Исследование временной эволюции волновой функции как метод решения различных задач квантовой механики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

у,,

/ • '-'

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

-,-^Л (Щ г,, №

^ ^^ На правах рукописи

5

.. . КАзанокии Андрей Кр/нидоаич

ИССЛЕДОВАНИЕ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ

КАК

МЕТОД РЕШЕНИЯ РАЗЛИЧНЫХ ЗАДАЧ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ.

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени доктора фиэико - математических наук в виде научного доклада

Санкт-Петербург 1998

м'

Работа выполнена в Санкт-Петербургском Государственном Университете.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук Девдариани Александр Зурабович доктор физико-математических наук Шейнерман Сергей Абрамович доктор физико-математических наук Шерстюк Алексей Иванович

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Санкт-Петербургский Государственный Технический Университет.

Защита состоится

II и

1998 года в часов

на заседании диссертационного совета Д 063.57.15 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском Государственном Университете по адресу:

199034, С.-Петербург, Университетская набережная, д. 7/9.

С диссерташл! Петербург«

библиотеке Санкт-

Диссертация в виде года

1998

Ученый секретарь диссертационного совета

гшм?

Васильев А.Н.

О

«то**,,

3257 "3е!

Общая характеристика работы.

В истории атомной физики можно выделить "героический" период, подготовивший развитие ядерной физики с ее впечатляющими приложениями, и период "зрелости", когда появление доступных и эффективных вычислительных средств породило очень много специализированных расчетных работ, имевших целью получение численных результатов, непосредственно сравниваемых с экспериментом. На наш взгляд, цена получаемых таким образом результатов оказывается настолько высокой, что воспроизведение этих расчетов крайне затруднительно, тогда как область применения самих результатов, как правило, ограничена кругом задач атомной физики. В тоже время, ожидать появления каких-либо новых эффективных практических приложений атомной физики, которые могли бы оправдать такие затраты, было бы сверхоптимистично. В такой ситуации особенно важно, параллельно с развитием изощренных методов расчета, область применения которых ограничена узким кругом задач внутри атомной физики, разрабатывать более универсальные методы исследования, применимые к более широкому кругу проблем. Уместно отметить, что такое развитие вычислительной квантовой механики основано на развитии и создании новых алгоритов вычислительной математики, область приложений которых может выходить далеко за пределы собственно квантовой механики.

Цель настоящей работы - представить достаточно гибкий и не ограниченный узким кругом решаемых проблем метод исследования. С формальной точки зрения, речь идет о численном интегрировании (нестационарных) уравнений в частных производных в задачах атомной физики. Метод оказывается весьма результативным в научном смысле. Однако, наиболее важным на наш взгляд является возможность использования схожих алгоритмов в задачах, традиционно считавшихся существенно различными (постольку, поскольку различными были методы анализа этих задач). Научная группа, использующая подобные алгоритмы, получает возможность исследовать разные задачи и достаточно гибко реагировать на потребности "научного рынка". Данный метод важен и для обучения: анализ проблемы начинается непосредственно с базисных понятий квантовой механики, промежуточные результаты могут быть "визуализированы" и тем самым способствуют формированию наглядных представлений при изучении квантовой механики. Студент, работающий с такими

|ж|ал

горитмами, может приобрести достаточно универсальный опыт, позволяющий ему I .переходить к работе в других областях физики без потери этого опыта. | Научная новизна работы. Практически все результаты, представленные в

? данной работе, являются новыми. Хотя сам метод исследования временной эволюции волновых пакетов не является новым, его приложение ко всем рассмотренным ниже ^задачам выполнено автором впервые. В ряде случаев аналогичные задачи

I

!

исследовались ранее другими методами, и в этих случаях полученные результаты не являются новыми. Однако, основным результатом данной работы является демонстрация существования работоспособных алгоритмов, ориентированных одновременно на решение достаточно широкого круга проблем. Программы, реализующие эти алгоритмы, являются оригинальными.

Научная и практическая ценность работы. Данный метод позволил получить ряд новых результатов. Что значительно важнее, эти исследования создали основу проектов международного сотрудничества в области теории резонансных состояний ионов у поверхности металла, в области исследования межэлектронных корреляций в двойной фотоионизации вблизи порога и в теории столкновения медленных электронов с многоатомными молекулами. Более того, существование описываемых алгоритмов заметно стимулировало исследования в этих областях. Таким образом, данный метод может рассматриваться как существенно новое направление в теоретических исследованиях процессов атомных столкновений.

На защиту выносятся следующие крупные научные задачи, решенные методом исследования эволюции волновых пакетов:

1. Расчет динамики отрыва электрона от отрицательного иона водорода электронным ударом и сравнительный анализ различных подходов к этой задаче.

2. Исследование отрыва электрона при взаимодействии отрицательного иона водорода с поверхностью металлов.

3. Исследование распределения электронов по энергиям при однофотонной двойной фотоионизации атомов.

4. Расчет угловых распределений электронов при однофотонной двойной фотоионизации атомов в сравнении с экспериментальными данными.

5. Исследование процессов неупругого столкновения медленных электронов с молекулой СС>2 , включая диссоциативное прилипание, в двухмодовом приближении.

6. Метод дискретизации континуума резонансными псевдосостояниями в задачах нелокальной теории неупругих столкновений медленных электронов с молекулами.

Апробация работы и публикации: диссертационная работа содержит в основном результаты, полученные и опубликованные в течение последних 5 лет. Эти результаты докладывались на многочисленных семинарах за рубежом: в Институте физики и астрономии Университета штата Небраска (Линкольн, Небраска, США), в Институте Теоретической Атомной физики Гарвард-Смитсоньевского центра (Бостон, США), Лаборатории атомных и молекулярных столкновений Университета Париж-Юг {Орсэ, Франция), Лаборатории молекулярно-атомной динамики Университета Пьера и Марии Кюри (Париж, Франция), Интституте Физики и Астрономии Университета

г.Аархус (Дания), Физического факультета Университета Копенгагена (Дания), Физического факультета Университета г.Биелефельд (Германия), Институте химической физики Университета г.Дюссельдорф (Германия).

Результаты работ были представлены на различных международаных совещаниях и конференциях, в том числе в форме приглашенных докладов: Workshop ori (е-2е) and Related Processes (Париж, 1992); XIX International Conference on Electron and Atom Collisions (Ристлер, Канада,1995); 15th International Conference on Atomic Physics (Амстердам, 1996); 17th International Conference on X-Ray and Inner-Shell Processes (Гамбург, 1996); International Workshop "Resonances and Fragmentation of Three -Body Systems (ITAMP, Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics,1997); International Workshop on Electron Collisions with Molecules, Clusters and Swamps (Энгельберг, Швейцария, 1997); International Workshop on Photoionization (Daresbury Laboratory, Варингтон, Англия,1997); XX International Conference on Electron and Atom Collisions (Вена, Австрия,1997). В России, ввиду имеющих место объективных трудностей, состоялось лишь одно представление материала, связанного с данной диссертационной работой, на Interantional Workshop on Autoionization Phenomenon in Atoms ( Дубна, 1996).

Основные результаты работы представлены в 26 статьях. Ряд исследований, тематически связанных с данной работой, но не вошедших непосредственно в защищаемую диссертационную работу, был представлен в 23 статьях.

Содержание работы.

Работа состоит из четырех глав. Первая глава носит вспомогательный характер и посвящена описанию метода. Вторая глава содержит простые, но фундаментальные, принципиально важные и перспективные приложения метода к задаче об отрыве электрона от отрицательного иона электронным ударом и исследованию резонансных состояний отрицательного иона у поверхности металла. В третьей главе дано сжатое изложение большого объема результатов, полученных при описании корреляции электронов в состояниях двухэлектронного континуума вблизи порога. Четвертая глава содержит изложение результатов, полученных в области столкновения медленных электронов с (много)атомными молекулами.

Цель данной работы - расширенный обзор выполненных исследований. Поэтому изложение сконцентрировано на концептуальных вопросах. Подробности, связанные с формальным обоснованием постановки задач и с деталями отладки численных алгоритмов, мы опускаем. Как правило, громоздкие работы, содержащие приложения изложенных алгоритмов будут только упомянуты, что ни в коем случае не должно умалить значение конкретных расчетов в развитии нашего подхода.

Глава 1. Метод исследования временной эволюции начального состояния в квантовой механике.

1.1 Исходная задача и методы ее решения.

Основной нашей задачей является исследование временной эволюции начального состояния (волнового пакета) (ВЭВП). Именно, мы будем рассматривать задачу Кошм для уравнения Шредингера (в работе используется атомная система единиц):

Ч'(а?0)=Ф„(<й. (1.1)

Л

В общем случае Гамильтониан Н может зависитъ от времени явно.

Метод ВЭВП предполагает использование эффективного способа решения зада-чи (1.1) в предположении, что по пространственным координатам задача дискре-тизирована. В настоящее время метод ВЭВП используется достаточно широко, в частности, в связи с задачами химической физики и реакции систем на сверхкороткие лазерные импульсы.

Для решения нестационарной задачи (1.1) применялись разные методы:

1) прямое интегрирование системы уравнений с помощью различных адаптивных методов типа "предиктор - корректор", метод Бурлиша - Штоера [С1 ]1 и т.д.;

2) метод "расщепленной эволюции" [С2];

3) в случае нестационарных задач с стационарным Гамильтонианом широко используются методы, связанные с разложением оператора эволюции по полиномам Чебышева и метод Ланцоша [СЗ].

Выбор метода зависит от различных обстоятельств. Прямое интегрирование

требует использования мощных компьютеров. Методы, основанные на разложении

Чебышева и методе Ланцоша, позволяя достигать очень высокой точности, пока не

применялись эффективно к задачам с Гамильтонианом, зависящим от времени явно.

В наших расчетах мы использовали метод "расщепленной" эволюции. Он достаточно

универсален и прост в работе, программы работают устойчиво и позволяют получать

достаточно точные результаты.

Суть метода состоит в приближенном представлении оператора эволюции за

^ Ввиду специфики данной работы, мы используем три независимые списка литературы: список А содержит работы, составляющие предмет диссертационного доклада, в список В включены ра-боты автора, не включенные в число работ, выносимых на защиту; список С содержит работы других авторов. Таким образом, [С1] означает ссылку на работу 1 из списка С.

достаточно малый промежуток времени 6< + ¿¡г)=ехр |-/Н| * + 1 • Основная

проблема связана с тем, что оператор Гамильтона является суммой, как минимум, двух некоммутирующих операторов: Н = А + В. Поэтому эффективное вычисление экспоненты от Гамильтониана предполагает какие-либо приближения. Одно из простейших приближений имеет следующий вид:

ехр{-/(А +В)&} = ехр|-/А— |ехр{-гВй}ехр|-/Ау| +0{д1у). {1.2)

Существуют [С4] и более сложные формулы, содержащие большее число сомножителей и имеющие более высокую точность. Однако, их применение предъявляет более высокие требования к памяти компьютера и потому, на данном этапе нашей работы, мы ограничились простейшим представлением (1.2).

В конкретных задачах оператор В - оператор потенциальной энергии, и он диагоналей в координатном представлении. Поэтому действие соответствующего экспоненциального оператора на функцию координат тривиально и предполагает выполнение N операций умножения (где N - полное число узлов координатной сетки). Оператор А содержит операторы дифференцирования и соответствующая экспонента является в координатном представлении нетривиальной матрицей. Ее действие на функцию, заданную на координатном сетке, подразумевает в общем случае выполнение N2 операций умножения. Для реальных задач такое число операций настолько велико, что делает практически невозможным их решение. Однако, в двух случаях число операций при вычислении действия экспоненты кинетической энергии на функцию, заданную на координатной сетке, может быть радикально сокращено:

1) Оператор А содержит исключительно операторы дифференцирования, а оператор В не содержит сингулярностей.

2) Оператор А является трехдиагональной матрицей (например, когда для оператора второй производной используется трехточечное представление).

В первом случае сетка в координатном пространстве должна быть эквидистантной. Тогда можно, используя алгоритм быстрого преобразования Фурье. [С1, С5] перевести функцию в импульсное представление за СКЫ 1п А/) операций (умножения), подействовать на полученную функцию экспоненциальным оператором как оператором умножения и вернуть функцию к координатному представлению обратным быстрым преобразованием Фурье. (Отметим, что базисное быстрое преобразование Фурье предполагает, что N является степенью двойки.)

Во втором случае можно заменить, с соответствующей формуле (1.2) точностью, экспоненту от оператора А преобразованием Кэли этого оператора

+ (1.3)

Обращение трехдиагональной матрицы требует 0(М операций умножения. Схема (1.3) хорошо известна под названием метода Кранка - Никольсона [С1].

При использовании преобразования Фурье дифференцирование функции осуществляется максимально точно, тогда как "трехточечная" формула для второй производной имеет не очень высокую точность. Однако, во втором случае практически нет ограничений на форму оператора кинетической энергии, что особенно важно при рассмотрении задач с циллиндрической симметрией. Кроме того, второе представление позволяет использовать координатные сетки с неэквидистантно расположенными узлами (например, можно использовать сетки с узлами, связанными с квадратурными формулами Гауссовского типа, что дает значительно более точное представление для квадратичных форм с гладкими функциями). Расчеты со схемой Кранка - Никольсона несколько быстрее, чем расчеты с использованием преобразования Фурье, поэтому при тех же затратах времени, в расчетах по методу Кранка-Никольсона можно использовать более частую пространственную сетку, компенсируя тем самым неточность трехточечного приближения для оператора второй производной.

При всей внешней тривиальности, проблема аккуратного представления оператора эволюции допускающего его быстрое вычисление, не представляется в настоящий момент полностью решенной. Мы широко использовали оба метода и наш опыт показывает, что для одних и тех же задач результаты, полученные при достаточно плотных сетках, практически совпадают. Тем не менее, метод, основанный на представлении (1.3) выглядит более универсальным.

В дальнейшем мы не будем останавливаться на описании формальных аспектов вычислений, хотя в ряде случаев они были достаточно поучительными. Отметим лишь, что все расчеты предполагали рутинную процедуру проверки сходимости результатов по отношению к выбору координатной сетки и шага по времени. Как правило, в наших расчетах гарантированы 4 - 5 значащих цифр.

1.2. Возможные физические приложения.

Предположим, что достаточно надежный алгоритм решения нестационарной задачи Коши (1) разработан. Обсудим, насколько широкой может быть область его применения

В атомной физике есть несколько базисных проблем. 1. Проблема собственных состояний для независящего от времени Гамильтониана.

Для решения этой стандартной задачи квантовой механики разработаны очень

ехр(-;А# );

Е-/А

51

Е-ИА-

ы

2

мощные методы, и применение нестационарного подхода в данном случае выглядит достаточно экзотично. Тем не менее, возможны несколько вариантов такого приложения:

а) Можно, начиная с некоторой задачи, для которой собственное состояние известно, медленным включением дополнительного взаимодействия, переходить к задаче, для которой разыскивается соственная функция, При этом собственное состояние будет оставаться собственным.

б) Для определения волновой функции основного состояния можно рассматривать эволюцию системы, предполагая время мнимым. В этом случае вклады возбужденных компонент будут убывать со временем быстре