Итерационные методы Монте-Карло для оценки критических значений параметров уравнения переноса частиц с размножением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РГ 5 Ой

1 * АПР 1398

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ГЕОФИЗИКИ

На правах рукописи УДК 519.245:519.676

Лотова Галия Зуфаровна

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ МОНТЕ-КАРЛО ДЛЯ ОЦЕНКИ КРИТИЧЕСКИХ ЗНАЧЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ЧАСТИЦ С РАЗМНОЖЕНИЕМ

01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

НОВОСИБИРСК - 1998

Работа выполнена в Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ Михайлов Геннадий Алексеевич

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

Дробышевич

Валерий Игнатье-

Савельев Лев Яковлевич

Ведущая организация

у а

Защита состоится "..Я.......

член-корреспондент РАН, профессор,

Институт вычислительной математики

и математической геофизики СО РАН

доктор физико-математических наук,

профессор,

Институт вычислительной математики

и математической геофизики СО РАН

- кандидат физико-математических наук, доцент, Институт математики СО РАН

- Институт теплофизики СО РАН

/5

.^.У^'/!^'...... 1998 г. в час. на заседании.

специализированного совета К 002.10.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН

по адресу: 630090, Новосибирск 90, просп. Академика Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки ИВМ и МГ СО РАН (пр. Академика Лаврентьева, 6).

Автореферат разослан "А?..." 1998 г.

Ученый секретарь специализированного совета д.ф.-м.н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Необходимыми элементами при проектировании, запуске и эксплуатации ядерных реакторов являются математическое моделирование и численный расчёт происходящих в реакторе процессов. Одним из направлений вычислений является расчёт критического состояния реактора. Смысл его заключается в подборе таких составляющих активной зоны, при которых работа реактора будет идти в стационарном (критическом) режиме. В математических терминах это эквивалентно решению задачи на собственные значения для уравнения переноса нейтронов и подбору соответствующих коэффициентов уравнения. Наиболее используемыми являются собственные значения, которые известны как эффективный коэффициент размножения нейтронов &Эфф и временная постоянная г*. Среди методов решения таких задач существенное место занимает метод Монте-Карло (метод статистического моделирования). Главным его достоинством является сравнительная простота решения многомерных задач и задач со сложной геометрией, а также оценивание различных функционалов от решения уравнения переноса на одних и тех же траекториях. В частности, метод Монте-Карло эффективен для решения задач теории переноса в случайных средах. Известно, что в реакторах могут происходить процессы, легко ассоциируемые со случайно-неоднородной средой, а именно, кипение жидкости и вибрация твёрдотельной части конструкции.

В статистическом моделировании основным методом вычисления &эфф является метод поколений и его модификации. Для нахождения т* используются различные методы, в частности, интерполяция функции кэфф(т) (Агэфф(г) = 1 при т = г*). Кроме того, распространён метод, связанный с вычислением времени жизни мгновенных нейтронов. Недавно появился новый метод (специальный итерационный метод), основанный на вычислении параметрических производных линейных функцио-

налов от плотности потока нейтронов. Он позволяет находить &эфф и т* независимо друг от друга, а также использовать метод "двойной рандомизации". Последний даёт уменьшение трудоёмкости вычислений при моделировании процесса переноса в случайной среде.

В диссертации разрабатываются алгоритмы вычисления математических ожиданий Е&Эфф, Ет* и дисперсий 0&Эфф и От* для сред со случайной плотностью.

Основные цели работы.

• Разработка алгоритмов вычисления ЕА;Эфф, Ег*, Б&эфф и Бг* методом Монте-Карло для сред со случайной плотностью.

• Реализация этих алгоритмов для моделей однородной и неоднородных случайных сред.

• Тестирование разработанных алгоритмов с помощью диффузионного приближения и простых вероятностных моделей.

• Построение алгоритмов для вычисления критических значений параметров осреднённых решений.

Научная новизна и практическая ценность. Впервые разработаны алгоритмы, реализующие, в рамках метода Монте-Карло, специальный итерационный метод расчёта &Эфф и г* для неслучайных сред и Е&Эфф, Ет*, ШЭфф и Бг* для ряда модельных случайных сред. Получены формулы осреднения констант уравнения переноса. При этом осреднение проводится как по пространству, так и по реализациям случайной среды. Разработаны алгоритмы вычисления критических значений параметров осреднённых решений.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Предложенные алгоритмы ориентированы на дальнейшие исследования поведения /гЭфф и т* в сложных случайных средах. Поскольку кэфф и г* являются основными параметрами

при расчете реакторов, а случайные среды изучаются с помощью методов статистического моделирования, то результаты диссертации можно считать определённым вкладом в теорию и практику методов Монте-Карло.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинарах Отдела статистического моделирования в физике ВЦ СО РАН, на конференциях молодых учёных ВЦ СО РАН (1995-97 гг.), на 2-ом международном семинаре "Математические методы в стохастическом моделировании и планировании эксперимента" в С.Петербурге (1996 г.), на семинаре Лаборатории теории и методов расчёта реакторов под руководством Коробейникова В. В. (ГНЦ РФ ФЭИ, Обнинск, 1998).

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, содержащих 11 разделов, приложения, заключения, списка литературы из 41 наименования. Объём работы - 83 машинописных страницы, включая 17 таблиц и 9 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даётся обзор литературы по изучаемым в диссертации вопросам, краткое содержание диссертации по главам, приведён перечень положений, выносимый на защиту.

Первая глава посвящена исследованию специального итерационного метода в однородной неслучайной среде.

В разделе 1.1 вводится односкоростное уравнение переноса; даются основные определения, связанные с теорией переноса, в частности, определение &Эфф и г*; формулируется специальный итерационный метод, основанный на соотношениях типа

mJ^-^^o) ,

lim -rt w \- — f1 ~ 1*0-

Здесь J^"1) - параметрические производные некоторого функционала от плотности потока, //о - некоторое значение параметра /í, а р* - его искомое значение (г* или 1/&Эфф).

В разделе 1.2 вводится интегральное уравнение, эквивалентное уравнению переноса, и приводится описание метода Монте-Карло для нахождения функционалов J и их параметрических производных. Здесь же выводится условие конечности дисперсии для "оценки по столкновениям" и соответствующих оценок производных.

В разделе 1.3 исследуется сходимость метода на модельном примере. При этом производные вычисляются с помощью улучшенного диффузионного приближения.

В разделе 1.4 оптимизируется специальный итерационный метод, т.е. находятся такие значения ро и вид функционала J, которые обеспечивают достаточно малую трудоёмкость алгоритма метода Монте-Карло и в то же время быструю сходимость итерационного процесса. Оказывается, что оптимальное значение ро, с одной стороны, должно быть как можно ближе к р.*, и, с другой стороны, удовлетворять условию конечности дисперсии. Оптимальным значением J является линейный функционал от собственной функции однородного уравнения переноса.

Во второй и третьей главах рассматриваются случайные среды с макроскопическими сечениями деления Е/ = />Ё/, рассеяния Es = pf^s и полным сечением взаимодействия Е = />Е. Здесь Е/, Es и Е - неслучайные величины, а р — случайное поле. Во второй главе разрабатываются методы оценки Е&Эфф, Ег*, Б^эфф и Dt*, не связанные с вычислением производных по случайному параметру. (Здесь математические ожидания и дисперсии берутся по реализациям случайной среды).

В разделе 2.1 с помощью улучшенного диффузионного приближения исследуется поведение Е&эфф, Ег*, Ш'эфф и Dr* для простейшей однородной среды в виде шара. Случайная величина р здесь равномерно распределена в некотором интервале

(1 - е, 1 + е). Обнаружено, что если усреднённая среда близка к критической, то Ег* < г*(1) и Е&Эфф < &Эфф(1)- Здесь г*(1) и кэфф(1) - соответствующие критические значения параметров для усреднённой среды. Замечено также, что для подкритической системы неравенство может поменять знак: Е&эфф > АЭфф(1).

В разделе 2.2 рассматривается метод Монте-Карло, основанный на специальном итерационном методе. Этот метод предполагает оценку величин вида Е/1* соответственно формуле

Е

Такое математическое ожидание дроби можно искать, вычисляя достаточно точно для каждой реализации среды отношение

и осредняя затем полученные величины. В диссертации предлагается менее трудоёмкий метод. Суть его заключается в разложении дроби в ряд Тейлора и вычи-

слении величин вида E[(J(m-1)),(7(m'),] при неотрицательных значениях I и ] эффективным "методом двойной рандомизации" . Здесь же получены условия сходимости ряда, сформулированные в виде Леммы.

В разделе 2.3 строятся формулы осреднения констант ин-тегро-дифференциального уравнения переноса. Собственными значениями уравнения переноса с соответствующими ос-реднёнными константами являются искомые величины Ег* и Е£Эфф- Здесь также приводится простой способ приближённого вычисления Ег* и Е&Эфф, основанный на упрощённых формулах осреднения констант.

В разделе 2.4 рассматриваются алгоритмы вычисления критических значений параметров осреднённых решений, т. е. таких значений параметров неоднородного уравнения переноса частиц в ограниченной стохастической среде, для которых

математические ожидания решений обращаются в бесконечность. Из утверждения, доказанного в этом разделе видно, что если плотность распределения случайной величины р равна нулю вне конечного интервала (а, Ь],отличнаот нуля и непрерывна во внутренней окрестности точки Ь, т. е. в интервале (Ь—6, Ь], 6 > 0, то критические значения параметров осреднённых решений имеют вид к = кЭфф(Ь), т = т*(Ь).

В разделе 2.5 построены и апробированы простые вероятностные модели односкоростного процесса переноса частиц, связанные с эффективным пространственным осреднением вероятности вылета частиц из ограниченной среды.

В третьей главе исследуются методы, связанные с разложением величины р в ряд Тейлора по случайному р:

М = /*Ы + ¿{ро){р ~ ро) + ^"Ы(/> - Ро)2 + ....

Производные р,' и р" вычисляются несколькими способами методом Монте-Карло. Кроме того, рассматриваются среды, состоящие из конечного числа однородных частей, в каждой из которых значения р выбираются независимо. В этом случае разложение р в ряд выглядит сложнее, а производные вычисляются по каждому из независимых значений параметра р.

В разделе 3.1 исследуются алгоритмы вычисления производных от кэфф, основанные на методе поколений с постоянным числом точек. Один из них заключается в применении формул: Рп+1 = Ар„, кэффр = Ар, и (ч*>А'р) у, (Ч*>л"Р) , ц

где А - интегральный оператор, действующий в пространстве плотностей обобщённых мер; рп(х) и рп+х(х) - плотности числа нейтронов деления в поколениях с номерами п и п + 1; р - собственная плотность; д* - собственная функция оператора А*, сопряжённого к А. Вычисления производных по р показали,

что ¿2 ж &эфф- На основе метода Келлога получено соотношение

«—2

¿2к1эфф(я\А'АмА'р)

,1=0__2(г' 1)

Кфф(9*>Р) кэфф

которое позволяет оценить 62.

В разделе 3.2 разработаны алгоритмы вычисления специальным итерационным методом производных от А;Эфф и г* по р, т. е. построены формулы для соответствующих весов в "оценке по столкновениям".

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты диссертационной работы.

1. Получены начальные значения параметров и вид функционала, обеспечивающих быструю сходимость специального итерационного метода при достаточно малой трудоёмкости.

2. Разработаны алгоритмы вычисления ЕАЭфф, Ег*, ШЭфф и Бг*, основанные на специальном итерационном методе.

3. Построены формулы осреднения констант уравнения переноса. При этом осреднение проводится как по пространству, так и по реализациям случайной среды.

4. Разработаны алгоритмы вычисления критических значений параметров осреднённых решений.

5. Построены и апробированы простые вероятностные модели односкоростного процесса переноса частиц.

6. Исследованы алгоритмы метода Монте-Карло для вычисления производных от &эфф и г* по случайным параметрам среды. При этом получена формула для аппроксимации величины ¿2, возникающей при вычислении параметрических производных методом поколений.

7. Осуществлена численная реализация предложенных алгоритмов для шара с неслучайной плотностью и для однородного и неоднородного шаров со случайными значениями плотности.

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю чл.-корр. РАН Г. А. Михайлову за постоянное внимание и руководство работой, д.ф.-м.н. В. В. Смелову за стимулирующее обсуждение некоторых вопросов, а также к.ф.-м.н. О.Б. Тарасовой за полезные замечания и обсуждение работы.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Lotova G.Z. Calculation of time constant of particle breeding by Monte Carlo method using parametric derivatives // Bull. Nov. Сотр. Center, Num. Anal. - 1993. - Vol. 4. - P. 27-34.

2. Лотова Г.З. Вычисление временной постоянной размножения частиц методом Монте-Карло с использованием параметрических производных // Тр. ВЦ СО РАН. Сер. Вычислительная математика. - 1994. - Вып. 2. - С. 47-55.

3. Лотова Г.З. Вычисление некоторых критических значений параметров уравнения переноса частиц // Тр. конф. молодых учёных. Новосибирск - 1995. - С. 125-136.

4. Lotova G. Z. Optimization of Monte Carlo calculations of critical parameters for transfer equation // Proceedings of the Second International Workshop on Mathematical Methods in Stochastic Simulation and Experimental Design, St.Peterburg, 1996. - P. 95-100.

5. Лотова Г.З. Оптимизация вычислений критических параметров уравнения переноса методом Монте-Карло // Тр. ВЦ СО РАН. Сер. Вычисл. математика. - 1996. -Вып. 4. - С. 65-73.

6. Лотова Г.З. Исследование флуктуаций эффективного коэффициента и временной постоянной размножения частиц в стохастической среде // Тр. конф. молодых учёных. Новосибирск - 1996. - С. 53-63.

7. Лотова Г.З., Михайлов Г.А. Критические значения параметров процесса переноса частиц с размножением в стохастической среде. - Новосибирск, 1997. - 30с. - (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. ВЦ; 1092).

8. Михайлов Г.А., Лотова Г.З. Оценки вероятностных моментов критических значений параметров уравнения переноса частиц в стохастической среде // Докл. РАН. -1997. - Т. 356, № 2. - С. 166-169.

9. Lotova G.Z., Mikhailov G.A. Critical values of parameters of the particle transfer process with multiplication in stochastic medium // Russ.J.Numer.Anal.Math.Modelling, Vol. 12, № 5, pp.443-460 (1997).

10. Лотова Г.З. Оценки математических ожиданий эффективного коэффициента и временной постоянной размножения частиц методом Монте-Карло // Тр. конф. молодых учёных. Новосибирск - 1997. - С. 119-126.