К теории сечений в упорядоченных полях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГ Б ОД

2 8 СЕН №

На правах рукописи

Галанова Наталия Юрьевна К ТЕОРИИ СЕЧЕНИЙ В УПОРЯДОЧЕННЫХ ПОЛЯХ 01.01.06-математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск 1999 ^^

Работа выполнена на механико-математическом факультете Томского государственного университета

Научный руководитель: канд.физ.-мат.наук, доцент Г.Г.Пестов

Официальные оппоненты:

д-р физ.-мат.наук, профессор В.М.Копытов

канд.физ.-мат.наук, доцент Е.Н.Яковенко

Ведущая организация: Новосибирский государственный технический университет

Защита состоится а заседании диссертационноп

совета К 643602 в Омском государственном университете по адресу: 644077 г.Омск,пр.Мира 55а * & .

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета

д-р физ.-мат.наук, профессор...................................... В.А.Романь

£/5"Л.У/З

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В различных областях математики широко используются алгебраические системы, оснащенные отношением порядка,согласованным с алгебраическими операциями. В частности, активному изучению подверглась теория упорядоченных полей. Основополагающий вклад п создание и развитие зтого раздела математики внесли Д.Гильборт, Г.Нейман, Г.Биркгоф, Б.Артин, О.Шрайер, Р.Бэр, Х.Хан, А.Робинсон и др. В последние годы теория упорядоченных полей получила новый стимул в связи с развитием нестандартного анализа и исследованиями нестандартных моделей поля вещественных чисел.

В диссертации проводится исследование пеархимедовых упорядоченных полей с помощью теории сечений. Под теорией сечении мы подразумеваем классификацию сечений в упорядоченном поле, теоремы о сечениях различного вида, наконец, теоремы о связи строения сечений в упорядоченном поле со свойствами этого поля. В основе названной теории лежит понятие о. сечении упорядоченного поля, впервые появившееся в работах Дедекинда, изучавшего сечения в поле рациональных чисел. После работ Дедекинда теория сечений получила существенной развитие. Созданы различные классификации сечений. Алгебраические и трансцендентные сечения рассматриваются, например, в работах [4],[7],[3]. В [3],[5] вводятся и изучаются симметричные и несимметричные сечения. Понятие фундаментального сечения (сечение Гельдера [16], дедекиндово сечение [17], собственно дедекиндово сечение [15]) связано еще с работами Коши н Дедекинда.

Исследование строения сечений в упорядоченных полях является эффективным орудием изучения и классификации упорядоченных полей. Так, упорядоченное поле вещественно замкнуто в точности тогда, когда все сечения в нем трьнсцеидентиы [3]; топологически замкнуто, если и только если все сечения в нем фундаментальны [16]; архимедовски замкнуто, если и только если все сечения в нем несимметричны [11].

В диссертации основное внимание уделяется строению симметричных сечений в полях ограниченных формальных степенных рядов . Особый интерес к симметричным сечениям обусловлен тем, что симметрия се'.епий существенно используется при доказагсльтвах

изоморфизма упорядоченных полей (теорема об изоморфизме [6],Постов Г.Г.,1997)

Формальные степенные ряды [18] были введены Ханом в 1907 г. Каи было доказано Каилапским (1942,[19]), каждое упорядоченное поле вкладывается с сохраненном порядка в поле формальных степенных рядов -ft[[GJ], где G-rpyrma архимедовых классов данного поля. Поэтому строение кагкдого упорядоченного поля тесно связано со свойствами соответствующего поля формальных степенных рядов. Изучению полей формальных степенных рядов уделялось большое внимание: вещественную замкнутость полей формальных степенных рядов и их подполей для линейно упорядоченной делимой группы G доказал Mac Lane (1939, [21]); принимая О К Г, Alling(19G2,[20]) нашел мощность поля ограниченных формальных степенных рядов; архимедова замкнутость поля i?[[G]] получена Постовым Г.Г.(1982,[11]). Обзор результатов о полях формальных степенных рядов можно найти в книге [2] (Wooiliii Н..Dales H.J,1996)

В начале СО-х годов Робинсон дал строгое обоснование понятию актуально бесконечно малой величины, создав так называемый нестандартный анализ. Нестандартная вещественная прямая, содержащая актуально бесконечно малые, лежит в основе нестандартного анализа, поэтому изучение ее строения представляет несомненный интерес. Исследование строения симметричных сечений позволило доказать в диссертации изоморфизм поля нестандартных вещественных чисел и некоторого поля ограниченных формальных степенных рядов. Как следствие получены результаты о строении нестандартной прямой.

Цель работы. Цель данной работы -исследовать строение симметричных сечений полей /?—ограниченных формальных степенных рядов i?[[G,/3]], получить необходимое и достаточное условие симметричности сечения в поле такого вида, найти критерий фундаментальности симметричного сечения в поле R[[G,P}}, найти мощность множества всех симметричных фундаментальных и всех симметричных нефундамептальных сечений в этих полях; перенести полученные результаты о полях ограниченных формальных степенных рядов на другие классы полей.

Научная новизна.Все основные результаты о полях ограниченных формальных степенных рядов /?[[(?,/3]] являются новыми и состоят в следующем: !

1. Получен критерий симметричности сечения в тле /?]]

2. Получен критерий фундаментальности симметричного сеченип в поле ЩВ,р\]

3. Если сагсЦО) = сГ(<?), то в поле Л[[С,сагс1(0)]] существует 2са;ч1^ симметричных фундаментальных сечений.

4. Если со1{<7 б д > 1} — саг<1((7),то в поле /?.[[(?, саг<1(6')}] существует 2саг<Чс;) симметричных нефундаментальных сечений.

5. Найдена оценка конфинальности симметричного сечения в поле

що.т.

Результаты, уста на влипающие связь между различными видами сечеииП, имеют технический характер; особо выделяется пример .юля с несимметричным сечением типа (а, а), при этом используется конструкция поля из [4].

Новыми являются результаты о симметричных нефундаментальных сечениях насыщенных полей и нестандартной вещественной прямой. Случай симметричных фундаментальных сечений для насыщенных полей был рассмотрен Кашо 3.(1981,(8]) без использования формальных степенных рядов; в диссертации его результат о насыщенных полях получается как следствие теорем для полей формальных рядовом. Следствие 1.2.2 днсс. раб.).

Методы исследования. Исследование упорядоченных нолей проводится с помощью теории сечений . Используются различные классификации сечений. Методы исследования носят теоретико-множественный характер. Принимается обобщенная континуум-гипотеза. Основными инструментами исследования являются: теорема об архимедовской полноте поля формальных степенных рядов[5], георема об изоморфизме упорядоченных полей [С].

Теоретическая и практическая ценность.Результаты дис-:ертации носят теоретический характер и могут быть полезны спе-шалистам, работающим в области упорядоченных алгебраических :истем и нестандартного математического анализа.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на тучном семинаре "Теория групп" (Новосибирск, ИМ СО РАН, ок-ябрь 1998), на семинаре " Алгебра и Логика" (там же, 1998), на

семинарах но упорядоченным полям и нестандартному анализу кафедры математического анализа ТГУ; на международной конференции "Всесибирские чтения по математике и механике"(Томск,июнь 1997); на Третьем Сибирском Конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, июнь 1998). Публикации.

1.Галанова НЛО. О строении нестандартной вещественной прямой //Избранные доклады международной конференции Всесибирские чтения по математике и механике, Т.1 Математика. Изд.ТГУ, 1997.С.С5-70

2.Галанова Н.Ю. Конфинальность и симметричность сечений в упорядоченных полях. // Исследования по математическому анализу и алгебре. Изд. ТГУ, 1998.С.138-143.

Тезисы докладов на конференциях:

¡.Международные научные Студенческие конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 22-24 апреля 199С, 1997)

2.Международная конференция "Всесибирские чтения по математике и механике" (Томск, 17-20 июня 1997)

3.11 Областная конференция студентов, аспирантов и молодых уче-ных(Томск, 13-15 апреля,1998)

4.III Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 22-27 июня, 1998)

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения , трех глав, каждая из которых имеет два раздела, и списка цитированной литературы, содержащего 30 наименований. Диссертация включает 6 рисунков. Общий объем диссертации - 82 с.

СОДЕР?КАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описано краткое содержание диссертации.

Следуя Дсдсюищу [13], сечением (А, В) упорядоченного поля Р будем называть разбиение этого поля на подмножества А и В, удовлетворяющие следующим условиям: 1. А и В = Г 2. V ж € А V у £ В(х < у)

В данной работе ключевыми понятиями являются: симметричное, несимметричное сечение; фундаментальное, нсфундаменталыюс сечение, а так же конфинальность сечения.

О

шипе {А, В) упорядоченного ноля F называется симметричным если выполнены услошш:

Ух £ А Зу 6 BVz £ В (z <у (х+ у ~ z) € А)

и

Уу € В Зх е Äiz 6 А {х < z (у - z + х) € В).

Сечение (А, В) называется фундаментальным [3], если для каж-о положительного е 6 F существуют х € А , у € В 'расстояние' иду которыми меньше е, то есть |у — х\ < е. Пусть М- упорядоченное множество. Говорят, что подмножество множества М коифиналыю М, если Vx € М 3 у £ Н {х < у). Нан-1ьшая мощность среди мощностей всех множеств, конфннальных называется [14] конфинальностью М и обозначается cf(М). :ть F - упорядоченное поле. Говорят [2], что сечение {А, В) поля меет конфинальность (a,ß) (или (А,В) имеет тип («,/>;), если

с((А) =a,coi(ß).= Д

С каждым упорядоченным полем F связано понятие его группы имедовых классов G [1]. Она получается как фактор-группа муль-ликативной группы F \ {0} по следующему отношению архимс-)й эквивалентности [1]: х архимедовски эквивалентен у, если

Зга 6 iVn|x| > |у| u n|y| > |x|

Упорядоченное поле F называется архимедовски полным [11], ес-каждом упорядоченном расширении поля F содержатся элемен-которые не эквивалентны архимедовски никакому элементу из

} Главе I диссертации иследуется симметрия сечений полей огра-;ш!ых формальных степенных рядов R{\G,ß\ 1 [2]. 1усть (7-линешш упорядоченная абелева группа. Следуя [1], обоим через 7?[[С?]] поле формальных степенных рядов

я = Y1 к)е 6 Л,

— {9 £ G\rg ()}, - вполне аитнупорлдоченное подмножество ¡'то упо|)лдочс1шой группы G.

Если % — то полагаем х > 0 тогда и только тогда, koi

77 > 0, 7 = »пая sui>p(a:). Пусть /3-кардинал, Нц < ¡3 < |G|, nej il[[G,/3]] мы обозначаем подполе поля /¿[[G]] таких формальных с пенпых рядов х, что card(supp(:n)) < р. Такие ноля будем назыш полями ограниченных формальных степенных рядов.

13 диссертации доказан следующий критерий симметричности ченип в поле вида Л[[С,/?]]: Теорема 1.2.1

Каждое симметричное сечение в 7í[[G,/3]] производится неко\ рым элементом из ii[[GJ]\Jl[[G,/?)]. Наоборот, каждый элеме из /2[[G]]\/l[[G,/>]] производит некоторое симметричное сечена

R[[GM-

Следствие 1.2.1.

Если (3 < cf(G) , то поле /?[[G,/5]] полно по Дедекинду. Для симметричных ссчепиП полей вида R\[G,0\) получен еле ющий критерий фундаментальности Теорема 1.2.2

Симметричное сечение {А, В) в i?[[G,/3]] фундаментально есл только если 3a;0 € i?[[Gj]V/?[[G,Р]\ такое, что А < хо < В, suppi инверсно подобен 0 и коинициален G.

Множество М называется 7- насыщенным [12], если пересече любого центрированного семейства X подмножеств М, такого card(A') строго меньше 7, не пусто.

В диссертации найдена мощность множества всех симметрии сечений в поле ограниченных формальных степенных рядов.

Теорема 1.2.3(ОКГ)

Пусть G есть линейно упорядоченная абелеве группа.

(a) Пусть card(G) = cf(G) = 7. Тогда мощность множества фундаментальных симметричных сечений J?[[G,7j] равна 27 ,

(b) Пусть card(G) — coi{p € G| g > 1} = 7. Тогда мощность мне moa всех н°,фунсаменталъных симметричных сечений ií[[G,7]] р 2У:

Найдена следующая оценка конфинальности симметричного сеч nc.ui ll\[G,f}}]

Ь

юре ма 1.2.4

ли (Л, Ъ)-симметричное сечение о ß[[G,/3j], то ß < vi {А) = coi(jß) < card(G). едствие 1.2.2 (О КГ)

ешь F вещественно замкнутое, неархимедово, у—насыщенное ли-шо упорядоченное поле, мощности у. Тогда в поле F существует симметричных фундаментальных и 27 симметричных нефунда-чтальных сечений.

В Гласе II даетсл ответ на вопрос : в какой мере конфинальность ения характеризует его симметричность. Если сечение (А, В) шетричио, то cf(yl) = coi(Z?). Обратное утверждение неверно, как ;азывает орема 2.2.1

г каждого регулярного кардинала К > Ко существует вещественно ишутос поле F, такое что 1) card(F) = N, 2) для любых карди-оа a,ß меньших Н в поле F есть несимметричные сечения кон-шлышети (а,/?).

В Главе III показано, что *R— ультрастепень R по а+ хороше-ультрафильтру- изоморфна некоторому полю ограниченных фор-ьных степенных рядов.

)рема 3.2.1 Нестандартная вещественная прямая 'R цпорпдо-

по изоморфна полю ограниченных формальных степенных рядов

7, £*+]], где G есть группа архимедовых классов *R.

Получен ряд следствий из этого изоморфизма. Установлено, в

гности, что поле нестандартных вещественных чисел *R имеет

симметричных фундаментальных сечений и столько же симмет-

пых нефундаментальных сечений.

1ри доказательстве изоморфизма применяется

рема[б]

rib упорядоченные вещественно замкнутые поля Р и К таковы, card(Р) = card(К) = а > Но и конфинальность каждого сим-ричного сечения в обоих полях равна а. Тогда для того, чтобы Р были упорядочение изоморфны, необходимой достаточно, чтобы пы архимедовых классов этих полей были изоморфны. } этой главе также рассматриваются подиоля нестандартной ве-~венной прямой, изоморфные полям вида N[[G,/?)]. Доказывается,

!)

что если Р < а+, то каждое подполе ' R, упорядочение изоморф1 нолю Я[[(7,/?)], полно по Дедекннду [9],[10]. В заключение выделяй ся классы полей близких в некотором смысле к ультрастепенлм i К\ есть класс вещественно замкнутых полей F таких, что card(F) cf(F) и, для каждого симметричного сечения {А, В) поля F вы™ неио: cf(Л) = card(.F).

К-2 есть класс полей вида /2[[G,card(G)]], где С-произвольная лиц но упорядоченная делимая абелева группа такая, что cardG = cf(< /<Г3 есть класс нолей вида /2{[G, card (<?)]], где G- произволы card(£r)—пасыщсшшл линейно упорядоченная делимая абелева гр, на .

К.I есть класс ультрастепеней R «о а+-хорошнм улх»трафильтрам I а, для всех регулярных кардиналов а. Следствие 3.2.4

(a). Класс упорядоченных полей К\ совпадает с классом

(b). Класс упорядоченных полей Яз содержится в классе Кг

(c). Класс упорядоченных полей содержится в классе /<з.

Автор выражает глубокую признательность своему научному ководитслю доц. Г.Г.Иестову за постановку задач, постоянную i держку и внимание к работе.

Литература

1. Фукс т1. Частично упорядоченные алгебраические систе? М.: Мир , 19С5 , 342 - с .

2. Dales II.J., Woodin II. Super real fields. Clarenden Press. Oxford ,1996 , 356 - с .

3. Пестов Г.Г. Строение упорядоченных полей. Изд. ТГУ. Томск , 1980 , 80 - с .

1. Macni F Notos on real closed fields. Ana Univ.Sci.Budapest., Si mat.,X 111 1970.C.35-55

5. Пестов!'. ГХимметрил сечений в упорядоченном поле //Избра! доклады международной конференции Всесибирские чтения по тематике и механике, тЛМатематика.ИэдЛТУ,Ш7.СЛ98-293

1(1

1естовГ.Г.0б архимедовской полноте и об изоморфизме упорядо-ных полей. Там же с.203-208

Зурбаки Н.Алгебра.Многочлены и поля.Упорядочеиные грунпы.-Наука,1965

Sanio Sli.Nonstandard natural number systems with regular gaps, JKUBA J.Matli;Vol.5,Nl(1981).P.21-24

Delay B.Coupures propres dans *R. Ann.Math.Blaise Pascal, Vol 4, 1997.P. 19-25

ArtinE.,SchreierO. Algebraische Konstruktion Reeller Körper, Abh.Math. i.Hamb.Univ.5,1925.P.85-99

Пестов Г.Г.Об архимедовски полных полях и теореме вложения ia// Труды iii Омской областной математической конференции.-)83 Доп.,1982

Справочная книга по математической логиге, Ч.1., Теория моделей.-Наука,1982

1>ихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исления.Том1.-М.:Наука, 1966, 607-е.

■¿.Куратовский,А.Мостовский. Теория множеств.-М.: Мир, 1970 Заег R.Dichte,Arcliimedizität und Starrheit geordner Körper, Math. Ann, 3,N3.P.165-205

Hauschield K.Uber die Konstruction von Erweiterungskörpern zu itarchimedisch angeordneten Körpern mit Hilfe von Hölderscheri nitten, Wiss.Z.Humboldt-Univ.,Berlin Math.-Natur Reihe 15(1966). 55-686

Massaza C.Sub completamento dei campi ordinati, Rendiconti del linario Matematico, Univ. e Politechnico di Torino,1969-70,N29. ¡9-348.

tlahn H.Uber die nicht archimedischen Grössensysteme.S.B. Akad.Wiss. Ii IIa, 1907,N116.P.601-655

Kaplansky I.Maximal fields with valuations .Duke Math.J.,1942,N9. 13-321.

Alling N. L.On the existence of real-closed fields that are TjQ-sets of

er .Trams.Amer.Math.Soc. 1962,N103. P.341-352.

Viae Lane S. The universality of formal power series fields.Bull.Amer.Math

1939,N45.P.888-890.

Заказ i92 , Тираж /OP 3K3.

УОП ТГУ, Томск, 29, Никитина, 4

Введение.

Список обозначений.

Глава I. Сечения в полях формальных степенных рядов.

1. Основные понятия теории сечений

2. Симметричность и фундаментальность сечений поля щ[с,т.

Глава II. Конфинальность и симметричность сечений упорядоченных полей.

1. Конфинальность сечения.

2. Конструкция поля.

Глава III. Следствия для *Я.

1. О нестандартной вещественной прямой.

2. Изоморфизм нестандартной вещественной прямой и поля ограниченных формальных степенных рядов.

Перечень доказанных результатов.

В диссертации проводится исследование линейно упорядоченных неархимедовых полей с помощью теории сечений.

Под теорией сечений мы подразумеваем классификацию сечений в линейно упорядоченном поле, теоремы о сечениях различного вида, наконец, теоремы о связи строения сечений в линейно упорядоченном поле со свойствами этого поля.

Исследование строения сечений в линейно упорядоченных полях является плодотворным методом изучения и классификации упорядоченных полей. Так, упорядоченное поле вещественно замкнуто в точности тогда, когда все сечения в нем трансцендентны [5]; топологически замкнуто, если и только если все сечения в нем фундаментальны (дедекиндовы)[23]; архимедовски замкнуто, если и только если все сечения в нем несимметричны [18].

Изучение симметричных сечений представляет особый интерес, так как симметрия сечений существенно используется при доказа-тельтве изоморфизма вещественно замкнутых упорядоченных полей (теорема об изоморфизме [8],Пестов Г.Г.,1997).

Основная цель данной работы - получить необходимые и достаточные условия симметричности сечений и фундаментальности симметричных сечений в полях ограниченных формальных степенных рядов, а также перенести полученные результаты для формальных степенных рядов на другие классы полей.

Формальные степенные ряды являются эффективным инструментом исследования упорядоченных полей, поскольку каждое упорядоченное поле вкладывается с сохранением порядка в некоторое поле формальных степенных рядов [27].

В диссертации изучение строения симметричных сечений позволило доказать изоморфизм поля нестандартных вещественных чисел и некоторого поля ограниченных формальных степенных рядов. Как следствие, получены новые результаты о строении сечений поля нестандартных вещественных чисел и о его подполях, полных по Деде-кинду.

Понятие сечения впервые появилось в работах Дедекинда, рассматривавшего сечения в поле рациональных чисел.

Следуя Дедекинду [20], сечением (А, В) упорядоченного поля ^ будем называть разбиение этого поля на подмножества А и Б, удовлетворяющие следующим условиям:

1. А и В = Г

2. V ж £ А V у б В(х < у)

После работ Дедекинда теория сечений получила существенное развитие. Созданы различные классификации сечений. Алгебраические и трансцендентные сечения рассматриваются в работах [6], [9], [5]. В [5],[7] вводятся и изучаются симметричные и несимметричные сечения.

В диссертации ключевыми понятиями являются: симметричное, несимметричное сечение; фундаментальное, нефундаментальное сечение; конфинальность сечения; полнота упорядоченного поля по Де-декинду; архимедовская полнота упорядоченного поля.

Сечение (А, В) упорядоченного поля ^ называется симметричным^], если выполнены условия:

Мх Е А Зу Е в\/г е В (г < у (х+ у - г) е А) и

Уу Е В Зх Е АУг Е А (х < г => (у - г + ж) Е В).

Понятия фундаментального сечения (сечение Коши, Дедекиндово сечение) связано еще с работами Коши и Дедекинда.

Сечение (А, В) называется фундаментальным в Р [5] (сечением Гельдера [23], дедекиндовым сечением [24], собственно дедекиндовым сечением [22]), если для каждого положительного £ £ Р существуют х Е А , у Е В такие, что \у — х\ < е.

Например, в поле вещественных чисел В, все сечения фундаментальные и несимметричные. Простейший пример симметричного фундаментального сечения - сечение в поле рациональных чисел, порожденное вещественным числом л/2.

Симметричные фундаментальные сечения (таковыми являются такие фундаментальные сечения (А, В), что А не имеет последнего, а В первого элемента) интенсивно рассматриваются в [2],[11],[13],[14].

Пусть М- упорядоченное множество. Говорят, что подмножество

Н множества М конфинально М [21], если Мх е М Зу £ Н (х < у). Наименьшая мощность среди мощностей всех множеств, конфиналь-ных М, называется конфинальностью М и обозначается с{{М). Конфинальность множества есть регулярный кардинал.[19]

Пусть Р - упорядоченное поле. Говорят [2], что сечение (А, В) поля Р имеет конфинальность (ск, (5) (или (А, В) имеет тип если с£(Л) = а, со\(В) = (3.

В этой работе мы будем иметь дело в основном с вещественно замкнутыми полями, которые являются обобщением поля вещественных чисел Я [25]. По определению [9], поле называется вещественно замкнутым, если каждое упорядоченное алгебраическое расширение этого поля совпадает с самим полем.

С каждым упорядоченным полем Р связано понятие его группы архимедовых классов С?[1]. Она получается как фактор-группа мультипликативной группы по следующему отношению архимедовой эквивалентности [1]: х архимедовски эквивалентен у, если

3п е N71 \х\ > \у\ ип\у\ > |ж|

Упорядоченное поле Р называется архимедовски полным (архимедовски замкнутым) [18], если в каждом упорядоченном расширении поля Р содержатся элементы, которые не эквивалентны архимедовски никакому элементу из Р.

В Главе I данной работы исследуется симметрия сечений полей ограниченных формальных степенных рядов R[[G,(3]] [2].

Пусть G-линейно упорядоченная абелева группа. Следуя [1], обозначим через Д[[<2]] поле формальных степенных рядов х = Y, rg9i гЭе гд £ R, supp(z) = {56 G\rg Ф 0}, supp(a;) - вполне антиупорядоченное подмножество линейно упорядоченной группы G. Если я = Е г9д, gzG то полагаем х > 0 тогда и только тогда, когда г7 > 0, гЭе 7 — max supp(x).

Термин: 'вполне антиупорядоченное множество'- подразумевает, что каждое подмножество данного множества имеет наибольший элемент, в отличие от вполне упорядоченного множества. Антиупорядоченность используется для того, чтобы большим элементам поля соответствовали и большие архимедовы классы.

Пусть /3-кардинал, < Р < через R[[G,/3]] мы обозначаем подполе поля -R[[(j]] таких формальных степенных рядов х, что card(supp(a;)) < (3.

Будем называть такие поля- полями ¡3—ограниченных формальных степенных рядов.

Формальные степенные ряды [26] были введены Ханом в 1907 г. Как было доказано Капланским (1942,[27]), каждое линейно упорядоченное поле вкладывается с сохранением порядка в поле формальных степенных рядов i2[[G]], где G-группа архимедовых классов данного поля. Поэтому строения каждого линейно упорядоченного поля тесно связано со свойствами соответствующего поля формальных степенных рядов. Изучению полей формальных степенных рядов уделялось большое внимание: вещественную замкнутость полей формальных степенных рядов и их подполей для линейно упорядоченной делимой группы G доказал Mac Lane (1939, [29]); принимая ОКГ, Alling(1962,[28]) нашел мощность поля ограниченных формальных степенных рядов; архимедова замкнутость поля -R[[G]] получена Пестовым Г.Г.(1982,[18]). Обзор результатов о полях формальных степенных рядов можно найти в книге [2] (Woodin Н.,Dales H.J,1996) В диссертации доказан следующий критерий симметричности сечения в поле вида R[[G, (3]]:

Теорема 1.2.1

Каждое симметричное сечение в R[[G,(3]\ производится некоторым элементом из i?[[G]]\i?[[G, ¡3]]. Наоборот, каждый элемент из i2[[G]]\i2[[G, ¡3]} производит некоторое симметричное сечение в R[[G,(3]}.

Для симметричных сечений полей вида R[[G, (3]] получен следующий критерий фундаментальности Теорема 1.2.2

Симметричное сечение (А, В) в фундаментально если, и только если Зж0 € /3}] такое, что А < хо < В, зирр(жо) инверсно подобен /3 и коинициален С.

Множество М называется у- насыщенным [19], если пересечение любого центрированного семейства X подмножеств М, такого что сагс!(Х) строго меньше 7, не пусто.

В диссертации найдена мощность множества всех симметричных сечений в поле ограниченных формальных степенных рядов.

Теорема 1.2.3

Пусть £ есть линейно упорядоченная абелеве группа. a)Пустьсы:&{0) = с£(С) = 7. Тогда мощность множества всех фундаментальных симметричных сечений Щ[С, 7]] равна 27 ; b)ПустьсгиЗ.(С) = со\{д £ д > 1} = 7. Тогда мощность множества всех нефундаментальных симметричных сечений 7]] равна V.

Найдена следующая оценка конфинальности симметричного сечения поля Д[[<3, (3}]

Теорема 1.2.4

Если (А, В)-симметричное сечение в то

5 < с£(А) = ал (В) < сагс!(<2).

В Главе II дается ответ на вопрос : в какой мере конфинальность сечения характеризует его симметричность. Если сечение {А, В) симметрично, то с£(Л) = ал (В). Обратное утверждение неверно, как показывает

Теорема 2.2.1

Для каждого регулярного кардинала ^ > ^о существует вещественно замкнутое поле F, такое что

1) card(F) = К,

2) для любых кардиналов a,ß меньших К в поле F есть несимметричные сечения конфинальности (a,ß).

При доказательстве теоремы используется конструкция поля из [6].

1. Фукс J1. Частично упорядоченные алгебраические системы.-М.:Мир, 19

2. Dales H.J., Woodin Н.Super real fields. Clarenden Press. Oxford,1996,356i

3. Кейслер Г., ЧэнЧ. Теория моделей.-М.:Мир,1977.-6Цс.

4. Девис М. Прикладной нестандартный анализ.-М.:Мир, 1980.-236с.

5. ПестовГ.Г. Строение упорядоченных полей.Изд. ТГУ. Томск,1980,80с.

6. Macai Е.Notes on real closed fields. Ann Univ.Sci.Budapest., Sectio mat.,XI11 1970,35-55

7. ПестовГ.Г.Симметрия сечений в упорядоченном поле //Избранные доклады международной конференции Всесибирские чтения по математике и механике, т.Шатематика.Изд. ТГУ,1997,с.198-203

8. ПестовГ.Г.Об архимедовской полноте и об изоморфизме упорядоченных полей. Там же с. 203-208

9. Бурбаки Н.Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы.-М.: Наука, 1965

10. Като Sh. Nonstandard natural number systems with regular gaps, TSUKUBA J. Math; Vol. 5, N1 (1981),p. 21-24

11. Delay B.Coupures propres dans *R. Ann.Math.Blaise Pascal, Vol 4, N1, 1997,pp. 19-25

12. Artin E.,Schreier 0. Algebraische Konstruktion Reeller Korper, A bh. Math. Sem. Hamb. Univ. 5,1925,85-99

13. В.Л.ван дер Варден.Алгебра.-M.-.Наука,1979,624c.

14. Като Sh. Nonstandard natural number systems and nonstandard models, J. of Symb.logic;Vol46,N2(Juin 1981),p.365-376

15. H.J.K eisler ,J.H.Schmerl.Making the hyperreal line both saturated and complete, J.of Symb.logic;Vol56,N3(Sept.l991),p. 1016-1025

16. Бурбаки H. Общая топология. Основные структуры.-М.: Наука,1965,275с.

17. Мальцев А.И.Алгебраические системы.-М.: Наука,1970,392с.

18. Пестов Г.Г. Об архимедовски полных полях и теореме вложения Хана// Труды ш Омской областной математической конференции.-N1983 Деп., 1982

19. Справочная книга по математической логиге, 4.1., Теория моделей.-М.: Наука, 1982

20. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчислеь М.:Наука, 1966, 607с.

21. К.Куратовский,А.Мостовский. Теория множеств.-М.: Мир, 1970

22. Baer R.Dichte, Archimedizität und Starrheit geordner Körper, Math. Am 205

23. Jacobson N.V. Lectures in abstract algebra, Vol.III., D. Van Nostrand, Princeton-Toronto-London-New York, 1964

24. Hahn H. Uber die nicht archimedischen Grössensysteme.S.B.Akad. Wiss IIa, 1907,116,601-655

25. Kaplansky I. Maximal fields with valuations .Duke Math. J., 1942,9,303321.

26. Alling N. L.On the existence of real-closed fields that are rja-sets of power Na. Trams.Amer.Math.Soc. 1962,103,341-352.