Гидродинамическая и гидромагнитная устойчивость течения Куэтта тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.02 ВАК РФ

00461

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. А.Ф. Иоффе РАН

На правах рукописи

Шалыбкон Дмитрий Александрович ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ И ГИДРОМАГНИТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЯ КУЭТТА 01.03.02 - астрофизика н аиёздная астрономия

- 7 ОКТ ?ою

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург — 2010

004609889

Работа выполнена в секторе теоретической астрофизики Отделения физики плазмы, атомной физики и астрофизики Учреждения Российской академии наук "Физико-технического института им. А. Ф.Иоффе РАН".

Официальные оппоненты: - доктор физико-математических наук, Д. В. Бисикало

(Институт астрономии, РАН, Москва)

доктор физико-математических наук, профессор П. Г. Фрик

(Институт механики сплошных сред, УрО РАН, Пермь)

доктор физико-математических наук, профессор А. Я. Эндер

(Физико-технический институт им. А.Ф.Иоффе, РАН, Санкт-Петербу!

Ведущая организация: - Главная астрономическая обсерватория, РАИ

(190140, Санкт-Петербург, Пулковское шоссе, д. 65/1)

Защита состоится 28 октября 2010 года в 14:00 часов на заседании диссертационного совета Д 002.205.03 при ФТИ им. А. Ф. Иоффе по адресу: 194021, С.-Петербург, Политехническая ул. 2С.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФТИ им. А. Ф. Иоффе. Автореферат разослан л /^сентября 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета: канд. физ.-мат. наук

А. М. Красильщиков.

1 Общая характеристика диссертации

Актуальность работы. Проблема устойчивости дифференциального вращения, особенно при наличии магнитного ноля и неоднородной плотности, чрезвычайно актуальна для многих астрофизических приложений. В частности, наиболее вероятным механизмом, способным объяснить неустойчивость аккреционных дисков, в настоящее время считается маг-нитовращательная неустойчивость. Сама магнитовращательная неустойчивость была теоретически открыт Велиховым [1] более 50 лет назад именно при изучении устойчивости идеального течения Куэтта с однородным осевым магнитным нолем. Тем не менее, магнито-вращательная неустойчивость до сих пор не наблюдалась экспериментально. Наши работы (см. /1/ и /4/) подтвердили, что основной причиной, приводящей к трудностям в экспериментальной реализации магнитовращательной неустойчивости, является чрезвычайно малое значение магнитного числа Прандтля (порядка Ю-5 и меньше), которое имеют жидкие металлы. Отсутствие экспериментального подтверждения и каких-то практических приложений предопределило отсутствие интереса научной общественности к магнитовращательной неустойчивости. Только спустя 30 лет после работы Велихова, было осознано значение магнитовращательной неустойчивости как возможного механизма, способного объяснить природу неустойчивости аккреционных дисков [2,3]. Список важных приложений теории устойчивости дифференциального вращения далеко не исчерпывается проблемой устойчивости аккреционных дисков. В этой связи, можно, например, упомянуть проблему дифференциального вращения солнца и звезд (см., например, [4,5]) или проблему коллимации и устойчивости астрофизических джетоа (см., например, [6-8]). Более того, можно даже сказать, что трудно найти астрофизический объект, который не обладал бы дифференциальным вращением. В свою очередь, для любого такого объекта вопросы устойчивости дифференциального вращения чрезвычайно актуальны. Тем не менее, из всего многообразия астрофизических объектов только доя аккреционных дисков хорошо известен закон вращения (кеилеровское вращение). Поэтому, ниже, говоря об астрофизических приложениях, мы будем применять полученные результаты именно к аккреционным дискам. Автор хорошо понимает, что прямое применение теории устойчивости течения Куэтта к аккреционным дискам невозможно, хотя бы в силу различности геометрии объектов. Следовательно, при обсуждении устойчивости аккреционных дисков имеется ввиду устойчивость течения с законом вращения, подобным закону вращения аккреционного диска (кеплеровоскому вращению). При этом, общность физических механизмов позволяет надеяться на адекватность получаемых выводов. Отмегим, что использование цилиндрической геометрии для проблемы устойчивости аккреционных дисков достаточно распространено в астрофизике (см., например, [9]).

Задача об устойчивости ламинарного течения между двумя соосными вращающимися цилиндрами (течения Куэтта) является классической проблемой гидродинамической и гид-

ромагнитной устойчивости. Тема диссертации актуальна, поскольку исследование устойчивости течения Куэтта позволяет детально понять механизмы и определить параметры гидродинамических и гидромагнитных неустой чивостей, которые играют чрезвычайно существенную роль в упомянутых выше астрофизических приложениях.

Кроме того, актуальность работы подтверждается активностью в исследовании течения Тейлора-Куэтта (и как его составной части течения Куэтта). Каждый год по этой тематике публикуется несколько десятков работ, а общее число работ измеряется трехзначным, если не четырехзначным числом. Каждые два года проходят международные конференции, посвященные исключительно течению Тейлора-Куэтта. Последняя такая конференция, 16 по счету, прошла в 2009 году в США.

Цели работы:

(а) нахождение стационарного решения для проблемы Тейлора-Куэтта при наличии таких факторов, как неоднородность плотности и магнитное поле;

(б) получение уравнений, описывающих линейную устойчивость найденного стационарного состояния (течения Куэтта);

(в) разработка комплекса численных программ, позволяющих на основе полученных уравнений, найти параметры (собственные числа) линейной устойчивости течения Куэтта;

(г) теоретическое изучение, на основе разработанного комплекса программ, свойств и параметров устойчивости течения Куэтта при наличии таких факторов, как неоднородность плотности и магнитное пате;

(д) сравнение полученных теоретических данных с имеющимися экспериментальными результатами для выяснения адекватности использованных для описания устойчивости течения Куэтта теоретических моделей и методов;

(е) применение полученных результатов для изучения устойчивости течения с законом вращения, подобным закону вращения аккреционных дисков.

Методы.

При решении поставленных в работе задач использовались методы ряда разделов теоретической физики и вычислительной математики, среди которых наиболее важными являются теория устойчивости гидродинамических и гидромагнитных систем, методы решения систем линейных дифференциальных уравнений, методы нахождения нулей функции в пространстве нескольких переменных.

Научная новизна работы.

В диссертации впервые проведено систематическое обсуждение устойчивости течения Куэтта при наличии неоднородной плотности и магнитного поля.

1) Впервые систематически рассмотрена устойчивость течения Куэтта при наличии устойчивой осевой стратификации плотности. Установлены пределы физических условий, при

выполнении которых оправдано применение приближения Буссинеска. Полученные теоретические результаты подтверждены экспериментальными данными. Впервые показано, что стратовращательная неустойчивость может приводить к неустойчивости вращения с законом, подобным закону вращения аккреционного диска.

2) Детальные численные расчеты подтвердили существенную зависимость неустойчивости течения Куэтта при наличии однородного осевого магнитного ноля от магнитного числа Прандтля. С учётом найденной зависимости, сделан вывод о практической невозможности наблюдения магнитовращательноп неустойчивости при экспериментах с жидкими мегаллами. Однако, в аккреционных дисках числа Рейнольдса столь велики, что условия для магнитовращательной неустойчивости, безусловно, выполнены.

3) Впервые показано, что добавление к однородному осевому магнитному полю устойчивого бестокового азимутального магнитного поля доя проводящих цилиндров дестабилизирует течение Куэтта вблизи линии Рэлея. Имеющиеся экспериментальные данные подтверждают этот теоретический вывод.

4) Впервые показано, что эффект Холла дестабилизирует течение Куэтта для любого закона вращения. Однако, экспериментальная проверка этого факта требует нереалистично больших значений магнитных полей. Оценки для астрофизических объектов показали, что эффект может наблюдаться в слабоионизованных аккреционных дисках и нейтронных звёздах.

5) Впервые детально исследована устойчивость течения Куэтта при наличии азимутального магнитнохх) ноля. Показано, что известные критерии устойчивости азимутального магнитного пат я для стационарных конфигураций применимы и при наличии течения Куэтта. При этом возможны, как компенсация неустойчивостей, когда сочетание неустойчивого вращения и неустойчивого магнитного поля приводит к устойчивому течению, так и обратная ситуация, когда комбинация устойчивого вращения и устойчивого магнитного поля приводит к неустойчивости. Эффекты неидеальности стабилизируют неустойчивое азимутальное магнитное поле, что приводит к появлению критического числа Гартман-на, которое аналогично критическому числу Рейнольдса для неустойчивого вращения. Показано, что критические числа Гартманна существуют только для мод с азимутальными волновыми числами равными 0 и 1. Показано, что неустойчивости, вызываемые азимутальным магнитным полем, могут быть даже более важны для устойчивости вращения с заколом, подобным закону вращения аккреционных дисков, чем классическая магнитовращательная неустойчивость.

6) Впервые рассчитаны кривые нейтральной устойчивости при одновременном наличии магнитного поля и неоднородной плотности. Эти кривые продемонстрировали чрезвычайно сложную картину взаимодействия различных неустой чивостей.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Определение границы применимости приближения Буссинеска при изучении устойчивости диссипативного течения Куэтта с осевой стратификацией плотности. Проведено подробное теоретическое изучение свойств стратовращательной неустойчивости. Теоретические результаты подтверждены результатами лабораторных экспериментов, выполненных другими авторами. Показано, что стратовращательная неустойчивость может вызывать неустойчивость течения с законом вращения подобным закону вращения для аккреционных дисков.

2. Теоретическое изучение устойчивости диссипативного течения Куэтта при наличии однородного осевого магнитного поля. Подтверждена существенная зависимость магни-товращательной неустойчивости от магнитного числа Прандтля. Сделан вывод о чрезвычайной трудности (практической невозможности) наблюдения магнитовращательной неустойчивости в течении Куэтта с однородным магнитным полем при экспериментах с жидкими металлами. Тем не менее, чрезвычайно большие числа Рейнольдса, типичные для аккреционных дисков, позволяют сделать вывод о возможности существования магнитовращательной неустойчивости в аккреционных дисках.

3. Теоретическое изучение устойчивости диссипативного течения Куэтта при наличии азимутального магнитного поля. Показана применимость известных критериев устойчивости азимутального магнитного поля для случая, когда присутствует диссипативное течение Куэтта. Подтверждена устойчивость простейшей гидромагнитной конфигурации (альвеновское течение) по отношению к осесимметричным возмущениям для оду чая диссипативного течения Куэтта. Подтверждена граница азимутальной магнитовращательной неустойчивости. Сделан вывод о том, что неустойчивости, вызванные азимутальным магнитным полем, могут быть более важны для проблемы устойчивости аккреционных дисков, чем классическая магнитовращательная неустойчивость.

4. Теоретический анализ неустойчивости однородного осевого магнитного поля вблизи границы Рэлея при наличии устойчивого бестокового азимутального магнитного поля для случая проводящих цилиндров.

5. Теоретический анализ устойчивости диссипативного течения Куэтта при наличии эффекта Холла. Обнаружена неустойчивость течения при любом законе вращения как для однородного осевого, так и для азимутального магнитного поля. Проведенные оценки показали, что наблюдение этого эффекта при экспериментах с жидкими металлами требует слишком больших магнитных падей. Однако, эффект можег быть важен для слабоиони-зованных аккреционных дисков и нейтронных звезд.

6. Теоретический анализ взаимодействия стратовращательной, пинчевой и азимутальной магнитовращательной неустойчивостей в диссипативном течении Куэтта при наличии

как устойчивой осевой стратификации плотности, так и азимутального магнитного поля. Показано, что устойчивая осевая стратификация плотности в целом стабилизирует неустойчивости, вызванные магнитным нолем. При этом, даже устойчивое азимутальное магнитной ноле может дестабилизировать сгратовращательную неустойчивость.

Научная и практическая значимость.

Результаты систематического анализа устойчивости течения Куэтта при наличии неоднородной плотности и мш'шггпого ноля существенно расширили наше понимание границ гидродинамической и гидромагнитной устойчивости вращающейся несжимаемой жидкости.

Сравнение имеющихся экспериментальных данных с теоретическими расчетами показывает хорошее согласие (в пределах нескольких процентов) для параметров неустойчивостей и позволяет сделать существенный вывод об адекватности используемых теоретических и численных методов для описания устойчивости течения Куэтта.

Использование описанных теоретических методов исследования течения Куэтта позволяет сократить людские и материальные ресурсы при планировании новых экспериментов но устойчивости течения Куэтта.

Изученные механизмы неустойчивости течения Куэтта безусловно найдут и уже находят (см., например, [10,11]) применение при изучении устойчивости различных физических объектов, в которых дифференциальное вращение существует совместно с магнитными полями и неоднородной плотностью. Такими объектами, например, являются аккреционные диски, магнитные ловушки, солнце, звезды, галактические диски, космические джегы и т.д.

Результаты работы уже явились основой для экспериментального изучения стратовра-щательной неустойчивости [12] и винтовой магнитовращательной неустойчивости [13-15].

Апробация работы и публикации.

Результаты работы неоднократно докладывались на семинарах сектора теоретической астрофизики ФТИ им. А.Ф. Иоффе РАН (Санкт-Петербург), Астрономического института им. В.В. Соболева, С.-Петербургского государственного университета (Санкт-Петербург), Института Астрофизики Потсдама (Потсдам, Германия), а 'также на международных конференциях:

l12-th International Taylor-Couette workshop ' (Эванстон, США, 2001), 'Fundamental and applied MHD, 5-th International Conference' (Раматуэль, Франция, 2002), 'iTi Conference on turbulance' (Бад Цвишенан, Германия, 2003), '13-th International Couette-Taylor workshop' (Барселона, Испания, 2003), 'MHD Couette flows: Experiments and Models' (Катания, Италия, 2004), '14-th Couette -Taylor workshop' (Саппоро, Япония, 2005), 'MHD Laboratory Experiments for Geophysics and Astrophysics' (Катания, Италия, 2007), '15-th Couette -Taylor workshop' (ЛеХавр, Франция, 2007), 'Astrophysical Magnetohydrodynamics' (Хельсинки, Финляндия, 2009), 46th Couette-Taylor Workshop' (Принстон, США, 2009).

Основное содержание диссертации опубликовано в 18 статьях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения (глава 1), основного содержания (главы 2-7), заключения (глава 8) и списка цитируемой литературы. Первая глава обзорная. В ней дастся общее введение в проблему и приводится общая характеристика работы. Глава 2 основывается на работах /2/, /6/, /8/, /10/, /16/, /18/; глава 3 - на работах /1/, /3/, /4/, /18/; глава 4 -на работах /9/, /11-15/, /18/; глава 5 — на работах /16/, /18/; глава 6 — на работах /7/, /18/; глава 7 — на работах /5/, /17/, /18/.

Полный объем диссертации составляет 204 страницы, включая 71 рисунок и 13 таблиц. Список литературы насчитывает 114 наименований.

2 Содержание диссертации

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации и дана ее общая характеристика. В разделе 1.2 дано определение течение Куэтта, как устойчивого течения жидкости между двумя соосными вращающимися цилиндрами (цилиндры считаются бесконечно длинными вдоль оси вращения). Показано, что течение Куэтта является стационарным решением уравнений гидродинамики однородной несжимаемой неидеальной жидкости и наблюдается экспериментально при медленных скоростях вращения. Течение Куэтта является одним из возможных режимов течения между вращающимися цилиндрами. В целом, задачу о режимах течения между вращающимися цилиндрами и их устойчивости принято называть задачей Тейлора-Куэтта [16-20].

Далее приведен краткий обзор известных фактов по устойчивости течения Куэтта. Отмечено, что течение Куэтта подчиняется общему условию устойчивости Рэлея [21] по отношению к осесимметричным возмущениям для идеальной вращающейся жидкости и устойчиво по отношению к осесимметричным возмущениям тогда, и только тогда, когда модуль его углового момента растет с возрастанием радиуса. Вязкость стабилизирует течение Куэтта, и неидеальное течение, которое является неустойчивым согласно условию Ратея, теряет устойчивость, только если угловая скорость вращения (или число Рейнольдса) превышает некоторое критическое значение, а условие Рэлея становится для неидеальной жидкости лишь достаточным условием устойчивости.

Отметим, что критерий устойчивости вращающейся жидкости по отношению к асимметричным возмущениям, аналогичный критерию Рэлея для симметричных возмущений, до сих пор не найден. Тем не менее, для течения Куэтта, как теоретически, так и экспериментально показано, что для цилиндров вращающихся в одну сторону наиболее неустойчивой модой является осесимметричная стационарная (вещественная часть инкремента равна нулю) мода. Асимметричные моды могут быть более неустойчивыми только для цилиндров,

вращающихся в разные стороны.

Для полноты, необходимо упомянуть, что экспериментально наблюдалась неустойчивость течения Куэтта, которое, согласно условию Рэлея, должно быть теоретически устойчиво (например, при покоящемся внутреннем и вращающемся внешнем цилиндрах). Исчерпывающего объяснения этому факту до сих нор не дано. Однако нужно подчеркнуть, что такая неустойчивость всегда наблюдается при очень больших числах Рейнольдса (10° и выше). По мнению автора, основанному на экспериментальных результатах [22], эта неустойчивость вызвана скорее неточностью постановки эксперимента (качеством обработки поверхности цилиндров, точностью их соосности, стабильностью вращения, граничными эффектами и т.д.), чем физической неустойчивостью. Отметим, что типичное значение числа Рейнольдса, при котором наступает неустойчивость течения Куэтта при параметрах далеких от предела Рэлея, составляет порядка 10^.

Наконец, в Главе 1 кратко обсуждаются методы исследования устойчивости течения Куэтта. Оказывается, что уже простейший мегод линейной устойчивости даёт хорошее согласие с экспериментальными данными и, соответственно, его вполне достаточно для анализа устойчивости течения Куэтта.

В главе 2 рассматривается обобщение задачи на случай, когда в течении имеется осевая стратификация плотности. Показано, что течение Куэтта по-прежнему является стационарным решением уравнений гидродинамики несжимаемой неоднородной неидеальной жидкости, но только при выполнении двух условий: 1) медленного вращения (так, чтобы центробежное ускорение было малым по сравнению с ускорением силы тяжести) и 2) малой стратификации плотности. Оказывается, что в рамках этих же приближений, линеаризованная система гидродинамических уравнений сводится к хорошо известному приближению Буссинеска.

Представлены результаты детальных численных расчетов кривых нейтральной устойчивости для течения Куэтта с устойчивой осевой стратификацией плотности. Оказалось, что устойчивая осевая стратификация плотности стабилизирует как осесимметричные, так и асимметричные возмущения (критические числа Рейнольдса при наличии устойчивой осевой стратификации плотности превышают критические числа Рейнольдса без осевой стратификации). Тем не менее, асимметричные возмущения стабилизируются гораздо в меньшей степени и, в результате, асимметричные возмущения становятся более неустойчивыми даже для цилиндров вращающихся в одну сторону. Более того, течение остается неустойчивым по отношению к асимметричным возмущениям за пределом Рэлея. Таким образом, при наличии устойчивой осевой стратификации плотности возникает новая неустойчивость - стратовращательная неустойчивость. Наиболее неустойчивой всегда является мода с волновым азимутальным числом равным 1. Легко показать, что стратовращательная неустойчивость является осциллирующей (вещественная часть инкремента неустойчивости не равна нулю) для любой моды (в том числе и осесиммегричной) и, как правило, знак

инкремента таков, что волна возмущения распространяется в сторону основного вращения. Осевые волновые числа возрастают и осевой размер ячеек вихрей Тейлора, возникающих после потери устойчивости, уменьшаются при наличии устойчивой осевой стратификации плотности.

Результаты расчетов показали, что предел стратовращательной неустойчивости существенно зависит от зазора между цилиндрами. Этот предел лежит между пределом Рэлея и пределом, при котором устойчивы течения с растущей по модулю с возрастанием радиуса угловой скоростью (этот предел совпадает с пределом классической магнитовращательной неустойчивости (см. ниже)). При большом зазоре предел стремится к пределу Рэлея, а при малом зазоре к пределу магнитовращательной неустойчивости.

Отметим, что стратовращательная неустойчивость дестабилизирует течение с кепле-ровским законом вращения, который типичен для аккреционных дисков. Таким образом, стратовращательная неустойчивость может быть причиной неустойчивости аккреционных дисков.

Теоретические расчеты были подтверждены и находятся в прекрасном согласии с экспериментальными результатами Ле Барса и Ле Гала [12].

В главе 3 рассматривается обобщение задачи на случай, когда жидкость между цилиндрами вращается в присутствии однородного магнитного поля, направленного вдоль оси вращения. Показано, что течение Куэтта по-прежнему является стационарным решением уравнений магнитной гидродинамики для однородной несжимаемой неидеальной проводящей жидкости. Получены линейные уравнения, описывающие линейную устойчивость течения Куэтта с однородным осевым магнитным полем.

Хорошо известно, что осевое однородное магнитное поле дестабилизирует течение Куэтта, с убывающей по модулю с возрастанием радиуса угловой скоростью, которое без поля устойчиво [1]. Эту неустойчивость теперь принято называть магнитовращательной неустойчивостью. Несмотря на то, что магнитовращательная неустойчивость известна давно, нами впервые были выполнены детальные численные расчеты кривых нейтральной устойчивости течения Куэтта с однородным магнитным полем при произвольном зазоре между цилиндрами, для проводящих и непроводящих граничных условий, при произвольном значении магнитного числа Прандтля и для течений как неустойчивых, так и устойчивых без магнитного поля. Показано, что осевое магнитное поле дестабилизирует течения как неустойчивые, так и устойчивые без магнитного поля. И в том, и в другом случае результат сильно зависит от величины магнитного числа Прандтля. Для течений неустойчивых и без магнитного поля, дестабилизация течения магнитным полем происходит только при магнитных числах Прандтля порядка и больше 1. Для течений, устойчивых без магнитного поля, минимальные критические числа Рейнольдса и Гартманна растут обратно пропорционально магнитному числу Прандтля, и обратно пропорционально квадратному корню из магнитного числа Прандтля, соответственно.

Таким образом, ввиду существенной зависимости кривых нейтральной устойчивости от величины магнитного числа Прандтля, сделан вывод о практической невозможности наблюдения магнитовращательной неустойчивости при экспериментах с жидкими металлами, которые имеют чрезвычайно низкие значения магнитного числа Прандтля (10~5 и меньше).

Результаты экспериментов, расчеты других, авторов и выполненные нами расчеты продемонстрировали, что для цилиндров, вращающихся в одну сторону, магнитовращательная неустойчивость, подобно вращательной неустойчивости, является осесиммегричной и монотонной. Тем не менее, наши расчеты подтвердили, что для проводящих граничных условий с ростом величины магнитного поля неустойчивость может сдать либо асимметричной, либо остаться осесиммегричной, но стать осциллирующей. Этот вопрос требует дальнейшего более подробного исследования. Наконец, относительно осевых волновых чисел можно сказать, что они уменьшаются с ростом величины магнитного ноля. Это соответствует тому, что возникающие после потери устойчивости ячейки вихрей Тейлора вытягиваются вдоль магнитного ноля.

Отметим, что ввиду отсутствия экспериментального подтверждения, именно результаты наблюдений аккреционных дисков [3] являются на сегодняшний день единственным, хотя и косвенным, подтверждением существования магнитовращательной неустойчивости.

В главе 4 рассматривается обобщение задачи на случай, когда жидкость между цилиндрами вращается при наличии азимутального магнитного ноля. Показано, что течение Куэтта является стационарным решением уравнений магнитной гидродинамики однородной несжимаемой неидеальной проводящей жидкости и в этом случае. Кроме того, оказывается, что для диссипативной жидкости функциональный вид магнитного поля, подобно тому, как это имеет место для угловой скорости, фиксирован с точностью до двух констант, которые определяются граничными условиями. Получены линейные уравнения, описывающие линейную устойчивость течения Куэтта с азимутальным магнитным полем.

Существенным отличием данного случая, от рассмотренного выше течения с однородным осевым магнитным падем, является то, что азимутальное магнитное поле может быть неустойчивым само но себе и без вращения. Критерии устойчивости азимутального магнитного поля для идеальной среды хорошо известны. По отношению к осесимметричньш возмущениям критерий устойчивости был получен в работе Мишель [23]. Этот критерий включает в себя и критерий Рэлея для устойчивости вращения. По отношению к асимметричным возмущениям (реально по отношению к моде с азимутальным волновым числом, равным 1, как наиболее неустойчивой из всех асимметричных мод), критерий был получен в работах Тайлера [24,25]. Этот критерий применим только для стационарного магнитного поля (напомним, что общий критерий устойчивости вращения по отношению к асимметричным возмущениям до сих пор не получен).

Надо отметить, что устойчивость течения Куэтта с азимутальным магнитным падем не получила должного внимания научного сообщества. Таким образом, представленные в

работе численные расчеты кривых нейтральной устойчивости можно считать практически первым систематическим анализом данной проблемы. Наши результаты показали, что устойчивость диссипативного течения Куэтта с азимутальным магнитным полем можно классифицировать в соответствии с критериями идеальной устойчивости, упомянутыми выше. Диссипативные эффекты стабилизируют, как и в случае с вращением, неустойчивость магнитного поля. Соответственно, магнитное поле, неустойчивое согласно одному из критериев устойчивости (но отношению к осесимметричным возмущениям или по отношению к асимметричным возмущениям) реально теряет устойчивость только при достаточно большом числе Гартманна {магнитном папе).

Наши расчеты продемонстрировали, что, действительно, комбинация неустойчивого вращения и неустойчивого магнитного ноля, как правило (см. ниже), является неустойчивой и сохраняет устойчивость только при малых числах Рейнольдса и Гартманна. Устойчивое магнитное пате подавляет неустойчивость, вызванную неустойчивым вращением, и критические числа Рейнольдса растут с возрастанием числа Гартманна. Аналогично, устойчивое вращение подавляет неустойчивость, вызванную неустойчивым азимутальным магнитным полем, и критические числа Гартманна растут с возрастанием числа Рейнольдса. Отметим, что для комбинации устойчивого вращения и неустойчивого магнитного поля неустойчивость течения Куэтта имеет место не при больших (как это характерно для обычного течения Куэтта), а при малых числах Рейнольдса. Этот факт отражает то обстоятельство, что неустойчивость является магнитной но природе. Будем называть эту неустойчивость пин-чевой неустойчивостью, т.к. она хорошо известна в теории устойчивости плазменного пинча [26].

Отметим, что при расчетах осесимметричной неустойчивости течения Куэтта с азимутальным магнитным полем принималось, по аналогии с изученными выше случаями, что неустойчивость является монотонной. Строгое доказательство этого факта до сих пор отсутствует. Тем не менее, наши расчеты (конечно, не до конца исчерпывающие) подтверждают, что монотонная неустойчивость является более неустойчивой для осесимметричной моды, чем осциллирующая неустойчивость. Для асимметричных возмущений неустойчивость всегда является осциллирующей.

Кроме того, показано, что кривые нейтральной устойчивости для осесимметричных возмущений не зависят от величины магнитного числа Прандтля. Это свойство является чрезвычайно привлекательным с экспериментальной точки зрения (см. выше). Для асимметричных возмущений кривые нейтральной устойчивости зависят от величины магнитного числа Прандтля. Тем не менее, и критическое число Рейнольдса в отсутствии магнитного поля, и критическое число Гартманна в отсутствии вращения, не зависят от величины магнитного числа Прандтля (как для осесимметричной, так и для асимметричных мод).

Наши расчеты продемонстрировали, что для течения Куэтта с азимутальным магнитным шлем в зависимости от параметров наиболее неустойчивой является либо осесиммет-

ричная мода, либо асимметричная мода с азимутальным магнитным числом, равным единице. Заранее сказать, какая из мод будет более неустойчивой, невозможно и доя каждого набора параметров необходимо произвести отдельный расчет. Оценки требуемых значений для физических параметров задачи продемонстрировали реалистичность получаемых значений и, соответственно, показали возможность экспериментальной проверки наших расчетов при экспериментах с жидкими металлами.

Наконец, показано, что для течения Куэтта с азимутальным магнитным полем имеет место интересный эффект компенсации неустойчивостей. Этот эффект состоит в том, что при определенных параметрах комбинация неустойчивого вращения и неустойчивого магнитного поля может быть устойчивой. Этот эффект отражает известный факт идеальной устойчивости простейшего решения (течения со скоростью по величине равной альвенов-ской скорости и параллельного магнитному полю) уравнений магнитной гидродинамики [27]. В работе показано, что диссипативное течение Куэтта устойчиво по отношению к осе-симметричным возмущениям в окрестности простейшего решения уравнений магнитной гидродинамики вплоть до екать угодно больших чисел Рейнольдса и Гартманна. Этот эффект имеет место доя цилиндров вращающихся в разные стороны и, соответственно, для азимутального магнитного поля, меняющего направление между цилиндрами. Кроме того, отношение напряженностей азимутального магнитного поля на внешнем и внутреннем цилиндрах, помноженное на отношение внутреннего и внешнего радиусов, должно быть но модулю меньше, чем модуль отношения угловых скоростей на внешнем и внутреннем цилиндрах.

Суммируя описанные выше свойства устойчивости течения Куэтта при наличии азимутального магнитного поля, особенно узость диапазона устойчивости самого магнитного поля можно сделать вывод о том, что неустойчивости, порождаемые присутствием азимутального магнитного поля, могут играть даже более существенную роль в неустойчивости аккреционных дисков, чем классическая магнитовращательная неустойчивость.

Автор с сожалением констатирует полное отсутствие экспериментальных данных по течению Куэтта с азимутальным магнитным полем и надеется, что данная работа простимулирует появление этих данных.

В главе 5 рассматривается устойчивость течения Куэтта при наличии сразу двух дополнительных факторов: азимутального магнитного поля и устойчивой осевой стратификации плотности. Показано, что течение Куэтта является стационарным решением магнитогидро-динамических уравнений несжимаемой неоднородной неидеальной проводящей жидкости при наличии азимутального магнитного поля и осевой стратификации плотности при выполнении тех же двух условий, что и при наличии только осевой стратификации плотности: малой стратификации плотности и медленного вращения. Получены линейные уравнения, описывающие линейную устойчивость течения Куэтта при наличии азимутального магнитного поля и осевой стратификации плотности.

Известно, что комбинация устойчивого вращения и устойчивого азимутального магнитного поля может приводить к неустойчивому течению [28,29]. Эта неустойчивость называется азимутальной магнитовращательной неустойчивостью. Азимутальная магнито-вращателъная неустойчивость отличается от классической магнитовращательной неустойчивости двумя свойствами: 1) она является асимметричной, 2) имеется предельное число Гартманна. Азимутальная магнитовращательная неустойчивость существует только при числах Гартманна больших, чем предельное число Гартманна. Таким образом, для азимутальной магнитовращательной неустойчивости существуют не только предельные числа Гартманна, как это имеет место для классической магнитовращательной неустойчивости, но и предельные числа Рейнольдса (неустойчивость существует только при промежуточных значениях числа Рейнольдса и отсутствует при малых и больших числах Рейнольдса). В Главе 5 впервые показано, что доя диссипативного течения Куэтта пределом азимутальной магнитовращательной неустойчивости, так же, как и для классической магнитовращательной неустойчивости, является возрастание по модулю угловой скорости (течения с возрастающей по модулю угловой скоростью устойчивы к азимутальной магнитовращательной неустойчивости).

Затем, исследованы кривые нейтральной устойчивости для трех случаев, когда магнитное поле 1) устойчиво, 2) неустойчиво только по отношению к асимметричным возмущениям, 3) неустойчиво как по отношению к асимметричным возмущениям, так и по отношению к осесимметричным возмущениям.

В первом случае кривые нейтральной устойчивости рассчитаны для таких параметров вращения, что течение неустойчиво по отношению к азимутальной магнитовращательной неустойчивости. При этом можно снова выделить два случая: 1) вращение неустойчиво по отношению к стратовращательной неустойчивости, 2) вращение устойчиво к страто-врадцательной неустойчивости. В первом случае можно говорить о влиянии магнитного поля на стратовращательную неустойчивость. Это влияние является классическим: магнитное поле дестабилизирует вращение только при достаточно больших магнитных числах Прандтля (больше или порядка единицы). Для магнитных чисел Прандтля меньших единицы, магнитное поле только стабилизирует вращение. Во втором случае устойчивая осевая стратификация плотности приводит к стабилизации азимутальной магнитовращательной неустойчивости. Отметим, что для больших значений магнитного числа Прандтля магнитное иоле дестабилизирует стратовращательную неустойчивость, предел которой сдвигается в устойчивую область. Однако, с другой стороны, устойчивая осевая стратификация плотности стабилизирует азимутальную магнитовращательную неустойчивость и сдвигает предел магнитовращательной неустойчивости в область неустойчивости.

Существенной особенностью кривых нейтральной устойчивости для случая, когда магнитное поле неустойчиво только по отношению к асимметричным возмущениям (реально по отношению к моде с азимутальным магнитным числом равным 1), является существен-

ное увеличение (раздувание) области устойчивости для асимметричной моды. Это раздувание имеет место при любом значении магнитного числа Прандтля и отражает стабилизацию пинчевой неустойчивости устойчивой осевой стратификацией плотности. Отметим, что осесимметричная мода стабилизируется устойчивой осевой стратификацией плотности еще сильнее. В результате, даже если осссимметричная была без магнитного поля более неустойчивой при малых числах Гартманна, чем асимметричная мода, то ассиметричная мода становиться наиболее неустойчивой ири всех значениях числа Гартманна при наличии осевой стратификации плотности.

Если магнитное поле неустойчиво как по отношению к осесимметричным возмущениям, так и по отношению к асимметричным возмущениям, мы имеем существенное раздувание области устойчивости, как для осесимметричных возмущений, гак и для асимметричных возмущений. При этом, для значений магнитного числа Прандтля порядка 1, асимметричные возмущения стабилизируются меньше и, как и выше, становятся наиболее неустойчивыми для любого значения числа Гартманна. Однако при малых значениях магнитного числа Прандтля (порядка 10~°), осесимметричные возмущения остаются наиболее неустойчивыми вблизи предельного числа Гартманна, которое определяет границу устойчивости магнитного поля без вращения.

Суммируя все вышесказанное, можно сказать, что результаты этой главы ещё более важны для понимания проблемы устойчивости акккреционных дисков, чем более простые результаты предыдущей главы.

Кроме того, ясно, что экспериментальные данные для сравнения с теоретическими результатами данной главы отсутствуют (т.к. они отсутствуют и для более простого случая, рассмотренного в предыдущей главе).

В главе 6 рассматривается устойчивость течения Куэтта вблизи линии Рэлея (линии - отделяющей идеально устойчивое по отношению к осесимметричным возмущениям вращение от неустойчивого вращения) иод действием бестокового винтового магнитного поля (т.е. поля, состоящего из однородного осевого поля и бестокового азимутального поля). Показано, что течение Куэтта является стационарным решением уравнений магнитной гидродинамики несжимаемой однородной неидеальной проводящей жидкости при наличии винтового магнитного поля общего вида. Получены линейные уравнения, описывающие линейную устойчивость течения Куэтта при наличии винтового магнитного поля общего вида. Эти уравнения использованы для изучения устойчивости течения Куэтта в частном случае, когда присутствует бестоковое винтовое магнитное поле.

В результате численного решения уравнений, показано, что бестоковое азимутальное магнитное пате дестабилизирует течение Куэтга с однородным осевым магнитным полем, что открывает возможности для экспериментальной реализации соответствующей винтовой магнитовращательной неустойчивости. Отметим, что при наличии винтового магнитного ноля меняется симметрия задачи, и, в отличие от рассмотренных выше случаев,

положительные и отрицательные значения азимутального волнового числа неравноправны.

Специально для наблюдения этой неустойчивости были поставлены эксперименты [1315], которые показали хорошее согласие с нашими расчетами и интерпретируются авторами как подтверждение винтовой магниговращательной неустойчивости. Тем не менее, подобная интерпретация подвергается сомнению [30,31], а наблюдаемая неустойчивость объясняется как результат временного усиления мод от граничных слоев, а не глобальной неустойчивости. Таким образом, на сегодняшний день вопрос остается открытым, и находиться в стадии активного обсуждения.

В главе 7 изучается влияние эффекта Холла на устойчивость течения Куэтта как с однородным осевым магнитным полем, так и с азимутальным магнитным полем. Показано, что и при наличии эффекта Холла, течение Куэтта является стационарным решением уравнений магнитной гидродинамики несжимаемой однородной неидеальной проводящей жидкости при наличии винтового магнитного поля общего вида. Получены линейные уравнения, описывающие устойчивость течения Куэтта с винтовым магнитным полем общего вида. Эти уравнения использованы для изучения устойчивости течения Куэтта в двух частных случаях: 1) при наличии однородного осевого магнитного поля, 2) при наличии азимутального магнитного поля.

Результаты численных расчетов показывают, что, и в том, и в другом случае, устойчивость течения Куэтта существенным образом зависит от направления магнитного поля. Это свойство проявляется в устойчивости течения Куэтта только при наличии эффекта Холла. Так, при положительном значении удельного холловского сопротивления, наиболее существенным будет влияние эффекта Холла на устойчивость течения Куэтта при направлении магнитного поля против оси вращения (для однородного осевого магнитного пата) или при направлении поля в сторону противоположную вращению (для азимутального магнитного иатя). Очевидно, что при изменении знака удельного холловского сопротивления изменяется и направление магнитного поля, при котором влияние эффекта Хатла будет наиболее существенным. В дальнейшем, для определенности, мы будем считать знак удельного ха> ловского сопротивления положительным.

Результаты численных расчетов продемонстрировали, что влияние эффекта Холла может1 быть чрезвычайно существенным и для течений, которые неустойчивы и без эффекта Хатла. Однако, наибатее интересным представляется тот факт, что эффект Холла дестабилизирует течение Куэтта с произвольным законом вращения (даже течение с угловой скоростью, растущей по модулю с возрастанием радиуса, которые во всех остальных случаях устойчивы). Это имеег место для осевого однородного магнитного поля при направлении магнитного поля против оси вращения, а для азимутального магнитного поля при направлении иатя против направления вращения (см. выше замечание о знаке холловского сопротивления). Будем называть эту неустойчивость холловской магнитоврахцательной неустойчивостью.

Существенным препятствием для экспериментальной реализации холловской магнито-вращательной неустойчивости являются два обстоятельства. Во-первых, как и для течения без эффекта Холла, зависимость характерных чисел неустойчивости (критического числа Рейнольдса и критического числа Гартманна) от магнитного числа Прандтля, которая приводит к слишком большим значениям критического числа Рейнольдса для экспериментов с жидкими металлами. Во-вторых, оценки величины магнитного ноля, которые требуются для наблюдения влияния эффекта Холла на устойчивость течения Куэтта при экспериментах с жидкими металлами дают нереалистично большие значения (107-108 Гаусс). Оценки для астрофизических объектов показывают, что эффект Холла может влиять на устойчивость дифференциального вращения в таких объектах, как аккреционные диски (при наличии генерации магнитного поля в диске механизмом динамо) и нейтронные звезды. Отметим, что именно при изучении устойчивости аккреционных дисков были впервые получены зависимость устойчивости дифференциального вращения от направления магнитного паля [32] и дестабилизация течения с произвольным законом вращения [33].

В Заключении подытожены основные результаты работы и сформулированы благодарности.

3 Основные результаты и выводы

1. Показано, что совместное существование течения Куэтта и осевой стратификации плотности противоречит уравнениям гидродинамики несжимаемой жидкости. Противоречие устраняется если использовать приближения малой стратификации плотности и медленного вращения. В рамках этих приближений течение Куэтта по-прежнему является стационарным решением приближенных уравнений, а линеаризованная система приобретает вид, эквивалентный приближению Вуссинеска. Детальные расчеты кривых нейтральной устойчивости для асимметричных возмущений подтвердили существование асимметричной неустойчивости за чертой Рэлея (линией устойчивости идеального течения в отсутствии осевой стратификации плотности) - стратовращательной неустойчивости. Основными чертами стратовращательной неустойчивости также являются наличие ненулевого значения вещественной части инкремента и возрастание (но сравнению с классическим течением Куэтта) осевых волновых чисел. В соответствии с этой неустойчивостью, вращение с законом, подобным закону вращения для аккреционного диска, является неустойчивым. Результаты расчётов подтверждены экспериментами, выполненными другими авторами.

2. Показано, что течение Куэтта является стационарным решением уравнений диссипа-тивной магнитной гидродинамики при наличии осевого однородного магнитного поля. Получены линеаризовалные уравнения. Проведены детальные расчеты кривых нейтральной устойчивости для различных граничных условий, для течений устойчивых и неустойчивых без магнитного поля, для различных значений магнитного числа Прандтля. Расчёты

подтвердили чрезвычайную зависимость кривых нейтральной устойчивости от величины магнитного числа Прандтля. Эта зависимость создает проблемы для наблюдения магнито-вращательной неустойчивости при экспериментах с жидкими металлами. Это обстоятельство усиливает значение наблюдений аккреционных дисков, которые можно объяснить с помощью этой неустойчивости. Как и для классического течения Куэтта неустойчивость является осесиммегричной и стационарной (вещественная часть инкремента равна нулю). Тем не менее, показано, что оба этих свойства могут нарушаться для проводящих граничных условий и больших магнитных полей. Осевые волновые числа уменьшаются по сравнению с классическим течением Куэтта.

3. Показано, что течение Куэтта является стационарным решением уравнений диссипа-тивной магнитной гидродинамики при наличии азимутального магнитного поля. Получены линеаризованные уравнения. Показано, что для диссипативного течения Куэтта азимутальное магнитное поле имеет фиксированный функциональный вид с константами, которые определяются граничными условиями. Проведены детальные расчеты кривых нейтральной устойчивости. Эти расчеты подтвердили применимость известных критериев идеальной устойчивости для магнитного поля. Показано, что граница азимутальной магнитовраща-тельной неустойчивости совпадает с границей классической магнитовращательной неустойчивости. Показано, что в диссипативном течении Куэтта для неустойчивого магнитного поля существуют критические числа Гартманна аналогично тому, как для неустойчивого вращения существуют критические числа Рейнольдса. Критические числа Гартманна были найдены только для мод с т = 0 и т = 1. Показано, что эти моды являются в целом наиболее неустойчивыми. Какая из этих мод наиболее неустойчива, определяется параметрами и требует проведения детального расчета в каждом конкретном случае. Кроме того, подтверждена устойчивость по отношению к осесимметричным возмущениям простейшего решения уравнений магнитной гидродинамики для течения Куэтта с азимутальным магнитным полем. Свойства неустойчивости течения Куэтта при наличии азимутального магнитного поля и неизбежность генерации азимутального магнитного поля из осевого магнитного поля дифференциальным вращением позволяют сделать вывод о том, что неустойчивости порождаемые азимутальным магнитным полем могут представлять для проблемы устойчивости аккреционных дисков даже больший интерес, чем классическая магнитовращательная неустой чивость.

4. Показано, что течение Куэтта является стационарным решением уравнений диссипа-тивной магнитной гидродинамики при наличии винтовою (смеси азимутального и осевого) магнитного поля. Получены линеаризованные уравнения. Проведены расчеты кривых нейтральной устойчивости для случая бестокового винтового ноля вблизи линии Рэлея для проводящих граничных условий. Показано, что бестоковое азимутальное магнитное пате, которое само по себе устойчиво, существенно дестабилизирует течение Куэтта с однородным осевым магнитным нолем. Результаты зависят от отношения величин азимутального и

осевого магнитных полей. Уже при азимутальном магнитном паче сравнимом по величине с осевым магнитным патем, существенно (примерно на три порядка величины) уменьшаются критические числа Рейнальдса. Кроме того, в кривой нейтральной устойчивости исчезает резкий скачок вблизи линии Рэлея. Показано, что эксперименты с проводящими граничными условиями являются батее предпочтительными чем эксперименты с непроводящими граничными условиями т.к. критические числа Рейнольдса меньше доя проводящих граничных условий. Проведенные другими авторами эксперименты подтверждают теоретические расчёты. Однако эти эксперименты подвергаются критике и находятся в стадии обсуждения.

5. Показано, что течение Куэтта является стационарным решением уравнений диссипа-тивной магнитной гидродинамики при наличии эффекта Хатла. Получены линеаризованные уравнения. Проведены расчеты кривых нейтральной устойчивости для случая осевого однородного магнитного паля и азимутального магнитного поля. Для обоих случаев показано, что эффект Хатла дестабилизирует течение с любым законом вращения. Однако оценки показали, что наблюдение неустойчивости, вызванной эффектом Холла, при экспериментах с жидкими металлами требует слишком батьших магнитных палей. Тем не менее, оценки для нейтронных звёзд и аккреционных дисков показали, что этот эффект в иол не может наблюдаться при изучении устойчивости дифференциального вращения этих объектов.

6. Показано, что в рамках тех же приближений, что и при наличии только осевой стратификации плотности, течение Куэтта является стационарным решением приближенных уравнений диссипативной магнитной гидродинамики при наличии как осевой стратификации плотности, так и азимутального магнитного паля. Проведены расчегы кривых нейтральной устойчивости для трех случаев: 1) когда и вращение, и магнитное поле устойчивы, но совместно приводят к азимутальной магнитовращательной неустойчивости (при этом рассмотрено вращение как устойчивое, так и неустойчивое по отношению к стратовра-щательной неустойчивости), 2) когда вращение неустойчиво, а магнитное пале неустойчиво только по отношению к моде гп = 1 (существует одно критическое число Гартманна), 3) когда вращение неустойчиво, а магнитное поле неустойчиво и по отношению к моде гп = О, и по отношению к моде гп — 1 (существуют два критических числа Гартманна). Показано, что устойчивая стратификация плотности приводит к существенному увеличению (раздуванию) областей устойчивости. В целом, устойчивая стратификация плотности стабилизирует неустойчивости, вызванные магнитным полем, а магнитное пале дестабилизирует неустойчивости, вызванные осевой стратификацией плотности.

В заключение отметим, что рассмотренные в работе неустойчивости представляются чрезвычайно важными для понимания природы устойчивости (и механизмов возможной неустойчивости) любых физических объектов, где присутствует дифференциальное вращение совместно с неоднородной плотностью и магнитным палем. Среди таких объектов особо выделяются астрофизические объекты. По причинам, изложенным выше, в качестве

модельного астрофизического объекта мы используем аккреционные диски. По мнению автора, для понимания природы неустойчивости аккреционных дисков наиболее существенными неустойчивостями (из всех рассмотренных выше) являются неустойчивости, вызываемые азимутальным магнитным полем и осевой стратификацией плотности. Кроме того, влияние эффекта Холла на устойчивость дифференциального вращения при наличии магнитного поля без сомнения чрезвычайно важно для понимания устойчивости вращения нейтронных звёзд.

Публикации по теме диссертации

/1/ Rüdiger G., Shalybkov D. Stability of axisymmetriс Taylor-Couette flow in hydromagnetic. Phys. Rev. E 66, 016307(1-8), 2002.

/2/ Rüdiger G., Arlt R., Shalybkov D. Hydrodynamic stability in accretion disks under the combined influence of shear and density stratification. Astron. Astroph. 391, 781-788, 2002.

/3/ Shalybkov D., Rüdiger G., Schultz M. Nonaxisymmetric patterns in the linear theory of MHD Taylor-Couette instability. Astron. Astroph. 395, 339-344, 2002.

/4/ Rüdiger G., Schultz M., Shalybkov D. Linear magnetohydrodynamic Taylor-Couette instability for liquid Sodium. Phys. Rev. E 67, 046312(1-8), 2003.

/5/ Rüdiger G., Shalybkov D. Linear instability of magnetic Taylor-Couette flow with Hall effect. Phys. Rev. E 69, 016303(1-7), 2004.

/6/ Shalybkov D., Rüdiger G. Taylor-Couette flow stability: effect of vertical density

stratification and azimuthal magnetic field, in MHD Couette flows: Experiments and Models, AIP conference procecodings 733, cds. R. Rosner, G. Ruediger, A. Bonanno, 165-177, 2004.

/7/ Rüdiger G., Höllerbach R., Schultz M., Shalybkov D. The stability of MHD Taylor-Couette flow with current-free spiral magnetic fields between conducting cylinders. Astron. Nachr. 326, 409-413, 2005.

/8/ Shalybkov D., Rüediger G. Stability of density-stratified viscous Taylor-Couette flows. Astron. Astroph. 438, 411-417, 2005.

/9/ Shalybkov D. Taylor-Couette flow stability with toroidal magnetic field. J. of Phys.: Conf. Scr. 14, 55-63, 2005.

/10/ Shalybkov D., Rüdiger G. Non-axisymrnetric instability of density-stratified Taylor-Couette flow. J. of Phys.: Conf. Ser. 14, 128-137, 2005.

/11/ Shalybkov D. Pinch instabilities in Taylor-Couette flow. Phys. Rev. E 73, 016302(1-7) 2006.

/12/ Shalybkov D. Rotational stabilization of pinch instabilities in Taylor-Couette flow. Phys. Rev. E 75, 047302(1-4), 2007.

/13/ Shalybkov D. Compensation of instabilities in magnetic Taylor-Couette flow. Phys. Rev. E, 76, 027302(1-4), 2007.

/14/ Rüdiger G., Schultz M., Shalybkov D., Hollerbach R. Theory of current-driven

instability experiments in magnetic Taylor-Couette flows. Phys. Rev. E, 76, 050309(1-9), 2007.

/15/ Rüdiger G., Shalybkov D. Pinch-type instability experiments in magnetic Taylor-Couette flows. J. of Phys.: Conf. Scr., 137, 012018(1-4), 2008.

/16/ Rüdiger G., Shalybkov D. Stratorotational instability in MHD Taylor-Couette flows. Astron. Astrophys. 493, 375-383, 2009.

/17/ Rüdiger G., Schultz M., Mond M., Shalybkov D. Tayler instability with Hall effect in young neutron stars. Astron. Nachr. 330, 12-19, 2009.

/18/ Шалыбков Д. Гидродинамическая и гидромагнитная устойчивость течения Куэтта. УФН 179, 971-993, 2009.

Цитированная литература

[1 ] Велихов Е.П., 1959, ЖЭТФ, 36, 1398. [2 ] Baibus S.A., Hawley J.F., 1991, Astrophys. J., 376, 214. [3 ] Baibus S.A., 2003, Ann. Rev. Astron. Astrophys., 41, 555. 14 ] Spruit H., 1999, Astron. Astroph., 349, 189. [5 ] Kitchatinov L., Rüdiger G., 2009, Astron. Astroph., 504, 303. [6 ] Baty H., 2005, Astron. Astroph. 430, 9. [7 J Williams P., 2005, Mon. Not. R. Astron. Soc., 361, 345-356. [8 ] Moll R., Spruit H.C., Obergaulinger M., 2008, Astron. Astrophys., 492, 621. [9 ] Curry C., Pudritz R., Sutherland P., 1994, Astrophys. J., 434, 206. [10 ] Uraurhan O.M., Shaviv G., 2009, Astron. Astrophys., 497, 1. [11 ] Liu W., 2009, Astrophys. J., 692, 998.

[12 [13

[14

[15

[16 [17 [18 [19 [20 [21 [22 [23 [24 [25 [26 [27

[28 [29

[30 [31 [32 [33

Le Bars M., Lc Gal P., 2007, Phys. Rev. Lett., 99, 064502.

Rüdiger G., Höllerbach R., Stefani F., Gundrum Т., Gerbeth G., Rosner R., 2006, Astrophys. . Lett., 649,1145.

Stefani F., Gundrum Th., Gerbeth G., Rüdiger G., Schultz M., Szklarski J., Hollerbach R,, 2006, Phys. Rev. Lett., 97, 184502.

Stefani F., Gerbeth G., Gundrum Th., Szklarski J., Ruediger G., Hollerbach R., 2008, Astr. Nachr., 329, 652.

Couette M., 1890, Ann. do Chim. et de Phys., 21, 433.

Mallock A., 1888, Proc. R. Soc. London A, 45, 126.

Mallock A., 1896, Phil. Trans. R. Soc. London A, 187, 41.

Taylor G.I., 1923, Phil. Trans. R. Soc. London A, 223, 289.

Taylor G.I., 1936, Proc. R. Soc. London A, 157, 546.

Rayleigh Lord, 1917, Proc. R. Soc. London A, 93, 148.

Schultz-Grunow F., 1959, Z. Angew. Math. Mech., 39, 101.

Michael D., 1954, Mathematika, 1, 45.

Taylor R.J., 1961, Plasma Phys. (J. Nucl. Energ. C), 3, 266.

Taylor R.J., 1973, Mon. Not. R. Astron. Soc., 161, 365.

Кадомцев Б.Б, 1963, Вопросы теории плазмы, Ред. Леонтовича М А, 2, 132.

Chandrasekhar S., 1961, Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability Oxford: Clarendon).

Ogilvio G.I., Pringle J.E., 1996, Mon. Not. R. Astron. Soc., 279, 152.

Rüdiger G., Hollerbach R., Schultz M., Elstner D., 2007, Mon. Not. R. Astron. Soc., 377, 481.

Liu W., Goodman J., Ji H., 2007, Phys. Rev. E, 76, 016310. Liu YV., 2008, Phys. Rev. E, 77, 056314. Wardle M., 1999, Astrophys. J., 307, 849. В albus S.A., Terquein С., 2001, Astrophys. J., 552, 235.

1 Введение

1.1 Краткий обзор.

1.2 Классическое течение Куэтта

1.3 Актуальность проблемы

1.4 Цели, задачи и методы исследования.

1.5 Научная новизна.

1.6 Научная и практическая ценность.

1.7 Результаты, выносимые на защиту

1.8 Структура и объем диссертации.

1.9 Список статей по теме диссертации.

2 Устойчивость течения Куэтта с осевой стратификацией плотности

2.1 Введение.

2.2 Основные уравнения и стационарное состояние.

2.3 Результаты.

3 Классическая магнитовращательная неустойчивость

3.1 Введение.

3.2 Основные уравнения и стационарное состояние.

3.3 Результаты.

4 "Устойчивость течения Куэтта при наличии азимутального магнитного поля

4.1 Введение.

4.2 Основные уравнения и стационарное состояние.

4.3 Результаты.

5 Устойчивость течения Куэтта при совместном действии устойчивой осевой стратификации плотности и азимутального магнитного поля

5.1 Основные уравнения и стационарное состояние.

5.2 Результаты.

6 Магнитовращательная неустойчивость вблизи линии Рэлея: влияние бестокового азимутального магнитного поля.

6.1 Основные уравнения и стационарное состояние.

6.2 Результаты.

7 Влияние эффекта Холла на устойчивость течения Куэтта

7.1 Основные уравнения и стационарное состояние.

7.2 Результаты.

7.2.1 Влияние эффекта Холла на классическую магнитовращатель-ную неустойчивость.

7.2.2 Влияние эффекта Холла на устойчивость течения Куэтта с азимутальным магнитным полем.

1.3 Актуальность проблемы

Тема диссертации актуальна, поскольку исследование течения Куэтта позволяет детально понять механизмы и определить параметры таких гидродинамических и гидромагнитных неустойчивостей, как вращательная неустойчивость, стратовращатель-ная неустойчивость, магнитовращательная неустойчивость и др. Эти неустойчивости играют существенную роль во многих приложениях таких как устойчивость плазмы в магнитных ловушках, теория устойчивости аккреционных дисков, магнитогидро-динамические процессы на солнце и звездах.

1.4 Цели, задачи и методы исследования

Целями диссертации являются: а) нахождение стационарного решения для течения Куэтта под действием таких факторов, как неоднородность плотности и магнитное поле; б) получение уравнений, описывающих линейную устойчивость найденного стационарного состояния; в) разработка комплекса численных программ позволяющих, на основе полученных уравнений, найти параметры (собственные числа) линейной устойчивости стационарного состояния течения Куэтта; г) теоретическое изучение, на основе разработанного комплекса программ, свойств и параметров устойчивости течения Куэтта под воздействием таких факторов, как неоднородность плотности и магнитное поле; д) сравнение полученных теоретических данных с имеющимися экспериментальными результатами для выяснения адекватности использованных теоретических моделей и методов для описания устойчивости течения Куэтта.

Для достижения указанных целей были поставлены и решены следующие задачи:

1. Найдены стационарные решения уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости между вращающимися цилиндрами при наличии неоднородной плотности и магнитного поля (течение Куэтта с неоднородной плотностью и магнитным полем).

2. Получены уравнения, описывающие линейную устойчивость течения Куэтта при наличии неоднородной плотности и магнитного поля. Установлены пределы применимости полученных уравнений.

3. Методом конечных разностей проведены численные расчеты для параметров линейной устойчивости течения Куэтта при наличии неоднородной плотности и магнитного поля.

4. Проведено сравнение теоретических результатов с имеющимися экспериментальными результатами. Предложен ряд новых экспериментов для дальнейшего исследования устойчивости течения Куэтта.

При решении перечисленных задач использовались методы ряда разделов теоретической физики и вычислительной математики, среди которых наиболее важными являются теория устойчивости гидродинамических и гидромагнитных систем, методы решения систем линейных дифференциальных уравнений, методы нахождения нулей функции в пространстве нескольких переменных.

1.5 Научная новизна

В диссертации впервые проведено систематическое обсуждение неустойчивости течения Куэтта при наличии неоднородной плотности и магнитного поля.

1) Впервые систематически рассмотрена неустойчивость течения Куэтта при наличии вертикальной стратификации плотности. Установлены пределы физических условий, при выполнении которых оправдано применение приближения Буссине-ска. Полученные теоретические результаты подтверждены экспериментальными данными.

2) Детальные численные расчеты подтвердили существенную зависимость неустойчивости течения Куэтта при наличии однородного осевого магнитного ноля от магнитного числа Прандтля. Эта зависимость делает невозможным наблюдение магнитоврахцательной неустойчивости при экспериментах с жидкими металлами.

3) Показано, что добавление к однородному осевому магнитному полю устойчивого бестокового азимутального магнитного поля дестабилизирует течение Куэтта вблизи линии Рэлея. Имеющиеся экспериментальные данные подтверждают теоретический вывод.

4) Впервые показано, что эффект Холла дестабилизирует течение Куэтта для любого закона вращения. Однако экспериментальная проверка этого факта требует нереалистично больших значений магнитных полей.

5) Впервые показано, что известные критерии устойчивости азимутального магнитного поля для стационарных конфигураций применимы и при наличии течения Куэтта. При этом возможны как компенсация неустойчивостей, когда сочетание неустойчивого вращения и магнитного поля приводит к устойчивому течению, так и обратная ситуация, когда комбинация устойчивого вращения и устойчивого магнитного поля приводит к неустойчивости.

6) Показано, что одновременное наличие магнитного поля и неоднородной плотности приводит к чрезвычайно сложной картине взаимодействия различных неустойчивостей.

Заключение

Проведенное в работе исследование существенно расширяет наше понимание устойчивости течения Куэтта (1.10) при наличии осевой стратификации плотности и магнитного поля. Кратко просуммируем основные моменты, касающиеся неустойчивости течения Куэтта.

Идеальная вращающаяся жидкость устойчива но отношению к осесимметричным возмущениям, если величина углового момента возрастает по модулю с увеличением расстояния (1.26). Как уже было сказано, для течения Куэтта (1.10) критерий (1.26) принимает простой вид п > V2 • (8-1)

Общий критерий устойчивости вращающейся жидкости для асимметричных возмущений до сих пор не установлен. Тем не менее, и теоретические, и экспериментальные результаты демонстрируют, что для цилиндров, вращающихся в одном направлении, наиболее неустойчивой является осесимметричная мода. Эта неустойчивость является монотонной (вещественная часть инкремента неустойчивости равна нулю) и называется вращательной неустойчивостью. Вязкость стабилизирует вращательную неустойчивость и неидеальное течение Куэтта, которое неустойчиво в соответствии с критерием (1-26), реально теряет устойчивость только при достаточно быстром вращении (большом числе Рейнольдса). Для вращательной неустойчивости наблюдается хорошее согласие между теорией и экспериментом. Для полноты отметим, что имеющиеся теоретические результаты предсказывают, что ассиметричная неустойчивость возможна за чертой Рэлея, но не для жестких, как в течении Куэтта, а для свободных граничных условий.

Несмотря на имеющиеся как экспериментальные (Withjack, Chen 1974), так и теоретические (Yavneh, McWilliams, Molemaker 2001; Molemaker, McWilliams, Yavneh 2001) указания о дестабилизации течения Куэтта устойчивой осевой стратификацией плотности, реально говорить о новой неустойчивости стало возможным только после детальных расчетов кривых нейтральной устойчивости, описанных в данной работе. Эти расчёты были подтверждены экспериментально (Le Bars, Le Gal 2007). Оказалось, что устойчивая осевая стратификация плотности стабилизирует осесиммет-ричную моду, но дестабилизирует асимметричные моды, которые становятся более неустойчивыми даже для цилиндров вращающихся в одном направлении. Наиболее i неустойчивой является мода с т = 1. Неустойчивость перестает быть монотонной (даже для осесимметричной моды) и становиться осциллирующей. Более того, эта неустойчивость дестабилизирует течение даже за чертой Рэлея. Будем называть эту неустойчивость стратовращательной неустойчивостью. Предел распространения стратовращательной неустойчивости находится между пределом Рэлея (1.26) и пределом классической магнитовращательной неустойчивости (3.1), т.е. для течения Куэтта (1-10) предел находиться, в интервале rf < fin < 1. (8.2)

Оказывается, что предел сильно зависит от величины. зазора между цилиндрами: предел тем меньше, чем'больше зазор и для широкого зазора (fj —* 0) предел стремиться к пределу Рэлея (fj2), а для узкого зазора (f¡ —> 1) предел стремиться к 1. Подобное поведение может, с одной стороны, свидетельствовать о сильной зависимости данной неустойчивости от граничных условий. Однако, с другой стороны, подобной же зависимостью обладает и классическая вращательная неустойчивость (см. (8.1)). Действительно, согласно (8.1) для зазора стремящегося к нулю (fj —> 1) неустойчивы все течения с 0 < /¿n < 1, а для широкого зазора (т) —>• 0) неустойчивы течения только с ßn < 0. Для исследования этого вопроса (о влиянии граничных условий на стратовращательную неустойчивость) приходиться выходить за рамки классического течения Куэтта. Однако получаемые результаты неоднозначны. С одной стороны, есть результаты показывающие, что стратовращательная неустойчивость исчезает в отсутствии жестких границ (Umurhan 20006). С другой стороны, есть результаты показывающие, что стратовращательная неустойчивость сохраняется и для нежестких границ при отсутствии на границах напряжений (Dubrulle, Marie, Normand, Richard, Hersant, Zahn 2005).

Однородное осевое магнитное поле, являясь устойчивым само по себе, дестабилизирует течение Куэтта. Эта неустойчивость, называемая магнитовращательной неустойчивостью, исторически является наиболее известной неустойчивостью течения! Куэтта, за исключением, пожалуй, собственно вращательной неустойчивости. Она проявляется для течений как неустойчивых, так и устойчивых в отсутствии магнитного поля. Для течений, неустойчивых без магнитного поля, критические числа Рейнольдса могут уменьшаться при наличии поля. Тем не менее, это свойство сильно зависит от величины магнитного числа Прандтля и проявляется только если Pm~ 1. Основное проявление магнитовращательной неустойчивости - это дестабилизация течений с угловой скоростью, убывающей *по модулю с возрастанием радиуса, и изменение критерия устойчивости с (1.26) на (3.1), что для течения Куэтта (1.10) дает

An > 1. (8.3)

Детальные расчеты кривых нейтральной устойчивости, проведенные в данной работе, впервые в наиболее, общем виде показали, что критические числа этой неустойчивости сильно зависят от величины магнитного числа Прандтля. Это не позволяет надеяться на экспериментальное наблюдение этой неустойчивости при экспериментах с жидкими металлами.

Детальное исследование устойчивости течения Куэтта при наличии азимутального магнитного поля, можно сказать, впервые проведено только в данной работе.

Азимутальное магнитное поле усложняет проблему тем, что может быть неустойчиво само по себе (без вращения). Это так называемая пинчевая неустойчивость. Таким образом, комбинация азимутального магнитного поля и вращения создает сложную картину взаимодействия вращательной неустойчивости и пинчевой неустойчивости. В зависимости от параметров, наиболее неустойчивой является либо мода с азимутальным волновым числом равным нулю, либо мода с азимутальным волновым числом равным 1. Отметим два интересных факта, касающихся этого случая. Во-первых, это компенсация неустойчивостей, когда комбинация неустойчивого вращения и неустойчивого магнитного поля могут дать устойчивое течение. Во-вторых, это противоположное явление, когда комбинация устойчивого вращения и устойчивого магнитного поля приводят к так называемой азимутальной магнитовращатель-ной неустойчивости. Отметим, что азимутальная магнитовращательная неустойчивость также может взаимодействовать и с пинчевой неустойчивостью, и с вращательной неустойчивостью, создавая сложную картину взаимодействия различных неустойчивостей (Rüdiger, Hollerbach, Schultz, Elstner 2007). Детальные расчеты кривых нейтральной устойчивости, выполненные в данной работе позволили установить, что свойства устойчивости диссипативного течения Куэтта с азимутальным магнитным полем можно классифицировать в соответствии с хорошо известными критериями устойчивости стационарного азимутального магнитного поля. Кроме того, было показано, что свойства азимутальной магнитовращательной неустойчивости практически такие же, что и классической магнитовращательной неустойчивости (зависимость от магнитного числа Прандтля, дестабилизация течений с уменьшающейся по модулю величиной угловой скорости), кроме того, что азимутальная магниовраща-тельная неустойчивость является асимметричной (гп = 1). Экспериментальная реализация интересных режимов при наличии азимутального магнитного поля требует организации токов внутри самой жидкости, что, по-видимому, представляет некоторую проблему.

Ситуация с винтовым магнитным полем еще более сложная. Детальное изучение этого случая еще ждет своего часа. В данной работе было только показано, что добавление устойчивого бестокового азимутального магнитного ноля к осевому однородному магнитному полю приводит к существенному уменьшению критических чисел Рейнольдса вблизи линии Рэлея. Это так называемая винтовая магнито-вращательная неустойчивость. Специально для наблюдения этой неустойчивости были поставлены эксперименты (Rüdiger, Höllerbach, Stefani, Gundrum, Gerbeth, Rosner 2006; Stefani, Gundrum, Gerbeth, Rüdiger, Schultz, Szklarski, Hollerbach, 2006; Stefani, Gerbeth, Gundrum, Szklarski, Ruediger, Hollerbach 2008), результаты, которых интерпретируются авторами как подтверждение винтовой магнитовращатель-ной неустойчивости. Тем не менее, подобная интерпретация подвергается сомнению (Liu, Goodman, Ji 2007; Liu 2008), а наблюдаемая неустойчивость объясняется как результат транзиентного усиления мод от граничных слоев, а не глобальной неустойчивости. Таким образом, на сегодняшний день вопрос остается открытым и находиться в стадии активного изучения.

Наиболее перспективным с точки зрения дестабилизации течения Куэтта является эффект Холла. Расчеты, выполненные в данной работе для однородного осевого магнитного поля, впервые продемонстрировали, что под действием этого эффекта происходит дестабилизация течения Куэтта с любым законом вращения. Этот же эффект имеет место и для азимутального магнитного поля. Основным препятствием, как для лабораторной реализации, так и для проявления этого эффекта в природных условиях, является необходимость наличия слишком большой напряженности магнитного поля. Отметим, что чувствительность устойчивости вращения замагничен-ной жидкости к изменению закона Ома является, по-видимому, универсальной чер-юй. Так, результаты работы (Mikhailovskii, Vladimirov, Lominadze, Tsypin, Churikov, Erokhin, Galvao 2008) продемонстрировали, что изменение закона Ома из-за наличия в плазме пылевой составляющей также приводит к дестабилизации вращения с произвольным профилем угловой скорости.

Изучение устойчивости течения Куэтта при одновременном действии неоднородной плотности и магнитного поля, впервые выполненное в данной работе, находиться, можно сказать, ещё в самом начале. Однако уже первые результаты, продемонстрировали чрезвычайно сложную картину взаимодействия сразу нескольких неустой-чивостей: стратовращательной неустойчивости, азимутальной магнитовращательной неустойчивости и пинчевой неустойчивости. В целом можно сказать, что устойчивая осевая стратификация плотности, как правило, стабилизирует неустойчивости, вызванные магнитным полем. С другой стороны, магнитное поле (при не слишком больших значениях напряженности), как правило дестабилизирует стратовращательную неустойчивость.

Наконец, трудно обойти молчанием возможные приложения, полученных в диссертации результатов. Представляется очевидным, что рассмотренные в работе неустойчивости могут иметь место в любых природных объектах, где присутствуют дифференциальное вращение совместно с магнитным полем или неоднородностью плотности. По мнению автора, трудно найти пример астрофизического объекта, где бы указанные факторы отсутствовали. Этим фактом определяется актуальность и важность рассмотренной в работе проблемы.

Наиболее известный пример астрофизического объекта, который фактически .и инициировал настоящее исследование - аккреционные диски. Хорошо известно, что при учете только дифференциального вращения аккреционные диски устойчивы. Однако, любой из рассмотренных в работе факторов может приводить к неустойчивости аккреционных дисков. Действительно, согласно Рисункам 2.3,' 2.4, 2.7, даже для самой слабой из рассмотренных неустойчивостей - стратовращательной неустойчивости - неустойчивость распространяется дальше линии квазикеплеровского вращения и, соответственно, аккреционный диск с кеплеровским законом вращения будет неустойчивым но отношению к стратовращательной неустойчивости (см. однако, выше замечание о зависимости предела стратовращательной неустойчивости от величины зазора между цилиндрами). Дестабилизация аккреционного диска посредством магнитовращательной неустойчивости даже еще более вероятна (именно с осознания этого факта, как уже говорилось, и началось возрождение интереса к механизму магнитовращательной неустойчивости). Тем не менее, с точки зрения автора, наиболее перспективным источником неустойчивости аккреционных дисков является азимутальное магнитное поле с его пинчевой и азимутальной магнитовращательной неустойчивостями и эффект Холла, который, однако, требует наличия достаточно больших магнитных полей.

Несмотря на все вышесказанное, автор считает своим долгом предостеречь от прямого применения, полученных в работе результатов, к иным, чем течение Куэтта физическим объектам. Несмотря на общий характер, который имеют рассмотренные в работе неустойчивости, специфика каждого конкретного объекта может приводить в каждом конкретном случае к существенным деталям в реализации той или иной неустойчивости и требует выполнения дополнительного детального исследования.

Автор выражает глубокую признательность соавторам работ, результаты которых вошли в диссертацию, сотрудникам сектора теоретической астрофизики ФТИ им. А.Ф. Иоффе РАН и сотрудникам сектора космических магнитных нолей Института Астрофизики Потсдама, поддержкой которых автор пользовался на протяжении всего времени выполнения работы.

1. Велихов Е.П., 1959, ЖЭТФ, 36, 1398.

2. Кадомцев В.Б, 1963, Вопросы теории плазмы, Ред. Леонтовича M А, 2, 132.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., 1986, Теоретическая физика т.6 Гидродинамика (Москва, Наука).

4. Тассуль Ж.-Л., 1982, Теория вращающихся звезд, (Москва, Мир).

5. Шалыбков Д., 2009, УФН, 179, 971.

6. Andereck C.D., Liu S.S., Swinney H.L., 1986, J. Fluid Mech., 164, 155.

7. Baibus S.A., 2003, Ann. Rev. Astron. Astrophys., 41, 555.

8. Baibus S.A., Hawley J.F., 1991, Astrophys. J., 376, 214.

9. Baibus S.A., Hawley J.F., 1998, Rev. Mod. Phys., 70, 1.

10. Baibus S.A., Terquem C., 2001, Astrophys. J., 552, 235.

11. Bernstein I.B., Frieman E.A., Kruskal M.D., Kulsrud R.M., 1958, Proc. Roy. Soc. London A 244, 17.

12. Billant P., Gallaire F., 2005, J. Fluid Mech. 542, 365.

13. Blaes O.M., Glatzel W., 1986, Mon. Not. R. Astron. Soc., 220, 253.

14. Bondeson A., Iacono R., Bhattacharjee A., 1987, Phys. Fluids, 30, 2167.

15. Boubnov B.M., Gledzer E.B., Hopfinger E.J., 1995, J. Fluid Mech., 292, 333.

16. Brahme A., 1970, Physica Scripta, 2, 108.

17. Brevdo L., Bridges T.J., 1997, Proc. R. Soc. Lond. A, 453, 1345.

18. Caton F., Janiaud B., Hopfinger E.J., 2000, J. Fluid Mech., 419, 93.

19. Chandrasekhar S., 1961, Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability (Oxford: Clarendon).

20. Chang T., Sartory W., 1967, Proc. Roy. Soc. London A, 301, 451.

21. Chanmugam G., Mon. Not. R. Astron. Soc., 1979, 187, 769.

22. Chen C.-K., Chan M., 1998, J. Fluid Mech., 366, 135.

23. Chossat P., Iooss G., 1994, The Couette-Taylor problem (New York: SpringerVerlag).

24. Couette M., 1890, Ann. de Chim. et de Phys., 21, 433.

25. DiPrima R.C., Swinney H.L., 1979, in Hydrodynamic Instabilities and the Transition to Turbulance, Topics in Applied physics, 45, 139, (Berlin: Springer-Verlag).

26. Donnelly R.J., Caldwell D.R., 1964, J. Fluid Mech., 19, 257.

27. Donnelly R.J., Ozima M., 1960, Phys. Rev. Lett., 4, 497.

28. Donnelly R.J., Ozima M., 1962, Proc. R. Soc. London A, 266, 272.

29. Drazin P.G, Raid W.H, 1981, Hydrodynamic stability (Cambridge: Cambridge Univ. Press).

30. Dubrulle B., Dauchot O., Daviaud F., Longaretti P.-Y., Richard D., Zahn J.-P., 2005, Phys. Fluids, 17, 095103.

31. Dubrulle B., Marie L., Normand Ch., Richard D., Hersant F., Zahn J.-P., 2005, Astron. Astroph., 429, 1.

32. Dutcher C.S., Muller S. J., 2007, Phys. Rev. E, 75, 047301.

33. Edmonds F., 1958, Phys. Fluids, 1, 30.

34. Fricke K.J., Smith R.C., 1971, Astron. Astroph. 15, 329.

35. Frieman E., Rotenberg M., 1960, Rev. Mod. Phys., 32, 898.

36. Goodman J., Ji H., 2002, J. Fluid Mech., 462, 365.

37. Goldreich P., Narayan R., 1985, Mon. Not. R. Astron. Soc., 213, 7p.

38. Hassard B., Chang T., Ludford G., 1972, Proc. R. Soc. London A, 327, 269.

39. Herron I.H., Ali H.N., 2002, Quat. Appl. Math., 61, 279.

40. Hollerbach R., Fournier A., 2004, in MHD Couette Flow, AIP conference proceedings, 733, 114, (ed. Rosner R., Rüdiger G., Bonanno A.)1. Ney York: Melville).

41. Hollerbach R., Rüdiger G., 2005, Phys. Rev. Lett., 95, 124501.

42. Howard L.N., Gupta A.S., 1962, J. Fluid Mech. 14, 463.

43. Hua B.L., Le Gentü S., Orlandi P., 1997, Phys. Fluids, 9, 365.

44. Jenny M., Nsom B., 2007, Phys. Fluids, 19, 108104.

45. Ji H., Burin M., Schartman E., Goodman J., 2006, Nature, 444, 343.

46. Ji H., Goodman J., Kageyama A., 2001, Mon. Not. R. Astron. Soc., 325, 1.

47. Kurzweg U., 1963, J. Fluid Mech., 17, 52.

48. Kubotani H., Miyama S.M., Sekiya M., Kojima Y., 1989, Prog. Theor. Phys., 82, 523.

49. Langford W.F., Tagg R., Kostelich E. J., Swinney H.L., Golubitsky M., 1988, Phys. Fluids, 31, 776.

50. Le Bars M., Le Gal P., 2007, Phys. Rev. Lett., 99, 064502.

51. Leblanc S., Le Due A., 2005, J. Fluid Mech., 537, 433.

52. Liu W., 2008, Phys. Rev. E, 77, 056314.

53. Liu W., Goodman J., Ji H., 2007, Phys. Rev. E, 76, 016310.

54. Longaretti P.-Y., 2003, Phys. Lett. A, 320, 215.

55. Lundquist S., 1951, Phys. Rev., 83, 307.

56. Mahajan S.M., Krishan S., 2008, Astroph. J., 682, 602.

57. Mallock A., 1888, Proc. R. Soc. London A, 45, 126.

58. Mallock A., 1896, Phil. Trans. R. Soc. London A, 187, 41.

59. Manela A., Frankel I., 2007, J. Fluid Mech., (588), 59.

60. Michael D., 1954, Mathematika, 1, 45.

61. Mikhailovskii A.B., Vladimirov S.V., Lominadze J.G., Tsypin V.S., Churikov A.P., Erokhin N.N., Galvao L.M.R, 2008, Phys. Plasmas, 15, 014504.

62. Molemaker M.J., McWilliams J.C., Yavneh I., 2001, Phys. Rev. Lett., 86, 5270.

63. Montgomery D., 1992, Plasma Phys. Controlled Fusion, 34, 1157.

64. Newcomb W.A., 1960, Annals of Phys., 10, 232.

65. Ogilvie G.I., Pringle J.E., 1996, Mon. Not. R. Astron. Soc., 279, 152.

66. Rayleigh Lord, 1917, Proc. R. Soc. London A, 93, 148.

67. Roberts P., 1965, Appendix to paper Donnelly and Schwarz, Proc. Roy. Soc. A, 283, 550.

68. Rüdiger G., Arlt R., Shalybkov D., 2002, Astron. Astroph., 391, 781.

69. Rüdiger G., Hollerbach R., Geliert M., Schultz M., 2007, Astron. Nachr., 328, 1158.

70. Rüdiger G., Hollerbach R., Schultz M., Elstner D., 2007, Mon. Not. R. Astron. Soc., 377, 1481.

71. Rüdiger G-, Hollerbach R., Schultz M., Shalybkov D., 2005, Astron. Nachrichten, 326, 409.

72. Rüdiger G., Hollerbach R., Stefani F., Gundrum Т., Gerbeth G., Rosner R., 2006, Astrophys. J. Lett., 649,1145.

73. Rüdiger G., Kitchatinov L., 2005, Astron. Astroph., 434, 629.

74. Rüdiger G., Schultz M., Mond M., Shalybkov D., 2009, Astron. Nachrichten, 330, 12.

75. Rüdiger G., Schultz M., Shalybkov D., 2003, Phys Rev. E, 67, 046312.

76. Rüdiger G., Schultz M., Shalybkov D., Hollerbach R., 2007, Phys. Rev. E, 76, 056309.

77. Rüdiger G., Shalybkov D., 2002, Phys. Rev. E, 66, 016307.

78. Rüdiger G., Shalybkov D., 2004, Phys. Rev. E, 69, 016303.

79. Rüdiger G-, Shalybkov D., 2008, J. of Phys.: Conf. Ser., 137, 012018, 2008.

80. Rüdiger G., Shalybkov D., 2009, Astron. Astrophys., 493, 375.

81. Sano Т., Stone J.M., 2002a, Astrophys. J., 570, 314.

82. Sano Т., Stone J.M., 2002b, Astrophys. J., 577, 534.

83. Schultz-Grunow F., 1959, Z. Angew. Math. Mech., 39, 101.

84. Shalybkov D., 2005, J. of Phys.: Conf. Ser. 14, 55.

85. Shalybkov D., 2006, Phys. Rev. E, 73, 016302.

86. Shalybkov D., 2007a, Phys. Rev. E, 75, 047302.

87. Shalybkov D., 2007b, Phys. Rev. E, 76, 027302.

88. Shalybkov D., Rüdiger G., 2004, in MHD Couette flows: Experiments and Models, AIP conference proceeedings 733, eds. R. Rosner, G. Ruediger, A. Bonanno, 165177.

89. Shalybkov D-, Rüdiger G., 2005, Astron. Astrophys., 438, 411.

90. Shalybkov D., Rüdiger G., Schultz M., 2002, Astron. Astrophys., 395, 339.

91. Sisan D., Mujica N., Tillotson WA., Huang Y.M., Dorland W., Hassam A.B., Antonsen T.M., Lathrop D.P., 2004, Phys. Rev. Lett., 93, 114502.

92. Soundalgekar V., Ali M., Takhar H., 1994, Int. Jörn. Energy Res., 18, 689.

93. Stefani F., Gerbeth G., Gundrum Th., Szklarski J., Ruediger G., Hollerbach R., 2008, Astr. Nachr., 329, 652.

94. Stefani F., Gundrum Th., Gerbeth G., Rüdiger G., Schultz M., Szklarski J., Hollerbach R., 2006, Phys. Rev. Lett., 97, 184502.

95. Suydam B.R., 1958, Proc. Second United Nat. Int. Conf. on the Peacefull uses of Atomic Energy (United Nations, Geneva), 31, 157.

96. Synge J.L., 1933, Trans. R. Soc. Can., 27, 1.

97. Synge J.L., 1938, Proc. Roy. Soc. London A, 167, 250.

98. Tagg R., 1994, Nonlin. Sei. Today, 4, 1.

99. Tayler E.J., 1960, Rev. Mod. Phys., 32, 907.

100. Tayler R.J., 1961, Plasma Phys. (J. Nucl. Energ. C), 3, 266.

101. Tayler R.J., 1973, Mon. Not. R. Astron. Soc., 161, 365.

102. Tayler R.J., Hopgood F., 1963, Plasma Phys. (J. Nucl. Energ. C), 5, 355.

103. Taylor G.I., 1923, Phil. Trans. R. Soc. London A, 223, 289.

104. Taylor G.I., 1936, Proc. R. Soc. London A, 157, 546.

105. Thorpe S.A., 1966, Notes on 1966 Summer Geophysical Fluid Dynamics (Woods Hole Oceanographic Institute, Woods Hole) p. 80

106. Umurhan O.M., Mon. Not. R. Astron. Soc., 2006, 365, 85.

107. Velikhov E.P., Ivanov A.A., Lakhin V.P., Serebrennikov K.S., 2006, Phys. Lett. A, 356, 357.

108. Wang C., Blokland J.W.S., Keppens R., Goedbloed J.P., 2004, J. Plasma Phys., 70, 651.

109. Wang Z., Si J., Liu W., Li H., 2008, Phys. Plasmas, 15, 102109.

110. Wardle M., 1999, Astrophys. J., 307, 849.

111. Wendl M.C., 1999, Phys. Rev. E, 60, 6192.

112. Willis A.P., Barenghi C.F., 2002, Astron. Astroph., 388, 688.

113. Withjack E.M., Chen C.F., 1974, J. Fluid Mech., 66, 725.

114. Yavneh I., McWilliams J.C., Molemaker M.J., 2001, J. Fluid Mech., 448, 1.