Исследования по релятивистской теории спектров водородоподобных атомов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ГЛАВА I. ВВЕДЕНИЕ.

§ I. Методы исследования проблемы двух тел в релятивистской квантовой теории

§ 2. Квазшотенциальный подход к описанию слабо связанных систем.

§ 3. Обзор важнейших исследований спектров энергии водородоподобных атомов, цели и задачи диссертации.

ШВА П. КВАЗШОТЕНЦИАЛЬНЫЙ МЕТОД УЧЕТА РЕЛНТИВИСТСКОП)

ХАРАКТЕРА ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ И ЭФФЕКТОВ СВЯЗАННОСТИ В ДВУХЧАСТИЧНОЙ СИСТЕМЕ.

§ I. Новый метод ввделения кулоновского взаимодействия как основы теории возмущений в квазипотенциальном подходе Логунова-Тавхелидзе.

§ 2. Описание связанности частиц в промежуточных виртуальных состояниях ядра взаимодействия

§ 3. Поправки к кулоновским уровням энергии в релятивистской теории спектров водородоподобных атомов.

ГЛАВА Ш. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КВАЗИПОТЕНЦИАЛА К ПРОБЛЕМЕ ТОНКОЙ СТРУКТУРЫ УРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ АТОМ ВОДОРОДА И СВЕРХТОНКОГО РАСЩЕПЛЕНИЯ В МЮОНШ

§ I. Влияние движения ядра и структуры протона на тонкое расщепление уровней энергии в атоме водорода.

§ 2. Методика расчета сверхтонкого расщепления основного уровня энергии водородоподобных атомов. Анализ простейших взаимодействий в мюонии.

§ 3. Поправки к кулоновским уровням энергии от двух- и трехфотонных обменов в мюонии.

ГЛАВА 1У. ПРОБЛЕМ СВЕРХТОНКОГО РАСЩЕПЛЕНИЯ ОСНОВНОГО

УРОВНЯ ПОЗИТРОНИЙ.

§ I. Позитроний как водородоподобная система частиц с равными массами.

§ 2. Анализ трехфотонных взаимодействий

§ 3. Учет эффектов виртуальной аннигиляции электрон-позитронной пары

I. Методы исследования проблемы двух тел в релятивистской квантовой теории. Задача двух тел в нерелятивистской теории сводится к двум более простым: о равномерном движении центра масс и движении частицы с приведенной массой в потенциальном поле. В релятивистском случае явное отделение движения центра масс, а вместе с тем и непосредственное введение Задача на собственные значения полной энергии системы двух частиц может быть поставлена в результате перехода к координате центра масс X и относительной координате х, [ll,12] X *(miXi+miX2)/(mi+mi) х-х-Хг (i.i.4) отвечает волновая Тогда состоянию о полным четырехимпульсом (р функция Зависящая от относительной координаты функция «(эс) удовлетво>> ряет уравнению [13] [&i5,(».x)-Xy(x,x)]-f5,(x).0 где (1.1.6) в системе центра масс (с.ц.м.) отличная от нуля компонента полного четырехимпульса совпадает с полной энергией двух взаилодействующшс частиц В отличие от нерелятивистской собственной функции, соответствующей состоянию с определенным значением энергии функция Х является нестационарной. Параметр относительного времени Х о не имеет непосредственной физической интерпретации. В то же время ясно, что взаимодействие заряженных частиц в нерелятивистском пределе является кулоновским и разложение функции *f_ С Х в рад теории возмущений должно быть связано с кулоновской волновой функцией, не зависящей от времени. Построение такого разложения задача далеко нетривиальная. Математические трудности вызывает также нормировка и формулировка граничных условий для волновой функции, зависящей от относительного времени [4] Весьма эффективным оказывается квазипотенциальный метод в квантовой теории, предложенный А.А .Логуновым и А.Н.Тавхелидзе [14,15] в котором параметр относительного времени исключается с самого начала. При таком подходе квантовополевые уравнения для системы двух частиц приводятся к уравнению типа Шредингера с квазипотенциалом, определяемым через амплитуду рассеяния. Несмотря на отсутствие явной релятивистской ковариантности, квазипотенциальный метод Яогунова-Тавхелидзе содержит всю информацию о свойствах амплитуды рассеяния, которую можно получить, исходя из общих принципов квантовой теории поля. Поэтому с помощью квазипотенциального уравнения можно изучать как свойства аналитичности и асимптотического поведения амплитуда рассеяния, так и некоторые закономерности потенциального рассеяния, в частности, при высоких энергиях [16-28]. Перенормировка квазипотенциального уравнения сводится, как и в обычной теории матрицы, к перенор?лировке массы и заряда [29]. В ряде случаев, например, в задаче о нахождении матричных элементов локальных операторов между связанными состояниями [30-32], явная релятивистская ковариантность уравнения 01сазывается вгишой. Различные ковариантные форглулировки квазипотенциального подхода предложены в работах [33-37]. Оригинальный вывод квазипотенциального уравнения в квантовой теории поля дан в работе [38]. В квазипотенциальном подходе А.А .Логунова и А.Н.Тавхелидзе связанное состояние системы двух скалярных частиц описывается уравнением Т-Чф=(рЧт;5 JV(f,s;E)W)ds (I.I.7) где Р S (E-p-rw* скалярных частиц. двухвременная фун1щия Грина свободных С? В случае частиц со спинами, отличными от нуля, оператор g- не имеет обратного, и уравнение (I.I.7) долзшо быть модифицировано 39-43], Для практичесюж приложений наибольшее значение имеет развитие квазилотенциального метода, предпринятое в работах [44-50]. Расчет уровней энергии связанных состояний с помощью квазилотенциального уравнения был впервые выполнен в работах [39,40,51,52]. Новое ковариантное обобщение квазипотенциального метода [53-56] позволило с высокой точностью вычислить релятивистские поправки к магнитному моменту связанной системы двух фермионов, а также атомные а факторы электрона и протона. На основе квазилотенциального уравнения В.ГДадышевского [ЗЗ, 57] получена важная информация о Ш атомах и связанных состояниях кварков [58-64]. Возможность исследования структуры уровней энергии Ш атомов связана с использованием теории возмущений, которая может быть построена на основе уравнений Шредингера или Дирака с кулоновскнм потенциалом. Различные модификации уравнения Дирака [65-67] представляют собой по существу вариации ццеологии, реализуемой в квазипотенциальной теории Логунова-Тавхелидзе. 2, Квазипотенциальный подход к описанию слабо связанных систем. Наиболее эффективный метод исследования уровней энергии Ш атомов может быть развит на основе квазилотенциального уравнения Логунова -Тавхелидзе (I.I.7). Важная роль в этом отношении принадаежит работам Р.Н.Фаустова [39,40,44-50,56], Исходным положением квазипотенциальной теории, описывающей систему двух частиц, является понятие двухвременной полной функции Грина, связанной с четырехвременной соотношением: В импульсном пространстве и с.ц.м. операции приравнивания времен частиц соответствует интегрирование по относительным энергиям: -во При этом импульсы частиц удобно задать в соответствии с рис.1,1де М масса связанной системы, гл и ГЛ шссы образующих ее частиц и полная энергия системы Е М Из спектрального представления [46] следует, что двухвременная функция Грина имеет при значении энергии Е Е а полюс, соответствующий связанному состоянию Y и вблизи полюса может быть представлена в ввде: (11,Е):Ш;:М1 (1.2.3, Если у функции Грина невзаимодействующих частиц (J. существует обратная, то квазипотенциал определяется следующим образом: YCf.r.E) &;V.S-.E)-GV,;E) (1.2.4) Заменяя в равенстве "Gfr 1 функции fr и согласно выражениям (1,2.3), (1,2.4) и приравнивая вычеты в полюсе E=Eft получимдаяволновой"функции "Ц уравнение Собственные функции этого уравнения нормированы условием [46]: 10 II toр сс:. at II .с9 11 II Спектральное представление джя функции (r J взаимодействующих частиц со спином V 2 позволяет непосредственно получить выражение для двухвременной функции Грина не&.Ср.;Е) (А*Р-АГ)Го где с1-2-) A**(?)--A*(p".At(-p), А7Р*) Л З А Проекционные операторы на состояния с положительной л отрицательной энергией выражаются через прямое произведение биспиноров решений уравнения Дирака для I -ой свободной частицы Дираковокие биспиноры нормированы на единицу U. U 1 вие их полноты записывается в ввде: а услоА*+Л"=1 (1.2.9) Из выражения (1.2.7) непосредственно следует, что оператор не имеет обратного. На практике наиболее удобно устранить эту трудность, спроектировав двухвременные функции Грина на состояния с положительными значениями энергии фермионов [б8]; &V.qiE)=Ui(p5"2(-P>&c?;-.E)I!Ui£f)U,(-q) (1-2.10) Соответствующая функция Грина невзаимодействующих частиц на основе соотношений (1.2.7) и (1.2.10) принимает вид: 12 &o7?.q;E)=FCf.4:E) переходит в "2-" Поэтому основное уравнение квазипотенцшльного подхода (1.2.5) Введем в рассмотрение оператор o=FTo*F* (I.2.I3) дце Т*=6"Т&* релятивистская амплитуда рассения вне массовой поверхности Т р Я >Ро»Я* определяется из уравнения Бете-Солпитера в импульсном представлении Здесь операторное умножение означает интегрирование по относительным импульсам. Выполняя над обеими частями уравнения Бете-Солпитера преобразования, заданные соотношениями (1.2.2) и (1.2,10), находим Выражение квазипотенциала (1.2,4) для системы дву:с фермионов может быть представлено с помощью оператора На массовой поверхности p*+mjHj)4mt s q V m Jq4rri| оператор Т в С Й Е и физичесхсая амплитуда рассеяния U| 2 положительно-частотные решения свободного уравнения Дирака, черта символизирует дираковское сопряжение) совпадают [69]. Поскольку физическая амплитуда рассеяния правильно воспроизводит 13 связанные состояния как полюса по полной энергии двухчастичной системы в области <rU4 n\2. циала наряду с оператором Со для определения квазипотенможно использовать амплитуду В последнем выражении параметры q и Е можно считать независимыми, так что существуют два варианта определения квазипотенциала 1 С 7 Е соответствии с равенствами (1.2.16) и (1.2.18). Используя обычное разложение Т матрицы в ряд по степеням константы связи В выражениях (1.2.16) и (1.2.18) получим соответственно: гце -cr-rSnoFtfrWrF" или (1.2.19) Y г Т Y =1» _rna)rrnU) (1.2.20) В случае исследования уровней энергии Ш атомов с точностью с до о( на основе разложения (1.2.20) элементам кваз1шотенциала сопоставлялись диаграммы Фейнмана второго и четвертого порядков, приведенные на рис.2. Если ВЦ атом образован частицами с разными массами, то взаимодействия происходят только в прямом канале. В слабо связанных системах частицы находятся вблизи массовой поверхности, поэтому дая исследования структуры уровней энергии ВП атомов с точностью до оС можно воспользоваться так называемым приближением рассеяния LJ» S области больших виртуальных #ч C9 UЧ-» НэЧ «4 b/W «Ч k/VVW 15 импульсов элементы амплитуцы рассеяния Т+ могут быть приближенно отнесены к шссовой поверхности, т е вычислены при значениях IpljlSlOjEOl+fflz Поэтому квазипотенциальнпе уравнение (1.2. 12) переходит в уравнение Шредингера с нелокальным потенциалом, зависящим от полной энергии системы [47]. где м=гтцт(т4+Ш2У- приведенная Macca,V/=E-mr2 энергия связи системы. Представим квазипотенциал в виде разложения Члены этого разложения могут быть определены равенствами (1.2.19), или (1.2.20), "Osee/p.qT) 1лоновский потенциал. Поправки к 1?улоновским уровням энергии получим, решая уравнение (1.2.21) по теории возмущений дЕ„=<а|дУЧТ%1 Г дУ] 1 а.2.33) где а т собственные функции указанного уравнения с кулоновским потенциалом, соответствующие значениям энергии Е. и f Волновая функция основного состояния имеет вцц i(f)=8ir<*fc(J»Pp ,|1(0)|=\ fp-Cp+r*-)" новного уровня Ш атома с точностью до dC просто, если положить (1-2.24) О помощью формулы (1.2.23) значения сверхтонкого расщепления оснаходятся наиболее %Cf) fe (21Г)* Sc) ICo) Eanii+mi (1.2.25) 16 Возникающие при этом инфракрасные особенности обычно устраняются путем введения обрезания величины виртуального трехимпульса [12, 40]. 3. Обзор важнейших исследований спектров энергии водородоподобных атомов, цели и задачи диссертации. Одним из основннх приложений квантовой релятивистской теории связанных состояний являются задачи о тонкой и сверхтонкой структуре уровней энергии ВП атомов. Лэмбовский сдвиг уровней энергии, возникающий в простейшем случае при учете собственной энергии электрона в статическом поле ядра атома водорода, был впервые исследован Вете to]. В настоящее время подобную задачу можно решить более корректно, используя, например, зфавнение Дирака с радиационными поправками [б]. Модификация этого уравнения дает возможность строгого рассмотрения Эффектов отдачи ядра и влияния его структуры на сдвиги уровней энергии [б5-67], Последовательная теория учета радиационных поправок для вычисления лэмбовского сдвига уровней энергии в ВП атомах бшга развита на основе уравнения Вете-Солпитера [71,72] и в рамках квазипотенциального подхода Zl» Значительную трудность дая теории лэмбовского сдвига в атоме водорода представляет неопределенность поправок, характеризующих электромагнитную структуру ядра. Обычно ее описывают феноменологически, с помощью введения в вершинную часть электрического и магнитного форлкторов [73,74,51]. Теоретическое значение лэмбовского сдвига зависит кроме того от вклада конечных размеров протона, которые пока не поддаются точной оценке [75,76].

§ 2. Основные выводы и заключительные замечания.

Важнейшие результаты, полученные в диссертации, сводятся в основном к следующему:

1. Предложен новый метод учета эффектов связанности и релятивистского характера взаимодействий в двухчастичной системе на основе использования кулоновской функции Грина в квазипотенциальном подходе.

2. Развита соответствующая теория возмущений для построения квазипотенциала и определения структуры уровней энергии в водоро-доподобных атомах.

3. Разработана методика и техника расчета уровней энергии во-дородоподобных атомов с учетом эффектов высоких порядков по постоянной тонкой структуры о^.

4. Исследовано влияние движения ядра и структуры протона на тонкое расщепление уровней энергии в атоме водорода.

5. Проведено систематическое изучение вкладов в сверхтонкое расщепление уровней энергии водородоподобных атомов от диаграмм второго, четвертого и шестого порядков в квантовой электродинамике .

6. Получено теоретическое значение поправки относительного порядка (¡МоС к фермиевскому расщеплению основного уровня атома мюония.

7. Установлена с точностью до членов порядка величина сверхтонкого расщепления основного уровня энергии атома позитрония.

8. Исследовано влияние кулоновского взаимодействия на расщепление уровней энергии в позитронии с точностью до d^ .

Автор выражает глубокую благодарность академику Логунову A.A., академику АН Грузинской ССР Тавхелидзе А.Н., профессорам Фаусто-ву Р.Н. и Хрусталеву O.A. за постоянную поддержку и стимулирующее обсуждение в ходе работы. Автор приносит благодарность академику Боголюбову H.H., профессорам Соловьеву Л.Д. и Богомолову А.М. за внимание и содействие в работе над диссертацией, выражает искреннюю признательность своим коллегам Нюнько Н.Е., Бойковой H.A. за плодотворное сотрудничество, а также сотрудникам отдела теоретической физики ИФВЭ, лаборатории теоретической физики ОШИ, кафедры физики высоких энергий МГУ и кафедры теоретической и ядерной физики С1У за консультации и дискуссии.

Автор благодарит профессора Шехтера A.C. и Скачкова Н.Б. за ценные советы, Тихонина Ф.Ф., Крючкова С.В. за оказанную ими помощь.

ГЛАВА У ЗАКЛЮЧЕНИЕ

§ I. Сравнение полученных в диссертации теоретических значений по тонкой структуре и сверхтонкому расщеплению основного уровня водородоподобных атомов с имеющимися данными и экспериментом.

В настоящее время единственной последовательной моделью взаимодействия элементарных частиц остается квантовая электродинамика, теоретические предсказания которой могут быть проверены с высокой степенью точности. В связи с этим существует возможность изучить применимость основных принципов релятивистской квантовой теории, которые используются и в других моделях взаимодействия элементарных частиц. Водородоподобные атомы - простейшие связанные системы - наиболее доступны для теоретического и экспериментального исследования. Фундаментальная роль в становлении и развитии квантовой теории принадлежит задачам о тонкой и сверхтонкой структуре водородоподобных систем. Измерение сверхтонкого расщепления основного уровня энергии позитрония выполнены в настоящее время с относи

6 7 тельной точностью порядка 6.10 , а мюония - 1.2*10 . Для расчетов с подобной точностью соответствующих теоретических значений необходимо вычислить члены порядка ©С^ в позитронии ио(7— РиЛ. т^и. в мюонии. Существенное совершенслзвование теории и техники расчета уровней энергии водородоподобных атомов требуется уже для получения вкладов порядка ^(ж^/ууу^&и^ . Подобная задача была сформулирована применительно к атому позитрония в начале семидесятых годов.

С одной стороны, Фултон, Оуэн и Репко [13] при исследовании одно- и двухфотонных взаимодействий учли более точное выражение для волновой функции связанной системы и зависимость ядра уравнения Бете-Солпитера от относительных трехимпульсов и полной энергии. С другой стороны, в нашей работе £813 было показано, что вклад в сверхтонкое расщепление от неизучавшихся при расчетах с с точностью до сИ трехфотонных взаимодействий может начинаться с величин порядка к^Ьл сС . В такой ситуации логично использовать волновую функцию связанной системы в приближении (1.2.25), а полной энергии Е < М^ + ГП^ придать характер параметра обрезания, фиксирующего инфракрасные (в аннигиляционном канале - пороговые) особенности. Полученный нами результат расчета аннигиляционной диаграммы с оператором поляризации 4-го порядка был впоследствии подтвержден Оуэном и обобщен Барбиери, Кристалликом и Ремидди ^82,83]. Последние, кроме того, суммировали все логарифмические вклады, вычисленные с помощью непосредственного применения уравнения Бете-Солпитера £13,84,85].

Позднее Лепаж [87 ] применил для анализа спектра энергии мюония модифицированное уравнение Дирака и рассчитал, в частности, ряд новых поправок порядка о( к величине сверхтонкого расщепления основного уровня позитрония. Поскольку оказалось сложным выяснить путем прямого сравнения причины расхождения результатов работ [84] и [87], Бодвин и Пенни предприняли на основе уравнения Солпитера новое исследование несовпадающих вкладов от обменов одним поперечным и некоторым числом кулоновских фотонов [88]. Их вычисления подтвердили первоначальный результат Ледажа. Впоследствии дополнительный анализ процессов виртуальной аннигиляции привел к несколько иному значению величины сверхтонкого расщепления основного уровня позитрония [125].

Несмотря на разнообразие использованных методов и большое число полученных результатов, рассмотренные выше исследования проблемы сверхтонкого расщепления уровней энергии в водородолодобных атомах не являются достаточно систематическими и полными. Ни один из указанных методов не был применен для детального анализа всех без исключения процессов взаимодействия, приводящих к логарифмическим вкладам. Остается невыясненным до конца и вопрос о том, все ли логарифмические поправки рассчитаны.

Важными в этом отношении представляются проводившиеся нами исследования.

Развитый на основе квазипотенциального уравнения Логунова -Тавхелидзе метод учета эффектов связанности и релятивистского характера электромагнитного взаимодействия частиц был применен к решению трех задач:

1. 0 поправках (ЕоС ) к тонкой структуре уровней энергии водородоподобных атомов.

2. О поправках к фермиевскому расщеплению основного уровня мюония.

3. О сверхтонком расщеплении основного уровня позитрония с точностью до оС^ ^ оС .

Результаты решения первой задачи находятся в полном согласии с данными расчетов, выполненных другими методами [65,71,72].

Структура протона учитывалась с помощью введения электромагнитных формфакторов. При этом, в частности, получена новая поправка к сдвигу уровней энергии водородоподобных атомов, пропорциональная квадрату аномального магнитного момента тяжелой частицы. Однако, вклад этого члена лежит пока за пределами достигнутой экспериментальной точности.

Установленная в работах [81,1263 связь поведения интегралов по виртуальным импульсам вблизи инфракрасных (пороговых) особенностей с появлением логарифмических вкладов в' сверхтонкое расщепление вызвала необходимость дополнительного анализа одно- и двух-фотонных диаграмм с точностью до [80]. Квазипотенциальный метод учета эффектов связанности и релятивистского характера взаимодействия частиц в водородоподобных системах на основе уравнения Логунова-Тавхелвдзе был разработан нами в работах £l22,127, 130]. Применение его для вычисления величины сверхтонкого расщепления основного уровня позитрония с точностью до ос »а также для исследования кулоновского взаимодействия с точностью до шестого порядка по d\ выполнено в работах [101,121,128,129].

На заключительном этапе нами проведен детальный анализ эффектов виртуальной аннигиляции в позитронии, учтена поправка к ку-лоновской волновой функции, найденная в результате более точного решения квазипотенциального уравнения с кулоновским ядром, исследовано сверхтонкое расщепление основного уровня мюония [ill, 118].

Выполненные нами вычисления являются результатом анализа единого и весьма общего выражения для поправок к уровням энергии во-дородоподобнаго атома, которое с требуемой точностью учитывает все взаимодействия в этой системе.

Тот факт, что вклады от трехфотонных взаимодействий не превышают величин порядка А сС , во-первых, убеждает в корректности расчета величины сверхтонкого расщепления с точностью до оС*", при котором анализируются лишь одно- и двухфотонные взаимодействия. Во-вторых, отсюда следует, что при вычислении логарифмических поправок от трехфотонных диаграмм можно использовать приближение для ооновской волновой функции, поэтому критерием существования таких поправок является наличие инфракрасных (в аннигиляционном канале - пороговых) особенностей в соответствующих интегралах по виртуальным импульсам. Этим критерием мы руководствовались при анализе большого числа трехфотонных обменов. Наконец, поскольку максимальные вклады от трехфотонных диаграмм являются величинами порядка oC^ivi at или ^, то при расчетах

5.1.2) с требуемой точностью можно не принимать во внимание четырехфо-тонные взаимодействия.

Аналитическое выражение для величины сверхтонкого расщепления основного уровня мюония записывается в виде: где фермиевское расщепление - ^jftfljm^l^+wyi}3» Ъ - совокупность радиационных поправок при условии неподвижности мюона (н\г/ О ) ' вычисленная вплоть до порядка оС^ :

Поправки £ и S^u были вычислены ранее, а величина рассчитана в нашей работе [П8]. Поскольку для неподвижного мюона S^-0 » условие непротиворечивости полученного в диссертации результата - уничтожение в сумме коэффициентов членов типа , что и имеет место в действительности (табл.1). Выполнение этого условия связано, в частности, с расчётом вклада от трехфотонной диаграммы (7), который может быть проведен лишь на основе метода, последовательно учитывающего эффекты связанности. Наоборот, при анализе диаграммы (3) важнейшим моментом оказывает-с я существование фактора, обеспечивающего релятивистскую поправку к кулоновской волновой функции. Все это подтверждает практическую значимость предложенного в диссертации квазипотенциального метода учета поправок на релятивистский характер взаимодействия и эффекты связанности частиц. Численное значение найденной логарифмической поправки к сверхтонкому расщеплению основного уровня мюония составляет

Ер ~ 11 КГЦ (5.1.5) и совпадает с соответствующим результатом Лепажа и Йенни. С учетом этой поправки теоретическая величина расщепления

4463304 ,7(1,9) кГч (5Л-6) с*® близка к экспериментальной [132} лвкр .А^вьъог, ее Об) кГц (е л.?) урке.

Вклад в сверхтонкое расщепление основного уровня позитрония от диаграмм прямого канала получим из результатов для мюония при ГП^-ГО^. Поправки от эффектов виртуальной аннигиляции, а также от вычисленного с точностью до кулоновского взаимодействия приведены в табл.2,3. Теоретическое значение величины сверхтонкого расщепления основного уровня позитрония можно представить в аналитическом виде • ф [И (I

Найденная нами логарифмическая поправка совпадает с рассчитанной Лепажем и Йенни. Величина в настоящее время окончательно не определена. С учетом проведенного в диссертации исследования кулоновского взаимодействия с точностью до членов порядка оС^ , численное значение в 203390 (Ц) МГц (5Л'9) и находится в относительном согласии с данными эксперимента [133, 134] 2оЪЪ8* ,5 (1,0) МГц (5.1.ю)

Окончательное сравнение теоретического и экспериментального результатов можно сделать лишь после расчета всех вкладов порядка о^ и устранения связанной с этим неопределенности в II мГц в вычислениях.

1. Fock V.A. Zur Quanteneelektrodynamik. - Sov. Phys.,1934,Ъ.6, h.5, S. 425-469.

2. Tamm I.E. Relativistic interaction of elementary particles.-Journal of physics, vol. 9, no. 6, p. 449-46О (publishing House of the Academy of Sciences of the USSR).

3. Dancoff S.M. Hon-adiabatic meson theory of Nuclear forces. -Phys. Re., 1950, vol. 78, no. 4, p. 382-385.

4. Dyson P.J. The Wave Function of a Relativistic System. -Phys. Rev., 1953, vol. 91, no. 6, p. 1543-1550.

5. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1976. - 480 е., ил.

6. Боголюбов Н.Н., Медведев Б.В., Поливанов М.К. Вопросы теории дисперсионных соотношений. М.: Физматгиз, 1958. - 208 с.

7. Швингер Ю. 0 функциях Грина для квантованных полей. ПСФ, 1955, №3, с.28-32; 33-36.

8. Швингер Ю. Частицы, источники, поля. Том 2 М.: Мир, 1976 - 476 с.

9. Bethe Н.А., Salpeter Е.Е. A relativistic equation for bound-state problems. Phys. Rev., 1951, vol. 84, no. 6, p. 1232-1242.

10. Ge11-Mann M., Low F. Bound States in Quantum Field Theory.-Phys. Rev., 1951, vol 84, no. 2, p. 350-354-.

11. JO. Eden R.T. Quantum field theory of bound states. II. Relativistic theory of resonance reactions. Proc.Roy.Soc., 1953, vol. A 217, no. 1130, p. 390-408.1.. Швебер G.M. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля. -М.: Ин.Лит., 1963. 842 е., шт.

12. J2. Karplus R., Klein A. Electromagnetic displacement of atomic energy levels. III. The hyperfine structure of positronium.- Phys. Rev., 1971, vol. A 4, no. 5, p. 1802-1811.

13. Fulton T., Owen D.A., Repko W.W. Hyperfine structure of po-sitronium. Phys. Rev., 1971, vol. A4, no.5, p. 1802-1811.

14. X4. Logunov A.A., Tavkhelidze A.N. Quasioptical approach in quantum field theory. Nuovo cim., 1963, vol. 29, no. 2, p. 380-399.

15. Logunov A.A., Tavkhelidze A.N., Todorov I.T., Khrustalev O.A. Quasipotential character of the scattering amplitude. Nuovo cim., 1963, vol. 30, no. 1, p. 134-142.

16. Logunov A.A., Tavkhelidze A.N., Khrustalev O.A. Quasipotential character of the Mandelstam representation. Phys. Lett., 1963, vol.4, no.6, p. 325-326.

17. Арбузов Б.А., Логунов А.А., Филиппов А.Т., Хрусталев O.A. Метод Фредгольма в релятивистской задаче рассеяния. ЖЭТФ, 1964, т.46, # 4, с.1266-1280.

18. Khrustalev O.A., Savrin V.J., Tyurin N. Ye. Angl. distributions and polarizations in high energy pion-nucleon scattering. -Дубна, 1969. 32 с. (Сообщ./0ИЯИ:Е2-4479).

19. Хрусталев О.А. Квазипотенциальное уравнение в х пространстве. - Серпухов, 1969, - 19 с. (препринт/ИФВЭ: СТ£ 69-24).

20. Арбузов Б.А., Логунов А.А., Тавхелидзе А.Н., Фаустов Р.Н. Полюса Редке и уравнение Бете-Солпетера. ДА.Н СССР, 1963, т.150, £ 4, с.764-766.

21. Арбузов Б.А., Логунов А.А., Тавхелидзе А.Н., Фаустов Р.Н., Филиппов А.Т. Квазиоптическая модель и асимптотика амплитуды рассеяния. -ЖЭТФ, 1963, т.44, £ 4, с.1409-1411.

22. Logunov А.Д., Nguyen Van Hieu, Khrustalev O.A. Quasi-optical method and asymptotic behaviour of many-channel amplitudes. Nucl. Phys., 1964, vol. 50, no 2, p. 295-304.

23. Логунов A.A., Нгуен Ван Хьеу, Хрусталев O.A. Короткодейст-вие ядерных сшг и поведение сечений при высоких энергиях ПСФ, Сборник, поев. H.H.Боголюбову в связи с 60-летием, с.90-107. М: Наука, 1969. - 430 с.

24. Arbuzov В.A., Filippov А.Т., Khrustalev O.A. On the correlation between the exact solution and the perturbation theory series in the case of Schroedinger equation with singular potential. Phys. Lett., 1964, vol. 8, no. 3, p. 205-207.

25. Filippov A.T. On the elimination of divergances in the quasipotential equations. Phys. Lett., 1964, vol 9., no. 1, p. 78-80.

26. Arbuzov B.A., Filippov A.T. Singular potentials in the Lip-praan»-Schwinger equation. Phys. Lett., 1964, vol. 13, no.1,p. 95-96.

27. Логунов A.A., Хрусталев O.A. Вероятностное описание рассеяния при высоких энергиях и гладкий квазипотенциал. Пробл.физ. элементарн. частиц и атомного ядра, т.1, вып.1, - М.: Атомиздат, 1970. - с.71-90.

28. Гарсеваншивили В.Р., Матвеев В.А., Слепченко Л.А. Рассеяние адронов при высоких энергиях и квазипотенциальный подход к квантовой теории поля. Дробл.физ. элементарн .частиц и атомы ядра, 1970, т.1, вып.1, М.; Атомиздат, с.91-130.

29. Фаустов Р.Н. Перенормировка квазипотенциального уравнения для системы двух частиц. ДАН СССР, 1964, т.156, № 6,0.1329-1332.

30. Боголюбов П.Н. Магнитный момент связанного кварка и составная модель мезонов. ЯФ., 1967, т.5, № 2, с.458-463.- 167

31. Шелест ВЛ. Релятивистски инвариантные кварковые модели адронов и алгебра токов. Вопросы теории элементарных частиц. Труды международного семинара. Варна. Болгария. 1968, с.280-311.-Дубна, 1968. - (ОИЯИ Р2-4050).

32. Kadyshevsky V.G., Mir-Kasirnov P.M., Skachkov N.B. Quasipotential approach, and the expansion in relativistic spherical functions. Nuovo cim., 1968, vol. A55, no. 2, p. 233-257.

33. Matveev V.A., Muradyan R.M., Tavkhelidze A.N. Relativist!-cally covariant equations for two particles in quantum field theory. Дубна, 1967. - 24 с. (Препринт/0ИЯИ:Е2-3498).

34. Матвеев В.А., Мурадян Р.М., Тавхелидзе А.Н. Релятивистски ковариантные волновые уравнения для частиц в квантовой теории поля. Дубна, 1968, - 20 е., ил. (Ярепринт/0ИЯИ:Р2-3900).

35. Боголюбов П.Н. Квазипотенциальные уравнения для спиновых частиц с различными массами. ТМФ, 1970, т.5, $2, с.244-252.

36. Todorov I.I. Quasipotential equation corresponding to the relativistic eikonal approximation. Phys. Rev., 1971, vol.1. D3, no.10, p. 2351-2356.

37. Логунов А .А., Саврин В.И., Тюрин Н.Е., Хрусталев О Л. Одновременное уравнение для системы двух частиц в квантовой теории поля. Серпухов, 1970, - 19 с.(прелринт/ШВЭ:СТФ 70-60).

38. Фаустов Р.Н. Квазипотенциальный метод в задаче о связанных состояниях двух частиц. Международная зимняя школа теоретической физики при ОИЯИ. Курс лекций, 1964, tJ3, с.108-116.

39. Fau3tov R.N. The proton structure and hyperfine splitting of hydrogen energy levels. Nucl. Phys., 1966,vbl.75, no. 3,p. 669-681.

40. Десимиров Г., Стоянов Д. О построении квазипотенциала дляспшюрных полей. Дубна, 1964. - 9 с. (прелринт/ОШИ: P-I658).

41. Kadyshevsky V.G., Matveev M.D. On a relativistic quasi-potential equation in the case of particles with spin. Nuovo cim., 1968, vol. A55, no. 2, p. 275-300.

42. Халашвшш АЛ. Квазипотенциальное уравнение для системы двух частиц со спином 1/2. Дубна, 1969, - 17 с (препринт/ОШИ: Р2-4347).

43. Nguyen Van Hieu, Faustov R.N. Quasioptical potential in quantum field theory. Nucl. Phys., 1964, vol 53, no. 2, p. 337-344.

44. Фаустов P.H., Халашвшш: АЛ. Условие нормировки для одновременной волновой функции связанного состояния двух частиц. -ЯФ, 1969, т.10, Ш 5, с.1085-1088.

45. Фаустов Р.Н. Квазипотенциальный метод в задаче о связанных состояниях. ТМФ, 1970, т.З, 12, с.240-254.

46. Зиновьев Г.М., Струминский Б.В., Фаустов Р.Н., Черняк В.Л. Структура протона и сверхтонкое расщепление в атоме водорода. -ЯФ, 1970, т.II, вып.6, с.1284-1297.

47. Фаустов Р.Н. Релятивистская волновая функция и формфакторы связанной системы. Дубна, 1971, - 21 е., ил. (препринт/ОШИ: P2-569I).

48. Faustov R.N. Magnetic moment of the relativistic composite system. Nuovo Cim., A, 1970, vol. 69, no 1, p. 37-46.

49. Faustov R.N. Magnetic moment of the hydrogen atom. Phys. Lett. B, 1970, vol. 33, no. 6, p. 442-424.

50. Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. Электромагнитная структура протона и сверхтонкое расщепление в водороде. ЯФ, 1965, т.2, № 5, с.882-885.

51. Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. Высшие поправки к расщеплениюосновного уровня позитрония. Дубна, 1966. - 8 с. (препринт/ОИЯИ: Р2-2949).

52. Faustov R.H. Relativistic wavefunction and form factors of the bound system. Ann. Phys., 1973, vol. 78, no. 1, p. 176-189.

53. Фаустов P.H. Уровни энергии и электромагнитные свойства водородоподобных атомов. ЭЧАЯ, 1972, т.З, вып.1, с.238-266.

54. Ризов В ¿А., Тодоров И.Т. Квазипотенциальный подход к задаче о связанных состояниях в квантовой электродинамике. ЭЧАЯ; 1975, т.6, вып.З, с.669-742.

55. Фаустов Р.Н. Ковариантная квазипотенциальная теория слабо связанных составных систем. Докторская диссертация, Дубна, 1971 г.

56. Кадашевский В.Г., Мир-Касимов Р.М., Скачков Н.Б. Трехмерная формулировка релятивистской проблемы двух тел. ЭЧАЯ, 1972, т.2, вып.З, с.635-690.

57. Матвеев М.Д., Мир-Касимов РЛ., Скачков Н.Б. Квазипотенциальное уравнение для частиц со спином 1/2 в конфигурационном представлении и релятивистские шаровые спиноры. Дубна, 1970. - 20 с. (Сообщ./ОШИ: Р2-5605).

58. Боголюбов Д.Н. Уравнения для связанных состояний (кварков)-ЭЧАЯ, 1972, т.З, вып.1, с.144-174.

59. Skachkov N.B. Spin structure of interaction of two relativistic particles in one-meson exchange model. -Дубна, 1973. 33 с. (Сообщ./0ИЯИ:Е2-7159).

60. Skachkov N.B., Solovtsov I.L. Quasipotential equation for two particle. 26 с (Сообщ./0ИЯИ:Е2-10260), Дубна, 1976.

61. Душенко В.Ф. Новые мезоны и квазипотенциальный подход Изв. АН Молд. ССР (Сер.физ.-техн. и мат.н.), 1978, № 2, с.85-86.

62. Боголюбов П.Н. Метод когерентных состояний и кварковая модель. -Дубна, 1971. 44 с. (Сообщ./ОШИ: Р2-5684).

63. Скачков Н.Б., Соловцов И.Л. Описание спектра масс и траекторий Редае мезонов на основе релятивистского двухчастичного квазипотенциального уравнения. ЯФ, 1980, т.31, №5, с .1332-1341.

64. Grotch Н., Yennie D.R. Effective potential model for calculating nuclear corrections to the energy levels of hydrogen. -Rev. Mod. Phys., 1969, vol.41, no.2, p. 350-374.

65. Gross F. Three-dimensional covariant integral equations for low-energy systems. Phys. ReV., 1969, vol. 186, no. 5, p. 1448-1462.

66. Дульян Л.С., Фаустов Р.Н. Модифицированное уравнение Дирака в квантовой теории поля. Дубна, 1974. - 18 с. ил. (препринт/ ОШИ: Р2-7995).

67. Фаустов Р.Н. Связанная система двух частиц в квантовой электродинамике. Лэмбовский сдвиг уровней энергии. Дубна, 1974.35 с. (Лекции для молодых ученых/ ОШИ: 8246, вып.1).

68. Тавхелидзе А.Н. Квазипотенциальный метод в квантовой теории поля. Международная зимняя школа теоретической физики при ОШИ. Курс лекций, тЛ, с.66-79. Дубна, 1964.

69. Bethe Н.A. The Electromagnetic shift of energy levels. -Phys. Rev., 1947, vol. 72, no 4, p. 339-341.

70. Salpeter E.E. Mass Gorretions to the Pine Structure of Hydrogen-Like Atoms. Phys. Rev., 1952,vol. 87, no. 2, p. 328 - 343.

71. Pulton Т., Martin P.O. Two-body system in quantum Electrodynamics. Energy Levels of Positronium. Phys. Rev., 1954, vol. 95, no. 3, p. 811-822.

72. Drell S.D., Zachariasen P.H. Electromagnetic structure of nucleons. London: Oxford Univ. Press, 1961. - 118 pp., ill., 12sh, 6d.

73. Фаустов P.H. Квазипотенциальный метод в задаче о связанныхсостояниях двух частиц. Международная зимняя школа теоретической физики при ОШИ. Курс лекций. тЛ, о.108-1X6. Дубна, 1964.

74. Lautrup В.е., Peterman A., de Rafael Е. Recent development in the comparison between theory and experiments in quantum electrodynamics. Phys. rep. C, 1972, vol. 3, no. 4, p. 193-259.

75. Фаустов P.H. Современное состояние квантовой электродинамики. 117 Международная школа молодых ученых по физике высоких энергий (1980), с.398-411.

76. Erickson G.W. Energy Levels of One-Electron Atoms. J. Phys. and Chem. Ref. Data, 1977, vol. 6, no. 3, p. 831-841.

77. Mohr P.J. Lamb Shift in a Strong coulonb Potential. Phys. Rev. Lett., 1975, vol. 34, no. 16, p. 1050-1052.

78. Pulton T. Karplus R. Bound state corrections in fwo-body systems. Phys. Rev., 1954, vol. 93, no,5, p. 1109-1116.

79. Нюнь'ко H.E., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов P.H. Инфракрасные особенности и сверхтонкое расщепление в позитронии. Дубна, 1973 -13 с. (Сообщ./ ОШИ: Р2-6996).

80. Нюнько Н.Е., Тюхтяев Ю.Н. Квазипотенциальный подход к расчету диаграмм однофотонного обмена с поляризационным оператором. -ТМФ, 1972, т.12, № I, с.56-63.

81. Owen D.A. Fourth-Order polarization Correction to the po-sitronium hyperfine structure. Phys. Rev. Lett., 1973, vol. 30, no. 19, p. 887-888.

82. Barbieri R., Cristillin P., Remmiddi E. Vacuum polarization and positronium ground-state splitting. Phys. Lett.,B, 1978, vol. 43, no. 6, p. 411-412.

83. Barbieri R., Remiddi E. More ^¿Jot terms in positronium ground state splitting.-Phys.Lett.,vol.B65,no 3, p.258-262.

84. Cung Т.К., Pulton T., Repko W.W., Schnitzler D. Complete reduction of fermion-antifermion Bethe-Salpeter equation with static kernel. Ann. Phys., 1976, vol. 96, no 2, p. 261-285.

85. Lepage G.P. Analytic bound state solutions in a relativis-tic two body formalism with applications in muonium and positro-nium. Stanford , 1977. - 45 p. (Preprint/SLAC-PAB- 1900).

86. Lepage G.P. Analytic bound-state solutions in a relativis-tic two-body formalism with applications in muonium and positro-nium. Phys. Rev., 1977, vol. A 16, no 3, p. 863-876,

87. Bodwin G.T., Yennie D.R. Hyperfine structure splitting in positronium and muonium. Phys., Rept., 1978, vol. C43, no 6, p. 267-303.

88. Cung Т.К., Fulton T., Repko W.W., Schaum A., Devoto A. Complete reduction of fermion-antifermion Bethe Solpeter equation with static kernel. II. Ann.Phys., 1976, vol. 98, no. 2, p. 516-552.

89. Cung Т.к., Fulton T., Repko W.W. Gauge invariance of hyperfine structure arising from two-fermion Bethe-Salpeter equation.- Phys. Rev., 1976, vol. A14, no. 2, p. 552-557.

90. Cung ^.K., Fulton T., Repko W.W. virtual annihilation contributions to positronium hyperfine structure. Phys. Lett. B, 1977, vol. 68, no 5, p. 474-476.2,

91. Cung Т.К., Fulton T., Repko W.W. Ordered correlations to the positronium hyperfine structure arising from3~|^ virtual annihilation, Kuovo Cim., 1978, vol. 43A, no. 4, p. 643-657.

92. Feldman G., Fulton T. Gauge invariance of relativistic two-particle bound-state energies. Nucl. Phys., 1980, vol. 1678, no. 2, p. 364-377.

93. Barbieri R., Remiddi E. Solving the Bethe-Salpeter equation for positronium. Nucl. Phys., 1978, vol. 141 B, no. 2, p. 413-422.

94. Buchmillez W., Remiddi E. Radiative corrections to positronium energy levels. Nucl. Phys., 1980, vol. 162 B, no. 2, p. 250-270.

95. Remiddi E. The Bethe-Salpeter equation in QED. Varenna, 2980,. 33p«(Preprint/UGVA DPT 1980-09-260).

96. Yennie D.R. The bound-state problem in QED. Taming the Bethe-Salpeter equation. New York, 1979,- 19p. (Preprint/CLNS -79/4361).

97. Caswell W.E., Lepage G.P. 0( ) corrections in positronium: Hyperfine splitting and decay rate. Phys. Rev., vol. A20, no. 1, p. 36-43.

98. I. Fermi E. Über die magnetischen Momente der Atomkerne. -Z. Phys., 1930, b. 60., h. 5, und 6, S. 320-330.

99. Kroll N.M., Pollack F. Radiative Corrections to the hyperfine structure and the fine structure constant. Phys. Rev., 1961, vol. 84, no. 3, p. 594-595.

100. Kroll N. M., Pollock F. Second-order radiative corrections to hyperfine structure. 1952, vol. 86, no.6, p. 876-888.

101. Karplus R., Klein A., Sehwinger J. Electrodinamic displacement of atomic energy levels. Phys. Rev., 1951, vol. 84, no. 3, p. 597-598.

102. Newcomb W.A., Salpeter B.E. Mass correction to the hyper-fine structure in hydrogen. Phys. Rev., 1955, vol. 97, no. 4, p. 1146-1158.

103. Gidley D.W., Rich A. Tests of QED using hydrogen, muonium and positronium. London, 1981. Atom. Phys. 7: Proc 7th Int.Conf. Cambridge, Mass. 1980, Hew York, p. 313-336.

104. Caswell W.E., Lepage G.P. Hew theoretical prediction of the graund-state hyperfine splitting in muonium. Phys. Rev. Lett., 1978, vol. 41, no. 16, p. 1092-1094.

105. Bodwin G.T., Yennie P.R., Gregorio M. Corrections to the muonium hyperfine splitting of relative order oC^^Me/W^)- Phys. Rev. Lett., 1982, vol. 48, no. 26, p. 1799-1802.

106. Terray E.A., Yenni D.R. Radiative-recoil corrections to muonium hyperfine splitting. Phys. Rev. Lett., 1982, vol. 48, no. 26, p. 1803-1806.

107. Sapirstein J.R., Terrey E.A., Yennie D.R. Radiative-recoil corrections to muonium and positronium hyperfine splitting. -Phys. Rev. D., 1984, vol. 29, no 10, p. 2290-2314.

108. Берестецкий В.Б., Лзяфшиц Е.М., Питаевский ЛЛ. Квантовая электродинамика. М: Наука, 1980. - 704 е., ил.

109. Sehwinger J. Coulomb Green's function. J. Math. Phys., 1964, vol. 5, no. 11, p. 1606-1608.

110. Jaustov R.N. The Dyson equation for the two-particle Greenfunction and the bound state problem. Dubna, 1973» -10 pp., ill. (Comm. of the ЛЖ:Е2-б939).

111. Нюнько Н.Е., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. Структура протона и тонкое расщепление в атоме водорода. Дубна, 1973. - II с. (Сообщ./ ОИЯИ: Р2-7530).

112. Бете Г., Солпетер Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами. М.: Физматгиз, I960. - 561 с.

113. Бойкова H.A., ТЬхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. Поправки к сверхтонкому расщеплению основного уровня мюонш относительного порядка с*6 оС • Проблемы физики высоких энергий и квантовой теории поля. T.I, c,II6-I27, Протвино, 1983.

114. Нюнько Н.Е., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. Сверхтонкое расщепление основного уровня позитрония с точностью до

115. Проблемы физики высоких энергий и квантовой теории поля, т.1, c.I04-II5, Протвино, 1983.

116. Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. -М.: Наука, 1969 624 с.

117. Левченко H.A., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. 0 кулоновском взаимодействии в позитронии с точностью до шестого порядка поо( ЯФ, 1980, т.32, вып.6 (12), с.1656-1662.

118. Тюхтяев Ю.Н. Учет эффектов связанности в аннигшшционном канале взаимодействия в позитронии. В кн.: Вопросы теоретической и ядерной физики. Межвуз. научн. сб., вып.7. Изд-во Сарат.ун-та, 1980, с.77-85.

119. Fierz M. Zur fermischen Theorie des -Zerfalls. Zeitschrift für Physik, 1937, b. 104, Siebentes und achtes heft,1. S. 555-565.

120. Нюнько H.E., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов P.H. Исследование некоторых логарифмических вкладов ^ в сверхтонкое расщепление основного уровня позитрония. -ЯФ, 1979, т.30, выл.2 (8), с.457-464.

121. Lepage G.P. Two-body bound states in quantum electrodynamics. Ph.Dissertation - Stanford, 1978. -74 p.

122. Тюхтяев Ю.Н., Нюнько H.E. Аналитические свойства вершинной части третьего порядна в случае несвободных внешних концов.-В кн.: Вопросы теоретической и ядерной физики. Межвуз. научн.сб., вып.5. Изд-во Сарат.ун-та, 1976, с.71-77.

123. Тюхтяев Ю.Н. Учет эффектов связанности в позитронии. -ЖФ, 1978, т.36, №2, с.264-270.

124. Левченко H.A., Нюнько Н.Е., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. Анализ логарифмического вкладаот диаграммы однофотонного обмена в позитронии. Дубна, 1979. - 12 с. (Сообщ./ОИЯИ: P2-I2355).

125. Бойкова H.A., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. Расчет поправок порядка dL* Ум в сверхтонкое расщепление основного уровня позитрония от диаграмм прямого канала. Дубна, 1981. - 7 с. (Сообщ./ОШИ: Р2-81-582).

126. Тюхтяев Ю.Н. Новый метод учета кулоновского взаимодействия в квазипотенциальном подходе Логунова-ТаЕхелидзе. ТШ>, 1982, т.53, $3, с.419-428.

127. Williams B.R., Olsen Р.Т. Hew measurement of the proton giromagnetic ratio and the derived value of the fine-structure7constant accurate to apart in 1.10 Phys. Rev. Lett., 1979, vol. 42, no. 24, p. 1575-1579.

128. Kinoshita Т. Recent development of quantum electrodynamics. In: Proc. of the 19th International Conference on High Energy Physics, Tokyo (1978) p. 571-577, printed by International Academic Print. C°, Ltd, Japan, 1979.

129. Градштейн И.О., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. -1108 с.