Качественное исследование дифференциальных уравнений асинхронных электрических машин тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

005053590

Соловьева Елена Павловна

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ АСИНХРОННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 8 ОКТ 2012

Санкт-Петербург 2012

005053590

Работа выполнена на кафедре прикладной кибернетики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук,

профессор ЛЕОНОВ Геннадий Алексеевич

доктор физико-математических наук, профессор ЧУРИН Юрий Васильевич (Санкт-Петербургский государственный университет, профессор)

доктор физико-математических наук, профессор БЕЛЯЕВ Александр Константинович (Институт проблем машиноведения РАН, заместитель директора)

Ведущая организация:

Институт прикладной физики Российской Академии наук

Защита состоится 7 ноября 2012 г. •аіі часові О минут на заседании дисссертационного совета Д212.232.49 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199178, Санкт-Петербург, 14 линия В.О., д. 29, математико-механический факультет, ауд. 22.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

4

Автореферат разослан

? 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

АА. Архипова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование устойчивости является одной из важнейших задач при проектировании и эксплуатации асинхронных машин.

Впервые строгие математические методы к изучению динамики электрических машин переменного тока - синхронных машин применил известный итальянский математик Ф. Трикоми. Он вывел простейшее дифференциальное уравнение синхронной машины - уравнение второго порядка - и провел глобальное качественное исследование этого уравнения, доказал существование нетривиальной глобальной бифуркации и получил оценки бифуркационных значений параметров.

В настоящей работе продолжены исследования Ф. Трикоми и его последователей. Здесь выведены дифференциальные уравнения асинхронных машин в предположении о равномерно вращающемся магнитном поле, создаваемом обмотками статора. Это предположение восходит к классическим идеям Н. Тесла и Г. Феррариса. Такое рассмотрение весьма наглядно и упрощает вывод уравнений.

В настоящее время достаточно полно развита математическая теория локальной устойчивости (устойчивость «в малом») состояний равновесия дифференциальных уравнений асинхронных машин. Однако многие прикладные задачи требуют не только установления факта локальной устойчивости, но и оценки области притяжения рассматриваемого состояния равновесия. Среди таких задач следует отметить задачу о предельной нагрузке на асинхронные машины и задачу регулирование скорости вращения асинхронных двигателей с фазным ротором. Для решения этих задач оказалось возможным использование метода нелокального сведения, разработанного Г.А. Леоновым. Основная идея этого метода заключается в том, что при построении функции Ляпунова используется информация о поведении траекторий специальной двумерной системы. При помощи метода нелокального сведения получен ряд новых результатов об устойчивости асинхронных машин.

Все это свидетельствует об актуальности темы диссертационной работы.

Цель работы. Целью работы является вывод дифференциальных уравнений асинхронных машин, исследование устойчивости решений дифференциальных уравнений асинхронных машин, развитие и модификация метода нелокального сведения, а также определение предельно допустимой нагрузки на асинхронные машины с короткозамкнутым ротором, двухкле-точным ротором, фазным ротором и нахождение пределов регулирования

скорости вращения асинхронных двигателей с фазным ротором.

Методы исследования. В работе применялись методы исследования устойчивости автономных систем: теорема устойчивости по первому приближению, прямой метод Ляпунова, метод нелокального сведения.

Результаты, выносимые на защиту.

• Выведены дифференциальные уравнения асинхронных машин с ко-роткозамкнутым ротором, с двухклеточным ротором и с фазным ротором.

• Разработана модификация метода нелокального сведения для дифференциальных уравнений асинхронных машин.

• Получены эффективные оценки областей притяжения устойчивых состояний равновесия. На их основе получены оценки предельно допустимых нагрузок на асинхронные машины и найдены пределы регулирования скорости вращения асинхронных двигателей с фазным ротором при фиксированных нагрузках.

Достоверность результатов. Все результаты строго математически доказаны.

Научная новизна. Все основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми.

Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут использоваться для анализа устойчивости конкретных моделей асинхронных машин с короткозамкнутым ротором, с двухклеточным ротором и с фазным ротором, а также могут способствовать более надежной работе различных конструкций, использующих в качестве привода асинхронные машины.

Апробация работы. Результаты данной работы докладывались на международных конференциях "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (конференция Пятницкого) (Россия, Москва -2010, 2012), International Workshop "Mathematical and Numerical Modeling in Science and Technology" (Финляндия, Ювяскюля - 2010), 7th European Nonlinear Dynamics Conference (ENOC) (Италия, Рим - 2011), ТРИЗфест-2011 (Россия, Санкт-Петербург - 2011), "VII Окуневские чтения" (Россия, Санкт-Петербург - 2011), 7th Vienna Conference on Mathematical Modelling (MATHMOD) (Австрия, Вена - 2012) и на семинарах кафедры прикладной кибернетики (2010 - 2012).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 8 печатных работах, в том числе в 2 статьях [1, 2], опубликованных в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

В работах [1, 2, 3] соавтору (научному руководителю) принадлежит постановка задачи, все результаты получены диссертанткой самостоятельно.

В работе [4] диссертантке принадлежат вывод дифференциальных уравнений асинхронных двигателей и исследование устойчивости их решений. В работах [6, 7] диссертанткой получены аналитические и численные оценки предельно допустимых нагрузок. В работе [8] диссертантке принадлежат теоретические результаты об критериях стабилизации явнопо-люсных электрических машин.

Объем и структура д и с сертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, двух приложений, списка литературы, включающего 95 наименований, изложена на 117 страницах машинописного текста и содержит 23 рисунка.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава посвящена выводу дифференциальных уравнений асинхронных электрических машин в предположении о равномерно вращающемся магнитном поле, создаваемом обмотками статора. При сделанном предположении динамика рассматриваемых асинхронных машин определяется динамикой их роторов. Все выведенные в этой главе уравнения получены на основе общего подхода, связанного с введением вращающейся системы координат, жестко связанной с вектором магнитной индукции и рассмотрением движения электромеханической модели асинхронной машины в этой системе координат. Такое рассмотрение весьма наглядно и упрощает вывод уравнений.

Основное внимание в диссертации уделено асинхронным электрическим машинам в двигательном режиме. В дальнейшем для краткости будем называть такие машины асинхронными двигателями.

В начале первой главы рассматриваются электромеханические модели асинхронных двигателей с короткозамкнутым ротором (рис. 1, а), с двухклеточным ротором (рис. 1, б), с фазным ротором (рис. 1, в).

На основе электромеханических моделей асинхронных двигателей, используя законы механики и электротехники (первый и второй законы Кирхгофа для электрической цепи и уравнение моментов сил), строятся математические модели этих двигателей. Сначала получена система дифференциальных уравнений асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором, состоящим из тг стержней и замыкающих их на торцах колец (бе-

а

б

в

Рис. 1. а - короткозамкнутый ротор с беличьей клеткой, 6 - двухклеточный ротор с двойной беличьей клеткой, в - фазный ротор |Брускип, Зорохович & Хвостов, 1979|

личья клетка)

2кп ■

Ьгк + Яік = -101В соБ^в Н--)9, к = 1, ...,п,

п

" 2Ьг ^ .її) = 101В ^ соэ($ +-)гк - М,

п к=1

где ~ ток в к стержне; Д - сопротивление стержня; Ь - индуктивность стержня; I, 10 - радиус и длина короткозамкнутого ротора соответственно; 9 - угол между вектором магнитной индукции В и радиус-вектором, направленным к гп стержню; 3 - момент инерции ротора; М - момент нагрузки.

С помощью невырожденного преобразования координат

9^-9, з = 6,

2Ь А . 2/С7Г . 2Ь ^ 2/С7Г .

п1о1В ^ п У " (2)

т

¿к = У] 1{к+з)то<1п - к = 2, ...,п- 1,

3=—ш

система (1) приведена к более удобному для дальнейшего исследования виду

9 = э, ¿ = ау + 7,

ж = — сг + ув, (3)

у = —су — Жй — й,

¿к = -сгк, к = 2, ...,п — 1,

где

п(/0Ш)2 М Д

В системе (3) переменные у, Zk определяют электрические величины в стержнях ротора, переменная s определяет скольжение ротора. Заметим, что уравнения с переменными Zk легко интегрируются, а остальные уравнения, кроме первого, не зависят от в, следовательно, достаточно рассматривать систему

s = ау + 7,

х = —сх + ys, (4)

■у = —су — xs — s.

Далее выведена математическая модель асинхронного двигателя с двухклеточным ротором, обмотка которого выполнена в виде двойной беличьей клетки

2&7Г •

Liik -I- R1ik = —1г IB cos(ô H--)в, к = 1, ...,щ,

щ

2ктт •

Lijk + Rïjk = -121В cos(d + —— )в, k = l,...,n2,

"1 «i "2 c\ 1

j'è = hlBy cos(e + — )ik + hlBY cos(e + —)jk - M,

где щ,П2 - количество стержней внешней и внутренней клеток соответственно; ik - ток в к стержне внешней клетки; jk - ток в к стержне внутренней клетки; R\,Li — сопротивление и индуктивность стержня внешней клетки; Д2, L2 - сопротивление и индуктивность стержня внутренней клетки; I - длина клеток; /i, /2 - радиус внешней и внутренней клеток соответственно; остальные обозначения имеют прежний смысл.

Используя преобразования координат, аналогичные преобразованиям (2), система (5) приведена к следующему виду

в = s,

è = aiy + a2v + 7, х — — С\Х + ys, У = -xs-s, ¿к = -сггк, к = 2, ...,711-1,

/Ï = -С2Ц + VS, V = —C2V — fis — S,

Vk = -c2Vk, к = 2, ...,n2 - 1,

где ах = С! = fj-, а2 = «!, с2 = 7 = f- Всюду

далее предполагается, что с\ = с2 = с.

Аналогично случаю асинхронного двигателя с беличьей клеткой достаточно рассматривать систему

і = аху + а2г/ + 7, х = —сх + ув,

Затем выведены дифференциальные уравнения асинхронного двигателя с фазным ротором. В отличие от короткозамкнутого и двухклеточно-го роторов в цепь обмотки фазного ротора включают пускорегулирующий реостат, выполняющий роль добавочного активного сопротивления, одинакового для каждой фазы. В данном случае математическая модель имеет вид

где п - количество витков в трехфазной обмотке; 5 - площадь отдельных витков обмотки; Я - сопротивление; г - добавочное активное сопротивление; Ь - индуктивность; гь г2, г3 - токи; в - угол между плоскостью витков обмотки с током ¿і и плоскостью, перпендикулярной к вектору магнитной индукции В\ 3 - момент инерции ротора; М - момент нагрузки.

После невырожденного преобразования координат

у — —су — хв — в, /Ї = — сц + г/5, V = —си — це — е.

(7)

Ьїі + (Д + г) = -2пБВ соз(в) в, Ьг2 + (Я + г) г2 = -2пБВ соз(0 + 6,

О

2п ■

Ыз + (Я + г) і3 = -2пБВ соэ($ + у) в

Зв = ІпвВ^созв іі + соз(в + г2 + соэ(в + г3) - М,

О О

(8)

х =

в -в

3 пБВ^ 1 4 3" 4

3 пБВ 1 Ь

1 Ь

з- в, г - ¿і + і3 - г2,

7Г 2я"

(сое вії + сов(в - —)г2 + соз(0--)г3), (д)

7Г

(зіпбгі + зіп(0 — — )г2 + зіп(0 )гз),

7Г

система (8) может быть преобразована к следующему виду

і = ау + 7, X = —сх + ув, у - —су — хв — в, і = —сг,

где а = б^г^Ц 7 = Т' с ~ Первое и последнее уравнения могут быть проинтегрированы независимо от остальной системы, следовательно, достаточно рассматривать систему

¿ = ау + 7,

х = — сх + уэ, (10)

у = —су — хв — в.

Заметим, что система (8) приводится к такой же системе (4), как и для короткозамкнутого ротора.

Первая глава завершается сравнением широко известных математических моделей асинхронных машин с математическими моделями, рассмотренными в диссертации.

Во второй главе проводится исследование устойчивости решений дифференциальных уравнений асинхронных двигателей, доказывается устойчивость «в целом» системы дифференциальных уравнений асинхронных двигателей на холостом ходу (то есть при отсутствии нагрузки), формулируются и решаются задача о предельной нагрузке и задача регулирования скорости вращения асинхронного двигателя с фазным ротором при фиксированных нагрузках.

Исследование устойчивости - одна из основных научно-технических задач при конструировании электрических машин. Способность электрической машины восстанавливать установившийся режим после сколь угодно малого его возмущения называют статической устойчивостью. Термин статическая устойчивость в теории электрических машин соответствует термину асимптотическая устойчивость (устойчивость «в малом») в теории дифференциальных уравнений. Статическая устойчивость является необходимым условием работоспособности электрической машины.

Расчеты статической устойчивости стационарных режимов асинхронных двигателей выполнялись при помощи классических теорем об устойчивости по первому приближению. Асимптотически устойчивые состояния равновесия соответствуют рабочим режимам асинхронного двигателя, а неустойчивые состояния равновесия соответствуют физически нереализуемым режимам.

При эксплуатации асинхронных двигателей возможны не только малые, но и значительные возмущения режимов. Динамической устойчивостью называют свойство электрической машины возвращаться к рабочему режиму после значительных возмущений. Термин динамическая устойчивость асинхронной машины в теории электрических машин соответствует термину устойчивость «в большом» в теории дифференциальных уравнений.

С проблемой динамической устойчивости тесно связана задача о предельной нагрузке. В работе данная задача описана на примере электрической дисковой пилы.

Сформулируем задачу о предельной нагрузке для системы (4), описывающей динамику асинхронных двигателей с короткозамкнутым и фазным ротором.

Предположим, что синхронному режиму работы асинхронного двигателя без нагрузки соответствует стационарное решение системы (4) в случае 7 = 0: s = 0, х = 0, у = 0. Далее в некоторый момент времени t = т происходит мгновенный наброс нагрузки. Математическая постановка задачи о предельной нагрузке такова: найти условия, при которых решение s(t), x(t), y(t) с начальными данными s — 0, х = 0, у = 0 находилось бы

cía—\/а2—472 )

в области притяжения стационарного решения s = sq = —-^- > х —

~~ас' У ~ ~ а' Т"е' ДОЛЖНЫ быть ВЫПОЛНеНЫ СООТНОШвНИЯ

-ySo гу

lim s(t) = sn, lim xít) =--, lim y(t) = —.

t-++oo <->+oo ac í-í+oo a

(11)

Введем обозначения: si =

ip(s) = —— s2 + as с

C7,

c(o+v/a2-472) = 27 >

2 max

Ae(0,c)

4c2(c-A)

1/2

Теорема 1. Пусть j < 2с2 и для решения уравнения FF'(s) = -rF(s)-rP(s), с начальными данными F(s\) = 0 выполнено условие

F(0) > 7.

(12)

(13)

Тогда решение системы (4) с начальными данными 5 = 0, х = 0, у = 0 удовлетворяет соотношениям (11).

Данная теорема позволяет свести исследование устойчивости «в большом» системы третьего порядка (4) к анализу уравнения (12), которое эквивалентно уравнению второго порядка

s + Ts + ip(s) = 0.

(14)

Уравнение (14) подробно изучено в работах Ф. Трикоми, Л. Америо, К.Бема, Л.Н. Белюстиной, Ю.Н. Бакаева и других. В монографии Е.А.

Барбашина и В.А. Табуевой была получена оценка сепаратрисы уравнения (14)

«1

^(в) > (2 У ф(з)Лз + Г2(51 - з)2)5. (15)

3

Таким образом, условие (13) теоремы 1 выполнено, если

2 J тр^^ + Г2з? > 72.

о

Анализ последнего неравенства дает аналитическую оценку предельно допустимых нагрузок на асинхронные двигатели с короткозамкнутым и фазным ротором:

Следствие 1. Если 5с2 > 2а и 7 < ^ а, то решение системы (4) с начальными данными в = О, х = О, у = 0 удовлетворяет соотношениям (11).

Аналогичные исследования проводятся для системы (7) уравнений асинхронного двигателя с двухклеточным ротором. В данном случае задача о предельной нагрузке ставится следующим образом: найти условия, при которых решение системы (7) х(Ь), /и(£), у(Ь), с начальными данными й = 0, а; = О, /¿ = 0, у = 0, I/ = 0 находилось бы в области при-

с(а1+а2--^/(о1+о2)2-472 )

тяжения стационарного решения в = зо = -^- > х = ^ =

2

—р-ч, у = V = т.е. должны быть выполнены соотношения

С С "ТЗп

Нт й(£) = 50, Нт х(Ь) = —, 0 9, Нт = —„ 0 ,,

«->+00 (-У+ОО С2 + йд «->+00 с2 + йц

Нт 7/(4) = —9СЗ° 2, Нт и (г) = — 2.

¿->+оо 4 ' С2 + в о ¿->+оо С2 + 5о

с(а!+а2+\/(а1+аг)2-472)

(16)

Введем обозначения: =-^

'У о

■¡/>Ы =--в + (а! + аг)з - С7, Г = 2 тах

С Ае(0,с)

А с-А-

72

4с2(с - А)

Теорема 2. Пусть 7 < 2с2 и для решения уравнения FF'(5) = -^(з) - ^(а), с начальными данными Р(з\) = 0 выполнено условие

0) > 7.

1/2

Тогда решение системы (7) с начальными данными в = 0, х = О, ц = О, у = О, и = О удовлетворяет соотношениям (16).

Таким образом, исследование устойчивости «в большом» системы пятого порядка (7) также сводится к анализу уравнения (12). Используя оценку (15), получим аналитическую оценку предельно допустимых нагрузок на асинхронные двигатели с двухклеточным ротором:

Следствие 2. Если 5с2 > 2(аг 4- и 7 < ^ (а1 + а2), то решение системы (7) с начальными данными в = 0, х = 0, /х = 0, у = 0, и = О удовлетворяет соотношениям (16).

Далее получены численные оценки предельно допустимых нагрузок на асинхронные двигатели с помощью численного анализа уравнения (12) и условия (13). Для этого зафиксирован параметр внешней нагрузки на асинхронный двигатель 7 = <77тах, где и < 1 и введена замена

й = с 0, F = у/р /<\.

В случае короткозамкнутого и фазного роторов 7 = <т| и р = случае

рс2 2 >

двухклеточного ротора 7 = а2±—1 и р = ?1Лаг. Тогда, учитывая 7 = ег2?-

получим

9 Г (/тгЛ^ 1 2

- Су/рТ^р)

Г 2 Су/р—— шах од)

Р 16(1 -ц)\

Уравнение (12) примет вид

=-Гг(р) - с2М0) (17)

с начальными данными = 0, а условие (13) перепишется следующим

образом

з

^х(О) > аЦ-. (18)

В результате получим, что при фиксированных о уравнение (17) зависит от двух параметров сир. Численный анализ (17) и (18) позволяет построить график зависимости параметра р от параметра с при фиксированном а (рис.2).

На рисунке 2 области, расположенные ниже кривых 1,...,5, являются областями устойчивости систем (4) и (7). Таким образом, при фиксированных значениях внешней нагрузки 7 мы можем найти область параметров р и с (область ниже соответствующей кривой), при которых данная нагрузка будет допустимой.

18 16 14

2- ..... ; D г................:E

°0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

С

Рис. 2. Области устойчивости систем (4) и (7) при фиксированных значениях а: а = (область ниже кривой 1), а = ^ (область ниже кривой 2), сг = (область ниже кривой 3), с = | (область ниже кривой 4), с = ^ (область ниже кривой 5). Точки И, Е, Р соответствуют параметрам асинхронных двигателей 4А250М4УЗ, 4АК200М4УЗ, 4АР16034УЗ серии 4А.

В качестве примера были вычислены значения параметров рис для двигателей серии 4А с короткозамкнутым ротором 4A250M4Y3, с фазным ротором 4AK200M4Y3 и с двухклеточным ротором - 4AP160S4Y3 точки D, Е, F на рисунке 2 соответственно. Так как все точки лежат ниже кривой 5 (сг = &), то нагрузка 7 < ^7тах является допустимой для данных двигателей.

С проблемой динамической устойчивости также связана задача регулирования скорости вращения асинхронного двигателя. В работе рассмотрен широко распространенный способ регулирования скорости асинхронного двигателя посредством добавочного активного сопротивления. Этот способ применим только для асинхронных двигателей с фазным ротором благодаря возможности включения регулирующего устройства - реостата в цепь ротора. Данная задача в работе описана на примере электровоза.

Математическая постановка задачи регулирования скорости вращения асинхронного двигателя с фазным ротором при фиксированной нагрузке следующая: найти условия, при которых решение системы (4)

c(a-y/a2-4l2 ) _

x(t), y(t), s(t) с начальными данными s0 = -^-S х = у =

—находилось бы в области притяжения стационарного решения s = sb =

J,—-L x = -24° у = — 2 т.е. должны быть выполнены соотношения

2у ' nr. ' & а ' ^

lim s(t) = so, lim x{t) = lim y(t) = -X (19)

i-t+oo t->+oo ac t->+00 a

___ r (il ' \Jа2—4-у2 )

Введем обозначения: si = -^--, р

7 2- Г Л 72 M1/2

= — -s + os — 87, Г = 2 max A ( с — Л——^г——— |

с Ae(0,c) L V 4c (c-A)y_

Теорема 3.Пусть 7 < 2c2, so < si и для решения уравнения

FF'(s) = -TF(s) - (20)

с начальными данными F(s\) = 0 выполнено условие

2F(sq) > (а — л/а2 — 4-у2)11 — (21)

Тогда решение системы (4) с начальными данными s = sq, х = —-j^r, у = —^ удовлетворяет соотношениям (19).

В монографии Е.А. Барбашина и В.А. Табуевой была получена еще одна оценка сепаратрисы уравнения (14)

F (s) > Г (si - s). (22)

Таким образом, условие (21) теоремы 3 выполнено, если

4Г2(?! - s0)2 > (а - Va2 - 472)2(1 - •

Анализ последнего неравенства позволяет получить диапазон регулирования скорости вращения асинхронного двигателя с фазным ротором:

Следствие 3. Если 7 < 2с2, so < si и выполнены следующие неравенства

2 шах Ае(о,д

А [ с - А - ^

4с 2 (с -А).

472

1/2

> I (23)

с

р > 1 - ----(24)

а 4 '

то решение системы (4) с начальными данными в = Зо, х = — у = — 2

удовлетворяет соотношениям (19).

В третьей главе дана физическая интерпретация результатов, полученных во второй главе, и проведены численные эксперименты.

На рисунке 3 области 1 и 3 соответствуют допустимым нагрузкам, полученными с помощью теорем 1 и 2. Области 1 и 2 соответствуют предельно допустимым нагрузкам, при которых ротор вращается в том же направлении, что и вращающееся магнитное поле. Таким образом, область

1т

Г ■

с

»

Рис. 3. Оценки допустимых нагрузок на асинхронные двигатели; 7тах = | для системы (4), 7тах = 2°г ДЛЯ СИСТемЫ (7)

2 осталась аналитически не исследованной. В связи с этим проведены численные эксперименты поведения асинхронных двигателей при нагрузках, взятых из области 2.

В работе рассмотрены система (4) при фиксированном параметре а, с параметрами с и 7 из области 2, начальными данными в = 0,а; = 0,г/ = 0 и система (7) при фиксированных параметрах ах и с параметрами с и 7 из области 2, начальными данными й = 0,2; = — 0,у = 0,и — 0. При численном решении системы дифференциальных уравнений используется сетка с шагом 0.001 и метод Рунге - Кутта 4-го порядка. Результаты компьютерного моделирования показали, что при всех исследованных параметрах с и 7 из области 2 траектории систем стремятся к устойчивому положению равновесия, например рис. 4. Это означает, что рассмотренные нагрузки являются допустимыми и асинхронный двигатель втянется в синхронизм.

-0.2-

-0.4 -

-0.6-

0-.

-0.25 -0.5

Р1/|С. 4. Решение системы (4) при с = 0.28 и 7 = 1.3

Публикации по теме диссертации.

1. Леонов Г.А., Соловьева Е.П. Метод нелокального сведения в анализе устойчивости дифференциальных уравнений асинхронных машин // Доклады Академии наук. 2012. Сер. Математика. Т. 444, вып. 4. С.362-366.

2. Леонов Г.А., Соловьева Е.П. О специальном типе устойчивости дифференциальных уравнений асинхронных машин с ротором «двойная беличья клетка» // Вестник С.-Петерб. ун-та. 2012. Сер. 1, вып. 3. С.44-52.

3. Леонов Г.А., Соловьева Е.П. Регулирование скорости вращения асинхронного двигателя с фазным ротором // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2012. No 4. С.12-19.

4. Leonov G.A., Solovyeva Е.Р., Zaretskiy A.M., Seledzhi S.M., Stability and oscillations of electrical machines of alternating current / Proceedings of Vienna conference of Mathematical modelling (Vienna, Austria). 2012. P.l-6.

5. Соловьева Е.П. Устойчивость дифференциальных уравнений асинхронных машин / Тезисы докладов XII международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, Россия). 2012. С.296-297.

6. Leonov G.A., Solov'eva Е.Р., Kondrat'eva N.V., Zaretskiy A.M., Limit load estimation of two connected synchronous machines / Abstracts of 7th European Nonlinear Dynamics Conference (Rome, Italy). 2011. P.50.

7. Leonov G.A., Solovyeva E.P., Zaretskiy A.M. Estimation of limit load for synchronous machines / Programme of the International Workshop «Mathematical and Numerical Modeling in Science and Technology» (Jyväskylä, Finland), 2010. P.4.

8. Зарецкий A.M., Кондратьева H.B., Соловьева Е.П. Математические модели явнополюсных электрических машин / Тезисы докладов XI международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, Россия). 2010. С. 134-135.

Подписано к печати 24.09.12. Формат 60x84 7|б. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,00. _Тираж 100 экз. Заказ 5528.

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043, 428-6919

Введение

1 Математические модели асинхронных электрических машин

1.1 Электромеханические модели и принцип действия асинхронных электрических машин.

1.2 Предположения при математическом моделировании

1.3 Новая математическая модель асинхронного двигателя с ко-роткозамкнутым ротором.

1.4 Новая математическая модель асинхронного двигателя с двух-клеточным ротором

1.5 Новая математическая модель асинхронного двигателя с фазным ротором.

1.6 Сравнение с известными математическими моделями

2 Исследование устойчивости асинхронных двигателей

2.1 Статическая устойчивость.

2.2 Динамическая устойчивость асинхронных двигателей на холостом ходу.

2.3 Динамическая устойчивость асинхронных двигателей под нагрузкой

2.3.1 Задача о предельной нагрузке

2.3.2 Задача регулирования скорости вращения асинхронного двигателя с фазным ротором.

3 Физическая интерпретация

Основным видом энергии в современном мире является электрическая энергия. В качестве электромеханических преобразователей энергии широко используются асинхронные электрические машины. При их эксплуатации часто происходят изменения режимов работы машины, например, вследствие изменения момента внешней нагрузки, напряжения в сети или регулирования скорости вращения машины. Это может привести к выходу из строя машины или даже к ее поломке. Поэтому исследование устойчивости асинхронных электрических машин при различных условиях работы является актуальной и практически значимой задачей.

Асинхронная электрическая машина может работать в режиме двигателя, преобразуя электрическую энергию в механическую, и в режиме генератора, преобразуя механическую энергию в электрическую [1, 2, 3, 4]. Основное внимание в диссертации уделено асинхронным электрическим машинам в двигательном режиме. В дальнейшем для краткости будем называть такие машины асинхронными двигателями.

Асинхронные электрические машины используются в основном как двигатели, в качестве генераторов они используются редко. Асинхронные двигатели приводят во вращение самые различные машины, механизмы и устройства, применяемые в промышленности, сельском хозяйстве, быту, на транспорте, в системах автоматического управления и регулирования. Благодаря простоте конструкции и высокой надежности асинхронные двигатели используются в большинстве современных электроприводов (например, в прокатных станах, штамповочных прессах, металлорежущих станках, конвейерах, экскаваторах, бурах, мельницах, насосах, вентиляторах).

Принято считать, что история электрических машин начинается в 1821 году с изобретения английским ученым М. Фарадеем электрического двигателя. Этот двигатель, несмотря на кажущуюся простоту, до сих пор не имеет строгой математической модели.

Принцип действия асинхронных электрических машин основан на законе электромагнитной индукции и эффекте вращающегося магнитного поля [5, 6, 7, 8, 9, 10].

Впервые явление, названное магнетизмом вращения, продемонстрировал французский физик Д. Ф. Aparo (1824). Он показал, что укрепленный на вертикальной оси медный диск начинает вращаться, если вращать над ним постоянный магнит.

В 1831 году М. Фарадей открыл явления электромагнитной индукции. Открытие этого явления явилось важным этапом в развитии науки об электрических машинах, сразу же приобрело огромное научное и практическое значение и легло в основу всей современной электротехники.

Строгое научное изложение сущности явления вращающегося магнитного поля впервые независимо друг от друга дали итальянский физик Г. Феррарис и хорватский инженер и ученый Н. Тесла в 1888 году. Ферра-рис и Тесла предложили способ получения вращающегося магнитного поля при двухфазном токе и создали первые асинхронные двигатели. Двигатель Феррариса имел сплошной медный ротор, сосредоточенную двухфазную обмотку на статоре и развивал мощность до нескольких ватт. Двигатель

Теслы также имел двухфазную сосредоточенную обмотку на статоре и такую же обмотку на роторе. Однако широкого практического применения двигатели Теслы и Феррариса не получили. В тоже время вращающееся магнитное поле до сих пор лежит в основе принципа действия электрических машин переменного тока [11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26].

Началом практического применения переменного тока следует считать 1889 год, когда выдающийся русский изобретатель М.О. Доливо-Добровольский построил первый в мире трехфазный асинхронный двигатель и трехфазный трансформатор. Он заложил основы проектирования асинхронных электрических машин. За многие годы существования асинхронного двигателя в них совершенствовались применяемые материалы, конструкции отдельных узлов и деталей, технология их изготовления. Однако принципиальные конструкторские решения, предложенные М.О. Доливо-Добровольским, в основном остались неизменными.

Первые работы по математической теории электрических машин появились в середине 20-40-х годов. К ним относятся работы Ф. Трикоми [27, 28], Р. Парка [29, 30, 31], A.A. Горева [32, 33], Г. Крона [34, 35] и других.

Фундаментальными работами по математической теории электрических машин являются работы Ф. Трикоми. Он вывел простейшее дифференциальное уравнение синхронной машины - уравнение второго порядка - и провел глобальное качественное исследование этого уравнения, доказал существование нетривиальной глобальной бифуркации и получил оценки бифуркационных значений параметров.

Ценный вклад в развитие теории сделал Г. Крон в трех работах [34, 35, 36]. В этих работах Г. Крон предложил модель и уравнения обобщенной электрической машины - идеализированной двухполюсной машины с двумя парами обмоток на статоре и роторе. Он впервые выдвинул исходное понятие об обобщенной электрической машине, изложив теорию с применением матричного анализа.

Различают две основные группы режимов асинхронной электрической машины: рабочие (установившиеся) режимы и переходные режимы. При эксплуатации асинхронных электрических машин часто возникают ситуации, связанные с малыми и большими возмущениями рабочих режимов. Способность электрической машины восстанавливать установившийся режим после сколь угодно малого его возмущения называют статической устойчивостью. Термин статическая устойчивость в теории электрических машин соответствует термину асимптотическая устойчивость (устойчивость «в малом») в теории дифференциальных уравнений. Статическая устойчивость является необходимым условием работоспособности асинхронной электрической машины. Статическая устойчивость позволяет определить параметры рабочего режима машины.

К 30-м годам 20 века в трудах Э. Арнольда, Р. Рихтера, А. Блонделя, Л. Дрейфуса, М. Видмара, К. Штейнметца, К.А. Круга, К.И. Шенфера, В.А. Толвинского, М.П. Костенко и других была достаточно глубоко разработана теория установившихся режимов электрических машин.

При исследовании статической устойчивости асинхронного двигателя в инженерной практике чаще всего используется его статическая механическая характеристика, из которой при пренебрежении сопротивлением статорных обмоток получается хорошо известная формула Клосса [37]. Такой подход хорошо согласуется с практикой эксплуатации асинхронного двигателя.

При эксплуатации асинхронных двигателей возможны не только малые, но и значительные возмущения рабочих режимов. Динамической устойчивостью называют свойство электрической машины возвращаться к рабочему режиму после значительных возмущений. Термин динамическая устойчивость асинхронной машины в теории электрических машин соответствует термину устойчивость «в большом» в теории дифференциальных уравнений.

Впервые необходимость изучения переходных процессов в электрических машинах возникла в первой половине 20 века. Результаты исследований этих процессов были опубликованы в работах Р. Догерти и К. Найкла [38, 39, 40], Р. Рюденберга [41, 42, 43], Ф. Лонглея [44].

Большой вклад в развитие теории переходных процессов внесли также P.A. Лютер [45], Б. Адкинс [6], Е.Я. Казовский [46], А.И. Важнов [47], A.A. Горев [48, 49].

В монографии [6] на основе обобщенной электрической машины систематически излагается общая теория электрических машин, охватывающая установившиеся режимы и переходные процессы. Приводится много примеров применения общей теории при анализе отдельных электрических машин.

В вышедшей в 1959 году в США фундаментальной монографии Д. Уайта и Г. Вудсона [50] выводятся уравнения обобщенной электрической машины. Показывается, что на основе этих уравнений может быть проведен анализ практически всех используемых электромеханических преобразователей. Особое внимание уделяется динамическим режимам работы электромеханических устройств.

Эффективными методами исследования динамической устойчивости электрических машин оказались методы A.M. Ляпунова. Впервые эти методы применил в 1958 г. A.A. Янко-Триницкий для анализа устойчивости синхронных двигателей [16].

С проблемой динамической устойчивости тесно связана задача о предельной нагрузке [15, 16, 51, 52, 53, 54]. Данная задача возникает во время эксплуатации асинхронных двигателей при внезапном изменении момента нагрузки на валу, например, когда двигатель используется в приводе металлорежущего станка или в приводе буровой установки. Наброс нагрузки может быть продолжительным и кратковременным. В обоих случаях возникает проблема расчета допустимой нагрузки, при которой двигатель в результате переходного процесса перейдет к новому устойчивому режиму работы.

Типичной является также ситуация, когда асинхронный двигатель запускается без нагрузки, в переходном процессе затягивается в синхронизм, и только потом происходит наброс нагрузки.

Численное решение задачи о предельной нагрузке при частных значениях параметров приводится в работе В. В. Лиона и X. Е. Эджертона [55], а также в монографии Дж. Стокера [56].

В инженерной практике для определения предельного наброса нагрузки используют так называемый метод площадей.

Математическая постановка задачи о предельной нагрузке и методы её решения рассматриваются в [5, 13, 15, 16, 57, 52, 53, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65], где проводится обоснование метода площадей и получены оценки допустимых нагрузок для электрических двигателей. При этом используются различные математические модели электрических двигателей и функции Ляпунова вида: квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности. Задача о предельной нагрузке для асинхронных двигателей связана с задачей определения областей притяжения устойчивых состояний равновесия, соответствующих рабочим режимам этих двигателей.

Сложность построения функций Ляпунова для многомерных моделей динамических систем привела к необходимости развития различных обобщений второго метода Ляпунова. В монографии А.Х. Гелига, Г.А. Леонова, В.А. Якубовича [66] при исследовании устойчивости электрических двигателей помимо типовых функций Ляпунова используются функции, содержащие информацию о решениях двумерного уравнения сравнения (уравнения Ф. Трикоми для синхронных двигателей). Эти функции ляпуновского типа составляют суть метода нелокального сведения [67, 68].

Метод нелокального сведения был первоначально развит для исследования глобальной устойчивости и колебаний дифференциальных уравнений систем автоматического управления и синхронных электрических машин [66, 69, 70]. Для асинхронных машин переменного тока элементы этого метода были введены в [54, 63, 71], где рассматривается важная для приложений задача о предельной нагрузке.

С проблемой динамической устойчивости также связана задача регулирования скорости вращения асинхронного двигателя [47, 72]. Данная задача возникает, когда необходимо изменить скорость рабочих механизмов, приводимых в движение асинхронными двигателями, например, в установках электрической тяги (на электровозах), в подъемных устройствах. В результате появляется задача нахождения диапазона регулирования скорости вращения асинхронного двигателя.

В диссертации рассмотрен широко распространенный способ регулирования скорости асинхронного двигателя посредством добавочного активного сопротивления. Данный способ применим только для асинхронных двигателей с фазным ротором благодаря возможности включения регулирующего устройства - реостата в цепь ротора.

Диссертационная работа посвящена выводу дифференциальных уравнений асинхронных электрических машин и исследованию их устойчивости. Изучаются электромеханические и математические модели асинхронных двигателей. Рассматриваются следующие задачи: задача статической устойчивости, задача динамической устойчивости, задача о предельной нагрузке, задача регулирования скорости вращения асинхронного двигателя с фазным ротором.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, списка литературы из 95 наименований и двух приложений.

1. Иванов-Смоленский А.В. Электрические машины. М.:Энергия. 1980. С.928.

2. Nasar S.A. Electric Machines and Power Systems: Electric machines. McGraw-Hill. 1995. P.410.

3. Kothari D.P., Nagrath I.J. Electric Machines. Tata McGraw-Hill Education. 2004. P.778.

4. Sah P. Fundamentals of alternating-current machines. McGraw-Hill book company, inc. 1946. P.466.

5. Адкинс Б. Общая теория электрических машин. М. — JL, Госэнерго-издат. 1960. С.272.

6. Alger P.L. Induction Machines: Their Behavior and Uses. Gordon and Breach. 1970. P.518.

7. Sarma M. S. Electric machines: steady-state theory and dynamic performance. West. 1994. P.649.

8. Salam M.A. Fundamentals of Electrical Machines. Alpha Science. 2005. P.376.

9. Gross С. A. Electric machines. Taylor к Francis. 2006. P.450.

10. Sheldon S., Nostrand Van D. Alternating-current machines. New York. 1908.

11. Dawes C.L. A course in electrical engineering, Volume 1. McGraw-Hill Book Company. 1920.

12. Bryant J.M., Johnson E.W. Alternating current machinery. McGraw- Hill Book Company. 1935. P.457.

13. Hehre F.W., Harness G.T. Electrical circuits and machinery. New York, NY : Wiley. 1940. P.513.

14. Annett F.A. Electrical Machinery: a Practical Study Course on Installation, Operation and Maintenance. N. Y.: McGraw-Hill. 1950. P.431.

15. Янко-Триницкий А.А. Новый метод анализа работы синхронных двигателей при резкопеременных нагрузках. М.-Л.: ГЭИ. 1958. С.104.

16. Walsh Е. М. Energy conversion: electromechanical, direct, nuclear. Ronald Press Co. 1967. P.408.

17. Mablekos V.E. Electric machine theory for power engineers. Harper & Row. 1980. P.698.

18. Rajagopalan V. Computer-aided analysis of power electronic systems. Taylor к Francis. 1987. P.552.

19. Beaty H.W., Kirtley J.L. Electric motor handbook. McGraw-Hill Professional. 1998. P.400.

20. Drury B. The Control Techniques drives and controls handbook. IET. 2001. P.394.

21. Rajput R. K. Alternating Current Machines. Firewall Media. 2002. P.882.

22. Rajput R. K. A Textbook of Electrical Machines. Firewall Media. 2006. P. 1304.

23. Hughes A. Electric motors and drives: fundamentals, types and applications. Newnes. 2006. P.410.

24. Begamudre R.D. Electromechanical Energy Conversion With Dynamics Of Machines. New Age International. 2007. P.620.

25. Bakshi V.A., Bakshi U.A. Electrical Machines. Technical Publications. 2009. P.534.

26. Tricomi F. Sur une equation differetielle de l'electrotechnique // C.R. Acad. Sci. Paris. 1931. T. 193. P.635-636.

27. Tricomi F. Integrazion di unequazione differenziale presentatasi in electrotechnica // Annali della R. Shcuola Normale Superiore di Pisa. 1933. Vol. 2, No 2. P. 1-20.

28. Park R.H. Definition of an ideal synchronous machine and formula of armature flux linkage // Gen. Electric. Rev. 1928. Vol. 31. P.332-334.

29. Park R.H. Two-reaction theory of synchronous machines generalized method of analysis. Part I // AIEE Transections. 1929. Vol. 48. P.716-727.

30. Park R.H. Two-reaction theory of synchronous machines generalized method of analysis. Part II // AIEE Transections. 1933. Vol. 52. P.352-355.

31. Горев A.A. Высоковольтные линии передачи электрической энергии. Л.: КУБУЧ. 1927. С.87.

32. Горев A.A. Введение в теорию устойчивости параллельной работы электрических станций, ч. I. Л.: КУБУЧ. 1935.

33. Krön G. The application of tensors to the analysis of rotating electrical machinery // G.E. Review. 1935. Vol. 36. P. 181

34. Krön G. Tensor analysis of networks. Chapman &; Hall. 1939.

35. Krön G. The application of tensors to the analysis of rotating electrical machinery. General Electric Review. 1942.

36. Kazmierkowski M. P., Tunia H. Automatic control of converter-fed drives. Elsevier. 1994. P.559.

37. Doherty R.E., Nickle C.A. Synchronous machines. Part I and II. An extension of Blondel's two-reaction theory. Steady-state power angle characteristics // AIEE Trans. 1926. Vol. 45. P.912-942.

38. Doherty R.E., Nickle C.A. Synchronous machines. Part III. Torque angle characteristics under transient conditions // Trans. AIEE. 1927. Vol.46. P.l-18.

39. Doherty R.E., Nickle C.A. Three-phase short circuit synchronous machines // Quart. Trans. AIEE. 1930. Vol. 49. P.700-714.

40. Rudenberg R. Die synhronierende leistung grosser Wechsebstrom-maschinen // Wiss. Veroff. S.-K. 1931. Bd. 10, H. 3. S.41.

41. Rudenberg R. Saturated synchronous machines under transient condition in the pole axis // Tr. AIEE. 1942. P.297-306.

42. Рюденберг P. Переходные процессы в электроэнергетических системах. М.: Изд-во иностр. лит. 1975. С.375.

43. Longley F.R. The calculation of alternator swing curves. The step by step method // Tr. AIEE 1954. Vol. 73. P.1129-115.

44. Лютер P.A. Теория переходных режимов синхронной машины. Изд. ЛЭМИ. 1939. С.88.

45. Казовский Е.Я. Переходные процессы в машинах переменного тока. М.-Л.: Изд-во АН СССР. 1962. С.624.

46. Важнов А.И. Электрические машины. Л. «Энегрия». 1969. С.768.

47. Горев А. А. Избранные труды по вопросам устойчивости электрических систем. М.-Л.: ГЭИ. 1960.

48. Горев А.А. Переходные процессы синхронной машины. Л.: Наука. 1985. С.502.

49. White D.C., Woodson Н.Н. Electromechanical energy conversation. New York, John Wiley and Sons, Inc. 1959. P.528.

50. Haque M.H. Further developments of the equal-area criterion for multimachine power systems // Electric Power Systems Research. 1995. Vol. 33, No. 3. P. 175-183.

51. Das J.C. Power system analysis: short-circuit load flow and harmonics. Taylor & Francis. 2002. P.868.

52. Bianchi N. Electrical machine analysis using finite elements. Taylor & Francis. 2005. P.304.

53. Леонов Г.А., Кондратьева H.B. Анализ устойчивости электрических машин переменного тока. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 2009. С.259.

54. Lyon W.V., Edgerton Н.Е. Transient torque angle characteristics of synchronous mashines / Trans. Amer. Inst. Electr. Eng. 1930. Vol. 39.

55. Stoker J.J. Nonlinear vibrations in mechanical and electrical systems. Interscience. 1950. P.273.

56. Blalock G.C. Principles of electrical engineering: theory and practice. McGraw-Hill. 1950. P.605.

57. Барбашин E.A., Табуева В.А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. М.: Наука. 1969. С.299.

58. Chang H.-Ch., Wang М.Н. Another version of the extended equal area criterion approach to transient stability analysis of the Taipower system // Electric Power System Research. 1992. Vol. 25, No 2. P. 111-120.

59. Miller R. H., Malinowski J. H. Power system operation. McGraw-Hill Professional. 1994. P.271.

60. Nasar S. A., Trutt F. C. Electric power systems. Taylor & Francis. 1998. P.320.

61. Леонов Г.А., Кондратьева H.B., Родюков Ф.Ф., Шепелявый А.И. Нелокальный анализ дифференциальных уравнений асинхронной машины // Нелинейная механика (М.: ФИЗМАТЛИТ). 2001. С. 257-280.

62. Леонов Г.А. Фазовая синхронизация. Теория и приложение // Автоматика и телемеханика. 2006. No. 10. С.47-85.

63. Glover J.D., Sarma M.S., Overbye T.J. Power system analysis and design. Thomson Engineering. 2008.

64. Wadhwa C. L. Electrical power systems. New Age International. 2009. P.980.

65. Гелик A.X., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука. 1978. С.400.

66. Леонов Г.А. Метод нелокального сведения в теории абсолютной устойчивости нелинейных систем 1 // Автоматика и телемеханика. 1984. No2. С.45-53.

67. Леонов Г.А. Метод нелокального сведения в теории абсолютной устойчивости нелинейных систем 2 // Автоматика и телемеханика. 1984. No3. С.48-56.

68. Leonov G.A., Reitmann V., Smirnova V.B. Non-Local Methods for Pendulum-Like Feedback Systems. Stuttgart-Leipzig, Teubner VerlagsgesellSchaft. 1992. P.242.

69. Yakubovich V.A., Leonov G.A., Gelig A.Kh. Stability of Stationary Sets in Control Systems with Discontinuous Nonlinearities. Singapore: World Scientific. 2004. P.334.

70. Leonov G.A. Discontinuous load rating problem for induction motors // Technische mechanik. 2004. Band 24, Heft 3-4. P.271-276.

71. Marino R., Tomei P., Verrelli С. M. Induction motor control design. Springer. 2010. P.349.

72. Брускин Д.Э., Зорохович A.E., Хвостов B.C. Электрические машины. Часть 1. М.: Высшая школа. 1979. С.288.

73. Лотоцкий К.В. Электрические машины и основы электропривода. М.: Колос. 1964. С.495.

74. Leonhard W. Control of electrical drives. Springer. 2001. P.460.

75. Халил X.K. Нелинейные системы. НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". 2009. С.832.

76. Уайт Д., Вудсон Г. Электромеханическое преобразование энергии. М.-Л.: Энергия. 1964. С.528.

77. Anderson P.M., Fouad A.A. Power system control and stability. Thelowa State University Press. 1977.

78. Merkin D.R. Introduction to the theory of stability. Springer. 1997. P.319.

79. Ушаков Е.И. Статическая устойчивость электрических систем. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние. 1988. С.273.

80. Леонов Г.А., Селеджи С.М. Системы фазовой синхронизации в аналоговой и цифровой схемотехнике. С.-Петербург: "Невский Диалект". 2002. С.112.

81. Leonov G. A. Mathematical problems of control theory. World Scientific. 2001. P. 172.

82. Леонов Г.А. Теория управления. СПб.: Изд-во С.-Петербургского университета. 2006. С.234.

83. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука. 1967. С.336.

84. Блехман И.И. Вибрационная механика. Физматлит. 1994. С.394.

85. Langsdorf A.S. Theory of alternating-current machinery. McGraw-Hill. 1955. P.666.

86. Natarajan R. Computer-aided power system analysis. Taylor Francis. 2002. P.392.

87. Ong C. Dynamic Simulation of Electric Machinery. Prentice Hall. 1997.

88. Toliyat H.A., Kliman G.B. Handbook of electric motors. Taylor & Francis. 2004. P.850.

89. Барбашин E.A., Красовский H.H. "Об устойчивости движения в целом", ДАН СССР, 1952. Т.86, No3, 453-459 с.

90. Леонов Г.А., Соловьева Е.П. Метод нелокального сведения в анализе устойчивости дифференциальных уравнений асинхронных машин // Доклады Академии наук, Сер. Математика. 2012. Т.444, No4. С.362-366.

91. Леонов Г.А., Соловьева Е.П. О специальном типе устойчивости дифференциальных уравнений асинхронных машин с ротором «двойная беличья клетка» // Вестник С.-Петерб. ун-та. 2012. Сер. 1, вып. 3. С.44-52.

92. Дмитриев В.Н. Проектирование и исследование асинхронных двигателей малой мощности. Ульяновск: УлГТУ. 2006. С.92.

93. Кравчик А.Э., Шлаф М.М., Афонин В.И. Асинхронные двигатели серии 4А. Справочник. М.: Энергоатомиздат. 1982. С.504.

94. Леонов Г.А., Соловьева Е.П. Регулирование скорости вращения асинхронного двигателя с фазным ротором // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2012. N0 4. С. 12-19.