К нелокальной теории обобщенных энтропийных решений квазилинейных гиперболических уравнений первого порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ _имени М.В.Ломоносова_

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.95

ПАНОВ ЕВГЕНИЙ ЮРЬЕВИЧ

К НЕЛОКАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ЭНТРОПИЙНЫХ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО

ПОРЯДКА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва-1998

Работа выполнена на кафедре математического анализа Новгородского государственного университета имени Ярослава Мудрого.

Научный консультант: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор

С.Н.Кружков

доктор физико-математических наук, профессор В.А.Галкин, доктор физико-математических наук, профессор А.А.Злотник, доктор физико-математических наук, профессор А.В.Фурсиков. Математический институт им. В.А. Стеклова РАН.

Защита диссертации состоится " " ЪсьсиЛ__ 1998 г.

в 16 час. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу:

119899, ГСП, Москва, Воробьевы Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24 (имени И.Г. Петровского). С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ ( Главное здание, 14 этаж ).

Автореферат разослан " .5" " /ИО.Л,_ 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ,

профессор

Т.П.Лукашенко

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одним из основных вопросов теории обобщенных решений ( о.р.) задачи Коши для квазилинейных уравнений первого порядка

<р(и) = (<Pi,... ,<рп), и = u(t,x), (t,z) еП = К+хК™, М+ = (0,-foo)

является, описание классов существования и единственности решений при различных предположениях о начальных данных и вектор-функции потока <р(и).

Построение нелокальной теории о.р. задачи (1), (2) для гладких функций потока было начато в 50-х годах нашего века в работах Э.Хопфа, П.Лакса, О.А.Олейник, А.Н.Тихонова, А.А.Самарского, И.М.Гельфанда, О.А.Ладыженской, А.С.Калашникова, С.К.Годунова, Б.Л.Рождественского и других, где в основном изучался случай п — 1. Вопросы разрешимости задачи Коши для многомер ных квазилинейных уравнений в классах BV исследовались позднее А.И.Вольпертом.

Общая теория этой задачи в классе измеримых ограниченных функций была построена С.Н.Кружковым в конце 60-х годов. В работах [1,2] введено понятие обобщенного энтропийного решения ( о.э.р. ) задачи Коши (1), (2) и, в гладком случае <pi £ С1 (К), установлены его существование, единственность, свойства непрерывной зависимости от начальных данных.

В последующих работах [3-5] было положено начало исследованию общего случая лишь непрерывных функций потока <рг, когда может наблюдаться нехарактерный для гиперболических уравнений эффект бесконечности области зависимости решения от начальных данных. Как было показано позднее (см. [6]), этот эффект в многомерном случае п > 1 может приводить к неединственности

[1] С.НКружков// ДАН СССР. 1969. Т. 187. № 1. С. 29-32.

[2] С.Е.Кружков// Мат,сборник. 1970. Т. 81. № 2. С. 228-255 [3] С.Н.Кружков, Ф.Хилъдебранд// Вестник Моск. ун-та. 1974. № 1. С. 93-100 [4] С.П.Кружков, П.А.Андреян'ов// ДАН СССР. 1975. Т. 220. № 1. С. 23-26. [5] Ph BenilanЦ These de Doctorat d'Etat. Centre d'Orsey. Université de Paris-Sud 1972. [6] C.B.Кружков, Е.Ю.Панов// ДАН СССР. 1990. T. 314. № 1. С. 79-84.

ut + di vxip(u) = 0,

(1)

с начальным условием

u(0,z) - щ{х)

(2)

о.э.р. задачи (1), (2). Поэтому, одной из главных проблем нело кальной теории задачи (1), (2) в рассматриваемом случае являето выявление достаточных ( и необходимых ) условий единственно сти о.э.р. Представляет интерес также исследование качественны? свойств о.э.р. Ряд нерешенных проблем сохранился и в "класси ческом" случае, когда п = 1 и функция потока </? выпукла, напри мер, проблема единственности о.р., удовлетворяющего одному эн тропийному условию со строго выпуклой энтропией (см. СПИС01 нерешенных задач теории дифференциальных уравнений в [7]).

В течение 80-х годов сформировался ряд серьезных новых подхо дов к исследованию законов сохранения вида (1), в основном бла годаря усилиям JJ.Тартара, Ф.Мюра, Р.ДиПерна ( [8-10] ) и др. развившим концепцию компенсированной компактности и опреде лившим ее применение в теории уравнений с частными производ ными. В этом направлении оказалась полезной идея дальнейше го расширения класса решений и рассмотрения ( см. [11] ) ме розначных решений (коротко - м.р.), являющихся отображениями (t,x) —> vt:x со значениями в пространстве вероятностных мер на прямой M ( мерозначными функциями ). М.р. включают в ce6í "обычные" о.э.р., а также пределы в слабой топологии пространства мерозначных функций ограниченных в L°° последовательностей, возникающих при разумной регуляризации исходной задачи - например, при использовании метода "исчезающей вязкости" Кроме того, эти решения допускают естественную вероятностную интерпретацию. Наибольший интерес представляет исследование задачи Коши для уравнения (1) с мерозначными, в общем случае начальными данными:

= vi (3)

В работе [12] дальнейшее развитие получили результаты, связанные с кинетической формулировкой о.э.р. задачи (1), (2). В этом направлении актуальны исследования по кинетической формулировке м.р., в том числе разработка на ее основе аппроксимационных методов.

[7] С.Н.Кружков и др.// УМН. 1989. Т. 44. № 4. С.191-202. [8] L.Tartar// Research notes in mathematics, nonlinear analysis, and mechanics. Heriot-Watt Symposium. 1979. V. 4. P. 136-212. [9] F.Murat// Ann. Scuola Norm. sup. Pisa. 19T8. V. 5. P. 489507. [10] R.J.DiPerna/f Trans. Amer. Math. Soc. 1985. V. 292. P. 383-420. [11] R J.DiPernaj/ Arch. Rational Mech. Anal. 1985. V. 88. P,223-270. [12] P.L.Lions, B.Perthame, E.Tadmor// J. Amer. Math. Soc. 1994. V. 7. N 1. P. 169-191

Для консервативных гиперболических систем квазилинейных уравнений построение нелокальной теории обобщенных решений находится в стадии развития.

Начиная с 50-х годов ( P.D.Lax [13] ) наиболее интенсивно изучался случай строго гиперболических истинно нелинейных систем, для которых было определено понятие о.р. и доказано существование о.р. задачи Римана о распаде "малого" разрыва. На базе этого результата J.Glimm в [14] доказал существование о.р. в случае начальных данных из пространства BV, имеющих достаточно малую норму. До сих пор теорема Глимма является единственным сравнительно общим результатом о существовании о.р. Различные варианты схемы Глимма рассматривались позднее во многих работах ( A.Bressan, T.P.Liu и др. ). Единственность о.р. установлена лишь в некоторых частных случаях ( A.Bressan, R. M.Colombo, R.J.DiPerna, P.G.LeFloch, Z.-P.Xm ). В последнее десятилетие получен ряд результатов, связанных с построением о.р. методом компенсированной компактности ( G.-Q.Chen, R.J.DiPerna, P.L.Lions, B.Perthame, E.Tadmor, B.Rubino, D.Serre ), касающихся в основном случая систем двух уравнений. Большое число работ посвящено исследованиям м.р. для систем законов сохранения, а также более общих функциональных решений, содержательная: теория которых разработана В.А.Галкиным (см. [15]).

Актуальной остается проблема построения удовлетворительной ( с существованием и единственностью ) теории обобщенных решений задачи Коши - по крайней мере для некоторых, нетривиальных классов, гиперболических систем законов сохранения.

Цель работы. 1) Исследование задачи Коши (1), (2) в классах ограниченных измеримых и мерозначных функций в общем случае лишь непрерывных функций потока.

2) Изучение топологических свойств множеств м.р.

3) Кинетическая формулировка м.р., разработка на ее базе ап-проксимационных методов.

4) Построение нелокальной теории задачи Коши для специальных классов гиперболических систем законов сохранения.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Укажем наиболее важные из них.

1) В случае одной пространственной переменной для квазилинейного уравнения первого порядка со строго выпуклой функцией

[13] P.D.Lax// Comm. on part, diff equat. 1957. V.10. P537-566 [14] J. Glimm// Comm. Pure Appl. Math 1965. V. 18. P 695-715. [15] B.A Галкин// ДАН СССР. 1990. T. 310. № 4. С. 834-839.

потока дано положительное решение сформулированной в [7] проблемы единственности обобщенного решения задачи Коши, которое удовлетворяет одному энтропийному условию с некоторой фиксированной строго выпуклой энтропией.

2) Основные результаты нелокальной теории задачи Коши перенесены на случай квазилинейных уравнений на гладком многообразии (возможно - с краем).

3) В общем случае лишь непрерывных функций потока 9доказано существование о.э.р. задачи (1), (2) и найдено новое достаточное условие его единственности. Показано, что найденное условие является при п — 2 точным для широкого класса уравнений.

4) Установлен результат о невозрастании с ростом "времени" .У-норм по пространственным переменным (точнее - их мерознач-ных аналогов) для м.р. задачи (1), (3); выявлено новое достаточное условие регулярности м.р. задачи (1), (3) с регулярными начальными данными. Показано, что в случае нерегулярных начальных данных м.р. нерегулярно и неединственно.

5) Введено понятие сильного м.р. задачи (1), (3), доказаны теоремы существования и единственности сильного м.р., исследованы свойства множества сильных м.р.

6) Для невырожденного уравнения вида

сЦух<р(и) + ф^х^и), и = и(х), х £

где О. - область в К" , установлена сильная предкомпактностъ ограниченных множеств м.р.

7) В случае гладких функций потока дана кинетическая интерпретация м.р. и сильных м.р., на базе которой построена аппрокси-мационная схема и обоснована ее сходимость.

8) Построена нелокальная теория о.э.р. задачи Коши для специального класса гиперболических систем законов сохранения, определенных на вектор-функциях со значениями в пространствах симметричных (или эрмитовых) матриц. В случае матриц 2-го порядка введено понятие сильного о.э.р., доказано его существование и единственность. Установлено, что при достаточно общих ограничениях на начальные данные сильное о.э.р. может быть получено методом "исчезающей вязкости".

Методы исследования. При исследовании общего случая лишь непрерывных функций потока используется метод аппроксимации непрерывных нелинейностей гладкими, для обоснования сходимости получающейся последовательности применяется техника апри-

орных оценок. Разработаны методы, связанные со специальным выбором энтропии и пробных функций. Исследование квазилинейных уравнений первого порядка на многообразиях основывается на технике трубчатых окрестностей. В случае двух независимых переменных оказывается полезным метод перехода к потенциалам. Кроме того, в диссертации используются и развиваются такие методы нелинейного анализа как метод компенсированной компактности, метод .Я-мер Тартара и др. В частности, предложенный автором метод Н - мер с "непрерывными" индексами перспективен для исследования нелинейных уравнений различной природы.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер, ее результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по нелокальной теории обобщенных решений квазилинейных уравнений первого порядка и гиперболических систем таких уравнений. Кроме того, полученные результаты могут быть полезны при решении ряда прикладных задач. Так, в 5-й главе рассмотрены приложения теории сильных обобщенных энтропийных решений к некоторым задачам магнитогидродинамики и хроматографии.

Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях, проводимых в МИРАН, Московском, Санкт-Петербургском, Новосибирском университетах, в МЭИ, ОИАЭ (Обнинск), а также в других университетах и математических институтах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах.

МГУ, механико-математический факультет: семинар под рук. академика О.А.Олейник (неоднократно), семинар под рук. проф. С.Н.Кружкова (неоднократно), семинар под рук. проф. А.В.Фурсикова; МИРАН им. В.А.Стеклова: семинар под рук. проф. В.П.Михайлова, проф. А.А.Дезина, проф. А.К.Гущина; МЭИ: семинар под рук. проф. Ю.А.Дубинского; С.-Петербургское отделение МИРАН им. В.А.Стеклова: семинар под рук. академика О.А.Ладыженской; институт ЭгТАЮ Венгерской академии наук (Будапешт): семинар под рук. профессора Р.Керснера; Новгородский гос. университет: семинар под рук. проф. А.П.Солдатова (неоднократно).

Результаты диссертации докладывались также на следующих научных конференциях.

Международный математический конгресс (Цюрих, 1994 г.); совместные заседания семинара им. И.Г.Петровского и ММО (МГУ, 1994, 1995, 1998 гг.); 3-й международный конгресс по индустр. ипри-

клад, математике (Гамбург, 1995 г.); международная конференция и Чебышевские чтения, посвященные 175-летию со дня рождения П.Л.Чебышева (Москва, 1996 г.); международная конференция по нелинейным дифференциальным уравнениям (Киев, 1995 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 21 работе автора, список которых приведен в конце автореферата; среди них 2 работы написаны в соавторстве со С.Н.Крул<ковым.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 254 страницах машинописного текста, состоит из введения и пяти глав, разбитых на 20 параграфов. Список литературы содержит 123 наименования.

Обзор содержания диссертации

Во введении приводится обзор исследований, связанных с темой диссертации и дается краткое изложение ее содержания.

В 1-й главе доказываются некоторые новые результаты теории о.э.р. задачи (1), (2) в общем случае лишь непрерывных функций потока.

Определение 1.1. (С.Н.Кружков, [1-2]). Ограниченная измеримая функция и = u(t,x) называется о.э.р. задачи (1), (2), если:

a) Ук £ К

\и - k\t + divE[sign(u - к)((р(и) - ср(к))} <0 • (4)

в смысле распределений на П ( в 7}'(П) );

b) ess limii(i, •) = щ в Х/1ос(1йп'), то есть существует множество

£—* 0+

нулевой меры Лебега £cft+ такое, что u{t, •) £ Lj0C(Mn), t £ £ и u(i, •) -> щ в Ljoc(Rn) при t 0+ , t££.

Известно, что условие (4) эквивалентно условию: для любой выпуклой функции г](и) £ Сг(Е) ( энтропии )

r,(u)t +div^(tt) < 0 в 7}'(П),

где ф(и) — (i>i(u),... ,грп(и)) - соответствующий вектор потока энтропии, определяемый равенством:

¡•и

■ф(и) = Г)'{и)ч>{и) - / cp(a)di(a) Jo

( так что в гладком случае <р(и) £ Сг(М,Кп) поток ф(и) определяется, с точностью до аддитивной константы, равенством: ■ф'(и) = V'Ш(и) ).

Из (4) при к — ±||«||оо следует, что ut + divx(p(u)= 0 в Р'(П) и u(t,x) удовлетворяет уравнению (1) в смысле распределений ( то есть действительно является обобщенным решением ).

В § 1 доказано существования о.э.р. задачи (1), (2). Точнее, построено отображение F : Rn) н-> ¿°°(П), сопоставляющее начальным данным и0 о.э.р. Р(и0) = и = u(t,x) задачи (1), (2), так, что выполнены свойства:

Fl) если и0(х) < vo(x) п.в. на Мп и и = F(u0), v = F(v0), то u(t,x) < v(t,x) п.в. на П ( монотонная зависимость решения от начальных данных );

F2) если и0 - v0 £ L^R"), и - F(u0), v = , то для п.в. i £ К+

верна оценка j ¡it(t,x) — v(t,x)\dx < ||uQ — Woili ( устойчивость решений no L1 -норме ).

В § 2 приводится следующее новое достаточное условие единственности о.э.р.:

- cp,(v)\ < u>i(\u - i/|), г = 1,... ,п, где cj,(r) - субаддитивные функции на , и;,(г) > 0 при г > О,

rui[(r) > ajt(r), с = const > 0. (5)

n

и при £2(г) = ]~| и>,(г) i—1

f rn-2/Ü(r)dr ■= оо. (6)

Jo

Условие (6) аналогично известному условию единственности Остуда. из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Оно слабее полученного ранее в кандидатской диссертации автора условия ( без ограничения (5) )

liminf r1_nQ(r) < оо. (7)

Г-.0+ 4 '

Заметим, что требование (7) всегда выполнено при п — 1. Если wt(r) = const • ra' , то условие (7) (как и условие (6) ) означает, что

«х + ... + ап > п — 1.

Более обще, в § 2 доказано, что при выполнении условий (б), (5) для задачи (1), (2) справедлив принцип сравнения для обобщенных энтропийных суб- и супер-решений ( коротко - о.э.суб.-р. и

о.э.супер.-р. ) задачи (1), (2). Приведем соответствующие определения. Обозначим /+ — тах(/, 0), = тах(—/,0);

Определение 2.1. Ограниченная измеримая функция у^,х) на П называется о.э.суб-р. задачи (1), (2) с начальной функцией г>(0, х) = ио(х), если:

1) Ук £ Ж справедливо неравенство

((у - к)% + Шуя[((« - к)+УМ^) - <Р№)] < О В 2?'(П)

( здесь можно положить ((г) — к)+)'у = sign(гl — к)+ );

2) выполнено предельное соотношение

еэз - у0(х))+ = 0 в ь\ос{К").

Определение 2.2. Ограниченная измеримая функция 1и{Ь,х) на П называется о.э.супер-р. задачи (1), (2) с начальной функцией ги(0, я) = ш0(х), если:

1) Ук 6 II? справедливо неравенство

((ю - к)~)< + <Цух[((ю - к)~УМю) - ?>(*))] < 0 в

( здесь можно положить ((го — к)~)'ш = — sign(u» — к)~ );

2) выполнено предельное соотношение

е$з1ш1(и>(*,ж) -ь)0(х))- = 0 в 1ч0С(Мп).

4—»0+

Определение 2.3. Будем говорить, что выполнен принцип сравнения для задачи Коши (1), (2), если для любого о.э.суб-р. ь^,х) и любого о.э.супер-р. задачи (1), (2) из условия г/о (г) < ии0{х)

п.в. на Кп следует, что <ги(£,ж) п.в. на П.

В § 2 также показано, что условие (6) в определенном смысле близко к необходимому. Так, если п — 2 и функции потока удовлетворяют некоторым дополнительным предположениям технического характера, то условие (6) является необходимым и достаточным для единственности о.э.р. задачи (1), (2) с произвольной ограниченной измеримой начальной функцией.

Часть результатов § 2 получена автором совместно со С.Н.Кружковым и включена в диссертацию для полноты изложения.

В § 3 дается положительное решение проблемы единственности обобщенного решения задачи Коши для уравнения щ + ч>[и)х = 0,

4>(и) £ С2(М), <р"(и) > 0, удовлетворяющего одному энтропийному условию т]{и)г + ~ф(и)х < 0 с некоторой строго выпуклой энтропией г](и); ф'(и) = т]'(и)<р'(и). Идея доказательства единственности решения и{Ь,х) заключается в переходе к потенциалу II = [/(С,х), определяемому условиями: иг(1,х) = — <р(и^,х)), 1Гх(Ь,х) = и{^,х) ■ По построению, II удовлетворяет п.в. уравнению Гамильтона-Якоби (74 + У((7Х) = 0 . Основной объем доказательства занимает вывод

оценки ( на основе энтропийного условия для ): Ук > О

= +< С0П5ф.

Известно, что в классе функций, удовлетворяющих оценке указанного вида, задача Коши для уравнения Гамильтона-Якоби разрешима однозначно, откуда и следует единственность решения и(1,х) = 1/х(1,х) исходной задачи.

В § 4 рассмотрены о.э.р. задачи Коши для квазилинейного уравнения на гладком многообразии М

щ + {а{х,и),и) — 0, и—и{1,х), (1,г)бП = М+хМ,

и(0,х) = щ(х) е Ь°°(М).

Здесь и>—>а(х,и), и £ К - параметризованное семейство векторных полей на М, С1-гладкое по совокупности переменных. В локальных координатах хь ... хп а = а'(х,и)~— (по двум одинако-

дхг

вым индексам подразумевается суммирование) и рассматриваемое

уравнение имеет стандартную форму: щ + аг(х,и)-— = 0.

ах%

В § 4 дано инвариантное ( без использования локальных координат ) определение о.э.р. и с помощью техники трубчатых окрестностей доказано, что исходная задача может быть сведена к некоторой "классической" задаче Коши вида (1), (2) в полупространстве х Кп при достаточно большом п € N. Из последнего результата непосредственно вытекают теоремы существования и единственности о.э.р. исходной задачи Коши. Если М - многообразие с непустым краем дМ, предполагается, что поле а{х,и) касается дМ (достаточно гладко) при всех и € К.; в этом случае, рассматривая удвоение многообразия М, исходную задачу легко привести к случаю многообразия без края.

В главах 2-4 продолжено исследование м.р. задачи (1), (3). Понятие мерозначной функции ( синонимы - мера Янга, параметризо-

ванная мера) базируется на понятиях обобщенных кривых и поверхностей, введенных Янгом и Макшейном в 30-х годах нашего века.

Пусть П - некоторая область в . Мерозначная функция на Г2 со значением в Кт - это слабо измеримое отображение х —> их области П в пространство РгоЪо(Кт) вероятностных борелевских мер с компактным носителем на . Слабая измеримость их означает, что \/р(А) е С(МГП) функция х р(\)с11;х(\) измерима на О. Мерозначная функция их называется ограниченной, если существует М > 0 такое, что для п.в. хбИ зирргл,.(А) лежит в шаре ||А||<М. Минимальное из таких М будем обозначать Ц^гЦоо- Наконец, мерозначные функции вида: их(Х) — 6(\ — и(х)), и(х) ( 5(А - и) - мера Дирака в точке и £ К™ ) называются регулярными и отождествляются с соответствующими функциями и(х). Таким образом, имеется естественное вложение ^(ПД771) с МУ(П,Кт), где обозначено: МУ(П,Мт) - множество ограниченных мерозначвых функций на П со значениями в Жт (точнее, множество их классов эквивалентности по отношению равенства п.в. на П).

Определяются (секвенциально) сильная и слабая топологии на МУфД"1):

Определение 5.1. Пусть £ МУ(а,Кт), к £ N; их £ МУ(Г2,Кт). Будем говорить, что

1) последовательность г/* ограничена, если для некоторой константы М > 0 при всех натуральных к Ц^Цоо < М;

2) последовательность г/* сходится к их слабо, если

У/(А)6С(Г) [ /(А)Й1/*(А) / /(А)с^х(А) *-слабо в Ь°°(0);

3) последовательность г/* сходится к сильно, если У/(А)£С(Кт) / /(А)^(А) / /(А)^(А) в ад)-

Мерозначные функции естественно возникают как слабые пределы ограниченных последовательностей из 1/°°(П,Ет) в смысле следующего результата Тартара (см. [8]):

Теорема 5.1. Пусть и^х), к £ N - ограниченная в Мт)

последовательность, Цг^Цоо < М. Тогда существует ограниченная мерозначная функция их £ МУ(П,Кт), Ц^Цс» < М и подпоследовательность иг(%) = щг(х) последовательности и)., такие, что

V/(A) G C(Um)

f{ur) -* I f{\)di>x(\) *-слабо о L°°(Ü)

r^oo JKm

^ то есть последовательность ur сходится к vx слабо в смысле определения 5.1 ); при этом мерозначная функция i/x регулярна: i/x(X) ~ - и), и — и{х) £ ¿°°(Г£,Жт), тогда и только тогда, когда иГ —> и в 1/^(0,Мт) ( сильно ).

В дополнение к теореме 5.1 заметим, что, обратно, любая ограниченная мерозначная функция может быть получена как слабый предел ограниченной последовательности из L00(fl1Rm).

Обобщая утверждение теоремы 5.1, можно также доказать, что любое ограниченное множество в MV(i2,Mrri) слабо предкомпактно.

Мерозначные функции часто используются как вспомогательный объект при применении метода компенсированной компактности для обоснования сильной ( в L}oc ) сходимости последовательности решений, получающейся при аппроксимации исходного уравнения или системы.

Мерозначные решения квазилинейных уравнений и систем естественно возникают при предельном переходе по последовательностям решений аппроксимирующих уравнений или систем. Приведем определение м.р. задачи (1), (3). Обозначим MV(fi) = MV(fü,M) - множество скалярных мерозначных функций на области О,.

Определение 5.2. Ограниченная мерозначная функция vt<x б МУ(П) называется м.р. задачи (1), (3), если:

a) для всех к £ К

Jt fix'- k\dvt>x{X) + dWxfi{<p(\) - ¥?(&))sign(A - k)dvtiX{A)<0 (8) в D'(II);

b) ess lim vti = сильно в MV(Mn).

Легко видеть, что в регулярном случае определение 5.2 согласуется с определением 1.1, то есть функция u(t,x) £ 1/°°(П) является o.a.р. задачи (1), (2) в смысле определения 1.1 тогда и только тогда, когда регулярная мерозначная функция vi>x(\) — 6(А — u(t,x)) является м.р. задачи (1), (3) с регулярной начальной функцией

Переход к м.р. в определенном смысле линеаризует задачу, действительно, определяющее соотношение (8) линейно относительно

(м.р. образуют выпуклое множество в подходящем линейном пространстве). Именно благодаря такой линеаризации, удается использовать "линейные" методы при исследовании задачи (1), (3), связанные, например, с кинетической формулировкой (глава 4) или с применением техники Я-мер Тартара (глава 3).

Можно интерпретировать м.р. как случайное поле ,

где при фиксированном (},х) 6 П значение и(1,х) - случайная величина с распределением . Тогда требование (8) означает, что удовлетворяет условию (4) "в среднем", то есть

Е(\и - + длчхЕ((<р(и) - <р(к)) 5щп{и - к)) <0 в Х»'(П),

здесь Е - знак математического ожидания.

Полагая в (8) к = ±М, где М = Ц^хЦоо , получим, что

^ I А^г(А) + сКу, У ^(А)^А) = 0 в Р'(П),

то есть соответствующее случайное поле и^,х) удовлетворяет уравнению (1) "в среднем".

В § 5 доказан следующий результат о неубывании " 1? - нормы" м.р. по пространственным переменным с ростом Ь-.

Теорема 5.2. Пусть - м.р. задачи (1), (3). Тогда

1) Ур > 1 для п.в. ¿ б К.+

/ I \\\рс1и11Х{\)д.х < [ [\ЦЧи°х{\)с1х] ЛГ J ' Л» и

2) если М = ||г/°||оо, то Ц^Цоо < М, то есть зирр С [-М,М] п.в. па П ( принцип максимума ).

В § 6 устанавливается регулярность м.р. задачи (1), (3) с регулярными начальными данными при выполнении условия (6), (5). Заметим, что из теоремы регулярности немедленно следует, что при выполнении условий этой теоремы о.э.р. задачи (1), (2) единственно. Действительно, если и2^,х) - два различ-

ных о.э.р. задачи (1), (2), то ограниченная мерозначная функция = (¿(А - + 6(А - и2^,х)))/2 является нерегулярным

м.р. задачи (1), (3) с регулярной начальной функцией щ(х), что приводит к противоречию.

Итак, при разумных ограничениях м.р. задачи Коши (1), (3) с регулярными начальными данными также регулярно и, тем самым, является о.э.р. ( при этом, единственным). В этом смысле больший

интерес представляет случай нерегулярных начальных данных I/®. Известно, что м.р. задачи Конш (1), (3) существует, но заведомо неединственно ( даже для простейшего уравнения щ = 0 ), если начальная функция V® нерегулярна. Это обстоятельство побуждает сузить класс допустимых м.р.

В § 7 введено понятие сильного мерозначного решения (коротко -с.м.р. )

Определение 7.1. Ограниченная мерозначная функция называется с.м.р. задачи (1), (3), если для всех Л £ (0,1) функция = ш£{/л | ¡/^((^+оо)) < А} является о.э.р. задачи (1), (2) с начальной функцией А) = шГ{¡м | +о°)) < А } .

Для регулярного м.р. — — и(4,х)) имеем и^,х,Х) —

и(^,х) и является с.м.р. Заметим далее, что при фиксированных (£, ж) бП образ меры Лебега с£А на (0,1) при отображении А н-> и(^,х, А) совпадает с мерой : = г,-)*с?А ( аналогично, = иа(х,-)*с1\ ). Это позволяет представить неравенство (8) в форме

/ х, А) - А;|( + J(¡

А)) - 9?(/с))ш6п(и(1;,2;, А) - /с))]йА < 0. (9)

Таким образом, в определении 7.1 содержится усиление условия (8), а именно требуется, чтобы подинтегральное выражение в (9) было неположительным ( в 2?'(П) ) при всех А £ (0,1). В частности, любое с.м.р. является м.р. в смысле определения 5.2.

Если рассматривать интервал (0,1) как вероятностное пространство ( с вероятностью Р — с1\ ), то функции щ{х) = щ(х>Х), и{Ь,х) = являются случайными полями на, 8" и П с одно-

мерными распределениями и^ и г/<г и ввиду определения 7.1 все траектории и(1,х, А) поля являются о.э.р. задачи (1), (2) с

соответствующими начальными данными щ(х,Х). Другими словами, и(Ь,х) - статистическое решение этой задачи со случайными начальными данными щ(х).

Из однозначной разрешимости задачи (1), (2) легко следует существование и единственность с.м.р. задачи (1), (3). Точнее, справедлива

Теорема 7.1.

a) С. м.р. задачи (1), (3) существует.

b) С.м.р. задачи (1), (3) с постоянной мерозначной функцией

= у постоянно: — и п.в. в П .

с) При выполнении условия единственности о.э.р. задачи Коши (1), (2) с любой ограниченной измеримой начальной функцией ( например, условия (6), (5) ) с.м.р. единственно. <

В § 7 исследуется также поведение последовательностей м.р. ( слабых и сильных ); в частности, установлена сильная замкнутость множества с.м.р.

В 3-й главе диссертации устанавливается сильная предкомпакт-ность ограниченных множеств м.р. ( без начальных ограничений ) для уравнения

divxip(u) + tp(x,u) = 0, (10)

и = и(х), х — (xi,... ,хп) £ П, Q С К" - открытое множество, <р(и) = (<Р\(и),...,<рп (")), функции ipi(u) £ С(к), г = 1,... ,гг; гр(х,и) - ограниченная на любом компакте К С fi х R. борелевская функция.

Предполагается, что выполнено следующее условие невырожденности:

п

£ Rn, £ ф 0 функция и н-v (<p(u),Q = не постоянна

¿=1

ни на каком невырожденном интервале.

Для доказательства основной теоремы мы расширяем в § 8 понятие Я-меры Тартара ( см. [16]), определяя Я-меру ( с "непрерывными" индексами ) по последовательности мерозначных функций.

Пусть £ MV(fl), к £ N - ограниченная последовательность мерозначных функций, слабо сходящаяся к мерозначной функции vi £ MV(f2). Обозначим при % £ Ü, р £ R U${x) = г>((р,+оо)) -1/г((Р>+°°)) • Установлено, что Up(x) —» 0 при к —> оо *-слабо в L°°(f2) для всех р £ Е, где Е С R - множество с не более чем счетным дополнением.

Введем следующие обозначения: F(u)(£), f £ Rn - преобразование Фурье функции и(х) £ L2(R"); S = 5п~г г единичная сфера в Rn ; и I—> й, и € С - операция комплексного сопряжения.

Справедлива следующая теорема, обобщающая результаты JI.Тартара на случай "непрерывных" индексов p,q :

Теорема 8.2. 1) Суш,ествует семейство локально-конечных комплексно значных борелевских мер {р?4}Р,Ч£Е на ft х S и подпоследовательность Ur{x) = {Щ(х)}Р£е , Щ(х) ~ Up(x), k — kT, такие, что

[16] L.Tartar IJ Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. 1990. V. 115A. N 3-4. P. 193-230.

для всех $i(x), Фг(х) £ C0(ii), £ С(5)

lim f

2) Отображение (p,q) н-> непрерывно как отображение Е х Е в в пространство Z(Tl х S1) локально-конечных борелевских мер ц на О, х S с топологией, порожденной полунормами ¡|^||.к- = "Var(/i)(Ä'), К - компакт в Q, х S .

Следуя Тартару, семейство мер {/¿p?}Pii££ будем называть Н-мерой, соответствующей подпоследовательности vrx — , k = кТ.

Техника ii-мер (в частности, принципы локализации, транспортные свойства) представляет собой полезное средство микролокального анализа, перспективное при исследовании уравнений различной природы.

Если i/j - последовательность м.р. уравнения (10), то с использованием результатов § 8, § 9 для соответствующей ii-меры удается установить принцип локализации ( теорема 10.1 ), из которого в невырожденном случае следует, что ßP4 — 0 для всех p,q& Е. Последнее, в свою очередь, эквивалентно основному результату 3-й главы:

Теорема 10.2. При условии невырожденности уравнения (Ю), последовательность vx сходится при к —> со х сильно.

Теорема 10.2, с учетом свойства слабой предкомпактности ограниченных множеств мерозначных функций ( теорема 8.1 ), может быть сформулирована иначе: любое ограниченное множество м.р. невырожденного уравнения (10) предкомпактно в топологии сильной сходимости. В регулярном случае в частности получаем, что любое ограниченное в L°°(Cl) множество o.e.р. невырожденного уравнения (10) предкомпактно в топологии L}oc(Q) ( причем, условие невырожденности является также и необходимым для сильной предкомпактности любого ограниченного множества о.э.р. ).

Основные результаты 3-й главы сохраняются и в случае последовательностей решений, возникающих при разумной аппроксимации уравнения (10), что важно для обоснования сильной сходимости таких последовательностей при наличии лишь априорной оценки максимума модуля.

Заметим, что для уравнения вида (1) сильная предкомпактность ограниченных множеств о.э.р. установлена также в [12] (с использованием кинетической формулировки о.э.р.) при следующем зна-

чительно более жестком ограничении: <р{и) 6 С2>а , а > 0 и

V£ 6 M", С Ф 0 mes{ Л G M | (£,<р'(А)) = 0 } = О,

здесь mes - одномерная мера Лебега.

В работах Гигы и Миякавы ( Y.Giga, T.Miyakava, 1983; Y.Giga, T.Miyakava, S.Oharu, 1985 ) был предложен метод решения задачи (1), (2), основанный на так называемой "кинетической" интерпретации о.э.р. Этот метод был развит позднее в работе Лионса, Пертама и Тадмора [12], где показано, что функция и = u(tyx) является о.р. задачи (1), (2) тогда и только тогда, когда функция / = f(t,x,v) = Xu(t,x)(v), где при u,v £ К

Xu{v) = 6{и - у) ~ H~v) > = | о' A < 0 ~ ФУНКЦИЯ Хевисайда,

является о.р. ( в смысле распределений ) соответствующей задачи для кинетического уравнения

+ = (11)

( (•, ■) - скалярное умножение на 1йп ) с некоторой неотрицательной локально конечной мерой m = m(t,x,v) на ПхМ, финитной по переменной v,и начальным условием

f(Q,x,v) = fo(x,v), (12)

где fo{x,v) = XuD(x){v) ■

Кроме того, в [12] дана следующая аппроксимационная схема. Рассмотрим при е > 0 решение ( в Р'(ПхМ) ) fe — fc(t,x,v) задачи Коши для уравнения

fc(t,x,v) =xP'Lt,x)iv)> РС{*>Х)= / fe{t}x,v)dv

Jm

с начальным условием f'(0,x,v) = fa(x,v). Установлено, что при е 0 fe{t,x,v) f(t,x,v) в Ljoc(îl х К), где f(t,x,v) = - о.р. задачи (И), (12).

В главе 4 мы распространяем приведенные выше результаты на случай мерозначных решений. В § 11, § 12 доказано, что ограниченная мерозначная функция vt/X является м.р. задачи, (1), (3) тогда и только тогда, когда соответствующая функция распределения

f{t,x,v) = vtiX((y, +00)) является обобщенным решением задачи Ко-ши (11), (12) с начальным условием /о(г, v) = +оо)). При этом,

vt,x является с.м.р. задачи (1), (3) тогда и только тогда, когда для любой неубывающей функции s(u) € С1 ([0,1]) функция s(f(t,x,v)) является о.р. задачи (11), (12) с начальной функцией s(fo(x,v)). В частности, последнее требование выделяет класс существования и единственности для о.р. (вида f(t>x1v) — vtx[(v}+oo)) ) задачи (11), (12).

Используя кинетическую формулировку, мы можем распространить на мерозначный случай аппроксимационную схему Лионса-Пертама-Тадмора. Для этого требуется более тонкая аппроксимация правой части соответствующего кинетического уравнения. Рассмотрим задачу

ft + (<p'(v),V*f) = r-(g-f), (13)

/(0,x,v) = f0(x,v), (14)

/ = f(t,x,v) £ £°°(П x R), г = const > 0, нелинейный оператор / Ff — д определяется равенством

Г 1 , у<-М д = g(t,x,v) = < 0 , V > М

{ /(/'(i,^)) , ve(-M,Ai)

где М — ¡|i/°||oo , f{t,X]v) - невозрастающая и непрерывная справа перестановка функции v ь-> f(t,x, v) по переменной v £ (—М, М) , /(/) = max(min(/, 1),0) - срезающая функция.

В § 13, § 14 доказано, что задача (13), (14) однозначно разрешима и можно выделить подпоследовательность последовательности fT(t,x,v), г £ N о.р. этой задачи, сходящуюся в ¿[0С(П х 1) к о.р. f(t,x,v) = 4tiX[(v,+ со)) задачи (11), (12), где i/t>x - соответствующее м.р. исходной задачи (1), (3).

В 5-й главе исследуется ( в нелокальной постановке ) задача Коши для системы законов сохранения

Ut + (hu))z = О, (15)

(t,x) £ П = (0,+со) х Ж; U = U(t,x) £ X , где X - пространство Sm симметричных или пространство Нт эрмитовых матриц m-го порядка, © обозначает нулевую матрицу; / : X ► X , £У t—» /(t/) - функция от матрицы U, определенная (в соответствии с

функциональным исчислением) по скалярной вещественной функ-

В § 15 показано, что система (15) - гиперболическая в широком смысле; более того, она симметрична относительно скалярного произведения (и,У) — Тг([/У), Тг - оператор следа (то есть для всех 17 £ X симметричен на X линейный оператор А(Л) — df{U)).

Можно показать, что система (15) не является истинно нелинейной по Лаксу (более того, эта система имеет линейно вырожденные характеристики).

Замечание. Полезность исследования систем вида (15) обусловлена, в частности, следующими соображениями. Произвольную гиперболическую систему квазилинейных уравнений с квадратичными нелинейностями

можно привести к виду уравнения + (и2)х , где II = при-

нимает значения в некоторой (возможно - неассоциативной) алгебре. Если эта алгебра ассоциативна и полупроста, то исходная система распадается на независимые подсистемы, соответствующие простым составляющим алгебры. Как хорошо известно, последние изоморфны матричным алгебрам и мы приходим (с учетом гиперболичности) к системам вида (15) (с /(и) = и2).

Характерной особенностью системы (15) является наличие "богатого" набора энтропий. Напомним, что энтропия р(и) £ С1{Х) это функция, для которой существует функция ц(и) € С1(Х) ( поток энтропии ), связанная с р(и) соотношением

В общем случае, условие (16) (для несимметричных систем следует заменить А(и) в (16) на сопряженный оператор) сводится к переопределенной системе дифференциальных уравнений относительно неизвестной функции р(и) и нелинейные энтропии для общих систем могут вообще отсутствовать.

В § 16 показано, что при <р(и) 6 С1 (К) функция р(и) = Тг<р(1Г) является энтропией системы (15) и ей соответствует поток д(и) = Тг ф(17) у где скалярная функция ф(и) ё 'С1^) с точностью до аддитивной константы определена равенством ф'{и) = </?'(«)/'(«), то есть ф(и) является потоком, соответствующим энтропии <р(и) для

ции /(и) 6 С1 (Ж).

V 5(10 = А{и)Чр{и), А(и) =

(16)

скалярного уравнения щ + f(u)x = 0. При этом, если <р(и) - выпуклая ( строго выпуклая ) функция, то и энтропия p(U) является выпуклой ( строго выпуклой ) на X . Кроме того, если функция f(u) не линейна ни на каком невырожденном интервале, то множество С2-гладких энтропий системы (15) с точностью до линейного слагаемого исчерпывается указанными энтропиями p(U) = Tr <p(U), <р{и) е С2(М).

В § 17 вводится понятие обобщенного энтропийного решения (о.э.р.) задачи Коши для системы (15) с начальным условием

U(0,x) = UQ(x) еЬ°°(Ш,Х) (17)

по аналогии со скалярным случаем, на основе энтропийного условия Кружкова-Лакса ( С.Н.Кружков, 1970; P.D.Lax, 1971 ): для любой выпуклой энтропии p(U) 6 С1{Х) и соответствующего потока

p(U)t + q{U)z< 0 вР'(П). (18)

Условие (18) естественно вытекает из идеи метода "исчезающей вязкости", связанного с осуществлением предельного перехода по решениям Uc параболических систем, получаемых заменой правой части исходной системы на член eUxx , при стремлении "вязкости" е > 0 к нулю. Заметим также, что для классического решения U(t,x) 6 С1^П,Х) условие (18) выполнено со знаком равенства.

Мы ограничиваемся в определении о.э.р. энтропиями вида p(U) = Ъф(и)} для которых требование (18) сводится к условию: для любой выпуклой функции 9о{и) € Сг(М)

ъ{{(р{и))ь + {Ци))х) <о в г?'(п),

начальное условие (17) понимается в смысле предельного соотношения:

esslim£f(i,-) = С/о в

t—i-0-f-

Так же как и в скалярном случае понятие о.э.р. можно определить и для лишь непрерывной функции /(и). Все результаты 5-Й главы, касающиеся о.э.р., доказаны именно в этом общем случае.

Имеется интересная связь о.э.р. задачи (15), (17) с м.р. А именно, если U(i,x) - о.э.р. задачи (15), (17); Лхж),..., Am(i, х) ;

Л?(ж),... , А^(ж) - собственные числа матриц £/"(<, х), С/о(х) соответственно (выписанные с учетом кратности), то мерозначная функция

m 771 -J

т 1—1

оказывается м.р. решением задачи Коши для скалярного уравнения Ъ + /(*)« = 0 , (19)

с мерозначной начальной функцией

1 m

ТТЬ — »=1

Это обстоятельство позволяет применить в § 17 известные результаты мерозначной теории к исследованию свойств o.a.р. и, в частности, доказать следующий результат:

Теорема 17.1. Пусть U(t,x) - о.э.р. задачи Коши (15), (17).

1) Если Uq(x) = щ(х) ■ Е, щ{х) £ Ь°°(Ш), Е - единичная матрица, то U(t,x) = u[t,x) ■ Е, где u(t,x) - единственное о.э.р. задачи (19) с начальной функцией щ(х);

2) Пусть | ■ | - операторная норма на X : |i/| = sup{ ||г/®|| I zec\ ||i|| = l };

М> 0 таково, что \UQ(x)\ < М п.в. на К. Тогда \U(t,x)\ < М п.в. на П ( принцип максимума );

3) Определим при 1 < р < со норму || • ]|р на X равенством:

т

||Я||р = ^^ |А;|Р ; Xi} г=1,...,т - собственные числа оператора i=i

U €Х, выписанные с учетом кратности ( заметим, что || • ||г совпадает с евклидовой, нормой ). Тогда для п.в. f б R+

\\U(t,x)\\ppdx < f \\Uü{x)\\ldx. R JE

В последующих параграфах отдельно исследуется случай X — 3% для которого удается построить удовлетворительную (с существованием и единственностью) теорию обобщенных решений задачи (15), (17). Заметим, что аналогичная теория.может быть построена и при X = . Однако, чтобы не усложнять доказательства, мы не рассматриваем подробно случай X = Яг 1 ограничиваясь замечанием 20.2 в конце 5-й главы.

В § 18 мы расширяем класс допустимых энтропии системы (15) и вводим понятие сингулярной энтропии.

Пусть Х0 = { ХЕ | Л £ К } с X - одномерное подпространство в X, порожденное единичной матрицей Е\ Т - подпространство С1(Х \ Хо) П С(Х), состоящее из локально липшицевых функций р(и), для которых определена и непрерывна во всем X частная

ЫЮ „

производная —1—- в направлении матрицы Ь . дЕ

Доопределим градиент Чр(11) £ X на Х0 так, чтобы при С/ =

ХЕ £ Х0 Чр(и) = ■ Е. Тогда сингулярная энтропия си-

оЕ

стемы (15) это функция у (С/) £ Т, для которой существует функция я(и) £ Т ( поток энтропии ), такал, что, как и в гладком случае, = А(и)Чр(и).

В § 18 показано, что энтропийное условие Кружкова-Лакса с сингулярными энтропиями так же, как и для гладких энтропий может быть получено на основе метода исчезающей вязкости.

В общем случае класс сингулярных энтропий оказывается существенно шире класса гладких энтропий. Пусть Ах = < Х2 —

Х2([/) - собственные числа матрицы и = ^ ^ 6 ) ' <^11Ра'ве'11'лива Теорема 18.1.

1) Для ^(и),(р2(и) £ СХ(М) функция р(и) = ^(А^У)) + <р2(Х2(у)) является сингулярной энтропией системы (15) с соответствующим потоком д(и) — ф\(Х1(и)) + ф2(Х2(и)), где функции ф{(и) определены с точностью до аддитивной константы равенствами Ф[(и) = а(и)Г(и), г =1,2;

2) пусть Н(у) £ С1(К2 \ {0}) - однородная ( степени 1 ) функция: Н{ку) = кк(у), у — (г/1,1/2) £ 1К2, к > 0 . Тогда функция р{Щ = Ь,(Ъ — а, —2с) является сингулярной энтропией системы (15)

с потоком д{и) = < - Хг

[О , Л2 = Ах.

При этом энтропия р{и) — <рг{Х2(С/)) + <р2{Х2{1})) выпукла тогда и только тогда, когда функции <¿>1, выпуклы на К. и ц>\ < ср'2.

В § 18 также показано, что если функция /(и) не линейна ни на каком невырожденном интервале, то множество ( во всяком случае С2 -гладких вне Хо ) сингулярных энтропий исчерпывается линейными комбинациями энтропий указанного выше вида.

О.а.р. задачи (15), (17) определяются в § 18 на основе энтропийного условия Кружкова-Лакса p(U)t + д(и)х <0 ( в Р'(П) ), в

котором р(и) пробегает уже множество выпуклых сингулярных эн-тропий. В § 18 устанавливается ряд полезных свойств таких решений. В частности, доказано, что собственные числа < А2(£,о;) о.э.р. и~и(1,,х) являются соответственно обобщенным энтропийным супер-решением и обобщенным энтропийным суб-решением задачи Коши для скалярного уравнения щ + /(и)х = 0 с соответствующими начальными данными. С использованием энтропий вида р(и) = к(Ь - а,-2с) показано, что с ростом t для о.э.р. сохраняется свойство "попадания" 11(1:, х) в двугранные углы вида

(6 - а, -2с) £ { у е К2 | (у,е)>%|| }, (Ъ - а, -2с) 6 { у е К2 | {у, е) > %|| } и {0},

где е 6 К2 - единичный вектор, 0 < 5 < 1. Простым следствием этого результата является диагональность о.э.р. с диагональными начальными данными Щ(х) — diag{Qo(з;), Ьо(х)} .

Что касается единственности о.э.р., то она в общем случае не верна. В связи с этим в § 19 вводится понятие сильного о.э.р. ( коротко - с.о.э.р.) задачи, (15), (17), которое определяется условиями:

1) + /(¡У)х = О в

2) собственные числа < Х2^,х) - матрицы являются о.э.р. задачи Коши для уравнения щ 4- ¡(и)х = 0 с начальными данными А°(ж), Л°(ж) соответственно ( < А°(а;) - собственные числа матрицы Щ{х) );

3) выполнено начальное условие (17).

Условие 2) естественно в том смысле, что оно справедливо для гладких решений.

Из условия 2) следует, что с.о.э.р. СЛх) должно иметь вид:

[/(г, х) = Т{9{1, х)) с11аё{Л1(й; х), Х2(*, а)}Т(-0(4, х)),

где Хх(Ь,х), Х2(1,х) - однозначно определенные о.э.р. соответствующей скалярной задачи; Т(в) - матрица оператора поворота на угол в . Неизвестная функция в — в[1,х) определяется из условий 1), 3). Как установлено в § 19, для выполнения этих условий необходимо и достаточно, чтобы функция 9 являлась о.р. задачи Коши для линейного уравнения

(Ад\ + (В9)х = 0, (20)

с начальным условием

(Ав)(0,х) = А(р,х)90(х)} (21)

Л(0,а:) = - А^а:)

в смысле следующего интегрального тождества:

/ [A6ht +B9hx]dtdx+ I A(0,x)8s(x)h(Q>x)dx - О, Ja J Jm

пробные функции h — h(t,x) "пробегают" пространство Сд°(П) бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в П = [0, +оо) х М.

В § 19 строится теория задачи (20), (21) в случае произвольных коэффициентов А,В Е L°°(II) со свойствами:

esslimA(£,x) = А(0, г) в >4(0, х) G LOT(R);

Ve > 0 |J5| < N(e) -(А + е) п.в. на П , eN(e) -» 0;

Л+Д^О вО'(П).

Насколько известно автору, задача Коши для уравнения (20) в столь общей постановке ранее не изучалась, поэтому ее исследование представляет и самостоятельный интерес.

Установлено, что задача (20), (21) оказывается однозначно разрешимой ( точнее, единственность имеет место для величины Ав ) и обобщенные решения &(t,x) обладают рядом полезных свойств, в частности Vp(u) € С1(Ж) функция p(ß(t,x)) является о.р. задачи (20), (21) с начальными данными р(8$(х)).

Как следствие этих результатов, мы получаем существование и единственность с.о.э.р. задачи (15), (17). При этом с.о.э.р. задачи (15), (17) оказывается также и о.э.р. этой задачи.

В случае, когда Х-значная начальная функция Uq(x) удовлетворяет условию С):

(60 - о0, —2со) € { у Е М2 | (у, е) > 0 } U {0} п.в. на К,

где а0, Ь0, с0 - компоненты матрицы [70, е - некоторый единичный вектор в К2, любое о.э.р. задачи (15), (17) является сильным и, тем самым, единственно. Примером показано, что единственность о.э.р. нарушается, если в условии С) заменить множество { (у,е) > 0 } на {(У,е)>0}.

Заметим, что преобразованием подобия U ► QUQ 1 с постоянной ортогональной матрицей Q (которое, очевидно, сохраняет

множества о.э.р. и с.о.э.р.) условие С) приводится к виду: п.в. на К с0 > 0 или Ьо - аа = с0 = 0 .

В заключение § 19 рассмотрены некоторые приложения. Показано в частности, что к системам вида (15) сводится следующая 2 х 2-система, возникающая в магнитогидродинамике

Г щ + {д(г)и)х = О ^ГТТл

где р(г) - непрерывная функция на , гд(г) 0

г—*0+

и известная система 2-компонентной хроматографии:

+ {гг~~- 0

}1+и + у{* , и,у>0. VI + ( ;--- } = 0

Из результатов предыдущего анализа следует существование и единственность с.о.э.р. задачи Коши для таких систем (а также их обобщений на случай произвольного числа неизвестных функций).

В случае, когда выполнено условие С) удается также обосновать метод исчезающей вязкости, чему посвящен § 20. Рассмотрим параболическую аппроксимацию системы (15):

иг + 0{Ц)), = еи„, е> 0. (22)

В § 20 установлено, что для классических решений 11Е задачи (22), (17) верен принцип максимума ( относительно операторной нормы ) и по теореме 5.1 при е —> 0 семейство решений 11Е слабо сходится к м.р. ( из класса МУ(0,Х) ) задачи (15), (17) (последнее верно и при т > 2). Если начальные данные удовлетворяют требованию С), то с использованием метода компенсированной компактности, доказывается регулярность этого м.р., которое, таким образом, является единственным о.э.р. С/ = £/(£,х) задачи (15), (17). При этом, в силу теоремы 5.1 последовательность ис сходится к V сильно ( в

ЦЛЪХ) ).

Автор выражает глубокую ' благодарность своему Учителю -

профессору С.Н.Кружкову за постоянное внимание к работе и по-

лезные обсуждения ее результатов.

Публикации автора по теме диссертации

1. Панов Е.Ю. О задаче Коши для квазилинейного уравнения первого порядка в классе локально-суммируемых функций// УМН. 1988. Т. 43, № 1. С. 205-206.

2. Панов ЕЮ. Мерозначные решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка с неограниченной областью зависимости от начальных данных// Динамика сплошной среды (Новосибирск). 1988. Т. 88. С. 102-108.

3. Панов Е.Ю. Обобщенные решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка в классах локально-суммируемых и мерозначных функций// Динамика сплошной среды (Новосибирск). 1990. Т. 98. С. 61-66.

4. Кружков С.П., Панов Е.Ю. Консервативные квазилинейные законы первого порядка с бесконечной областью зависимости от начальных данных// ДАН СССР. 1990. Т. 314. № 1. С. 79-84. (Теоремы 2, 4 и пример 2 принадлежат Е.Ю.Панову)

5. Панов Е.Ю. Сильные мерозначные решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка с ограниченной мерозначной начальной функцией// Вестник Моск. Унив-та, Сер.1, Математика. Механика. 1993. № 1. С. 20-23.

6. Панов Е.Ю. О последовательностях мерозначных решений квазилинейного уравнения первого порядка// Математ. сборник. 1994. Т. 185. № 2. С. 87-106.

7. Панов Е.Ю. О единственности решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка с одной допустимой строго выпуклой энтропией// Математ. заметки. 1994. Т. 55. № 5. С. 116-129.

8. Панов Е.Ю. О сильной предкомпактности ограниченных множеств мерозначных решений квазилинейного уравнения первого порядка// Математ. сборник. 1995. Т. 186. № 5. С. 103-114.

9. Kruzhkov S.N., Panov Е. Yu. Osgood's type conditions for uniqueness of entropy solutions to Cauchy problem for quasilinear conservation laws of the first order// Annali Univ. Ferrara-Sez. 1994-1995. V. XL. P. 31-53. (Теорема 2.1 доказана Е.Ю.Пановым, им же доказана теорема 2.3 для степенных функций потока)

10. Панов Е.Ю. О мерозначных решениях задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка// Известия РАН. 1996. № 2. С. 107-148.

11. Панов Е.Ю: Обобщенные решения задачи Коши для некоторых классов гиперболических систем первого порядка// Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1996. № б.

С. 75-77.

12. Панов Е.Ю. О задаче Коши для квазилинейного уравнения первого порядка на многообразии// Дифф. уравнения. 1997. Т. 33. № 2. С. 257-266.

13. Панов Е.Ю. Об одной аппроксимадионной схеме для мерознач-ных решений квазилинейного уравнения первого порядка// Математ. сборник. 1997. Т. 188, № 1. С. 83-108.

14. Панов Е.Ю. Об одном классе систем квазилинейных законов сохранения// Математ. сборник. 1997. Т. 188. № 5. С. 85-112.

15. Панов Е.Ю. О кинетической интерпретации мерозначных решений квазилинейного уравнения первого порядка// Фундам. и прикл. математ. 1998. Т. 4. № 1. С. 317-332.

16. Панов Е.Ю. О компактности ограниченного множества обобщенных решений квазилинейного уравнения первого порядка в топологии поточечной сходимости ( тезисы )// УМН. 1994. Т. 49. № 4. С. 84.

17. Panov Е. Yu. On compactness theorem for bounded sets of generalized solutions of a first order quasilinear equation (abstract)// Int. Congr. of Math. Zurich. 1994.

18. Panov E. Yu. On strong precompactness of bounded sets of measure valued solutions for first order quasilinear equations (abstract)// Int. Congr. on Industrial and Applied Mathematics. Hamburg. 1995.

19. Панов Е.Ю. Об одном классе систем квазилинейных законов сохранения// Тезисы докладов конференции "Современные методы в теории краевых задач ( Понтрягинские чтения-VII )". Воронеж. 1996. С. 139.

20. Панов Е.Ю. Об одной аппроксимационной схеме для мерозначных решений квазилинейного уравнения первого порядка// Тезисы докладов конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара. 1996. С. 77-79.

21. Panov E.Yu. On special hyperbolic systems of conservation laws (enlarged abstract)// Conference on differential equations and their applications. Brno. 1997. P. 157-158.

Лицензия J1P № 020815 от 20.09.93.

Подписано в печать 22.04.98 г. Формат 60x84 1/16. Уч.-изд. л. 1,0.

Тираж 100 экз. Заказ № ^ Издательско-полиграфический

центр Новгородского государственного университета им. Ярослава

Мудрого. 173003, Новгород, ул. Б. Санкт-Петербургская, 41. Отпечатано в ИПЦ НовГУ. 173003, Новгород, ул. Б. Санкт-Петербургская, 41.