невозмущенном движении математически задача сводится к смешанной краевой задаче для неоднородного уравнения Гельмгольца с постоянными коэффициентами. В этЬм случае представлены аналитические выражения для возмущенной поверхности жидкости, а также для скорости.

Второй параграф четвертой главы посвящен волновым движениям над возвышением поверхности Земли. Рассматривается как случай свободных волн над ровным дном, так и елл-чай прохождения вынужденной волны над неровным дном. Решение ищется в виде малого возмущения, накладываемого на невозмущенный поток при отсутствии препятствия. Для периодических по времени и горизонтальной координате волн малой амплитуды над горизонтальным дном получены аналитические решения и представлены дисперсионные соотношения в следующих случаях: если в невозмущенном потоке

- скорость постоянна, а температура линейно убывает с высотой;

- скорость кусочно-постоянна, а температура кусочно-линейная функция высоты. В случае произвольной зависимости скорости и температуры невозмущенного потока от высоты над поверхностью Земли краевая задача сводится к интегральному уравнению.

Получено периодическое по времени решение и представлено дисперсионное соотношение при прохождении волны над неровным дном в случае линейного распределения температуры в невозмущенном потоке. При произвольном изменении температуры с высотой далеко перед возвышенностью земной поверхности предлагается решение задачи методом Галеркина. Приближенное решение задачи ищется в виде ряда по некоторой системе линейно-независимых функций, удовлетворяющих граничным условиям. Получены первые два приближения.

В Заключении приведены основные результаты работы:

1. Изучен процесс распространения пространственных длин-

ных волн малой амплитуды во вращающемся прямолинейном канале постоянной и переменной глубины. В случае глубины жидкости, изменение которой поперек канала удовлетворяет уравнению Абеля второго рода, получено точное решение краевой задачи. В частности, это имеет место при изменении глубины канала по экспоненциальному закону.

2. Произведен анализ длинноволновых движений жидкости во вращающемся цилиндрическом кольцевом бассейне. Рассмотрены случаи как постоянной, так и переменной глубины жидкости. Указана топография дна бассейна, при которой имеет место точное решение. Полученные дисперсионные соотношения и аналитические решения позволяют выявить общие закономерности изучаемого процесса.

3. Исследованы закономерности волнового движения при воздействии длинных нелинейных волн на сооружения с вертикальной гранью. Получено точное решение нелинейного уравнения при переменной топографии дна. Представлено сравнение полей гидродинамических величин в падающей и отраженной волнах.

4. Выполнен анализ нелинейных течений и волн во вращающемся сферическом слое жидкости. В случае установившегося движения представлено аналитическое выражение для невозмущенной глубины жидкости, при которой имеет место точное решение нелинейной задачи в виде сферической функции. Для неустановившегося движения жидкости между концентрическими сферами указано соотношение для частоты волны, при котором решение в виде волн, наложенных на западно-восточное течение, представляет собой точное решение нелинейной задачи. В случае установившегося течения между концентрическими сферами указано условие, при котором выражение в виде ряда по сферическим гармоникам является точным решением нелинейной задачи.

5. Построено решение плоской задачи о воздушных течениях над неровностью земной поверхности. Проведено исследование распространения атмосферных волн над возвышением поверхно-

сти Земли.

Основные результаты исследований опубликованы в работах:

1. Холодова С.Е. Математическое моделирование движения сжимаемой жидкости. // Тр. семинара по дифф. уравнениям Мордовского гос. ун-та. Саранск, январь - июнь 1993 года / Морд. гос. ун-т. - Саранск, 1993. С. 40 - 47, Деп. в ВИНИТИ. 22.07.93, .\a2076 - В 93.

2. Холодова С.Е. Нелинейные установившиеся волны России во вращающемся сферическом слое несжимаемой жидкости. Деп. в ВИНИТИ, 08.07.94, Ш709 - В 94.

3. Холодова С.Е. Волны во вращающейся жидкости. - В кн.: Материалы Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". 22 - 24 декабря 1994 года. Саранск. Саранск. 1995. С. 286 - 294.

4. Холодова С.Е. Волновые движения жидкости во вращающемся цилиндрическом бассейне. - тезисы доклада в программе Международной конференции '"Дифференциальные уравнения и их приложения"', 22 - 24 декабря 1994 года, Саранск. 1994, С. 161.

о. Холодова С.Е. Волновые движения во вращающейся жидкости. - тезисы доклада в программе Международной конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем" (Прикладная механика), 15 - 19 мая 1995 года, Киев. С. 116.

6. Aleshkov Yu.Z., Ivholodova S.Ye. "Waves on the surface of an one-layer of rotating fluid. - "Boundary effects in stratified and/or rotating fluid", International Workshop Abstracts The Eighth meeting of the working group "Laboratory modelling of dynamic processen in the ocean", St.Petersburg, June 6 - 8, 1995. Moskow, 1995, P. 13.