Экспериментальное исследование процессов перехода к стохастичности в сферическом течении Куэтта при вращении обеих сферических границ тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение.

1. Обзор и постановка задачи.

1.1 Устойчивость течений вязкой несжимаемой жидкости во вращающихся сферических слоях . б

1.2 Переход к турбулентности в сферическом течении Куэтта.

1.3 Постановка задачи исследования.

2. Методика экспериментального исследования потери устойчивости и перехода к стохастичности в сферическом течении Кузтта.

2.1 Экспериментальная установка.

2.2 Методика проведения эксперимента.

2.3 Методы обработки экспериментальных данных.

3. Граница устойчивости основного течения в сферическом слое относительной толщины 5=1.006 при вращении обеих сферических границ.

3.1 Структура основного и вторичного течения вблизи границы устойчивости при вращении сферических границ в одну сторону.

3.2 Структура основного и вторичного течения вблизи границы устойчивости при встречном вращении сферических границ.

4. Переход к стохастичности в сферическом слое относительной толщины 6=1.006 при встречном вращении сферических границ.

Многие гидродинамические явления в природе, и в частности процессы в реальных гео- и астрофизических объектах, как правило, чрезвычайно сложны, и их исследование требует одновременного учета многих параметров. Поэтому неудивительно, что на протяжении долгого времени сохраняется устойчивый интерес к модельным течениям, в которых влияние одного или нескольких факторов отделено от влияния остальных. Именно к таким модельным течениям относится рассматриваемое в данной работе сферическое течение Куэтта (СТК) сдвиговое течение вязкой несжимаемой жидкости между двумя сферическими границами, возникающее под действием вращения сфер вокруг общей оси. СТК позволяет рассмотреть влияние двух факторов в реальных природных объектах -сферической геометрии течения и вращения. Несмотря на свою ограниченность, изучение модельных систем на основе лабораторного моделирования позволяет выделить наиболее характерные стороны явления и, тем самым, облегчить понимание закономерностей в реальных процессах.

Изучение течений во вращающихся сферических слоях кроме технических, астро- и геофизических приложений представляет не меньший интерес для теории гидродинамической устойчивости и проблемы перехода к стохастичности. Именно необходимостью решения вопросов гидродинамической устойчивости в трехмерных течениях было инициировано начало экспериментальных и теоретических исследований СТК в конце 60-ых - начале 7 0-ых гг. В начале 80-ых гг. получили развитие экспериментальные исследования СТК, связанные с определением переходов от ламинарного режима течения к турбулентному. Выяснилось, что СТК принадлежит к классу течений, в которых ламинарно-турбулентный переход происходит по мере изменения управляющего параметра постепенно, с большим количеством промежуточных режимов течения, а образуемые в результате перехода стохастические режимы течения характеризуются конечной и относительно небольшой размерностью аттракторов. С начала 90-ых гг. и по настоящее время при экспериментальных и теоретических исследованиях модельных течений, в том числе и СТК, внимание смещается к изучению ламинарно-турбулентных переходов, происходящих с . изменением нескольких управляющих параметров.

В данной работе экспериментальное изучение перехода к стохастичности в СТК сосредоточено на малоисследованной до настоящего времени области разнонаправленного вращения внутренней и внешней сферических границ в слое с толщиной, равной радиусу внутренней сферы. Основное внимание при этом уделяется выявлению характерных особенностей закритических режимов течения, образующихся в процессе перехода к стохастичности, на основе сочетания измерений скорости течения в слое и визуализации трехмерных пространственных структур.

Заключение.

В данной работе с использованием одновременного измерения скорости и визуализации проведено экспериментальное исследование устойчивости и перехода к стохастичности в сферическом течении Куэтта с толщиной слоя, равной радиусу внутренней сферы, в случае вращения обеих сферических границ. Основные результаты состоят в следующем:

1. Получена граница устойчивости сферического течения Куэтта в плоскости параметров (Rex, Re2) при однонаправленном и встречном вращении сферических границ в широком диапазоне изменения параметров подобия (50 < Re! < 1000, -1200 < Re2 < 800). Определены пространственные структуры основного и вторичного течений вблизи границы устойчивости. Показано, что при встречном вращении сферических границ (-950 < Re2 < -350) смена вторичных режимов течения на границе устойчивости сопровождается разрывами в величине единственной частоты в спектре пульсаций скорости.

2. Изучены сценарии перехода к стохастическому режиму в случае встречного вращения сферических границ. Переходы исследованы при квазистатическом изменении Rei с сохранением постоянного значения Re2, выбираемого из диапазона изменения -950 < Re2 < -700. Изучены основные особенности трехмерных пространственных структур закритических режимов течения. Установлено, что спектры пульсаций скорости всех ламинарных закритических режимов течения образуются из комбинации частот, соответствующих трем обнаруженным пространственным структурам течения.

Показано, что в рассматриваемом диапазоне параметров переход к стохастическому режиму течения всегда происходит с одночастотного режима с симметричной относительно плоскости экватора структурой. При этом всегда наблюдается гистерезис. Ламинарно-турбулентный переход происходит через последовательность не более четырех"-. закритических режимов. Найдена система координат^ в которой относительные частоты каждого из наблюдаемых закритических режимов зависят от надкритичности и не зависят от числа Re2. Таким образом, становится возможным обобщенное описание частотных параметров ламинарно-турбулентного перехода в рассматриваемом диапазоне изменения чисел Rei и Re2. n2 б)

Фиг. 2

Вид меридиональной циркуляции основного течения, полученный аналитически при малых числах Рейнольдса, (а)

- при вращении только внутренней сферической границы, (б)

- при вращении обеих сферических границ в различные стороны, (в) - при вращении только внешней сферической границы.

У/// I 77%77

Фиг. 3.

1 - внешняя сфера, 2 - термистор на полюсе, 3 - внутренняя сфера, 4 - вырез, 5 - вал привода внешней сферы, 6 - вал привода внутренней сферы, 7,13 - электродвигатели с редукторами,-■ 8 - упругие вертикальные стойки, 9 - торсион, 10 узел подвески привода внутренней сферы, 11 - вал с подшипниками, 12 - карданный вал, 14 - рама, 15 - термистор на экваторе, 16 - втулка внутренней сферы, 17 - термостат.

320 360 400 440

Фиг.13

Относительные частоты закритических режимов течения при Re2 = -900: р - приполярного движения, s - спиральных волн, д - трехчастотного режима, t - локализованных вихрей. Заштрихованы области гистерезиса режимов локализованных вихрей и хаотического.

300 320 340 360 380 ке ^

Фиг.14

Относительные частоты закритических режимов течения при Re2 = -700: s - спиральных волн, р - приполярного движения, t - локализованных вихрей. Затемненные символы соответствуют возрастанию Rea, прозрачные - уменьшению. Заштрихованы области гистерезиса режимов локализованных вихрей и хаотического.

500

-1100 -1000 -900 -800 -700 -600 -500

Re2

Фиг. 1-9

Граница устойчивости основного течения а - с. Границы возникновения закритических режимов: 1,4квазипериодического 'режима для Rez > -810 и Re2 < -810 соответственно; 2, 6 - режима локализованных вихрей; 5 -режима течения с тремя частотами в спектре; 3,7 стохастического режима.

Фиг.20

Области гистерезиса режима (заштрихованная область 1) и (заштрихованная область 2). локализованных вихрей стохастического режима

1.0 -тf/f2

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0 — 0.7

Фиг.21

Зависимости относительных частот закритических режимов течения (кривые s, р, t, д) от отношения Rei/Reis при различных значениях Re2: А , Д - рче2 = -700; + ,0 - Rez = -750; ф - Re2 = -900; ■ - Re2 = -950. Затемненные символы соответствуют возрастанию Rei, прозрачные - уменьшению.

1.Joseph D. D. Stability of fluid motions. Springer-Verlag, Berlin,1976 (Пер.: Джозеф Д. Устойчивость течений жидкости. М.: Мир, 1981.)

2. Langlois W.E. Slow viscous flow. N.-Y.rMacmillan,1964.

3. Яворская И.М. Влияние широтного градиента температуры на сферическое течение Куэтта. Изв. АН СССР. МЖГ. 1975. №2. С.15-23.

4. Munson, В. R., Mengaturk, М. : Viscous incompressible flow between concentric rotating spheres. Part3: Linear stability and experiments. J. Fluid Mech., 1975, 69, №4, p.705-719.

5. Wimmer M. Experiments on a viscous fluid flow between concentric rotating spheres. J. Fluid Mech., 197 6, v.78, №2, p.317-335.

6. Яворская И.М., Беляев Ю.Н., Монахов A. A. Экспериментальное исследование потери устойчивости сферическим течением Куэтта. В сб. Турбулентные течения, М., Наука, 1977, С. 162-170.

7. Яворская И.М., Беляев Ю.Н., Монахов А.А. Экспериментальное изучение сферического течения Куэтта. Докл. АН СССР.1975.Т.221.№5. С.1059-1062.

8. Яворская И.М., Беляев Ю.Н., Монахов А. А. Исследование устойчивости и вторичные течения во вращающихся сферических слоях при произвольных числах Россби. Докл. АН СССР.1977.Т.237.№4. С.804-807.

9. Беляев Ю.Н., Монахов А.А., Яворская И.М. Устойчивость сферического течения Куэтта в толстых слоях привращении внутренней сферы. Изв. АН СССР. МЖГ. 1978. №2. С.9-15.

10. Taylor, G.J.: Stability of a viscous liquid contained between two rotating cylinders. Phil. Trans. Sec. London, 1923, Ser. A 223, p.289-293.

11. И.Хлебутин Г.Н. Устойчивость движения жидкости между вращающейся и неподвижной концентрическими сферами. Изв. АН СССР. МЖГ, 1968, №6, стр.53-56.

12. С. Egbers, H.J. Rath The existence of Taylor vortices and wide-gap instabilities in spherical Couette flow. Acta Mechanica, 1995, 111, p.125-140.

13. Астафьева H.M. Численное моделирование несимметричного относительно плоскости экватора сферического течения Куэтта. Изв. АН СССР. МЖГ. 1985. №3. С. 56-62.

14. Marcus P. S., Tuckermann L. S. Simulation of flow between concentric rotating spheres. Pt2. Transitions. J. Fluid Mech., 1987, v.185, №1, p.31-65.

15. Schrauf G., Krause E. Symmetric and asymmetric Taylor vortices in a Spherical gap. Laminar Turbulent Transition, Editor V.V.Kozlov, Sprinqer-Verlag, 1985, 659-668.

16. Монахов А. А. Граница устойчивости основного течения в сферических слоях. Изв. РАН. МЖГ. 1996. №4. С.66-7 0.

17. Bar-Yoseph P., Solan A., Hillen R., Roesner К. Taylor vortex flow between eccentric coaxial rotating spheres Phys. Fluids A, v.2, №9, 1990, p. 1564-1573.

18. Buhler K. Symmetric and asymmetric Taylor vortex flow in spherical gaps. Acta Mechanica, 1990, 81, p.3-38.

19. Астафьева Н.М. Анализ устойчивости течений во вращающихся сферических слоях (линейная теория). Изв. РАН. МЖГ. 1997. №6. С.63-73.

20. Астафьева Н.М. Устойчивость и неединственность осесимметричных течений во вращающихся сферических слоях (нелинейная теория). Изв. РАН. МЖГ. 1998. №1. С.75-86.

21. P. Wulf, С. Egbers, H.J. Rath. Routs to chaos in wide gap spherical Couette flow. Physics of fluids, 1999, v.11, №6, pp.1359- 1372.

22. Araki K., Mizushima J., Yanase S. The nonaxisymmetric instability of the wide gap spherical Couette flow. Physics of fluids, 1997, v.9, №4, pp.1197- 1199.

23. Беляев Ю.Н., Монахов A.A., Щербаков С.А., Яворская И.М. Неединственность последовательности переходов к турбулентности во вращающихся слоях. Докл. АН СССР. 1984. Т.27 9. №1. С.51-54. .

24. Беляев Ю.Н., Монахов А. А., Хлебутин Г.Н., Яворская И.М. Исследование устойчивости и неединственности течений во вращающихся сферических слоях . 1980, Препринт №567 ИКИ АН СССР.

25. Беляев Ю.Н., Яворская И.М. Течения вязкой жидкости во вращающихся сферических слоях и их устойчивость. Итоги науки и техники ВИНИТИ, Механика жидкости и газа., 1980, т.15. С. 3-80.

26. Якушин В. И. О неустойчивости движения жидкости между двумя вращающимися сферами. Изв. АН СССР. МЖГ. 1970. №4. С.155-156.

27. Snyder Н. A. Stability in rotating Couette flow. Physics of fluids, 1968, v.11, №4, p. 728-734.

28. Монахов А.А. Нестационарные вторичные течения в сферических слоях. Изв. РАН. МЖГ. 1998. №3. С.201-204.

29. Proudman I. The almost-rigid rotation of viscous fluid between concentric spheres. J. Fluid Mech., 1956, 1, №5, p.505-519.

30. Stewartson K. On almost-rigid rotation. Parti. J. Fluid Mech., 1957, 3, №1, p.17-26.

31. Stewartson K. On almost-rigid rotation. Part2. J. Fluid Mech., 1966, 26, №1, p.131-144.

32. Зиканов О.Ю. Численное моделирование неустойчивостей и вторичных режимов в сферическом течении. Изв. РАН. МЖГ. 1995. №1. С.3-15.

33. Zikanov О. Symmetry breaking bifurcations in spherical Couette flow. J. Fluid Mech., 1996, v.310, p.293-324.

34. Яворская И.М., Астафьева H.M., Введенская Н.Д. Об устойчивости и неединственности течений жидкости во вращающихся сферических слоях. Докл. АН СССР. 1978. Т.241. №1. С.52-55.

35. Dumas G., Leonard A. A divergence-free spectral expansions method for three-dimensional flows in spherical-gap geometries. J. Сотр. Phys., 1994, v.Ill, №2, p. 205-219.

36. Sha W., Nakabayashi K, Ueda H. An accurate second-order approximation factorization method for timedependent incompressible Navier-Stokes equations in spherical polar coordinates. J. Сотр. Phys., 1998, v. 142, p. 47-66.

37. Waked A.M., Munson B. R. Laminar-turbulent flow in a spherical annulus. Trans. ASME. J. Fluids Eng.,1978, 100, №3, p.281-286.

38. Waked A.M., Munson B. R. Torque characteristics for spherical annulus flow. Trans. ASME. J. Fluids Eng.,1979, 101, №2, p.284-286.

39. Bar-Yoseph P., Roesner K. ., Solan A. Vortex breakdown in the polar region between rotating spheres. Phys. Fluids A, v.4, №8, 1992, p. 1677-1686.

40. Ландау JI.Д. К проблеме турбулентности. Докл. АН СССР.1944.Т.44. №8. С.339-342.

41. Монин А.С. О природе турбулентности. УФН. 1978.т.125. ' вып.1.С.97-122.

42. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. М.: Наука. - Т.6.: Гидродинамика. - 3-е изд. - 198 6.

43. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence, Commun. Math. Phys. 1971., 20, №2. p. 167-192. ( Пер.: Рюзль Д. Такенс Ф. О природе турбулентности. В кн. Странные аттракторы, М.: Мир, 1981., С. 117-151.)

44. Newhouse D., Ruelle D., Takens F. Occurrence of strange axiom A attractors near quasi periodic flows on

45. Tm , m>3, Commun. Math. Phys.1978., 64, №1. p. 35-40.

46. Feigenbaume M.J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations. J. Stat. Phys. 1978. V.19. №1. P. 25-52.

47. Pomeau Y.f Manneville P. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems. Commun. Math. Phys.1980., 74, №2. p. 189-197.

48. Герценштейн С.Я., Шмидт В.М. О нелинейном развитии и взаимодействии конвективных волн в горизонтальном слое. Докл. АН СССР.1975.Т.225. №1. С.59-62.

49. Любимов Д.В., Путин Г.Ф., Чернатынский В. И. О конвективных движениях в ячейке Хеле-Шоу. Докл. АН СССР.1977.Т.235. №3. С.554-556.

50. Грязнов B.JI., Полежаев В.И. Численное моделирование турбулентного режима конвекции в вертикальном слое. Изв. АН СССР. МЖГ. 1977. №5. С.8-15.

51. Павельев А. А. О переходе к турбулентности в струях. В сб. Турбулентные течения. М.: Наука, 1974. С.185-193.

52. Brandstater А., Swift J., Swinney H.L., Wol:f A. Low-dimensional chaos in a hidrodynamic system. Phys. Rev. Lett. 1983. V.51. №16. P.1442-1445.

53. McLaughlin J.В., Martin P.C. Transition to turbulence of a statically stressed fluid. Phys. Rev., 1975, A12, №1.

54. Schuster H. G. Deterministic chaos: an introduction, 2nd edition. 1988. VCH, Weinheim, Germany. (' Пер.: Шустер Г. Г. Детерминированный хаос: введение. М. Мир, 1988.)

55. Рабинович М.И. Стохастические автоколебания и турбулентность. УФН. 1978.т.125. вып.1.С.123-168 .

56. Яворская И.М., Беляев Ю.Н. Конвективные течения во вращающихся слоях. Итоги науки и техники, ВИНИТИ, т. 17, 85 е., 1982.

57. Беляев Ю.Н., Герценштейн С.Я., Шкадов В.Я., Яворская И.М. Гидродинамическая неустойчивость и переход к турбулентности. В сб. Актуальные проблемы механики, под. ред. Г.И.Петрова, изд-во Московского университета, 1984, 17-21.

58. Коляда В.В., Павельев А.А. Влияние профиля скорости на входе в круглую трубу на переход к турбулентности. Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. №4. С.166-168.

59. Герценштейн С.Я., Попов В.Н. Интегральный метод расчета турбулентной конвекции в горизонтальном слое раствора. Докл. РАН. 1998. Т.363. №6. С.769-772.

60. Колесов В.В., Юдович В.И. Расчет колебательных режимов в течении Куэтта вблизи точки пересечения бифуркаций возникновения вихрей Тейлора и азимутальных волн. Изв. РАН. МЖГ. 1998. №4. С.81-93. '

61. Никитин Н.В., Полежаев В.И. Трехмерные эффекты переходных и турбулентных режимов тепловой гравитационной конвекции в методе Чохральского. Изв. РАН. МЖГ. 1999. №6. С.81-90.

62. Никитин Н. В. Пространственный подход к численному моделированию турбулентности в трубах. Докл. РАН. 1995. Т.343. №6. С.767-770.

63. Лущик В.Г., Павельев А.А., Решлит А.И., Якубенко А.Е. Влияние граничных условий на переход к турбулентности в пограничном слое на пластине при большом уровне внешних возмущений. Изв. РАН. МЖГ. 1999. №6. С.111-119.

64. Бойко А.В., Грек Г.Р., Довгаль А.В., Козлов В.В. Возникновение турбулентности в пристенных течениях. Новосибирск: Наука. 1999.

65. Герценштейн С.Я., Родичев Е.Б., Шмидт В.М. Взаимодействие трехмерных волн во вращающемся горизонтальном слое жидкости, подогреваемом снизу. Докл. АН СССР.1978.Т.238. №3. С.545-548.

66. Гетлинг А.В. Формирование пространственных структур конвекции Рэлея-Бенара. УФН., 1991., т.161., №9. С. 180.

67. Nakabayashi К, Tsuchida Y. Spectral study of the laminar-turbulent transition in spherical Couette flow. J. Fluid Mech., 1988, v.194, p.101-132.

68. Nakabayashi K, Tsuchida Y. Modulated and unmodulated travelling azimuthal waves on the toroidal vortices in a spherical Couette system. J. Fluid Mech., 1988, v. 195, p.495-522.

69. Nakabayashi K, Tsuchida Y. Flow-history effect on higher modes in the spherical Couette system. J. Fluid Mech., 1995, v.295, p.43-60.

70. Coles D. Transition in circular Couette flow. J. Fluid Mech., 1965, 21, №3, p.385-425.

71. Snyder H. A. Wave number selection at finite amplitude in rotating Couette flow. J. Fluid Mech., 1969, 35, №2, p.273-298.

72. Buhler K., Zierep J. New secondary instabilities for high Re-number flow between two rotating spheres.1.minar Turbulent Transition, Editor V.V.Kozlov,

73. Sprinqer-Verlag, 1985, 677-685.

74. Yasushi T. Quasi-periodic state and transition to turbulence in a rotating Couette system. J. Fluid Mech., 1999, v.389, p.81-99.

75. Беляев Ю.Н., Монахов А.А., Щербаков С. А., Яворская И.М.'* Возникновение турбулентности во вращающихсяжидкостях. Письма в ЖЭТФ, 197 9.,т.29, вып.б, с.329-333.

76. Беляев Ю.Н., Яворская И.М. Переход к стохастическому режиму в течении между вращающимися сферами. В сб.

77. Нелинейные волны, Горький, 1980, 78-88.

78. Belyaev Yu.N., Monakhov A.A., Scherbakov S.A.,

79. Yavorskaya I.M. Some routes to turbulence in spherical

80. Couette flow. Laminar — Turbulent Transition, Editor V.V.Kozlov, Sprinqer-Verlag, 1985,p.669-676.

81. Беляев Ю.Н., Яворская И.М. Экспериментальное исследование возникновения стохастичности в сферическом течении Куэтта. В сб. Механика неоднородных систем,

82. Новосибирск, 1985, с.6-31.

83. Беляев Ю. Н., Яворская И. М. Переход к хаосу и характеристики хаотических режимов в сферическом течении Куэтта. Препринт ИПМ АН СССР, № 346, 1988,с. 37.

84. Беляев Ю. Н., Яворская И. М. Проблемы устойчивости и возникновения хаоса в замкнутых гидродинамических течениях. Труды МИАН СССР,1989, т. 186, с.106 116.

85. Беляев Ю. Н., Яворская И. М. Бифуркации и пути возникновения хаоса в замкнутых гидродинамическихтечениях. В сб. Модели механики неоднородных систем. Новосибирск, 1989, с.136-156.

86. Беляев Ю. Н., Яворская И. М. Сферическое течение Кузтта переходы и возникновение хаоса. Изв. АН СССР МЖГ,1991, №1,с.10-18.

87. Belyaev Yu. N., Yavorskaya I. M. Nonunuqueness and multiparametric study of transition to chaos in the spherical Couette flow. Eurup. Journ. Mech. B/Fluids. 1991, vol.10, №2,p.267-274.

88. Беляев Ю. H. Об одном подходе к исследованию возникновения турбулентности при течениях вязкой жидкости в замкнутых объемах. ПМТФ, 1995, №1, с.64-72.

89. Яворская И.М. Гидродинамика вращающихся сферических слоев. Некоторые астрофизические приложения: Дис.докт. физ.- мат. наук. М., ИКИ АН СССР. 1978. 421 с.

90. Новицкий П.В., Зограф И. А. Оценка погрешностей результатов измерений. JI.: Энергоатомиздат.,1991. -304с.

91. Марпл C.JI. Цифровой спектральный анализ и его приложения.- М.:Мир, 1990.-584с.

92. Отнес Р., Эноксон JI. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы.- М.: Мир, 1982.-428с.

93. Packard N., Crutchfield J., Farmer J., Show R. Geometry from a t ime series. Phys. Rev. Lett. 1980. V.45. №9. P.712-716.

94. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence. Lect. Notes Math. 1981. №899. p.366-381.

95. Верже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. М. : Мир, 1991.-368с.

96. Гринспен X. Теория вращающихся жидкостей. JI.: Гидрометеоиздат,1975.304с.

97. Жиленко Д.Ю., Кривоносова О.Э., Монахов А. А. Экспериментальное исследование потери устойчивости сферическим течением Куэтта. Материалы всероссийской конференции «Современные методы и достижения в механике сплошных сред», Москва, 1997, с.29 32.

98. Герценштейн С.Я., Жиленко Д.Ю., Кривоносова О.Э., Монахов А. А. Экспериментальное исследование устойчивости' течения вязкой жидкости широком сферическом слое. Препринт № 39 — 98 Института механики МГУ, 1998, 21 с.

99. Герценштейн С.Я., Жиленко Д.Ю., Кривоносова О.Э., Монахов А.А. Экспериментальное исследование структуры иустойчивости течения в толстом сферическом слое между разновращающимися сферами. Изв. РАН. МЖГ. 1999. №4. С.54-60.

100. Герценштейн С.Я., Жиленко Д.Ю., Кривоносова О.Э. О сценарии перехода к хаосу в сферическом течении Куэтта при противоположном направлении вращения сферических границ. Докл. РАН Л 999'. Т. 369. №3. С.337-341.

101. Герценштейн С.Я., Жиленко Д.Ю., Кривоносова О.Э. О попытке обобщения сценариев перехода к турбулентности в сферическом течении Куэтта при встречном направлении вращения сферических границ. Докл. РАН. 2000. т.375 №6.1. С. 770-773

102. Герценштейн С.Я. , Жиленко Д.Ю., Кривоносова О.Э. Ламинарно-турбулентный переход в сферическом течении Куэтта при'встречном вращении сферических границ. Изв. РАН. МЖГ. 2001. В печати. H'Z . С.1. Фиг. 7

103. Вид вторичного течения в меридиональной плоскости надо е границы .устойчивости (Rea = 669,участком1. Re2 = -88) ,1. Фиг. 8

104. Вид основного течения в меридиональной плоскости вблизи предела устойчивости на участке с d границы устойчивости (Rei = 143, Re2 = -232).1. Фиг.10

105. Вид вторичного течения режима спиральных волн - в меридиональной плоскости в различные моменты времени (участок Ъ - с границы устойчивости, Rea = 2 98, Re2 = -700).1. Фиг.11

106. Вид вторичного течения режима приполярного движения в меридиональной плоскости в различные моменты времени (участок а - b границы устойчивости, Re* = 310, Re? = -Ш0.) .