Исследование устойчивости стациомерных движителей твердого тела с вихревым заполнением тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

-'Ъ - «-АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На главах рукописи

СЯВЧЕНКа Ян Алексеевич

Исследование устайчкаосги стгщжгггркых дяик:вм<Д твердого твла с внхрввым заполнением

01.02.01 "Теоретическая механика*'

Автореферат циссертации на соискание ученой ¿тепым канпипата фнзико-матоматпчйских |

ДойеиК "Й91

> / <у

X

Работа выполнена в Институте прикладной математики и механики ЛН Украины.

Научний руководитель: Дотер физико-математических наук, про^ссор

А. М. Ковалев

Официальные оппоненты:

Дэетйр физико-математических наук, профессор

А. а Карапетян

Кандидат физико-математических наук доцент

Е. В. Позднякович

Бедупзя оргачизация: Киевский ордена Ленина политехнический институт им. 50-летня Великой Октябрьской социалистический революции.

суаденип ученой степени кандидата физико-математических наук, при Институте прикладной математики и механики АН Украины по адресу: 340114 г. Донецк-114, ул. Розы Люксембург, 74.

С диссертацией «окно ознакомиться в научной библиотеке Института прикладной математики и механики АН Украины.

5ат>ггя состоится

■¿г «шахс>гия-

-_1901 г. в У^час. К 015. 45. 01 по при-

ка заседании специализиров;

1анного совета

Учений секретарь специализированного совета А. И. Марковский

кандидат $мзико-математических наук

1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

I

ч-ций -Актуальность работы. Возникшая в результате дискуссии о "двиме^ии полюсов Земли задача о движении твердого тела с эллипсоидальной полостью, целиком заполненной идеьлыюй однородной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение, издавна привлекает внимание ученых. Особо возрос интерес к этой задаче после опытов Кельвина с эллипсоидальным волчком (1877), обнаружившего новые эффекты взаимодействия тела и жидкости, и попыток объяснения их результатов. В результате Поп- ' вились работы таких известных- ученых как Гринхил (1830), Гаф (1895), Слуцкий (1909), Пуанкаре (1910), Бассет (1911), Стеклов (1911) и других.

Дальнейшим импульсом, послужившим интенсификации исследований в этом направлении, стало широкое использование в современной технике ракет и снарядов с жидким заполнением, для которых необходимо было дать оценку влияния вращающейся кидкости на правильность их полета, а такте создание мошных центрифуг. Основополагающий вклад в решение задач о движении тела с жидкостью а полостях в виде фигур вращения внесли С. Л Соболев, А. И Ялтинский, Е а Румянцев й их ученики. Значителен вклад в речение задач устойчивости движений тела с эллипсоидальной полостью таких ученых как Как, А. Я Савченко, А. О. Игнатьев, А. а Каралетяя и др. Отмеченные Ьыше теоретические исследования были экспериментально проверены в работах С. а Иалашенко, IIЕ. Темченко.

Тем не менее до сих пор остается открытым вопрос о влиянии на динамические свойства тела с эллипсоидальной полостью, заполненной жидкостью, смещения центра полости с главной оси. Значимость этой задачи связана с тем, что в силу несовершенства технологии изготовления центр эллипсоидальной полости кокет 0!<а-ваться смещенным с главной оси тела-носителя. До сих пер тага® не были установлены границы степени вытянутости тонкостенного эллипсоида, при которых его движения были неустойчивы при любой скорости вращения.

Настоящая работа и посвящена исследованию стационарных движений гироскопа Лагранжа с эллипсоидальной полостью, смещенной с главной оси, а также иаучению устойчивости равномерных вращений тонкостенного эллипсоидального волчка

Целью работы является решение следующих вопросов:

1) Вывод уравнений движения абсолютно твердого тяжелого тела, имеющего неподвижную точку и вллипсовдальную полость, целиком заполненную идеальной однородной нескидаемой жидкостью, в случае произвольного расположения полости по относенкв к гжав-ным осям тела-носителя.

2) Поиск я классификация стационарных движений сястеш тело-жидкость, в случае, когда тегга-носитель - гироскоп Яагранжа, и его главные оси параллельны.осям волости-эллипсоида вращения, центр которого не принадлежит главным осям.

3) Построение необходимых и достаточных условий устойчивости части из найденных стационарных движений.

4) изучение равномерных вращений тонкостенного волчка в виде эллипсоида врашэния, и оценка влияния величины степени "замерзания" .жидкости в волчке на устойчивость равномерных вра-ВД5НЯЙ. . . . ' ' '

Моторы исследования. При исследованиях, проводимых в диссертационной работе, использовались методы аналитической механики и теория устойчивости движения, Уравнения движения системы тело-жидкость записаны, исходя из закона изменения момента количества и уравнений гидродинамики. Необходимые условия Устойчивости .изучаемый стационарных' движений найдены из анализа уравнений первого приближения, достаточные условия устойчивости- построениями функций Ляпунова. При работе над уравнениями первого приближения йспольвовался язык аналитических преобразований для ПЭВМ REDUCE, а при построении областей устойчивости -система автоматизации инженерных расчетов MATLAB и графические Пакеты иа явыке FORTRAN. ' ■' ,

Научная новизна Получены уравнения движения абсолютно твердого тяжелого тела с неподвижной точкой и с эллипсоидальной полостью, целиком ваполненной идеальной однородной несжимаемой жадностью, в случае произвольного расположения полости по отношению к главным осям тела-носителя. Получены уравнения движения гироскопа Лагранжа,имеющего полость в виде эллипсоида вращения, в случае, когда ось Динамической симметрии гироскопа и ось симметрии эллипсоидальной полости параллельны И не совпадают.' Найдены все стационарные движения гироскопа Лагранжа, содержащего

смещенную эллипсоидальную полость с жидкостью,'И Проведена их детальная классификация.

Проанализировали необходимые условия устойчивости и найдены достаточные условия устойчивости Для части установленных классов стационарных льижений, интересных с точки зрения приложений. Решена задача о построен™ областей устойчивости равномерных вращений тонкостенного волчка в виде эллипсоида вращения, даны оценки влияния степени "замерзания" жидкости в таком волчке на устойчивость его равномерных пршг^ний.

Практическая ценность. Приведенные в настоящей работе результаты могут быть исполЬзованы,при исследовании рабочих режиме й Технических устройств, моделируемых системой тело-жидкость.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на XXV Всесоюзной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, апрель 1987 г.) и на XXVI (Новосибирск, апрель 1988 г.), на XI К9нференции молодых ученых ыехаМико-математического факультета {ХГУ (Москва, "февраль 1989 г.), на Республиканской конференции " Динамика твердого тела и устойчивость двяжния" (Донецк, сентябрь 1990 г.), на семинарах отделов прикладной механики, технической механики Института прикладной математики И механики ' АН Украины. .

Структура диссертации. Объем работы. Диссертация-состоит из введения, 4. глав и заключния. Обгеи работы 142 страницы машинописного Текста Йолчество рисунков 33, список литературы содержит 5наименований;

СОДЕРИАНЙЕ ДИССЕРТАЦИЙ .

Во рлодрпри обоснована астуздыюстЕг темы, дан обвор. работ, относятся к теш Диссертации, кратко из ложно содержание. работы н сформулированы основные результаты, выносимые автором на защиту.

В первой главе диссертации рассматривается задача о движении динамической системы, состоящей из абсолютно твердого тяте-лого тела с неподвижной точкой 0 и.с эллипсоидальной полостью, целиком заполненной идеальной однородной несяииаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое двймэние, в случае произвольно . го расположения полости по отношению.к главным осям тела-носи теля.

Б пункте 1.1 дается постановка задачи, вводится система координат Оз СС-г гс^ , жестко связанная с телом такиы образом, чтр ее оси параллельны осям полости-эллипсоида, и вычисляется скорость частиц жидкости V , совершающих вихревое 'движение ( 2 Q «lot tf, О - вектор вихря частиц жидкости).

В пункте 1,2 вычислены тензоры, использованные для нахождения кинетического момента системы тело-адкость. Записываются уравнения движения тела с жидкостью .в векторном и скалярной видах. Для найденных уравнений приводятся интегралы энергии, площадей, вихря и геометрический.

В пункте 1.3 постановка задачи о движении тела с жидкостью конкретизируется, а именно полагается в дальнейшем, что тело-носитель - гироскоп Лагранка, а полость - эллипсоид врагцэ-ния, ось симметрии параллельна оси симметрии гироскопа. Без нарушения общности полагается также, что координаты центра полости 0г - (0; 2р>0, Расположенная таким образом в теле полость с вихревым заполнением была Названа вихревым дебалансом. Указанные предположения позволили записать уравнения движения системы тело-жидкость в специальном виде для гироскопа Лагранжа с вихревым дебалансом (ГЛВД).

Вторая глава посвящриа поиску, анализу и классификации ста-онарных движений ГЛВД.

В пункте 2.1 была записана алгебраическая система уравнений, определяющая точки в фазовом девягииерном пространстве координат вектора угловой скорости тела-носителя , , , координат вецтора вихря частиц кидкости О^, 0,г> и координат вектора вертикали gj , , , которым соответствую: стационарный движения ГЛВД Отмечено, что стационарные движеню определяют равномерные вращения тела-носителя вокруг оси, сов-падшвдей с вектором вертикали ( СО II у ). При этом координат) вектора вихря в подвижной системе координат постоянны. Исход! ив структуры указанной системы уравнений,была произведена пред верительная классификация стационарных движений: первый кчасс ■ ( «О ) система уравновешена, тело покоится, жидкость в по лости соьеркает вихреьое двккение; второй класс - ( сО^О ^ ¡¡¡) ) ось вращения тела-носителя лежит в главной плоском Ох а ; третий класс - ( ** 0 , ^ ^ 0 ) остальные равно иеркие вращения тела с гэдкостью.

В пункте 2. 2 исследована структура первого класса стацио

- ? -

нарных движений ГЛВД.

В пункте 2. 3 исследована структура второго класса стационарных движений. В плоскости 0а)я 00 3 были введены полярные координаты СО , : = С0-£0ГО6^[, в качестве основного алгоритма изучения многообразия особых точек второго Масса полагался следующий прием - считая , су произвольными Параметрами, Исследовалось, сколько решений относительно Ог . ' ' • соответствует тем или иным наборам основных параметров с*> < - ^ _,

Был выделен первый общий случай: су » , СО - ~ £ у ( - ускорение свободного падения), О, . произвольное. Ему соответствует двупараметрическое многообразие особых точек, определяющее равномерные вращения тела вокруг второй оси с фиксированной скоростью СОо и вихревое движение вокруг оси, деталей в главной плоскости 0а, осг. Остальная часть многообразия особых точек второго класса, для которой О гО , была классифицирована следующим образом.

Особенные случаи: первый - <у £ я} , Од =СО0 = -Уф/10'> второй - су - -Я/2, со = ± • Множества стационарных

движений, соответствующие особенным случаям, однопараметричес-кие, они определят равномерные вращения тела, соответственно, либо вокруг третьей, либо вокруг второй оси с фиксированной угловой скоростью сд , и такое вихревое движение жидкости, что О йсо , 101- любое.

Особые случаи: су £"{0: ЗС|- - первый, су = 131/2- второй, в которых СО - произвольное, (&>), = СЗ (6$). Множества

стационарных движений, соответствующее особым случаям, однопа-раметрические, они определяют равномерные врацекия тела, соответственно, либо вокруг третьей, либо вокруг второй оси с произвольной угловой скоростью, и вихревое движение кидкостн вокруг некоторой фиксированной в тет.э оси.

Второй общий случай ( £>1п ¥ 0). Каждому набору параметров (О , сопоставляется по два аначения С23, Соответствующее ему двупараметрическое мноиество стационарных движений второго класса определяет равномерные вращения теЛа вокруг произвольной оси, лежащей в главной плоскости 0¿с, Хл, и вйхревое движение жидкости £2О ' (сД,<у)> либо О ~ С2г вокруг оси, такие лежащей-в плоскости Охглл Над плоскостью основных параметров О СО , В прострел-

ствах 0 и>г 035 03 . О Ог исследовались многознач-

ные поверхности (Ц.сО^, С^ОД.ир. Били уста-

новлены свойства 1-3, определившие множества точек пересечения с плоскостью 0сОгсО^ этих поверхностей, асимптотический характер их поведения в окрестности осей 0соз . Ос02 , характерные области в Ою^оЗд , над которым^ поверхности имеют постоянный знак. Для иллюстрации установленных свойств поверхностей . 04 . с привлечением машинных методов и компьютерной графики СьЬш построены их трехмерные изображения. В плоскости ОоОгСй>г были построены так называемые структурные схемы, резюмирующие свойства 1-3.

В пункте 2.4 исследована структура третьего класса стационарных движений ГЛВД. Б пространстве 0 ^ был осуществлен переход к сферический координатам; ^ а Ыпу-., у «Фб^Ло^,

СРЪу- соб1| . При исследовании структуры двупараметричес-кого многообразия третьего класса параметры и ^ считались Произвольными, и изучалось, сколько решений относительно , 60г , , * , 'О соответствует МЫ ИМ иным параметрам и , ц>- . Третий класс был разбит на два случая: общий И особенный..

В общем случае, в пространстве 0 ^ ^ ^ . была выделена единичная полус4ерй б'допустимых направлений в теле оси вертикали у , вокруг которой происходят равномерные вращения тела-носителя. В пространстве 0 ОЗ., Сд3 была построена поверхность допустимых значений вектора £0 , сопоставляющая две своих точки каждой точке ва 5(1),^) ,

Изучены особые случаи, когда центр полости принадлежит прямой ( ОС где С - центр маос системы тело-жидкость.

В пункте 2. Б в пространстве 0 у, ¡^ проводится геометрическая интерпретация проведенной в пунктах 2.1-8,4 классификации равномерных вращений ГЛВД с точки 8рения выделения осей вращения на единичной сфере,, и приводится обобщающая результата Второй главы схема классификации стационарных движений ГЛЕЕ.

Третья Глава посвящена исследованию необходимых и достаточных условий устойчивости для некоторых классов стационарных движений ГЛВД.

В пункте 3.1 для стационарных движений ГЛВД. принадлежащих любому случаю второго класса, исключая первый общий ( С1&0), записывается уравнения возмущенных движений. На основе анализе

соответствующих уравнений первого приближения найдены необходимые условия устойчивости, имеющие вид системы неравенств, свя-эыраддох коэффициенту ( ) бикубического характе-

ристического уравнения. •

В пУЧГ-те 3.2 изучаются необходимые условия устойчивости стационарных движений второго класса, лежащих на плос(шстй 0о5г в Малой угловой окрестности оси 0о35 С^ё •

Введение малых параметров к - из^с к.со, ) и ( цг -

= <¿1 ¡у. £= |и1С)т«Уб/2 (2с.*» с ^ У позволяет строить

в. плоскости основных параметров ( С£>3, С2Л ) области С выполнения необходимые условия устойчивости. Так как при научаемы« равномерные цродзйик ГАЗД переходят в двупараметрй-ческое семейство движений ( и) , О, ) гироскопа Лаграйжа с симметрично расположенной полостью, совершайся йместе с жидкостью равномерны? вращения Вокруг оси симметрии, й характеристическое уравнение ГЛВД переходит В детально Изученное уравнение в симметричном случае (А, Я. Савченко^ А. 0. Игнатьев, Е. а Псзднякович), то утвержДаетой, что при малых П. и области выполнения необходимых услорий устойчивости ГЛ8Д й Гироскопа с симметричной полостью совпадают. Исключение составляет случай резонанса в симМбтрйчйой системе. Т.е. когда характеристическое уравнение имеет кратный корень ( ). На плоскости О Ц}

ему соответствуют внутренние в точки ревонансной кривой й. .

Для изучаемого характеристического уравнения ГЛЕЯ было установлено, что его свободный член с точностью до членов второго порядка малости на резонансной кривой симметричной задачи есть: Б = 5„(1)лг + б'4к и были выписаны коэффициенты 5'", Б'0 как

* 1 ' /-> чг-г у ч ' 4

полиномы по £0 Дг. Это позволило указать такие ситуации,когда 5,?0 на Й. , Что приводит к возникновению "полосы" неустойчивости в окрестности резонансной кривой.

Для случая & » 0 (первый особенный случай второго Класса), когда знак определяется только знаком б, , приведен ряд примеров, демонстрирующих различные варианты йзаиморасполояэния областей устойчивости С > кривых Я. и й. ( =0 ), и случаи возникновения полосы неустойчивости над Я. Примеры были оформлены в виде рисунков, на которых изображенные при помощи графопостроителя и машинных методой кривые I, (граница С ), К. и IV являются точными решениями определяющих уравнений.

В пункте 3.3 найдены достаточные условия устойчивости

стационарных движений второго класса при С^О . Для первого особенного случая в плоскости основных парметров 0 С00 построены области выполнения Достаточных условий устойчивости.

Достаточные условия устойчивости находились построением функций Ляпунова в виде связки Уравнений возмуц^нного движения.

Было установлено, что границами областей С выполнения достаточных условий устойчивости стационарных движений Первого особенного случая служа!1 резонайсвШе кривые й , лежазде & Областях выполнения достаточных условий устойчивости О , прй О >0 выше прямых СО = О , и йряМая =0 . Этй

результаты были прокоммейтйроьакн На приведенных в п.3.2 рисуЦ-ках. Была проведена полная классификация "резонансных" кривых, при этом отмечено, что форма И размеры областей Ц йе 8авйсяФ от величины ^ смещения центра полости.

В четвертой главе изучается устойчивость равномерных вращений гироскопа Лагранжа в ййДе тонкостенной эллипсоидальной оболочки с вихревым заполнением.

В пункте 4.1 приводятся основные посылки задачи. Полагаемся, что масса оболочки пренебрежимо Мала, й часть жидкости в полости "намерзла" на внутренний ИоЬерхность оболочки, т.е. рассматривается как абсолютно твердое тело. Оболочта и йНутрей-няя граница жидкого объема - подобные эллипсоиды вращения с центром в точке 0г . Неподвижная точка 0 совпадает с вершиной эллипсоида-оболочки, находящейся на его оси симметрии: 2. = С5 . С целью оценки влияния формы аллипсоМДа На облас?ь выполнения необходимых .условий, устойчивости рассмат! • зались Эллипсоиды равных .объемов V» 1 (м3) и различными Л . ЕьШ введен параметр |> I характеризующий степень "замерзания" жидкости £> = С^/С.^ ( I» 1,3), где С^ - Полуоси границы жидкость-"лед". При сделанных предположениях * параметры с*. и р однозначно определяют систему тело-жидкость, что позволило выразить Механические параметры через А И ^ .

В пункте 4.2 были записаны, при сделанных в п. 4.1 предположениях, необходимые условия устойчивости равномерных вращений эллипсоида с жидкостью вокруг оси симметрии, коллинеарной в этом движении вектору вертикали ^ , в случае, когда скорости вравдния тела И жидкости совпадают ( <0= О ). -

В пункте 4.3 6 плоскости основных параметров ОоС СО построены области выполнения необходимых условий устойчивости С ,

когда 1 т. е. все заполнение .тадкое. Здесь СО есть квадрат иодудя угловой скорости неуравновешенного волчка Установлен на оси ОсС интервал <¿6 II; 2.Б80С] неустойчивости при любш вначеннях О) неуравновешенного эллипсоида, что согласуется с опытами Кельвина

В пункте 4.4 детально проанализировано изменение области выполнения необходимых условий устойчивости в плоскости основных параметров при изменении параметра ^ от 1 до О, вначению £>=0 соответствует случай полного "замерзания" жидкости в полости, когда критерием устойчивости изучаемых двюжний является обычный критерий ИаАевсксго для абсолютно твердого неуравновешенного гироскопа Лагранжа (В случае уравновешенного гироскопа, при |> = 0 , он устойчив при любых значениях (О ).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Швод уравнений движения абсолютно твердого тела, имеющего неподвижную точку и эллипсоидальную полость, целиком ва-полненную идеальной однородной несжимаемой жидкостью, в случае произвольного расположения полости по отношению к главным осям тела-носителя.

2. Вывод уравнений двийения гироскопа Лагранжа с полостькг-эллипсоидои вращения, ось симметрии которого параллельна оси симметрии гироскопа (ГЛВД).

3. Установление, анализ и классификация стационарных движений ГЛВД.

4. Установление необходимых условий устойчивости второго класса равномерных вращений ГЛВД; оценка влияния малого деба-ланса на устойчивость равномерных вращений гироскопа Лагранка с симметрично расположенной полостью.

5. Установление достаточных условий устойчивости второго класса стационарных движений ГЛВД и 1« сопоставление с необходимыми условиями устойчивости, полученными на основе анализа уравнений первого приближения.

6. Дано теоретическое обоснование опытов Кельвина с тонкостенным эллипсоидальным волчком. Определена интервалы значений Еытянутости полости-эллипсоида, точкам которого соответствуют неустойчивые равномерные вращения при любой величине угловой скорости.

Оеяоьнш результаты диссертации опубликованы в следующих

1. Савченко Я. А. Оценка областей устойчивости равномерных враивний твердого тела с вихревым ваполнекием //' 1$эха-ника твердого тела. - 1989. - Вып. 21. - С. БЗ-65. .

2. Савченко Я. А. Динамические свойства гироскопа Лаграяка Пз несимметрично расположенной полостью, заполненной

; жидкостью// Там №.. - 1030. - Вып. 22. - С. 64-67.

3. Савченко Я. А. Устойчивость равномерных врадений гироскопа Лагранжа с несимметрично расположенной полостью, ' заполненной жидкостью // Штематические методы в механике / Под рёд. 'ВчЕ Козлова - М.; Изд-во МГУ, 1990. - С. 72-75.

4. Савченко Я. А, Оценка влияния степени "замерзания" жидкости в эллипсоидальной полости на устойчивость равномерных вращений тела-носителя. Тез. докл. Республиканской конференции "Динамика твердого тела и устойчивость движения". (Донецк, 1990, 4-6 сентября). Донецк, 1090.-С.2Э. '

5. Савченко Я. к. Изучение множества стационарных движений твердого тела с несимметрично расположенным вихревым заполнением // Механика твердого тела.- 1991. - Вып. 23, - С. 53-65.

работах: