Устойчивость и колебания буровых установок тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

005053319

КИСЕЛЕВА Мария Алексеевна

УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ БУРОВЫХ УСТАНОВОК

01.02.01 - Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 1 0КТ21Л2

Санкт-Петербург 2012

005053319

Работа выполнена на кафедре прикладной кибернетики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор ЛЕОНОВ Геннадий Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

БЕЛЯЕВ Александр Константинович (Институт проблем машиноведения Российской академии наук (ИПМаш РАН), заместитель директора по научной работе)

доктор физико-математических наук, профессор ЮШКОВ Михаил Петрович (Санкт-Петербургский государственный университет, профессор)

Ведущая организация: Институт прикладной физики Российской

академии наук (г. Нижний Новгород)

Защита состоится 1 ноября 2012 г. в 14.00 часов на заседании совета Д212.232.30 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 28, математико-механический факультет, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

КустоваЕ.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В диссертации рассмотрены электромеханические модели буровых установок использующих асинхронный двигатель в качестве привода. В случае, когда бур является абсолютно твердым, с помощью аналитических и численных методов решена задача о предельной нагрузке. Для двухмассовой электромеханической модели буровой установки с буром, испытывающим крутильные колебания, проведено компьютерное моделирование.

Актуальность темы. Выход из строя бурового оборудования является частой проблемой в нефтегазодобывающей промышленности. Поэтому задача исследования переходных процессов возникающих в буровых установках при бурении является актуальной.

Основное внимание в настоящей работе уделено изучению динамики буровых установок с асинхронным электродвигателем.

Разработанный критерий устойчивости для простейшей модели буровой установки позволяет получить допустимую нагрузку на бур при смене среды бурения. В случае двухмассовой модели буровой установки найдены скрытые колебания, т.е. колебания, которые не устанавливаются после переходного процесса из окрестностей стационарных состояний. Таким образом, поломки бурового оборудования могут быть обусловлены наличием данных колебаний.

Цель работы. Целью работы является разработка математических моделей буровых установок, использующих асинхронный двигатель в качестве привода, и изучение влияния различных нагрузок на данные модели с использованием аналитических и численных методов исследования динамических систем, современных вычислительных средств и специализированных математических пакетов.

Методы исследования. Методы исследования включают в себя аналитические (метод функций Ляпунова, методы исследования дифференциальных уравнений с разрывной правой частью) и численные методы исследования устойчивости динамических систем.

Результаты, выносимые на защиту.

• Разработана математическая модель буровой установки с абсолютно твердым буром, приводимой в движение асинхронным двигателем. Решена задача о предельной нагрузке.

• Введена адекватная характеристика нагрузки в виде несимметричного сухого трения и показано, что при определенных условиях предельно допустимая резкопеременная нагрузка определяется значением максимальной постоянной нагрузки, при которой система имеет стационарный режим.

• Описана двухмассовая математическая модель буровой установки, приводимой в движение асинхронным двигателем. Проведены исследования данной модели в пакете Matlab и найдены скрытые колебания.

Достоверность результатов. Все полученные аналитические результаты математически строго доказаны.

Научная новизна. Все основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Разработанные в диссертации модели позволяют производить более эффективный анализ работы буровых установок.

Апробация работы. Результаты данной работы докладывались на международных конференциях "4t,h IEEE International Conference on Nonlinear Science and Complexity" (Будапешт, Венгрия - 2012), "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", конференция Пятницкого (Москва, Россия - 2012), "Шестые поляховские чтения" (Санкт-Петербург, Россия - 2012), "МКПУ-2011" (Дивноморское, Россия - 2011), конференция памяти В.Я. Ривкинда (Финляндия, Ювяскюля - 2010) и на семинарах кафедры прикладной кибернетики (2009 - 2012).

Публикация результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 печатных работах, в том числе в 2 журнальных статьях.

Статьи [1,2] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

В работах [1,3-4,6] соавторам принадлежит общая постановка задачи. В работе [1] диссертантом получена оценка предельно допустимой резкопеременной нагрузки для модели буровой установки с несимметричным сухим трением и проведено компьютерное моделирование. В работе [3] Киселевой М.А. введена двухмассовая математическая модель буровой установки, приводимой в движение асинхронным двигателем, и проведен локальный анализ полученной системы. В работах [4,6] Киселева М.А. провела анализ систем буровых установок и компьютерное моделирование, в результате которого были обнаружены скрытые колебания.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, трех приложений, списка литературы, включающего 103 наименования, изложена на 103 страницах машинописного текста и содержит 35 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается история исследования асинхронных двигателей и различных моделей буровых установок и представлен обзор литературы, посвященной изучению буровых установок. Также во введении обосновываются актуальность и научная новизна диссертации, формулируются задачи, решаемые в диссертации.

Первая глава посвящена описанию простейшей электромеханической модели буровой установки с асинхронным приводом и решению задачи о предельной нагрузке для данной модели.

В работах Н. Nijmeijer, N. van de Wouw, N. Mihailovic и др. была рассмотрена модель буровой установки, состоящая из верхнего диска, приводимого в движение двигателем, упругого стального стержня, нижнего диска и тормозного механизма. Верхний и нижний диски соединены стальным стержнем и оба диска могут вращаться относительно своей оси (см. Рис. 1). Тормозной механизм используется

Двигатель

■а Б I " I

ви Верхний диск

0/ Нижний диск

Момент трения Рис. 1. Модель буровой установки.

для моделирования силы трения, действующей на нижний диск.

Дифференциальные уравнения вращения верхнего и нижнего дисков запишутся следующим образом:

jJu(t) + ke{9u{t) - e,(t)) + b(èu(t) - 0,(t)) + Tfu(êu) -kmU = 0,

mu) - kg(eu(t) - 0,(4)) - b(èu(t) - èi(t)) + Tfi0i) = o.

Здесь 9U и 0[ - угловые смещения верхнего и нижнего дисков. Ju и J; - моменты инерции, ку, Ь, кт - неотрицательные коэффициенты, и -постоянное напряжение, Tfu(9u) и Tfi{0{) - моменты трения, действующие на верхний и нижний диски.

Данная двухмассовая модель удобна для проведения анализа поведения модели буровой установки. Однако, недостатком предложенной модели является то, что в ней нс учитывается в1 полной мере динамика двигателя, который приводит в действие верхний диск.

Предположим теперь, что бур является абсолютно твердым телом, жестко связанным с ротором, который вращается под действием магнитного поля, создаваемого статором асинхронного двигателя. Величина взаимодействия бура с породой определяется величиной момента сопротивления, который возникает в процессе бурения. Такая система испытывает резкопеременные нагрузки при вхождении бура в твердую породу, поэтому необходимо исследовать поведение асинхронного двигателя при скачке нагрузки, т.е. при резком изменении момента сопротивления, действующего па бур.

В качестве уравнений электромеханической модели буровой установки возьмем уравнения асинхронного двигателя, дополненные моментом силы сопротивления бурению М}\

Ь'ч + = 8В{зіп0)0,

Ьі2 + Ш2 = БВ{со8в)в, (2)

19 = -^БВ^зіпв + і2созв) + М/(шт/ + в).

Здесь 0 - угол поворота бура относительно создаваемого статором магнитного поля, вращающегося с постоянной угловой скоростью и>т/, гг, «2 - токи в обмотках ротора, 72 - сопротивление обмоток, Ь - индуктивность обмоток, Б В - магнитный поток сквозь ротор, I - момент инерции бура, /3 - коэффициент пропорциональности, ш = в + - угловая скорость вращения бура относительно неподвижной системы координат. Примем, что момент силы сопротивления Мі - кулоновского типа. Здесь, в отличие от классического закона кулоновского трения с симметричной разрывной характеристикой момент силы сопротивления М; имеет несимметричную характеристику, изображенную на рис. 2.:

| -Т0 при со > О М} = ^

уМТп при ш < 0.

М, То > 0, число М - принимается достаточно большим. Это адекватно тому, что бурение (или сверление) происходит только при ш > 0. В реальных системах па переходных режимах такая характеристика "запрещает" переход от положительных к отрицательным и. В этом случае

г ) 1 мт0

0 -Т0 СО

Рис. 2. Момент силы сопротивления М/.

система может лишь "застрять" на значениях ш = 0 на некотором промежутке времени. Эти эффекты часто наблюдаются в процессе бурения.

Заменой переменных

5 = -в,

х = —— (iiC0.se - г2вгпв), Е

У = —(гнітів + г2сов0) система (2) сводится к следующей системе:

¿ = ау + ф,у),

у = су -в-хв, (3)

X -- —сх 4- ув,

Я _

где о = ———, с = —. Здесь переменные х, у определяют электрические величины в обмотках ротора, а переменная в определяет скольжение ротора. Для (¡{в, у) справедливо следующее доопределение по Филиппову:

То

где 7 = —.

7, если s = wmf, j/ < — или s < ojmf, —7М, если S = у > - ИЛИ S > Lümf,

а ..

7 Л/7 -си/, если s = Lümf,--< у <-,

Введем параметр утах = —-Локальный анализ состояний

с2 +а;т/2

равновесия системы уравнений (3) показывает, что при 0 < у < утах система (3) имеет единственное асимптотически устойчивое состояние равновесия.

Действительно, в случае 7 = 0 система (3) имеет единственное асимптотически устойчивое состояние равновесия в = 0, у = 0, х = 0, которое соответствует вращению бура с постоянной угловой скоростью, совпадающей с угловой скоростью вращения магнитного поля (работа па холостом ходу).

При 7 е (0,Утах) система (3) имеет одно состояние равновесия:

с(а - у/а2 - 472) 7 7S„

fio =---, yo =--, х0 =--,

а ас

где sо - меньший корень уравнения

acs

с2 + s2 Г

В этом случае бур вращается в том же направлении, что и магнитное поле, НО С меньшей угловой скоростью So < U)mf.

Пусть в момент времени t = т происходит скачок нагрузки с 7о до 7i, где 0 < 7о < 7! < 7тах. Такая ситуация возникает при переходе в более твердую среду бурения. При 7 = 7о система имеет единственное

cía — Ja2 — 47o2) 7о

устойчивое состояние равновесия s0 = —---yo = —х0 =

7 27О а'

. Важно, чтобы в новом переходном режиме решение s(t), x(t), y(t)

ас

системы (3) с 7 = 7! и начальными условиями s(t) = —-\/а'

27o

( \ fo i \ ^oSo

У\т) =--í x{t) =--стремилось при t —> +oc к стационарной точке

а _ ас

с(а - у/а2 - А-ух2) _

71 7isi

= -^-, 2/1 =--, хг =

271 а ас

В работе доказаны следующие утверждения: Теорема 1. Пусть выполнены условия

"№ < 7шах, (4)

7l < min {"Уmax, 2с2}, (5)

wra/

(71-7о)2„ 2 ^ (71-7а)2 ^ f , (1 + М)\ 2

2с2

V+ „ "" < J ФШз+ (1+2М) 712. (6)

Тогда решение системы (3) с 7 = 71 и начальными даннъши s(r) =

с(д - у/а,2 - 47о2) 7о 7oso . ^ ,

---, у(т) =--, х(т) =--стремится при t —> +00 к

270 ' а ас

состоянию равновесия этой систе.мы.

Следствие 1. Пусть выполнены условия

70 ^ 7mam (7)

7! < min {jmax, 2с2} , (8)

3(М2 + 2M)7l2 - 8c27i + Зас2 > 0. (9)

Тогда решение системы (3) cuimf = с, 7 = 71 и начальными данными

< ч с(а - \/а2 — 47О2) 70 , , 70S0

sir) = -, ym =--, a:(r) =--стремится при

Z7o а ас

t —> +00 к состоянию равновесия этой системы.

Следствие 2. Пусть М - достаточно большое положительное

ЧиСЛО, U!mf = с, 7о = 0 и

7l < mm 2с2} . (10)

Тогда решение системы (3) с 7 = 71 и начальными данными s(r) = 0, у{т) = 0, .т(г) = 0 стремится при t —> +00 к состоянию равновесия этой сг1стемы.

Рис. 3. 1 — область допустимой нагрузки в силу условий теоремы, 2 — область допустимой нагрузки, полученная моделированием системы.

В случае 2с2 < ^ для значений 7х є (т.е. условие (10)

не выполняется) было проведено компьютерное моделирование системы (3) (область 2 на рис. 3), которое показало, что сохраняется утверждение следствия.

Во второй главе рассматривается электромеханическая модель буровой установки с асинхронным приводом, учитывающая деформацию бура при кручении.

Дополним рассмотренную ранее двухмассовую модель буровой установки уравнениями асинхронного двигателя:

ЬЇг + Піх = ЗВ(згпви)8и, ЬЇ2 + ЯІ2 = ЗВ{со.ъви)0и,

ЛА + кв{ви - 6>,) + Ь{9и - ві) + ^5В(гівт0и + і2{і)созви) = 0, ^^ Мі - ке{в-и - 0[) - Ь(ви - 9і) + Тц{шт1 + 0,) = 0.

Здесь 0и, 0і угловые смещения ротора и нижнего диска относительно

вращающегося магнитного поля, ujmf - скорость вращения магнитного ПОЛЯ, Tfl(u!mf + 0i) - момент силы трения. Сделав замену переменных

s = ~9и,

х = ixcosdu - i2sineu), У = iisin9u + i2cosdu),

и = -di, 9 = вц - в[, получим систему 5-го порядка

у = —су — s — XS, х = — сх 4- ys,

é = u~s' (и)

■ ква Ь , .a s = —в + —(и - s) + —у,

й = —-0 - -у(и - s) + —Tfl(umf - и), Ji Ji Ji

0{SBf R Здесь a =---, с = —.

Lj LJ

Рассмотрим случай, когда сила трения имеет несимметричную характеристику, рассмотренную ранее:

глм = (7 w>0

1 —М7 при и>[ < О, где U>1 = U!mf — и. Здесь по-прежнему М, 7 > 0.

Тогда может быть проведен локальный анализ системы, и

справедлива следующая теорема:

Теорема 2. При b = 0, 0 < 7 < утл:с = » ' „ система (12)

с + Umf¿

имеет одно асимптотически устойчивое состояние равновесия:

7so 7 а 7 /1дч

s0 = Uq, х0 =--, yo =--, в0 - , (13)

ас a kg

где so - это наименьший корень уравнения

acs

2 , о = 7-c¿ + s¿

Рис. 4. Момент силы трения Т^

В ходе численного анализа системы удалось обнаружить устойчивые режимы работы буровой установки и режимы, при которых бур останавливается. '

Рассмотрим более сложную модель трения - срывное трение. Пусть теперь момент силы трения имеет следующий вид (см. рис. 4)

7/1 (<*>/•) =

І Тсі{и>і)8Ідп{и>і), при Ш\ф О

\ [-7^1, ТУ, при ші = О,

= Т/г + СТЛ - + |,

(14)

(15)

где Та, Т/1, ша, 6Я1 и 6г - неотрицательные коэффициенты.

Проведение качественного анализа системы подобного типа является сложной задачей из-за наличия срывиого трения.

В работе было проведено компьютерное моделирование данной системы.

При определенных параметрах в системе возникают так называемые скрытые колебания - колебания, область притяжения которых не содержит

Рис. 5. Скрытые колебания в математической модели буровой установки, приводимой в движение асинхронным двигателем - проекция на {9, 5, и}.

Рис. б. Скрытые колебания в математической модели буровой установки, приводимой в движение асинхронным двигателем - проекция на {х, в, и}.

окрестность состояния равновесия. На рис. 5-7 изображены найденные в системе устойчивое состояние равновесия и устойчивый предельный цикл, что свидетельствует о наличии скрытых колебаний.

Этот результат показывает, что такой сложный эффект как скрытые колебания возникает даже в достаточно простых моделях. Локализация

Рис. 7. Скрытые колебания в математической модели буровой установки, приводимой в движение асинхронным двигателем - проекция на {?/, в, и}.

скрытых колебаний является трудной задачей т.к. часто не удается найти скрытые колебания при моделировании системы со случайными данными мала в силу малости области притяжения. Поэтому необходимо развитие аналитических методов исследования подобных систем.

Приложения.

В Приложении 1 представлен компьютерный код алгоритма построения траекторий трехмерной системы буровой установки.

В Приложении 2 представлен компьютерный код алгоритма вычисления и локального исследования состояний равновесия для пятимерной системы буровой установки со срывным трением.

В Приложении 3 представлен компьютерный код построения устойчивого состояния равновесия и скрытых колебаний (устойчивого предельного цикла) для пятимерной системы буровой установки со срывным трением.

Публикации автора по теме диссертации.

1. Леонов Г.А., Киселева М.А. Устойчивость электромеханических моделей буровых установок при резкопеременных нагрузках // Доклады Академии наук, 2012, Том 444, Вып. 2, с. 160-164.

2. Киселева М.А., Локальная устойчивость буровых установок приводимых в движение асинхронным двигателем // Вестник С.-Петерб. ун-та, 2012, сер. 1, Вып. 3, с. 39-41.

3. М. Kiseleva, N. Kuznetsov, G. Leonov, P. Neittaanmaki. Mathematical Problem for Drilling System /'/' Abstracts of the International Workshop ''Mathematical and Numerical Modelling in Science and Technology", 2010, .Jyvaskyla, Finland, p. 16.

4. Киселева M.A., Леонов Г.А. Задача устойчивости буровой установки при резкопеременных нагрузках //' Международная научная конференция по механике "Шестые поляховскио чтения", Тезисы докладов, 2012, Санкт-Петербург, Россия, с. 45.

5 Киселева М.А. Математическая модель буровой установки с асинхронным двигателем // XII Международная конференция "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (конференция Пятницкого), Тезисы докладов, 2012, Москва, Россия, с. 171.

6. Kiseleva М., Kuznetsov N., Leonov G., NeiUaanmiiki P. Drilling Systems Failures and Hidden Oscillations // Proceedings of the 41 n IEEE International Conference on Nonlinear Science and Complexity i'NSC-2012), 2012, Budapest, Hungary, pp. 109-112.

Подписано к печати 24.09.12. Формат 60 х 84 % . Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,00. _Тираж 100 экз. Заказ 5526.

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043, 428-6919

Введение

1 Электромеханическая модель буровой установки с абсолютно твердым буром, использующей в качестве привода асинхронный двигатель.

1.1 Математическая модель асинхронного двигателя.

1.2 Простейшая математическая модель буровой установки.

1.2.1 Некоторые сведения из теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью.

1.2.2 Описание модели буровой установки.

1.2.3 Локальный анализ уравнений.

1.2.4 Постановка задачи о предельной нагрузке. Критерий глобальной устойчивости модели.

1.2.5 Численное моделирование уравнений.

2 Электромеханическая модель буровой установки с гибким буром, использующей в качестве привода асинхронный двигатель.

2.1 Двухмассовая модель буровой установки приводимой в движение асинхронным двигателем.

2.2 Локальный анализ уравнений.

2.3 Численное моделирование.

Выход из строя бурового оборудования происходит достаточно часто в нефтегазодобывающей промышленности. Это ведет к значительному увеличению времени и стоимости бурения. Особый интерес представляет прекращение нормального функционирования буровой колонны, которое происходит вследствие определенных нагрузок. Ввиду высокой стоимости каждой неисправности, исследование буровых установок с целью уменьшить количество выходов из строя элементов буровой колонны является важной задачей. Согласно статистическим данным, представленным в [Iiorbeek, Birch & McMahon. 1995, Shokir, 2004, Vaisberg, Vincké, Perrin, Sarda & Fay], в 1985 году 45 % всех неисправностей буровых установок были связаны непосредственно с буровой колонной. На данный момент ущерб от каждой неисправности, связанной с буровой колонной, оценивается в 106000 долларов США, при этом неисправность возникает в среднем на одной из семи буровых установок, поэтому задача исследования переходных процессов, возникающих в буровых установках при бурении, является актуальной.

Основное внимание в настоящей работе уделено изучению динамики математических моделей буровых установок с асинхронным электродвигателем.

Разработанный критерий устойчивости для простейшей модели буровой установки позволяет получить допустимую нагрузку на бур при смене среды бурения. В случае двухмассовой модели буровой установки проводится моделирование системы на наличие скрытых колебании, т.е. колебаний, которые не устанавливаются после переходного процесса из окрестностей стационарных состояний. Таким образом, поломки бурового оборудования могут быть обусловлены наличием данных колебаний.

Принято считать, что история электрических машин начинается с опыта М. Фарадея в 1821 году [Горбацевич, 2010]. М. Фарадеп, исследуя взаимодействие проводников с током и магнитом, показал, что электрический ток вызывает вращение проводника вокруг магнита или вращение магнита вокруг проводника. Опыт Фарадея подтвердил принципиальную возможность построения электрического двигателя. В 1888 г. Н. Теслой и Г. Феррарпсом было открыто вращающееся магнитное поле, которое создавалось переменным током, проходящим через неподвижные обмотки статора электрической машины [Иванов-Смоленский, 1980]. Этот эффект до сих пор является основой конструкции электрических машин переменного тока.

В настоящее время асинхронные двигатели с короткозамкнутьш ротором и приводом на их основе получили широкое распространение, что обусловлено простотой конструкции, надежностью и высокими технико-экономическими показателями данного типа электродвигателей.

При этом широкое распространение получают методики исследования и проектирования асинхронных двигателей на основе математического моделирования [Беспалов, Мощипский & Петров, 2002, Беспалов, 1992, Голубев & Зыков, 2004, Грузов, 1953,

Копылов, Клоков, Морозкин & Токарев, 1993, Копылов, 1987,

Копылов, 2001, Мощпнский & Петров, 2001, Мощпнский к Аунг Вин Тут, Мощпнский к Петров, 2004, Панкратов В. В. к Зима Е. А., 2004,

Сппайлов к Лоос, 1980, Хрисанов В. И. к Бржезинскпй, 2004], что позволяет повысить точность расчетов. Большой вклад в создаипс и развитие методов исследования и расчета асинхронных двигателей внесли отечественные и зарубежные ученые: Б. Адкпнс, В. Я. Беспалов, А. Блондель, А. И. Важнов, Г. Вудсон. И. А. Глебов, А. А. Горев, Я. Б. Данилевпч, А. В. Иванов-Смоленский, Н. Ф. Ильинский, Е. Я. Казовский, К. П. Ковач, Е. В. Кононепко, И. П. Копылов, М. П. Костенко, Г. Крон. Р. А. Лютер, Р. Парк, Я. П. Петров, И. М. Постников, В. 14. Радин, И. Рац, Г. А. Сппайлов, Т. Г. Сорокер, И. И. Трещев, Д. Уайт, Р. В. Фильц п другие.

В первой главе диссертации описана простейшая электромеханическая модель буровой установки с асинхронным приводом и решена задача о предельной нагрузке для данной модели.

В качестве уравнений асинхронной машины рассматриваются уравнения, описанные в [Леонов к Кондратьева, 2009,

Копс1га^уа, Ьеопоу, БЬереЦауу] к Нос1цлкоу, 2001]. В отличие от двигателей внутреннего сгорання, где необходимо учитывать распространение тепла (а это - уравнения в частных производных, уравнения теплопроводности), сложные (по сравнению с вращением ротора электродвигателя) механические движения (а это обыкновенные дифференциальные уравнения более высокого порядка) и импульсную составляющую микровзрыва в цилиндре при максимальном сжатии, электрические машины адекватно описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями невысокого порядка с обозримыми правыми частями. А значит, возможно провести достаточное полное математическое исследование динамики таких машин. При этом, что очень важно для математиков, родоначальником этих исследовании является выдающийся итальянский математик Ф.Трикоми, книги которого "Дифференциальные уравнения" и "Интегральные уравнения" переведены [Трикомп, 1962, Трикоми, 1962] на русский язык и который имел много известных последователей, занимавшихся анализом простейших моделей электрических машин.

В качестве силы трения рассматривается сила трения кулоновского типа [УакиЬоу1сЬ, Ьеопоу & СеН^, 2004, Рат1еуе, 1954] с несимметричной разрывной характеристикой.

Получившаяся модель описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Различным вопросам этой теории посвящены отдельные параграфы и главы в книгах [Андронов. Витт & Хайкин, 1959, Барбашин, 1967, Гелиг, Леонов & Якубович, 1978, Неймарк, 1972], а также большое число журнальных статей. Систематическое изложение этой теории имеется в статьях А.Ф. Филиппова. В [Филиппов, 1985] Филиппов рассмотрел дифференциальные уравнения с однозначными разрывными правыми частями, ввел понятие решения и доказал основные теоремы качественной теории.

Во второй главе рассматривается электромеханическая модель буровой установки с асинхронным приводом, учитывающая деформацию буровой колонны при кручении. Проведены локальный анализ и численное моделирование полученных уравнений в случае силы трения кулоиовского типа с несимметричной разрывной характеристикой. Также изучен случай математической модели со срывным трением на предмет возникновения колебаний в системе. Существует большое количество работ, посвященных фрикционным колебаниям [Hensen, 2002, Hensen, Van de Molengraft к Steinbuch, 2002, Juloski, Mihajlovic, Heemels, Van de Wouw к Nijmeijer, Mallon, 2003.

Ma lion, van de Wouw, Putra к Nijmeijer, Olsson, 1996,

Olsson к Astrom, 1996, Olsson к Astrom, 2001, Putra, 2004,

Putra D., Moreau L. к Nijmeijer H., 2004, Putra D. к Nijmeijer. 2003.

Putra D. к Nijmeijer, 2004, van de Womv, Mihajlovic к Nijmeijer,

Al-Bender, Lampaert к Swevers, 2004, Batista к Carlson, 1998), в связи с тем, что эти колебания могут вызывать износ или поломку различных механических систем.

В начальный период развития теории нелинейных колебаний в первой половине прошлого века основное внимание уделялось анализу и обобщению колебательных систем. Для этих систем неожиданно возникли трудности при решении задачи о существовании колебательных режимов.

Разви тие современной компьютерной техники позволяет производить численное моделирование сложных нелинейных динамических систем и получать новую информацию о поведении их траекторий. В хорошо известных системах Дюффинга [Duffing, 1918], Ван дер Поля [van der Pol, 1926], Белоусова-Жаботинского [Belousov, 1959|, Лоренца [Lorenz, 1963], Росслера [Rossler, 1976] и других классические самовозбуждающиеся ("self-exciting") колебания и аттракторы могут быть числсшю получены с помощью стандартной вычислительной процедуры: после переходного процесса траектория, начавшаяся из окрестности неустойчивого состояния равновесия, достигает колебание и определяет его.

Однако, возможности этого подхода ограничены. В середине прошлого века в системах со скалярной нелинейностью были получены колебания другого типа, так называемые "скрытые колебания", область притяжения которых не содержит окрестности состояний равновесия, и которые не могут быть вычислены описанным выше способом. В данном случае моделирование траекторий с начальными данными скорее всего не даст желаемого результата (см., например, описание эксперимента Колмогорова по поиску предельных циклов [Арнольд, 2005, Lconov, 2010]), т.к. область притяжения может очень маленькой и размерность самого аттрактора может быть существенно меньше размерности рассматриваемой системы.

В 1961 году Губарь [Gubar\ 19G1] аналитически показал возможность существования скрытых колебаний в двухмерных системах фазовой автоподстройки частоты с кусочно-постоянной импульсной нелинейностью. В 50-60-е годы предыдущего века исследования известных гипотез [Markus & Yamabe, 1960, Aizerman, 1949, Kaiman, 1957) абсолютной устойчивости привели к нахождению скрытых колебаний в системах автоматического управления с кусочно-линейной нелинейностью, которая принадлежит области линейной устойчивости (см. [Плпсс, 1958, Bernât & Llibre. 1996. Leonov, Bragin & Kuznetsov, 2010, Bragin, Kuznetsov, Leonov & Vagaitsev, 2011] и др.).

Недавно хаотические скрытые колебания (скрытые аттракторы) были найдены в классической системе Чуа [Leonov, Kuznetsov h Vagaytsev, 201 lj. Заметим, что Чуа, анализируя в работе [Chua & Lin, 1990] различные варианты существования аттракторов в системе Чуа, не предполагает существования ''скрытых аттракторов".

В настоящей работе были найдены скрытые колебания для системы, описывающей электромеханическую модель буровой установки, приводимой в движение асинхронным двигателем. Этот результат показывает, что такой сложный эффект как скрытые колебания возникает даже в достаточно простых моделях. Локализация скрытых колебаний является трудной задачей, т.к. часто не удается найти скрытые колебания при моделировании системы со случайными данными мала в силу малости области притяжения. Поэтому необходимо развитие аналитических методов исследования подобных систем.

Основные результаты, выносимые на защиту.

Разработана математическая модель буровой установки с абсолютно твердым буром, приводимой в движение асинхронным двигателем. Решена задача о предельной нагрузке.

Введена адекватная характеристика нагрузки в виде несимметричного сухого трения и показано, что при определенных условиях предельно допустимая резкопеременная нагрузка определяется значением максимальной постоянной нагрузки, при которой система имеет стационарный режим.

Описана двухмассовая математическая модель буровой установки, приводимой в движение асинхронным двигателем. Проведены исследования данной модели в пакете МаНаЬ и найдены скрытые колебания.